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A APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA APOIADA NA HISTÓRIA DA
MATEMÁTICA
Autor: Luiza Del Castanhel1
Orientador: Antonio Amílcar Levandoski2
Resumo
Este estudo propõe a aprendizagem da geometria apoiada na História
da Matemática para os alunos do 9º ano do ensino fundamental. Como
princípio norteador, os encaminhamentos serão fundamentados na composição
e/ou decomposição de figuras planas para que os alunos compreendam o
conceito de área, perímetro e noções de volume de algumas figuras espaciais.
Através da História da Matemática e a decomposição de figuras, espera-se que
os alunos entendam que os conhecimentos matemáticos, muitas vezes
derivaram de resultados empíricos, relacionados com medições de terras,
construções arquitetônicas, determinações de áreas ou volumes, etc.
Palavras-chave: Aprendizagem de Geometria; História da matemática;
Área, perímetro e volume.
Professor Especialista em Ensino de Ciências Exatas – Matemática, Física e Química.
Graduada em Ciências, com habilitação em matemática pela Unioeste - Cascavel. 2 Mestre em Engenharia de Produção- UFSC-SC. Professor do Departamento Acadêmico de
Matemática da UTFPR (Unidade Curitiba).
1. Introdução
Uma das principais dúvidas dos alunos é quanto à origem de
determinado conhecimento matemático. Muitas vezes, o professor depara-se
com perguntas do tipo: “Quem foi o que inventou isso?”, “Como ele
descobriu?”. A matemática nas escolas básicas, com raras exceções, resume-
se à resolução de exercícios desvinculados da realidade e sem abordagem dos
aspectos históricos. Essa prática de ensino da matemática como ciência
acabada e inquestionável, dificulta a compreensão e assimilação pelo aluno e,
se desvincula de seu uso no mundo real.
A história da matemática e a geometria são instrumentos valiosos para
o ensino-aprendizagem da matemática. Conhecer os homens e suas ideias, em
que condições e o esforço que fizeram para solucionar os problemas e as
necessidades da humanidade são de grande utilidade. Expor e discutir com
nossos alunos a importância da geometria, mostrando que ela deu os primeiros
passos no antigo Egito, servindo para melhorar o sistema de arrecadação de
impostos, prática, aliás, muito bem usada por nossos governantes até os dias
atuais. Mostrar que a geometria está no nosso cotidiano, seja medindo
distâncias, construindo casas e em outras atividades humanas que dependem
de operações geométricas e dos números.
2. Fundamentação Teórica
Desde os tempos primitivos, a geometria foi sendo construída pelo
homem. Derivaram de resultados empíricos, relacionados com as medições de
terras, construções arquitetônicas, determinações de áreas ou volumes etc. Foi
extremamente lenta sua transformação, de uma ciência empírica para ciência
matemática.
Comparando, classificando, verificando semelhanças e diferenças, os
homens aprofundaram o conhecimento relacionado às formas dos objetos que
construíam com as formas da natureza, deixando de ter uma atitude passiva
para poder satisfazer as suas necessidades diárias.
Euclides foi quem organizou a geometria numa obra chamada
“Elementos”, em torno de 300 a. C. Os Elementos consistiam de treze livros ou
capítulos que continha todo o conhecimento matemático acumulado em sua
época. É o texto mais influente de todos os tempos. Euclides, a quem se
supõe ter observado que “não existe uma estrada real para a geometria”, é
considerado o seu maior organizador e sistematizador.
Somente no final do século XVIII e início do século XIX surgem as
geometrias não Euclidianas. O primeiro a desafiar abertamente o pensamento
de dois milênios e construir a geometria não Euclidiana foi o russo Nicolai
Lobachevsky. Com a publicação de suas idéias demonstrou que a Geometria
Euclidiana não representava a verdade absoluta que muitos acreditavam.
Esta “nova geometria” permaneceu por várias décadas à margem da
comunidade científica, até ser incorporada ao pensamento acadêmico por obra
das ideias de Riemann.
Com grande domínio da geometria, Riemann, possibilitou a
classificação de todas as formas existentes da geometria e também permitiu a
criação de um grande número de novos tipos de espaços que vieram a ser
muito úteis.
Félix Klein (1849 -1925) mostrou como podia ser aplicado o conceito de
grupo como um meio conveniente para caracterizar as várias geometrias que
haviam surgido durante aquele século. No início do século XX, Klein comandou
um movimento direcionado para a modernização do ensino da matemática nas
escolas secundárias.
David Hilbert (1862 -1943) em Fundamentos da Geometria procurou
dar um caráter puramente formal à geometria, a qual a álgebra e a análise já
desfrutavam.
Em seguida à obra de Hilbert, outros também propuseram suas
próprias coleções de axiomas, estabelecendo de maneira definitiva o caráter
puramente formal e dedutivo da geometria desde o começo do século XX.
Segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p.17), no começo do século XX,
não era usual “olhar para o ensino da Matemática com perspectivas diferentes
daquelas voltadas diretamente às tarefas e ao procedimento da prática de sala
de aula e à produção de manuais e subsídios didáticos”.
No Brasil, a criação da disciplina de matemática é proposta pelo diretor
do Colégio Dom Pedro II, em 1929, baseando-se nas idéias de Félix Klein.
Antes disso, aritmética, álgebra e geometria eram ministradas separadamente.
Em 1960 o Movimento da Matemática Moderna é liderado por Osvaldo
Sangiorgi que se distanciava das questões práticas comprometendo o
aprendizado, pois tinha preocupações excessivas com abstrações
matemáticas.
Com o Movimento da Matemática Moderna houve uma valorização da
álgebra e o abandono da geometria. Havia uma deficiência no ensino de
geometria nos cursos de formação dos professores. E nas escolas ela era
apresentada fragmentada e separada da álgebra e da aritmética.
Para Miguel (1996) a geometria consiste no estudo das propriedades
dos objetos e das transformações as quais são submetidos. Dentre tais
transformações, incluem-se as mais simples, que alteram a posição de objeto,
ou as mais complexas, que o descaracterizam por completo. Ainda para Miguel
(1996), nosso mundo é espontâneo e geométrico, já que agimos sobre ele
modificando os objetos e sendo por eles modificados, o que explica o fato da
geometria ser historicamente o primeiro sistema ordenado de ideias a respeito
do mundo.
De acordo com Pavanello (1985), Piaget indica que os sujeitos
apresentam limitações e que precisam libertar-se delas para perceber novas
possibilidades. São denominadas por ambos os estudiosos de pseudo
necessidades ou pseudo impossibilidades. Para o sujeito, inicialmente, uma
coisa precisa ser tal como ela é, do jeito que lhe foi apresentada, sem
possibilidade de mudanças ou variações. Essas possibilidades são geradas a
partir do momento em que o obstáculo é superado numa situação e a
possibilidade de uma variação começa a ser admitida.
Segundo Ausubel (1980, p.32), a aprendizagem escolar preocupa-se
primeiramente com a aquisição, retenção e utilização de um amplo campo de
informações potencialmente significativas. A aprendizagem significativa
processa-se quando o material novo, ideias e informações que apresentam
uma estrutura lógica, interage com conceitos relevantes e inclusivos, claros e
disponíveis na estrutura cognitiva, sendo por eles assimilados, contribuindo
para sua diferenciação, elaboração e estabilidade.
Jerome Bruner (1968) prioriza o papel da estrutura da disciplina na
aprendizagem e defende o método da descoberta de um conceito pelo próprio
aluno. A aprendizagem de um tópico deve permitir que o aluno aplique
facilmente ou generalize o que aprendeu, e que a aprendizagem poderá ser útil
para o futuro quando o indivíduo deparar com tarefas semelhantes às que já
aprendeu ou quando o aluno aprendeu uma ideia geral que posteriormente
será utilizada em casos mais específicos.
Vygotsky sustenta que a atividade criativa é fruto da atividade do
sujeito e que todos a têm. Manifesta-se onde quer que a imaginação humana
combine, mude e crie algo novo. Pressupõe que ela surge de experiências
prévias já existentes no cérebro. Ressalta que a atividade criativa da
imaginação depende primeiramente de experiências prévias que a pessoa
armazenou no seu cérebro, sendo uma função vitalmente necessária.
Esta atividade criativa nunca deve ser limitada, mas sim enriquecida,
pois é passível de desenvolvimento, através de experiências e conhecimentos
previamente adquiridos pelos sujeitos. Além disso, é importante trabalhar o
sentido e o significado dos conceitos.
Bicudo e Borba (2004, p.29) em Educação Matemática, concluem que
a Educação Matemática e a História da Matemática vêm sendo praticadas
como mera transmissão de técnicas e de nomes, fatos e datas
respectivamente. Mas que tendências mais recentes da educação, dão ênfase
à criatividade, que é responsável pela emergência de ideias novas, e à análise
crítica da evolução do conhecimento matemático ao longo da história. Sem
essa análise crítica do processo histórico, a criação de novas teorias e práticas,
respondendo à complexidade do mundo moderno, pode ser pouco eficiente e,
sobretudo, conduzir a equívocos.
3. Modelo proposto
As atividades foram desenvolvidas com os alunos do 9º ano do ensino
fundamental do Colégio Estadual Dezenove de Dezembro, no município de
Curitiba, Paraná.
Estas atividades foram desenvolvidas em sala de aula, pois os alunos
eram moradores de bairros afastados e não tinham condições de participar das
atividades extraclasse.
O modelo proposto desta produção foi promover a aprendizagem da
geometria apoiada na História da Matemática, utilizando-a como recurso
didático, o que contribuirá para o aprimoramento e a valorização do
aprendizado desta disciplina. Resgatando fatos e processos históricos tomando
a história como fonte motivadora para o processo ensino- aprendizagem.
As atividades estão elaboradas de forma que o aluno entenda que a
Matemática não é um conhecimento pronto e acabado, mas construído, muitas
vezes, a parir de situações concretas e necessidades reais.
A primeira atividade teve como objetivo apresentar aspectos históricos
ligados à evolução dos padrões de medidas e noções de áreas de polígonos
associadas à área do retângulo utilizando a História da Matemática como apoio
à aprendizagem.
Foi distribuída aos alunos uma folha quadriculada com desenhos de
figuras planas para que pintassem para introduzir o conceito de área. A
finalidade desta pintura é permitir que os alunos fossem capazes de diferenciar
o conceito de área e de perímetro que seria abordado posteriormente. O
quadradinho era a medida padrão utilizada para a resolução desta atividade.
Após a sua conclusão foi feita a leitura de um texto mostrando que as primeiras
medidas que surgiram tinham como referência o corpo humano. Mostra que o
primeiro sinal do uso de medidas deu-se no Egito, por volta de 4000 A.C.
A segunda atividade, sobre medidas de comprimento, teve como
objetivo, compreender a necessidade de padronização das unidades de
comprimento, registrar medidas de comprimento usando unidades de medidas
padronizadas, compreender as vantagens do uso destas unidades de medidas
padronizadas e fazer conversões entre as principais unidades de medida do
sistema métrico decimal. Para demonstrar que a padronização das medidas
facilita e até torna mais precisa a comparação entre dois objetos, foi
desenvolvida uma atividade bastante simples, como medir o tamanho das
mãos dos alunos utilizando uma folha de papel sulfite e marcando um ponto
entre o dedo mindinho e o polegar. Depois foi traçado um segmento de reta
entre estes dois pontos, medindo este segmento com um barbante para depois
compará-lo com o segmento formado pelo colega, para verificar se são do
mesmo tamanho ou não. Através desta pequena experiência foi possível
mostrar que medidas utilizando o próprio corpo geram tamanhos diferentes e
mostrando o porquê da necessidade de se usar medida padrão. Também,
como na atividade anterior, foi debatido um texto sobre a criação do metro,
explicando como foi desenvolvido o metro padrão para que fosse válido em
qualquer parte do mundo.
A terceira atividade, o objetivo principal foi introduzir o cálculo de área
utilizando a história da geometria como apoio para a aprendizagem. Partindo-
se de um pequeno texto ambientado no Egito antigo, procurou-se desenvolver
a área do retângulo e do quadrado. Mostrando mais uma vez que, a
matemática, muitas vezes derivou de atividades práticas do cotidiano.
Na quarta atividade foi introduzido o cálculo do perímetro, buscando
diferenciar para os alunos o que é área e o que é perímetro, através de um
exercício muito simples como medir o comprimento e a largura da sala de aula
e calcular a sua área. Após esta atividade, foi solicitado que medissem o
rodapé, questionando se foi utilizado o mesmo procedimento para calcular a
sua área. Depois, para fixar o conceito de perímetro, foi solicitado que os
alunos calculassem o perímetro da sala, da sua carteira, da porta, etc.
A quinta atividade foi o cálculo da área do triângulo retângulo. O
objetivo desta atividade foi calcular a área do triângulo utilizando a História da
Matemática e a decomposição de um retângulo e de um quadrado em
triângulos retângulos para demonstrar a sua área. Distribuiu-se pedaços de
malha quadriculada com o desenho de um quadrado de lado, 3 quadradinhos e
um retângulo, 4 quadradinhos de comprimento e 3 quadradinhos de largura.
Foi então solicitado que fizessem o cálculo da área do quadrado e do
retângulo. Em seguida, que pintassem somente o triângulo retângulo, dentro do
retângulo e o quadrado distribuído inicialmente, finalmente foi lido o texto sobre
o cálculo da sua área. Após a leitura, foi possível demonstrar a fórmula do
cálculo da área do triângulo retângulo, mostrando o porquê de ser a metade da
área de um retângulo e de um quadrado.
A sexta atividade foi uma demonstração do teorema de Pitágoras. Para
esta demonstração foi distribuída malhas quadriculadas com o desenho de um
triângulo retângulo de catetos medindo 3 e 4 unidades e hipotenusa 5. Foi
pedido para que desenhassem um quadrado ao lado de cada cateto,
calculando a sua área. Logo após, que calculassem o valor da hipotenusa ao
quadrado e comparassem com a soma dos quadrados do cateto. Depois da
análise de que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da
hipotenusa, concluíram o desenho representando a hipotenusa ao quadrado.
A sétima atividade foi sobre a área do círculo. Partindo de um texto
sobre como um escriba do Egito antigo deduziu a forma de calcular a área do
círculo, foi explicado que a maneira pela qual calculamos a área do círculo é
semelhante ao que Ahmes deduziu.
A oitava e última atividade refere-se à noções de volume. Foi
construído um cubo de 10 cm de aresta sem a tampa, e depois despejado um
litro de areia, mostrando que a capacidade de um cubo de aresta 1 dm equivale
a 1 litro. Foi demonstrado que, para calcularmos medida de superfície, usamos
a superfície de quadrados como padrão e para medir volumes, usamos o
volume do cubo. E, se quisermos calcular o volume de blocos retangulares,
podemos utilizar o mesmo processo usado para calcular o volume do cubo,
multiplicando o comprimento, a largura e a altura.
Nesta atividade, foi lido um pequeno texto sobre o acesso ao
conhecimento, e mostrando que este conhecimento era para poucos, tornando-
se uma estratégia deliberada de dominação. O texto também mostra que o
Egito Antigo fazia parte do continente africano, atendendo à lei 10 639 de
09/01/2003, a qual salienta a necessidade de desmistificar algumas visões
equivocadas sobre o negro e o continente africano apresentado como um
continente primitivo.
4. Estratégias de ação.
Para o desenvolvimento das atividades trabalhadas pelos alunos, a
parte histórica foi introduzida de modo que o aluno percebesse que o
conhecimento matemático foi construído a partir de situações concretas e
necessidades reais. Foram organizadas de forma a permitir o desenvolvimento
de conceitos e o domínio de conteúdos significativos e relevantes, acumulados
historicamente pela humanidade, estabelecendo ligações cognitivas entre a
linguagem, os conceitos da vida real e a linguagem matemática formal.
4.1 Análises dos resultados das atividades com embasamento teórico
A primeira atividade sobre áreas utilizando uma malha quadriculada foi
realizada no 9º ano A. Os alunos conversaram muito e não se preocuparam em
fazer as atividades de maneira correta. Demoraram muito para fazer e não
conseguiram concluí-la corretamente. O 9º ano B, considerada a mais agitada,
surpreendeu. Participaram das atividades e conseguiram perceber como é
extremamente trabalhoso o cálculo de áreas utilizando um quadradinho como
medida, fazendo a decomposição das figuras em retângulos para calcular a
sua área.
O cálculo de área de uma superfície faz parte do cotidiano de muitos
profissionais, como agrônomos, carpinteiros, engenheiros civis, marceneiros e
pedreiros. Mas, na verdade, a necessidade de se calcular áreas é bastante
antiga. Na matemática grega, organizada como ciência dedutiva, não havia
medidas de áreas. Euclides nem mesmo se deu ao trabalho de definir área, e
por ater-se às questões especulativas e filosóficas, não foi desenvolvida, em
seus trabalhos, uma aplicação prática para os conceitos e as propriedades
geométricas descobertas. Nos elementos, duas figuras são chamadas “iguais”
quando têm o mesmo comprimento se são segmentos e a mesma área, se são
figuras planas. Para Euclides, a coincidência de duas figuras planas por
superposição era um passo intermediário para concluir a igualdade de suas
áreas (Lima, 1991).
A segunda atividade sobre medida padrão foi mostrar que medidas
utilizando o próprio corpo geram tamanhos diferentes. Houve um interesse
muito grande por parte dos alunos quando lhes foi apresentado um texto que
menciona o fato de ter a França, em 1799, tomado a iniciativa de estabelecer
um sistema de medidas com padrões invariáveis. Foi sugerido também que os
alunos fizessem uma pesquisa sobre outras unidades padronizadas criadas ao
longo do tempo e ainda usadas atualmente. Foi uma atividade muito
enriquecedora. Eles debateram sobre as nossas unidades de medida e a
necessidade de mudança de unidades utilizando múltiplos e submúltiplos do
metro. Com isso, puderam concluir que é muito importante haver unidades de
medidas que sejam conhecidas por todos.
Esta atividade procurou seguir o que propõe Os Parâmetros
Curriculares Nacionais (Brasil, 1997) para o ensino da geometria. Que o aluno
desenvolva a compreensão do mundo em que vive, aprendendo a descrevê-lo,
representá-lo e a se localizar nele, estimulando ainda a criança a observar,
perceber semelhanças e diferenças, a identificar regularidades, compreender
conceitos métricos e permitir o estabelecimento de conexões entre a
matemática e outras áreas de conhecimento.
A quarta atividade sobre perímetro, os alunos já tinham o conceito
básico do que é o perímetro. Mas quando foi questionado se para calcular o
rodapé da sala de aula, usaríamos o mesmo procedimento que foi utilizado
para calcular a sua área, alguns alunos ficaram com dúvidas. Não conseguiram
por na prática o que sabiam na teoria. Só depois de realizada a tarefa que
conseguiram entender qual a diferença entre a área e o perímetro. Com isso
podemos concluir a importância de se trabalhar o sentido e o significado dos
conceitos. Pois, segundo Ausubel (1980, p.32), a aprendizagem significativa
processa-se quando o material novo, ideias e informações que apresentam
uma estrutura lógica, interagindo com conceitos relevantes e inclusivos, claros
e disponíveis na estrutura cognitiva, sendo por eles assimilados, contribuindo
para sua diferenciação, elaboração e estabilidade.
A quinta atividade sobre a área do triângulo retângulo, foi
extremamente simples de demonstrar através da decomposição de um
retângulo e um quadrado em triângulo retângulo. Para resolver os exercícios
simples onde teriam de aplicar a fórmula não tiveram dificuldade alguma.
Torrence e Torrence (1973, apud Ausubel), concluem que as
abordagens mais bem sucedidas parecem ser aquelas que envolvem tanto o
funcionamento cognitivo como o emocional, oferecem estrutura e motivação
adequadas, e dão oportunidade para o envolvimento a prática e a interação
com os professores e outros alunos.
A sexta atividade sobre o Teorema de Pitágoras, só um tipo de
demonstração foi trabalhada. Foi solicitado que fizessem o cálculo da área dos
catetos e depois as desenhassem no triângulo retângulo. Tanto para o cálculo,
quanto ao desenho das áreas dos catetos, não houve nenhuma dificuldade.
Mas, quando foi novamente solicitado para que calculassem a área da
hipotenusa e a desenhassem, os alunos tiveram extrema dificuldade em
desenhá-la. Concluímos nesta atividade que a maneira com que foi trabalhada
tornou esta atividade muito difícil para alunos. Talvez, se ao invés de usarem
esquadros, para desenhá-la fosse utilizado uma malha quadriculada para fazer
o desenho e colado na figura seria menos trabalhoso.
Euclides demonstrou o Teorema de Pitágoras ainda no primeiro dos
treze livros dos Elementos. No livro de Elon Lages Lima, na página 25, existe
uma demonstração do Teorema de Pitágoras por Euclides onde a
demonstração se faz por meio de decomposição de figuras congruentes. Na
página seguinte, há um comentário muito interessante de Proclus (410-485
D.C.), autor de um livro de comentários sobre o Livro I dos Elementos de
Euclides, onde explica, comenta e analisa as proposições do Livro I (Lima,
1991).
A sétima atividade foi trabalhada a partir de um texto sobre como foi
deduzida a fórmula do cálculo da área do círculo. Esta atividade, por ter sido
desenvolvida a partir da interpretação de um texto, dificultou a dedução da
fórmula pelos alunos. Quando a utilizaram para o cálculo da área de figuras
simples, tiveram dificuldade em fazer cálculos com valores decimais e em
interpretar quando era para calcular a área a partir de seu raio ou calcular o
raio a partir da sua área. Foi necessário o auxílio da professora para a sua
realização.
No que diz respeito à área do círculo, Euclides não vai mais além do
que provar (no livro XII) que as áreas de dois círculos estão entre si como os
quadrados dos seus diâmetros ou, o que é o mesmo dos seus raios. Sabia
também que a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro é
uma constante d, independente da circunferência tomada, mas não tratou nos
Elementos de estimar os valores de c e d (Lima, 1991).
A oitava e última atividade foi sobre noções de volume. Foi procurado
demonstrar a diferença entre calcular áreas e calcular o volume. Foi preciso
explicar muito bem estas diferenças. Principalmente na hora de colocar as
grandezas e o porquê de utilizarmos a medida cúbica e não a medida quadrada
utilizada para calcular áreas. Outra dificuldade encontrada foi quando tiveram
que resolver exercícios que utilizavam o cálculo de áreas e volume na mesma
figura. Precisaram de auxílio na sua resolução
Volumes são tratados por Euclides no Livro XII dos Elementos. Não há
fórmulas ali para exprimi-las, mas sim os principais teoremas são
demonstrados, sobre o volume das pirâmides e dos prismas, cones, cilindros e
esfera (Lima, 1991).
5. Conclusão
Uma das maneiras de fazer com que o aluno compreenda a geometria
é procurar fazê-lo pensar e deduzir por si próprio as fórmulas necessárias, e
não apenas seguir modelos prontos e acabados, sem qualquer aplicação
prática.
Para que isso ocorra, é de fundamental importância, o resgate de fatos
e processos históricos, mostrando que todo conhecimento adquirido ao longo
do tempo não se constitui de fatos isolados, mas sim de contribuições
importantíssimas, que em conjunto, ajudaram a compreender e transformar o
mundo que conhecemos.
Muitas vezes, em nossas aulas, voltamos à matemática dos egípcios e
babilônios, cujos textos diziam para fazer isso e em seguida aquilo com a
finalidade de se achar a solução.
Quando mudamos nossa maneira de ensinar, levando os alunos a
interpretar e demonstrar as fórmulas por meio de textos para depois aplicá-las,
concluímos que é extremamente trabalhoso desenvolvê-las. Mas não menos
enriquecedora. Procurar também mostrar de onde surgiram determinados
conhecimentos matemáticos, responde muito dos questionamentos dos alunos,
tais como: Onde vou usar isso? Ou, quem inventou isso?
Mas, sobretudo, não devemos somente ensinar matemática útil aos
nossos alunos. Grande parte da “matemática não útil” encontra aplicações no
nível de ensino superior. É fundamental que o aluno esteja ciente disso, pois a
matemática encontra aplicação nas mais diversas áreas.
Devemos deixar claro ao aluno que a aplicação dos conceitos
matemáticos envolve conhecimentos multidisciplinares que talvez não sejam
acessíveis para o aluno em seu nível de educação atual, mas que futuramente,
serão fundamentais.
Devemos mostrar que a matemática sendo uma ciência abstrata, nem
tudo pode ser aplicada ao nosso cotidiano, mas nem por isso ela deixa de ser
importante (será útil no decorrer da educação do aluno).
Referências
AUSUBEL, D. P.; NOVAK, J. D.; HANESIAN, H. Psicologia educacional. Tradução
Eva Nick. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980.
BICUDO, M. A. V.; BORBA, M de C. Educação matemática: pesquisa em
movimento. São Paulo: Cortez, 2004.
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide.
São Paulo: Edgar Bücher, 1974.
BRUNNER, Jerome S. O Processo da Educação. São Paulo: Companhia
Editora Nacional, 1968.
CARRAHER, D. & SHILIEMANN. Na vida dez, na escola zero. São Paulo:
Cortez. 1988.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da teoria a prática.
Campinas. Papirus 1996.
GERDES, Paulus. Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba:
Editora da UFPR, 1992.
LIMA, Elon Lages. Medidas e Forma Geométrica: Comprimento, Área,
Volume e Semelhança. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática,
1991.
LINDQUIST, Mary & SHULTE, Albert. Aprendendo e Ensinando Geometria.
Guarulhos: Editora Atual. 1998.
MIGUEL. A et al. O ensino da matemática no primeiro grau. Projeto
magistério. São Paulo: Atual, 1986.
MOREIRA. M. A.; MASINI. E. F. S. Aprendizagem significativa: A teoria de
David Ausubel. São Paulo: Moraes, 1982.
MOYSÉS, Lúcia. Aplicações de Vygotsky à educação matemática.
Campinas. SP: Papirus, 1997.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares da
Educação Básica. 2008.
PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino da Geometria no Brasil: Causas
e conseqüências. In: Zetetiké, nº 1, p. 7 -17, Unicamp, março, 1993.
REVISTA NOVA ESCOLA. O ensino da matemática no Brasil. Número 216,
Outubro 2008, p. 64 e 65.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Educação Matemática e
Criatividade. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, nº 3, p. 5 a
9. 2º sem.1994.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Porque não ensinar
geometria? Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, nº 4, p. 3. 1º
sem.1995.