A equação do calor fraccionária - .2.1 A transformada de Fourier em L1 Antes de abordar a transformada

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  • A equao do calor fraccionria

    Diogo de Castro Lobo

  • A equao do calor fraccionria

    Diogo de Castro Lobo

    Dissertao para a obteno do Grau de Mestre em Matemtica

    rea de Especializao em Anlise Aplicada e Computao

    Jri

    Presidente: Jos Augusto Ferreira

    Orientador: Erclia Sousa

    Vogais: Erclia Sousa

    Gonalo Pena

    Data: Setembro de 2016

  • ResumoA resoluo numrica da equao fraccionria do calor

    ut + ()/2u = 0,

    tem sido um rea de investigao muito activa nas ltimas dcadas. Naliteratura, a mesma notao para o operador de difuso aparece associadaa denies diferentes, no sendo claro se estas so equivalentes.

    Neste trabalho estudamos maioritariamente duas denies para esteoperador: o operador de Riesz na forma integral e o operador de Rieszespectral. So apresentados mtodos numricos que convergem para asoluo do problema de difuso fraccionrio respectivo a cada denio.Por ltimo, usando estes mtodos comparamos as solues numricas dosproblemas associados a cada denio.

    Palavras Chave: Transformada de Fourier, operador de Riesz, operador de Riesz

    na forma integral, operador de Riesz espectral, tcnica de transmisso de matriz.

    AbstractThe numerical resolution of the fractional heat equation

    ut + ()/2u = 0,

    has been a topic of great interest in the last decades. In the literaturethe same notation for the diusion operator is associated with dierentdenitions, and it is unclear if they are equivalent.

    In this work we study two of the major denitions for this operator:the integral Riesz operator and the spectral Riesz operator. We intro-duce numerical methods that converge for the solution of the fractionaldiusion problem associated with each denition. We nish by using thismethods to compare the numerical solutions of each problem.

    Keywords: Fourier transform, Riesz operator, integral Riesz operator, spectral

    Riesz operator, matrix transfer technique.

    i

  • AgradecimentosEm primeiro lugar minha famlia, por tudo.

    Aos meus amigos, pela amizade e compreenso demonstradas.

    A todo o corpo docente e no docente do Departamento de Mate-

    mtica da Universidade de Coimbra por me terem proporcionado uma

    excelente experincia de aprendizagem ao longo destes anos.

    Por ltimo, Professora Erclia Sousa, pela innita pacincia e ajuda

    no orientar desta dissertao.

    iii

  • Contedo

    1 Introduo 1

    2 Operadores fraccionrios 3

    2.1 A transformada de Fourier em L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 A derivada fraccionria de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . 72.3 O operador de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 O operador de Riesz na forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 O potencial de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3 Mtodo numrico segundo diferenas centradas 17

    3.1 As diferenas centradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.1 Das diferenas centradas ao operador de Riesz na forma integral 193.1.2 Um resultado importante e uma breve digresso pela transfor-

    mada de Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 O mtodo numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    3.2.1 Convergncia do mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2 Testes numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    4 Tcnica de transmisso de matriz 33

    4.1 O operador de Riesz como um operador espectral . . . . . . . . . . . 334.2 Condies de fronteira e soluo analtica da equao fraccionria do

    calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Mtodo numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Operador de Riesz integral versus operador espectral . . . . . . . . . 39

    5 Concluses 43

    v

  • Captulo 1

    Introduo

    O propsito deste trabalho estudar a denominada equao do calor fraccionria

    onde o operador de difuso representado por um operador diferencial fraccionrio.

    Consideremos a equao do calor usual

    ut u = 0.

    Esta equao surge na modelao de uma srie de fenmenos tais como a propagao

    do calor, a concentrao de um qumico ou a modelao do mercado de aces. Os

    pressupostos para estes modelos so vlidos para meios homogneos, mas no para

    meios altamente heterogneos.

    Um modelo mais geral a equao do calor fraccionria

    ut + ()/2u = 0, (1.1)

    onde um parmetro entre 1 e 2, que exprime a heterogeneidade do meio. Mas

    como entender o operador ()/2, a que chamaremos operador de Riesz? O leitor

    familiarizado com a teoria de Fourier sabe que para certas funes u temos

    (()u) = F1(||2Fu),

    onde F e F1 representam, respectivamente, a transformada de Fourier e a inversa

    da transformada de Fourier. Assim, uma primeira denio poderia ser

    ()/2u = F1(||Fu). (1.2)

    Esta denio est tambm associada a um profundo contexto fsico associado

    teoria dos saltos arbitrariamente longos.

    Mas em que espao de funes que o operador pode ser denido? Haver outras

    denies que satisfaam esta propriedade no espao de Fourier?

    Recentemente tem sido dada grande ateno na literatura a uma nova denio

    para o operador ()/2, baseada nos valores prprios e respectivas funes prprias

    associadas ao problema de valores prprios para o operador de Laplace. Juntamente

    1

  • Captulo 1 Introduo

    com esta nova denio, surge um mtodo numrico que toma o nome de tcnica

    de transmisso de matriz. Contudo, ser que existe alguma equivalncia entre esta

    denio e a dada por (1.2)?

    Neste trabalho vamos apresentar a resoluo numrica de dois problemas que

    consistem em considerar duas denies diferentes para o operador de difuso frac-

    cionrio e discutimos se os problemas partilham a mesma soluo.

    A dissertao est organizada do seguinte modo. No captulo 2 revemos a trans-

    formada de Fourier para funes em L1(R), discutimos a existncia do operador

    de Riesz na forma integral e vemos se satisfaz a propriedade (1.2). No captulo 3

    apresentamos um mtodo numrico para a equao fraccionria do calor (1.1). Apre-

    sentamos ainda resultados sobre a convergncia do mtodo. No captulo 4 discutimos

    o operador de Riesz na forma espectral e apresentamos um mtodo numrico para a

    resoluo do problema envolvendo este operador. No nal, usando os mtodos nu-

    mricos desenvolvidos para a resoluo destes dois problemas, comparamos as suas

    solues.

    2

  • Captulo 2

    Operadores fraccionrios

    Neste captulo vamos apresentar alguma teoria sobre operadores fraccionrios. Preci-

    samos para isso de denir inicialmente a transformada de Fourier em L1(R). Discuti-

    remos um espao em que se pode denir o operador de Riesz atravs da transformada

    de Fourier e relacionamos esta denio com uma outra denio, que a denio

    integral do operador de Riesz.

    2.1. A transformada de Fourier em L1

    Relembremos o espao de funes L1(R), o espao de funes mensurveis em R.

    Dizemos que u L1(R) se R|u(x)|dx

  • Captulo 2 Operadores fraccionrios

    F(eiku())() = u( + k)

    F(u(k))() = 1ku(

    k)

    F[(u v)]() = u()v()

    De seguida vamos provar um resultado conhecido como Lema de Riemann-Lebesgue:

    Lema 2. A transformada de Fourier uma transformao linear limitada de L1(R)

    para C0(R), no sentido em que

    lim|x|

    u(x) = 0.

    Demonstrao. A linearidade da transformada segue imediatamente da denio.

    Para vermos que limitada, veja-se que |u()| ||u||L1(R) para todo o R.

    Tenhamos agora em ateno que, sendo u L1(R),

    |u( + h) u()| = | 12

    Reixu(x)(eihx 1)dx|

    12

    R|u(x)||eihx 1|dx.

    A expresso a integrar limitada por 2||u||1. Por outro lado, esta expresso tende

    para 0 quando h 0. Assim, pelo teorema de convergncia de Lebesgue1, temos

    que |u( + h) u()| 0 quando h 0, independentemente do valor de . Isto

    implica a continuidade uniforme de u em R, que por sua vez implica u C(R). Por

    ltimo note-se que

    12

    Reixu(x

    )dx = e

    i

    2

    Reixu(x)dx

    = u(),

    pelo que podemos escrever

    u() =1

    2

    2

    Reix(u(x) u(x

    ))dx,

    o que leva a

    |u()| ||u() u(

    )||1,

    que por sua vez implica lim|| u() = 0.

    1Seja {un}N uma famila de funes em L1(R) tal que |un(x)| v(x) quase em toda a parte para

    alguma funo v L1(R) e limn un(x) = u(x) q.t.p.. Ento u L1(R) e limnR un(x)dx =

    R u(x)dx

    4

  • 2.1 A transformada de Fourier em L1

    Antes de abordar a transformada de Fourier de uma derivada, vamos ver o pro-

    blema da inverso da transformada de Fourier, isto , a recuperao dos valores de

    u atravs da funo u. Esta recuperao nem sempre possvel, uma vez que a

    transformada de uma funo u L1(R) no tem de estar necessariamente em L1(R).

    Teorema 1. Se u, u L1(R) ento

    u(x) =12

    Reixu()d

    para quase todo o x R.

    Demonstrao. Consideremos em primeiro lugar a funo k(x) = ekx2. Esta

    funo pertence a L1(R) e a sua transformada de Fourier tem a forma k() =12ke

    14k2 , que tambm est em L1(R). V-se ainda facilmente que

    R k()d =

    2. Ento

    12

    Reixu()d = lim

    k0

    12

    Reixu()k()d

    = limk0

    12

    R

    12

    Ru(t)eitdteixk()d

    = limk0

    12

    R

    12

    Rk()e

    i(tx)du(t)dt

    = limk0

    12

    Rk(t x)u(t)dt

    onde usmos Fubini na terceira igualdade. Tendo ainda em conta a paridade de k

    podemos escrever

    12

    Rk(x t)u(t)dt u(x) =

    =12

    R

    12ke

    14k

    (xt)2u(t)dt u(