a Assistente Em Adm Pernambuco

8/6/2019 a Assistente Em Adm Pernambuco

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Concurso

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DEPERNAMBUCO

ASSISTENTE EMASSISTENTE EMADMINISTRAOADMINISTRAO

UFPE


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MATEMTICA

EDITORA PDIUMVoc em 1 lugar!

www.editorapodium.com.br

TODOS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reproduo, mesmo parcial e por qualquerprocesso, sem autorizao expressa dos autores e da Editora Pdium.

VOC EM 1 LUGAR!2


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MATEMTICA

SUMRIO

Conjunto de nmeros naturais, inteiros, racionais e reais........03

Sistema legal de unidade de medida...........................................18

Razo e Proporo........................................................................23 Grandezas proporcionais..............................................................25 Mdia Aritmtica, Mdia Ponderada.............................................29 Regra de Trs Simples e Composta.............................................30

Juros simples e compostos..........................................................32

Percentagem e desconto simples................................................34

PROVAS..............................................................................37GABARITO...............................................................40

VOC EM 1 LUGAR! 3


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MATEMTICA

CONJUNTO DE NMEROS NATURAIS, INTEIROS,RACIONAIS E REAIS

NMEROS NATURAISNSo os nmeros que surgem atravs de uma contagem (0, 1, 2, 3,....). O smbolo utilizado paranmeros naturais N.

ADIOOs nmeros que esto sendo somados so as parcelas: O resultado

da operao a soma.20 parcela 20 + 11 = 31

+ 11 parcela31 soma

Propriedades da AdioPropriedade Comutativa

Na adio de nmeros naturais, a ordem das parcelas no altera a soma.O termo comutativa vem do verbo COMUTAR que significa permutar ou trocar.Ex.: a + b = b + a 4 + 5 = 5 + 4

Propriedade AssociativaNa adio de trs ou mais parcelas pode-se associar quaisquer duas ou mais parcelas, sem alterar a

soma.O termo ASSOCIATIVA vem do verbo ASSOCIAR que significa agrupar ou juntar.Ex.: (a + b) + c = a + (b + c)

(3 + 2) + 1 = (3 + (2 + 1)

ElementoNeutroO nmero 0 no influi no resultado da adio de naturais. Ou seja, no conjunto N existe o zero

que, adicionado a qualquer nmero natural, reproduz este nmero natural.Por isso zero o ELEMENTO NEUTRO DA ADIO.

Ex.: 9 + 0 = 9 0 + 9 = 9 5 + 0 = 0 + 5 8 + 0 = 0 + 8 2 + 0 = 0 + 2

SUBTRAO a operao inversa da adio.Seja a operao: 7 - 4 = 3 ou 7 MINUENDO

- 4 SUBTRAENDO3 DIFERENA

O nmero 7 chama-se minuendo, o nmero 4 subtraendo e o resultado 3 obtido chama-sediferena.

No conjunto N, a - b s possvel quando a > 0.

MULTIPLICAOMultiplicar significa somar um nmero repetidas vezes. Ex.: 2 + 2 + 2 + 2 = 8Como o nmero dois aparece quatro vezes, escrevemos 4 fatorx 2 fator

8 produto

Propriedades da MultiplicaoPropriedade ComutativaNa multiplicao de naturais, a ordem dos fatores no altera o produto. Ex.: a . b = b . a

VOC EM 1 LUGAR!4

A adio umaoperao de nmeros

naturais chamadosparcelas, que levam a

um resultadodenominado

PropriedadeFundamentalda Subtrao

O subtraendosomado com adiferena d

como resultadoo minuendo.

4 + 3 = 7


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MATEMTICA

Propriedade Associativa(a . b) . c = a . (b . c)(5 . 3) . 4 = 5 . (3 . 4)

Elemento NeutroEx.: a . 1 = a e 1 . a = aO nmero 1 no influi no resultado da multiplicao de naturais. Dizemos, ento, que 1 o elemento

neutro da multiplicao de naturais.Propriedade Distributiva da Multiplicao em Relao Adioa . (b + c) = a . b + a . c5 . (2 + 4) = 5 . 2 + 5 . 4

Observaes:a) Pela propriedade comutativa da multiplicaopodemos escrever: (b + c) . a = b . a + c . ab) A propriedade distributiva da multiplicaoem relao adio vale mesmo quando temos maisdo que duas parcelas: a . (b + c + d) = a . b + a . c + a . d

DIVISOA diviso a operao inversa da multiplicao. Ela indicada do seguinte modo:

36 51 7

O nmero 36 chama-se dividendo, o nmero 5 chama-se divisor; o resultado obtido, 7, chama-sequociente e o resultado obtido 1, chama-se resto. Onde temos:

dividendo divisorresto quociente

Tambm podemos representar a diviso da seguinte forma: 4 2 =2

Propriedades da DivisoO quociente multiplicado pelo divisor, e adicionado com o resto, d como resultado o

dividendo.

43 61 7

O quociente multiplicado pelo divisor e adicionado o resto, d como resultado o dividendo.7 . 6 + 1 = 43

Esta a propriedade fundamental da diviso de nmeros naturais.Desta propriedade pode-se tirar outra, seja: o resto tem de ser menor do que o divisor.

Devido a isso, relembramos que no podemos dividir por 0.Assim temos: 12 3 = 4 pois 4 x 3 = 12

5 0 = ? pois ? . 0 = 0

POTENCIAOA potenciao nada mais do que uma multiplicao.Vejamos: 5 . 5 . 5 = 25 . 5 = 125Este produto ser indicado com 53, que se l cinco elevado terceira ou terceira potncia de

cinco.A indicao completa da operao potenciao feita da seguinte maneira:53 = 125

De modo geral, se a e n forem dois nmeros naturais quaisquer, com n > 1, temos:A potncia an um produto de n fatores iguais a a.

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Como regra NO SEESQUEA QUE NO

EXISTE DIVISO PORZERO.


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N O T A:SE OS SINAIS FOREM IGUAIS O

RESULTADO SER (+).SE OS SINAIS FOREM DIFERENTES

O RESULTADO SER ( - ).

MATEMTICA

QUADRADO E CUBOA segunda potncia de um nmero chamada de quadrado do nmero e a terceira potncia de

um nmero chamada de cubo do nmero.Assim:o quadrado de 8 82 = 8 . 8 = 64o cubo de 2 23 = 2 . 2 . 2 = 8

INTEIROSNmeros Inteiros (Z)

Z= {...,-2,-1,0,1,2,...} Inclui os nmeros negativos e os nmeros Naturais.Representamos porZ = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, o conjunto dos nmeros

inteiros relativos.Num campeonato de futebol, ao final da 6 rodada, o nmero de gols que cada equipe marcou

e sofreu est nesta tabela.GOLS A FAVOR GOLS CONTRA SALDO

GRMIO 14 2 + 12

FLAMENGO 8 5 + 3CORNTHIANS 10 9 + 1BOTAFOGO 10 10 0SANTOS 4 6 - 2FLUMINENSE 5 8 - 3SO PAULO 7 11 - 4VASCO 3 10 - 7

Como vimos, o Grmio, o Flamengo e o Cornthians marcaram mais gols do que sofreram, ficandocom saldo positivo de gols.

O Botafogo marcou e sofreu o mesmo nmero de gols, ficando com saldo nulo.O Santos, o Fluminense, o So Paulo e o Vasco sofreram mais gols do que marcaram, ficando com

saldo negativo de gols.ASSIM: O saldo de gols dado pela diferena do nmero de gols marcados e do nmero de golssofridos. No caso do Santos a diferena 4 - 6. Mas como calcularemos esta diferena em Matemtica?Precisamos para isto, ampliar os nossos conhecimentos sobre os nmeros.

Sobre uma reta r, vamos marcar um ponto, a origem associada ao nmeroZERO, os nmerosinteiros positivos e os nmeros inteiros negativos.

Os pontos representados os nmeros inteiros so separados entre si pela mesma unidade.-9 - 8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

r

Assim na reta r, temos direita do zero os elementos positivos e esquerda do zero oselementos negativos.

a)Eis o conjunto dos nmeros inteiros relativos no negativos:Z+ = {0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, ...}b) E o conjunto dos nmeros inteiros relativos no positivos: Z_ = {...-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

REGRA DOS SINAIS(+)x (+) = +(+)x (- ) = -(- ) x (- ) = +(- ) x (+) = -(+): (+) = +(+): (- ) = -(- ) : (- ) = +

(- ) : (+) = -

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MATEMTICA

ADIOA) NMEROS DE MESMO SINAL Se a temperatura hoje de 22C e se ocorre um aumento de 4C, qual a temperatura aps o

aumento?RESPOSTA: (+ 22C) + (+ 4C) = 26C

Se a temperatura num certo dia de -2C e se ocorre um abaixamento de 3C, qual a temperatura

aps o abaixamento?RESPOSTA: (-2C) + (-3C) = -5C

Na adio de nmeros inteiros relativos de mesmo sinal, adicionamos os seus mdulos e conservamoso seu sinal. EXEMPLOS:

a) (+7) + (+3) = + 10b) (+5) + (+2) = + 7c) (-5) + (-1) = - 6d) (-6) + (-5) = - 11

B) NMEROS DE SINAIS CONTRRIOS Se a temperatura de 13C e h uma queda de 5 C, qual a nova temperatura?

RESPOSTA: (+13) + (-5C) = +8C Se a temperatura de -10C e h um aumento de 3C, qual a nova temperatura?RESPOSTA: (-10C) + (+3C) = -7C

Na adio de nmeros relativos de sinais contrrios, calcula-se a diferena entre os mdulos dos nmeros,prevalecendo o sinal de maior mdulo. EXEMPLOS:

a) (+5) + (-3) = + 2b) (-5 ) + (+4) = - 1c) (+3) + ( -1) = + 2d) (-6 ) + (+1) = - 5

C) no caso de existirem mais de dois nmeros na adio, adicionamos todos os positivos e todos osnegativos entre si, para ento efetuarmos a operao entre os dois nmeros resultantes. Dependendodos valores, este clculo pode ser feito diretamente, EXEMPLOS:

a) (+3) + (+5) + ( -6) + ( -1) + (+4) = ?Positivos: (+3) + (+5) + (+4) = +12Negativos: (- 6) + (- 1) = -7Resultados: (+12) + (- 7) = +5

b) (+3) + (+2) + (- 6) + (-7) + (-4) =?(+5) + (- 7) = - 12

SUBTRAOSuponha que voc possua R$ 200,00 e vai pagar uma conta de R$ 120,00. Quanto resta aps pagar a conta?

R$ 200,00 - R$ 120,00 = R$ 80,00 ou ento: (+200) - (+120) = (+200) + (-120) = +80

Agora imagine que voc tem R$ 80,00 e vai pagar uma conta de R$ 110,00. Quanto voc dever ficar devendo?R$ 80,00 - R$ 110,00 = - R$ 30,00 ou ento: (+80) - (+110) = (+80) + (-110) = -30

A diferena de dois nmeros relativos numa certa ordem, a soma do primeirocom o simtrico do segundo.

EXEMPLOS:a) (+4) - (+2) = (+4) + (- 2) = +2b) (+3) - (+6) = (+3) + (- 6) = - 3c) (+2) - (+4) = (+2) + (- 4) = - 2d) (- 7) - (+10) = ( -7) + (-10) = - 7

Nas operaes onde o sinal negativo precede os parnteses, podemos raciocinar direto, da seguinte maneira:- (+3) o oposto de (+3) que (- 3)- (- 3) o oposto de (- 3) que (+3)

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MATEMTICA

Efetuando direto, temos:- (+5) = - 5 - (+6) = - 6- (- 7) = +7

MULTIPLICAOA) DOIS FATORES DE MESMO SINAL Na multiplicao de dois nmeros inteiros relativos de mesmo sinal, o produto positivo.

EXEMPLOS:a) ( +3) x (+2) = + 6b) (- 3) x (- 2) = + 6c) (+4) x (+2) = + 8

B) DOIS FATORES DE SINAIS CONTRRIOSNa multiplicao de dois nmeros relativos de sinais contrrios, o produto negativo. EXEMPLOS:a) (- 3) x (+2) = - 6b) (+4) x (- 2) = - 8c) (+5) x (- 1) = - 5

C) MULTIPLICAO COM MAIS DE DOIS FATORESOlhe o exemplo:(+3) x (- 2) x (- 4) x (- 10) =(- 6) x (- 4) x (- 1) =(+24) x (- 1) = -24

Efetuamos a multiplicao calculando o produto com doisfatores de cada vez, ou ento calculamos o produto dosvalores absoluto dos fatores e verificamos o nmero defatores negativos, com duas possibilidades

D) MULTIPLICAO ONDE O FATOR NULOEm toda a multiplicao de nmeros inteiros relativos onde um fator nulo, o produto nulo.EXEMPLOS: a) (+3) x 0 = 0 b) (- 3) x 0 = 0

DIVISO a operao inversa da multiplicao.

Na diviso (+16) : (+2), vamos encontrar o nmero inteiro relativo, que multiplicado por (+2) d (+16).(+16) : ( +2) = ? (+2) x ( ? ) = (+16)

Este valor (+8).Com relao ao sinal, podemos concluir que a diviso de nmeros inteiros relativos segue a mesma regra

que a multiplicao. O quociente da diviso igual ao quociente dos valores absolutos dos nmeros inteirosrelativos.

EXEMPLOS:a) (-20) : (+5) = - 4b) ( +10) : ( +2) = +5

c) (- 10) : (- 1) = +10d) (+14) : (- 7) = - 2

POTNCIASObserve o seguinte produto de fatores iguais.2 x 2 x 2 este produto pode ser escrito da seguinte forma, 23 onde o nmero 3 representa

quantas vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele mesmo.

23 expoente

baseExpoente informa quantas vezes o fator vai ser multiplicado por ele mesmo.

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1) Se a quantidade de fatores negativosfor par, o produto positivo.2) Se a quantidade de fatores negativosfor mpar, o produto negativo.

OBSERVAO:A diviso de dois nmerosinteiros relativos, s

possvel quando mltiplodo segundo e diferente dezero.


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MATEMTICA

Base informa o fator a ser repetido.Potncia o resultado desta operao23 = l-se, dois elevado a 3 potencia ou dois elevado ao cubo.

A potenciao uma multiplicao de fatores iguais.Temos que, (+2) x (+2) x (+2) = (+2) 3

Na potncia (+2)3 = + 8, temos:

(+2) = base3 = expoente+8 = potncia

Para os nmeros inteiros relativos, temos:a) BASES POSITIVASVamos ver quanto vale (+3)2?(+3)2 = (+3) x (+3) = +9E (+5)4 ? (+5)4 = (+5) x (+5) x (+5) x (+5) = + 625

b) BASES NEGATIVASE agora quanto vale (-3)2 ?(- 3)2 = (-3) x (-3) = + 9E quanto vale: (- 2)3 ?(- 2)3 = (- 2) x (- 2) x (- 2) = - 8

EXERCCIOSSITUAO 1: Num determinado dia a temperatura registrada em Florianpolis, no perodo damanh era de + 6 graus, e durante a tarde, subiu 5 graus. Que temperatura o termmetromarcar no final da tarde, caso no haja outra mudana de temperatura?Se voc respondeu 11 graus positivos, acertou!Vamos fazer a representao na reta numrica inteira, assim

+ 11

- 6 + 5 | | | | | | | | | | | |

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 C

Podemos escrever ento, que:(+6) + (+5) = (+11)

Situao 2: A temperatura em So Joaquim durante o dia era de 1 grau. De madrugadadesceu 2 graus. Que durante o termmetro registrou durante a madrugada?Representando na reta numrica, temos:

- 3

- 2 - 1

| | | |- 3 - 2 - 1 O C

Conclumos, ento, que a temperatura era de 3 graus abaixo de zero. Ento:(-1) + (-2) = (-3)

Situao 3: Se em Blumenau a temperatura era de + 9 graus casse 3 graus, qual seria anova temperatura registrada pelo termmetro?Podemos representar essa situao da seguinte maneira:

+ 6

- 3

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Observao:TODA POTNCIA DE BASEPOSITIVA SEMPRE POSITIVA.

OBSERVAO:TODA POTNCIA DE BASE

NEGATIVA POSITIVA SE OEXPOENTE PAR, E NEGATIVASE O EXPOENTE IMPAR.


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MATEMTICA

+ 9

| | | | | | | | | |O + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 C

A temperatura seria de graus acima de zero.

Ento: (+9) + (-3) = (+6)

Situao 4: Em Tubaro a temperatura era de 5 graus, durante a madrugada. At s 8 horashavia subido 4 graus. Que temperatura o termmetro registrou s 8 horas?Vamos fazer essa representao na reta numerada, assim:

- 1+ 4

- 5

| | | | | |

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 O C

Conclumos, esto, que s 8 horas a temperatura era de 1 grau abaixo de zero.Podemos escrever: (-5) + (+4) = (-1)

Situao 5: Em Chapec, ao amanhecer, o termmetro havia registrado 3 graus. At s 12horas o termmetro subiu 3 graus, nesse horrio qual era a temperatura indicada pelotermmetro?Vamos representar na reta numerada, assim:

+ 3

- 3

| | | | | | |- 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 C

Observamos, ento, que a temperatura s 12 horas era de 0C.Ento: (-3) + (+3) = 0

RACIONAISNmeros Racionais (Q): So nmeros racionais:

- , -1 , 0 ,1, -

Alm de incluir os dois conjuntos anteriores, inclui tambm as fraes e os nmeros decimaiscom perodo constante como 2,33 e -1,444...

Os nmeros racionais so indicados por Q. Cada nmero racional representado por umafrao a,

bonde a e b so nmeros inteiros e b 0.

Os nmeros racionais admitem representao decimal exata ou peridica.Conjunto dos nmeros racionais:Q = {x; x = p/q com p Z , q Z e q 0 }.Temos ento que nmero racional aquele que pode ser escrito na forma de uma fraop/qonde p e

q so nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que no existe diviso porzero.So exemplos de nmeros racionais:2, -3, 0,001= 1 , 0,75 = 3, 0,333... = 1 , 7 = 7, 4 =

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MATEMTICA

20 , ... , etc.3 7 1000 4 3 1 5

Obs.:a) evidente que N Z Q.b) toda dzima peridica um nmero racional, pois sempre possvel

escrever uma dzima peridica na forma de uma frao. Ex: 0,4444... = 4/9A frao indicada por 2 nmeros naturais, escritos um acima do outro abaixo de um trao

horizontal, com o seguinte significado: o nmero escrito abaixo do trao chamadoDENOMINADORe indica a quantidade de partes em que foi dividida a barra.

O nmero escrito acima do trao indica a quantidade de partes que foram consideradas, sendochamado NUMERADOR.

Assim: 1 (numerador) significa que foi considerada uma parte das 4.4 (denominador)

2 significa que foram consideradas 2 partes das 4, ou a metade da barra .4

( 2 = 1 )4 2

3 significa que foram consideradas 3 partes das 4.4

4 significa que foram consideradas 4 partes das 4, ou seja, o todo 1 = 44 4

As fraes podem ser ainda representadas como nmeros decimais (Desde, claro, que o

numerador no seja um mltiplo do denominador como em que exatamente igual a 2).Existem dois tipos de decimais: os decimais exatos e os decimais que resultam em dzima

peridica infinitas casas depois da vrgula:

3 = 0,75 (decimal exato)4

2 = 0,666.... (dzima peridica)3

Frao Geratriz: a frao que gera um determinado nmero decimal.

Exemplo: a frao geratriz de 0,3333...

Clculo da frao geratriz existem trs casos:Primeiro Caso: a dzima peridica composta de uma mesma seqncia de algarismos

como em 0,243243243... (No caso, 243 chamado de perodo da dzima, pois o 243 se repete).

Existe uma regra prtica: para acharmos a frao geratriz, basta criar uma frao onde onumerador o perodo e o denominador composto de "noves". Se o perodo tiver 2 algarismos,o denominador vai ser 99; se o perodo tiver 4 algarismos o denominador vai ser 9999. Assim:

0,243243243... = 243 27 = 9999 27 = 37

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MATEMTICA

Segundo caso: uma dzima onde a parte inteira antes da vrgula diferente de zero.Exemplo: 22,2323232323.....

Nesse caso, o mtodo muito parecido com o primeiro caso: 22,2323232323... = 22 +0,232323... =

22 + 23 = 22 + 23 = (22 . 99) + 23 = 2.20199 1 99 99 99

Terceiro Caso:Quando temos uma dzima peridica composta, ou seja, a parte decimal formadapor algarismos no-peridicos e algarismos peridicos:exemplo: 0,33421421... (note que o 33 no se repetemais, ao contrrio do 421 que se repete). Nesse casotemos uma outra regra prtica:

0,33421421.....

33421 33 = 33388 4 = 834799900 99900 4 24975

Observao:Nem todo nmero decimal pode ser convertido em uma frao. Se o nmero decimal no

apresentar perodo, por exemplo: 3,141592... dizemos que o nmero irracional.

ADIO E SUBTRAOA adio e subtrao de duas ou mais fraes a operao que permite determinar a soma ou diminuio

dessas fraes. H dois casos a destacar, comum ambas operaes:

FRAES TEM DENOMINADORES IGUAIS

1 EXEMPLO:Calcular 2 + 5

9 9Resoluo: Para isso, vamos usar a figura:

A figura foi dividida em 9 partes iguais, e cada parte representa 1. 9

A parte de cinza escuro representa 2 da figura. 9

a parte de cinza claro representa 5 da figura. 9 A parte colorida representa 7 da figura 9

Ento: 2 + 5 = 79 9 9

2 EXEMPLO:Calcular 6 - 4

7 7Resoluo: Para isso, vamos usar a figura: A figura foi dividida em 7partes iguais, e cada parte representa 1

7 A parte colorida representa 6 da figura.

7 A parte cinza e riscada representa 4 da figura. 7 A parte colorida e no riscada representa 2 da figura. 7

Ento: 6 - 4 = 2

VOC EM 1 LUGAR!12

Regra prtica:33421 escrevemos o no-peridico 33seguido do peridico 42133 a parte no peridica99000 2 noves, pois a parte no-peridica 33 tem 2 algarismos.trs zerospois a parte peridica tem 3algarismos.


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7 7 7'

Pelos exemplos dados:

Se as fraes tm o mesmo denominador, adicionamos ou subtramos osnumeradores conservando o denominador comum.

Exemplos:

1) 2 + 3 = 5 2) 5 + 1 = 6 = 311 11 11 8 8 8 4 6

simplificando 83) 4 - 1 = 3 4) 7 - 2 = 5 = 1

5 5 5 10 10 10 2 5simplificando 10

FRAES QUE TM DENOMINADORES DIFERENTES1 exemplo: Calcular 1 + 1

2 5Resoluo:

Inicialmente, vamos usar a figura ao lado como unidade.

Observe as figuras:

1 1 1 + 12 5 2 5

5 2 5 + 2 = 7

10 10 10 10 10

Voc pode notar que 1 + 1 representa o mesmo que 5 + 22 5 10 10

Ento:1 + 1 = 5 + 2 = 72 5 10 10 10

fraes com fraesdenominadores equivalentesdiferentes com o mesmo denominador

Para adicionar ou subtrair fraes com denominadores diferentes, devemos, inicialmente, escrever fraesequivalentes s fraes dadas e que tenham o mesmo denominador.

A seguir, adicionamos ou subtramos essas fraes equivalentes.Veja outros exemplos:

1) 5 + 3 = 20 + 9 = 29 2) 3 - 2 = 15 - 8 = 76 8 24 24 24 4 5 20 20 20

escrevendo as fraes equivalentes com o escrevendo as fraes equivalentes com omesmo denominador mesmo denominador

3) 2 + 3 = 2 + 3 = 8 + 3 = 11 4) 1- 3 - 1 - 3 - 7 - 3 = 44 1 4 4 4 4 7 1 7 7 7 7

escrevendo as fraes equivalentes com o escrevendo as fraes equivalentes com omesmo denominador mesmo denominador

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OBSERVAO:Para facilitar as operaes conveniente usar o menor dosdenominadores comuns.


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MATEMTICA

EXERCCIO:Observando a figura ao lado, responda:1. Qual a frao representada pela parte cinza escuro?2. Qual a frao representada pela parte colorida de cinza claro?3. Qual a adio de fraes que a figura sugere e qual o resultado dessa adio?RESPOSTAS:1. 2 2. 5 3. 2 + 5 = 7

9 9 9 9 9

MULTIPLICAOMultiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores tambm. EXEMPLOS:a) 3 . 1 = 3 . 1 = 3

5 4 5 4 20

b) 5 . 2 = 5 . 2 = 103 1 3 3 3

DIVISOPara dividirmos duas fraes devemos multiplicar a primeira pelo inverso da segunda. EXEMPLOS:a) 3 : 2 = 3 . 3 = 9

5 3 5 2 10 b) 5 : 1 = 5 . 2 = 5 . 2 = 10

2 1 1 1 1

POTENCIAOPotncia de uma frao um produto de fatores iguais a essa frao. Da mesma forma que foi estudada

para os nmeros naturais,. a potenciao a operao que permite determinar a potncia. EXEMPLOS:a) (2)4 2 . 2. 2 . 2 16

3 3 3 3 3 81

A tcnica de clculo dada pela seguinte regra:Para se elevar uma frao a uma potncia, elevam-se, separadamente, numerador e denominador aoexpoente indicado.

(5) = 5 . 5 . 5 = 1254 4 4 4 64

(1)4 = 1 . 1 . 1 . 1 = 12 2 2 2 2 16

( 2)5 = 2 . 2 . 2 = 83 3 3 3 27

REAISA unio dos nmeros racionais e irracionais chama-se CONJUNTO DOS NMEROS REAIS.

Representa-se porR.Assim, R = Q I

Conjunto dos nmeros reais: R = { x; x racionalou x irracional}.Exemplos:a) - 2 um nmero racional. tambm um nmero real.

3b) 5 um nmero irracional. tambm um nmeroreal.

So particularmente importantes alguns subconjuntos de IR, denominados intervalos.Exemplo:

a) Os nmeros da reta real, compreendidos entre 2 e 5 e, incluindo os extremos 2 e 5, formam oVOC EM 1 LUGAR!14

Observao:Podemos usar dois sinais para indicar a multiplicao: o x e opontinho (.). Voc notar no decorrer dos estudos que aaparecero as duas formas, portanto no esquea que ambas tmo mesmo significado.Exemplo: 2 x 3 = 6 igual a 2 . 3 = 6

RACIONAL IRRACIONAL =

Observao:a) bvio que N Z Q Rb) Q Rc) Q Q = Rd) um nmero real racional ouirracional, No existe outra hiptese.


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MATEMTICA

intervalo fechado [2; 5]:[2; 5] = {x IR| 2 < x > 5 }

cuja representao na reta real a seguinte:

2 5As bolinhas cheias nos pontos 2 e 5 indicam a incluso destes extremos no intervalo.

b) Os nmeros da reta real, compreendidos entre 3 e 7, e excludos os extremos 3 e 7, formam ointervalo aberto ] 3; 7 []3; 7[ = {x IR| 3 < x < 7}


3 7As bolinhas vazias nos pontos 3 e 7 indicam a excluso destes extremos no intervalo.

c) Os nmeros da reta real, compreendidos entre 1 e 4, incluindo o 1 e excluindo o 4, formam ointervalo fechado esquerda e aberto direita [1; 4[:

[1; 4[ = {x IR| 1 < x < 4}cuja representao na reta real a seguinte:

1 4A bolinha cheia no ponto 1 e a bolinha vazia no ponto 4 indicam a incluso do primeiro

extremo e a excluso do segundo no intervalo.

d) Os nmeros da reta real, compreendidos entre 5 e 7, excluindo o 5 e incluindo o 7, formam ointervalo aberto esquerda e fechado direita ]5; 7]:

]5; 7] = {x IR| 5 < x < 7 }

5 7A bolinha vazia no ponto 5 e a bolinha cheia no ponto 7 indicam a excluso do primeiro

extremo e a incluso do segundo no intervalo.

e) Os nmeros da reta real, situados direita de 9, e incluindo o prprio 9, formam o intervaloinfinito fechado esquerda [9; + [:

[9; + [ = {x IR| x > 9 }cuja representao na reta a seguinte:

9

f) Os nmeros da reta real, situados direita de 3, e excluindo o prprio 3, formam o intervaloinfinito aberto esquerda ] 3; + [:

] 3; + [ = {x IR| x > 3 }


3

g) Os nmeros da reta real, situados esquerda de 2, e incluindo o prprio 2, formam o intervaloinfinito fechado direita ] - ; 2 ]

] - ; 2] = { x IR| x < 2}

cuja representao na reta a seguinte:

2

VOC EM 1 LUGAR! 15


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MATEMTICA

h) Os nmeros da reta real, situados esquerda de 11,2, e excluindo o prprio 11,2, formam ointervalo infinito aberto direita ] - ; 11,2 [:

] - ; 11,2 [ = {x IR i x < 11,2}cuja representao na reta real a seguinte:

11,2

Operaes com intervalosDados dois nmeros reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos nmeros reais

compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os nmeros p e q so os limites do intervalo,sendo a diferena p-q, chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q, o intervalo fechado ecaso contrrio, o intervalo dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

TIPOS REPRESENTAO OBSERVAOINTERVALO FECHADO [p;q] = {x R; p x q} inclui os limites p e qINTERVALO ABERTO (p;q) = { x R; p < x < q} exclui os limites p e qINTERVALO FECHADO A ESQUERDA [p;q) = { x R; p x < q} inclui p e exclui qINTERVALO FECHADO DIREITA (p;q] = {x R; p < x q} exclui p e inclui qINTERVALO SEMI-FECHADO [p; ) = {x R; x p} valores maiores ou iguais a p.INTERVALO SEMI-FECHADO (- ; q] = { x R; x q} valores menores ou iguais a q.INTERVALO SEMI-ABERTO (- ; q) = { x R; x < q} valores menores do que q.INTERVALO SEMI-ABERTO (p; ) = { x > p } valores maiores do que p.Obs: fcil observar que o conjunto dos nmeros reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma deintervalo como R = ( - ; + ).

Exerccio:1. Represente, na reta real, os seguintes intervalos:

a) [2; 12 [b) ] 2 ; [

c) ] - ; 0 ]

RESOLUO:Usando o tipo de representao indicado nos exemplos, temos:

a) 2 12b) 2

c) 0

OPERAES:As operaes: adio, subtrao, multiplicao e diviso (sendo o divisor 0) sempre so

possveis em R.

Propriedades da Adio e da Multiplicao com Nmeros ReaisPara quaisquer nmeros reais a, b e c so vlidas as seguintes propriedades:

PROPRIEDADES ADIO MULTIPLICAOFechamento (a + b ) IR (a .b) IRComutativa a + b = b + a a . b = b . aElemento Neutro a = 0 = 0 + a = a a . 1 = 1 . a = aAssociativa (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c)

Elemento Oposto a + (- a) = 0Elemento Inverso a . 1 = (a 0)

aDistributiva da multiplicao em relao adio: a . (b + c) = a.b + a.c

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MATEMTICA

RADICAISA forma mais genrica de um radical : cn Aonde c = coeficiente, n = ndice e A = radicando.O radical acima lido como: c raiz n-sima (ensima) de A.Se n = 2, costuma-se no representar o nmero 2 e l-se como c raiz quadrada de A.

Se n = 3, l-se o radical como c raiz cbica de A.Exemplos:

53 25, que lido com 5 raiz cbica de 25, onde 5 o coeficiente, 3 o ndice e 25, o radicando.

RACIONALIZAO DE DENOMINADORESRacionalizar eliminar a raiz no exata do denominador, devemos lembrar que uma raiz no exata

um nmero irracional (nmeros que no so dizimas peridicas, nem decimais exatas, ou seja, a partedecimal infinita).

Quando voc racionaliza um denominador, encontraremos uma frao equivalente a frao dada.Exs.:

SIMPLIFICAO DE EXPRESSES ALGBRICAS1 caso: O denominador um radical simples.Exemplos:a) Observe que multiplicamos numerador e denominador pela

raiz de 5, no final simplificamos 5 com 5.

b

)

Observe que multiplicamos numerador e denominador pelaraiz de 3, no final no foi possvel simplificar

c) Observe que multiplicamos numerador e denominadorpela raiz de 3, no final no foi possvel simplificar

d)

Observe que multiplicamos numerador e denominador pelaraiz de 7, simplificamos 4:4=1 e 28:4=7.

2 caso:Exemplos:a) Observe que multiplicamos numerador e denominador pela

raiz cbica de 5 elevado ao quadrado, lembre-se damultiplicao de potncia de mesma base.

b)

Observe que multiplicamos numerador e denominador pelaraiz quinta de 5 elevado ao cubo, lembre-se da multiplicaode potncia de mesma base.

3 caso:Exemplos:a)

b)

VOC EM 1 LUGAR! 17

Observe que multiplicamosnumerador e denominadorpela raiz quadrada de 5mais a raiz quadrada de 3,formando assim umproduto da soma peladiferena.

Observe que multiplicamos numerador edenominador por 3 menos raiz de 5formando assim um produto da somapela diferena, colocamos o dois emevidncia e simplificamos com o 4.


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MATEMTICA

POTENCIAOPara potncias que tm por base um nmero real e como expoente um nmero racional relativo,

so vlidas as seguintes propriedades:a) am . an = a m+n. Exemplo: ( 2 )3 . ( 2 )4 = ( 2 )7

b) am : an = am-n. Exemplo ( 7 )5 : ( 7 )2 = ( 7 )3c) (a . b)m = am . bm. Exemplo: (0,2 . 7 )3 = (0,2)3 . ( 7 )3

d) (am)n = am.n. Exemplo: (34)2 = 36

RADICIAORadiciao o ato de extrair a raiz de um nmero, lembrando que temos raiz quadrada, raiz cbica,

raiz quarta, raiz quinta e etc...Radiciao a operao inversa da potenciao (procure revisar este contedo).

Se o ndice um nmero maior que 1 (n > 1), se este for igual a dois (raiz quadrada, no escrevemoseste valor, o local do ndice fica vazio ou seja fica entendido que ali est o nmero 2), se for igual a 3 (raizcbica "este valor deve aparecer no ndice"), etc...

Exemplo:

4 = lemos, raiz quadrada de 4, 3 8 = lemos raiz cbica de 8.

Raiz de um nmero real

1 caso: a > 0 e n par.

Vamos calcular a 49 onde n = 2 (par) e a = 49 (nmero positivo)

Temos que (-7)2 = 49 e (+7)2 = 49, ento 49 = +7

Devemos lembrar que o resultado de uma operao deve ser nico, ento, a 49 7.

2 caso: a > 0 e n mpar.

Vamos calcular a 3 125 onde n = 3 (mpar) e a = 125 (nmero positivo)

Temos que 3 125 = 5, porque 53 = 5 x 5 x 5 = 125

3 caso: a < 0 e n mpar.

Vamos calcular a 3 8 onde n = 3 (mpar) e a = (nmero negativo)

Temos que 3 8 = - 2, porque (-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8

4 caso: a < 0 e n par.Vamos calcular a 81 onde n = 2 (par) e a = 81 (nmero negativo)Temos - 81 = no existe, porque no existe um nmero que elevado ao quadrado seja igual a 81.

SISTEMA LEGAL DE UNIDADE DE MEDIDA

Medir faz parte do nosso dia-a-dia. Mede-se a energia consumida em uma residncia.

VOC EM 1 LUGAR!18


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MATEMTICA

Mede-se o comprimento de uma sala. Mede-se a superfcie de um municpio. Mede-se o tempo que se gasta para ir de um local a outro. Mede-se a temperatura do corpo Mede-se a quantidade de gua que cabe em uma piscina. Mede-se o tempo gasto para assistir a um filme.

Portanto, por esses exemplos, voc pode sentir como MEDIR parte de nossa vida.Medimos uma grandeza quando a comparamos com outra grandeza da mesma espcie chamada

unidade-padro e descobrimos quantas vezes essa unidade-padro cabe na grandeza a ser medida.Entre as unidades-padro mais conhecidas, podemos destacar: o metro o litro o grau o minuto o metro quadrado o quilograma a hora

o metro cbico

COMPRIMENTOVoc j leu que o homem padronizou as unidades usadas para medir comprimentos em conseqncia de

uma necessidade que voc mesmo pde perceber. No Brasil, como na grande maioria dos pases, usa-se o metro, que se abrevia m, como unidade

fundamental e legal para medir comprimentos.H, porm, outras unidades:Para medir grandes comprimentos, como, por exemplo, a distncia entre duas cidades, h unidades

maiores que o metro e que so derivadas dele: decmetro (dam), que vale 10 m hectmetro (hm), que vale 100 m

quilmetro (km), que vale 1 000 m

Essas unidades so os mltiplos do metro e, na prtica, a mais utilizada o quilmetro (km).Para medirpequenos comprimentos, como, por exemplo, a largura da folha deste livro ou o comprimento

de um prego, h tambm unidades derivadas do metro e que so menores que ele:1

- o decmetro (dm), que vale 10 do metro- o centmetro (cm), que vale 1 do metro

100- o milmetro (mm), que vale 1 . do metro

1 000Essas unidades so os submltiplos do metro e, na prtica, as mais usadas so o centmetro (cm) e o

milmetro (mm).Como voc pode observar pelos quadros, os mltiplos e os submltiplos so obtidos a partir do metro,realizando-se sucessivas multiplicaes ou divises por 10.

Eis o quadro das unidades para medir comprimentos:

Os mltiplos do metrounidade

fundamental Os mltiplos do metroquilmetro hectmetro decmetro metro decmetro centmetro milmetro

km hm dam m dm cm mm1 000 m 100 m 10 m 1m 1 do m

101 do m

1001 do m

1 000Observao:O metro padro encontra-se assinalado sobre uma barra de metal nobre no Museu Internacional

de Pesos e Medidas, na Frana.

No Brasil, podemos encontrar uma cpia no Museu Nacional.

Veja abaixo o valor de algumas unidades conhecidas e sua relao com o metro: a polegada, que vale 2,54 cm

VOC EM 1 LUGAR! 19


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MATEMTICA

o p, que vale 30,48 cm ajarda, que vale 91,44 cm a milha, que vale 1 609 m

TRANSFORMAO DE UNIDADESA medida de um comprimento pode ser dada em unidades diferentes. Se voc olhar a figura

seguinte, poder observar esse fato:

O lpis tem 8 cm de comprimento.ouO lpis tem 80 mm de comprimento.Sabemos que o metro (m) 1, o meio metro ser (0,5), 0,50 centmetros (cm).Ento vejamos:Carlos tem 1 metro, e Clarissa tem meio metro a mais que Carlos. Assim, vemos que Clarissa tem 1,50

cm.

SUPERFCIEPara as medidas de rea, usamos a mesma tabela que para medidas de comprimento, utilizando a

unidade ao quadrado (m2). Ento temos a seguinte tabela:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

A vrgula deslocada para a direita ou esquerda, de duas em duas casas; isto significa que socolocados dois algarismos em cada unidade.

Para melhor entender, veja os exemplos:Exemplo 1) 5 dam2, passar para cm2.Como estamos passando de uma unidade maior para uma unidade menor, fazemos o seguinte:O que est antes da vrgula colocado na unidade correspondente (neste caso, no h vrgula); o que

est depois, tem colocado dois algarismos em cada unidade, at a unidade desejada; se necessrio, completa-se com zeros, dois em cada casa.

Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Ento, temos que:5 00 00 00 5 dam2 = 5000000 cm

Exemplo 2) 125, 743 hm2, passar para dm2. idntico ao anterior.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Ento, podemos dizer que:125 74 30 00 125,743 hm2 = 125743000 dm2

Exemplo 3) 8655,7 m2, passar para km2.Nesse caso, estamos passando de uma unidade menor para uma unidade maior; o procedimento deve

ser o seguinte:O que est situado depois da vrgula, fica nas casas abaixo da unidade correspondente.Com o que est antes da vrgula, ocorre o seguinte: coloca-se o primeiro algarismo na casa da unidade

correspondente e os algarismos restantes so colocados dois a dois em cada unidade, at a unidade desejada;se for necessrio, completa-se com zeros.


0,0 08 65 5 7 Ento dizemos que: 8655,7 m2 = 0,0086557 km2

MEDIDAS AGRRIASQuando se efetua medida de superfcie como, por exemplo, fazendas, stios, etc., podemos lanar mo

de outras unidades. A mais utilizada o ARE, que equivale a um quadrado de 100 m de lado, ou seja100m2. Logo:

1 are = 1 a = 100 m2

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O mltiplo de are o hectare: 1 hectare = 1 ha = 100 a = 10.000 m2

O submltiplo do are e o centiare: 1 centiare = 1 ca = 0,01 a = 1 m2

VOLUMEUsamos a mesma tabela para medida de rea, s que a unidade o cubo (m3).


O modo de proceder idntico ao de medidas de rea, a vrgula se desloca para a esquerda ou direita,s que, neste caso, de trs em trs casas, ou seja, so deslocados trs algarismos em cada unidade.

Exemplo 1) 5500 m3, passar para dm3.

km3 hm3 dam3 m dm3 cm3 mm3

5500 000 Podemos dizer que: 5500 m3 = 5500000 dm3.

Exemplo 2) 5500 m3, passar para hm3.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm30,00 550 0 Ento, temos que 5500 m3 = 0,0055 hm3.

MASSAQuando voc sobe em uma balana, voc vai medir a massa do seu corpo.Assim, quando medimos a massa de um corpo slido, encontramos um nmero que, de modo geral,

chamamos peso do corpo.Provavelmente, voc j deve conhecer algumas unidades para medir a massa de um corpo: o quilograma, que est indicado nos mostradores das balanas. a tonelada, que est indicada nos caminhes. o grama, normalmente indicado nos metais preciosos, como o ouro, por exemplo.

o miligrama, normalmente indicado em embalagens de remdios.

A unidade fundamental para medir a massa de um corpo o quilograma, que se abrevia kg.Oseu mltiplo a tonelada (t), que equivale a 1 000 kg, ou seja, 1 t = 1 000 kg.Por ser mais prtico na vida real, normalmente usado como unidade principal para medir a massa de

um corpo; o grama (g), que representa a milsima parte da massa de um quilograma, ou seja: 1 kg = 1 000 g.Existem outras unidades menores que o grama:- o decigrama (dg), que vale 1 do g, ou seja, 1g = 10 dg.

10- o centigrama (cg), que vale 1 do g, ou seja, 1g = 100 cg.

100- o miligrama (mg), que vale 1 do g, ou seja, 1 g = 1 000 mg.

1 000Como podemos ver, as unidades para medir massa esto relacionadas ao sistema decimal.

CAPACIDADEQuando dizemos que no interior de uma garrafa cabem 2 litros de refrigerante, estamos medindo a

quantidade de lquido que se encontra no interior da garrafa.Quando dizemos que no interior de uma piscina cabem 50 000 litros de gua, estamos medindo a

quantidade de lquido que se encontra no interior da piscina.A quantidade de lquido que o interior de um recipiente pode conter chama-se capacidade do

recipiente.A unidade fundamental para medir lquidos, ou seja, para indicar a capacidade de um recipiente, o

litro, que se abrevia.Alm do litro, existem outras unidades para representar a capacidade de um recipiente:o decilitro (d ), que equivale a 1 do

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MATEMTICA

o decalitro (da), que equivale a10 o hectolitro (h), que equivale a100 o quilolitro (k ), que equivale a 1000

10

o centilitro (c), que equivale a 1 do100

o mililitro (m ), que equivale a 1 do1 000

Entre essas unidades, a mais usada o mililitro (m), que voc encontra com freqncia nasembalagens de refrigerantes pequenos e de remdios indicando a capacidade dessas embalagens; as outrasunidades so pouco usadas.

MEDIDAS DE TEMPOA unidade legal para medida de tempo o segundo. Os mltiplos so:Segundo s 1 sMinuto min 60 s

Hora h 60 min = 3600 sdia d 24h = 1 440 min = 86 400 sO segundo definido como um intervalo de tempo igual 1/86400 do dia solar mdio, de acordo com as

convenes da Astronomia.

CONVENES DE MEDIDA DE TEMPOAs medidas de tempo inferiores ao segundo no tm designao prpria, utilizamos, assim, submltiplos

decimais. Da dizemos: dcimos de segundo, centsimos de segundo ou milionsimos de segundo.Utiliza-se, tambm, unidades como: ms, ano, sculo, etc.Ento podemos dizer que:1 min = 60 s1 h = 60 min = 3600 s1 d = 24 h1 ms = 30 d1 ano = 12 meses1 sculo = 100 anos.

Para efetuar a mudana de uma unidade para outra, devemos multiplic-la (ou divid-la, quando inferiorpara maior), pelo valor dessa unidade.

Ex.: 10 min = 600 s1200 s = 20 min6 h = 360 min1 d = 86.400 s

EXERCCIOS1. Numa loja comprei 22 metros de seda por R$143,00. Verifiquei, porm, que o metro usadopelo vendedor era 2cm menor. Qual aimportncia que devo reclamar?Soluo:2 cm = 0,02 mNos 22 metros adquiridos faltam: 22 x 0,02=0,44mO preo de 1 metro 143,00 : 22 = 6,50Devo reclamar pois 6,50 x 0,44 - 2,86Resposta: R$ 2,86

2. Um marceneiro lixou os dois lados de 12portas de 2,4 m de altura por 8 dm de largura, aR$ 0,30 o dm2. Quanto tem a receber?Soluo:

Cada lado da porta tem rea igual a 24 dm x 8dm = 192 dm2

Mas eram os dois lados de 12 portas, ento elelixou 2 x 12 x 192 = 4608 dm2

O marceneiro tem a receber: 4608 x 0,30 =1.382,40Resposta: R$ 1.382,40

3. Quantos ladrilhos de 0,2 x 0,2 m so precisospara o revestimento de uma sala de 5 m decomprimento e 6 m de largura, e quanto custaeste revestimento ao preo de R$ 5,00 por dm2?

Soluo:rea da sala: 5 x 6 = 30m2

rea do ladrilho: 0,2 x 0,2 = 0,04m2 seroprecisos, pois 30 : 4 = 150 ladrilhos.

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Esses ladrilhos custaro: 750 . 4 . 0 ,50 =1.500,00Resposta: R$ 1.500,00

4. Quantos ha tem a superfcie de um terreno

ocupado por 600 km de uma estrada cuja larguramede 15 m?Soluo:600 km = 600.000 x 15 = 9.000.000 m2 - 900 haResposta: 900 ha

RAZO E PROPOROProporcionalidade um dos contedos da Matemtica bastante utilizado na vida diria.

Estamos constantemente comparando variaes de preos, massa, velocidade, tempo, formas,tamanhos, enfim, tudo o que nos cerca. Essas comparaes, muitas vezes, nos facilitam natomada de decises.

Veja, por exemplo, quando voc vai ao supermercado e v uma oferta de dois potes demargarina de 250 g por R$ 0,87, enquanto que o pote de 500 g, fora da oferta, custa R$ 1,54. Oque voc faz para saber qual a compra mais econmica: os dois potes da oferta ou um pote de500 g?Situao - 1

Com o uso de rgua mea os retngulos abaixo e escreva na tabela as medidasencontradas.

B 6A

1 2

3

3

C

9

Medidas em cm A B CLarguraComprimento

Quociente entre largura e comprimento

O quociente entre a largura e o comprimento de cada retngulo pode ser representado dediferentes maneiras. Veja:Retngulo A 1 ou 1 : 3

3

Retngulo B 2 ou 2 : 66

Retngulo C 3 ou 3 : 99

A diviso uma das formas que usamos para comparar dois nmeros. A cada quociente

VOC EM 1 LUGAR! 23


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damos o nome de razo. Dizemos que entre a largura do retngulo A e o seu comprimento de1

3ou 1 : 3, que se l um est para trs ou seja, para cada centmetro na largura do retngulo A,temos 3 cm no comprimento.

De maneira anloga pode ser feita a leitura das razes das dimenses do retngulo A eretngulo B.

As razes ou quocientes 2 e 3 podem ser escritas na forma simplificada.6 9Assim: 2 = 1 e 3 = 1

6 3 9 3

Como voc deve ter notado, em todos os retngulos, da situao 1, a razo entre a largurae o comprimento de seus lados equivalente a 1

3Ento, podemos dizer que 1 = 2 = 3 so fraes equivalentes.

3 6 9

Com fraes equivalentes sempre podemos formar proporo:

1 = 2 2 = 3 1 = 33 6 6 9 3 9

Observe que multiplicando cruzado obtemos sempre o mesmo valor:1 = 2 {1 . 6 = 2 . 3 2 = 3 {2 . 9 = 6 . 33 6 6 9

1 = 3 {1 . 9 = 3 . 33 9

igualdade entre duas razes chamamos de proporo.

RAZORazo entre dois nmeros racionais (o segundo diferente do primeiro) o quociente do primeiro pelosegundo.Assim a razo entre os nmeros 3 e 2 3 que se l: razo detrs para dois.

2O primeiro nmero chamado ANTECEDENTE e o segundo CONSEQENTE.

3 antecedente2 conseqente

RAZES INVERSASConsiderando as razes 4 e 5 vemos que o antecedente de uma o conseqente da outra e vice-versa.

5 4Vemos tambm que o produto das duas igual a 1

( 4 . 5 = 1 )5 4

Observao: A razo de antecedente 0 no possui inversa.

RAZES IGUAISTomando-se as razes 6 e 9 , verificamos que 6 = 3 e 9 = 3 ,

8 12 8 4 12 4isto , as fraes que representam so equivalentes.

Neste caso, diz-se que as razes so iguais e se indica 6 = 98 12

VOC EM 1 LUGAR!24

Das duas razes nessas condies sochamadas inversas.


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Ento: Duas razes so iguais quando as fraes que as representam so equivalentes.

No exemplo dado, 6 = 9 , veremos que:8 12

6 x 12 = 9 x 8antecedente conseqente antecedente conseqente

de uma de outra de uma de outra

Logo: Nas razes iguais, os produtos do antecedente de uma pelo conseqente de outra so iguais.

PROPORES a igualdade entre 2 razes.EXEMPLO: 3 = 6 (l-se 3 est para 2 assim como 6 est para 4)

2 4O primeiro nmero (3) e o ltimo nmero (4) so os EXTREMOS e o segundo nmero (2) e o

terceiro nmero (6) so os MEIOS.

GRANDEZAS PROPORCIONAISA diviso proporcional representada por um conjunto de nmeros proporcionais e grandezas

proporcionais.

NMEROS PROPORCIONAISEm toda proporo o produto dos extremos igual ao produto dos meios. Assim, considerando oexemplo acima temos:

Produto dos Extremos: 3 . 4 = 12 Produtos dos Meios: 2 . 6 = 12

EXEMPLOS:1. As propores 3 e 4 , formam uma proporo

5 7R.:No, pois, 3 . 7 = 21 e 5 . 4 = 20

2. Calcule x nas propores:a) x = 6

5 10Soluo: Aplicando a propriedade fundamental das propores, temos: 10x = 30

PROPRIEDADE RECPROCASe tivermos quatro nmeros diferentes de zero, onde o produto do primeiro pelo quarto igual ao

produto do segundo pelo terceiro, ento esses quatro nmeros formam uma proporo.

EXEMPLO:Considerando os nmeros 3, 6, 2, 4

(1) (2) (3) (4)

Como 3 . 4 = 6 . 2, ento esses nmeros formam uma proporo que pode ser escrita de oitoformas diferentes (transformadas):

1) 3 = 26 4

2) 3 = 6 (permutando-se os meios)

2 43) 4 = 2 (permutando-se os extremos)

6 3

VOC EM 1 LUGAR! 25


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MATEMTICA

4) 4 = 6 (permutando-se os meios e os extremos)2 3

5) 6 = 43 2

6) 2 = 4 invertendo-se as razes das propores 1, 2, 3 e 4.3 6

7) 6 = 34 2

8) 2 = 34 6

TERCEIRA E QUARTA PROPORCIONAIS- QUARTA PROPORCIONALQuarta proporcional quando um nmero forma com outros trs uma proporo. Exemplo:Com os nmeros 3, 5, 9 e 15 formamos uma proporo, ento o 3 a quarta proporcional.

3 = 95 15

- Clculo da Quarta ProporcionalA) A QUARTA PROPORCIONAL UM EXTREMOVeja 4 = 12

5 xAplicamos a propriedade fundamental das propores.

4.x = 5 . 12x = 5 . 12

4

x = 15

Logo: O produto dos meios dividido pelo extremo conhecido igual a um extremo desconhecido.

B) A QUARTA PROPORCIONAL UM MEIOVeja: 7 = 35

x 30Aplicaremos a propriedade fundamental:

35.x = 7 . 30x = 7 . 30

35x = 6

Logo: O produto dos extremos dividimos por meio conhecido igual a um meio desconhecido.

- PROPORO CONTNUAQuando uma proporo tem meios ou os extremos iguais ele contnua.Exemplo:

9 6 e 8 46 4 16 8

- TERCEIRA PROPORCIONAL um dos termos desiguais de uma proporo contnua.Exemplo:

3 1515 15

o 75 a terceira proporcional entre os nmeros 3 e 15; o 3 a terceira proporcional entre os nmeros 15 e 75.

VOC EM 1 LUGAR!26


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MATEMTICA

Logo: O nmero que forma com dois outro uma proporo contnua a terceira proporcional

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAISMarcos foi comprar 10m de arame e pagou R$5,00 pela compra. Se comprasse 20m, pagaria R$10,00;

se comprasse 30m, pagaria a importncia de R$15,00 e assim por diante.Esquematizando as compras:

Comprimento do arame Preo do arameI 10 m R$ 5,00II 20 m R$ 10,00III 30 m R$ 15,00

Vemos que, aumentando-se a primeira grandeza (arame), a segunda (preo) aumenta na mesma razoda primeira. Comparando-se, temos:

10 = 120 2

I e II R$ 5,00 = 1 10 R$ 5,00R$ 10,00 2 20 R$ 10,00

10 = 1

30 3I e II R$ 5,00 = 1 10 R$ 5,00

R$ 15,00 3 30 R$ 15,00

20 = 230 3

II e III R$ 10,00 = 2 20 R$ 10,00R$ 15,00 3 30 R$ 15,00

As grandezas comprimento da pea de arame e preo da pea so diretamente proporcionais. Portanto:Duas grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta na

mesma razo da primeira.

Um automvel se desloca numa estrada, com velocidade mdia constante de 60 km/h.Em uma hora, percorre 60 km;Em duas horas, percorre 120 km;Em cinco horas, percorre 300 km ou:

I 1 hora ------------- 60 kmII 2 horas ----------- 120 km

III 5 horas ----------- 300 km

Donde:1 = 60 ; 1 = 60 ; 2 = 1202 120 5 300 5 300

Um pedreiro assenta 200 tijolos por hora.Ento: 1 hora --------- 200 tijolos

3 horas ------- 600 tijolos4 horas ------- 800 tijolos

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAISSuponhamos que trs veculos estejam percorrendo 90km numa determinada estrada.1 - Um ciclista, com 30 km/h de velocidade;2 - Um caminho, com 45 km/h de velocidade mdia;3 - Um nibus, com 90 km/h de velocidade mdia.

Ento:O ciclista leva trs horas no percurso.O caminho leva duas horas no percurso.

O nibus leva uma hora no percurso.

Comparando-se temos:

VOC EM 1 LUGAR! 27


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MATEMTICA

Velocidade TempoI 30 km/h 3 horas

II 45 km/h 2 horasIII 90 km/h 1 hora

Vemos que I, II e III formam propores, conservando-se a ordem de uma das razes e invertendo-se aoutra, ou:

I e II) 30 = 2 ou 45 = 345 3 30 2

I e III) 30 = 1 ou 90 = 390 3 30 1

II e III) 45 = 1 ou 90 = 290 2 45 1

Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra diminui namesma razo da primeira.

REGRA DE SOCIEDADEChamamos regra de partilha a toda questo em que se tenha de dividir um nmero em partesproporcionais a nmeros dados.

Chamamos mais especialmente regra de sociedade quando se tem a dividir os lucros ouprejuzos provenientes de uma empresa com dois ou mais scios.

Vrios casos se podem apresentar:1. Se os capitais dos scios so iguais, mas eles ficam na sociedade durante tempos diferentes,

a diviso se faz em partes proporcionais aos tempos;2. Se os capitais so diferentes, mas os scios ficam na empresa o mesmo tempo, a diviso se

faz em partes proporcionais aos capitais;3. Se os capitais so diferentes e diferentes so tambm os tempos, a diviso deve ser feita em

partes proporcionais aos nmeros que se obtm multiplicando o capital de cada scio pelotempo em que permaneceu na empresa.

Nos dois primeiros casos, diz-se que a regra de sociedade simples; no terceiro, ela composta.

Exemplo:Duas pessoas fundaram uma casa de negcio. A primeira entrou com R$5.600,00 e a segunda

com R$ 7.500,00; seis meses depois, admitiram um terceiro scio que entrou com R$ 1.250,00. No fimdo ano, os trs scios tm a dividir um lucro lquido de R$ 1.575,00, sobre o qual o primeiro scio, quefundou a empresa, tem direito a 15%, antes de qualquer partilha. Quanto cabe a cada um?

O primeiro scio recebe primeiramente 1.575 X 15 = R$ 236,25100

Resta a repartir 1.575 - 236,25 = 1.338,75 reais.

A partilha deve ser feita proporcionalmente aos produtos dos capitais pelos tempos correspondentes,isto , a

5.600 X 12; 7.500 X 12 e 1.250 X 6 ou seja, a 224, 300 e 25.Parte do primeiro = 236,25 + 1.338,75 x 224 = 782,48 reais.

549Parte do segundo: 1.338,75 x 300 = 731,55 reais

549

Parte do terceiro: 1.338,75 x 25 = 60,96 reais549

Total: R$ 1.575,00

EXERCCIOS

VOC EM 1 LUGAR!28


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MATEMTICA

1. Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias detrabalho. Quanto receberia se tivesse trabalhando 8dias a mais?a) R$ 12.300,00b) R$ 10.400,00c) R$ 11.300,00d) R$ 13.100,00e) R$ 13.200,00

2. No mesmo instante em que um prdio de 4,5mde altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual asombra projetada por uma torre de 130 m dealtura?a) 290mb) 390mc) 490md) 590me) 690m

3. A razo das idades de duas pessoas 2/3.Achar estas idades sabendo que sua soma 35

anos.a) 14 e 20 anosb) 14 e 21 anosc) 15 e 20 anos

d) 18 e 17 anose) 13 e 22 anos

4. Em 1.03.95, um artigo que custava R$ 250,00teve seu preo diminudo em p% do seu valor. Em1.04.95, o novo preo foi novamente diminudoem p% do seu valor, passando a custar R$ 211,60.O preo desse artigo em 31.03.95 era:

a) R$ 225,80b) R$ 228,00c) R$ 228,60d) R$ 230,00e) R$ 230,80

5. A razo das reas de duas figuras 4/7. Acharessas reas sabendo que a soma 66 cm.a) 22cm e 44cmb) 20cm 46cmc) 21cm e 45cmd) 24cm e 42 cme) 23cm e 43cm

GABARITO1. E 2. B 3. B 4. D 5. D

MDIA ARITMTICA E MDIA PONDERADA igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o nmero total dos valores.

Exemplo: Sabendo-se que a venda diria de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10,14, 13, 15, 16, 18 e 12 quilos, temos, para venda mdia diria na semana de:

X = (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 quilos

Nos clculos envolvendo mdia aritmtica simples, todas as ocorrncias tm exatamente amesma importncia ou o mesmo peso. Dizemos ento que elas tm o mesmo peso relativo. Noentanto, existem casos onde as ocorrncias tm importncia relativa diferente. Nestes casos, oclculo da mdia deve levar em conta esta importncia relativa ou peso relativo. Este tipo demdia chama-se mdia aritmtica ponderada.

Ponderar sinnimo de pesar. No clculo da mdia ponderada, multiplicamos cada valordo conjunto por seu "peso", isto , sua importncia relativa.

DEFINIO DE MDIA ARITMTICA PONDERADA:

A mdia aritmtica ponderada p de um conjunto de nmeros x1, x2, x3, ..., xn cujaimportncia relativa ("peso") respectivamente p1, p2, p3, ..., pn calculada da seguinte maneira:

=

EXEMPLO: Alcebades participou de um concurso, onde foram realizadas provas dePortugus, Matemtica, Biologia e Histria. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2,

respectivamente. Sabendo que Alcebades tirou 8,0 em Portugus, 7,5 em Matemtica, 5,0 emBiologia e 4,0 em Histria, qual foi a mdia que ele obteve?

VOC EM 1 LUGAR! 29


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MATEMTICA

p =

Portanto a mdia de Alcebades foi de 6,45.

REGRA DE TRS SIMPLES E COMPOSTAA regra de trs usada para resolver problemas que envolvam grandezas proporcionais.

Situao 1 - Aninha faz refresco de uva, misturando 2 copos de suco concentrado com 3copos de gua. Em 5 copos de suco concentrado, quantos copos de gua Aninha devemisturar?

Vamos indicar porx essa quantidade de copos de gua e organizar os dados numa tabela:Suco Concentrado gua

2 35 x

Vamos analisar essa situao da seguinte maneira:Se duplicamos o suco concentrado, temos que duplicar a gua. Logo as duas grandezas

so diretamente proporcionais. Ento, 2 e 5 so proporcionais a 3 e x.Por isso, podemos escrever a proporo na mesma posio em que os nmeros aparecem

na tabela.Assim: 2 = 3

5 x

Voc j viu que em toda proporo, o produto dos extremos igual ao produto dos meios.Logo: 2 = 3 2x = 15 Se 2x igual a 15, ento um x igual a metade, ou seja 7,5.

5 x

x = 152

x = 7,5

Aninha deve misturar 7 copos e meio de gua, para 5 copos de suco concentrado.Nesse tipo de clculo, se conhecem trs termos e o quarto (x) procurado. Da o nome

regra de trs. Como as grandezas so diretamente proporcionais. A regra de trs direta.

Situao 2 - Para 2 pedreiros murarem um terreno, so necessrios 5 dias. Quantos diasso necessrios para 5 pedreiros, nas mesmas condies, murarem esse mesmo terreno?

Vamos indicar por x esse nmero de dias e organizar os dados numa tabela:

Quantidade de pedreiros Dias utilizados2 55 x

Se duplicarmos o nmero de pedreiros, o nmero de dias cair para a metade (razesinversas). Logo, as grandezas so inversamente proporcionais. Ento 2 e 5 so inversamenteproporcionais a 5 e x.

Por isso, para escrever a proporo, temos que inverter a posio dos nmeros de umadas colunas da tabela. Assim:

5 = 5

2 x

Agora temos uma proporo, ento o produto dos meios igual ao produto dos extremos:

VOC EM 1 LUGAR!30


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MATEMTICA

Portanto, sero necessrios 2 dias para que 5 pedreiros faam o muro desse terreno.Como as grandezas envolvidas nesse clculo so inversamente proporcionais, a regra de

trs inversa.

Simples: Direta: envolve duas grandezas diretamente proporcionais (GDP);Indireta: envolve duas grandezas inversamente proporcionais (GIP).

EXERCCIOS1) Paguei $600 por 5m de um tecido. Quanto pagaria por 8m desse tecido?

5m 6008m x

Temos aqui duas GDP (veja o sentido das setas). Logo:5 = 600 x = 8.600 = 9608 x 5 Resp.: $960.

2) Um carro, com a velocidade de 80km/h, percorre um trajeto em 4h. Em quanto tempo esse

mesmo trajeto seria percorrido se a velocidade do carro fosse de 64km/h?80km/h 4h64km/h x

Agora temos duas GIP (veja o sentido das setas). Logo:80 = x x = 80 . 4 = 564 4 64 Resp.: 5 horas.

3) Numa indstria, quatro mquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peas. Em quantos dias duasmquinas produziriam 900 peas?

Relacionamos a grandeza que contm a incgnita, isoladamente, com cada uma das outras. Vemos quetempo e mquinas so GIP e tempo e peas so GDP. Assim, temos:

8 = 2 . 600 x = 24x 4 900 Resp.: 24 dias.

4) Um operrio levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda. Quantos dias de 6 horaslevaria para fazer 2000m de outra fazenda que apresenta uma dificuldade igual aos da primeira?

10d - 8h - 1000m - dif. 1x d - 6h - 2000m - dif.

10 = 6 . 1000 . 1 , ou seja, 10 = 6 . 1000 . 4 x = 20x 8 2000 x 8 2000 3 Resp.: 20 dias.

JUROS SIMPLES E COMPOSTOSD-SE O NOME DE JURO BRUTO AO JURO RECEBIDO ANTES DOS IMPOSTOS.D-SE O NOME DE JURO LQUIDO AO JURO RECEBIDO APS OS IMPOSTOS.D-SE O NOME DE JURO REAL DIFERENA ENTRE O JURO LQUIDO RECEBIDO E ADESVALORIZAO POR EFEITO DA INFLAO ATUANDO SOBRE O CAPITAL DURANTE OMESMO ESPAO DE TEMPO.

VEJA ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES:CAPITAL

Entende-se por capital do ponto de vista da matemtica financeira, qualquervalor expresso em moeda e disponvel em determinada poca.

TEMPOVOC EM 1 LUGAR! 31


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MATEMTICA

Chamamos de tempo o perodo em que ser computado o juro. Exemplo:Quando voc deposita numa caderneta de poupana uma certa quantia, este

valor depositado corresponder a um determinado perodo (TEMPO) em que seudinheiro ter uma compensao ou seja, sero acrescidos os juros,correspondentes ao tempo que voc deixou ou deixar o seu dinheiro depositado.

FATORES QUE DETERMINAM A EXISTNCIA DOS JUROS INFLAO - diminuio do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno

maior que o capital investido. UTILIDADE - investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanh, o que s atraente

quando o capital recebe remunerao adequada. RISCO - existe sempre a possibilidade do investimento no corresponder s expectativas. OPORTUNIDADE - os recursos disponveis para investir so limitados, motivo pelo qual ao se

aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos em outros; e preciso que oprimeiro oferea retorno satisfatrio.

Para oinvestidoro juro a remunerao do investimento.

Para o tomadoro juro o custo do capital obtido por emprstimo.O capital inicialmente empregado, denominado principal pode crescer devido aos juros

segundo duas modalidades:

JUROS SIMPLES : s o principal rende juros, ao longo da vida do investimento.

JUROS COMPOSTOS: aps cada perodo, os juros so incorporados ao capital e passam, por sua vez, a render juros. O perodo de tempo considerado , ento,denominado perodo de capitalizao.

EXEMPLO

Considere R$100,00 empregados a 10% ao ano.

OBSERVAESI. O uso de juros simples no se justifica em estudos econmicos.

As empresas, rgos governamentais e investidores particulares, costumam reinvestir asquantias geradas pelos fluxos de fundo: juros, no caso de emprstimos. lucros e depreciaes, nas demais situaes.Na prtica emprega-se o JURO COMPOSTO.

II. A metodologia da anlise de investimento baseia-se em juros compostos para estabelecerpadres de comparao; os casos em que no h reinvestimento podem ser tratados comoreinvestimento taxa nula e analisados pelos mesmos princpios.

MONTANTE

a soma do capital aplicado com os juros auferidos naquela aplicao. Ou seja, o totalque se paga no final do emprstimo. (MONTANTE = CAPITAL + JURO)

M = C + J = C + Cit colocando em evidncia, temos a frmula

VOC EM 1 LUGAR!

Juros Simples Juros CompostosPrincipal 100,00 100,00aps 1 ano 100 + 0,10 x 100 = 110 100 + 0,10 x 100 =100aps 2 anos 110 + 0,10 x 100 = 120 110 + 0,10 x 110 = 121aps 3 anos 120 + 0,10 x 100 = 130 121 + 0,10 x 121 = 133,1aps 4 anos 130 + 0,10 x 100 = 140 133,1+0,10 x 133,1 = 146,41

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CONVENES

J = JurosC = Capital ou Principali = Taxat = Tempo ou perodoa.a.= ao anoa.m. = ao msa.d. = ao dia

MATEMTICA

M = C ( 1 + it )Exemplo:

Calcular o montante de uma aplicao de Cr$ 1.000,00 a 30% a.a. no final de 8 meses.

M )= + =1000 00 1

0 30

128 1200 00,

,, Resposta: M = 1.200,00

JURO SIMPLES ( o valor referente ao ganho que o investidor tem por ter emprestado oseu dinheiro. Esse valor um percentual do dinheiro emprestado.

Para o clculo do juro simples necessrio ter noo de porcentagem.

Percentual (Assim vejamos, o que 7% (7 por cento ou 7 ( 100 ) de 200 quilmetros? simples, basta dividirmos os 200 km em 100 partes. Feito o clculo temos 100 partes com 2 kmcada, a s pegarmos 7 partes que teremos 14 km.

Assim, se eu empresto R$ 2.543,22 e peo 2% ao ms, eu terei um juro de R$ 50,86[2.543,22 x ( 2 ( 100 ) ] = 50,86.

Agora s falta o tempo, que nada mais do que a quantidadede vezes que eu tenho direito de receber os juros.

Assim, temos a famosa frmula = J = C i t

Temos ainda os seguintes conceitos: Juro Exato (como o nome diz, utilizamos para o seu

clculo o tempo exato ano de 365 ou 366 dias e ms de 28, 29, 30ou 31 dias).

Juro Comercial (utilizamos o ano de 360 dias e o msde 30 dias.)

Juro Ordinrio ( a aplicao da famosa regra dos banqueiros.)

TAXASChama-se taxa de juros a razo entre os juros J que sero cobrados no fim do perodo e o capital Cinicialmente empregado. Assim:

I = JC

EXEMPLOdvida R$ 1.500,0juros anuais R$ 150,00taxa de juros.ia.a = (R$ 150,00 / R$ 1.500,00) = 0,1 ou 10/100 ou10%

CLCULOSCalcular os juros de um emprstimo de R$ 1.237,00 durante o perodo de 1 de julho de 2.002 a 1 desetembro de 2.002, taxa de 20% a.a. .Juro exato: J = Cit = 1.237,00 x [20 ( (100x365)] x 62 = 42,02Juro comercial: J= Cit = 1237,00 x [20 ( (100x360)] x 60 = 41,23Juro ordinrio : J= Cit = 1.237,00 x [20 ( (100x360) x 62 = 42,60

EXERCCIOS1) Calcule: a) 15% de $3000

b) 32% de $1.500c) 40% de 180kg Resp.: a) $450 b) 480l c) 72kg

2) Num concurso com 200 candidatos, 170 foram aprovados. A quanto por cento corresponde o nmero de

VOC EM 1 LUGAR! 33

As taxas podem ser mensais,anuais, trimestrais, semestrais,

etc.


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MATEMTICA

candidatos aprovados? Resp.: 85%

3) Uma loja comercial oferece nas compras acima de $5.000, um desconto de 5%. Quanto um clientepagar por uma compra de $35.000? Resp.: $33.250

4) Um pai resolveu presentear seus filhos, distribuindo entre eles $12.000. Desta quantia, Tiago recebeu40%, Rodrigo 35% e Vanessa 25%. Quanto recebeu cada um de seus filhos? R.: $4.800, $4.200, $3.000

5) 12% dos moradores de uma cidade so estrangeiros. Qual a populao desta cidade, sabendo que on de estrangeiros 2.400? Resp.: 20.000 habitantes.

PERCENTAGEM E DESCONTO SIMPLES

PORCENTAGENSCom freqncia cada vez maior voc l ou ouve: A inflao deste ms superou os 10%. (l-se: dez por cento). Para pagamento a vista h um desconto de 30% (l-se: trinta por cento). A mensalidade escolar aumentou 50% (l-se: cinqenta por cento)

A noo de porcentagem muito importante, tambm, quando fizemos comparaes entrefraes de uma quantidade.

Toda frao com denominador 100 representa uma porcentagem.Assim:

A frao 1 pode ser escrita assim: 1% (um por cento). 100

Ento, 1% significa que, para cada 100 partes iguais, voc considera 1 parte.

A frao 45 pode ser escrita assim: 45% (quarenta e cinco por cento) 100

Ento, 45% significa que, dividindo uma quantidade em 100 partes iguais, voc considera 45partes.

A frao 76 pode ser escrita assim: 76% (setenta e seis por cento). 100Ento, 76% significa que, dividindo uma quantidade em 100 partes iguais, voc considera 76 partes.Portanto: 1 =100

1% ou 1% = 1100

45 =100

45% ou 45% 45100

76 =100

76% ou 76% 76100

Uma porcentagem uma razo cujo conseqente 100. Usa-se o smbolo %. Exemplos:5 ou 5%; 13,4 ou 13,4%, etc.100 100

Podemos resolver todos os problemas de porcentagem a partir de uma regra de trs simples edireta.Exemplos:

1) Escrever 2/5 na forma de porcentagem.1 100%

2/5 x% x = 100 . 2/5 = 401 Logo: 2/5 = 40%

2) Na minha classe existem 40 alunos dos quais 24 so meninas. Qual a porcentagem de meninas?100%______ 40

x = 24 . 100 = 60

VOC EM 1 LUGAR!34


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MATEMTICA

x% ______ 24 40 Logo, 60% dos alunos so meninas.

3) Gastei 15% do que possua ao comprar uma cala de $3.000. Quanto possuo?15% ______ 3.000

x = 3.000 . 100 = 20.000100% _____ x 15 Ento, eu possua $ 20.000

EXERCCIOS1) A arrecadao de um municpio caiu de$420.000 para $407.000 no ano seguinte. Qual foio percentual da queda?

2) Um trabalhador que recebe o salrio de $34.000ganha 20% de aumento. Qual o seu novo salrio?

3) Um comerciante reajusta o preo de umamercadoria sucessivamente, em 10%, 12% e 17%.Se o preo inicial da mercadoria era de $250, qual o preo final?

4) Uma mercadoria que custava R$50 teve umaumento de 35%. Qual o novo preo damercadoria?

5) Uma ao, aps um aumento de 20% de seuvalor, passou a ser cotada em $25,20. Qual eraseu valor inicial?

6) Em uma Escola, havia um percentual de 32% dealunos fumantes. Aps uma campanha deconscientizao sobre o risco que o cigarro traz sade, 3 em cada 11 dependentes do fumodeixaram o vcio, ficando, assim, na Escola, 128

alunos fumantes. correto afirmar que o nmero de alunos daEscola igual aa) 176 b) 374 c) 400 d) 550

7) Uma loja aumenta o preo de um determinadoproduto cujo valor de R$ 600,00 para, em

seguida, a ttulo de promoo, vend-lo comdesconto de 20% e obter, ainda, os mesmosR$600,00; ento, o aumento percentual do preoser de:

a) 20%b) 25% c) 30% d) 35%

8) Uma fbrica recebeu uma encomenda de 50avies. A fbrica montou os avies em 5 dias,utilizando 6 robs de mesmo rendimento, quetrabalharam 8 horas por dia. Uma nova encomendafoi feita, desta vez 60 avies. Nessa ocasio, umdos robs no participou da montagem. Para

atender o cliente, a fbrica trabalhou 12 horas pordia. O nmero de dias necessrios para que afbrica entregasse as duas encomendas foi

a) exatamente 10 c) entre 9 e 10b) mais de 10 d) menos de 9

9) Um medicamento deve ser ingerido naquantidade de 3mg por quilograma da massacorporal. No pode, contudo, exceder 200mg pordose ministrada. Cada gota, desse medicamento,contm 5mg do remdio. O nmero de gotas dessemedicamento que deve ser prescrito por dose a umpaciente de 80 kg,

a) 46 b) 40 c) 16 d) 80

GABARITO:1. 3,095% 2. $40.800 3. $360,364. $ 67,50 5. $21 6. D7. B 8. C 9. B

DESCONTO SIMPLESDesconto o abatimento que dado quando uma dvida paga antes do vencimento.

Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, normal que entregue aocredor umttulo de crdito, que o comprovante dessa dvida.Todo ttulo de crdito tem uma data de vencimento; porm, o devedor pode resgat-lo

antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.O desconto uma das mais comuns aplicaes da regra de juro.Os ttulos de crdito mais utilizados em operaes financeiras so a nota promissria, a

duplicata e a letra de cmbio.A nota promissria um comprovante da aplicao de um capital com vencimento

predeterminado. um ttulo muito usado entre pessoas fsicas ou entre pessoa fsica einstituio financeira.

A duplicata um ttulo emitido por uma pessoa jurdica contra seu cliente (pessoa fsica oujurdica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou servios a serem pagos no

futuro, segundo um contrato.A letra de cmbio, assim como a nota promissria, um comprovante de uma aplicaode capital com vencimento predeterminado; porm, um ttulo ao portador, emitidoexclusivamente por uma instituio financeira.

VOC EM 1 LUGAR! 35


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MATEMTICA

Com relao aos ttulos de crdito, pode ocorrer: que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se

beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheirodurante o intervalo de tempo que falta para o vencimento;

que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, elepode vender o ttulo de crdito a um terceiro e justo que este ltimo obtenha um lucro,correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o

devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no ttulode crdito.

Em ambos os casos h um benefcio, definido pela diferena entre as duas quantidades.Esse benefcio, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.

As operaes anteriormente citadas so denominadas operaes de desconto, e o ato deefetu-las chamado descontar um ttulo.

Alm disso: dia do vencimento o dia fixado no ttulo para pagamento (ou recebimento) da

aplicao; valor nominal N (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) o valor indicado

no ttulo (importncia a ser paga no dia do vencimento);

valor atual A o lquido pago (ou recebido) antes do vencimento: A = N - d tempo ou prazo o nmero de dias compreendido entre o dia em que se negocia o ttuloe o de seu vencimento, incluindo o primeiro e no o ltimo, ou ento, incluindo o ltimo e no oprimeiro.

DESCONTO d a quantia a ser abatida do valor nominal, isto , a diferena entre o valornominal e o valor atual, isto : d = N - A.

O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominalou valor atual. Noprimeiro caso, denominadodesconto comercial; no segundo, desconto racional.

Chamamos de desconto comercial, bancrio ou por fora o equivalente ao juro simplesproduzido pelo valor nominaldo ttulo no perodo de tempo correspondente e taxa fixada.

Sejam d o valor de desconto comercial, N o valor nominal do ttulo, A o valor atual

comercial, n o tempoque falta para o vencimento e i a taxa de desconto, ento:d = N . i . n

O valor atual comercial dado por:

A = N d = N (1 in)

EXERCCIOS1. Um ttulo de R$ 60.000,00 vai ser descontado taxa de 2,1% ao ms. Faltando 45 dias para

o vencimento do ttulo, determine:a) o valor do desconto comercial

b) o valor atual comercial Resp: R$ 1.890,00 e R$ 58.110,00

2. Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00.Calcule o tempo de antecipao, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% aoms. Resp: 3 meses

Chamamos dedesconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valoratual do ttulo numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.

Sejam d o desconto racionale A o valor atual racional, ento1

d = A . i . n A = N d = N1 + in

D = N in = Nin = d1Sempre que o desconto no for explicitado, deve-se subentender desconto comercial

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MATEMTICA

1 + in 1 + in 1 + in

PROVAS1. Uma loja vende seus artigos nas seguintescondies vista com 30% de desconto sobre opreo de tabela ou no carto de crdito com 10%de acrscimo sobre o preo da tabela. Um artigoque vista sai por CR$ 7.000,00 no carto sairpor:a) CR$ 13.000,00 d) CR$ 9.800,00b) CR$ 11.000,00 e) CR$ 7.700,00c) CR$ 10.010,00

2. Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem onmero de irmos igual ao nmero de irms. Cadafilha tem o nmero de irmos igual ao dobro donmero de irmsQual o total de filhos e filhas do casal?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3. Dividir um nmero por 0,0125 equivale amultiplic-lo por:

a)125

1 b)

8

1 c) 8 d) 12,5 e) 80

4. Um lojista sabe que, para no ter prejuzo, opreo de venda de seus produtos deve ser nomnimo 44% superior ao preo de custo. Porm eleprepara a tabela de preos de vendaacrescentando 80% ao preo de custo, porque elesabe que o cliente gosta de obter um desconto nomomento de compra.

Qual o maior desconto que ele podeconceder ao cliente, sobre o preo da tabela, demodo a no ter prejuzo?a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36%

5. A expresso abaixo envolve operaes comnmeros decimais:

0,3 x 0,8 2 x 0,020,25 x 0,4

Efetuando corretamente as operaes indicadas naexpresso, encontramos:a) 20 b) 2 c) 0,2 d) 0,02

6. Sobre o preo de um carro importado incideum imposto de importao de 30%. Em funodisso, o seu preo para o importador deR$19.500,00. Supondo que tal imposto passe de30% para 60%, qual ser, em reais, o novo preodo carro, para o importador?a) R$ 22.500,00 d) R$ 31.200,00b) R$ 24.000,00 e) R$ 39.000,00c) R$ 25.350,00

7. Que nmero deve ser somado ao numerador e

ao denominador da frao3

2para que ela tenha

um aumento de 20% ?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Durante uma viagem choveu 5 vezes. A chuvacaia pela manh ou tarde, nunca o dia todo.Houve 6 manhs e 3 tardes sem chuva. Quantosdias durou a viagem?a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

9. O valor, em reais, de uma pedra semipreciosa sempre numericamente igual ao quadrado de suamassa, em gramas. Infelizmente uma dessaspedras, de 8 gramas, caiu e se partiu em doispedaos. O prejuzo foi o maior possvel. Emrelao ao valor original, o prejuzo foi de:a) 92% b) 80% c) 50% d) 20% e) 18%

10. Sendo i a unidade imaginria (i2 = -1) pergunta-se: quantos nmeros reais existem para os quais

(a+i)4 um nmero real ?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos

11. Uma duplicata de R$ 6.500,00 foi descontadaem um banco quando faltavam 75 dias paravencer, a uma taxa de desconto composto (porfora) de 1,5 % ao ms. A taxa de juros mensaiscobrada nesta operao :a) 1,56 % b) 2,51 % c) 3,75 % d) 3,89 %

12. Qual a taxa semestral de juros compostosequivalente taxa de juros quinzenal (juroscompostos) de 2 %?

a) 4 % b) 4,04 % c) 7,81 % d) 2 %

13. O juro exato e o comercial ou ordinrio geradospelo capital de R$ 10.000,00, aplicado taxasimples de 12 % a.a. e pelo prazo de 3 meses e 15dias so:

a) R$ 340,51 e R$ 350,00.b) R$ 350,00 e R$ 350,00.c) R$ 345,21 e R$ 350,00.d) R$ 350,00 e R$ 345,21.

14. H 5 linhas de trem servindo as cidades A e Be 4 linhas servindo as cidades B e C. No h linhas

diretas entre A e C. Uma pessoa deseja ir e voltarde A a C, sem passar mais de uma vez pelamesma estrada. O nmero de percursos distintosque ela poder fazer a) 16 b) 18 c) 40 d) 240 e) 400

15. Uma pessoa aplicou o valor de R$ 3.000,00 nomercado financeiro e, aps 12 dias, recebeu juros deR$72,00. A taxa de juros simples dessa aplicao foidea) 0,06% ao ms. d) 0,6% ao dia.b) 0,06% ao dia. e) 6 % ao ms.c) 0,6% ao ms.

16. Um cliente vai a um banco e aplica a quantia deR$ 2.000,00, taxa de juros compostos de 10% aoms. No final de 1 ano, ele receber os juros de

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MATEMTICA

a)R$ 2.200,00 d)R$ 6.276,00b)R$ 4.276,00 e)R$ 7.825,00c)R$ 5.726,00

17. Uma dvida feita numa instituio financeira foiamortizada em 10 prestaes mensaisantecipadas, cada uma no valor de R$ 500,00, taxa de juros compostos de 10 % ao ms. O valor

da dvida, desconsiderando-se os centavos, era dea) R$ 3.378,00 d) R$ 4.200,00b) R$ 3.500,00 e) R$ 4.347,00c) R$ 3.870,00

18. Uma pessoa deseja comprar um imvel. Paraisso ela deposita a quantia de R$16.850,00 numaaplicao financeira, taxa de juros compostos de20% ao ano capitalizados semestralmente. Em 6anos, essa pessoa ter o montante,desconsiderando-se os centavos, de:a) R$ 29.841,00 d) R$ 52.875,00b) R$ 45.000,00 e) R$ 55.000,00

c) R$ 50.297,00

19. Um carro vendido em uma loja a prazo, em 3pagamentos mensais iguais, no valor deR$3.000,00 cada um. Se a taxa de juroscompostos, sob o critrio do desconto racional,considerada for de 10 % ao ms, ento o valor vista do carro ser:a) R$ 7.458,00 d) R$ 8.100,00b) R$ 7.600,00 e) R$ 8.809,00c) R$ 7.800,00

20. Uma pessoa deposita, numa Caderneta de

Poupana, no final de cada ms, a quantia deR$2.000,00, taxa de juros compostos de 10 % aoms. No final de 5 meses, essa pessoa ter aquantia dea) R$ 10.500,00 d) R$ 12.200,00b) R$ 11.000,00 e) R$ 20.000,00c) R$ 11.250,00

21. Num painel de propaganda, trs luminosos seacendem em intervalos regulares: o primeiro acada 12 segundos, o segundo a cada 18 segundose o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dadoinstante, os trs se acenderem ao mesmo tempo,

os luminosos voltaro a se acender,simultaneamente, depois de:a) 2 minutos e 30 segundosb) 3 minutosc) 2 minutosd) 1 minuto e 30 segundose) 36 segundos

22. Um feirante compra mas ao preo de R$0,72 para cada grupo de duas unidades. Ele vendeessas mesmas mas por R$ 3,00 para cada grupode seis unidades. O nmero de mas que eleprecisa vender para obter um lucro de R$ 42,00 :

a) 360 d) 420b) 140 e) 300c) 210

23. Um caixa automtico de um banco s liberanotas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retiroudesse caixa a importncia de R$ 65,00, recebendo10 notas. O produto do nmero de notas de R$5,00 pelo nmero de notas de R$ 10,00 igual a:a) 16 b) 25 c) 24 d) 21

24. Um certo spa anuncia perdas de peso de at

3kg por semana. Uma pessoa obesa pesando 165kg, recolhe-se a este spa. Suponhamos que issorealmente ocorreu. Calcule o nmero mnimo desemanas completas que a pessoa deverpermanecer no spa para sair de l com menos de120kg de peso.a) 15 b) 20 c) 17 d) 14 e) 16

25. De quanto ser a economia feita pelocomprador que efetuar a compra vista?

(A) R$ 150,00 (D) R$ 80,00(B) R$ 224,00 (E) R$ 327,00(C) R$ 156,00

26. Empurra-empurra, tumulto e gritaria: esse ocenrio mais comum durante um prego da Bolsade Valores. Um corretor grita que est comprando

ou vendendo aes de determinada empresa e,imediatamente, cercado por dezenas deoperadores que disputam a negociao, tambmaos gritos. A bolsa de valores reflete asexpectativas de lucros das empresas. Se umaempresa vai bem, todos os acionistas ganham.Isso porqueuma pessoa que compra aes torna-se scia da empresa e, portanto, recebe parte doslucros.

Um investidor da bolsa de valores compraaes por R$ 4000,00 e depois de um certo tempoas vende com um prejuzo de 23%. Quanto perdeesse investidor?

(A) R$ 646,00 (D) R$ 920,00(B) R$ 748,00 (E) R$ 1023,00(C) R$ 590,00

27. Rafael fez um exame de seleo para disputaruma vaga numa empresa. O quadro mostra quantasquestes ele acertou em cada prova.

MATRIA TOTAL DEQUESTES

RESPOSTASCERTAS

Portugus 50 39Matemtica 40 32

Ingls 25 21Computao 35 28

Com base nos dados informados, podemos concluirque Rafael obteve o melhor desempenho em:

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MATEMTICA

(A) Matemtica (80%)(B) Computao (83%)(C) Ingls (84%)(D) Portugus (78%)(E) Todas as anteriores possuem valores percentuaisincorretos.

28. O salrio de Pitgoras equivale a 90% do de

Euler. A diferena entre os salrios de R$ 500,00.Qual o salrio de Pitgoras?(A) R$ 3500,00 (D) R$ 4500,00(B) R$ 2600,00 (E) R$ 5500,00(C) R$ 3900,00

29. Uma empresa possui 16 funcionriosadministrativos, dos quais sero escolhidos trs paraos cargos de: diretor, vice-diretor e tesoureiro. Dequantas maneiras pode ser feita a escolha?(A) 3360 (D) 6033(B) 3630 (E) 6330(C) 6303

30. Um caminho ba pode levar, no mximo, 58caixas do tipo A ou B, de mesmo tamanho. Elas tm,respectivamente 56 kg e 72 kg. A carga mxima paraesse caminho de 3,84 toneladas em cada viagem.Quantas caixas do tipo de cada tipo,respectivamente, A e B pode transportar essecaminho estando ele com carga mxima?(A) 15 e 43 (D) 30 e 28(B) 21 e 37 (E) 48 e 10

31. Num restaurante em que a comida vendidapor quilograma, um fregus observou que o prato

utilizado tem 250g. Se o preo cobrado por cadaquilograma de comida de R$ 13,50, quantoesse fregus pagar pela refeio se o pratojunto com essa refeio totalizar 830g?A) R$ 7,83 D) R$ 8,45B) R$ 6,45 E) R$ 8,62C) R$ 8,20

32. Qual o menor nmero natural x, tal que adiferena 2356 x, seja um nmero quadradoperfeito?A) 45 B) 61 C) 49 D) 52 E) 54

33. Qual das alternativas abaixo corresponde a

simplificao da expresso)3).(3(

652

+

xx

xx

?

A)3

2

+

x

x

B)3

5

x

x

C)3

3

+

x

x

D)3

3

+

x

x

E)3

11

+

x

x

34. Efetue as operaes de:(1 / 0,2727...) 0,7777... + 0,5333... 3O resultado :a) 4 / 9b) 2,37c) 19 / 45d) 2,25

35. Uma pessoa possui mais de R$ 300,00 emenos de R$ 400,00. Separando-se a quantia empartes iguais a R$ 6,00 ou em partes iguais a R$10,00 ou em partes iguais a R$ 18,00 sobram, emqualquer destas trs hipteses, R$ 7,00. Quantopossui esta pessoa?a) R$ 367,00 c) R$ 347,00b) R$ 327,00 d) R$ 387,00

36. Duas pessoas ganham juntas, R$ 7.700,00 porano. Uma gasta o equivalente a 11/15 de seuganho e a outra, 7/10. O total das economias dasduas pessoas por ms R$ 180,00. Assinale a

alternativa correta.a) A diferena de ganhos entre as duas pessoas R$ 1.600,00.b) A diferena de ganhos entre as duas pessoas R$ 1.200,00.c) Uma das pessoas recebe R$ 4.500,00 por ano.d) Uma das pessoas recebe R$ 3.600,00 por ano.

37. Numa empresa, 2.000 peas foramfabricadas em 120 dias, por 15 homens,usando 8 mquinas, trabalhando 6 horas pordia. Quantos dias, 25 homens, trabalhando 8horas por dia e utilizando 12 mquinas sero

necessrios para produzir 4.500 peas?a) 36 diasb) 108 diasc) 135 diasd) 81 dias

38. Um indivduo deixa, ao morrer, uma heranapara ser repartida em partes inversamenteproporcionais s respectivas idades. Antnio tem6 anos; Joo tem 8 anos e Pedro tem 12 anos. Adiferena entre a soma das duas menores parcelase a maior parcela da herana igual a R$2.600,00. Assinale a alternativa correta.

a) As heranas de Antnio e Joo somam R$12.600,00b) A herana de Pedro R$ 10.400,00c) A herana de Joo R$ 7.800,00d) A diferena entre os valores recebidos porAntnio e Pedro R$ 5.400,00

39. Um estudante comprou x canetas e gastouR$ 91,00. Comprou (x+6) lapiseiras e gastou R$76,00. O preo de uma caneta 75% maior que opreo de uma lapiseira. Quantas canetas comprou?a) 19 b) 15 c) 13 d) 17

40. Numa determinada loja, o preo de um eletro-domstico R$ 2.000,00. A loja oferece duasalternativas para pagamento: a) pagamento vista,com 10% de desconto ou b) pagamento em 4

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MATEMTICA

vezes (uma parcela no ato; mais trs, uma a cada30 dias), sem acrscimo. A taxa de juros praticadapor esta loja se situa:a) Entre 0% e 3% ao ms

b) Entre 7% e 9% ao msc) Entre 5% e 7% ao msd) Entre 3% e 5% ao ms

GABARITO

1. B 2. E 3. E 4. C 5. B 6. B 7. B 8. B 9. C 10. C11. A 12. C 13. C 14. D 15. E 16. B 17. A 18. D 19. A 20. D21. B 22. E 23. D 24. E 25. C 26. D 27. C 28. D 29. A 30. B31. A 32. D 33. A 34. C 35. A 36. C 37. D 38. C 39. C 40. B

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