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A ESTATÍSTICA
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta,organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dosmesmos na tomada de decisões.Exprimindo por meio de números as observações que se fazem de elementos com, pelomenos, uma característica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de umacomunidade), obtemos os chamados dados referentes a esses elementos.A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da EstatísticaDescritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados ficam a cargo daEstatística Indutiva ou Inferencial.Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido daorganização e descrição dos dados, desconhecendo que o aspecto essencial daEstatística é o de proporcionar métodos, que permitam conclusões que transcendam osdados obtidos inicialmente. Assim, a análise e a interpretação dos dados estatísticostornam possível o diagnóstico de uma empresa, o conhecimento de seus problemas e aformulação de soluções para tais problemas.
SÉRIES ESTATÍSTICAS
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podemassumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa variável. E isso ela consegueinicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos, que irão nos fornecer rápidase seguras informações a respeito das variáveis em estudo.
TABELAS ESTATÍSTICAS
Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura:- cabeçalho- corpo- rodapé
O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as questões:- o que está representado?- onde ocorreu?- quando ocorreu?
O corpo da tabela é representado por colunas e subcolunas dentro dos quais serão registradosos dados numéricos e informações.O rodapé é reservado para observações pertinentes à tabela, bem como para o registro eidentificação da fonte dos dados.Exemplo: Internautas que fazem transações bancárias on-line – jan/2003
Países Quantidade(%)Suécia
AustráliaEUA
JapãoBrasil
Espanha
51,339,612,59,636,218,6
Fonte: Nielsen/Net Ratings(Revista Época)
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GRÁFICOS
A representação gráfica das séries estatísticas (tabelas) tem por finalidade representar osresultados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobrecomo se relacionam os valores da série. Não há uma única maneira de representargraficamente uma série estatística. A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério doanalista. Contudo, os elementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser consideradosquando da elaboração de um gráfico.
GRÁFICO DE COLUNAS
Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%)
0204060
EUABras
il
Espan
ha
Internautas quefazemtransaçõesbancárias on
Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época)
GRÁFICO DE BARRAS
É semelhante ao gráfico de colunas, porém os retângulos são dispostos horizontalmente.
Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%)
0 20 40 60
Suécia
EUA
Brasil Internautas quefazemtransaçõesbancárias on
Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época)
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Obs: A distância entre as colunas (ou barras), por questões estéticas, não deverá ser menorque a metade nem maior que os dois terços da largura (ou da altura dos retângulos)
GRÁFICO DE LINHA (CURVA)
O gráfico de linha constitui uma aplicação do processo de representação das funções numsistema de coordenadas cartesianas.
Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%)
0204060
EUABras
il
Espan
ha
Internautasque fazemtransaçõesbancárias on
Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época)
GRÁFICO DE SETORES
É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de setores. Èutilizado principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o total. Paraconstruí-lo, divide-se o círculo em setores, cujas áreas serão proporcionais aos valores dasérie. Essa divisão poderá ser obtida pela solução da regra de três: total...........360º Parte.......... xº
Países Quantidade(%) Graus Graus AcumuladosSuécia 51,3 110,06 110,06Austrália 39,6 84,96 195,02EUA 12,5 26,82 221,84Japão 9,6 20,60 242,44Brasil 36,2 77,66 320,10Espanha 18,6 39,90 360Total 167,8 360
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Internautas que fazem transações bancárias on lina Quantidade(%)
SuéciaAustráliaEUAJapãoBrasilEspanha
Fonte: Nielsen/Net Ratings (Revista Época)
Exercícios:
1 – Represente as séries abaixo usando :- Gráfico de linhas- Gráfico de colunas- Gráfico de setores
Tabela 1:Venda mensal de produtosBanco Alfa S.A– Jan/2003
Produtos QuantidadeCartão de créditoSeguro de vidaSeguro de auto
Título de capitalizaçãoTítulo de previdência
5741986112
Fonte: Depto Comercial Banco Alfa SA
Tabela 2: Produção Empresa Beta Ltda – 1º semestre 2002
Meses QuantidadeJaneiro
FevereiroMarçoAbrilMaio
Junho
374128476844
Fonte: Depto Vendas Empresa Beta Ltda
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Exemplo: Para ofenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino.Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
POPULAÇÃO E AMOSTRA
População – é um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos umacaracterística em comum.Amostra – é um subconjunto finito de uma população.
Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às idades de 30 pessoas, quecompõem uma amostra dos alunos de uma faculdade “A”:24 23 22 28 35 21 23 33 34 25 21 25 36 26 22 30 32 25 26 3334 21 31 25 26 25 35 33 31 31
A este tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados denominamostabela primitiva ou dados brutos.Ao arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente chamamos de rol. Logo:
21 21 21 22 22 23 23 24 25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 31 3132 33 33 33 34 34 34 35 35 36
Podemos organizar estes dados em uma tabela simples denominada de distribuição defreqüência com variável discreta. Os dados serão organizados com suas freqüências simples.
Freqüência simples ou absoluta (Fi) – é o número de vezes que o elemento aparece naamostra ou o nº de elementos pertencentes a uma classe.
Idades Fi21 322 223 224 125 426 328 130 131 332 133 334 335 236 1Total 30
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Podemos ainda agrupar os valores da variável em intervalos, sendo que, chamamos essesintervalos de classes. Logo a tabela abaixo denominados de distribuição de freqüência comintervalos de classe.
Idades de 30 alunos da Faculdade “A”Classes Idade Freqüência
123456
21 I---- 2424 I---- 2727 I---- 3030 I---- 3333 I---- 3636 I---- 39
781581
Σ 30
Obs: Quando os dados estão organizados em uma distribuição de freqüência, são comumentedenominados dados agrupados.
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
A construção de uma tabela com dados agrupados em intervalos ou variável contínua requer oconhecimento de alguns conceitos que vamos fazer em seguida e usaremos a tabela anteriorpara exemplificar cada item.
Classes de freqüência – são os intervalos de variação da variável.As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ... K (onde k é o nº totalde classes da distribuição).No nosso exemplo: o intervalo 30 I---- 33 define a quarta classe (i=4). Como a distribuição éformada de seis classes, temos K = 6.
Limites de classes – são os extremos de cada classe (li I---- Li)li – limite inferior da classe (onde começa o intervalo)Li – limite superior da classe (onde termina o intervalo)Ex: intervalo 30 I---- 33li – 30 Li – 33
Intervalo de classe ou amplitude do intervalo(h) – é a medida do intervalo que define aclasse.
- h = Li – li Ex: intervalo 30 I---- 33, logo h = 33 – 30 = 3
Número de classes(k) – Não há uma fórmula exata para o cálculo do nº de classes. As maisusadas são:1ª)K = 5 para n ≤ 25 ou K ≅ n para n > 25 2ª)Fórmula de Sturges – K ≅ 1 + 3,22 . log n
Range, amplitude total ou amplitude amostral – é a diferença entre o maior e o menor valorda amostra. No exemplo dado: R = 36 – 21 = 15
Para montar a tabela de distribuição de freqüência com intervalos devemos seguir ositens abaixo:1º) Calcular o range (como na definição anterior: 36 – 21 = 15)2º) Saber quantas classes ou quantos intervalos terá a tabela. No exemplo acima, temosn=30,
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portanto n>25. Logo o cálculo será K= =30 5,48, ou seja K = 63º) Calcular qual será a amplitude do intervalo ou qual a diferença entre o li e o Li.Logo h ≅≅≅≅ R : K ou seja h = 15 : 6 = 2,5 ou h = 3
Obs: Quando os resultados acima não são exatos, devemos arredondá-los para o maior.
Outros elementos de uma distribuição de freqüência:Pontos médios das classes (Xi) – é a média aritmética entre o limite superior e o limiteinferior da classe. Ex: 33 – 36
Xi = =+2
3633 34,5
Freqüência relativa (Fri) – é dada por Fri = Fi/n, ou seja é a porcentagem daquele valor daamostra.
Freqüência acumulada (Fac) – é a soma das freqüências dos valores inferiores ou iguais aovalor dado.
Histograma – é a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio deretângulos justapostos.
Polígono de freqüência – é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobreperpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe.
Polígono de freqüência acumulada – é traçado marcando-se as freqüências acumuladassobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limitessuperiores dos intervalos de classe.
Exercícios:1 – Considere os salários quinzenais de 100 funcionários da Empresa Yasmim Ltda (em US$):
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 165 165165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 174 175 175 175 175176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180181 181 181 182 182 182 183 184 185 186 187 188 190 190
Pede-se determinar:a) A amplitude amostralb) O número de classesc) A amplitude das classesd) Construir a tabela de distribuição de freqüência com as classes, frequências
absolutas, freqüências relativas, pontos médios e freqüência acumulada.e) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valor igual ou
superior a US$179.f) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valores inferiores
a US$163.g) O histogramah) O polígono de freqüênciai) Qual o ponto médio da 3ª classej) Qual o fri da 2ª classe.
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2 - O controle de qualidade de uma indústria selecionou 48 caixas na linha de produção eanotou em cada caixa o número de peças defeituosas, obtendo os seguintes dados:2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 00 0 3 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0
Determinar:a) o rolb) a tabela de distribuição de freqüência sem intervalosc) qual a porcentagem de caixas que apresentam 2 ou mais peças defeituosas?
3 – Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedoresautorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridaspor estes revendedores. Obteve os seguintes dados:6 7 9 10 12 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 2020 20 21 21 21 22 22 23 24 25 25 26 26 28 28 30 32 32 35 39
a)Monte a tabela de distribuição de freqüência com intervalos .
Exercícios Extras:
1-Conhecidas as notas de 55 alunos:33 33 35 35 39 41 41 42 45 45 47 48 50 52 53 54 55 55 56 5759 60 61 64 65 65 65 66 67 68 68 69 71 73 73 73 74 74 76 7778 80 81 84 85 85 88 89 91 94 94 98 98 98 98Obtenha a tabela de distribuição de freqüência com intervalos, a freqüência absoluta, afreqüência relativa, o ponto médio e a freqüência acumulada.
2 – Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 35 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos e complete com as colunas do fri e fac.
3 – Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 55 alunos:64 64 64 66 66 70 70 73 73 73 73 74 75 76 76 76 78 78 78 7879 80 80 81 82 82 83 84 84 85 85 85 85 86 86 86 86 86 86 8787 89 90 90 92 92 93 95 98 101 102 103 103 103 103Forme uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos e complete com as colunas doXi, Fri e Fac.a)Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota inferior a 79?b)Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota igual ou superior a 94?
4 – A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico,durante um mês, por uma firma comercial:14 12 11 13 14 13 12 14 13 1411 12 12 14 10 13 15 11 15 1316 17 14 14Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos com as colunas do fri e fac.
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Respostas:1 -classes notas fi xi fri fac1 33 I---- 42 7 37,5 12,73 72 42 I---- 51 6 46,5 10,91 133 51 I---- 60 8 55,5 14,55 214 60 I---- 69 10 64,5 18,18 315 69 I---- 78 9 73,5 16,36 406 78 I---- 87 6 82,5 10,91 467 87 I---- 96 5 91,5 9,09 518 96 I---- 105 4 100,5 7,27 55
2 -faces do dado fi fri fac1 6 12 62 8 16 143 9 18 234 7 14 305 10 20 406 10 20 50
3 –classe amostra fi xi fri fac1 64 I---- 69 5 66,5 9,09 52 69 I---- 74 6 71,5 10,91 113 74 I---- 79 9 76,5 16,36 204 79 I---- 84 7 81,5 12,73 275 84 I---- 89 14 86,5 25,45 416 89 I---- 94 6 91,50 10,91 477 94 I---- 99 2 96,50 3,64 498 99 I---- 104 6 101,5 10,91 55a)36,36% b)14,55%4 –amostra fi fri fac10 1 4,17 111 3 12,50 412 4 16,67 813 5 20,83 1314 7 29,17 2015 2 8,33 2216 1 4,17 2317 1 4,17 24
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Foi visto no item anterior a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos edistribuições de freqüências. Dessa forma podemos localizar a maio concentração de valoresde uma dada distribuição.Agora, vamos ressaltar as tendências características de cada distribuição. Inicialmenteestudaremos as medidas de posição – que são estatísticas que representam uma série dedados orientando-nos quanto à posição da distribuição no eixo X (eixo dos nº reais).
- Medidas de tendência central – representam os fenômenos pelos seus valores médios,em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. (média, moda e mediana)
Média
1º CASO: Dados não agrupados
x = n
x∑ (onde n é o nº de elementos do conjunto)
Ex1: Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10 e 11
X = n
x∑ = 8,75
1110873 =++++
X2º CASO: Dados agrupados sem intervalos
Dada a amostra: 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8Xi Fi XiFi2 1 25 4 206 3 188 2 16Total 10 56
Então a média será :
6,51056 === ∑
nXiFi
X
3º CAS0: Dados agrupados com intervalos
Classe Amostra Fi Xi XiFi1 2 I---- 5 1 3,5 3,52 5 I---- 8 10 6,5 653 8 I---- 11 8 9,5 764 11 I---- 14 1 12,5 12,5Total 20 157
11
Portanto 85,720
157 === ∑nXiFi
X
Interpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valor em torno do qual oselementos desta série se concentram.
Exercícios:1ª PARTE – MÉDIA1-Calcule a média aritmética das séries abaixo:a)1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30b)5, 6, 6, 10, 11, 11, 20
2 – Calcule a média para as tabelas abaixo:xi fi2 13 44 35 2Total
xi fi17 318 1819 1720 821 4Total
3-O salário de 39 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo.Calcule o salário médio destes funcionários.classe salários(R$) nº func.1 400 I---- 500 122 500 I---- 600 153 600 I---- 700 84 700 I---- 800 35 800 I---- 900 1
4-Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadroabaixo.Calcule a média:classe aluguel(R$) nº casa1 0 I---- 200 302 200 I---- 400 523 400 I---- 600 284 600 I---- 800 75 800 I---- 1000 3Total
5-Em uma empresa temos 4 operários com salário de R$850,00, 2 supervisores com salário deR$1.200,00, 1 gerente com salário de R$2.000,00 e 6 vendedores com salário de R$1.100,00.Qual a média salarial dessa empresa?
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Respostas:1)a)12,5 b)9,862)a)3,6 b)18,843)562,82 4)335 5)R$1.107,69
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Mediana ( X~ )
1º Caso: Dados não agrupados
Os valores têm que ser colocados em ordem crescente. A mediana é o nº que se encontra nocentro de uma série de números, ou seja, divide a amostra em duas partes iguais.
Exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16 e 9Colocar os valores em ordem crescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18
Se n=9 logo ==+=+2
102
192
1n5º elemento, logo X~ = 10
2º exemplo: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18 e 21 ( já está em ordem)
Se n=8 logo 5,42
182
1 =+=+nº elemento (está entre o 4º e o 5º elemento)
Logo 11222
21210~ ==+=X
2º Caso: Dados agrupados sem intervalos
Dada a amostra: 12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20 e 20
Xi Fi Fac12 1 114 2 315 1 416 2 617 1 720 2 9Total 9
Construindo a coluna da frequência acumulada podemos localizar com facilidade o valormediano.
==+=+=2
102
192
1~ nx 5º elemento, portanto a mediana será o 16.
3º Caso: Dados agrupados com intervalosDada a tabela:Classe Amostra fi Fac1 3 I---- 6 2 22 6 I---- 9 5 73 9 I---- 12 8 154 12 I---- 15 3 185 15 I---- 18 1 19Total 19
14
1º Passo: Calcula-se a ordem 2n
.
2º Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe da Md).3º Passo: Utiliza-se a fórmula:
classe
ant
fi
hfacn
lix×
−
+= 2~
Onde: il = limite inferior da classe da mediana n = tamanho da amostra facanterior= freqüência acumulada anterior à classe da mediana( ou soma dos valores de fianteriores à classe da mediana) h = amplitude da classe da mediana ficlasse = freqüência da classe da mediana
No exemplo da tabela anterior:
1º Passo: Calcula-se 2n
. Com n=19, temos 19/2=9,5º elemento
2º Passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da mediana é a 3ª.3º Passo: Aplica-se a fórmula:
=x~classe
ant
fi
hfacn
li×
−
+ 2
93,938
75,99~ =×−+=x
Interpretação: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 9,93 e 50% dosvalores da série são valores maiores ou iguais a 9,93.
Exercícios: MEDIANA
1-Calcule a mediana das seqüências abaixo:a)2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20b)3, 4, 5, 7, 7, 8, 10, 15
2 – Calcule a mediana das distribuições abaixo:xi fi2 54 205 106 108 2Total
15
xi fi17 318 1819 420 321 1Total
3-Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de 23funcionários selecionados em uma empresa:classe salários (R$) nº funcionários1 200 I---- 400 22 400 I---- 600 63 600 I---- 800 104 800 I---- 1000 5
4-Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 53 notas fiscais, durante um dia eobteve o quadro abaixo. Pede-se que determine o valor que representa a mediana.classe consumo nº notas1 0 I---- 50 102 50 I---- 100 283 100 I---- 150 124 150 I---- 200 25 200 I---- 250 1total
Respostas:1)a)11 b)72)a)4 b)183)6704)79,46
Moda
1º Caso: Dados não agrupados:
É o valor de maior frequência em um conjunto de dados ou que aparece mais vezes.
Ex: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15.O elemento de maior frequência é o 10, portanto Mo=10 (unimodal)
Ex: 3, 5, 8, 10, 12 e 13Todos os elementos da série apresentam a mesma frequência, logo a série é amodal.
Ex: 2, 2, 5, 5, 8, 9Temos Mo=2 e Mo=5 (bimodal)
16
2º Caso: Dados agrupados sem intervalo
Basta identificar o elemento de maior freqüência.Xi Fi0 22 43 54 36 1
Portanto Mo=3
3º Caso: Dados agrupados com intervalos
Dada a tabela:classe amostra fi1 0 I----- 10 12 10 I----- 20 33 20 I----- 30 64 30 I----- 40 2
1º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior freqüência)2º Passo: Aplica-se a fórmula:
Mo = hli ×∆+∆
∆+
21
1
Ondeil = limite inferior da classe modal
1∆ = diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente anterior
2∆ = diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente posterior.h = amplitude da classe
No exemplo da tabela anterior:1º Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3ª classe (maior fi=6)2º Passo: Aplica-se a fórmula em que
Mo = 29,241043
320 =+
+ x
Exercícios: MODA
1 – Calcule a moda para as séries abaixo:a)2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7b)3, 4, 4, 5, 9, 12, 12
17
2-Calcule a moda das distribuições abaixo:xi fi2 13 74 25 2
xi fi17 318 1819 1720 821 4Total
3-A distribuição abaixo representa o consumo em Kg de um produto colocado em oferta em umsupermercado. Calcule a moda:classe consumo nº de clientes1 0 I---- 1 122 1 I---- 2 153 2 I---- 3 214 3 I---- 4 325 4 I---- 5 20
4-A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústriaPetroquímica, verificados durante um mês. Calcule a moda:classe nº de acidentes nº de dias1 0 I----2 202 2 I---- 4 63 4 I---- 6 34 6 I---- 8 1
Respostas:1)a)5 b)4 e 122)a)3 b)183)3,48 4)1,18
Exercícios Extras1-Calcule a média aritmética das distribuiçõesabaixo:Notas fi salários(R$) fi Vendas(R$) fi
2 5 520 18 145 103 8 780 31 158 95 14 940 15 163 88 10 1.240 3 175 4
10 7 1.590 1 187 2Total Total Total a) b) c)2 – Calcule a moda para as tabelas acima.
18
3 – Calcule a mediana para as tabelas acima.
4 – Calcule a média aritmética para as tabelas abaixo:tabela a tabela bSalários(R$) nº funcionários Estaturas(cm) fi200 I---- 400 15 150 I---- 158 5400 I---- 600 12 158 I---- 166 12600 I--- 800 8 166 I---- 174 18800 I---- 1.000 2 174 I---- 182 271.000 I---- 1.200 1 182 I---- 190 8total total
Notas nº alunos pesos (Kg) Fi0 I---- 2 5 145 I---- 151 102 I---- 4 8 151 I---- 157 94 I---- 6 14 157 I---- 163 86 I---- 8 10 163 I---- 169 58 I---- 10 7 169 I---- 175 3total Totaltabela c tabela d
5 – Calcule a mediana para as tabelas acima.
6 – Calcule a moda para as tabelas acima.
Respostas:1- a) 5,77 b) 778,68 c) 159,09
2 – a) 5 b) 780 c) 145
3 – a) 5 b) 780 c) 158
4 – a) 500 b) 172,40 c) 5,27 d)156,91
5 – a) 466,67 b) 174 c) 5,29 d)156
6- a) 366,67 b) 176,57 c) 5,20 d)150,45
19
MEDIDAS SEPARATRIZES
Dado o problema:Na empresa Mercury Ltda foi observada a distribuição de funcionários do setor de vendas comrelação ao salário semestral (baseado em comissões sobre vendas):salário semestral(R$) n° de funcionários1000 I----- 3000 53000 I----- 5000 155000 I----- 7000 87000 I----- 9000 2
Se a empresa divide os funcionários em quatro categorias, com relação ao salário temos:- 0s 25 % menos produtivos = categoria C;- Os 25% seguintes = categoria B;- Os 25% seguintes mais produtivos = categoria A- Os 25% restantes = categoria especial.
Quais são os salários limites das categorias acima?
QUARTIS
Divide a amostra em quatro partes iguais. Q1 Q2 Q3 I---------------I--------------I---------------I---------------I 0% 25% 50% 75% 100%
Para determinar Q1:
1° Passo: Calcula-se 4n
2° Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac3° Passo: Aplica-se a fórmula:
classe
ant
fi
hfacn
liQi×
−
+= 4
Para determinar Q2:
1º Passo: Calcular 4
2n
2º Passo: Identifica-se a classe Q2 pela coluna do Fac.
3º Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, substituindo 4
24
nporn
Para determinar Q3:
1° Passo: Calcula-se 4
3n
2° Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac
3° Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, apenas substituindo 4
34
nporn .
20
DECIS
A amostra é dividida em 10 partes iguais.
I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
1° Passo: Calcula-se 10in
onde i representa o decil que se quer calcular.(Ex. D4 então 4n)
2° Passo: Identifica-se a classe Di pela coluna do FAC3° Passo: Aplica-se a fórmula:
+= liDiclasse
ant
fi
hfacni ×
−
10.
PERCENTIS
Divide a amostra em 100 partes iguais:
I----------I----------I---------I--------I . . . I---------I-------I 0% 1% 2% 3% 4% 98% 99% 100% P1 P2 P3 P4 P98 P99
!° Passo: Calcula-se 100in
onde i representa o percentil que se quer calcular (Ex:P58 então 58n)
2° Passo: Aplica-se a fórmula:
classe
ant
fi
hfacni
liPi×
−
+= 100.
21
Exercícios:
1 – A tabela abaixo refere-se às notas de 500 alunos do colégio “x”:Notas Fi0 I----- 2 502 I----- 4 1704 I----- 6 1306 I----- 8 1108 I----- 10 40
Se a escola dividir os alunos em quatro grupos conf. suas notas,quais as notas limites de cadagrupo?
2-A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria:nº de acidentes nº de dias0 I---- 2 202 I---- 4 154 I---- 6 126 I---- 8 108 I---- 10 8
Calcule:a)Q1b)Q3c)P92d)P48e)D3f)D7
3-a tabela abaixo representa o nº de faltas anuais dos funcionários de uma empresa:nº faltas nº empregados0 I---- 2 202 I---- 4 1254 I--- 6 536 I--- 8 408 I--- 10 14Se a empresa decidir fornecer no final do ano uma cesta básica para 15% dos funcionários quemenos faltas tiveram, qual a quantidade máxima de faltas para não perder a cesta básica?
4-A tabela abaixo representa a venda de livros didáticos em uma editora:Preço(R$) nº livros comercializados 0 I---- 10 400010 I---- 20 1350020 I--- 30 2560030 I--- 40 4324040 I--- 50 2680050 I--- 60 1750
a)Se a editora fizer uma promoção com 25% dos livros de menor preço, qual o preço máximodo livro que entrará na promoção?
22
b)No mês seguinte a editora fez uma promoção com 45% dos livros de preço mais baixo. Qualé o preço máximo do livro para entrar na promoção?c)Para fechar o mês, na última semana, a gerência da editora fez uma promoção com 20% doslivros de maior valor. A partir de qual valor os livros entraram na promoção?
3-A tabela abaixo representa os salários dos vendedores de uma empresa baseado emcomissões:salários(R$) nº funcionários200 I---- 400 6400 I---- 600 10600 I--- 800 24800 I--- 1000 361000 I--- 1200 121200 I---- 1400 4
a)A empresa colocou uma meta extra para 5% dos vendedores que pior desempenho tiveram.Até que valor de vendas o funcionário receberá a meta de vendas?b)Para premiar os melhores vendedores, a empresa resolveu conceder uma abono para 3%dos funcionários que tiveram melhor desempenho. A partir de que salário o funcionárioreceberá o abono?
Respostas:1)Q1=2,88 Q2=4,46 Q3=6,452)a)1,63 b)6,35 c)8,7 d)3,49 e)1,95 f)5,753)os funcionários que tiveram até 2,28 faltas (aproximadamente 3) receberão a cesta básica.4)a)Os livros que custam até R$24,38 entrarão na promoção.b)Os livros que custam até R$31,99 entrarão na promoçãoc)Os livros que custam a partir de R$42,08 entrarão na promoção.
5)a)Os vendedores que tiveram o valor de vendas até R$353,33 receberão a meta extra.b)Os vendedores que tiveram o valor de vendas a partir de R$1.262,00 receberão o abono.
23
MEDIDAS DE DISPERSÃO
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade de dispersão dosvalores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média.
--------------------------I----------------------------- x
Ex: a)10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 b)12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 c)13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13concluiremos que todas possuem a mesma média 13.No entanto, são seqüências completamente distintas do ponto de vista da variabilidade dedados.
DESVIO MÉDIO
É a análise dos desvios em torno da média.Calculamos inicialmente a média da amostra. Em seguida identificamos a distância de cadaelemento da amostra para sua média. Finalmente, calculamos o desvio médio,
di = Ixi - x I, logo o desvio médio será n
FixXiou
nFidi ∑∑ −
Exemplo: Dada a amostra:Xi(amostra) Fi XiFi IdiI=Ixi-xI diFi5 4 20 0,83 3,327 3 21 2,83 8,492 5 10 2,17 10,853 4 12 1,17 4,686 2 12 1,83 3,66
18 75 31
== ∑nXiFi
x 17,41875 =
Dm = =∑ndiFi
72,11831 =
24
DESVIO PADRÃO
Xi Fi XiFi IdiI=Ixi-xI di2 di2.fi5 4 20 0,83 0,69 2,767 3 21 2,83 8,01 24,032 5 10 2,17 4,71 23,553 4 12 1,17 1,37 5,486 2 12 1,83 3,35 6,70
18 75 62,52
Desvio padrão amostral – S = 1
2
−∑
nfidi
92,168,317
52,62118
52,62 ===−
=
2° exemplo:
classes Fi Xi XiFi di difi 2di fidi 2
2 I--- 4 24 I--- 6 46 I--- 8 58 I--- 10 410 I---12 3
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termosrelativos do grau de concentração em torno da média (expresso em porcentagens)
CV = XS
X 100
Temos:Baixa dispersão: CV < 10%Média dispersão: 10% < CV < 20%Alta dispersão: CV > 20%
25
Exercícios:1-Calcule o desvio médio das séries abaixo:a)xi Fi2 34 85 106 68 210 1
b)salários nº de vendedores70 I---- 120 8120 I---- 170 28170 I---- 220 54220 I---- 270 32270 I---- 320 12320 I---- 370 6total
2 – Calcule o desvio padrão para as tabelas abaixo:a)Idade nº de alunos17 318 1819 1720 821 4Total
b)Xi Fi0 301 52 33 14 1Total
3-Calcule o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesmadata, selecionadas em uma loja de departamentos.Vl. notas nº de notas0 I---- 50 1050 I---- 100 28100 I---- 150 12150 I---- 200 2
26
200 I---- 250 1250 I---- 300 1total
4-Calcule o desvio padrão para a tabela abaixo:Alturas (cm) nº de alunos150 I---- 160 2160 I---- 170 15170 I---- 180 18180 I---- 190 18190 I---- 200 16200 I---- 210 1Total
5-Qual das disciplinas abaixo apresentou maior dispersão?a)Matemática: média – 8,5 e desvio padrão – 2 Estatística: média – 9 e desvio padrão – 5
b)Cálculo: média 5 e desvio padrão – 2 Álgebra: média 8 e desvio padrão – 3
Respostas:1)a)1,13 b)45,202)a)1,04 b)0,933)49,464)11,895)a)Estatística b)Cálculo
Exercícios extras:1 – Determine a média, moda e mediana nos casos abaixo:a)amostra Fi7 I---- 10 610 I---- 13 1013 I---- 16 1516 I---- 19 1019 I---- 22 5Total
27
b)amostra Fi1 I---- 3 33 I---- 5 55 I--- 7 87 I---- 9 69 I---- 11 411 I---- 13 3Total
c)Idade nº pessoas10 I---- 14 1514 I---- 18 2818 I---- 22 4022 I---- 26 3026 I---- 30 20Total
d)amostra fi30 I---- 40 1040 I---- 50 2050 I---- 60 3560 I---- 70 2570 I---- 80 10Total
e)amostra fi45 I---- 55 1555 I---- 65 3065 I---- 75 3575 I---- 85 1585 I---- 95 5Total
2 – Calcule o desvio médio ,o desvio padrão e o coeficiente de variação para as tabelas acima.
28
Respostas:Exercício 1:a)média: 14,37 moda:14,5 mediana:14,40b)média:6,83 moda:6,20 mediana:6,63c)média:20,36 moda:20,18 mediana:20,35d)média:55,5 moda:56 mediana:55,71e)média:66,5 moda:67 mediana:66,43
Exercício 2:a)desvio médio:2,78 desvio padrão: 3,58 CV:24,91b)desvio médio:2,43 desvio padrão: 2,95 CV:43,19c)desvio médio:3,94 desvio padrão:4,89 CV:24,02d)desvio médio:8,65 desvio padrão:11,23 CV:20,23e)desvio médio:8,85 desvio padrão:10,67 CV:16,05
29
CALCULO DAS PROBABILIDADES
As decisões nos negócios são freqüentemente baseadas na análise de incertezas tais como asseguintes:a)Quais são as chances das vendas decrescerem se aumentarmos os preços?b)Qual a chance de um novo método de montagem aumentar a produtividade?c)Qual a probabilidade do projeto terminar no prazo?A probabilidade é uma medida numérica da possibilidade de que um evento ocorra. Assim, asprobabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Em uma afirmação do tipo: “é provável que meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar:a) que o time perca;b) que o time ganhe;c) que ele empate.
Como vimos, o resultado é imprevisível e depende do acaso. Fenômenos como esse sãochamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condiçõessemelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
ESPAÇO AMOSTRAL
A cada experimento aleatório (E) correspondem em geral a vários resultados possíveis a quechamamos de Espaço Amostral (S).Ex: E = jogar um dado e observar o nº da face de cima S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = Jogar uma moeda e observar o resultadoS = {cara, coroa}
EVENTO
È qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.Exemplo:No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento “obter um nº par na facesuperior” temos: B = {2, 4, 6}
PROBABILIDADE
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos oselementos de S tenham a mesma chance de acontecer, chamamos de probabilidade de umevento A o nº real P(A) tal que P(A) = n(A)/n(S)onde: n(A) = nº de elementos de A ou nº de vezes que o avento A pode ocorrer n(S) = nº de elementos de S ou nº de vezes em que o Espaço Amostral ocorre.
Exemplos:Considerando o lançamento de um dado:
- qual a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”.
30
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(S) = 6 A = {2, 4, 6}, logo n(A) = 3
Então: P(A) = 21
63 =
- qual a probabilidade do evento B “obter um nº menor ou igual a 6 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
Então : P(B) = 166 =
- qual a probabilidade do evento C “obter um número 4 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 C = {4}, n( C ) = 1
Então : P ( C) = 61
- qual a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 D = vazio, n(D) = 0
Então: P(D) = 060 =
Pelos exemplos acima temos:a) A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(S) = 1 ou 100%b) A probabilidade do evento impossível é 0c) A probabilidade de um evento E qualquer é um nº real P(E) tal que: 1)(0 ≤≤ EP
EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso). Então: p + q = 1 ou q = 1 – pEx: lançamento de um dado: P(4) = 1/6Logo a probabilidade de não tirar 4 no lançamento é 1 – 1/6 = 5/6(q)
EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização (não realização) de um doseventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.Ex: lançamento de dois dados.
- Probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado = 1/6- Probabilidade de obtermos 5 no segundo dado = 1/6
31
Logo, a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dadoé p = 1/6 x 1/6 = 1/36
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de umexclui a realização do outro.Ex: lançamento de um dado; a probabilidade de se tirar 3 ou 5 em uma jogada é:p(3) = 1/6 p(5) = 1/6 logo
p(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
EXERCÍCIOS:1-Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna.Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11?(Resp:33,33%)
2-Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidadedesse número ser:a)menor que 3?(33,33%) b)maior ou igual a 3?(66,67%)
3-Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:a)exatamente uma cara?(37,5%) b)no máximo duas caras?(87,5%)
4-Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada(1 a 20):Determine a probabilidade dos eventos abaixo:a)Ser sorteado um número par.(50%)b)Não ser sorteado múltiplo de 5.(80%)c)Ser sorteado um número maior de 12.(40%)d)Ser sorteado um múltiplo do 8.(10%)e)Ser sorteado um número maior que 12 e múltiplo de 3.(10%)f)Ser sorteado um número par ou número maior que 15.(60%)
5-Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça do lote, calcule:a)A probabilidade de essa peça ser defeituosa (33,33%)b)A probabilidade dessa peça não ser defeituosa.(66,67%)
6-Serão sorteados dois alunos de uma classe pela lista de chamada.(nº 1 ao nº 25)Determine a probabilidade de:a)Serem sorteados dois números pares.(22%)b)Serem sorteados dois múltiplos do 7.(1%)
32
7-Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, sendo retiradas 2 peças do lote,calcule:a)probabilidade de ambas serem defeituosas.(9,09%)b)probabilidade de ambas não serem defeituosas.(R:42,42%)
8-Uma classe tem 20 meninos e 25 meninas. Deseja-se formar uma comissão de cinco alunospara representantes de classe. Qual a probabilidade dessa comissão vir a ser formadaexclusivamente por meninos?(1,26%)
9-Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessacomunidade revelou que:25 pessoas consomem carnes e verduras;83 pessoas consomem verduras;39 pessoas consomem carnes.Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade da pessoa:a)consumir exclusivamente carnes?(14%)b)ter o hábito de não consumir nem carne nem verdura?(3%)
10-Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso dessaurna.a)Qual a probabilidade do número sorteado ser múltiplo do 2 ou do 3?(64%)
b)Qual a probabilidade do número da bola sorteada ser múltiplo do 5 ou do 7?(32%)
Exercícios:1-Um dado honesto é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual aprobabilidade desse número ser maior que 4?(33,33%)
2-Uma urna contém 10 bolas identificadas pelas letras A, B, ...,J. Uma bola é extraída ao acasoda urna e sua letra é observada. Qual a probabilidade da bola sorteada ser:a)A?(10%) b)F?(10%) c)vogal? (30%) d)consoante?(70%)
3-Paulo quer telefonar para convidar uma colega para sair. Ele sabe que o telefone dela é 852-473__, mas não consegue se lembrar do último algarismo. Se Paulo só possui uma fichatelefônica e decide “chutar” o último algarismo, qual a probabilidade dele acertar o telefone dacolega?(10%)
4-Numa quermesse, há uma barraca onde funciona o jogo do coelho. O coelho é solto nocentro de um círculo, onde se distribuem 12 casinhas, numeradas de 1 a 12. Qual aprobabilidade do coelho escolher uma casinha com um número múltiplo de 3?(33,33%)
5-Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmospelo menos duas caras?(50%)
6-Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam defeitos.
33
a)Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar umadefeituosa?(33,33%)b)Se comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituosas?(9,09%)
7-Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:a)a soma ser menor que 4;(8,33%)b)a soma ser nove;(11,11%)c)o primeiro resultado ser maior que o segundo.(41,67%)
8–Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça éescolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:a)ela não tenha defeitos graves;(87,5%)b)ela seja boa ou tenha defeitos graves.(75%)
9 – Considere o mesmo lote do problema anterior.Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?(37,5%)
10–Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas, sem reposição.Calcular a probabilidade de:a)Todas as bolas retiradas sejam pretas.(12,12%)b)Todas as bolas retiradas sejam brancas(6,06%)c)As duas primeiras bolas sejam brancas e a terceira preta.(12,12%)d)Duas pretas e uma branca.(45,45%)
11-Numa classe de 55 alunos, 21 praticam vôlei e basquete, 39 praticam vôlei e 33 praticambasquete. Um aluno da classe é escolhido ao acaso.a)Qual a probabilidade do aluno escolhido praticar somente um desses esportes?(54,54%)b)Qual a probabilidade do aluno sorteado não praticar nenhum esporte?(7,27%)
12-Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Determine aprobabilidade de observarmos um número par ou múltiplo de 3.(66,67%)
13-Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter soma dospontos igual a 8 ou dois números iguais?(27,78%)
Exercícios extras:1-Um nº é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade do nºescolhido ser:a)par?(50%)b)ímpar?(50%)
2-Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso.Qual a probabilidade da bola escolhida ser:a)branca?(30%)b)vermelha?(20%)c)azul?(50%)d)vermelha ou azul?(70%)e)não ser azul?(50%)
3-Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 bolas amarelas. Retiram-se duasbolas da urna, com reposição. Qual a probabilidade das bolas retiradas serem:a)pretas(11,11%)b)amarelas(30,86%)
34
c)uma branca e uma amarela.(12,34%)
4-Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem:a)três caras;(12,5%)b)nenhuma cara.(12,5%)c)duas coroas.(37,5%)
5-São lançados dois dados. Qual a probabilidade de:a)obter-se um par de pontos iguais.(16,67%)b)a soma dos pontos ser par.(50%)c)a soma dos pontos ser igual a 6.(13,89%)
6-De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos 2 peças aleatoriamente.Determine:a)a probabilidade de que ambas sejam defeituosas.(10,99%)b)a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas.(39,56%)c)a probabilidade de que uma seja defeituosa.(49,44%)
7-Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo feminino?(6,25%)
8-Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas.a)Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenhapequenos defeitos.(65,71%)b)Quatro peças são retiradas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que as quatrotenham grandes defeitos.(0,95%)c)Cinco peças são retiradas ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de que as cincosejam perfeitas.(1,45%)
9-Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 Matemática e 10 estudamEngenharia e Matemática. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:a)ele estude Engenharia e Matemática.(2%)b)ele estude somente Engenharia(14%)c)ele estude somente Matemática(28%)d)ele não estude Engenharia nem Matemática(56%)e)ele estude Engenharia ou Matemática(44%)
10-De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator RH positivo, 100 têm sangue tipo O e 80 têmfator RH positivo e sangue tipo º Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual aprobabilidade de:a)seu sangue ter fator RH positivo?(80%)b)seu sangue não ser do tipo O?(50%)c)seu sangue ter fator RH positivo ou ser tipo O?(90%)
11-Dispõe-se de duas urnas, sendo que na 1ª temos 5 bolas azuis, 3 pretas e 4 brancas. Na 2ªurna temos 6 azuis, 4 pretas e 10 brancas.a)Se uma bola é retirada de cada urna, qual a probabilidade de termos a 1ª bola preta e a 2ªbola azul.b)Formar um par de bolas azuis.c)Qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor?d)Formar um par de bolas brancas.
12-Um número inteiro é escolhido ao acaso entre os números de 1 a 30.Qual a probabilidadede que:
35
a)O número seja divisível por 3.(33,33%)b)O número seja divisível por 5 ou por 3.(46,67%)c)O número seja divisível por 5 e por 3.(6,67%)
13-Uma urna contém 5 bolas verdes, 8 azuis, 4 pretas e 2 brancas. Calcular a probabilidadede:a)Sair 3 bolas verdes.(1,03%)b)Sair 4 bolas azuis(1,81%)c)Sair 2 bolas pretas.(3,51%)
1
Distribuição Binomial
Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um dos quais éconsiderado como sucesso e o outro insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezesquanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas repetidas devem serindependentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. Nodecorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q (q=1- p) doinsucesso, manter-se-ão constantes. Resolveremos problemas do tipo: determinar aprobabilidade de se obter x sucessos em n tentativas. Nessas condições X é uma variávelaleatória discreta que segue uma distribuição binomial.Fórmula:
P(x) = xnq.xp.
xn −−−−
P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas.n = nº de vezes que o experimento aleatório é repetidox = nº de sucessos em n tentativasp = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso.q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova = insucesso.
n
x é o coeficiente binomial de n sobre x, igual a )!(!
!xnx
n−
OBS: O nome binomial é devido à fórmula, pois representa o termo geral do desenvolvimentodo binômio de Newton.
Exemplo:
1- Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de seremobtidas 3 caras nessas 5 provas.
1 Profa.Roseli Nunes
36
n=5 x=3 p=50%(0,5) q=50%(0,5)
%25,3125,0125,0105,05,0)!35(!3
!5)3( 353 ==−
== − xxxxxP
EXERCÍCIOS
1- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time Aganhar 4 jogos.(8,23%)
2- Um exame do tipo teste é constituído de 10 questões do tipo certo e errado. Se umestudante responde as questões ao acaso, qual a probabilidade de que ele acerte 5questões?(24,61%)
3- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A:a- ganhar dois ou três jogos;(54,87%)b- ganhar pelo menos um jogo;(91,22%)
4- A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual aprobabilidade de acertar exatamente 2 tiros?(16,46%)
5- Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10%de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles?(9,84%)
6- Num hospital 5(cinco) pacientes devem submeter-se a um tipo de operação, da qual 80%sobrevivem. Qual a probabilidade de que todos os pacientes sobrevivam?(32,77%)
7- Se 30% das canetas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que numaamostra de 10 canetas, escolhidas ao acaso, desta mesma marca tenhamos nenhuma canetadefeituosa.(2,82%)
8- Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade de se formar é 0,3.Determine a probabilidade de que entre 6 estudantes escolhidos aleatoriamente, 1(um) seforme.(30,25%)
9 – Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades:a) de ocorrer 6 caras.(20,51%)b) de dar pelo menos 2 caras(98,92%)c) de não dar nenhuma coroa.(0,098%)
10 – Se 3% das calculadoras de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de quenuma amostra de 10 calculadoras escolhidas ao acaso seja encontrada:a)Nenhuma defeituosa.(73,74%)b)5 canetas defeituosas.(0,0005%)c)Pelo menos 2 defeituosas.(3,45%)d)No máximo 3 defeituosas.(99,95%)
11 – Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de:a) dar 5 caras;(21,88%)b) pelo menos 1 cara;(99,6%)c) no máximo 2 caras.(14,46%)
37
Exercícios extras:1-Um estudante tem probabilidade p = 0,8 de acertar cada problema que tenha que resolver.Numa prova de 8 problemas, qual a probabilidade de que ele acerte exatamente 6.(R:29,36%)2-Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira, Supondo que asvezes que ele atira, são ensaios independentes, qual a probabilidade dele acertar no alvoexatamente 4 vezes, se ele dá 8 tiros? (R:4,6%)3-A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupode 5 homens, com 45 anos qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos?(R:25,9%)4-Um exame consta de 20 questões tipo certo ou errado. Se o aluno “chutar” todas asrespostas, qual a probabilidade dele acertar exatamente 10 questões?(R:17,6%)5-Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez dos artigos é defeituoso. Qual aprobabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha:a)nenhum defeituoso? (65,61%) c)no máximo um defeituoso?(94,77%)b)exatamente um defeituoso?(29,16%)6-Uma universidade descobriu que 20% de seus estudantes retiram-se sem completar oprimeiro ano. Considere que 20 estudantes tenham se matriculado este semestre.a)Qual a probabilidade de que pelo menos 2 se retirem?(93,08%)b)Qual a probabilidade de que no máximo 5 se retirem?(80,42%)7-Os registros de uma empresa indicam que 30% das faturas expedidas são pagas após ovencimento. De 10 faturas emitidas, qual a probabilidade de:a)exatamente 3 serem pagas com atraso?(R:26,68%)b)no máximo 2 serem pagas com atraso?(38,28%)c)pelo menos 3 serem pagas com atraso?(61,72%)8-Uma pequena loja aceita cheques para pagamento de compras e sabe que 12% doscheques apresentam algum tipo de problema (falta de fundos, roubado, etc).Se numadeterminada semana ela recebeu 15 cheques, qual a probabilidade de que todos os chequessejam bons?(14,70%)9-Um exame do tipo teste é constituído de 20 questões, cada uma delas com 5 respostasalternativas, das quais apenas uma é correta. Se um estudante responde as questões aoacaso, qual a probabilidade de que:a)Acerte pelo menos 1 questão.(98,84%)b)Erre pelo menos 19 questões.(6,92%)
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é adistribuição Normal.
Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à distribuiçãonormal ou dela se aproximam.
Fórmula:
Z = S
XX −
Propriedades da distribuição normal:
38
1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.
2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica emtorno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.
3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa áreacorresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.
4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-seindefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.
5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que amédia é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas asprobabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% deprobabilidade.
Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principalinteresse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em umdeterminado intervalo. Vejamos com proceder, por meio de um exemplo concreto.
Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidospor certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média = 2 cme desvio padrão = 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre2 e 2,05 cm ?
P ( 2 < X < 2,05) = ?
Com o auxílio de uma distribuição normal reduzida, isto é, uma distribuição normal de média =0 e desvio padrão = 1. Resolveremos o problema através da variável z , onde z = (X -µ ) / σ
Utilizaremos também uma tabela normal reduzida, que nos dá a probabilidade de z tomarqualquer valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é: P ( 0 < Z < z)
No nosso problema queremos calcular P(2 < X < 2,05). Para obter essa probabilidade,precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde a x = 2,05.
z = (2,05 - 2) / 0,04 = 1,25
Utilização da Tabela Z
Procuremos, agora, na tabela Z o valor de z = 1,25.
Na primeira coluna encontramos o valor até uma casa decimal = 1,2. Em seguida,encontramos, na primeira linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número1,25. Na intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nospermite escrever:
P (0 < Z < 1,25 ) = 0,3944 ou 39,44 %, assim a probabilidade de um certo parafuso apresentarum diâmetro entre a média = 2cm e x = 2,05 cm é de 39,44 %.
39
EXERCÍCIOS
1- Determine as probabilidades:
a) P(-1,25 < Z < 0) = b) P(-0,5 < Z < 1,48) = c) P(0,8 < Z < 1,23) = d) P(-1,25 < Z < -1,20) = e) P( Z < 0,92) = f) P(Z > 0,6) =
2- Os salários dos executivos são distribuídos normalmente, em torno da média R$10.000,00, com desvio padrão de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um executivoter o salário situado entre R$ 9.800,00 e R$ 10.400,00.(29,02%)
3- Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média = 100 edesvio padrão = 10. Determine a probabilidade de um aluno submetido ao teste ternota:
a) maior que 120 (2,28%)b) maior que 80 (97,72%)c) entre 85 e 115 (86,64%)
d) maior que 100 (50%)
4) As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com médiade 1,60m e desvio-padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:
a) entre 1,50 e 1,80 m; (37,47%)b) mais de 1,75 m; (30,85%)c) menos de 1,48 m; (34,46%)
5) Faça Z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre (use a tabela):a. P (0 ≤ Z ≤ 1,44)(42,51%)b. P (-0,85 < Z < 0)(30,23%)
c. P (-1,48 < Z < 2,05)(91,04%)d. P (0,72 < Z < 1,89)(20,64%)e. P (Z ≥ 1,08)(14,01%)f. P (Z ≥ -0,66)(74,54%)
6) A duração de um certo componente eletrônico tem em média 850 dias e desvio-padrãode 45 dias. Calcular a probabilidade desses componentes durar:
a. entre 700 e 1000 dias(99,92%)b. mais que 800 dias(86,65%)c. menos que 750 dias(1,32%)
7) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus everificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48000 km e desvio-padrão 2000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:
a. durar mais que 46000 km(84,13%)b. dure entre 45000 e 50000 km(77,45%)
8) O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno deuma média de R$ 180,00 com desvio-padrão de R$ 25,00. Pede-se:
a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$ 150,00 eR$ 178,00 (35,30%)
40
b) encontre a probabilidade de um operário ter o salário semanal maior queR$200,00.(21,19%)
c) encontre a probabilidade de um operário ter o salário semanal menor que R$140,00.(5,48%)
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Na distribuição binomial, a variável definida era o número de sucessos em um certointervalo(repetição do experimento). Entretanto, em muitas situações, poderemos estarinteressados no número de sucessos em um certo intervalo (tempo, comprimento, superfície,etc) ou então o n (tamanho da amostra) se torna muito grande.Ex: a)Número de defeitos por metro em determinado tecido.
d) Número de defeitos na impressão de certo livro.e) Número de pessoas que chegam ao caixa de um supermercado no intervalo de tempo
de 3 minutos.f) Número de carros que passam por um pedágio no intervalo de 30 minutos, etc.
P(X = x) = !!
)(x
ex
npe xxnp λλ ×=× −−
onde n.p = λ - representa o nº médio de eventos ocorrendo no intervalo consideradoP(X = x) – é a probabilidade de ocorrência do evento desejadox = nº de sucessose = base do logaritmo natural (2.718281...)
Exemplo: Um posto telefônico recebe em média, 10 chamadas por minuto. Pede-se:a) Qual a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto?
b) Qual a probabilidade de ocorrer 1 chamada em meio minuto?
Exercícios:1 – Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora:
a) atender 2 clientes (27,07%)b) atender 3 clientes (18,04%)
2 – Suponha que 2% dos itens produzidos por uma fábrica sejam defeituosos. Encontre aprobabilidade de existirem 3 defeituosos em uma amostra de 100.(18,04%)
41
3 – Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a probabilidadede receber 4 chamadas num dia. (16,80%)
4 – Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000 hab. Em umacidade de 100.000 hab, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido:
a) 0 suicídio (1,83%)b) 1 suicídio (7,32%)c) 2 suicídios (14,65%)
5 – Sabendo-se que a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa à injeção dedeterminado soro é 0,001, determine a probabilidade de que, em 3000 indivíduos, exatamentedois acusem reação negativa (22,40%).
6 – Supondo que o nº de carros que chegam a uma fila de guichê de um pedágio possuadistribuição de Poisson a uma taxa de 3 carros por minuto, determine a probabilidade dechegarem 4 carros nos próximos 2 minutos. (13,39%)
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
1- Diagrama de Dispersão
Você provavelmente já ouviu dizer que o aumento do número de crimes está relacionado como aumento da taxa de desemprego. Você também deve ter ouvido falar que os preços sobemquando a procura determinado produto aumenta. Estes exemplos mostram que, muitas vezes,o pesquisador procura uma relação entre duas variáveis.É através do gráfico denominadodiagrama de dispersão, que ele busca visualizar a relação entre as duas variáveis.
2- Coeficiente de Correlação
O coeficiente de correlação é uma medida do grau de associação linear entre duas variáveis.
Símbolos:
r: coeficiente de correlação para uma amostrap: coeficiente de correlação para a população
Dada uma amostra com n pares de valores X e Y, para medir o grau de correlação entreelas, calcula-se o coeficiente de correlação de Pearson.
Fórmula do Coeficiente de Correlação:
42
(((( )))) (((( ))))
−−−−
−−−−
−−−−====
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑
∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
nY
Y.nX
X
nY.X
Y.Xr
22
22
Exemplo:
Taxa de mortalidade infantil e taxa de analfabetismo no Brasil em 1997, segundo a região.
Região Taxa de Taxa de X.Y X2 Y2
Mortalidade Analfabetismo Infantil(Xi) (Yi)Norte 35,6 12,7 452,12 1267,36 161,29Nordeste 59,0 29,4 1734,60 3481,00 864,36Sudeste 25,2 8,6 216,72 635,04 73,96Sul 22,5 8,3 186,75 506,25 68,89Centro Oeste 25,4 12,4 314,96 645,16 153,76∑ 167,7 71,4 2905,15 6534,81 1322,26
(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) 96,50974,71Y
29,281237,167X22
22
========
========
∑∑∑∑∑∑∑∑
Substituindo na fórmula, os somatórios pelos totais já calculados:
[[[[ ]]]][[[[ ]]]]
9724,0r
856,524394,510r
668,302 . 152,910394,510r
592,101926,1322.658,562481,6534756,239415,2905r
596,509726,1322.
529,2812381,6534
54,71.7,16715,2905
r
====
====
====
−−−−−−−−−−−−====
−−−−
−−−−
−−−−====
43
Exercício 1 : Considere as variáveis (X,Y) onde as variáveis representamrespectivamenteY : indica nota de uma prova de matemáticaX : Tempo de estudo para encarar essa prova (em horas)
tempo 3,0 7,0 2,0 1,5 12,0nota 4,5 6,5 3,7 4,0 9,3
Ache o coeficiente de correlação e monte o diagrama de dispersão.
44
O valor do r varia entre –1 e + 1, inclusive se o valor absoluto de r for maior do que 1,você errou nos cálculos. Valores iguais a –1 ou a + 1 indicam que os pontos estão sobre umareta, isto é, a correlação é perfeita. Valores de r próximos de –1 ou + 1 indicam correlaçãoforte e valores de r próximos de zero indicam correlação fraca. O sinal r indica se a correlaçãoé positiva ou negativa.
No caso do exemplo, o valor calculado de r é positivo e muito próximo de 1. Entãoexiste alta correlação positiva entre as variáveis. Isto significa que ocorrem mais mortes demenores nas regiões que existem maior número de analfabetos.
REGRESSÃO
1- Ajustamento da Reta
A análise de Regressão tem como resultado uma equação matemática que descreve orelacionamento entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. Essas equaçõessão usadas em situações em que se deseja:
- estimar valores de uma variável com base em valores conhecidos de outra;- explicar valores de uma variável em termos de outra;- predizer valores futuros de uma variável.
A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variáveldependente e a outra recebe o nome de variável independente.Assim supondo X a variável independente e Y a variável dependente, vamos procurardeterminar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, vamos obteruma função definida por:
Y = aX + b,
Onde a e b são os parâmetros.Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora
não perfeita, como, por exemplo a tabela a seguir:
Xi 5 8 7 10 6 7 9 3 8 2Yi 6 9 8 10 5 7 8 4 6 2
Cujo diagrama de dispersão é dado por:
02468
1012
0 5 10 15
45
Podemos concluir, pela forma do diagrama, que se trata de uma correlação retilínea, demodo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função definida por:
Y = aX + b,
Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das fórmulas:
(((( ))))
x.aybe
xxn
y.xy.x.na 22
−−−−====
−−−−
−−−−====
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
onde: n é o número de observações
x é a média dos valores x
==== ∑∑∑∑
nx
x
y é a média dos valores y
==== ∑∑∑∑
ny
y
Nota: Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, oresultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de regressão. Sendo assim,escrevemos: baXY ++++====
Onde Y é o valor Y estimado.
Formemos então a tabela de valores:
n = 10
x y x.y x2
5 6 30 258 9 72 647 8 56 4910 10 100 1006 5 30 367 7 49 499 8 72 813 4 12 98 6 48 642 2 4 4∑ 65 473 481
46
Temos assim:
0,890,86XY
:logo0,89b e 86,0a
:donde
8892,06108,55,65,6 x 8632,05,6bx.ayb
:vem
5,61065y e 5,6
1065x
:como
8632,0585505
225.4810.4225.4730.4
)65(481x1065x65473x10a 2
++++====
========
====−−−−====−−−−====−−−−====
================
========−−−−−−−−====
−−−−−−−−====
Para traçarmos a reta no gráfico, basta determinar dois de seus pontos:X = 0 ⇒ Y =0,89
X = 5 ⇒ Y =0,86 x 5 + 0,89 = 5,19
Assim, temos:
y = 0,8631x + 0,89
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15
Exercícios
47
1) Forme o esquema de cálculo do Coeficiente de correlação, para os valores dasvariáveis Xi e Yi(Resp:r=0,416)
Xi 4 6 8 10 12Yi 12 10 8 12 14
2) Forme o esquema para o ajustamento de uma reta aos dados(R:y=-1,7x + 32,31)Xi 2 4 6 8 10 12 14Yi 30 25 22 18 15 11 10
3) Um grupo de pessoas faz uma avaliação de alguns objetos. Com o peso real e a médiados pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela:
Peso Real 18 30 42 62 73 97 120Peso Aparente 10 23 33 60 91 98 159
a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlação retilínea.b) Em caso, afirmativo, calcule o coeficiente de correlação.(R:r=0,981)c) Escreva, em poucas linhas, as conclusões a que chegou sobre a relação entre essas
variáveis.
4) Certa empresa, estudando a variação de demanda de seu produto em relação à variaçãode preço de venda, obteve a tabela:
Preço (xi) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110Demanda (yi) 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208
a) Determine o coeficiente de correlação.(r=-0,902)b) Estabeleça a equação da reta ajustada.(y= -1.87x + 386.78)c) Estime Y para X=60 e X= 120 (y = 274,58 e y=162,38)
48
TABELASPROBABILIDADE (ÁREAS) DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,25490,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40141,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4766 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49362,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 4,0 0,4999
Exemplo: Para z = 1,96 a área sombreada é 0,4750 da área total de 1,0000
49
TABELA – VALORES DE εεεε-λλλλ
λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 1,0000 0,9900 0,9802 0,9704 0,9608 0,9512 0,9418 0,9324 0,9231 0,91390,1 0,9048 0,8958 0,8869 0,8781 0,8694 0,8607 0,8521 0,8437 0,8353 0,82700,2 0,8187 0,8106 0,8025 0,7945 0,7866 0,7788 0,7711 0,7634 0,7558 0,74830,3 0,7408 0,7334 0,7261 0,7189 0,7118 0,7047 0,6977 0,6907 0,6839 0,67710,4 0,6703 0,6636 0,6570 0,6505 0,6440 0,6376 0,6313 0,6250 0,6188 0,61260,5 0,6065 0,6005 0,5945 0,5886 0,5827 0,5770 0,5712 0,5655 0,5599 0,55430,6 0,5488 0,5434 0,5379 0,5326 0,5273 0,5220 0,5169 0,5117 0,5066 0,50160,7 0,4966 0,4916 0,4868 0,4819 0,4771 0,4724 0,4677 0,4630 0,4584 0,45380,8 0,4493 0,4449 0,4404 0,4360 0,4317 0,4274 0,4232 0,4190 0,4148 0,41070,9 0,4066 0,4025 0,3985 0,3946 0,3906 0,3867 0,3829 0,3791 0,3753 0,3716
λ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ε-
λ0,36788 0,13534 0,04979 0,01832 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,000045
Bibliografia:
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil, Ed. Saraiva, 1999
BUSSAB, Wilton de Ol., MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. Ed. Saraiva, 2002
PEREIRA, Wilson., TANAKA, Oswaldo K. Estatística – Conceitos Básicos , Makron Books,1990
JAIRO, Simon da Fonseca, MARTINS, Gilberto de Andrade, Curso de Estatística, Ed. Atlas,1996
MEDEIROS, Estatística para os Cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis, Ed.Atlas, Volumes 1 e 2, 1999
