A Consideração da Não-Linearidade Física no Cálculo … · deflection in reinforced concrete beams Palavras-chave em inglês: ... Palavras-chave: concreto armado, vigas, ﬂecha,

PEDRO ALEXANDRE CONDE BANDINI

A CONSIDERAÇÃO DA NÃO-LINEARIDADE FÍSICA NOCÁLCULO DE FLECHA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

CAMPINAS2015

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO

PEDRO ALEXANDRE CONDE BANDINI

A CONSIDERAÇÃO DA NÃO-LINEARIDADE FÍSICA NOCÁLCULO DE FLECHA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Orientadora: Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva

Coorientador: Mario Conrado Cavichia

Dissertação apresentada à Faculdade deEngenharia Civil, Arquitetura e Urbanismoda Unicamp, para a obtenção do título de Mestreem Engenharia Civil na área de Estruturas eGeotécnica.

Orientadora: Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva

Coorientador: Mario Conrado Cavichia

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL

DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO PEDRO

ALEXANDRE CONDE BANDINI, E ORIENTADA PELA

PROFA. DRA. MARIA CECILIA AMORIM TEIXEIRA DA

SILVA.

Assinatura da Orientadora

CAMPINAS

2015

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Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaElizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098

Bandini, Pedro Alexandre Conde, 1987- B222c BanA consideração da não-linearidade física no cálculo de flecha em vigas de

concreto armado / Pedro Alexandre Conde Bandini. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

BanOrientador: Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva. BanCoorientador: Mario Conrado Cavichia. BanDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de

Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.

Ban1. Concreto armado. 2. Vigas. 3. Flexão (Engenharia civil). 4. Concreto -

Deformação - Modelos matemáticos. 5. Análise não-linear. I. Silva, Maria CeciliaAmorim Teixeira da,1955-. II. Cavichia, Mario Conrado,1953-. III. UniversidadeEstadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: The consideration of material nonlinearity on the assessment ofdeflection in reinforced concrete beamsPalavras-chave em inglês:Reinforced concreteBeamsFlexion (Civil engineering)Concrete - Strain - Mathematical modelsNonlinear analysisÁrea de concentração: Estruturas e GeotécnicaTitulação: Mestre em Engenharia CivilBanca examinadora:Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva [Orientador]Leandro Mouta TrautweinJulio SorianoData de defesa: 22-05-2015Programa de Pós-Graduação: Engenharia Civil

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E

URBANISMO

A CONSIDERACAO DA NAO-LINEARIDADE FiSICA NOCALCULO DE FLECHA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Pedro Alexandre Conde Bandini

Dissertacio dc Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constitul’da par:

Profa. Dra. Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva

Presidente e Orientadora/Universidade Estadual de Campinas

OZQOMM Mafia {MWProf. Dr. Leandra Mouta Trautwein

Universidade Estadual de Campinas

flu w)’

. r. Julio Soriano

Unive a e Estadual de Campinas

Campinas, 22 de maio de 2015

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RESUMO

A fim de atender a requisitos de Estados Limites de Serviço, uma estrutura de concreto deve sa-tisfazer critérios, dentre eles o controle de deslocamentos excessivos. As normas de projeto deestruturas de concreto estabelecem limites máximos para flechas em vigas que devem ser verifica-dos em etapa de projeto. Portanto, métodos que estimem os deslocamentos em vigas de concretoarmado de maneira satisfatória devem ser utilizados por engenheiros estruturais com o intuito dese projetar estruturas que atendam às condições de segurança e de serviço. No presente trabalhoforam desenvolvidos e implementados os procedimentos numéricos FLECHA-0 e FLECHA-T quepermitem analisar o comportamento de vigas de seção retangular, bi-apoiadas, de concreto armadosubmetidas à flexão simples. Os procedimentos consideraram a não-linearidade física para o cál-culo de flecha imediata e flecha total, nesta sendo também considerados os efeitos de fluência eretração. Adotou-se a análise da seção transversal em camadas para integração das tensões e ob-tenção dos esforços internos. A consideração da não-linearidade física foi introduzida através doemprego de modelos constitutivos adequados para concreto e aço, e a colaboração do concretoentre fissuras foi considerada através de modelo de tension-stiffening para o concreto tracionadopós-fissuração em região de tração efetiva. A análise de efeitos diferidos de fluência e retração foidesenvolvida mediante emprego de método para cálculo de curvatura em elementos fletidos. Osprocedimentos numéricos foram implementados computacionalmente e foram validados atravésda comparação com resultados experimentais de vigas ensaiadas à flexão obtidos por outros pes-quisadores. Também foram avaliadas as recomendações referentes ao cálculo de flecha em vigasapresentadas pelas normas brasileira e europeia. Devido aos resultados obtidos na análise compa-rativa a modelos experimentais, procedeu-se uma investigação da influência da taxa de armadurade tração no procedimento para cálculo de flecha imediata em vigas recomendado pela norma bra-sileira de projeto de estruturas de concreto. Os resultados obtidos pelos procedimentos numéricosdesenvolvidos no presente trabalho (FLECHA-0 e FLECHA-T) foram satisfatórios comparados aosexperimentais e indicaram que estes podem ser empregados em situações de projeto para verifi-cação de Estado Limite de Serviço de Deformações Excessivas em vigas de concreto armado dogrupo I de resistência. A análise da influência da taxa de armadura de tração indicou que podeexistir uma limitação ao uso do procedimento recomendado pela norma brasileira para o cálculo deflecha imediata em vigas com taxa de armadura inferior de tração a 0,50%.

Palavras-chave: concreto armado, vigas, flecha, não-linearidade física, fluência, retração

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ABSTRACT

In order to satisfy Serviceability Limits States requirements, a concrete structure must fulfill somecriteria; among them is the deflection control. Guidelines for the design of concrete structures setmaximum limit to the deflection of beams which ought to be verified at the design stage. There-fore, methods which are able to estimate deflection of reinforced concrete beams satisfactorilyshould be used by the structural designer in order to design a RC structure that meet safety andserviceability specifications. This work presents the development of numerical procedures calledFLECHA-0 and FLECHA-T that allow the assessment of instaneous and long-term (consideringcreep and shrinkage effects) deflections, respectivly, on reinforced concrete simply supported rect-angular beams subjected to bending. A section analysis approach was adopted for the integrationof stresses to obtain bending moment and axial load acting on the section and material nonlinear-ities were introduced by the application of adequate constitutive relations for concrete and steel.The collaboration of concrete in tension between cracks was considered by a tension-stiffeningmodel for post-cracking concrete under tension. The numerical procedures were implemented andtheir efficiencies were verified by the comparison to experimental results of tested RC beams underbending. Specifications related to the subject, established by the Brazilian and European standardsguidelines were also investigated. Due to the results gathered in the comparative analysis to ex-perimental data, an investigation was perfomed to assess the influence of the tension reinforcementratio on the procedure to estimate instantaneous deflection in beam recommended by the Brazilianconcrete structures design standards. The results obtained by the numerical procedures developedin the present work (FLECHA-0 and FLECHA-T) showed to be satisfactory and indicate that suchprocedures are able to be applied at design situations for the assessment of Deflection ControlServiceability Limit State in reinforced concrete beams of the strength group I. The analysis ofthe influence of the tension reinforcement ratio indicated that a limitation may exist in the proce-dure recommended by the Brazilian standards when applied to estimate instantaneous deflection ofbeams with tension reinforcement ratio lower than 0.50%.

Keywords: reinforced concrete, beams, deflection, nonlinearity, creep, shrinkage.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 11.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Objetivo específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 52.1 Modelos para Análise de Vigas de Concreto Armado sob Cargas de Curta Duração 5

2.2 A Contribuição do Concreto Tracionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Cargas de Longa Duração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 METODOLOGIA 193.1 Flecha Imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Análise da seção transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.2 Modelos constitutivos empregados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.3 Cálculo de deslocamento e curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.4 Cálculo da posição da linha neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.5 O problema não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Flecha Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Curvatura devida à fluência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2 Curvatura devida à retração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3 Cálculo da flecha total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Procedimentos Normativos para Cálculo de Flecha . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1 Procedimento recomendado pela ABNT NBR 6118 (2014) . . . . . . . . . 33

3.3.2 Procedimento recomendado pelo Eurocode 2 (2004) . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Ferramenta Computacional de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Implementação Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.1 Procedimento numérico FLECHA-0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.2 Procedimento numérico FLECHA-T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 ANÁLISE PARAMÉTRICA 494.1 Viga sob Flexão a Quatro Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Viga sob Flexão a Três Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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4.3 Discussão dos Resultados da Análise Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 COMPARAÇÃO COM MODELOS EXPERIMENTAIS 575.1 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Flecha Imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.1 Viga ensaiada por Araújo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.2 Viga ensaiada por Beber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.3 Viga ensaiada por Santos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.4 Viga ensaiada por Fernandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.5 Vigas ensaiadas por Piancastelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.6 Análise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 Flecha Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3.1 Vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3.2 Vigas ensaiadas por Washa e Fluck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.3 Análise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA TAXA DE ARMADURA 916.1 Aspectos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.1 Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.2 Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2.3 Modelo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2.4 Modelo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.3.1 Taxa de armadura 0,20% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.3.2 Taxa de armadura 0,30% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3.3 Taxa de armadura 0,40% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3.4 Taxa de armadura 0,50% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.5 Taxa de armadura 0,60% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3.6 Taxa de armadura 0,70% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.3.7 Taxa de armadura 0,80% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3.8 Taxa de armadura 0,90% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3.9 Taxa de armadura 1,00% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3.10 Taxa de armadura 1,20% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3.11 Taxa de armadura 1,50% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

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6.3.12 Taxa de armadura 2,00% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4 Análise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 115

REFERÊNCIAS 118

APÊNDICES 125

A ARQUIVOS DE ENTRADA E SAÍDA PARA FLECHA-0 E FLECHA-T 125

B RESULTADOS NUMÉRICOS OBTIDOS NAS COMPARAÇÕES COM MODE-LOS EXPERIMENTAIS 129B.1 Flecha Imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129B.2 Flecha Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

ANEXOS 139

A FLUÊNCIA E RETRAÇÃO SEGUNDO O EUROCODE 2 (2004) 139A.1 Coeficiente de Fluência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139A.2 Deformação de Retração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

B MOMENTO DE INÉRCIA NOS ESTÁDIOS I E II PURO 143B.1 Estádio I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143B.2 Estádio II puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

C MOMENTO FLETOR TEÓRICO DE RUÍNA 147C.1 Equações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147C.2 Equações de compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149C.3 Domínios de deformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

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xiv

Aos meus pais, Silvia e Luiz,

e à minha esposa Dayana,

com carinho.

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente, à Profa. Dra. Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva pela orientação, pelaconfiança e pelos ensinamentos transmitidos. Uma pessoa por quem tenho grande admiração etomo como exemplo de profissional.

Ao Prof. Dr. Mário Conrado Cavichia por ter me auxiliado durante toda minha formação comoengenheiro civil e pela dedicação e acompanhamento do meu trabalho de mestrado.

À minha família, em especial, aos meus pais, Silvia e Luiz, e meu irmão Luiz Fernando, porquem tenho imenso carinho, agradeço pelo encorajamento e suporte. Sem eles, nada disso teriasido possível.

À minha esposa e melhor amiga Dayana pelo amor e incentivo.

Aos meus amigos e amigas, que sempre estiveram presentes me dando suporte.

À equipe da TQS Informática, com quem trabalhei durante meu primeiro ano de mestrado,especialmente aos engenheiros Nelson Covas, Alio Ernesto Kimura e Rodrigo Nurnberg, pela ami-zade e oportunidade.

Aos demais professores e funcionários da Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urba-nismo da Unicamp, em especial do Departamento de Estruturas, pela formação, ajuda e valiosatroca de ideias.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio finan-ceiro para realização desse trabalho.

Ao Prof. Dr. Andriei José Beber pela colaboração ao disponibilizar seus resultados experimen-tais que foram utilizados neste trabalho.

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LISTA DE FIGURAS

3.1 Seção transversal analisada em camadas de concreto e elementos de armadura. . . . 22

3.2 Relação tensão-deformação para concreto à compressão segundo Eurocode 2 (2004) 23

3.3 Relação tensão-deformação para concreto à tração: (a) pré-fissuração e (b) pós-fissuração segundo Stramandinoli e La Rovere (2008) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Altura efetiva de concreto tracionado segundo CEB-FIP MC 90 (1993) . . . . . . . 25

3.5 Modelo constitutivo empregado para o aço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Elemento finito de barra submetida a carregamento transversal . . . . . . . . . . . 27

3.7 Fluxograma do procedimento numérico FLECHA-0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.8 Fluxograma do cálculo do vetor de carga devido aos esforços internos . . . . . . . 42

3.9 Fluxograma do cálculo da posição da linha neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.10 Fluxograma do procedimento numérico FLECHA-T . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1 Geometria da viga para análise paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Modelos de divisão da seção em camadas para análise paramétrica . . . . . . . . . 50

4.3 Malhas para análise paramétrica da viga sob flexão a 4 pontos . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Curvas carga-flecha de viga sob flexão a 4 pontos para análise de (a) malha e (b)quantidade de camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5 Malhas para análise paramétrica da viga sob flexão a 3 pontos . . . . . . . . . . . . 53

4.6 Curvas carga-flecha de viga sob flexão a 3 pontos para análise de (a) malha e (b)quantidade de camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1 Detalhes da viga VC-1R ensaiada por Araújo (2002) e malha adotada . . . . . . . . 62

5.2 Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Araújo (2002) . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Detalhes da vigas T1 e T2 ensaiadas por Beber (1999) e malha adotada . . . . . . . 65

5.4 Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Beber (1999) . . . . . . . . . . . . . . 66

5.5 Detalhes da viga REF1 ensaiada por Santos (2006) e malha adotada . . . . . . . . 67

5.6 Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Santos (2006) . . . . . . . . . . . . . . 68

5.7 Detalhes da viga ensaiada por Fernandes (1996) e malha adotada . . . . . . . . . . 69

5.8 Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Fernandes (1996) . . . . . . . . . . . . 70

5.9 Detalhes das vigas V3 e V7 ensaiadas por Piancastelli (1997) e malha adotada . . . 72

5.10 Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Piancastelli (1997) . . . . . . . . . . . 73

5.11 Vigas dos grupos B1, B2 e B3 ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004) e malha adotada 77

5.12 Curva flecha-idade para viga B1-a ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . . . . 78

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5.13 Curva flecha-idade para viga B1-b ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . . . . 785.14 Curvas flecha-idade para viga B2-a ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . . . . 795.15 Curvas flecha-idade para viga B2-b ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . . . . 805.16 Curvas flecha-idade para viga B3-a ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . . . . 805.17 Curvas flecha-idade para viga B3-b ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . . . . 815.18 Esquema estrutural das vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952) e malha adotada

para análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.19 Seções transversais das vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952) . . . . . . . . . 83

6.1 Seção transversal e esquema estático para as vigas analisadas . . . . . . . . . . . . 956.2 Curva carga-flecha para taxa de 0,20%: (a) M1-a, (b) M2-a, (c) M3-a e (d) M4-a . . 1006.3 Curva carga-flecha para taxa de 0,30%: (a) M1-b, (b) M2-b, (c) M3-b e (d) M4-b . 1016.4 Curva carga-flecha para taxa de 0,40%: (a) M1-c, (b) M2-c, (c) M3-c e (d) M4-c . . 1026.5 Curva carga-flecha para taxa de 0,50%: (a) M1-d (b) M2-d, (c) M3-d e (d) M4-d . . 1036.6 Curva carga-flecha para taxa de 0,60%: (a) M1-e, (b) M2-e, (c) M3-e e (d) M4-e . . 1046.7 Curva carga-flecha para taxa de 0,70%: (a) M1-f, (b) M2-f, (c) M3-f e (d) M4-f . . 1056.8 Curva carga-flecha para taxa de 0,80%: (a) M1-g, (b) M2-g, (c) M3-g e (d) M4-g . 1066.9 Curva carga-flecha para taxa de 0,90%: (a) M1-h, (b) M2-h, (c) M3-h e (d) M4-h . 1076.10 Curva carga-flecha para taxa de 1,00%: (a) M1-i, (b) M2-i, (c) M3-i e (d) M4-i . . 1086.11 Curva carga-flecha para taxa de 1,20%: (a) M1-j, (b) M2-j, (c) M3-j e (d) M4-j . . 1096.12 Curva carga-flecha para taxa de 1,50%: (a) M1-k, (b) M2-k, (c) M3-k e (d) M4-k . 1106.13 Curva carga-flecha para taxa de 2,00%: (a) M1-l, (b) M2-l, (c) M3-l e (d) M4-l . . 111

A.1 Arquivo de entrada para procedimento FLECHA-0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 126A.2 Arquivo de entrada para procedimento FLECHA-T . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.3 Arquivo de saída para procedimento FLECHA-0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128A.4 Arquivo de saída para procedimento FLECHA-T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

C.1 Seção transversal e forças resistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148C.2 Compressão no concreto por parábola-retângulo e simplificação . . . . . . . . . . 149C.3 Compatibilidade de deformações na seção transversal . . . . . . . . . . . . . . . . 150

xx

LISTA DE TABELAS

3.1 Pontos e pesos para quadratura de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1 Propriedades mecânicas da viga para análise paramétrica . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1 Coeficiente αE conforme natureza do agregado graúdo . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Desvio-padrão de acordo com condição de preparo do concreto. Adaptada deABNT NBR 12655 (2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Propriedades mecânicas do concreto da viga VC-1R utilizadas nos procedimentos . 63

5.4 Taxas geométricas e propriedades mecânicas da armadura da viga VC-1R . . . . . 63

5.5 Propriedades mecânicas do concreto das vigas T1 e T2 utilizadas nos procedimentos 65

5.6 Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras das vigas T1 e T2 . . . 65

5.7 Propriedades mecânicas do concreto da viga REF1 utilizadas nos procedimentos . . 67

5.8 Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras da viga REF1 . . . . . 68

5.9 Propriedades mecânicas do concreto da viga 3φ10mm . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.10 Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras da viga 3φ10mm . . . 70

5.11 Propriedades mecânicas do concreto das vigas V3 e V7 ensaiadas por Piancastelli(1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.12 Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras das vigas V3 e V7ensaiada por Piancastelli (1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.13 Erros relativos médios obtidos para flechas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.14 Propriedades geométricas e dados de carregamento das vigas ensaiadas por Gilberte Nejadi (2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.15 Propriedades mecânicas do concreto das vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi(2004) à idade de 14 dias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.16 Propriedades mecânicas do concreto das vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi(2004) utilizadas pelos procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.17 Vãos e cargas dos grupos de vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952) . . . . . . . 81

5.18 Propriedades mecânicas do concreto à idade de 14 dias utilizados em FLECHA-T . 82

5.19 Propriedades mecânicas do concreto à idade de 14 dias utilizados em NBR6118 . . 84

5.20 Propriedades mecânicas do concreto à idade de 14 dias utilizados em EC2 . . . . . 84

5.21 Propriedades mecânicas das barras de aço utilizadas nas armaduras . . . . . . . . . 84

5.22 Coeficiente de fluência e deformação de retração estimados pelo procedimento doEurocode 2 (2004) para idade de 927 dias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

xxi

5.23 Flechas imediatas e totais: experimentais de Washa e Fluck (1952) e calculadas.Valores em milímetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.24 Flechas iniciais e totais para as vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004) . . . . . 87

5.25 Erros relativos médios para flechas totais em comparação com resultados de Gilberte Nejadi (2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.26 Razões entre flechas total e imediata (experimentais de Washa e Fluck (1952) enuméricas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.27 Erros relativos médios para flechas imediatas e totais em comparação com resulta-dos de Washa e Fluck (1952) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.1 Propriedades mecânicas do concreto e do aço das vigas do Modelo 1 . . . . . . . . 94

6.2 Propriedades geométricas das vigas do Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3 Dados necessários aos procedimentos - Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4 Armadura de tração e carga de ruína das vigas do Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . 96



6.7 Armadura de tração das vigas do Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97







6.14 Taxa de armadura de tração, momento de fissuração, momento solicitante para atin-gir 96% de III e momento de inércia efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

B.1 Resultados numéricos para comparação com a viga VC-1R ensaiada por Araújo(2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

B.2 Resultados numéricos para comparação com a vigas T1 e T2 ensaiada por Beber(1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

B.3 Resultados numéricos para comparação com viga ensaiada por Fernandes (1996) . 130

B.4 Resultados numéricos para comparação com as vigas V3 e V7 ensaiada por Pian-castelli (1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

B.5 Resultados numéricos para comparação com a viga REF1 ensaiada por Santos (2006)131

xxii

B.6 Resultados numéricos para comparação com a viga B1-a ensaiada por Gilbert eNejadi (2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

B.7 Resultados numéricos para comparação com a viga B1-b ensaiada por Gilbert eNejadi (2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134





A.1 Valores de kh em função da altura teórica. Adaptado de Eurocode 2 (2004) . . . . . 141

C.1 Domínios de deformação em flexão simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

xxiii

xxiv

LISTA DE SIGLAS

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

ACI American Institute of Concrete

ASCE American Society of Civil Engineers

CEB Comité Euro-International du Béton

CEB-FIP Comité Euro-International du Béton - Fédération Internationale de la Précontrainte

CEN European Committee for Standardization

DSFM Disturbed Strees Field Model

ELS Estado-Limite de Serviço

ELU Estado-Limite Último

MCFT Modified Compression Field Theory

MEF Método dos Elementos Finitos

MFE Micro Finite Element

PTV Princípio dos Trabalhos Virtuais

xxv

xxvi

LISTA DE SÍMBOLOS

∆ti Intervalo de tempo em que determinada temperatura prevalece

α Expoente que depende do tipo de cimento

αϕ Fator relativo a fissuração e a quantidade e posição da armadura na fluência segundo Gilbert(2011)

α1,2,3 Coeficientes que consideram a influência da resistência do concreto na fluência

αE Coeficiente relativo ao tipo de rocha do agregado graúdo

α f Fator para consideração da fluência

αsd1,2 Coeficientes que dependem do tipo de cimento (retração)

αtr Coeficiente relativo ao efeito da geometria da seção transversal na resistência à tração sobflexão

β Fator relativo à influência da duração ou repetição do carregamento

βc (t, t0) Coeficiente que descreve o desenvolvimento da fluência no tempo

β ( fcm) Fator que considera o efeito da resistência do concreto na fluência

βH Coeficiente que depende da umidade relativa do ar e da altura teórica

βRH Coeficiente referente à umidade relativa do ar

βt Coeficiente relativo a efeitos da retração e do tempo

β (t0) Fator que considera a idade do início do carregamento na fluência

δt Flecha total

δt0 Flecha imediata

εF Tolerância relativa à carga

εLN Tolerância relativa à linha neutra

εU Tolerância relativa ao deslocamento

xxvii

ε Deformação específica

εc Deformação específica do concreto

εc1 Deformação relativa ao pico de tensão de compressão no concreto

εca (t) Deformação por retração autógena

εcd (t) Deformação por retração por secagem

εcd,0 Deformação básica de retração por secagem

εcr Deformação de fissuração do concreto

εcs Deformação específica por retração

εcu Deformação de ruptura à compressão do concreto

εs Deformação específica do aço

εsu Deformação última do aço

εy Tensão de escoamento do aço

ζ Coeficiente de distribuição

η Razão entre deformação específica do concreto e deformação do concreto relativa ao picode tensão

λ Parâmetro de decaimento exponencial da tensão de tração do concreto pós-fissuração

ξ Coeficiente para consideração do tempo no cálculo de flecha total segundo a ABNT NBR6118 (2014)

ξ j Ponto de integração

ρ Taxa geométrica de armadura tracionada

ρ ′ Taxa geométrica da armadura de compressão

σc Tensão normal no concreto

σs Tensão normal no aço

xxviii

θ Rotação

φ Diâmetro da barra de aço

ϕ0 Coeficiente de fluência teórico

ϕRH Fator que considera o efeito da umidade relativa do ar na fluência

ϕ (t, t0) Coeficiente de fluência

ω Parâmetro de deformação

χ Curvatura

χcs Curvatura devida à retração

χϕ Curvatura devida à fluência na idade t

χt Curvatura total

ψi Função de forma

Ac Área de concreto

Ae f Área efetiva de concreto tracionado

As Área de aço da armadura de tração

A′s Área de aço da armadura de compressão

Ec Módulo de deformação longitudinal tangente inicial do concreto

Ec,e f Módulo de deformação longitudinal efetivo do concreto

Ecm Módulo de deformação longitudinal secante do concreto

Es Módulo de elasticidade do aço

E ′s Módulo de elasticidade do aço da armadura de compressão

(EI)eq Rigidez à flexão equivalente

I Momento de inércia

Ic Momento de inércia da seção bruta não-fissurada de concreto

xxix

Ie f Momento de inércia efetivo

II Momento de inércia no Estádio I (estado não-fissurado)

III Momento de inércia no Estádio II puro (estado fissurado)

Is Momento de inércia da armadura de tração

I′s Momento de inércia da armadura de compressão

M Momento fletor

Mcr Momento fletor de fissuração

Ma Momento fletor máximo em trecho da viga

Mu Momento fletor teórico de ruína

MV Momento fletor virtual

N Esforço normal

P Carga concentrada aplicada

Pu Carga teórica de ruína

Rc Esforço normal resistente do concreto

Rs Esforço normal resistente da armadura de tração

R′s Esforço normal resistente da armadura de compressão

RH Umidade relativa do ar

S Momento estático

Sd Desvio-padrão da amostra

T (∆ti) Temperatura em intervalo de tempo

WI Módulo de resistência da fibra tracionada extrema da seção homogeneizada não-fissurada

b Base da seção transversal

d Altura útil da seção transversal

xxx

d′ Altura útil da armadura de compressão

e Índice do elemento

erel Erro relativo

fck Resistência à compressão característica do concreto

fcm Resistência à compressão média do concreto

fcm,sp Resistência média à tração do concreto obtida por ensaio de compressão diametral

fctm Resistência à tração média do concreto

fctm, f l Resistência média à tração em flexão

f (x) Função (genérica)

fy Tensão de escoamento do aço

f ′y Tensão de escoamento do aço da armadura de compressão

h Altura da seção transversal

h0 Altura teórica

he f Altura efetiva segundo CEB-FIP MC 90 (1993)

kh Coeficiente que depende da altura teórica

k Coeficiente para cálculo da tensão de compressão no concreto segundo Eurocode 2 (2004)

l Comprimento da viga

le Comprimento do elemento

m Número de camadas de concreto

n Número de barras da armadura longitudinal

nm Razão modular entre aço e concreto

nm,e Razão modular efetiva

q Carregamento transversal uniforme

xxxi

qe Carregamento transversal uniforme no elemento

t Idade na qual se realiza a análise

t0 Idade de início do carregamento

t0,T Idade inicial de carregamento ajustada pela temperatura

ts Idade do concreto no início da retração

tT Idade ajustada pela temperatura

u Perímetro em contato com a atmosfera

ui Deslocamento transversal nodal ou rotação nodal

v Deslocamento transversal

ve Função de aproximação do deslocamento transversal do elemento

w j Peso de integração

x Coordenada da seção transversal no eixo longitudinal da viga

y Distância da fibra de concreto à linha neutra

yI Distância da linha neutra à fibra extrema comprimida no Estádio I

yII Distância da linha neutra à fibra extrema comprimida no Estádio II puro

ys Distância da camada de armadura à linha neutra

ytr Distância do centro de gravidade da seção à borda tracionada

y0 Distância da linha neutra à fibra comprimida extrema de concreto

zc Braço de alavanca do esforço resistente de concreto

∆F Vetor de desequilíbrio de carga

∆U Vetor de incremento de deslocamento

F Vetor de carga

F(U) Vetor de carga devido aos esforços internos

xxxii

K0 Matriz de rigidez tangente inicial

U Vetor de deslocamento

xxxiii

xxxiv

1. INTRODUÇÃO

O concreto armado é um dos materiais de construção mais importantes do mundo, sendo noBrasil ainda um dos principais materiais empregados na construção de estruturas de edifícios resi-denciais e comerciais.

Atualmente, com o emprego de aços e concretos de maiores resistências em estruturas acom-panhado por procedimentos analíticos mais refinados e aumento da capacidade de processamentocomputacional, propiciou-se aos engenheiros estruturais a possibilidade de se projetar estruturas deconcreto armado mais esbeltas e mais solicitadas, e que atendem aos critérios de Estados-LimiteÚltimos (ELU). Além da segurança garantida pelo atendimento aos ELUs, uma estrutura deve tam-bém atender aos requisitos de sua utilização em serviço, os quais são determinados pelos Estados-Limite de Serviço (ELS), de forma a garantir o uso para o qual a estrutura foi projetada durante suavida útil.

As normas de projetos de estruturas de concreto, como a nacional da Associação Brasileira deNormas Técnicas - ABNT NBR 6118 (2014) e a europeia do European Committee for Standardiza-

tion - CEN, Eurocode 2 (2004), requerem, dentre os ELS, a avaliação de deslocamentos excessivospara vigas, impondo valores limites de flecha para que os deslocamentos sejam aceitáveis. Deacordo com Gilbert (2011), o deslocamento de estruturas não deve prejudicar o funcionamentoda mesma nem mesmo ser esteticamente inaceitável. Segundo Leonhardt (1981), os danos maisfrequentes causados por flechas excessivas são: fissuras em paredes não-estruturais, destruição ouocasionamento de mal funcionamento de caixilhos e esquadrias, e flambagem de paredes e pilaresesbeltos.

Com o intuito de atender aos requisitos de ELS, durante a etapa de projeto, devem-se utilizarprocedimentos práticos para a estimativa de flecha em vigas de concreto armado que representemsatisfatoriamente o comportamento real desse elemento estrutural. Tais procedimentos, entretanto,não devem ser excessivamente conservadores, a fim de se projetar de maneira eficiente.

O concreto é um material que possui comportamentos bastante distintos à compressão e à tra-ção. Quando comprimido, o concreto apresenta comportamento não-linear sob tensões elevadas. Àtração, mesmo para níveis de tensão relativamente baixos, o concreto apresenta fissuração, a qualconduz a uma considerável perda de rigidez da estrutura. A desconsideração total do comporta-mento não-linear através de uma análise puramente linear de estruturas de concreto armado resultaem deslocamentos contra a segurança. Por outro lado, desprezar completamente a colaboraçãodo concreto tracionado leva a modelos flexíveis e, consequentemente, a valores de deslocamentosuperiores aos observados na realidade. Dessa forma, modelos analíticos para avaliação de flechaem vigas de concreto armado devem levar em conta tanto o comportamento não-linear do material

1

quanto a colaboração do concreto tracionado entre fissuras. Ainda, efeitos diferidos do concretocomo fluência e retração causam aumento das curvaturas em estruturas submetidas à flexão e, porconsequência, amplificam os deslocamentos imediatos ao longo do tempo. Tais efeitos tambémdevem ser considerados em modelos que visem estimar flechas em vigas de concreto armado.

Diversos modelos com diferentes graus de complexidade foram propostos para a considera-ção da não-linearidade física na análise de vigas de concreto armado. Análises excessivamenterefinadas podem requerer elevado grau de complexidade e o tempo de processamento se torna im-praticável para situações de projetos correntes.

Como indicado pelo comitê da American Society of Civil Engineers - ASCE (1982) e utili-zado por Vecchio e Collins (1988), Sun, Bradford e Gilbert (1993), Matsui e Silva (2006) eStramandinoli e La Rovere (2012), pode-se empregar a abordagem da divisão da seção transversalem camadas de concreto e de armadura para integração das tensões solicitantes a fim de se obteros esforços internos atuantes na seção. Tais esforços decorrem do emprego de modelos constituti-vos adequados para aço e concreto, os quais retratam tanto o comportamento não-linear quanto acolaboração do concreto tracionado entre fissuras, efeito conhecido como tension-stiffening. Ali-ada a essa abordagem, pode-se empregar a formulação do Método dos Elementos Finitos (MEF)para barras submetidas à flexão para cálculo de deslocamentos junto a métodos iterativos, comoNewton-Raphson, para resolução do problema não-linear, a fim de se desenvolver um procedimentonumérico que apresente ao mesmo tempo uma formulação simples e consistente e a possibilidadede ser empregado por engenheiros estruturais durante a etapa de projeto.

A consideração dos efeitos diferidos de fluência e de retração na avaliação de flecha total emvigas de concreto armado foi analisada em formulações refinadas por Alvis, Olorunniwo e Ang(1994) e Araújo (2005). Formulações analíticas foram propostas por Marí, Bairán e Duarte

(2010) e Gilbert (2011), as quais estimavam os acréscimos de curvatura causados pela fluência epela retração.

As normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004) apresentam procedimentos ana-líticos para o cálculo de flecha em vigas que introduzem de maneira simplificada os efeitos denão-linearidade física, a colaboração do concreto tracionado entre fissuras e os efeitos diferidos,os quais são amplamente empregados em projetos de estruturas de concreto armado em escritó-rios de engenharia estrutural. Contudo, tais simplificações podem gerar resultados que não sejamconsistentes com a realidade.

Assim, justifica-se o estudo e a consideração da não-linearidade física e dos efeitos de fluênciae de retração no desenvolvimento de um procedimento numérico para a avaliação do Estado Limitede Serviço de Deformações Excessivas em vigas de concreto armado.

2

1.1 Objetivos

1.1.1 Objetivo geral

O objetivo geral desse trabalho foi o estudo de modelos para representação do comportamentonão-linear físico no cálculo de flecha em vigas de concreto armado, submetidas a solicitações nor-mais de curta e de longa duração.

1.1.2 Objetivo específico

Os objetivos específicos desse trabalho foram:

1. desenvolver procedimentos numéricos para o cálculo de flecha em vigas de concreto armadoconsiderando os efeitos da não-linearidade física, da colaboração do concreto tracionadoentre fissuras, da fluência e da retração;

2. avaliar os resultados resultados obtidos pelos procedimentos numéricos desenvolvidos emcomparação com resultados extraídos de modelos experimentais obtidos na literatura;

3. avaliar os resultados resultados obtidos pelos procedimentos numéricos desenvolvidos emcomparação com valores calculados por meio dos procedimentos analíticos para cálculo deflechas adotados pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004).

1.2 Organização do trabalho

O presente trabalho está organizado em sete capítulos, dois apêndices e três anexos, os quaissão brevemente descritos a seguir.

No Capítulo 2 é apresentada a revisão bibliográfica, na qual foram focados os temas: modelos emétodos para análise de flecha em vigas de concreto armado; modelos constitutivos para considera-ção da colaboração do concreto tracionado entre fissuras (tension-stiffening) e modelos e métodospara cálculo de flecha devida aos efeitos de fluência e retração do concreto.

No Capítulo 3 é exposta a metodologia empregada no desenvolvimento nos procedimentos nu-méricos para cálculo de flecha imediata, denominado FLECHA-0, e de flecha total, denominadoFLECHA-T. São também abordados os procedimentos para cálculo de flecha imediata e total reco-mendados pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004). E ainda é apresentada aferramenta computacional de apoio utilizada para desenvolvimento dos procedimentos FLECHA-0

e FLECHA-T: o programa Wolfram Mathematica 8.

No Capítulo 4 é apresentada a análise paramétrica realizada para verificação da eficiência econsistência do procedimento numérico FLECHA-0 frente à influência do número de elementos da

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malha e da quantidade de camadas da seção transversal nos resultados obtidos.No Capítulo 5 são abordadas as comparações realizadas com resultados experimentais de vigas

solicitadas a carregamentos de curta e de longa duração obtidos da literatura corrente. Além dosresultados obtidos pela simulação de tais modelos pelos procedimentos FLECHA-0 e FLECHA-

T, são também apresentados os resultados obtidos utilizando-se os procedimentos recomendadospelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004). Os resultados são exibidos em formagráfica, sendo apresentadas curvas carga-flecha para análise de flecha imediata e curvas flecha-idade para análise de flecha total.

No Capítulo 6 é exposta a análise feita sobre a influência da taxa de armadura tracionada nocálculo de flecha imediata em vigas de concreto armado, na qual foram feitas comparações entre osresultados obtidos pelos procedimentos FLECHA-0, da norma brasileira ABNT NBR 6118 (2014)e da norma europeia Eurocode 2 (2004) para quatro modelos hipotéticos de vigas para as quaisforam definidas 12 taxas de armadura tracionada, variando de 0,20% a 2,00%.

No Capítulo 7 são apresentadas as conclusões e recomendações para trabalhos futuros.No Apêndice A são apresentados exemplos de arquivo de entrada e de saída para os procedi-

mentos desenvolvidos nesse trabalho: FLECHA-0 e FLECHA-T.No Apêndice B são expostos os resultados numéricos obtidos pelos procedimentos analisados

e utilizados na análise comparativa com resultados experimentais do Capítulo 5.No Anexo A são apresentados os procedimentos para estimativa do coeficiente de fluência e da

deformação por retração recomendados pelo Eurocode 2 (2004) usados na análise de flecha totalpara os casos em que o modelo experimental não apresentou tais propriedades.

No Anexo B são apresentadas as formulações utilizadas para cálculo do momento de inércianos estados não-fissurado e fissurado para seções retangulares de concreto armado, as quais foramutilizadas na aplicação dos procedimentos propostos pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) eEurocode 2 (2004).

No Anexo C é exposto o procedimento para cálculo do momento de ruína teórico de seçãoretangular de concreto armado submetida à flexão simples, utilizado nas análises realizadas.

4

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Modelos para Análise de Vigas de Concreto Armado sob Cargas de Curta Duração

De acordo com o comitê da ASCE (1982), a primeira aplicação do método dos elementos finitosa vigas de concreto armado foi publicada por Ngo e Scordelis (1967), os quais analisaram vigassimplesmente apoiadas através de modelo composto por elementos bidimensionais triangularesde concreto e de aço, sendo utilizados elementos especiais de aderência para conectar o aço aoconcreto. Foram realizadas análises lineares elásticas com padrões de fissuração pré-definidos ecomo resultados foram determinadas as tensões principais no concreto, as tensões no aço e astensões de aderência. Os autores concluíram que a flexibilidade em alterar as propriedades daestrutura pelo modelo proposto fizeram-no adequado para a investigação de elementos de concretoarmado, nos quais ocorre mudança das propriedades dos materiais e fissuração sob carregamentocrescente.

Nilson (1968) introduziu a não-linearidade física e a relação de aderência não-linear à análise eutilizou um procedimento de carregamento incremental para consideração de tais não-linearidades.Foram utilizados elementos finitos quadrilaterais sob estado plano de tensão e a consideração dafissuração foi feita através de sucessivos processamentos: quando um elemento indicava ruptura àtração definindo um nova estrutura fissurada, esta era utilizada para novo processamento no com-putador e incrementalmente carregada. Foram feitas simulações de elementos submetidos à traçãodireta com armaduras concêntricas e excêntricas e os resultados comparados a modelos experimen-tais. O autor concluiu que o modelo desenvolvido propicia uma base desenvolvida para a estimativado comportamento de estruturas de concreto armado sob cargas de serviço e que o método dos ele-mentos finitos configura uma ferramenta de valor suplementar à análise experimental.

Segundo o comitê da ASCE (1982), as vigas podem ser classificadas simplificadamente emduas categorias: vigas (shallow beams) e vigas-parede (deep beams). Não existe um valor único derazão entre altura e vão da viga que determine a divisão entre essas duas categorias, uma vez queo comportamento depende também de outros fatores, como por exemplo: tipo de carregamento,condições de vinculação, arranjo das armaduras, dentre outros. Para vigas de concreto armado,uma subdivisão pode ser feita de acordo com o tipo de ruína que a viga sofre, seja por flexão oupor cisalhamento com tração diagonal. O comportamento de ruína à flexão pode ser bem estimadopor modelos analíticos simples, porém o comportamento de ruína por cisalhamento com traçãodiagonal, assim como a ruína em vigas altas, requer modelos mais complexos.

Para vigas que apresentam ruína à flexão, o modelo em elementos finitos mais simples consisteem dividir a viga longitudinalmente em segmentos de elemento com a mesma altura da viga. As

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seções transversais em cada elemento são divididas em camadas de concreto e de aço. Adotando-se as hipóteses de seções planas permanecerem planas após a deformação e de que cada camadaestá submetida a estado uniaxial de tensão, a análise não-linear em elementos finitos é realizadaatravés da atualização das propriedades dos materiais, do estado de fissuração e dos estados detensão e deformação, em cada incremento de carga ou iteração. Nesse caso, a fissuração poderáser representada apenas na direção vertical. Sendo esse o tipo de fissuração predominante em vigascom ruína à flexão, esse modelo pode representar de maneira precisa o comportamento da viga atésua ruína.

Vecchio e Collins (1988) incorporaram os conceitos da teoria do campo de compressão modi-ficada em um modelo analítico para análise da resposta de vigas de concreto armado ou protendidosubmetidas a esforços normais, de cisalhamento e de momento fletor. Tal modelo foi baseado naanálise da seção transversal subdividida em camadas de concreto e em um procedimento iterativopara solução das deformações geradas por esforço normal e para a determinação da distribuição datensão de cisalhamento, e permitiu que seções transversais não-usuais ou complexas submetidas auma grande variação das condições de carregamento pudessem ser analisadas. Os resultados obti-dos pelo modelo analítico mostraram-se concordantes com resultados de modelos experimentais.

Choi e Kwak (1990) desenvolveram uma abordagem para análise não-linear de estruturas deconcreto armado submetidas a carregamentos crescentes, de zero à carga última. Nesse estudo, aseção transversal do elemento estrutural foi dividida em camadas de concreto armado e utilizou-sea formulação de elementos finitos para barras submetidas a carregamento transversal. A conside-ração da não-linearidade física foi feita através do emprego de relações constitutivas para aço econcreto, considerou-se a colaboração do concreto entre fissuras e admitiu-se a aderência perfeitaentre concreto e aço. Os autores apresentaram um novo critério para a determinação da deformaçãodo concreto ao fim do amolecimento sob tração baseado em energia de fratura de modo à análiseindepender da malha de elementos finitos utilizada. Foram feitas comparações do modelo propostocom resultados experimentais, as quais indicaram boa concordância. Os autores concluíram que acolaboração do concreto tracionado entre fissuras não deve ser desprezada na análise de estruturasde concreto, por ser de grande influência no comportamento pós-fissuração de tais estruturas; e queo critério proposto para cálculo da deformação final do amolecimento se mostrou eficaz, sendo queanálises com malhas pouco refinadas resultaram em erros numéricos pequenos quando comparadasa análises que utilizaram malhas mais refinadas.

Consenza (1990) apresentou uma formulação em elementos finitos para análise de vigas deconcreto armado em estado fissurado. A inclusão da não-linearidade física foi feita através demodelos para cálculo de inércia efetiva, sendo desenvolvida uma metodologia para o cálculo damatriz de rigidez e do vetor de carga para elementos de concreto armado com regiões fissuradas,

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que se baseou em relações momento-curvatura. Diferentes abordagens do momento de inérciaefetivo foram analisadas e unificadas por meio de uma função que leva em conta a colaboraçãodo concreto tracionado (tension-stiffening function). A formulação proposta foi empregada emum procedimento numérico iterativo para análise de estruturas estaticamente indeterminadas. Oprocedimento foi validado pela comparação com resultados experimentais e teóricos (Comité Euro-

International du Béton - CEB, 1988 e American Concrete Institute - ACI, 1989) de vigas contínuascom dois vãos. Uma boa concordância entre resultados numéricos, experimentais e teóricos foiverificada.

Araújo e Campos Filho (1992) desenvolveram um modelo bidimensional para análise de vigasde concreto armado baseado em um modelo constitutivo bidimensional para o concreto e empre-gando o método dos elementos finitos. O concreto foi tratado como um material ortotrópico emodelado com o emprego de elementos finitos isoparamétricos para o estado plano de tensões. Acolaboração do concreto tracionado entre fissuras foi considerada através do modelo constitutivoempregado para o concreto tracionado, e as barras da armadura foram incluídas na formulação doelemento de concreto armado por meio de um algoritmo que garantiu a compatibilidade de defor-mações entre os dois materiais considerando aderência total, não havendo aumento do número degraus de liberdade do problema. Para a solução do sistema não-linear, utilizou-se um processo ite-rativo baseado no método de Newton-Raphson modificado com rigidez inicial constante que reduzo número de iterações necessárias para convergência. O modelo foi implementado computacional-mente e foram feitas comparações com resultados experimentais de vigas de concreto armado, asquais indicaram boa concordância e validaram o modelo proposto.

Sun, Bradford e Gilbert (1993) desenvolveram um modelo de elementos finitos para elemen-tos de vigas e pilares de concreto armado que incorporou as não-linearidades física e geométricapara análise de estruturas em serviço. Para o tratamento da não-linearidade física foram emprega-dos um modelo de camadas da seção transversal e a relações constitutivas para o concreto e aço.Uma estratégia incremental/iterativa foi utilizada para o tratamento das não-linearidades física egeométrica. O modelo desenvolvido foi implementado em um programa computacional e utilizadopara análise numérica de dois modelos experimentais de pórticos planos de concreto armado, cujosresultados apresentaram boa concordância. Os autores concluíram que o modelo desenvolvido semostrou uma boa ferramenta para análise de estruturas dúcteis de concreto armado.

Soriano e Assan (2000) desenvolveram um modelo em elementos finitos para a análise não-linear de vigas de concreto de alta resistência armadas com barras de aço com o objetivo de se de-terminar a carga de ruptura de vigas com ruína à flexão. As vigas foram discretizadas em elementosunidimensionais com dois nós e seis graus de liberdade. Utilizou-se uma abordagem de divisão daseção transversal em filamentos de concreto e de aço a fim de se obter os diferentes estados de

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tensão e deformação ao longo da altura da seção da viga e modelos constitutivos adequados foramempregados para o concreto de alta resistência tanto à compressão quanto à tração, e para o aço.Dois modelos constitutivos diferentes para o concreto tracionado considerando tension-stiffening

foram analisados. Foram realizadas comparações entre os resultados obtidos pelo modelo propostoe modelos experimentais. Dessa comparação, os autores concluíram que: o modelo desenvolvidonão foi significativamente afetado pelo aumento do número de elementos da malha; os diferentesmodelos constitutivos para concreto tracionado empregados geraram cargas de rupturas distintas,e a relação tensão-deformação para o concreto comprimido se mostrou adequado para análise devigas de concreto de alta resistência.

Kwak e Kim (2002) propuseram um modelo analítico para análise não-linear física de vi-gas de concreto armado baseado em relações momento-curvatura de seções incluindo efeitos deaderência-deslizamento (bond-slip) e amolecimento do concreto tracionado (tension-softening),utilizando uma formulação de elementos finitos de barras submetidas a carregamento transver-sal. O modelo também contou com a definição de comprimento de rótula plástica para melhorara estimativa da capacidade última da viga. Comparações com modelos experimentais foram fei-tas para validação do modelo analítico proposto. Os autores concluíram que: o comprimento derótula plástica deve ser considerado para estimativa da capacidade última de vigas de concretoarmado em que deformações plásticas se concentram em locais de curta extensão; os efeitos deaderência-deslizamento e amolecimento devem ser considerados em vigas subarmadas, podendo-se desprezar o efeito de amolecimento em vigas superarmadas; os resultados numéricos apontaramque o efeito de aderência-deslizamento também pode ser negligenciado em vigas superarmadas, noentanto, entendeu-se que isso resultou da formulação em elementos de barras, a qual apresenta res-trições; e a análise numérica simplificada através da relação momento-curvatura pode ser aplicadaeficazmente no estudo de vigas de concreto armado.

Matsui e Silva (2006) apresentaram um procedimento numérico para cálculo de flechas imedi-atas em vigas de concreto armado submetidas a cargas de curta duração, levando em consideraçãoa não-linearidade física. A relação momento-curvatura para comportamento linear foi inicialmenteutilizada e a não-linearidade física foi introduzida por meio de um processo iterativo, no qual arigidez relativa ao estádio I foi adotada e mantida constante ao longo do processo. A colaboraçãodo concreto tracionado entre fissuras foi desprezada. Os valores de deslocamento obtidos pelo pro-cedimento proposto foram comparados a resultados experimentais extraídos da literatura, e ainda avalores obtidos segundo as especificações da norma brasileira para concreto armado. Concluiu-seque o procedimento numérico desenvolvido levou a resultados satisfatórios quando comparadosaos dados experimentais disponíveis e que o método da norma brasileira apresentou desvios signi-ficativos dos resultados experimentais.

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Kara e Dundar (2009) desenvolveram um programa computacional para análise de pórticos deconcreto armado com elementos fissurados a fim de investigar os efeitos do tipo de carregamentoe da taxa de armadura na rigidez à flexão de vigas. No programa, a variação da rigidez à flexãofoi obtida pelo emprego de modelos de rigidez efetiva propostos pelo ACI e pelo CEB, e aindaum modelo baseado em probabilidade (probability-based). No modelo baseado em probabilidade,a rigidez efetiva do elemento fissurado foi calculada como uma média da rigidez de seção nãofissurada e da rigidez de seção fissurada ponderada pela área sob o diagrama de momento fletor.O modelo analítico proposto foi implementado em um programa computacional e validado pelacomparação de resultados com modelos experimentais, indicando boa concordância. Os resultadosdo modelo baseado em probabilidade apresentaram-se mais próximos dos resultados experimentaisdo que os modelos analíticos do ACI e do CEB.

Menin, Trautwein e Bittencourt (2009) compararam distintas abordagens de simulação com-putacional de estruturas de concreto armado utilizando modelos de fissuração distribuída. Paraisso, foram analisados o modelo multidirecional de fissuração distribuída do programa DIANA

empregando-se diferentes regras de amolecimento para o material fissurado, e a formulação Dis-

turbed Stress Field Model - DSFM do programa VecTor2, na qual o concreto fissurado é modeladocomo um material ortotrópico com fissuras distribuídas do tipo rotacional. A eficácia dos diferen-tes modelos foi avaliada no estudo de vigas de concreto armado submetidas a esforços de flexãoatravés da comparação com resultados experimentais obtidos da literatura. Os autores concluíramque os modelos de fissuração distribuída empregados pelos programa DIANA e VecTor2 se mostra-ram eficientes na análise de problemas envolvendo fissuração em vigas de concreto armado sujeitasà flexão. Observou-se que as curvas carga-deslocamento obtidas com os modelos apresentaramboa correlação com os resultados experimentais, sendo que, em geral, os modelos computacionaisapresentaram rigidez um pouco superior aos modelos experimentais. Os autores justificaram a ri-gidez adicional dos modelos computacionais pela contribuição do concreto entre fissuras, a qual semostrou mais significativa para taxas de armadura menores, e a hipótese de aderência perfeita dosmodelos adotados, dado que a não consideração da perda de aderência configura maior rigidez àestrutura.

Mohr, Bairán e Marí (2010) desenvolveram um modelo de elemento de pórtico de concretoarmado que combinou um modelo acoplado de estado plano de tensão com um elemento do tipoviga-pilar com seção transversal dividida em camadas, adequado para aplicações de análise estru-tural. Foi utilizada uma formulação baseada na flexibilidade (ou baseada em força) e a principalhipótese de análise da seção em camadas foi a definição do campo de deslocamentos ser aproxi-mado pela soma do deslocamento da seção plana a um novo campo de deslocamentos que permitedistorção e empenamento da seção. O modelo foi validado pela comparação com resultados ex-

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perimentais de vigas de concreto armado nos quais a influência do nível de tensão cisalhante naruptura da viga foi evidenciado experimentalmente. Foi obtida boa concordância com resultadostanto experimentais quanto teóricos, comprovando a capacidade do modelo em prever desloca-mentos, tensões e deformações no concreto e na armadura, além de diferentes tipos de ruína. Emcomparação com modelos baseados nas teorias clássicas de Navier-Bernoulli e de Timoshenko, omodelo proposto foi o único a reproduzir a curva carga-deslocamento para todos os níveis de car-gas em vigas cuja ruína é dominada por cisalhamento. Caso a ruína ocorra preponderantemente porflexão, os autores verificaram que as diferenças obtidas pelo novo modelo são pequenas em relaçãoa outras aproximações do comportamento da seção transversal.

Stramandinoli e La Rovere (2012) desenvolveram um modelo em elementos finitos para análisenão-linear de vigas de concreto armado considerando as deformações por cisalhamento. O modelose baseou na teoria de viga de Timoshenko e utilizou elementos de barra com 3 nós e 7 graus deliberdade, além da abordagem de análise da seção transversal dividida em camadas de concreto ede armadura longitudinal. As armaduras transversais também foram consideradas, quando presen-tes, de forma embutida nas camadas de concreto. Utilizou-se a teoria do campo de compressãomodificada com algumas alterações para as relações constitutivas dos materiais, e um modelo detension-stiffening proposto pelos autores foi empregado. O modelo foi incorporado ao programacomputacional ANALEST, também desenvolvido pelos autores, o qual permite a análise não-lineartanto física como geométrica de vigas e pórticos de concreto armado. A validação do modelo foifeita através da comparação com resultados de modelos experimentais de vigas simplesmente apoi-adas e de vigas contínuas, a qual mostrou boa concordância. Também foi feita uma comparaçãocom o modelo baseado na teoria de viga de Bernoulli. Os autores concluíram que o modelo ba-seado na viga de Timoshenko apresentou melhores resultados que o modelo da viga de Bernoullipara vigas com baixa taxa de armadura transversal, uma vez que este último não trata a perda derigidez devida a fissuras inclinadas causadas por cisalhamento. No entanto, em vigas com com-portamento à flexão dominante, o modelo da viga de Bernoulli apresenta resultados confiáveis emenor esforço computacional. Ainda, concluiu-se que: o modelo de barras, em comparação commodelos bidimensionais para análise de estados planos, apresenta menor número de graus de li-berdade e, portanto, menor esforço computacional; a modelagem estrutural se torna mais fácil porutilizar elementos uni-dimensionais; e o modelo utilizando elementos uni-dimensionais com seçãotransversal dividida em camadas é numericamente estável, uma vez que a rigidez do elemento ésempre diferente de zero.

Castel, Vidal e François (2012) propuseram um modelo de elemento finito macro (Macro Finite

Element - MFE) para o cálculo de flecha em vigas de concreto armado já fissuradas submetidas acarregamento de serviço em estágio de fissuração estabilizado, sendo que o modelo proposto não

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captura a resposta da viga durante a formação de fissuras nem mesmo efeitos de longa duração,como fluência e retração. O modelo MFE é definido como elemento finito de viga caracterizadoprincipalmente por sua inércia média homogeneizada, a qual se baseia na adoção de uma distri-buição não-linear de deformações do aço e do concreto e da linha neutra entre duas fissuras con-secutivas. O modelo foi verificado pela comparação com resultados experimentais de quatro vigasbi-apoiadas (com seções transversais retangulares e tipo “T”) e uma viga contínua com dois vãos,sendo que os resultados apresentaram boa concordância com os modelos experimentais. Os auto-res concluíram que o modelo MFE proposto é atrativo para o uso prático devido à sua simplicidadecomputacional.

Heiza (2013) desenvolveu um programa computacional baseado no método dos elementos fini-tos e um novo elemento composto foi utilizado para simular peças retangulares de concreto armado,até mesmo enrijecidas com camadas externas de reforço. Cada elemento composto é constituídopor quatro sub-elementos, os quais são elementos bi-dimensionais isoparamétricos degeneradoscom 8 nós e 5 graus de liberdade cada, e consistem em diferentes características de concreto, aço ecamada de reforço. O programa computacional foi validado através da comparação com resultadosde um programa experimental que contou com sete vigas de concreto armado reforçadas externa-mente em faces diferentes. Observou-se boa correlação com os resultados experimentais. O autorconcluiu que o programa pode ser utilizado para obtenção de resultados aceitáveis da resposta depeças de concreto armado reforçadas com camadas externas.

Navarro-Gregori et al. (2013) desenvolveram um modelo para análise de vigas de concretoarmado solicitadas a carregamento monotônico incluindo esforços normais, cortantes e de flexãode forma a considerar o mecanismo de transferência de cortante. O modelo proposto se baseou nateoria de viga de Timoshenko e considerou um novo perfil de deformação ao cisalhamento: para-bólico na região de compressão e linear entre a linha neutra e a armadura tracionada. Esse perfilfica completamente definido por três parâmetros, os quais são estabelecidos quando o equilíbriolongitudinal entre camadas é satisfeito. Os modelos constitutivos adotados seguem as hipótesesbásicas da teoria do campo de compressão modificada. O modelo foi validado pela comparaçãocom resultados experimentais obtidos da literatura e se mostrou adequado na estimativa de deslo-camentos e de carga última de vigas de concreto armado. Os autores concluíram que o modeloproposto possui a vantagem de necessitar de menos parâmetros para definir o perfil de deformaçãoao cisalhamento, quando comparado a outros modelos, e que também é capaz de capturar fissura-ção diagonal. Além disso, o modelo se mostrou apto a estimar o modo de falha para estruturas comruína ao cisalhamento, sendo que modelos baseados nas teorias clássicas de Euler-Bernoulli ou deTimoshenko são adequados para aproximar o modo de falha de estruturas com ruína predominanteà flexão.

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Gribniak, Cervenka e Kaklauskas (2013) investigaram, por via estatística, a precisão na esti-mativa de flechas de vigas solicitadas a cargas de curta duração. Foram avaliados os procedimentosrecomendados por normas (Eurocode 2, ACI 318 e a norma russa SP 52-101), além do modeloem elementos finitos do programa computacional ATENA. Na análise, foram consideradas as in-fluências da taxa geométrica de armadura de tração, da intensidade de carga e do efeito de retraçãonas flechas estimadas. Foram feitas comparações com resultados de nove programas experimen-tais consultados, totalizando 80 vigas e 2233 pontos de medições. A partir dos resultados obtidos,os autores concluíram que a precisão das estimativas de flecha variam significativamente com aintensidade de carga e a quantidade de armadura. Vigas com taxa de armadura moderada (maiorque 0,8%) sob carregamento de serviço tiveram respostas estimadas com precisão razoável pelosprocedimentos avaliados. Os autores observaram significativa queda na precisão para vigas combaixa taxa de armadura (inferior a 0,8%) e aumento na variação para estágios iniciais de fissura-ção, concluindo que se deve ter uma margem de segurança maior para vigas sob baixo nível decarregamento e com baixa taxa de armadura. Ainda, os autores verificaram que o procedimentorecomendado pelo ACI 318 subestimou as flechas para vigas com taxas de armadura entre 0,4% e0,8%. E as comparações utilizando o programa computacional ATENA indicaram que, mesmo paracargas de serviço de curta duração, a não consideração da retração pode acarretar em erros de até23% em relação aos modelos experimentais. Dessa forma, os autores concluíram que em estima-tivas que necessitam de maior precisão, os efeitos da retração devem ser considerados, prática quenão é comum.

Bui et al. (2014) introduziram uma nova abordagem para a análise do comportamento de pór-ticos de concreto armado até a ruína. Tal abordagem utilizou um elemento de viga de Timoshenkomelhorado, para o qual foi considerada a abordagem de descontinuidade de deslocamento (descon-tinuidade de rotação para flexão e descontinuidade de deslocamento transversal para cisalhamento)embutida no elemento por meio de mecanismos de formação de rótulas plásticas que ocorremdurante a ruptura por flexão e/ou cisalhamento. O modelo foi validado pela comparação com re-sultados experimentais de pórtico de concreto armado obtidos da literatura, na qual observou-seboa correlação não apenas no comportamento global, mas também em aspectos locais (como, porexemplo, no padrão de formação de fissuras). Também foram apresentadas aplicações do modelopara a análise de vigas de concreto armado a fim de avaliar diferentes formas de ruptura (por cisa-lhamento, por flexão e pela combinação de cisalhamento e flexão), porém não houve comparaçãocom resultados experimentais.

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2.2 A Contribuição do Concreto Tracionado

A contribuição do concreto não fissurado tracionado entre fissuras no aumento da rigidez depeças de concreto armado tracionadas ou fletidas é conhecida como tension-stiffening. SegundoHegemier, Murakami e Hageman (1985), métodos de elementos finitos são utilizados para simularo efeito de tension-stiffening de duas maneiras. Uma das maneiras é tratada como uma abordagem“microscópica”, na qual a região de interface entre concreto e aço é discretizada por uma malha deelementos finitos e elementos especiais que simulam a aderência entre os materiais são utilizados.A segunda maneira, tratada como “macroscópica”, não discretiza de maneira separada o aço doconcreto, mas os efeitos da interação entre os materiais são incluídos por meio de relações consti-tutivas modificadas que simulam o efeito de tension-stiffening na resposta global do elemento.

Vecchio e Collins (1986) apresentaram aplicações da Teoria do Campo de Compressão Mo-dificada (Modified Compression Field Theory - MCFT) a painéis de concreto armado solicitadosa estado plano de tensão com esforços normais e de cisalhamento. Foram formulados modelosconstitutivos para o concreto fissurado para tensões principais e deformações principais, tanto emtração como em compressão, os quais foram verificados em comparação a resultados experimentaisde ensaios de painéis. Para o concreto tracionado, os autores atribuíram efeitos da colaboração doconcreto entre fissuras (tension-stiffening) no tramo pós-fissuração. Os autores concluíram que aMCFT é um poderosa ferramenta analítica e de fácil programação que se mostrou aplicável tambémna avaliação da resposta de vigas sujeitas à flexão.

Vecchio (1987) utilizou a formulação da MCFT para análise de elementos de pórtico submeti-dos a efeitos térmicos e carregamentos mecânicos. O autor definiu que o efeito de tension-stiffening

deve ser empregado somente em uma delimitada região do concreto tracionado na qual a barra deaço está efetivamente embutida e transfere tensão para o concreto. Essa região foi definida comoum quadrado cujos lados mediam 15 vezes o diâmetro da barra da armadura, respeitando-se a in-terseção com a região de barras adjacentes e os limites da seção transversal. A comparação deresultados obtidos por tal formulação a resultados experimentais apresentou boa concordância.

Stevens et al. (1991) propuseram alterações à MCFT de forma a torná-la mais adequada àimplementação para análise de elementos finitos. Utilizando-se tensões e deformações em valoresmédios tanto para o concreto quanto para o aço, os autores eliminaram a necessidade de verificarse as tensões médias de tração no concreto podem ser transmitidas através de fissuras. Foi propostauma alteração no modelo original de tension-stiffening de forma a considerar a quantidade, odiâmetro, a distribuição e a orientação das barras da armadura. Tal formulação propõe que parabaixas taxas ou para a ausência de armadura de tração, a tensão média de tração no concreto caiarapidamente para zero após a fissuração. Para quantidades maiores de armadura de tração com

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boa distribuição, a taxa de decaimento deve ser menor que para pouca armadura. No entanto,tal formulação foi proposta a fim de se obter respostas razoáveis, sendo que não foi feita umainvestigação exaustiva de resultados experimentais. O novo modelo constitutivo foi empregadoem uma formulação de elementos finitos para análise bidimensional de elementos estruturais deconcreto armado, a qual se mostrou ser uma poderosa e eficiente ferramenta.

Bentz (2005) analisou as diferenças entre três modelos de tension-stiffening formulados a partirde ensaios de painéis de concreto armado submetidos a cisalhamento obtidos da literatura, dentreeles o proposto por Vecchio e Collins (1986). O autor concluiu que as diferenças decorrem dasdistintas condições de aderência e embutimento da armadura de cada ensaio e propôs uma alteraçãoaos modelos incluindo um parâmetro na equação de tension-stiffening que é função direta de taiscondições. O modelo proposto foi implementado computacionalmente e foram feitas comparaçõesentre resultados numéricos e resultados experimentais de elementos submetidos a cisalhamentopuro, apresentando boa concordância e melhores resultados quando confrontado aos demais mode-los estudados.

Torres, López-Almansa e Bozzo (2005) apresentaram uma metodologia para determinação dedois coeficientes que definem uma relação constitutiva uniaxial equivalente para concreto tracio-nado que simula, em condições de serviço, o comportamento de peças de concreto armado fletidassob carga de curta e de longa duração. Tais coeficientes foram determinados através de um algo-ritmo de mínimos-quadrados a fim de reduzir a diferença entre dois modelos de relação momento-curvatura analisados. Também realizaram uma análise paramétrica em vigas de seção retangulare “T” solicitadas a momento fletor e força normal de compressão. Como resultado das análises,os autores apresentaram expressões analíticas para os coeficientes analisados e concluíram que osprincipais parâmetros dos quais os coeficientes dependem são: a razão modular entre concreto eaço, a taxa de armadura tracionada, a altura útil, a altura total da seção transversal, o esforço normale a resistência à tração do concreto.

Stramandinoli e La Rovere (2008) propuseram um modelo constitutivo para o concreto tra-cionado que considera a colaboração do concreto íntegro entre fissuras, tomando como base omodelo de tension-stiffening apresentado pelo CEB (1985), o qual sugere um modelo constitu-tivo enrijecido para o aço em tração direta. Os autores expõem um modelo constitutivo cuja curvatensão-deformação apresenta um decaimento exponencial após a fissuração do concreto, o qualé definido por um parâmetro que depende da taxa de armadura tracionada e da razão modularentre aço e concreto. Este modelo foi inicialmente validado através da comparação com outrosmodelos de tension-stiffening e então implementado em um programa computacional para análisenão-linear de vigas de concreto armado, e os resultados obtidos pelas simulações numéricas foramcomparados a resultados de deslocamentos máximos de vigas ensaiadas a quatro pontos de flexão,

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demonstrando boa concordância.

2.3 Cargas de Longa Duração

Alvis, Olorunniwo e Ang (1994) estudaram os deslocamentos em vigas isostáticas de concretoarmado solicitadas por carregamento de serviço de longa duração. Para o cálculo dos parâmetrosde fluência e retração foi utilizado o modelo BP-2, originalmente proposto por Bazant e Panula(1980). Os autores propuseram modificações ao modelo BP-2 de modo a considerar o comporta-mento à tração do concreto através de uma relação tensão-deformação. Foram feitas simulaçõesnuméricas de 37 modelos experimentais obtidos da literatura de vigas submetidas a flexão simples.O cálculo do deslocamento foi feito pelo emprego do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) eintegração numérica utilizando quadratura de Gauss com três pontos de integração. Também foramfeitas simulações numéricas utilizando outros modelos para estimativa dos parâmetros de fluênciae retração encontrados na literatura, sendo que o modelo BP-2 modificado gerou os resultados maisprecisos quando comparados aos resultados experimentais. Os autores concluíram que modelos re-alistas de deformações por fluência levam a boas estimativas de deslocamento e que a contribuiçãoda retração é significativa para o cálculo das deformações totais.

Baroni, Silva Filho e Gastal (2004) analisaram o comportamento de flechas em vigas fabrica-das com concretos especiais, submetidas à flexão simples, com o objetivo de identificar mudançasno comportamento quando comparado ao de vigas em concreto convencional e determinar adequa-ções de critérios de norma na estimativa de deformações desses concretos especiais. Foi realizadoum programa experimental que contou com ensaio de oito vigas de concreto armado, sendo duasem concreto convencional para referência, duas em concreto com fibras de aço, duas em con-creto branco e duas em concreto de alta resistência. Os resultados experimentais serviram comobase para comparação com os procedimentos recomendados pela norma ABNT NBR 6118 (2003):aproximado e via Anexo A, além da comparação com um modelo numérico para análise não-linear.Dentre as conclusões obtidas pelos autores, destacam-se que o procedimento aproximado da normabrasileira apresentou resultados adequados para estimativa de flecha imediata tanto para as vigasem concreto convencional quanto especial; no entanto, na estimativa de flechas dependentes dotempo, o procedimento aproximado subestimou significativamente as flechas quanto comparadasaos valores experimentais para qualquer tipo de concreto analisado, mostrando-se inadequado paratal estimativa. O procedimento via Anexo A da norma brasileira gerou resultados de flechas totaiscom boa correlação apenas para concretos convencionais e de alta resistência.

Araújo (2005) analisou o método simplificado proposto pela norma ACI 318 (1995) paracálculo de flecha imediatas e totais em vigas de concreto armado, comparando os resultados desse

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método aos resultados de um modelo numérico proposto pelo autor para análise não-linear de vigasde concreto armado. Também foram sugeridas modificações ao método simplificado da normaACI 318 (1995) e seus resultados foram comparados aos dois modelos anteriores. Verificou-se queo método simplificado apresentou boa concordância para flechas imediatas, assim como o métodomodificado, em comparação com o modelo numérico. Entretanto, o método simplificado da normaACI 318 (1995) gerou resultados subestimados de flechas totais para níveis de cargas baixos, emque a viga se encontrava em estado não-fissurado. E para níveis de carregamento mais elevado,com a viga em estado fissurado, os valores de flechas totais foram superestimados, de modo que ométodo se apresentou anti-econômico. Tais diferenças foram sanadas pelas modificações sugeridaspelo autor. Araújo (2005) ressaltou que o método simplificado para cálculo de flechas totais, o qualfoi adotado pela norma brasileira ABNT NBR 6118 (2003), baseou-se em resultados experimentaisde vigas sob carregamento de longa duração, para os quais o método se mostrou satisfatório, masnão deve ser generalizado para outras condições de ensaios. O autor concluiu que métodos paracálculo de flecha diferida devem levar em consideração o grau de fissuração da viga, as taxasgeométricas de armadura e valores do coeficiente de fluência e da deformação de retração.

Marí, Bairán e Duarte (2010) desenvolveram um método simplificado para o cálculo de fle-chas diferidas em vigas de concreto armado baseado nos mecanismo de estruturas de concretoe que incorpora explicitamente as taxas de armadura longitudinal, o coeficiente de fluência e adeformação de retração do concreto, considerando, assim, parâmetros importantes na análise deefeitos diferidos tais como: resistência do concreto, condições ambientais, a idade do concretono início do carregamento, o intervalo de tempo de carregamento e as restrições impostas pelaarmadura comprimida. Assumiu-se que a tensão na armadura de tração permanece constante paracargas de longa duração, conforme resultados de análises experimentais e simulações numéricas docomportamento dependente do tempo de seções fissuradas. Os resultados obtidos pelo método sim-plicado apresentaram boa concordância com simulações numéricas de vigas hipotéticas. Tambémverificou-se boa concordância com resultados de 217 modelos experimentais de vigas encontradosna literatura. Ainda, comparações com resultados de métodos normativos preconizados pela normaACI 318 (2008) e pelo Comité Euro-International du Béton - Fédération Internationale de la

PrécontrainteCEB-FIP (1993) demonstraram melhor aproximação e menores desvios do métodosimplificado proposto quando confrontados às simulações numéricas e modelos experimentais. Osautores concluíram que o método simplificado desenvolvido é confiável para o cálculo de flechasdiferidas e que o coeficiente de fluência e a deformação de retração devem aparecer explicitamentena formulação utilizada, a fim de se obter boa estimativa de flechas diferidas para estruturas deconcreto em serviço.

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Gilbert (2011) apresentou um modelo analítico para o cálculo de flechas totais em vigas deconcreto armado a partir da estimativa de curvaturas devidas à retração e à fluência. O modeloconsidera a fissuração e a colaboração do concreto entre fissuras através do emprego do métodoproposto pela norma europeia Eurocode 2 (2004) . Foram apresentadas comparações entre resul-tados do modelo analítico e de modelos experimentais de doze espécimes prismáticos de concretocom armadura simples em uma direção (6 vigas e 6 lajes) ensaiados por Gilbert e Nejadi (2004).Os espécimes foram separados em 6 grupos, cada um com um par de espécimes idênticos. Emcada grupo, um dos espécimes foi solicitado a 30% do carregamento último e o outro a 50% docarregamento último em ensaio de flexão a quatro pontos. Os resultados gerados pelo modeloanalítico foram próximos dos resultados experimentais. O autor concluiu que o método apresen-tado é confiável para a estimativa de deslocamentos considerando efeitos de fluência, retração efissuração.

Oliveira (2011) desenvolveu um modelo para a análise de estruturas planas de concreto ar-mado no qual foram considerados efeitos de segunda ordem e de fluência, além da não-linearidadefísica. Efeitos de retração do concreto foram desconsiderados. O modelo se baseou no métododos elementos finitos utilizando a formulação para elementos de barra com seis graus de liber-dade a partir das hipóteses da teoria de viga de Euler-Bernoulli e seção transversal dividida emlamelas. Para consideração da não-linearidade física, foram empregados os modelos constitutivosparábola-retângulo para o concreto comprimido e bilinear para o concreto tracionado, entretanto,a colaboração do concreto tracionado entre fissuras foi desprezada. A não-linearidade geométricafoi representada por descrição corrotacional para grandes deslocamentos e rotações e pequenas de-formações. O efeito viscoelástico para prever a fluência no concreto foi obtido pelo modelo deMaxwell em camadas calibrado a partir de funções de fluência fornecidas pelas normas CEB-FIPMC (1990) e CEB-FIP MC (2010). Comparou-se o modelo a resultados experimentais, disponíveisna literatura, de viga submetida a esforços de flexão de curta duração. Nessa comparação, a traçãonão foi considerada no modelo, levando a um comportamento mais flexível em relação ao modeloexperimental, além da resposta se aproximar de um comportamento linear. Demais comparaçõesforam feitas para modelos experimentais de pilares submetidos a esforços axiais obtidos da lite-ratura e de ensaio de pórtico em microconcreto armado realizado pelo o autor, nas quais foramconsiderados os efeitos de fluência. Os resultados numéricos demonstraram boa correlação com osresultados experimentais de pilares. No entanto, o modelo se mostrou mais flexível na comparaçãocom os resultados do pórtico devido, principalmente, à desconsideração do concreto tracionado naanálise do comportamento ao longo do tempo.

Higgins et al. (2013) investigaram o comportamento de vigas de concreto armado sob flexãoa quatro pontos solicitadas por diferentes tipos de carregamentos: cíclicos e de longa duração. O

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programa experimental contou com seis vigas: duas ensaiadas com carregamento fixo de longaduração, três solicitadas a carregamento cíclico de maior amplitude de carga, sendo uma solicitadaa carregamento de maior frequência e duas à mesma frequência; e uma viga solicitada a carrega-mento cíclico de menor amplitude, sendo que a carga média foi igual para todas as vigas. O períodode carregamento foi de 80 dias, no qual foram monitorados valores de flecha e deformação. Os re-sultados experimentais foram então confrontados a estimativas de flechas e deformações segundoprocedimentos recomendados pelo Eurocode 2 (2004). A partir dos ensaios, os autores observaramque carregamentos cíclicos causaram maiores deformações tanto em região de tração quanto emcompressão quando comparados aos resultados de vigas sob carregamento fixo. Verificou-se quemaiores amplitudes de carga e maiores frequências levam a maiores deformações e deslocamentos,entretanto, a influência do nível de carga se mostrou maior que a frequência. A comparação comresultados analíticos indicou que os procedimentos recomendados pela norma europeia subestima-ram as curvaturas e superestimaram a contribuição do concreto tracionado entre fissuras em vigassolicitadas a carregamento cíclico. Os autores destacaram a importância de se considerar não ape-nas a atual condição de carregamento, mas também os efeitos de fases e regimes de carregamentoanteriores, uma vez que o aumento temporário de carregamento pode alterar permanentemente oestado de fissuração de um elemento de concreto, e, portanto, deve-se atentar para todo o históricode carregamento.

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3. METODOLOGIA

Neste capítulo é apresentada a metodologia empregada no desenvolvimento dos procedimentosnuméricos FLECHA-0 e FLECHA-T para o cálculo de flecha imediata e total, respectivamente, emviga bi-apoiada de seção retangular de concreto armado.

O procedimento numérico FLECHA-0 baseia-se na análise da seção transversal dividida emcamadas de concreto e de armadura e no emprego de modelos constitutivos para aço e concretopara consideração da não-linearidade física. Utilizando-se o Método dos Elementos Finitos (MEF)e técnicas iterativas, busca-se o equilíbrio das seções da viga, resultando na sua configuração de-formada imediata.

A consideração dos efeitos diferidos de fluência e retração foram introduzidos no procedimentoFLECHA-T através da abordagem proposta por Gilbert (2011) para o cálculo da curvatura relativaa esses efeitos.

São também apresentadas abordagens normativas da ABNT NBR 6118 (2014) e do Eurocode 2(2004) para estimativa de flecha em vigas de concreto armado.

3.1 Flecha Imediata

O procedimento numérico FLECHA-0 proposto neste trabalho para cálculo de flecha imediataem viga bi-apoiada de seção retangular de concreto armado considerando a não-linearidade físicatoma como base a análise da seção transversal, na qual a seção é divida em camadas de concretoe elementos discretos da armadura de aço, calculando-se os esforços atuantes pela integração dastensões na área.

Parte-se inicialmente de uma aproximação linear, utilizando a formulação do Método dos Ele-mentos Finitos para barras fletidas (elementos unidimensionais). Uma vez conhecidos os desloca-mentos, são obtidas as curvaturas das seções transversais ao longo da viga e, pela análise das seçõestransversais, pode-se calcular a posição da linha neutra em cada seção mediante resolução de equa-ção não-linear. De posse da curvatura e da posição da linha neutra em cada seção transversal,calculam-se os esforços internos na seção através do emprego de modelos constitutivos adequadospara concreto e aço, os quais consideram a não-linearidade física dos materiais. Por se tratar de umprocedimento voltado para análise de vigas submetidas a carregamentos de serviço, adotaram-semodelos constitutivos cujas tensões e deformações são apresentadas em valores médios.

Uma vez que os esforços internos são obtidos por relações não-lineares e os esforços causadospelas cargas externas se baseiam em uma análise linear, ocorre um desequilíbrio. Buscando-seestabelecer o equilíbrio entre os esforços internos calculados na seção transversal com os esforçoscausados pelas cargas externas solicitantes na viga, adota-se uma estratégia iterativa pelo método

19

de Newton-Raphson com rigidez inicial constante.

Para este procedimento numérico foram adotadas as seguintes hipóteses:

1. são desprezados efeitos de cisalhamento, de forma que as seções inicialmente planas e or-togonais ao eixo da viga indeformada, permanecem planas e ortogonais ao eixo deformado(hipótese de Euler-Bernoulli);

2. admitem-se pequenos deslocamentos e pequenas rotações;

3. supõe-se aderência perfeita entre concreto e armadura;

4. as vigas são solicitadas à flexão simples, não havendo resultante de esforço normal em ne-nhuma seção;

5. cada camada de concreto da seção transversal e cada camada da armadura de aço estão sujei-tas a estado uni-axial de tensão;

6. são desconsiderados os efeitos de confinamento do concreto devido à presença de estribos;

7. são tratadas apenas cargas monotônicas de serviço (a ruptura das vigas não foi analisada);

8. são desconsiderados efeitos de não-linearidade geométrica;

9. limitou-se a análise à seção transversal retangular com uma camada de armadura de compres-são e uma camada de armadura de tração, embora outras camadas de armadura longitudinalpossam ser empregadas pela abordagem utilizada;

10. efeitos diferidos como fluência e retração não são considerados nesta etapa;

11. foram considerados concretos até classe C50.

3.1.1 Análise da seção transversal

Em cada seção transversal da viga de concreto armado, deve existir o equilíbrio estático entreos esforços solicitantes e os esforços resistentes do concreto e da armadura de aço. Sendo N oesforço normal solicitante, o qual é nulo na flexão simples, e M o momento fletor solicitante naseção, resultam do equilíbrio as seguintes equações

N =∫Ac

σcdA+n

∑k=1

σs,kAs,k = 0 (3.1.1)

20

e

M =∫Ac

σcydA+n

∑k=1

σs,kys,kAs,k (3.1.2)

onde σc é tensão normal no concreto, σs,k é a tensão normal no k-ésima barra da armadura lon-gitudinal, Ac é a área de concreto da seção transversal, As,k é a área de aço do k-ésima barra daarmadura longitudinal, y é a distância da linha neutra à fibra de concreto, ys,k é a distância da linhaneutra à k-ésima barra da armadura e n é o número de barras da armadura longitudinal.

Idealizando-se a seção transversal dividida em m camadas de concreto e concentrando-se asáreas de aço em duas camadas de armadura, conforme ilustrado na Figura 3.1, as equações deequilíbrio ficam da seguinte forma

N =m

∑i=1

σc,ibhc,i +2

∑j=1

σs, jAs, j = 0 (3.1.3)

e

M =m

∑i=1

σc,ibhc,iyc,i +2

∑j=1

σs, jys, jAs, j (3.1.4)

onde σc,i é a tensão normal no centroide da i-ésima camada de concreto, b é a largura da seçãoretangular, hc,i é a altura da i-ésima camada de concreto, yc,i é a distância da linha neutra (L. N.) aocentroide da i-ésima camada de concreto, σs, j é a tensão normal no j-ésima camada de armadura,As, j é a área de aço do j-ésima camada da armadura e ys, j é a distância da linha neutra à j-ésimacamada de armadura.

Pelas hipóteses de viga de Euler-Bernoulli e de aderência perfeita entre concreto e aço, uma vezconhecidas a posição da linha neutra y0 a partir da fibra comprimida extrema e a curvatura da seçãoχ , pode-se calcular a deformação longitudinal ε para cada camada de concreto e de armadura pelaexpressão

ε = χy (3.1.5)

onde y é a distância do centroide da camada de concreto ou de armadura à linha neutra (Figura 3.1).De posse da deformação específica, é possível calcular a tensão normal para todas as camadas

de concreto e de armadura através do emprego de modelos constitutivos adequados.

21

Figura 3.1: Seção transversal analisada em camadas de concreto e elementos de armadura.

Fonte: do próprio autor

3.1.2 Modelos constitutivos empregados

Por se tratar de um procedimento voltado para análise de vigas submetidas a carregamentosde serviço, adotaram-se modelos constitutivos cujas tensões e deformações são apresentadas emvalores médios.

Para o concreto comprimido, foi adotado o modelo constitutivo apresentado pela norma Euro-code 2 (2004) para análise não-linear (Figura 3.2), cuja equação é

σc =

fcm

[kη−η2

1+(k−2)η

],0 < εc < 0,0035

0 ,εc ≥ 0,0035(3.1.6)

onde σc é a tensão normal no concreto, fcm é resistência à compressão média do concreto, η é arazão entre εc (deformação específica do concreto) e εc1 (deformação específica do concreto relativaao pico de tensão fcm).

Segundo o Eurocode 2 (2004), a partir da resistência característica à compressão do concreto( fck), pode-se estimar o valor de fcm pela relação

fcm = fck +8 (3.1.7)

com fck e fcm em megapascal (MPa).

22

Figura 3.2: Relação tensão-deformação para concreto à compressão segundo Eurocode 2 (2004)

Fonte: adaptado de Eurocode 2 (2004)

Na Equação 3.1.6, o coeficiente k é expresso por

k =1,05Ecm |εc1|

fcm(3.1.8)

onde Ecm é o módulo de deformação longitudinal secante do concreto.

A deformação εc1 referente à tensão de pico fcm é expressa por

εc1 = 0,0007( fcm)0,31 (3.1.9)

com fcm fornecido em MPa.

Caso o módulo de deformação longitudinal secante do concreto não seja conhecido, pode-seestimá-lo através da expressão também apresentada pela norma Eurocode 2 (2004):

Ecm = 22000(

fcm

10

)0,3

(3.1.10)

sendo fcm fornecido em MPa.

Para o concreto tracionado, admitiu-se o comportamento linear antes da fissuração (Figura 3.3a),sendo a tensão normal calculada por

σc = Ecεc , 0≤ εc < εcr (3.1.11)

onde Ec é o módulo de deformação longitudinal tangente inicial do concreto, εcr é a deformação defissuração do concreto, referente à tensão fctm, que é a resistência à tração média do concreto.

23

A deformação fissuração do concreto é calculado por

εcr =fctm

Ec(3.1.12)

Segundo a norma Eurocode 2 (2004), o módulo de deformação longitudinal tangente inicial doconcreto pode ser estimado por

Ec = 1,05Ecm (3.1.13)

Após a fissuração, para levar em consideração a colaboração do concreto tracionado entre fissu-ras, efeito conhecido como tension-stiffening, adotou-se o modelo proposto por Stramandinoli e LaRovere (2008) (Figura 3.3b). Nesse modelo, a relação tensão-deformação do concreto tracionadopós-fissuração é expressa por

σc =

fctme−λ( εcεcr ) ,εcr ≤ εc < εy

0 ,εc ≥ εy

(3.1.14)

onde λ é o parâmetro de decaimento exponencial e εy é a deformação de escoamento do aço (daarmadura tracionada).

Figura 3.3: Relação tensão-deformação para concreto à tração: (a) pré-fissuração e (b) pós-fissuração segundo Stramandinoli e La Rovere (2008)

(a) (b)

Fonte: adaptado de Stramandinoli e La Rovere (2008)

O parâmetro de decaimento exponencial é calculado por

λ = 0,017+0,255(nmρ)−0,106(nmρ)2 +0,016(nmρ)3 (3.1.15)

24

sendo nm a razão modular entre aço e concreto e ρ a taxa geométrica de armadura tracionada.

Como o modelo de tension-stiffening foi proposto com base na tração direta, os autores sugeremque, para a flexão, seja adotada a área efetiva de concreto tracionado Ae f conforme recomendaçãodo CEB-FIP (1993), para o cálculo da taxa geométrica de armadura tracionada. Para vigas retan-gulares (Figura 3.4), a área efetiva é calculada pelo produto da base b pela altura efetiva he f , cujaexpressão é

he f = min{

2,5(h−d) ;(h− y0)

3

}(3.1.16)

onde h é a altura total da seção e d é a altura útil relativa ao centroide da distribuição da armadurade tração.

Figura 3.4: Altura efetiva de concreto tracionado segundo CEB-FIP MC 90 (1993)

Fonte: adaptado de CEB-FIP MC 90 (1993)

Verificou-se que a mesma recomendação para área efetiva de concreto tracionado encontra-setambém no item 7.3.2 do Eurocode 2 (2004). Uma vez que o efeito da colaboração do concretotracionado entre fissuras está relacionada à aderência entre concreto e aço, o efeito de tension-

stiffening é limitado à altura efetiva na região próxima à armadura tracionada. Assim, este modeloé empregado apenas para as camadas de concreto que se encontram dentro da região definida pelaárea efetiva de concreto tracionado.

Conhecidas a posição da linha neutra e a altura efetiva na região tracionada (he f ), as camadas deconcreto foram distribuídas da seguinte forma: um terço das camadas na região de compressão, umterço na região tracionada sem efeito de tension-stiffening e o terço restante na região tracionadainterior à área efetiva (com tension-stiffening).

Caso o valor da resistência média à tração do concreto não seja conhecido, segundo o item 3.1.2

25

da norma Eurocode 2 (2004), pode-se estimar tal valor pela expressão

fctm = 0,30( fcm−8)2/3 (3.1.17)

na qual o valor de fcm deve ser fornecido em MPa.Para o aço adotou-se o modelo elasto-plástico perfeito tanto para compressão quanto para tração

(Figura 3.5), cuja equação é

|σs|=

Es |εs| ,0 < |εs| ≤ εy

fy ,εy ≤ |εs|< |εsu|

0 , |εs| ≥ |εsu|

(3.1.18)

onde σs é a tensão normal no aço, Es é o módulo de deformação longitudinal do aço, εs é a defor-mação específica do aço, εy é a deformação de escoamento, referente à tensão de escoamento fy eεsu é a deformação última do aço, admitindo-se os valores de 0,01 para tração e de -0,0035 paracompressão.

Figura 3.5: Modelo constitutivo empregado para o aço.


3.1.3 Cálculo de deslocamento e curvatura

Para o cálculo de deslocamentos transversais da viga, utilizou-se a formulação do Método dosElementos Finitos para barras fletidas assumindo-se comportamento linear, conforme Zienkiewicze Taylor (2000a) e Reddy (1993). Foram adotados elementos com dois nós, cada um com doisgraus de liberdade (um deslocamento transversal v e uma rotação θ ), conforme ilustrado na Fi-gura 3.6.

26

Figura 3.6: Elemento finito de barra submetida a carregamento transversal

Fonte: adaptado de Reddy (1993)

O campo de deslocamentos transversais fica então definido por

ve(x) = ue1ψ1 (x)+ue

2ψ2 (x)+ue3ψ3 (x)+ue

4ψ4 (x) =4

∑i=1

uei ψi (x) (3.1.19)

onde ve (x) é a função de aproximação do deslocamento transversal, x é a coordenada da seçãotransversal no eixo longitudinal da viga, ue

i são deslocamentos transversais nodais ou rotaçõesnodais e ψi (x) são funções de forma.

Para as funções de forma foram adotados os polinômios cúbicos de Hermite:

ψ1 (x) = 1−3(

x− xe

le

)2

+2(

x− xe

le

)3

(3.1.20)

ψ2 (x) = le

[(x− xe

le

)3

−2(

x− xe

le

)2

+

(x− xe

le

)](3.1.21)

ψ3 (x) = −2(

x− xe

le

)3

+3(

x− xe

le

)2

(3.1.22)

ψ4 (x) = le

[(x− xe

le

)3

−(

x− xe

le

)2]

(3.1.23)

onde xe é a coordenada do nó inicial do elemento e le é o comprimento do elemento.

Por esta formulação, chega-se ao sistema

K0U = F (3.1.24)

onde K0 é a matriz de rigidez tangente inicial,U é o vetor de deslocamento e F é o vetor de carga,

27

os quais são obtidos através das contribuições de cada elemento. A matriz de rigidez Ke0 , o vetor

de deslocamento Ue e o vetor de carga Fe, para cada elemento e, são expressos por

Ke0 =

(EeIe

le3

)12 6le −12 6le

6le 4le2 −6le 2le2

−12 −6le 12 −6le

6le 2le2 −6le 4le2

(3.1.25)

Ue =

ue

1

ue2

ue3

ue4

(3.1.26)

Fe =qele

12

6le

6−le

+

−V e

1

Me1

V e2

Me2

(3.1.27)

sendo Ee o módulo de elasticidade, Ie o momento de inércia, le o comprimento, qe o carregamentotransversal uniforme e o sobrescrito e referente ao índice do elemento. Os esforços nodais decortante e momento fletor são representados, respectivamente, por V e

i e Mei com i = 1,2.

Para pequenos deslocamentos, conforme Timoshenko (1955), obtém-se a curvatura χ de umaseção da viga pela relação

χ =−d2vdx2 (3.1.28)

onde v = v(x) é a função que descreve o deslocamento transversal ao longo da viga.

Utilizando-se a expressão de ve (x) definida na Equação 3.1.19, a curvatura pode ser aproximadapor

χ =−4

∑i=1

ueid2ψi (x)

dx2 (3.1.29)

3.1.4 Cálculo da posição da linha neutra

Uma vez conhecida a curvatura da seção, a Equação 3.1.3 torna-se uma função não-linear emapenas y0 (posição da linha-neutra em relação à fibra comprimida extrema) cuja raiz satisfaz o

28

equilíbrio de forças normais na seção

f (y0) =m

∑i=1

σc,ibhi +2

∑j=1

σs, jAs, j = 0 (3.1.30)

Por se tratar de flexão simples, a linha neutra deve estar dentro da seção transversal, ou seja, araiz da Equação 3.1.30 está contida no intervalo de 0 (zero) a h (altura da seção transversal). Poressa razão adotou-se o método proposto por Ridders (1979) que, segundo Press et al. (2007), éuma variante do método da falsa posição (ou regula falsi).

Sendo uma função f (x) e dado um intervalo [x0,x2] em que a raiz está contida, toma-se o pontointermediário x1 equidistante de x0 e x2 e calcula-se a primeira aproximação da raiz x3 através daexpressão

x3 = x1−(x2− x0)

2f (x1)/ f (x0)√

( f (x1)/ f (x0))2− f (x2)/ f (x0)

(3.1.31)

Então se verifica se f (x3) atende à tolerância estipulada εLN . Caso atenda, o procedimentoconvergiu e x3 é a aproximação da raiz da Equação 3.1.30. Caso contrário, define-se um novointervalo limitado por x3 e xn(n = 0,1,2) tal que f (x3) · f (xn) < 0 e repete-se o procedimento atéque a convergência seja atingida.

3.1.5 O problema não-linear

Através do Princípio dos Trabalhos Virtuais, pode-se calcular o vetor de cargas nodais equiva-lentes aos esforços internos no elemento Fe (U)

Fe (U)T ={

f e1 f e

2 f e3 f e

4

}(3.1.32)

sendo

f ei =−

∫ le

0M

d2ψi (x)dx2 dx (3.1.33)

onde M é o momento fletor solicitante na seção transversal (Equação 3.1.4), e é o índice do ele-mento finito, le é o comprimento do elemento, ψi é a função de forma e x é a coordenada da seçãotransversal no elemento.

Somando-se a contribuição de todos os elementos finitos, chega-se ao vetor global de cargasdevido aos esforços internos F(U). Como este vetor é calculado com base nas relações constitutivasdos materiais, as quais não são lineares, ocorre um desequilíbrio entre os esforços internos e oesforços causados pelas cargas externas, o qual se baseia numa análise linear, de forma que existe

29

a diferença∆F(U) = F−F(U) (3.1.34)

onde ∆F é o vetor de carga residual (ou vetor de desequilíbrio de carga).

Buscando-se o equilíbrio da estrutura, utilizou o método iterativo de Newton-Raphson, con-forme indicado em Zienkiewicz e Taylor (2000b). Por simplicidade, adotou-se a opção pelométodo com rigidez inicial constante, ou método da “tensão inicial” (initial stress method) con-forme Zienkiewicz, Valliappant e King (1969) e Crisfield (2001), no qual a matriz de rigidez K0

permanece inalterada durante todo o processo.

Iniciando-se o processo por uma aproximação linear, calcula-se o vetor de deslocamentos ini-ciais U1 como solução do sistema

K0U1 = F (3.1.35)

Conhecido o vetor de deslocamentos iniciais, calcula-se o vetor de carga devido aos esforços in-ternos relativos a U1, F(U1), através das Equações 3.1.32 e 3.1.33. Com isso, pela Equação 3.1.34,pode-se calcular o primeiro vetor de carga residual ∆F(U1). Em seguida, obtém-se o vetor deincremento de deslocamento ∆U1 como solução do sistema

K0∆U1 = ∆F(U1) (3.1.36)

A nova configuração deformada da viga fica definida pela soma do incremento de deslocamentoao vetor de deslocamento anterior

U2 = U1 +∆U1 (3.1.37)

Repete-se o processo de sucessivas aproximações lineares até que o equilíbrio seja satisfeito, oqual ocorre quando, na iteração i, são atendidas, simultaneamente, as condições de convergência

‖∆F(Ui)‖‖F‖

≤ εF (3.1.38)

e‖∆Ui‖‖Ui+1‖

≤ εU (3.1.39)

onde o símbolo ‖‖ representa a norma Euclidiana do vetor e εF e εU são as tolerâncias estipuladaspara as cargas e deslocamentos, respectivamente.

30

3.2 Flecha Total

Para a consideração dos efeitos de fluência e retração na avaliação da flecha em vigas de con-creto armado, adotou-se o método proposto por Gilbert (2011), no qual são calculadas as curvaturasdevidas à fluência e à retração.

3.2.1 Curvatura devida à fluência

Segundo Gilbert (2011), o desenvolvimento gradual de deformação de fluência na região com-primida de uma seção transversal de concreto armado causa aumento da curvatura e, consequen-temente, o aumento de deslocamento da peça estrutural. Em seções não-fissuradas com armadurasimples, a fluência é dificultada pela armadura na região tracionada. a idade no início do carre-gamento t Seções fissuradas com armadura simples apresentam curvatura maior que seções não-fissuradas e pode-se assumir que o concreto fissurado abaixo da linha neutra não apresenta efeitosde fluência, uma vez que não absorve tensão. Na região comprimida, a fluência causa mudança naposição da linha neutra, aumentando a região comprimida e, por consequência, reduzindo a tensãode compressão.

O incremento de curvatura devida à fluência χϕ na idade t em seção solicitada por um momentofletor M pode ser calculado por

χϕ = χt0ϕ (t, t0)

αϕ

(3.2.1)

onde χt0 é a curvatura imediata da seção, ϕ (t, t0) é o coeficiente de fluência no intervalo de tempode t0 (idade no início do carregamento) a t (idade na qual se realiza a análise) e αϕ é o fator relativoà fissuração e à quantidade e ao posicionamento da armadura.

Caso o valor do coeficiente de fluência não seja determinado experimentalmente, pode-se estimá-lo por algum modelo analítico, como, por exemplo, o modelo recomendado pelo Eurocode 2(2004), detalhado no Anexo A.

Segundo Gilbert (2011), o fator αϕ é calculado como

αϕ =

(0,48ρ−0,5)( III

Ie f

)0,33[

1+(125ρ +0,1)(

A′sAs

)1,2]

,M < Mcr

1,0+(45ρ−900ρ2)(1+ A′s

As

),M ≥Mcr

(3.2.2)

onde ρ é a taxa geométrica de armadura tracionada, III é o momento de inércia da seção fissurada,Ie f é o momento de inércia efetivo, definido a seguir, As e A′s são, respectivamente, as áreas dearmaduras de tração e de compressão e Mcr é o momento fletor de fissuração.

Gilbert (2011) sugere que o momento de inércia efetivo seja calculado conforme expressão

31

proposta por Bischoff (2005)

Ie f =III

1−βt

(1− III

II

)(McrM

)2 ≤ 0,6II (3.2.3)

onde II é o momento de inércia da seção não-fissurada.

Segundo Gilbert (2011), o coeficiente βt é empregado para consideração de efeitos de fissura-ção induzida por retração e de redução de tension-stiffening com o tempo. Para análise de longaduração, βt deve assumir o valor 0,5.

Para o momento de fissuração, adotou-se a expressão recomendada por Ruiz, Dutari e Escribano(2009)

Mcr = fctm, f lWI (3.2.4)

onde fctm, f l é a resistência média à tração do concreto na flexão (conforme Eurocode 2 (2004)) eWI é o módulo de resistência da fibra tracionada extrema da seção homogeneizada não-fissurada.

3.2.2 Curvatura devida à retração

A curvatura induzida por retração χcs, tanto para seções não-fissuradas quanto fissuradas, podeser calculada por

χcs =

(100ρ−2500ρ2)( d

0,5h −1)(

1− A′sAs

)1,3 (εcsh

),M < Mcr

1,2(

IIIIe f

)0,67(1−0,5A′s

As

)(εcsd

),M ≥Mcr

(3.2.5)

onde εcs é a deformação específica por retração na idade t, obtida experimentalmente ou atravésde modelo analítico, h é a altura total da seção transversal e d é a altura útil referente à armaduratracionada.

3.2.3 Cálculo da flecha total

Segundo Gilbert (2011), após o cálculo das curvaturas devidas à fluência e à retração, tanto paraseções fissuradas quanto não-fissuradas, deve ser feito o cálculo de uma curvatura média para selevar em conta a colaboração do concreto entre fissuras. Para tanto, emprega-se o método propostopela norma Eurocode 2 (2004) em seu item 7.4.3, o qual é exposto com detalhes na Subseção 3.3.2do presente trabalho.

Conhecidas as curvaturas devidas ao carregamento (imediata e de fluência) e à retração, calcula-

32

se a curvatura total χt da seção na idade t através da sobreposição de efeitos:

χt = χt0 +χϕ +χcs (3.2.6)

Segundo Ruiz, Dutari e Escribano (2009), uma vez conhecidos os valores de curvatura emdiferentes seções ao longo da viga submetida à flexão simples, pode-se utilizar o Princípio dosTrabalhos Virtuais para calcular sua flecha total δt , através da expressão

δt =∫ l

0χtMV dx (3.2.7)

onde χt é a curvatura total ao longo da viga e MV é o momento fletor causado por um carga virtualunitária aplicada no local onde se deseja calcular o deslocamento e l é o comprimento da viga.

3.3 Procedimentos Normativos para Cálculo de Flecha

Nesta seção são apresentados os métodos para o cálculo de flechas em vigas propostos pelasnormas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004). O método proposto pela ABNT NBR 6118(2014) estima uma rigidez equivalente para a seção fissurada de concreto armado, a qual deve ser

utilizada no cálculo da flecha da viga. Já o método proposto pelo Eurocode 2 (2004) apresenta umaestimativa para a flecha de vigas através da interpolação entre curvaturas no Estádio I e Estádio IIpuro, de forma a considerar a fissuração e a colaboração da resistência à tração entre fissuras doconcreto.

3.3.1 Procedimento recomendado pela ABNT NBR 6118 (2014)

O procedimento apresentado pela norma brasileira ABNT NBR 6118 (2014) em seu item17.3.2.1 define que a flecha em viga de concreto armado pode ser aproximada utilizando-se umarigidez à flexão equivalente (EI)eq para a viga fissurada sob flexão trabalhando no Estádio II, se-gundo a equação

(EI)eq = Ecm

{(Mcr

Ma

)3

Ic +

[1−(

Mcr

Ma

)3]

III

}≤ EcmIc (3.3.1)

na qual Ecm é o módulo de deformação longitudinal secante do concreto, Ma é o momento fletormáximo em trecho da viga, e Ic e III são, respectivamente, o momento de inércia da seção brutanão-fissurada de concreto e o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II puro

33

calculado com a razão modular nm, a qual é expressa por

nm =Es

Ecm(3.3.2)

onde Es é o módulo de elasticidade do aço.

O momento de fissuração Mcr é calculado pela expressão, segundo item 17.3.1 da mesmanorma,

Mcr =αtrIc fctm

ytr(3.3.3)

onde αtr é um coeficiente relacionado à geometria da seção transversal (sendo igual a 1,2 paraseções T ou duplo T, 1,3 para seções I ou T invertido e 1,5 para seções retangulares), fctm é aresistência à tração média do concreto e ytr é a distância do centro de gravidade da seção à bordatracionada.

A resistência à tração média do concreto para concretos até classe C50, segundo ABNT NBR 6118(2014), pode ser calculada por

fctm = 0,30 f2/3ck (3.3.4)

onde fck é a resistência à compressão característica do concreto, em MPa.

Para o cálculo da flecha total δt levando em consideração o efeito diferido de fluência, a ABNTNBR 6118 (2014) sugere a seguinte simplificação

δt = δt0(1+α f

)(3.3.5)

onde δt0 é a flecha imediata da viga de concreto armado.

A norma define α f como o fator que considera a fluência (item 17.3.2.1.2), calculado por

α f =∆ξ

1+50ρ ′(3.3.6)

onde ρ ′ é a taxa geométrica de armadura de compressão.

O coeficiente ξ é definido por

ξ (t) =

0,68(0,996t) t0,32 , t ≤ 70

2 , t > 70(3.3.7)

definindo-se∆ξ = ξ (t)−ξ (t0) (3.3.8)

34

onde t é a idade, em meses, no qual se deseja calcular a flecha total e t0 é a idade, em meses, relativaao início da aplicação da carga de longa duração.

3.3.2 Procedimento recomendado pelo Eurocode 2 (2004)

A norma europeia Eurocode 2 (2004) apresenta em seu item 7.4.3 um procedimento paracálculo de flecha em elementos estruturais em que se espera que ocorra fissuração, mas que nãoestejam totalmente fissurados, de modo a considerar a colaboração do concreto entre fissuras.

No caso de elementos submetidos preponderantemente à flexão, a norma europeia recomendaa seguinte expressão para o cálculo de deformações:

ω = ζ ωII +(1−ζ )ωI (3.3.9)

onde ω é o parâmetro de deformação que se deseja calcular (podendo ser curvatura, deformação,rotação ou, como simplificação, deslocamento) e ωI e ωII são os valores do parâmetro calculadospara o elemento não-fissurado e totalmente fissurado, respectivamente.

Em elementos estruturais fletidos, o coeficiente de distribuição ζ que considera a colaboraçãodo concreto entre fissuras é calculado por

ζ = 1−β

(Mcr

M

)2

(3.3.10)

sendo Mcr o momento de fissuração, M o momento fletor solicitante na seção e β o fator relativo àinfluência da duração ou da repetição do carregamento, assumindo o valor de 0,5 para carregamen-tos prolongados ou grande número de ciclos de carga e 1,0 para carregamentos de curta duração.

Ainda, no cálculo de deformações deve-se levar em conta a resistência à tração do concreto eseu módulo de elasticidade efetivo. Usualmente, indica-se o uso da resistência média à tração doconcreto fctm, entretanto, não havendo esforços axiais significativos (resultantes de efeitos térmicosou retração, por exemplo), pode-se utilizar a resistência à tração média em flexão fctm, f l , expressapor

fctm, f l = max{(

1,6− h1000

)fctm, fctm

}(3.3.11)

na qual h é a altura da seção transversal do elemento fornecida em milímetros (mm).

Essa norma não apresenta expressão para cálculo do momento de fissuração. Ruiz, Dutari eEscribano (2009) sugerem que este seja calculado como


35

onde WI é o módulo de resistência da fibra tracionada extrema da seção homogeneizada não-fissurada.

No cálculo de flecha imediata, deve-se utilizar o módulo de deformação longitudinal secante doconcreto, o qual é definido por

Ecm = 22000(

fcm

10

)0,3

(3.3.13)

onde fcm é a resistência média à compressão do concreto, em MPa.

Para carregamentos de longa duração, pode-se considerar o efeito da fluência no cálculo dedeformações utilizando-se o módulo de deformação longitudinal efetivo do concreto Ec,e f segundoa expressão

Ec,e f =Ecm

1+ϕ (∞, t0)(3.3.14)

onde ϕ (∞, t0) é o coeficiente de fluência relativo ao intervalo de carregamento e Ecm é o módulo dedeformação longitudinal secante do concreto.

Assim, a curvatura devida ao carregamento considerando-se efeitos de fluência χ(t0+ϕ) é dadapor

χ(t0+ϕ) = ζ χ(t0+ϕ),II +(1−ζ )χ(t0+ϕ),I (3.3.15)

onde χ(t0+ϕ),I e χ(t0+ϕ),II são as curvaturas devidas ao carregamento considerando-se efeitos defluência para os estados não-fissurado e fissurado, respectivamente.

A curvatura induzida por retração χcs pode ser avaliada pela seguinte expressão

χcs = ζ χcs,II +(1−ζ )χcs,I (3.3.16)

onde ζ é o coeficiente de distribuição (Equação 3.3.10) e χcs,I e χcs,II são as curvaturas devidas àretração nos estados não-fissurado e fissurado, respectivamente, as quais são calculadas por

χcs,I = εcsnm,eSI

II(3.3.17)

eχcs,II = εcsnm,e

SII

III(3.3.18)

onde εcs é a deformação de retração livre, S é o momento estático da armadura em relação aocentroide da seção transversal, I é o momento de inércia à flexão da seção homogeneizada e nm,e éa razão modular efetiva.

Segundo o Eurocode 2 (2004), a maneira rigorosa de se avaliar a flecha é através do cálculoda curvatura final em diversos pontos do elemento estrutural analisado e, em seguida, integrando-

36

se numericamente ao longo da viga. Pode-se, então, utilizar o mesmo procedimento indicadona Subseção 3.2.3, sendo a curvatura na idade t (χt) obtida pela soma das curvaturas devidas aocarregamento, à fluência e à retração

χt = χ(t0+ϕ)+χcs (3.3.19)

3.4 Ferramenta Computacional de Apoio

Neste trabalho, o software Wolfram Mathematica® 8.0 foi utilizado na elaboração dos proce-dimentos numéricos para o cálculo de flechas imediatas e diferidas em vigas de concreto armadoconsiderando-se a não-linearidade física.

Mathematica® é um programa computacional utilizado nas áreas técnicas e científicas, desen-volvido pela empresa norte-americana Wolfram Research. A primeira versão do programa data de1988. Neste trabalho foi utilizada a versão 8 (2010).

Este software apresenta um ambiente para programação em linguagem simbólica, permitindo aprogramação procedural e lidando com diferentes conceitos: fórmulas matemáticas, manipulaçãode listas e aplicações gráficas, permitindo a execução de procedimentos numéricos.

A escolha desse programa computacional para a implementação de um algoritmo para o cálculorigoroso de flecha total em vigas de concreto armado com a consideração da não-linearidade físicafoi motivada:

• pela simplicadade de programação;

• pela possibilidade de verificação e validação dos resultados numéricos devido à pronta exe-cução de comandos implementados;

• e pela familiaridade com o programa adquirida em disciplinas cursadas durante a Graduaçãoe em outras atividades extracurriculares.

A implementação dos procedimentos numéricos propostos neste trabalho utilizando a lingua-gem do programa Mathematica implicam que sua execução será possível somente àqueles quetiverem acesso ao software. Tendo em vista a implantação desses procedimentos em outras lingua-gens de programação, buscou-se não utilizar as ferramentas numéricas pré-definidas no programa,de forma que a transcrição para outra linguagem acarretará apenas a adequação à nova sintaxe.

3.5 Implementação Computacional

Os procedimentos numéricos propostos para cálculo de flecha imediata, FLECHA-0, e cálculode flecha total, FLECHA-T, foram implementados computacionalmente utilizando-se o software

37

Wolfram Mathematica® 8.0. A seguir, são apresentadas as etapas de cada procedimento e seusrespectivos fluxogramas.

3.5.1 Procedimento numérico FLECHA-0

Para o procedimento FLECHA-0, os dados de entrada necessários são:

• geometria da seção transversal (altura h, base b e posição das armaduras de compressão e detração com relação à face de compressão da seção d′ e d, respectivamente);

• propriedades mecânicas do concreto (resistência média à compressão fcm, resistência médiaà tração fctm e módulo de deformação longitudinal secante Ecm);

• áreas das armaduras longitudinais de compressão A′s e de tração As;

• propriedades mecânicas dos aços das armaduras (tensão de escoamento fy e módulo de elas-ticidade Es);

• malha de elementos finitos;

• condições de contorno (vinculações);

• carregamentos (distribuídos e nodais).

As resoluções dos sistemas lineares foram feitas através da decomposição de Cholesky devido àmatriz de rigidez K0 ser definida positiva. Como foi escolhido o método de Newton-Raphson comrigidez constante, a decomposição da matriz de rigidez é feita uma única vez durante a execuçãodo procedimento.

A seguir são descritos os passos empregados no procedimento FLECHA-0:

1. leitura e impressão dos dados de entrada;

2. montagem e decomposição (Cholesky) da matriz de rigidez tangente inicial K0 e do vetor decargas externas F;

3. primeira aproximação linear para cálculo do vetor de deslocamento Ui (i = 1) através daresolução do sistema

K0Ui = F (3.5.1)

4. cálculo do vetor de carga devido aos esforços internos F(Ui). Inicia-se o processo iterativocom i = i+ 1. Deve-se calcular a contribuição Fe (Ui) de cada elemento e. Adotou-se a

38

quadratura de Gauss-Legendre com três pontos de integração para a aproximação numéricada integral da Equação 3.1.33, sendo assim

f eq =−

∫ le

0M

d2ψq (x)dx2 dx≈

3

∑j=1− le

2M(ξ j)

ψ′′q(ξ j)

w j (3.5.2)

onde M(ξ j)

é o momento fletor calculado no ponto de integração ξ j do elemento, ψ ′′q(ξ j)

é a segunda derivada da função de forma ψq avaliada no mesmo ponto e w j é o peso daquadratura de Gauss-Legendre para o ponto ξ j, conforme Tabela 3.1. Portanto, em cadaponto de integração ξ j de cada elemento e, são calculados

(a) curvatura através da equação

χ =−d2vdx2 =−

4

∑k=1

uekd2ψk (x)

dx2 (3.5.3)

(b) posição da linha neutra empregando-se o método de Ridders (1979) para encontrar araiz (linha neutra) da equação

m

∑l=1

σc,lbhl +2

∑p=1

σs,pAs,p = 0 (3.5.4)

(c) momento fletor na seção pela equação

M =m

∑l=1

σc,lbhc,lyc,l +2

∑p=1

σs,pys,pAs,p (3.5.5)

5. aplicação das condições de contorno ao vetor F(Ui);

6. cálculo do vetor de carga de desequilíbrio ∆F(Ui)

∆F(Ui) = F−F(Ui) (3.5.6)

7. cálculo do incremento de deslocamento ∆Ui através da resolução do sistema

K0∆Ui = ∆F(Ui) (3.5.7)

8. cálculo da nova configuração deformada da viga representada pelo vetor de deslocamento

39

Ui+1

Ui+1 = Ui +∆Ui (3.5.8)

9. verificação dos critérios de convergência

‖∆F(Ui)‖‖F‖

≤ 10−3 (3.5.9)

e‖∆Ui‖‖Ui+1‖

≤ 10−3 (3.5.10)

10. se os critérios de convergência forem simultaneamente atendidos, impressão da configuraçãodeformada imediata pelo vetor Ut0 = Ui+1 e fim do procedimento. Caso contrário, retorna-seao passo 4.

Tabela 3.1: Pontos e pesos para quadratura de Gauss-Legendre

j ξ j w j1 -0,7745966692 0,55555555562 0,0000000000 0,88888888893 0,7745966692 0,5555555556

A Figura 3.7 apresenta o fluxograma do procedimento numérico FLECHA-0, onde o índice i

representa o número da iteração. Na Figura 3.8 é apresentado o fluxograma para o cálculo do vetorde carga devido aos esforços internos F(Ui), onde e é o índice do elemento, sendo ne o númerototal de elementos da malha. Na Figura 3.9 é apresentado o fluxograma para o cálculo da posiçãoda linha neutra na seção utilizando-se o método de Ridders (1979), no qual se define uma funçãof (y0) igual à equação de equilíbrio de esforço normal na seção e calcula-se a raiz da função, que éa posição da linha neutra.

40

Figura 3.7: Fluxograma do procedimento numérico FLECHA-0


41

Figura 3.8: Fluxograma do cálculo do vetor de carga devido aos esforços internos


42

Figura 3.9: Fluxograma do cálculo da posição da linha neutra


43

3.5.2 Procedimento numérico FLECHA-T

No procedimento numérico FLECHA-T, utiliza-se o procedimento FLECHA-0 para determina-ção da configuração deformada imediata da viga e, em seguida, aplica-se o procedimento apresen-tado por Gilbert (2011) para consideração dos efeitos devidos à fluência e à retração. Portanto,além dos dados de entrada necessários ao procedimento FLECHA-0, o procedimento FLECHA-T

necessita dos seguintes dados de entrada:

• idade do primeiro carregamento t0 em dias;

• coeficiente de fluência ϕ (t, t0) na idade de análise t;

• deformação de retração εcs (t) na idade de análise t;

• índice do nó em que se deseja calcular o deslocamento total.

De acordo com a formulação adotada para o cálculo da flecha total, é necessário conhecer omomento fletor virtual MV ao longo da viga causado por uma carga virtual unitária aplicada noponto onde se deseja calcular o deslocamento total, o qual também é um dado de entrada. Portanto,é necessário resolver o sistema

K0UV = FV (3.5.11)

sendo K0 a matriz de rigidez tangente inicial da viga indeformada, UV o vetor de deslocamentovirtual e FV o vetor de carga virtual.

Dessa forma, o momento fletor MV pode ser aproximado pela relação clássica

MV =−EId2vV

dx2 (3.5.12)

onde vV é o deslocamento virtual, aproximado a partir do vetor de deslocamento virtual UV , con-forme

vV (x) =4

∑i=1

uei,V ψi (x) (3.5.13)

O cálculo do deslocamento total δt pela Equação 3.2.7, repetida a seguir, requer a integração aolongo da viga de comprimento l:

δt =∫ l

0χMV dx (3.5.14)

Para isso, adotou-se novamente a quadratura de Gauss-Legendre com três pontos de integra-ção em cada elemento. Dessa forma, a contribuição do elemento para o cálculo da flecha total é

44

aproximada por

δet =

∫ le

0χMV dx≈

3

∑j=1

le

2χt(ξ j)

MV(ξ j)

w j (3.5.15)

onde δ et é a parcela de deslocamento relativa ao elemento e, le é o comprimento do elemento,

MV(ξ j)

e χt(ξ j)

são, respectivamente, o momento fletor virtual e a curvatura total avaliados noponto de integração ξ j e w j é o peso da quadratura de Gauss-Legendre, conforme Tabela 3.1.

Assim, a flecha total é calculada somando-se as contribuições δ et de todos os elementos

δt =ne

∑e=1

δet (3.5.16)

onde e é o índice do elemento e ne é o número total de elementos da malha.

A seguir são descritos os passos empregados no procedimento FLECHA-T:

1. leitura e impressão dos dados de entrada;

2. aplicação do procedimento FLECHA-0 para obtenção da configuração deformada imediatada viga representada pelo vetor de deslocamentos Ut0;

3. resolução do problema virtualK0UV = FV (3.5.17)

para determinação do momento fletor virtual MV ao longo da viga devido à carga verticalvirtual unitária aplicada no nó onde se deseja calcular o deslocamento total δt ;

4. cálculo da parcela de deslocamento total δ et relativa ao elemento e, para cada elemento da

malha. São calculadas

(a) curvatura total na idade t em cada ponto de integração ξ j

i. curvatura imediata χt0 pela equação

χt0 =−d2vt0dx2 =−

4

∑i=1

uei,t0

d2ψi (x)dx2 (3.5.18)

com base no vetor de deslocamentos Ut0 da configuração deformada imediata daviga;

45

ii. curvatura devida à fluência χϕ pela equação

χϕ = χt0ϕ (t, t0)

α(3.5.19)

conforme Subseção 3.2.1;

iii. curvatura devida à retração pela equação

χcs =

(100ρ−2500ρ2)( d

0,5h −1)(

1− AscAst

)1,3 (εcsh

),M < Mcr

1,2(

IIIIe f

)0,67(1−0,5Asc

Ast

)(εcsd

),M ≥Mcr

(3.5.20)

conforme Subseção 3.2.2;

iv. curvatura total χt na idade t

χt = χt0 +χϕ +χcs (3.5.21)

(b) momento fletor virtual MV em cada ponto de integração;

(c) parcela da flecha total relativa ao elemento

δet =

3

∑j=1

le

2χt(ξ j)

MV(ξ j)

w j (3.5.22)

5. cálculo da flecha total δt pela equação

δt =ne

∑e=1

δet (3.5.23)

6. impressão do resultado de flecha total δt e fim do processamento.

O fluxograma do procedimento numérico FLECHA-T é apresentado na Figura 3.10.Com a implementação computacional dos procedimentos FLECHA-0 e FLECHA-T, foi pos-

sível fazer simulações de modelos experimentais e comparar os resultados, a fim de validar osprocedimentos desenvolvidos. Essa discussão é apresentada no Capítulo 5

46

Figura 3.10: Fluxograma do procedimento numérico FLECHA-T


47

48

4. ANÁLISE PARAMÉTRICA

A fim de analisar a consistência e otimizar o tempo de processamento do procedimento nu-mérico FLECHA-0, realizou-se uma análise paramétrica. Dentre os parâmetros de análise, foramavaliadas as influências do número de elementos na malha e da quantidade de camadas de concretona seção transversal. Para isso, foram idealizados dois exemplos de vigas de concreto armado bi-apoiadas: no primeiro é analisada uma viga sob flexão a 4 pontos e no segundo a mesma viga éanalisada sob flexão a 3 pontos.

A viga analisada possui vão de 3,90 m, seção transversal retangular com 20 cm de base e40 cm de altura, armadura de tração constituída por 3 barras de 16 mm e armadura de compressãopor 2 barras de 8 mm, apresentando momento teórico de ruína de 100 kNm, calculado conformeprocedimento apresentado no Anexo C. Na Figura 4.1 são apresentados mais detalhes da vigaanalisada. Mantiveram-se a mesma seção tranversal e a mesma armadura ao longo de toda viga.

Figura 4.1: Geometria da viga para análise paramétrica


As propriedades mecânicas do concreto e do aço empregados são apresentadas na Tabela 4.1.As propriedades fy e Es são relativas à armadura de tração, enquanto f ′y e E ′s são relativas à armadurade compressão.

Tabela 4.1: Propriedades mecânicas da viga para análise paramétrica

fcm (MPa) fctm (MPa) Ecm (GPa) εc1 fy = f ′y (MPa) Es = E ′s (GPa)30 2,4 32,1 0,00201 500 200

Foram analisadas desde seções com a menor divisão possível (3 camadas) até seções altamentediscretizadas em 90 camadas, passando por valores intermediários de 6, 9, 15 e 60 camadas, con-forme representado na Figura 4.2.

49

Figura 4.2: Modelos de divisão da seção em camadas para análise paramétrica


Explicam-se os números de camadas analisados devido à distribuição de camadas de concretoadotada, sendo um terço das camadas na região de compressão, um terço na região tracionadasem efeito de tension-stiffening e o terço restante na região tracionada interior à área efetiva (comtension-stiffening). Logo, para a análise da quantidade de camadas de concreto na seção transversal,foram estudadas seções divididas em números de camadas múltiplos de 3.

Com relação as malhas adotadas, uma vez que a posição das cargas concentradas possui grandeinfluência na escolha da malha, foram analisadas diferentes malhas de elementos finitos para a vigasob flexão a 4 pontos e para a viga sob flexão a 3 pontos. No caso da viga sob flexão a 4 pontos,as malhas analisadas foram compostas por 4, 6, 12, 24 e 48 elementos. Para a viga sob flexão a 3pontos, as malhas analisadas foram compostas por 2, 4, 8, 16 e 32 elementos. Mais detalhes sobrea escolha do número de elementos são apresentados nas Seções 4.1 e 4.2.

Foram gerados resultados para todas as combinações possíveis entre número de camadas e

50

número de elementos para os dois tipos de carregamento. Verificaram-se as mesmas tendências nosresultados quanto à consistência e, por isso, são apresentados nas seções seguintes apenas algunsdos resultados obtidos.

4.1 Viga sob Flexão a Quatro Pontos

Neste caso de carregamento, a viga foi submetida à flexão a 4 pontos, sendo as cargas concen-tradas aplicadas nos terços do vão, a 1,30 m dos apoios. Dessa forma, sendo o momento teórico deruína de 100 kNm, a carga teórica de ruína Pu é de, aproximadamente, 76,9 kN.

Para análise da influência da malha de elementos finitos adotou-se a divisão da seção transversalem 9 camadas de concreto (3 camadas comprimidas, 3 camadas tracionadas sem tension-stiffening

e 3 camadas tracionadas com tension-stiffening).Foram analisadas malhas com 4, 6, 12, 24 e 48 elementos, conforme indicado na Figura 4.3,

onde P indica a posição das cargas concentradas aplicadas. Tais malhas foram adotadas de formaa sempre existir um nó localizado no meio no vão, onde ocorrerá o deslocamento vertical máximo,e dois nós distantes de 1,30 m de cada apoio para aplicação das cargas concentradas. Dessa forma,para a viga sob flexão a 4 pontos, o número mínimo de elementos foi 4.

Figura 4.3: Malhas para análise paramétrica da viga sob flexão a 4 pontos


Os resultados são apresentados através de curvas carga-flecha (Figura 4.4a) nas quais as cargas

51

foram normalizadas pela carga de ruína Pu. Nota-se que as curvas carga-flecha para as diferentesmalhas se sobrepõem, indicando mesmo comportamento para as diferentes opções de malha.

Analisando-se a passagem do estádio I para estádio II, todas as malhas apresentaram o mesmoponto de transição, em torno de 20% da carga de ruína (15,4 kN). Sendo assim, o momento fletor defissuração foi de, aproximadamente, 20 kNm. Deste modo, verifica-se que malhas pouco refinadasjá apresentam bons resultados para viga sob flexão a 4 pontos.

Figura 4.4: Curvas carga-flecha de viga sob flexão a 4 pontos para análise de (a) malha e (b)quantidade de camadas

(a) (b)


Estudando a influência do número de camadas de concreto armado, utilizou-se uma malhacom 4 elementos finitos. A Figura 4.4b apresenta as curvas carga-flecha para os casos estudados.Observa-se que ocorre sobreposição das curvas carga-flecha a partir de seções com 9 camadas,indicando variação pouco significativa dos resultados.

4.2 Viga sob Flexão a Três Pontos

Neste caso de carregamento, a viga foi submetida à flexão a 3 pontos, sendo a carga concentradaaplicada no meio do vão, a 1,95 m dos apoios. Dessa forma, sendo o momento teórico de ruína de100 kNm, a carga teórica de ruína Pu é de, aproximadamente, 102,6 kN.

Analisando a influência da malha de elementos finitos na viga sob flexão a 3 pontos, adotou-se a divisão da seção transversal em 9 camadas de concreto (3 camadas comprimidas, 3 camadastracionadas sem tension-stiffening e 3 camadas tracionadas com tension-stiffening).

Foram analisadas malhas com 2, 4, 8, 16 e 32 elementos, como indicado na Figura 4.5. Taismalhas foram adotadas para sempre existir um nó localizado no meio do vão, onde foi aplicada acarga concentrada e ocorrerá a flecha.

52

Figura 4.5: Malhas para análise paramétrica da viga sob flexão a 3 pontos


Novamente os resultados foram comparados através das curvas carga-flecha para cada opçãode malha, ilustradas na Figura 4.6a. Nota-se a sobreposição das curvas carga-flecha para malhas apartir de 4 elementos, indicando a consistência do procedimento numérico para esse modelo.

Analisando-se a passagem do estádio I para estádio II, todas as malhas apresentaram o mesmoponto de transição, em torno de 20% da carga de ruína (20,5 kN). Sendo assim, o momento fletorde fissuração foi de, aproximadamente, 20 kNm.

A malha com apenas 2 elementos apresentou comportamento distinto apenas logo após a tran-sição entre os estádios I e II, voltando a se sobrepor para cargas acima de 30% de Pu (aproximada-mente 30,7 kN).

Analisando a influência do número de camadas de concreto armado, utilizou-se uma malhacom 4 elementos finitos. A Figura 4.6b apresenta as curvas carga-flecha para os casos estudados.Observa-se que, assim como no exemplo de viga sob flexão a 4 pontos, ocorre sobreposição dascurvas carga-flecha a partir de seções divididas em 9 camadas, indicando a consistência do proce-dimento numérico quanto ao número de camadas.

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Figura 4.6: Curvas carga-flecha de viga sob flexão a 3 pontos para análise de (a) malha e (b)quantidade de camadas

(a) (b)


4.3 Discussão dos Resultados da Análise Paramétrica

Nos dois exemplos analisados, verificou-se que, mesmo para malhas pouco refinadas (comapenas 4 elementos), os resultados são bastante próximos dos resultados obtidos para malhas maisrefinadas. Para a viga sob flexão a 4 pontos, observou-se que o máximo erro relativo entre valoresde flecha para as malhas de 4 elementos (2,43 mm) e de 48 elementos (2,49 mm) foi de -2,4%, aqual ocorreu para carga de 26% de Pu (20 kN), após a transição entre estádios I e II.

No caso da viga sob flexão a 3 pontos, o máximo erro relativo entre flechas para malhas de 4elementos (0,70 mm) e 32 elementos (0,73 mm) foi de -4,1% para carga de 20% de Pu (20 kN), natransição entre o estado não-fissurado e o estado fissurado. Nos dois exemplos, os erros relativosde flecha foram nulos quando as vigas se encontram no estádio I. Já no estádio II, a média doserros relativos foi de 0,5% tanto para vigas sob flexão a 4 pontos como sob flexão a 3 pontos.Nota-se, portanto, que os erros relativos entre malhas pouco refinadas e malhas bastante refinadassão pequenos, concluindo-se que o modelo empregado é objetivo, uma vez que não apresenta fortedependência da malha escolhida para solução.

A análise da quantidade de camadas da seção transversal demonstrou consistência de resultadosa partir de seções divididas em 9 camadas tanto para a viga sob flexão a 4 pontos quanto para a vigasob flexão a 3 pontos. Observou-se que os modelos com seção dividida em 3 camadas mostraram-se mais flexíveis que os demais modelos, pois apresentaram flechas maiores. Esse fenômeno podeser explicado pelo fato de que as deformações e respectivas tensões são calculadas no baricentro decada camada. Assim, analisando-se a camada situada na região tracionada sem efeito de tension-

stiffening, sendo a deformação calculada em seu baricentro maior que a deformação de fissuração, a

54

tensão atuante em seu baricentro será nula, ou seja, mesmo que uma parcela dessa região absorvessetensão de tração, o modelo desprezaria esse efeito totalmente, tornando-o mais flexível.

Os modelos com seções divididas em 6 camadas apresentaram resultados com erro relativomédio de 3,0%, quando comparados aos modelos com seções divididas em 90 camadas. Já os mo-delos com seções divididas em 9 camadas apresentaram erro relativo médio de 1,1%, comparadosaos modelos de 90 camadas.

Ainda, como era esperado, nos dois tipos de carregamento analisados foram constatados mo-mentos fletores de fissuração iguais de 20 kNm, indicando coerência do procedimento numéricoFLECHA-0.

Portanto, concluiu-se que o procedimento numérico para cálculo de flecha imediata FLECHA-

0 apresenta consistência resultados, sendo possível obter resultados com boa precisão realizando-se análises com modelos de malha pouco refinadas e com seções transversais discretizadas em 9camadas de concreto.

55

56

5. COMPARAÇÃO COM MODELOS EXPERIMENTAIS

São apresentados os resultados gerados pelos procedimentos FLECHA-0 e FLECHA-T emcomparação com os resultados de modelos experimentais de vigas de concreto armado solicita-das a carregamentos de curta e de longa duração encontrados na literatura.

Para os modelos experimentais de viga solicitada a carregamento de curta duração, utilizadospara a análise de flecha imediata, as comparações são ilustradas através de curvas carga-flecha.

Embora a análise paramétrica tenha mostrado que bons resultados podem ser obtidos dividindo-se a seção transversal em apenas 9 camadas de concreto, foram utilizadas seções mais discretizadasnas comparações com resultados experimentais a fim de se evitar imprecisões nos resultados nu-méricos devidas às diferentes geometrias das seções transversais dos modelos experimentais.

No caso de modelos experimentais de viga solicitada a carregamento de longa duração, paraanálise de flecha total incluindo efeitos de fluência e retração, as comparações são apresentadasatravés de curvas flecha-idade.

Além dos resultados dos modelos experimentais, foram também feitas comparações com osresultados dos procedimentos preconizados pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2(2004), os quais foram denominados NBR6118 e EC2, respectivamente, para simplificação.

5.1 Considerações Gerais

Nas seções seguintes, são apresentados os modelos experimentais e seus dados (propriedadesgeométricas, propriedades mecânicas e carregamentos), assim como os dados necessários para asanálises. No caso de dados necessários não terem sido fornecidos pelos autores dos modelos expe-rimentais, foram empregadas expressões apresentadas a seguir.

Para a análise pelo procedimento NBR6118, são necessários os valores da resistência à com-pressão característica do concreto fck, do módulo de elasticidade secante do concreto Ecm, da resis-tência à tração do concreto em valor médio fctm e do momento de fissuração Mcr. Seguindo-se asprescrições da norma ABNT NBR 6118 (2014) para concretos até classe de resistência C50, paraesse procedimento foram adotadas as expressões:

Ecm = αEαi5600√

fck (5.1.1)

αi = 0,80+0,20fck

80≤ 1,00 (5.1.2)

fctm = 0,30 f2/3ck (5.1.3)

57

Mcr =α fctmIc

ytr(5.1.4)

onde fck é a resistência à compressão característica do concreto (em MPa), Ic é o momento deinércia da seção bruta não-fissurada de concreto, ytr é a distância do baricentro da seção à fibramais tracionada e α é o fator que relaciona a resistência à tração na flexão com resistência à traçãodireta, igual a 1,5 para seções retangulares.

O coeficiente αE se refere ao tipo de rocha do agregado graúdo utilizado no concreto. NaTabela 5.1 são apresentados os valores desse coeficiente conforme a natureza do agregado graúdo.

Tabela 5.1: Coeficiente αE conforme natureza do agregado graúdo

Agregado graúdo αEBasalto e diabásio 1,2Granito e gnaisse 1,0

Calcário 0,9Arenito 0,7

Usualmente, os relatos de ensaios experimentais apresentam valores médios das propriedadesmecânicas dos materiais utilizados. Dessa forma, sendo conhecido o valor da resistência média àcompressão do concreto fcm fornecido pelo trabalho experimental, foi necessário estabelecer umarelação com a resistência característica à compressão do concreto fck a fim de atender aos dadosde entrada necessários ao procedimento NBR6118. Portanto, adotou-se a abordagem proposta pelanorma ABNT NBR 12655 (2006).

Segundo seu texto, pode-se estimar o valor de fck pela expressão

fck = fcm−1,65Sd (5.1.5)

onde Sd é o desvio-padrão da amostra.No caso de desvio-padrão desconhecido, são sugeridos valores pela norma ABNT NBR 12655

(2006) de acordo com as condições de preparo do concreto. Na Tabela 5.2 são apresentados osvalores de desvio-padrão sugeridos em função das condições de preparo do concreto.

Tabela 5.2: Desvio-padrão de acordo com condição de preparo do concreto. Adaptada de ABNTNBR 12655 (2006)

Condição de preparo do concreto Sd (MPa)A 4,0B 5,5C 7,0

58

As condições de preparo do concreto são resumidas a seguir:

• condição A (aplicável às classes C10 até C80) - controle rigoroso de medida de cimento eagregados em massa e água em massa ou volume com dispositivo dosador e correção relativaà umidade dos agregados;

• condição B

– (aplicável às classes C10 até C25) - cimento medido em massa, agregados medidos emmassa combinada com volume e água medida em volume com dispositivo dosador;

– (aplicável às classes C10 até C20) - cimento medido em massa, agregados medidos emvolume e água medida em volume com dispositivo dosador;

• condição C (aplicável às classes C10 até C15) - cimento medido em massa e agregados eágua medidos em volume.

Para o procedimento EC2, foram adotadas as seguintes expressões, conforme o texto do Eurocode 2(2004):

Ecm = 22000(

fcm

10

)0,3

(5.1.6)

fcm = fck +8 (5.1.7)

fctm = 0,30( fcm−8)2/3 (5.1.8)

fctm, f l = max{(

1,6− h1000

)fctm, fctm

}(5.1.9)

onde fcm é a resistência à compressão média do concreto (em MPa), fck é a resistência à compressãocaracterística do concreto (em MPa), fctm, f l é a resistência à tração média na flexão do concreto eh é a altura total da seção (fornecida em milímetros na Equação 5.1.9), sendo a equação de fctm

igual à Equação 5.1.3. O módulo de elasticidade secante ainda deve ser modificado de acordo como agregado graúdo presente no concreto, seguindo-se os mesmos fatores presentes recomendadospela norma brasileira ABNT NBR 6118 (2014) e os valores seguem a Tabela 5.1.

59

Como o momento de fissuração para o procedimento indicado pelo Eurocode 2 (2004) não éapresentado em seu texto, adotou-se a recomendação indicada por Ruiz, Dutari e Escribano (2009):


onde WI é o módulo de resistência da fibra tracionada extrema da seção homogeneizada não-fissurada.

No caso de resistência média à tração do concreto ter sido medida por ensaio de compressãodiametral (splitting), adotou-se a relação com a resistência média à tração direta, presente tanto naABNT NBR 6118 (2014) quanto no Eurocode 2 (2004)

fctm = 0,9 fcm,sp (5.1.11)

onde fcm,sp é a resistência média à tração do concreto obtida por ensaio de compressão diametral.Para o procedimento FLECHA-0, utilizaram-se os valores de fctm e Ecm conforme as equações

Ecm = 22000(

fcm

10

)0,3

(5.1.12)

efctm = 0,30( fcm−8)2/3 (5.1.13)

No caso da análise de flechas totais, também são necessários o coeficiente de fluência ϕ (t, t0)

e a deformação de retração εcs para utilização dos procedimentos FLECHA-T e EC2. No casode valores experimentais não serem apresentados pelos autores dos ensaios consultados, tais pro-priedades foram estimadas conforme procedimento proposto pelo Eurocode 2 (2004), explicadoem detalhes no Anexo A. Optou-se por tais procedimentos por não dependerem de parâmetros re-lativos à consistência do concreto, como é o caso dos procedimentos recomendados pela ABNTNBR 6118 (2014), pois esse nível de detalhamento não é encontrado com facilidade nos trabalhosexperimentais disponíveis na literatura.

As propriedades mecânicas dos aços foram consideradas igualmente por todos os procedimen-tos analisados e a seguinte simbologia foi empregada:

• Es - módulo de elasticidade do aço da armadura longitudinal de tração;

• E ′s - módulo de elasticidade do aço da armadura longitudinal de compressão;

• fy - tensão de escoamento do aço da armadura longitudinal de tração;

• f ′y - tensão de escoamento do aço da armadura longitudinal de compressão;

60

• As - área de aço da armadura longitudinal de tração;

• A′s - área de aço da armadura longitudinal de compressão;

• ρ - taxa geométrica da armadura longitudinal de tração;

• ρ ′ - taxa geométrica da armadura longitudinal de compressão;

• d - altura útil da armadura de tração;

• d′ - altura útil da armadura de compressão.

As taxas geométricas de armadura de tração e de compressão foram calculadas, respectiva-mente, por

ρ =As

bd(5.1.14)

eρ′ =

A′sbd

(5.1.15)

onde b é a base da seção transversal da viga.

O peso próprio das vigas foi considerado durante a análise e a flecha relativa apenas ao pesopróprio foi subtraída da flecha relativa ao carregamento total após a análise.

Os procedimentos NBR6118 e EC2 exigiram o cálculo do momento de inércia nos Estádios I(estado não-fissurado) e II puro (estado fissurado). Para isso, utilizou-se a formulação apresentadano Anexo B.

Na análise de flechas imediatas, utilizou-se o valor adimensional P/Pu onde P é a carga con-centrada aplicada e Pu é a carga teórica de ruína da viga, a qual foi calculada a partir do momentoteórico de ruína, conforme formulação apresentada no Anexo C.

Como parâmetro para comparação dos resultados, foram calculados os erros relativos dos re-sultados numéricos de flecha em relação aos resultados experimentais. Conhecendo-se o valorobservado de flecha (δobs) e o valor calculado por determinado procedimento numérico (δcalc), oerro relativo (erel)], em porcentagem, foi calculado pela seguinte expressão

erel (%) =(δcalc−δobs)

δobs×100 (5.1.16)

Também foram calculadas as médias dos erros relativos para cada viga analisada. Entretanto,para o cálculo da média foram utilizados os valores absolutos dos erros calculados para cada ponto,a fim de não introduzir distorções à média calculada.

61

5.2 Flecha Imediata

São apresentadas e discutidas as comparações dos resultados gerados pelos procedimentosFLECHA-0, NBR6118 e EC2 com os resultados experimentais dos trabalhos de Araújo (2002),Beber (1999), Santos (2006), Fernandes (1996) e Piancastelli (1997).

5.2.1 Viga ensaiada por Araújo

Araújo (2002) estudou o comportamento estrutural de vigas de concreto armado reforçadasà flexão e ao cisalhamento com tecido de fibra de carbono colado com resina epóxica. Em seuprograma experimental, dentre as vigas ensaiadas, a viga VC-1R serviu como referência para oestudo, uma vez que não foi reforçada. Sendo assim, a viga VC-1R foi compatível com a análiseproposta no presente trabalho.

Segundo Araújo (2002), a viga VC-1R foi ensaiada em um ciclo único de carga até sua ruína,sendo o carregamento de curta duração. As cargas variaram de 10 kN a 110 kN, sendo que a rupturaocorreu para o último valor e a transição entre Estádios II e III ocorreu logo após a carga de 90 kN.

As propriedades mecânicas do concreto fornecidas por Araújo (2002) foram a resistência médiaà compressão de 30,4 MPa e a resistência média à tração de 3,1 MPa e o agregado graúdo utilizadofoi gnaisse. Não foi fornecido desvio-padrão da resistência à compressão e, de acordo com ascondições rigorosas de preparo do concreto, admitiu-se o desvio-padrão de 4,0 MPa (Tabela 5.2)para estimativa da resistência característica à compressão do concreto.

Na Figura 5.1 são apresentadas a geometria do modelo experimental da viga VC-1R e a malhade 6 elementos adotada para análise pelo procedimento numérico FLECHA-0.

Figura 5.1: Detalhes da viga VC-1R ensaiada por Araújo (2002) e malha adotada

Fonte: adaptado de Araújo (2002)

62

Nesse modelo, as seções transversais foram discretizadas em 15 camadas de concreto, sendo 5delas dentro da região efetiva de concreto tracionado (tension-stiffening).

As propriedades mecânicas do concreto da viga VC-1R utilizadas pelos procedimentos numé-ricos são apresentadas na Tabela 5.3.

Tabela 5.3: Propriedades mecânicas do concreto da viga VC-1R utilizadas nos procedimentos

Procedimento fcm (MPa) fck (MPa) fctm (MPa) fctm, f l (MPa) Ecm (GPa)FLECHA-0 30,4 - 3,1 - 30,7NBR6118 - 23,8 3,1 - 23,5

EC2 30,4 - - 3,6 30,7

Na Tabela 5.4, são apresentadas as taxas geométricas de armadura e as propriedades mecânicasdos aços empregados.

Tabela 5.4: Taxas geométricas e propriedades mecânicas da armadura da viga VC-1R

Armadura de tração Armadura de compressãoρ (%) fy (MPa) Es (GPa) ρ ′ (%) f ′y (MPa) E ′s (GPa)0,95 567 189 0,16 603 188

A carga teórica de ruína (Pu) para esse modelo foi estimada em 96,0 kN. Os resultados paraviga VC-1R sob flexão a 4 pontos ensaiada por Araújo (2002) são apresentados na Figura 5.2 paracargas até, aproximadamente, 95% da carga teórica de ruína, intervalo no qual os procedimentospodem ser aplicados com segurança.

Tanto o procedimento FLECHA-0 quanto aqueles procedimentos propostos pelas normas ABNTNBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004) geraram resultados de flechas maiores que as flechas ob-tidas no modelo experimental, ou seja, apresentaram comportamento mais flexível que o modeloexperimental.

Nota-se que os três procedimentos geraram resultados com grande concordância, sendo que oprocedimento da norma europeia apresentou um comportamento mais rígido que os obtidos pelosprocedimentos FLECHA-0 e NBR6118 no Estádio II.

A carga de fissuração foi bem aproximada pelos três procedimentos, em torno de 16% de Pu

(15,4 kN), a qual pode ser observada pela mudança de inclinação das curvas (passagem do EstádioI para o Estádio II).

Os erros médios relativos foram de 19,7% para o procedimento FLECHA-0, 24,5% para oprocedimento NBR6118 e 11,9% para o procedimento EC2.

63

Figura 5.2: Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Araújo (2002)


5.2.2 Viga ensaiada por Beber

Beber (1999) avaliou o aumento de rigidez e de resistência à flexão de vigas de concreto armadoreforçadas com chapas de polímeros reforçados com fibras de carbono (PRFC). Seu programaexperimental contou com duas vigas idênticas de referência, T1 e T2, as quais não foram reforçadas.

Tais vigas foram ensaiadas em ciclo único de carga até a ruptura, a qual ocorreu sob a cargade 23,7 kN para a viga T1 e 23,5 kN para a viga T2, sendo a ruptura de ambas por escoamentoda armadura. Para ambas as vigas, o início do escoamento ocorreu sob carga de 22,0 kN e oaparecimento das primeiras fissuras foi observada para leitura de carga de 8,0 kN.

A propriedade mecânica do concreto fornecida por Beber (1999) foi a resistência média àcompressão de 33,6 MPa e o agregado graúdo utilizado foi basalto. Não foi fornecido desvio-padrão da resistência à compressão e, de acordo com as condições rigorosas de preparo do concreto,admitiu-se o desvio-padrão de 4,0 MPa (Tabela 5.2) para estimativa da resistência característica àcompressão do concreto.

Na Figura 5.3 são apresentados a geometria da vigas T1 e T2, o esquema de carregamento(flexão a 4 pontos) e a malha de 6 elementos adotada para análise pelo procedimento FLECHA-

0. As seções transversais foram discretizadas em 15 camadas de concreto, sendo que o efeito detension-stiffening foi considerado em 5 camadas.

64

Figura 5.3: Detalhes da vigas T1 e T2 ensaiadas por Beber (1999) e malha adotada

Fonte: adaptado de Beber (1999)

Na Tabela 5.5 são apresentadas as propriedades mecânicas do concreto utilizadas pelos proce-dimentos numéricos para simulação das vigas T1 e T2.

Tabela 5.5: Propriedades mecânicas do concreto das vigas T1 e T2 utilizadas nos procedimentos


EC2 33,6 - - 3,5 31,6

As taxas geométricas de armadura e as propriedades mecânicas dos aços empregados nas vigasT1 e T2 são apresentadas na Tabela 5.6.

Tabela 5.6: Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras das vigas T1 e T2


A carga teórica de ruína (Pu) para esse modelo foi estimada em 23,0 kN. Na Figura 5.4 encontram-se as curvas carga-flecha para as vigas T1 e T2 ensaiadas por Beber (1999) em flexão a 4 pontospara cargas variando até 95% da carga teórica de ruína.

O procedimento numérico FLECHA-0 gerou resultados com boa concordância em relação aosresultados experimentais, com mudança do estado não-fissurado para o estado fissurado após carga

65

Figura 5.4: Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Beber (1999)


em torno de 25% de Pu (5,8 kN). Observa-se ainda que o procedimento FLECHA-0 apresentouflechas menores no Estádio II que os modelos experimentais para cargas acima de 80% da cargateórica de ruína.

O procedimento NBR6118 apresentou boa concordância com os resultados experimentais, cons-tatada tanto nos Estádios I e II quanto na transição entre Estádios.

O procedimento EC2 gerou resultados próximos aos experimentais, também com aproximaçãoda carga de fissuração em torno de 25% de Pu. No Estádio II, o modelo se mostrou um pouco maisrígido para cargas acima de 60% da carga teórica de ruína.

Os erros médios relativos ao modelos experimentais das vigas T1 e T2 foram de, respecti-vamente, 14,9% e 32,1% para o procedimento FLECHA-0, 15,9% e 51,2% para o procedimentoNBR6118 e 12,2% e 32,0 % para o procedimento EC2.

5.2.3 Viga ensaiada por Santos

Santos (2006) investigou experimentalmente o comportamento estrutural de vigas de concretoarmado reforçadas à flexão. Em seu programa experimental, a viga de referência REF1 não foireforçada, sendo compatível com a análise proposta no presente trabalho. A viga REF1 foi ensaiadaà flexão a 3 pontos em ciclo único de carga até sua ruína, que ocorreu por escoamento da armadurapara carga de 129,5 kN. Segundo Santos (2006), as primeiras fissuras perceptíveis visualmente

66

surgiram sob carga de 40 kN, aproximadamente. O escoamento do aço se iniciou logo após aaplicação da carga de 110 kN na seção intermediária da viga.

A propriedade mecânica do concreto fornecida por Santos (2006) foi a resistência média àcompressão de 41,4 MPa e o agregado graúdo foi gnaisse. Não foi fornecido desvio-padrão da re-sistência à compressão e, de acordo com as condições rigorosas de preparo do concreto, admitiu-seo desvio-padrão de 4,0 MPa (Tabela 5.2) para estimativa da resistência característica à compressãodo concreto.

Na Figura 5.5 são apresentados o esquema de carregamento, a geometria da viga e a malhade 6 elementos adotada para análise pelo procedimento FLECHA-0. As seções transversais foramdiscretizadas em 15 camadas de concreto para a análise, sendo 5 das camadas dentro da área detração efetiva.

Figura 5.5: Detalhes da viga REF1 ensaiada por Santos (2006) e malha adotada

Fonte: adaptado de Santos (2006)

Na Tabela 5.7 são apresentadas as propriedades mecânicas do concreto utilizadas pelos proce-dimentos para simulação numérica da viga REF1.

Tabela 5.7: Propriedades mecânicas do concreto da viga REF1 utilizadas nos procedimentos


EC2 41,4 - - 3,7 33,7

As taxas geométricas de armadura e as propriedades mecânicas dos aços são fornecidas naTabela 5.8.

67

Tabela 5.8: Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras da viga REF1


A carga teórica de ruína (Pu) para esse modelo foi estimada em 112,0 kN. A Figura 5.6 apresentaas curvas carga-flecha para a viga REF1 sob flexão a 3 pontos ensaiada por Santos (2006) paracargas até 98% da carga teórica de ruína.

Figura 5.6: Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Santos (2006)


Neste modelo, verificou-se mais uma vez grande proximidade dos resultados obtidos pelosprocedimentos FLECHA-0 e EC2 com os resultados experimentais. Esses dois procedimentosgeraram modelos ligeiramente mais rígidos para cargas acima de 50% da carga teórica de ruína.

Os três procedimentos apresentaram carga de fissuração de, aproximadamente, 17% de Pu

(19 kN). O procedimento NBR6118 teve maior proximidade dos resultados experimentais no Es-tádio I, apresentando resultados conservadores no estado fissurado até cargas em torno de 80% dePu, acima da qual mostrou-se mais rígido que o modelo experimental.

Os erros médios relativos ao modelo experimental foram de 5,4% e para o procedimento FLECHA-

0, 10,2% para o procedimento NBR6118, e 5,8% para o procedimento EC2.

68

5.2.4 Viga ensaiada por Fernandes

Fernandes (1996) investigou o comportamento de vigas de concreto armado à flexão de ma-neira teórica e experimental. Em seu programa experimental, dentre outras vigas, foi analisadoo comportamento de uma viga de seção retangular com uma camada de armadura longitudinal detração composta por três barras de aço de 10 mm de diâmetro e uma camada de armadura longitudi-nal de compressão composta por duas barras de aço de 10 mm de diâmetro, conforme ilustrado naFigura 5.7. A viga foi ensaiada sob flexão a 4 pontos, sob carga que variou de 2,20 kN a 37,50 kN.Neste trabalho, adotou-se o nome 3φ10mm para esta viga.

A única propriedade mecânica do concreto fornecida pelo autor foi a resistência média do con-creto fcm de 23,9 MPa e não foi informado o tipo de agregado graúdo. Portanto, as demais proprie-dades foram estimadas para esta análise e admitiu-se o coeficiente αE como sendo igual a 1,0. Nãofoi fornecido desvio-padrão da resistência à compressão e, de acordo com as condições rigorosasde preparo do concreto, admitiu-se o desvio-padrão de 4,0 MPa (Tabela 5.2) para estimativa daresistência característica à compressão do concreto.

Na Figura 5.7, também é apresentada a malha de 6 elementos adotada para análise pelo pro-cedimento FLECHA-0. Utilizou-se descritização da seção transveral em 15 camadas de concretocom 5 das camadas na região de tração efetiva.

Figura 5.7: Detalhes da viga ensaiada por Fernandes (1996) e malha adotada

Fonte: adaptado de Fernandes (1996)

Na Tabela 5.9 são apresentadas as propriedades mecânicas do concreto utilizadas pelos proce-dimentos numéricos.

As taxas geométricas de armadura longitudinal e as propriedades mecânicas dos aços emprega-

69

Tabela 5.9: Propriedades mecânicas do concreto da viga 3φ10mm


EC2 23,9 - - 2,5 28,6

dos são apresentadas na Tabela 5.10.

Tabela 5.10: Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras da viga 3φ10mm


A carga teórica de ruína (Pu) foi estimada em 37,0 kN. Na Figura 5.8, são apresentadas as curvascarga-flecha para a viga ensaiada por Fernandes (1996) para cargas até, aproximadamente, 95% dacarga teórica de ruína.

Figura 5.8: Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Fernandes (1996)


Graficamente, verifica-se que o modelo experimental apresenta carga de fissuração de, aproxi-madamente, 20% de Pu (7,4 kN), a qual foi antecipada pelos três procedimentos para 15% de Pu

70

(5,6 kN). Verifica-se também que os procedimentos FLECHA-0, NBR6118 e EC2 apresentaramcomportamento conservador no Estádio II, constatado por flechas maiores que as experimentais.

Os erros médios relativos ao modelo experimental foram de 27,4% e para o procedimentoFLECHA-0, 43,5% para o procedimento NBR6118, e 22,5% para o procedimento EC2.

5.2.5 Vigas ensaiadas por Piancastelli

Piancastelli (1997) realizou um estudo experimental sobre o comportamento e o desempenhode vigas de concreto armado reforçadas à flexão. Seu programa experimental contou com as vigasV3 e V7, as quais não foram reforçadas a fim de serem utilizadas como referência. Estas vigasforam ensaiadas em ciclo único de carga até sua ruptura, a qual ocorreu sob carga de 21,5 kN paraas duas vigas. Segundo Piancastelli (1997), a carga de fissuração para a viga V3 foi de 5,4 kN epara a viga V7 foi de 4,5 kN.

As propriedades mecânicas do concreto fornecidas por Piancastelli (1997) foram a resistênciamédia à compressão de 40,4 MPa, a resistência média à tração de 2,8 MPa, medida por ensaio decompressão diamentral (splitting), e o módulo de deformação longitudinal secante de 35,1 GPa.Foi fornecido desvio-padrão da resistência à compressão de 3,7 MPa e o agregado graúdo utilizadofoi calcário.

O esquema de carregamento, a geometria das vigas e a malha de 8 elementos adotada paraanálise pelo procedimento FLECHA-O são apresentados na Figura 5.9.Adotou-se uma malha quelevasse em consideração a mudança da armadura de compressão, representadas pelas seções 1 e 2na Figura 5.9. As seções traversais foram discretizadas em 15 camadas de concreto, sendo que 5delas estavam dentro da zona de tração efetiva do concreto.

As propriedades mecânicas do concreto utilizado nas vigas V3 e V7, fornecidas por Piancastelli(1997), são apresentadas na Tabela 5.11.

Tabela 5.11: Propriedades mecânicas do concreto das vigas V3 e V7 ensaiadas por Piancastelli(1997)


EC2 40,4 - - 3,4 35,1

Na Tabela 5.12, são apresentadas as taxas geométricas de armadura e as propriedades mecânicasdos aços empregados nas vigas V3 e V7 para cada uma das seções utilizadas pelo procedimentoFLECHA-0.

A carga teórica de ruína (Pu) foi estimada em 17,0 kN. A Figura 5.10 apresenta as curvas carga-

71

Figura 5.9: Detalhes das vigas V3 e V7 ensaiadas por Piancastelli (1997) e malha adotada

Fonte: adaptado de Piancastelli (1997)

flecha para as vigas V3 e V7 sob flexão a 4 pontos ensaiadas por Piancastelli (1997), na qual seobserva que os três procedimentos apresentaram resultados de flechas menores que os modelosexperimentais no Estádio II. As cargas analisadas variaram até 90% da carga teórica de ruína.

Observa-se que o procedimento FLECHA-0 apresentou a tendência próxima ao modelo expe-rimental da viga V3, porém, verificando-se um comportamento mais rígido para cargas acima de50% de Pu (8,5 kN). Ainda, nota-se pela análise gráfica que a carga de fissuração, em torno de 27%de Pu (4,6 kN), está em concordância com os modelos experimentais.

Os resultados obtidos pelo procedimento NBR6118 para essa viga indicaram um comporta-mento sempre mais rígido que os modelos experimentais, inclusive apresentando carga de fissura-ção acima de 30% da carga teórica de ruína.

O procedimento EC2 teve razoável concordância com os resultados experimentais, também

72

Tabela 5.12: Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras das vigas V3 e V7 ensai-ada por Piancastelli (1997)

Seção 1Armadura de tração Armadura de compressão

ρ (%) fy (MPa) Es (GPa) ρ ′ (%) f ′y (MPa) E ′s (GPa)0,34 613 194,6 0,14 613 194,6

Seção 2Armadura de tração Armadura de compressão

ρ (%) fy (MPa) Es (GPa) ρ ′ (%) f ′y (MPa) E ′s (GPa)0,34 613 194,6 0,06 613 194,6

indicando carga de fissuração de 27% de Pu. Mas acabou apresentando distanciamento a partir dacarga de 50% de Pu para um comportamento mais rígido.

Os erros médios relativos aos modelos experimentais das vigas V3 e V7 foram de, respecti-vamente, 22,7% e 28,7% para o procedimento FLECHA-0, 46,3% e 47,4% para o procedimentoNBR6118 e 34,2% e 37,3 % para o procedimento EC2.

Figura 5.10: Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Piancastelli (1997)


73

5.2.6 Análise dos resultados

Na Tabela 5.13 são resumidas as médias dos erros relativos médios obtidos pelos procedimentosFLECHA-0, NBR6118 e EC2 em comparação com os cinco modelos experimentais analisados.

Os resultados gerados pelo procedimento FLECHA-0 mostraram-se satisfatórios na estimativade flechas imediatas pelas comparações com resultados experimentais de cinco modelos distintos,conforme verificado pela boa concordância das curvas carga-flecha na análise gráfica (Figuras 5.2,5.4, 5.6, 5.8 e 5.10).

Os erros relativos médios variaram entre 5,4% a 28,2%, com média dos erros de 18,1%. As si-mulações dos modelos de Beber (1999) e Santos (2006) por este procedimento apresentaram os me-nores erros médios relativos (9,4% e 5,4%, respectivamente) e, analisando-se as curvas carga-flechadas Figuras 5.4 e 5.6 verifica-se que houve boa concordância com os resultados experimentais.

Na análise das vigas ensaiadas por Fernandes (1996) e Araújo (2002), os resultados geradospelo procedimento FLECHA-0 apresentaram concordância razoável com os resultados experimen-tais. Analisando-se as respectivas curvas carga-flecha (Figuras 5.8 e 5.2), nota-se que os valoresnuméricos de flecha foram superiores aos valores experimentais (a favor da segurança) no EstádioII e que houve antecipação da passagem do Estádio I para o Estádio II. No caso da viga de Araújo(2002), a antecipação foi pequena, sendo que, analisando-se graficamente, a carga de fissuraçãoexperimental foi de 18% da carga teórica de ruína e numericamente ocorreu para 16% de Pu. Já nocaso da viga de Fernandes (1996), a antecipação foi mais considerável, de 20% da carga teórica deruína (experimental) para 15% de Pu (numérico). Uma vez que essa antecipação também ocorreuna análise pelos demais procedimentos numéricos, é possível que tal antecipação tenha sido cau-sada pela resistência média à tração ( fctm) ter sido subestimada, uma vez que não foi fornecida peloautor do modelo experimental.

No caso das vigas ensaiadas por Piancastelli (1997), os três procedimentos numéricos analisa-dos geraram valores de flecha inferiores aos valores experimentais, portanto, mostraram-se contra asegurança na simulação desse modelo. Deve-se ressaltar que nesse modelo não houve interferênciada estimativa de propriedades mecânicas do concreto, uma vez que todos os dados necessários aosprocedimentos foram fornecidos pelo autor do trabalho experimental. Pela Tabela 5.13, verifica-seque o procedimento FLECHA-0 apresentou o menor erro relativo médio dentre os procedimentosnuméricos analisados em comparação com os resultados experimentais. Nota-se também, que es-ses modelos experimentais de Piancastelli (1997) apresentaram as menores taxas geométricas dearmadura dentre os modelos analisados, iguais a 0,34%. Analisando-se a curva carga-flecha daFigura 5.10, observa-se as curvas obtidas numericamente pelos procedimentos FLECHA-0 e EC2apresentam boa concordância até a carga de 50% da carga teórica de ruína, após a qual observa-se

74

comportamento mais rígido das curvas numéricas. O procedimento NBR6118, no entanto, apre-sentou comportamento mais rígido que o modelo experimental em todo Estádio II, com diferençasignificativa em relação aos valores experimentais de flecha.

Tabela 5.13: Erros relativos médios obtidos para flechas imediatas

Modelo experimental Viga ρ (%)Erro relativo médio (%)

FLECHA-0 NBR6118 EC2Araújo (2002) VC-1R 0,95 19,7 24,5 11,9

Beber (1999)T1 0,58 14,9 15,9 12,2T2 0,58 9,4 18,7 9,3

Santos (2006) REF1 1,09 5,4 10,2 5,8Fernandes (1996) 3φ10mm 0,71 27,4 43,5 22,5

Piancastelli (1997)V3 0,34 22,0 46,3 22,6V7 0,34 28,2 47,4 28,9

Média dos erros relativos médios (%) 18,1 29,5 16,2

Nota-se, portanto, que o procedimento NBR6118 apresentou resultados satisfatórios para qua-tro dos cinco modelos analisados. Esse comportamento mais rígido gerado por este procedimentona simulação do modelo experimental de Piancastelli (1997) teve como consequência os maioreserros relativos observados dentre todos os procedimentos investigados. Essa diferença de comporta-mento quando comparado à simulação dos demais modelos experimentais motivou uma análise dainfluência da taxa de armadura tracionada no cálculo de flecha através do procedimento NBR6118,a qual é apresentada no Capítulo 6.

De maneira geral, o procedimento EC2 gerou resultados satisfatórios na comparação com osvalores experimentais de flecha. No entanto, da maneira como tal procedimento foi empregado,ocorre a inconveniência de se informar previamente a posição na viga onde se deseja calcular aflecha, a fim de se aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais para integração das curvaturas aolongo da viga. Casos em que parâmetros como geometria, vinculações, propriedades mecânicas ecarregamento são simétricos, tal desvantagem é facilmente resolvida. Porém, casos mais complexosexigem estudo prévio de onde ocorrerá o maior deslocamento na viga para então se aplicar esseprocedimento. Tal inconveniência não ocorre no procedimento FLECHA-0.

5.3 Flecha Total

A eficácia do procedimento numérico FLECHA-T foi verificada por meio da comparação comos resultados experimentais de vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004) e Washa e Fluck(1952).

75

5.3.1 Vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi

Gilbert e Nejadi (2004) ensaiaram vigas de concreto armado sob flexão a 4 pontos sujeitas acarregamento de longa duração constante com o intuito de analisar a evolução de deformações edeslocamentos ao longo de 400 dias.

O programa experimental de Gilbert e Nejadi (2004) contou com seis vigas, idênticas duas aduas. Separadas em três grupos (B1, B2 e B3), as vigas apresentaram variações de quantidade ediâmetro das barras de aço da armadura longitudinal de tração, assim como seu cobrimento. Dentrode cada grupo, uma das vigas foi solicitada a, aproximadamente, 50% de seu carregamento de ruína(tipo “a”) e a outra viga foi solicitada a aproximadamente 30% de seu carregamento de ruína (tipo“b”).

Na Tabela 5.14 são apresentadas as propriedades geométricas das vigas ensaiadas por Gilbert eNejadi (2004) e as respectivas forças concentradas P aplicadas conforme indicado na Figura 5.11.

Tabela 5.14: Propriedades geométricas e dados de carregamento das vigas ensaiadas por Gilbert eNejadi (2004)

Viga h (mm) b (mm) d (mm) As (mm2) ρ (%) P (kN)B1-a 348 250 300 400 0,54 18,6B1-b 348 250 300 400 0,54 11,8B2-a 333 250 300 400 0,54 18,6B2-b 333 250 300 400 0,54 11,8B3-a 333 250 300 600 0,80 27,0B3-b 333 250 300 600 0,80 15,2

As propriedades mecânicas do concreto e do aço são apresentadas na Tabela 5.15. Nessa tabela,os valores são referentes ao concreto com idade de 14 dias após a concretagem, na qual se iniciouo carregamento.

Tabela 5.15: Propriedades mecânicas do concreto das vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004)à idade de 14 dias

fc,14 (MPa) fct,sp,14 (MPa) Ecm,14 (GPa) fy (MPa) Es (GPa)18,3 2,0 22,8 500 200

A Figura 5.11 apresenta o esquema estrutural e o carregamento das vigas ensaidas por Gilberte Nejadi (2004). Nela também são apresentados detalhes das seções transversais dos grupos B1,B2 e B3 e a malha de 6 elementos adotada para análise pelo procedimento numérico FLECHA-T.As seções transversais foram discretizadas em 15 camadas de concreto, sendo que 5 das camadasapresentaram efeito de tension-stiffening.

76

Figura 5.11: Vigas dos grupos B1, B2 e B3 ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004) e malha adotada

Fonte: adaptado de Gilbert e Nejadi (2004)

Na Tabela 5.16 são apresentadas as propriedades mecânicas do concreto utilizadas pelos proce-dimentos analisados.

Nas Figuras 5.12 e 5.13 são apresentados os resultados de flechas para as vigas B1-a e B1-b,respectivamente, para idades no intervalo de 14 a 394 dias.

Para a viga B1-a, verifica-se que o procedimento numérico FLECHA-T apresentou boa con-cordância com os resultados experimentais. A flecha imediata (início do carregamento) foi bemaproximada e para as demais idades os valores de flecha obtidos foram próximos dos valores ex-perimentais, ocorrendo distanciamento entre os resultados a idades acima de 150 dias para flechasmenores que as experimentais.

Para essa viga, o procedimento EC2 também apresentou boa proximidade com resultados ex-perimentais, indicando comportamento mais rígido (menores flechas) para idades acima de 150dias.

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Tabela 5.16: Propriedades mecânicas do concreto das vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004)utilizadas pelos procedimentos

Procedimento fc,14 (MPa) fck,14 (MPa) fct,14 (MPa) fct, f l,14 (MPa) Ecm,14 (GPa)FLECHA-T 18,3 - 1,8 - 24,0NBR6118 - 11,7 1,8 - 15,9

EC2 18,3 - - 2,3 24,0

O procedimento NBR6118 gerou boa estimativa da flecha imediata, porém mostrou-se um mo-delo mais rígido para a viga B1-a, evidenciado pelas flechas menores obtidas para todas as idades,em comparação com os resultados experimentais.

Figura 5.12: Curva flecha-idade para viga B1-a ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004)


Figura 5.13: Curva flecha-idade para viga B1-b ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004)


Para a viga B1-b, o procedimento FLECHA-T inicialmente superestimou as flechas, aproximando-

78

se das flechas experimentais para idades acima de 250 dias.

O mesmo comportamento ocorreu para o procedimento EC2, inicialmente com flechas maiorespara idades iniciais e aproximando-se do modelo experimental após 250 dias de idade.

O procedimento NBR6118 superestimou a flecha imediata e depois apresentou comportamentorígido com flechas menores que as experimentais para as demais idades.


Para a viga B2-a, verifica-se que o procedimento numérico FLECHA-T apresentou boa con-cordância com os resultados experimentais. A flecha imediata (início do carregamento) foi bemaproximada e, novamente, para as demais idades os valores de flecha obtidos foram próximos dosvalores experimentais, ocorrendo distanciamento entre os resultados a idades acima de 150 diaspara flechas menores que as experimentais.

Para essa viga, o procedimento EC2 também apresentou boa proximidade com resultados ex-perimentais, indicando comportamento mais rígido (menores flechas) para idades acima de 150dias.

O procedimento da norma brasileira estimou bem a flecha imediata, porém mostrou-se ummodelo mais rígido para a viga B2-a, evidenciado pelas flechas menores obtidas para todas asidades, em comparação com os resultados experimentais.

Figura 5.14: Curvas flecha-idade para viga B2-a ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004)


Para a viga B2-b, o procedimento FLECHA-T inicialmente superestimou as flechas, aproximando-se das flechas experimentais para idades acima de 250 dias.

O mesmo comportamento ocorreu para o procedimento EC2, inicialmente com flechas maiorespara idades iniciais e aproximando-se do modelo experimental após 250 dias de idade.

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Figura 5.15: Curvas flecha-idade para viga B2-b ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004)


O procedimento NBR6118 superestimou a flecha imediata e depois apresentou comportamentorígido com flechas menores que as experimentais para as demais idades.


Para a viga B3-a, verifica-se que o procedimento numérico FLECHA-T apresentou boa concor-dância com os resultados experimentais tanto na flecha imediata quanto para as demais idades.

O procedimento EC2 também apresentou boa proximidade com resultados experimentais, indi-cando comportamento mais rígido (menores flechas) para idades acima de 150 dias.

O procedimento da norma brasileira superestimou a flecha imediata, e mostrou resultados bas-tante próximos dos experimentais para as demais idades.

Figura 5.16: Curvas flecha-idade para viga B3-a ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004)


Para a viga B3-b, o procedimento FLECHA-T inicialmente superestimou a flecha imediata e as

80

Figura 5.17: Curvas flecha-idade para viga B3-b ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004)


flechas nas demais idades, indicando comportamento flexível em comparação ao modelo experi-mental.

O mesmo comportamento ocorreu para o procedimento EC2, superestimando as flechas tantoimediata quanto nas demais idades.

Para essa viga, o procedimento NBR6118 superestimou a flecha imediata e depois apresentoucomportamento rígido com flechas menores que as experimentais para as demais idades.

5.3.2 Vigas ensaiadas por Washa e Fluck

Washa e Fluck (1952) investigaram a influência da armadura de compressão no comportamentode vigas de concreto armado submetidas a cargas de longa duração. Seu programa experimentalcontou com 15 pares de vigas biapoiadas divididas em 5 grupos de acordo com a seção transversal(A, B, C, D e E). Os parâmetros que variaram entre cada grupo foram a seção transversal, o vãoe a carga solicitante. Na Figura 5.18 são apresentados o esquema estrutural das vigas e a malhade 4 elementos adotada em termos do vão l. Os valores da carga q e do vão l são apresentados naTabela 5.17.

Tabela 5.17: Vãos e cargas dos grupos de vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952)

Grupo l (m) q (kN/m)A 6,10 5,5B 6,10 1,6C 6,34 1,2D 3,81 3.3E 5,33 0,6

Cada grupo contou com três taxas de armadura de compressão: vigas 1 e 4 com ρ ′ = ρ , vigas

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Figura 5.18: Esquema estrutural das vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952) e malha adotadapara análise

Fonte: adaptado de Washa e Fluck (1952)

2 e 5 com ρ ′ = ρ/2 e vigas 3 e 6 com ρ ′ = 0, onde ρ e ρ ′ são as taxas de armadura de tração e decompressão, respectivamente. Na Figura 5.19 são apresentada as seções transversais de cada grupoe armaduras adotadas.

De maneira geral, a taxa de armadura de tração foi de 1,6% para todas as vigas. Dessa forma,as taxas de armadura de compressão foram de 1,6% para as vigas 1 e 4, 0,8% para as vigas 2 e 5 enula para as vigas 3 e 6, de cada grupo.

As propriedades mecânicas do concreto fornecidas por Washa e Fluck (1952) foram a resistên-cia média à compressão e o módulo de deformação longitudinal secante, ambas aos 14 dias de idade(início do carregamento). Dessa forma, a resistência média à tração e a resistência característica àcompressão necessitaram ser estimadas conforme procedimentos apresentados previamente. Parao cálculo de fck utilizou-se o desvio-padrão de 4,0 MPa (Tabela 5.2) devido ao controle empregadoao concreto.

Nas Tabelas 5.18, 5.19 e 5.20 são apresentadas as propriedades mecânicas do concreto utiliza-das pelos procedimentos FLECHA-0, NBR6118 e EC2, respectivamente.

Tabela 5.18: Propriedades mecânicas do concreto à idade de 14 dias utilizados em FLECHA-T

Grupo fc,14 (MPa) fct,14 (MPa) Ecm,14 (GPa)A 25,0 2,0 20,4B 20,8 1,6 18,8C 20,3 1,6 18,4D 20,8 1,6 18,4E 20,6 1,6 18,5

82

Figura 5.19: Seções transversais das vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952)

Fonte: adaptado de Washa e Fluck (1952)

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Tabela 5.19: Propriedades mecânicas do concreto à idade de 14 dias utilizados em NBR6118

Grupo fc,14 (MPa) fct,14 (MPa) Ecm,14 (GPa)A 18,4 2,1 20,4B 14,2 1,8 18,8C 13,7 1,7 18,4D 14,2 1,8 18,4E 14,0 1,7 18,5

Tabela 5.20: Propriedades mecânicas do concreto à idade de 14 dias utilizados em EC2

Grupo fc,14 (MPa) fct, f l,14 (MPa) Ecm,14 (GPa)A 25,0 2,6 20,4B 20,8 2,3 18,8C 20,3 2,4 18,4D 20,8 2,4 18,4E 20,6 2,5 18,5

Na Tabela 5.21 são apresentadas as propriedades mecânicas das barras de aço utilizadas nasvigas analisadas de acordo com o diâmetro φ .

Tabela 5.21: Propriedades mecânicas das barras de aço utilizadas nas armaduras

φ (mm) fy (MPa) Es (GPa)19 350,9 206,816 324,1 206,8

12,5 351,6 206,810 387,5 206,8

As vigas foram solicitadas a cargas uniformemente distribuídas com início de carregamentoaos 14 dias de idade e duração de 2,5 anos. As condições ambientais não foram controladas, sendorelatada variação da temperatura entre 21 °C a 29 °C e variação da umidade relativa do ar de 20%a 80%.

Os valores do coeficiente de fluência ϕ (t, t0) e da deformação de retração εcs estimados peloprocedimento do Eurocode 2 (2004) (Anexo A do presente trabalho) para a idade de 927 dias, cor-respondente à idade de 2,5 anos após o início do carregamento, são apresentados na Tabela 5.22.Como não foi apresentado um histórico da umidade relativa do ar pelos autores do trabalho expe-rimental, utilizou-se a recomendação dada por Espion (1988), o qual também utilizou o trabalhode Washa e Fluck (1952) para comparação, para que fosse adotado um valor médio de 50% para aumidade relativa do ar.

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Tabela 5.22: Coeficiente de fluência e deformação de retração estimados pelo procedimento doEurocode 2 (2004) para idade de 927 dias

Grupo ϕ (t, t0) εcs(×10−3)A 2,65 5,21B 3,06 5,68C 3,11 5,71D 2,95 5,61E 3,16 5,67

Os resultados apresentados por Washa e Fluck (1952) foram de flecha imediata e flecha diferidaapós 2,5 anos de carregamento, sendo a flecha diferida a diferença entre a flecha total e a flechaimediata. Dessa forma, foram calculadas apenas as flechas imediatas (δt0- aos 14 dias de idade) eflechas totais (δt - aos 927 dias de idade) para os 15 pares de vigas pelos procedimentos FLECHA-

T, NBR6118 e EC2, não sendo possível traçar as curvas flecha-idade para tais vigas. Os resultadossão resumidos na Tabela 5.23.

De maneira geral, observa-se que os três procedimentos numéricos apresentaram boa concor-dância com os resultados experimentais de flecha imediata e resultados satisfatórios para as flechastotais, entretanto, estes últimos foram subestimados quando comparados aos valores experimentais.

Tabela 5.23: Flechas imediatas e totais: experimentais de Washa e Fluck (1952) e calculadas.Valores em milímetros.

VigasFlecha (mm)

Experimental FLECHA-T NBR6118 EC2δt0 δt δt0 δt δt0 δt δt0 δt

A1 e A4 13,46 23,62 14,02 23,36 15,46 26,25 13,75 20,36A2 e A5 15,75 32,26 14,87 29,76 16,05 30,82 14,52 27,02A3 e A6 17,02 44,70 15,97 39,06 16,84 38,22 15,49 39,80B1 e B4 23,37 51,05 26,31 44,21 26,86 45,53 24,40 42,41B2 e B5 24,89 65,02 26,92 54,27 27,27 51,75 25,04 51,92B3 e B6 26,42 86,36 27,75 71,73 27,81 63,10 25,85 72,00C1 e C4 40,13 80,01 43,18 73,12 45,21 76,76 40,03 64,02C2 e C5 43,43 100,58 44,72 90,80 46,37 88,15 41,61 82,76C3 e C6 47,75 140,72 46,89 120,83 47,96 108,83 43,64 122,57D1 e D4 11,94 27,69 15,73 26,23 16,39 27,82 14,62 23,71D2 e D5 14,22 33,78 16,29 32,45 16,80 31,94 15,19 29,88D3 e D6 17,78 48,51 17,07 42,49 17,37 39,42 15,93 43,59E1 e E4 59,44 123,95 53,80 91,27 55,29 94,36 48,08 83,82E2 e E5 55,88 128,78 54,93 111,79 56,03 106,84 49,38 105,17E3 e E6 62,99 184,91 56,46 146,30 57,02 129,39 51,01 146,37

85

5.3.3 Análise dos resultados

Analisando-se as vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004), de maneira geral, o procedi-mento numérico FLECHA-T demonstrou boa concordância, com resultados melhores para nível decarregamento de 50% do carregamento de ruína, referente às vigas do tipo “a” , nos quais o com-portamento foi bem aproximado para todas as idades, conforme se verifica nas Figuras 5.12, 5.14e 5.16. Para a vigas solicitadas a 30% do carregamento de ruína (tipo “b”), notou-se que o proce-dimento FLECHA-T superestimou as flechas em, praticamente, todas as idades sob carregamento,conforme Figuras 5.13, 5.15 e 5.17.

Ainda, pela análise do comportamento das curvas flecha-idade geradas pelo FLECHA-T, verifica-se uma tendência de menor crescimento da flecha para idades acima de 150 dias para todas as vigas,em comparação com os resultados experimentais.

O procedimento EC2 gerou resultados com bastante proximidade aos resultados experimentaisde todas as vigas. Notou-se também a mesma mudança de tendência das flechas a partir da idadede 150 dias.

Do procedimento da norma brasileira, em geral, resultaram flechas imediatas superiores aosvalores experimentais para todas as vigas. Notou-se, no entanto, que as flechas foram subesti-madas para as demais idades pelo procedimento NBR6118. Apenas para a viga B3-a houve boaaproximação com os resultados experimentais para flecha total.

Na Tabela 5.24 são apresentadas as flechas imediatas δt0 , relativas à data de carregamento (14dias de idade), e as flechas finais δt , observadas à idade de 394 dias, assim como a razão entreflecha final e flecha imediata para cada viga, obtidas do trabalho experimental e dos procedimentosanalisados.

Analisando-se as razões entre flecha final e inicial, verifica-se que, para os modelos experimen-tais, as vigas solicitadas a 50% do carregamento de ruína (tipo “a”) apresentaram razão de flechasem torno de 2,4, enquanto que as vigas solicitadas a 30% do carregamento de ruína (tipo “b”)apresentaram razão de flechas em torno de 3,8.

Os resultados gerados pelo procedimento FLECHA-T geraram razões de flechas em torno de2,1 para as vigas solicitadas a 50% do carregamento de ruína (tipo “a”) e em torno de 3,0 para asvigas solicitadas a 30% do carregamento de ruína (tipo “b”).

O procedimento NBR6118 apresentou razões de flechas iguais a 1,9 tanto para as vigas do tipo“a” quanto do tipo “b”. Isso se explica pelo fato da formulação utilizada por esse procedimentose basear basicamente no intervalo de tempo analisado. Sendo assim, o fator que majora a flechaimediata foi igual para todas as vigas.

O procedimento EC2 apresentou razões de flecha em torno de 2,2 para as vigas do tipo “a” e

86

Tabela 5.24: Flechas iniciais e totais para as vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004)

ModeloViga

B1-a B1-b B2-a B2-b B3-a B3-bExperimental δt0(mm) 4,95 1,98 5,03 2,06 5,81 1,97

Gilbert e Nejadi δt (mm) 12,06 7,44 12,42 7,87 13,30 7,90(2004) δt/δt0 2,4 3,8 2,5 3,8 2,3 4,0

FLECHA-Tδt0(mm) 5,03 2,37 5,18 2,60 6,12 2,91δt (mm) 11,32 7,38 11,56 7,84 13,13 8,60

δt/δt0 2,3 3,1 2,2 3,0 2,1 3,0

NBR6118δt0(mm) 5,36 2,35 5,88 2,86 7,05 3,65δt (mm) 10,40 4,55 11,40 5,55 13,68 7,07

δt/δt0 1,9 1,9 1,9 1,9 1,9 1,9

EC2δt0(mm) 4,94 2,26 5,16 2,51 5,92 2,86δt (mm) 11,22 7,11 11,44 7,44 12,81 8,08

δt/δt0 2,3 3,1 2,2 3,0 2,2 2,8

em torno de 3,0 paras vigas do tipo “b”.

Na Tabela 5.25 são apresentados os erros relativos médios para os resultados obtidos pelos pro-cedimentos analisados comparativamente aos resultados experimentais de Gilbert e Nejadi (2004).

Verifica-se que, para as vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004), a menor média de errosrelativos médios foi obtida pelo procedimento FLECHA-T, igual a 8,9%, com variação de 3,1% a20,8%. Ainda, observa-se que os menores erros relativos médios ocorreram na análise das vigas dotipo “a” (solicitadas a 50% de sua carga de ruína). Esse mesmo comportamento se repetiu para osoutros procedimentos numéricos investigados. Novamente, o procedimento NBR6118 apresentouos maiores erros obtidos, tanto para as vigas do tipo “a” quanto para as vigas do tipo “b”.

Tabela 5.25: Erros relativos médios para flechas totais em comparação com resultados de Gilbert eNejadi (2004)

VigaErro relativo médio (%)

FLECHA-T NBR6118 EC2B1-a 5,9 16,3 1,8B1-b 7,2 27,3 15,8B2-a 5,8 11,1 2,2B2-b 10,3 20,1 16,3B3-a 3,1 4,9 2,2B3-b 20,8 17,7 24,5

Média dos erros relativos médios (%) 8,9 16,2 10,5

Na Tabela 5.26 são apresentadas as razões entre flecha final e inicial para os resultados experi-

87

mentais e numéricos na análise das vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952).

Observa-se que os resultados numéricos apresentaram um padrão para as razões de flecha, sendoque o procedimento FLECHA-T gerou flechas com razão em torno de 1,7 para vigas 1 e 4 (ρ ′ = ρ),2,0 para vigas 2 e 5 (ρ ′ = ρ/2) e 2,5 para vigas 3 e 6 (ρ ′ = 0). Analogamente, o procedimento EC2apresentou razões em torno de 1,6 para vigas 1 e 4, 2,0 para vigas 2 e 5 e 2,8 para vigas 3 e 6. Já oprocedimento NBR6118 apresentou razões de 1,7 para vigas 1 e 4, 1,9 para vigas 2 e 5 e 2,3 paravigas 3 e 6. Os resultados experimentais, entretanto, não apresentaram tal padrão de razões entreflechas total e imediata de acordo com as taxas de armadura de compressão das vigas.

Deve-se ressaltar que esse padrão de razões de flechas era esperado para o procedimento NBR6118devido à sua formulação para cálculo da flecha total se basear em um fator para majoração da fle-cha imediata, o qual depende apenas do intervalo de tempo analisado e da taxa de armadura decompressão, conforme exposto na Subseção 3.3.1.

Tabela 5.26: Razões entre flechas total e imediata (experimentais de Washa e Fluck (1952) e nu-méricas)

Vigasδt/δt0

Experimental FLECHA-T NBR6118 EC2A1 e A4 1,75 1,67 1,70 1,48A2 e A5 2,05 2,00 1,92 1,86A3 e A6 2,63 2,45 2,27 2,57B1 e B4 2,18 1,68 1,70 1,74B2 e B5 2,61 2,02 1,90 2,07B3 e B6 3,27 2,58 2,27 2,79C1 e C4 1,99 1,69 1,70 1,60C2 e C5 2,32 2,03 1,90 1,99C3 e C6 2,95 2,58 2,27 2,81D1 e D4 2,32 1,67 1,70 1,62D2 e D5 2,38 1,99 1,90 1,97D3 e D6 2,73 2,52 2,27 2,74E1 e E4 2,09 1,70 1,71 1,74E2 e E5 2,30 2,04 1,91 2,13E3 e E6 2,94 2,59 2,27 2,87

Através desses resultados (Tabela 5.26), também verifica-se que o procedimento FLECHA-

T levou em consideração a influência da taxa de armadura de compressão na análise de efeitosdiferidos, uma vez que as razões entre flechas para as vigas com armadura de compressão igual àarmadura de tração (vigas 1 e 4) foram inferiores às razões obtidas para as vigas com armadurade compressão igual à metade da armadura de tração (vigas 2 e 5), as quais, analogamente, foram

88

inferiores às razões obtidas para as vigas sem armadura de compressão (vigas 3 e 6). O mesmocomportamento foi observado para os procedimentos NBR6118 e EC2.

Na Tabela 5.27 são apresentados os erros relativos dos resultados obtidos pelos procedimentosnuméricos em comparação com os resultados experimentais de flechas totais.

Pode-se observar que o procedimento FLECHA-T apresentou média de erros satisfatória paraflechas totais (12,1%), a qual foi a menor média de erros dentre os procedimentos numéricos ana-lisados quando comparados aos resultados experimentais.

Verifica-se que o procedimento numérico FLECHA-T subestimou as flechas totais, constatadopelos valores negativos dos erros relativos aos valores experimentais apresentados na Tabela 5.27.De maneira geral, os demais procedimentos numéricos também subestimaram as flechas totais,sendo que somente o procedimento NBR6118 gerou resultados superiores aos resultados experi-mentais em dois dos 15 pares de vigas analisados (A1 e A4 e D1 e D4).

Tabela 5.27: Erros relativos médios para flechas imediatas e totais em comparação com resultadosde Washa e Fluck (1952)

VigasErro relativo (%)

FLECHA-T NBR6118 EC2A1 e A4 -1,1 11,1 -13,8A2 e A5 -7,7 -4,5 -16.2A3 e A6 -12,6 -14,5 -11,0B1 e B4 -13,4 -10,8 -16,9B2 e B5 -16,5 -20,4 -20,2B3 e B6 -16,9 -26,9 -16,6C1 e C4 -8,6 -4,1 -20,0C2 e C5 -9,7 -12,4 -17,7C3 e C6 -14,3 -22,7 -12,9D1 e D4 -5,3 0,5 -14,4D2 e D5 -3,9 -5,5 -11,6D3 e D6 -11,5 -18,8 -10,2E1 e E4 -26,4 -23,9 -32,4E2 e E5 -13,2 -17,0 -18,3E3 e E6 -20,9 -30,0 -20,8Média 12,1 14,9 16,9

89

90

6. ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA TAXA DE ARMADURA

Motivado pela diferença de comportamento dos resultados do procedimento da norma ABNTNBR 6118 (2014) observada na comparação com o modelo experimental de Piancastelli (1997),relativamente às demais comparações com modelos experimentais, decidiu-se fazer uma análiseparamétrica do procedimento adotado pela norma brasileira a fim de se investigar possíveis causaspara tal mudança de comportamento.

De posse de literatura sobre o modelo de Branson, o qual foi adotado pela norma brasileira,verificou-se que o tipo de carregamento e a taxa de armadura longitudinal de tração são parâmetrosjá investigados e que comprovadamente exercem influência sobre o modelo. Portanto, sendo que adiferença observada na Seção 5.2 ocorreu para o mesmo tipo de carregamento (flexão a 4 pontos),decidiu-se analisar a influência da taxa de armadura tracionada no modelo de Branson em vigassob flexão a 4 pontos.

6.1 Aspectos Gerais

A norma brasileira ABNT NBR 6118 (2014) adota o método proposto por Branson (1963,apud BRANSON, 1977) para o cálculo do momento de inércia efetivo em vigas de concreto armadofissuradas, na determinação de flechas. A seguir é apresentada a fundamentação originalmenteutilizada pelo referido autor.

Branson (1963, apud BRANSON, 1977) apresentou um método para cálculo do momento deinércia efetivo Ie f de seção fissurada de viga de concreto armado solicitada a um momento fletorM, de modo que seja igual ao momento de inércia da seção não fissurada II (Estádio I) quando omomento fletor solicitante é menor que o momento de fissuração, e tenda ao momento de inérciada seção fissurada III (Estádio II) quando o momento fletor solicitante for grande em comparaçãocom o momento de fissuração. Assim, em uma seção que atua um momento fletor maior que omomento de fissuração Mcr, o momento de inércia efetivo seria dado por

Ie f =

(Mcr

M

)m

II +

[1−(

Mcr

M

)m]III (6.1.1)

onde m é um expoente desconhecido.

Inicialmente, através da aplicação de um procedimento numérico aliado a resultados experi-mentais de 58 vigas, o autor chegou ao expoente m igual a 4. Assim, a expressão 6.1.1 assumiu aforma:

Ie f =

(Mcr

M

)4

Ic +

[1−(

Mcr

M

)4]

III (6.1.2)

91

onde Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto, utilizado no lugar de II . A Equação 6.1.2é aplicada para o cálculo de momento de inércia efetivo em seções individuais, ou seja, é calculadoo momento de inércia apenas para a seção solicitada pelo momento fletor M.

Posteriormente, o autor determinou uma expressão similar à Equação 6.1.2, porém com expo-ente igual a 3, sendo utilizada para o cálculo de um valor médio de momento de inércia efetivo paravigas simplesmente apoiadas (ou entre pontos de inflexão de vigas contínuas)

Ie f =

(Mcr

Ma

)3

Ic +

[1−(

Mcr

Ma

)3]

III (6.1.3)

onde Ma é o momento máximo na viga na situação em que a flecha será calculada.

Da Equação 6.1.3, observa-se que para, a razão Mcr/Ma menor ou igual a 1/3, o valor domomento de inércia equivalente Ie f é aproximadamente igual ao momento de inércia do estadofissurado III .

Segundo Branson (1977), em caso de carregamentos concentrados de grande intensidade,aconselha-se utilizar a expressão da Equação 6.1.2 aliada a um procedimento numérico ao invésdo valor médio fornecido pela Equação 6.1.3, pois esta foi definida para carregamento uniforme-mente distribuído.

A norma brasileira ABNT NBR 6118 (2014) adotou a Equação 6.1.3 para ser utilizada nocálculo aproximado de flecha em vigas de concreto armado. Desde sua criação, o modelo deBranson foi adotado por diversas normas internacionais e é estudado e criticado desde então.

Al-Zaid, Al-Shaikh e Abu-Hussein (1991) investigaram a influência do tipo de carregamentono procedimento de Branson descrito pela Equação 6.1.3, adotado pelo ACI Building Code paracálculo do momento de inércia efetivo de vigas de concreto armado fissuradas. Foram analisadosexperimentalmente quatro tipos de carregamento: flexão a 3 pontos, flexão a 4 pontos, carrega-mento uniformememnte distribuído e carregamento uniformemente distribuído combinado a cargaconcentrada no meio no vão. Verificou-se que o momento de inércia efetivo é afetado significati-vamente pelo tipo de carregamento, sendo que, para o mesmo valor de momento fletor máximo, omomento de inércia efetivo de vigas sob flexão a 3 pontos obtido experimentalmente foi, aproxi-madamente, 20% maior que o valor obtido em vigas sob carga uniforme. Os autores propuseramum novo modelo que leva em consideração o comprimento fissurado da viga, ou seja, o compri-mento do trecho da viga em que o momento fletor solicitante é superior ao momento de fissuração,para o cálculo do momento de inércia efetivo. O modelo foi validado através da comparação comresultados experimentais, a qual indicou boa concordância para diferentes tipos de carregamento.

Al-Shaikh e Al-Zaid (1993) avaliaram os efeitos da taxa geométrica de armadura tracionada

92

na determinação do momento de inércia efetivo em vigas retangulares de concreto armado fissu-radas. Foram feitas comparações entre modelos experimentais de vigas sob flexão a 3 pontos comtaxas geométricas diferentes (0,8% para vigas levemente armadas, 1,4% para vigas normalmentearmadas e 2,0% para vigas altamente armadas) e o modelo analítico de Branson (Equação 6.1.3),recomendado pelo ACI Building Code (1971), para determinação de momento de inércia efetivo.Tais comparações indicaram diferenças significativas entre os resultados experimentais e analíticos,principalmente para vigas com taxa de armadura elevada, sendo observados valores experimentaisaté 40% maiores que os valores analíticos. Foi também analisada a influência da consideração domomento de inércia da seção não-fissurada homogeneizada (considerando a presença das armadu-ras) em substituição ao momento de inércia da seção bruta de concreto na equação e se verificouque tal alteração não resultou melhora significativa na estimativa do momento de inércia efetivode seções altamente armadas. Os autores propuseram um novo modelo para cálculo do momentode inércia efetivo de vigas fissuradas submetidas a carregamento simétrico que considera tanto ocomprimento fissurado da viga como a taxa de armadura tracionada, o qual apresentou boa concor-dância com os resultados experimentais.

Segundo Ghali (1993), o procedimento de Branson para cálculo de flechas em vigas de con-creto armado fissuradas considerando o momento de inércia efetivo foi adotado pelas normas ame-ricana e canadense, apresentando bons resultados em alguns casos. Em outros casos, as flechasestimadas podem apresentar erros significativos, como, por exemplo, em situações de: baixa taxade armadura, taxa variável de armadura, momento fletor máximo não substancialmente maior queo momento de fissuração e momento fletor constante em grande parte da viga. O autor sugeriu ummétodo alternativo para o cálculo de flecha em vigas utilizando valores médios de curvatura, o qualdispensa o uso do momento de inércia efetivo.

Fikry e Thomas (1998) afirmaram que para carregamentos não-uniformes e/ou baixas taxas dearmadura, o modelo de Branson para cálculo de momento de inércia efetivo pode resultar em errosexpressivos. Embora o modelo tenha sido empregado por diversas normas, os autores discordaramde sua formulação e resultados, uma vez que o modelo foi obtido de resultados experimentais devigas submetidas a carregamento uniforme, sendo possível encontrar casos em que os resultadossão inconsistentes e geram erros de até 100%; o cálculo do momento de inércia da seção fissurada(III) pode ser complexo e o tempo gasto muitas vezes não justifica a precisão no resultado final.

No presente trabalho, foram analisados quatro modelos de vigas sob flexão a 4 pontos a fim decompreender a influência da taxa de armadura longitudinal na equação de Branson (Equação 6.1.3).Definiram-se doze taxas de armadura tracionada, mantendo-se as demais propriedades geométricase mecânicas inalteradas, em cada modelo. Foram realizadas comparações de resultados de fle-chas imediatas calculadas pelos procedimentos das normas ABNT NBR 6118 (2014) (equação de

93

Branson) e Eurocode 2 (2004) e pelo procedimento numérico FLECHA-0 para análise não-linearde vigas de concreto armado, o qual foi utilizado como referência.

6.2 Metodologia

Para avaliar o efeito da taxa geométrica de armadura tracionada no cálculo de flechas peloprocedimento recomendado pela norma ABNT NBR 6118 (2014) , a qual utiliza a formulaçãoproposta por Branson, foram analisados quatro modelos de viga sob flexão a 4 pontos: Modelo 1,Modelo 2, Modelo 3 e Modelo 4.

Foram definidas doze taxas de armadura tracionada, variando de 0,2% a 2,0%, e calculadas asrespectivas áreas de armadura tracionada para cada modelo, totalizando 48 vigas analisadas. Paracada seção também foi calculada a carga teórica de ruína Pu. As cargas aplicadas foram de 0 a,aproximadamente, 90% do valor de Pu, a fim de se garantir que os resultados dos procedimentossejam válidos.

O estudo foi realizado através da comparação dos resultado obtidos pelo procedimento propostopela norma ABNT NBR 6118 (2014) (aqui denominado NBR6118) com os resultados obtidos peloprocedimento FLECHA-0.

Os resultados são apresentados em curvas carga-flecha para cada modelo de viga analisado.Também comparou-se o procedimento recomendado pela norma europeia Eurocode 2 (2004) (aquidenominado EC2) a fim de se verificar uma possível mudança no comportamento em função da taxade armadura empregada.

Utilizou-se a seguinte equação para cálculo da taxa geométrica de armadura tracionada

ρ =As

bd(6.2.1)

onde ρ é a taxa geométrica de armadura tracionada, As é a área de armadura tracionada, b é alargura da viga e d é a altura útil da viga, relativa ao baricentro da armadura de tração.

As propriedades mecânicas do concreto e do aço foram iguais para todos os modelos, conformeTabela 6.1

Tabela 6.1: Propriedades mecânicas do concreto e do aço das vigas do Modelo 1

fck (MPa) fy (MPa) Es (GPa) f ′y (MPa) E ′s (GPa)30 500 210 500 210

A notação empregada para as propriedades geométricas e mecânicas e para o esquema estáticoadotado estão esquematizadas na Figura 6.1.

94

Em cada modelo, a área de armadura de compressão A′s foi adotada como igual à armadura detração referente à taxa de 0,20%.

Figura 6.1: Seção transversal e esquema estático para as vigas analisadas


6.2.1 Modelo 1

No Modelo 1 (M1) , as vigas apresentam vão de 4,00 m e distância do apoio ao ponto deaplicação da carga concentrada de 1,50 m.

Na Tabela 6.2 são apresentadas as propriedades geométricas das vigas do Modelo 1.

Tabela 6.2: Propriedades geométricas das vigas do Modelo 1

bw (mm) h (mm) d (mm) d′ (mm) A′s(mm2) L1 (mm) L2 (mm)150 450 420 30 126 1500 1000

Os dados necessários aos procedimentos são expostos na Tabela 6.3.

Tabela 6.3: Dados necessários aos procedimentos - Modelo 1


EC2 38,0 - - 3,3 32,8

Na Tabela 6.4 são apresentados os valores de armadura de tração de acordo com cada taxa dearmadura empregada. Também são apresentados os valores de carga teórica de ruína calculadospara cada viga.

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Tabela 6.4: Armadura de tração e carga de ruína das vigas do Modelo 1

Viga ρ (%) As (mm2) Pu (kN)M1-a 0,20 126 17,3M1-b 0,30 189 25,7M1-c 0,40 252 33,9M1-d 0,50 315 42,0M1-e 0,60 378 50,0M1-f 0,70 441 57,9M1-g 0,80 504 65,7M1-h 0,90 567 73,4M1-i 1,00 630 81,0M1-j 1,20 756 95,9M1-k 1,50 945 116,4M1-l 2,00 1260 147,1

6.2.2 Modelo 2

No Modelo 2 (M2), as vigas apresentam vão de 3,00 m e distância do apoio ao ponto de apli-cação da carga concentrada de 0,90 m.







EC2 38,0 - - 3,8 32,8


96

Tabela 6.7: Armadura de tração das vigas do Modelo 2


6.2.3 Modelo 3








EC2 38,0 - - 3,2 32,8


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6.2.4 Modelo 4








EC2 38,0 - - 3,6 32,8


98



6.3 Resultados

6.3.1 Taxa de armadura 0,20%

Na Figura 6.2 são apresentadas as curvas carga-flecha para as vigas dos 4 modelos com taxa dearmadura tracionada de 0,20%.

Verifica-se que o procedimento NBR6118 gerou flechas menores no Estádio II do que o proce-dimento FLECHA-0 para os quatro modelos analisados, caracterizando um modelo mais rígido queo modelo proposto neste trabalho. Os resultados do procedimento NBR6118 no Estádio II indicamdiferença relativa em torno de -65% em relação ao procedimento FLECHA-0.

Observa-se que as cargas de fissuração ocorrem entre 75% a 80% de Pu para o procedimentoFLECHA-0, aproximadamente 85% de Pu para o procedimento NBR6118 e entre 65% e 80% dacarga de ruína para o procedimento EC2.

99

Figura 6.2: Curva carga-flecha para taxa de 0,20%: (a) M1-a, (b) M2-a, (c) M3-a e (d) M4-a

(a) (b)

(c) (d)




Verifica-se que o procedimento NBR6118 gerou flechas menores do que o procedimento FLECHA-

0 no Estádio II para os quatro modelos analisados, caracterizando um modelo mais rígido que omodelo proposto neste trabalho. Os resultados do procedimento NBR6118 no Estádio II indicamdiferença relativa em torno de -45% comparativamente ao procedimento FLECHA-0.

Observa-se, ainda, que as cargas de fissuração ocorrem entre 50% e 55% de Pu para o proce-dimento FLECHA-0, aproximadamente 60% de Pu para o procedimento NBR6118 e entre 45% e53% da carga de ruína para o procedimento EC2.

100

Figura 6.3: Curva carga-flecha para taxa de 0,30%: (a) M1-b, (b) M2-b, (c) M3-b e (d) M4-b

(a) (b)

(c) (d)




Verifica-se que o procedimento NBR6118 gerou flechas menores do que o procedimento FLECHA-

0 no Estádio II para os quatro modelos analisados, caracterizando um modelo mais rígido que omodelo proposto neste trabalho. Os resultados do procedimento NBR6118 no Estádio II indicamdiferença relativa em torno de -30% em relação ao procedimento FLECHA-0.

Observa-se que as cargas de fissuração ocorrem entre 37% e 43% de Pu para o procedimentoFLECHA-0, entre 40% e 45% de Pu para o procedimento NBR6118 e entre 35% e 40% da carga deruína para o procedimento EC2.

101

Figura 6.4: Curva carga-flecha para taxa de 0,40%: (a) M1-c, (b) M2-c, (c) M3-c e (d) M4-c

(a) (b)

(c) (d)




Verifica-se que o procedimento NBR6118 apresentou resultados próximos aos resultados doprocedimento FLECHA-0 no Estádio II para os quatro modelos analisados, mas ainda manteveum comportamento mais rígido. Os resultados do procedimento NBR6118 no Estádio II indicamdiferença relativa em torno de -15% comparativamente ao procedimento FLECHA-0.

Observa-se que as cargas de fissuração ocorrem entre 30% a 35% de Pu para os três procedi-mentos analisados.

102

Figura 6.5: Curva carga-flecha para taxa de 0,50%: (a) M1-d (b) M2-d, (c) M3-d e (d) M4-d

(a) (b)

(c) (d)




Verifica-se que o procedimento NBR6118 apresentou boa concordância com os resultados doprocedimento FLECHA-0 no Estádio II para os quatro modelos analisados. Os resultados do proce-dimento NBR6118 no Estádio II indicam diferença relativa que variam de -15% a +3% em relaçãoao procedimento FLECHA-0.

Observa-se que as cargas de fissuração em, aproximadamente, 30% de Pu para os três procedi-mentos analisados.

103

Figura 6.6: Curva carga-flecha para taxa de 0,60%: (a) M1-e, (b) M2-e, (c) M3-e e (d) M4-e

(a) (b)

(c) (d)




Verifica-se que o procedimento NBR6118 apresentou boa concordância com os resultados doFLECHA-0 no Estádio II para os quatro modelos analisados. Os resultados do procedimentoNBR6118 no Estádio II indicam diferença relativa em torno de +4% comparativamente ao pro-cedimento emphFLECHA-0.

Observa-se que as cargas de fissuração ocorrem em, aproximadamente, 25% de Pu para os trêsprocedimentos analisados.

104

Figura 6.7: Curva carga-flecha para taxa de 0,70%: (a) M1-f, (b) M2-f, (c) M3-f e (d) M4-f

(a) (b)

(c) (d)




Verifica-se que o procedimento NBR6118 apresentou boa concordância com os resultados doFLECHA-0 no Estádio II para os quatro modelos analisados. Os resultados do procedimentoNBR6118 no Estádio II indicam diferença relativa em torno de +7% em relação ao procedimentoFLECHA-0.


105

Figura 6.8: Curva carga-flecha para taxa de 0,80%: (a) M1-g, (b) M2-g, (c) M3-g e (d) M4-g

(a) (b)

(c) (d)




Verifica-se que o procedimento NBR6118 apresentou boa concordância com os resultados doprocedimento FLECHA-0 no Estádio II para os quatro modelos analisados. Os resultados do pro-cedimento NBR6118 no Estádio II indicam diferença relativa em torno de +10% em relação aoprocedimento FLECHA-0.


106

Figura 6.9: Curva carga-flecha para taxa de 0,90%: (a) M1-h, (b) M2-h, (c) M3-h e (d) M4-h

(a) (b)

(c) (d)



Na Figura 6.10 são apresentadas as curvas carga-flecha para as vigas dos 4 modelos com taxade armadura tracionada de 1,00%.

Verifica-se que o procedimento NBR6118 apresentou boa concordância com os resultados doFLECHA-0 no Estádio II para os quatro modelos analisados. Os resultados do procedimentoNBR6118 no Estádio II indicam diferença relativa em torno de +12% em relação ao procedimentoFLECHA-0.


107

Figura 6.10: Curva carga-flecha para taxa de 1,00%: (a) M1-i, (b) M2-i, (c) M3-i e (d) M4-i

(a) (b)

(c) (d)




Verifica-se que o procedimento NBR6118 gerou flechas maiores do que o procedimento FLECHA-

0 no Estádio II para os quatro modelos analisados, caracterizando um modelo mais flexível que omodelo proposto neste trabalho. Os resultados do procedimento NBR6118 no Estádio II indicamdiferença relativa em torno de +16% em relação ao procedimento FLECHA-0.


108

Figura 6.11: Curva carga-flecha para taxa de 1,20%: (a) M1-j, (b) M2-j, (c) M3-j e (d) M4-j

(a) (b)

(c) (d)







109

Figura 6.12: Curva carga-flecha para taxa de 1,50%: (a) M1-k, (b) M2-k, (c) M3-k e (d) M4-k

(a) (b)

(c) (d)






Observa-se que as cargas de fissuração em, aproximadamente, 12% de Pu para os procedimentosFLECHA-0 e EC2. O procedimento NBR6118 apresentou cargas de fissuração pouco menores queos demais procedimentos, aproximadamente 10% da carga de ruína.

110

Figura 6.13: Curva carga-flecha para taxa de 2,00%: (a) M1-l, (b) M2-l, (c) M3-l e (d) M4-l

(a) (b)

(c) (d)


6.4 Análise dos resultados

No Estádio I, de maneira geral, verificou-se que o procedimento NBR6118 apresentou valoresde flecha sempre maiores que os procedimento FLECHA-0 e EC2 no Estádio I. Isso é consequênciada não consideração das armaduras longitudinais no cálculo do momento de inércia pelo procedi-mento da norma da brasileira. Além disso, a utilização de equações distintas para o cálculo do mó-dulo de deformação longitudinal secante (Ecm)do concreto pelas normas ABNT NBR 6118 (2014)e Eurocode 2 (2004) também interferiu nessa análise. Para a resistência característica à compressãodo concreto de 30 MPa utilizada nos modelos analisados, a expressão adotada pela norma brasileiragerou valor de Ecm (utilizada pelo procedimento NBR6118) inferior ao calculado pela expressão

111

norma europeia (adotada pelos procedimentos FLECHA-T e EC2). Esses dois fatores contribuírampara que os resultados do procedimento NBR6118 demonstrasse um comportamento mais flexívelque os demais procedimentos no Estádio I.

No Estádio II, pela análise das curvas carga-flecha das 48 vigas estudadas, verifica-se que parataxas de armadura entre 0,20% a 0,50%, o procedimento adotado pela norma brasileira mostrou-semais rígido que o procedimento FLECHA-0, uma vez que as flechas calculadas foram inferio-res. Também observou-se que, nesse intervalo de taxas, ocorreu atraso na fissuração pelo procedi-mento NBR6118, caracterizado por cargas de fissuração superiores às observadas no procedimentoFLECHA-0. O procedimento EC2 apresentou boa concordância com os resultados do procedi-mento FLECHA-0, observando-se, no entanto, antecipação da fissuração para cargas menores doque as obtidas pelo procedimento numérico proposto neste trabalho.

Para taxas de armadura entre 0,60% e 1,00%, o procedimento da ABNT NBR 6118 (2014)apresentou boa concordância com o procedimento FLECHA-0. As flechas calculadas pelo proce-dimento EC2 também apresentaram boa concordância com o procedimento FLECHA-0. Para taxasde armadura acima de 0,50%, além dos valores de flecha próximos, ocorreu aproximação tambémdas cargas de fissuração obtidas pelos três procedimentos.

No intervalo com as taxas de armadura mais altas, entre 1,20% a 2,00%, verificou-se que o pro-cedimento NBR6118 gerou flechas maiores que o procedimento FLECHA-0, caracterizando ummodelo mais flexível para taxas de armadura mais altas. O procedimento da norma europeia conti-nuou apresentando boa concordância com o procedimento FLECHA-0. Nesse intervalo de taxa dearmadura, ainda houve concordância nos valores de carga de fissuração pelos três procedimentos,sendo que, para taxa de 2,00%, o procedimento NBR6118 apresentou carga de fissuração menorque os demais procedimentos (cerca de 2%). Isso se deve ao fato de que a equação do momento defissuração adotada por esse procedimento despreza a existência das armaduras longitudinais, redu-zindo o valor do momento de fissuração, fato que não ocorre nos outros procedimentos analisados.

Conforme apresentado na Seção 6.1, Branson (1963, apud BRANSON, 1977) propôs umaformulação para cálculo do momento de inércia efetivo da seção concreto que tendesse ao momentode inércia da seção no Estádio II puro quando o momento solicitante na seção fosse grande emcomparação ao momento de fissuração, sendo dado um exemplo que, para um momento solicitanteigual a três vezes o momento de fissuração, o momento de inércia efetivo é aproximadamenteigual ao momento de inércia no Estádio II puro. De fato, substituindo-se a razão Mcr/M por 1/3 naEquação 6.1.3, obtém-se

Ie f = 0,037Ic +0,963III (6.4.1)

Observando-se os valores de momento de fissuração em termos do momento teórico de ruína,

112

verifica-se que ocorreu uma variação de 80% a 10% para as taxas de armadura variando entre 0,20%e 2,00%, respectivamente. Na Tabela 6.14 são apresentados valores aproximados do momento defissuração em termos do momento de ruína obtidos pela análise gráfica das Figuras 6.2 a 6.13.Também são apresentados os valores de 3Mcr/Mu relativos ao momento solicitante para que se atinja96% do momento de inércia no Estádio II puro, conforme indicado na Equação 6.4.1.

Tabela 6.14: Taxa de armadura de tração, momento de fissuração, momento solicitante para atingir96% de III e momento de inércia efetivo

ρ (%) McrMu

3McrMu

Ie f

0,20 0,80 2,40

Ie f > III0,30 0,55 1,650,40 0,40 1,200,50 0,35 1,050,60 0,30 0,90

Ie f → III

0,70 0,25 0,750,80 0,23 0,690,90 0,20 0,601,00 0,18 0,541,20 0,15 0,451,50 0,12 0,362,00 0,10 0,30

Analisando-se a Tabela 6.14, verifica-se que, para taxas de armadura de tração entre 0,20% e0,50%, os valores de 3Mcr/Mu são superiores a 1, indicando que os momentos solicitantes para que omomento de inércia efetivo seja aproximadamente igual a 96% do momento de inércia no EstádioII puro são superiores ao momento teórico de ruína (Mu), de modo que é pouco provável que umaviga possa resistir a tal nível de solicitação. Observa-se que esse é o mesmo intervalo de taxa dearmadura de tração para o qual o procedimento da norma brasileira apresentou comportamentomais rígido que o procedimento FLECHA-0, conforme ilustrado nas Figuras 6.2 a 6.5.

Para as demais taxas de armadura (acima de 0,50%), os valores de 3Mcr/Mu são inferiores a 1,indicando que os momentos solicitantes iguais a três vezes o momento de fissuração são inferioresao momento de ruína, sendo provável que o momento de inércia efetivo tenda ao momento deinércia no Estádio II puro quando a viga for solicitada nesse nível de carga. Novamente, observa-seque o intervalo de taxa de armadura coincide com o intervalo no qual se observou boa concordânciadas flechas obtidas entre o procedimento recomendado pela ABNT NBR 6118 (2014) e os demaisprocedimentos analisados.

Assim, entende-se que as vigas analisadas com baixa taxa de armadura (entre 0,20% e 0,50%),

113

uma vez que passam rapidamente do Estádio I para o Estádio III, parecem não atender à propostada formulação de Branson (1963, apud BRANSON, 1977) para que o momento de inércia efetivotenda ao momento de inércia da seção fissurada ainda no Estádio II. Logo, tal procedimento, o qualé recomendado pela norma brasileira, aparenta possuir uma falha em sua formulação para vigaspouco armadas, podendo gerar resultados contra a segurança.

114

7. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Este estudo teve por objetivo o desenvolvimento de procedimentos numéricos para cálculo deflecha imediata e flecha total em vigas de concreto armado considerando a não-linearidade física,a colaboração do concreto tracionado entre fissuras e, quando significantes, os efeitos de fluência eretração do concreto. Foram então desenvolvidos os procedimentos FLECHA-0 e FLECHA-T.

A análise dos resultados obtidos pelo procedimento FLECHA-0, para cálculo de flecha ime-diata, retratou satisfatória concordância com o comportamento das vigas em estado fissurado eboa estimativa da carga de fissuração quando comparados aos 5 modelos experimentais analisados.Tais resultados foram obtidos para malhas pouco refinadas e análise das seções transversais em 15camadas, de forma que o procedimento numérico gerou boas estimativas do comportamento paravigas pouco discretizadas e em pouco tempo de processamento, mesmo para resolução do problemanão-linear através do método de Newton-Raphson com rigidez inicial constante.

Os procedimentos recomendados pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004),de modo geral, apresentaram resultados satisfatórios na avaliação de flecha imediata quando com-parados aos resultados experimentais, com boa estimativa da carga de fissuração e valores de fle-cha coerentes. No entanto, na comparação com o modelo experimental de Piancastelli (1997),verificou-se que os valores de flecha imediata no Estádio II obtidos pelo procedimento preconizadopela norma brasileira foram significativamente inferiores aos experimentais. Tal comportamentofoi distinto do que se verificou nas demais comparações e se constatou provável influência da taxade armadura de tração.

Essa constatação deu origem a uma análise comparativa entre o procedimento recomendadopela ABNT NBR 6118 (2014) e o procedimento FLECHA-0 para a avaliação da influência da taxade armadura de tração no cálculo de flechas imediatas. Os resultados indicaram a mesma tendên-cia de comportamento do procedimento da norma brasileira para os quatro modelos analisados:para baixas taxas de armadura, abaixo de 0,50%, observou-se um comportamento mais rígido emcomparação aos resultados do procedimento FLECHA-0; para taxas entre 0,60% e 1,00%, o com-portamento foi bastante próximo aos resultados do procedimento FLECHA-0; e acima de 1,00%,os resultados do procedimento da ABNT NBR 6118 (2014) indicaram um comportamento maisflexível quando comparado aos resultados do procedimento FLECHA-0. Verificou-se também queo momento de inércia efetivo de vigas com baixa taxa de armadura (abaixo de 0,50%) não tendemao momento de inércia da seção fissurada dentro do Estádio II, uma vez que nessas vigas ocorrerápida passagem do Estádio I para o Estádio III. O procedimento adotado pela norma europeiaEurocode 2 (2004) também foi comparado e não apresentou diferenças significativas de comporta-mento quando confrontado aos resultados gerados pelo procedimento FLECHA-0.

115

Para a análise de flecha total, foi desenvolvido o procedimento numérico FLECHA-T, o qual sebaseou na formulação proposta por Gilbert (2011) e procedeu-se uma análise comparativa a mode-los experimentais encontrados na literatura, com o total de 21 vigas solicitadas a carregamentos delonga duração. Os resultados dessa análise comparativa indicaram desempenho satisfatório do pro-cedimento FLECHA-T, com boa concordância das curvas flecha-idade e erros relativos aceitáveisna estimava de flecha total.

Analisando-se os procedimentos normativos para cálculo de flecha total, verificou-se que o pro-cedimento adotado pelo Eurocode 2 (2004) apresentou resultados satisfatórios quando comparadosaos resultados experimentais. O procedimento adotado pela norma brasileira ABNT NBR 6118(2014) apresentou resultados satisfatórios na comparação com os resultados da maioria dos mode-los experimentais analisados, porém constatou-se significativa diferença em relação aos resultadosexperimentais das vigas do tipo “b” ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004). Tal diferença indicaque tomar apenas o intervalo de tempo de carregamento como parâmetro para análise de flechatotal, tal qual o procedimento recomendado pela norma brasileira, pode não ser capaz de estimaradequadamente a flecha total.

Ainda em relação ao cálculo de flecha total, verificou-se que os três procedimentos analisados(FLECHA-T, da ABNT NBR 6118, 2014, e do EUROCODE 2, 2004) foram capazes de traduzir oinfluência da armadura de compressão na redução dos efeitos de fluência, conforme verificado nacomparação dos resultados numéricos com os resultados experimentais de Washa e Fluck (1952).

Em relação à implementação e à execução dos procedimentos numéricos, comparando-se osprocedimentos FLECHA-0 e do Eurocode 2 (2004), verificou-se que o procedimento da normaeuropeia é mais simples de ser implementado computacionalmente, entretanto, apresentou a des-vantagem de depender da escolha prévia de um ponto no qual se deseja calcular o deslocamentopara aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais. Para as vigas analisadas neste trabalho, devidoà simetria encontrada, o ponto central do vão foi de fácil escolha, entretanto, vigas com carrega-mentos não simétricos e diferentes condições de vinculação podem complicar tal escolha. Essadesvantagem não é encontrada no procedimento FLECHA-0, mas encontra-se presente no procedi-mento FLECHA-T.

Conclui-se, portanto, que os procedimentos numéricos desenvolvidos neste trabalho, denomi-nados FLECHA-0 e FLECHA-T, atenderam satisfatoriamente ao objetivo de calcular flechas paracargas de serviço de curta e de longa duração em vigas de concreto armado levando em conside-ração os efeitos da não-linearidade física, a colaboração do concreto tracionado entre fissuras eos efeitos de fluência e retração, quando aplicáveis. Também constatou-se possível limitação doprocedimento recomendado pela norma brasileira ABNT NBR 6118 (2014) quando aplicado aocálculo de flecha imediata em vigas com taxas de armadura de tração inferior a 0,50%.

116

Com o intuito de se aprimorar as análises apresentadas no presente trabalho, como sugestõespara trabalhos futuros, recomenda-se:

• ampliar a comparação com resultados experimentais tanto para flecha imediata como paraflecha total, buscando-se também modelos de vigas contínuas;

• implementar um método iterativo que utilize matriz de rigidez tangente ou algum processode otimização a fim de reduzir o número de iterações necessárias para a convergência naresolução do problema não-linear;

• incluir efeitos de cisalhamento na formulação para possibilitar a análise de vigas altas e vigascom ruptura a cisalhamento;

• utilizar uma abordagem para consideração de efeitos de fluência e retração que não resulte nocálculo de curvaturas e posterior cálculo de deslocamento através do Princípio dos TrabalhosVirtuais, a fim de eliminar a dependência do ponto onde se deseja calcular o deslocamento;

• definir outro parâmetro para avaliação do desvio dos resultados numéricos em relação aosresultados experimentais de modo a refinar a análise;

• ampliar a investigação da influência da taxa de armadura no procedimento adotado pelanorma brasileira ABNT NBR 6118 (2014) para cálculo de flecha imediata com o intuitode se propor recomendações e limitações ao uso de tal procedimento.

117

118

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124

APÊNDICE A: ARQUIVOS DE ENTRADA E SAÍDA PARA FLECHA-0 E FLECHA-T

A seguir são apresentados exemplos dos arquivos de entrada e saída para os procedimentosFLECHA-0 e FLECHA-T.

O arquivo de dados de entrada para os procedimentos FLECHA-0 é um arquivo de texto (for-mato txt) contendo apenas valores numéricos das propriedades mecânicas e geométricas e dados damalha e carregamento, conforme explicação na Subseção 3.5.1.

Na Figura A.1 é apresentado um exemplo de arquivo de entrada para cálculo de flecha imediata.Os textos em vermelho fazem referência à propriedade representada pelo valor numérico e foraminseridos apenas para esclarecimento. Os campos reservados para FLECHA-T indicam valores quesão lidos e utilizados apenas por este procedimento.

O arquivo de dados de entrada para o procedimento FLECHA-T é um arquivo de texto (for-mato txt) contendo apenas valores numéricos das propriedades mecânicas e geométricas e dados damalha e carregamento, conforme explicação na Subseção 3.5.2.

Na Figura A.2 é apresentado um exemplo de arquivo de entrada para cálculo de flecha total. No-vamente, os textos em vermelho fazem referência à propriedade representada pelo valor numéricoe foram inseridos apenas para esclarecimento.

125

Figura A.1: Arquivo de entrada para procedimento FLECHA-0


126

Figura A.2: Arquivo de entrada para procedimento FLECHA-T


127

O arquivo de saída para o procedimento FLECHA-0 é um arquivo de planilha para MS Excel

(formato xlsx) contendo índice do nó e respectivos valores de deslocamento (em metros) e rotação(em radianos). Também é apresentado o valor da flecha (deslocamento máximo) e o respectivo nó.Na Figura A.3 é apresentado um exemplo de arquivo de saída para flecha imediata.

Figura A.3: Arquivo de saída para procedimento FLECHA-0


O arquivo de saída para o procedimento FLECHA-T é um arquivo de planilha para MS Excel

(formato xlsx) contendo valores de flecha imediata e flecha total, além do respectivo índice do nó.Na Figura A.4 é apresentado um exemplo de arquivo de saída para flecha total.

Figura A.4: Arquivo de saída para procedimento FLECHA-T


128

APÊNDICE B: RESULTADOS NUMÉRICOS OBTIDOS NAS COMPARAÇÕES COMMODELOS EXPERIMENTAIS

São apresentados a seguir os resultados numéricos obtidos pelos procedimentos FLECHA-0,FLECHA-T

B.1 Flecha Imediata

Nas Tabelas B.1 a B.5 são apresentados os resultados numéricos obtidos nas comparações comresultados de flecha imediata obtidos de modelos experimentais. Tais resultados foram utiliza-dos para confecção das curvas carga-flecha e análise de erros dos procedimentos, apresentados naSeção 5.2.

Tabela B.1: Resultados numéricos para comparação com a viga VC-1R ensaiada por Araújo (2002)

Araújo (2002) - VC-1R

P (kN) P/Pu (%)Flecha (mm)

Experimental FLECHA-0 NBR6118 EC210 10 0,66 0,56 0,87 0,5920 21 1,75 2,56 2,56 2,2630 31 3,92 4,72 4,93 4,3940 42 5,51 6,79 7,08 6,3250 52 7,05 8,74 9,09 8,2360 63 9,02 10,66 11,04 10,1070 73 11,11 12,59 12,95 11,9480 83 13,17 14,57 14,83 13,7590 94 15,56 16,58 16,71 15,55

129

Tabela B.2: Resultados numéricos para comparação com a vigas T1 e T2 ensaiada por Beber (1999)

Beber (1999) - T1 e T2


Experimental - T1 Experimental - T2 FLECHA-0 NBR6118 EC22 9 0,14 0,14 0,14 0,20 0,144 17 0,20 0,19 0,29 0,39 0,296 26 0,53 0,67 0,85 0,63 0,708 35 1,32 1,69 1,75 1,45 1,68

10 43 2,50 2,69 2,85 2,45 2,6812 52 3,60 3,81 3,83 3,51 3,6314 61 4,66 4,76 4,75 4,56 4,5216 70 5,55 5,76 5,66 5,56 5,3718 78 6,47 6,78 6,56 6,53 6,2220 87 7,48 7,80 7,48 7,46 7,0822 96 8,43 8,80 8,41 8,37 7,92

Tabela B.3: Resultados numéricos para comparação com viga ensaiada por Fernandes (1996)

Fernandes (1996) - 3φ 10 mm


Experimental FLECHA-0 NBR6118 EC22 6 0,11 0,12 0,21 0,134 11 0,26 0,21 0,37 0,238 22 0,51 0,97 1,09 0,89

10 27 0,82 1,47 1,63 1,3712 32 1,22 1,94 2,16 1,8514 38 1,71 2,43 2,65 2,3016 43 2,15 2,89 3,13 2,7318 49 2,72 3,32 3,58 3,1520 54 3,18 3,75 4,03 3,5723 61 3,75 4,29 4,58 4,1025 68 4,36 4,83 5,12 4,6228 74 5,05 5,37 5,65 5,1330 81 5,62 5,91 6,18 5,6433 88 6,34 6,44 6,70 6,1535 95 7,00 6,99 7,23 6,65

130

Tabela B.4: Resultados numéricos para comparação com as vigas V3 e V7 ensaiada por Piancastelli(1997)

Piancastelli (1997) - V3 e V7


Experimental - V3 Experimental - V7 FLECHA-0 NBR6118 EC20,895 5 0,19 0,15 0,08 0,09 0,091,790 11 0,33 0,28 0,17 0,19 0,192,685 16 0,50 0,40 0,26 0,28 0,283,580 21 0,67 0,56 0,35 0,38 0,424,475 26 1,00 0,87 0,45 0,47 0,975,370 32 1,55 2,82 1,23 0,57 1,476,265 37 2,57 3,55 2,30 0,93 2,107,160 42 3,42 5,05 3,35 1,43 2,918,055 47 4,32 5,47 4,23 2,04 3,688,950 53 5,72 6,47 5,00 2,74 4,569,845 58 6,55 7,47 6,10 3,52 5,39

10,740 63 7,65 8,20 6,92 4,37 6,2311,635 68 8,54 9,22 7,73 5,26 7,0712,530 74 9,61 10,04 8,53 6,18 7,9113,425 79 10,72 10,89 9,41 7,12 8,7414,320 84 12,02 12,06 10,19 8,07 9,5515,215 90 13,13 13,25 11,00 9,01 10,35

Tabela B.5: Resultados numéricos para comparação com a viga REF1 ensaiada por Santos (2006)

Santos (2006) - REF1


Experimental FLECHA-0 NBR6118 EC210 9 0,46 0,42 0,57 0,4420 18 1,36 1,20 1,58 1,2730 27 3,03 2,83 3,43 2,8140 36 4,54 4,39 5,16 4,3950 45 5,54 5,95 6,75 5,9160 54 7,72 7,52 8,26 7,4070 63 9,21 9,03 9,73 8,8680 71 10,80 10,54 11,17 10,2990 80 12,40 12,03 12,59 11,71

100 89 14,20 13,49 14,00 13,12110 98 16,10 14,98 15,41 14,52

131

B.2 Flecha Total

Nas Tabelas B.6 a B.11 são apresentados os resultados numéricos obtidos nas comparações comresultados de flecha total obtidos de modelos experimentais de Gilbert e Nejadi (2004). Tais resul-tados foram utilizados para confecção das curvas flecha-idade e análise de erros dos procedimentos,apresentados na Seção 5.3.

132

Tabela B.6: Resultados numéricos para comparação com a viga B1-a ensaiada por Gilbert e Nejadi(2004)

Gilbert e Nejadi (2004) - B1-a

Idade (dias)Flecha (mm)

Experimental FLECHA-T NBR6118 EC214 4,95 5,03 5,36 4,9415 5,55 5,07 5,43 5,7516 5,96 5,25 5,49 5,9317 6,15 5,41 5,54 6,0718 6,27 5,51 5,60 6,1519 6,39 5,59 5,65 6,2220 6,47 5,73 5,71 6,3521 6,67 6,01 5,75 6,6022 6,80 6,19 5,80 6,7724 7,16 6,36 5,90 6,9125 7,19 6,44 5,94 6,9827 7,28 6,52 6,02 7,0530 7,47 6,90 6,14 7,3832 7,61 7,18 6,22 7,6334 7,78 7,39 6,29 7,8137 8,10 7,65 6,39 8,0339 8,17 7,75 6,46 8,1242 8,22 7,76 6,55 8,1345 8,32 7,79 6,64 8,1648 8,34 7,94 6,72 8,2853 8,51 8,19 6,85 8,5161 8,84 8,61 7,05 8,8668 9,06 8,92 7,21 9,1476 9,20 9,08 7,37 9,2796 9,47 9,45 7,73 9,59109 9,78 9,80 7,94 9,89122 10,03 10,23 8,13 10,27136 10,34 10,35 8,32 10,37166 10,59 10,60 8,68 10,59200 10,88 10,68 9,03 10,67242 11,38 10,87 9,40 10,83286 11,63 11,03 9,73 10,97332 11,82 11,19 10,04 11,11394 12,06 11,32 10,40 11,22

133

Tabela B.7: Resultados numéricos para comparação com a viga B1-b ensaiada por Gilbert e Nejadi(2004)

Gilbert e Nejadi (2004) - B1-b



134





135





136





137





138

ANEXO A: FLUÊNCIA E RETRAÇÃO SEGUNDO O EUROCODE 2 (2004)

A seguir são apresentados os procedimentos recomendados pela norma europeia Eurocode 2(2004) para cálculo do coeficiente de fluência ϕ (t, t0) e da deformação de retração εcs.

A.1 Coeficiente de Fluência

O coeficiente de fluência ϕ (t, t0) calculado na idade t com carregamento aplicado na idade t0 édado por

ϕ (t, t0) = ϕ0βc (t, t0) (A.1.1)

onde ϕ0 é o coeficiente de fluência teórico e βc (t, t0) é o coeficiente que descreve o desenvolvimentoda fluência com o tempo após o carregamento.

O coeficiente de fluência teórico é estimado por

ϕ0 = ϕRHβ ( fcm)β (t0) (A.1.2)

onde ϕRH é o fator que considera o efeito da umidade relativa do ar, β ( fcm) é o fator que considerao efeito da resistência do concreto e β (t0) é o fator que considera a idade do início do carregamentot0, e são expressos por

ϕRH =

1+ 1−RH/100

0,1 3√

h0, f cm≤ 35MPa(

1+ 1−RH/100

0,1 3√

h0α1

)α2 , f cm > 35MPa

(A.1.3)

β ( fcm) =16,8√

fcm(A.1.4)

β (t0) =1

0,1+ t0,200

(A.1.5)

sendo RH a umidade relativa do ar em porcentagem, h0 a altura teórica em milímetros e fcm aresistência média à compressão do concreto aos 28 dias em MPa.

A altura teórica é calculada por

h0 =2Ac

u(A.1.6)

onde Ac é a área da seção transversal do elemento e u é o perímetro em contato com a atmosfera.

O coeficiente que descreve o desenvolvimento da fluência com o tempo após o carregamento

139

βc (t, t0) é estimado por

βc (t, t0) =[

(t− t0)(βH + t− t0)

]0,3

(A.1.7)

onde t é a idade de concreto em dias no momento considerado, t0 é a idade do concreto em dias noprimeiro carregamento não ajustada e βH é o coeficiente que depende da umidade relativa do ar eda altura teórica, o qual é expresso por

βH =

1,5[1+(0,012RH)18

]h0 +250≤ 1500 , fcm ≤ 35MPa

1,5[1+(0,012RH)18

]h0 +250α3 ≤ 1500α3 , fcm > 35MPa

(A.1.8)

Os coeficientes α1, α2 e α3 consideram influência da resistência do concreto e são expressospor

α1 =

(35fcm

)0,7

(A.1.9)

α2 =

(35fcm

)0,2

(A.1.10)

α3 =

(35fcm

)0,5

(A.1.11)

Para considerar efeito do tipo de cimento no cálculo do coeficiente de fluência, é recomendadouma modificação na idade de carregamento inicial t0 através da expressão

t0 = t0,T

(9

2+ t1,20,T

+1

)α

≥ 0,5 (A.1.12)

onde t0,T é a idade inicial de carregamento ajustada pela temperatura e α é o expoente que dependedo tipo de cimento, assumindo os valores: -1 para cimento da classe S, 0 para o cimento da classeN e 1 para o cimento da classe R.

O efeito de temperaturas elevadas ou reduzidas dentro do intervalo de 0°C a 80°C na maturidadedo concreto pode ser considerada através do ajuste da idade do concreto pela expressão

tT =n

∑i=1

e−(4000/[273+T (∆ti)]−13,65)∆ti (A.1.13)

onde tT é a idade ajustada pela temperatura que substitui a correspondente idade t, T (∆ti) é atemperatura que prevalece no intervalo de dias ∆ti.

140

A.2 Deformação de Retração

A deformação de retração na idade t (εcs (t)) é composta por duas parcelas: a deformaçãopor retração por secagem εcd (t), a qual se desenvolve lentamente por ser função da migraçãoda água através do concreto endurecido, e a deformação por retração autógena εca (t), a qual sedesenvolve durante o endurecimento do concreto, sendo a maior parte durante os primeiros diasapós o lançamento. Dessa forma, a deformação de retração é calculada por

εcs (t) = εcd (t)+ εca (t) (A.2.1)

A deformação de retração por secagem é calculada por

εcd (t) = βds (t, ts)khεcd,0 (A.2.2)

onde kh é o coeficiente que depende da altura teórica h0 de acordo com a Tabela A.1 e εcd,0 é adeformação básica de retração por secagem.

Tabela A.1: Valores de kh em função da altura teórica. Adaptado de Eurocode 2 (2004)

h0 (mm) kh100 1,00200 0,85300 0,75≥ 500 0,70

Na Equação A.2.2, o coeficiente βds (t, ts) é calculado por

βds (t, ts) =(t− ts)

(t− ts)+0,04√

h30

(A.2.3)

onde t é a idade do concreto em dias no momento considerado e ts é idade do concreto em dias noinício da retração por secagem, normalmente ao fim da cura.

A deformação de retração por secagem básica é expressa por

εcd,0 = 0,85[(220+110αds1)e(−αds2 fcm/fcmo)

]10−6

βRH (A.2.4)

onde fcmo é igual a 10 MPa e αsd1 e αsd2 são coeficientes que dependem do tipo de cimento.O coeficiente αsd1 assume os valores: 3 para cimento de classe S, 4 para cimento de classe N e

6 para cimento de classe R. O coeficiente αsd2 assume os valores: 0,13 para cimento de classe S,

141

0,12 para cimento de classe N e 0,11 para cimento de classe R. As classes S, R e N são definidasconforme a norma europeia EN197-1 (2000).

O coeficiente βRH refere-se à umidade relativa do ar, sendo calculado por

βRH = 1,55

[1−(

RHRH0

)3]

(A.2.5)

onde RH é a umidade relativa do ar em porcentagem e RH0 é igual a 100%.A deformação por retração autógena εca (t) é calculada por

εca (t) = βas (t)εca (∞) (A.2.6)

ondeβas (t) = 1− e−0,2t0,5

(A.2.7)

eεca (∞) = 2,5( fck−10)10−6 (A.2.8)

sendo a idade t fornecida em dias e fck a resistência característica do concreto (em MPa).

142

ANEXO B: MOMENTO DE INÉRCIA NOS ESTÁDIOS I E II PURO

São apresentadas as formulações utilizadas nos procedimentos EC2 e NBR6118 para cálculodo momento de inércia nos Estádios I e II puro de seções retangulares de concreto armado comuma camada de armadura de tração e uma camada de armadura de compressão.

Admite-se que tanto o aço como o concreto trabalhem em regime linear e, para o concreto,considera-se o módulo de deformação secante Ecm.

Para a consideração da seção homogeneizada de concreto armado, ou seja, considerando apresença da armadura, utilizou-se a razão modular nm definida por

nm =Es

Ecm(B.0.1)

onde Es é o módulo de elasticidade do aço.Adotaram-se as seguintes notações:

• b - base da seção retangular;

• h - altura total da seção retangular;

• d - altura útil da seção (armadura de tração);

• d′ - posição da armadura de compressão em relação à fibra extrema comprimida;

• As - área da armadura de tração;

• A′s - área da armadura de compressão.

B.1 Estádio I

No Estádio I, admite-se que o concreto não apresenta fissuração, de forma que existe colabora-ção tanto do concreto comprimido quanto do concreto tracionado.

Para o cálculo da posição da linha neutra no Estádio I (yI) a partir da fibra extrema comprimida,define-se o momento estático da seção (S) com relação à linha neutra:

S = (yIb)yI

2+nmA′s

(yI−d′

)− [(h− yI)b]

(h− yI

2

)−nmAs

(yI−d′

)(B.1.1)

Sendo que o momento estático com relação à linha neutra deve ser nulo, tem-se:

(yIb)yI

2+nmA′s

(yI−d′

)− [(h− yI)b]

(h− yI

2

)−nmAs

(yI−d′

)= 0 (B.1.2)

143

Assim, isolando-se a linha neutra yI , chega-se à expressão

yI =nm (A′sd

′+Asd)+ h2b2

nm (A′s +As)+hb(B.1.3)

Calcula-se então o momento de inércia no Estádio I (II) com relação à linha neutra através daexpressão:

II =

[bh3

12+bh

(yI−

h2

)2]+nm

[I′s +A′s

(yI−d′

)2]+nm

[Is +As (d− yI)

2]

(B.1.4)

onde I′s e Is são os momentos de inércia das armaduras de compressão e de tração, respectivamente.

Devido às pequenas dimensões das barras da armadura quando comparadas à seção transversal,desprezam-se os valores de I′s e Is, resultando em:

II =

[bh3

12+bh

(yI−

h2

)2]+nm

[A′s(yI−d′

)2+As (d− yI)

2]

(B.1.5)

B.2 Estádio II puro

No Estádio II puro, admite-se que, devido à fissuração, o concreto tracionado não mais colabore,sendo considerada apenas a parcela referente ao concreto comprimido.

Para o cálculo da posição da linha neutra no Estádio II puro (yII), define-se o momento estáticoda seção (S) com relação à linha neutra:

S = (yIIb)yI

2+nmA′s

(yII−d′

)−nmAs

(yII−d′

)(B.2.1)

Sendo que o momento estático com relação à linha neutra deve ser nulo, tem-se:

(yIIb)yII

2+nmA′s

(yII−d′

)−nmAs

(yII−d′

)= 0 (B.2.2)

Assim, isolando-se a linha neutra yI , chega-se à expressão

yII =−B±

√B2−4AC

2A(B.2.3)

ondeA =

b2

(B.2.4)

144

B = nm(A′s +As

)(B.2.5)

C =−nm(A′sd′+Asd

)(B.2.6)

Sendo válida apenas a raiz positiva, chega-se à seguinte expressão

yII =−nm (A′s +As)+

√[nm (A′s +As)]

2 +2bnm (A′sd′+Asd)

b(B.2.7)

Calcula-se então o momento de inércia no Estádio II puro (III) com relação à linha neutra atravésda expressão:

III =

[by3

II12

+bh(yII

2

)2]+nm

[I′s +A′s

(yII−d′

)2]+nm

[Is +As (d− yII)

2]

(B.2.8)

onde I′s e Is são os momentos de inércia das armaduras de compressão e de tração, respectivamente.Novamente, devido às pequenas dimensões das barras da armadura quando comparadas à seção

transversal, desprezam-se os valores de I′s e Is, resultando em:

III =by3

II3

+nm

[A′s(yII−d′

)2+As (d− yII)

2]

(B.2.9)

145

146

ANEXO C: MOMENTO FLETOR TEÓRICO DE RUÍNA

É apresentada a formulação utilizada para o cálculo do momento teórico de ruína das vigas ana-lisadas. Utilizaram-se as recomendações da norma ABNT NBR 6118 (2014) para Estado-LimiteÚltimo, porém foram aplicados os valores médios de resistências do aço e do concreto para con-formidade com os dados dos modelos experimentais analisados.

Adotaram-se as seguintes notações:

• y0- posição da linha neutra em relação à fibra extrema comprimida;

• h - altura da seção retangular;

• b - base da seção retangular;

• d - altura útil da seção (armadura de tração);

• d′ - posição da armadura de compressão em relação à fibra extrema comprimida;

• As - área da armadura de tração;

• A′s - área da armadura de compressão;

• σc - tensão no concreto (neste caso, apenas compressão);

• σ ′s - tensão na armadura de compressão;

• σs - tensão na armadura de tração;

• fcm - resistência à compressão de cálculo do concreto;

• fy - tensão de escoamento de cálculo do aço.

C.1 Equações de equilíbrio

Na seção transversal deve ocorrer equilíbrio de esforços normais e momentos fletores. Emsituação de flexão simples, o esforço normal resultante deve ser nulo e, para a obtenção do momentofletor de ruína (Mu), iguala-se esse ao momento resultante dos esforços resistentes. Portanto, asequações de equilíbrio são:

∑F = 0 (C.1.1)

e

∑M = Mu (C.1.2)

147

Na Figura C.1 é apresentada a seção transversal e as respectivas parcelas de esforços resistentesdo concreto e da armadura, sendo Rc, R′s e Rs as parcelas de esforço normal referentes ao concretocomprimido, à armadura de compressão e à armadura de tração, respectivamente.

Figura C.1: Seção transversal e forças resistentes


Assim, separando-se as parcelas, as equações de equilíbrio ficam expressas por:

Rc +R′s−Rs = 0 (C.1.3)

eRczc +R′s

(d−d′

)= Mu (C.1.4)

ondeRc =

∫Ac

σcdA (C.1.5)

R′s = σ′sA′s (C.1.6)

Rs = σsAs (C.1.7)

sendo Ac a área de concreto comprimido e zc o braço de alavanca da resultante de concreto emrelação ao baricentro da armadura de tração.

Adotando-se a simplificação recomendada pela norma ABNT NBR 6118 (2014), na qual seaproxima a distribuição de tensão de compressão no concreto por uma tensão constante igual a fcm

ao longo de um trecho de comprimento 0,80y0 (somente para concretos até classe C50), tem-se

148

que a força resistente do concreto pode ser aproximada por

Rc = fcm0,8y0b = 0,8 fcmy0b (C.1.8)

A Figura C.2 ilustra a simplificação permitida.

Figura C.2: Compressão no concreto por parábola-retângulo e simplificação


Sendo assim, o braço da força resistente Rc em relação à armadura de tração é calculado por

zc = d− 0,8y0

2= d−0,4y0 (C.1.9)

Ao final, as equações de equilíbrio ficam expressas por:

0,8 fcmy0bc +σ′sA′s−σsAs = 0 (C.1.10)

e0,8 fcmy0bc (d−0,4y0)+σ

′sA′s(d−d′

)= Mu (C.1.11)

C.2 Equações de compatibilidade

Além das equações de equilíbrio, deve-se também respeitar a compatibilidade de deformaçõesna seção transversal. Pelas hipóteses adotadas de seções planas e aderência perfeita da armadura,são estabelecidas as seguintes relações de compatibilidade:

εc

y0=

ε ′sy0−d′

=εs

d− y0(C.2.1)

onde εc é a deformação na fibra extrema comprimida de concreto, ε ′s é a deformação da armadurade compressão e εs é a deformação da armadura de tração, conforme indicado na Figura C.3

149

Figura C.3: Compatibilidade de deformações na seção transversal


C.3 Domínios de deformações

A fim de se estabelecer condições de contorno para a determinação do momento fletor de ruínada seção, optou-se por trabalhar com domínios de deformação da seção.

Na flexão simples, uma seção de concreto armado pode atuar sob os domínios de deformações2, 3 e 4, segundo a norma ABNT NBR 6118 (2014). Na Tabela C.1 são resumidos os domínios esão mostrados os valores das deformações no concreto (até classe C50) e das deformações e tensõesna armadura de tração.

Tabela C.1: Domínios de deformação em flexão simples

Domínio εc εs σs2 < εcu εsu fy3 εcu εy fy4 εcu < εy Esεs

εcu 0,0035εy Es/fyεsu 0,0100

No domínio 2, não ocorre ruptura por compressão do concreto, sendo εc menor que εcu. Aarmadura de tração escoa e apresenta o máximo alongamento permitido (εsu).

O domínio 3 é caracterizado pela ruptura do concreto à compressão, ou seja, o concreto atingeseu encurtamento máximo (εcu). A armadura de tração ainda escoa, porém com alongamento infe-rior ao máximo.

No domínio 4, novamente ocorre ruptura do concreto por compressão, porém a armadura detração não escoa.

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