Notas de Topologia Geral

Jorge Mujica

Disciplina ministrada no IMECC-UNICAMP

durante o primeiro semestre de 2005

Sumario

1. Teoria de conjuntos................................................................1

2. Espacos metricos....................................................................4

3. Espacos topologicos................................................................7

4. Aderencia e interior de um conjunto......................................9

5. Sistemas de vizinhancas........................................................12

6. Bases para os abertos............................................................16

7. Subespacos............................................................................18

8. Funcoes contnuas.................................................................20

9. Produtos infinitos e o axioma da escolha.............................23

10. O espaco produto...............................................................25

11. O espaco quociente.............................................................29

12. Convergencia de sequencias................................................32

13. Convergencia de redes........................................................34

14. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo............................38

15. Convergencia de filtros.......................................................42

16. Espacos de Hausdorff..........................................................47

17. Espacos regulares................................................................50

18. Espacos normais.................................................................52

19. Espacos completamente regulares.......................................58

20. Primeiro e segundo axioma de enumerabilidade.................63

21. Espacos compactos.............................................................69

22. Espacos localmente compactos...........................................76

23. A compactificacao de Alexandroff......................................79

24. A compactificacao de Stone-Cech.......................................81

25. Espacos metrizaveis............................................................84

26. Espacos conexos..................................................................8727. Componentes conexas.........................................................91

28. Espacos conexos por caminhos............................................93

29. Homotopia...........................................................................96

30. O grupo fundamental..........................................................99

31. O grupo fundamental do crculo unitario..........................103

Bibliografia..............................................................................108

1. Teoria de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, diremos que A e subconjunto de B, e escrever-emos A B, se cada elemento de A pertence a B, ou seja se x A implicax B.

Diremos que A e igual a B, e escreveremos A = B, se A e B tem os mesmoselementos, ou seja se A B e B A.

A uniao, a intersecao, e a diferenca de dois conjuntos A e B e definida por

A B = {x : x A ou x B},

A B = {x : x A e x B},A \B = {x : x A e x / B}.

Se estamos considerando subconjuntos de um conjunto fixo X, entao o conjuntoX \A e chamado de complementar de A em X, e e denotado por Ac.

A uniao e a intersecao de uma famlia de conjuntos Ai (i I) e definida poriI

Ai = {x : x Ai para algum i I},

iI

Ai = {x : x Ai para todo i I}.

Dado um conjunto X, P(X) denota o conjunto formado pelos subconjuntosde X, ou seja

P(X) = {A : A X}. denota o conjunto vazio. N denota o conjunto dos numeros naturais, ou

seja o conjunto dos inteiros positivos. Z denota o conjunto dos inteiros. Qdenota o conjunto dos numeros racionais. R denota o conjunto dos numerosreais. C denota o conjunto dos numeros complexos.

O produto cartesiano XY de dois conjuntos X e Y e o conjunto dos paresordenados (x, y) tais que x X e y Y . O produto cartesiano X1 ... Xnde n conjuntos X1,...,Xn e o conjunto das n-tuplas (x1, ..., xn) tais que xi Xipara i = 1, ..., n. Escreveremos Xn em lugar de X ...X (n vezes).

Uma funcao ou aplicacao f de X em Y , denotada por f : X Y , euma regra que associa a cada elemento x X um unico elemento f(x) Y . O conjunto X e chamado de domnio de f . O conjunto Y e chamado decontradomnio de f .

f e dita injetiva se f(x1) = f(x2) implica x1 = x2. f e dita sobrejetiva separa cada y Y existe x X tal que f(x) = y. f e dita bijetiva se e injetiva esobrejetiva. Se f : X Y e bijetiva, a funcao inversa f1 : Y X e definidapor f1(y) = x se f(x) = y.

O grafico de f e o conjunto

Gf = {(x, y) X Y : y = f(x)}.

1

Dados A X e B Y , a imagem de A e a imagem inversa de B sao osconjuntos

f(A) = {y Y : y = f(x) para algum x A},f1(B) = {x X : f(x) B}.

Dadas duas aplicacoes f : X Y e g : Y Z, a aplicacao compostag f : X Z e definida por g f(x) = g(f(x)) para todo x X.

Uma relacao R num conjunto X e um subconjunto R de X X. Comfrequencia escreveremos xRy se (x, y) R.

Uma relacao R em X e dita reflexiva se xRx para todo x X. R e ditasimetrica se xRy implica yRx. R e dita transitiva se xRy e yRz implicamxRz. Diremos que R e uma relacao de equivalencia se R e reflexiva, simetricae transitiva.

Exerccios

1.A. Se Ai X para cada i I, prove las leis de De Morgan:

(a) X \iI

Ai =iI

(X \Ai).

(b) X \iI

Ai =iI

(X \Ai).

1.B. Seja f : X Y uma aplicacao. Dados B Y e Bi Y para cadai I, prove que:

(a) f1(iI

Bi) =iI

f1(Bi).

(b) f1(iI

Bi) =iI

f1(Bi).

(c) f1(Y \B) = X \ f1(B).

1.C. Seja f : X Y uma aplicacao. Dados A X e Ai X para cadai I, prove que:

(a) f(iI

Ai) =iI

f(Ai).

(b) f(iI

Ai) iI

f(Ai), com igualdade se f for injetiva.

(c) f(X \A) Y \ f(A) se f for injetiva.(c) f(X \A) Y \ f(A) se f for sobrejetiva.

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1.D. (a) De exemplo de uma aplicacao f : X Y e conjuntos A1, A2 Xtais que f(A1 A2) 6= f(A1) f(A2).

(b) De exemplo de uma aplicacao f : X Y e um conjunto A X tal quef(X \A) 6= Y \ f(A).

1.E. Seja f : X Y uma aplicacao. Dados A X e B Y , prove que:

(a) A f1(f(A)), com igualdade se f for injetiva.

(b) f(f1(B)) B, com igualdade se f for sobrejetiva.

1.F. (a) De exemplo de uma aplicacao f : X Y e um conjunto A X talque A 6= f1(f(A)).

(b) De exemplo de uma aplicacao f : X Y e um conjunto B Y tal quef(f1(B)) 6= B.

1.G. Sejam f : X Y e g : Y X aplicacoes tais que g f(x) = x paratodo x X. Prove que f e injetiva e g e sobrejetiva.

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2. Espacos metricos

2.1. Definicao. Seja X um conjunto. Uma funcao d : X X R echamada de metrica se verifica as seguintes propriedades para x, y, z X:

(a) d(x, y) 0;(b) d(x, y) = 0 se e so se x = y;(c) d(x, y) = d(y, x);(d) d(x, z) d(x, y) + d(y, z);A desigualdade (d) e chamada de desigualdade triangular. O par (X, d) e

chamado de espaco metrico. Com frequencia falaremos do espaco metrico X emlugar do espaco metrico (X, d).

2.2. Exemplos.(a) X = R, d(x, y) = |x y|.

(b) X = Rn, d(x, y) =n

j=1(xj yj)2. Esta e a metrica euclideana.

(c) X = Rn, d(x, y) =n

j=1 |xj yj |.(d) X = Rn, d(x, y) = max{|x1 y1|, ..., |xn yn|}.Em (b),(c) e (d), x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn).

(e) Se X e um conjunto qualquer, entao a metrica d : X X R definidapor d(x, y) = 1 se x 6= y e d(x, y) = 0 se x = y, e chamada de metrica discreta.

(f) Seja (X, d) um espaco metrico, e seja S X. Entao S e um espacometrico com a metrica induzida dS , ou seja dS(x, y) = d(x, y) para todo x, y S.

2.3. Definicao. Seja X um espaco metrico. Dados a X e r > 0,consideremos os conjuntos

B(a; r) = {x X : d(x, a) < r},B[a; r] = {x X : d(x, a r}.

O conjunto B(a; r) e chamado de bola aberta de centro a e raio r. O conjuntoB[a; r] e chamado de bola fechada de centro a e raio r.

2.4. Definicao. Seja X um espaco metrico. Um conjunto U X e ditoaberto em X se para cada a U existe r > 0 tal que B(a; r) U . Um conjuntoF X e dito fechado em X se X \ F e aberto.

2.5. Exemplos. (a) Cada bola aberta e um subconjunto aberto.(b) Cada bola fechada e um subconjunto fechado.

Demonstracao. (a) Seja x B(a; r). Usando a desigualdade triangular efacil verificar que

B(x; r d(x, a)) B(a; r),e portanto B(a; r) e aberto.

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(b) Para provar que B[a; r] e fechado, basta provar que X \B[a; r] e aberto.Seja x X \B[a; r]. Usando a desigualdade triangular nao e dificil provar, porabsurdo, que

B(x; d(x, a) r) X \B[a; r],e portanto X \B[a; r] e aberto.

2.6. Proposicao. Seja X um espaco metrico. Entao:(a) e X sao abertos.(b) A uniao de uma famlia arbitraria de abertos e um aberto.(c) A intersecao de uma famlia finita de abertos e um aberto.

Demonstracao. (a) e claro.(b) Seja Ui aberto em X para cada i I, e seja a

iI Ui. Entao a Ui0

para algum i0 I. Como Ui0 e aberto, existe r > 0 tal que B(a; r) Ui0 . LogoB(a; r) iI Ui e iI Ui e aberto.

(c) Seja Ui aberto em X para cada i I, sendo I finito. Seja a iI Ui, ou

seja a Ui para cada i I. Para cada i I existe ri > 0 tal que B(a; ri) Ui.Seja r = miniIri. Segue que B(a; r)

iI Ui e

iI Ui e aberto.

2.7. Corolario. Seja X um espaco metrico. Entao:(a) X e sao fechados.(b) A intersecao de uma famlia arbitraria de fechados e um fechado.(c) A uniao de uma famlia finita de fechados e um fechado.

Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 2.6 e as leis de De Morgan.

2.8. Definicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos metrico. Diremosque f e contnua num ponto a X se dado > 0, podemos achar > 0 tal que

dX(x, a) < implica dY (f(x), f(a)) < ,

ou sejaf(BX(a; )) BY (f(a); ).

Diremos que f e contnua se for contnua em cada ponto de X. Denotaremospor C(X;Y ) o conjunto de todas as funcoes contnuas f : X Y . Se Y = R,escreveremos C(X) em lugar de C(X;R).

2.9. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaof e contnua num ponto a X se e so se, para cada aberto V de Y contendof(a), existe um aberto U de X contendo a tal que f(U) V .

Demonstracao. (): Seja V um aberto de Y contendo f(a). Seja > 0tal que BY (f(a); ) V . Por hipotese existe > 0 tal que f(BX(a; )) BY (f(a); ). Logo basta tomar U = BX(a; ).

(): Dado > 0, seja V = BY (f(a); ). Por hipotese existe um aberto Ude X contendo a tal que f(U) V . Seja > 0 tal que BX(a; ) U . Segueque f(BX(a; )) BY (f(a); ).

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2.10. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaoas seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contnua.(b) f1(V ) e aberto em X para cada aberto V de Y .(c) f1(B) e fechado em X para cada fechado B de Y .

Demonstracao. (a) (b): Seja V um aberto de Y . Pela Proposicao 2.9,para cada a f1(V ), existe um aberto Ua de X contendo a tal que f(Ua) V ,ou seja Ua f1(V ). Segue que

f1(V ) ={Ua : a f1(V )}

e aberto em X.(b) (a): Basta provar que f e contnua em cada a X. Seja a X, e

seja V um aberto de Y contendo f(a). Por hipotese f1(V ) e um aberto deX contendo a, e f(f1(V )) V pelo Exerccio 1.G. Pela Proposicao 2.9 f econtnua em a.

A equivalencia (b) (c) e consequencia direta do Exerccio 1.B(c).

Exerccios

2.A. Prove que as seguintes funcoes sao metricas em C[a, b]:(a) d(f, g) = sup{|f(x) g(x)| : a x b}.(b) d(f, g) =

ba|f(x) g(x)|dx.

2.B. Seja X um espaco metrico.(a) Prove a desigualdade

|d(x, a) d(y, a)| d(x, y) para todo x, y, a X.(b) Prove que, para cada a X a funcao x X d(x, a) R e contnua.(c) Prove que a esfera

S(a; r) = {x X : d(x, a) = r}e um subconjunto fechado.

2.C. Seja X um espaco metrico, e seja S X, com a metrica induzida.(a) Dados a S e r > 0, prove que BS(a; r) = S BX(a; r).(b) Prove que um conjunto U S e aberto em S se e so se existe um aberto

V de X tal que U = S V .2.D. Seja X = R, e seja S = Z, com a metrica induzida. Prove que cada

subconjunto de S e aberto em S.

2.E. (a) De exemplo de uma sequencia de abertos de R cuja intersecao naoseja um aberto.

(b) De exemplo de uma sequencia de fechados de R cuja uniao nao seja umfechado.

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3. Espacos topologicos

3.1. Definicao. Seja X um conjunto. Chamaremos de topologia em Xuma famlia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

(a) e X pertencem a .(b) A uniao de uma famlia arbitraria de membros de pertence a .(c) A intersecao de uma famlia finita de membros de pertence a .Os membros de sao chamados de abertos. O par (X, ) e chamado de

espaco topologico. Com frequencia diremos que X e um espaco topologico.

3.2. Exemplos.(a) Se (X, d) e um espaco metrico, entao segue da Proposicao 2.6 que os

abertos de (X, d) formam uma topologia d em X.

(b) Se X = Rn, entao a topologia d dada pela metrica euclideana

d(x, y) =

nj=1

(xj yj)2

e chamada de topologia usual.

(c) Seja X um conjunto qualquer, e seja a famlia de todos os subconjuntosde X. Claramente e uma topologia em X, chamada de topologia discreta.

(d) Seja X um conjunto qualquer, e seja = {, X}. Claramente e umatopologia em X, chamada de topologia trivial.

3.3. Definicao. Diremos que um espaco topologico (X, ) e metrizavel seexistir uma metrica d em X tal que = d.

Notemos que a topologia discreta e sempre metrizavel, e vem dada pelametrica discreta.

3.4. Definicao. Dadas duas topologias 1 e 2 num conjunto X, diremosque 1 e mais fraca que 2, ou que 2 e mais forte que 1, ou que 2 e mais finaque 1 se 1 2.

A topologia trivial em X e mais fraca que qualquer outra topologia em X.A topologia discreta em X e mais fina que qualquer outra topologia em X.

3.5. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que um conjuntoF X e fechado se X \ F e aberto.

3.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao:(a) X e sao fechados.(b) A intersecao de uma famlia arbitraria de fechados e um fechado.(c) A uniao de uma famlia finita de fechados e um fechado.

Demonstracao. Basta aplicar as leis de de Morgan.

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Reciprocamente temos:

3.7. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja F uma famlia de subcon-juntos de X com as seguintes propriedades:

(a) X e pertencem a F .(b) A intersecao de uma famlia arbitraria de membros de F pertence a F .(c) A uniao de uma famlia finita de membros de F pertence a F .Seja = {X \ F : F F}. Entao e uma topologia em X, e F coincide

com a famlia dos fechados de (X, ).

Demonstracao. Basta aplicar as leis de De Morgan.

Exerccios

3.A. Prove que as metricas dos Exemplos 2.2(b), 2.2(c) e 2.2(d) definem amesma topologia em Rn.

3.B. Seja X = {a, b}, com a 6= b, e seja

= {, {a}, X}.

Prove que e uma topologia em X. O espaco (X, ) e chamado de espaco deSierpinski.

3.C. Seja X um conjunto, e seja

F = {X} {F X : F e finito}.

Prove que F e a famlia de fechados de uma topologia em X, conhecida comotopologia cofinita. Voce reconhece esta topologia quando X e finito?

3.D. Seja X um conjunto, e seja

F = {X} {F X : F e enumeravel}.

Prove que F e a famlia de fechados de uma topologia em X, conhecida comotopologia coenumeravel. Voce reconhece esta topologia quando X e enume-ravel?

3.E. Seja X um conjunto, seja A X, e seja

A = {} {U : A U X}.

(a) Prove que A e uma topologia em X.(b) Descreva os fechados de (X, A).(c) Voce reconhece A quando A = e quando A = X?

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4. Aderencia e interior de um conjunto

4.1. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja A X. Chamaremosde aderencia de A o conjunto

A ={F X : F e fechado e F A}.

Claramente A e o menor subconjunto fechado de X que contem A.

4.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao a aplicacao A Atem as seguintes propriedades:

(a) A A.(b) A = A.(c) = .(d) A B = A B.(e) A e fechado se e so se A = A.

Demonstracao. (a) e obvio.

(b) Por (a) A A. E como A e um fechado contendo A, segue que A A.(c) Como e um fechado contendo , segue que .(d) Antes de provar (d) notemos que

A B implica A B.

Como A A B e B A B, segue que A A B e B A B. LogoA B A B. Por outro lado A B e um fechado contendo A B. LogoA B A B.

(e) e obvio.

Reciprocamente temos:

4.3. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja A P(X) A P(X)uma aplicacao com as seguintes propriedades:

(a) A A.(b) A = A.(c) = .(d) A B = A B.Seja F = {A X : A = A}. Entao F e a famlia de fechados de uma

topologia em X. A e a aderencia de A para cada A X.Demonstracao. Utilizaremos a Proposicao 3.7. E claro que X F . E

segue de (c) que F .Segue de (d) que a uniao de dois membros de F pertence a F .

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Antes de provar que qualquer intersecao de membros de F pertence a F ,provemos que

() A B implica A B.De fato usando (d) vemos que:

A B B = A (B \A) B = A (B \A) B A.

Seja Ai F para cada i I. Entao

iI Ai Ai, e portanto

iI Ai Ai = Ai para cada i I. Logo

iI Ai

iI Ai, e segue que

iI Ai F .

Assim F e a famlia de fechados para uma topologia em X. Para provarque A e a aderencia de A com relacao a , fixemos A X. Segue de (*) que

A F = F para cada F F tal que F A,

e portantoA

{F F : F A}.

Por outro lado segue de (a) e (b) que A F e A A. Logo{F F : F A} A.

Isto prova que A e a aderencia de A.

4.4. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja A X. Chamaremosde interior de A o conjunto

A ={U X : U e aberto e U A}.

Claramente A e o maior subconjunto aberto de X que esta contido em A. Asvezes escreveremos

A em lugar de A.

4.5. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja A X. Entao:

X \A = (X \A) e X \A = (X \A).

Demonstracao. Basta aplicar as leis de De Morgan.

Deixamos como exerccio as demonstracoes das duas proposicoes seguintes.Elas podem ser demonstradas diretamente, ou podem ser deduzidas das Proposicoes4.2 e 4.3 utilizando a Proposicao 4.5 e as leis de De Morgan.

4.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao a aplicacao A Atem as seguintes propriedades:

(a) A A.(b) A = A.(c) X = X.(d) (A B) = A B.

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(e) A e aberto se e so se A = A.

4.7. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja A P(X) A P(X)uma aplicacao com as seguintes propriedades:

(a) A A.(b) A = A.(c) X = X.(d) (A B) = A B.Seja = {A X : A = A}. Entao e uma topologia em X. A e o

interior de A para cada A X.

Exerccios

4.A. Seja X um espaco topologico, com a topologia cofinita do Exerccio3.C.

(a) Descreva A para cada A X.(b) Descreva A para cada A X.4.B. Seja X um conjunto, seja A X, e seja A a topologia do Exerccio

3.E.(a) Descreva B para cada B X.(b) Descreva B para cada B X.4.C. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que (A B) A B para todo A,B X.(b) De exemplo de conjuntos A,B R tais que (A B) 6= A B.4.D. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que (A B) A B para todo A,B X.(b) De exemplo de conjuntos A,B R tais que (A B) 6= A B.4.E. Dado A X, chamaremos de fronteira de A o conjunto

A = A (X \A).

(a) Prove que A = A A.(b) Prove que A = A \ A.4.F. Para cada A N seja

A = {kn : n A, k N}.

(a) Prove que a aplicacao A A tem as propriedades da Proposicao 4.3, edefine portanto uma topologia em N.

(b) Descreva os fechados de (N, ).(c) Descreva os abertos de (N, ).

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5. Sistemas de vizinhancas

5.1. Definicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja x X.Diremos que um conjunto U X e uma vizinhanca de x se x U. Ux denotao conjunto de todas as vizinhancas de x.

5.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio. Entao os con-juntos Ux tem as seguintes propriedades:

(a) x U para cada U Ux.(b) Se U, V Ux, entao U V Ux.(c) Dado U Ux, existe V Ux, V U , tal que U Uy para cada y V .(d) Se U Ux e U V X, entao V Ux.(e) Um conjunto U X e aberto se e so se U Ux para cada x U .Demonstracao. (a) Se U Ux, entao x U U .(b) Se U, V Ux, entao x U V = (U V ). Logo U V Ux.(c) Dado U Ux, seja V = U. Se y V = U, entao U Uy.(d) Se U Ux e U V X, entao x U V . Logo V Ux.(e) Se U e aberto, entao U = U. Segue que U Ux para cada x U .

Reciprocamente suponhamos que U Ux para cada x U . Segue que U = U.Logo U e aberto.

Reciprocamente temos:

5.3. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Para cada x X sejaUx uma famlia nao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

(a) x U para cada U Ux.(b) Se U, V Ux, entao U V Ux.(c) Dado U Ux, existe V Ux, V U , tal que U Uy para cada y V .(d) Se U Ux e U V X, entao V Ux.Seja

= {U X : U Ux para cada x U}.Entao e uma topologia em X, e Ux e o sistema de vizinhancas de x em (X, )para cada x X.

Demonstracao. Primeiro provaremos que e uma topologia em X.E claro que . Para provar que X , seja x X, e seja U Ux. Como

U X, segue de (d) que X Ux. Logo X .Seja Ui para cada i I, e seja x

iI Ui. Entao x Ui para algum

i I. Como Ui , temos que Ui Ux. Como Ui

iI Ui, segue de (d) queiI Ui Ux. Logo

iI Ui .

Sejam U, V , e seja x U V . Entao U, V Ux, e segue de (b) queU V Ux. Logo U V .

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A seguir provaremos que cada vizinhanca de x pertence a Ux. Seja U umavizinhanca de x. Entao x U. Como U , segue que U Ux. ComoU U , segue de (d) que U Ux.

Finalmente provaremos que cada U Ux e uma vizinhanca de x. SejaU Ux, e seja V = {y U : U Uy}. Segue de (a) que x U , e como U Ux,vemos que x V .

A seguir veremos que V . Dado y V , temos que U Uy. Por (c) existeW Uy, W U , tal que U Uz para todo z W . Segue entao de (a) queW V . Segue de (d) que V Uy. Logo V .

Como x V e V , segue que x U. Logo U e uma vizinhanca de x.5.4. Definicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja x X.

Diremos que uma famlia Bx Ux e uma base de vizinhancas de x se cadaU Ux contem algum V Bx.

5.5. Exemplos.(a) Seja X um espaco topologico, seja x X, e seja

Bx = {U Ux : U e aberto}.Entao Bx e uma base de vizinhancas de x.

(b) Seja X um espaco metrico, seja x X, e sejaBx = {B(x; r) : r > 0}.

Ent ao Bx e uma base de vizinhancas de x.(c) Seja X um espaco metrico, seja x X, e seja

Bx = {B[x; r] : r > 0}.Entao Bx e uma base de vizinhancas de x.

5.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja Bx umabase de vizinhancas de x, para cada x X. Entao:

(a) x U para cada U Bx.(b) Dados U, V Bx, existe W Bx tal que W U V .(c) Dado U Bx, existe V Bx, V U , tal que para cada y V existe

W By tal que W U .(d) Um conjunto U X e aberto se e so se para cada x U existe V Bx

tal que V U .Demonstracao. As afirmac oes (a), (b), (c) e (d) seguem diretamente das

afirmacoes (a), (b), (c) e (e) na Proposicao 5.2.

Reciprocamente temos:

5.7. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Para cada x X sejaBx uma famlia nao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

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(a) x U para cada U Bx.(b) Dados U, V Bx, existe W Bx tal que W U V .(c) Dado U Bx, existe V Bx, V U , tal que para cada y V existe

W By tal que W U .Seja

= {U X : para cada x U existe V Bx tal que V U}.

Entao e uma topologia em X e Bx e uma base de vizinhancas de x em(X, ) para cada x X.

Demonstracao. Para cada x X seja

Ux = {U X : U V para algum V Bx}.

E claro que as famlias Ux verificam as propriedades (a), (b), (c) e (d) daProposicao 5.3, e que

= {U X : U Ux para cada x U}.

Pela Proposicao 5.3 e uma topologia em X e Ux e o sistema de vizinhancasde x em (X, ) para cada X X. Segue que Bx e uma base de vizinhancas dex em (X, ) para cada x X.

A proposicao seguinte e muito util. Ela caracteriza abertos, fechados, aderenciade um conjunto e interior de um conjunto em termos de bases de vizinhancas.

5.8. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, seja A X, eseja Bx uma base de vizinhancas de x, para cada x X.Entao:

(a) A e aberto se e so se para cada x A existe V Bx tal que V A.(b) A e fechado se e so se para cada x / A, existe V Bx tal que V A = .(c) A = {x X : V A 6= para cada V Bx}.(d) A = {x X : V A para algum V Bx}.Demonstraccao. Ja vimos (a) na Proposicao 5.6(d). (b) e consequencia

imediata de (a).

(c) Lembremos que

A ={F X : F fechado, F A}.

Se x / A, entao por (b) existe V Bx tal que V A = . Reciprocamentesuponhamos que exista V Bx tal que V A = . Entao x V e A X \V X \ V . Como X \ V e fechado, segue que A X \ V . Logo x / A.

(d) Pela Proposicao 4.5, X \ A = (X \A). Se B denota o conjunto dadireita em (d), entao usando (c) segue que

x / A x (X \A) V (X \A) 6= para cada V Bx

14

V 6 A para cada V Bx x / B.

5.9. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que X satisfazo primeiro axioma de enumerabilidade se cada x X admite uma base devizinhancas Bx que e enumeravel.

5.10. Exemplo. Cada espaco metrico satisfaz o primeiro axioma de enu-merabilidade.

Exerccios

5.A. Seja X um espaco topologico, seja A X, e seja Bx uma base devizinhancas de x para cada x X. Prove que

A = {x X : V A 6= e V (X \A) 6= para cada V Bx}.

5.B. Dados f C[a, b] e r > 0, seja

U(f, r) = {g C[a, b] : |g(x) f(x) < r para todo x [a, b]}.

Prove que os conjuntos U(f, r), com r > 0 formam uma base de vizinhancas def no espaco metrico C[a, b] do Exerccio 2.A(a).

5.C. Dados f C[a, b], A [a, b], A finito, e r > 0, seja

V (f,A, r) = {g C[a, b] : |g(x) f(x)| < r para todo x A}.

Prove que os conjuntos V (f,A, r), com A [a, b], A finito, e r > 0, formam umabase de vizinhancas de f para uma certa topologia em C[a, b]. Esta topologia emais fraca que a topologia do exerccio anterior.

5.D. Seja X um espaco topologico e seja A X. Diremos que um pontox X e um ponto de acumulacao de A se dado U Ux existe a U A,com a 6= x. A denota o conjunto dos pontos de acumulacao de A. Prove queA = A A.

5.E. De exemplo de um conjunto A R tal que os seguintes conjuntossejam todos diferentes entre si:

A, A,A,

A,

A,

A,

A .

15

6. Bases para os abertos

6.1. Definicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Diremos que umafamlia B e uma base para se dado U existe C B tal que

U ={V : V C}.

6.2. Exemplos.(a) Os intervalos (a, b), com a < b em R, formam uma base para a topologia

usual em R.

(b) Se (X, d) e um espaco metrico, entao as bolas B(a; r), com a X er > 0, formam uma base para a topologia d.

(c) Se (X, ) e um espaco topologico discreto, entao B = {{x} : x X} euma base para .

6.3. Proposicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Uma famlia B e uma base para se e so se, dados U e x U , existe V B tal quex V U .

Esta proposicao e consequencia imediata da definicao.

6.4. Proposicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Uma famlia B euma base para se e so se, para cada x X, a famlia

Bx = {V B : x V }e uma base de vizinhancas de x.

Esta proposicao e consequencia facil da proposicao anterior.

6.5. Proposicao. Seja (X, ) um espaco topologico, e seja B uma basepara . Entao:

(a) X ={V : V B}.

(b) Dados x X e U, V B tais que x U V , existe W B tal quex W U V .

Demonstracao. (a) e consequencia imediata da definicao de base. (b) econsequencia da Proposicao 6.4, junto com a Proposicao 5.6.

Reciprocamente temos:

6.6. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja B uma famlia de subcon-juntos de X com as seguintes propriedades:

(a) X ={V : V B}.

(b) Dados x X e U, V B tais que x U V , existe W B tal quex W U V .

Seja a famlia de todos os conjuntos da forma

U ={V : V C}, com C B.

16

Entao e uma topologia em X, e B e uma base para .Demonstracao. E claro que = {V : V } . E X por (a).Seja Ui para cada i I, ou seja

Ui ={V : V Ci}, com Ci B

para cada i I. Entao iI

Ui ={V : V

iI

Ci} .

Finalmente sejam U1, U2 , ou seja

Ui ={V1 : V1 C1}, U2 =

{V2 : V2 C2},

com C1, C2 B. Entao

U1 U2 ={V1 V2 : V1 C1, V2 C2}.

Segue de (b) que cada intersecao V1 V2 e uniao de membros de B. Segue queU1 U2 .

Temos provado qur e uma topologia em X. E claro que B e uma base para .

6.7. Definicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Diremos que (X, )satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se existe uma base B para quee enumeravel.

6.8. Exemplo. R satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade: os inter-valos (a, b) com a < b racionais, formam uma base para os abertos.

Exerccios

6.A. Prove que o segundo axioma de enumerabilidade implica o primeiro.

6.B. Prove que os intervalos (a,), com a R, formam uma base parauma topologia 1 em R, mais fraca que a topologia usual. Prove que (R, 1)satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

6.C. Prove que os intervalos [a, b), com a < b em R, formam uma base parauma topologia 2 em R, mais fina que a topologia usual. (R, 2) e conhecidocomo a reta de Sorgenfrey.

6.D. Seja (X, ) um espaco topologico. Diremos que uma famlia C euma subbase para se as intersecoes finitas de membros de C formam uma basepara . Prove que os intervalos (a,), com a R, junto com os intervalos(, b), com b R, formam uma subbase para a topologia usual em R.

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7. Subespacos

7.1. Definicao. Seja (X, ) um espaco topologico, e seja S X. E claroque a famlia

S = {S U : U }e uma topologia em S, que chamaremos de topologia induzida. Diremos que(S, S) e um subespaco de (X, ), ou simplesmente que S e um subespaco de X.

7.2. Exemplos.(a) Z, com a topologia induzida por R, e um espaco topologico discreto.

(b) R e um subespaco de R2.

7.3. Proposicao. Seja S um subespaco de um espaco topologico X. Entao:(a) U e aberto em S se e so se U = S U1, sendo U1 aberto em X.(b) F e fechado em S se e so se F = S F1, sendo F1 fechado em X.(c) Se A S, entao AS = S AX .(d) Se x S, entao U e vizinhanca de x em S se e so se U = S U1, sendo

U1 uma vizinhanca de x em X.

Demonstracao. (a) e a propria definicao.

(b) Usando (a) vemos que: F e fechado em S S \ F e aberto em S S \ F = S U1, com U1 aberto em X F = S (X \ U1), com U1 aberto emX F = S F1, com F1 fechado em X.

(c) Usando (b) vemos que:

AS={F : F fechado em S, F A}

={S F1 : F1 fechado em X, F1 A} = S AX .

(d) Seja U1 uma vizinhanca de x em X. Entao existe um aberto V1 em Xtal que x V1 U1. Logo x S V1 S U1. Como S V1 e aberto em S,segue que S U1 e uma vizinhanca de x em S.

Reciprocamente seja U uma vizinhanca de x em S. Entao existe um abertoV de S tal que x V U . Entao V = S V1, com V1 aberto em X. Seja

U1 = V1 (U \ V ).

EntaoS U1 = V (U \ V ) = U.

Como x V1 U1, segue que U1 e uma vizinhanca de x em X.

18

Exerccios

7.A. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X.(a) Se X tem a topologia discreta, prove que S tambem tem a topologia

discreta.(b) SeX tem a topologia trivial, prove que S tambem tem a topologia trivial.

7.B. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X. Se X emetrizavel, prove que S e metrizavel tambem.

Sugestao: Use o Exerccio 2.C.

7.C. Seja X um espaco topologico, seja S um subespaco de X, e seja x S.(a) Se Bx e uma base de vizinhancas de x em X, prove que a famlia {SU :

U Bx} e uma base de vizinhancas de x em S.(b) Se X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz

o mesmo axioma.

7.D. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X.(a) Se B e uma base para a topologia de X, prove que a famlia {S U :

U B} e uma base para a topologia de S.(b) Se X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz

o mesmo axioma.

19

8. Funcoes contnuas

8.1. Definicao. Seja f : X Y , sendoX e Y espacos topologicos. Diremosque f e contnua num ponto a X se para cada aberto V de Y contendo f(a),existe um aberto U de X contendo a tal que f(U) V . Diremos que f econtnua se for contnua em cada pontos de X. Denotaremos por C(X;Y ) oconjunto de todas as funcoes contnuas f : X Y . Se Y = R, escreveremosC(X) em lugar de C(X;R).

8.2. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos topologicos.Seja Ba uma base de vizinhancas de um ponto a X, e seja Bf(a) uma base devizinhancas de f(a). Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contnua em a.(b) Para cada V Uf(a), existe U Ua tal que f(U) V .(c) Para cada V Bf(a), existe U Ba tal que f(U) V .Demonstracao. (a) (b): Seja V Uf(a). Seja V1 um aberto de Y

contendo f(a) tal que V1 V . Por (a) existe um aberto U1 de X contendo atal que f(U1) V1 V . E claro que U1 Ua.

(b) (c): Seja V Bf(a). Por (b) existe U Ua tal que f(U) V . SejaU1 Ba tal que U1 U . Entao f(U1) f(U) V .

(c) (a): Seja V um aberto de Y contendo f(a). Seja V1 Bf(a) tal queV1 V . Por (c) existe U1 Ba tal que f(U1) V1. Seja U um aberto de Xcontendo a tal que U U1. Entao f(U) f(U1) V1 V .

8.3. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos topologicos.Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contnua.(b) f1(V ) e aberto em X para cada aberto V de Y .(c) f1(B) e fechado em X para cada fechado B de Y .

Demonstracao. Basta repetir a demonstracao da Proposicao 2.10.

8.4. Proposicao. Sejam f : X Y e g : Y Z, sendo X, Y e Z espacostopologicos. Se f e contnua num ponto a X e g e contnua em f(a), entaog f e contnua em a.

Demonstracao. Utilizaremos a Proposicao 8.2. Seja W Ugf(a). Comog e contnua em f(a), existe V Uf(a) tal que g(V ) W . Como f e contnuaem a, existe U Ua tal que f(U) V . Segue que g(f(U)) g(V ) W .

8.5. Corolario. Sejam f : X Y e g : Y Z, sendo X, Y e Z espacostopologicos. Se f e g sao contnuas, entao g f e contnua tambem.

8.6. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja S um subespacode X. Se f : X Y e contnua, entao a restricao f |S : S Y e contnuatambem.

20

Demonstracao. Seja V um aberto de Y . Como f e contnua, f1(V ) eaberto em X. Segue que (f |S)1(V ) = S f1(V ) e aberto em S.

8.7. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos. Suponhamos que X =S1 S2, onde S1 e S2 sao ambos abertos ou ambos fechados. Seja f : X Yuma funcao tal que f |S1 : S1 Y e f |S2 : S2 Y sao contnuas. Entao f econtnua.

Demonstracao. Suponhamos S1 e S2 abertos. Seja V um aberto de Y .Como f |S1 e contnua, (f |S1)1(V ) = S1 f1(V ) e aberto em S1. Como f |S2e contnua, (f |S2)1(V ) = S2 f1(V ) e aberto em S2. Segue que

S1 f1(V ) = S1 U1 e S2 f1(V ) = S2(V ) U2,sendo U1 e U2 abertos em X. Como X = S1 S2, segue que

f1(V ) = (S1 f1(V )) (S2 f1(V )) = (S1 U1) (S2 U2)e aberto em X.

Deixamos como exerccio a demonstracao do caso em que S1 e S2 sao fecha-dos.

8.8. Definicao. Sejam X e Y espacos topologicos.(a) Diremos que f : X Y e um homeomorfismo se f e bijetiva e f e f1

sao contnuas.(b) Diremos que f : X Y e um mergulho se f e um homeomorfismo entre

X e o subespaco f(X) de Y .(c) Diremos que f : X Y e aberta se f(U) e aberto em Y para cada aberto

U de X.(d) Diremos que f : X Y e fechada se f(A) e fechado em Y para cada

fechado A de X.

O resultado seguinte e consequencia facil das definicoes e resultados anteri-ores.

8.9. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X Yuma funcao bijetiva. Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e um homeomorfismo.(b) f e contnua e aberta.(c) f e contnua e fechada.

Exerccios

X e Y denotam espacos topologicos.

8.A. Seja B uma base para a topologia de Y . Prove que uma funcao f :X Y e contnua se e so se f1(V ) e aberto em X para cada V B.

8.B. Prove que uma funcao f : X Y e contnua se e so se f(A) f(A)para cada A X.

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8.C. Prove que cada funcao constante f : X Y e contnua.8.D. Prove que se f : X R e g : X R sao contnuas num ponto a X,

entao as funcoes f + g e fg sao tambem contnuas em a.

8.E. Dado A X, a funcao caracterstica A : X R e definida porA(x) = 1 se x A e A(x) = 0 se x / A. Prove que a funcao A e contnua see so se A e aberto e fechado.

8.F. Seja X = N, com a topologia do Exerccio 4.F. Prove que uma funcaof : X X e contnua se e so se, cada vez que m divide n, tem-se que f(m)divide f(n).

8.G. Diremos que um conjunto D X e denso em X se D = X. Sejaf : X R uma funcao contnua tal que f(x) = 0 para todo x num subconjuntodenso D X. Prove que f(x) = 0 para todo x X.

8.H. Prove que os seguintes pares de intervalos sao homeomorfos entre si:(a) (a, b) e (0, 1).(b) (1,) e (0, 1).(c) (pi/2, pi/2) e (,).Use (a), (b) e (c) para provar que todos os intervalos abertos de R sao

homeomorfos entre si.

8.I. Seja f : X R. Diremos que f e semicontnua inferiormente sef1(a,) e aberto em X para cada a R. Diremos que f e semicontnuasuperiormente se f1(, b) e aberto em X para cada b R. Prove que f econtnua se e so se f e semicontnua inferiormente e semicontnua superiormente.

8.J. Seja A X.(a) Prove que A : X R e semicontnua inferiormente se e so se A e

aberto.(b) Prove que A : X R e semicontnua superiormente se e so se A e

fechado.

22

9. Produtos infinitos e o axioma da escolha

9.1. Definicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de conjuntos.Chamaremos de produto cartesiano da famlia {Xi : i I} o conjunto

iIXi = {x : I

iI

Xi : x(i) Xi para cada i I}.

Escreveremos xi em lugar de x(i) para cada x

iI e i I. Para cada j Ia projecao pij e definida por

pij : x iI

Xi xj Xj .

Cada x iI Xi e usualmente denotado por (xi)iI .Mesmo que cada Xi seja nao vazio, nao e claro que o produto

iI Xi seja

nao vazio. Isto e consequencia do axioma seguinte.

9.2. Axioma da escolha. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia deconjuntos disjuntos nao vazios. Entao existe uma funcao f : I iI Xi talque f(i) Xi para cada i I. A funcao f e chamada de funcao escolha.

9.3. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de conjuntosnao vazios. Entao o produto cartesiano

iI Xi e nao vazio.

Demonstracao. Se os conjuntos Xi fossem disjuntos, a conclusao seriaconsequencia imediata do axioma da escolha. No caso geral definamos Yi =Xi {i} para cada i I. E claro que {Yi : i I} e uma famlia nao vazia deconjuntos disjuntos nao vazios. Pelo axioma da escolha existe uma funcao f :I iI Yi tal que f(i) Yi para cada i I. Podemos escrever f(i) = (xi, i),com xi Xi para cada i I. Se definimos x(i) = xi para cada i I, entaox iI Xi.

Temos provado que o axioma da escolha implica a Proposicao 9.3. Mas eclaro que a Proposicao 9.3 implica o axioma da escolha. Assim o axioma daescolha e a Proposicao 9.3 sao equivalentes.

Vamos ilustrar o uso do axioma da escolha com um exemplo do dia a dia.Seja I um conjunto infinito, e seja Xi um par de sapatos para cada i I. Nestecaso nao precisamos do axioma da escolha para garantir que o produto

iI Xi

e nao vazio. Se definimos x(i) como sendo aquele sapato em Xi que correspondeao pe direito para cada i I, entao e claro que a funcao x : I iI Xi assimdefinida pertence a

iI Xi. Por outro lado seja Yi um par de meias para

cada i I. Como em geral nao ha como distinguir entre as duas meias de ummesmo par, nao temos como definir uma funcao y : I iI Yi que pertencaao produto

iI Yi sem usar o axioma da escolha.

23

Exerccios

9.A. Prove que o axioma da escolha e equivalente a` afirmacao seguinte: Seja{Xi : i I} uma famlia nao vazia de conjuntos disjuntos nao vazios. Entaoexiste um conjunto Y iI Xi tal que Y Xi contem um unico elemento paracada i I.

O exerccio seguinte mostra como conciliar a definicao usual de produtoscartesianos finitos, que vimos na Secao 1, com a definicao de produtos carte-sianos infinitos.

9.B. Sabemos que, dados n conjuntos X1, ..., Xn, o produto cartesiano X1...Xn e dado por

X1 ...Xn = {(x1, ..., xn) : xi Xi para i = 1, ..., n}.

Seja

(X1 ...Xn) = {x : {1, ..., n} X1 ...Xn : x(i) Xi para i = 1, ..., n}.

Ache uma aplicacao bijetiva entre X1 ...Xn e (X1 ...Xn).

24

10. O espaco produto

10.1. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, e seja X =

iI Xi. Seja

B = {iI

Ui : Ui e aberto em Xi para cada i I}.

Entao B e base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia dascaixas.

Demonstracao. E claro que B verifica as condicoes (a) e (b) da Proposicao6.6.

Se I = {1, ..., n} e Xi = R para cada i I, entao e claro que a topologiadas caixas coincide com a topologia usual em Rn. Mas se I e um conjuntoinfinito, entao a topologia das caixas, mesmo sendo bastante natural, e poucoconveniente. Mais adiante veremos varias propriedades P tais que, embora cadaXi tenha a propriedade P, o produto

iI Xi, com a topologia das caixas, nao

tem a propriedade P. Por essa razao a topologia usual no produto

iI Xi vemdada pela proposicao seguinte.

10.2. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, e seja X =

iI Xi. Seja B a famlia de todos os

produtos

iI Ui tais que:(a) Ui e aberto em Xi para cada i I;(b) Ui = Xi para cada i I \ J , com J I, J finito.Entao B e base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia

produto.

Demonstracao. E facil verificar que B verifica as condicoes (a) e (b) daProposicao 6.6. E conveniente notar que cada U B pode ser escrito na forma

U = (jJ

Uj) (iI\J

Xi) =jJ

pi1j (Uj).

10.3. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, e seja X =

iI Xi. A topologia produto e a topologia

mais fraca em X tal que todas as projecoes pij : X Xj sao contnuas.Demonstracao. Seja p a topologia produto. Se Uj e aberto em Xj , entao

pi1j (Uj) pertence a B, e e portanto aberto em (X, p). Logo pij : X Xj econtnua para cada j I.

Seja uma topologia em X tal que pij : (X, ) Xj e contnua para cadaj I. Provaremos que p . Para isso basta provar que cada U B pertencea . Se U B, entao

U =jJ

pi1j (Uj),

25

com J finito e Uj aberto em Xj para cada j J . Segue que pi1j (Uj) e abertoem (X, ) para cada j J , e dai U e aberto em (X, ).

A menos que digamos o contrario, sempre consideraremos o produto carte-siano

iI Xi com a topologia produto.

10.4. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos, e seja X =

iI Xi. Seja Y um espaco topologico, e seja g : Y

X. Entao a funcao g e contnua se e so se a funcao composta pij g : Y Xje contnua para cada j I.

Demonstracao. A implicacao e imediata.() Suponhamos que pij g : Y Xj seja contnua para cada j I. Para

provar que g : Y X e contnua, basta provar que g1(U) e aberto em Y paracada U B. Se U B, entao

U =jJ

pi1j (Uj),

com J finito e Uj aberto em Xj para cada j J . Logo

g1(U) =jJ

g1(pi1j (Uj)) =iI

(pij g)1(Uj).

Como pij g : Y Xj e contnua para cada j, segue que g1(U) e aberto emY .

Os resultados anteriores motivam o conceito seguinte:

10.5. Proposicao. Seja X um conjunto, seja {Xi : i I} uma famlia deespacos topologicos, e seja fi : X Xi para cada i I. Seja

B = {jJ

f1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}.

Entao:(a) B e base para uma topologia w em X.(b) w e a topologia mais fraca em X tal que fi : X Xi e contnua para

cada i I.(c) Se Y e um espaco topologico, entao uma funcao g : Y X e contnua

se e so se fi g : Y Xi e contnua para cada i I.Diremos que w e a topologia fraca em X definida pela famlia de funcoes

{fi : i I}.Demonstracao. Nao e difcil adaptar as demonstracoes dos resultados

anteriores.

10.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico, que tem a topologiafraca definida por uma famlia de funcoes fi : X Xi (i I). Seja S um

26

subespaco topologico de X. Entao S tem a topologia fraca definida pela famliade restricoes fi|S : S Xi (i I).

Demonstracao. Nos sabemos que

BX = {jJ

f1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}

e base para a topologia de X, e que

BS = {S jJ

f1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}

e base para a topologia de S. Como

S jJ

f1j (Uj) =jJ

S f1j (Uj =jJ

(fj |S)1(Uj),

vemos que S tem a topologia fraca definida pela famlia de restricoes fi|S : S Xi (i I).

10.7. Definicao. Seja fi : X Xi para cada i I. Diremos que a famlia{fi : i I} separa os pontos de X se dados x 6= y em X, existe i I tal quefi(x) 6= fi(y).

A proposicao seguinte da condicoes necessarias e suficientes para que umespaco topologico seja homeomorfo a um subespaco de um espaco produto.

10.8. Proposicao. Seja fi : X Xi para cada i I, sendo X e cada Xiespacos topologicos. Seja

: x X (fi(x))iI iI

Xi.

Entao e um mergulho se e so se se verificam as seguintes condicoes:(a) A famlia {fi : i I} separa os pontos de X.(b) X tem a topologia fraca definida pela famlia {fi : i I}.A aplicacao e chamada de avaliacao.

Demonstracao. Notemos que pii = fi, para cada i.() Por hipotese e um homeomorfismo entre X e o subespaco (X) de

iI Xi.Como e injetivo, e claro que {fi : i I} separa os pontos de X.Pela Proposicao 10.6 (X) tem a topologia fraca definida pela famlia de

restricoespii|(X) : (X) Xi.

Como : X (X) e um homeomorfismo, segue que X tem a topologia fracadefinida pela famlia de funcoes

(pii|(X)) = fi : X Xi.

27

() Como {fi : i I} separa os pontos de X, e claro que e injetivo.Segue de (b) que pii = fi : X Xi e contnua para cada i I. Logo

: X iI Xi e contnua. Para provar que e um mergulho provaremos que : X (X) e aberta. Por (b) a famlia

B = {jJ

f1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}

e uma base para X. Seja U =jJ f

1j (Uj) B. Entao

U =jJ

(pij )1(Uj) =jJ

1(pi1j (Uj)).

Como e injetiva,

(U) =jJ

(1(pi1j (Uj))) =jJ

(X) pi1j (Uj) = (X) jJ

pi1j (Uj).

Logo (U) e aberto em (X), como queriamos.

Exerccios

10.A. Seja {Xi : i I} uma famlia de espacos topologicos, e seja X =iI Xi. Prove que cada projecao pii : X Xi e uma funcao aberta.10.B. Prove que as projecoes canonicas em R2 nao sao funcoes fechadas.

10.C. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacos topologicos naovazios, e seja X =

iI Xi. Prove que cada Xi e homeomorfo a um subespaco

de X.

10.D. Um espaco topologico X e dito nao trivial se tiver pelo menos doispontos, e trivial em caso contrario. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia deespacos topologicos nao vazios. Suponhamos que exista J , 6= J I tal queXi e trivial para todo i I \ J . Prove que

iI Xi e homeomorfo a

jJ Xj .

10.E. Se i < i para cada i I, prove que o produto

iI [i, i] ehomeomorfo ao produto [0, 1]I .

10.F. Seja S um subespaco de um espaco topologico X. Prove que a topolo-gia de X coincide com a topologia fraca definida pela inclusao S X.

28

11. O espaco quociente

11.1. Proposicao. Seja X um espaco topologico, seja Y um conjunto, eseja pi : X Y uma aplicacao sobrejetiva. Entao a colecao

pi = {V Y : pi1(V ) e aberto em X}e uma topologia em Y , que chamaremos de topologia quociente definida por pi.

A demonstracao e simples e e deixada como exerccio.

11.2. Definicao. Diremos que pi : X Y e uma aplicacao quociente seX e um espaco topologico, pi : X Y e uma aplicacao sobrejetiva e Y tem atopologia quociente definida por pi.

11.3. Proposicao. Seja pi : X Y uma aplicacao quociente. Entaoa topologia quociente e a topologia mais fina em Y tal que a aplicacao pi econtnua.

A proposicao e consequencia imediata da definicao de pi.

11.4. Proposicao. Seja pi : X Y uma aplicacao quociente e seja Z umespaco topologico. Entao uma funcao g : Y Z e contnua se e so se a funcaocomposta g pi : X Z e contnua.

Demonstracao. A implicacao e imediata. Para provar a implicacaooposta, sejaW um aberto de Z. Como gpi e contnua, temos que (gpi)1(W ) =pi1(g1(W )) e aberto em X. Segue que g1(W ) e aberto em Y .

11.5. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja pi : X Yuma aplicacao sobrejetiva e contnua. Se pi e aberta ou fechada, entao a topologia de Y coincide com a topologia quociente pi.

Demonstracao. Suponhamos que pi seja aberta. Como pi e contnua, eclaro que pi. Para provar que pi , seja V pi. Entao pi1(V ) e abertoem X. Como pi e aberta e sobrejetiva, segue que V = pi(pi1(V )) .

Quando pi e fechada, a demonstracao e parecida.

11.6. Exemplo. Seja

S1 = {(x, y) R2 : x2 + y2 = 1}e seja

pi : t [0, 2pi] (cost, sent) S1.Claramente pi e sobrejetiva e contnua. Usando resultados de compacidade emRn nao e difcil provar que pi e fechada. Logo S1 tem a topologia quocientedefinida por pi.

11.7. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Seja D uma famlia desubconjuntos disjuntos de X cuja uniao e X. Seja

D = {A D :{A : A A} e aberto em X}.

29

Entao D e uma topologia em D. Diremos que D e uma decomposicao de X.Dado x X seja P (x) o unico elemento de D que contem x. A aplicacaoP : X D assim definida e chamada de aplicacao decomposicao.

Demonstracao. E claro que ,D D.Se Ai D para cada i I, entao

iI Ai D, pois

{A : A iIAi} =

iI

{A : A Ai}

e aberto em X.Se A,B D, entao A B D, pois

{C : C A B} = ({A : A A}) (

{B : B B}

e aberto em X. Para provar a igualdade anterior e necessario observar que seA,B D e A B 6= , entao A = B.

11.8. Proposicao. Toda aplicacao decomposicao P : X D e umaaplicacao quociente.

Demonstracao. Se A D, e claro que

P1(A) = {x X : P (x) A} ={A : A A}.

Segue queD = {A D : P1(A) e aberto em X}.

Logo D e a topologia quociente definida por P .

Reciprocamente temos o resultado seguinte.

11.9. Proposicao. Seja pi : X Y uma aplicacao quociente. Entao existeuma aplicaao decomposicao P : X D e existe um homeomorfismo f : Y Dtal que f pi = P .

Demonstracao. Seja

D = {pi1(y) : y Y }.Como pi e sobrejetiva, e claro que D e uma decomposicao de X. Seja P : X Da aplicacao canonica. Seja f : Y D definida por f(y) = pi1(y) para caday Y . E claro que f e bijetiva. Como f(pi(x)) = pi1(pi(x)) contem x, segueque f(pi(x)) = P (x) para cada x X.

Como f pi = P e contnua, segue que f e contnua. E como f1 P = pi econtnua, segue que f1 e contnua.

11.10. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja uma relacao deequivalencia em X. A decomposicao D formada pelas classes de equivalenciadefinidas pela relacao e denotada por X/ e e chamada de espaco de iden-tificacao de X modulo .

30

11.11. Exemplos.(a) Ja vimos que o crculo unitario S1 e um quociente do intervalo [0, 2pi].

AquiD = {{x} : 0 < x < 2pi} {{0, 2pi}}.

Para x, y [0, 2pi], tem-se que x y se x y e um multiplo inteiro de 2pi.(b) Seja X = [0, 2pi] [0, 2pi]. Dados (x1, y1), (x2, y2) X, definamos

(x1, y1) (x2, y2) se x1 x2 e um multiplo inteiro de 2pi e y1 = y2. Entao e uma relacao de equivalencia em X e o espaco de identificacao X/ ehomeomorfo ao cilindro S1 [0, 2pi]. A aplicacao quociente vem dada por

pi : (x, y) [0, 2pi] [0, 2pi] ((cosx, senx), y) S1 [0, 2pi].

(c) SejaX = [0, 2pi][0, 2pi]. Dados (x1, y1), (x2, y2) X definamos (x1, y1) (x2, y2) se x1x2 e um multiplo inteiro de 2pi e y1 = y2 ou se x1 = x2 e y1 y2e um multiplo inteiro de 2pi. Neste caso X/ e homeomorfo ao toro S1 S1.A aplicacao quociente vem dada por

pi : (x, y) [0, 2pi] [0, 2pi] ((cosx, senx), (cosy, seny)) S1 S1.

(d) Seja X = [0, 2pi] [0, 2pi]. Dados (x1, y1), (x2, y2) X definamos(x1, y1) (x2, y2) se x1 x2 e um multiplo inteiro de 2pi e y1 + y2 = 2pi.Neste caso X/ e homeomorfo a` fita de Mobius.

Exerccios

11.A. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja pi : X Y uma aplicacaosobrejetiva. Prove que e condicao necessaria e suficiente para que pi seja umaaplicacao quociente que B seja fechado em Y se e so se pi1(B) e fechado emX.

11.B. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja pi : X Y uma aplicacaocontnua. Se existir uma aplicacao contnua : Y X tal que pi (y) = ypara todo y Y , prove que pi e uma aplicacao quociente.

11.C. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja pi : X Y uma aplicacaoquociente.

(a) Prove que pi e aberta se e so se pi1(pi(U)) e aberto em X para cadaaberto U de X.

(b) Prove que pi e fechada se e so se pi1(pi(A)) e fechado em X para cadafechado A de X.

11.D. Seja X = [0, 1], com a topologia induzida por R. Seja Y = {0, 1}, eseja pi : X Y a funcao caracterstica do intervalo [1/2, 1].

(a) Prove que a topologia quociente pi em Y vem dada por pi = {, Y, {0}}.Y e o espaco de Sierpinski, que encontramos no Exerccio 3.B.

(b) Prove que pi nao e aberta nem fechada.

31

12. Convergencia de sequencias

12.1. Definicao. Seja X um espaco metrico. Diremos que uma sequencia(xn)n=1 X converge a um ponto x X se dado > 0 existe n0 N tal qued(xn, x) < para todo n n0. Neste caso escreveremos xn x.

12.2. Proposicao. Seja X um espaco metrico, e sejam A X e x X.Tem-se que x A se e so se existe uma sequencia (xn)n=1 A que converge ax.

Demonstracao. Pela Proposicao 5.8 x A se e so se A B(x; ) 6= paracada > 0.

() Se x A, entao existe xn AB(x; 1/n) para cada n N. Segue quexn x.

() Suponhamos que exista (xn)n=1 A tal que xn x. Entao, dado > 0existe n0 N tal que d(xn, x) < para todo n n0. Segue que AB(x; ) 6= para todo > 0. Logo x A.

12.3. Corolario. Seja X um espaco metrico, e seja A X. Entao A efechado se e so se, cada vez que (xn)n=1 A e xn x, entao x A.

12.4. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaof e contnua num ponto a X se e so se, cada vez que xn a em X, entaof(xn) f(a) em Y .

Demonstracao. () Se f e contnua em a, entao, dado > 0, existe > 0tal que f(B(a; )) B(f(a); ). Se xn a, existe n0 N tal que d(xn, a) < para todo n n0. Segue que d(f(xn), f(a)) < para todo n n0. Logof(xn) f(a).

() Se f nao e contnua em a, entao existe > 0 tal que para cada > 0tem-se que f(B(a; )) 6 B(f(a); ). Em particular para cada n N existexn B(a; 1/n) tal que f(xn) / B(f(a); ). Segue que xn a em X, masf(xn) 6 f(a) em Y .

12.5. Definicao. SejaX um espaco topologico. Diremos que uma sequencia(xn)n=1 X converge a um ponto x X se dado U Ux existe n0 N talque xn U para todo n n0. Neste caso escreveremos xn x.

Na definicao anterior podemos trocar o sistema de vizinhancas Ux por qual-quer base de vizinhancas Bx.

12.6. Definicao. Seja (xn)n=1 uma sequencia em X. Chamaremos desubsequencia de (xn)n=1 qualquer sequencia da forma (xnk)

k=1, sendo (nk)

k=1

uma sequencia estritamente crescente em N.

Exerccios

X e Y denotam espacos topologicos.

12.A. Se (xn)n=1 converge a x, prove que qualquer subsequencia (xnk)k=1

32

tambem converge a x.

12.B. Seja A X.(a) Prove que, se existir uma sequencia (xn)n=1 A tal que xn x, entao

x A.(b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade.

Prove que, se x A, entao existe uma sequencia (xn)n=1 A tal que xn x.12.C. Seja f : X Y , e seja a X.(a) Prove que, se f e contnua em a, entao, cada vez que xn a em X,

tem-se que f(xn) f(a) em Y .(b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade.

Prove que, se cada vez que xn a em X tem-se que f(xn) f(a) em Y , entaof e contnua em a.

12.D. Seja X =

iI Xi o produto cartesiano de uma famlia de espacostopologicos. Prove que xn x em X se e so se pii(xn) pii(x) em Xi paracada i I.

12.E. Seja X = RR. Prove que fn f em X se e so se fn(t) f(t) emR para cada t R.

12.F. Seja X = RR e seja M = {A : A R, A finito} X.(a) Prove que R M .(b) Prove que nao existe nenhuma sequencia (An)

n=1 M tal que An

R.(c) Prove que X nao satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

12.G. Seja (xn)n=1 uma sequencia emX e seja x X. Se cada subsequenciade (xn)n=1 admite uma subsequencia que converge a x, prove que (xn)

n=1

converge a x.

33

13. Convergencia de redes

13.1. Definicao. Um conjunto , junto com uma relacao , e chamado deconjunto dirigido se verifica as seguintes propriedades:

(a) para todo .(b) Se e , entao .(c) Dados , , existe tal que e .13.2. Exemplos.(a) N, com a relacao de ordem usual, e um conjunto dirigido.

(b) Seja X um espaco topologico, e seja x X. Se definimos U V quandoU V , entao o sistema de vizinhancas Ux e um conjunto dirigido. De maneiraanaloga, qualquer base de vizinhancas Bx e um conjunto dirigido.

13.3. Definicao. Seja X um espaco topologico.(a) Chamaremos de rede em X qualquer funcao da forma x : X, sendo

um conjunto dirigido. Escreveremos x em lugar de x(), e falaremos da rede(x).

(b) Diremos que a rede (x) converge a um ponto x X se dada U Ux,existe 0 I tal que x U para todo 0. Neste caso escreveremos x x.

E claro que a definicao em (b) nao muda se trocamos o sistema de vizinhancasUx por qualquer base de vizinhancas Bx.

13.4. Exemplos. Seja X um espaco topologico.(a) Qualquer sequencia em X e uma rede, e a convergencia de redes gener-

aliza a convergencia de sequencias.

(b) Seja x X. Se escolhemos xU U para cada U Ux, entao (xU )UUxe uma rede em X que converge a x.

(c) Seja x X, e seja Bx uma base de vizinhancas de x. Se escolhemosxU U para cada U Bx, entao (xU )UBx e uma rede em X que converge a x.

Notemos que, nos Exemplos 13.4(b) e 13.4(c) estamos usando a Proposicao9.3, ou seja o axioma da escolha.

O resultado seguinte generaliza a Proposicao 12.2.

13.5. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e sejam A X e x X.Tem-se que x A se e so se existe uma rede (x) A que converge a x.

Demonstracao. Pela Proposicao 5.8, x A se e so se U A 6= para cadaU Ux.

() Se x A, podemos escolher xU U A para cada U Ux. Entao arede (xU )UUx esta contida em A e converge a x.

34

() Seja (x) uma rede em A que converge a x. Dado U Ux, existe0 tal que x U para todo 0. Em particular x0 U A. Segueque x A.

O resultado seguinte generaliza a Proposicao 12.4.

13.6. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos topologicos.Entao f e contnua num ponto x X se e so se, para cada rede (x) queconverge a x em X, a rede (f(x)) converge a f(x) em Y .

Demonstracao. Pela Proposicao 8.2, f e contnua em x se e so se, dadoV Uf(x), existe U Ux tal que f(U) V .

() Suponhamos que f seja contnua em x. Seja (x) uma rede em Xque converge a x. Entao, dada V Uf(x), existe U Ux tal que f(U) V .Seja 0 tal que x U para todo 0. Entao f(x) f(U) V paratodo 0. Logo f(x) f(x).

() Suponhamos que f nao seja contnua em x. Entao existe V Uf(x) talque f(U) 6 V para todo U Ux. Se escolhemos xU U tal que f(xU ) / Vpara cada U Ux, entao xU x, mas f(xU ) 6 f(x).

13.7. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, e seja X =

iI Xi. Entao uma rede (x) converge

a x em X se e so se a rede (pii(x)) converge a pii(x) em Xi para cada i I.

Demonstracao. () Se x x em X, entao pii(x) pii(x) em Xi, paracada i I, pois cada pii e contnua.

() Suponhamos que pii(x) pii(x) para cada i I. Seja U uma vizin-hanca aberta basica de x em X, ou seja

x U =jJ

pi1j (Uj), com J finito, Uj aberto em Xj .

Para cada j J pij(x) Uj . Logo existe j tal que

pij(x) Uj para todo j .

Como e um conjunto dirigido existe 0 tal que 0 j para cada j J .Segue que

x jJ

pi1j (Uj) para todo 0.

Logo x x.13.8. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x) uma rede

em X. Diremos que x X e um ponto de acumulacao de (x) se dadosU Ux e 0 , existe , 0, tal que x U .

Se (x) converge a x, e claro que x e ponto de acumulacao de (x).

35

13.9. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja x : X umarede em X. Chamaremos de subrede de x : X qualquer rede da formax : M X, sendo M um conjunto dirigido, e sendo : M uma funcaocom as seguintes propriedades:

(a) 1 2 implica (1) (2) ( e crescente);(b) dado , existe M tal que () ( e cofinal).A subrede x : M X sera denotada por (x())M .13.10. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x) uma

rede em X. Entao x X e um ponto de acumulacao de (x) se e so seexiste uma subrede de (x) que converge a x.

Demonstracao. () Seja (x())M uma subrede de (x) que con-verge a x. Sejam U Ux e 0 dados. Por um lado existe 1 M tal que(1) 0. Por outro lado existe 2 M tal que x() U para todo 2.Seja M tal que 1 e 2. Segue que () (1) 0 e x() U .Logo x e ponto de acumulacao de (x).

() Seja x um ponto de acumulacao de (x). Seja

M = {(,U) Ux : x U}.

Definamos (1, U1) (2, U2) se 1 2 e U1 U2. Claramente M e umconjunto dirigido. Definamos : M por (,U) = . Claramente(x())M e uma subrede de (x). Provaremos que x() x. SejaU0 Ux. Como x e ponto de acumulacao de (x), existe 0 tal quex0 U . Entao (0, U0) M e e claro que x U0 para todo (,U) M talque (,U) (0, U0). Ou seja x() x.

13.11. Definicao. Diremos que uma rede (x) em X e uma redeuniversal ou ultrarede se dado A X existe 0 tal que

{x : 0} A ou {x : 0} X \A.

E claro que toda rede constante e uma rede universal, chamada de redeuniversal trivial.

13.12. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x) uma redeuniversal em X. Se x e um ponto de acumulacao de (x), entao (x)converge a x.

Demonstracao. Seja U Ux. Como (x) e rede universal, existe0 tal que

{x : 0} U ou {x : 0} X \ U.

Como x e ponto de acumulacao de (x), existe 0 tal que x U . Segueque

{x : 0} U.

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Logo x x.

Exerccios

13.A. Se uma rede (x) converge a x, prove que qualquer subrede de(x) tambem converge a x.

13.B. Se x e ponto de acumulacao de uma subrede de (x), prove que xe ponto de acumulacao de (x).

13.C. Seja x um ponto de acumulacao de uma rede (x) no produtoX =

iI Xi. Prove que pii(x) e ponto de acumulacao da rede (pii(x)) em

Xi para cada i I.13.D. Seja (x) uma rede em X, e seja x X. Se cada subrede de

(x) admite uma subrede que converge a x, prove que (x) converge ax.

13.E. Prove que cada subrede de uma rede universal e uma rede universal.

13.F. Seja f : X Y . Se (x) e uma rede universal em X, prove que(f(x)) e uma rede universal em Y .

37

14. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo

14.1. Definicao. Chamaremos de relacao de ordem parcial num conjuntoX uma relacao em X com as seguintes propriedades:

(a) x x para todo x X ( e reflexiva);(b) se x y e y x, entao x = y ( e antisimetrica);(c) se x y e y z, entao x z ( e transitiva).Neste caso diremos que X e um conjunto parcialmente ordenado.

Diremos que e uma relacao de ordem total se alem de verificar (a), (b) e(c), tambem verifica

(d) dados x, y X, tem-se que x y ou y x.Neste caso diremos que X e um conjunto totalmente ordenado.

14.2. Exemplos.(a) Se X e um conjunto, entao a relacao de inclusao e uma relacao de ordem

parcial em P(X).(b) A relacao de ordem usual em R e uma relacao de ordem total.

14.3. Definicao. Seja X um conjunto parcialmente ordenado, e seja A X.

(a) Se existir a0 A tal que a0 a para todo a A, diremos que a0 e oelemento mnimo de A. De maneira analoga definimos elemento maximo.

(b) Se existir a0 A tal que a = a0 sempre que a A e a a0, diremosque a0 e um elemento minimal de A. De maneira analoga definimos elementominimal.

(c) Se existir c X tal que c a para todo a A, diremos que A e limitadoinferiormente e que c e uma cota inferior de A. De maneira analoga definimosconjunto limitado superiormente e cota superior.

(d) Diremos que A e uma cadeia em X se A e totalmente ordenado sob arelacao de ordem parcial induzida por X.

(e) Diremos que A e bem ordenado se cada subconjunto nao vazio de Apossui um elemento mnimo.

14.4. Exemplos.(a) N, com a ordem usual, e um conjunto bem ordenado.(b) R, com a ordem usual, e um conjunto totalmente ordenado, que nao e

bem ordenado: o intervalo aberto (a, b) nao possui elemento mnimo.

14.5. Lema de Zorn. Seja X um conjunto parcialmente ordenado naovazio tal que cada cadeia em X e limitada superiormente. Entao X possui pelomenos um elemento maximal.

14.6. Teorema de Zermelo. Cada conjunto nao vazio pode ser bemordenado.

38

14.7. Teorema. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:(a) O axioma da escolha.(b) O lema de Zorn.(c) O teorema de Zermelo.

Demonstracao. (b) (c): Seja X um conjunto nao vazio. Seja F a famliade todos os pares (A,A) tais que 6= A X e (A,A) e um conjunto bemordenado. E facil verificar que F e um conjunto parcialmente ordenado naovazio se definimos (A,A) (B,B) quando:

(i) A B;(ii) se x, y A, entao x A y se e so se x B y;(iii) se x A e y B \A, entao x B y.Provaremos que cada cadeia em F e limitada superiormente. De fato, seja

{(Ai,Ai) : i I} uma cadeia em F , e seja A =iI Ai. Dados x, y A

definamos x A y se x, y Ai e x Ai y. E facil verificar que a relacao A estabem definida, e e uma relacao de ordem parcial em A. Afirmamos que (A,A)e um conjunto bem ordenado. Seja 6= B A, e seja

J = {j I : B Aj 6= }.

Notemos que A coincide com Ai em Ai para cada i I. Como (Ai,Ai)e bem ordenado para cada i I, segue que todos os conjuntos B Aj , comj J , tem o mesmo elemento mnimo, que denotaremos por b0. Segue que b0 eo elemento mnimo de B. Logo (A,A) e bem ordenado, ou seja pertence a F .Agora e claro que (A,A) e uma cota superior da cadeia {(Ai,Ai) : i I}.

Pelo lema de Zorn, F possui pelo menos um elemento maximal (A,A).Segue da maximalidade de (A,A) que A = X. Logo (X,X) e um conjuntobem ordenado.

(c) (a): Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de conjuntos nao vazios.Pelo teorema de Zermelo, existe uma boa ordenacao para

iI Xi. Para cada

i I seja f(i) o elemento mnimo de Xi. Entao f

iI Xi.

(a) (b): Esta e a implicacao mais difcil de provar. Seja X um conjuntoparcialmente ordenado nao vazio no qual cada cadeia e limitada superiormente.

Seja X a famlia de todas as cadeias de X. Entao X e um conjunto parcial-mente ordenado nao vazio, por inclusao de conjuntos.

A estrategia da demonstracao e trabalhar com a famlia de conjuntos X , quee parcialmente ordenada por inclusao, em lugar de trabalhar com o conjuntoparcialmente ordenado abstrato X. Depois de provar que X possui um elementomaximal, sera facil provar que X possui um elemento maximal.

O primeiro passo e caracterizar os elementos maximais de X . Para cadaC X seja

C = {x X : C {x} X}.E claro que C C. Alem disso, C e maximal em X se e so se C = C.

39

Pelo axioma da escolha, existe uma funcao f : P(X) \ {} X tal quef(A) A para cada A P(X) \ {}.

Seja g : X X definida por:

g(C) = C se C = C,

g(C) = C {f(C \ C)} se C 6= C.A funcao g esta bem definida, pois se C 6= C, entao f(C \C) C \C, e portantoC {f(C \ C)} X . Alem disso, C e maximal em X se e so se g(C) = C.

Diremos que uma famlia T X e uma torre se:(i) T ;(ii) se C T , entao g(C) T ;(iii) se C e uma cadeia em T , entao C T .E claro que X e uma torre. E claro que a intersecao de uma famlia de torres

e uma torre. Seja T0 a intersecao de todas as torres de X . Entao T0 e a menortorre de X . Nosso proximo objetivo e provar que T0 e uma cadeia em X . Istovai nos dar muito trabalho.

Diremos que C T0 e comparavel se dado D T0, tem-se que C D ouD C.

Para provar que T0 e cadeia, basta provar que cada C T0 e comparavel.Para provar que cada C T0 e comparavel, basta provar que os conjuntos

comparaveis em T0 formam uma torre.E claro que e comparavel. E claro tambem que se C e uma cadeia de

conjuntos comparaveis, entao C e comparavel. O mais difcil vai ser provar

que se C e comparavel, entao g(C) e comparavel tambem.

Fixemos C T0, C comparavel.Afirmamos que se D T0 e D C, D 6= C, entao g(D) C. Como T0 e

torre, g(D) T0. Como C e comparavel, tem-se que g(D) C ou C g(D),C 6= g(D). Mas C g(D), C 6= g(D) e impossvel, pois D C, D 6= C eg(D) = D ou g(D) = D {x}.

SejaU = {D T0 : D C ou g(C) D}.

Afirmamos que U e uma torre. E claro que U . E claro tambem quese D e uma cadeia em U , entao D U . Falta provar que se D U , entaog(D) U . Ha tres possibilidades:

(i) D C, D 6= C. Neste caso ja sabemos que g(D) C, e portantog(D) U .

(ii) D = C. Neste caso g(D) = g(C), e portanto g(D) U .(iii) g(C) D. Neste caso g(D) D g(C), e portanto g(D) U .Como U e torre e U T0, segue que U = T0. Logo, dado D T0 = U ,

tem-se que D C g(C) ou g(C) D. Logo g(C) e comparavel.

40

Temos provado assim que os conjuntos comparaveis de T0 formam uma torre.Segue que cada C T0 e comparavel, e dai T0 e uma cadeia em X .

Como T0 e torre, temos que C0 := T0 T0. Como T0 e torre, temos que

g(C0) T0, e portanto g(C0) = C0. Logo C0 e maximal em X .Por hipotese existe m X tal que c m para todo c C0. Como C0 e uma

cadeia maximal, e claro que m C0.Afirmamos que m e um elemento maximal em X. De fato seja n X, com

m n. Como C0 e uma cadeia maximal, segue que n C0. Logo n m, eportanto n = m. Isto completa a demonstracao.

Exerccios.

14.A. Seja X = {n N : n 2}. Dados m,n X, definamos m n se mdivide n.

(a) Prove que e uma relacap de ordem parcial em X.(b) Prove que, dada uma cadeia C X e um elemento n C, existe apenas

um numero finito de elementos n1, ..., nk C que dividem n.(c) Prove que cada cadeia C X e limitada inferiormente.(d) Identifique os elementos minimais de X.

14.B. Seja (X,) um conjunto totalmente ordenado com pelo menos doiselementos. Dados x, y X, escreveremos x < y se x y e x 6= y.

(a) Prove que os conjuntos {x X : a < x}, com a X, junto com osconjuntos {x X : x < b}, com b X, formam uma sub-base para umatopologia em X, chamada de topologia da ordem.

(b) Prove que a topologia usual em R coincide com a topologia da ordemusual em R.

14.C. Seja E um espaco vetorial, E 6= {0}. Usando o lema de Zorn proveque cada subconjunto linearmente independente de E esta contido em algumabase de E.

14.D. Sejam E e F espacos vetoriais sobre o mesmo corpo, seja E0 umsubespaco vetorial de E, e seja T0 : E0 F uma aplicacao linear. Use o lemade Zorn para provar a existencia de uma aplicacao linear T : E F tal queTx = T0x para todo x E0.

14.E. Seja A um anel comutativo com elemento unidade. Um conjuntoI A e chamado de ideal se verifica as seguintes condicoes:

(a) x y I para todo x, y I;(b) xy I para todo x I, y A.Um ideal I 6= A e chamado de ideal proprio. Um ideal proprio que nao esta

contido em nenhum outro ideal proprio e chamado de ideal maximal. Use o lemade Zorn para provar que cada ideal proprio de A esta contido em algum idealmaximal.

41

15. Convergencia de filtros

15.1. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio. Diremos que uma famlianao vazia F P(X) e um filtro em X se verifica as seguintes condicoes:

(a) A 6= para todo A F ;(b) se A,B F , entao A B F ;(c) se A F e A B X, entao B F .15.2. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio. Diremos que uma famlia

nao vazia B P(X) e uma base de filtro em X se a famliaF = {A X : A B para algum B B}

e um filtro em X. Neste caso diremos que F e o filtro gerado por B.E claro que todo filtro em X e uma base de filtro em X.

15.3. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Uma famlia naovazia B P(X) e uma base de filtro em X se e so se se verificam as seguintescondicoes:

(a) A 6= para todo A B;(b) dados A,B B, existe C B tal que C A B.Demonstracao. () Suponhamos que a famlia

F = {A X : A B para algum B B}seja um filtro em X. E claro que B F , e portanto (a) vale. Para provar (b)sejam A,B B F . Entao A B F , e dai A B C para algum C B.

() Supondo (a) e (b) queremos provar que a famliaF = {A X : A B para algum B B}

e um filtro em X.Seja A F . Entao A B para algum B B. Como B 6= , segue que

A 6= .Sejam A1, A2 F . Entao A1 B1 e A2 B2, com B1, B2 B. Existe

B3 B tal que B3 B1 B2. Segue que A1 A2 B1 B2 B3, e portantoA1 A2 F .

Finalmente sejam A1 F e A1 A2 X. A1 B1 para algum B1 B.Segue que A2 A1 B1, e portanto A2 F .

15.4. Exemplos.(a) Seja X um conjunto, seja 6= B X, e seja B = {B}. E claro que B e

uma base de filtro em X. O filtro gerado por B e a famlia F = {A : B A X}.

(b) Seja X um espaco topologico, e seja x X. Entao o sistema de vizin-hancas Ux e um filtro em X. Qualquer base de vizinhancas Bx e uma base defiltro em X que gera o filtro Ux.

42

(c) A famlia B = {(a,) : a R} e uma base de filtro em R.15.5. Definicao. Uma base de filtro B em X e dita fixa se B 6= , e livre

seB = .Seja F o filtro gerado por B. E claro que F e fixo se e so se B e fixa.Os filtros ou bases de filtro dos Exemplos 15.4 (a) e 15.4 (b) sao fixos. A

base de filtro do Exemplo 15.4 (c) e livre.

15.6. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja B uma base de filtroem X. Diremos que B converge a um ponto x X, e escreveremos B x, sedado U Ux, existe B B tal que B U .

E claro que um filtro F converge a x se e so se Ux F . E claro tambem queuma base de filtro B converge a x se e so se o filtro gerado por B converge a x.

Trabalhar com filtros ou com bases de filtro e equivalente. Em geral, escolher-emos um ou outro, de maneira que os enunciados fiquem maissimples.

15.7. Exemplos. Seja X um espaco topologico, e seja x X. Entaoo sistema de vizinhancas Ux converge a x. Qualquer base de vizinhancas Bxconverge a x.

15.8. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e sejam E X e x X.Tem-se que x E se e so se existe um filtro F em X tal que E F e F x.

Demonstrac ao. Sabemos que x E se e so se U E 6= para todoU Ux.

() Seja F um filtro em X tal que E F e F x. Como F x, tem-seque Ux F . Segue que U E F , e portanto U E 6= para todo U Ux.Logo x E.

() Suponhamos que x E. Seja

B = {U E : U Ux}.

E claro que B e uma base de filtro em X, e que B x. Seja F o filtro geradopor B. E claro que E F e F x.

15.9. Proposicao. Seja B uma base de filtro em X, e seja f : X Y umafuncao qualquer. Entao a famlia

f(B) = {f(B) : B B}

e uma base de filtro em Y .

Demonstracao: exerccio.

15.10. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X Y .Entao f e contnua num ponto x X se e so se f(B) f(x) para cada basede filtro B em X que converge a x.

43

Demonstracao. Sabemos que f e contnua em x se e so se, dado V Uf(x),existe U Ux tal que f(U) V .

() Suponhamos que f seja contnua em x, e seja B uma base de filtro emX que converge a x. Dada V Uf(x), existe U Ux tal que f(U) V . ComoB x, existe B B tal que B U . Segue que f(B) f(U) V , e portantof(B) f(x).

() Suponhamos que f(B) f(x) para cada base de filtro B que convergea x. Como em particular Ux x, tem-se que f(Ux) f(x). Logo, dadaV Uf(x), existe U Ux tal que f(U) V . Logo f e contnua em x.

15.11. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, seja X =

iI Xi, e seja B uma base de filtro em X.

Entao B converge a x em X se e so se pii(B) converge a pii(x) em Xi para cadai I.

Demonstracao. () Se B x em X, entao pii(B) pii(x) em Xi, paracada i I, pois cada pii e contnua.

() Suponhamos que pii(B) pii(x) em Xi para cada i I. Seja U umavizinhanca aberta basica de x em X, ou seja

x U =jJ

pi1j (Uj), com J finito, Uj aberto em Xj .

Como pij(B) pij(x), existe Bj B tal que pij(Bj) Uj , para cada j J . SejaB B tal que B jJ Bj . Entao

B jJ

Bj jJ

pi1j (Uj) = U.

Logo B x.15.12. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja B uma base de

filtro em X. Diremos que x X e um ponto de acumulacao de B se U B 6= para todo U Ux e B B, ou seja se x

{B : B B}.Se B converge a x, e claro que x e ponto de acumulacao de B. E claro que x

e ponto de acumulacao de B se e so se x e ponto de acumulacao do filtro geradopor B.

15.13. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja F um filtro emX. Entao x e um ponto de acumulacao de F se e so se existe um filtro G Fque converge a x.

Demonstracao. () Seja G um filtro em X tal que G F e G x. EntaoUx G, e dai segue que U A 6= para todo U Ux e A F . Logo x e pontode acumulacao de F .

() Suponhamos que x seja ponto de acumulacao de F . Seja

B = {U A : U Ux, A F}.

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E claro que B e uma base de filtro em X que converge a x. Seja G o filtro geradopor B. E claro que G F e G x.

15.14. Definicao. Diremos que F e um ultrafiltro em X se F e um filtromaximal em X, ou seja, cada vez que existir um filtro G em X tal que F G,tem-se que F = G.

15.15. Proposicao. Um filtro F em X e um ultrafiltro se e so se, dadoE X, tem-se que E F ou X \ E F .

Demonstracao. () Suponhamos que, dado E X, tem-se que E Fou X \ E F . Suponhamos que exista um filtro G em X tal que F G eF 6= G. Seja E G \ F . Segue que X \E F G. Logo = E (X \E) G,absurdo.

() Seja F um ultrafiltro em X, e seja E X. Dado A F , e claro queA E 6= ou A (X \ E) 6= . Consideremos dois casos.

Primeiro suponhamos que A E 6= para todo A F . SejaB = {A E : A F}.

E claro que B e uma base de filtro em X. Seja G o filtro gerado por B. E claroque F G e E G. Como F e ultrafiltro, tem-se que F = G. Segue que E F .

A seguir suponhamos que A0E = para algum A0 F . Entao A0 X\E,e segue que X \ E F .

15.16. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja F um ultrafiltroem X. Se x e um ponto de acumulacao de F , entao F converge a x.

Demonstracao. Suponhamos que x seja ponto de acumulacao de F , ouseja U A 6= para todo U Ux e A F .

Afirmamos que Ux F . De fato, suponhamos que exista U Ux, comU / F . Teriamos que X \ U F , e portanto U (X \ U) 6= , absurdo. LogoUx F , e portanto F x.

15.17. Proposicao. Cada filtro em X esta contido em algum ultrafiltro.

Demonstracao. Seja P a famlia de todos os filtros G em X tais queG F . P e um conjunto parcialmente ordenado por inclusao de conjuntos.Seja {Gi : i I} uma cadeia em P. E claro que

iI Gi e um filtro em X, e

e portanto uma cota superior para a cadeia {Gi : i I}. Pelo lema de Zorn Ppossui pelo menos um elemento maximal G. Segue que G e um ultrafiltro em Xque contem F .

Exerccios

15.A. Seja B uma base de filtro em X e seja f : X Y uma funcaoqualquer. Prove que a famlia

f(B) = {f(B) : B B}

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e uma base de filtro em Y .

15.B. Seja A uma base de filtro em X e seja B uma base de filtro em Y .(a) Prove que a famlia

C = {AB : A A, B B}

e uma base de filtro em X Y .(b) Prove que C (x, y) se e so se A x e B y.15.C. Seja

B = {(a,) : a R}.Pelo Exerccio 6.D B e base para uma topologia em R. Pelo Exemplo 15.4 Be uma base de filtro em R. Prove que B x para cada x R.

15.D. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita do Exerccio3.C. Seja

G = {A X : X \A e finito}.(a) Prove que G e um filtro em X.(b) Prove que G x para cada x X.15.E. Seja (x) uma rede em X, e seja B = {B : }, onde B =

{x : } para cada .(a) Prove que B e uma base de filtro em X, que chamaremos de base de filtro

gerada por (x).(b) Prove que x x se e so se B x.(c) Prove que x e ponto de acumulacao de (x) se e so se x e ponto de

acumulacao de B.(d) Prove que (x) e uma rede universal se e so se o filtro gerado por B

e um ultrafiltro.

15.F. Seja B uma base de filtro em X, e seja

= {(a,A) : a A B}.

(a) Prove que e um conjunto dirigido se definimos (a,A) (b, B) quandoA B. A rede x : X definida por x(a,A) = a e chamada de rede geradapor B, e e denotada por (x).

(b) Prove que B x se e so se x x.(c) Prove que x e ponto de acumulacao de B se e so se x e ponto de acu-

mulacao de (x).(d) Prove que o filtro gerado por B e um ultrafiltro se e so se (x) e uma

rede universal.

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16. Espacos de Hausdorff

16.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco T0 sedados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhanca de um deles que naocontem o outro.

16.2. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco T0.(b) Seja X um espaco topologico trivial, com pelo menos dois pontos. Entao

X nao e um espaco T0.

16.3. Proposicao. Um espaco topologico X e um espaco T0 se e so se,dados a, b X, com a 6= b, tem-se que {a} 6= {b}.

Demonstracao. () Seja X um espaco T0, e sejam a, b X, a 6= b. Seexistir U Ua tal que b / U , entao a {a}, mas a / {b}. Se existir V Ub talque a / V , entao b {b}, mas b / {a}. Em ambos casos {a} 6= {b}.

() Suponhamos que X nao seja um espaco T0. Entao existem a, b X,com a 6= b, tais que b U para cada U Ua, e a V para cada V Ub. Logoa {b} e b {a}. Segue que {a} = {b}.

16.4. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco T1 sedados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhanca de cada um deles quenao contem o outro.

E claro que cada espaco T1 e um espaco T0.

16.5. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco T1.(b) O espaco de Sierpinski e um espaco T0, mas nao e um espaco T1.

16.6. Proposicao. Um espaco topologico X e um espaco T1 se e so se cadasubconjunto unitario de X e fechado.

Demonstracao. () Seja X um espaco T1, e seja a X. Para cada b X,com b 6= a, existe V Ub tal que a / V . Segue que X \ {a} e aberto, ou seja{a} e fechado.

() Suponhamos que {a} seja fechado para cada a X. Dados a, b X,com a 6= b, sejam U = X \ {b} e V = X \ {a}. Entao U e V sao abertos, a U ,b / U , b V , a / V .

16.7. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco deHausdorff ou um espaco T2 se dados a, b X, com a 6= b, existem U Ua eV Ub, com U V = .

E claro que cada espaco T2 e um espaco T1.

16.8. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco de Hausdorff.(b) Cada espaco metrico e um espaco de Hausdorff.

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(c) Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Entao X e umespaco T1, mas nao e um espaco T2. Deixamos a demonstracao como exerccio.

16.9. Proposicao. Para um espaco topologico X as seguintes condicoessao equivalentes:

(a) X e Hausdorff.(b) Cada rede convergente em X tem um limite unico.(c) Cada filtro convergente em X tem um limite unico.

Demonstracao. (a) (b): Suponhamos que X seja Hausdorff, e seja(x) uma rede em X que converge a x e a y, com x 6= y. Sejam U Ux eV Uy, com U V = . Como x x, existe 1 tal que x U para todo 1. Como x y, existe 2 tal que x V para todo 2. Seja tal que 1 e 2. Entao x U V , contradicao.

(b) (a): Suponhamos que X nao seja Hausdorff. Entao existem x, y X,com x 6= y, tais que U V 6= para todo U Ux e V Uy. Seja xUV U Vpara cada U Ux e V Uy. Segue que (xUV )(U,V )UxUy e uma rede em Xque converge a x e a y, com x 6= y.

(a) (c): Suponhamos que X seja Hausdorff, e seja F um filtro em X queconverge a x e a y, com x 6= y. Sejam U Ux e V Uy, com U V = . ComoF x, tem-se que U Ux F . Como F y, tem-se que V Uy F . LogoU V F , absurdo, pois U V = .

(c) (a): Suponhamos que X nao seja Hausdorff. Entao existem x, y X,com x 6= y, tais que U V 6= para todo U Ux e V Uy. Seja

B = {U V : U Ux, V Uy}.

E claro que B e uma base de filtro em X. Seja F o filtro gerado por B. E claroque Ux F e Uy F . Logo F converge a x e a y, com x 6= y.

16.10. Proposicao. Cada subespaco de um espaco de Hausdorff e umespaco de Hausdorff.

Demonstracao. Seja X um espaco de Hausdorff, e seja S um subespacode X. Sejam a, b S, com a 6= b. Como X e Hausdorff, existem abertos U1 eV1 em X tais que a U1, b V1 e U1V1 = . Sejam U = SU1 e V = SV1.Entao U e V sao abertos em S, a U , b V e U V = .

16.11. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios. Entao o produto X =

iI Xi e Hausdorff se e so se

cada Xi e Hausdorff.

Demonstracao. () Esta implicacao segue da Proposicao 16.10 e doExerccio 10.C.

() Suponhamos que cada Xi seja Hausdorff, e sejam a, b X, com a 6= b.Escrevamos a = (ai)iI , b = (bi)iI . Como a 6= b, existe i I tal que ai 6= bi.Como Xi e Hausdorff, existem abertos Ui e Vi em Xi tais que ai Ui, bi Vi e

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Ui Vi = . Sejam U = pi1i (Ui) e V = pi1i (Vi). Entao U e V sao abertos emX, a U , b V e U V = .

16.12. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, com Y Hausdorff.Sejam f e g duas funcoes contnuas de X em Y tais que f(x) = g(x) para todox num subconjunto denso D X. Entao f(x) = g(x) para todo x X.

Demonstracao. Como X = D, para cada x X, existe uma rede (xi)iI D tal que xi x. Como f e g sao contnuas, segue que f(xi) f(x) e g(xi)g(x). Como f(xi) = g(xi) para todo i I, e Y e Hausdorff, a Proposicao 16.9garante que f(x) = g(x).

Exerccios

16.A. Seja X = N, com a topologia do Exerccio 4.F. Prove que X e umespaco T0, mas nao e um espaco T1.

16.B. Prove que cada subespaco de um espaco T0 (resp. T1) e um espacoT0 (resp. T1).

16.C. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacos topologicos naovazios. Prove que o produto X =

iI Xi e um espaco T0 (resp. T1) se e so se

cada Xi e um espaco T0 (resp. T1).

16.D. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X Y uma aplicacaosobrejetiva e fechada. Prove que se X e um espaco T1, entao Y tambem e umespaco T1.

16.E. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que Xe um espaco T1, mas nao e um espaco T2.

16.F. Seja X um espaco de Hausdorff. Dados n pontos distintos x1, ..., xn X, prove que existem n abertos disjuntos U1, ..., Un X tais que xj Uj paraj = 1, ..., n.

16.G. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que X e um espaco T1 se e so se, para cada a X tem-se que{U : U Ua} = {a}.(b) Prove que X e um espaco T2 se e so se, para cada a X tem-se que{U : U Ua} = {a}.16.H. Prove que um espaco topologico X e Hausdorff se e so se o conjunto

D = {(x, x) : x X} e fechado em X X.16.I. Sejam X e Y espacos topologicos, com Y Hausdorff. Sejam f e g duas

funcoes contnuas de X em Y .(a) Prove que o conjunto {x X : f(x) = g(x)} e fechado em X.(b) Use (a) para dar outra demonstracao da Proposicao 16.12.

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17. Espacos regulares

17.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e regular se dadosum fechado A em X e um ponto b / A, existem abertos disjuntos U , V em Xtais que A U e b V . Diremos que X e um espaco T3 se X e um espaco T1que e regular.

E claro que cada espaco T3 e um espaco T2.

17.2. Exemplos.(a) Cada espaco discreto e um espaco T3.

(b) Cada espaco metrico e um espaco T3. A demonstracao e deixada comoexerccio.

(c) Seja X um espaco topologico trivial, com pelo menos dois pontos. EntaoX e regular, mas nao e um espaco T3.

(d) O espaco de Sierspinski nao e regular. A demonstracao e deixada comoexerccio.

17.3. Proposicao. Para um espaco topologico X as seguintes condicoessao equivalentes:

(a) X e regular.(b) Dados um abert