A Lub Mate Matic a Finance Ira

ALUB CONCURSOS

APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA CURSO PREPARATIVO PARA CONCURSOS

Prof. Marcelo Rux [email protected]

BRASÍLIA/DF 2º Semestre de

2011

Página(s) Pag. 1

APOSTILA DE

MATEMÁTICA FINANCEIRA

“SINAL POSITIVO SIGNIFICA RECEBER

SINAL NEGATIVO PAGAR OU DEVER”

(Marcelo Rux).

ALUB – Matemática Financeira – Prof. Marcelo Rux 2 | P Á G I N A

SUMÁRIO UNIDADE 1 – Fundamentos de matemática financeira

15

UNIDADE 2 – Juros simples 25 UNIDADE 3 – Descontos simples 43 UNIDADE 4 – Juros compostos 55 UNIDADE 5 – Taxas de juros 69 UNIDADE 6 – Descontos compostos 79 UNIDADE 7 – Equivalência de capitais a juros compostos

93

UNIDADE 8 – Seqüências de capitais 105 UNIDADE 9 – Depreciação 127 UNIDADE 10 – Amortização de empréstimos 141 UNIDADE 11 – Inflação e correção monetária 157 UNIDADE 12 – Operações práticas com o uso da calculadora HP-12C

169

Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação

193

SUMÁRIO ............................................................................................ 2

UNIDADE 1 ....................................................................................... 20

Fundamentos de matemática financeira ...................................... 20

Objetivos de aprendizagem ........................................................ 20

Seções de estudo ....................................................................... 20

Para início de conversa .............................................................. 20

SEÇÃO 1 - O que é porcentagem? .............................................. 20

Porcentagem (percentagem) ...................................................... 20

Forma porcentual ....................................................................... 21

Transformação ........................................................................... 21

Forma unitária ............................................................................ 21

Como se calcula a porcentagem de uma quantia? .................... 21

Termos importantes usados na matemática financeira ............. 21

Atenção! ..................................................................................... 22

SEÇÃO 2 - Regimes de formação dos juros ................................ 22

Regime de juros simples ............................................................ 22

Regime de juros compostos ....................................................... 22

Atenção! ..................................................................................... 22

SEÇÃO 3 - Fluxo de caixa ............................................................ 23

Atividades de auto-avaliação ..................................................... 24


UNIDADE 2 ....................................................................................... 26

Juros simples .................................................................................. 26


Seções de estudo ....................................................................... 26


SEÇÃO 1 - Juros simples ............................................................. 26

Esta é a fórmula para o cálculo dos juros simples ..................... 26

Atenção! ..................................................................................... 28

SEÇÃO 2 - Montante .................................................................... 28

Esta é a fórmula para o cálculo do montante no regime de juros simples........................................................................................ 28

Observe como podemos resolver este problema por outra forma: .................................................................................................... 29

SEÇÃO 3 - Taxas proporcionais .................................................. 30

Atenção! ..................................................................................... 30

SEÇÃO 4 - Juros simples exatos e comerciais ou bancários ...... 30

Juros simples exatos .................................................................. 30

Você sabe como se deve contar os dias entre duas datas? ..... 31

Juros simples comercial ............................................................. 32

SEÇÃO 5 - Valor nominal e valor atual ........................................ 33

Valor nominal .............................................................................. 33

Valor atual .................................................................................. 33

Fluxo de caixa ............................................................................ 33

Esta é a fórmula para o cálculo do valor nominal e do atual no regime de juros simples ............................................................. 34


UNIDADE 3 ....................................................................................... 37

Descontos simples .......................................................................... 37

Objetivos de aprendizagem .......................................................... 37

Seções de estudo ......................................................................... 37

Para início de conversa ................................................................ 37

SEÇÃO 1 - Descontos .................................................................. 37

Descontos Simples ..................................................................... 37

Desconto simples racional (por dentro) ........................................ 38

O cálculo para o desconto racional apresenta a seguinte fórmula: ...................................................................................................... 38

Desconto simples bancário ou comercial (por fora) ..................... 39

Atenção! ..................................................................................... 39

Esta é a regra para o cálculo do desconto simples bancário ou comercial: ................................................................................... 39


Onde: .......................................................................................... 39

E esta é a fórmula para o cálculo do valor atual ou de resgate: 40

A relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário (comercial) é assim representada: .............................. 41

SEÇÃO 2 - Relação entre taxa de desconto simples e taxa de juros simples ................................................................................. 41

A relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples é formulada do seguinte modo: .................................... 42


Síntese ............................................ Erro! Indicador não definido.

UNIDADE 4 ....................................................................................... 45

Juros compostos ............................................................................. 45


Seções de estudo ......................................................................... 45


SEÇÃO 1 - Juros compostos .......................................................... 45

Fórmula para o cálculo do montante, no caso dos juros compostos: ................................................................................. 46

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: ............................ 46

Fórmula para o cálculo do capital, considerando os juros compostos: ................................................................................. 46

Fórmula para o cálculo da taxa, considerando os juros compostos: ................................................................................. 46

Fórmula para o cálculo do prazo, considerando os juros compostos: ................................................................................. 47

SEÇÃO 2 - Convenção exponencial e linear .................................. 49

Convenção exponencial ............................................................... 49

Convenção linear ........................................................................ 49

A fórmula para o cálculo do montante utilizando a convenção linear é a seguinte: ..................................................................... 50

SEÇÃO 3 - Valor atual e valor nominal........................................... 51

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual e do valor nominal no regime de juros compostos: .................................................. 51

Atividades de auto-avaliação ........................................................ 52

UNIDADE 5 ....................................................................................... 55

Taxas de juros ................................................................................. 55


Seções de estudo ......................................................................... 55


SEÇÃO 1 - Taxas equivalentes ...................................................... 55


Estas são as fórmulas para o cálculo de taxas equivalentes: ...... 55

SEÇÃO 2 - Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva ..................... 56

Taxa nominal ou aparente .............................................................. 56

Atenção! ..................................................................................... 56

Taxa efetiva .................................................................................. 56

Atividades de auto-avaliação ........................................................ 59

Síntese .......................................................................................... 63

UNIDADE 6 ....................................................................................... 64

Descontos compostos ..................................................................... 64


Seções de estudo ......................................................................... 64


SEÇÃO 1 - Descontos compostos e suas classificações ............... 64

Desconto composto ...................................................................... 64

Desconto composto comercial (bancário) ou por fora .................. 66

Esta é a fórmula para o cálculo do desconto composto comercial (bancário) ou por fora: ................................................................ 66

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual: .......................... 66

Cálculo da taxa de desconto comercial composto: .................... 67

Cálculo do prazo: ........................................................................ 67

SEÇÃO 2 - Taxas de descontos ..................................................... 68

Taxa de desconto composto comercial ou por fora ..................... 68

Taxa efetiva de desconto .............................................................. 68

Atenção! ..................................................................................... 68


UNIDADE 7 ....................................................................................... 72

Equivalência de capitais a juros compostos ................................... 72


Seções de estudo ......................................................................... 73


SEÇÃO 1 - Equivalência de capitais a juros compostos ................ 73

Esta é a fórmula para o cálculo de equivalência de dois capitais a juros compostos ...................................................................... 73

SEÇÃO 2 - Valor atual de um conjunto de capitais ........................ 74

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de um conjunto de capitais: ...................................................................................... 75


UNIDADE 8 ....................................................................................... 82


Seções de estudo ......................................................................... 82



UNIDADE 9 ..................................................................................... 101


Seções de estudo ....................................................................... 101


UNIDADE 10 ................................................................................... 114


Seções de estudo ....................................................................... 114


UNIDADE 11 ................................................................................... 127


Seções de estudo ....................................................................... 127


UNIDADE 12 ................................................................................... 138


Seções de estudo ....................................................................... 138


Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação ........ 156

Unidade 1 .................................................................................... 156

Unidade 2 .................................................................................... 156

Unidade 3 .................................................................................... 157

Unidade 4 .................................................................................... 157

Unidade 5 .................................................................................... 158

Unidade 6 .................................................................................... 158

Unidade 7 .................................................................................... 158

Unidade 8 .................................................................................... 158

Unidade 9 .................................................................................... 159

Unidade 10 .................................................................................. 161

Unidade 11 .................................................................................. 162

Unidade 12 .................................................................................. 162


A Matemática Financeira reconhece que o dinheiro tem valor no tempo.

É intuitivo que cem reais em seu bolso tem mais valor do que cem reais que chegarão às suas mãos daqui a seis meses.


NOSSA MAIOR AMIGA NA MATEMÁTICA FINANCEIRA... HP12C

MAS ELA FICARÁ EM CASA NA PROVA DO CESPE....


Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiro e de capitais, e atuar em administração financeira com baixos tempo e custo de decisão. Qual o objetivo principal da matemática financeira? A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo.


A Matemática Financeira pode ser estudada com ênfase aos seus aspectos teóricos e, nesse caso, o aluno se vê obrigado a possuir bom embasamento matemático, para poder acompanhar o desenvolvimento das fórmulas e entender as notações algébricas comumente adotadas. Neste curso daremos à Matemática Financeira um enfoque totalmente prático, a fim de exigir do aluno um conhecimento de matemática bastante reduzido. Estrategicamente colocaremos ao longo do curso observações como uma revisão de alguns conceitos matemáticos necessários à compreensão de certas expressões e afirmações usadas ao longo do curso. Todos os conceitos serão ilustrados com exemplos numéricos, elaborados em função de problemas reais. Apesar desse enfoque simples e prático, os conhecimentos deste curso permitirão a resolução de qualquer problema por maior que seja a sua complexidade.


A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença damos o nome de juros. O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situações de acúmulo de capital e desvalorização monetária davam a idéia de juros, pois isso acontecia em razão do valor momentâneo do dinheiro. Algumas tábuas matemáticas se caracterizavam pela organização dos dados e textos relatavam o uso e a repartição de insumos agrícolas através de operações matemáticas. Os sumérios registravam documentos em tábuas, como faturas, recibos, notas promissórias, operações de crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de vendas e endossos.


Situação prática 1.1: Um gerente de uma empresa necessita de um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 para atender às necessidades de capital do seu negócio. Um banco, após analisar a solicitação anuiu ao pedido e propôs um empréstimo que deverá ser pago após quatro meses; o banco depositará R$ 100.000,00 na conta da empresa e esta pagará ao banco R$ 120.000,00 ao final dos quatro meses. Essa situação permite a você, leitor, identificar os elementos básicos que serão estudados em Matemática Financeira. Nessa situação você pode ver que: • existiu uma transação financeira entre o banco e o cliente que será denominada de operação financeira; • essa operação financeira tem um valor inicial de $100.000,00 que será denominado de capital e um valor final de $ 120.000,00 que será denominado montante; A Matemática Financeira reconhece que o dinheiro tem valor no tempo. É intuitivo que cem reais em seu bolso tem mais valor do que cem reais que chegarão às suas mãos daqui a seis meses. • essa operação financeira tem uma duração de quatro meses; • há uma diferença entre o montante e o capital que será denominado juro da operação. Esse juro será um custo para a empresa e uma remuneração para o banco; e • existe um agente que empresta o dinheiro e que é denominado credor e um agente que toma o dinheiro emprestado e que é denominado devedor.


Agente econômico Agente econômico é qualquer entidade física ou jurídica capaz de praticar um ato econômico. Assim, entende-se por agente econômico qualquer pessoa, empresa ou instituição que possa praticar um ato econômico: uma venda, uma compra, um empréstimo ou quaisquer operações que tenham conseqüências financeiras. Na situação prática mostrada, a empresa e o banco (BRB) são os agentes econômicos envolvidos.


GLOSSÁRIO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Juro* : importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, geralmente expressa como porcentagem da soma emprestada; rendimento de capital investido; interesse. Principal* : é o valor de um empréstimo ou investimento, em distinção aos juros ou lucro a ele referente(s). Capitalização* : ato ou efeito de capitalizar, isto é, de adicionar [juros] ao capital [principal] ou montante. Regime de capitalização ou forma de capitalização : modo como ocorre a capitalização, em função de sobre o que incide a taxa de juros e da natureza finita ou diferencial dos períodos de capitalização. Juros simples : regime de capitalização em que, em cada período, a taxa de juros incide apenas sobre o principal. Período de capitalização : unidade de tempo ao fim da qual incide a taxa de juros. Horizonte de planejamento : o total de períodos de capitalização considerados em um estudo. Taxa de juros* : relação percentual entre os juros cobrados, por unidade de tempo, e o capital [principal] emprestado. Taxa de desconto : denominação atribuída à taxa de juros quando de sua utilização para converter um valor monetário, ou um conjunto de valores monetários, em outro ou outros, que lhe seja(m) equivalente(s), e que esteja(m) referenciado(s) a um instante de tempo anterior ao do(s) primeiro(s). Montante* : capital acrescido dos juros, ao fim de um período de capitalização. Valor futuro : o mesmo que montante. Valor presente : valor de uma entrada ou saída de caixa em relação a outro(s) que esteja(m) em período(s) a ele posterior(es). Juros compostos : regime de capitalização em que, em cada período, a taxa de juros incide sobre o montante do período imediatamente anterior. Juros contínuos : juros cuja taxa refere-se a um diferencial de tempo. Fluxo de caixa : representação de entradas de caixa e de saídas de caixa, contanto que o instante de tempo em que cada uma dessas entradas e saídas acontece ou devem acontecer esteja claramente identificado.


Diagrama de fluxo de caixa : representação gráfica em que o horizonte de planejamento é representado por um segmento de reta, subdividido em tantas partes iguais quanto for o número de períodos de capitalização, sendo que nas extremidades destas pode haver vetores com direção vertical e sentido, como é mais usual, de baixo para cima, no caso de entradas de caixa, e de cima para baixo, no de saídas de caixa. Evento isolado : elemento de um fluxo de caixa que é temporalmente definido com referência a um único instante de tempo. Série : elemento de um fluxo de caixa para cuja definição temporal é necessário pelo menos os instantes de tempo inicial e final de um período de capitalização. Série uniforme : série de entradas ou saídas de caixa em que estas apresentam a mesma magnitude e natureza (entrada ou saída), sucedendo-se umas às outras durante um número de períodos sucessivos. É usualmente representada pela letra A. Série em gradiente aritmético : série de entradas ou saídas de caixa em que, no segundo período, tem-se uma entrada ou saída (a primeira da série) à qual sucedem outras, uma em cada período posterior, cada qual aumentada da magnitude da primeira em relação à anterior. É usualmente representada pela letra G. Série em gradiente geométrico*** : série de entradas ou saídas de caixa em que, no primeiro período, tem-se uma entrada ou saída (a primeira da série) à qual sucedem outras, uma em cada período posterior, cada qual majorada em relação à que lhe é imediatamente anterior na porcentagem correspondente à magnitude da chamada taxa de gradiente geométrico vigente na série em questão. É usualmente representada pela letra X. Taxa de gradiente geométrico*** : taxa que, em uma série em gradiente geométrico, define a magnitude percentual que cada entrada ou saída de caixa, conforme se trate de série de entradas ou de saídas de caixa, respectivamente, a partir da segunda, deve ser majorada, em módulo, em relação à entrada ou saída de caixa que lhe é imediatamente anterior. Convenção linear : convenção utilizada para cálculo de montante com juros compostos quando o número de períodos é não inteiro, segundo a qual os juros referentes à parte fracionária são determinados utilizando-se interpolação linear entre os valores inteiros imediatamente antecedente e imediatamente posterior.


Convenção exponencial : convenção utilizada para cálculo de montante com juros compostos quando o número de períodos é não inteiro, segundo a qual os juros referentes à parte fracionária, assim como os da parte inteira, são determinados usando a formulação característica de juros compostos, que tem variação exponencial. Série perpétua : série uniforme em que o número de períodos é tão grande que pode ser conveniente considerá-lo infinito. Série antecipada : série em que as entradas ou saídas são registradas no início do respectivo período de capitalização. Série postecipada : série em que as entradas ou saídas são registradas ao final do respectivo período de capitalização. Taxa nominal : taxa que se refere a um período de tempo diferente do período de capitalização. Taxa efetiva : taxa que se refere a um período de tempo que é idêntico ao período de capitalização. Taxa interna de retorno : taxa para a qual o valor presente do fluxo de caixa é nulo. Taxa externa de retorno : cada uma das taxas de retorno, exceto a taxa interna de retorno. Taxa mínima de atratividade : taxa que expressa um valor de referência para ganhos periódicos a partir do qual uma pessoa considera ser interessante investir. Inflação : perda do poder aquisitivo da moeda, durante um determinado intervalo de tempo. Correção monetária : instrumento de correção do efeito da inflação que, do ponto de vista teórico, repõe integralmente as perdas de poder aquisitivo por ela ocasionadas. Variação cambial : aumento ou redução do preço de uma moeda expresso em unidades monetárias de outra, e/ou em frações dessa unidade. Cotação : relação de troca entre duas moedas, vigente em um certo instante de tempo. Regime de taxa de câmbio fixa** : regime no qual a autoridade monetária intervém no mercado de divisas, comprando ou vendendo divisas em quantidade suficiente para manter a cotação entre a moeda nacional e a divisa dentro de certos limites predefinidos. Regime de taxa de câmbio flutuante** : regime no qual a autoridade monetária deixa que a oferta e a demanda no mercado por divisas definam a cotação entre a moeda nacional e a divisa.


Valorização cambial** : em regimes de taxas de câmbio fixas, redução, em relação a uma cotação referenciada a um instante anterior, da quantidade de moeda nacional necessária para trocar por uma unidade de moeda estrangeira (segundo a convenção do incerto), ou aumento da quantidade de moeda estrangeira necessária para trocar por uma unidade de moeda nacional (segundo a convenção do certo). Desvalorização cambial** : em regimes de taxas de câmbio fixas, aumento, em relação a uma cotação referenciada a um instante anterior, da quantidade de moeda nacional necessária para trocar por uma unidade de moeda estrangeira (segundo a convenção do incerto), ou redução da quantidade de moeda estrangeira necessária para trocar por uma unidade de moeda nacional (segundo a convenção do certo). Apreciação cambial** : em regimes de taxas de câmbio flutuantes, redução, em relação a uma cotação referenciada a um instante anterior, da quantidade de moeda nacional necessária para trocar por uma unidade de moeda estrangeira (segundo a convenção do incerto), ou aumento da quantidade de moeda estrangeira necessária para trocar por uma unidade de moeda nacional (segundo a convenção do certo). Depreciação cambial** : em regimes de taxas de câmbio flutuantes, aumento, em relação a uma cotação referenciada a um instante anterior, da quantidade de moeda nacional necessária para trocar por uma unidade de moeda estrangeira (segundo a convenção do incerto), ou redução da quantidade de moeda estrangeira necessária para trocar por uma unidade de moeda nacional (segundo a convenção do certo). Convenção do certo** : convenção segundo a qual uma unidade da moeda nacional é expressa em unidades monetárias, e/ou em respectivas frações, de uma moeda estrangeira. Convenção do incerto** : convenção segundo a qual uma unidade da moeda estrangeira é expressa em unidades monetárias, e/ou em respectivas frações, da moeda nacional. Taxa global de juros : taxa única que expressa o efeito conjunto de inflação (ou correção monetária) e de juros. Taxa prefixada : taxa que é definida e conhecida previamente ao início do primeiro período do intervalo de tempo ao qual a mesma se refere.


Taxa pós-fixada : taxa cujo valor numérico somente fica definido e conhecido após transcorrer-se o intervalo de tempo à qual a mesma se refere, uma vez que é função de pelo menos uma variável cujo valor numérico somente é conhecido após tal transcurso. Amortização : restituição do principal de uma dívida. Sistema de amortização : cada uma das formas de devolução do principal acrescido de juros referente a uma dívida. Sistema de Prestação Constante (SPC) : sistema de amortização em que o principal, acrescido de juros, é restituído por meio de pagamentos periódicos todos de mesmo valor. Sistema Francês : o mesmo que Sistema de Prestação Constante. Sistema Price : o mesmo que Sistema de Prestação Constante. Saldo devedor : a parte do principal de uma dívida ainda a ser restituída. Sistema de Amortização Constante (SAC) : sistema de amortização em que a parcela referente a amortização é igual em todos os pagamentos. Sistema de Amortização Misto : sistema de amortização em que cada valor de prestação, de amortização, de juros e de saldo devedor é igual à média dos respectivos valores calculados pelo Sistema de Prestação Constante e pelo Sistema de Amortização Constante. Sistema Hamburguês : o mesmo que Sistema de Amortização Constante. Período de carência : período em que não há amortização, mas apenas incidência, com ou sem pagamento, de juros. Período de amortização : período em que há restituição do principal ao credor, no todo ou em partes. Sistema Americano : sistema de amortização em que, ao final de cada período, pagam-se apenas os juros, sendo o principal restituído com pagamento único, no momento em que se liquida a dívida. Sistema de pagamento único : sistema de amortização em que o total de juros e o principal são pagos com uma única prestação, no momento em que se liquida a dívida. Sistema de juros antecipados : sistema de amortização em que os juros são cobrados antecipadamente e o principal é devolvido com pagamento único, no momento em que se liquida a dívida. Correção cobrada : regime de consideração dos efeitos de correção monetária em sistemas de amortização de dívidas que estabelece que toda correção monetária gerada a cada período deve integralizar


a prestação do respectivo período, de modo a que, no início de cada novo período, não haja correção monetária alguma gerada em períodos anteriores que ainda não tenha sido paga. Correção capitalizada : regime de consideração dos efeitos de correção monetária em sistemas de amortização de dívidas que estabelece que somente parte da correção monetária gerada a cada período deve integralizar a prestação do respectivo período, de modo que, no início de cada novo período, a menos do primeiro, parte da correção monetária gerada em períodos anteriores ainda não haja sido paga e, conseqüentemente, deve ser paga, observando-se a característica de cada sistema de amortização, em prestações futuras, acrescida também da correção monetária correspondente aos respectivos períodos futuros, até o instante de seu pagamento.

ALUB – Matemática Financeira – Prof. Marcelo Rux

UNIDADE 1 Fundamentos de matemática finance

Objetivos de aprendizagemCompreender os conceitos fundamentais de matemática financeira.Classificar e identificar os regimes de capitalização.

Seções de estudoSeção 1 O que é porcentagem?Seção 2 Regimes de formação dos jurosSeção 3 Fluxo de caixa

Para início de conversaCaro aluno, para você estudar a disciplina matemática financeira, é necessário que você fique familiarizado com o significado de alguns termos comumente usados no desenvolvimento da mesma. Nesta unidade, você estudará conceitos dosfundamentos da matemática financeira, tais como porcentagem, regime de capitalização e fluxo de caixa, bem como realizará atividades pertinentes ao assunto. Bom estudo!

SEÇÃO 1 - O que é porcentagem?

Nesta seção, você estudará basiconhecerá alguns outros conceitos fundamentais de matemática financeira, como capital, juros, prazo, montante e taxa de juros.

Porcentagem (percentagem)A expressão por cento denominador é 100 (razão centesimal). Outra representação das razões centesimais, muito usada no meio econômico financeiro, é substituir o denominador

1. 0,3 = 100

30 = �30 % (Trinta por cento).

2. 0,05 = 100

5 = �5 % (Cinco por cento).

3. Transformação da forma porcentual para a forma unitária.

Prof. Marcelo Rux 20 | P Á G I N A

Fundamentos de matemática finance ira

Objetivos de aprendizagem Compreender os conceitos fundamentais de matemática financeira.Classificar e identificar os regimes de capitalização.

Seções de estudo O que é porcentagem? Regimes de formação dos juros Fluxo de caixa

Para início de conversa Caro aluno, para você estudar a disciplina matemática financeira, é necessário que você fique familiarizado com o significado de alguns termos comumente usados no desenvolvimento da mesma. Nesta unidade, você estudará conceitos dos conteúdos relativos aos fundamentos da matemática financeira, tais como porcentagem, regime de capitalização e fluxo de caixa, bem como realizará atividades pertinentes ao assunto. Bom estudo!

O que é porcentagem?

Nesta seção, você estudará basicamente porcentagem e também conhecerá alguns outros conceitos fundamentais de matemática financeira, como capital, juros, prazo, montante e taxa de juros.

Porcentagem (percentagem) por cento é usada para indicar uma fração cujo

00 (razão centesimal). Outra representação das razões centesimais, muito usada no meio econômico financeiro, é substituir o denominador 100 pelo símbolo %.

30 % (Trinta por cento).

(Cinco por cento).

Transformação da forma porcentual para a forma unitária.

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Compreender os conceitos fundamentais de matemática financeira. Classificar e identificar os regimes de capitalização.

Caro aluno, para você estudar a disciplina matemática financeira, é necessário que você fique familiarizado com o significado de alguns termos comumente usados no desenvolvimento da mesma. Nesta

conteúdos relativos aos fundamentos da matemática financeira, tais como porcentagem, regime de capitalização e fluxo de caixa, bem como realizará

camente porcentagem e também conhecerá alguns outros conceitos fundamentais de matemática financeira, como capital, juros, prazo, montante e taxa de juros.

é usada para indicar uma fração cujo 00 (razão centesimal). Outra representação das

razões centesimais, muito usada no meio econômico financeiro, é

Transformação da forma porcentual para a forma unitária.


Forma porcentual

Transformação Forma unitária

30% 100

30

0.30

5% 100

5

0.05

12.2% 100

122

0.122

Como se calcula a porcentagem de uma quantia? Quando estamos resolvendo um problema que envolva porcentagem, estamos, na verdade, efetuando um cálculo de proporção. Qual é o valor de 35% de 70?

70100

35 x= (Aqui usando a forma porcentual)

5,24100

70.35 ==x

Quantos por cento de R$ 160,00 correspondem à quantia de R$ 40,00?

x

1

40

160 = (Agora usando a forma unitária)

%2525,0160

40 ===x

Em um colégio da rede estadual 35% dos alunos são meninas. O total de alunos é de 1.600. Quantos são os meninos? (Usando a forma unitária e não mais escrevendo a proporção) X = 0.65 1600 X = 1040 meninos

Termos importantes usados na matemática financeira Observe estes termos próprios da matemática financeira, abaixo, e a utilização destes, na seqüência. Capital (C) Quantia em dinheiro disponível no mercado em uma

determinada data. Juros (J)

Remuneração obtida pelo uso de um capital por um intervalo de tempo.

Prazo (n)

Número de períodos que compõem o intervalo de tempo utilizado.

Montante (M)

Soma do capital aplicado mais os juros. M=C+J

Taxa de É o coeficiente resultante da razão entre o juro e o


juros (i)

capital. A cada taxa, deverá vir anexado o período a que ela se refere.

C

Ji =

Exemplo Um aplicador obteve rendimento de R$ 4.500,00 em uma aplicação de R$ 60.000,00 por 2 meses. Qual a taxa de juros do período? J = 4500 C = 60000 n= 2 meses

..%5,7075,0000.60

500.4pai ===

ou 7.5% a.b.

Atenção! Comparações simples de operações aritméticas com quantias que estejam em datas diferentes ficam inviáveis, quando estudamos matemática financeira.

SEÇÃO 2 - Regimes de formação dos juros

Nesta seção você estudará o regime de formação de juros. Se aplicarmos um capital durante vários períodos a uma taxa preestabelecida por período, este capital se transformará em um valor chamado montante de acordo com duas convenções: Regime de juros simples. Regime de juros compostos.

Regime de juros simples No regime de juros simples, os juros são calculados por períodos levando sempre em conta somente o capital inicial (principal).

Regime de juros compostos Neste caso, os juros gerados em um período são incorporados ao capital inicial, formando um novo capital que participará da geração de juros no próximo período.

Atenção! Os juros são capitalizados a cada período. Assim, o regime de juros compostos passa a denominar-se regime de capitalização composta.


Exemplo Ao aplicarmos um capital de R$ 3.000,00 por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a. no regime de juros simples ou compostos, obtemos os seguintes resultados:Período Juros Simples

Juros Montante0 - 3.000,001 360,00 3.360,002 360,00 3.720,003 360,00 4.080,004 360,00 4.440,00

SEÇÃO 3 - Fluxo de caixa

Você estudará agora o fluxo de caixa. O fluxo de caixa de uma operação financeira é representado por um eixo horizontal no qual marcamos o tempo em ano, mês ou dia a partir de um instante inicial (origem). As entradas de dinheiro são representadas por setacima, perpendiculares ao eixo horizontal. As saídas são representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas para baixo.


Ao aplicarmos um capital de R$ 3.000,00 por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a. no regime de juros simples ou compostos, obtemos os seguintes resultados:

Juros Simples Juros Compostos Montante Juros Montante 3.000,00 - 3.000,00 3.360,00 360,00 3.360,00 3.720,00 403,20 3.763,20 4.080,00 451,58 4.214,78 4.440,00 505,77 4.720,56

Fluxo de caixa

Você estudará agora o fluxo de caixa. O fluxo de caixa de uma operação financeira é representado por um eixo horizontal no qual marcamos o tempo em ano, mês ou dia a partir de um instante inicial

As entradas de dinheiro são representadas por setacima, perpendiculares ao eixo horizontal. As saídas são representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas

| P Á G I N A

Ao aplicarmos um capital de R$ 3.000,00 por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a. no regime de juros simples ou compostos,

Você estudará agora o fluxo de caixa. O fluxo de caixa de uma operação financeira é representado por um eixo horizontal no qual marcamos o tempo em ano, mês ou dia a partir de um instante inicial

As entradas de dinheiro são representadas por setas orientadas para cima, perpendiculares ao eixo horizontal. As saídas são representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas


Modelo Simplificado

Exemplo Um investidor aplicou R$ 30.000,00 em uma entidade bancária e recebeu R$ 3.200,00 de juros após 6 meses. Apresente o fluxo de caixa na visão do aplicador e do captador.

Visão do aplicador 33.200 0 6 30.000

Visão do captador 30.000 6 0 33.200

Atividades de auto-avaliação Agora que você já estudou toda a unidade 1, realize as atividades de autoavaliação propostas. 1) Converta para a forma porcentual:

Tempo

(+)

(-)

0


0,36 - ................... 1,25 - ................... 2) Converta para a forma unitária: 12% - .................... 212% - .................. 3) Uma pessoa aplica R$ 2.500,00 em um banco e recebe R$ 430,00 de juros 6 meses depois. Qual a taxa semestral de juros da operação na forma porcentual. 4) Preencha a planilha a seguir calculando os juros e os seus respectivos montantes gerados por um capital de R$ 2.000,00, durante 4 meses a uma taxa de 5% a.m., nos regimes de capitalização simples e composta. Período Juros Simples Juros Compostos

Juros Montante Juros Montante 0 1 2 3 4 5 6

5) Um cliente aplica em uma instituição bancária R$ 5.000,00 a uma taxa de 8% a.a. durante 3 anos, recebendo de juros R$ 1.298,56. Apresente o fluxo de caixa na ótica do investidor e do captador.


UNIDADE 2

Juros simples

Objetivos de aprendizagemResolver problemas envolvendo juros simples e montante.Distinguir e calcular os tipos de juros simples (juros exatos e comerciais). Converter taxas de juros.Entender o conceito de valor atual e valor nominal e calculá

Seções de estudoSeção 1 Juros simplesSeção 2 Montante Seção 3 Taxas proporcionaisSeção 4 Juros simples exatos e comerciaisSeção 5 Valor atual e valor nominal

Para início de conversaUma vez que você já se habituou aos termos básicos desta disciplina, em função do estudo da unidade anterior, agora você está pronto para aprofundá-estudo simplificado do regime de juro simples, considerando um formulário para calcular juros simples, comerciais e exatos, montante e valor atual e nominal.

SEÇÃO 1 - Juros simples

Na unidade anterior, quando você estudou o regime de juros simples, ficou estabelecido que:O juro é produzido unicamente pelo capital inicial O juro é igual em todos os períodos (constantes).Conheça, agora, como se calcula os juros simples.

Esta é a fórmula para o cálculo dos juros simples

iCJ .1 = iCiCiCJ 2...2 =+=

iCiCiCJ ...3 =++=


Objetivos de aprendizagem Resolver problemas envolvendo juros simples e montante.Distinguir e calcular os tipos de juros simples (juros exatos e

Converter taxas de juros. Entender o conceito de valor atual e valor nominal e calculá

Seções de estudo Juros simples

Taxas proporcionais Juros simples exatos e comerciais Valor atual e valor nominal

Para início de conversa a vez que você já se habituou aos termos básicos desta

disciplina, em função do estudo da unidade anterior, agora você está -los. Nesta unidade, você desenvolverá um

estudo simplificado do regime de juro simples, considerando um ário para calcular juros simples, comerciais e exatos, montante

e valor atual e nominal.

Na unidade anterior, quando você estudou o regime de juros simples, ficou estabelecido que: O juro é produzido unicamente pelo capital inicial (principal).O juro é igual em todos os períodos (constantes). Conheça, agora, como se calcula os juros simples.


iC3.=

| P Á G I N A

Resolver problemas envolvendo juros simples e montante. Distinguir e calcular os tipos de juros simples (juros exatos e

Entender o conceito de valor atual e valor nominal e calculá-los.

a vez que você já se habituou aos termos básicos desta disciplina, em função do estudo da unidade anterior, agora você está

los. Nesta unidade, você desenvolverá um estudo simplificado do regime de juro simples, considerando um

ário para calcular juros simples, comerciais e exatos, montante

Na unidade anterior, quando você estudou o regime de juros

(principal).



. .

. .

. .

niCJn ..=

Então:

niCJ ..=

Exemplo 1. Uma pessoa aplica R$ 15.000,00 em uma instituição bancária por 10 meses a uma taxa de juros simples de 2,4% a.m. Qual o juro auferido? C = 15.000 i = 2.4% = 0.024 a.m n = 10 meses J = C . i . n J = 15.000 . 0.024 . 10 = R$3.600.00 2. Qual é o rendimento de uma aplicação de R$ 50.000,00 durante 3 anos à taxa de 6% a.t.? C = 50000 i = 6% = 0.06 a.t n = 3 anos = 12 trimestres J = C . i . n J = 50000 . 0.06 . 12 = R$36.000.00 3. Calcular o capital inicial aplicado a juros simples, sabendo-se que o rendimento obtido na operação será de R$ 2.400,00 e que a taxa utilizada no contrato é de 2% a.m. durante 2 anos. C = ? J = 2400 i = 2% = 0.02 a.m n = 2 anos = 24 meses


J = C . i . n

ni

JC

.=

00,5000$

24.02,0

2400RC ==

Atenção! Nos cálculos de juros é necessário que a taxa seja colocada na forma unitária. A taxa de juros e o número de períodos (n) devem estar sempre na mesma unidade de tempo. Quando a taxa e o prazo estão em unidades de tempo diferentes, sugerimos que se altere sempre o prazo. Nada muda na forma de calcular os juros simples quando o período for fracionário.

SEÇÃO 2 - Montante

Nesta seção, você estudará o que é montante. Você sabe o que é montante? Montante é uma quantia gerada pela aplicação de um capital inicial por determinado tempo, acrescido dos respectivos juros.

Esta é a fórmula para o cálculo do montante no regi me de juros simples M = C + J Como: J = C . i . n Então: M = C + C . i . n M = C( 1 + i . n )

Exemplo 1. Um capital de R$ 18.000,00 foi aplicado a juros simples durante 3 anos a taxa de 6% a.a. Qual é o montante adquirido? C = 18000 i = 6% = 0,06 a.a n = 3 anos M = ?


M = 1800(1+0.06 . 3) M = 1800(1+0.18) M = 1800 . 1.18 = R$21.240.00 2. Se aplicarmos R$ 4.000,00 a juros simples, à taxa de 5% a.m. o montante a receber será de R$ 7.000,00. Determine o prazo da aplicação. M = 7000 C = 4000 i = 5% = 0.05 a.m. n = ? M = C( 1 + i . n )

C

Mni =+ .1

1. −=C

Mni

iC

M

n1−

=

05,0

140007000−

=n

05,0175,1 −=n mesesn 15

05,075,0 ==

Observe como podemos resolver este problema por out ra forma: M = C + J J = M – C J = 7000 – 4000 = 3000 J = C . i . n

iC

Jn

.=

05,0.40003000=n

200

3000=n


n = 15 meses

SEÇÃO 3 - Taxas proporcionais

Nesta seção, você estudará as taxas de juros proporcionais . Você sabe quando duas taxas são proporcionais? Em certas literaturas especializadas utiliza-se a nomenclatura taxas proporcionais ou equivalentes a juros simples.

Atenção! Duas taxas são ditas proporcionais a juros simples quando

2

1

2

1

n

n

i

i =

Exemplo 1. Em juros simples, qual a taxa mensal proporcional a 24% a.a.?

12

1

%24=mi

maim .%2

12

%24 ==

2. Em juros simples qual a taxa anual proporcional a 2% a.m.?

SEÇÃO 4 - Juros simples exatos e comerciais ou banc ários

Nesta seção, nós apresentamos os juros simples exatos e os juros simples comerciais ou bancários.

Juros simples exatos Os juros simples exatos (Je) apóiam-se nas seguintes características: o prazo é contado em dias. mês = número real de dias conforme calendário. ano civil = 365 dias ou 366 (ano bissexto).


Você sabe como se deve contar os dias entre duas da tas? Para determinarmos o número de dias entre duas datas, devemos subtrair o número de dias correspondente à data posterior do número de dias da data anterior. No caso dos anos bissextos, devemos acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado, quando o final do mês de fevereiro estiver envolvido no prazo da aplicação. Sempre que o exercício exigir, comentaremos se o ano for bissexto.

Tabela 1 - Contagem de dias entre duas datas

JAN FEV

MAR

ABR MAI

JUN JUL

AGO

SET

OUT

NOV

DEZ

1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357


24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 31 90 151 212 243 304 365

Exemplo 1. Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicação de R$ 15.000,00 a uma taxa de 16% a.a., de 20 de abril de 2003 à 1ª de julho de 2003. Usando a tabela temos:

110182−=n 72=n

niCJ ..=

365

72.16,0.15000=J

42,473$RJ =

2. Determine o juro simples exato obtido em uma aplicação R$13.300,00 durante 146 dias a uma taxa de 9% a.a.

niCJ ..=

365

146.09,0.13300=J

80,478$RJ =

Juros simples comercial Os juros simples comercial apóiam-se nas seguintes características: mês = 30 dias. ano civil = 360 dias. Daqui para frente, com exceção dos casos indicados, usaremos os juros comerciais.

Exemplo 1. Qual o juro simples comercial de uma aplicação de R$ 66.000,00 durante 1 ano e 2 meses à taxa de 2,2% a.m?


2. Qual o valor do capital que aplicado durante 1 ano e 3 meses à taxa de 3% a.m., rendeu R$ 900,00?

SEÇÃO 5 - Valor nominal e valor atual

Esta seção aborda o valor nominal e valor atual de um compromisso financeiro.

Valor nominal O valor nominal (N) (ou de face) é definido como o valor do compromisso financeiro na data de seu vencimento.

Valor atual O valor atual (V) é definido como o valor do compromisso financeiro em uma data anterior a de seu vencimento.

Fluxo de caixa O seguinte gráfico se refere ao fluxo de caixa, considerando o valor nominal e o valor atual.


Esta é a fórmula para o cálculo do valor nominal e do atual no regime de juros simples

Exemplo 1. Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 10 meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule o seu valor atual nas seguintes datas: a) hoje; b) 2 meses antes do vencimento; c) daqui a 3 meses.

2. Um aplicador comprou uma duplicata no valor nominal de R$ 18.000,00 com vencimento para daqui a 6 meses por R$ 16.000,00. Qual a taxa mensal de rentabilidade do aplicador?


Atividades de auto-avaliação A partir de seus estudos, leia com atenção e resolva as atividades programadas para a sua auto-avaliação. 1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 10.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% a.a., durante 3 anos? 2) Qual o tempo necessário para que um capital de R$ 5.800,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 2% a.m. gere um montante de R$ 6.728,00? 3) Em um regime de capitalização simples, qual é o montante que se obtém quando aplicamos um capital de R$ 2.000,00 a uma taxa 6% a.a. durante 24 meses? 4) Ao aplicarmos R$ 3.800,00 por um período de 8 meses obtemos em regime de juros simples um montante de R$ 5.200,00. Qual é a taxa mensal obtida na aplicação?


5) Uma quantia de R$ 62.000,00 foi aplicada em uma operação fi nanceira no dia 20 de Setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de Dezembro de 2003 a uma taxa de 12,5% a.a. Quais os juros simples exatos e comerciais da operação? 6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condições: • R$ 6.000,00 aplicados por 180 dias a 12% a.a. • R$ 5.200,00 aplicados por 230 dias a 15% a.a. 7) Uma duplicata foi resgatada por R$ 4.500,00 em uma instituição bancária, 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de juros simples de 2% a.m. Qual o valor de face da duplicata? 8) Quanto receberei ao aplicar no Banco “A” a quantia de R$ 3.520,00, do dia 05 de janeiro de 2006 até o dia 22 de março de 2006, no regime de juros simples exatos e comerciais, sabendo que o banco opera com uma taxa de 16% a.a.?

UNIDADE 3

Descontos simples

Objetivos de aprendizagem

Compreender o conceito de desconto simples.Diferenciar e calcular os tipos de descontos simples (comercial e racional). Relacionar os tipos de descontos simples.Diferenciar taxas de desconto comercial e de juros simples.

Seções de estudo

Seção 1 Descontos Seção 2 Relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário (comercial)

Para início de conversa

Prezado aluno, nesta unidade você estudará os diversos tipos de desconto simples, a relação entre os descontos simples racional e desconto simples bancário oudesconto simples e de juros simples.

SEÇÃO 1 - Descontos

Nesta seção, você estudará os descontos simples, tanto o desconto simples racional (por dentro) quanto o desconto simples bancário ou comercial (por fora).

Descontos Simples Desconto é o abatimento obtido no pagamento de uma dívida quando ela é efetivada de forma antecipada (antes do vencimento). Nas operações financeiras serão utilizados títulos de créditos tais como: Nota promissória Duplicata Letra de câmbio d=N - V onde: d = Desconto


eito de desconto simples. Diferenciar e calcular os tipos de descontos simples (comercial e

Relacionar os tipos de descontos simples. Diferenciar taxas de desconto comercial e de juros simples.

entre desconto simples racional e desconto simples bancário (comercial)


Prezado aluno, nesta unidade você estudará os diversos tipos de desconto simples, a relação entre os descontos simples racional e desconto simples bancário ou comercial, além das taxas de desconto simples e de juros simples.

Nesta seção, você estudará os descontos simples, tanto o desconto simples racional (por dentro) quanto o desconto simples bancário ou

Desconto é o abatimento obtido no pagamento de uma dívida quando ela é efetivada de forma antecipada (antes do vencimento).

Nas operações financeiras serão utilizados títulos de créditos tais

Diferenciar e calcular os tipos de descontos simples (comercial e

Diferenciar taxas de desconto comercial e de juros simples.

entre desconto simples racional e desconto

Prezado aluno, nesta unidade você estudará os diversos tipos de desconto simples, a relação entre os descontos simples racional e

comercial, além das taxas de

Nesta seção, você estudará os descontos simples, tanto o desconto simples racional (por dentro) quanto o desconto simples bancário ou

Desconto é o abatimento obtido no pagamento de uma dívida quando ela é efetivada de forma antecipada (antes do vencimento).

Nas operações financeiras serão utilizados títulos de créditos tais


N = Valor nominal (no vencimento) V = Valor atual (antes do vencimento)

Desconto simples racional (por dentro)

O desconto simples racional (dr) é o valor equivalente ao juro simples gerado pelo valor atual.

O cálculo para o desconto racional apresenta a segu inte fórmula:

Exemplo 1. Qual o valor do desconto racional simples de uma duplicata com valor nominal de R$ 24.000,00 descontada 120 dias antes do vencimento, à taxa de 30% a.a.?

2. Um título de R$ 12.000,00 foi descontado em um banco 2 meses antes do vencimento. Sabendo-se que o valor líquido recebido foi de R$ 11.214,95, qual é a taxa mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco?


Desconto simples bancário ou comercial (por fora)

O desconto simples bancário ou comercial (db) é o desconto mais utilizado pelos bancos na remuneração do capital.

Atenção! O desconto bancário ou comercial (por fora) é o juro simples calculado sobre o valor nominal.

Esta é a regra para o cálculo do desconto simples b ancário ou comercial:

Onde: N = valor nominal b i = taxa de desconto simples bancário n = prazo


Exemplo 1. Uma duplicata de R$ 15.000,00, com vencimento no dia 03/04/2005, foi descontada em um banco em 08/01/2005 a uma taxa de 2,5% a.m.. Qual é o desconto simples bancário da operação?

E esta é a fórmula para o cálculo do valor atual ou de resgate:

Exemplo 1. Uma empresa descontou um título com valor de face de R$ 14.500,00, 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancário simples de 2,4% a.m.. Quanto a empresa recebeu líquido na operação?


A relação entre desconto simples racional e descont o simples bancário (comercial) é assim representada:

Exemplo 1. Uma duplicata de R$ 48.000,00 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituição financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 3,2% a.m.. Determine: a) O valor do desconto simples bancário b) O valor do desconto simples racional

SEÇÃO 2 - Relação entre taxa de desconto simples e taxa de juros simples

Nesta seção, você estudará a relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples.


A relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples é formulada do seguinte modo:

Exemplo 1. Uma nota promissória de R$ 25.500,00 com prazo de vencimento em 3 meses foi descontada em um banco que trabalha com uma taxa de desconto simples bancário de 3,2% a.m. Qual o valor de resgate e qual a taxa de juros simples cobrada pelo banco?

2. Se uma empresa desconta uma duplicata com vencimento em 3 meses, proporcionando-lhe uma taxa de juros simples de 3,4% a.m., qual a taxa de desconto simples bancário utilizada?


Atividades de auto-avaliação Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, considerando as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade. 1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 50.000,00 no Banco “X” 4 meses antes do seu vencimento. Sabendo que o banco “X” trabalha com uma taxa de desconto simples bancário de 4,5% a.m., qual é o valor do desconto e o valor líquido recebido? 2) Para pagar uma dívida hoje, uma empresa descontou em uma carteira de crédito uma duplicata no valor de R$ 16.500,00 com vencimento daqui a 2 meses, recebendo um valor nominal líquido de R$ 15.000,00. Determine a taxa mensal de desconto simples bancário utilizada? 3) Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 5.000,00 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples comercial de 2,2% a.m. Se o desconto simples fosse o racional, qual seria o valor deste desconto? 4) Uma loja desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 1.500,00 vencível em 6 meses a uma taxa de desconto simples comercial de 6% a.m. Qual é o valor do desconto simples racional e comercial da operação?


5) Um banco cobra uma taxa de juros simples de 4% a.m. Se uma duplicata com vencimento em 3 meses é negociada, qual a taxa de desconto simples bancário equivalente utilizada?


UNIDADE 4

Juros compostos


Conhecer os conceitos sobre juros compostos.Calcular montante, juro, capital, taxa e prazo.Usar corretamente as convenções exponencial e linear.Calcular valor nominal e valor atual.

Seções de estudo

Seção 1 Juros compostosSeção 2 Convenção exponencial e linearSeção 3 Valor nominal e valor atual


Anteriormente você estudou os conceitos e aplicações relativos ao regime de juros simples. Neste capítulo você estujuros compostos, cuja aplicabilidade é usual em operações comerciais e financeiras.

SEÇÃO 1 - Juros compostosOs juros compostos são os juros incorporados ao capital inicial ao final de cada período (ano, mês, dia), formando, assim, um novcapital para o período seguinte. A seguir, serão apresentadas as fórmulas para o cálculo do montante, juros, capital, taxa e prazo:



Conhecer os conceitos sobre juros compostos. Calcular montante, juro, capital, taxa e prazo. Usar corretamente as convenções exponencial e linear.Calcular valor nominal e valor atual.

Juros compostos Convenção exponencial e linear Valor nominal e valor atual


Anteriormente você estudou os conceitos e aplicações relativos ao regime de juros simples. Neste capítulo você estudará o regime de juros compostos, cuja aplicabilidade é usual em operações comerciais e financeiras.

Juros compostos Os juros compostos são os juros incorporados ao capital inicial ao final de cada período (ano, mês, dia), formando, assim, um novcapital para o período seguinte. A seguir, serão apresentadas as fórmulas para o cálculo do montante, juros, capital, taxa e prazo:

| P Á G I N A

Usar corretamente as convenções exponencial e linear.

Anteriormente você estudou os conceitos e aplicações relativos ao dará o regime de

juros compostos, cuja aplicabilidade é usual em operações

Os juros compostos são os juros incorporados ao capital inicial ao final de cada período (ano, mês, dia), formando, assim, um novo capital para o período seguinte. A seguir, serão apresentadas as fórmulas para o cálculo do montante, juros, capital, taxa e prazo:


Fórmula para o cálculo do montante, no caso dos jur os compostos:

Fórmula para o cálculo dos juros compostos:

Fórmula para o cálculo do capital, considerando os juros compostos:

Fórmula para o cálculo da taxa, considerando os jur os compostos:


Fórmula para o cálculo do prazo, considerando os ju ros compostos:

Atenção! 1. O fator ni)1( + é chamado fator de acumulação de capital. 2. As taxas de juros e os prazos devem estar na mesma unidade de tempo.

Exemplo 1. Qual o montante gerado por um capital de R$ 4.500,00 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 3,5% a.m.?

2. Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses à taxa de 2% a.m. Calcule os juros auferidos na aplicação.


3. Um capital “X” é aplicado a juros compostos à taxa de 3,5% a.m., gerando um montante de R$ 19.500,00 após 1 ano e 3 meses. Determine o capital “X”.

4. A que taxa mensal de juros compostos, um capital de R$ 12.500,00 pode transformar-se em R$ 15.373,42, no período de 7 meses?


5. Em que prazo um empréstimo de R$ 35.000,00 pode ser pago pela quantia de R$ 47.900,00, se a taxa de juros compostos cobrada for de 4% a.m.?

SEÇÃO 2 - Convenção exponencial e linear Nesta seção, você estudará a convenção exponencial e linear. Tais convenções são usadas quando os períodos não são inteiros.

Convenção exponencial

No caso da convenção exponencial, o montante é calculado a juros compostos durante todo o período (parte inteira + fracionária).

A fórmula para o cálculo do montante utilizando a c onvenção exponencial é a seguinte:

Convenção linear No caso da convenção linear, o montante é calculado a juros compostos durante a parte inteira do período e a juros simples durante o período fracionário.


A fórmula para o cálculo do montante utilizando a c onvenção linear é a seguinte:

Exemplo 1. Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses e 15 dias a uma taxa de 6% a.m. Qual o montante pelas convenções exponencial e linear?

Pela convenção exponencial:

Pela convenção linear:

2. Calcule o montante pelas convenções exponencial e linear do capital de R$ 14.700,00 aplicado à taxa de juros compostos de 10% a.a. durante 5 anos e 3 meses.


Pela convenção exponencial:

Pela convenção linear:

SEÇÃO 3 - Valor atual e valor nominal Nesta seção, você estudará novamente o valor atual e o valor nominal, só que agora na perspectiva de juros compostos. Observe que os conceitos dados em juros simples para valor atual e valor nominal são análogos para juros compostos. Veja: Fluxo de caixa Este gráfico se refere ao fluxo de caixa, considerando o valor atual e o valor nominal.

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual e do valor nominal no regime de juros compostos:

Exemplo 1. Uma empresa desconta uma promissória de R$ 50.000,00 em um banco com vencimento para daqui a 6 meses, sendo que o banco cobra uma taxa de juros compostos de 1,5% a.m. Qual o valor atual da promissória nas seguintes datas:


a) hoje b) 3 meses antes do vencimento c) daqui a 4 meses

2. Um certo capital é aplicado a 12% a.a. a juros compostos, produzindo um montante de R$ 1.320,00 após 3 anos. Qual o valor atual deste capital?

Atividades de auto-avaliação

Caro aluno, considere as defi nições e as fórmulas apresentadas até esta unidade e responda as questões a seguir. 1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 26.000,00 aplicado a uma taxa de juros compostos de 5,2% a.m. por 6 meses.


2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 4.200,00 aplicado a uma taxa de 3% a.m. durante 10 meses. 3) Um empréstimo de R$ 6.000,00 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 9.000,00. Qual é a taxa mensal da operação? 4) Em que prazo uma aplicação a juros compostos de R$ 24.000,00 produzirá um montante de R$ 61.519,30 à taxa de 4% a.m.? 5) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 15.000,00 por 15 meses à taxa de 15% a.a. Pergunta-se: a) Qual o montante pela convenção exponencial? b) Qual o montante pela convenção linear?


6) Quanto Paulo deve aplicar hoje, a juros compostos, em uma instituição fi nanceira que paga uma taxa de 1,2% a.m., para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 38.000,00 que vence daqui a 3 meses? 7) Determine os juros de uma aplicação de R$ 25.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1% a.m. durante 10 meses.


UNIDADE 5

Taxas de juros


Compreender e calcular taxas equivalentes.Diferenciar e calcular as taxas nominais e efetivas.Aplicar as taxas em problemas financeiros.

Seções de estudo

Seção 1 Taxas equivalentesSeção 2 Taxa nominal ou aparente e taxa


Na unidade anterior, você aprendeu, na perspectiva dos juros compostos, a calcular montante, juros, capital, valor atual e nominal, a convenção exponencial e a linear observando que as taxas e os prazos dados sempre estavamunidade, você estudará os diversos tipos de taxas de juros, taxas equivalentes, taxa nominal ou aparente e taxa efetiva.

SEÇÃO 1 - Taxas equivalentesNesta seção, você estudará as taxas equivalentes. Por definição, duas taxas são ditas equivalentes a juros compostos quando aplicadas sobre um capital, durante o mesmo período, e produzem o mesmo montante.

Estas são as fórmulas para o cálculo de taxas equiv alentes:



Compreender e calcular taxas equivalentes. Diferenciar e calcular as taxas nominais e efetivas. Aplicar as taxas em problemas financeiros.

Taxas equivalentes Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva


Na unidade anterior, você aprendeu, na perspectiva dos juros compostos, a calcular montante, juros, capital, valor atual e nominal, a convenção exponencial e a linear observando que as taxas e os prazos dados sempre estavam na mesma unidade de tempo. Nesta unidade, você estudará os diversos tipos de taxas de juros, taxas equivalentes, taxa nominal ou aparente e taxa efetiva.

Taxas equivalentes Nesta seção, você estudará as taxas equivalentes. Por definição,

xas são ditas equivalentes a juros compostos quando aplicadas sobre um capital, durante o mesmo período, e produzem o


| P Á G I N A

Na unidade anterior, você aprendeu, na perspectiva dos juros compostos, a calcular montante, juros, capital, valor atual e nominal, a convenção exponencial e a linear observando que as taxas e os

na mesma unidade de tempo. Nesta unidade, você estudará os diversos tipos de taxas de juros, taxas equivalentes, taxa nominal ou aparente e taxa efetiva.

Nesta seção, você estudará as taxas equivalentes. Por definição, xas são ditas equivalentes a juros compostos quando

aplicadas sobre um capital, durante o mesmo período, e produzem o



Exemplo 1. No regime de juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?

2. Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa de juros compostos de 8% a.a.

SEÇÃO 2 - Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva Nesta seção, você estudará a taxa nominal ou aparente e a taxa efetiva.

Taxa nominal ou aparente Por definição, a taxa é nominal ou aparente quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa.

Atenção! Geralmente a taxa nominal é anual.

Taxa efetiva

A taxa efetiva é a taxa que é verdadeiramente cobrada nas transações financeiras.


Esta é a fórmula para o cálculo da taxa efetiva:

Exemplo 1. Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual.

2. Qual é o montante de uma aplicação de R$ 12.500,00 durante 2 anos a uma taxa nominal de 48% a.a. com capitalização mensal de juros?


3. Uma pessoa aplicou uma importância de R$ 42.000,00 por 3 anos a uma taxa de 24% a.a. com capitalização semestral. Qual a taxa efetiva anual e qual o montante recebido?

4. Qual das taxas abaixo será a melhor para um investimento? a) 20% a.a. capitalizados ao dia; b) 20,5% a.a. capitalizados quadrimestralmente; c) 22% a.a. capitalizados anualmente.


5. Qual das taxas abaixo será a melhor para um investimento? a) 12% a.a. capitalizados ao dia; b) 9,5% a.a. capitalizados quadrimestralmente; c) 14% a.a. capitalizados anualmente. 6. Equivale as taxas abaixo conforme a alternativa “a” Para um mesmo investimento. a) 12% a.a. capitalizados ao dia; (12,73%) b) ? % a.a. capitalizados quadrimestralmente; c) ? % a.a. capitalizados anualmente.

Atividades de auto-avaliação

Caro aluno, leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, considerando as definições e as fórmulas já apresentadas. 1) Qual a taxa anual de juros compostos equivalentes as seguintes taxas: a) 2,6% a.m.. b) 4,2% a.b. c) 4,8% a.t. d) 12% a.s.

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