a a SEMI MarcAo

Incluso para a vida

Matemtica ADivisibilidade por 4 Um nmero divisvel por 4 se os dois ltimos algarismos forem divisveis por 4 ou quando o nmero terminar em 00. Exemplos: 5716, 8700, 198200. Divisibilidade por 5 Um nmero divisvel por 5 se o ltimo algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210. Divisibilidade por 6 Um nmero divisvel por 6 se for simultaneamente divisvel por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460. Divisibilidade por 8 Um nmero divisvel por 8 se os trs ltimos algarismos forem divisveis por 8 ou forem trs zeros. Exemplos: 15320, 67000. Divisibilidade por 9 Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos seus algarismos for um nmero divisvel por 9. Exemplos: 8316, 35289. Divisibilidade por 10 Um nmero divisvel por 10 se o ltimo algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160. NMEROS PRIMOS Um nmero p, p 0 e p 1, denominado nmero primo se apresentar apenas dois divisores, 1 e p. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..... Observao: Um nmero denominado composto se no for primo. MNIMO MLTIPLO COMUM Denomina-se menor ou mnimo mltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais nmeros o nmero p diferente de zero, tal que p seja o menor nmero divisvel pelos nmeros em questo. Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 24 Processo 2: 68 34 32 31 11 2 2 2 3

UNIDADE 1ARITMTICA BSICAMLTIPLO DE UM NMERO Sendo a, b e c nmeros naturais e a . b = c, diz-se que c mltiplo de a e b. Exemplo: Mltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} Observaes: O zero mltiplo de todos os nmeros. Todo nmero mltiplo de si mesmo. Os nmeros da forma 2k, k N, so nmeros mltiplos de 2 e esses so chamados nmeros pares. Os nmeros da forma 2k + 1, k N, so nmeros mpares. DIVISOR DE UM NMERO Sendo a, b e c nmeros naturais e a . b = c, diz-se que a e b so divisores c. Exemplo: Divisores de 12 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observaes: O menor divisor de um nmero 1. O maior divisor de um nmero ele prprio. Quantidade de divisores de um nmero Para determinar a quantidade de divisores de um nmero procede-se assim: a) Decompem-se em fatores primos o nmero dado; b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade. c) Multiplica-se os resultados assim obtidos. Exemplo: Determinar o nmero de divisores de 90 90 = 2 . 3 . 51 2 1

(1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 Logo, 90 possui 12 divisores CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE Divisibilidade por 2 Um nmero divisvel por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128. Divisibilidade por 3 Um nmero divisvel por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisvel por 3. Exemplos: 18, 243, 3126.

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 23.3 = 24 Pr-Vestibular da UFSC 1

Matemtica AMXIMO DIVISOR COMUM Denomina-se mximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais nmeros o maior dos seus divisores comuns. Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 6. Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7

Incluso para a Vidaencontrar de novo no ponto de partida, levando em considerao ambas as velocidades constantes?

5. Trs vizinhos tm por medidas de frente: 180m, 252m e324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham me didas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possvel. Ento cada faixa medir na frente: a) 12 m d) 30 m b) 18 m e) 36 m c) 24 m

Tarefa Complementar

Os fatores comuns entre 36 e 42 so 2.3 Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 6.

6. Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme acada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltaro a soar juntos? a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas

Exerccios de Sala

1. (UFSC) Um pas lanou em 02/05/2000 os satlitesartificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em reas de preservao, as nascentes dos rios e a pesca predatria no Oceano Atlntico. No dia 03/05/2000 podia-se observ-los alinhados, cada um em uma rbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satlites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, ento o nmero de dias para o prximo alinhamento :

7. Trs tbuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e 90cm sero cortadas em pedaos iguais, obtendo assim tbuas do maior tamanho possvel. Ento cada tbua medir: a) 10 cm d) 12 cm b) 6 cm e) 4 cm c) 8 cm

2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20,respectivamente. O valor de x. y : a) 240 d) 340 b) 120 e) 230 c) 100

8. Sejam os nmerosA = 23.32. 5 B = 22 . 3 . 52

3. O nmero de divisores naturais de 72 :a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12

Ento o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem respectivamente: a) 180 e 60 c) 1800 e 600 e) n.d.a. b) 180 e 600 d) 1800 e 60

Tarefa MnimaDetermine: a) b) c) d)

9. (Santa Casa-SP) Seja o nmero 717171x, onde x indicao algarismo das unidades. Sabendo que esse nmero divisvel por 4, ento o valor mximo que x pode assumir : a) 0 d) 6 b) 2 e) 8 c) 4

1. Considere os nmeros A = 24, B = 60; C = 48.M.M.C entre A e B M.D.C entre B e C M.M.C entre A, B e C M.D.C entre A, B e C

2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36,respectivamente. O valor de x. y : a) 240 d) 340 b) 720 e) 230 c) 120

10. (PUC-SP) Qual dos nmeros abaixo primo?a) 121 d) 201 b) 401 c) n.d.a. c) 362

11. (PUC-SP) Um lojista dispe de trs peas de ummesmo tecido, cujos comprimentos so 48m, 60m e 80m. Nas trs peas o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peas e o maior comprimento possvel, de modo a utilizar todo o tecido das peas. Quantos retalhos ele dever obter? 2

3. Determine o nmero de divisores naturais dos nmerosa) 80 b) 120

4. Um ciclista d uma volta em uma pista de corrida em 16segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, aps quanto tempo iro se Pr-Vestibular da UFSC

Incluso para a vida 12. (UEL-PR) Seja p um nmero primo maior que 2. verdade que o nmero p2 1 divisvel por: a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

Matemtica AConjunto dos Nmeros Racionais Os nmeros Racionais surgiram com a necessidade de dividir dois nmeros inteiros, onde o resultado era um nmero no inteiro.

13. Sejam A e B o mximo divisor comum (M.D.C) e omnimo mltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. O produto A.B dado por: 2x.3y.5z, ento x + y + z vale:

Q={x|x

a , com a b

Z, b

Z* }

14. (Fuvest-SP) O menor nmero natural n, diferente dezero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito : a) 6 d) 18 b) 12 e) 24 c) 15

Ou seja, todo nmero que pode ser colocado em forma de frao um nmero racional. So exemplos de nmeros racionais: a) Naturais b) Inteiros c) decimais exatos ( 0,2 =2 10

)1 3

15. (ACAFE) Um carpinteiro quer dividir em partes iguaistrs vigas, cujos comprimentos so, respectivamente, 3m, 42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos pedaos ser a maior possvel. O total de pedaos obtidos com as trs vigas : a) 18 d) 180 b) 21 e) 20 c) 210

d) dzimas peridicas ( 0,333... =

)

As quatro operaes so definidas nos racionais. Com a ressalva que a diviso por zero impossvel (exceto quando o numerador for zero tambm). Geratrizes de uma dzima peridica Toda frao que d origem a uma dzima peridica se chama GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dzima peridica, procedemos assim: a) Dzima Peridica Simples: um nmero fracionrio cujo numerador o algarismo que representa a parte peridica e o denominador um nmero formado por tantos noves quantos forem os algarismos do perodo. Exemplos:

UNIDADE 2CONJUNTOS NUMRICOSCONJUNTOS NUMRICOS Conjunto dos Nmeros Naturais N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Um subconjunto importante dos naturais (N) o conjunto N* ( naturais sem o zero ) N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } a, b N, (a + b) N e (a . b) N

7 9 3 b) 0,333....= 9a) 0777...=

1 3 43 c) 0,434343... = 99b) Dzima Peridica Composta: um nmero fracionrio cujo numerador a diferena entre a parte no peridica seguida de um perodo e a parte no peridica, e cujo o denominador um nmero formado de tantos noves quantos so os algarismos do perodo, seguido de tantos zeros quantos so os algarismos da parte no peridica. Exemplos: a) 0,3777... =

Conjunto dos Nmeros Inteiros Os nmeros inteiros surgiram com a necessidade de calcular a diferena entre dois nmeros naturais, em que o primeiro fosse menor que o segundo. Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros Z* = inteiros no nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } Z+ = inteiros no negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... } Z _ = inteiros no positivos... { ..., -3, -2, -1, 0} Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 } a, b Z, (a + b) Z, (a . b) Z e (a b) Z

37 3 90

34 90

17 45 3219 9900 1073 3300

b) 0,32515151... =

3251 32 9900

Pr-Vestibular da UFSC

3

Matemtica AConjunto dos Nmeros Irracionais Apesar de que entre dois nmeros racionais existir sempre um outro racional, isso no significa que os racionais preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo. Dado o tringulo retngulo abaixo de catetos 1 e 1. Calcular o valor da hipotenusa.

Incluso para a Vida INTERVALOS NUMRICOS E MDULO DE UM NMERO REALINTERVALOS NUMRICOS Chamamos intervalo qualquer subconjunto contnuo de . Sero caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir: {x {x {x {x {x {x {x {x R| p x q} = [p, q] R| p < x < q} = ]p, q[ R| p x < q} = [p, q[ R| p < x q} = ]p, q] R| x q} = [q, [ R| x > q} = ]q, [ R| x q} = ] - , q] R| x < q} = ] - , q[

x 1 1 Aplicando o teorema de Pitgoras temos: x2 = 12 + 12 x=

2

Extraindo a raiz de 2, teremos um nmero que no natural, inteiro, nem racional, surge ento os nmeros irracionais. Os nmeros irracionais so aqueles que no podem ser colocados em forma de frao, como por exemplo: a) = 3,14... b) e = 2, 71... c) toda raiz no exata Conjunto dos Nmeros Reais Os nmeros reais surgem da unio dos nmeros racionais com os irracionais.

Os nmeros reais p e q so denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo. Observaes O intervalo [x, x] representa um conjunto unitrio {x} O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { } O intervalo ( , + ) representa o conjunto dos nmeros reais (R) (x, y) = ]x, y[ Pode -se representar um intervalo real de 3 maneiras: Notao de conjunto. Exemplo: {x R| 2 < x Notao de intervalo. Exemplo: ]2, 3] Representao Grfica.

| x | = k, com k > 0, ento: x = k ou x =3}

k

QUADRO DE RESUMO

Q Z N

I

Exemplo:

Veja outros exemplos: 1) {x Por enquanto, nosso conjunto universo ser o campo dos reais. Porm, necessrio saber que existem nmeros que no so reais, estes so chamados de complexos e sero estudados mais detalhadamente adiante. 2) {x PROPRIEDADES EM Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a Simtrico: a + ( a) = 0 1 Inverso: a . = 1, a 0 a R| x 1} = ] - , 1] R| x > 2} = ]2, [

3) {x

R| 3

x < 4} = [3, 4[


4

Incluso para a vidaMDULO DE UM NMERO REAL Mdulo ou valor absoluto de um nmero real x a distncia da origem ao ponto que representa o nmero x. Indicamos o mdulo de x por | x |. Definio

Matemtica A| x | < k, com k > 0, ento:Exemplos: |x| 10 x < 3 ou x > 3 x < 10 ou x > 10

x

x, se x 0 - x, se x 0

Exerccios de SalaExemplos: a) como 3 > 0, ento | 3 | = 3

1. Calcule o valor das expresses abaixo:a) 3 4

b) como 3 < 0, ento |3| = (3) = 3 Propriedades |x| 0 | x |2 = x2

1 8

2 5

1 3

x2 | x ||x y| = |y x| |x . y| = | x |. | y |

b) 2 3 : 1 4 5 3

2. (PUC-SP) Considere as seguintes equaes:I - x2 + 4 = 0 II - x2 4 = 0 III - 0,3x = 0,1 Sobre as solues dessas equaes verdade afirmar que: a) II so nmeros irracionais b) III um nmero irracional c) I e II so nmeros reais d) I e III so nmeros no reais e) II e III so nmeros racionais

x yEquao Modular

x y

Equao Modular a equao que possui a incgnita x em mdulo. Tipos de equaes modulares: Exemplo 1: | x | = 3 x = 3 ou x = -3 S = {-3, 3} Exemplo 2: Resolva a equao |x + 2|= 6 x+2=6 ou x + 2= - 6 x=4 ou x=-8 S = {-8, 4}

3. Resolva ema) | x | = 3 c) |x2 5x | = 6

as seguintes equaes: b) |2x 1| = 7 d) |x + 2| = 3

e) |x|2 5|x| + 4 = 0

| x | = k, com k = 0, ento: x = 0

Tarefa Mnima| x | = k, com k < 0, ento: no h soluoExemplo 1: | x | = - 3 S= Exemplo 2: |x + 2| = -10 S= Inequao Modular Sendo k > 0, as expresses do tipo | x | < k, | x | k, | x | > k, | x | k denominam-se inequaes modulares. Tipos de inequaes modulares: Pr-Vestibular da UFSC

1. Enumere os elementos dos conjuntos a seguir:a) b) c) d) e) f) {x N| x divisor de 12} {x N| x mltiplo de 3} {x N| 2 < x 7} {x Z| - 1 x < 3} {x| x = 2k, k N} {x| x = 2k + 1, k N}

5

Matemtica A 2. As geratrizes das dzimas: 0,232323... e 0,2171717...so respectivamente:a) 23 23 e 100 99 b) 20 43 e 99 99 2 1 e 10 5c21

Incluso para a Vida02. Sejam a e b nmeros naturais. Sendo a = 1 + b2 com b sendo um nmero mpar, ento a par. 04. O nmero 7 5 2 real. 08. Existem 4 nmeros inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois. 16. o nmero 247 um nmero primo. quando

c)

23 43 e 99 198

1 1 d) e 3 10

e)

3. (ACAFE) O valor da expresso , a.bc

10.

(FUVEST) Os nmeros inteiros positivos so dispostos em quadrados da seguinte maneira:1 2 3 4 5 6 7 8 9

a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 igual a:

4. Resolva ema) |x| = 10 c) |x 2| = -3

as seguintes equaes: b) |x + 1| = 7 d) x 2 + 3 x - 4 = 0 :2

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 .. .. .. .. .. .. .. ..

5. A soluo da inequao (2 x 1)a) b) c) d) e) {x {x {x {x {x |2 x |1 x | x 3} | x 7} |3 x 3} 6}

O nmero 500 se encontra em um desses quadrados. A linha e a coluna em que o nmero 500 se encontra so respectivamente: a) 2 e 2 c) 2 e 3 e) 3 e 1 b) 3 e 3 d) 3 e 2

5

11. A expresso|2x 1| para x |a| + |b| e) | x | = x, para todo x real.2

7. (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e oirracional y, pode-se dizer que: a) x.y racional b) y.y irracional c) x + y racional d) x - y + 2 irracional e) x + 2y irracional

13. (UFGO) Os zeros da funo f(x) = 8.(FUVEST) Na figura esto representados geometricamente os nmeros reais 0, x, y e 1. Qual a posio do nmero xy? a) 7 e 8 d) 7 e 8 b) 7 e 8 e) n.d.a.

2x 1 5

3 so:

c) 7 e 8

a) esquerda de 0 c) entre x e y e) direita de 1

b) entre zero e x d) entre y e 1

14. (FGV-SP) Qual dos seguintes conjuntos est contidano conjunto soluo da inequao (1 x) 1?2

9. Determine a soma dos nmeros associados sproposies corretas: 01. possvel encontrar dois nmeros naturais, ambos divisveis por 7 e tais que a diviso de um pelo outro deixe resto 39. Pr-Vestibular da UFSC

a) b) c) d) e)

{x R - 5 x - 1} {x R - 4 x 0} {x R - 3 x 0} {x R - 2 x 0} Todos os conjuntos anteriores

6

Incluso para a vida 15. (ITA-SP) Os valores de xreal dada por f(x) = formam o conjunto: a) [0, 1] c) [-5,0] e) [-5, 0] b) [-5, 6] d) (- , 0] R para os quais a funo 5 || 2 x 1 | 6 | est definida, d) 502x = 500x e) 0.x = 0 f) 0.x = 5 [1, 6] g)x 1 2 3x 8

Matemtica A

[1, ) [1, 6]

UNIDADE 3EQUAES DO 1 GRAU INEQUAESDEFINIO Uma sentena numrica aberta dita equao do 1 grau quando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a diferente de zero. RESOLUO Considere, como exemplo, a equao 2x + 1 = 9. Nela o nmero 4 soluo, pois 2.4 + 1 = 9. O nmero 4 nesse caso denominado RAIZ da equao Duas equaes que tm o mesmo conjunto soluo so chamadas equivalentes. PRINCPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE Se: a = b ento para m Se: a = b ento para m a+m=b+m 0 a.m=b.m

2. Obtenha m de modo que o nmero 6 seja raiz daequao 5x + 2m = 20

3. Resolva em R, o seguinte sistema:x 3y 2x 3 y 1 2

Tarefa Mnima

1. Resolver em R as equaes:a) b) c) d) e) f) 6x 6 = 2(2x + 1) 2(x + 1) = 5x + 3 (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) 3 2(x 2) = 2x 4 3(x 2) = 3x x 1 x 1 2 3 4x 3 x 1 2 x :

2. A soluo da equaoa) x = 2 d) x = 2

INEQUAES DO 1 GRAU Inequaes so expresses abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas. Uma inequao dita do 1 grau quando pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b 0 b) x = 3 e) x = 1 c) x = 3

3. (FGVSP) A raiz da equaoa) b) c) d) e)

x 1 3

2x 4

1

1 :

Nas inequaes do 1 grau valem tambm, os princpio aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja: Se: a > b ento para m a + m > b + m Se: a > b ento para m > 0 a.m>b.m Se: a > b ento para m < 0 a.m 2(x 2) c)1 3 x 2 1 4

1. Resolva em R as seguintes equaes e inequaes:a) ax + b = 0, com a 0

b)

x 10 4

3x 2

b) 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7) c) x 1 2 x 3 3 410


7

Matemtica A Tarefa Complementar 6. O valor de x + y em

Incluso para a Vida

3y 4y 21 1:

homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros no vago no incio da viagem?

2x 7x

UNIDADE 4EQUAES DO 2 GRAUDenomina-se equao do 2 grau a toda equao que pode ser reduzida a forma: ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c so nmeros reais e a RESOLUO 1 CASO: Se na equao ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b for igual a zero procede-se assim: ax2 + c = 0 ax2 = c x2 = 0.

7. Obtenha o maior de trs nmeros inteiros econsecutivos, cuja soma o dobro do menor.

8. (UFSC) A soma dos quadrados dos extremos dointervalo que satisfaz simultaneamente, as inequaes: x + 3 2 e 2x - 1 17; :

9. As tarifas cobradas por duas agncias de locadora deautomveis, para veculos idnticos, so: agncia AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60 por quilmetro rodado. Agncia TEFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 por quilmetro rodado. Seja x o nmero de quilmetros percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variao de x de modo que seja mais vantajosa a locao de um automvel na agncia AGENOR do que na agncia TEFILO.

c a

x=

c ac , a c a

10. (UFSC) A soma dos dgitos do nmero inteiro m tal8 m + 700 > 42 m, : 5 11. (UFSC) Para produzir um objeto, um arteso gasta R$ 1,20 por unidade. Alm disso, ele tem uma despesa fixa de 123,50, independente da quantidade de objetos produzidos. O preo de venda de R$ 2,50 por unidade. O nmero mnimo de objetos que o arteso deve vender, para que recupere o capital empregado na produo dos mesmos, :que 5 m + 24 > 5500 e

S=

2 CASO: Se na equao ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c for igual a zero procede-se assim: ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0 S = {0,

12. (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho 38anos. Daqui a 7 anos o pai ter o triplo da idade do filho. A idade do pai ser:

b } a0

3 CASO: Se na equao ax2 + bx + c = 0, a, b, c aplica-se a frmula de Bhskara

13. (UFSC) Na partida final de um campeonato debasquete, a equipe campe venceu o jogo com uma diferena de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes esto na razo de 23 para 21? x=

b 2a

onde:

= b2 4ac

14. (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa debombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino tambm tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.

Nessa frmula, = b2 4ac o discriminante da equao, o que determina o nmero de solues reais da equao. Pode-se ter as seguintes situaes: > 0. Existem duas razes reais e distintas = 0. Existem duas razes reais e iguais < 0. No h raiz real RELAES DE GIRARD Sendo x1 e x2 as razes da equao ax2 + bx + c, tem-se: x1 + x2 =b a

15. (UEL-PR) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha emum de seus vages um certo nmero de passageiros. Na primeira parada no subiu ningum e desceram desse vago 12 homens e 5 mulheres restando nele um nmero de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada no desceu ningum, entretanto subiram, nesse vago, 18 homens e 2 mulheres, ficando o nmero de Pr-Vestibular da UFSC

x1 . x2 =

c a

8

Incluso para a vida Exerccios de Sala

Matemtica A Tarefa Complementar

b) x2 12x = 0

2 1 1

1. Resolva, em reais, as equaes:a) 2x2 32 = 0 c) 2x2 5x 3 = 0

6. Resolver em R a equao 2 x 1 x 1

7. A maior soluo da equao 2x4 5x2 3 = 0 :a)3

2. Considere a equao x2 mx + m = 0 na incgnita x.Para quais valores reais de m ela admite razes reais e iguais? a) 0 e 4 c) 0 e 1 e) 1 e 4 b) 0 e 2 d) 1 e 3

b) 2

c) 3

d) 1

e)

2

8. Sendo x1 e x2 as razes da equao 2x2 6x 3 = 0,determine a soma dos nmeros associados s proposies verdadeiras: 01. x1 e x2 so iguais 02. x1 + x2 = 3 3 04. x1 . x2 = 2 1 1 08. = 2 x1 x 2 16. x12 + x22 = 12 32. x12.x2 + x1.x22 =9 2

3. Sendo x1 e x2 as razes da equao 2x 6x + 1 = 0,determine: a) x1 + x2 c)1 x1 1 x2

2

b) x1 . x2

Tarefa Mnima

1. Resolva em R, as equaes:a) b) c) d) e) f) g) x2 5x + 6 = 0 x2 + 6x 8 = 0 3x2 7x + 2 = 0 x2 4x + 4 = 0 2x2 x + 1 = 0 4x2 100 = 0 x2 5x = 0

9. A soluo da equao x 3 =

x 3 :

10. (MACK-SP) Se x e y so nmeros reais positivos, taisque x2 + y2 + 2xy + x + y 6 =0, ento x + y vale: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6

11. Determine a soma dos nmeros associados sproposies corretas: 01. Se a soma de um nmero qualquer com o seu inverso 5, ento a soma dos quadrados desse nmero com o seu inverso 23. 02. Se x1 e x2 so as razes da equao 2x2 6x 3 = 0, 9 ento o valor de x12.x2 + x1.x22 = 2 04. Se x e y so nmeros reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y 6 =0, ento, x + y vale 2 08. Se x soluo da equao x2 3 +

2. Os nmeros 2 e 4 so razes da equao:a) x2 6x + 8 = 0 c) x2 6x 6 = 0 e) x2 + 6x 1 = 0 b) x2 + x 6 = 0 d) x2 5x + 6 = 0

3. (PUC-SP) Quantas razes reais tem a equao2x2 2x + 1 = 0? a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

x

2

3 = 2, ento, o valor de x4 = 161

1

4. A soma e o produto das razes da equao2x2 6x + 9 = 0 so respectivamente: a) 3 e 4,5 d) 4,5 e 5 b) 2 e 4 c) 3 e 2 e) n.d.a.

16. O valor de 8 3

16 2 5

12. Considere a equao 2x2 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2,razes dessa equao, pode-se afirmar: 01. x1 x2 02. o produto das razes dessa equao 0,5 04. a soma das razes dessa equao 3 08. a soma dos inversos das razes 6 16. a equao no possui razes reais 9

5. Sendo x1 e x2 as razes da equao 2x2 5x 1 = 0.Obtenha 1x1 1 x2


Matemtica A 13. A maior raiz da equao x4 10x2 + 9 = 0 :a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 1

Incluso para a VidaO domnio de uma funo o intervalo representado pela projeo do grfico no eixo das abscissas. E a imagem o intervalo representado pela projeo do grfico no eixo y.

14. Assinale a soma dos nmeros associados sproposies corretas:

3 01. A maior raiz da equao x6 x3 2 = 0 2 2 02. A maior raiz da equao 3x 7x + 2 = 0 2 04. As razes da equao x2 4x + 5 = 0 esto compreendidas entre 1 e 3 08. A soma das razes da equao x6 x3 2 = 0 3 16. A equao x2 4x + 2 = 0 no possui razes reaisDomnio = [a, b] Imagem = [c, d]

15. Determine o valor de x que satisfaz as equaes:a) b)

Valor de uma Funo Denomina-se valor numrico de uma funo f(x) o valor que a varivel y assume quando a varivel x substituda por um valor que lhe atribudo. Por exemplo: considere a relao y = x2 , onde cada valor de x corresponde um nico valor de y. Assim se x = 3, ento y = 9. Podemos descrever essa situao como: f(3) = 9 Exemplo 1: Dada a funo f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3) Resoluo: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5 Exemplo 2: Dada a funo f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o valor de f(-1). Resoluo: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos fazer x = -1 f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12 Exemplo 3: Dada a funo f(x 1) = x2. Determine f(5).

x 1 3 x3

2x

x 1

2

UNIDADE 5ESTUDO DAS FUNESSejam A e B dois conjuntos no vazios e uma relao R de A em B, essa relao ser chamada de funo quando todo e qualquer elemento de A estiver associado a um nico elemento em B. Formalmente: f funo de A em B ( x A, | y B|(x, y) f)

Numa funo podemos definir alguns elementos. Conjunto de Partida: A Domnio: Valores de x para os quais existe y. Contra Domnio: B Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.

Resoluo: f(x 1) = x2, devemos fazer x = 6 f(6 1) = 62 f(5) = 36 Observe que se fizssemos x = 5, teramos f(4) e no f(5).

Exerccios de Sala

1. Seja o grfico abaixo da funo f, determinar a somaObservaes: A imagem est sempre contida no Contra Domnio (Im C.D) Podemos reconhecer atravs do grfico de uma relao, se essa relao ou no funo. Para isso, deve-se traar paralelas ao eixo y. Se cada paralela interceptar o grfico em apenas um ponto, teremos uma funo. Pr-Vestibular da UFSC dos nmeros associados s proposies corretas:

10

Incluso para a vidad)

Matemtica A

e)

01. O domnio da funo f {x R | - 3 x 3} 02. A imagem da funo f {y R | - 2 y 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A funo decrescente em todo seu domnio

2. Assinale a soma dos nmeros associados s proposiescorretas:

2. Em cada caso abaixo, determine o domnio de cadafuno: a) y = 2x + 1 b) y =

c)

y=

3x 22x -1, se x 0 5, se 0 x 5 x 2 5x 6, se x

d)

7 2x 7 x 3 y= 2x 2

3. Seja

f ( x)

.5

Calcule o valor de: f ( 3) f ( ) f (6)

Tarefa Mnima

R?

01. O domnio da funo f {x R | - 2 x 2} 02. A imagem da funo f {y R | - 1 y 2} 04. para x = -2 , tem-se y = -1 08. para x = 2, tem-se y = 2 16. A funo crescente em todo seu domnio

1. (UNAERP-SP) Qual dos seguintes grficos norepresenta uma funo f: R a)

3. Determine o domnio das seguintes funes: 2 a) y = b) y = x 3 3x 9c) y =

x 6 x 2

d) y =

3

x 5R e g: R R

4. (UFSC) Considere as funes f: Rb) dadas por f(x) = x2 f(

3 x + 2 e g(x) = 6x + . Calcule 5

1 5 ) + g( 1). 2 4B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a nica alternativa que define uma funo de A em B. a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}

5. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} ec)


11

Matemtica A Tarefa Complementar

Incluso para a Vida

x 2 : x 7

expresso:4 h 1 g 4 2 f ( 1)

6. (UFC) O domnio da funo real y =a) {x b) {x c) {x d) {x R| x > 7} R| x 2} R| 2 x < 7} R| x 2 ou x > 7}

14. (UFSC) Considere a funo f(x) real, definida porf(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) f(0). 15. Determine o valor de

7. Considere a funo f(x) = x2 6x + 8. Determine:a) f(3) b) f(5) c) os valores de x, tal que f(x) = 0

15. (UDESC) A funo f tal que f(2x + 3) = 3x + 2.Nessas condies, f(3x + 2) igual a:

UNIDADE 6 FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAUFUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU Uma funo f de R em R do 1 grau se a cada x associa o elemento ax + b. Forma: f(x) = ax + b com a 0. R,

8. (USF-SP) O nmero S do sapato de uma pessoa estrelacionado com o comprimento p, em centmetros,do seu p pela frmula S =

5p 4

28

. Qual o comprimento do

p de uma pessoa que cala sapatos de nmero 41? a) 41 cm b) 35,2 cm d) 29,5 cm e) 27,2 cm c) 30,8 cm

9. (FUVEST) A funo que representa o valor a ser pagoaps um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria : a) f(x) = x 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = - 3x e) f(x) = 1,03x 10) ( FCMSCSP ) Se f uma funo tal f(a + b) = f(a).f(b), quaisquer que sejam os nmeros reais a e b, ento f(3x) igual a: a) 3.f(x) b) 3 + f(x) c) f(x3) d) [f(x)]3 e) f(3) + f(x)

a o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Grfico O grfico ser uma reta crescente se a for positivo e decrescente se a for negativo.

11. (FGV-SP) Numa determinada localidade, o preo daenergia eltrica consumida a soma das seguintes parcelas: 1 . Parcela fixa de R$ 10,00; 2 . Parcela varivel que depende do nmero de quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa R$ 0,30. Se num determinado ms, um consumidor pagou R$ 31,00, ento ele consumiu: a) 100,33 kWh c) menos de 65 kWh e) entre 80 e 110 kWh b) mais de 110 kWh d) entre 65 e 80 kWh Como o grfico de uma funo do 1 Grau uma reta, logo necessrio definir apenas dois pontos para obter o grfico. Interceptos: Ponto que o Grfico corta o eixo y: deve-se fazer x = 0. Logo, o ponto que o grfico corta o eixo y tem coordenadas (0,b). Ponto que o Grfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. Logo, o ponto que o grfico corta o eixo x tem coordenadas (b a

12. (PUC-Campinas) Em uma certa cidade, os taxmetrosmarcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT (unidade taximtrica) e mais 0,2 UT por quilmetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxmetro registrava 8,2 UT, o total de quilmetros corridos foi:

,0). O ponto que o grfico corta o

eixo x chamado raiz ou zero da funo.

13. (UFSC) Dadas as funes f(x) = 3x + 5,g(x) = x2 + 2x 1 e h(x) = 7 x, o valor em mdulo da 12 Pr-Vestibular da UFSC

Incluso para a vidaRESUMO GRFICO

Matemtica A Exerccios de Sala

f(x) = ax + b, a > 0

f(x) = ax + b, a < 0

1. Considere as funes f(x) = 2x 6 definida em reais.Determine a soma dos nmeros associados s proposies corretas : 01. a reta que representa a funo f intercepta o eixo das ordenadas em (0,- 6) 02. f(x) uma funo decrescente 04. a raiz da funo f(x) 3 08. f(-1) + f(4) = 0 16. a imagem da funo so os reais 32. A rea do tringulo formado pela reta que representa f(x) e pelos eixos coordenados 18 unidades de rea.

Funo crescente

Funo decrescente

Exemplo: Esboar o grfico da funo da funo f(x) = 3x + 1. Resoluo: o grfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o grfico da funo f(x) = 3x + 1 intercepta o eixo y em (0,1). Para determinar o ponto que o grfico corta o eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0. 3x + 1 = 0

2. (PUC-SP) Para que a funo do 1 grau dada por f(x) =(2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:a) k 2 3 b) k 2 3 c) k 2 3 d) k 2 3 e) k 2 3

3. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma funo linear. Sabe-seque f(-1) = 4 e f(2) = 7. D o valor de f(8).

1 x= 3Logo, o ponto que o grfico corta o eixo x tem coordenadas (

Tarefa Mnima 1. Esboar o grfico das seguintes funes:a) f(x) = x + 3 b) f(x) = 2x + 1

1 , 0) 3

2. (FGV-SP) O grfico da funo f(x) = mx + n passaD= C.D. = FUNO CONSTANTE Uma funo f de R em R constante se, a cada x associa sempre o mesmo elemento k R. D(f) = R e Im (f) = k Forma: f(x) = k Grfico: Exemplo: y = f(x) = 2 R, Im = pelos pontos A(1, 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m + n vale em mdulo:

3. ( UFMG-MG ) Sendo a < 0 e b > 0, a nicarepresentao grfica correta para a funo f(x) = ax + b :

D=

C.D. =

Im = {2}


13

Matemtica A 4. (UFMA) O grfico da funo f(x) = ax + b intercepta oeixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, 3), ento f(x) : a) f(x) = x 3 c) f(x) = 2x 5 e) f(x) = 3x 6 b) f(x) = x 4 d) f(x) = 2x 1

Incluso para a Vidae) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro.

11. (UFSC) Sabendo que a funo: f(x) = mx + n admite 5como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) :

12. O valor de uma mquina decresce linearmente com of( )

5. Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de f (t ) tcom t .

tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valer R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a trs anos ser: a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416

Tarefa Complementar

c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2

13. (UFRGS) Considere o retngulo OPQR da figurabaixo. A rea do retngulo em funo da abscissa x do ponto R :

6. (UCS-RS) Para que 3 seja raiz da funof(x) = 2x + k, deve-se ter a) k=0 b) k = - 2

7. (UFPA) A funo y = ax + b passa pelo ponto (1,2) eintercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Ento, a igual a: a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) n.d.a. 2b

8. (Fuvest-SP) A reta de equao 2x + 12y 3 = 0, emrelao a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um tringulo cuja rea : a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16

A = x2 3x = 3x2 9x d) A = - 2x2 + 6x a)

b) A = - 3x2 + 9x e) A = 2x2 6x

c) A

14. (UFRGS) Dois carros partem de uma mesma cidade,deslocando-se pela mesma estrada. O grfico abaixo apresenta as distncias percorridas pelos carros em funo do tempo.Distnc ia (em km )

9. O grfico da funo f(x) est representado pela figuraabaixo:

Pode-se afirmar que f(4) igual a:

10. (Santo Andr-SP) O grfico mostra como o dinheirogasto ( y) por uma empresa de cosmticos, na produo de perfume, varia com a quantidade de perfume produzida (x). Assim, podemos afirmar:T emp o (em horas)

Analisando o grfico, verifica-se que o carro que partiu primeiro foi alcanado pelo outro ao ter percorrido exatamente: a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km

15. (UERJ) Considere a funo f, definida para todo x realpositivo, e seu respectivo grfico. Se a e b so dois meros positivos (a < b), a rea do retngulo de vrtices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) igual a 0,2. f(x) = 1 a) Quando a empresa no produz, no gasta. b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00. c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00. d) Se a empresa gastar R$ 170,00, ento ela produzir 5 litros de perfume. Pr-Vestibular da UFSC

x

14

Incluso para a vida

Matemtica A

Calcule a rea do retngulo de vrtices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b))

UNIDADE 7FUNO POLINOMIAL DO 2 GRAUUma funo f de R em R polinomial do 2 grau se a cada x R associa o elemento ax2 + bx + c, com a 0 Forma: f(x) = ax + bx + c, com a Grfico O grfico de uma funo polinomial do 2 Grau de R em R uma parbola. A concavidade da parbola determinada pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim, quando: a > 0 tem-se a parbola com concavidade para cima a < 0 tem-se parbola com concavidade para baixo Interceptos O ponto que o grfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c) Para achar o(s) ponto(s) que o grfico corta o eixo x, deve-se fazer y = 0. Tem-se ento uma equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0, onde: b x , onde b 2 4ac 2a Se Se Se >0 =0 0. Coordenadas do vrtice O vrtice um ponto de coordenadas V(xv, yv) ondex v b e 2a yv =

4a

0

Imagem da funo quadrtica Se a > 0, ento Im = {y Se a < 0, ento Im = {y Resumo grfico >0 R| y R| y

4a 4a

} }

=0

Estudo do vrtice da parbola A Parbola que representa a funo do 2 Grau dividida em duas partes simtricas. Essa diviso feita por um eixo chamado de eixo de simetria. A interseco desse eixo com a parbola recebe o nome de vrtice da parbola.

0, b < 0, c = 0 e) a > 0, b > 0, c > 0

b) a > 0, b = 0, c < 0 d) a < 0, b < 0, c > 0

2. Dada a funo f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinaleas verdadeiras: 01. O grfico intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,12). 02. As razes de f so 2 e 6. 04. O domnio de f o conjunto dos nmeros reais. Pr-Vestibular da UFSC

8. Considere a funo definida em x dada porf(x) = x2 mx + m. Para que valores de m o grfico de f(x) ir interceptar o eixo x num s ponto?

9. (UFPA) As coordenadas do vrtice da funoy = x2 2x + 1 so: 16

Incluso para a vidaa) (-1, 4) c) (-1, 1) b) (1, 2) d) (0, 1)

Matemtica AInequao do 2 grau toda inequao da forma: e) (1, 0)ax 2 ax 2 ax 2 ax 2 bx c bx c bx c bx c 0 0 0 0

com a

0

10. (UFPA) O conjunto de valores de m para que ogrfico de y = x2 mx + 7 tenha uma s interseco com o eixo x : a) { c) { 7} 2} b) { 0 } d) {2 7}

11. (Mack-SP) O vrtice da parbola y = x2 + kx + m oponto V( 1, 4). O valor de k + m em mdulo :

Para resolver a inequao do 2 grau se associa a expresso a uma funo do 2 grau; assim, pode-se estudar a variao de sinais em funo da varivel. Posteriormente, selecionam-se os valores da varivel que tornam a sentena verdadeira. Estes valores iro compor o conjuntosoluo. Exemplos: a) resolver a inequao x2 2x 3 0

12. (UFSC) Dada a funo f: R2

R definida por f(x) = ax + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10. Determine o valor de a - 2b + 3c.

13. A equao do eixo de simetria da parbola deequao y = 2x2 - 10 + 7, : a) 2x - 10 + 7 = 0 c) x = 2,5 e) x = 1,8 b) y = 5x + 7 d) y = 3,5 S = {x R | x -1 ou x S = ]- , -1] [3, + [ 3} ou

14. O grfico da funo f(x) = mx (m 3)x + m

2

2

3

intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m : a) 3 c) 2 b) 4 d) 2 e) 1

b) resolver a inequao x2 7x + 10

0

15. (UFSC) Marque no carto a nica proposiocorreta. A figura abaixo representa o grfico de uma parbola cujo vrtice o ponto V. A equao da reta r : S={x R|2 S = [2, 5] x 5}

c) resolver a inequao x2 + 5x 4 > 0

01. y = -2x + 2 02. y = x + 2 04. y = 2x + 1 08. y = 2x + 2 16. y = -2x 2

S = { x R | 1 < x < 4} S = [1, 4] Inequaes Tipo Produto Inequao Produto qualquer inequao da forma:

UNIDADE 8INEQUAES DO 2 GRAU INEQUAES TIPO PRODUTO INEQUAES TIPO QUOCIENTEINEQUAES DO 2O GRAU Pr-Vestibular da UFSC

a) f(x).g(x) c) f(x).g(x)

0 0

b) f(x).g(x) > 0 d) f(x).g(x) < 0

Para resolvermos inequaes deste tipo, faz-se necessrio o estudo dos sinais de cada funo e em seguida aplicar a regra da multiplicao. Exemplo: Resolver a inequao (x2 4x + 3) (x 2) < 0 17

Matemtica A

Incluso para a Vidaa) (x 3)(2x 1)(x2 4) < 0 b)

x

2

7 x 10 x 4

0

Tarefa Mnima

S={x

R | x < 1 ou 2 < x < 3}

1. Resolver ema) b) c) d) e) f)

as seguintes inequaes:

Inequaes Tipo Quociente Inequao quociente qualquer inequao da forma:a) f(x) g(x) 0 b) f(x) g(x) >0 c) f(x) g(x) 0 d) f(x) g(x) 0 x2 6x + 8 0 x2 + 9 > 0 x2 4 x2 > 6x x2 1 (Osec-SP) O domnio da funo

Para resolvermos inequaes deste tipo necessrio que se faa o estudo dos sinais de cada funo separadamente e, em seguida, se aplique a regra de sinais da diviso. necessrio lembrar que o denominador de uma frao no pode ser nulo, ou seja, nos casos acima vamos considerar g(x) 0.2 Exemplo: Resolver a inequao x

2.

x2 2x 3 , com valores reais, um dos f(x) = conjuntos seguintes. Assinale-o.a) {x R -1 c) { } e) n.d.a. x 3} b) { x d) { x R -1 < x < 3 } R x 3}

4x 3 0 x 2

3. Resolva, em R, as seguintes inequaes:a) (x2 2x 3).( x2 3x + 4) > 0 b) (x2 2x 3).( x2 3x + 4) 0 c) (x 3) (x2 16) < 0 d) x3 x e) x3 3x2 + 4x 12 0 S={x R|1 x < 2 ou x 3}

4. Resolva, em R, as seguintes inequaes:2 a) x

Exerccios de Sala

5x 6 x 162

0

1. Resolver ema)2

as seguintes inequaes:

b) x c) d)

2

x 8x + 12 > 02

x

2

5x 6 16x x 1

00

b) x 8x + 12 c) x2 9x + 8 0

0

x x 1

2 x 1

0 c) x2 6x + 9 < 0

Incluso para a vida 7. Resolver emas seguintes inequaes: b) x2 4x + 5 d) x2 4x + 5 0 0

Matemtica Aa) x < 2 ou x > 4 b) x < 2 ou 4 < x < 5 c) 4 < x < 2 ou x > 4 d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4

a) x2 4x + 5 > 0 c) x2 4x + 5 < 0

15. (FUVEST) De x4 x3 < 0 pode-se concluir que: 8. (CESGRANRIO) Se x2 6x + 4como soluo o conjunto {x valem respectivamente: a) 1 e 1 c) 0 e 1 e) 0 e 4 |0 x2 + bx + c tem x 3}, ento b e c a) 0 < x < 1 c) 1< x < 0 e) x < 1 ou x > 1 b) 1 < x < 2 d) 2< x < 1

b) 1 e 0 d) 0 e 1

UNIDADE 9PARIDADE DE FUNES FUNO COMPOSTA e FUNO INVERSA Funo Par

9. (UNIP) O conjunto verdade do sistemax2

9x 8 0

:

2x 4 0

a) ]1, 2] d) [1, 8[

b) ]1, 4] e) [4, 8[

c) [2, 4[ Uma funo par quando para valores simtricos de x temos imagens iguais, ou seja: f( x) = f(x), x D(f)

10. (PUC-RS) A soluo, em R, da inequao x2 < 8 :a) { 2 c) ( 2

2;2 2} 2;2 2) 2]

b) [ 2

2;2 2] 2)

d) ( ; 2

Uma conseqncia da definio : Uma funo f par se e somente se, o seu grfico simtrico em relao ao eixo y. FUNO MPAR Uma funo mpar quando para valores simtricos de x as imagens forem simtricas, ou seja: f( x) = f(x), x D(f)

e) ( ; 2

11. (ACAFE) O lucro de uma empresa dado por L(x) =100(8 x)(x 3), em que x a quantidade vendida. Neste caso podemos afirmar que o lucro : a) b) c) d) e) positivo para x entre 3 e 8 positivo para qualquer que seja x positivo para x maior do que 8 mximo para x igual a 8 mximo para x igual a 3

Como conseqncia da definio os grficos das funes mpares so simtricos em relao origem do sistema cartesiano. FUNO COMPOSTA Dadas as funes f: A B e g: B C, denomina-se funo composta de g com f a funo gof: definida de A C tal que gof(x) = g(f(x))

12. (FATEC) A soluo real da inequao produto(x2 4).(x2 4x) a) b) c) d) e) S={x S={x S={x S={x S={} 0 : R| - 2 x 0 ou 2 x 4} R| 0 x 4} R| x - 2 ou x 4} R| x - 2 ou 0 x 2 ou x

4}

13. (MACK-SP) O conjunto soluo de 6 xx 3a) { x R b) { x R c) { x R d) {x R e) { x R x > 15 e x < - 3} x < 15 e x - 3} x > 0} - 3 < x < 15} - 15 < x < 15}

5

:

f: A

B

g: B

C

gof: A

C

Condio de Existncia:

Im(f) = D(g)

14. (Cescem-SP) Os valores de x que satisfazem ainequao (x2 2x + 8)(x2 5x + 6)(x2 16) < 0 so: Pr-Vestibular da UFSC 19

Matemtica AAlguns tipos de funes compostas so: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))

Incluso para a VidaFUNO INVERSA Seja f uma funo f de A em B. A funo f 1 de B em A a inversa de f, se e somente se: fof -1(x) = x, x A e f -1o f (x) = x, x B. Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f) IMPORTANTE: f inversvel f bijetora

Exerccio resolvido: Dadas as funes f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x de modo que f(g(x)) = 0 Resoluo: Primeiramente vamos determinar f(g(x)) e, em seguida, igualaremos a zero. f(x) = x2 - 5x + 6 f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6 Da vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2. Igualando a zero temos: x2 - 3x + 2 = 0 Onde x1 = 1 e x2 = 2 FUNO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA Funo injetora: Uma funo f: A B injetora se e somente se elementos distintos de A tm imagens distintas em B. Em Smbolos: f injetora x1, x2 A, x1 x2 f(x1) f(x2)

Para encontrar a inversa de uma funo, o processo prtico trocar x por y e, em seguida, isolar y. Os grficos de duas funes inversas f(x) e f 1(x) so simtricos em relao bissetriz dos quadrantes mpares. (f(x) = x)

Exerccio Resolvido: Dada a funo f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a sua inversa. Resoluo: Como a funo f(x) bijetora, ento ela admite inversa. Basta trocarmos x por y e teremos: f(x) = 2x + 4 x = 2y + 4 x - 4 = 2y f -1(x) =

Funo sobrejetora: Uma funo f de A em B sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos elementos de A, ou seja: CD = Im

x 4 2

Exerccios de Sala Funo bijetora: Uma funo bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

1. Dadas as funes f(x) = 2x 1, g(x) = x2 + 2.Determine: a) f(g(x)) c) f(g(3)) b) g(f(x)) d) g(f(-2))

2. (UFSC) Considere as funes f, g: R

R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7). DICA: De R R, a funo do 1 Grau bijetora, e a funo do 2 Grau simples.

3. Se x 3, determine a inversa da funo

f ( x)

2x 1 x 3


20

Incluso para a vida Tarefa Mnima 1. Dadas as funes f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter:a) f(g(x)) c) f(f(x)) e) f(g(3)) g) f(f(f(2))) b) g(f(x)) d) g(g(x)) f) g(f(1)) a) 2x d) 2x 1 4 b) 2x e) 2x 2 5

Matemtica Ac) 2x 3

10. (F.C.Chagas-BA) A funo inversa da funo f(x) =2x 1 : x 3a) f b) f -1 -1 ( x) = (x) = x+3 2x - 1

2. (UFU-MG) Dadas as funes reais definidas por f(x) =2x - 6 e g(x) = x2 + 5x + 3, pode-se dizer que o domnio da funo h(x) = fog x : a) {x R x b) {x R x c) {x R x d) { } e) n.d.a. -5 ou x 0} -5} 0}

2x + 1 x-3 1 - 2x -1 c) f (x) = 3-x d) f -1 (x) = 3x + 1 2-x

e) nenhuma das anteriores

11. Obtenha as sentenas que definem as funes inversasde:2

3. (UFSC) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x + 1, com f eg definidas para todo x real, determine o valor numrico da funo g no ponto x = 18, ou seja, g(18).

a) f: [ 3; 5] [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7 b) g: [2, 5] [0,9] tal que g(x) = x2 4x + 4 c) h: [3, 6] [1, 8] tal que h(x) = x2 6x + 8

4. Determine a funo inversa de cada funo a seguir:a) y = 2x 3 c) y = 2 x 1 , x 4 b) y = x

12. (MACK-SP) Se f(g(x)) = 2x2 4x + 4 e f(x 2) = x +2, ento o valor de g(2) : a) - 2 c) 0 b) 2 d) 6

2 4

e) 14

x 4

13. (UFSC) Seja f uma funo polinomial do primeiro2x 5. (UFSC) Seja a funo f(x) = , com x x 2determine f -1(2). 2, grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine a abscissa do ponto onde o grfico de f corta o eixo x.

14. (UDESC) Se f(x) = ax2 + bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1.Calcule f(f(a))

Tarefa Complementar 6. (UFSC) Sejam f e g funes de R em R definidas por:f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.Determine a soma dos nmeros associados (s) proposies verdadeiras. 01. A reta que representa a funo f intercepta o eixo das ordenadas em (0,3). 02. f uma funo crescente. 04. -1 e +1 so os zeros da funo g. 08. Im(g) = { y R y -1 }. 16. A funo inversa da f definida por f -1(x) = -x + 3. 32. O valor de g(f(1)) 3. 64. O vrtice do grfico de g o ponto (0, 0).

15. (IME-RJ) Sejam as funes g(x) e h(x) assimdefinidas: g(x) = 3x 4; h(x) = f(g(x)) = 9x2 6x + 1. Determine a funo f(x).

UNIDADE 10EXPONENCIALEQUAO EXPONENCIAL Chama-se equao exponencial toda equao que pode ser reduzida a forma ax = b, com 0 < a 1. Para resolver tais equaes necessrio transformar a equao dada em: Igualdade de potncia de mesma base. af(x) = ag(x) f(x) =g(x) Potncias de expoentes iguais. af(x) = bf(x) a = b sendo a e b 1 e a e b R*+.

7. Dadas as funes: f(x) =valor de gof(4) :

5 x e g(x) = x2 - 1, o

8. (UEL-PR) Sejam f e g funes reais definidas por f(x) =2x2 + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) :

9. (Mack-SP) Sejam as funes reais definidas por f(x) = x2 e f(g(x)) = 2x 3. Ento g(f(x)) definida por:


21

Matemtica AFuno Exponencial f(x) = ax (a > 1) funo crescente 3.9x 26.3x 9 = 0, :x

Incluso para a Vida 2. (PUC-SP) O conjunto verdade da equao

1 3. Dadas f(x) = 2

e as proposies:

I - f(x) crescente II - f(x) decrescente III - f(3) = 8 IV- ( 0,1 ) f(x) podemos afirmar que: (0 < a < 1) funo decrescente a) todas as proposies so verdadeiras. b) somente II falsa. c) todas so falsas. d) II e III so falsas. e) somente III e IV so verdadeiras.

4. Resolva, em R, as inequaes a seguir:a) 22x 1 > 2x + 1 b) (0,1)5x 1 < (0,1)2x + 8 INEQUAO EXPONENCIAL Para resolvermos uma inequao exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades: Quando as bases so maiores que 1 (a > 1), a relao de desigualdade se mantm. af(x) > ag(x) f(x) > g(x) Quando as bases esto compreendidas entre 0 e 1 (0 < a < 1), a relao de desigualdade se inverte. af(x) > ag(x) Exerccios de Sala f(x) < g(x) c)

7 4

x2 1

7 4

3

d) 0,5|x 2| < 0,57

5. (OSEC-SP) O domnio da funo de definida por y = 1

1 3

x

, :

243

a) ( , 5[ b) ] 5, + ) c) ( ,5[ d) ] 5, + ) e) n.d.a.

Tarefa Complementar 1. (UFSC) Dado o sistema72x 5x y 2 y

1 25

, o valor de yx

4

:

6. Resolvendo a equao 4x + 4 = 5.2x, obtemos:a) x1 = 0 e x2 = 1 c) x1 = 0 e x2 = 2 b) x1 = 1 e x2 = 4 d) x1 = x2 = 3

2. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equao 22x + 1 3.2x + 2 = 32, :

Tarefa Mnima 1. Resolva, em R, as equaes a seguir:a) 2 = 128 b) 2x =x

7. (Unesp-SP) Se x um nmero real positivo tal que2x2x

2 x 2 , ento

x

x

x2

igual a:1|

8. A maior raiz da equao 4|3x 9. (ITA-SP) A soma9x 1 2

= 16 razes da equao

1 16

das

4 31x

c) 3x 1 + 3x + 1 = 90 d) 25.3x = 15x : e) 22x 2x + 1 + 1 = 0 Pr-Vestibular da UFSC

1 :

22

Incluso para a vida 10. A soma das razes da equao2 32x x 1

Matemtica Ab = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente. Exemplos: 1) log6 36 = x 2) log5 625 = x 36 = 6x 625 = 5x 62 = 6x 54 = 5x

1

13 2 : 3x 1

11. (UFMG) Com relao funo f(x) = ax, sendo a e xnmeros reais e 0 < a 1, assinale as verdadeiras: 01. A curva representativa do grfico de f est toda acima do eixo x. 02. Seu grfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1). 04. A funo crescente se 0 < a < 1 08. Sendo a = 1/2, ento f(x) > 2 se x > 1.

x=2 x=4

Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porm, dois deles se destacam: Sistemas de Logaritmos Decimais: o sistema de base 10, tambm chamado sistema de logaritmos comuns ou vulgares, ou de Briggs (Henry Briggs, matemtico ingls (1561-1630)). Quando a base 10 costuma-se omitir a base na sua representao. Sistemas de Logaritmos Neperianos o sistema de base e (e = 2, 718...), tambm chamado de sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se a J. Neper (1550-1617). Condio de Existncia Para que os logaritmos existam necessrio que em: logab = x se tenha :logaritmando positivo base positiva base diferente de 1 Resumindo

12.f ( x)

Determine

o

domnio

da

funo

abaixo:

(1,4)

x2 5

5 7

13. (UEPG-PR) Assinale o que for correto.01. A funo f(x) = ax, 1 < a < 0 e x R, intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0) 02. A soluo da equao 2x.3x = intervalo [0, 1]3

36 pertence ao*

04. Dada a funo f(x) = 4x, ento D = R e Im = R 08. A funo f(x) = 16.

2

x

crescente

1 2

a

1 2

b

a

b

b>0 a>0ea 1

14. Determine o valor de x no sistema abaixo:x xy

y y

x

Conseqncias da Definio(x 1 e y 1)

5

3

15. Resolver, em reais, as equaes abaixo:a) 5x + 0,2x = 5,2 b) 5.4x + 2.52x = 7.10x

Observe os exemplos: 1) log2 1 = x 1 = 2x 2) log3 1 = x 1 = 3x 3) log6 1 = x 1 = 6x loga 1 = 0 4) log2 2 = x 5) log5 5 = x loga a = 1 6) log2 23 = x 7) log5 52 = x 23 = 2x 52 = 5x 2 = 2x 5 = 5x

20 = 2 x 30 = 3 x 60 = 6 x

x=0 x=0 x=0

UNIDADE 11LOGARITMOSDEFINIO Dado um nmero a, positivo e diferente de um, e um nmero b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao real x tal que ax = b. (a > 0 e a loga b = x 1 e b > 0) ax = b

21 = 2 x 51 = 5 x

x=1 x=1

x=3 x=2

loga am = m 8) 2 log2 4 9) 3log3 9

x

22

x

x

4

x

32

x

x

9

Em loga b = x temos que: a = base do logaritmo Pr-Vestibular da UFSC

log ab a

b

23

Matemtica APROPRIEDADES OPERATRIAS b) log 0,000001 Logaritmo do Produto c) log2 0,25 O logaritmo do produto igual a soma dos logaritmos dos fatores. loga (b . c) = loga b + loga c d) log413

Incluso para a Vida

128

2. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule oExemplos: a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2 b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3 Logaritmo do Quociente O logaritmo do quociente o logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor. loga Exemplos: a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2 b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3 Logaritmo da Potncia O logaritmo da potncia igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potncia. loga x = m . loga xm

valor de: a) log 6

b) log 8 c) log 5

d) log 18

b c

loga b

loga c

Tarefa Mnima 1. Determine o valor dos logaritmos abaixo:a) log2 512

b) log0,250,25 c) log7 113

d) log0,25

128

2. Determine o valor das expresses abaixoExemplos: a) log2 53 = 3. log2 5 b) log3 4-5 = -5 log3 4 a) 3 loga a5 + loga 1 4 l g a1 n

a , onde 0 < a 1, :

Caso Particular

log b a

n

log b a1 3

1 . log b a nlog10 2

b) l g 2 8

1 l g9 3

16.l g 625 5 :

Exemplo:

log10

3

2 = log10 2

1 3

3. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule ovalor dos logaritmos abaixo: a) log 12 b) log 54 c) log 1,5 d) log5

Exerccio Resolvido: Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de log 18. Resoluo: log 18 = log(2.3 2) log 18 = log 2 + log 32 log 18 = log 2 + 2log 3 log 18 = 0,30 + 2.0,47 log 18 = 1,24

512

4. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qualser o valor de log 28? a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107

Exerccios de Sala 1. Com base na definio, calcule o valor dos seguinteslogaritmos: a) log21024 Pr-Vestibular da UFSC

24

Incluso para a vida 5. (FEI-SP) A funo f(x) = log (50para: a) x > 10 b) 10 < x < 5 c) 5 < x < 10 d) x < 5 e) n.d.a. 5x x2) definida

Matemtica A 15. Se x a soluo da equao x xxx ...

7 , calcule o1 7

valor da expresso 2x7 + log7x

UNIDADE 12LOGARITMOSx , ento x vale:MUDANA DE BASE Ao aplicar as propriedades operatrias dos logaritmos ficamos sujeitos a uma restrio: os logaritmos devem ser de mesma base. Dado esse problema, apresentamos ento um processo o qual nos permite reduzir logaritmos de bases diferentes para bases iguais. Este processo denominado mudana de base.

Tarefa Complementar 6. (PUC-SP) Se l g 2 2 512

7. (PUC-SP) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47,ento log

6 2 igual a: 5b) 0,22 d) 0,42 e) 0,52

a) 0,12 c) 0,32

8. (ACAFE-SC) Os valores de m, com

loga b =

R, para os quais a equao x2 2x + log2(m 1) = 0 admite razes (zeros) reais e distintas so: a) 2 < m < 4 b) m< 3 c) m 3 d) 1 m 3 e) 1 < m < 3

l gcb l gca

Como conseqncia, e com as condies de existncia obedecidas, temos:

1) log B A

1 log AB

2 log A k B

1 log AB k

9. Se log a = r, log b = s, log c = t e E =E igual a:

a , ento log b c3

3

EQUAO LOGARTMICA So equaes que envolvem logaritmos, onde a incgnita aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando (antilogaritmo). Existem dois mtodos bsicos para resolver equaes logartmicas. Em ambos os casos, faz-se necessrio discutir as razes. Lembrando que no existem logaritmos com base negativa e um, e no existem logaritmos com logaritmando negativo. 1 Mtodo: loga X = loga Y X=Y X = aM

10. (ANGLO) Se log E = 2log a + 3log b log c log d,Ento E igual a:

11. (UFSC) Sede x + y

3l g x y l g125 , ento o valor l gx l gy l g14

12. Se x =

3

360 , log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477,

2 Mtodo: loga X = M

determine a parte inteira do valor de 20 log10 x.

Funo Logartmica f(x) = loga x (a > 1) funo crescente

13. ( UMC-SP ) Sejam log x = a e log y = b. Ento o log x. y igual a:a) b) c) d) e) a + b/2 2a + b a+b a + 2b a b/2

14. Determine o domnio das seguintes funes:a) y = logx 1 (3 x) b) y = log(5 x) (x2 4)


25

Matemtica A (0 < a < 1) funo decrescente

Incluso para a Vida 5. Resolver, em reais, as seguintes inequaes:a) log2 (x + 2) > log2 8 b) log1/2 (x 3) log1/2 4

Tarefa Complementar 6. (UFSC) Dada a funo y = f(x) = loga x, com a > 0, a1, determine a soma dos nmeros associados s afirmativas verdadeiras. 01. O domnio da funo f R. 02. A funo f crescente em seu domnio quando a (1, + ) 04. Se a = 1/2 ento f(2) = 1 INEQUAO LOGARTMICA a>1 x2 > x1 08. Se a = 3 e f(x) = 6 ento x = 27 16. O grfico de f passa pelo ponto P(1,0).

loga x2 > loga x1 0 1, temos f crescente e g decrescente e para 0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes. 16. log 360 = 3 log 2 + 2 log 3 + log 5.26

x

x2


Incluso para a vida32. Se log N = 3,412 ento logN=

Matemtica A6,824.

14. (UFPR) Com base na teoria dos logaritmos eExponenciais, correto afirmar que:

12. Resolva a equao

l g 10 x

l g 100 x

2.

01. Se log3(5 y) = 2, ento y = - 4 02. Se x = loge 3, ento ex + e-x =

(divida o resultado obtido por 4). 13) Assinale a soma dos nmeros associados s proposies corretas: 01. A raiz da equao log(log(x + 1)) = 0 x = 9. 02. A soma das razes da equao. 2 1 + 2logx 2 . log4 (10 x) = 10. log x 04. A maior raiz da equao 9 . x 3 = x3 9. 08. O valor da expresso log3 2. log4 3 /2. 16. Se logax = n e logay = 6n, ento l igual a 7n. 32. A soluo da equao 2x.3x = intervalo [0, 1].34 log x

10 3

04. Se a e b so nmeros reais e 0 < a < b < 1, ento |log10a| < |log10b| 08. Se z = 10t 1, ento z > 0 para qualquer valor real de t 15. (ITA - SP) O conjunto dos nmeros reais que verificam a inequao 3log x + log (2x + 3)3 3 log2 dado por: a) { x R| x > 3 } b) { x R| 1 x 3 } c) { x R| 0 < x 1/2 } d) { x R| 1/2 < x < 1 } e) n.d.a.

ga 3 x2 y

36 pertence ao

GABARITO Unidade 1 1) a) 120 b) 12 2) b 3) a) 10 b) 16 4) 80 5) e 6) d 7) b 8) d 9) d 10) b 11) 47 12) b 13) 13 14) b 15) b 12) c 13) d 14) d 15) e Unidade 3 1) a) 4 b)S=1 3

c) 240

d) 12

c)

4 7

d) S =

e)

f) 9

10 2) b 3) e 4) a) (2,1) b) (3,2)

4) a 5) 5 6) S = {0} 7) a 8) 62 9) x = 3 10) a 11) 15 12) 07 13) a 14) 03 15) 05 Unidade 5 1) e 2) 31 3) a) {x R| x 3} b) {x R| x 3} c) {x R| x 6, x 2} d) 4) 10 5) c 6) a 7) a) -1 b) 3 c) 2 e 4 8) e 9) b 10) d 11) d 12) 21 13) 33 14) 29 15) 9x 1

c)

1 1 , 4 45) a) {x R| x > 7} b) {x R| x 2 } c) 1{x R| x > }

Unidade 2 1) a) {1, 2, 3, 4, 6, 12}b) {0, 3, 6, 9, 12, 15,....} c) {3, 4, 5, 6, 7} d) {-1, 0, 1, 2} e) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,.....} f) {1, 3, 5, 7, 9, ......}

6

2) c 3) 233

4) a) S = {-10,10} b) S = {-8, 6} c) S = d) S = {-1,1} 5) a 6)127 198

6) 08 7) 1 8) 82 9) x > 100km 10) 16 11) 95 12) 39 13) 92 14) 40 15) b Unidade 4 1) a) {2,3} b) {2,4} c) {2, 1/3} d) {2} e) f) {-5, 5} g) {0,5} 2) a 3) a

7) e 8) b 9) 06 10) a 11) b Pr-Vestibular da UFSC

2

27

Matemtica AUnidade 6 1)

Incluso para a Vida3) 81 4) a) f-1(x) =

b) f-1(x) = 4x 2 razes: 0 e 3 vrtice: (3/2, -9/4) Im = {y R/ y -9/4} 2) 55 3) 27 4) b 5) a 6) 29 7) c 8) 0 e 4 9) e 10) d 11) 01 12) 23 13) c 14) e 15) 08 Unidade 8 1) a) {x R | x < 2 ou x > 4} b) {xR| 2 x c) {x R | -2 e) {x R|x 4} R | - 3 < x < 3} d) {x x 2} R | x < 0 ou x > 6} f) {x -1 ou x 1} b) ]- , -4] d ) ]- , - 1]

x 3 2

c) f-1(x) = 4 x 1

x 25) 01 6) 61 7) 00 8) 99 9) e 10) d 11) a) f ( x)1

2) 02 3) a 4) b 5) 02 6) c 7) d 8) e 9) 01 10) c 11) 99 12) e 13) d 14) d 15) 0,2 Unidade 7 1) a)

b) f ( x ) c) f ( x)1

1

x 7 2 x 2 x 1 3

12) c 13) 05 14) 03 15) x2 + 6x + 9 Unidade 10 1) a) 7 b) 4 c) 3 00 2) 02 3) b 4) a) S = { x R| x > 2 }

d) 02

e)

2) a 3) a) ]-4, -1[

]1, 3[ [-1, 1] [3, [ c) ]- , -4[ ]3, 4[ [0, 1] e) [3, [

b) S = { x R| x > 3 } c) S = { x R| - 2 < x < 2 } d) S = { x R| x < - 5 ou x > 9 }

razes: -1 e 3 ={y R/y b)

vrtice: (1, -4) 4}

Im

razes: -2 e 4 vrtice: (1, -9) = { y R / y -9 } c)

Im

4) a) {x R| x < - 4 ou 2 x 3 ou x > 4} b) {x R| -4 < x < 2 ou 3 < x < 4} c) {x R|x < 1 ou 0 x < 1} d) {x R|x < 1 ou x > 3} 5) d 6) a) {x R | x 3} b) c) d) {3} 7) a) R b) R c) d) 8) e 9) a 10) c 11) a 12) d 13) d 14) d 15) a

5) a 6) c 7) 02 8) 01 9) 01 10) 00 11) 03 12) {x |x 13) 30 14) 5 5

- 2 ou x

2}

3 315) a) {-1, 1} b) {0, 1} Unidade 11 1) a) 9 b) 1 c) 0 d) -7/26 2) a) 13 b) 6 3) a) 1, 07 b) 1, 71 c) 0, 17 d) 0, 54 4) b 5) b 6) 06 7) b 8) e 9) 3r s t/3 10) a 2 b 3

raiz: 1 vrtice: (1, 0) R/y 0} d)

Im = { y

Unidade 9 1) a) f(g(x)) = 2x2 + 2 b) g(f(x)) = 2x2 + 8x + 8 c) f(f(x)) = x + 4 d) g(g(x)) = 8x4 e) 20 f) 18 g) 8 2) a

cd11) 09 12) 17 13) a 14) a) 1 < x < 3 e x 2x 6} b) { x R| 3 < x < 7} 6) 30 7) e 8) 04 9) 31 10) 99


3

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