A criança, a matemática e a realidade

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Problemas do ensino da matemtica na escola elementar

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Reitor Zaki Akel Sobrinho Vice-Reitor Rogrio Mulinari Diretor da Editora UFPR Gilberto de Castro Conselho Editorial Alexander Welker Biondo Carlos Alberto Ubirajara Gontarski Ida Chapaval Pimentel Jose Borges Neto Luiz Edson Fachin Maria de Fatima Mantovani Maria Rita de Assis Cesar Mario Antonio Navarro da Silva Quintino Dalmolin Sergio Luiz Meister Berleze Sylvio Fausto Gil Filho Ulf Gregor Baranow


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Problemas do ensino da matemtica na escola elementar

matemtica a realidadeGrard Vergnaud

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Traduo Maria Lucia Faria Moro Reviso Tcnica Maria Tereza Carneiro Soares


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Editions Peter Lang SA, Berne 1981, 1983, 1985 Successeurs des Editions Herbert Lang & Cie SA, Berne Ttulo original L enfant, la mathmatique et la ralit. 3e dition

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na escola elementar Coordenao editorial Daniele Soares Carneiro

Problemas do ensino da matemtica

matemtica a realidade

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Reviso Maria Cristina Prigo Projeto grfico, editorao eletrnica e capa Reinaldo Weber Srie Pesquisa, n.146 Coordenao de Processos Tcnicos. Sistemas de Bibliotecas. UFPRVergnaud, Grard A criana, a matemtica e a realidade : problemas do ensino da matemtica na escola elementar / Grard Vergnaud; traduo Maria Lucia Faria Moro; reviso tcnica Maria Tereza Carneiro Soares. Curitiba : Ed. da UFPR, 2009. 322p. : il. (Pesquisa; n.146) Inclui referncias ISBN 9788573352306 Ttulo original: Lenfant, la mathematique et la ralit 1. Matemtica Estudo e ensino. 2. Educao de crianas. 3. Ensino elementar. I. Ttulo. CDD 372.7 Andrea Carolina Grohs CRB 9/1.384

ISBN 978-85-7335230-6 Ref. 539 Editora UFPR Rua Joo Negro, 280, 2 andar, Centro Caixa Postal 17.309 Tel.: (41) 3360-7489 / Fax: (41) 3360-7486 80010-200 - Curitiba - Paran - Brasil www.editora.ufpr.br [email protected] 2009


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SUMRIO

PREFCIO DA EDIO EM LNGUA PORTUGUESA/ 11 PREFCIO/ 13 INTRODUO/ 15 A anlise das noes e de sua ordem de complexidade crescente/ 16 A anlise das tarefas escolares/ 17 A anlise dos acertos e dos erros. A anlise dos procedimentos/ 18 A anlise das representaes/ 18 O plano desse livro/ 19 Captulo I NOES DE RELAO E DE CLCULO RELACIONAL/ 23 Noo de relao/ 23 - Relaes binrias/ 23 - Relaes ternrias/ 24 - Relaes quaternrias/ 24 Representao das relaes/ 26 - Representao das relaes binrias/ 26 - Representao das relaes ternrias/ 28 - Representao das relaes quaternrias/ 31 Que um clculo relacional?/ 32 - Primeira forma/ 33 - Segunda forma/ 35 Captulo II PROPRIEDADES DAS RELAES BINRIAS/ 41 Simetria e antissimetria/ 41 Transitividade e antitransitividade/ 43 Reflexividade e antirreflexividade/ 45


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Grandes categorias de relaes binrias/ 46 - As relaes de equivalncia/ 46 - As relaes de ordem estrita/ 47 - As relaes de ordem ampla/ 47 Conexidade/ 49 Uma relao de equivalncia particular, a relao de igualdade/ 51 Captulo III RELAES TERNRIAS E TRANSFORMAES RELAES QUATERNRIAS CORRESPONDNCIAS E APLICAES/ 57 Relaes ternrias/ 57 - Primeiro modelo: lei de composio binria/ 57 - Segundo modelo: elemento, relao-elemento, elemento/ 59 A noo de transformao/ 60 - Caso simples: uma s transformao/ 62 - Caso mais complexo: vrias transformaes/ 64 Relaes quaternrias/ 71 Correspondncias e aplicaes/ 73 - Primeiro caso: correspondncia biunvoca/ 73 - Segundo caso: correspondncia bimultvoca/ 73 - Terceiro caso: correspondncia co-unvoca/ 75 - A noo de aplicao/ 75 Captulo IV RELAES E TAREFAS ESCOLARES/ 81 Domnios de estudo/ 81 - O espao/ 81 - As propriedades dos objetos/ 82 - Relaes de parentesco/ 84 - Nmeros/ 84 - Variedade dos domnios utilizveis/ 85 Anlise das tarefas/ 85 - A representao/ 86 - Compreenso-extenso/ 87 - Clculos relacionais/ 89


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Captulo V CLASSIFICAES E OPERAES CLASSIFICATRIAS/ 97 Noes de classe e de caracterstica/ 98 - Noes de propriedade e de descritor/ 99 - Problemas de expresso/ 99 Semelhana, equivalncia e identidade/ 102 Diferena qualitativa, ordinal e quantitativa/ 104 - Os descritores qualitativos/ 104 - Os descritores ordinais/ 105 - Os descritores quantitativos/ 106 Operaes e relaes: complemento, unio, interseco, incluso/ 107 - A noo de complemento/ 108 - As noes de unio e de interseco/ 111 - A noo de incluso/ 118 Representao das classificaes/ 119 - A representao cruzada/ 119 - A representao em rede/ 120 - A representao em rvore/ 120 - A representao de Euler-Venn/ 121 Captulo VI O NMERO E A MEDIDA/ 125 A sequncia numrica falada como recitao e como contagem/ 125 Correspondncia biunvoca e equivalncia entre conjuntos/ 127 Relao de ordem e relao de equivalncia: o problema do contnuo e do discreto/ 129 O nmero como relao de equivalncia e como relao de ordem/ 132 O nmero como medida/ 135 A adio dos nmeros/ 138


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Captulo VII A MEDIDA: ALGUNS PROBLEMAS PRTICOS E TERICOS/ 145 O problema do intermedirio e do mensurador/ 145 A aproximao/ 149 - Os comprimentos e as quantidades contnuas/ 150 - A medida direta das superfcies e a noo de enquadramento/ 152 - Exemplos de outras medidas diretas/ 155 - A decomposio do que medido/ 156 As medidas indiretas e a noo de medida composta/ 156 A estrutura algbrica das medidas/ 160 Captulo VIII A NUMERAO E AS QUATRO OPERAES/ 167 Nmero e escrita do nmero/ 167 Os exerccios e os materiais empregados na aprendizagem da numerao/ 173 Adio e subtrao/ 177 - A subtrao/ 181 Multiplicao e diviso/ 183 - A diviso/ 188 - Uma disposio interessante da multiplicao/ 192 Captulo IX OS PROBLEMAS DE TIPO ADITIVO/ 197 Medidas e transformaes/ 197 - Nmeros naturais e nmeros relativos/ 198 - Nmeros inteiros e nmeros decimais/ 199 As seis grandes categorias de relaes aditivas/ 199 Diversidade e dificuldade desigual dos problemas de tipo aditivo/ 206 - Anlise detalhada dos problemas referentes segunda categoria de relaes aditivas/ 207 - Anlise dos problemas referentes s outras categorias de relaes aditivas/ 215


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Captulo X A NOO DE GRUPO/ 225 Propriedades do grupo/ 225 Exemplos de grupos finitos/ 228 Lei de composio interna e lei de composio externa: os trs tipos de adies/ 235 Captulo XI OS PROBLEMAS DE TIPO MULTIPLICATIVO/ 239 Isomorfismo de medidas/ 239 - Anlise detalhada de um exemplo simples/ 243 - Anlise vertical (escalar)/ 247 - Anlise horizontal (funo)/ 251 Produto de medidas/ 253 Concluso sobre a noo de dimenso/ 258 Classes de problemas de tipo multiplicativo/ 260 - Isomorfismos de medidas/ 260 - Caso de um nico espao de medidas/ 262 - Produto de medidas/ 264 Captulo XII REPRESENTAO E SOLUO DE PROBLEMAS ARITMTICOS COMPLEXOS/ 269 Exemplo do tipo aditivo puro/ 270 Exemplo de tipo multiplicativo puro/ 276 - Anlise das informaes e algumas perguntas plausveis/ 276 - Solues/ 278 - Tabelas e curvas/ 283 Exemplo misto (multiplicativo e aditivo)/ 288 CONCLUSO: OS PROBLEMAS FUNDAMENTAIS DO ENSINO DA MATEMTICA/ 297 A noo de homomorfismo e o papel da representao/ 297 A noo de invariante operatrio/ 303 - O objeto permanente/ 305 - Invariantes relacionais e classificatrios/ 306


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- Invariantes quantitativos/ 307 - A noo geral de invariante operatrio/ 308 A noo de algoritmo e seus derivados/ 309 A noo de complexidade lgica/ 314 - Hierarquia dos diferentes objetos lgicos/ 315 - Hierarquia das diferentes propriedades desses objetos lgicos/ 317 - Hierarquia das diferentes classes de problemas/ 317 Observao final/ 319 BIBLIOGRAFIA/ 321


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PREFCIO DA EDIO EM LNGUA PORTUGUESAA primeira edio em francs deste livro A criana, a matemtica e a realidade foi publicada h mais de vinte e cinco anos. com felicidade que essa edio em portugus vem somar-se s tradues para o italiano, o espanhol e o russo. Isto me deixa muito satisfeito, consideradas as inmeras ligaes que, j h muitos anos, mantenho com pesquisadores brasileiros. Agradeo calorosamente a Maria Lucia Moro por ter construdo o projeto desta edio e t-lo conduzido a bom termo. Foram-lhe necessrias muita energia e perseverana. Agradeo tambm a Maria Tereza Soares e a Maria Helena Fvero pela contribuio fraterna a essa empreitada. E esse no foi um trabalho fcil porque o livro visto como demasiadamente tcnico, sobretudo em seus primeiros captulos. Alm disso, ele surpreende bastante os leitores por causa de seu inusitado encontro com a ideia geral de clculo relacional. De fato, o conceito de clculo frequentemente compreendido como aplicvel aos nmeros e no aos objetos e s relaes no numricas. Ora, justamente a constatao de que os processos de conceitualizao e as dificuldades das crianas referem-se, primeiro, aos objetos e s relaes no numricas, algo anterior, mas em solidariedade s operaes propriamente numricas, que me levou a desenvolver uma viso das estruturas aditivas e das estruturas multiplicativas que vai muito alm das quatro operaes da aritmtica. Naturalmente, eu poderia ter me contentado em falar de raciocnio, mas, se assim o fizesse, teria ficado aqum dessa ideia de que o pensamento clculo e que as combinaes e transformaes das relaes fornecem a prpria matria desse clculo. Esta obra apenas uma contribuio para uma empreitada mais ampla, cuja finalidade seria a de analisar a formao dos conceitos em diferentes domnios do pensamento racional e, naturalmente, a formao dos esquemas, quer dizer, das formas de organizao da atividade que ex-

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Grard Vergnaud pressam o conhecimento em situao. Louvemos Piaget por ter iniciado a reflexo e as investigaes sobre o contedo cognitivo da atividade. Na verdade, a forma operatria do conhecimento a fonte e o critrio desse conhecimento: - fonte porque to somente em situao que os processos de assimilao e acomodao so colocados em ao, e porque o que primeiro se adapta so os esquemas. - critrio porque um conhecimento que no operatrio no , de fato, um conhecimento. Na matemtica no faltam exemplos de que um teorema pode ser formulado pelos alunos sem que estes saibam empreg-lo em uma situao. As ideias de conceito-em-ato e de teorema-em-ato vm, de modo muito oportuno, estabelecer o vnculo terico entre a conceituao e a atividade. A importncia que atribuo, na teoria dos campos conceituais, forma do conhecimento poderia ser interpretada como uma desvalorizao do papel da linguagem nos processos de conceitualizao. Quero de pronto cortar pela raiz essa interpretao. No se deve minimizar a importncia da explicitao e da simbolizao na formao dos conceitos. Um teorema formulado tem maior peso que um teorema-emato. A histria das culturas, a da matemtica em particular, no to somente balizada pela descoberta de novas formas e de novos sistemas simblicos, cujo poder pode ser avaliado e comparado, mas tambm o conhecimento posto em palavras pode ser partilhado com mais facilidade, inclusive pelas crianas, desde que, bem entendido, lhe sejam encontradas as formas adequadas. No se aprende sozinho e a estabilidade dos invariantes operatrios reforada por sua formulao oral e escrita. Esse ponto de vista, muito mais vygotskiano do que piagetiano, inspira boa parte do presente livro, notadamente seus ltimos captulos. Logo, natural concluir esse prefcio fazendo-se referncia a esses dois gigantes da psicologia do desenvolvimento que so Piaget e Vygotski. Devemos l-los e rel-los.

Grard Vergnaud


PREFCIOEste livro, escrito j h alguns anos, publicado em um momento no qual a crise do ensino da matemtica continua grave. Essa crise se deve a vrias razes: - A preparao insuficiente das reformas sucessivas e a falta de continuidade e de acompanhamento na reflexo e experimentao que deveria acompanh-las e preced-las. - Os excessos de formalizao que foram cometidos na concepo e na aplicao da reforma inicial dos anos 70, sobretudo na redao dos manuais. - A ligao insuficiente dos programas e dos mtodos de ensino com a anlise das capacidades e os modos de pensar da criana. Por exemplo, as relaes entre a atividade intelectual das crianas e sua atividade material sobre os objetos fsicos ou com sua experincia das situaes da vida cotidiana no foram suficientemente levadas em considerao. - Enfim, a formao insuficiente dos professores. Para resolver essa crise em mdio prazo, seria preciso impulsionar um grande programa de pesquisas em psicologia e em didtica, e analisar de modo mais completo as finalidades do ensino da matemtica. Seria preciso, tambm, obter meios de formar os professores. Essas condies no foram realizadas e ainda no o so, hoje. Certas decises do Ministrio1 visam mesmo um retorno no tempo, quando seria preciso, ao contrrio, avanar. Escrito por um pesquisador, este livro no pretende responder a todas as questes, nem mesmo formul-las todas. No entanto, ele suscetvel de trazer aos educadores e aos pesquisadores que se interessam pelo ensino elementar da matemtica, uma anlise suficientemente profunda das questes mais importantes, e de levantar perspectivas. Ele pode interessar, igualmente, aos professores e formadores de professores do primeiro ciclo.O autor refere-se, naturalmente, ao Ministrio da Educao Nacional da Frana. N. T.1


Grard Vergnaud Antes de tudo trata-se de um livro de psiclogo e os conhecimentos que ele contm no so expostos do ponto de vista do matemtico, mas do ponto de vista do psiclogo. Isso pode chocar certos matemticos, mas o autor escolheu colocar sem autocensura as questes que julga necessrio colocar, mesmo que elas sejam formuladas em uma linguagem que alguns qualificam de ingnua, uma vez que ela no a formal. Entre as influncias mais importantes que inspiraram as ideias aqui expostas necessrio citar as dos psiclogos J. Piaget, P. Grco e F. Bresson, assim como a do matemtico G. Th. Guilbaud. Tambm poder se reconhecer sem esforo, em certas passagens, a influncia de G. Polya e a dos pedagogos Z. P. Dienes e N. Picard, apesar de certas divergncias importantes com esses autores marcarem este livro. Finalmente, sem o trabalho de equipe, levado a cabo at 1974 com professores, animadores do grupo de matemtica e a direo da Escola Ativa Bilnge, este trabalho jamais seria realizado. De forma particular, agradecimentos especiais a Anne Favier, Claire Garon e Rachel Cohen.


INTRODUOO autor deste livro atribui criana e atividade infantil sobre a realidade papel decisivo no processo educativo. Os conhecimentos que essa criana adquire devem ser construdos por ela em relao direta com as operaes que ela, criana, capaz de fazer sobre a realidade, com as relaes que capaz de discernir, de compor e de transformar, com os conceitos que ela progressivamente constri. Isso no quer dizer, de modo algum, que o papel do professor deva ser negligenciado; mas o valor do professor reside justamente na sua capacidade de estimular e de utilizar essa atividade da criana. Toda formao do professor, todo seu esforo, devem procurar lhe dar um maior conhecimento sobre a criana e permitir-lhe ajustar permanentemente as modalidades de sua ao pedaggica. Como veremos ao longo deste livro, esse conhecimento no pode ser um simples conhecimento geral da inteligncia e do comportamento da criana. Trata-se de um conhecimento aprofundado do contedo a ser ensinado e das relaes desse contedo com a atividade possvel da criana. No que diz respeito aprendizagem da matemtica, em particular, e algo igualmente verdadeiro para a aprendizagem da lngua ou de outras disciplinas, somente um conhecimento claro das noes a ensinar pode permitir ao professor compreender as dificuldades encontradas pela criana e as etapas pelas quais ela passa. A psicopedagogia geral insuficiente para guiar a ao do professor. Est na hora de afirmar com nfase a necessidade das psicopedagogias especficas que tratem dos mtodos de ensino de cada disciplina. por isso que A CRIANA, A MATEMTICA E A REALIDADE tem como subttulo Problemas do ensino da matemtica na escola elementar.


Grard Vergnaud A ANLISE DAS NOES E DE SUA ORDEM DE COMPLEXIDADE CRESCENTE A matemtica forma um conjunto de noes, de relaes, de sistemas relacionais que se apiam uns sobre os outros. Mas a ordem pela qual o matemtico expe essas noes evidentemente no a mesma pela qual a criana as adquire. A noo de complexidade no a mesma para o matemtico e para o professor, pois o primeiro procura os axiomas mais gerais e os mais poderosos, enquanto o segundo procura as noes e as relaes mais simples para a criana, as quais no so, alis, compreendidas, repentinamente, com todas suas propriedades. A ordem de complexidade crescente das noes adquiridas pela criana no , alis, a ordem total ou linear, no sentido de que a criana deveria necessariamente adquirir a noo A, depois a noo B, depois a noo C, etc. A B C D E F... uma ordem parcial ou com vrios ramos, pois as noes A e B podem muito bem ser adquiridas indiferentemente numa ordem ou noutra, ou simultaneamente, sendo ao mesmo tempo, elas prprias, anteriores aquisio de uma outra noo C. A D C B E F G H J I

Uma ordem como essa chamada de parcial porque h uma ordem entre certas noes, mas no em todas. No esquema acima: - h uma ordem entre A e C, entre B e C, entre A e E, etc.; - no h uma ordem entre A e B, entre D e E, entre D e F, entre G e F, etc. Vejamos um exemplo: necessrio aprender a srie de nmeros de 1 a 9 antes do sistema decimal. Entretanto, a aprendizagem dos nmeros de 1 a 9 no condiciona e no condicionada pela aquisio da transitividade da relao de ordem: se Joo maior que Paulo e Paulo


A criana, a matemtica e a realidade maior que Roberto, Joo necessariamente maior que Roberto. No entanto, a medida das grandezas necessitar, posteriormente, de uma e de outra daquelas aprendizagens. Logo, um dos problemas mais importantes da didtica o de colocar em evidncia a ordem pela qual as noes podem ser adquiridas pela criana, considerando que a ordem de complexidade assim colocada em evidncia s pode ser uma ordem parcial, e que ela dar lugar, eventualmente, aprendizagem simultnea de noes relativamente independentes. A ANLISE DAS TAREFAS ESCOLARES Porm, essa anlise das noes a serem adquiridas pela criana e de sua ordem de aquisio no suficiente. Com efeito, essa aquisio se faz por meio de tarefas escolares de natureza diversa: estudo de situaes novas, manipulaes operatrias, lies do professor, anlise e discusses coletivas, exerccios. Cada tarefa escolar demanda uma anlise, do mesmo modo que a psicologia do trabalho faz apelo a uma anlise detalhada das tarefas. o caso, sobretudo para os exerccios. - Que relaes e noes devem ser compreendidas pela criana para que ela tenha sucesso na tarefa? - Qual o critrio de sucesso estabelecido? Pode-se, de acordo com o caso, pedir-lhe para procurar um resultado, ou explicar como esse resultado foi encontrado, ou provar (fazer a demonstrao) que ele correto ou, ainda, encontrar todos os meios de chegar ao resultado. - Em que condies a tarefa executada? Em um trabalho individual, em cooperao com um pequeno grupo, com toda a classe, com ou sem a ajuda do professor? A anlise das tarefas escolares supe uma pesquisa que, por ora, apenas se inicia. Neste livro encontraremos um certo nmero de exemplos que permitem saber o que esperar da criana, como tambm variar de modo mais sistemtico e mais completo a natureza da tarefa.


Grard Vergnaud A ANLISE DOS ACERTOS E DOS ERROS. A ANLISE DOS PROCEDIMENTOS A anlise das tarefas e o estudo das condutas da criana diante dessas tarefas permitem fazer uma anlise dos acertos e dos erros. No que diz respeito aos acertos, muito importante saber quais os meios que a criana utilizou para alcanar o objetivo colocado. Mesmo para os problemas ou exerccios que aparentemente permitem apenas uma resposta, h frequentemente, diversos meios de produzir essa resposta. No caso onde o objetivo no pode ser alcanado a no ser depois de vrias etapas intermedirias, existem, muitas vezes, vrios caminhos possveis que pedem, em decorrncia, uma anlise. Que caminho o mais simples para a criana? Qual o mais curto? Qual o mais frequentemente seguido pelas crianas de um nvel determinado e por qu? No que diz respeito aos erros, a necessidade de analis-los ainda mais evidente, pois essa anlise permite saber que dificuldades a criana enfrentou, e permite determinar os meios de remediar essa situao. A anlise dos acertos e dos erros faz parte integrante da anlise geral dos procedimentos que ocupa um lugar central na metodologia da psicologia cientfica moderna. Essa noo de procedimento ser desenvolvida e explicada vrias vezes, sobretudo no captulo XIII os problemas fundamentais do ensino da matemtica. A ANLISE DAS REPRESENTAES A anlise dos procedimentos no por si prpria suficiente para esgotar a anlise cientfica dos problemas colocados pelo ensino da matemtica. Na verdade, os meios utilizados pela criana, os caminhos que ela toma para resolver um problema ou atingir um dado objetivo numa determinada tarefa escolar, so profundamente enraizados na representao que ela faz da situao. De acordo com a percepo que tem ou no tem das relaes, das transformaes e das noes em jogo, com todas suas propriedades ou somente com uma parte delas, ou com uma viso falsa dessas propriedades, a criana utiliza esse ou aquele procedimento e, eventualmente, desinteressa-se pela tarefa com a qual confrontada. A noo de representao est,


A criana, a matemtica e a realidade como a noo de procedimento, no centro da psicologia cientfica moderna. Ela ser igualmente explicada de modo mais completo em seguida, mas preciso sublinhar desde j que a noo de representao no se reduz noo de smbolo ou de signo, uma vez que ela cobre tambm a noo de conceito: o estudo do nmero mostrar isso claramente, dado que a escrita simblica do nmero distinta do prprio nmero. Trata-se de uma ideia universal, da qual os educadores devem absolutamente tomar conscincia; quer dizer, a ideia de que a representao no se reduz a um sistema simblico que remete diretamente ao mundo material, os significantes representando ento diretamente os objetos materiais. Na verdade, os significantes (smbolos ou signos) representam os significados que so eles prprios de ordem cognitiva e psicolgica. O conhecimento consiste ao mesmo tempo de significados e de significantes: ele no formado somente de smbolos, mas tambm de conceitos e de noes que refletem ao mesmo tempo o mundo material e a atividade do sujeito nesse mundo material. Se o conhecimento se elabora lentamente, conforme as leis de desenvolvimento que o psiclogo e o pedagogo devem estudar, justamente porque ele reflete a atividade do sujeito no mundo material e no somente o prprio mundo material. O smbolo a parte diretamente visvel do iceberg conceitual; a sintaxe de um sistema simblico apenas a parte diretamente comunicvel do campo de conhecimento que ele representa. Essa sintaxe no seria nada sem a semntica que a produziu, isto , sem a atividade prtica e conceitual do sujeito no mundo real. ***

O PLANO DESSE LIVRO No fcil recortar em captulos o contedo do ensino de matemtica na escola elementar, e o recorte aqui escolhido pode evidentemente ser contestado por vrias razes. A escolha feita demanda uma breve explicao. A noo de relao , sem dvida, a noo mais geral e a mais primitiva, porque ela cobre, ao mesmo tempo, as atividades mais simples


Grard Vergnaud e as atividades mais elaboradas das crianas. Por outro lado, podemos colocar sem dificuldade, sob o termo genrico de relaes: - as relaes estticas entre objetos e as transformaes que tm um carter dinmico; - as estruturas qualitativas e as estruturas quantitativas; - as relaes entre objetos e as correspondncias entre conjuntos. por isso que os captulos sobre as relaes esto colocados no incio desta obra. Vem, em seguida, o captulo classificaes e operaes classificatrias, que diz respeito, ele tambm, a um vasto domnio de atividades, uma vez que vai das primeiras categorizaes da criana, at os clculos lgicos do fim do primeiro grau e incio do segundo. Vm, depois, os captulos fundamentais da medida e do nmero, da numerao e das estruturas numricas, com as subdivises que nos parecem as mais naturais para a compreenso dos diferentes problemas colocados: - dois captulos sobre as noes de nmero e medida; - um captulo sobre a numerao e as quatro operaes; - um captulo sobre os problemas de tipo aditivo (cuja soluo comporta apenas as adies ou as subtraes); - um captulo sobre os problemas do tipo multiplicativo (cuja soluo repousa sobre as multiplicaes e as divises); - um captulo sobre os problemas de aritmtica ditos complexos. O ltimo captulo consagrado aos problemas fundamentais do ensino da matemtica. Certos captulos so difceis e o leitor iniciante pode eventualmente no captar sua importncia. o caso dos primeiros captulos sobre as relaes e sobre as classificaes. O leitor pode, ento, passar diretamente aos captulos VI e aos seguintes, que tratam do nmero, da medida, da numerao e dos problemas de aritmtica; mas lhe ser til voltar, depois, aos primeiros captulos para, luz dessa leitura, rever, eventualmente, os captulos que dizem respeito aritmtica.


CAPTULO I


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NOES DE RELAO E DE CLCULO RELACIONAL

NOO DE RELAO A noo de relao uma noo absolutamente geral. O conhecimento consiste, em grande parte, em estabelecer relaes e organiz-las em sistemas. H relaes entre objetos no espao, entre quantidades fsicas, entre fenmenos biolgicos, sociais, psicolgicos2. Eis alguns exemplos de relaes: RELAES BINRIAS que ligam dois elementos entre si. (Nos exemplos que seguem, esses elementos esto sublinhados): - o lpis est sobre a mesa - Pedro est ao lado de Janine - Joo o filho do Senhor Silva - Sete maior que trs - Roberto tem a mesma faca que Paulo - Jos se parece com seu pai - x igual a 3y (x = 3y) - os coelhos so mamferos - embaixo a recproca de em cima

Alguns matemticos, habituados a reduzir a noo de relao noo de relao binria e sua definio em extenso (conjunto de partida, conjunto de chegada, grfico), podem discordar com o que dito nesse captulo e nos captulos seguintes. absolutamente necessrio que eles aceitem aqui uma outra linguagem, se quiserem compreender como funciona o clculo relacional apoiado na compreenso das relaes, mais do que em sua extenso.2


Grard Vergnaud Vemos por esses exemplos que os elementos colocados em relao podem ser de natureza muito diferente: - objetos inertes: lpis, mesa... - pessoas: Pedro, Janine... - nmeros: sete, trs... - expresses algbricas: x, 3y... - conjuntos: coelhos, mamferos... - relaes: embaixo, em cima. ... RELAES TERNRIAS que ligam trs elementos entre si: - Pedro est entre Andr e Joana - Sete quatro a mais que trs - Seis multiplicado por cinco d trinta - Os habitantes da Frana que no so franceses so estrangeiros residentes na Frana RELAES QUATERNRIAS que ligam quatro elementos entre si: - Londres para a Inglaterra o que Paris para a Frana - Antnio to moreno quanto Brigitte loira - O preo de 6 garrafas est para o preo de uma garrafa assim como 6 garrafas esto para uma garrafa 18 6 - Dezoito sobre quinze igual a seis sobre cinco: = 5 15 * Para alm das relaes quaternrias, a maior parte das relaes pode ser reduzida a conjunes ou a composies das relaes binrias, ternrias ou quaternrias. interessante salientar que as relaes ternrias podem elas prprias ser frequentemente colocadas sob a forma de uma relao binria com uma indicao sobre a natureza da relao. Por exemplo: relao binria simples: sete maior que trs relao ternria: sete quatro a mais que trs


A criana, a matemtica e a realidade O esquema sagital, no qual flechas so utilizadas para representar as relaes binrias, destaca bem esse aspecto. relao binria simples: 7 4 a mais que 4 4 3

7 relao ternria 7 7

3 3 3

Quanto s relaes quaternrias, elas frequentemente traduzem a identidade de duas relaes binrias. Tomemos o exemplo: Londres para a Inglaterra o que Paris para a Frana. Londres Inglaterra Paris Frana

A flecha dupla vertical indica que a flecha superior e a flecha inferior representam uma mesma relao.


Grard Vergnaud REPRESENTAO DAS RELAES Uma mesma relao pode ser representada de vrias maneiras. REPRESENTAO DAS RELAES BINRIAS Eis as formas de representao mais frequentes: linguagem natural Pedro est esquerda de Rogrio; Gilberto est esquerda de Henrique. Henrique est esquerda de Pedro Rogrio Henrique Gilberto Pedro escrita algbrica3, 4 primeira forma pRr gRh hRp segunda forma (polonesa) R (p, r) R (g, h) R (h, p)

esquema sagital

R significa est esquerda de p significa Pedro; r significa Rogrio; g significa Gilberto; h significa Henrique A primeira forma pRr, ou a segunda forma R (p, r), assim lida p est na relao R com r ou ainda h relao R entre p e rEstas escritas nunca so empregadas na escola elementar. Escola elementar no sistema de ensino francs corresponde, aproximadamente, s cinco sries iniciais do ensino fundamental brasileiro. N. T.3 4


A criana, a matemtica e a realidade tabela cartesiana (ou matriz) Pedro Pedro Rogrio Gilberto Henrique A presena do sinal x traduz a existncia da relao para a casela considerada. A tabela deve ser lida no sentido da flecha. Por exemplo: Pedro est esquerda de Rogrio. correspondncia entre conjuntos Em certos casos, podemos colocar o esquema sagital sob a forma de uma correspondncia: quando os elementos que so colocados na chegada das flechas formam um conjunto completamente disjunto do conjunto dos elementos colocados no incio das flechas. Por exemplo: Joana a filha do senhor Silva; Maria a filha do senhor Souza; Eliza a filha do Senhor Silva; Tereza a filha do Senhor Santino. O senhor Santos no tem filha. Joana Maria Eliza Tereza Sr. Silva Sr. Souza Sr. Santino Sr. Santos Rogrio Gilberto Henrique


Grard Vergnaud REPRESENTAO DAS RELAES TERNRIAS Seguem, agora, vrias formas de representao das relaes ternrias. linguagem natural - Pedro est entre Andr e Joana - quatro mais trs d sete - o conjunto A a interseco dos conjuntos B e C esquema sagital 3 4 7

esquema de Euler-Venn (para conjuntos) B A C

escrita algbrica usual 4+3=7 A=BC o signo da operao de interseco entre os dois conjuntos. escrita algbrica polonesa5 R (3, 4, 7) L-se essa relao como: h a relao R entre 3, 4 e 7, onde R significa que o terceiro elemento entre parnteses igual soma dos dois primeiros.

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Esta escrita nunca empregada na escola elementar.


A criana, a matemtica e a realidade tabela cartesiana A tabela cartesiana de uma relao ternria pode ser escrita de vrios modos: - escrevendo-se nas margens da tabela os elementos a compor, e nas caselas da tabela, o resultado da composio. Eis, por exemplo, a tabuada de multiplicao dos nove primeiros nmeros da base dez: o nmero que encontrado em uma casela o produto do nmero que est esquerda na mesma linha (margem da esquerda) e do nmero que est em cima, na mesma coluna (margem de cima). a tabuada de Pitgoras. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 18 27 36 45 54 63 72 81

A tabela de classificao que segue lida segundo o mesmo princpio: a classe que se encontra em uma casela da tabela a interseco da classe que se encontra esquerda na mesma linha e da classe que se encontra no alto na mesma coluna.


Grard Vergnaud azuis tringulos tringulos azuis crculos azuis quadrados azuis retngulos azuis vermelhos tringulos vermelhos crculos vermelhos quadrados vermelhos retngulos vermehos amarelos tringulos amarelos crculos amarelos quadrados amarelos retngulos amarelos

crculos

quadrados

retngulos

- Tambm se pode escrever nas margens da tabela os elementos que esto ligados (ponto de partida e ponto de chegada da flecha), e nas caselas, as prprias relaes. Eis um exemplo de tabela cartesiana que traduz as relaes entre quatro personagens sentados mesa: a E = esquerda de D = direita de F = diante de I = no mesmo lugar que

b

d

c


A criana, a matemtica e a realidade

a a b c d I D F E

b E I D F

c F E I D

d D F E I

Notemos que os elementos da relao ternria assim representada no so da mesma natureza: h personagens (a, b, c, d) e relaes binrias espaciais (E, D, F, I). REPRESENTAO DAS RELAES QUATERNRIAS Vrias formas de representao so anlogas quelas utilizadas para as relaes binrias e ternrias. linguagem natural - Dezoito sobre quinze igual a seis sobre cinco - H a mesma diferena de idade entre papai e mame que entre Joo e sua irm Sofia - O preo de seis garrafas est para o preo de uma garrafa, assim como seis garrafas esto para uma - Londres para a Inglaterra o que Paris para a Frana escrita algbrica usual 18 6 = 5 15 pm=js p = idade do pai m = idade da me j = idade de Joo s = idade de Sofia


Grard Vergnaud escrita algbrica polonesa6 R (p, m, j, s) Essa relao lida do seguinte modo: h uma relao R entre p, m, j, s. Ou seja, a relao se refere existncia da mesma diferena entre p e m de uma parte, e entre j e s de outra parte. o esquema sagital e a tabela cartesiana podem ser combinados para representar simplesmente certas relaes quaternrias, aquelas que colocam em jogo dois conjuntos distintos e uma relao entre eles. Eis dois exemplos: CAPITAIS Londres Paris GARRAFAS 1 6 a = preo de uma garrafa x = preo de seis garrafas QUE UM CLCULO RELACIONAL? As relaes so, s vezes, simples constataes que podemos fazer sobre a realidade. Frequentemente elas tambm no so constatveis e devem ser inferidas ou aceitas. Mesmo no caso das relaes constatPASES Inglaterra Frana REAIS a x

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Jamais utilizada na escola elementar.


A criana, a matemtica e a realidade veis, a criana nem sempre capaz de fazer tais constataes, pois estas supem uma atividade material e intelectual que pode estar acima das suas possibilidades. Eis vrios exemplos: - A desigualdade de dois lpis, cuja diferena de comprimento pequena, pode no ser constatada pelas crianas menores, sobretudo quando estas no so capazes de assegurar-se de que a base dos dois objetos a comparar est no mesmo nvel. diferena pequena

base de mesmo nvel - A relao mame a filha da vov no algo diretamente constatvel pela criana. Para faz-la compreender essa relao preciso recorrer a explicaes verbais que apresentam certa dificuldade. - Se escondermos o brinquedo preferido de um beb atrs de um pacote colocado em cima de uma mesa, a relao brinquedo escondido pelo pacote no compreendida completamente pelo beb antes da idade de 18 meses em mdia. No entanto, ele a compreende bem antes de ser capaz de express-la verbalmente. Mas as relaes nada seriam se fossem apenas constataes. A inteligncia ficaria muito limitada se restrita a elas. O trabalho da inteligncia conduz igualmente a dedues ou inferncias e a construes. Existem duas grandes formas de dedues. PRIMEIRA FORMA: Deduzir uma conduta ou uma regra de conduta de relaes constatadas ou aceitas. Primeiro exemplo: O beb de 18 meses retira da relao brinquedo escondido pelo pacote a concluso de que, para encontrar o brinquedo, ele deve alongar o brao, passar a mo por trs do pacote e alcanar o brinquedo. Alis, o fato de o beb ser capaz de fazer essa operao


Grard Vergnaud que d ao psiclogo o direito de julgar que a criana efetivamente compreendeu a relao brinquedo escondido pelo pacote. Segundo exemplo: Suponhamos que as barras sejam encaixadas umas nas outras segundo o esquema abaixo e que solicitamos a uma criana tirar a barra A: A B C

F E D Vemos que impossvel tirar a barra A sem tirar antes a barra C, a barra D, a barra B e a barra F. Quando a criana capaz de entender a relao de encaixe e, sobretudo, seu carter antissimtrico (ver antissimetria no prximo captulo), ela adota uma regra de conduta simples que consiste em ir da barra A barra F, da barra F barra B, da barra B barra D e da barra D barra C. Essa regra de conduta por regresso passo a passo no utilizada pelas crianas antes da idade de 5 anos e meio porque elas no compreendem o carter antissimtrico do encaixe. Uma minoria de crianas a utiliza a partir de 4 anos e meio ou 5 anos. Terceiro exemplo: somente quando a criana compreende (sem, no entanto, formular) a relao quaternria o preo de seis garrafas est para o preo de uma garrafa, como seis garrafas esto para uma que,


A criana, a matemtica e a realidade para achar o preo de seis garrafas, ela aplica ao preo de uma (digamos R$ 3,00) o operador x6 , que justamente o operador que faz passar de uma a seis garrafas. Garrafas 1 x6 6 Retornaremos a essa categoria de problemas no captulo XI os problemas de tipo multiplicativo. SEGUNDA FORMA: Deduzir novas relaes a partir das relaes constatadas e aceitas. Essas novas relaes podem ser, elas prprias, constatveis ou no. Primeiro exemplo No jogo das barras encaixadas j citado, a criana de 5 anos e meio compreende bem que a relao de encaixe uma relao de bloqueio antissimtrica. F bloqueia A; B bloqueia F; D bloqueia B; C bloqueia D; mas A no bloqueia F; F no bloqueia B, etc. Mas ela no capaz de deduzir que: - se F bloqueia A e B bloqueia F, ento B bloqueia A - se B bloqueia A e D bloqueia B, ento D bloqueia A - se D bloqueia A e C bloqueia D, ento C bloqueia A. Para fazer esse encadeamento de dedues preciso que ela utilize a transitividade da relao de bloqueio (ver mais adiante sobre transitividade). Enquanto ela no adquire essa transitividade, nada lhe permite considerar que preciso tirar a barra C em primeiro lugar. Com efeito, no podemos constatar diretamente que C bloqueia A; preciso deduzi-lo das outras relaes diretamente constatveis pela transitividade. S a partir de 7 anos e meio, em mdia, que a criana calcula transitivamente esse tipo de situao. Reais 3 x6


Grard Vergnaud Segundo exemplo Seja o enunciado: Pedro acabou de jogar duas partidas de bolinha de gude. Ele perdeu 13 na primeira partida e ganhou 7 na segunda, e ele tem, agora, 45. Quantas ele tinha antes de comear a jogar? Suponhamos que uma criana de 10 anos, bem avanada, proceda da seguinte maneira: ela tira 7 de 13 e acha 6; ela soma 6 com 45 e acha 51, que ela d como resultado. Que deduo, que clculo relacional ela fez? O esquema sagital abaixo, que representa os dados do problema, vai permitir mostrar que ela fez duas dedues importantes.Estado inicial Primeira parte Estado intermedirio Segunda parte +7 45 Estado final

-13

Primeira deduo: ela comps duas relaes entre si para achar uma terceira. Mais precisamente, ela comps as duas transformaes 13 e +7 para encontrar o resultado 6, como mostra o esquema abaixo.

-13---

+7 45

----

----

-----

---------

--------------

-6

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-----

---

-


A criana, a matemtica e a realidade Segunda deduo: ela aplicou ao estado final 45 a transformao recproca de -6 para achar o estado inicial: se -6 faz passar do estado inicial ao estado final, ento +6 faz passar do estado final ao estado inicial.+6 45

Somando 6 com 45, ela encontra o estado inicial. Esse exemplo ilustra claramente dois aspectos importantes do clculo relacional sobre os quais retornaremos: - compor duas relaes; - tomar a recproca de uma relao. * Essa noo de clculo relacional fundamental. Ns a encontraremos frequentemente. Apenas quisemos mostrar, nesse captulo inicial, que a noo de clculo relacional se aplica a todos os tipos de relaes, binrias, ternrias, quaternrias, e que ela tem ligaes estreitas com a noo de regra de conduta. Com efeito, a criana, como qualquer outro sujeito, regula sua conduta sobre as relaes que ela apreende e sobre o clculo relacional que faz. A noo de clculo relacional contribui para esclarecer e explicitar a noo, muito vaga, de raciocnio.


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-6

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CAPTULO II


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PROPRIEDADES DAS RELAES BINRIAS

Os clculos relacionais s so possveis e tm validade se apoiados nas propriedades das relaes em jogo. As propriedades das relaes ternrias e quaternrias so difceis de tratar de um ponto de vista geral; ns as abordaremos, assim, no prximo captulo. No entanto, as propriedades possveis das relaes binrias foram bem elucidadas pelos matemticos e pelos lgicos. Eis as propriedades mais importantes7: SIMETRIA E ANTISSIMETRIA SIMETRIA Uma relao binria simtrica se, e somente se, a cada vez que tivermos a relao entre um elemento x e um elemento y, tivermos necessariamente a mesma relao entre o elemento y e o elemento x. Exemplos de relaes simtricas: - Estar ao lado de: se Andr est ao lado de Bernardo, Bernardo est necessariamente ao lado de Andr. - Habita a mesma cidade que: se Andr habita a mesma cidade que Bernardo, Bernardo habita necessariamente a mesma cidade que Andr. Exemplos de relaes no simtricas: - irmo de: se A irmo de B, B no necessariamente irmo de A. Na verdade, se B uma menina (Beatriz), ela no pode serQue o leitor nos desculpe relembrar esse assunto, suprfluo, sem dvida! No entanto, o autor chama a ateno para algumas consideraes originais que dizem respeito antissimetria, antitransitividade e antirreflexividade, assim como relao de igualdade.7


Grard Vergnaud irmo de A. No entanto, se B um menino (Bernardo), temos a relao Bernardo irmo de A; mas isso no suficiente para que a relao irmo de seja simtrica, pois a definio da simetria exige que ela seja verdadeira todas as vezes. - Estar esquerda de: se A est esquerda de B, B no necessariamente est esquerda de A. Assim, no somente a relao esquerda de no simtrica, mas ela antissimtrica (ver abaixo). Se A est esquerda de B, B no est certamente esquerda de A. E existe uma relao recproca estar direita de que verdadeira para o par (B, A) cada vez que a relao estar esquerda de for verdadeira para o par (A, B)8. Se A est esquerda de B, B est direita de A. Vemos, portanto, que as relaes irmo de e estar esquerda de so bem diferentes, embora nenhuma delas seja simtrica. ANTISSIMETRIA Uma relao binria antissimtrica se, e somente se, a cada vez que tivermos a relao entre um elemento x e um elemento y, no tivermos a mesma relao entre o elemento y e o elemento x. Exemplos de relaes antissimtricas: - Estar esquerda de: se Andr est esquerda de Bernardo, Bernardo no est certamente esquerda de Andr. - Ser maior que: se Andr maior que Bernardo, Bernardo certamente no maior que Andr. - Estar dentro de: se a caixa vermelha est dentro da caixa azul, a caixa azul certamente no est dentro da caixa vermelha. Exemplos de relaes no antissimtricas: - Ser irmo de: se A o irmo de B, no est excludo que B seja irmo de A. o caso se B for um menino. Vimos acima que ser irmo de no uma relao simtrica, vemos agora que ela tambm no antissimtrica.Um par composto de um primeiro e de um segundo elemento; o par (A, B) no igual ao par (B, A).8


A criana, a matemtica e a realidade - Amar: se A ama B, no est excludo que B ame A. Aqui tambm, as duas coisas so possveis, e a relao B ama A pode ser, conforme o caso, verdadeira ou falsa. A relao ama no nem simtrica, nem antissimtrica. - Estar sentado na frente de: se A est sentado na frente de B, no est excludo que B esteja sentado na frente de A. Na verdade, pode-se mesmo afirmar que B esteja necessariamente sentado na frente de A. A relao estar sentado na frente de uma relao simtrica. Vemos assim que uma relao binria pode ser encontrada em um dos trs casos seguintes: - simtrica: est ao lado de, habita a mesma cidade que, est sentado na frente de...; - antissimtrica: maior que, est dentro de, est esquerda de...; - nem simtrica, nem antissimtrica: irmo de, ama.... TRANSITIVIDADE E ANTITRANSITIVIDADE TRANSITIVIDADE Uma relao binria transitiva se, e somente se, a cada vez que tivermos a relao entre um elemento x e um elemento y de uma parte, e entre o elemento y e um elemento z de outra parte, tivermos necessariamente a mesma relao entre o elemento x e o elemento z. Exemplos de relaes transitivas: - Chegar antes de: se Andr chegou antes de Bernardo e Bernardo chegou antes de Carlos, Andr necessariamente chegou antes de Carlos. - Habitar a mesma cidade que: se Andr habita a mesma cidade que Bernardo e Bernardo a mesma cidade que Carlos, Andr habita necessariamente a mesma cidade que Carlos. - Ser maior que. - Ser irmo de. - Ser descendente de.


Grard Vergnaud Exemplos de relaes no transitivas: - Amar: se A ama B e se B ama C, A no ama necessariamente C. - Ser pai de: se A pai de B e B pai de C, A no necessariamente av de C e ele certamente no pai de C. Assim, no somente a relao ser pai de no transitiva, mas ela tambm antitransitiva. E existe uma relao composta ser av de que verdadeira para o par (A, C) a cada vez que a relao ser pai de for verdadeira para o par (A, B) e para o par (B, C). Vemos, portanto, que as relaes ama e pai de so muito diferentes, embora nenhuma delas seja transitiva. ANTITRANSITIVIDADE Uma relao binria antitransitiva se, e somente se, a cada vez que tivermos a relao entre um elemento x e um elemento y e um elemento z, certamente no teremos a relao entre o elemento x e o elemento z. Exemplos de relaes antitransitivas: - Ser pai de. - Estar exatamente direita de: se Andr est exatamente direita de Bernardo e Bernardo exatamente direita de Carlos, Andr certamente no estar exatamente direita de Carlos. Exemplos de relaes no antitransitivas: - Amar: se A ama B e B ama C, no est excludo que A ame C. - mais velho que: se A mais velho que B e B mais velho que C, no est excludo que A seja mais velho que C. Na realidade, A necessariamente mais velho que C. A relao mais velho que uma relao transitiva. * Vemos assim que uma relao binria pode ocorrer em um dos trs casos seguintes: - transitivo: chegou antes, habita a mesma cidade que, maior que, irmo de...; - antitransitivo: pai de, est exatamente direita de...; - nem transitivo, nem antitransitivo: ama....


A criana, a matemtica e a realidade REFLEXIVIDADE E ANTIRREFLEXIVIDADE REFLEXIVIDADE Uma relao binria reflexiva se, e somente se, todo elemento x estiver necessariamente em relao com ele mesmo. Essa propriedade das relaes binrias menos importante que as precedentes, pois ela no utilizada nos clculos relacionais. Frequentemente ela no nada mais que uma constatao. Exemplos de relaes reflexivas: - Ser to grande quanto: Andr necessariamente to grande quanto ele mesmo. - Habitar a mesma cidade que: Andr habita necessariamente a mesma cidade que ele mesmo. Exemplos de relaes no reflexivas: - Desprezar: Andr no despreza necessariamente a si prprio. No entanto, possvel que ele despreze a si prprio. - Chegar antes: Andr no chegou necessariamente antes dele mesmo. Na realidade, necessariamente falso que Andr tenha chegado antes dele mesmo. Vemos, portanto, que as relaes desprezar e chegar antes so muito diferentes, embora nenhuma delas seja reflexiva. ANTIRREFLEXIVIDADE Uma relao binria antirreflexiva se, e somente se, nenhum elemento puder estar em relao com ele mesmo. Exemplos de relaes antirreflexivas: - Chegar antes: A certamente no chegou antes de si mesmo. - Estar ao lado de: A certamente no est ao lado de si mesmo. - Ser cnjuge de: A certamente no cnjuge de si mesmo. Exemplos de relaes no antirreflexivas: - Desprezar: no est excludo que A despreze a si mesmo. - Habitar a mesma cidade que: no est excludo que A habite a mesma cidade que ele mesmo. Na realidade, A habita necessariamente a mesma cidade que ele mesmo. A relao habitar a mesma cidade que reflexiva. *


Grard Vergnaud Vemos assim que uma relao binria pode ocorrer em um dos trs casos seguintes: - reflexivo: to grande quanto, habita a mesma cidade que...; - antirreflexivo: chegou antes que, est ao lado de...; - nem reflexivo, nem antirreflexivo: desprezar.... GRANDES CATEGORIAS DE RELAES BINRIAS Se considerarmos as diferentes possibilidades de uma relao binria, poderamos ter um grande nmero delas. 3 possibilidades para a simetria, 3 possibilidades para a transitividade, 3 possibilidades para a reflexividade. Ou seja, um total de 33 =27 possibilidades. Porm, o nmero de categorias inferior a 27, pois certas propriedades no so independentes umas das outras: por exemplo, uma relao simtrica e transitiva no pode ser antirreflexiva. As duas categorias mais importantes so: 1. as relaes de equivalncia, que so: - simtricas; - transitivas; - reflexivas. 2. as relaes de ordem estrita, que so: - antissimtricas; - transitivas; - antirreflexivas. AS RELAES DE EQUIVALNCIA Elas permitem colocar em uma mesma classe elementos entre os quais existe a relao de equivalncia e, assim, formar classes disjuntas. A relao habitar a mesma cidade uma relao simtrica, transitiva, reflexiva. Ela permite colocar em uma mesma classe pessoas que moram na mesma cidade e, assim, formar classes disjuntas, uma por cidade. A relao ter a mesma cor que uma relao simtrica, transitiva, reflexiva. Ela permite colocar em uma mesma classe objetos que tm


A criana, a matemtica e a realidade a mesma cor e, assim, formar, classes disjuntas, uma por cor. A relao nascer no mesmo ano que permite formar classes por idade. A relao ser igual a permite formar classes de expresses numricas ou algbricas iguais entre si. Etc. AS RELAES DE ORDEM ESTRITA Permitem ordenar os elementos de tal sorte que no haja dois elementos no mesmo lugar (de onde o termo estrita). A relao nascer antes , frequentemente, uma relao antissimtrica, transitiva e antirreflexiva. Ela permite, em todo caso, ordenar de modo estrito os filhos de uma mesma me (mesmo os gmeos). A relao estar esquerda de , igualmente, uma relao antissimtrica, transitiva e antirreflexiva. Permite ordenar de modo estrito os objetos de um mesmo arranjo, por exemplo. A relao ser descendente de permite ordenar as pessoas de uma mesma famlia. A relao estar contido em permite ordenar os captulos e subcaptulos de um livro. AS RELAES DE ORDEM AMPLA Existe uma outra grande categoria de relaes binrias, derivadas das duas primeiras. De fato, se compararmos os elementos entre si prprios, poderemos t-los seja como equivalentes, seja estritamente ordenados. Assim sendo, os matemticos definiram uma nova categoria de relaes binrias, as relaes de ordem ampla: ampla se ope a estrita e remete possibilidade de haver elementos no ordenados entre si, mas equivalentes. Por exemplo, em um concurso, os resultados levam, frequentemente, a uma ordem com empates. Suponhamos que se considere, ento, a relao chegar antes ou ao mesmo tempo em que. Ela uma relao transitiva: se A chegou antes ou ao mesmo tempo em que B, e B antes ou ao mesmo tempo em que C, A necessariamente chegou antes ou ao mesmo tempo em que C.


Grard Vergnaud Embora essa relao faa apelo noo de ordem, ela no tem as outras propriedades das relaes de ordem estrita, a antissimetria e a antirreflexividade. antissimetria: tomemos dois candidatos empatados L e M; temos, ao mesmo tempo: L chegou antes ou ao mesmo tempo em que M. e M chegou antes ou ao mesmo tempo em que L. Segundo a definio dada acima, a relao no , portanto, antissimtrica. Ela tambm no evidentemente simtrica, porque, quando comparamos os candidatos que no esto empatados R e S, temos, por exemplo: R chegou antes ou ao mesmo tempo em que S. mas no temos: S chegou antes ou ao mesmo tempo em que R. Para considerar a situao dos empates, os matemticos imaginaram uma definio mais completa da antissimetria9. Uma relao antissimtrica se, e somente se, a cada vez que tivermos, ao mesmo tempo, a relao entre um elemento x e um elemento y e entre o elemento y e o elemento x, tivermos necessariamente x equivalente y.

Essa definio no deve ser utilizada na escola elementar, pois ela se choca com a definio ingnua da assimetria que ns deliberadamente preferimos neste captulo. A definio utilizada classicamente pelos matemticos supe a compreenso da disjuno das relaes: maior ou igual, antes ou ao mesmo tempo, etc Ora, a disjuno das relaes muito difcil para a maioria das crianas do ensino elementar. A antissimetria ingnua se escreve da seguinte forma: x, y x R y y R x (a barra indica negao) H muitas escritas possveis da antissimetria dos matemticos: 1. x, y x R y e y R x x = y (escrita habitual) 2. x, y x R y y R x, exceto para x = y 3. x, y se x y x R y y R x As escritas 2. e 3. so as mais prximas da definio ingnua e parecem ser, de qualquer forma, preferveis.9


A criana, a matemtica e a realidade reflexividade O fato de colocar ou ao mesmo tempo em que, na relao considerada acima, torna a relao reflexiva (e no antirreflexiva como o quer a definio das relaes de ordem restrita). Qualquer candidato chegou antes ou ao mesmo tempo em que ele mesmo, pois ele necessariamente chegou ao mesmo tempo em que ele mesmo. A relao chegou antes ou ao mesmo tempo em que , portanto: - transitiva, - antissimtrica (no sentido da nova definio, mais complexa que a primeira), - reflexiva. A verificao dessas trs propriedades caracteriza as relaes de ordem ampla. CONEXIDADE Existe, finalmente, uma ltima propriedade das relaes binrias, a conexidade, que permite distinguir duas espcies de ordens: - a ordem total ou linear, - a ordem parcial ou de vrios ramos. Uma relao binria conexa se, e somente se, a cada vez que considerarmos dois elementos distintos x e y, tivermos necessariamente a relao, seja entre x e y, seja entre y e x. A definio que precede permite ver logo que a conexidade depende do conjunto do qual os elementos so tomados. Tomemos, por exemplo, a relao estar esquerda de: - para livros ordenados em trs prateleiras superpostas, uma relao no conexa: com efeito, dos dois livros A e B situados um abaixo do outro no podemos dizer nem que A est esquerda de B, nem que B est esquerda de A; - para os livros ordenados em uma s prateleira, trata-se de uma relao conexa: para os livros A e B, um est necessariamente esquerda do outro. A maior parte das relaes de ordem podem ser conexas ou no conexas segundo o conjunto de referncia.


Grard Vergnaud Primeiro exemplo A relao descendente de, marcada por uma flecha no esquema sagital abaixo (rvore genealgica) uma relao: - no conexa, se tomarmos como conjunto a rvore genealgica completa, pois dois elementos de linhagem diferente no esto em relao; - conexa, se tomarmos como conjunto uma s linha (A, B, F, M, por exemplo). no conexa conexa A B E F C GH I NO P D J Q R F M No entanto, como no temos qualquer razo para nos atermos apenas a uma s linhagem, podemos dizer que a relao ser descendente de no , em geral, uma relao conexa. A ordem a que chegamos, ilustrada pelo esquema sagital, nada mais que uma ordem parcial, pois certos pares de elementos no so ordenados pela relao: no podemos colocar a relao nem num sentido, nem no outro. Exemplos: E e F, E e I, E e D. Dizemos ainda que se trata de uma ordem de vrios ramos. Segundo exemplo A relao nascer antes , frequentemente, uma relao conexa: se tomarmos as crianas de uma classe, por exemplo, podemos em geral, dizer, de duas crianas quaisquer, qual delas nasceu antes da outra. A B

K L M


A criana, a matemtica e a realidade Pode ocorrer, no entanto, que duas crianas A e B tenham nascido absolutamente ao mesmo tempo, ou que no tenhamos meios de identificar tal diferena. Nesse caso, a relao no conexa para o conjunto que compreende A e B. No caso de uma relao de ordem conexa, a ordem a que chegamos uma ordem total, pois todos os pares so ordenados pela relao (podemos sempre colocar a relao seja num sentido, seja em outro). Dizemos ainda que se trata de uma ordem linear ou de um s ramo. * A conexidade uma propriedade das relaes binrias que pode ter interesse para outras relaes que no sejam relaes de ordem, mas ela tem menor importncia. Ficaremos por aqui. UMA RELAO DE EQUIVALNCIA PARTICULAR, A RELAO DE IGUALDADE A relao de igualdade uma relao simtrica, transitiva e reflexiva. , portanto, uma relao de equivalncia. No entanto, ela tem a particularidade suplementar de afirmar que o que est direita do sinal de igualdade nada mais que aquilo que est esquerda: ela no apenas afirma uma equivalncia, mas tambm uma identidade. Na verdade, quando se escreve uma relao de igualdade entre conjuntos A=B ou entre nmeros a=b isso significa que o conjunto de A e o conjunto de B so um s e mesmo conjunto, e que o nmero a e o nmero b so um s e mesmo nmero. Como pode ser assim, uma vez que a relao de igualdade se comporta, em certo sentido, como uma relao binria, entre objetos distintos? Analisemos um exemplo numrico 3+4=7 As propriedades das relaes de equivalncia so todas verdadeiras e utilizveis


Grard Vergnaud simetria transitividade 3+4=7 3+4=7 7=5+2 7=7 3+4=3+4 7=3+4 3+4=5+2

reflexividade

Dizer, ao mesmo tempo, que se trata do mesmo nmero direita e esquerda do sinal de igualdade, significa que a expresso simblica 3 + 4 representa o mesmo nmero que o smbolo 7. Em outros termos, a igualdade pode ser lida de dois modos: - como uma identidade no nvel do nmero representado, - como uma equivalncia entre representaes simblicas diferentes desse mesmo nmero. A relao de igualdade coloca, portanto, ao mesmo tempo, a identidade nica do significado e a equivalncia dos diferentes significantes. Ela interpretada em dois nveis. Essa uma dimenso original, no claramente assim encontrada nas outras relaes binrias. De fato, quando escrevemos, por exemplo: a I b (Andr irmo de Bernardo) designamos por a, apenas um s objeto, Andr, e por b, igualmente apenas um s objeto, Bernardo, distinto do primeiro: a e b no podem designar o mesmo objeto. No h dois nveis de leitura da relao a I b, mas somente um. a simboliza o objeto Andr b simboliza o objeto Bernardo I simboliza a relao irmo de O duplo aspecto da relao de igualdade se deve ao fato de que um ou mais dos membros de uma igualdade coloca em jogo seja uma operao ou uma sequncia de operaes: 3+4=7 4 x (3 + 6) 6 = 6


A criana, a matemtica e a realidade seja uma ou vrias incgnitas cujo valor procuramos determinar: x=7-3 x+y=7 - sejam, e mais frequentemente, tanto incgnitas como operaes ao mesmo tempo: 4 x (3 + 6) 6

x =

y=3+x Frequentemente, so os dois nmeros de uma igualdade que comportam incgnitas e operaes: 3x + 2y + 3 = 3 - 2x A relao de igualdade afirma, ento, que o valor conferido a cada um dos dois membros da equao pela substituio de valores adequados s incgnitas e pela efetuao das operaes, idntico direita e esquerda do sinal de igualdade. A relao de igualdade afirma, assim, a invarincia desse valor atravs das diferentes operaes simblicas indicadas pelo membro da esquerda de uma parte, e o membro da direita, de outra parte. Retomaremos essa questo da invarincia no captulo XIII os problemas fundamentais do ensino de matemtica.



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CAPTULO III


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RELAES TERNRIAS E TRANSFORMAES RELAES QUATERNRIAS CORRESPONDNCIAS E APLICAES

RELAES TERNRIAS As relaes ternrias so relaes que, como o nome indica, ligam trs elementos entre si. Apresentamos delas, antes, vrios exemplos: - Pedro est entre Andr e Joana. - Sete quatro a mais que trs. - Seis multiplicado por cinco d trinta. - Os habitantes da Frana que no so franceses so estrangeiros residindo na Frana. Vemos, por meio desses exemplos, que os elementos ligados podem ser pessoas, nmeros, conjuntos... enfim, objetos lgicos de natureza bem diversa. Os lgicos e os matemticos no fizeram a anlise sistemtica das propriedades das relaes ternrias como o fizeram para as das relaes binrias. Isso se deve ao fato de que as relaes ternrias so mais complexas e que, frequentemente, podemos coloc-las sob formas mais apropriadas ao seu estudo. PRIMEIRO MODELO: LEI DE COMPOSIO BINRIA Podemos frequentemente colocar uma relao binria sob a forma de uma composio de dois elementos com o resultado dessa composio.


Grard Vergnaud Exemplos: - Sete quatro a mais que trs, pode-se escrever: ou ainda ou ainda ou ainda 7=3+4 4+3=7 7-4=3 7-3=4 6 x 5 = 30 Os habitantes da Frana que no so franceses so estrangeiros residindo na Frana, pode-se escrever: H F = E (com o simbolismo seguinte): H = conjunto dos habitantes da Frana F = conjunto das pessoas que no so francesas E = conjunto dos estrangeiros que habitam a Frana = sinal de interseco de dois conjuntos Em todos esses casos, dois elementos so compostos entre si para formar um terceiro elemento: o que os matemticos convencionaram chamar de uma lei de composio binria ou uma operao binria: a adio, a subtrao, a multiplicao, a diviso de dois nmeros, a interseco, a unio de dois conjuntos so leis de composio binrias. As leis de composio binrias podem ter as propriedades seguintes, as quais estudaremos em captulo posterior: - associatividade; - comutatividade; - existncia de um elemento neutro; - existncia de um inverso para todo elemento; - distributividade de uma lei de composio sobre uma outra; etc.

- Seis multiplicado por cinco d trinta, pode-se escrever:


A criana, a matemtica e a realidade Essas propriedades das leis de composio binrias permitem clculos relacionais de uma grande riqueza, os quais constituem, na realidade, um clculo relacional prprio s relaes ternrias. Mas as propriedades das leis de composio binrias no esgotam o que pode ser dito das relaes ternrias. Por exemplo, a relao entre no pode ser representada por uma lei de composio binria. No entanto, ela est ligada s relaes como ao lado de, frente, atrs, etc., e d lugar a clculos relacionais ou a inferncias interessantes, no sem dificuldades para a criana. Eis aqui um exemplo: Sejam as seguintes informaes: A, B, C, D so colegas sentados num mesmo banco A est entre B e C D est entre A e C D est direita de C Podemos deduzir, no caso, vrias relaes interessantes: A est direita de D A est entre B e D etc. A noo de relao ternria muito mais ampla que a de composio binria: Se toda lei de composio binria a b = c ( = sinal da composio) uma relao ternria, uma vez que ela enuncia uma relao entre trs elementos a, b e c. Porm, nem toda relao ternria pode ser sempre representada pela lei binria: o caso, sobretudo, da relao entre. Mesmo quando uma relao ternria pode ser representada por uma lei de composio binria, s vezes mais adequado represent-la por um modelo diferente, como vamos ver em seguida. SEGUNDO MODELO: ELEMENTO, RELAO-ELEMENTO, ELEMENTO Nessa representao de uma relao ternria, colocamos em evidncia que dois elementos so ligados por uma relao, ela mesma considerada como um elemento. Conservemos ento a ideia de que tal relao-elemento opera sobre o primeiro elemento para resultar no se-


Grard Vergnaud gundo. Encontramos ilustraes desse modelo em inmeros problemas de aritmtica, tal como veremos nos captulos posteriores. Retomemos o exemplo da relao: sete quatro a mais que trs que podemos tambm escrever assim: para ir de trs a sete, preciso juntar quatro. A representao sagital seguinte: 3 +4 7

mostra claramente que, com referncia relao binria simples: sete maior que trs 7 > 3 ou 3 < 7 uma informao suplementar dada sobre a diferena entre 7 e 3. Inmeras relaes ternrias so constitudas de dois elementos e de uma relao-elemento. No exemplo acima, os elementos so 7 e 3 e a relao-elemento +4 . Frequentemente, os elementos so estados e a relao-elemento uma transformao que faz passar do primeiro estado ao segundo. A noo de transformao to fundamental que ela demanda uma anlise separada. A NOO DE TRANSFORMAO Inmeras relaes do mundo real so, de fato, relaes dinmicas no sentido de que elas ligam estados sucessivos da realidade e no elementos simultneos da realidade. Poderamos nos contentar em falar de relaes estticas (ligando os elementos simultneos da realidade) e de relaes dinmicas (ligando os elementos no simultneos). Mas mais claro, mais explcito, neste caso, falarmos de transformaes. O que se passa no tempo pode ser descrito sob a forma de uma sequncia de transformaes:


A criana, a matemtica e a realidade Tr. 1 estado 0 estado 1 Tr. 2 estado 2 Tr. 3 estado 3, etc.

no interior dessa sequncia podemos reconhecer, numa trade particular, o modelo ternrio: transformao estado estado Eis alguns exemplos: -6 pessoas entram num nibus. Nele j havia 4. Agora h 10. 4 +6 10

-Eu gastei R$ 18,00 no aougueiro. Agora eu tenho R$ 3,00 na minha carteira. Quanto eu tinha antes de ir ao aougueiro?. (x representa a pergunta) x

-18

3

-Em um jogo, Beatriz deve mudar a cor, e somente a cor, dos objetos que lhe so dados: se ele vermelho, ela deve devolver um azul, se ele azul, ela deve devolver um vermelho. Se lhe for dado um pequeno tringulo azul, ela deve devolver um pequeno tringulo vermelho. pequeno tringulo azul mudana de cor pequeno tringulo vermelho

-Uma criana desloca um objeto em diagonal, sobre um quadrado, para ir do ponto A ao ponto C (que lhe oposto). A deslocamento diagonal C

Seria fcil multiplicar os exemplos. Adiante, este livro poder mostrar que a noo de transformao esclarece inmeras noes matemticas e facilita a anlise de numerosos problemas. Podemos assinalar, no entanto, que os elementos em jogo na relao ternria estado-transformao-estado no tm exatamente o mesmo


Grard Vergnaud status, pois dois termos so os estados e o outro, uma transformao. Assim, nos exemplos precedentes, podemos distinguir:OS ESTADOS1 exemplo 2 exemplo 3 exemplo 4 exemplo As pessoas que esto no nibus (em um momento dado) O dinheiro que tenho na carteira (em um momento dado) A cor dos objetos A posio dos objetos

AS TRANSFORMAESAs pessoas que entram e saem O dinheiro que tiro ou ponho na carteira A mudana de cor O deslocamento

Essa diferena de status entre estado e transformao no aparece quando colocamos as relaes ternrias sob a forma de lei de composio binria (a b = c) que vimos antes, pois os trs elementos a, b e c so agora considerados como sendo de mesma natureza. O modelo estado-transformao-estado permite uma anlise mais fina das relaes e dos problemas que podem ser propostos. Faamos brevemente essa anlise, que ser retomada de modo mais completo por ocasio do estudo dos problemas de aritmtica elementar. CASO SIMPLES: UMA S TRANSFORMAO Trs categorias de problemas podem ser identificadas: 1 - Conhecendo o estado inicial e a transformao, encontrar o estado final. 2 - Conhecendo a transformao e o estado final, encontrar o estado inicial. 3 - Conhecendo o estado inicial e o estado final, encontrar a transformao. Os exemplos que seguem, retirados unicamente da aritmtica aditiva, permitem ver que sua soluo coloca em ao clculos relacionais diferentes.


A criana, a matemtica e a realidadeCATEGORIAS DE PROBLEMAS 1 categoria Eu tinha 13 bolinhas, perdi 4; quantas tenho agora? 13 CLCULO RELACIONAL CORRESPONDENTE

-4

x

Clculo do estado final pela aplicao da transformao direta -4 ao estado inicial 13.

2 categoria Ganhei 6 bolinhas. Agora tenho 12. Quantas eu tinha antes de jogar x +6 12

Clculo do estado inicial pela inverso da transformao direta +6 e aplicao da transformao inversa -6 ao estado final 12.

3 categoria Tinha 8 bolinhas, acabei de jogar uma partida e agora tenho14. O que aconteceu na partida? Clculo da transformao pela diferena entre o estado inicial 8 e o estado final 14. x 8 14

Embora nos trs casos a soluo consista em uma simples subtrao, a dificuldade desses trs problemas no a mesma e, para algumas crianas, h um intervalo de dois anos entre o sucesso no primeiro problema e o sucesso no segundo. Essas trs categorias de problemas no so outra coisa seno as trs questes que podem ser colocadas sobre as relaes binrias: sobre o elemento da direita, sobre o elemento da esquerda, e sobre a prpria relao. Tomemos o seguinte exemplo: Pedro o sobrinho da Dona Maria. As trs questes possveis so ento: sobre o elemento da direita: - Pedro sobrinho de quem? sobre o elemento da esquerda: - Quem o sobrinho da Dona Maria? sobre a prpria relao: - Que relao h entre Pedro e Dona Maria? Ocorre simplesmente que, no caso das relaes ternrias propriamente ditas, a relao ela prpria considerada um elemento. Vemos tambm que ela no um elemento idntico aos outros.


Grard Vergnaud Veremos, nos pargrafos seguintes, que existem certas relaes ternrias nas quais podemos colocar, sem ambiguidade, os trs elementos no mesmo plano. CASO MAIS COMPLEXO: VRIAS TRANSFORMAES Quando h vrias transformaes sucessivas, uma questo nova se coloca: aquela da composio das transformaes. As categorias de problemas, que ento podemos propor, so muito mais numerosas. Primeira categoria: a pergunta diz respeito ao estado Podemos, por exemplo, colocar uma questo sobre o estado inicial, o estado final ou um dos estados intermedirios, conhecendo certos estados e certas transformaes. A configurao das transformaes pode, ento, ser de uma grande variedade, gerando um grande nmero de subcategorias de problemas. Por outro lado, pode haver (e, em geral, h), vrios caminhos possveis para achar a resposta questo colocada. Tomemos o problema seguinte: Queremos conhecer o nmero de habitantes de uma ilha em 1.900. Dispomos para isso do nmero de falecimentos e de nascimentos que ocorreram na dita ilha desde 1.900 (1.253 falecimentos e 1.728 nascimentos) e do nmero de chegadas e de partidas definitivas por barco, registradas no caderno do porto (342 chegadas e 2.785 partidas). Sabemos tambm que hoje h 603 pessoas na ilha. Eis um esquema que representa bem o problema:

-1.253x

+ 1.728

+342

-2.785603


A criana, a matemtica e a realidade Outros esquemas obtidos da mudana da ordem das transformaes so tambm to adequados quanto o anterior. Mas fiquemos com este. Podemos ver facilmente que h vrios meios de resolver o problema. Os clculos relacionais so indicados pelos traos interrompidos. 1 - Retornar do estado final ao estado inicial, aplicando sucessivamente as transformaes inversas das transformaes diretas dadas no enunciado. 2.571 +1.253 1.318 3.046 3.388 603 +2.785

-1.728

-342

2 - Somar as transformaes positivas de um lado, as transformaes negativas de outro, calcular o resultado e aplicar o inverso do resultado ao estado final.

-1.253

+1.728

+342

-2.785603

+2.070

-4.038603

-1.968603

2.571 +1.968

603


Grard Vergnaud 3 - Somar os falecimentos e os nascimentos e encontrar o excedente dos nascimentos, somar as chegadas e as partidas e encontrar o excedente das partidas. No calcular o resultado total, mas aplicar imediatamente ao estado final as transformaes inversas das transformaes diretas assim encontradas. -1.253 +1.728 +342

-2.785603

+475

-2.443603

2.571

3.046

603 +2.443

-475

Evidentemente, h vrias outras solues possveis. Essas diferentes solues so equivalentes entre si do ponto de vista do resultado, mas no do ponto de vista dos clculos relacionais que implicam, como veremos mais tarde. Segunda categoria: a pergunta diz respeito a uma transformao. Podemos fazer uma pergunta sobre uma das transformaes elementares, sobre a transformao composta que resulta da composio de todas as transformaes em jogo, ou sobre uma das transformaes compostas intermedirias (por exemplo, o excedente dos nascimentos sobre os falecimentos, no exemplo acima). claro que aqui tambm a configurao possvel das transformaes de uma grande variedade e, desse fato, resulta um grande nmero de subcategorias de problemas. Ns no os descreveremos aqui em detalhe, como tambm no descrevemos as diferentes subcategorias de problemas relativos procura de um estado. No entanto, destacaremos uma diferena importante: a que existe entre os casos em que est disponvel uma informao sobre os


A criana, a matemtica e a realidade estados e os casos nos quais nenhuma informao est disponvel. Na verdade, no primeiro caso, a informao sobre os estados permite, em geral, encontrar, passo a passo, os dois estados que ligam a transformao procurada, e encontrar, ento, pela diferena entre esses dois estados, a dita transformao. No segundo caso, ao contrrio, como no dispomos de nenhuma informao sobre os estados, preciso, necessariamente, passar pela composio e pela decomposio das transformaes, o que implica os clculos relacionais tidos como os mais difceis para as crianas. assim que, no problema precedente sobre a ilha, a segunda soluo usada mais tarde que a primeira. Vamos dar dois exemplos que permitem ao leitor representar melhor essa distino. A. Caso com informao sobre os estados Um entregador de correio parte de manh com 14 caixas no seu caminho. Ele para uma primeira vez e pega 3 caixas suplementares. Ele para uma segunda vez para entregar as caixas. Ele parte e se pergunta, de repente, se no entregou algumas caixas por engano, pois no se lembra do nmero exato de caixas que entregou. Ele conta as caixas que esto no seu caminho e acha 7 a menos que de manh. Quantas caixas ele entregou?. B. Caso sem informao sobre os estados Do mesmo enunciado do exemplo precedente, suprimida a primeira informao sobre o nmero de caixas que esto no caminho, inicialmente. Esquema correspondente ao enunciado A +3 14 x

-7


Grard Vergnaud Esquema correspondente ao enunciado B +3 x

-7Os meios de que dispomos para resolver o problema so, evidentemente, diferentes nos dois casos. (No caso B, no temos escolha e o nmero de caixas entregues no pode ser encontrado a no ser pela adio do nmero de caixas a menos em relao ao incio (7) e do nmero de caixas suplementares apanhadas na primeira parada (3)). Trata-se de clculo relacional que incide sobre as transformaes +3 , x, -7 , clculo cuja dificuldade grande para as crianas do primeiro grau: 75% das crianas do CM210 so incapazes de resolver um problema desse tipo. Se escrevermos a equao correspondente e sua soluo, vemos imediatamente sua dificuldade: (+3) + x = (-7) x = (-7) - (+3) = -7 -3 = -10

No caso A, dispomos de dois meios: - o meio que acabamos de descrever e que vlido igualmente nesses casos; a informao sobre o estado inicial no ento utilizada; - um outro meio que consiste em procurar, primeiro, o estado intermedirio e o estado final, depois em buscar a transformao, pela diferena entre o estado intermedirio e o estado final. Representemos esse raciocnio em vrias etapas:

Alunos matriculados no CM2 do sistema de ensino bsico francs tm, em geral, 10 anos de idade. N. T.10


A criana, a matemtica e a realidade Primeira etapa +3 14 17 7

-7Segunda etapa

-1017 7

Embora esse procedimento seja mais longo que o primeiro, ele mais utilizado que o outro pelas crianas que conseguem resolver o problema. A maior parte das crianas no utiliza o primeiro procedimento. A dificuldade para calcular diretamente sobre as transformaes tal que, no caso B, as crianas explicam que, como no sabemos quanto ele tinha no incio, no podemos resolver o problema. A composio das transformaes nada mais que um caso particular da composio das relaes. O enunciado seguinte mostra que a composio das relaes estticas no menos complicada que a composio das transformaes ou relaes dinmicas. Alberto tem duas bolinhas a mais que Bernardo. Carlos tem quatro bolinhas a mais que Alberto. Quantas bolinhas Carlos tm a mais ou a menos que Bernardo?.


Grard Vergnaud Temos vrias representaes possveis das informaes (a para Alberto, b para Bernardo, c para Carlos); eis trs delas:

-2a b

+4 c +2 b a

-4c

+2 b a c

+4 De fato, a ausncia de ordem temporal permite colocar a, b, c em qualquer ordem, o que no o caso com as transformaes. Por conta desse fato podemos tambm utilizar uma disposio triangular: a +2 b +4 c

A composio das relaes e das transformaes ser abordada novamente por ocasio da soluo dos problemas aritmticos. Estudaremos ento, com mais detalhes, as leis de composies binrias, que permitem tratar adequadamente a composio das relaes e das transformaes. Certas questes que acabamos de abordar ficaro, assim, mais claras.


A criana, a matemtica e a realidade RELAES QUATERNRIAS Uma relao quaternria tem frequentemente a forma seguinte: a est para b assim como c est para d Ela reafirma que a relao entre a e b a mesma que a relao entre c e d. Os exemplos que demos no captulo I dizem respeito a esse caso: - Londres para a Inglaterra, o que Paris para a Frana - Andr to moreno quanto Beatriz loira - O preo de seis garrafas est para o preo de uma garrafa, assim como seis garrafas esto para uma garrafa 18 6 - Dezoito sobre quinze igual a seis sobre cinco: = 15 5 Existem outras relaes quaternrias, mas que no so matematisveis em uma estrutura algbrica simples. Por isso, vamos nos contentar em analisar esse caso. As relaes binrias podem existir entre objetos de mesma natureza ou entre objetos de natureza diferente. Londres maior que Paris uma relao entre cidades, portanto, entre objetos de mesma natureza. Londres a capital da Gr-Bretanha uma relao entre uma cidade e um pas, portanto, entre objetos de natureza diferentes. As mesmas distines so necessrias para as relaes quaternrias. 18 6 = 15 5 uma relao entre objetos de mesma natureza (nmeros). O preo de seis garrafas est para o preo de uma garrafa assim como seis garrafas esto para uma garrafa. uma relao entre objetos de natureza diferente (quantidades de garrafas e preos).


Grard Vergnaud Frequentemente, nas situaes encontradas pelas crianas na escola bsica, as relaes quaternrias so relaes entre objetos de natureza diferente que supem, portanto, conjuntos diferentes. Primeiro exemplo: cidades (Paris, Londres, ...) pases (Frana, Gr Bretanha, ...) Terceiro exemplo: quantidades de mercadorias (uma garrafa, seis garrafas, ...) preos (preo de uma garrafa, de seis garrafas, ...) Esse ltimo exemplo muito importante porque o prottipo da categoria mais frequente dos problemas do tipo multiplicativo, como veremos no captulo que lhes consagrado. A anlise das relaes quaternrias no demanda muitas consideraes novas em relao anlise das relaes binrias e quaternrias. J vimos que as relaes ternrias no so, com algumas excees, nada mais que relaes binrias nas quais as prprias relaes so consideradas como elementos. A prpria forma das relaes quaternrias s quais decidimos limitar nossa proposio a est para b assim como c est para d mostra que tais relaes voltam a afirmar a identidade de duas relaes binrias. No entanto, um aspecto novo deve ser colocado em evidncia: o fato de que as relaes quaternrias colocam frequentemente em jogo dois conjuntos de referncia e no apenas um (cidades e pases, quantidades de garrafas e preo, etc.) e a correspondncia entre eles. verdade que o estudo das relaes ternrias j nos permitiu ver que h uma diferena de status entre os elementos ligados e a relao elemento, entre os estados e a transformao, por exemplo. Mas essa diferena de status, qual teremos, alis, ocasio de retornar, no tornava obrigatrio o estudo dessas importantes noes matemticas que so as noes de correspondncia e de aplicao.


A criana, a matemtica e a realidade CORRESPONDNCIAS E APLICAES Quando dois conjuntos so colocados em correspondncia, vrios casos podem ocorrer. PRIMEIRO CASO: CORRESPONDNCIA BIUNVOCA (unvoca nos dois sentidos) A cada elemento do primeiro conjunto corresponde um elemento e um s do segundo conjunto e reciprocamente. caso particularmente simples, e que podemos observar tanto nos exemplos qualitativos como nos qualitativos. Exemplo qualitativo: Entre o conjunto das capitais e o conjunto dos pases existe uma correspondncia biunvoca: um pas tem uma capital e uma s; uma capital capital de um pas e de um s. Exemplo quantitativo: Entre o conjunto dos pesos e o conjunto dos volumes para uma mesma matria, existe uma correspondncia biunvoca: a um peso dado corresponde um volume e um s, a um volume dado corresponde um peso e um s. SEGUNDO CASO: CORRESPONDNCIA BIMULTVOCA (multvoca nos dois sentidos) A cada elemento do primeiro conjunto pode corresponder um ou vrios elementos do segundo conjunto e reciprocamente. caso menos simples que o precedente no sentido de que podemos ter vrias situaes diferentes. Enquanto a correspondncia biunvoca se reduz a um s caso que podemos ilustrar pelo esquema seguinte: 0 0 0 0 Univocidade nos dois sentidos. Uma s possibilidade: um corresponde a um


Grard Vergnaud a correspondncia bimultvoca pode resultar em um esquema como o seguinte: 0 0 0 0 0 0 Exemplo qualitativo: Entre o conjunto de homens que tm pelo menos uma irm e o conjunto das mulheres que tm pelo menos um irmo, existe uma correspondncia bimultvoca: um homem pode ter uma ou vrias irms; uma mulher pode ter um ou vrios irmos. Algumas dessas irms e desses irmos podem ser comuns a vrias pessoas, no total ou somente em parte (no caso das meias irms e meio irmos). Exemplo quantitativo: Entre o conjunto das distncias percorridas normalmente de carro e o conjunto do consumo de gasolina correspondente, h uma correspondncia bimultvoca: a cada distncia percorrida podem corresponder vrios consumos de gasolina possveis (segundo o percurso escolhido, segundo a velocidade, segundo o dia, a hora e as condies do tempo); a cada consumo de gasolina pode corresponder vrias distncias (pelas mesmas razes). Multivocidade nos dois sentidos. Vrias possibilidades: - um corresponde a um - um corresponde a vrios - vrios correspondem a um - vrios correspondem a vrios


A criana, a matemtica e a realidade TERCEIRO CASO: CORRESPONDNCIA CO-UNVOCA (unvoca em um s sentido) Deveramos distinguir dois casos, aquele no qual a correspondncia unvoca direita (do primeiro para o segundo conjunto) ou esquerda (do segundo para o primeiro). Vamos nos limitar a dar uma definio como a seguinte: A cada elemento de um dos dois conjuntos corresponde um elemento e um s do outro, mas a recproca no verdadeira. Em outros termos, a correspondncia unvoca em um sentido e multvoca em outro. Exemplo qualitativo: Entre o conjunto das crianas de uma escola e o conjunto de suas mes, existe uma correspondncia co-unvoca; a cada criana corresponde uma me e uma s; a cada me podem corresponder uma ou vrias crianas. Exemplo quantitativo: Entre o conjunto das pequenas somas de dinheiro que uma criana pode dispor e o conjunto das quantidades de balas que pode comprar com aquelas somas, existe uma correspondncia co-unvoca: a cada soma dada, corresponde uma quantidade de balas e uma s; mas reciprocamente, uma quantidade de balas corresponde a vrias somas diferentes. Suponhamos que uma bala custe 7 centavos; a criana no pode comprar mais que uma bala, enquanto no tiver 14 centavos; uma bala corresponde, portanto, a vrias somas de dinheiro (7-8-9-10-1112-13 centavos). A NOO DE APLICAO Quando uma correspondncia unvoca em um sentido, ela se presta a clculos dedutivos simples pois, quando percorremos a relao entre os dois conjuntos no sentido da univocidade, podemos estar certos de que: a um elemento do primeiro conjunto corresponde um elemento e um s do segundo conjunto. Dizemos, ento, que h uma aplicao do primeiro conjunto no segundo.


Grard Vergnaud Essa noo de aplicao uma das noes mais importantes da matemtica dita moderna; ela generaliza a noo de funo a casos no numricos, e a matemtica ensinada na escola bsica deve lhe dar um bom espao. Parece-nos que chegado o momento de voltar e examinar melhor as relaes binrias. Com efeito, ns as consideramos at agora sob um ngulo que permitia colocar em um mesmo conjunto os dois elementos ligados pela relao. Ora, acabamos de ver que existem relaes binrias para as quais o elemento da esquerda e o elemento da direita esto dentro de conjuntos diferentes. x a capital de y x km percorridos em y segundos x km necessitam y litros de gasolina x uma capital y m uma nao x uma distncia y um tempo x uma distncia y uma quantidade de gasolina

As propriedades que descrevemos no captulo consagrado ao estudo das relaes binrias (simetria, antissimetria, transitividade, etc.) no so bem adaptadas anlise das relaes binrias entre objetos de conjuntos diferentes. No h nenhum sentido em, por exemplo, interrogar-se sobre a simetria ou a transitividade das relaes em jogo nos conjuntos acima. Tomemos o primeiro exemplo: se x a capital de y, y uma nao e no poderia ser a capital de z. A linguagem das correspondncias e das aplicaes melhor se adapta anlise das relaes binrias entre objetos tomados de conjuntos diferentes. As correspondncias e as aplicaes so igualmente susceptveis de se compor pelo encadeamento, mas essa composio diz respeito s relaes diferentes entre si.


A criana, a matemtica e a realidade Exemplos:QUILMETROS LITROS DE GASOLINA DESPESAS EM $

Relaes elementares

x

acarreta um consumo de

y y custam z

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A criança, a matemática e a realidade