Click here to load reader

A Função de Modulação ideal na estabilização Pound-Drever- strontium/Teaching/Material2020-1... · PDF file 2020. 7. 2. · Preciso maximizar A 0 A 1 e minimizar A 0 A-1 simultaneamente

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of A Função de Modulação ideal na estabilização Pound-Drever-...

  • A Função de Modulação ideal na estabilização Pound-Drever-Hall Rafael de Queiroz Garcia - 10288891

  • Sumário

    ● Motivação ○ História ○ Aplicações

    ● Princípio de funcionamento da Técnica ○ Modulação de frequência ○ Interferômetro de Fabry-Perot ○ Sinal PDH

    ● Encontrando a função de modulação ideal ○ Cálculo variacional ○ Aplicando cálculo variacional

  • Motivação

  • História

    Pound-Drever-Hall

    ● Robert Pound, nos anos 40, desenvolveu uma técnica de estabilização de frequência de microondas

  • História

    Pound-Drever-Hall

    ● Robert Pound, nos anos 40, desenvolveu uma técnica de estabilização de frequência de microondas

    ● Ronald Drever trabalhou com Pound por um ano nos anos 50 e foi dele que ele tirou a inspiração para fazer um análogo óptico

  • História

    Pound-Drever-Hall

    ● Robert Pound, nos anos 40, desenvolveu uma técnica de estabilização de frequência de microondas

    ● Ronald Drever trabalhou com Pound por um ano nos anos 50 e foi dele que ele tirou a inspiração para fazer um análogo óptico

    ● John Hall foi chamado para ajudar Drever a realizar a ideia que tinha na cabeça. Era alguém com experiência em espectroscopia de alta resolução.

    ● Paper da técnica saiu em 1983

  • Aplicações

    ● Você quem escolhe ○ Estabilização “sobre a frequência ou sobre o espaço”?

    ● Espectroscopia de alta resolução ○ É possível obter uma resolução em frequência da ordem de dezenas de mHz ○ Átomos frios ○ Padrões de tempo

    ● Interferometria ○ Controle sobre perturbações espaciais por meio de um interferômetro ○ Interferometria para detecção de ondas gravitacionais (Drever trabalhou com isso)

    ● A base de outras técnicas

  • Introdução a PDH

  • Aparato de PDH mais simples possível Estabilização de uma cavidade

  • Modulação de Fase ● Onda E.M. ao passar por um meio ganha uma quantia de fase ● Variando o índice de refração com o tempo, é possível variar essa fase

    Modulação de Fase ● Variação no tempo, periódica e pelo menos em um eixo de polarização

  • Modulação de Fase ● Exemplo : Célula Pockels

    ● Birrefringência induzida e variável

    ● Variação de fase proporcional à tensão aplicada

  • Modulação de Frequência

    ● Toda modulação de fase temporal induz uma modulação de frequência

  • Modulação de Frequência

    ● É possível decompor uma modulação de fase periódica em componentes de frequências distintas

  • Modulação de Frequência

    ● Na técnica de PDH:

  • Modulação de Frequência

    ● Na técnica de PDH:

    ● Funções de Bessel do primeiro tipo

  • Modulação de Frequência

    ● Na técnica de PDH:

    ● Funções de Bessel do primeiro tipo

  • Interferômetro de Fabry-Perot

    ● Interessa-nos o sinal refletido do Fabry-Perot, que cresce com a dessintonia da ressonância

  • Interferômetro de Fabry-Perot

    ● Cavidade com espelhos iguais e de comprimento L

  • Interferômetro de Fabry-Perot

    ● É possível expressar kL de uma outra maneira, com quantidades com unidade de frequência. Introduz-se o Free-Spectral-Range

    ● Terá-se então um fator de reflexão diferente para cada frequência

  • Sinal PDH

    ( Campo elétrico incidente )

    ( Campo elétrico refletido)

    ● Cálculo do campo refletido pela cavidade

  • Sinal PDH ● Cálculo da intensidade de luz refletida

    termos 0ᘯ

    termos 1ᘯ

    termos 2ᘯ

    ● Outros termos de 1ᘯ poderiam ser gerados por interferência entre J1 e J2 , mas são muito menores

  • Sinal PDH ● Extração da componente 1ᘯ com o mixer

    ● O mixer introduz uma fase ajustável 𝜃. Com 𝜃= π/2 obtém-se o sinal de erro mais pronunciado

  • Sinal PDH

    ● O mixer introduz uma fase ajustável 𝜃. Com 𝜃= π/2 obtém-se o sinal de erro mais pronunciado

  • Sinal PDH - Análise

    ● Sabendo que (com J1=J-1) , como se maximiza o sinal?

  • Sinal PDH - Análise

    ● J0J1 tem máximo em

    ● Só escolher esse valor para ter o maior sinal de PDH com essa função de modulação.

  • Sinal PDH - Análise

    ● Porém, o que aconteceria ao se escolher uma função diferente ? Seria possível aumentar ainda mais o sinal?

    ● Como devem ser escolhidos os coeficientes da série? Existem infinitas combinações possíveis…

    ● Essa é uma pergunta para o cálculo de variações

  • Em busca da função otimizada

  • Reduzindo o problema

    ● Analisando as seguintes integrais, é possível eliminar os termos cossenoidais, pois eles no fim não mudam o módulo do valor obtido, só tornam Ak complexos. Essa fase gerada pelos cossenos pode ser corrigida pelos mixers.

    Impondo Ak reais Função periódica pode ser qualquer soma de senos

  • Reduzindo o problema

    Impondo Ak reais Integral mais simples

  • Reduzindo o problema

    ● Observando que as duas sidebands têm que ter intensidades iguais para que se obtenha um sinal de erro máximo, podemos nos restringir às soluções Ak= -A-k (k ímpar)

    Termos pares diminuem o módulo de Ak em detrimento do de A-k e vice-versa

    ● Procuraremos a soma de senos ímpares que maximiza o sinal!

  • Cálculo de variações ● Área que estuda problemas de maximização/minimização de funcionais do

    seguinte tipo:

    ● Pode conter mais funções, de mais variáveis, e mais derivadas dessas funções. Ou também, diversos outros problemas parecidos que envolvam calcular essas integrais dependentes de funções.

    ● Solução para esse problema: Equação de Euler-Lagrange. Atenção, derivadas em relação a funções

  • Cálculo de variações - Usos ● Mecânica Lagrangiana

    ● Princípio de Fermat

    ● Problemas de engenharia

  • Problema posto ● Preciso maximizar A0A1 e minimizar A0A-1 simultaneamente. Para não precisar

    utilizar multiplicadores de Lagrange, pode-se maximizar

    ● Esse funcional é um produto de 4 funcionais, mas só depende de uma função. É de um tipo muito especial chamado funcional produto.

  • Funcionais produto ● Produto mais simples

    ● Equação equivalente de Euler-Lagrange

    ● Como a regra do produto do cálculo normal

  • Resolvendo o problema

    ● Equação de Euler-Lagrange, já simplificando um pouco

  • Resolvendo o problema

    Usando A1=-A-1 :

  • Resolvendo o problema

    ● Equação final, a ser resolvida numericamente

    ● Equação funcional transcendental, dependendo de ø(t) dos dois lados

  • Solução numérica

  • Solução numérica

  • Resultado

    ● Mudou alguma coisa? Quase nada.

    ● Aumento de sinal seria de 0.6%

  • Discussão Resultado desejável

    Resultado realizável

  • Discussão ● Qual a diferença entre um shift de frequência (assimétrico) e a criação de sidebands

    simétricos?

  • Discussão ● Qual a diferença entre um shift de frequência e a criação de sidebands simétricos?

    Dente de serra

    Seno simples (funções de Bessel)

  • Discussão ● Qual a diferença entre um shift de frequência e a criação de sidebands simétricos?

    ● Shift : coeficientes diminuem com 1/n ● Solução otimizada : coeficientes diminuem com 1/n5

    ● Problema comum em se fazer shifts de frequência é com a capacidade limitada de um gerador de funções gerar altos harmônicos

  • Conclusão

  • Apontamentos finais ● A melhora do sinal com a função de otimização nova

    seria muito pequena (0,6%).

    ● Os termos da série de Fourier decrescem muito rapidamente, por isso a solução só com o primeiro termo já é suficiente. Isso não é sempre o caso (exemplo: shifts de frequência).

    ● Minimização via funcionais provavelmente pode ser aplicada a diversos problemas de modulação de fase para entender os comportamentos dela sobre as frequências da onda modulada.

    ● Cálculo variacional como uma ferramenta às vezes esquecida, acessível e poderosa

  • Obrigado!

  • Extra : Shot noise limit

    ● A função que otimiza a modulação piora o limite em que se consegue resolver o tamanho da cavidade ou a frequência do laser. A quantidade S acaba aumentando em 0,4% por conta da diminuição de intensidade da frequência central. Quanto menor a intensidade, maior o peso das flutuações estatísticas do campo eletromagnético