A lógica na Matemática

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A LGICA NA MATEMTICA

1. BREVE HISTRICOO pensamento lgico teve forte presena no cerne da Civilizao Grega. Aristteles (384-322 A.C) tido como o primeiro sistematizador do conhecimento lgico da poca. Presume-se que a partir de uma anlise das discusses, que eram comuns no seu tempo, o filsofo teria procurado caracterizar um instrumento de que se serviria a razo, na busca da verdade. Aristteles teve seu trabalho registrado por seus discpulos e a obra de Lgica, intitulada o Organon, serviu de fundamentao para a Lgica Simblica. Aristteles classificou as proposies em quatro grupos, dois originrios de uma considerao qualitativa e dois de consideraes quantitativas. Segundo a quantidade, tem-se proposies afirmativas ou negativas e, segundo a qualidade, em universais e particulares. Assim que na lgica de Aristteles aparecem expresses como todo, nenhum, algum, etc; e frases tipo "Todo homem mortal " (universal afirmativa) e "Alguns homens no so sbios" (particular negativa). Ainda na Grcia Antiga, surgiu a escola estico-megrica que estudava a lgica das proposies, desenvolvendo aspectos no encontrados na Lgica Aristotlica. Depois do perodo dos esticos-megrios, inicia-se um perodo obscuro, quase virgem de pesquisa. Segundo os elementos histricos existentes, no houve nenhuma contribuio original Lgica por mais de 1000 anos. Houve apenas o trabalho de transmisso de conhecimentos antigos para a Idade Mdia. Destaca-se Bocio (470524) com a traduo latina de parte da obra aristotlica. Foi um longo perodo pobre de contribuies para esse ramo do conhecimento cientfico . Durante os sculos XVII e XVIII e incio do sculo XIX o grande interesse era pela retrica e pelas questes psicolgicas. Escapa dessa inflncia Leibniz (1646 1716), cujas idias originais e inovadoras ficaram isoladas no sculo XVII e s viriam a -1-

ser apreciadas e conhecidas no fim do sculo XIX. Assim que o uso de diagramas para estudos de lgica, atribudo a Euler, j tinha sido utilizado por Leibniz. No entanto, foi John Venn (1834-1923) quem aperfeioou os diagramas no estudo da Lgica. Leibniz foi o precursor da Lgica Moderna. Ele sugeriu uma espcie de lgebra Universal, uma linguagem de smbolos que pudesse ser entendida por todos, qualquer que fosse a lngua utilizada. Estava assim criado o ambiente adequado para o surgimento da Lgica Simblica (tambm chamada de Lgica Matemtica ou Lgica Formal) e cujo objetivo era dar um tratamento rigoroso, estrutural, ao conhecimento lgico tradicional. O perodo "contemporneo" da lgica tem suas razes nos trabalhos de George Boole (1815-1864) que deu novos rumos ao estudo da matria. A obra fundamental de Boole, Investigations of the Laws of Thought, publicada em 1854, compara as leis do pensamento s leis da lgebra. Paralelamente, De Morgan (1806-1871) tambm contribuiu para o desenvolvimento da lgebra da Lgica. Com os trabalhos de Boole e de Morgan a Lgica clssica torna-se autnoma, separando-se da filosofia para tornarse a Lgica Matemtica. Os alemes Frege (1848-1925) e Cantor ( 1845-1918) deram impulsos Lgica Simblica. A tentativa de Frege de transformar a Matemtica em ramo da Lgica levou a paradoxos depois estudados por Russel e Whithead, autores do "Principia Mathematica", uma das obras fundamentais deste sculo. Como consequncia os lgicos e matemticos entraram em divergncia, a partir da segunda metade do sculo XIX, dando lugar ao surgimento de pelo menos trs correntes de pensamento bem distintas: o logicismo (de Russel), o intuicionismo (de Brouwer ) e o formalismo (de Hilbert). A corrente logicista pretendeu reduzir a Matemtica Lgica, e seu pensamento est bem delineado na obra Principia Mathematica e suas origens esto certamente em Leibniz.

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A corrente formalista - cujas razes esto no filsofo alemo Kant, foi liderada por Hilbert. Amplia a atuao da Lgica caracterizando-a como um mtodo de obter inferncias legtimas . Uma teoria para ser formalizada deve conter conceitos primitivos, axiomas e teoremas e ser consistente. Ser consistente numa teoria formal significa que se ela contm determinada proposio, no pode conter a sua negao. A escola intuicionista, cujo maior representante foi o matemtico holands Brouwer, reduz a Lgica a um mtodo que se desenvolve paralelamente a Matemtica. Para os seus seguidores, todos os conhecimentos existem por intuio, ou seja, sem auxlio de raciocnio. Rejeitam o prncipio do terceiro excludo, sendo, portanto possvel para eles a construo de enunciados que no so verdadeiros ou falsos. As crticas e divergncias em torno dos fundamentos filosficos do Principia Matemtica deram lugar ao surgimento de lgicas polivalentes. Atualmente a Lgica no est, como esteve, at por volta de 1930, dividida nas trs correntes acima. Hoje, inmeras correntes surgem e as trs antigas se aproximam. Os estudos ganharam um ritmo acelerado, as especialidades se multiplicam e os problemas se abrem.

2. PROPOSIES E CONECTIVOSA Lgica Matemtica se ocupa da anlise de certas sentenas, quase sempre de contedo matemtico. Tambm estuda as relaes, conexes, entre estas sentenas. Comearemos definindo proposio. Chama-se proposio uma sentena (conjunto de palavras e smbolos) declarativa, que exprime um pensamento de sentido completo, e que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Os termos verdade e falsidade so chamados valores lgicos de uma proposio. Para efeito de classificar as proposies em verdadeiras ou falsas a Lgica Matemtica adota como regras fundamentais os dois seguintes princpios: -3-

I) Princpio da No Contradio - Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. II) Princpio do Terceiro Excludo - Toda proposio ou verdadeira ou falsa (isto , verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro). Pelos dois princpios anteriores temos que: Toda proposio tem um e somente um dos valores lgicos verdade ou falsidade. Por este motivo, chamamos a Lgica Matemtica de bivalente. As proposies sero indicadas por letras p, q, r, s, t, ... e o seu valor lgico por V(p) = V (ou 1) para uma proposio verdadeira e, V(p) = F (ou 0) para uma proposio falsa. Exemplos e contra-exemplos 1) p: Salvador a capital da Bahia 2) q: 2 + 3 < 5 3) r: O poeta Castro Alves era baiano. 4) x + 2 = 1 5) Como faz calor! 6) Que dia hoje? Como foi convencionado na definio, sentenas exclamativas ou interrogativas (exemplos 5 e 6) no so proposies. O exemplo 4 tambm no representa uma proposio, uma vez que no podemos atribuir um nico valor lgico (depende de x). As proposies podem ser classificadas em simples e compostas. Proposies simples - Aquelas que no contm nenhuma outra como parte integrante de si mesma. So tambm chamadas de atmicas . Proposies compostas - Aquelas formadas pela combinao de proposies simples. So tambm chamadas de moleculares .

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Como foi convencionado anteriormente as proposies simples sero indicadas por letras p, q, r, s, etc.. As proposies compostas sero denotadas por P, Q, R , S, etc.. ExemplosProposio

1) 2) 3) 4) 5)

2 mpar 3 mpar 2>0 Se ou 4 par e2 Q.

simples composta composta 4 divisvel por 2. 3 primo composta composta

3+1=5 ento se e somente se

3 mpar

As palavras ou smbolos usados para formar novas proposies a partir de proposies dadas so chamados de conectivos . Os conectivos fundamentais da Lgica Matemtica so: Conectivo Smbolo

1) no, no verdade que 2) e 3) ou 4) se ... ento 5) se e somente se

~

negao ou modificador conjuno disjuno condicional bicondicional

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Dadas as proposies simples p e q podemos com o uso dos conectivos formar novas proposies a partir de p e q. Assim, temos: 1) A negao de p 2) A conjuno de p e q 3) A disjuno de p e q 4) A condicional de p e q 5) A bicondicional de p e q ~p pq pq pq pq no p p e q p ou q se p ento q p se e somente se q

Exemplos 1) Dada as proposies: p: Jorge Amado escreveu o livro "Mar Morto" q: Rui Barbosa era baiano temos para as seguintes, as tradues para a linguagem corrente ~p: p ~q: Jorge Amado no escreveu o romance "Mar Morto". ou No verdade que Jorge Amado escreveu o romance "Mar Morto". Jorge Amado escreveu o livro "Mar Morto" e Rui Barbosa no era baiano ou Jorge Amado escreveu o romance "Mar Morto" e falso que Rui Barbosa era baiano. Jorge Amado no escreveu o romance "Mar Morto" ou Rui Barbosa era baiano. ou No verdade que Jorge Amado escreveu o romance "Mar Morto" ou Rui Barbosa era baiano.

~p q:

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~(pq):

No verdade que: Jorge Amado escreveu o romance "Mar Morto" ou Rui Barbosa era baiano.

2) Sendo p: 2 um nmero par e q: 6 mltiplo de 3, para as seguintes proposies temos as tradues para a linguagem simblica a) b) c) 2 no par ou 6 mltiplo de 3 Se 6 no mltiplo de 3 ento 2 par 2 no par, se e somente se, 6 mltiplo de 3 ~p q ~q p ~p q

3. OPERAES LGICAS COM PROPOSIES CLCULO PROPOSICIONALQuando trabalhamos com os conjuntos numricos, definimos operaes como a adio, multiplicao, etc. e estudamos as propriedades de tais operaes, mostrando que tais conjuntos tm uma estrutura algbrica. No caso da Lgica no trabalhamos com nmeros, mas com proposies. J vimos que a partir de proposies simples podemos "combin-las" mediante o uso de conectivos para formar novas proposies. O que queremos saber agora : conhecidos os valores lgicos das proposies simples, qual o valor lgico da proposio resultante obtida com os conectivos? Na verdade os conectivos funcionam como smbolos operatrios, tais como +, , , x. Precisamos portanto saber o "resultado" das operaes envolvendo conectivos e proposies da Lgica. Conhecendo-se os valores lgicos de duas proposies p e q, vamos definir os valores lgicos das proposies: ~p, p q, p q, pq, p q, que decorrem de situaes cotidianas, onde utilizamos o nosso bom senso, a nossa lgica. Nada mais natural que isto. 1) Negao -7-

Dada uma proposio p, a negao de p tem valor lgico verdade quando p falsa e valor lgico falsidade quando p verdadeira. I

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