A divina proporção

5/11/2018 A divina proporo

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H . E . Hunt leyA Divino Proporcoo

Un Enscio s o b n z a B c 2 if 2 z an a M c : I 1 l2 m 6 t i c a

P ens amen to C i en tffic oTradt.l{Co d e LuIS Carlos AscEncio NUfUS

Rtvisao dt Angtla Mana 5ou%a Celona Nogue i ra


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Este l ivro ou parte delenAo pode ser reproduzido por qualquer meiosem aurorizacao escrita do Editor

Irnpresso no BrasilEditora Universidade de BrasiliaCampus Universitario - Asa Norte

70910 - Brasilia - Distrito Federal

Copyrighf@1970 H.E. Huntley. Dover Publications, Inc.Nova IorqueTitulo original:

Hi D iv in e P ro po rt io n ,- a s tudyin math~icaI Imtuty

D ir ei ro s e xc lu s iv o s p ar a t lt4 tdi ,I iD ,Editora Universidade de Brasflia

EQUIPE rtC.\'ICA;Ed i fo re sCelia Ladeira. Lucio Reiner

SUPtnJ iJOT Gni j i coElmano Rodrigues Pinheiro

C o nt TD la M r es d e nXfDAntonio Carlos Ayres Maranhao e Veralucia Pimenta de Moura

ISBK 85-230-0035-6Ficha catalografica elaborada pela

BibLioteca Central da Universidade de Brasilia

Huntley, H.E.H954d A divina propcrcao, Trad. de Luis Carlos As-cencio : -; -unCJ. Bra sf li, Ed ito ra U n iv e r sid ad e

de Brasflia, 1985.

178 p. {Cok


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SumarioPREFAclO 11

INTRODUcAo 13o Exercicio de uma Habilidade - Uma Carreira na Materna-rica - Ensinando Matem.itica - Valores EspirituaisFilosofia,

CAPiTt;LO I - A TEXTURA DA BELEZA 21Validade Antiga - Apreciacao, Transmitida e Adquirida-Definicoes - A Evolucao da Faculdade Estetica - Platao,Croce, Wordsworth. Coleridge - A Unidade na Variedade- Uma HipOtese que Funcione - Estrutura da Psique - AAtividade Emodonal - Estetica - A Muska - 0 Universaldo Prazer Estetico - Atividade Criadora: Empatia.

CAPITl:LO II - A DIVINA PROPORCAoPitagoras e os Nurneros: a Musica e os Inteiros - A DivisaoAurea (Euclides) - Ftdias e 0 Partenon - 0 Fi(q:,),ValorN ' umerico - Solucoes de x' - x - I = 0 - DeterrninacaoGeometrica do Fi - Os Multiples de 1 1 " /5 - 0 Pentagramaou Triangulo Triplo: urn Simbolo - Iarnblichus e a Irmarida-de Pitagorica - Os Cinco Solidos Platonioos,

CAPiTULO II] - ANALISE DA BEUZA 43Surpresa, Admiracao, Curiosidade: urn Exemplo - Condi-


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8 H. E. HuntleyCAPiTULO IV - F I E Fl-BONACCIseries Somat6rias - Calculo do Fi por Computador - UrnSofisma Ceometrico - A Serie Aurea: Propriedades Notaveis- Direito Estetico - A Divina Proporcao e a Sexta Maior -Calculo de Diapasao - Resumo - A Formula de Binet - ALei do Crescimento,

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CAPiTULO V - A ARTE E 0 RET AKGULO AUREO 63A Sensibilidade Esterica, Inata e Adquirida - "A Beleza euma Palavra de Deus" - Definicoes - A Divina Proporcao -Estetica Experimental {Fechner, Witmar, Lalo, Thorndike)-A Elipse Aurea - 0 DIN Alemao - Quadrados Sornatorios- A Espiral Retangular .

CAPITULO VI - A BELEZA NA MATEMATICA 73Ambigiiidade no Titulo - Esclarecida Atraves de Exemplo: aParabola - Os Esteticamente Inaptos - Beleza, urn Guiapara a Verdade - As Ideias na Poesia e na Maternatica -EvoJul;ao da Sensacao de Estet ica - A Maternarica e a Muska- POt que a Recordacao e Agradavel? - Os Ingredientes daBeleza - Alternancia de Tensao e Alivio - A Realizacao daExpectativa - Surpresa - A Percepcao de RelaQ5es Inespe-radas - Os Padroes - A Brevidade - A Unidade naVariedade - 0 Prazer Sensorio das Curvas - Adrniracao,Medo, Misterio - 0 Olho que Ve.

CAPiTULO VlI- EXEMPLOS SIMPLES DE INTERESSE ESTtTICO 91Uma Antologia Limitada - 0 Fabricante de Comprimidos -Urn Triangulo Limitado pela Razao Aurea - Urn TrianguloInscri to em ur n Retimgulo - A Cruz de Lorraine - 0Cub6ide Aureo - A Espiral Logaritmica.CAPiTULO VIII - OUTROS EXEMPLOS 103Os Objetivos do Ensino da Maternatica - Trissetores de urn

Angulo - F i: urn Dutro Esconderijo - 0 Problema doTetraedro - Dois Triangulos - Logaritmo da Media Aurea- 0 Fi e a Parabola - Seccoes Aureas e Conicas

CAPiTULO IX - PADROESUma Fonte de Prazer Estetico - Problemas de Xadrez - AFormula de Euler - Os Quadrados Magicos (0 QuadradoMagico de Fibonacci) - Os Numeros Poligonais - As Regrasde Fermat.CAPiTULO X - 0 TRIANGVLO DE PASCAL E FI&ONACCI 127o Tri3ngulo de Pascal- 0 Triangulo Chines - Compute deProbabilidades - Outros Padroes de Pascal - As FracoesContinuas - As Convergentes e a Serie de Fibonacci.

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A Divina Proporcao 9

- ~-

CAPiTt.:LO XI - OS I\UMEROS DE FIBONACCIA Relacao com a Razao Aurea - Fonte de Sensacao Estetica- Os Prirneiros Quarenta Numeros - Serie de Fibonacci:uma Progressao Ceornetrica - Um Problema Pratico -Coeficienres de x J (1 - x - r)- A Formula de Binet -Algumas Propriedades dos Numeros de Fibonacci - AsDeterrninantes de Valor Zero.CAPITtJLO XII - OS NUMEROS AUREOS DA !\'ATCREZA 147Rejeicao do Ponto de Vista do Poeta - Teleologia - Fibo-nacci e a Natureza - Os Reflexes Multiples - Fibonacci e 0Atomo - Leonardo de Pisa - 0 Problema dos Coelhos - AColrneia: Genealogia do Zangao - Filotaxia: as Divergenciasdas Folhas e os Numeros de Petalas,

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CAPiTULO XIII - SPIRA MIRABILIS 158A Espiral Equiangular: 0Girassol - As Conchas -linhasExpressivas - Urna Chapa de Raios-X do Nautilo - VariasDesignacoes - Os Gn6mones; ~),Arcy Thompson e a Lei doCrescimento - 0 Triangulo Aurea - Equacao Polar daEspiral - A Escala Musical e a Espiral- Conclusao,

APEl\' DICE 171NOTAS 173


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A beleza ~ um elemenro proeminente na inteireza ahstrata visada pela matemarkamais avancada; ~0objet ivo do ffs ico enquanto procura construir a ordem do universe;ao menos deveria ser a jnspir~ io de rode estudo da vida. .. Levanta para nos a questaoda profundidade e akanee de nossa consciencia. Oaf a necessidade da orao;iiodo poetapara q~ mais reapeiro em neMse enoontre.

JOHNOMAN, 77u Nawrat and thl Sllpt1"1l4Wra[

56 Euclides julgou 6bvi a a beleza...EDNA ST. VINCENT MILlAY, S o o n "


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PrefacioTendo lecionado matematica e fisica a estudantes de nivel universitariodurante trinta anos, acho-me ainda diante da dificuldade didatica com que medefrontei quando comecei a lecionar, qual seja, como insular nas mentesadolescentes 0melhor e talvez unico motivo permanente para se estudarmatematica, que, em minha opiniao, e 0 motivo estetico,Como 0aperfeicoamento de uma habilidade Ifsica, a apreciacao da beleza

em qualquer forma pode ser desenvolvida com a pratica, Este processoenvolve a apresentacao, ao aprendiz, de objetos de beleza para sua avafiacao;no presente caso, de uma colecao de especimes matematicos de reconheddoapelo estetico, Nao e diflcil surgirem antologias de poesias au musicas: ]oiaJ deShaIIespuITe au ColeUinea de Canf6e;1:PopulaTes sao titulos familiares, entia porque nao compilar uma colecao semelhante para a materna tica , que afinal euma forma de arte? Para 0matematico de mentalidade voltada para a estetica,muito da matematica parece poesia. Portanto, que a colecao que sesegue sejatida como uma antologia, que, na derivacao grega, e uma colecao de flores.Que eu saiba, e a primeira da especie,Os topicos discutidos sao simples; estao todos relacionados rnais au menusdiretamente com a "divisao aurea" dos gregos. 0 autor espera que 0ensaio

nao apenas exerca apelo estetico no leitor, mas que tambem estimule suasproprias atividades criativas, pois a experiencia de criar alga novo ou desoo-brir alguma beleza oculta e urn dos ptazeres mais intensos que a mentehumana pode experimentar.Apraz-me expressar gratidao a meus amigos, Charles Clutterbuck, daUniversidade de Bath, pela habit execucao dos desenhos, e ao sr. Peter KuTZ,pela leitura dos manuscritos e pelas diversas sugestoes uteis,

Huuon,Somerset,Reine Unido H.E.HUNTLEY


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Introducaoo tema deste livro e a apreciacao estetica da matematica, A observacao dePoincare, de que "". senao para contemplar a beleza da harmonia, nao valeriaa pena dedicar-se it ciencia", aplica-se tambem a sua propria disciplina, amatematica. A declaracao de K. Weierstrass, de que "nenhum matematicopode ser urn matematico complete a menos que tenha tambem algo de poeta",lembra a de Poincare: "0 matematico nao esruda a matematica pura porqueela seja uti l; ele a estuda porque deleita-se com ela, e delei ta-se com ela porqueeta e bela", Uma vez que a finalidade destas paginas e dicbitica, foi neeessarioconsiderar como a ernocao do leitor poderia ser afetada enquanto eleexercitasse sua inteligencia ao acompanhar uma argumentacao matematica;como se poderia formular uma ideia matematica que fosse tanto convincentepela sua 16gicacomo tocante pela sua beleza, Parecem ser exigidas tres etapasque, embora passam ser necessarias, podem nem sempre ser suficientes, em simesmas, para tornar chama a centelha da sensibilidade estetica,Em primeiro lugar, se procuramos inculcar no materrnitico principianteuma sensibilidade a beleza nos assuntos que ele estuda, devemos oonfronta-locom especimes belos. Nenhum argumento jamais convenceria urn cego da

beleza do arco-iris: ele tern de v~lo. Par conseguinte, apresento haspaginas aseguir uma pequena "antologia", uma sel~ao de especimes maternaticos que aexperiencia demonstrou possuirem apelo estetico, Entretanto, 0campo deescolha e tao amplo que faz-se oportuno urn criterio limitativo. Nao seriamuito dificil ser mais abrangente e escrever uma especie de belas- artesmatematicas, mas preferi a alternativa, e assim veeificar-se-a que todos osespecimes selecionados estao ligados a uma ideia unica, que tocava fortementeas sensibilidades esteticas dos gregos antigos dos diu de Pitagoras, a saber. a'"proPOrQlo divina" e 0assunto afim, a sene de Fibonacci. A ideia basica esimples; a maior pane dos t6picos cognados estao dentro da competencia dosalunos do segundo grau escolar. A oonclusao que pode-se esperar que 0leitortire e que, se urn campo ~o restrito contem tantas joias, 0campo inteiro damatematica deve ser de faro rico!


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16 H. E. Huntley A Divina Proporcao 17Em segundo lugar, e necessaria alguma instrucao preliminar l igada aos

especimes selecionados. t transmitido um senso limitado de apredac;aoestetica; 0 restante tem de ser adquirido. POl' exemplo, a pessoa sem instrucaoem matematica pode facilmente apreciar a dupla simetria de uma elipse; isto et ransrnit ido, Mas 0 tesouro ilimitado de beleza das secoes conicas ficareservado para as pessoas treinadas em rnatematica: a capacidade e adquirida.Isto indica que 0caminho para 0verdadeiro prazer estetico e atTaves dalabuta, urn principio cuja validade vai bern alem do campo da maternatica. 0trabalho preparatorio e essencial: per ar6ua ad astra.Em terceiro lugar, 0ne6fito deve ser encorajado a ajudar-se a simesmo. Eai fica melhor 0rnetodo socratico, POl ' uma razao simples. A apreciacao dabeleza mal se distingue do ato da criacao, "No memento da apreciacao ...reeditamos a ato criador e n6s mesmos fazernos a descoberta novamente.": Aauto-ajuda e 0melhor caminho para relances intuitivos da verdade e paradescobertas que, mesmo em segunda mao, trazem consigo 0 prazer daatividade criadora.

Em resume: para induzir 0prazer estetico, escolha urn objeto adequado,adquira 0 treinamento correspondente e ajude-se a si mesmo,

experimentam grande satisfacao quando aprendem a usar os logaritmos ouquando 0 teorema remanescente permite-lhes fatorar urn polinomio alge-brice.

Mas embora a obtencao da habilidade em rnatematica e a sensacao deforC;amatematica aumentada contribuam para 0 gozo das atividades materna-ticas, nenhum deles pode exceder 0prazer da criacao da beleza, lembrando-seque mesmo a apreciacao e um restabelecimento da atividade criadora, demodo que a criacao da nova matematica e0estudo da maternatica velha criadaPOl' alguem mais resultam em tipos muito sernelhantes de sensibilidadeestetica,

Um a C a rre ir a n a M a t em a ti ca

o E xe rc ic io d e U1M Hab i l i dade

Se voce, Ieitor, pretende seguir uma carreira na maternatica pura ouaplicada, quer seja na industria, na pesquisa ou na docencia, deve estarconsciente de que, embora possa haver para voce uma recornpensa infalivel eduradoura nessa atividade - 0prazer na atividade criadora - erguem-secertos obstaculos desencorajadores, dos quais quatro podem ser mencionadosresu midamente.1. A capacidade de ardua concentracao mental e uma condicao s in e q uanon . Voce pode descobri que tern de conviver com urn problema dia e noite

durante semanas, dando tudo que tern de recurso mental a fim de soluciona-10 : nada de inspiracao sem perspiracao,2. Seus maiores esforcos podem ser infrutiferos, A despeito de excessivedispendio de tempo e habilidade, 0 resultado i: nulo, Desapontamenro,frustracao e quase desespero sao experiencias comuns aos matematicos series.3. Voce pode ficar solitario. Quase ninguem apreciara 0 seu trabalhoporque poucos serao capazes de entende-lo,4. Os resultados que voce efetivamente obtiver sempre parecerao despro-porcionalmente mais parcos em comparacao com os esfocos enviados paraproduzi- los: "A montanha pariu e gerou urn carnundongo".Em uma carreira na maternatica, 0unico caminho cerro para a satisfacao ecultivar assiduamente a apreciacao estetica da disciplina, Este prazer nao

desaparecera, mas aumentara com 0exercicio,

Naturalmente, ha, no exercicio da matematica, outras fontes de prazerqll ;e nao a apreciacao da beleza, Ha, por exemplo, 0exerclcio de habilidadesmentais, A matematica e uma linguagem e a habilidade em seu emprego podeproporcionar grande satisfacao. J. Bronowski escreve:"Em primeiro lugar, a Matematica e uma lingua em que sediscutem aquelas partes do mundo real que podem ser descritaspar numeros au pOl' relaeoes semelhantes de ordern. Juntamente.porem, com 0dever rotineiro de traduzir os fatos para esta l ingua.

existe, naturalmente, para aqueles que s a o bons neste campo, urnprazer na pr6pria atividade em si, Acham a linguagem mais rica doque 0seu conteudo esteri l: aquilo que e traduzido significa menospara eles do que a logica e 0estilo do dizer, e destes sons harmonic-sos desenvolve-se a Matematica como literatura pOl ' direito pro-pno. A Matematica, neste sentido - a Matematica pura - e umaforma de poesia, que possui a mesma relacao com a prosa daMatematica pratica, como a poesia tern com a prosa em qualqueroutra linguagem. Este elemento de poesia, 0encanto em explorar 0meio por amor do meio, constitui urn comportamento essencial doprocesso criador.:"

E n s in a n do M a t em a ti ca

Outra fonte secundaria de prazer no exercicio da maternatica e 0senti-mento de forca aumentada que 0 acornpanha. "De-me urn pontO de apoio",disse Arquimedes a respeito da alavanca, "e moverei 0mundo!", Os alunos

Como aluno e professor de rnatematica de longa data, posso permitir-medizer algo sabre dois tipos de alunos, os pedestres e os voadores,Primeiro, os professores devem ser complacentes com os alunos semtalento para a matematica, POl' razoes humanitarias, estes devem serdissuadidos de qualquer ambicao inexplicavel que possam tel' de experimen-

tar a matematica .avancada. C. G. Jung tern para nos, neste t6pico, alguns


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18 H, E, Huntley A Divina Proporcao 19conselhos sabios:

"Ha outros, entretanto, que de modo algum sao inacessfveis aeducacao.que, pelo contrario, exibem aptidoes especiais , mas denatureza muito peculiar e unilateral. A mais freqiiente de taispeculiaridades e a incapacidade de entender qualquer forma demarematica que nao seja expressa em numeros concretes. Por estemotivo, a maternatica avancada deveria ser sempre facultativa nasescolas, pois 0 desenvolvirnento da capacidade de pensamento16gico nao esta de modo aIgurn ligado a cia, Para as individuosmencionados acima, a matematica e absolutarnente insignificante etao-somente urn tormento desnecessario, A verdade e que a mate-matica pressupoe urn tipo definido de constituicao psicolcgica quenao e de modo algum universal e que nao pode ser adquirido. Paraos que nao possuern capacidade, a matematica torna-se rneramenteurn assunto a ser memorizado, exatamente como se memoriza umaserie de palavras sern sentido, Tais pessoas podern, entretanto, seraltarnente dotadas em qualquer outro sentido e podem ja possuir acapacidade de pensarnento logico ou ter uma possibilidade maiorde adquiri-lo pelo ensino direto da logica, Falando-se de maneiraestrita, naturalrnente, uma deficiencia na capacidade matematicanao deve ser tomada como peculiaridade individual. Contudo,serve para demonstrar de que modo urn curriculo pode pecarcontra a peculiaridade psicologica do aluno", ~

Segundo. a sensibilidade a beleza na matematica e contagiosa. E.la econtraida, e nao ensinada, Contagia os que tern uma queda pelo assunto,Lembro-rne bern de quando aconteceu comigo, ainda urn estudante muitojovem da Universidade de Bristol. Foi uma experiencia seminal em minhavida.o antigo conferencista de matematica, Peter Frazer. urn homem arnavel e

urn brilhante professor, discutia razoes inversas com urn grupo de matemati-cos. Ele riscou rapidamente no quadro-negro urn lequede quatro retas,cortou-as corn urna t ransversal e escreveu uma pequena equacao: depois,desceu da plataforma e contemplou a figura. E claro que nao posso lembrar-me precisamente do que ele disse, mas foi algo mais ou rnenos ass im,Caminhando rapidarnente para Ia e para el i entre a classe eo quadro-negro,brandindo os braces excitadamente, com sua beca puida, desbotada pelaidade, flamulando atras de si, falou em frases destacadas: "Oh, urn teorernareal mente bela! Belo!.. . Belo! Olhem para ele! Olhem para ele!Que simplicida-de! Que econornial Apenas quatro linhas e uma transversal ." Sua VOl eleva-seem urn crescendo; "Que elegancial Quaisq'IUrlinhas, qualquer transversal. Suageneralidade e cmombrosa . " Depois, murrnurando para si mesmo: "Belo: . ..Belol . .." parou, l igeiramente embaracado (ele era originario de Aberdeen) eretornou a Terra.

Os alunos acharam divertido. Mas nem todos. Fagulhas daquele ardenteentusiasmo cairam sobre pelo menos urn dos rapazes, Ele pegou fogo e aquelefogo jamais se extinguiu. Dai este l ivro.

Va l o re s E s p i ri tu a i sNao devo encerrar este capitulo introdutorio sem prestar testemunho dos

oa l o re s e s p ir i tu a i s resultantes do exerclcio da matematica do ponte de vistaestetico. J a salientei 0prazer que deriva da co~templ~o ~a beleza. Masgrac;as maiores podem recornpensar 0 estudante ~Jn:ero, ~s~e eo testemunhodos muitos que foram ensinados atrave~ da associacao proXima com 0est~doda natureza e sua interprete, a matematica. 0 testernunho de~~s pes~o~s e_deque essas disciplinas podem proporcionar conforto, fasCI~O, edificacao,prazer e bent;aos. Tentarei justificar estes cinco substantives atraves decitac;Oesde cinco escritores cujos nomes sobressaern-se no rol da fama.1. ConfOTtO: Johannes Kepler

"Se ha algo que pode vincular a mentalidade celes~e.do homema este lugubreexfl io que e a nosso lar terreste e reconciliar-nos comnosso fado a ponto de se poder gozaT a vida - entao e, emverdade, 0desfrute das ciencias matematicas e da astronomia".2. Fa sc in i o : Lorde Rayleigh

"Algumas provas exigem confirrnacao. Ou~ra~ tentam e fasci-nam 0intelecto. Despertarn prazer e urn desejo incontrolavei dedizer 'Amem, Amem'."

3. Edificafii.o: Morris Kline"Talvez 0melhor motivo para se considerar a matemati.c~ uma

arte nao seja 0fato dela proporcionar uma saida para a auvld~d~criadora, mas sim sua capaddade de proporcio~ar valores .espm.tuais, Ela poe 0homem em contata com as asplra~6es maiores ecom os objetivos mais sublimes. Oferece prazer mtelectual e aexahacao de resolver os misterios do universe."?

4. Prazer: Tagore"Em algum Iugar na disposicao deste mundo parece exist ir urngrande interesse em proporcionar-nos deleite, 0que prov~ que nouniverse, alem do significado da materia e das forcas, e~lste u~~mensagem de que e portador 0rasgo magico da personalidade.;"E simplesmente po T ser redonda e rosada que a rosa me c~usamais satisfacao que 0ouro com 0qual poderia prover as necessida-des da vida ou proporcionar-me urn certo numero de escravos ... Dealgum modo, sentimos que por rneio da rosa chega aos nossos

eoracoes a Iinguagem do amor."!


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20 H. E. HuntleyA Divina Proporcao 21

5 . B in r ii o s: Wordsworth (Linhas E s c ri ta s s o br a 'Tintern Abbey ) .. .. ..que a Natureza jamais traiuo coracao que a amou: e seu privilegioE todos os anos desta nossa vida. levarDe alegria a aIegria: pais pode assim informarA mente que ha dentro de nos; assim impressionar,Com quietude e beleza, e assim prover,Com pensamentos alt ivos, que nem as mas Iinguas,Nem juizos apressados, nem a escarnio dos egoistas,Nern OS cumprimentos que simulam cortesia, nem todoo monotone relacionamento da vida diariaJamais nos vencerao au perturbarao 'Nossa viva fe, de que tudo quanto vemosEsta cheio de graca ..."

milhares de anos. Pot conseguinte, pode-se antecipar que elementos rnentaisde grande antiguidade podem set relevantes para aqueles tipos de beleza cu jaapreciacao e comum a toda a raca hurnana, quais sejam, contraste de cores,ritmo, forma e outros da especie.

Carl C. Jung especulou da maneira a seguir em seu livro, 0 Homem e SewS imbo ios :

"Assim como 0nosso corpo e urn verdadeiro museu de orgaos,cada urn com a sua longa evolucao historica, devernos esperarencontrar tambern na mente uma organizacao analoga, Nossamente nao poderia jamais ser urn produto sem historia, emsituacao oposta ao corpo em que exine ... Refire-me ao desenvolvi-mento biologico pre-historico e inconsciente da mente no homemprimitivo, en ja psique estava muito proxima ados animais,

"Esta psique, infinitamente antiga, e a base da nossa mente,assim como a estrutura do nosso corpo se fundamenta no moldeanatomico dos mamiferos em geral. 0olho treinado do anatomistaOll do bialogo encontra nos nossos corpos rnuitos traces destemolde original. 0 pesquisador experiente da mente hurnanatarnbem pode verificar as analogias existentes entre as imagensoniricas do homem moderno e as expressoes da mente primitiva, assuas 'imagens coletivas' e os seus motivos mitologicos."

Como exemplo desse processo, pode-se apontar 0fato de que urn dossegredos da poesia verdadeira e 0 seu poder de trazer a mente superficial(isto e, ao consciente) imagens prirnordiais que sao elementos profundamenteinumados no inconsciente racial comum a toda a humanidade. 0poeta queconjura os arquetipos "fala com mil linguas",

Urn exemplo mais relevante poderia ser 0da beleza visual de uma sen6ideou, comparavelmente, a beleza auditiva do ritmo . Entre as experiencias maisantigas do homem - na verdade, de seus ancestrais mamiferos - esra aassociacao inescapavel do movimento ritmico no utero com a euforiaprovocada durante nove meses de existencia pre-natal . E a interacao entreessa caracteristica antiqulssima e "fossilizada" (subjetiva) da estrutura mental e.0 espetaculo (ohjetivo) de uma senoide ou do som ritmado na rnusica quechamamos de beleza,

Filoso f iaFinaImente, ~pero que as paginas a seguir possam encorajar a lei tor queleva a matematica a serio a cultivar uma atitude filos6fica diante do assunto: enao apenas em rela~o a beleza na matematica, mas tambern a beleza em urncontexte mais amplo, a firnde que faca perguntas tais como: 0que e a beleza?

Qual e a condicao da faculdade estet ica> E la possui urn valor pratico? Ondeesta esse valor? Ela teve alguma utilidade na evolucao humana? Quais sao assuas perspectivas a lange prazo? :E dif~cil res~ringir a bele~a a categoria objetiva ou subjetiva, Parece maissatisfatorio considera-Ia uma interacao entre a mente e urn objeto au ideia quedesperta emocao, Dai resulta que a descoberta da beleza, quer no mundo danatureza ou quer na mate matica , e indicadora de aIguma caracterist ica daestrutura da mente.Por exemplo, a impossihilidade de se conceber Urnuniver-~ finito, ou uma rera que embora longa nao possa ser tracada, apontamelutavelmente para um elemento integrante da: estrutura mental, tantoquanto para uma caracteristica do universo.Novamente, a inexistencia de umaparticula ultima - que nao possa ser subdividida - e menos urn fato da fisica

atomica que uma necessidade mental inexoravel . A dificuldade de conceberurn todo continuo" sern diferencial ou de imaginar "acao a distancia" e outrotipo de Iimita~ao mental.E~tas consideracoes fornecem uma pista a indicar em que direcaogenerica podemos olhar para encontrar uma explicacao da fonte do prazerestetioo. Devemos ten tar descobrir 0 que pudermos acerca da anatomia dapsique humana, desenvolvida lentarnente na paralela do desenvolvirnento daestrutura fisica do homem no decorrer de urn pertodo de centenas de

Isto talvez seja suficiente para dernonstrar que 0 estudo serio damatematica pode gerar especulacao filosofica, bern como apreciacao estetica,Que ele pode tambem tornar-se a "principal fonte de feliddade" e opiniaodefendida por Bertrand Russell . que iniciou-se com Eudides aos onze anos deidade, tendo seu irrnao de dezoito aDOS como mestre, Em sua Aut obwg raph y ,ele testemunha:"Foi urn dos maiores eventos de minha vida, tao deslumbrantequanto 0 prirneiro arnor. Nao havia imaginado que houvesse nomundo algo tao delicioso ... A partir daquele momento ate . .. meus

. . (N.T.) Do lat im con'inuum, todo, quantidade ou serie continua' coisa eujas panes nao podem SeI"scparadas au diKemidas separadamentc. '


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22 H. E. Huntleytrinta e oito anos, a matematka foi meu interesse maior e minhaprincipal fonte de felicidade."

A esperanca do autor e que 0leitor com dotes maternaticos mais modestosque os de Russell possa descobrir nas paginas a seguir uma "fonte defelicidade" .

Capitulo IA TEXTURA DA BELEZA

Antes de partirmos para nosso assunto principal. a beleza na matematica,valera a pena con veneer-nos de que 0esforco necessario para aprenderrnos aapreciar as valores esteticos justifica-se atraves do prazer que eles oferecem. Aconviccao nasee da experiencia; e logo haveremos de descobrir que ela ecompartilhada par muitos dos hornens mais sabios do mundo. Urn exemplode validade antiga, escrito antes da Era Crista (Eclesiastes 43, vo. 12 e 13),exalta urn dos mais familiares objetos belos:

"Olha para 0 area-iris e bendize aquele que 0 fez: mui formosoe no seu resplendor. Girou 0 ceu com 0 circulo da sua gloria e asmaos do Excelso lhe deram toda a sua extensao ,"

Uma outra citacao, relativa ao mesmo exemplo de beleza, servira paradestacar uma das li~Oes importantes destes capfrulos, Para a apreciacaoestetica, ha dois requisites: 0 primeiro e transmitido, 0 segundo adquirido. 0primeiro provern da natureza - por heranca; 0 segundo do estimulo -atraves do ensino.

Se 0 poera veebeleza em urn arco-Iris -"Meu coracao pula quando contemploUrn arco-Iris no firmamento ..."

- tarnbem a v e e 0Fisiconas leisque regem a sua manifestacao:"Seu coracao bate, tambern, quando de descobre como a luz dodia e refletida, cromaticamente refratada, refletida novamente edispersada por esferas d'agua que caern suavernente em mil mati-zes, ensejando fascinantes teorernas de matematica, tao simples emalguns aspectos que 0escolar pode entender, tao complicada, emoutros, a ponto de desafiar a analise"."

A beleza superficial do area-iris - "mui formoso e no seu resplendor" -e apreciada por todos as homens: e uma capacidade transmitida. Mas a belezaocuita, descoberta pelas pesquisas laboriosas do Fisico, so e entendida pelapessoa dentificamente letrada. E uma capacidade adquirida; a instrucao eessencial,


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Definifoes A EvoluftlO da Faculdade Esutuu

"Se tivesse apenas dais paes, trocaria urn para alimentar 0meuespirito",

Uma testemunha mais moderna, Richard Jefferies, escreveu:"As horas durante as quais ficarnos absorvidos pela beleza sao

as unicas horas em que realrnente vivemos... Sao estas as unicashorns que absorvern 0 esplrito eo enchem de beleza, E esta a vidareal, e tudo 0 mais e ilusao, ou mera re sign acao. "

Beleza e uma palavra que tern desafiado os esforcos dos fil6sofos na buscade uma definicao que mereca concordancia geral. Contudo, nao e necessaria asabedoria do filosofo para articular algumas palavras significativas a seurespeito, Uma declaracao incontrovertivel poderia ser: a beleza despertaernocao, Esta, por ser suficientemente indefinida, nao carece de qualificacao.o caso seria diferente se dissessemos: "Este elernento fascinante sempredesperta ernocao prazenteira em todos quanto 0 veem", pois sabemos quealgumas pessoas, diante da belen que estimula outras, ficam totalmenteindiferentes, Isto parece justificar 0conhecido aforismo: "A beleza esta nosolhos de quem ave." Quer seja isto verdadeiro ou nao, e certo que nenhumfil6sofo, por mais erudito, pode contradizer-rne quando digo com sincerida-de, a respeito de alguma experiencia: "Para mim, isto e belo." Mas se a belezae subjetiva ou objetiva, ou ambos, e urn problema rnetaftsico nao solucionado,

Assumindo urn ponto de vista teleologico, podemos comecar por pergun-tar se0anseio universal humano pela beleza serve a alguma finalidad~ util, Afome e a sede fisicas asseguram nossa sobrevivencia corporal. 0 impulsesexual cuida da wbreviv~ncia da ra.;a. 0 medo tern valor de sobrevivencia,Mas - para colocar cruarnente a questao - para que. serve a beleza? ~~eobjetivo pessoal ou evolutivo se atinge atraves da apreciacao de urn arco-m~.uma flor ou uma sinfonia? A primeira vista, nenhum. Por que, se tenho doispaes d.evo "vender urn e comprar urn lirio"? Muitos de nossos apetitesdese~volvernm-se, no curso da evolucao humana, com uma finalidadeutilitaria no ambiente material de nossa existencia rnundana. Isto sugere urnestrato de alguma outra ordern natural? Que aponta para uma nocaodefinitiva da natureza da psique humana e uma conclusao que pareceinevitavel, Antes de desenvolver 0tema, lembremo-nos de como algunsFilosofos, tanto antigos como modernos, t~m considerado a beleza.

Platao, no Sympos ium, tern rnuito a dizer sobre 0progresso da ap~eda~aoestetica para 0 gozo da "beleza absoluta", Ele relata urn pronunctamenloinspirado de Socrates em urn dramatico dialogo no D in n er P ar ty . Socrates,modestamente, atribui suas ideias a sua "instrutora" - uma mulher deMantinea, chamada Diotima. Os excertos a seguir sao relevantes para 0nossoterna:

Conforrne veremos, e dificil definir a beleza; mas ha muitos testernunhosimpressionantes da importancia das emocoes que a beleza evoca, Mohammeddisse:

De acordo com 0 Shor t e r Oxford E n g li s h D i ct io n a ry , beleza e:"aquela qualidade ou combinacao de qualidades que propor-

dona vivo prazer aos sentidos, especialmente ao da mao, ou queFascina as faculdades in telectuais ou morals."Interessa-nos aqui sornente uma parte desta definicao ampla. No momen-

to nao estamos interessados, por exemplo, na "beleza da santidade" que"Iascina" as faculdad.es morais, Nosso interesse reside na combinacao dequalidades que ascina 0 intelecto, "Combinacao de qualidades" lemhra-nosque a experiencia da beleza nao e uma experiencia simples, mas complexa. Namatematica, ela pode compor-se de surpresa, admiracao, pavor ou deexpectativa concretizada, perplexidade solucionada, uma sensacao de profun-dezas insondaveis e misterios; ou de economia dos meios para chegar a urnresultado impressionante. Na matematica, quando 0matematieo refere-se abeleza, entendemos que ele experimentou algumas ou todas estas qualidades.

Antes que passemos it consideracao de tipos especificos de beleza, e utilpensarmos nela em urn contexte mais amplo.

"0 hornern que vai dedicar-se ao seu objetivo deve c,o.me(_;ar,quando jovern, por dedicar-se a conremplacao da bele~ ! IS lc a . .. < ?seu proximo passo deve ser 0de considerar a beleza esplTIwal marsval.iosa que a corporal... Da etica ele deve ser encaminhado para asciencias e contemplar tarnbem a sua beleza ... (0 homem) queorientou seus pensamentos para exemplos de beleza n~ sucessaopropria e regular rera subitamente a revelacao, ao apr?Xlmar-se. dofinal de sua iniciacao, de uma beleza coJa natureza e verdadeira-mente maravilhosa, 0 objetivo final, Socrates, de seus esforcosanteriores. Esta beleza e, antes de tudo, externa: nem comeca nemacaba: depois, ela nao e parcialmente bela e parcial mente fda, nernbela num momenta e fda noutro... fie a vera como absoluta,existindo sozinha consigo mesrna, unica, externa, e a todas asoutras coisas belas como panes integrantes dela. ..Esta acima de todas as outras, meu caro Socrates (prosseguiu amulher de Mantinea), e a regiao onde a vida do homem deve serpassada, na contemplacao da beleza absoluta. Uma vez q'_lea tenhavisto voce nao a avaliara em termos de auto ou vestes ricas ou debeleza de meninos e rapazes ... O que podemos supor que sej~ afelicidade do homern que v~ a beleza absoluta em sua essencia,pura e sem misturas; que, ao inves de uma beleza maculada pelacarne humana e pela cor e por urn monturo de lixo perectvel, e


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26 H. E. Huntley A Divina Proporcao 27~apaz de apreender a beleza divina onde e1a existe, separada etSolada~ Voce ach~ que leva urna vida pobre 0homem que tern 0olhar fixo nesta direcao, que contempla a beleza absoluta com afaculdade apropriada e que acha-se em constante uniao com ela?"

Uma Hip6tese qu e Funcione

"Adornam as campos brilhantes rnantos dourados,As colinas ressoarn de alegria:Os vales, tao densos, de milho coalhadosTarnbem entoam cantoria." '

o aluno que aspire a obter discernimento em uma filosofia da beleza queesta latente na rnatematica deve Iortalecer-se com alguma forma de hipoteseeficaz relativa a beleza em urn contexte mais amplo, com 0 auxil io demodernas ideias sabre a natureza da psique humana como as desenvolvidaspor Sigmund Freud, Carl Jung e OUllOS psic6logos. Tal hipotese nao assumiraa condicao de teoria, Embora va exigir modificacoes I" ampliacoes a medidaque novas conhecimentos forem adquiridos, ela nao fica necessariarnenteinvaIidada como estrutura de referencia viavel, cuja funcao e manter urnasequencia logica entre numerosos dados,

Fundamental para uma hipotese assim e 0 reconhecirnento de que aexperiencia estetica e uma atividade emocional, e nao mental , A mera declara-~ao deste faro basico e a compreensao de que nao havemos de fazer muitoprogresso em termos de entendirnento sem adrnit ir a relevancia daquilo quetern sido chamado de "a maier descoberta do seculo XIX" - 0sub consc i en t e .Embora ten ham achado este assunto uma Ionte abundanre de diferencas deopiniao, as psic6logos estao de acordo acerca de sua importancia na interpre-tac;aoda atividade mental. Ele e invocado para explicar fen6rnenos tais como 0transe hipnotico, os sonhos, a narcose, a dupla personalidade, desarranjosmentais e ainda muito mais, 0seu valor para a nossa finalidade presente eque ele fornece a chave para 0entendimento da sensacao estetica.

. .' Passa~do de ~m ~il6sofo antigo para urn moderno, podernos considerar astde~as do flI6so.foItaliano Benedetto Croce. Sua posicao e de que a beleza e urnatributo daquilo que expressa sentimento, A rnusica, conforme Plataorecon~eceu, exprime muito vivarnente a emocao humana; eta e l e tu o , v i v ac e ,c o ~ b ri o , etc. A beleza e vista em cores que sao vivas ou escuras. E ha a beleza dapaisagern:

As nuvens sao solitarias au ameacadoras; a manha esta sorr"indo' 0carvalho e majestoso: urn teorerna matematieo e elegante, e sua prova clara,Wordsworth disse, da poesia, que ela e "a emocao reavivada na rranquili-

dade".Acompanhando Croce, entao, podemos supor que a experiencia esterica

sob~evem .qu~do "algum "ele~ento material au mental, ao qual por essemotivo atribuimos beleza", esumula a ernocao de prazer.Ora, as psicologos consideraram as emo~6es atividades do inconscientede modo que a experiencia estetica eo ressuscitarnento de emocoes sublimina-

res e a beleza e ~ poder de "evocar essas emocoes. Isto nos leva para aguasprofundas, ': assl~ (rans~enremos para urn capitulo posterior a discussaosobre a funcao do mconscrente nos estudos maternaticos!

Estrutura da Psiqui

A Unidade na Variedade

Os psicologos geralmente empregam os termos mais genericos psiqul ePSiquico. no lugar de mente e mental. que normalmente aplicarn-se apenas aoconsciente, A atividade psiquica nao e menos real que a arividade fisiologica: apsique possui a sua propria estrutura e e regulada por suas proprias leis. Urnamontagem da psique, conforme vista pelo pioneiro da psicanalise, Carl Jung,abrangeria quatro conceitos principals:1. 0 c om d e n te , ou mente "superficial". a sede da atividade mental cons-

Dente.Para vermes urn enfoque moderno da natureza da beleza, podemosvoltar, de novo, a J. Bronowski:

"~u~ndo tentou definir a beleza, Coleridge voltou sernpre au.~a .,deJa profunda: a beleza, disse, e a unidade na variedade! Aciencia nada rnais e que a tentativa de descobrir a unidade naespantosa variedade da natureza - ou, mais exatamente, na varie-dade de nossa experiencia, A poesia, a pintura, as artes sao ame~ma busca, de acordo com a frase de Coleridge, pela unidade navariedade."

2. 0 pf'tconscientE, as vezes descrito como formador da periferia doconscience, as vezes como 0estrato abaixo dele, Nossas lembrancas de eventosrecentes, ora rernovidos do foco de atencao, sao ai arrnazenadas. E dai podemser voluntariamente evocadas-recoletadas.

3. 0 subconsciente ou i ncQmcien t e pessool. De acordo com Jung, 0consciente"baseia-se e resulta de uma psique inconsciente que e anterior aconsciencia e continua a funcionar juntamente ou a despeito daconsciencia, "8

A Divina Proporcao 29


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28 H. z, HuntleyA sonda da introspeccao nao pode perscrutar esta carnada da psique, 0individuo reconhece a atividade inconsciente apenas excepcionalrnente.a des-

peito do fato de que a rnotivacao inconsdente e urn dos fatos primordiais navida. No inconsciente estao arrnazenadas incontaveis lernbrancas esquecidasque, embora nao possam ser evocadas a vontade, sao no entanto levadas amanifestar-se em sonhos, em transe hipnotico e atraves de outros meios,

em~oes primordiais do inconsciente coletivo tambem sejam passadas degera~ao para gera~ao. Portanto, e natural admitir que a tendencia da psique afazer certos julgamentos esrericos amplos relatives ao ambiente humanocomum e herdada. H.J. Eysenck rnenciona a hipotese, baseada em experien-cia, de que

4. 0 inc(Jnscunte c(Ji .etivo, de acordo com Jung, forma urn estrato da psi.quelocalizado rnais abaixo que 0inconsciente pessoal, E a Fonte do comportamen-to instintivo, oeste caso definindo-se instinto como "urn estirnulo a acao semrnotivacao consciente". 0comportamento instintivo e herdado: ele e determi-nado pela hist6ria da raca. Tambern 0sao aquilo que Jung chama det'imagensprirnordiais" ou "arquetipos" que se formaram a niveis mentais profundosdurante as dezenas de milhares de anos da historia evolutiva do homernprimitive, nossos distantes ancestrais hurnanos, atraves da ocorrencia constan-te de experiencias emocionais universals comuns a todos, como, por exemplo,a alternancia do dia e da noire, as mudancas de estacao, fame e sede, fuga doperigo, as montanhas e os oceanos, vendaval e ternpestade, 0santuario do lare da terra natal.

"ha alguma propriedade do sistema nervoso que determina osjulgamentos esteticos, uma propriedade que possui derivacaobioI6gica... Uma deducao, por exemplo, poderia ser a de que essacapacidade (de julgamento estetico) seria fortemente deterrninadapela hereditariedade; ja existem algumas evidencias a corroborareste ponto de vista.i."?

Como mnemonica, a estrutura da psique pode ser comparada a uma ilhaoceanica. A terra acirna da superficie da agua representa 0consciente, a areadescoberta pela mare baixa faz a vez do pre-consciente: a vasta massa ocultade rochas, abaixo do oceano, representa 0 inconsciente, que por sua vezergue-se de urn leito oceanica significando 0 inconsciente coletivo, Os cieruis-tas param ai, mas os toologos (notadamente TiI1ich) falam do nivel maisprofunda de todos, que se localiza abaixo do leito oceanico, como sendo "abase de nossa existencia" eo comparam a Deus.

Esu t i coPassernos agora das consideracoes gerais para 0caso especifico da ernocaocausada pela interacao entre urn objeto de beleza e urn observador - a

sensacao estetica, Se 0esboco anterior da hip6tese eficaz esta correto, entao aexperiencia estetica consiste na levitac;ao, do inconsciente para a mentesuperficial, de um complexo de memoria ativado por urn mecanisme deassociacao sequenciaI contemplacao visual ou auditiva do objeto belo. Noloedificil atinar com a natureza desses complexes de memoria ocultos: elesoriginam-se do imemorial ambiente terrestre do homem. A complexidadedesse prooesso desafia a analise, mas havera de clarear nosso objetivo seapontarmos alguns exemplos de experiencias conhecidas tanto de hornenscomo de animals durante urn rnilhao de anos: (1) contraste de cores; (2) 0campo gravitacional; (3).0 canto dos passaros, a conversacao humana e armisica vocal.

Atividade EmocionalI.0nosso prazer com as cores e compartilhado por alguns dos

vertebrados. 0 Dr. W. H. Thorpe, ao descrever os passaros Bower, daAustralia e da Nova Guine, dedara que eles constroem abrigos para fins decortejo com

"frutas e flores de col0raC;a0 viva que nao sao cornidas, masdeixadas em exibicao e substituidas quando murcham ... eJes ape-gam-se a urn esquema especifico de cores. Assirn, 0passaro queutiliza flares azuis desfaz-se da flor amarela acrescentada peloexperimentador, enquanto que 0passaro que adota flores amarelasnao tolera a azul. '?"o Dr. Thorpe cita Robert Bridges: "Na verdade, bern pode ser que esses

bipedes primitivos tenham adquirido esse sensu de beleza muito antes que 0homem." Neste caso, nao devernos surpreender-nos se0inconsciente coletivoda humanidade, trazendo sernelhante heranca da criacao mais primitiva, sejaprofundamente excitado a vista de Flores, de urn por-de-sol colorido ou de urnarea-iris, despertando 0 consciente, na devida sequencia. para a respostaestetica,

Se podemos presurnir Gue a evolucao das potencialidades psiquicas atra-ves das eras geologicas transcorreu paralela ao desenvolvimento do sistemanervoso e do cerebra, parece que, historicamente , a vida ernocional quecompartilhamos com os anirnais mais desenvolvidos pode preceder 0desen-volvimento intelectual e estar associada com as partes primitivas do sistemanervoso. Incidentemente, esta tambem controla as atividades viscerais docorpo e e por istoque urn ator aflito com 0 "nervosismo" as vezes tern ocasiaode observar a coneccao existente entre sua emocao e seus intestines! Porconseguinte, devemos concluir que 0 inconsciente pessoal, bern como 0inconsciente coletivo, e a arena das ernocoes e tambern a deposito doscomplexos da mem6ria emotiva.

Ora, uma vez que a estrutura do sistema nervoso e herdada, nao deixa deser razoavel supor que as condicoes fisiol6gicas favoraveis .Ii animacao de


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30 H. E. Huntley A Divina Proporcao 31

2. Independenternente de suas cores, a curva gentil do arco-Iris, atravesda associacao, estimularia mem6rias armazenadas no inconsciente coletivopelos Ienomenos $empre presentes do campo gravitacional da Terra ~ atrajetoria graciosamente parab61ica de uma pedra, lanca ou flecha arrernessa-da, as gotas d'agua de uma fonte ou cascata. Todas as parabolas possuem 0mesrno formato unico, do qual 0irnenso area circular do area-iris e recorda-tivo.

mllentando seguido da nota tonica au forte, e assim par diante. Estasexpen.e,ncias de carga emocional universal tornarn-se eficazes quando alcadasdo inconsciente profundo para a mente superficial. e ocorre que a musica,diferentemente de qualquer das outras artes, proporciona meios precisos epoderosos de efetivar esta transferencia.

..... talvez seja plausivel que os interval as aceitaveis para 0ouvido humano como norrnais e naturals da musica sejam de Iatoaqueles intervalos que Ioram apresentados pela prirneira vez aosancestrais do hornem pelo canto dos passaros. Outros animaispouco apresentam em materia de canto; mas as intervalos funda-mentais do canto dos passaros e do humane sao os mesmos: e naprimeira aparicao do homem no tempo era audivel 0 canto alta-mente desenvolvido dos passaros, Uma vez que a homern sempreteve 0 canto dos passaros par toda parte para incidir em seusouvidos, nao e razoavel supor que ele desenvolveu urn sistema demodulacao musical por imitacao aos passaros>"'

Quando induz urn transe em urn paciente adequado, 0 hipnotizadorencontra urn metodo simples e patente de fazer passes ritmicos com as maosdiante dos olhos do paciente. Eles induzem urn ligeiro transe e aumentarn asugestionabilidade do paciente. Ele ficara entao pronto a aceitar quase todasas sugestoes - mesmo as absurdas - que 0 hipnotizador faca, Em particular,como destaca Eysenck,

.3 . Consideracoes semelhantes aplicarn-se a beleza da musica, 0 Dr.Thorpe destaca que

"Sob hipnose, a pessoa pode lernbrar-se de coisas que seriatotal mente incapaz de recordar no estado normal. De Iato, sugere-se que, sob hipnose, a peswa passa ser 'retornada' a uma idadeanterior e que nessa condicao experimente de novo as eventos queaconteceriam na ocasiao e as ernocoes que nele evocaram.?"

A M u .s ic a

No caso da musica, as movimentos ri trnicos das maos do hipnotizador saosubstituidos pelos da batuta do regente, que sao amplificados peIo ritmo damusica, Quando a "rnarcacao" e muito forte,como nas musicas das dancas dastribos prirnitivas, as ouvintes ficam fascinados, Mesmo sob as condicoes maisfamiliares de uma audiencia a ouvir musica ocidental, pode-se presumir que amaior parte dos ouvintes, se nao todos, esta sob a influencia de urn transernuito leve, que aumenta sua sugestionabilidade e facilita a levitacao deirnagens antigas inumadas para 0consciente.

A musica e, por excelencia, a linguagem do inconsciente. Conformediscutiremos no capitulo VI, as memorias primordiais da raca sao trazidasmais prontamente a superffcie pela musica do que pela paisagem natural ouqualquer outra arte; parece ser possivel relacionar caracteristicas familiares damusica com experiencias antigas da humanidade.

E a musica que prove a sustentacao mais forte a nossa tese de que aexperiencia estetica consiste na interacao entre as imagens primordiaisuniversais inumadas no inconsciente e 0 elemento externo ou objeto naturalque charnamos de belo.o incomparavel poder da musica de transportar 0ouvinte a s profundezasde seu ser e muito conhecido: em algumas ocasioes, leva-o a s Iagrimas. Qual aexplicacao do poder deste estirnulo, que nao encontra paralelo nas outrasartes? Se nossa tese for convincente, deve ser porque a musica, por algomarazao, e urn agente incornumente eficaz para rrazer a rona imagens emem6rias anrigas armazenadas no inconsciente. Conforme Jung observa"0 homem que fala com imagens primordiais Iala com mil linguas ...Eis 0segredo da verdadeira arte." Ora, aexpressao musical pode estimularexperiencias emocionais antigas com bastante eficacia - ansiedade com 0ag ita to, pranto com 0mouo l~gato,excitacao com a prest iss imo, santuario com 0

t ao longo destas Iinhas gerais que podemos procurar 0"segredo daverdadeira arte" da musica e uma explicacao para a prazer estetico que delaresulta.

E agora voltemos a considerar a questao de a beleza servir ou nao a umafinalidade no esquema da criacao. J a virnos que ela nao parece servir anenhum fim utilitario, Muitos de nossos instintos e ernocoes a ela associadosevoluiram, para assegurar nossa sobrevivencia ftsica, mas a emocao desperta-da por urn objeto fisico, tal como urna nuvern ou uma Ilor, au por umaimagem mental, tal como um teorerna rnatematico elegante, nao tern talobjetivo. A resposta a questao que propusemos em termos asperos, "para queserve a beleza" parece ser capciosa, E tanto 0e que ficamos inclinados aduvidar de que ela tenha qualquer finalidade e a desconsiderar 0 assuntoperguntando irnpacientemente: "Todas as coisas tern de ter urna r a is o n d ' et re ? "Urn objeto de beleza nao e urn prazer para sernpre e, longe de ser urn meiopara urn fim, nao e urn fim em si mesmo?"

A Divina Proporcao


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32 H. 33o U n iv er sa l d o P ra ze r Esu t i c o insatisfeira. os efeitos manifesram-se arraves de perda de saude Iisica e mental,tao profunda e a carencia,

Aproximamo-nos agora da etapa final da discussao deste capitulo. Eladestaca uma realidade que seria importante que todos osalunos de matemati-ca entendessem. mas que (e e de preocupar) rnuito poucos entendem. Se elapudesse ser exprimida em uma palavra, essa palavra seria empatia. 0 equiva-lente em alemao e Einfiihlung - "sentir-se dentro".Ja falamos de uma experiencia cornum - 0prazer associado a qualquer

forma de atividade criadora e que 0homem sente em consequencia de ter sidofeito a imagem de seu Criador, E interpretamos 0misterio da natureza e afinalidade da beleza, lembrando 0 fato conhecido de que a faculdade ingenitada apreciacao estetica constitui a motivacao para a criacao de objetos debeleza. E agora cernos de enfrentar a objec;ao natural que muitas pessoaslevantariam: elas nao tiveram experiencia de atividade criadora. Elas nadaacrescentararn as reservas de beleza, suas proprias ideias nunca foram nemnovas nem originais, Jamais conhecerarn 0memento lurninoso da inspiracao,que lhes ampliasse as fronteiras do conhecimento. Elas podem apreciar, masntio conseguem criar a beleza.A resposta a esra objecao pode ser exposta resumidamente. Em essencia, 0ato da criacao eo ato da apreciacao da beleza nao se distinguem. Isto e valido

quer 0 objeto belo seja urna obra de arte, uma composicao musical ou urnteorerna rnatematico, No momento efetivo da apreciacao ("ESlou vemwt Sim,u!ou reabnente ventkl! Que bonito!") 0espectador experimenta precisamenre asemocoes que passaram pela mente do criador em seu momento de criacao.Com a ajuda do artista, ele proprio compartilha do prazer da criacao. Esteimportante fato foi exposto Com clareza caractertstica por J. Bronowski:

"As descobertas da ciencia, as obras de arte sao exploracoes -mais que isso, sao explosoes de uma similitude oculta. 0 descobri-dor e 0 artista apresentarn dois aspectos de natureza e os fundemem urn sO . E este 0ate da criacao, no qual urn pensamento originalnasce, e eo mesmo ato na ciencia original e na arte originaL. (EstanOo;3.o)por si s6 da urn significado ao ato de apreciacao; pois 0apredador tern de ver a acao, atento aoeco que foi iniciado quandoda criacao da obra, No memento da apreciacao, vivernos de novo 0momenta em que 0 criador viu e reteve a similitude oculta ...Reeditamos 0ato criador enos mesmos fazemos de novo a desco-berta ... 0 grande poema e 0 teorerna profundo sao novos paracada leiter e no entanto sao as suas proprias experiencias, parquan-to ele proprio as recria. Eles sao as rnarcas da unidade na varieda-de, e no in stante em que a mente apreende isto para si, 0coracaofalha uma batida."!'

Esta passagem, que esclarece 0sentido de empatia, deveria ser entendidapor todos que buscam a experiencia estetica, Em particular, 0 lei tor das

Parece-rne importante que tenhamos ideias claras em referenda a estaquestao, e assim espero que 0 leitor, antes de passar aos capttulos que seseguem, dispense cuidadosa consideracao ao ponto de vista que ora descrevo.A primeira vista, pode parecer que a contemplacao e apreciacao da beleza,digamos, de urn teorerna matematico e uma atividade sem importancia, atemesrno trivial . Peio contrario, ela e , corretamente considerada, de grandesignificacao, Pareceria improvavel, a p ri o ri , que tada a raca human a fossedotada da faculdade de apreciar a beleza somente se ela adquirisse urnobjetivo nobre. "A terTa esta repleta de ceu e todo arbu~to comum irradiaDeus" para alguma finalidade, de fato? 0poder de apreCiar a beleza pareceser urn dam humano, e isso sugere que deveriamos buscar sua origem e suafinalidade na natureza humana - naquela natureza que nos distingue dacriacao animal. Assim, para obtermos uma resposta a nossa questao, somasretornados a explicacao de nossa natureza humana dada em Gomesu 1, v. 26:

"Disse tambern Deus: Facamos a homem a nossa imagem esernelhanca. "Aqui, sugiro, esta a chave, 0 homem e , par natureza, urn cr iador . Asemefhanca de seu Criador, 0homem nasceu para criar: para talhar a beieza,para dar origem a novos valores, Esta e sua suprema vocacao, Esta verdadedesperta uma resposta ressoante bern dentro de nosso ser, pois s~bemos queurn dos prazeres mais intensos que a alma do homem pode expenmentar e 0da atividade criadora, Pergunte ao artista, Pergunte ao paeta. Pergunte aocientista, Pergunte ao inventor ou ao meu vizinho que cultiva rosas premia-das. Eles todos conhecern a profunda satisfacao associada ao momenta doorgasma da criacao.

A ti vid ad e C r ia do ra : E m pa ti aAlguns acreditam que esse profundo prazer seja 0objetivo principal daeducacao - mais que isso, fim maior da vida humana, Em The Education of

th e 'W h o le Man, L. P. Jacks escreve:"Qual e entao a vocacao do homern completo? Pelo que possodiscernir, sua vocacao e ser urn criador: e se voce me perguntar:Criador de que? responde - criador de valores reais ... E se voceme perguntar que motivo pode ser invocado, com que forcamotivadora pode-se contar para despertar 0elemento criador emhornens e mulheres, ha somente uma resposta que posse dar; masdou-a sem hesitacao: 0arnor pela beleza, inato em todas aspessoasmas suprimido, sufocado, reprimido na maior parte delas.. ." '~

Esse amor ing~nito pela beleza, nossa heranca humana, tern que encon-trar expressao se quisermos ser felizes. Se a fome pela beleza permanece

H. E. Huntley


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paginas a se~ir, quer seu interesse se focalize no cub6ide aure dcaedro, na esptrallogari tmica ou na genealogia do zangao d 0, no ode-~1~Ze:t!s~e!~ta~~~~~oe ato ~a aprec:~ao, 0ato criador' e ~~:~~~~~~~~;verdade ele esta se dxpe~mentan 00 prazer da atividade criadora. NaDeus depois d'Ele", gun 0a rase de Kepler, "pensando os pensamentos de

Capitulo IIA DIVINA PROPORCAO

"A gtomttTitl possui dois grondts usouros: um i 0 tf(ITemtl de Pit4g0ras; (l ~Utro, tldivis iW de um a linlu! e m tx tT em a e m id i", TIllOoll. 0rimt irn, podem05 c om pa ra r a UmQmed ido . do dllrro; a o S t pn d o , p od mI os c ha ma r d e j O ia pr ec iM a . "

KEPLER (l571 - 1630)

Algumas das referencias rnais antigas aos prazeres da maternatica estaol igadas ao nome do fil6sofo grego Pitagoras (569 - 500 a.C.) que observou aocorrencia, na Natureza, de certas combinacoes e reIat ;Oes entre numeros.Quer ele tenha ou nao especulado a respeito de fatos mais simples dacristalografia, como declaram alguns escritores, e certo que ele estudou - eestava muito interessado no assunto - a dependencia que tern de seueomprimento 0diapasao da nota que uma corda emite ao vibrar. Em particu-lar, ele percebeu que os comprimentos da corda que emitia uma t6nica, a suaquinta e a sua oitava, estavam na proporcao 2:3:4. Para Pitagoras, a explica-t;lo cia ordern e da harmonia da Natureza iria ser encontrada na ciencia dosnumeros, Ele especulou que os corpas celestes emitiam sons harrnoniososenquanto descreviam suas orbitas pelo ceu; e a "harmonia das esferas", umaideia que Shakespeare achou adequada (0 M e r ca d cr d e V en ez a, V, p. 182):

"De todos esses globos, que oontemplas,Nao hA nenhum, nem mesmo 0menor,Que em seu giro nao came como um anjo,Em perpetua, em unfssona harmoniaCom os proprios querubins de olhos in~~uos!"Vale notar que uma das combinacoes de notas mais harmoniosas, a trfademajor, possui frequencies relativas expressas em razoes de pequenos inteiros,a saber, 4~5:6. H.L.F. von Helmholtz (1821.1894) sugeriu uma explicacaopara esta observacao curiosa. com base na presenca ou ausencia de "marc a-c;ao" entre os sobretons e essas notas,Veremos depois (capitulo VI) que 0 prazer na maternatica esta as vezes

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- - - - -! H r- -- -- -- - - - -- - - -- -- -- -- -- H. E. Huntleyreladonado com a apreciacao da musica ..relevantes, neste sentido e pod firrr As exper iencias de Pitagoras sao. ,e con irmar-se que ha 1'-sexta maior e a divisao Aurea. uma igacao entre a

A Divisao AureaUrn outro fato famil iar a escola' de Pita '. goras era que ha 'cmco solidos convex os regulares ue ode do '_Inco,e ~menteurna esfera: 0tetraedro 0cubo q P d m, ~ada urn, ser crrcunscruos pargosto pelos "misterios': lev ' 0octae ro, o .lcosaedro e 0dodecaedro, Urn. ou os gregos antlg s t ib . ..especial ao ultimo deles: suas d ze f 0 a a rr urr urn significadosignos do zodiaoo. Era' urn sl'mob 1acdetasUr:gulares correspondiarn aos doze00 0 mverso Mai .pentagonal, associada .it divisao aure d .. IS que IS50, cada face

piragoricos. 0 ponto de interseccao p~e e;~as ~.um m~er~s~e especial para 05na proporcao aurea (Figura 2.1). P divide iagonais d~vlde cada uma delasexternamente nessa propor ..." U AQ e AB mternamente e QB. .,..0. m outro faro d heciantigo! geornetras era que a razao do . do ci 0 con ecimento dessesregular para urn dos lados ' _ r~lo 0 circuncirculo de urn decagonoe a razao aurea.A

Figura 2.1 Pentagono: diagonaiso problema de determinar ad' . ~ .em Euc l i d II 11 Este tern sid ivisao aurea de urna reta esta solucionado

, . ,. I 0, portanto um ponto d .matemaucos durante rnais de vinte seculos, e interesse para osTomemos urna linha AB de com rim . . .pelo ponto C (Fig 2 2) T P ento I, dividida em dois segmentos. . . omemos a e b como .respectivamente. Se C e urn ant c~mpnmentos de AC e CB,aurea" ou divisac Aurea de A~. 0 tal que l:a assun como aib, C e a "seccao

D , _a--+-Al-_a C b_ _ L rFigura 2.2 DivWio Aurea

A Divina Proport;aoA raza.o i/ a au alb, I: . cllamada de razio aurea, Na terminalogia dos

platernaticos antigos, AB esta div id ida pelo C em "extrema e media razoes".Kepler a chamava de "divina propoT


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3 8 H. E. Huntley A Divina Proporcao 39o Ii e unico Comesta propriedade; eo unico numero que, diminuido em umaunidade, torna-se 0seu pr6prio reciproco:

I." - 1 =-,." i.e., t f , Z - . f o - 1= 0raio, centro em B, corte a area em F. Una A, Bee a F,

Entiio,LBAF = 36. Tambem LCBF = 720e L ACF = 108.A prova depende de se dernonstrar que FA/FB = CAleB, de modo queFe e a bissetriz de LAFR.Fica entao fadlmente provado que AF = ~. AC.ssim, . fo e ,p ' sao as solucoes de xl- x-I = t / I . Tornare rnos ~ como solucaopositiva de (1+ y'g)/2 e p ' como solucao negativa de (1-V5)/2. Fica evidente, apartir dai, assim como tarnbem fica a partir das propriedades das raizes da

equat;ao quadratica, que ,p + q .' = I e ,p . . p ' =-I o Pentagramao nurnero de poligonos regulares que se podem construir em espacobidimensional e ilimitado. 0 numero de poliedros convexos regulares, emespaeo de tres dimensoes, e cinco. Quantas figuras regulares de quatrodimensOes sao possiveise

Os pitagoricos, que se interessavarn par tais assuntos, consideravam adoMcaedTo digno de respeito especial. Estendendo as lados de uma de suasfaces pentagonais ate formar uma estrela, eles chegavam ac pentagrama outnangulo triplo, da Figura 2.4, que utilizavam como sirnbolo e emblema daSociedade de Pitagoras, Por esta insignia, reconheciam 0membro assodado.

Como Dividir uma Reta na Sec~doAureaTomemos AB (Fig. 2.3)como a reta dada. Tracarnos BD =AB/2 perpen-

dicular a AB. Unimos AD.Com centro em D, raio DB, tracamos urn area cortando DA em E. Comcentro em A raio AE, t racamos urn area cortando AB em C

D

FFigura 2.3. Divisiio aurea: construcso g=mi!trica

Entao, C e a seccao aurea de AB.A prova de que ACiCB e a razao aurea fica a cargo do leitor,

M11 l ti pl o s d o Angu l o 1r /5 (.3&)o metodo descrito acima, de dividir urna linha na seq;ao aurea, sugereurn metodo de consrruir urn angulo de 36 com regua e compas sos.Com centro em C (Fig. 2.3), raio CA, descreva urn area. Com 0mesmo Figura 2.4. Pentagrama ou trillngula triplo


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40 H. E. Huntley A Divina Proporcao 41EI~ e urna ~ ~onte de razoes aureas, A s 12praprledades a seguir podemset faolmente verificadas tomando-se ReT como os raios das circunferencias

dos pentagonos A 'B 'C'D'E' e P,Q,R,S, T, respectivamente , e PQ com compri-mento igual a unidade.1. A'P = rf ,II. OAf,. = ~/2III. OA'/r = " ' !IV. OA1o.A = 2~V. U rna diagonal tal como a QS tern comprimento igual a ",.VI. Se X e 0 ponto de interseccao de duas diagonais, PR e QS, entao

SX PX B'XXQ = t / J . Xi = ~ e XT = t/ J

A serie e ainda uma serie somat6ria: a soma de dois elementos consecuti-vas e igual ao elemento seguinte; por exemplo, ~ + t p . ' = < J . ' .IX. 0 cornprimento de urn lado do pentagono A'B'C'D'E'e ~!.X. R/r = rj,!.Dobrando-se DA 'PQ na linha PQ e dando-se tratamento similar aosoutros tr iangulos correspondentes de modo que A', B; G', D' e E' encontrem-se em H, obtem-se uma piramide de altura OR (Figura 2.5).

XI.OHIOA .2XII, OHlT=;

A Irmandade Pitaghica

o s

o pentagrama era tambem con siderad 0, pelos membros da antigasociedade de Pitagoras, urn simbolo de boa saude. Os cincos ingulos erarnprovavelmente designados pelas letrasf rI 9A,que. formam a palavra saudeem grego (0 correspondendo ao ditongo EI).Urn escritor grego, Iamblicos, conta-nos que urn membro da eomunidadepitagOrica, distante de sua easa por motive de viagem, passou uma noite emuma estalagern de beira de estrada, Caiu enfermo e a despeito dos cuidados

do simpatico estalajadeiro, que tentou, com consideraveis despesas, restaurar-the a saude, faleceu. Antes de morrer, reconhecendo que a sua situacao eradesesperadora e vendo-se incapaz de recompensar seu anfitriao, ele eonsegui-ra uma tabua e nela inscrevera urn pentagrama. Entregando-a ao estalajadei-ro, pediu-lhe que fosse afixada em local onde todos os passantes pudessem v!-Ia . No devido tempo, urn cavaleiro de passagem avistou 0 simbolo. Desmon-tando, fez perguntas e. ao ouvir a hist6ria do estalajadeiro, recompensou-ogenerosamente, Podemos presumir, creio, e em vista de ter ele traradogenerosa e desinteressadamente urn estudioso viandante, que 0estalajadeiron~o mais utilizou-se da tabua inscrita com a estrela tripla.

o retangulo cujos lados estao em proporcao aurea e chamado deretangulo aureo. Seu forma to parece exercer atracoes estericas superiores a sde outros retangulos, A evidencia, baseada em experiencias da psicologia, estaapresentada no Capitulo V.Qualquer que seja a realidade acerca do assunto,parece nao haver duvida de que os arquitetos gregos utilizavam-se desseformato em seus projetos. Pode-se ver urn exemplo na representacao doPartenon, no Capitulo V (Fig. 5.2). Mais significativamente, 0 retangulo aureoest3.associado de modo natural a quatto dos cinco s6lidos convexos regula resconhecidos pelos gregos.

VII. Se SQ prolongado encontra A 'B' em V, entao, uma vez que VQS eparalelo a A'D',B'V -!ITl- B'X D'SVA'- QP-W=SiY= r/ J

V I I I . Os comprimen tos dos seissegmentos, B'D', B'S, B'R, RS, RX e XZ. estaoem progressao geometrica,B'D'=; r / J lB'S= " ' ,B'R = -. +. RS= 1RX = 1-1xz = + - 2

H

Figura 2.5 Pentagrama dobrado

Os Cinco S6lidos PlatonicQsOs gregos tinharn urna ideia mfstica dos cinco sohdos regulares. 0 quepolleo surpreende, pois as forrnas em si mesmas sao bonitas. Nao e necessaria

42 H, E. Huntley A Divina Proporcao 43-~--~-~----- ..----~-----


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nenhuma sofisticacao matematica para a apreciacao do fasdnio de suasaparencias externas: esse eo elemento rransmitido de sua beleza. Par outrelado, aquele que e adquirido atraves de treinamento e educacao exigeconsideravel esforco mental.Os cinco solidos regulares Foram discutidos por Euclides no Livre XIIIdos El emen t s , mas estao associados ao nome de Platao par causa de seu esforcopara relaciona-Ios com os elementos importantes dos quais supunha que 0mundo Iosse feito. A aura de misticismo com que os geometras gregos asrodeava persistiu ate a inicio do seculo XVI da era cientffica, Mas 0 apelo

estetico daqueles que ainda sao conhecidos como os solidos platonicos naodiminuiu. proximo a poltrona do escri tor , durante alguns anos, havia urnpequeno dodecaedro de pura porcelana!Deparamo-nos agora com nosso primeiro exernplo de beleza na materna-t ica, Estes fatos tern sido do conhecimento geral entre os matematicos desdeha 2.000 anos. Ha mnito registro, no passado, da evidencia de seu apeloestetico,o primeiro aspecto a se notar acerca dos solidos platonicos regularesapresentados oa Figura 2.6 e que eles sao predsamente em numero de cinco.Urn pouco de reflexao revela que, enquanto se pode desenhar urn numeroinfinite de poligonos em uma superflcie plana, nao e possivel construir rnaisque cinco poliedros regulares em espa~o tridimensional. A superffcie do

poliedro regular limita-se com poligonos regula res congruentes. Os poligonosmais simples que podem compor a superficie sao 0 triangulo equilatero, 0quadrado eo pentagono, Fica claro, atraves da Figura 2.6, que nao podernosfor mar vertice de urn poliedro com menos de tres faces e que urn verticepode ser formado com a juncao de tres, quatro au cinco rriangulos equilate-ros, Com seis desses triangulos, 0 venice achata-se em urn plano. 0 mesmoacontecera se unirem-se quatro quadrados. Semelhantemente, tres pentago-nos regulares e um venice sao 0 maximo posstvel, Mas os hexagonos e ospoligonos com mais de cinco lados estao todos excluidos. Este raciocinioacerca da limitacao a cinco solidas regulares e a fonte da formula de Euler, V+F=E + 2, onde as letras correspondern ao numero de vert ices, faces e lados,respecti varnente.o segundo ponto de interesse eque dois pares dos solidos pIat6nicos saoreciprocos eo quinto apresenta auto-reciprocidade nesse sentido: se unidos,os centres dos lados do cubo formam urn octaedro, enquanto que a uniao doscentroides das superficies do octaedro forma urn cubo, Relacao semelhanteverifica-se entre 0icosaedro e 0dodecaedro, E a junJ;3.odos quatro centroidesdos lados do tetraedro forma urn outro tetraedro,A terceira caracteristica digna de nota e a relacao dos dois pares depoliedros reclprocos com a retangulo aureo (Figuras 2.7 e 2.8).o ico.saedro. Os doze vertices do icosaedro regular sao divisiveis em tresgropes coplan ares de quatro, Eles situam-se nos cantos de tres retangulosaureos que acham-se colocados simetricamente em relaJ;ao urn ao outro,

II)----- --,,

TETRAEDROV=4F=4E='"6

HEXAEDROV=B F=6 l=l2

OCTAEDROV==6F=8 E=12

ICOSAEDROV=12 F=20 E= 50

DODECAEDROV=1/:0F=12 E=~O

Figura 2.6. Os cinco ~6lidos platol'licos

sendo ~uamente perpendiculares e tendo como ponto oomum 0centroidedo icosaedro (Fig. 2.7) .o ada.edro. Pode-se inscrever urn icosaedro em urn octaedro ~e ~odo quecada vertice do prime ira divida um lado do segundo na seccao aurea.o dodeca edre . Os centroides dos doze Iados pentagonais do dodecaedro

44 H. E. Huntley


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Capitulo IIIANALISE DA BELEZA

Figura 2.7. Icosaedro Quando se esta explorando urna regiao desconhedda e, ao virar em ~~aesquina, obtern-se de subito uma p~npectiva de a1gum marco bern familiar,ou quando, tragada por uma multidao de estranhos, a pessoa depara-~ derepente com 0 rosto de urn amigo, a reacao geral~ente e , uma sensacao desatisfaQio e surpresa. Sea emocao evocada pelo surgtmento mellperadc:' de urnobjeto maternatico familiar for suficienternente forre,.poderemosllentlr.que 0objeto e "agraditvel" ou mesrno "bonito". Por consegumte, pode:~ considerarque a surpresa e urn ingrediente ocasional da beleza maternatrca.Podernos supor que a emerg~ncia subita da ideia ou simbolo famH~ar,de

urn processo matematico em relat ;ao inespe~da a s vezes evoca uma hgelTaemocao de prazer e, aflitos como geralmente ficamos com a pobre~a de n.o~sovocabulario e incapazes de descrever nossa reat;ao mental co~ mars ~reosao,podemos descrever a novidade como sendo "bonita", Uma ilustracao desteprocesso pode ser util,

sao divisfveis em tr~s grupos coplanares de quatro, Esses quadrangulossituarn-se nos cantos de tres retangulos aUTeOScolocados simetrica e mutua-mente perpendiculares, tendo como ponto comum 0centroide do dodecae-dro (Fig, 2.8).a apelo estetico dos temas deste capitulo nao pode ser posto em duvida,Quer possamos explica-lo au nao, 0fato de terern sido apreciados por seisgeraes de homens e evidencia suficiente.

Consideremos uma sequ~ncia de inteiros formados de acordo com a regraa seguir:

Figura 2.8. DodecaedroEssa sequ~ncia e:

1, 3, 4, 7, 11, 18... onde "l =1, "2= 3 e assim por diante,Ela e conhecida como sequencia de Lucas,

A partir dai obtemos" 33/u32 = 5781196/3570847 (a)

Deve-se compreender que examinamos apenas a superffcie do assunto,Urn dos ingredientes da beleza na matematica e a sua p ro fund ida de , Mesmonestas aguas conhecidas, "muitas joias do mais puro fulgor" aguardam serdescobertas pelo explorador. Parece nao haver limite, conforme afirma SirEdwin Arnold em A luz. d a As ia :"Qualquer observador hoide ver com olhos mortaisau qualquer pesquisador de com mente mortal conhecer-Veu ap6s veu se erguera - mas veu ap6s veuDevera por detras haver."Tomemos ao acaso qualquer outra sequencia formada de acordo com

a mesma regra:-3, .... 4 , 1,5,6, 11, 17,28,45 ...



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= 160996/9950 I ( b)CondifM do Fi

Qual a condicao desta pequena esquina do mundo da matematica? Elapertence ao mundo fisico? Devemos considerar 0 fi uma "constante danatureza"? Tais constantes aparecern com frequencia nas equacoes dos fisicosteoricos. Um exemplo conhecido eo c,a velocidade da radiacao eletromagne-tica, como a luz, no espaco sem materia. Outro exemplo e a constante dePlanck, h, util no estudo do atomo, seu nucleo e sua radiacao. Urn terceiroexemplo e e, a carga eletrica elernentar. Naturalmente nao e 0 rnesmo que e, 0principio dos logaritmos naturais, mas e do mesmo genero? t do mesrnomundo? Possui 0 mesmo tipo de reaHdade?

Encontramos a 1T na trigonometria, na geometria de um pingo dechuva esferico, na teoria das probabilidades, como a soma de uma serieiniinita, e em outras siruacoes, Encontramos j= "i::'I em numeroscomplexos e na teoria das correntes eletricas alternadas. Cruzamos com ost~s combinadas na notavel equacao:tI" = -I

A partir dai,

A primeira razao (a) e 1,618 ... mas a segunda (b), que deriva de urn par determos iniciais escolhidos ao acaso, tambem e 1,618 ... De r a w , para todos osvalores de n suficienternente grandes, qualquer sequencia formada de acordocom a regra dada produz as mesmos resultados ate a terceira casa decimal:

ulI+du" = 1,618

Surpre sa . Adm iTGfao . Cu r i o s i d a d eA sensacao de surpresa que esses resultados ocasionam aumenta quandose percebe que essa razao,ull+ I/ullaproxima-se cada vez rnais da razao aurea amedida que 0valor de n aumenta, quaisquer que sejam as dais termos iniciais.De fato,

lim U " + l j U , , = p11__ 0Urn resultado agradavel? 0 que constitui a essencia do apelo estetico desseresultado de matematica simples? Parece que n~o temos uma palavra unica

para descreve-lo, Parece comper-se de uma mistura de emocoes antigas. Hasurpresa, pelo encontro inesperado: ha tarnbern tanto curiosidade comoadmiracao - formando os tres temperos embutidos na ideia de beleza.Cunos i da de : porque deseja-se saber por que 0fi, que satura 0pentagrama efica a vontade nos poliedros plat6nicos, tern de ser tambem 0 l imite de umarazao iniciada tao casualmente e desenvolvida conforme descri to acima, umaserie que aparenternente nao se relaciona nem mesmo remota mente com ageometria dos gregos, Admirao: porque fica mais forte a conviccao de quenos deparamos com urn mundo inexplorado que a semelhanca do universeque nos rodeia, parece nao ter Ironteiras, Deve haver aqui, especulamos,outras descobertas para serem feitas pela mentalidade curiosa. Suponhamos,por exemplo, que tivessemos escolhido nurneros negativos como as daisprimeiros termos de nossa sequencia:u} = - I.U2 = - 5 . . . , etc. "Tertamosdescoberto que a divisao do maier pelo menor nos daria (por exemplo)

ull/un =-3091-500 = 0,618e assim suspeitariamos que

lim ut l/u" + I =~. (i.e., I!rP), , _ mE estariamos com a razao.o leiter pode querer descobrir por si mesmo, atraves de aproximacoesnumericas similares e simples, qual seria 0 resultado de se subtrair umaunidade de

A questao da realidade rnatematica e abordada por G.H. Hardy, em seudelicioso ensaio, A Mathematician's Apology. Ap6s admitir que nem osmatematicos nem os fil6sofos concordam acerca da "natureza da realidadernatematica", se ela e mental, construida por nos mesmos, au externa eindependente de n6s, ele prossegue:

"0 homem que pudesse dar uma explic~o convincente sabrea realidade matematica teria solucionado muitos dos problemasmais diftceis da metaftsica. Se pudesse induir a realidade ffsica emsua explicacao, teria solucionado todos eles.N a o desejaria discutir nenhurna destas questoes aqui ai .ndaque fosse competente para faze-lo, mas expressarei dogmaticalnen-te 0meu proprio posicionamento a fim de evitar mal-entendidosrnenores. Acred.ito que a realidade matematica acha-se fora de nos,que nossa funt;A,oe descobri-Ia au observa- la e que os reoremas que

provamos e que descrevernos grandiloquentemente como nossas"cr iacoes ' sao simplesmente nossas notas de nossas observacoes,Este ponto de vista tern sido sustentado, de uma forma au de outra,a partir de Platao ..."t6

Matem4tica: uma LinguagemNinguem duvidaria que a matematica e uma linguagem. Ela e alinguagem das ciencias exatas. Suas "palavras" sao bern definidas. Urn"ensaio" serio expresso em simbolos matematicos traz em torno de siurn saborde poesia para os cognos c~n t i . A linguagem escrita da matematica evoluiu, nodecorrer do tempo, para uma taquigrafia eficiente. Urna profusao de ideias

48 H. E .. Huntley A Divina Proporcao 49


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pode ser expressa de maneira bastante economica, Urn exemplo acaba de serdado: e" =-Ie eSS3 taquigrafia, naturalmente, e inteligivel para osestudantes que tenhamo necessario treinamento.A passagem a seguir, escolhida do program a de radio de George Templesabre "A Natureza e 0Encanto da Maternatica", conforrne publicada em TheListener, e relevante aqui:

"Ha uma questao acerca da qual os mate maticos estao nitida-mente divididos. E a questao fundamental quanto a que e amatematica ... Tenho sustentado que a rnatematica e a linguagemda fisica... EntAD 0 que acontece a rnatematica pura? ... umalingua gem pode ser vista de duas maneiras, pelo menos, quer emrelacao a finalidade que serve, como instrumento para a expressaodas ideias, quer em relacao a sua estrutura interna. 0 estudo dasrelacoes linguisticas, conforme demonstrado na gramatica, nasintaxe e na filologia comparativa, e urn elernento vital e necessarioa avaliacao de qualquer l inguagem. Ouso sugerir que a matematicapura e , na verdade, 0aspecto f ilol6gico da linguagem da fisica.

Ha um bocado a se dizer a favor deste ponto de vista, seconsiderarmos as caracteristicas dominantes da matematica pura.Elas podem ser resumidas em consistencia, coerencia, abstracao ecriatividade, tquase um truismo dizer que 0mate matico puristanao esta interessado na veracidade de suas afirmacoes, mas apenasem sua consistencia interna. Tambern e verdade que 0flsico praticopode ficar urn pouquinho contrariado com a necessidade deconsistencia perfeita ...f>

o Fi na TrigonometriaExemplos semelhantes, embora mais diffceis, da ubiquidade do fi podern

ser encontrados no problema do rriangulo inscrito, no Capitulo VII e noproblema do rerraedro, no Caplrulo VIII.

Para simples exemplificacao, solucionemos a equacao:sen219 = cos319Pode-se ver 0fi a espreita nestes simbolos inocentes? Urna vez que 0 sene deurn angulo e 0co-seno de seu complemento, 2 fJ + 38 = 1T '2. ou fJ =1T 10,

A equacao pode ser reduzida a4sen!O- + 2sen () - I = 0

Assim, sen 18 = 1 - (V5 -1)/2, ou - HV5 + 1)12 . Tornando-se 0 valorpositive,sen 18 = - , 4 / / 2 , de onde cos 36 = 1- 2sen218 = 4 > / 2

o Triangulo AureoEstes resultados e similares sao colhidos na Figura g.l e na tabela a seguir:

A U biq tu dad e d o F iA condicao do fi nao e dessemelhame da dor. uma vezque conforme seraexernplificado nas paginas a seguir, ele surge nao apenas na realidadematematica de Hardy, que "acha-se fora de n6s", mas revela-se no mundo danatureza, associado com a filotaxia, com os padroes de inflorescencia das

flores da familia das compostas, tais como 0girassol, com 0formate da conchado nautilo e com outros objetos naturais,Pode-se partir para 0ataque a urn problema simples de rnaternatica pura,sem cogitar da divisao aurea, apenas para descobrir que 0i desempenha umpapel importante na solucao! )a vimos urn exemplo no Capitulo II (Fig. 2.5).quando criamos uma piramide a partir de urn pentagrama e (na frase deHardy) fizemos uma "nota de nossa observacao" de sua altura. Esta experien-cia (original, embora provavelmente nada nova!) foi recompensada com adescoberta de que a razao da altura para 0raio da circunferencia da base eraI i. Urn resultado agradavel , a lembrar uma definicao de beleza: "Aquela queagrada a contemplacao".

Angulo (2 sen)" (2 COS)21 T / 2 0 9" 2-v.p+2 2+v.p+2,,/10 18" .p ' 1 .p + 23 1 T / 2 0 27 '2 - \ 1 4 > ' + 2 2 + V 1 > ' + 21 T / 5 36 .p ' + 2 .p + 1,,/4 45" .p + 1 > ' .p + r j , '3 1 T / 10 54" .p + 1 J,' + 27,,/20 63" 2 + v.p' + 2 2-V~f+22,,/5 72"


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f. ,I

II

, AII

II

E X 8 r C c i o I

II

\\\\

Pe urn ponto da corda AB de urn circulo tal que a tangente PTque toea 0cireulo em T e igual a AB. Determine 0valor numerico da razao AP;AB.I

I\\\

\\ \\ \\

I2IIIII

II

\\

II

II

II

II Fig. 3.2 Problema da Tangente

\\\\\\\\

Utilizando a Figura 3.2, PT'", AP.BP. i.e AB1- AP(AP = AB), de ondeApr _ AP.AB - -AB' = 0

ouII' B L - - - - - - - ~ - - - - ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - - - ~

\\ ( ~ : r ( ~ : )1= 0~~ I C+-----------T-----------. Assim.

Fig. 3.1. Triingulo Aurea.

As seguintes razoes tranquilamente derivam da Figura 3.1: Se C e urn ponto tal em PA que PC = PT, determine CAICB.6.ABC: . " . ABD: 6. DBC =tf,':~: 1

Os exercfcios de geometria plana a seguir destinarn-se a alunos queadquiriram as nOl;oes basicas do assunto, Constituem simplesmente acresci-mos a nossa antologia e exernplificam 0afloramento inesperado da divisaoaurea,

Ternos APiAB - .p . de modo quePB + Be + CA = ' "A+ Be



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rf . = 2CA + BC _ 2q+ 1CA + Be a+ 1

porque CO e bissetriz de LC, AOIOB= AClI:'C= ~; de onde. A0 = 1 " ,BO=1. A linha CQROP compoe-se dos segumtes segmentos.

PO = t,OR = ~V5, RQ =fa V 5(V 5 - 1), QC = 1 (v '5 - 1)Mas PB=CA. Logo

onde

A

AP =AB = ~2 eAC BC

AP J-=~BC

Assim, ~- Ia=--2-Substituindo (1+ V5)/2 por , obtemos O! =/> . Dar

AP AB AC-=-=-=4>AB AC BeSegue-se que

BFig. 3.3. 0 Triingulo 3-4-5

Exercicio II - Um TriiingulQ FamiliarUrn triangulo conhecidissimo, de fama antiga, foi utilizado pelos agrimen-

sores egipcios para registrar 0 angulo reto, Atraves de n6s, dividia-se umacorda em tres segmentos, na proporcao 3:4:5. Quando as extremidades saoreunidas, formando urn triingulo, 0Angulo que subtende 0 segmento de 5unidades e urn Angulo reto.

As crianeas aprendem este fato na escota, mas quantos universitarios,igualmente, percebern que seu velho amigo, 0 triangulo 3-4-5, e urnesconderijo para 0Ii e algumas de suas aproximacoes de Fibonacci?

A Figura 3.3 mostra a [email protected] ABC. UtiIizando suas indicacoes,f~a a bissetriz do LC encontrar AB em 0.Com centro em 0, raio DB,descreva urn circulo, Percebe-se facilmente que a hipotenusa CA e umatangente: fa~-a tocar 0circulo em B', Una BB: Iaca CO cottar 0arcola em QeBB' em R. Prolongne CO ate encontrar 0 circulo em P, Entao oscomprimentos de segmentos a seguir podem ser conhecidos:

Tambem:CP= 3 (1 +~)/2= 31;CQ= 3(VS-l)/2= 3 - ~

Da figura podem derivar sucessivas aproximacoes de Fibonacci como Ii:

Ba BQ=t, B'C/AB'= t, AOIOB= t,AB/BO= fTambem:

CPIPQ=~, PQ/CQ-4. ORlRQ=#2BC=3, AB=4, CA=5. AB'=2 B'C=3 Assim Q divide CP na seccao aurea.

.')4 H. E. Huntley
mailto:[email protected]:[email protected]


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Exercicio III - Problema do ConeA circunferencia da base de urn cone circular reto cujo angulo se '. 'cal e 540 lad . r d d ' mrvern.e cujo 0 me ina 0me e urn pe, e 1 r . p pe, e a superffcie curva e! m f o ao quadrado.Fica a cargo do leitor prova-Io, com 0 auxilio da tabela da pagina 47.

Exercicio IV - 0Problema dos Cinco DiscosO. problema a ,seguir, solucionado par E. H. Xeville ", constituiacrescimn arraente a nossa antologia: urnCinco discos iguais, de raio igual a uma unidade, sao colocados simerrica.mente, conforme dernonstrado na Figura 34 de modo que sfo 1 d . , eus centrosrmam os angu os e urn pentagono regular e rodas as suas circunferenciaspassam. pelo cent~ide ~ do pentagono. Qual 0 raio da maior area circular

abrangida pelos cmco diSCOS, r.e, qual a comprimento de OA?A resposta e . p ' , 0 redproco do fi !

Capitulo IVFI e FI-BONACCI*

Fig. 3.4. 0 Problema dos Cinco Discos

Vimos, no capitulo anterior, que 0 fi, em conformidade com suacaracleristica de aparecer inesperadamente em locais estranhos, esta relacio-nada rom qualquer sequencia de inteiros formada de acordo com a leisegundo a qual cada termo e a soma dos dois termos anteriores, quaisquer quesejam os dois prirneiros terrnos: u..+! =u~+ U~,_I' A razao de terrnossucessivos, u~+II", aproxima-se cada vez mais de fi a medida que '1 1aumenta. Podemos tomar, como exemplo aleatoric, 5 e 2 como termosiniciais, Ul e U2, dando a sequencia

5, 2, 7, 9, 16, 25.. . 280, 453, 733 ... 13.153, 21.282, ..a partir da qual podemos determinar aproximacoes do fi

16/9 = 1,7777.,.453/280 = 1,6178 ...733/453 =1,6181...21.282/13.153 = 1,61803 ...

_ Este processo nos leva cada vez mais proximos do valor de fi, que e (I +'\1'5)/2. Este valor, ate a setima casa decimal, e 1,6180340. Alguns calculosdemonstrarao que as aproximacoes oscilam, sendo alternadamente maiores emenores que fi:

453/280 = 1,6178 ...< t P , 733/453 = 1.6181... > + .Utilizando urn computador Ell iot t 803 da Universidade de Bath, que Ie alinguagem Algol para eomputador, 0autor pede, gracas a gentil deferericiado departamento de rnatematica, preparar urn programa, em linguagem

Algol, para calcular 0fi ale tantas casas decimals quantas foram necessarias naocasiao, t interessante comparar as velocidades dos tres metodos hoje a maopara se realizar 0calculo,Tres Mitodos d e Cci lcu io

Na ausencia de qualquer restricao aos dais termos iniciais da sene,podemos cornecar com os mais simples; 0que resulta na serie de Fibonacci,assim chamada por Edward Lucas em 1877:0, I, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

* '!\'.A.: Filius Bonacci. filho de Bonacci.para Fibonacci.



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Para calcular U40/U)9 = 102.334.155/63.245.986 pelo metodo manual,existente desde os dias de Fibonacci, e para conferir 0 resultado, ocupaT-se-iaurn perfodo de tempo medido em horas, Para realizar a rnesma opera91ousando sua calculadora de mesa "Britannic", 0autor precisou de urn periodode tempo medido em minutes. Utilizando 0 computador da Universidade deBath, ele alcanc;ou0mesmo resultado em questao de rnenos de 5 segundos.

Urn cornputador IBM 1401, em operac,;ao na Calif6rnia [8, produziunumeros da serie de Fibonacci com 4,000 digitos de extensao, 0 artigo citadofornece os interessantes resultados abaixo:

t ~ ~ , t .. J t I .... , t 1 t ~ t UII003ul1004 2.3002.300

d d cu ios lados tenharn cornprimento igual a soma deConstrua urn qua ~a d J ~ . d Fibonacci A figuraapresenta 5 + 8 =-< consecuuvos a s",ne e ., dois nurneros ... ualmente Recorte 0quadrado nas partes. 21+ 34 = 55 servmarn Ig . . . 'd13, mas . f d retangulo, Verifica-se que as areas 0indicadas e encaixe-as, ord~an 0 urn 1unidade Qual 0maior, depende dosquadrado e do retangulo I erem em Ihid No exemplo da Figura 4.1, 0d Fibonacci que foram esco lOS. . . d 5numeros e I. 1 1unidade. Entretanto, se ao mves ed d e major que 0retangu 0em 1 eraqua ra 0 Ih i d 21 + 34 teriamos verificado que 0retangu 0+ 8 tivessemos esco I 0 id d' 0 e corresponde a nossa descoberta. quadrado em 1 um a e. qu '" _malar que 0 . f d artir de uma sene somatona saode que razoes consecuuvas orma as a p.aIternadamente rnaiores e menores que ft. . .

d e ue 0encaixe ao longo das diagonalsA explicacao para este P A ara oxof. q a folga de I unidade quadrada ed etangulos nao e exato. svezes lea u~o~~:s vezes h a uma sobreposicao de 1 unidade quadrada,

A Sirie A urea. que proporciona encaixeh d urna serie somat6na - e sornente uma- d texato,at uma serie que utiliza a divisao aurea, Ele pode ser adequa amen e

chamada de sene aurea:1, ~. 1+ ~,l +2~. 2+3" 3+5,...

. Idos tenham eornprimento igual aSe construirrnos urn quadrad.o culoS .a desta serie 0 encaixe serasoma de dois numeros consecunvos qUaIsquer _ . .' E..te faro estad d do retftngulo serao iguars, .exato: as areas do qua ra 0 e . lhid 1+21 e 2+3~ como osd F' ra 42 Se tivessernos esco 10 ./..,demonstra 0na Igu. 'd' ",' t . os verificado (Iernbrando que 'P- =dois numeros consecunvos a Sene, eriam~+1):area do quadrado = (3 + 5~)'-= 55~ +5~H+ 34area do retangulo = (5 + 8"') (2 + 3,pl - 5 ",

TERMO DA SERlE DE FIBO:\'ACCIU476U954"1433"1911

N DE DtGITOS10020 0300400

U19137 4.000Determinou-se 0 valor de fi a partir da razao uJ100I/U11GOl, cadamimero com 2.300 digitos, reproduzidos por completo no peri6dico. Nenhu-

rna ealculadora de mesa estaria a altura deste simples problema de divisao. 0leitor pode querer calcular quanto tempo levaria, usando lapis e papel, paradeterminar 0 valor de fi ate 4.600 casas decimals atraves de uma divisaosimples em que ha 2.300 digitos no divisor, 2.300 digitos no dividendo e 4.600no quociente, 0 computador realizou este cileulo gigantesco em 20 mi?w,os. Edepois 0 conferiu atraves da inversao da fra~ao. Os digitus de un+! I Un saoidenticos em todas as casas aos de U,,/UII+ 1 , exceto pelo fato de que ~ daprimeira cornecam por 1,6180 ... e os da segunda por 0.6180 ... Verificou-seque as duas razoes coincidem ate 4.598 casas decimals. Esta e uma vivailustracao da precisao e velocidade de trabalho de urn moderno eomputadoreletronico,

Um Sofisma GeometricoUma outra ilustracao da Iigacao entre 0 Ii e a serie de Fibonacci dizrespeito a um velho sofisrna geometrieo, que se acha i1ustrado na Fig. 4.1.B a ' " -+ ' l lm.li l '

215Ar~=8 x 21=16B3

Area =132= 169Figura 4.1. Sofisma Geometrieo (I)

" ~ : . : ; ; : : ; :~ : : : : : 1 : : :! 1 : :~ . ~ \ ~ : : l ~ i : ~ :::~:LH ~ (:::~~~:~:::;;:::;:::::Area - ~(2"'+l) = 3 , p + 2

Area=( t P + 1)'=3 t P + 2Figura 4.2. Sofisma Geomo"trko (II)



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Propr iedade s Notaueis, . 0 leitor ~ao teria dificuldades em formar uma serie somatoria isto e Urnsene que reune tres termos consecutivos de acordo com a f6rm~la' ' ~un,+.un_1,Nemtampouco acharia diffcil formar uma serie geome't' '. U ;+1 -sene na q al - d rrca,j. 0:-, umau a ra~a.o e qualquer terrno para 0 termo anterior seja umaconstante para a sene' u I -I f ' 'n + I Uti - con stante para qualq uer valor de n 0eitor ormana u~a progressao geometrica, tal como 1 3 9 27 81 Msuponha que a ~xlgencia Fosse para se forrnar uma serie qu~ ~ssu~ a ~ b a s aspropnedades simuitaneamente. Nao e tao facil! p as

Entretanto, ho i uma serie assim, e somente urna, Trata-se da serie aurea-

A conclusao bern poderia ser de que a direito a beleza da divisao aurea edos ternas cognados possui urn principio fabricado, p u ram en t e a r ti fi c ia l, de quea sua apre

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A divina proporção