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A Função de Modulação ideal na estabilização Pound-Drever-Hall Rafael de Queiroz Garcia - 10288891

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Sumário

● Motivação○ História○ Aplicações

● Princípio de funcionamento da Técnica○ Modulação de frequência○ Interferômetro de Fabry-Perot○ Sinal PDH

● Encontrando a função de modulação ideal○ Cálculo variacional○ Aplicando cálculo variacional

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Motivação

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História

Pound-Drever-Hall

● Robert Pound, nos anos 40, desenvolveu uma técnica de estabilização de frequência de microondas

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História

Pound-Drever-Hall

● Robert Pound, nos anos 40, desenvolveu uma técnica de estabilização de frequência de microondas

● Ronald Drever trabalhou com Pound por um ano nos anos 50 e foi dele que ele tirou a inspiração para fazer um análogo óptico

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História

Pound-Drever-Hall

● Robert Pound, nos anos 40, desenvolveu uma técnica de estabilização de frequência de microondas

● Ronald Drever trabalhou com Pound por um ano nos anos 50 e foi dele que ele tirou a inspiração para fazer um análogo óptico

● John Hall foi chamado para ajudar Drever a realizar a ideia que tinha na cabeça. Era alguém com experiência em espectroscopia de alta resolução.

● Paper da técnica saiu em 1983

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Aplicações

● Você quem escolhe○ Estabilização “sobre a frequência ou sobre o espaço”?

● Espectroscopia de alta resolução○ É possível obter uma resolução em frequência da ordem de dezenas de mHz○ Átomos frios○ Padrões de tempo

● Interferometria○ Controle sobre perturbações espaciais por meio de um interferômetro○ Interferometria para detecção de ondas gravitacionais (Drever trabalhou com isso)

● A base de outras técnicas

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Introdução a PDH

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Aparato de PDH mais simples possívelEstabilização de uma cavidade

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Modulação de Fase● Onda E.M. ao passar por um meio ganha uma quantia de fase● Variando o índice de refração com o tempo, é possível variar essa fase

Modulação de Fase ● Variação no tempo, periódica e pelo menos em um eixo de polarização

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Modulação de Fase● Exemplo : Célula Pockels

● Birrefringência induzida e variável

● Variação de fase proporcional à tensão aplicada

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Modulação de Frequência

● Toda modulação de fase temporal induz uma modulação de frequência

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Modulação de Frequência

● É possível decompor uma modulação de fase periódica em componentes de frequências distintas

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Modulação de Frequência

● Na técnica de PDH:

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Modulação de Frequência

● Na técnica de PDH:

● Funções de Bessel do primeiro tipo

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Modulação de Frequência

● Na técnica de PDH:

● Funções de Bessel do primeiro tipo

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Interferômetro de Fabry-Perot

● Interessa-nos o sinal refletido do Fabry-Perot, que cresce com a dessintonia da ressonância

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Interferômetro de Fabry-Perot

● Cavidade com espelhos iguais e de comprimento L

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Interferômetro de Fabry-Perot

● É possível expressar kL de uma outra maneira, com quantidades com unidade de frequência. Introduz-se o Free-Spectral-Range

● Terá-se então um fator de reflexão diferente para cada frequência

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Sinal PDH

( Campo elétrico incidente )

( Campo elétrico refletido)

● Cálculo do campo refletido pela cavidade

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Sinal PDH● Cálculo da intensidade de luz refletida

termos 0ᘯ

termos 1ᘯ

termos 2ᘯ

● Outros termos de 1ᘯ poderiam ser gerados por interferência entre J1 e J2 , mas são muito menores

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Sinal PDH● Extração da componente 1ᘯ com o mixer

● O mixer introduz uma fase ajustável 𝜃. Com 𝜃= π/2 obtém-se o sinal de erro mais pronunciado

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Sinal PDH

● O mixer introduz uma fase ajustável 𝜃. Com 𝜃= π/2 obtém-se o sinal de erro mais pronunciado

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Sinal PDH - Análise

● Sabendo que (com J1=J-1) , como se maximiza o sinal?

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Sinal PDH - Análise

● J0J1 tem máximo em

● Só escolher esse valor para ter o maior sinal de PDH com essa função de modulação.

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Sinal PDH - Análise

● Porém, o que aconteceria ao se escolher uma função diferente ? Seria possível aumentar ainda mais o sinal?

● Como devem ser escolhidos os coeficientes da série? Existem infinitas combinações possíveis…

● Essa é uma pergunta para o cálculo de variações

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Em busca da função otimizada

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Reduzindo o problema

● Analisando as seguintes integrais, é possível eliminar os termos cossenoidais, pois eles no fim não mudam o módulo do valor obtido, só tornam Ak complexos. Essa fase gerada pelos cossenos pode ser corrigida pelos mixers.

Impondo Ak reaisFunção periódica pode ser qualquer soma de senos

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Reduzindo o problema

Impondo Ak reais Integral mais simples

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Reduzindo o problema

● Observando que as duas sidebands têm que ter intensidades iguais para que se obtenha um sinal de erro máximo, podemos nos restringir às soluções Ak= -A-k (k ímpar)

Termos pares diminuem o módulo de Ak em detrimento do de A-k e vice-versa

● Procuraremos a soma de senos ímpares que maximiza o sinal!

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Cálculo de variações● Área que estuda problemas de maximização/minimização de funcionais do

seguinte tipo:

● Pode conter mais funções, de mais variáveis, e mais derivadas dessas funções. Ou também, diversos outros problemas parecidos que envolvam calcular essas integrais dependentes de funções.

● Solução para esse problema: Equação de Euler-Lagrange. Atenção, derivadas em relação a funções

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Cálculo de variações - Usos● Mecânica Lagrangiana

● Princípio de Fermat

● Problemas de engenharia

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Problema posto● Preciso maximizar A0A1 e minimizar A0A-1 simultaneamente. Para não precisar

utilizar multiplicadores de Lagrange, pode-se maximizar

● Esse funcional é um produto de 4 funcionais, mas só depende de uma função. É de um tipo muito especial chamado funcional produto.

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Funcionais produto● Produto mais simples

● Equação equivalente de Euler-Lagrange

● Como a regra do produto do cálculo normal

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Resolvendo o problema

● Equação de Euler-Lagrange, já simplificando um pouco

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Resolvendo o problema

Usando A1=-A-1 :

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Resolvendo o problema

● Equação final, a ser resolvida numericamente

● Equação funcional transcendental, dependendo de ø(t) dos dois lados

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Solução numérica

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Solução numérica

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Resultado

● Mudou alguma coisa? Quase nada.

● Aumento de sinal seria de 0.6%

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DiscussãoResultado desejável

Resultadorealizável

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Discussão● Qual a diferença entre um shift de frequência (assimétrico) e a criação de sidebands

simétricos?

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Discussão● Qual a diferença entre um shift de frequência e a criação de sidebands simétricos?

Dente de serra

Seno simples (funções de Bessel)

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Discussão● Qual a diferença entre um shift de frequência e a criação de sidebands simétricos?

● Shift : coeficientes diminuem com 1/n● Solução otimizada : coeficientes diminuem com 1/n5

● Problema comum em se fazer shifts de frequência é com a capacidade limitada de um gerador de funções gerar altos harmônicos

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Conclusão

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Apontamentos finais● A melhora do sinal com a função de otimização nova

seria muito pequena (0,6%).

● Os termos da série de Fourier decrescem muito rapidamente, por isso a solução só com o primeiro termo já é suficiente. Isso não é sempre o caso (exemplo: shifts de frequência).

● Minimização via funcionais provavelmente pode ser aplicada a diversos problemas de modulação de fase para entender os comportamentos dela sobre as frequências da onda modulada.

● Cálculo variacional como uma ferramenta às vezes esquecida, acessível e poderosa

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Obrigado!

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Extra : Shot noise limit

● A função que otimiza a modulação piora o limite em que se consegue resolver o tamanho da cavidade ou a frequência do laser. A quantidade S acaba aumentando em 0,4% por conta da diminuição de intensidade da frequência central. Quanto menor a intensidade, maior o peso das flutuações estatísticas do campo eletromagnético