A folha de calculo e a trigonometria em actividades de aplicaçà e modelaçÃ

Conceiçà Mesquita Filomena Marques

Susana Carreira

Organizaçà e desenvolvimento da experiênci

No 3' períod lectivo de 1990/91 desenvolvemos um projecto de trabalho com duas turmas do 1V ano de escola- ridade da Escola Secund&ia de Rio de Mouro, visando o tratamento da mgo-

''O que mais nomeirianumcontexto de actividades de

gostei nas aulas de trigonometria foram

os problemas e as actividades dadas,

que nos fizeram pen- sar de outra maneira para a resoluçà das questõe propostas. Gostei també do

facto de aprendermos esta matéri nos

computadores, pois eu adoro computa-

dores, e sã raras as vezes que tenho a

oportunidade de mexer ou trabalhar

com um."

aplicaçã modelaçà exploradas com o recurso h folha de cálculo

Os alunos organizaram-seem grupos de 3 ou 4 elementos, o que correspondeu h constitui$ã de 8 grupos em cada tur- ma. Em cada grupo foi escolhido um elemento que funcionou como "repre- sentante do grupo" e que teve uma for- maçà adicional em folha de cálculo dada pela professorada turma, porforma apoder ajudar os colegas em questõe de carácte técnico

O projecto de trabalho foi concebido de modo a combinar dois tipos de aulas: (a) aulas de apresentaçà de conceitos. de resoluçà de fichas de exercício e problemas clássico de mgonometria. quetiveramlugarnasalade aulahabitual; (b) aulas destinadas h realizaçà de ac- tividades com uma forte componente de aplicaçã modelaçã emque os alunos usaram o computador, concretamente a folha de cálculo para a resoluçà das questõe propostas. Estas aulas decorre- ram nasalade computadores doProjecto MINERVA, onde estiveram disponívei oito computadores e uma impressora.

Cada uma das actividades de aplica- çà e modelaçà envolveu, em média irê aulas. No final de cadaactividade, os grupos apresentaram relatório sobre o trabalho desenvolvido com os computa-

dores. No total, o tempo gasto em aulas com computadores foi sensivelmente igual ao tempo dispendido nas aulas sem computadores.

No iniciodaexperiênciafoidistribui da a cada um dos grupos uma pasta contendo acalendarizaçãod aulas (com e semcomputadores), umplanodeorien- tacã vara a elaboracã dos relatório e . . um guiã de apoio h utilizaçà da folha de cálcul com os comandos principais.

O tipo de actividades introduzidas

No decurso da experiênci foram introduzidas 4 actividades numa das turmas e apenas 3 destas actividades na outra turma, por insuficiênci de tempo.

As actividades tiveram como ponto departidaumasituaçãoextra-matemát e focaram questõe como a construçà de uma embalagem de sais de banho, os hipotético lançamento de um pescador h beira-mar, um passeio na roda gigante da feira popular e o fenómen acústic da produçà de batimentos.

O formato das actividades corres- ponde h seguinte estrutura:

(a) Uma introduçà em que à des- crita uma situaçà extra-matemática muitas vezes simplificada - por forma a que o seu tratamento se tome acessíve aos alunos - onde sã fornecidos dados que tê de ser filtrados e interpretados.

(b) Um conjunto de questõe direc- tamente relacionadas com a situaçà apresentada e que constituem suportes para o desenvolvimento de processos de modelaçà e aplicaçà de conceitos e método matemáticos

EducaçX e Matemhtica no 24 4- trimestre de 1992

Embora seguindo este tipo de esque- ma geral, as varias actividades apresen- taram algumas diferença no que concerne ao tipo de situaçà a tratar, h forma de exploraçà sugeriria, aos pro- cessos de modelaçà induzidos e aos conhecimentos de Matemátic envolvi- dos na sua resoluçã As duas primeiras actividades incidiram sobre a utilizaçS de razõe trigonom6tricas definidas em triângulo rectângulos a terceira envol- veuocírcul trigonom6tricoeasfunçõ circulares seno e coseno, e a quarta teve a ver com a variaçà de parâmetro em funç'e sinusoidais e respectivos efeitos gcáíico al6mde incluir noçõ como as de períod e frequênci e ainda a adiçà de funç'e trigonom6tricas. Neste artigo, optámo por seleccionar a segunda acti- vidade (que a seguir se apresenta ligei- ramente encurtada)' com vista h ilustra- çà & alguns dos resultados e concln- soes retirados desta experiência

Em cada uma das actividades reali- zadas, os alunos tiveram isuadisposiçà a folha de cálculo que puderam utilizar sempre que julgaram necessári e da forma que acharam mais adequada.

Os processos desenvolvidos pelos alunos na Actividade A2

A descriçà das estratégia e proce- dimentos dosalunos temporbaseaobser- vaçà de um dos grupos ao longo das vária aulasdedicadas aestaactividadee a anáiis do trabalho que estes apresen- taram sob a forma de um relat6ri0, no final da actividade.

A primeira iniciativa tomada pelo grupo consistiu na elaboraçà de um esquema ilustrativo da situaçà descrita. Assim, os alunos fizeram um pequeno esboç no papel em que representaram tr& lançamento sucessivos do pesca- dor, fazendo variar ainclinaçà do fiode pe-.

Os alunos passaram entã h anáiis da formade variaçà do comprimento do fio e do alcance em funçà do ângul a. Observando o esquema construído ra- pidamente concluíra que quanto maior fosse o ângulo maior seria o compri- mento do fio e o alcance. Discutiram depois as amplitudes que o referido ân

ACTIVIDADE A2

Hà coisas que nã à preciso saber para se poder Ir a pesca, mas que podem perceber-se enquanto se espera que o peixe morda o anzol. Imagine-se, por exemplo, um pescador a beira-mar fazendo sucessivos lançamento com a sua cana de pesca. De cadavez, ele vai tentando atirar o anzol paramais longe. Ao terminar cada lançamento enterra a extremidade Inferior da cana na areia, de modo que fique bem direita., e senta- -se a espera. Enquanto espera, porém repara que o ângul formado pelo fio de pesca esticado e pela cana, vai aumentando nos sucessivos lançamentos O mar està calmo e nã hà vento. A cana tem 3 metros de comprimento.

A) Esboç um esquema onde apareça representados os sucessivos lançamento do pescador.

B) Que relaçà haverà entre o ângul observado pelo pescador e o comprimento de Unha que se estende desde a ponta da cana atà a superf'cie da água

C) Que relaçà haverà entre o mesmo â o e a distânci entre a cana e o ponto em que aUnha de pesca entra na água

D) Constró um E co que represente a variaçà do comprimento de a que vai da ponta. da cana atà a água a medida que o ângul atrá referido varia desde o seu valor mínim atà ao seu máximo

E) Constró um gráilc que mostre a variaçà da distânci que o lançament atinge sobre a água com o mesmo ângulo

F) O que podes concluir da comparaçà entre os dois gráficos

G) Determina que valores poderà ter o ângul se o comprimento de Unha esticada for superior a 6 metros.

H) Qual serà a amplitude do ângul se o pescador conseguir fazer um lançament que tenha um alcanc~ de 20 metros?

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Educqo e Matemfdca no 24 4' trimestre de 1992

guio poderia ter para que fosse possíve um lançamento Depressa observaram que o ângul nunca poderia ser de 90'. Alé disso, concluíra que també era de excluir o ângul de O', pois, nessas condiçõe nã teria havido lançamento (Veja-se o extracto do relat6rio apre- sentado pelos alunos que reproduzimos na p&gina seguinte).

Quando resolveram representar gra- ficamente avariação comprimento do fio em funçà do ângul de lançamento os alunos acharam que seria úti recorrer h folha de cálculo A primeira ideia avançad foi a de criar uma coluna de valores para o comprimento do fio. Uma das alunas referiu que podiam determi- nar o alcance a partir destes valores, atravé do Teorema de Pitágora (uma vez que a altura da cana era conhecida) e acrescentou que tinham possibilidades de calcular o ângul de lançament a partir desses dados. Note-se que os alu- nos jà tinham conhecimento da existên cia das funçõ trigonomitricas inversas na folha de cálculo embora estas nã tivessem sido estudadas previamente. Porém depois de discutirem esta hip6- tese, os alunos acabaram por abandoná -a. Umdeles propõ uma novaestratégia "Vamos antes dar valores ao ângulo achar o seno ou o coseno e depois daà determinamos o comprimento ou o al- cance". O mesmo aluno argumentou da seguinte forma a favor da sua proposta: "As distância podem ser muito grandes, nã se sabe. Ao passo que o ângul sabe- -se que està compreendido entre O e 90".

Ao determinarem a f6rmula para a determinaçà do comprimento do fio, os alunos cometeram um erro e, depois de a terem reproduzido na folha de cálculo ao longo da respectiva coluna, aperce- beram-se da incoerênci obtida. Um dos alunos teve a seguinte reacçã "Nã pode ser! O comprimento do fio tem de ser menor para ângulo menores e nã à isso que està a acontecer!*'.

Depois de examinarem a fórmul usada, os alunos aperceberam-se do seu erro e comgiram-no rapidamente.

Feito isto, passaram hconstruçãod grK~cos pretendidos (alcance e compri- mentodofio). AcharamqueestesgrK~cos eram muito parecidos e resolveram so-

brepor as duas curvas num mesmo gráfi co para poderem compar&-Ias melhor. Uma das alunas notou, então que num dos@icos seobservavamalgunspontos um pouco mais abaixo do que no outro. Voltando h tabela da folha de cálculo os alunos confirmaram que os valores exis- tentes nacolunadoalcanceerammenores doque os respectivos valores docompri- mento do fio. Verificaram també que essa diferenç se atenuava h medida que o ângul ia aumentando. Um dos alunos formulou a seguinte conjectura: "à que atà 60' vã aumentando devagar e de- pois avariaçãocome a ser muito maior e jà nã se nota tanto que um à maior que o outro". Para testar asua hip-tese, suge- riu que fizessem os mesmos grKicos sobrepostos, mas apenas paraângulo de amplitude inferior a 60" (isto é restrin- gindo o intervalo do domínio) Logo que este gráfic ficou pronto, os alunos pu- deram aperceber-se claramente da dife- renç entre as duas curvas e confirmar as hip6teses colocadas.

Por fim, pensaram na razã que jus- tificaria o facto de uma das curvas ficar acima da outra. Ao fim de algum tempo, umadas alunas notouqueocomprimento do fio correspondia h hipotenusa de um triângul rectângul e que o alcance correspondiaaumdos seuscatetos. Entã obteve a resposta: "E l6gic0, porque o comprimento do fio à a hipotenusa e a hipotenusa à sempre maior do que os catetos".

Para alé destes aspectos, os alunos trabalharam de uma forma muito inte- ressante nas questõesqu pressupunham a determinaçà dos ângulo correspon- dentes a determinados valores do com- primento do fio ou do alcance. E de referir que, nesta fase, os alunos ainda nã tinham tido um ensino explícit do métod de resoluçà de equaçõ ou inequaçõ envolvendo expressõe trigonométricas Assim, por exemplo, na questã que pedia a determinaçà do ângul correspondente a um alcance de 20 metros, os alunos começara por procurar o valor 20 na coluna relativa h distânci d. Depressa verificaram, con- tudo, que esse valor nã aparecia na tabela. Observaram, entretanto, que sur- giam dois valores próximo de 20, um

menor e outro maior do que 20. Encon- traram nas célula correspondentes da coluna dos ângulo os valores 81 e 82. Consideraram, dessemodo, queoângul estaria entre 81' e 82'. No entanto, qui- seram saber o valor exacto do ângul e decidiram obtê-l na folha de c&lculo. Fazendoo quociente entreoalcance (20) eaalturadacana(3),ficaramnapossedo valor da tangente do ângul desejado. Numa célul h parte introduziram esse valor e numa outra usaram a funçà "ATAN" (are tg) da folhadecálcul para chegarem h amplitude do ângul em radianos, que depois converteram em graus. Deste modo, concluíra que o ângul desejado era de 81.5".

Algumas reacçõ dos alunos h experiênci realizada

As opini'es dos alunos de ambas as turmas acerca da experiênci vivida nas aulas de trigonometria foram recolhidas atravé de um inquérit que focou um conjuntode perspectivas de avaliação trabalho realizado. Dada a limitaçà de espaço faremos, neste artigo, uma breve referênci As respostas dos alunos sobre os aspectos que consideraram mais po- sitivos e os aspectos que sentiram menos conseguidos.

As respostas mais pessimistas foram dadas por dois alunos que declararam unicamente nã gostarem de trigo- nometria, sem fazerem uma avaliaçà explícit das aulas. Houve ainda o caso de um aluno que classificou as aulas de "um pouco chatas", embora admitindo que tinha aprendido coisas novas.

Noquediz respeito aosaspectos con- siderados mais negativos pelos alunos, a questã da necessidade de mais tempo foi muito referida. Alé disso, houve alunos que acharamdemasiadas, tantoas aulas que envolveram computadores como as actividades propostas. As res- postas seguintes ilustram estas opiniões

"Em geral gostei da maneira como foram elaboradasas aulas,especialmen- te as do computador, pois prenderam- -nos mais & trigonometria, n'o a vendo comoaborrecida. gpena, comojAreferi, o factor tempo n'o ter ajudado. Contu- do, penso que as aulas foram dadas de

cana de fio de

"Pensámo ser melhor fazer um 'esquema' para tentar uma melhor compreensão

Ap6s uma breve reflexão concluímo que quanto maior for o ângulo maior i? o comprimento do fio e, 6 claro, maior i? a distancia entre a base da cana e a ponta do fio. .

Se o ângul aumentar, i? possíve ver que: a 2 > a l = ~ f 2 > f l A d2>dl

ou seja: > a => > comp. fio A >distânci

d distânci entre a base da cana e 1 ponta do fio

$ preciso, desde o princípio pensar nos valores em que o -10 pode estar compreendido. Concluímo que:

O fio vai ficar paralelo i cana, ou seja, a disthcia entre a base da cana e a ponta do fio seria igual a zero. N5o 6 possível I!

Se o ângul for igual a 90': f I

6 igualmente impossfvel, dado que o comprimento do fio e a distancia alcançad seriam infinitos.

d

Entã o valor do hgulo pode estar contido nos seguintes valores: ]Oo $Oo[."

Excerto do relatóri de um d& grupos acerca da vfda@o do comprimento do fio e do alcance em (unçà do angulo

Educaçà e Matemátic no 24 4' trimestre de 1992

acordo com o possível e melhor do que isso, penso que era impossível.

"Concordo que tivemos uma grande sorte relativamente h utilizaçà do com- putador, pois as aulas te6ricas tomam- -se, por vezes, demasiado monótonas No entanto, tamb5.m realizámo dema- siadas actividades o que provocou um excesso de trabalho. Pode-se por6m concluir que se pode continuar com es- tas actividades com diversas turmas."

Em relaçà aos aspectos julgados positivos na experiênci realizada, dis- tinguem-se duas tendência de opiniã dos alunos:

I . Houve umaclara preferênci pelas aulas que envolveram o computador.

Surgiram vária formas de exprimir esta preferência Alguns alunos declara- ram sentir-se entusiasmados pelo uso desta ferramenta; outros, referiram o computador como um elemento de ino- vaçã achando que quebrava a rotina das aulas de Matemitica, que contribuí para aumentar o interesse pelo trabalho a desenvolver, que criavaum ambiente de aprendizagem mais favorivel e, final- mente, que levavaadesenvolver o gosto pela trigonometria.

Porexemplo, um dos alunos declarou:

"Foram as aulas do computador que me agradaram mais. A parte de desen- volver o programa e o resultado (&i- co) foram as partes melhores da aula. Isto tudocom acooperação grupoe o ambiente da aula estava um 'espectácu lo'. As aulas sem computador foram boas. A matéri estava bem dada, com bastante sentido,etc. Amat6riaencaixa- va de uma aula de computadores para uma aula sem computadores. Nas aulas te6ricas a materia que d6vamos era pre- cisa para a aula de computadores."

2. As actividades de aplicaçà e modelaçà propostas constituíra um dos aspectos positivos da experiência

Um aspecto a salientar foi o facto de os alunos terem sentido que as activida- des os levaram apensardeoutramaneira, a raciocinar e a descobrir uma outra dimensã da Matemitica. Vejam-se, també neste caso, as respostas dadas por alguns alunos:

"O que eu mais gostei nas aulas de

trigonometria foram os problemas e as actividades dadas, que nos fizeram pen- sardeoutramaneiraparaaresoluçãod quest'es propostas. Gostei també do facto de aprendermos esta mat6ria nos computadores, pois eu adoro computa- dores, e sã raras as vezes que tenho a oportunidadedemexerou trabalharcom um."

"Agradou-me a resoluçi das activi- dades, visto que foi-nos dada uma outra 'dimensão para ultrapassarmos as ques- t'es. Ou seja, aprendemos o programa de outra forma."

"Gostei bastante dos temas originais atribuído a cada actividade, porque sã temas realistaseque nos fizeram pensar. Porque eu conhecia aquelas situaç'es mas nunca imaginei o que podia saber sobre elas. Em suma, gostei."

Conclusõe retiradas do trabalho desenvolvido

O trabalho realizado nas duas turmas forneceu dados que permitem analisar algumas das implicaçõ da introduçà de actividades de aplicaçà e modelaçà no cum'culoe, em particular, no domíni da trigonometria.

Algumas dessas implicaçõ repor- tam-se ao tipo de processos de raciocíni e de estruturaçà de conceitos que estã envolvidos na realizaçà das referidas actividades. Mencionaremos aqui apenas alguns dos efeitos observados ao longo da experiência

Um dos processos que se revelou dominante em todas as actividades rea- lizadas foi a identificaçà de variiveis e o estabelecimento de relaçõ entre es- tas. De facto, os alunos foram capazes de reconhecer variiveis e parâmetro nos problemas tratados, de perceber intuiti- vamente a forma como estes interagiam e, porfim, de exprimir matematicamente tais relaçõe As situaçõ problemiti- cas usadas implicaram a necessidade de distinguir variiveis dependentes e iude- pendentes e, em muitos casos, exigiram amanipulação umelevado númer de vari6veis. Uma das razõe que poderi explicar a forma como os alunos traba- lharam estes aspectos poderi estar na atribuiçà de um significado concreto a

cada uma das vari6veis. e de facto presumívelqueosalunos na presençad um contexto real, reconheça mais fa- cilmente a existênci de variiveis quantificiveis e que sejam levados a formular juizos do tipo: "isto depende daquilo...", "a variaçà vai ser desta forma...", "nunca poderã ocorrer valo- res negativos paraesta grandeza...", etc.. Por outro lado, a atribuiçà de signifi- cados reais aos resultados matemiticos produzidos suscitou a sua frequente ava- liaçã por parte dos alunos. Eles foram levadosacompararosresultados obtidos com as suas previsõe e conhecimentos acerca da situaçà real e, por vezes, o reconhecimentode contradiçõesentre resultados matemático e a realidade conduziu h reformulaçà dos modelos matemiticos construídos

Asactividades propostaspermitiram, nã s6 a aplicaçà de conhecimentos de trigonometria previamente adquiridos, como deram ocasiã h introduçà de novos conceitos. Relativamente aos no- vos conceitos, devem ser mencionadas as funçõ trigonométrica inversas, are sen, are cos e are tg, a que os alunos tiveram acesso por via da utilizaçà da folha de cálculo Este acesso, permitiu- -lhes, nomeadamente, a descoberta de procedimentos alternativos para a reso- luçà de equaçõ e inequaçõ trigonomktricas, apoiados na anilise de tabelas obtidas na folha de cálculo Os conceitos de ciclo, frequência amplitu- de e períod de funçõ circulares foram tambkm relacionados com determinados parâmetro presentes nas expressõe analítica das funçõ trigonomktricas estudadas. Por último foram abordadas as operaçõ com funçõ trigonomé tricas, em particular, a adiçà de funçõ sinusoidais, e as transformaçõ geomé tricas do grátic da funçà seno corres- pondentes h adiçà e multiplicaçà de coeficientes na sua expressã analítica

Outro aspecto a considerar tem a ver com o modo como os alunos utilizaram o circulo trigonomktrico. Porexemplo, isto foi patente em determinadas actividades em que os alunos relacionaram trajectó rias e movimentos circulares com o cír culo trigonomktrico. Assim, associaram a posiçà de um móve em movimento

Educaçà e Matemitica no 24 4' trimestre de 1992

Ill Seminári de Investigaçà em Educaçà Matemátic (APM)

Antonio Domingos

circularuniforme2is funç'e senoecose- 1 no, introduziram correctamente nos mo- delos matemiticos formulados a dimen- sã do raio da traject6riadescrita, relaci- onando-a com o raio do círcul trigono- m6trico e com a amplitude da funçà seno. Estes factos tomam-se relevantes, porquanto 6 usual, no estudo da trigono- '

metria, detectar nos alunos alguma di- culdadeemintegraremoc'rculotrigono- mbüic nos seus raciocínios

Quanto i3 utilizaçà da folha de cál Decorreu nos passados dias 2 e 3 de culo, 6 de registar a forma como possibi- Novembro de 1992 na Escola Superior litou e estimulou a manipulaçà de múl de Educaçà de Viseu o 111 Seminári de tiplas representaçõ matemiticas. Nã Investigaçà em Educaçà Matemitica s6 foram inúmera as representaçõ nu- organizado pelo Grupo de Trabalho so- m6ricas. alg6bricas e gráíic criadas na bre Investigaçà em Educaçà Matemk- folha de cálculo como se registaram tica da APM. Com este seminári pre- diversas conexõe entre aspectos mate- tendeu-se fundamentalmente estimular miticos e extra-matemkticos das situa- a produçà de novo conhecimento cien- çõ propostas. Em geral, a ocorrênci tífic na áre da Educaçà Matemitica de transferência entre vário sistemas criando um espaç de comunicaçà que de representaçã nos processos de re- contou com a participaçà de cerca de soluçà dos alunos, contribuiu para uma oitenta docentes de Universidades, Es- eficaz monitorizaçà dos seus resulta- colas Superiores de Educaçã investi- dos. O cruzamento das informaçõ co- gadores de outros organismos e profes- lhidas em diferentes representaç'e (ta- sores. bela, gráíic f6rmula, esquema geom6- Em ambos os dias os trabalhos foram trico) permitiu-lhes, em muitos casos, iniciados por uma sessã plenária No controlar a validade dos seus raciocí primeiro dia esta sessã foi proferida nioseconjecturaseobterfeedbackacerca pela professora Terezinha Nunes da dos seus modelos matemkticos. University of London subordinada ao

Finalmente, h6 a referir a questã do tema "A Matemitica na vida diári - tempoedadimensã das actividades. Na mantendo as coisas nas devidas propor- literatura sobre este tema, uma ideia que çõe que incidiu sobre uma investiga- surge com frequênci 6 a de que as acti- çãoacercadeumproblemadeproporci vidades de aplicaçà e modelaçà re- nalidades realizado com pessoas querem um maior consumo de tempo. A escolarizadas e sem escolarizaçã Ain- experiênci que realizámo parece nã da durante a manhà decorreu um espaç ter fugido a esta tendênci geral. No en- de comunicaç'e onde foram apresenta- tanto, bk que ter em conta que o contacto das trê comunicaç'e subordinadas aos regular dos alunos com determinadas temas: Avaliaçà da aprendizagem num perspectivas de trabalho contribui para contexto de inovaçà curricular, Leonor um aumento do seu rendimento, poden- Cunha Leal da ESE de Sehíbal Cons- do vir a atenuar o consumo de tempo. truçà e exploraçà de modelos mate-

, * ainda duas ues miticos em situaçõ do mundo real en- t'esque~zimrespitoileimaeintewretaç~od volvendo Trigonometria, Susana Car- gfficos fornecidos. Por limimç'e de espaço op- 'amos por retiniressas duas quest'es, que embora reira daE. Sec. Mem Martins; e Concep- tendo suscitado uma discussSo animada, tem uma ç~sdosprofessore do 10Ciclorelativa- natureza diferente das restantes quest'es.

mente i3 Matemitica e priticas da sala de Conceiçà Mesquita aula, Maria de Lurdes Serrazina, ESE de

Filomena Marques Lisboa. E. S. de Rio de Mouro Na parte da tarde decorreram mais

Susana Carreira trê espaço decomunicaçà onde foram FCT - Univ. Nova de Lisboa apresentadas as comunicaç'e seguin-

tes: Matemktica e individualidade - contribuiçà 2i compreens'o da hipercomplexidade da pessoa em apren- dizagem da Matemitica, Ant6nio Jorge Andrade da FCT-UNL; Desenvolvi- mento de um teste de avaliaçà diagn6s- tico em Matemktica, Isolina Oliveira e Maria Judith Pereira do SE, Uma inves- tigaçà experimental sobre as capacida- des de resoluçà de problemas que en- volvem a multiplicaçã Peter Bryant da University of Oxford e Luisa Morgado da FPCE-Univ.Coimbra; Insucesso em Matemktica - fen6meno irreversível Reflexõe sobre uma abordagem em Hypercard, Isabel CabritadoDp.DTEda Univ.Aveiro; Aexperimentaçãodono programade Matemiticade I 1°ano Um estudo de caso, Joã Filipe Matos, Joã Pedro Ponte, Henrique Guimarãe e Ana Paula Teixeira Canavarro da FCL e Leonor Cunha Leal da'ESE de Sehíbal Modelos cognitivos associados ao con- ceito de ângulo Jos6 Manuel Matos da FCT-UNL.

No final do primeiro dia foi ainda reservado um espaçod tempodestinado i3 apresentaçà dos vário grupos profis- sionaisporformaaque todos os presentes pudessemficarapardas suasrealizaç'es publicaç'e e possívei contactos.

No segundo dia a sessã plenári foi proferida pelo professor Juan Día Godino da Universidad de Granada e subordinada ao tema: "Paradigmas, pro- blemas y metodologias en Didictica de Ia Matemitica que discutiu diversas fundamentaç'e te6ricas para a Didicti- cada Matemitica.

Ainda durante a manhà houve mais dois espaço de comunicaçà cujos te- mas foram: Conjecturas e provas infor- mais em Geometria com recurso aferra-

(continua na pdg. 14)

Educaçii e MatemAtica no 24 4- trimestre de 1992