A lógica na Matemática

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A LGICA NA MATEMTICA

1. BREVE HISTRICOO pensamento lgico teve forte presena no cerne da Civilizao Grega. Aristteles (384-322 A.C) tido como o primeiro sistematizador do conhecimento lgico da poca. Presume-se que a partir de uma anlise das discusses, que eram comuns no seu tempo, o filsofo teria procurado caracterizar um instrumento de que se serviria a razo, na busca da verdade. Aristteles teve seu trabalho registrado por seus discpulos e a obra de Lgica, intitulada o Organon, serviu de fundamentao para a Lgica Simblica. Aristteles classificou as proposies em quatro grupos, dois originrios de uma considerao qualitativa e dois de consideraes quantitativas. Segundo a quantidade, tem-se proposies afirmativas ou negativas e, segundo a qualidade, em universais e particulares. Assim que na lgica de Aristteles aparecem expresses como todo, nenhum, algum, etc; e frases tipo "Todo homem mortal " (universal afirmativa) e "Alguns homens no so sbios" (particular negativa). Ainda na Grcia Antiga, surgiu a escola estico-megrica que estudava a lgica das proposies, desenvolvendo aspectos no encontrados na Lgica Aristotlica. Depois do perodo dos esticos-megrios, inicia-se um perodo obscuro, quase virgem de pesquisa. Segundo os elementos histricos existentes, no houve nenhuma contribuio original Lgica por mais de 1000 anos. Houve apenas o trabalho de transmisso de conhecimentos antigos para a Idade Mdia. Destaca-se Bocio (470524) com a traduo latina de parte da obra aristotlica. Foi um longo perodo pobre de contribuies para esse ramo do conhecimento cientfico . Durante os sculos XVII e XVIII e incio do sculo XIX o grande interesse era pela retrica e pelas questes psicolgicas. Escapa dessa inflncia Leibniz (1646 1716), cujas idias originais e inovadoras ficaram isoladas no sculo XVII e s viriam a -1-

ser apreciadas e conhecidas no fim do sculo XIX. Assim que o uso de diagramas para estudos de lgica, atribudo a Euler, j tinha sido utilizado por Leibniz. No entanto, foi John Venn (1834-1923) quem aperfeioou os diagramas no estudo da Lgica. Leibniz foi o precursor da Lgica Moderna. Ele sugeriu uma espcie de lgebra Universal, uma linguagem de smbolos que pudesse ser entendida por todos, qualquer que fosse a lngua utilizada. Estava assim criado o ambiente adequado para o surgimento da Lgica Simblica (tambm chamada de Lgica Matemtica ou Lgica Formal) e cujo objetivo era dar um tratamento rigoroso, estrutural, ao conhecimento lgico tradicional. O perodo "contemporneo" da lgica tem suas razes nos trabalhos de George Boole (1815-1864) que deu novos rumos ao estudo da matria. A obra fundamental de Boole, Investigations of the Laws of Thought, publicada em 1854, compara as leis do pensamento s leis da lgebra. Paralelamente, De Morgan (1806-1871) tambm contribuiu para o desenvolvimento da lgebra da Lgica. Com os trabalhos de Boole e de Morgan a Lgica clssica torna-se autnoma, separando-se da filosofia para tornarse a Lgica Matemtica. Os alemes Frege (1848-1925) e Cantor ( 1845-1918) deram impulsos Lgica Simblica. A tentativa de Frege de transformar a Matemtica em ramo da Lgica levou a paradoxos depois estudados por Russel e Whithead, autores do "Principia Mathematica", uma das obras fundamentais deste sculo. Como consequncia os lgicos e matemticos entraram em divergncia, a partir da segunda metade do sculo XIX, dando lugar ao surgimento de pelo menos trs correntes de pensamento bem distintas: o logicismo (de Russel), o intuicionismo (de Brouwer ) e o formalismo (de Hilbert). A corrente logicista pretendeu reduzir a Matemtica Lgica, e seu pensamento est bem delineado na obra Principia Mathematica e suas origens esto certamente em Leibniz.

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A corrente formalista - cujas razes esto no filsofo alemo Kant, foi liderada por Hilbert. Amplia a atuao da Lgica caracterizando-a como um mtodo de obter inferncias legtimas . Uma teoria para ser formalizada deve conter conceitos primitivos, axiomas e teoremas e ser consistente. Ser consistente numa teoria formal significa que se ela contm determinada proposio, no pode conter a sua negao. A escola intuicionista, cujo maior representante foi o matemtico holands Brouwer, reduz a Lgica a um mtodo que se desenvolve paralelamente a Matemtica. Para os seus seguidores, todos os conhecimentos existem por intuio, ou seja, sem auxlio de raciocnio. Rejeitam o prncipio do terceiro excludo, sendo, portanto possvel para eles a construo de enunciados que no so verdadeiros ou falsos. As crticas e divergncias em torno dos fundamentos filosficos do Principia Matemtica deram lugar ao surgimento de lgicas polivalentes. Atualmente a Lgica no est, como esteve, at por volta de 1930, dividida nas trs correntes acima. Hoje, inmeras correntes surgem e as trs antigas se aproximam. Os estudos ganharam um ritmo acelerado, as especialidades se multiplicam e os problemas se abrem.

2. PROPOSIES E CONECTIVOSA Lgica Matemtica se ocupa da anlise de certas sentenas, quase sempre de contedo matemtico. Tambm estuda as relaes, conexes, entre estas sentenas. Comearemos definindo proposio. Chama-se proposio uma sentena (conjunto de palavras e smbolos) declarativa, que exprime um pensamento de sentido completo, e que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Os termos verdade e falsidade so chamados valores lgicos de uma proposio. Para efeito de classificar as proposies em verdadeiras ou falsas a Lgica Matemtica adota como regras fundamentais os dois seguintes princpios: -3-

I) Princpio da No Contradio - Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. II) Princpio do Terceiro Excludo - Toda proposio ou verdadeira ou falsa (isto , verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro). Pelos dois princpios anteriores temos que: Toda proposio tem um e somente um dos valores lgicos verdade ou falsidade. Por este motivo, chamamos a Lgica Matemtica de bivalente. As proposies sero indicadas por letras p, q, r, s, t, ... e o seu valor lgico por V(p) = V (ou 1) para uma proposio verdadeira e, V(p) = F (ou 0) para uma proposio falsa. Exemplos e contra-exemplos 1) p: Salvador a capital da Bahia 2) q: 2 + 3 < 5 3) r: O poeta Castro Alves era baiano. 4) x + 2 = 1 5) Como faz calor! 6) Que dia hoje? Como foi convencionado na definio, sentenas exclamativas ou interrogativas (exemplos 5 e 6) no so proposies. O exemplo 4 tambm no representa uma proposio, uma vez que no podemos atribuir um nico valor lgico (depende de x). As proposies podem ser classificadas em simples e compostas. Proposies simples - Aquelas que no contm nenhuma outra como parte integrante de si mesma. So tambm chamadas de atmicas . Proposies compostas - Aquelas formadas pela combinao de proposies simples. So tambm chamadas de moleculares .

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Como foi convencionado anteriormente as proposies simples sero indicadas por letras p, q, r, s, etc.. As proposies compostas sero denotadas por P, Q, R , S, etc.. ExemplosProposio

1) 2) 3) 4) 5)

2 mpar 3 mpar 2>0 Se ou 4 par e2 Q.

simples composta composta 4 divisvel por 2. 3 primo composta composta

3+1=5 ento se e somente se

3 mpar

As palavras ou smbolos usados para formar novas proposies a partir de proposies dadas so chamados de conectivos . Os conectivos fundamentais da Lgica Matemtica so: Conectivo Smbolo

1) no, no verdade que 2) e 3) ou 4) se ... ento 5) se e somente se

~

negao ou modificador conjuno disjuno condicional bicondicional

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Dadas as proposies simples p e q podemos com o uso dos conectivos formar novas proposies a partir de p e q. Assim, temos: 1) A negao de p 2) A conjuno de p e q 3) A disjuno de p e q 4) A condicional de p e q 5) A bicondicional de p e q ~p pq pq pq pq no p p e q p ou q se p ento q p se e somente se q

Exemplos 1) Dada as proposies: p: Jorge Amado escreveu o livro "Mar Morto" q: Rui Barbosa era baiano temos para as seguintes, as tradues para a linguagem corrente ~p: p ~q: Jorge Amado no escreveu o romance "Mar Morto". ou No verdade que Jorge Amado escreveu o romance "Mar Morto". Jorge Amado escreveu o livro "Mar Morto" e Rui Barbosa no era baiano ou Jorge Amado escreveu o romance "Mar Morto" e falso que Rui Barbosa era baiano. Jorge Amado no escreveu o romance "Mar Morto" ou Rui Barbosa era baiano. ou No verdade que Jorge Amado escreveu o romance "Mar Morto" ou Rui Barbosa era baiano.

~p q:

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~(pq):

No verdade que: Jorge Amado escreveu o romance "Mar Morto" ou Rui Barbosa era baiano.

2) Sendo p: 2 um nmero par e q: 6 mltiplo de 3, para as seguintes proposies temos as tradues para a linguagem simblica a) b) c) 2 no par ou 6 mltiplo de 3 Se 6 no mltiplo de 3 ento 2 par 2 no par, se e somente se, 6 mltiplo de 3 ~p q ~q p ~p q

3. OPERAES LGICAS COM PROPOSIES CLCULO PROPOSICIONALQuando trabalhamos com os conjuntos numricos, definimos operaes como a adio, multiplicao, etc. e estudamos as propriedades de tais operaes, mostrando que tais conjuntos tm uma estrutura algbrica. No caso da Lgica no trabalhamos com nmeros, mas com proposies. J vimos que a partir de proposies simples podemos "combin-las" mediante o uso de conectivos para formar novas proposies. O que queremos saber agora : conhecidos os valores lgicos das proposies simples, qual o valor lgico da proposio resultante obtida com os conectivos? Na verdade os conectivos funcionam como smbolos operatrios, tais como +, , , x. Precisamos portanto saber o "resultado" das operaes envolvendo conectivos e proposies da Lgica. Conhecendo-se os valores lgicos de duas proposies p e q, vamos definir os valores lgicos das proposies: ~p, p q, p q, pq, p q, que decorrem de situaes cotidianas, onde utilizamos o nosso bom senso, a nossa lgica. Nada mais natural que isto. 1) Negao -7-

Dada uma proposio p, a negao de p tem valor lgico verdade quando p falsa e valor lgico falsidade quando p verdadeira. Isto pode ser resumido na seguinte tabela, denominada tabela verdade.

p V F

~p F V

Exemplo p: 2 + 1 = 3 ~p : 2 + 1 3 V(p) = V V( ~p) = F

2) Conjuno Dadas as proposies p e q, a proposio p q verdadeira quando as duas proposies forem verdadeiras, e falsa se uma delas for falsa. Pode-se resumir o exposto na tabela a seguir.

p V V F

q V F V

pq V F F -8-

F Exemplos 1) p: 2 < 5 q: 2 +3 = 5 V( p q) = V

F

F

2) p: um nmero irracional q: 2 mpar V(p) = V e V(q) = F, logo V( p q) = F 3) Disjuno Dadas as proposies p e q a proposio p q verdadeira quando pelo menos uma das proposies for verdadeira, e falsa se as duas forem falsas. Resumindo,

p V V F F

q V F V F

pq V V V F

Exemplo p: 2 mpar q: 3 > 0 V ( p q) = V

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4) Condicional Dadas as proposies p e q , a proposio p q falsa quando p verdadeira e q falsa e verdadeira nos demais casos. Resumindo, pq V F V V

p V V F F

q V F V F

Exemplo p: 4 mpar q: 3 par Observaes 1) Notemos que, quando o valor lgico da proposio p falso, temos que a V ( p q) = V

condicional automaticamente verdadeira (no depende do valor lgico de q). Isto se justifica pelo fato de que se p falsa , qualquer concluso pode se tirar da, verdadeira ou falsa. Por exemplo, se supusermos que 1 = 2, podemos concluir que 0 = 1 e tambm que 3 = 3. Em outras palavras, se p falsa, tudo vlido como nos ditados populares: Se voc o dono da Coca-Cola ento eu sou o rei da Inglaterra. Isto d origem a proposies sem nexo, absurdas, tais como: Se 2 = 1 ento a lua de queijo, Se a Terra quadrada ento 2 + 2 = 4, que apesar de serem verdadeiras, de acordo com a regra estabelecida, no tem nenhum sentido prtico. - 10 -

2) Na condicional p q temos que: p chamado de antecedente e q chamado de consequente. 3) A condicional tambm pode ser lida como: "p somente se q", "q, se p", "p condio suficiente para q", "q condio necessria para p". 4) Uma condicional p q no afirma que o consequente se "deduz" do antecedente p, ou seja, pode no haver uma relao intrnseca entre p e q. O que a condicional afirma unicamente a relao entre os valores lgicos de p e q, de acordo com a definio dada, isto , a condicional p q uma operao, tambm chamada de "implicao material". Obviamente, na maioria dos casos, a Matemtica vai estar interessada em condicionais verdadeiras, que vo de fato significar que p "implica" q. Veremos melhor isto quando estudarmos implicao. 4) O exemplo a seguir pode nos ajudar a "justificar" o significado das condies necessria e suficiente. Se o pssaro canta ento est vivo. i) O pssaro cantar condio suficiente para ele estar vivo, ou seja, suficiente o pssaro cantar para garantirmos que ele est vivo. ii) O pssaro estar vivo condio necessria para ele cantar, ou seja, necessrio que o pssaro esteja vivo para que ele possa cantar. A partir da condicional p q podemos obter as seguintes proposies: i) q p a sua recproca ii) ~q ~p a sua contrapositiva Exemplos 1) Dada a condicional: "Se 4 par ento 4 divisvel por 2", temos i) a recproca: "Se 4 divisvel por 2 ento 4 par" ii) a contrapositiva: "Se 4 no divisvel por 2 ento 4 no par" - 11 -

2) Dada a condicional: Se

3 um nmero irracional ento 2 3 irracional, temos 3 irracional 3 no irracional

i) a recproca: "Se 2 3 irracional ento

ii) a contrapositiva: "Se 2 3 no irracional ento

5) Bicondicional Dadas as proposies p e q a proposio p q verdadeira quando p e q tiverem os mesmos valores lgicos e falsa nos demais casos. Resumindo, pq V F F V

p V V F F

q V F V F

Exemplo p: 3 mpar q: 4 divisivel por 2 V( p q) = V

Observaes 1) A bicondicional tambm pode ser interpretada como a conjuno de duas condicionais: (p q) ( q p) 2) A bicondicional tambm pode ser lida como i) p condio necessria e suficiente para q. - 12 -

ii) q condio necessria e suficiente para p. As definies que no so puramente nominais, so condies necessrias e suficientes. Por exemplo, ABC um tringulo retngulo se e somente se ABC tm um ngulo reto. Observao muito comum nos livros de Matemtica, definies dadas por uma condicional como, por exemplo: um tringulo retngulo se tem um ngulo reto. Entretanto, deve-se entender que a definio sempre uma bicondicional.

4. CONSTRUO DE TABELAS -VERDADECada proposio simples p tem dois valores: V ou F, que se excluem. Da, para n proposies simplesp1, p2 , ... p n , h tantas possibilidades quantos so os

arranjos n a n, com repetio de 2 elementos (F e V), isto , A2,n = 2n. Segue-se que o nmero de linhas da tabela-verdade 2n. Exemplo Construo da tabela-verdade das seguintes proposies: 1) ~(p q) ~p ~q p V V F F q V F V F pq V V V F ~(p q) F F F V ~p F F V V ~q F V F V ~p ~q F F F V ~(p q) ~p ~q V V V V

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2) ( p q) ( ~p ~q) p V V F F q V F V F pq V V V F ~p F F V V ~q F V F V ~p ~q F F F V (pq)) (pq) F F F F

3) ( p ~q) ( r p)

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

~q F F V V F F V V

p ~q F F V V F F F F

rp V F V F F F F F

(pq)(rp) F V V F V V V V

Uma tautologia uma proposio composta cujo valor lgico a verdade quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies componentes. Se P uma tautologia, P tambm chamada de proposio tautolgica ou logicamente verdadeira. Uma tautologia em geral indicada por V, T ou 1. Exemplo P: ~(p q) ~p ~q - 14 -

Uma contradio uma proposio composta cujo valor lgico a falsidade quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies componentes. Se P uma contradio, P tambm chamada de proposio contra-vlida ou logicamente falsa. Uma contradio em geral indicada por F , C ou 0. Exemplo Q: ( p q) ( ~p ~q) Observaes sobre o uso de parntesis Para evitar ambiguidades, em geral, colocamos parntesis na simbologia das proposies compostas. Assim, por exemplo, a proposio P: p q r deve ser lida (p q) r, ou seja na ordem de aparecimento dos conectivos. Portanto, a supresso de parntesis deve ocorrer por meio de convenes. Optaremos, pela seguinte ordem de precedncia dos conectivos: 1) ~ ; Exemplo A proposio p q r ~r s, deve ser lida como ((p q) r) ((~r) s). 2) , (na ordem de aparecimento); 3) ; 4) .

5. EQUIVALNCIADizemos que uma proposio P logicamente equivalente ou, simplesmente, equivalente a uma proposio composta Q se a bicondicional P Q tautolgica. Usamos a notao P Q Da definio temos que se duas proposies so equivalentes ento as suas tabelasverdade so idnticas.

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Observao Os smbolos e so distintos! indica uma operao lgica. estabelece que P Q tautolgica. No aparecem V(P) = V e V(Q) = F e

vice-versa. Exemplos 1) ~( ~p) p 2) Se P e Q so ambas tautolgicas ou ambas contradies ento P Q. 3) ~(p q) ~p ~q 4) ~(p q) ~p ~q 5) p q ~p q 6) p q ~q ~p 7) ~(p q) p ~q 8) p q (p q) (q p) 9) ~(p q) (p ~q) (q ~p) 10) p ~p F 11) ) p ~p V Todas as equivalncias exemplificadas podem ser demonstradas pela construo das tabelas-verdade, ou utilizando o bom senso, em vrios dos casos anteriores. Por serem muito utilizadas em Matemtica, destacamos as seguintes equivalncias: i) p q ~q ~p. A condicional e sua contrapositiva so equivalentes; nesta equivalncia se baseia o mtodo de demonstrao por absurdo. ii) p q (p q) (q p)

6. LGEBRA DAS PROPOSIES. PROPRIEDADES DAS OPERAES- 16 -

As operaes lgicas gozam das seguintes propriedades que podem ser verificadas facilmente. 1. Dupla Negao 2. Idempotente ~(~p) pp pp 3. Comutativa pq pq 4. Associativa (p q) r (p q) r 5. Elemento Neutro pV pF 6. Elemento Absorvente p F pV 7. Distributiva p (q r) p (q r) 8. Absoro p (p q) p (p q) 9. Leis de De Morgan ~(p q) ~(p q) 10. Negao da Condicional 11. Negao da Bicondicional ~( p q) ~(p q) p p p qp qp p (q r) p (q r) p p F V (p q) (p r) (p q) (p r) p p ~p ~q ~p ~q p ~q (p ~q) (q ~p)

Observao Todas as equivalncias continuam sendo vlidas quando substituimos as proposies simples por proposies compostas.

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Exemplo P (Q R) (P Q) (P R)

7. MTODO DEDUTIVOA maioria das equivalncias foram demonstradas at aqui pelo mtodo das tabelas-verdade. Veremos agora a demonstrao de equivalncias por um mtodo mais eficiente, denominado mtodo dedutivo. No emprego do mtodo dedutivo desempenham papis importantes as equivalncias relativas lgebra das proposies, que subsistem quando as proposies simples so substitudas por proposies compostas. Exemplos 1) p q p ~q F (Reduo ao absurdo) D] (p ~q) F ~ (p ~q) F ~(p ~q) ~p q p q 2) p q p q q D] p q q ~ (p q) q (~ p ~ q) q (~ p q) ( ~ q q) (~ p q) V (~ p q) p q O exemplo a seguir exemplifica como as equivalncias so utilizadas nas demonstraes em Matemtica. Considere o seguinte Teorema: Dadas trs retas distintas a, b, c, do plano, se a // b e b // c ento a // c. Provaremos usando reduo ao absurdo, isto , a // b e b // c e a // c F.

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D] i) a // c a c ii) a c e a // b e b // c a = c (axioma das paralelas) iii) a = c , uma contradio, pois por hiptese as retas so distintas. Exerccios 1) D a negao das seguintes proposies: A) Irei praia e no irei ao cinema B) suficiente cantar para estar vivo. C) suficiente ser divisvel por 2 para ser um nmero par. D) necessrio ser um nmero mpar para ser primo ou ser divisvel por 3 ) ) B e C so ngulos agudos ento E) Se um tringulo ABC retngulo e ) ) B + C = 90o . 2) Utilizando as propriedades operatrias, simplifique as seguintes proposies: A) ( p ( p q) ) ~( p q) B) ( p ~(q r)) (p ~(p ~q)) ( p ~(p ~r)) C) ~p ~(p q) 3) Mostre, sem utilizar tabela-verdade (mtodo dedutivo) as seguintes equivalncias: A) ~p p p B) (p q) q p q C) (p q) (p r) p (r q) D) p (q r ) ( p ~q ) r

8. CIRCUITOS DE CHAVEAMENTO- 19 -

Os ltimos dez anos vm presenciando um aumento acelerado da aplicao da Matemtica, principalmente da lgebra, no entendimento e soluo dos problemas das Cincias da Computao. As estruturas algbricas esto sendo, cada vez mais, empregadas na modelagem e controle de circuitos eletrnicos e d sistemas de informaes. importante, portanto, que a lgebra aplicada computao, em especial a Lgica venha sendo introduzida nas escolas de 2o e 3o graus . Vamos exemplificar, atravs dos circuitos, como a estrutura algbrica da Lgica pode ser til no desenvolvimento da eletrnica. O modelo da aplicao que mostraremos pode ser desenvolvido e estendido para outras reas. Ele usado nos estudo de automao e leva a simplificaes que permitem reduo de custos e economia de tempo em projetos com os quais possa relacionar-se.

Circuito com um interruptor Chamamos interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito eltrico que pode assumir um dos dois estados: aberto ou fechado Designamos o interruptor pela letra p. Quando o interruptor est aberto a corrente no atravessa o circuito, atribumos o valor 0 para p e indicamos V(p) = 0

A

p

B

Quando o interruptor est fechado a corrente atravessa o circuito, atribumos o valor 1 para p e indicamos - 20 -

V(p) = 1 A p B

Circuito com dois interruptores 1. Circuito em srie A B

p

q

A corrente s atravessa tabela a seguir:

este circuito quando os dois interruptores esto

fechados. Portanto este circuito pode ser representado por F = F (p,q) que satisfaz a

p 1 1 0 0 Observe que F (p,q) = p q 2. Circuito em paralelo

q 1 0 1 0

F 1 0 0 0

p A q B

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A corrente atravessa este circuito quando pelo menos um dos interruptores est fechado. Este circuito pode ser representado pela funo F= F(p,q) que satisfaz a tabela a seguir: p 1 1 0 0 Observe que F (p,q) = p q. So vlidas as propriedades: 1.Comutativa 2. Associativa : Nos dois esquemas, a corrente passa pelo circuito, quando pelos menos um dos interruptores est fechado. p A q r (p q) r = p (q r) B A p q r q 1 0 1 0 F 1 1 1 0

B

Nos dois esquemas a seguir, a corrente s atravessa o circuito quando p, q e r esto fechados. A B A B

p

q

r

p

q

r

p(qr) = (pq) r

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3. Distributiva Nas duas situaes, a corrente passa quando p estiver fechado ou q e r estiverem fechados. Nos outros casos, a corrente no atravessa os circuitos.

A q

p r

B

A

p q

p r

B

p(qr) = (pq) (pr)

At agora trabalhamos com circuitos forma a) quando um liga, o outro desliga e reciprocamente

em que os interruptores eram

independentes; porm dois ou mais interruptores podem estar conectados da seguinte

b) quando um liga, o outro liga. Quando um desliga, o outro tambm faz o mesmo. No caso a) denotaremos um interruptor por p e outro por p, no caso b)

denotaremos os dois interruptores pela mesma letra. O caso a) comporta-se como a operao complementar. Usando mais interruptores, podemos obter vrios circuitos mais complicados, como por exemplo:

A

p r q

q

r p

B

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O circuito acima pode ser representado pela funo F(p,q,r) = (pqr)[(rq) p] p 1 1 1 0 1 0 0 0 q 1 1 0 1 0 1 0 0 r 1 0 1 1 0 0 1 0 pqr 0 0 1 0 0 0 0 0 (rq) p 0 0 0 1 0 1 1 0 F 0 0 1 1 0 1 1 0

Logo, a corrente passa atravs do circuito nos seguintes casos: a) p e r esto fechados e q est aberto ( p q r) b) q e r esto fechados e p est aberto (p q r) c ) q fechado , p e r esto abertos (p q r) d) r est fechado, p e q esto abertos (p q r) Como estamos interessados em circuitos que passem corrente, podemos simplificar o circuito acima considerando apenas as linhas da tabela anterior nas quais F=1 Assim, obtemos: F = (pqr) (pqr) ((pqr) ((pqr) = [(pq) (r(r)] ( [(qr) ) ((p(p)]= (pq) ((qr) Que pode ser representado pelo esquema.

A q

p r

q

B

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Observao Podemos tambm simplificar circuitos, usando equivalncias conhecidas.

9. IMPLICAO LGICADiz-se que uma proposio P implica logicamente ou, simplesmente, implica uma proposio Q, se Q verdadeira sempre que P for verdadeira. Indicamos Q. Como consequncia imediata da definio temos que P Q significa que a condicional P Q tautolgica, isto , P Q V De fato. Pela definio, se P Q uma tautologia. Observao Os smbolos e so distintos! indica uma operao lgica estabelece que a condicional P Q tautolgica. No ocorre portanto V(P) = temos que P Q , ento no ocorre a P

situao V(P) = V e V(Q) = F que o nico caso em que a condicional falsa. Logo,

V e V(Q) = F. Para demonstrar uma implicao, P Q, podemos tambm utilizar o mtodo dedutivo, que neste caso consiste em mostrar que P Q V. Exemplos 1) O pssaro canta o pssaro est vivo. 2) x par x divisvel por 2 3) x um nmero primo x = 2 ou x mpar. 4) p q p q - 25 -

5) (x 0 x = y) (x y) x = 0 6) (x = y x < 4) ( x 4) x = y Algumas implicaes lgicas se destacam por terem papel importante nas demonstraes matemticas. Tais implicaes so chamadas de Regras de Inferncia. Vejamos alguns exemplos. 1. Regra da Adio ppq qpq 2. Regra da Simplificao pqp pqq 3. Regra do Modus Ponens (p q) p q 4. Regra do Modus Tollens (p q) ~q ~p 5. Regra do Silogismo (S.H) (M.T) (M.P) (SIMP) (A.D.)

Hipottico (p q) (q r) p r

H teoremas em Matemtica que so da forma P Q, isto , uma condicional P Q tautolgica, onde P chamada de hiptese e Q a tese. Ento, tudo que foi dito anteriomente vale para teoremas desse tipo. Assim se P Q um teorema, ento, - 26 -

se Q P verdade, temos que a recproca do teorema verdadeira; se P Q um teorema, ~Q ~ P um teorema (contrapositiva). Exerccio Escreva a recproca e a contrapositiva das proposies, e verifique se a recproca verdadeira. a) Se o tringulo ABC retngulo em A ento o tringulo tem dois ngulos agudos, ) ) B e C. b) Se dois ngulos A e B tem lados paralelos ento A e B so congruentes.

10. A LGICA NA TEORIA DOS CONJUNTOSVejamos a utilizao da Lgica na Matemtica dando exemplos na Teoria dos Conjuntos. Vamos supor conhecidos os conceitos primitivos de conjunto, elemento, a relao de pertinncia entre elemento e conjunto, o conjunto-universo, conjunto vazio etc.. Usamos o smbolo a A para indicar que o elemento a pertence ao conjunto A. Usamos o smbolo a A para indicar que o elemento a no pertence ao conjunto A. Dizemos que um conjunto A est contido em um conjunto B ou que subconjunto de B e indicamos A B se e somente se todo elemento que pertencer a A pertencer tambm a B. Em linguagem simblica temos: A B (x A x B) Assim, se queremos mostrar que um conjunto A est contido em um conjunto B, devemos mostrar a implicao x A x B, isto , assumindo que x A verdade, mostrar que x B verdade. Dados os conjuntos A e B temos que A = B se e somente se A B e B A. A conjuno e a disjuno so operaes lgicas usadas nas definies de unio e interseo entre dois conjuntos A e B. Sejam A e B dois conjuntos dados, subconjuntos de um determinado universo U. Definimos: - 27 -

1) A unio de A e B como sendo o conjunto A B = { x U; x A x B } 2) A interseco de A e B como sendo o conjunto A B = { x U; x A x B } Dados os conjuntos A e B chama-se diferena entre os conjuntos A e B e indicase A B o conjunto de todos os elementos que pertencem a A e no pertencem a B. A B = { x U; x A x B }. Quando A B, a diferena B A chamada de complementar de A em relao a B e indica-seCBA =

B A.

No caso de B ser o conjunto universo indicamos

simplesmente CA , A ou ainda A'. Pelas definies vistas vemos que as operaes lgicas esto intimamente relacionadas com as operaes entre conjuntos. Podemos estabelecer as relaes: Conjuno x interseo Disjuno x unio Condicional x relao de incluso Bicondicional x igualdade Negao x complementar Contradio x conjunto vazio Tautologia x conjunto universo , , , , = ~, C F, V, U

Consideremos as seguintes propriedades relativas a conjuntos Propriedades: Dados A, B e C subconjuntos quaisquer de U temos, 1. A 2. a) A AB 3. a) AA = A 5. a) A = A 6. a) A U = U b) A B A b) AA = A b) A = b) A U = A - 28 -

4. a) AB = BA b) AB = BA

7.a) (AB) C = A (BC) 8. a) A(BC) = (A B)(AC)9). A = A 10. a) A B = A B 11. a) A A = U 12. a) = U

b) (AB) C = A(BC) b) A (BC) = (AB) (AC)

b) A B = A B b) A A = b) U =

Todas essas propriedades so demonstradas facilmente, utilizando a lgica e as relaes que j estabelecemos. Demonstraremos algumas e deixaremos o restante como tarefa para o leitor. D] 1. Devemos mostrar que x x A. Temos: Para todo x U a proposio "x " falsa e portanto a proposio "x x A" verdadeira. 2. a) Devemos mostrar que "x A x A B". Segue da implicao p p q (adio ) que "x A x A ou x B". Portanto "x A x A B" 8. a) Devemos mostrar que "x A(BC) x (A B)(AC)" ou seja, que . "x A (x B x C) (x A x B) ( x A x C). Esta equivalncia segue da propriedade p (q r) (p q) (p r).

11. ARGUMENTOSUm dos problemas centrais da Lgica a investigao do processo de raciocnio. Em toda cincia dedutiva um certo conjunto de proposies aceito sem demonstrao (axiomas) e, deste conjunto outras proposies so derivadas por raciocnio lgico.

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Nosso objetivo agora investigar os processos que sero aceitos como vlidos na derivao de uma proposio chamada de concluso, a partir de proposies dadas chamadas premissas. Exemplos 1) P1 : Se chove ento fica nublado. P2 : Choveu. Concluso - Q: Est nublado. 2) P1: Se fizer sol ento irei praia. P2: No fui praia. Concluso - Q: No fez sol. 3) P1: Se eu fosse cantora ento seria artista. P2: No sou cantora. Concluso - Q: No sou artista. 4) P1: Todo professor de Matemtica licenciado em Matemtica.. P2: Todos os cursistas do Pr-Cincias so professores de Matemtica. Concluso - Q: Todos os cursistas so licenciados em Matemtica. Analisando os exemplos 1), 2) e 4) acima, podemos observar que as concluses so deduzidas a partir das premissas assumindo a veracidade das mesmas, o mesmo no acontecendo com o exemplo 3). Cabe observar que uma concluso pode ser deduzida a partir de sentenas falsas. Isto pode conduzir a concluses no necessariamente verdadeiras, como no Exemplo 4 acima. Como veremos a seguir, a lgica est interessada em verificar se a concluso decorre das premissas, assumindo que as mesmas so verdadeiras. - 30 -

A verdade ou falsidade das asseres isoladas da competncia dos especialistas. Daremos a seguir o conceito de argumento. Definio: Sejam P1, P2, P3 ... Pn e Q proposies quaisquer. Chama-se argumento toda afirmao de que as proposies P1, P2, P3, ... Pn tm como consequncia ou acarretam uma proposio final Q. P1, P2, P3, ... Pn so chamadas de premissas e Q de concluso. Usamos a notao maneiras: i) P1, P2, P3, ... Pn acarretam Q ii) Q decorre de P1, P2, P3, ... Pn iii) Q se deduz de P1 , P2 , ..., Pn . Observao: Um argumento que contm duas premissas chamado de silogismo. Definio: Um argumento P1, P2, P3, ... Pn | Q diz-se vlido se, e somente se, a concluso Q verdadeira sempre que as premissas P1, P2, P3, ... Pn forem todas consideradas verdadeiras. Um argumento que no vlido diz-se um sofisma. Teorema (Critrio de Validade de um Argumento) Um argumento P1, P2, P3, ... Pn | Q vlido P1 P2 P3 ... Pn Q uma tautologia P1 P2 P3 ... Pn Q . so todas verdadeiras se e somente se a D] As premissas P1, P2, P3, ... Pn P1, P2, P3, ... Pn | Q, que podem ser lidas das seguintes

proposio P1 P2 P3 ... Pn verdadeira. Logo, o argumento P1, P2, P3, ... Pn | Q vlido se e somente se a concluso Q verdadeira sempre que P1 P2 P3 ... Pn verdadeira, ou seja, se e somente se a proposio

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P1 P2 P3 ... Pn implica logicamente a concluso Q,

o que equivalente a

afirmar que a condicional P1 P2 P3 ... Pn Q tautolgica. Exemplo P1: Se eu fosse cantora ento seria artista. P2: No sou cantora. Concluso - Q: No sou artista. P1 , P2 | Q O argumento no vlido, pois podemos ter a situao V(Q) = F e V(P1 P2 ) = V. De fato, Fernanda Montenegro artista mas no cantora.

12.

MTODOS

DE

DETERMINAO

DA

VALIDADE

DE

UM

ARGUMENTOTabela-Verdade Dado o argumento P1, P2, P3, ... Pn | Q a este argumento corresponde a condicional P1 P2 P3 ... Pn Q chamada de condicional associada ao argumento dado, cujo antecedente a conjuno das premissas e o consequente a concluso. Para testarmos a validade do argumento temos, pelo critrio de validade, que verificar se a condicional P1 P2 P3 ... Pn Q tautolgica. A tabela-verdade portanto o mtodo mais geral para se testar a validade de um argumento.

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Exemplos 1) P1, P2, P3 | Q P1: Joo vai ao cinema ou vai ao clube. P2: Se vai ao clube, ento telefona. P3: Joo no telefonou. Q: Joo foi ao cinema. Consideremos: p: Joo vai ao cinema, q: Joo vai ao clube, r: Joo telefona. O argumento reescrito em linguagem simblica fica: p q, q r, ~r | p Usando o critrio de validade verificamos, pela tabela-verdade, que a condicional ( p q) ( q r) (~r) p tautolgica. Logo, o argumento vlido

(1) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F pq V V V V V V F F

(2) qr V F V V V F V V

(3) ~r F V F V F V F V

(4) (1) (2)(3) F F F V F F F F (4) p V V V V V V V V

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2) P1, P2 | Q P1: Se eu fosse cantora ento seria artista. P2: No sou cantora Q: No sou artista Consideremos: p: Sou cantora, q: Sou artista. O argumento em linguagem simblica fica: p q, ~p | ~q Construindo a tabela-verdade da condicional (p q) ( ~p ) ~q obtemos: (1) p V V F F q V F V F pq V F V V (2) ~p F F V V (3) (1) (2) F F V V ~q F V F V (3) ~q V V F V

Vemos pela tabela que a condicional no tautolgica, logo, a condicional um sofisma! Analisando a quarta linha da tabela verdade observamos que os valores lgicos V(p) = F, V(q) = V(r) = V nos mostram a situao em que temos V(P1 P2) = V e V(Q) = F. Isto mostra a no-validade do argumento. De uma maneira geral mostrar a no-validade de um argumento consiste em encontrar uma atribuio de valores lgicos s proposies simples, componentes do argumento, que torne todas as premissas verdadeiras e a concluso falsa. O mtodo da tabela-verdade permite demonstrar ou testar a validade de qualquer argumento, mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso a medida que - 34 -

aumenta o nmero de proposies simples componentes dos argumentos. Assim, vamos buscar outros mtodos mais eficientes para a anlise da validade de um argumento. Demonstrao Indireta Um outro mtodo utilizado para se mostrar a validade, ou no, de um argumento P1, P2, P3, ... Pn | Q o chamado mtodo da demonstrao indireta, ou demonstrao por absurdo, que consiste em negar a concluso, isto , supor V(~Q) =V e deduzir logicamente uma contradio qualquer, ou seja a negao de alguma premissa. Este mtodo est baseado na equivalncia entre a condicional e a sua contrapositiva, isto , P Q ~Q ~P . Assim, P1 P2 P3 ... Pn Q ~Q ~ (P1 P2 P3 ... Pn ) ~Q ~P1 ~P2 ~ P3 ... ~ Pn Uma vez que as premissas so admitidas como verdadeiras, chegar negao de uma delas uma contradio. Exemplo Use o mtodo da demonstrao indireta para analisar a validade dos seguintes argumentos. 1) P1, P2, P3 | Q P1: Joo vai ao cinema ou vai ao clube. P2: Se vai ao clube, ento telefona. P3: Joo no telefonou. Q: Joo foi ao cinema. Supondo que Joo no foi ao cinema, ento por P1 ele vai ao clube. Segue de P2 que Joo telefonou, o que contradiz P3. Logo o argumento vlido. Esquematizando temos: p: Joo vai ao cinema, q: Joo vai ao clube, r: Joo telefona - 35 -

O argumento reescrito em linguagem simblica fica: p q, q r, ~r | p

P1 : p q P2: q r P3 : ~ r Q: p Vamos assumir que V(Q) = V(p) = F. De P1 temos que V(q) = V. Com este valor para q segue de P2 que V(r) = V, o que contradiz P3 . Logo, o argumento vlido. 2) P1: p qr P2 : p q P3 : q r p Q: p r Suponhamos V(Q) =V(p r) = F. Temos duas alternativas: a) V(p) = F; b)V(r) =F Analisando separadamente temos: a) V(p) = F Neste caso temos uma contradio em P2. b) V(r) = F Temos por P2 que V(p) = V(q) = V. Com estes valores temos V(P1) = V(P2) = V(P3) = V e V(Q)= F. De b) podemos concluir que o argumento um sofisma. 3) P1: ~p ~q P2 : r s p

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P3: ~s q P4 : ~ r Q: ~( r s)

Suponhamos V(Q) = V( ~( r s) ) = F V( ~r ~s ) = F. Temos duas alternativas: a) V(r) = V Este caso contradiz P4. b) V( s) = V Se V(s) = V temos por P3 que V(q) = V. Ento V(p) = F em P1, o que contradiz P2. De a) e b) podemos concluir que o argumento vlido. 4) P1: p q r P2:r s P3: q ~p Q: ~p q Suponhamos V(Q) = V(~p q) = F. Temos duas alternativas: a) V(p) = V ou b) V(q) = F. a) V(p) = V: Se V(p) = V temos que V(q) = V, por P3. Isto acarreta V(P1) = V, independentemente do valor de r. Basta portanto atribuirmos os mesmos valores a r e s para obtermos V(P2) = V . Temos assim, valores lgicos para p, q, r e s tais que todas as premissas so verdadeiras e a concluso falsa. Podemos portanto concluir que o argumento no vlido sem precisar analisar a outra alternativa. Dos exemplos analisados podemos tirar as seguintes concluses:

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1. Para analisarmos a validade de um argumento pelo mtodo da demonstrao indireta , negamos a concluso. Se chegarmos negao de uma das premissas ento o argumento vlido. Se conseguirmos valores lgicos paras proposies componentes que tornam as premissas verdadeiras e a concluso falsa ento o argumento um sofisma. 2. Quando a negao de Q nos leva a mais de uma alternativa para ser analisada, temos que analisar todas para concluir que o argumento vlido. Se ao analisarmos uma das alternativas encontramos valores que tornam as premissas verdadeiras e a concluso falsa j podemos garantir que o argumento um sofisma e no precisamos analisar as outras situaes. 3. A prova da no validade de um argumento consiste em apresentar valores para as proposies que tornem as premissas verdadeiras e a concluso falsa. bvio que toda vez que for possvel encontrar essa atribuio de valores sem utilizar tabela-verdade evita-se um bom trabalho. O mtodo da demonstrao indireta nos permite chegar a esses valores. Vejamos alguns exemplos de como o mtodo da demonstrao indireta est presente nas demonstraes matemticas. Vamos mais uma vez utilizar a Teoria dos Conjuntos para a nossa ilustrao. 1) Mostre que (A B) B = D] Suponhamos, por absurdo, que (A B) B . Ento existe um elemento x tal que x A B e x B o que equivalente a afirmar que x A e x B e x B, o que uma contradio! 2) Mostre que: Se A B, C D e B D = ento A C = . Nossas premissas neste caso so: - 38 -

P1 :A B P2 :C D P3 :B D = e a concluso : Q:AC= D] Vamos negar a concluso, isto , supor A C . Assumindo as premissas verdadeiras vamos usar "argumentos" que nos levem a uma contradio. Se A C , temos que existe um elemento x tal que x A e x C. De P1 e P2 conclumos que x B e x D. Mas, isto contradiz a premissa P3.

14. SENTENAS ABERTASO clculo proposicional insuficiente seguintes exemplos: a) Existe tringulo retngulo. b) Quaisquer que sejam os pontos A e B, existe uma reta a tal que A, B a. O teorema a) trata-se de teorema existncia, que tem um quantificador existencial e o teorema b) apresenta um quantificador universal. Por este motivo faz-se necessrio o estudo do clculo de predicados (proposies quantificadas). H expresses s quais no podemos atribuir os valores lgicos "falso" ou "verdadeiro", como, por exemplo: 1. x + 1 = 0 2. x + y = 1 3. x2 + y2 + z2 = 0 A depender do valor atribudo a x em 1), a x e y em 2) e a x, y e z em 3), as expresses acima passam a ter um valor lgico V ou F, passando a ser proposies. Chama-se sentena aberta com uma varivel em um conjunto A, uma expresso que indicaremos por p(x), tal que p(a) verdadeira ou falsa para todo elemento a - 39 para a Matemtica. Considere os

pertencente a A. A sentena aberta tambm chamada de funo proposicional, o conjunto A de conjunto-universo e o conjunto dos elementos de A tais que p(a) verdade chamado de conjunto-verdade que indicaremos por Vp Vp = { a A; V(p(a)) = V } Exemplos 1. Determinemos o conjunto-verdade das seguintes sentenas abertas nos conjuntos indicados. a) p(x): 2x 1 = 3, b) p(x): x2 1 = 0, c) p(x): x > 3, em N em Z em A = { 1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Vp = {2} Vp = { 1, 1}

Vp = {4, 5, 6, 7}

Operaes Lgicas com Sentenas Abertas As operaes lgicas sobre proposies se estendem naturalmente as sentenas abertas. Assim, dadas as sentenas p(x) e q(x) podemos obter novas sentenas como: 1) ~p(x) 2) p(x) q(x) 3) p(x) q(x) 4) p(x) q(x) 5) p(x) q(x) Admite-se todas as regras e propriedades dos conectivos para estes casos. Exemplos

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Determinemos o conjunto verdade em A = { 1, 0, 1 } para cada uma das seguintes sentenas abertas. 1) p(x): x + 1 = 1, logo Vp = {0} ~p(x) : x + 1 1 , V p = {-1, 1}. Observe que V p = A - Vp. Generalizando, se p(x) uma sentena aberta em A ento V p = A - Vp. 2) p(x) q(x): x + 1 = 1 x 1

Vp q = {0}Generalizando, se p(x) e q(x) so sentenas abertas em A ento Vp q = Vp Vq 3) p(x) q(x) : x2 = 1 x + 1 = 1Vp q = { 1, 0, 1}

Generalizando, se p(x) e q(x) so sentenas abertas em A ento Vp q = Vp Vq. 4) p(x) q(x): x + 1 A x + 1 = 0 Lembremos que p q p q, logo Vp q = {-1,1}. Generalizando, se p(x) e q(x) so sentenas abertas em A ento Vp q = Vp Vq 5) p(x) q(x): x par x 0 Lembremos que p q (p q) (q p), assim V p q = {-1,0}. Generalizando, se p(x) e q(x) so sentenas abertas em A temos V p q = Vp q Vq p

15. QUANTIFICADORES

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Podemos transformar sentenas abertas

em proposies usando expresses

como para todo, qualquer que seja, existe um, etc. Exemplos 1) Consideremos a sentena aberta p(x): x + 1 = 1. A partir desta sentena podemos formar as seguintes proposies: Existe x pertencente a Z; x + 1 = 1 Para todo x pertencente a Z, x + 1 = 1 2) Existe x N tal que 3) Para todo x Q,

x Z

x R

4) Qualquer que seja o nmero natural ele inteiro 5) Existe um nmero primo par. Notamos as expresses qualquer que seja, existe, para todo. Estas expresses chamam-se quantificadores. importante notar que uma sentena aberta com todas as variveis quantificadas uma proposio, pois ela assume um dos valores F ou V.

Quantificador Universal Seja p(x) uma sentena aberta em um conjunto A e seja Vp o seu conjuntoverdade. Considere as seguintes proposies: Qualquer que seja x A, p(x), ou - 42 -

Para todo x A, p(x). Simbolicamente, temos x , x A, p(x). Se Vp = A ento a proposio x , x A, p(x) verdadeira. Se Vp A ento a proposio x , x A, p(x) falsa. Em outras palavras, dada a sentena aberta p(x) em A, o smbolo referido varivel x representa uma operao lgica que transforma a sentena aberta p(x) numa proposio. A esta operao lgica d-se o nome de quantificao universal e ao respectivo smbolo de quantificador universal.

Exemplos 1) x N; x 0 2) x Q; (V)

x R (F)

Quantificador existencial Seja p(x) uma sentena aberta em um conjunto A e seja Vp o seu conjunto-verdade. Considere a seguinte proposio: Existe x A, p(x), ou Existe pelo menos um x A, p(x). Simbolicamente, temos x , x A, p(x). Se Vp ento a proposio x , x A, p(x) verdadeira. Se Vp = ento a proposio x , x A, p(x) falsa. Em outras palavras, dada a sentena aberta p(x) em A, o smbolo referido varivel x representa uma operao lgica que transforma a sentena aberta p(x) numa proposio. A esta operao lgica d-se o nome de quantificao existencial e ao respectivo smbolo de quantificador existencial. - 43 -

Exemplos x N; x + 1 < 3 1) x Z; 2x + 1 = 0 (V) (F)

Negao de proposies com quantificadores Os quantificadores existencial e universal podem ser precedidos do smbolo de negao ( ~ ). Por exemplo, negar a proposio Todo nmero primo mpar afirmar Nem todo nmero primo mpar ou Existe um nmero primo que no mpar. Simbolicamente: ~( x primo, x mpar ) x primo, x no mpar. De uma maneira geral temos: ~ ( x; p(x) ) x; ~ p(x) ~ ( x; p(x) ) x; ~ p(x) Mostrar que uma proposio do tipo x A; p(x) falsa mostrar que x o A; V( p( x o ) ) = F. Um elemento x o de A que satisfaz a condio acima dito um contra-exemplo.

16. ARGUMENTOS E DIAGRAMAS DE VENNA teoria dos conjuntos bastante til na verificao da validade de determinados argumentos, quando as premissas envolvem proposies quantificadas. Consideremos o seguinte exemplo: P1: Bebs so ilgicos. P2: Ningum desprezado se pode domar crocodilos. P3: Pessoas ilgicas so desprezadas. Q: Bebs no podem domar crocodilos. Consideremos: - 44 -

B = Conjunto dos bebs I = Conjunto das pessoas ilgicas D = Conjunto das pessoas desprezadas C = Conjunto dos domadores de crocodilos

Das premissas podemos concluir que: 1) B I (P1) 2) D C = (P2) 3) I D (P3)

Vejamos o diagrama correspondente: D B I C

O diagrama nos mostra que a concluso vlida Exemplo Verifique a validade dos seguintes argumentos atravs de diagramas de Venn. 1. P1 : Alguns estudantes so preguiosos. P2 : Todos os homens so preguiosos Q : Alguns estudantes so homens Sejam E = conjunto dos estudantes H = conjunto dos homens P = conjunto dos preguiosos Temos atravs das premissas que: - 45 -

1) E P (P1) e a concluso falsa. P H

2) H P (P2)

O diagrama abaixo nos mostra uma situao em que as premissas so verdadeiras E

O argumento no vlido, apesar de podermos construir tambm um diagrama onde a concluso verdadeira. P H E

Para concluirmos a validade do argumento a representao do diagrama no pode deixar dvida quanto a concluso. 2) P1 : Todo nmero primo mpar (Pr I)

P2 : Nenhum nmero mpar par ( I P = ) Q : Existe um nmero primo que par. ( Pr P ) I Pr O argumento no vlido apesar da proposio Q ser verdadeira. Isto porque a concluso no decorre das premissas. 3) P1 : Todos os advogados so ricos. (A R) P2 : Poetas so temperamentais ( P T) P3 : Nenhuma pessoa temperamental rica (T R = ) - 46 P

Q : Nenhum advogado poeta. (A P = ) R A P A concluso vlida. T

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