AMatemáticae

asArtes

atravésdasMídias

HermesRenatoHildebrand

e

JoséArmandoValente

Sumário

IntroduçãoProcessodeAbstraçãoMatemático

Capítulo01‐ConceitosBásicos

1.1 ALinguagemnasArtesenaMatemática1.1.1 AEtnomatemática1.1.2 Aspectosrelativosàtopologiadasimagens1.1.3 Aspectosrelativosàsproduçõesdeimagens1.1.4 Aspectosrelativosàlógicadasimagens1.1.5 MatematizaçãodasCiênciasnaContemporaneidade1.1.6 ArteeMatemáticanaEraMaterialistaIndustrialOcidental

1.2 ConceitosBásicosdeProgramação

1.2.1 OqueéumAlgoritmo;1.2.2 Comoresolverumproblemacomputacional:

entenderoproblema; elaborarumplanoderesolução; executaroplano; avaliaroplanoe corrigiroplano(senecessário).

1.3 Processing1.3.1 OqueéProcessing;1.3.2 Primeirosconceitosdeprogramação;1.3.3 PalavraseElementosReservados;1.3.4 ConceitosdeCores–RGBeCMYK.

1.4 Atividades–ConceitosBásicos:

1.4.1 Atividades1‐FazeremSaladeAula‐Desenharretas,elipsesutilizandooconceitoderotaçãoetranslação‐Exercíciododesenhoemsequencial; Proposta: Solução:

1.4.2 Atividades2‐FazeremCasa‐DesenharcomoProcessingumCenário2D(EstiloMarioBros); Proposta: Solução:

Capítulo02–ConceitosdaMatemáticaDiscreta2.1 Osnúmeros,simetriaseregularidades

2.1.1 OAtodeContar2.1.2 SimetriasnasArtesenaMatemática2.1.3 AsRegularidadeseumaVisãoOrgânicaeSistêmica.

2.2 ConceitosdeProgramação

2.2.1 SistemaCartesiano;2.2.2 SistemaLógico;2.2.3 VariáveiseFunções(conceitodefunção),AritméticaseLógicas;2.2.4 Trigonometria–Seno,CossenoeTangente;2.2.5 AcessoRandômico;2.2.6 If,ElseeFor.

2.3 Atividades–Série02–MatemáticaDiscreta

2.3.1 Atividade01‐DesenharumaMandala; Proposta: Solução:

INTRODUÇÃO

A Matemática e as Artes são conhecimentos complexos e, obviamente,

relacionam‐se entre si. A Matemática sempre foi considerada a ciência dos

números; das representações do espaço e do tempo; dos fundamentos

metodológicos para as ciências; dos padrões de representação de entidades

aritméticas,algébricas,geométricas,lógicasetopológicas.Hoje,podemosdizerque

elaéumaciênciaqueestudaosmodelosepadrõesabstratosdasrepresentações

humanasdanaturezaedacultura.

Porseulado,asArtesrelacionam‐seàsatividadeshumanasatravésdesuas

característicasestéticas.O conceitodeobjetoartístico tratadoqueé “belo”edo

que é “admirável”. Segundo a Teoria Semiótica de Charles Sanders Peirce, a

Estética é uma ciência abstrata que fornece princípios para as ciências menos

abstratas:aÉticaeaLógica.Astrêsformamas“CiênciasNormativas”que,segundo

o filósofo e matemático que elaborou a Teoria Semiótica, são aquelas voltadas

“para a compreensão dos fins, das normas, e ideais que regem o sentimento, a

conduta e o pensamento humanos.” (SANTAELLA, 1994, p. 113). Assim, os

conceitos artísticos e estéticos que pretendemos abordar neste texto, que foram

inicialmenteformuladosporPlatãoeAristóteles,estãoemconstantemodificação,

chegandoaosnossosdiasapresentandoumagrandevariedadedepossibilidades

de padrões estéticos. E, para melhor compreender a evolução histórica destes

conceitos,énecessáriodizerqueaEstéticadeveserobservadapelosparadigmas

deseutempoeéfrutoderelaçõescultura,sociais,econômicasepolíticas.

Também analisaremos as Mídias que, aqui, serão consideradas como

artefatos, suportes materiais, interfaces físicas que criamos para apresentar os

signos. O processo de elaboração de conhecimento estrutura‐se através das

Linguagenseapresenta‐seatravésdasMídias.Noentanto,elas,antesdetudo,são

meios que, por si só, não geram significados, mas determinam os limites e

estruturasdoquequeremostransmitir.

Artes, Matemática e Mídias, em determinados momentos históricos,

definem princípios sintáticos, semânticos, linguagens e paradigmas que se

relacionam entre si e com todas as outras formas de conhecimento. A primeira

característicaqueobservamosentreelaséqueseestruturampelalinguagemesão

signosque representamobjetosdanaturezaeda cultura.AsArteseMatemática

são linguagens que possuem fins específicos e bem determinados, e como tal,

precisamdosmeiosdecomunicaçãoparaestrutura‐lasemseusconteúdos.Defato,

elassãodeterminadaspelasMídiase,comodeclaraMarshallMcLuhan,“omeioéa

mensagem” e, assim, destacamos a impossibilidade de separar mídia de seu

conteúdo.AsArteseMatemática,enquantolinguagem,produzemconteúdoenão

podemserobservadasindependentedasMídiasqueasgeram.

.

Oprocessodeabstraçãomatemático

Iniciemos esta pesquisa pelaMatemática. Os interesses apresentados por

ela, historicamente, nunca foram os mesmos. Na Babilônia, em 2.100 a.C., os

matemáticos estudavamosnúmeros e as relaçõesdeordem, grandeza emedida

dos elementos da natureza. Estudavam aritmética, álgebra, geometria, técnicas

para medir, contar e calcular tudo que era possível de ser quantificado;

observavamosperíodosdetempoeasquantidadesdechuvadasenchentesdoRio

Nilo.Defato,nestemomento,nossoolharparaossignosmatemáticosnãoeraem

suas características abstratas, mas sim, pelas relações discretas que produziam

comosnúmerosecomasrepresentaçõesespaciaisetemporaisequeserviampara

quantificarascoisasaonossoredor.

Umdosprimeirospensadoresarefletirsobreosmodelosderepresentação

matemático e geométrico foi Euclides. Em 300 a.C. ele publicou 13 livros

denominados “Os Elementos” que abordavam conceitos, postulados (axiomas),

teoremasedemonstraçõesmatemáticasque,demodoconsistente, formulavamo

quehoje conhecemos como sendo aGeometriaEuclidiana.Os textosdeEuclides

definiam os conceitos de ponto, reta, plano, ângulos e ângulo reto. E, por este

último,éramosencaminhadosdiretamenteaoconceitoderetasparalelas, figuras

planas, sólidos, teoria dos números, proporções, enfim, a um conjunto de

proposições matemáticas que, hoje, sabemos que estudam as representações

numéricaseespaciaisatravésdométodoaxiomático.

Nascia assim, um dos primeiros modelos abstratos de representação da

linguagemMatemáticaque,emsuagênese,observaosfenômenosreaisdomundo,

mas, que logo a seguir, excluiu a possibilidade de relação destes elementos com

qualquertipodeexperiênciadarealidade.EstemodelodeuorigemàGeometriade

Euclides que, até omomento, define conhecimentos importantes para as nossas

representações espaciais. Para Samuel Y. Edgerton, em "TheHeritage of Giotto's

Geometry" são três as condições que a Europa, a partir do século XII, dispunha

para realizar a gênese damoderna ciência. A primeira, de caráter religioso, traz

consigooconceitoéticode"leinatural",noqual,omodeloéfixado"apriori"por

padrõesmoraisestabelecidosporumúnico"Deus".Asegunda,decaráterpolítico,

se traduz na rivalidade entre os estados‐cidades e uma economia baseada no

Sistema Capitalista Mercantilista Burguês. A terceira, de caráter lógico e

matemático, tratava do Sistema Geométrico Euclidiano que permitiu tanto ao

artistaquantoaocientistaconstruirnossosmodelosderepresentaçãodomundo,

através de uma ordem "natural", finita, mecânica, suscetível de demonstração

atravésdededuçõeslógicasmatemáticas.(EDGERTON,1991,p.12).

Este momento histórico vem marcado pelos valores materiais e de

racionalidade e os registros deixados pelos pensadores da época, consagram o

caráter histórico da civilização e os valoresmateriais apoiados namatéria e na

razão que, apesar de unir duas vertentes de pensamento, a grega e amedieval,

tambémpossuicaracterísticasindividuaisenquantomomentohistórico.Essesdois

fundamentosquesãoformadoresdopensamentorenascentistapermanecemvivos

atéosdiasdehojee,deumaformasintética,modelamohomemdamodernidade.

Nocapítulo"Geometria,ArteRenascentistaeaCulturaOcidental",notexto

deEdgerton,encontramosdiretrizesquenos levamacompreenderestecicloem

suatotalidade.NoséculoXVII,osfilósofosnaturalistas:Kepler,Galileu,Descartes,

FrancisBaconeNewtontinhamqueaGeometriaPerspectivaestabeleciaconceitos

óticosbaseadonoprocessofisiológicodapercepçãovisualhumana.Dessaforma,

rompiam com o princípio medieval de uma "Geometria Divina" que permitia

representar, através das Artes, a essência da realidade e, assim, ao visualizar as

obrasdeArtesestaríamosrevivendoomomentodivinodaCriaçãodoUniverso.

Este método, até hoje, permite representar as coisas ao nosso redor e

traduzir,emmedidas,osobjetoseoshomens.Defato,elenãosórepresentanossa

percepção do presente, mas torna‐se uma ferramenta para reproduzir o futuro,

simulando‐o.AciênciamodernadevemuitoàGeometriaestruturadaporEuclides,

atalpontoque,AlbertEinstein,emdefesadesuateoriadarelatividadeebaseado

nas geometrias não‐euclidianas, chamou, a primeira de uma das maiores

realizaçõesdetodosostempos.(EDGERTON,1991,p.12).

A Geometria Euclidiana produz figuras e imobiliza asmáquinas com seus

procedimentos de representação, mas somente a álgebra formula e explica os

fundamentos mecânicos dessa mesma máquina, afirma o cientista e historiador

MichaelMaloney e, assim, a álgebra e amatemática são igualmente importantes

comociências,paraasarteseparaosprincípiosque formulamqueouniversoe

todasascoisasoperammecanicamente.

Hoje,baseadonomodelorenascentista,podemosafirmarqueaMatemática

desenvolve‐seno interiordopensamentohumano, comoummodelomental. Ela

nasceapoiadaemsignoscriadospelarazãohumanae,assim,éaciênciaquetira

conclusões lógicasdequalquer tipodeconjuntoderegraspré‐estabelecidas,não

dando importância às relaçõesdestes signos comos seusobjetos e comos fatos

naturaisdomundo,apesardeestarintimamenterelacionadacomosfenômenosde

mesmanaturezaqueela.

Além de ser reconhecida como a linguagem dos números, a Matemática

tambémauxilianasreflexõessobreacogniçãohumanaeoprocessodecriaçãoe

deelaboraçãodeconhecimento.Elapermiteconstruirmodelos lógicosqueestão

baseados na percepção dos fenômenos, e se apresentam através das

representações lógicas,gráficasementaisque,aoseremvisualizadasatravésdas

imagens, gráficos, esquemas e diagramas, permitem observar a estrutura dos

modeloslógico‐matemáticos.Pitágoraseseusseguidoresafirmavamquedevemos

construir modelos lógico‐matemáticos para explicar os fenômenos que

observamosnomundo.JáofilósofoematemáticoCharlesSandersPeirce,emseu

texto sobre a "Consciência da Razão", publicado em "The New Elements of

Mathematics",afirmavaque

as expressões abstratas e as imagens são relativas ao tratamentomatemático. Não há nenhum outro objeto que elas representem. Asimagenssãocriaçõesdainteligênciahumanaconformealgumpropósitoe, um propósito geral, só pode ser pensado como abstrato ou emcláusulas gerais. E assim, de algummodo, as imagens representam outraduzem uma linguagem abstrata; enquanto por outro lado, asexpressões são representaçõesdas formas.Amaioriadosmatemáticosconsidera que suas questões são relativas aos assuntos fora daexperiência humana. Eles reconhecem os signos matemáticos comosendo relacionados com o mundo do imaginário, assim, naturalmenteforadouniversoexperimental. (...)Todaa imageméconsideradacomosendo a respeito de algo, não como uma definição de um objetoindividualdesteuniverso,masapenasumobjetoindividual,destemodo,verdadeiramente, qualquer um é de uma classe ou de outra. (NEM 4,1976,p.213).

Aênfasedas reflexõesdePeirceestãona imagemmental,na imagemque

permiteestabelecer formas,quepossuemaspectosdiagramáticosedefine‐senas

expressõesmatemáticas, cujoenfoqueestána relaçãoentreoselementosqueas

estruturam.Amatemática traz em si umaperspectiva de percepção que sempre

esteve presente nosmodelos e nas formas de produzir conhecimento dos seres

humanos: nós sempre utilizamos os signos visuais para representar os

pensamentos.

QuandoobservamosestesconceitosverificamosqueaMatemáticatemuma

abordagem altamente complexa e, dada a sua íntima relação com a Lógica,

podemosafirmar,assimcomoPeirce,queasduassãociênciasdemesmanatureza

edeterminamasformasdeorganizaçãodoconhecimentohumano,semquestionar

deondeelevem.Porprincípio,aMatemáticaéumaciênciaquenadatemavercom

qualquer fato real, a não ser com fatos abstratos que extraem de si própria. E,

dessemodo,confirmandonossahipóteseinicialarespeitodopensamentohumano

ematemáticoe,baseadonafilosofiasemióticadePeirce,encontramosnaspalavras

de Lúcia Santaella, uma resposta para esta formulação. Para ela e para esse

pensadoramericano,

é verdade que as ideias, elas mesmas, podem ser sugeridas porcircunstânciasmuito especiais;mas amatemática não se importa comisso.Elaé,assim,comoacontemplaçãodeumobjetobelo,excetoqueopoeta o contempla sem fazer perguntas, enquanto o matemáticopergunta quais são as relações das partes de suas ideias umas com asoutras.(1993,p.158).

A principal atividade daMatemática é descobrir as relações internas dos

sistemas, sem identificar o objeto a que ela se refere.Por isso, ospesquisadores

sempre estiveram preocupados com todos os tipos de representações que

comportam a Matemática, em particular, com as relações entre os signos no

interior de sua própria estrutura, preocupando‐se com os estímulos visuais e

mentais recebidos.As imagenssãorepresentaçõesdosmodelosqueconcebemos

mentalmente, isto é, são signos visuais que exteriorizam o comportamento de

nossasideiasabstratas,porisso,são“signosvisuais”querealizamnossas“imagens

mentais”.

Nesta reflexão sobre aMatemática e as Artes damos ênfase aos aspectos

visuaisediagramáticosdasimagensedasexpressõesmatemáticas,cujosenfoques

estãonasrelaçõesentreosdiversoselementosqueasestruturam.AMatemáticaé

umsistemadesignos,cujagramáticasemprefundamentouodiscursoracionalista

tecno‐científicodaculturaocidental.OmatemáticoBrianRotman,deacordocom

esta afirmação, diz que as normas, diretrizes e leis deste discurso sempre

estiveramprofundamentemarcadaspelosprincípioseestruturasmatemáticasem

umnívelsimbólicoelinguístico(1988)e,ainda,complementandoestaafirmação,

Peirce diz, que também em um nível diagramático. (1983, p. 42) De fato, nossa

escolha recai sobre os valores da cultura ocidental, porque é dela que emanam

nossas crenças e percepções do mundo. Podemos evoluir em nosso raciocínio

tentandocompreenderoutrasculturas,mas,obviamente,nuncadeixaremosdever

esteobjetodeestudocombasenoparadigmadepercepçãoocidental.

CAPÍTULO01–CONCEITOSBÁSICOS

1.1 ALinguagemnasArtesenaMatemática

Amatemáticaéumalinguagemqueestárelacionadaàcogniçãohumanae

ao processo de elaboração de conhecimento. Através dos desenhos, imagens,

gráficos, diagramas e esquemas, verificamos que nossa percepção visual é

carregada de princípios abstratos, lógicos e matemáticos. Deste modo

encontramos muitos pontos de similaridades entre Artes e Matemática,

especialmente, quando observamos estas duas áreas de conhecimento sendo

modificadopelasmídiasquecriamosaolongodahistória.

1.1.1AEtnomatemática

Oenfoquequepretendemosdaraestetextotembasenaculturaocidental,

noentanto,iniciaremosnossareflexãoporaspectosqueconsideramosapartirde

outras culturas e etnias. Ubiratan D’ Ambrósio (1990), com a noção de

“Etnomatemática”,afirmaqueoconhecimentomatemáticoestápresenteemtodas

as formas culturais e que, ao manejar números, quantidades, medidas, relações

geométricas, imagens gráficas, padrões de representações e os conceitos

matemáticos, estamos fazendo “Etnomatemática”. Para ele, este conhecimento

situa‐senumatransiçãoentreamatemáticaconvencionaleaantropologiacultural.

Eassim,asraízesdenossoconhecimento

é na verdade uma etnomatemática que se originou e desenvolveu naEuropa,tendorecebidoalgumascontribuiçõesdascivilizaçõesindianaeislâmica e que chegou à forma atual nos séculos XVI e XVII, e entãolevada e imposta a todo o mundo a partir do período colonial. Hojeadquire um caráter de universalidade, sobretudo em virtude dopredomíniodaciênciaedatecnologiamodernas,desenvolvidasapartirdoséculoXVIInaEuropa.(D´AMBROSIO,2000,p.112).

Observemosentãoa“Etnomatemática”aplicadaaosaspectosdaculturanão

ocidental relativa à topologia das imagensproduzidasnas pinturas rupestres, às

produções dos chapéus côncavos e convexos da cultura Chilkat e relativa aos

padrõeslógicosqueformamastramasdascarteirasdepalhadaculturaafricana.

1.1.2Aspectosrelativosàtopologiadasimagens

Oregistrodopensamento,emalgumtipode imagem,sobrealgumtipode

suporte,vemsendorealizadopeloshomensdesdeapré‐história.Juntocomestas

representações temos a necessidade de determinar parâmetros para realizá‐las.

SãoconhecidasasimagensdostourosgravadasnaspedrasdacavernadeLascaux,

naFrança,com5metrosdecomprimento.E,parece fácilcompreenderque,para

realizá‐las, sempre foi necessário um conhecimento técnico e um procedimento

lógico‐matemático espacial a fim de conceber representações tão grandes, com

suasdevidasproporções.Parautilizaróxidomineral, ossos carbonizados, carvão

vegetal e o sangue dos animais abatidos na caça com a intenção de representar

imagensnaspedras,ohomemnecessitouplanejarestatarefa,assimcomo,também

planejoualógicadesuasrepresentações.

Amodelagemlógicadasimagensdostourosexigiuumprincípiotopológico

de representação que, por sua vez, era a forma imagética para fixar uma

representação,umdesenhos,ouainda,eraaformaxamânica,místicaoureligiosa

paradominarosanimais,facilitandosuacaça.(SOGABE,1996,pp.59‐64)

Os homens da pré‐história acreditavam que as imagens serviam para

delinearasaçõesdodiaadia.Desdeosprimeirosregistrosasimagensjápossuíam

acaracterísticadeseremcientíficas.Alémdeestabeleceremas formasdenossos

modelos de representação, através de regras de proporcionalidade, também

serviamparacontabilizaraspessoas,osanimaiseascoisasdocotidiano.Assim,o

homem se mostrava científico desde a pré‐história. Primeiro rudimentarmente

comseusregistrosnaspedrasedepois,comrepresentaçõesmaisdetalhadasdas

imagensdasplantas,daanatomiahumanaeanimal,atribuindoacaracterísticade

serumregistrodoolhar,istoé,aimagemésemelhanteaoolhar(SOGABE,1996).

Inicialmente, as imagense as estruturas geométricasqueorganizavamasnossas

representações em desenhos e pinturas, eram executadas somente com técnicas

artesanaisemanuais.

Os estudos preparatórios dos elementos utilizados em suas pinturas[Leonardo da Vinci], comoos das pesquisas de plantas para ‘Leda andthe Swan’ (Meyer, 1989), foram os resultados de uma observaçãoapuradadanaturezaedeumregistroprecisodasplantas,nosmínimosdetalhes. Esses registros, buscando uma fidelidade maior com o real,iniciam também a necessidade de um olhar mais minucioso sobre anaturezarevelando,emconsequência,novosconhecimentos.(SOGABE,1996,p.62).

É trivial deduzir que as imagens encontradas desde a pré‐história até

recentemente, passando pelos egípcios, babilônios e gregos, possuem

características topológicas e a capacidadede representar quantidades,mensurar

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expõemaidentidadesexualdosdoisatoresesuarelaçãosexual.Asrochasquesão

os suportes destas pinturas mostram que as figuras humanas são desenhadas

como se estivessem na superfície do solo, na qual as duas pessoas interagem

sexualmente.

OestudodosgrafismosdeaçãodaTradiçãoNordestepermiteconstatarque, segundo as modalidades estilísticas, os autores recorrem àsdiversassoluçõesparaestabelecerasrelaçõesdeprofundidadeentreoselementosda composiçãopictural.Vemosvárias formasde tratamentodoespaçoedarepresentaçãodeprofundidadeentreoscomponentesdoagenciamento pictural. Um destes procedimentos consiste nasuperposição de diferentes planos paralelos horizontais aos quais sãodispostos componentes de uma representação, de tal sorte que pareceachatado sobre o plano bidimensional, a percepção da profundidadeexige do observador um ato imaginário de destacamento da figura. Apartirdestaoperaçãodebase,osprocedimentosutilizamosrecursosdeobliquidadequecontribuemparaproduzirumaverdadeirapercepçãodeprofundidade, pois significaumcrescendoedecrescendo,domomentoqueévisto,comoumdesvioouaproximaçãogradualdaposiçãoestáveldaverticalidadeehorizontalidade.(PESSIS,1987,p.69).

Nestas formas de representação gráfica podemos constatar claramente as

estruturas lógico‐matemáticas de caráter topológico que são necessárias para

elaborarestesdesenhos.Apesardeelasseremrealizadassobreaspedras,quesão

suportes tridimensionais, podemos vê‐las como representações bidimensionais

que,facilmente,seriamrealizadasemfolhasdepapel.Elasexigemumaconcepção

doespaçotopológicoque,certamente,temdimensionalidadeeproporcionalidade.

Estas são características das estruturas lógicas e matemáticas destas imagens.

Estes registros cravados nos diversos tipos de suportes usados na pré‐história

possuem estruturas topológicas e, portanto, lógicas e matemáticas, ao serem

elaborados.

Na figura a seguir observamos uma das mais belas representações com

imagens de homens, animais e muitas formas repetidas, mostrando as noções

topológicas nas quais identificamos a espacialidade corporal e sistemas de

contagemequantificação. Esta imagem,realizadanaTocadoBoqueirãodoSítio

daPedraFurada,emSãoRaimundoNonato,noParqueNacionalSerradaCapivara,

foi produzido por Marcelo da Costa Souza, que utiliza recursos computacionais

paradigitalizá‐la.Oprocessodeobtençãodestaimagemeseutratamentográfico,

através dos meios de produção eletro‐eletrônicos, suscitam uma série de

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peças tridim

representa

voseconve

oram reali

sTlingit,H

rmoniaep

mosqueos

tivas,pois,

is com o u

çãográfica

o computad

gráfico. Com

nãoseriam

3‐PinturaRucadoBoquei,Piauí,BrasilGuidon,Héris

relativos

gens e rep

mensionais

ar as imag

exosdosín

zados pelo

aidaeKwa

roporções

índiosam

,somentea

uso dos co

adaimagem

dor, isto é,

m isso, pod

mpossíveis

upestre‐DetrãodoSítiod.InPeinturesssey–Érreux

sàsprod

presentaçõe

s, de fato,

gens criad

ndiosnorte

os índios M

akiutl.Nas

nanaturez

mericanos,a

assim,pod

mputadore

mquesóé

, extrapola

demos iden

deseremv

talhedeCenadaPedraFuraspréhistoriqux,France,199

duçõesde

es bidimen

usamos u

as por nó

‐americano

Makan e ou

imagense

za,arteea

aoelaborar

emosobse

es. Este pr

limitadap

a a limitaçã

ntificar im

visualizada

Cotidianaada.uesduBrésil91,p.106.

eimagen

nsionais, ou

uma grande

ós. Observe

osdonoroe

utros povo

xtraídasdo

rquitetura”

remsuasce

ervareleme

rocesso per

elotamanh

ão da resol

magens grav

as.

l,

s

utras vezes

e variedad

emos agor

estedoPac

os Nootka,

olivro“Op

”(DOCZI,1

estas,uten

entos

rmite

hodo

lução

vadas

s são

de de

ra os

cífico.

e os

poder

1990,

sílios

dom

repr

sãop

eles.

FigurePro

espir

amp

mésticos e

esentação

produzidas

ra04‐ChapéporçõesnaN

rais ao red

las. Cesteir

vestimen

noatoda

snaconstr

éuCôncavoeNatureza,Arte

dor desses

ros trabalh

ntas, fund

elaboração

uçãodoso

ConvexodoseeArquitetu

s fios, que

ham em u

damentam

ode seuso

objetosdep

sÍndiosAmeura,deGyörgy

FiguratrançaLimiteArte eMercu

suas

junta

vão‐se al

m padrão

seus m

objetosde

palhaenas

ricanos.In:OyDoczi,Ed.M

a 05 ‐ Anáados do tipes: Harmoniae Arquitetururyo,SãoPaul

As aranh

teias come

am no cen

argando e

dinérgico

modelos t

usodiário

simagensc

OPoderdosLMercuryo,São

lise proporco convexo.as e Proporçra, de Györglo,1981,p.16

has tecede

eçando por

ntro. Em s

m órbitas

semelhant

topológicos

o. Suas ima

colocadass

Limites:HarmoPaulo,1981

cional de chIn O Podeções na Natgy Doczi, E6.

eiras const

r fios retos

seguida, t

cada vez

te. Inicialm

s de

agens

sobre

monias1,p.14.

hapéusr dostureza,ditora

roem

s que

ecem

mais

mente

fibra

Em s

urdid

poré

radia

diné

(DOC

as p

Pitág

diagr

chap

(DOC

sime

cerim

suce

são

relaç

não

asduras,a

seguida, fib

dura, de fo

ém flexível

antes,com

rgica do p

CZI,1990,p

Docziaf

proporções

goras. Est

ramáticos

péus tranç

CZI, 1990,

etriasques

O própr

moniais do

essãodeolh

representa

çõeslógica

foram uti

urdidura,

bras flexív

orma rotat

, toma lug

umatram

rocesso de

pp.14‐16)

firmaquen

áureas e

as estrutu

dos chap

ados, reco

p. 16). Est

semprebus

Figu

rio texto d

os Chilkat,

hosedefo

ações esqu

smatemát

ilizadas co

sãoamarra

veis – a tra

tiva. Em ce

gar da urd

afina,com

e trabalho,

noschapéu

nos chap

uras lógica

éus elabor

onstruídas

tas tramas

scamosaoo

ura06‐MantNatura

de Doczi ab

em seus

rmasovoid

emáticas e

ticascomb

om estes f

adasemum

ama – são

estos feito

didura reta

mauxíliode

é fácil rec

uscôncavo

péus conve

as podem

rados ao

pelo mét

s e urdidur

observarob

taChilkat–Mal,Chicago,Il

borda as p

mínimos

des,quetam

e estilizada

baseempro

fundament

mpontoqu

trançadas

os em cara

a; ela é cos

eumaagul

construir o

spodemos

exos relaçõ

m ser iden

lado que

odo dinér

ras nos rem

bjetos.

MuseudeHistlinois.

proporções

detalhes.

mbémsão

as. É óbvio

oporçõese

tos pelos

ueseráoc

por cima

col, uma f

sida, ao lo

ha.Porcau

os contorno

sencontrar

ões como

ntificadas

mostram

gico de ra

metem às

tória

encontrad

Nelas enc

encontrado

que estas

noTeorem

índios nor

centrodoc

e por baix

fibra resist

ongo das li

usadanatu

os de um c

rrelaçõesc

o Teorem

nos esqu

as formas

aios e cír

similaridad

das nas ma

contramos

osnoscha

s formulaçõ

madePitág

rte‐americ

cesto.

xo da

tente,

inhas

ureza

cesto.

como

ma de

emas

s dos

culos

des e

antas

uma

péus,

ões e

goras

anos,

porém, alguns procedimentos lógicos,matemático e topológico, semelhantes aos

utilizados nas imagens rupestres, são necessários na construção destas peças

artesanais.

Deixando de lado estas representações que foram realizadas de forma

independente dos rigores matemáticos da cultura ocidental, vamos retomar o

pensamento de Ubiratan D´Ambrosio e constatar que emmuitas civilizações do

passado,comoasdosastecas,dosmaias,dosincas,dasquehabitaramasplanícies

daAméricadoNorte,daAmazônia,daÁfricasubequatorial,dosvalesdosIndus,do

Ganges, do Yang‐Tsé e da Bacia do Mediterrâneo, desenvolveram importantes

princípios no campo da matemática. Introduzindo o próximo aspecto que

queremosanalisarnestetexto;sãoasquestõeslógicasdosmodelosmatemáticos.

A civilização egípcia, que à cerca de 5.000 AP (antes do presente), deu

origemaconhecimentosutilitárioseespeciaisnamatemática(D´AMBROSIO,2000,

p.34),estábaseadaemrepresentaçõesquetratavamdasmedidasdasterrasede

aspectosrelativosàastronomia.OsegípciosconstataramqueasinundaçõesdoRio

NiloocorriamdepoisqueSirus,aestreladocãoqueapareciaa leste, logoapóso

nascerdoSol(BOYER,1974,p.9).Após365dias,estasituaçãodealagamentodas

terrasdoEgito,voltavaaacontecere,assim,osegípcioselaboraramumcalendário

solarqueavisavasobreasinundações.Elesutilizaramprocedimentosmatemáticos

deregistrodotempoepraticavamumamatemáticautilitária,assimcomoospovos

damargemsuperiordoMediterrâneo,osgregos,tambémusavamamatemáticada

mesmaforma.Noentanto,

ao mesmo tempo, desenvolveram um pensamento abstrato, comobjetivos religiosos e rituais. Começa assim um modelo de explicaçãoque vai dar origem às ciências, à filosofia e à matemática abstrata. Émuito importante notar que duas formas de matemática, uma quepoderíamoschamardeutilitáriaeoutra,matemáticaabstrata(outeóricaou de explicações), conviviam e são perfeitamente distinguíveis nomundogrego(D´AMBROSIO,2000,p.35).

Nossoobjetivoaoabordaraspectosmatemáticosdemomentosprecedentes

aosdaculturaocidentaledeculturasdiferentesdanossa,nãoédereconstruira

história da matemática ocidental, mas simplesmente, de apresentar algumas

reflexões sobre as imagens e as matemáticas produzidas por estas culturas.

Poderíamos,ainda,estardestacandoaspectosmatemáticosdaGréciaedeRoma,

no tempo de Platão eAristóteles, ou analisar profundamente “Os Elementos”de

Euclides,ouainda,tecercomentáriossobreostrabalhosrealizadosporPitágorase

por

mate

apar

cultu

(D´A

ocide

tranç

Paul

prod

“Sipa

como

apro

traba

Moça

Prov

traba

mach

hom

ane

seus segu

emática d

rentemente

ura e sua

AMBROSIO,

1.1.4A

O últim

entaissão

çadas, cha

us Gerdes

duzempadr

atsi: tecnol

o base, e

oveitandoo

A coleta

alho de a

ambique, f

vínciadeIn

alhoorigin

hambas, à

mensseded

cessidade

uidores, en

da Antigui

e, estão iso

as formas

2000).

Aspectos

mo aspecto

àsrelações

madas de

s e Gildo

rõesgeomé

logia, arte

expõe a f

osprincípio

de dados

análise da

foi realizad

nhambane.

nariamente

cozinha,

dicamàpes

deaument

nfim, obse

dade. No

olados entr

de produ

relativos

que quer

sgeométric

“sipatsi”, d

Bulafo. Ele

étricosdec

e Geomet

forma de

oslógicosd

FSPM

com as c

as formas

da nos dist

SegundoG

feminino.A

ao transpo

scadocama

tara renda

ervar os v

entanto,

re si, porém

ução que

sàlógica

remos ana

casobtidas

da Provínc

es mostram

construção

tria em In

se constr

dastramas.

Figura 07 ‐SIPATSITecnPaulo GerdesMoçambique

esteiras e

geométri

tritos de M

GerdeseBu

Asmulhere

orte de ág

arãoeàco

adas famíl

vários mom

preferimo

m totalmen

nos cond

adasima

alisar desta

snaconstr

cia de Inha

m que as

dastrama

nhambane”

ruir carte

‐ Carteira trnologia,Artes e Gildo Bu,1994.

os cesteir

cas const

Morrumben

ulafo,aexe

estambém

gua e à ed

onstruçãod

liaseogra

mentos da

os aborda

nte conecta

duz à “Et

gens

as culturas

uçãodasca

ambane, em

cestarias

sdos“sipat

(1994), q

iras de m

rançada deeGeometrialafo, Impren

ros, para a

ruídas no

ne, Maxixe

ecuçãodas

sededicam

ducação da

decasas.Po

ande intere

a história

ar temas

ados atravé

tnomatemá

s e etnias

arteirasde

m Moçamb

moçambic

tsi”.Oseut

que tomar

mão tranç

mão ‐ SiptaaemInhambansa Globo, M

a realizaçã

os “sipatsi”

e Jangam

scestarias

maocultiv

as criança

orém,hoje,

essedesper

e da

que,

és da

ática”.

s não

emão

bique.

canas

texto,

emos

çadas,

asi. Inane,deaputo,

ão do

”, de

o, na

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odas

s. Os

,com

rtado

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profi

nas

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utiliz

Esta

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Pode

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dese

“sipa

dasp

obed

tranç

geom

este tipo

issionalme

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relações s

struídasap

zado para

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meira.Segu

smoçambi

plano bid

essidadede

ParaGer

Existem

eríamos d

esentações

ejássemos.

atsi”,poisc

palhasteci

decem às d

çasdo“sipa

Anoção

métrica d

de artesa

nteàexecu

emaioriad

simétrica p

partirdeum

elaboração

sformasde

ndoGerdes

icanos,por

dimensiona

etrançar.

rdeseBula

Geraperppadréadvertfato

m vários

izer ainda

s são fitas

Este é ap

comoasfor

idas,facilm

direções 0

atsi”.

odesimetr

as carteir

anato, têm

uçãodastra

dospadrõe

possíveis n

matorçãod

o das figur

eelaborara

seBulafos

rém,astram

al e suas

afo,oeixoin

almente dizpendicular àrãoéinvariadequadaseotical,porexemvertical.(GE

eixos ver

a, que os

e poderia

enas um d

rmasgeom

mentecomp

o, 45o, 90o

ianasfigu

ras de M

aparecido

amaseurd

esdefitasd

nas tecelag

de45oou1

ras obedec

aspeçasde

sãovários

masrespei

possibilid

ndicadoép

‐se que umà direção daantesobumalivroemquemplo,colocaERDES;BU

rticais enc

eixos de

am se pro

dos exemp

métricassão

preendemo

o, 135o e 1

rasgerada

Moçambiqu

o vários c

didurasdas

dos“sipatsi

gens. As c

135o,coms

ce a perpe

epalhafina

ospadrões

itamumpa

dades de

FigemSipArtdeImpMo

perpendicu

m padrão‐dea fita, apresereflexãonoeseencontradonumestanLAFO,1994

contrados

simetria

longar ind

plos das si

oconstruíd

osqueosd

180o, obrig

asporeste

ue é um

esteiros qu

scarteiras“

ӎproduzi

carteiras e

imetriaaxi

endicularid

aemaleáve

sdetecelag

adrãodesi

execução

gura08‐Modcarteirastratasi.InSIPATteeGeometriPauloGerdesprensaGloboçambique,19

ularàdireç

e‐fita com eenta uma simeixovertical.aafiguraestnte:quando4,p.79)

nas form

são infinit

definidamen

imetrias en

asnastram

desenhose

gatórias na

sistemade

m modelo

ue se ded

“sipatsi”.

idabaseand

e as cestas

ial,istoé,o

dade das fa

eldeumtip

gemelabor

imetriadef

limitada

delagempossançadasdemTSITecnologiiaemInhambs&GildoBulao,Maputo,994.

çãodafita.

eixo de simmetria verti.Apalavravtivernumapestiverassim

mas tram

tos, já qu

nte se ass

ncontradas

maseurdid

formassem

a execução

erepresent

o determi

dicam

do‐se

s são

oeixo

aixas.

pode

rados

finida

pela

sívelão‐ia,ane,afo,

metria,ical. Oerticalosiçãom,éde

madas.

ue as

sim o

s nas

duras

mpre

o das

tação

inado

fundamentalmentepela lógicada tramadas fitasdepalha.E,de fato,osaxiomas

lógicosquedefinemosmodospossíveisdeconstruçãodasformasgeométricasdas

carteiras, são elaborados diante do ato de se tramar as próprias produções

realizadasemtecelagem.

Verificamos que a série de figuras gerada através dos paralelogramos

dentadoséequivalenteaoitoportreze,ouseja,oitotirasoblíquas,sendocadauma

delas composta por treze quadrados. Isto forma um período fixo no qual os

desenhos produzidos se repetem e, assim, as formas são confeccionadas nas

possibilidades desta estrutura. Gerdes e Bulafo elaboraram a classificação lógica

das formas geométricas apresentadasnas carteiras, naqual é possível distinguir

seteclassesdistintasdepadrões.Segundoestesdoisautores,asfitaspodemser:

1) Padrões‐de‐fita que apresentam ao mesmo tempo uma simetria vertical, uma

horizontaleumarotacionalde180graus;

2) Padrões‐de‐fita que apresentam ao mesmo tempo uma simetria vertical, uma

simetriatranslacional‐refletidaeumarotacionalde180graus;

3) Padrões‐de‐fitaqueapresentamaomesmotempoumasimetriavertical;

4) Padrões‐de‐fitaqueapresentamaomesmotempoumasimetriahorizontal;

5) Padrões‐de‐fitaqueapresentamumasimetriarotacionalde180graus;

6) Padrões‐de‐fita que são apenas invariantes sob uma reflexão translada (ou sob

umatranslaçãorefletida);

7) Padrões‐de‐fita que são apenas invariantes sob uma translação e que não

apresentamnenhumaoutrasimetria(Gerdes;Bulafo,1994,pp.79‐80).

Anoçãodesimetriageradaporestesistemaderepresentaçãogeométrico

dascarteirasdeMoçambiqueéummodelodeterminadologicamentepelastramas

dasfitasdepalha.E,defato,osaxiomaslógicosquedefinemosmodospossíveisde

construção das formas geométricas das carteiras, são elaborados pelo ato de se

tramaredeseperceberasconsistênciasdaprópriaestruturadatecelagem.

Verificamos que a série de figuras gerada através dos paralelogramos

dentadoséequivalenteaoitoportreze,ouseja,oitotirasoblíquas,sendoqueelas

são compostas por treze quadrados. Isto forma um período fixo no qual os

desenhos produzidos se repetem e, assim, as formas são confeccionadas nas

possibilidadesdestaestrutura.Nafiguraaseguirpodeseverificaraestruturasdas

tramasquefazemoscesteiros.

Fig

padr

padr

gura09‐Des

Nofinal

rões das fi

rõesquefo

senhorealizad

dolivrod

tas para d

ormamsão

dono“sipats

eGerdese

dimensões

emnúmer

si”compadrõ

eBulafovem

2X3, 2X4,

rolimitado

õesconstruíd

moselabor

4X3, 5X3

emfunção

osapartirda

radasaspo

e 3X4 mo

odarelação

atramadapa

ossibilidad

strando qu

oqueadota

alha.

esde

ue os

amos

para os quadrados horizontais e verticais. Já em outro livro, "Explorations in

ethnomathematicsandethnoscienceinMozambique"(1994),organizadoporPaulus

Gerdes,vamosencontrarváriosautoresrefletindosobreasquestõesmatemáticas

eeducacionaisrelativasàsciênciasnasproduçõesafricanasdoséculo21.Todosos

textosabordamaciência"etnomatemática"easpectosmatemáticosdalinguagem

e da aritmética mental dos africanos, em especial, sobre a cultura realizada em

Moçambique.

1.1.5 Amatematizaçãodasciênciasnacontemporaneidade

Aqui, nosso objetivo é realizar uma abordagem dos signos artísticos e

matemáticos atravésdasmídiasdandoênfase àsquestões lógicasdavisualidade

que são relativas ao contexto contemporâneo. E, de fato, contribuir para atingir

outros níveis de complexidade e observar emergências através das análises que

realizaremos.ParaSantaellaeNöth,fundadosnospensamentosdePeirce,todasas

ciênciascaminhampara

aumentaremgradualmente seu nível de abstração até se saturaremnamatemática,querdizer, a tendênciade todasas ciênciasé se tornaremciências matemáticas. O conglomerado de ciências, que hoje recebe onomedeciênciacognitiva,pareceestarnocaminhodecomprovaressasugestão.(1998,p.90).

Hoje, as imagens digitais existem durante o tempo de processamento e de

exposiçãoatravésdasmídias.Elassãoconstruídase,emseguida,destruídaspara

darem lugar às imagens que as substituíram. Nossos sistemas de percepção são

“imagensemprocesso“ou“imagensvirtuais”quesãogeradasapartirdemodelos

lógicosligadosàsmídias,porissoatotaldependênciaconceptualquecarregamde

seussuportes.

As“ImagensMatemáticas”(HILDEBRAND,2001)sãoconcepçõesvisuaisem

processo que adquirem valores diferenciados quando são compreendidas

relacionadasàs linguagensqueasgeramcombasenosprincípiose fundamentos

domomentohistóricoemquesãoconcebidas.Observaressesaspectosassociados

às tecnologias emergentes1 nos levou a conectar três realidades aparentemente

1 As Tecnologias Emergentes são aquelas que nascem a partir dos meios de comunicação e

informação no mundo contemporâneo. A curto prazo (próximos doze meses) considera‐se TecnologiaEmergente aquela que é utilizada para produção e distribuição de conteúdonos ambientes colaborativos,participativosesociaisequeutilizammídiasatuais;amédioprazo(2‐3anos)sãoasquetrabalhamcomosconteúdosabertosedispositivosmóveisea longoprazo(quatrooucincoanos)sãoossistemasquelidamcom as “coisas”. O foco desta pesquisa concentra‐se em desafios a curto emédio prazo, em particular, as

disti

cara

mate

para

signo

semâ

nosa

De fa

por

imag

aspr

cient

redo

tecnabratecn

ntas: a vis

cterísticas

emáticaem

aarealizaçã

Assim, es

osqueger

ânticos que

aspectosp

fato, partire

esta ciênci

gensgerada

roduçõesa

1.1.6Ar

Apartird

tíficarealiz

or.A repres

ologias aplicaangente, hoje,ologiadainfor

sualidade d

diagramát

msie,emte

ãodestetip

ste estudo

ram,nos se

e são desc

paradigmáti

emosde u

ia, aument

aspelamat

rtísticasem

rteemat

daIdadeMé

zadaporGa

sentaçãod

das a Interneconsideram‐sermaçãoecomu

das imagen

ticas; aque

erceiroluga

podeconhe

pretende o

eusaspecto

critos, narr

icosqueco

mmodelo

tando os n

temática,o

midiáticas.

emática

Na

est

co

rec

co

co

mo

im

an

FigGioCiv

édia,começ

alileu,acul

de figuras a

et e que vême Tecnologiasunicação,ciênc

ns, que, atr

estãoopera

arosaspec

ecimento.

observar a

os sintático

rados e dis

onstroemo

queperm

níveis de co

observadas

naeram

a cultura

tiveramas

nheciment

correr a

mportame

nstruir. P

odelos, dia

magens me

nteversitua

gura10‐Detotto(1304/6vita(ed.),Abr

çandopela

lturaocide

atravésdas

a partir de dEmergentes aciacognitiva,ro

ravés do p

acional da

tosmentai

a linguagem

osdadosp

ssertados p

osváriosp

ite observa

omplexidad

nocontex

materialis

ocidenta

sociadasàs

to human

elas par

nto dos

Planejar é

agramas, d

entais e v

ações.

talhedolame).In:GêniosdrilCultural,Sã

aspinturas

entalcomeç

sdiferente

dispositivos mas produçõesobóticaeinteli

processo cr

construção

sesimbóli

mmatemát

elas forma

pelo código

ensamento

ar as imag

de do racio

totecnológ

staindust

al as ima

sformasde

o. Somos

ra melhor

modelos

sinônimo

desenhos, e

visuais qu

entoanteCrisdaPintura‐GãoPaulo,196

deGiottoe

çouaplane

s formasp

móveis: mídiasem nanotecnoigênciaartifici

riativo, exp

oda lingua

icosnecess

tica através

as,nosasp

omatemáti

osmatemá

gensprodu

ocínio sob

gicoeassoc

trialocid

agens sem

eelaboraçã

s obrigado

r observa

que quer

o de elab

esboços, e

ue possibi

stoMorto,Giotto,deVic68,p.22‐23.

epelarevol

ejartudoa

perspectiva

locativas. De

ologia, biotecnial.

põem

agem

sários

s dos

ectos

ico, e

ticos.

zidas

re as

ciado

dental

mpre

ãodo

os a

ar o

emos

borar

nfim,

litem

tor

lução

oseu

as fez

e modonologia,

com que tivéssemos a capacidade de representar, numa superfície plana,

elementosgeométricossimulandotrêsdimensões.

Comecemosentãopelaobservaçãodasrepresentaçõesartísticasdofinalda

Idade Média e do começo do Renascimento, mais especificamente, as pinturas

realizadasporAmbrogiottoBondone,conhecidocomonomedeGiotto,quenasceu

porvoltadoséculoXIII.Asobrasdesteartistacomeçamaconsagrarummodelode

representação visual e lógicomatemático realizado por volta do século III AC: a

geometria euclidiana. Hoje, a obra de Euclides de axiomatização dos elementos

matemáticoséconsideradaaprimeiratentativadesistematizaçãonamatemática.

Estaformadeelaboraçãogeométricapodeservisualizadanaspinturasrealizadas

porGiotto.Claroquenestemomento,aspinturasnãoadotavamprocedimentosde

perspectivatãoelaboradoscomoiremosvernasobrasdoRenascimento.

Comestemodelo,apartirdoséculoXIII,conseguimossimulareplanejaros

ambientesreaiseimagináriosutilizandoimagenscombasenomodeloeuclidiano.

SegundoSamuelY.Edgerton,emseutexto"TheHeritageofGiotto'sGeometry‐Art

and Science on the Eve of the Scientific Revolution", três são os aspectos que

modificam nosso paradigma de percepção neste momento: um político, um

religiosoeummatemático.Paraele,osfatoresquecontribuíramparaasgrandes

mudanças a partir do período renascentista foram: a política de rivalidade nos

estados‐cidadessustentadaporumaeconomiacapitalistaburguesamercantilista;

o conceito ético religioso de "leis naturais” concebidas a partir de um modelo

fixado "apriori"queadmitiaaexistênciadeum"Deus"únicoe, finalmente,uma

filosofiaparaapintura,queadotavaprincípiosbaseadosnaestruturaaxiomáticae

matemáticadageometriaeuclidiana.(1991,p.12).

Escolhemos o ciclo materialista industrial ocidental, obviamente, porque é

dele que emanam nossos valores, fundamentados na matéria e na forma de

produzirdaculturaocidental, assim,omodeloqueadotamosparaanalisarestes

signosestãoapoiadosnosmeiosdeproduçãopré‐industrial,industrialmecânicoe

industrial eletro‐eletrônicos e digital, que analisaremos a seguir. Não seguimos

rigorosamente uma segmentação histórica, uma vez que entendemos que as

mudançasdepadrõeseparadigmasnãoocorreminstantaneamente,nemdeixam

de existir na passagem de um ciclo a outro, verificamos que tudo deve ser

estruturadodemaneiraorgânica,não comoummundo comvaloresque tenham

tidomomentosdeascensão,apogeuedecadência.

De fato, ainda hoje, nossa cultura está impregnada pelo paradigma

cientificista sustentado no modelo cartesiano, que tem como principais

fundamentaçõesteóricasospensamentosdeDescartes,NewtoneBacon.Paraeles,

qualquersistema,pormaiscomplexoquefosse,poderiasercompreendidoapartir

das propriedades das partes e, automaticamente, a dinâmica do todo se

explicitaria. Acreditamos hoje numa evolução e que nossos sistemas são como

“holarquias”(LAURENTIZ,1991),onde

parteetododeixamdetersentidosisoladosepassamacomporumsistemaúnico,íntegroecoeso....Omododepensaroriental,com sua maneira intuitiva de estabelecer valores, aponta namesmadireçãoquandoafirmaque"ocaminhoecaminhantesãofundamentalmenteumacoisaúnica formandoum todo,ondeoprimeiro não existe isolado do segundo, e muito menos esselongedoprimeiro.(HILDEBRAND,1994,p.14).

Cadacicloaquicitadofazpartedaevoluçãodeummodeloque,antesdeser

determinado, é um processo de investigação científica, onde acreditamos no

caminhopercorridoembuscadasverdadesmaisdoqueemsuadefiniçãoabsoluta.

Quandodaelaboraçãodenossadissertaçãodemestrado,tínhamosemmenteum

princípiofragmentárioclaramentecartesiano,sabíamosserdifícilabandoná‐lopor

completo, uma vez que nossos princípios eram frutos deste modelo. Hoje, não

totalmente desvinculados das formulações de Descartes, acreditamos em um

modelo com valores mais harmônicos baseado na obra e filosofia de Charles

SandersPeirce.

1.1.6.1Ociclopré‐industrial

Ascidadescomeçamacrescer.Alémdasmuralhasqueprotegemosburgos

ainda se pode ver, no horizonte, o infinito, o irreconhecível, o imponderável, o

místico: a IdadeMédia.Umanovavida se abre coma expansãomarítima, coma

economia comercial e monetária e com o gradativo abandono dos castelos

medievais.Oscentrosculturaisdeslocam‐sedocampoparaascidades.

A população está em constante movimento: os cavaleiros através das

cruzadas,osmercadoresqueandamdecidadeemcidade,oscamponesesdeixam

suasterrasparavirarcomerciantes,osartistaseartesãosvagueiamembuscade

trabalhoenfim,omundomove‐seeohomempercebeessemovimento.

Os princípios estabelecidos pela fé começam a cair por terra diante de

duas formas de conhecimento: a teologia e a filosofia. A Igreja como uma

instituição soberana permanece viva ditando normas, regras e valores, em

particular, estabelece um conceito éticomoral de "lei natural" definido por algo

superioraos sereshumanos. (EDGERTON,1991,p.14).De fato,nossas reflexões

começam na Idade Média, num momento em que tínhamos uma percepção

relacionada aos valores místicos da cultura medieval e à crença que tudo era

orientadopor leis naturais estabelecidaspor algo superior anós; acreditávamos

emumDeusonipotenteeonipresente.

Deoutrolado,tínhamosacrençaque,osistemageométricoconhecido,combases

nateoriadomatemáticoEuclides, fosseumsistema lógicodivinoorganizadopor

leisdanaturezaedopensamentohumano.Nossossensoreseramapenasnossos

órgãos sensitivos. Os nossos olhos, mãos e mentes estavam a produzir

conhecimentoscalcadosnasparticularidadesdosindivíduos.Avidadocamponos

fazia conviver com as forças da natureza e para suportá‐las éramos obrigados a

respeitá‐las,admitindo‐lhesumcarátermístico.

Nas artes plásticas a perspectiva linear com apenas um ponto de fuga

resumiaumasituação,naqualaobradearteéumapartedouniverso,comoeleera

observado, ou, pelo menos, como deveria ser observado, na percepção de um

indivíduo,istoé,apartirdeumpontodevistasubjetivo,nummomentoparticular.

Dürer,parafraseandoPieroDellaFrancesca,afirmavaque“primeiroéoolhoque

vê; segundo, o objeto visto; terceiro, a distância entre um e outro"

(PANOFSKY, 1979, p. 360). No final deste período, haviam sido construídas três

formasde sepensar a ciênciadoespaçoedosnúmeros, todas elasbaseadasem

uma visão geométrica intuitiva fundada na observação, isto é, numa percepção

matemáticaeuclidianaespacial.

Aproduçãoartesanalimprimiaasmarcasindividuaisdoprodutornoobjeto

criado. Percebemos também que todas as teorias matemáticas olhavam para os

seus objetos de estudo pelo aspecto geométrico e euclidiano com bases na

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Estávamosdiantede formasde representaçõesbaseadasno sistemaperspectivo

lineareosensocomumeraasimetria,oequilíbrio,aordenaçãoeamensuração.

A matemática, na tentativa de estabelecer uma projetividade espacial,

operava sobre conceitos semelhantes aos dos artistas, isto é, apesar de tentar

representar as formas geométricas de maneira espacial, não ia além de uma

convenção planimétrica do espaço, concebendo assim, um sistema de ordem e

medidacalcadonadeformaçãodosobjetoseemsuaprojeçãosobreumplano.Para

GilesGastonGranger,omatemáticoDesarguestinhaummétododeprojeçãoede

construção perspectiva que era uma transformação e que permitia passar do

espaço ao plano. Porém, de fato, era apenas uma deformação particular dos

comprimentos.Poroutrolado,aindasegundoGranger,

omatemáticoDescartesdiziaque"osproblemasdegeometriafacilmentepodem ser reduzidos a termos tais que, depois disso, só haverianecessidade de conhecer o comprimento de algumas linhas retas parapoderconstruí‐los.(GRANGER,1974,p.64).

É evidente que quando Desargues e Descartes referiam‐se a comprimento,

importam‐se apenas com as distâncias que se desdobravam em duas direções,

comprimentoelargura;remetendo‐nosdefinitivamenteaoplano.Severificarmos

as obras destes dois autores, como também dos outros matemáticos

contemporâneos a eles, nós notaremos que a percepção espacialmatemática da

épocaera fundamentalmentebidimensional.Elesdefiniamconceitoseoperavam

com modelos que tinham suas bases em signos geométricos extraídos da

antiguidade clássica. A geometria e suas projeções, tanto na arte quanto na

matemática, eram de concepção euclidiana; a única forma conhecida de

representaromundoatravésdasimagensvisuaisnaspinturasedeinterpretaros

espaçosmatemáticos.

1.1.6.2Ocicloindustrialmecânico

O homem deixava de ser passivo e iniciava um processo imposição de

relações lógicas ao universo que o cercava. O sistema artesanal de produção

gradativamente dava lugar à produção em série, imprimindo cada vez mais

velocidadeaonossosistemaprodutivoeconsequentementeànossapercepção.

Nossos sensores, antes baseados na díade olho‐mão, passam a estar

apoiadosagoranadíadehomem‐máquina.Dividíamoscomasmáquinasaautoria

dosprodutoscriados.Apartirdesseciclo,fomosobrigadosaespecializar‐nosem

áreas de conhecimento, já que, somente assim, acreditávamos poder conhecer o

universoquenoscercava.Nestemomento,segmentávamostudo,oconhecimento

sefaziapelacompreensãodasparteseauniãodelasnoslevariaacompreensãodo

tododenossosistemaprodutivo.Fragmentávamose imprimíamosvelocidadeao

conhecimento,aproduçãoeapercepção.

Poroutrolado,aracionalidadelevadaaoextremoproduziaumpensamento

calcado no inconsciente humano. Num primeiro instante, isso parecia ser

contraditório, porém, passávamos a não ficar nada surpresos, ao admitir que os

sonhos diziam muito mais ao nosso respeito do que poderíamos perceber

conscientemente. O homem via que a máquina lentamente passava a ser um

importantemeiodeproduçãoeassim,conformeWalterBenjamin,consolidava‐se

a industrialização mecânica como período da "reprodutibilidade técnica"

(BENJAMIN,1987,p.170).Aoimplantar‐seonovoprocessodeproduçãodebens,

onde o trabalho das máquinas acrescenta velocidade ao sistema produtivo,

redirecionamos nossas percepções e ações no mundo. Os produtos eram

executados um a um, para um determinado patrono e ganhavam novas

características, assim; a civilização industrial introduzia a serialidade em seu

sistemaprodutivo.

Nas artes podemos verificar que Pieter Bruegel estava preocupado com a

vida dos povos humildes e os costumes populares. Já Caravaggio colocava São

Mateus como cobrador de impostos dentro de uma taberna, tratando os temas

sagrados cotidianamente. David retratava Marat, chefe político da revolução

francesa,assassinadodentrodeumabanheiraporsuasecretária.Goyaexpunhaa

família de Carlos IV a uma situação de deboche, pintava todos os membros da

família real como se fossem um bando de fantasmas e ainda, destacava o rei,

dando‐lheacaradeavederapina.Ingres,comomesmorealismodeDavid,pintava

oburguêsLouisBertinemumatelacomgrandeprofundidadepsicológica.Eassim,

vemos que todos os artistas plásticos estavam a mudar e inovar em suas

produções.

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Voltando nossa atenção para a matemática, verificamos que ela estava

preocupada com a teoria das probabilidades, refletindo as certezas e incertezas

desteuniverso,que,apartirdestemomento,passaaserpercebidaemconstante

movimento e diante de uma infinidade de contradições. A teoria das incertezas

observava os eventos pelas repetidas vezes que eles ocorriam, traduzindo em

quantidades numéricas as possibilidades de ocorrência de um fenômeno. Ao

analisarmos estas questões na probabilidade e no cálculo diferencial e integral

éramos conduzidos ao seio da percepção sistêmica na matemática, uma das

principais questões da modernidade. Esse conceito, se levado às últimas

consequências,mostrava‐nosadialéticatomandocorpo,também,namatemática.

Aanálisediferenciale integral,desenvolvidanestaépoca, fundamentavao

pensamento de quase todos os matemáticos, inclusive do físico Newton. A

matemática chega a uma consistência sistêmica tão profunda, que o Euler, com

apenasumafórmula,conseguiucompatibilizarquasetodaamatemáticaconhecida

atéaquelemomento.Estaexpressãoalgébricareuniuemseuinteriorprincípiosdo

cálculodiferencialeintegral,dateoriadasprobabilidades,dateoriadasséries,da

teoria das funções, da álgebra e também da filosofiamatemática. (DAVIS, 1985,

p.232).

ei=cos+i.sen=‐1ouei+1=0

Todos os ramos do conhecimento matemático, de algum modo, eram

expressos nessa fórmula. Além disto, ela possuía uma áurea misteriosa muito

grande,poisconseguiaabrigaremseuinteriorarelaçãoentreascincoconstantes

mais importantesde todaa análisematemática: e, , i,0e1 (GRANGER,1974,p.88).Nestemomento,paramelhorcompreenderoprincípiosistêmicoquetoma

contadoraciocíniomatemáticoeabuscadeumaunidadeestruturalemtodaesta

ciência,observemosahistóriadageometriaeuclidianaedeseuscincoaxiomas.Ela

conta‐nos que, desde Euclides e de sua axiomatização da geometria em “Os

Elementos” os matemáticos procuravam esta mesma estrutura para as outras

formasdeproduçãodeconhecimentonomundodosnúmeros.

Desdeosgregos,osestudosrealizadossobreoscincoaxiomasdeEuclides,

sempre confirmaram a consistência deste sistema. Isto perdurou até o final do

séculoXIX.OquintoaxiomadeEuclides,omaisconhecidodeles,definiaoconceito

de retas paralelas. Podendo ser enunciado sem nenhum rigor matemático, do

seguinte modo: duas retas são paralelas quando se encontram no infinito. Os

axiomasde1a4sãotriviais,intuitivosetratamdeconceitosgeométricosdefácil

percepção.Nãoformulamquestõesmaisprofundassobreageometriaeuclidiana.

Porém, o quinto axioma, o das retas paralelas, sempre despertou o interesse de

todososmatemáticos,principalmentenoséculoXIX,que,natentativadededuzi‐lo

logicamenteapartirdosanteriores,fazemnascerageometrianão‐euclidiana.Isto

é,abuscadeprovaraconsistênciasistêmicadestageometria levariaohomema

descobrirnovoscaminhosfundamentadosnaestruturaaxiomáticadestemomento

emdiante,fundamentalnodesenvolvimentodoconhecimentonamatemática.

Conhecida como geometria imaginária, e atribuída ao matemático russo

Nicolai Lobachevsky, as geometrias não‐euclidianas surgem a partir da tentativa

de demonstração do último axioma de Euclides. Na impossibilidade de realizar

essa dedução lógica encontram‐se outros espaços topológicos matemáticos,

conhecidoshojecomo:geometriashiperbólicaeelíptica.Elassão,respectivamente,

atribuídasaLobachevskyeaJanosBolyaieG.F.B.Riemann.

Próximo ao começo do século XX, com procedimento semelhante ao que

gerou as geometrias não‐euclidianas, vamos encontrar outra contradição que,

junto com o paradoxo das paralelas, irá reformular os princípios matemáticos

conhecidos até este instante.GeorgCantor, trabalhandona teoriados conjuntos,

emparticularsobrea“cardinalidade”dosconjuntosfinitoseinfinitos,nosconduz

ànoçãodeinfinidadesemmatemáticaeaoconceitodeconjuntosnão‐cantorianos.

Estaquestão, queveremos commaiordetalheno corpodeste trabalho,deve ser

observada intimamente relacionada à noção de quantidade de elementos em

conjuntose,maisprecisamente,deveserassociadaaoconceitodevizinhançaem

matemática.

Os elementos de uma sériematemática infinita podem ser classificados e

ordenados, isto é, podem ser colocados uns ao lado dos outros, criando uma

seqüência infinita de números, determinando assim, a cardinalidade desta série.

Aoconstruirestemodeloestamosenumerandoosconjuntosdenúmerosinfinitos.

Com a introdução destes princípios, na geometria e na teoria dos números,

constatamosqueosmatemáticos,assimcomoosartistas,substituemaconcepção

intuitiva do espaço euclidiano, aceita há séculos, por uma concepção onde a

intuição é primitivista, topológica de caráter sensível. Para omatemático Henry

Poincaré,osaxiomasdageometriasãoconvenções,istoé,

sãoescolhas feitasentre todasasconvençõespossíveisquedevemserorientadas pelos dados experimentais, mas que permanecem livres,sendolimitadasapenaspelanecessidadedeevitarqualquercontradição.(PIRSIG,1990,p.251).

A partir da negação do quinto axioma de Euclides e da introdução do

conceito de conjuntos não‐cantorianos, podemos desvincular nossa percepção

espacial matemática das geometrias e, assim, auxiliados pela teoria axiomática,

somos levados a operar matemática e geometricamente num patamar onde as

generalizações são nossa principal ferramenta. A matemática deixa de ser

construídapormodelosquepossuemcaracterísticasfortementeintuitivasepassa

a ser fundamentada nas teorias axiomáticas e no conceito vetorial que nos

permitemconstruirmodelosabsolutamenteabstratosetotalmentedesvinculados

domundo real. Eles sãobaseados em signos, operações e estruturas, namaioria

dasvezes,impossíveisdeseremassociadosàscoisasdapercepçãointuitiva.

Poroutrolado,olhandoasartesplásticas,verificamosqueduasformasde

expressões sobressaiam. A primeira estabelecia relações com o mundo do

inconsciente, e tinha, no seu principiar, expoentes como, Henri Matisse, Gustav

Klimt e Oskar Kokoschka e suas pinturas retratando o "fin‐de‐siècle", suas

angústias e distorções. Esta forma de conduta podia ser reconhecida no

movimentoartísticodadaístaque, atravésdadeformaçãodeliberadadosobjetos

representados, determinavam uma forma de protesto contra a civilização

industrial.Omovimentosurrealistaacreditavaquesuasproduçõeseramrelativas

às percepções do psiquismo e que poderiam exprimir o verdadeiro processo do

pensamento. Para eles, isto ocorria, independente do exercício da razão e de

qualquer finalidade estética ou moral atribuída aos trabalhos (HAUSER, 1972,

p.662).

A segunda forma expressiva, denominada de arte abstrata, era expressa

pelas correntes cubista, construtivista, futurista, suprematista, neoplasticista e

concretista.OseuexpoenteinicialfoioartistaCézannequeacreditavaqueaarte

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falamos, foi fundamentalmente desenvolvido na Inglaterra e nos EstadosUnidos

através da pop‐art. Ele vai ser o primeiro de uma série de outros movimentos,

marcadoporumacontinuidadedosprincípiospsíquicoseabstracionistas,dofim

do período industrialmecânico. De fato, a partir destemomento, surgem vários

caminhosparaaarte.Efetivamentevamosverobrassendoproduzidasparaaop‐

art, a arte conceitual, a arte‐objeto, os happenings, as instalações, a video‐art, a

sky‐art, enfim, uma infinidade de linhas de pensamento artístico, definidas de

maneira bem particular em relação as suas formas de representação. Todos em

buscadeumavisualizaçãodaunicidadeorgânicadadapelalinguagemsobreaqual

estávamosaproduzirconhecimento.

Assim, vamos encontrar Picasso, com um grande número de obras que

explicitaram suas metamorfoses e sua fecundidade inesgotável e ininterrupta

(PAZ, 1977, p. 7), apresentando uma das características marcantes da

modernidade. Encontraremos a serialidade nas diversas formas de produção,

inclusivenasobrasartísticas.Duchamp,poroutrolado,consideradoporPazcomo

autor de uma única obra, nega a pintura moderna fazendo dela uma ideia, um

conceito, não concebendo a pintura como uma arte apenas visual. Segundo

observou Octávio Paz, em seu livro "O castelo da pureza", a pintura‐ideia e os

ready‐made constituíam‐se em "algunsgestoseumgrande silêncio" (1977, p. 8);

paraeleeramasverdadeseosconceitos,nosquaisDuchampenfatizavasuacrítica

asociedadeemqueviviaeelaboravaasuanegaçãoàpinturanamodernidade.

1.1.6.3Ocicloindustrialeletro‐eletrônicoedigital

O homem descobre a energia elétrica e com ela nosso paradigma de

percepção altera‐se novamente. Agora, apoiados nos meios eletro‐eletrônicos e

digitais de produção, somos atingidos em nossos pensamentos pelas diversas

formas de energia, em particular pela energia elétrica que nos encaminha em

direçãoàluzeàsvelocidadeseoselementosqueelanosfazperceber.

Aenergiaestápresenteemtudoquefazemosoupensamos:nageraçãoda

forçamecânica através das bobinas, na eletricidade que consumimos em nossas

casas, no armazenamento dos dados através dos suportes magnéticos, na

transmissão e recepção de informações do mundo digital, enfim, em todas as

partículas do universo onde o elétron, o próton e o nêutron estãopresentes.De

fato, a velocidade de processamento a que somos submetidos, unidos aos

mecanismosdearmazenamentodainformação,nosexpõeàsnovascaracterísticas

e novos paradigmas. A partir de agora, velocidade, conhecimento e decisão são

elementos primordiais do processo produtivo e estão incorporados aos novos

meios de produção. Detém o poder quem detém as informações, e detém as

informaçõesquemdetémodomíniosobreossoftwaresehardwares.

Para melhor compreendermos o estágio que nos encontramos, ainda em

formação, é necessário relembramos que, a memória embutida em nossos

equipamentos,aliadaàautomaçãodenossasmáquinas,acrescentavelocidadeao

quefazemos,permitindomaiorrapidez,eficiênciaeexpondoahumanidadeauma

intensa troca cultural. Logicamente estas modificações perceptivas não

aconteceramdeumasóvez,nemseconfiguraminstantaneamente,asmudançasde

paradigmafazempartedeumprocessodeobservaçãoeelaboraçãoquedefineeé

definido através do uso das diversas linguagens. Assim, para compreendê‐lo, é

necessárioqueretomemosvaloresepensamentosdahistóriadasartesplásticas,a

fimdeobservarmososprocessosdemudançaque interferem significativamente

emnossoatualparadigmadepercepção.

Nos Estados Unidos vamos encontrar a action painting destacando os

trabalhosdeJacksonPollocksobretelas,eleutilizavaosgestoseoacasoparacriar

seustrabalhos,assimcomoDuchamp,quandoincorporouaoseu“GrandeVidro”,a

quebracasualdeumadesuaspeçascentraismodificandoainterpretaçãodaobra.

O artista americano, Pollock, foi um dos principais representantes da pintura

gestual e afirmava que, no chão, se pintava à vontade; ali ele se sentia mais

próximo da pintura; fazia parte dela; trabalhava em seus quatro lados e,

literalmente,estavadentrodapintura.

Sem dúvida, nestes dois relatos vamos encontrar as marcas da energia

humanaedanaturezasendoincorporadasaostrabalhosdeartedoperíodoeletro‐

eletrônico. O ato de pintar telas no chão e os vidro quebrado do trabalho de

Duchamp, estão repletos de ação, movimento e vitalidade. Pintar para Pollock

significavaobservarsuaelaboraçãonosváriosângulospossíveiseestandoa tela

no chão isto erapossível.Destacando aqui, apenas a action‐painting e apop‐art,

doismovimentosbasicamenteamericanosdeartesplásticas.Enfim,estádecretada

a maioridade internacional da arte americana (JANSON, 1977, p. 664), pois, o

pode

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elabora seus signos artísticos, dando novas formas e novos significados às suas

produções.Tudose transformaemmeiosde comunicação.Todosos sistemasde

representação são possíveis e os objetos permitem que, deles, possamos extrair

todas as interpretações possíveis e imagináveis. Hoje osmeios de produção são

observadoscomolinguagemdecomunicação,noqualosdiferentesdiscursossão

possíveis. Concordando com Lucia Santaella, afirmamos, que toda e qualquer

interpretaçãodependedos referenciais que sustentamopensamentodequemo

interpreta(1990,p.58).

Aqui, vamos apresentar a ligação que existe entre a nossa dissertação de

mestrado(HILDEBRAND,1994)enossatesededoutorado(HILDEBRAND,2001).

Observamos que, entre as possíveis interpretações que poderiam ser realizadas,

identificamos aquelas relacionadas às estruturas lógicas de organização das

linguagensvisuaisesuaspossíveisrelaçõescomalinguagemmatemática.Segundo

ArlindoMachado,acodificaçãoeletrônicadaimageméfeitasatravésdepontose

retículas de informações básicas de cor, tonalidade e saturação que aos nossos

olhos aparentam realidade, mas o mundo real externo é mais que isto e nós

sabemos.Eleaindaafirma,queas“articulaçõesdeníveisabaixodaimagem”(1984,

p. 157), que são os píxeis das telas de televisão e dos computadores, não

apresentam omundo real, por mais próximos que pareçam dele estar. A lógica

matemática, em particular a desenvolvida por Boole, estrutura nossas imagens

digitais através dos bytes e de um sistema numérico binário, onde 0 e 1

representam a passagem ou não da energia pelos circuitos dos computadores,

demonstrando que a visualidade gerada pelas novas mídias eletrônicas está

totalmentevinculadaàlógicadosmodelosmatemáticos.

Istonosconduzdiretamenteaomundodosnúmerosedosespaçosque,ao

refletirsobreométodoaxiomático,conhecidodesdeEuclides,definitivamenteestá

àsvoltascomdiscussõesabstrataselógicas.KarlWeierstrass,GeorgeCantor,H.E.

Heine, J.W.R.Dedekind emuitos outrosmatemáticos estão formulando sobre a

álgebra abstrata, a arimetização damatemática, ométodo hipotético‐dedutivo, a

teoria dos espaços de Riemann, a geometria diferencial e a evolução da lógica.

Hilbert,embuscadeelucidaranaturezadoinfinito,propõeaconsistênciatotaldos

nossosmodelos.Noentanto,o“TeoremadaIncompletude”deKurtGödelmostra

que isto não era possível de ser realizado.Osmodelos tornam‐se inconsistentes

quandotentamosgeneralizá‐losemsuasinfinidades.

Apartirdestademonstração,Gödel encerra comapropostadeHilbertde

encontrarumalinguagemeumalógicaquesirvamdeformalizaçãoparatodasas

teoriasmatemáticas.Eefetivamenteamatemáticarende‐seàlógica.Nesteinstante

surgemprofundasreflexõessobreopensamentológicoesobreumanovapostura

referente à natureza da matemática. Frege e Peirce introduziram uma fértil

discussãonamatemática.Oprimeiroacreditavaquepoderiadeduziramatemática

dalógicae,assim,tentoumostrarquetodasasexpressõesaritméticas,portantoa

matemática,poderiaserdefinidaemtermoslógicos.Paraisto,eleencaminhouum

raciocínioquepretendia“mostrarquetodasasexpressõesaritméticassignificamo

mesmoqueumaexpressãológica”(PEIRCE,1983,p.183).Jáparaofilósofo,lógico

ematemáticoCharlesSandersPeirce

averdadeiralógicaestábaseadanumaespéciedeobservaçãodomesmotipodaquelasobreaqualsebaseiaamatemática,eessaéquaseaúnica,ou senão a única ciência que não necessita de auxílio algum de umaciênciadalógica"(PEIRCE,1975,p.21).

Comisso,alógicadefinitivamenteocupaseuespaçonomundomatemáticoe

Tarski,Turing,Church,Zermeloemuitosoutros,vãoiniciarumadiscussãoqueaté

hojepermaneceentrenós,equepretendemosabordarnestetrabalho,qualseja:o

objeto matemático refere‐se a algo no mundo real? De fato, contatamos que a

lógica e os modelos abstratos tomam conta das reflexões nesta ciência e,

pensadores como Cauchy, Abel e Weierstrass, discutem os fundamentos de

edificaçãodestaciência,tratandodeencontrarapoiossólidosparaaaritmética,a

álgebra,ocálculodiferencial,ocálculointegral,enfim,todaaanálisematemática.O

método axiomático é o caminho lógico para a arimetização da análise, onde, a

noção de espaço vetorial transforma nosso modo de perceber, operar e pensar

sobre as geometrias. A "dissociação entre objetos e operadores" passa a ser o

principalaspecto"paraaconstituiçãodeumaestruturavetorial"(BOYER,1974,p.

94).Riemannafirmaquedevemospensarageometriasemserporpontose isso

nos leva “à curvatura dos espaços riemannianos”, sem a qual a teoria da

relatividade de Einstein não poderia ter existido. Por outro lado, o famoso

“conceito de Cortes de Dedekind” estabelece uma separação entre a análise

matemáticaeageometriae,então,passamosaformularnossasteoriascombases

realmenteabstrataselógicas.

Devemoslembrar,ainda,da“teoriadascatástrofes”deRenéThom,quecom

seus modelos estabelece a projeção do descontínuo sobre o “real”, um espaço

imaginário que reflete sobre os modelos e sobre o princípio da continuidade.

Operando sobre espaços integralmente abstratos, na teoria axiomática e nos

procedimentos da lógica, os Bourbakis, grupo de matemáticos que elaboraram

trabalhosembuscadeuma formalizaçãodoconhecimentonestaciência,desejou

substituir os cálculos matemáticos por ideias. E assim, afirmaram que “o que o

métodoaxiomáticofixacomoobjetivoprincipaléexatamenteoqueoformalismo

lógicoporsinãopode fornecer,ouseja, a inteligibilidadeprofundamatemática.”

(BOYER,1974,p.457).

Na matemática, algo semelhante está ocorrendo, os conceitos e

fundamentosmodernosdaálgebra,aliadosàstopologias,aosespaçosvetoriaiseà

teoria axiomática, geram a álgebra homológica que “é o desenvolvimento da

álgebraabstrataquetrataderesultadosválidosparamuitasespéciesdiferentesde

espaços.”(BOYER,1974,p.457).

Sabendoclaramentequenãoesgotamostodososfundamentos,conceitose

conhecimentos matemáticos da atualidade, e nem o pretendemos fazer, dada a

extensão desta área de conhecimento. Voltaremos a estes conceitos com mais

profundidadeno corpodenossa tesededoutorado.Noentanto, ao concluir este

resumo sobre a nossa dissertação de mestrado, devemos destacar que, hoje,

encontramos inúmeras formas lógicas de proceder: a lógica clássica, a lógica

difusa,alógicaparacompleta,alógicaparaconsistentedesenvolvida,entreoutros,

pelobrasileiroNewtonCosta.Enfim,encontramos inúmerosmodelos lógicosque

nospermitemmostrarainfinidadedeinterpretaçõespossíveisqueestãodiantede

nós,inclusivediantedaquiloqueacreditávamosserúnica:alógica.

Tanto na matemática, quanto nas artes plásticas, nossos sistemas e

linguagens, de agora diante, colocam‐se diante de uma "crise de representação"

generalizada,portam‐secomoseestivessemesfacelados,mas,naverdade,apenas

deixam claro que, através de nossa percepção, os fenômenos naturais e

culturalmenteconstruídosorganizam‐sesegundomodelosqueàsvezesnãoestão

totalmente determinados para os nossos sentidos, contudo, possuem

características quepossivelmente se estruturarama partir de novosmodelos de

observação que concebemos, num processo contínuo de produção de

conhecimento;umametodologiadeinvestigaçãocientífica.

Os novos meios de comunicação geram novos signos, que, por sua vez,

abrem novas possibilidades de significação, e, assim, se pretendemos viver

intensamente os dias de hoje, devemos estar em busca da compreensão dos

significados desses signos que cada vez mais abrem suas portas à interação do

homem com tudo aquilo que está ao seu redor, principalmente o que pode ser

concebidoemsuamente.Entreessesmeios,destacamosaqueleque,hoje,maisnos

atingem,istoé,asnovasmídiascomseus“códigosdebaixonível”,seuspíxeis,sua

lógica binária ordenada segundo Boole, estruturando logicamente modelos,

algoritmos e princípiosmatemáticos irremediavelmente incorporados aos atuais

meiodecomunicação.As imagensdacomputaçãográficasimulandoobjetos,que

emrealidadenãoexistem,atravésdascodificaçõesmatemáticas, conduzindo‐nos

aosnovosparadigmasdepercepçãodoperíodoeletro‐eletrônico.Esteprocessode

elaboraçãodeconhecimentopermite‐nosuniraproduçãoeoconsumodestemeio,

numprincípio único, simulando, através destasmáquinas eletrônicas, ambientes

que estão relativamente próximos àqueles estabelecidos pelo nosso sistema

nervosocentral(MCLUHAN,1964,p.391).

Hoje,olhandoparanossasproduçõescomoelosdeumprocessocognitivo

único,ondementeemundo fazempartedeummesmoecossistema,verificamos

queconvivemos,intimamente,comalógicabináriaecomomundodigitale,assim,

as artes e a matemática unem‐se em busca de suas similaridades. O perfil

produtivo do momento em que vivemos, está apoiado nos conceitos e

procedimentos lógicos matemáticos de nossos equipamentos digitais e está

associado aos novos modos de representação, que as diferentes linguagens de

comunicação permitem. Os signos matemáticos, cada vez mais, fazem parte e

organizam os fundamentos lógicos de todas as outras formas de linguagem do

homem.

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uma das características de nosso tempo, evidencia um grande número de

similaridadesentreessasduaslinguagens.

Apartirdeagora,vemosqueestessignosestãorelacionadosàsquestõesda

visualidadedas representações concebidasdiantedasnovas tecnologiasque, em

suas características fundamentais, estão intrinsecamente ligados aos objetos

matemáticos.Estasformasdelinguagens,porqueestãoestruturadasemaxiomas,

conceitoseprincípioslógicos,utilizadosnamatemática,sãosemelhantesaela.E,

de fato, o foco deste nosso artigo foi analisar quanto de matemático há nestas

representações humanas, em particular, quanto de matemática há nos signos

visuaisgeradospelosartistas.

Encontramos vários autores analisando as imagens geradas pelas novas

mídias eletrônicas como sendo: “imagens sem olhar” (SOGABE, 1996, p. 113),

aquelas que se concretizam a partir de processamentos numéricos dos

computadores; “imagenssintéticas”,herdeirasaomesmotempodamatemáticae

daarte(POISSANT,1997,p.89),imagensquegeramuma“ordemvisualnumérica”

(COUCHOT, 1982, p. 42), ou ainda, “imagens empotencial” e “imagens sínteses”,

todas elas dando ênfase ao caráter abstrato, lógico e virtual destes modelos de

representação.Apesardograndenúmerode textosque tratamdeste tema,pelos

diferentes ângulos de percepção e interpretação, verificamos em nossa pesquisa

bibliográfica que existem pouquíssimos estudos discutindo as imagens, tendo

comofocoosaspectosmatemáticosetopológicoscomoabordamosnesteartigo.

As novas tecnologias de comunicação trazem embutidas em sua lógica de

construção, o conhecimento que, fundamentalmente, está presente na ciência

matemática (HILDEBRAND, 1994, p. 137). Os computadores iniciaram

processandoinformaçõesapartirdeumalógicabinária,que,emúltimainstância,

pode ser olhada como representações numéricas de impulsos elétricos, onde o

zerorepresentaoinstantequenãopassaenergianoscabosecircuitosdenossas

máquinas e o um representa o oposto disto. De fato, estamos observando um

princípio lógico que dá suporte às novasmídias eletrônicas em seu nascimento,

oriundasdomesmouniversosimbólicoqueéamatemática.

Verificamos algumas modificações nestes princípios, depois da

demonstraçãodo“TeoremadasQuatro‐Cores”edo“TeoremadeClassificaçãodos

GruposFinitosSimples”devemosestaratentosaosváriostiposdecomputaçãonão

convencionaisquecomeçamatomarcontadasnossasformasdeprodução.Estes

novosprocessamentos lógicos baseados emoutros princípios que sãodiferentes

da lógica clássica, assim como, a lógica fuzzy, a paraconsistente, a quântica e a

computação baseada no DNA, modificam nossos paradigmas. Entre os mais

recenteschoquescognitivos,dosquaisnosfalaMarcus,equeanalisaremosneste

trabalho,vamosencontraraquelequeresultadamarginalizaçãodaenergiaatravés

da informação, este processo vem sendo desenvolvimento pela teoria da

informaçãodoalgoritmo,porKolmogoroveChaitin(MARCUS,1997,p.7).

Hoje podemos dizer que, diante das novasmídias e dos vários princípios

lógicos que podem ser elaborados pelos nossos softwares, passamos a conviver

com a possibilidade de criar novos ambientes de percepção, nunca antes

vivenciados.E,assim,atravésdoscomputadores,dasnovas lógicasna linguagem

de programação e de uma grande variedade de formas de visualizar ambientes

virtuais, podemos simular situações com as imagens sintéticas impossíveis de

seremconstruídaslongedesteuniversodigital.

Aoanalisarestas imagens sabemosestar lidandocomumavastagamade

conhecimento e, assim, finalizando os aspectos que queremos ressaltar neste

estudo,devemoscomentarque,aindademaneiravagae intuitiva,sabemosestar

observandofenômenosquepossuemumníveldecomplexidademuitoelevadoe,

com características bem mais abrangentes do que podemos estabelecer neste

artigo.Noentanto,nossoobjetivo foi ode realizarumaabordagemsemióticado

signo matemático dando ênfase às questões lógicas da visualidade diante dos

novos meios de produção. Assim, contribuir para atingir novos níveis de

complexidade através das análises que realizaremos das representações visuais

dos modelos matemáticos. Pretendemos, também, verificar neste estudo a

tendência que todas as ciências tem a matematização. Para Santaella e Nöth,

fundadosnospensamentosdePeirce,todasasciênciascaminhampara

aumentaremgradualmente seu nível de abstração até se saturaremnamatemática,querdizer, a tendênciade todasas ciênciasé se tornaremciências matemáticas. O conglomerado de ciências, que hoje recebe onomedeciênciacognitiva,pareceestarnocaminhodecomprovaressasugestão.(1998,p.90).

Assim, as imagens computacionaisque são construídas e, emseguida, são

destruídas para darem lugar às outras imagens que as substituíram, pois elas

existemduranteotempodeprocessamentoedeexposiçãoemnossossistemas

depercepção,são“imagensemprocesso“ou“imagensvirtuais”demodeloslógicos

intrinsecamenteligadosàsnovasmídias.Finalizandoosaspectosquepretendemos

analisar neste texto, devemos ressaltar que, de maneira secundária, mas não

menosimportante,devemoslembrardasimagensfractais,osgrafosdemodogeral

e os grafos existenciais de Peirce que nos conduzem às belezas explicitadas nas

formaseraciocínioslógicoseaestéticadestasformas.

As ImagensMatemáticasqueabordamosemnossa tesededoutorado, são

concepçõesvisuaisemprocessoqueadquiremvaloresdiferenciadosquando são

compreendidasrelacionadasàslinguagensqueasgeram.Observaressesaspectos

associados às novas tecnologias, nos levam a conectar três realidades

aparentementedistintas:primeiroaquestãodavisualidadedestas imagens,que,

através do processo criativo, expõem características diagramáticas, em segundo

lugar,aquestãooperacionaldaconstruçãoda linguagemmatemáticaemsie,em

terceiroosaspectosmentaisesimbólicosnecessáriosnarealizaçãodestetipode

conhecimento.

1.2ConceitosBásicosdeProgramação

Arealizaçãodeumprogramaparacomputadortemcomoobjetivoresolver

problemas, com isso, precisamos de uma linguagem que permita dialogar com

estas máquinas eletrônicas. Além da linguagem também necessitamos de um

métododeresoluçãodeproblemaquepermitaproduzirumalgoritmoqueajudea

resolveroproblema.

Naanálisedoproblemadevemosbuscarencontrarumcaminhodesolução

que seja viável a partir de uma determinada linguagem escolhida e,

principalmente, elaborar um algoritmo através desta linguagem do assunto que

trataoproblema.Defato,devemosbuscarummodelomatemáticodisponívelpara

a solução do problema e como realizar a implementação de um procedimento

lógicoquepermitasolucionaresteproblema.

Devemosterumprocedimentosistêmicoeumavisãodinâmicaqueabranja

os recursos da linguagem e omodelomatemático escolhido para a solucionar o

problema, ou seja, podemos encontrar ummodelomatemático que seja inviável

para a solução do problema, como também, podemos não encontrar recursos

disponíveisnalinguagemqueresolvaoproblema,comotambémapessoaqueestá

buscandoresolveroprogramanãotenhaconhecimentosuficienteparatal.

1.2.1OqueéumAlgoritmo

Pararesolverumproblemadevemoselaborarumalgoritmo.Umalgoritmo

nadamais é do que um procedimento passo a passo que ajude a resolver uma

tarefa.Devemosresponderapergunta“comofazer?”.Emtermosmaistécnicos,um

algoritmo é uma sequência lógica, finita e definida de instruções que devem ser

seguidaspararesolverumproblemaouexecutarumatarefa.

Nodiaadianãopercebemos,massempreestamosutilizandoalgoritmosde

forma intuitiva e automática para executar tarefas comuns. Como, em geral, são

atividades simples que dispensam muita reflexão para elaborar as instruções

necessárias,oalgoritmopresentenelaacabapassandodespercebido.

1.2.2Comoresolverumproblemacomputacional

Quando analisamos um problema é necessária uma metodologia. O

cientista,GeorgePólyadesenvolveu,umametodologiaquepermitequeum“leigo”

possaterosmesmosrecursosmentaisqueum“expert”paraacriaçãodasolução

de um problema. Ele com sua obra “How to Solve It ‐ A New Aspect of

MathematicalMethod”(noBrasilfoitraduzidoporAArtedeResolverProblemase

foi editadopelaEditora Interciência).Para ilustrara ideia, vejamosumesquema

pararesolverumproblema,apartirdosestudosdePólya:

1ªEtapa–Entenderoproblema

Nesta etapa é essencial para a compreensão do problema que algumas

perguntas sejam respondidas: Qual é a incógnita? Embora esta pergunta possa

parecerespecíficaparaaresoluçãodeproblemasmatemáticos,podemosampliaro

seucontextoconsiderando‐adaseguintemaneira:

a)Oquedeveserresolvido?

b)Oquedevesercalculado?

c)Queaçãodeveserexecutada?

d)Quaissãoosdados?

Estas perguntas envolvem a compreensão das informações contidas no

contexto do problema, separando os aspectos essenciais dos supérfluos. Qual a

condicionante?Entreas informações,devemosprocurar aquelasque fornecemo

ponto chave para a resolução; como o próprio nome diz, as informações que

estabelecemascondiçõesouapresentamrestriçõeseimposiçõesparaasolução.

2ªEtapa–Elaborarumplanoderesolução

Nestaetapairemossistematizarasrelaçõesentreosdadoseasincógnitase

aproveitar para buscar uma relação entre o problema atual e algum outro

problemaquejáestejaresolvidoequepossaservirdeguiaparaasoluçãodoatual.

Se existir esse problema, analisar os caminhos percorridos até a sua solução, e

verificar quais as adaptações serão necessárias fazer para resolver o problema

atual.Senãoocorrernenhumproblemasimilar,dividaoproblemaatualempartes,

concatenandoaincógnitaeosdadoscorrespondentes,inclusivecriandoincógnitas

auxiliares para cada parte. Faça desenhos, esquemas, utilize notações próprias e

elaboreumplanoderesolução.

3ªEtapa‐Executaroplano

Sigapassoapassooplanoelaboradonaetapaanterior.Casoocorraalguma

coisa errada, será necessário voltar à etapa anterior ou até mesmo à primeira

etapaereformularoplano.

4ªEtapa–Avaliaroplano

Nestaetapaverificaremosoresultado,respondendoàseguintepergunta:“A

solução encontrada satisfaz o problema proposto?”. Há várias maneiras de se

responder a esta pergunta, dependendo do tipo de problema que estivermos

lidando. Se o problema for de tipo numérico, podemos substituir a solução e

verificar se existe coerência no resultado. Se o problema for de tipo conceitual,

devemosverificarseasoluçãonãocontrariaalgumteoremapreexistente.Existem

outras formas de problemas que exigem outras abordagens de verificação de

soluçãooubuscandooutroscaminhosdesoluçãoecomparandoosresultadosou

simplesmente fazendoumasimulaçãoda solução.Oesquemaacimaégenéricoe

servedeguiaquandonãoexistirnenhumoutroesquemaquepossaserutilizado.

Tambémnãoé rígido,podeedevesermudadodeacordocomoproblemaa ser

resolvidoporvocê.Encorajamosvocêa criaro seupróprio esquema,praticando

assimaHeurística.Considerandoestesconceitosnasoluçãodenossosproblemase

tendo emmente a solução computacional do problema, temos que abordar dois

aspectos que estão relacionados diretamente: estrutura de dados e algoritmo.

Estesdoisaspectossãofundamentaisparasechegaraumasolução.Sabemosque

iremostrabalharcomdadosnaentrada,nasaídaenoprocessamento;essesdados

devem estar armazenados em um recipiente adequado que permita a sua

manipulação pelo algoritmo, portanto, o algoritmo será construído a partir do

modelomatemáticodasoluçãoeestaráintimamenteligadoàestruturadedados.É

difícilsepararoquevemprimeiro,poisumaestruturadedadosinadequadatorna

difícileatéimpossívelaconstruçãodoalgoritmoeumalgoritmoinadequadonão

podeutilizarumadeterminadaestrutura.Devemosfazerumesforçomentalpara

que, dinamicamente, possamos pensar em estrutura de dados e algoritmos de

formasimultânea.

5ª.Etapa‐Corrigiroplanosefornecessário

Nesta etapa final retornamos e verificamos o resultado. Respondendo

novamente a pergunta: “A solução encontrada satisfaz o problema proposto?”.

Casoarespostasejanegativaretomamosoproblema.

1.3Processing

1.3.1OqueéProcessing

Processingéumalinguagemdeprogramaçãodesenvolvidaparaambiente

compartilhadoProcessingeparticipativoon‐line.Desde2001,elevempermitindo

desenvolverprogramasparaasartesvisuais.Inicialmentefoicriadoparapermitir

desenvolver esboço de software e para ensinar os fundamentos básicos de

programaçãonumcontextovisual.Oprocessamentoevoluiuparaumaferramenta

dedesenvolvimentoparaprofissionais.Hoje,existemmuitosestudantes,artistas,

designers, pesquisadores e amadores que utilizam o Processing para

aprendizagem, realizaçãodeprotótipos, eprodução.Ele éumsoftware livreque

podeserbaixado.Éopensource.Permitedesenvolverprogramasinterativospara

2D, 3D e PDF. Tem integração com o OpenGL para aceleração 3D. Ele foi

desenvolvidoparaserexecutadoemambienteLinux,MacOSXeWindows.Possui

maisde100bibliotecasparaatenderaosoftwarecentral.

OProcessingrelacionaconceitosdeprogramaçãoparaprincípiosdeforma

visual,movimento e interação. Ele integra uma linguagemde programação, com

um ambiente de desenvolvimento e metodologia de ensino em um sistema

unificado.OProcessingfoicriadoparaensinarfundamentosdaprogramaçãode

computadores dentro de um contexto visual, para servir como um software de

desenho, e para ser usado como uma ferramenta de produção para contextos

específicos.Osestudantes,artistas,profissionaisdedesignepesquisadoresusam

paraaaprendizagem,prototipagemeprodução.

OProcessing é uma linguagem de programação do tipo texto projetado,

especificamente, para gerar e modificar imagens. O Processing permite um

equilíbrio entre processamento simples e recursos avançados. Iniciantes podem

escreverseusprópriosprogramasdepoisdeapenasalgunsminutosdeinstrução,

mas os usuários mais avançados podem escrever a partir de bibliotecas, com

funções adicionais. Ele permite trabalhar com computação gráfica, técnicas de

interaçãocomdesenhovetorial,ebitmap(raster),processarimagens,modelosde

cores , utilizar mouse e teclado, eventos, comunicação de rede e programação

orientada a objetos. Com as bibliotecas podemos ampliar a capacidade de

processamento para gerar som, enviar e receber dados em diversos formatos e,

porfim,importareexportararquivos2Dearquivo3D.

1.3.2 Primeirosconceitosdeprogramação

ParaescreverumprogramaemlinguagemProcessingutilizamosapenasos

caracterespoucoscaracterescomorecursoparaaconstruçãodecódigosque,após

oprocessodecompilação,produzemaplicativosquevãodesdecontroladoresde

processos industriais até sofisticados sistemas multimídia. Da combinação de

letrassurgemaspalavrasreservadas,identificadores,funçõesdebiblioteca,etc.;os

caracteresnuméricosfornecemanecessáriarepresentaçãodequantidades, tanto

em um contexto interno (formatação, parâmetros de inicialização, etc), quanto

externo(entradaesaídadedadosnuméricos)equantoaossímbolos(*{}/%^$

()[] ;#...)elestemusosvariados,sejaparaorganizarotextodoprogramapara

definiraocompiladoraprioridadedeexecuçãodeumarotinaoudeterminarofim

de uma linha de comando. Alguns símbolos são utilizados como operadores e o

compiladordeterminaoseusignificadodeacordocomocontexto.

1.3.3 PalavraseelementosreservadosAs palavras reservadas, em qualquer linguagem, representam tipos,

modificadores, especificadores, diretivas e caracterizam a sintaxe da linguagem.

Tendo um significado particular dentro da linguagem, as palavras reservadas

indicamao compilador ações específicas que o sistemadeverá executar. Como a

linguagem Processing é sensível à caixa alta ou baixa (maiúscula/minúscula)

todososcomandosdevemserescritosemcaixabaixaenãopodemserutilizadas

comoutrospropósitos.Todososcomandosda linguagemseresumemaalgumas

palavrasreservadas.

Porexemplo:

EXPRESSÕES

Comentários://,/**/

ExpressõeseAfirmações:“;”,“,”

ComandodeConsole:print(),println();

COORDENADASEPRIMITIVAS

TamanhodasTelas:size();

FigurasPrimitivas:point(),line(),triangle(),quad(),rect(),ellipse();

ParâmetrosdeDesenho:background(),fill(),stroke(),noFill(),noStroke();

AtributosdeDesenho:smooth(),noSmooth(),strokeWeight(),

strokeCap(),strokeJoin();

ModosdeDesenho:ellipseMode(),rectMode();

VARIÁVEIS

Com as variáveis podemos manipular dados, numéricos ou alfanuméricos,

desdeaentrada,comsuatransformaçãoatravésdoprocessamento,atéasaídados

dados transformados, o que é a essência do que desejamos fazer. Vejamos com

maisdetalhesessetipos:

boolean–1bitcomvalorlógicotrueoufalse;

byte‐8bits‐128to127;

char‐16bits0to65535;

int‐númerointeironafaixade‐2.147.483.648a+2.147.483.64732bytes;

float ‐ um número racional na faixa de 32 bits 3.40282347E+38 até

3.40282347E+38;

true:verdadeiro;

false:falso;

color:32bits16,777,216colores.

EXPRESSÕESARITMÉTICASEFUNÇÕES

+(soma),‐(subtração),*(multiplicação),/(divisão),%(módulo);

()(parenteses),++(incrementar),‐‐(decrementar),+=(adicionareatribuir),

‐=(subtraireatribuir);*=(multiplicareatribuir),/=(dividireatribuir),

‐(negação),round()(arredondamento),min()(mínimoentrenúmeros)e

max()(máximoentrenúmeros).

TRANSFORMAÇÕES

Função translate() ‐A função translate()moveaorigemda figuradocanto

superior esquerdo da tela para outro ponto. Ela tem dois parâmetros. O

primeiroéacoordenadaxeosegundoéacoordenaday.Asintaxedafunção

translateétranslate(x,y). Osvaloresdosparâmetrosxeysãoadicionadosa

quaisquer formasdesenhadasapósa função ser executada. Se10éutilizado

como parâmetro para x e 30 é utilizado como parâmetro para y, um ponto

desenhadoemcoordenadas(0,5),serádesenhadoemcoordenadas(10,35).

Funçãorotate() ‐A funçãorotate()girao sistemadecoordenadasdemodo

queformaspodemserdesenhadasnatelaemumdeterminadoângulo.Eletem

um parâmetro que define a quantidade de rotação conforme um ângulo. A

funçãorotaçãoassumequeoânguloéespecificadoemradianos.Asformassão

sempregiradasemtornodasuaposiçãoemrelaçãoàorigem(0,0)sendoqueo

positivoésentidohorário.Talcomoacontececomtodasastransformações,os

efeitosderotaçãosãoacumulativos.Sehouverumarotaçãodeπ/4radianose

outra de π/4 radianos, o objeto será desenhado com uma rotação de π/2

radianos.

às re

espe

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Solu

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Ascores

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MarioBros);

CAPÍTULO02–CONCEITOSDAMATEMÁTICADISCRETA

2.1 Osnúmeros,simetriaseregularidades

Não podemos afirmar com precisão quando começa a produção do

conhecimento matemático como conhecemos hoje. No entanto, conseguimos

identificarcomoessaciênciaevoluiuaolongodahistóriaecomoelasempreesteve

ligada a produção de imagem.O homem começou a representar omundo que o

cercava elaborando imagens que auxiliavam a compreender tudo ao seu redor.

Desenhos,mapas,diagramas,esquemaseacriaçãodosnúmerossempreajudaram

acontar,medirearepresentarasquantidades.

Por outro lado, muitos elementos e conceitos matemáticos podem ser

visualizadosatravésdas imagensenasproduçõesartísticasrealizadasnasArtes.

Quando estudamos aMatemática, nos primeiros anos escolares, iniciamos pelas

operações básicas: somar, subtrair, multiplicar, dividir, potência, raiz quadrada,

enfim, aprendemos a fazer contas e lidar com os números através de suas

características discretas. Neste caso, os números são signos abstratos que

permitemrealizaroperaçõesbemdefinidas.

Aorefletirsobreestesconceitossentimosanecessidadedevisualizarestas

entidades e, assim, a fim de melhor compreendê‐las, produzimos, gráficos,

diagramas, esquemasemodelos imagéticosquenos ajudama concretizar signos

queimaginamoseelaboramosmental.E,assim,nascemasrepresentaçõesgráficas,

geométricas,doespaçoetempo.

Oshomens criaramelementosque representamos conceitosabstratosna

Matemática.Criamosozero,umeinfinito;osistemadecimaleocódigobinário,o

conceitode limite, derivadaede infinito, enfim, criamos representaçõesque são

organizadas na Matemática. Neste processo de elaboração de conhecimento a

noçãodeabstraçãoéfundamental,porqueelapermiteoprocessodegeneralização

por redução de conteúdo quando observamos um fenômeno,

conceitoouinformação. Utilizamos estes princípios para reter informações

relevantesemrelaçãoaumdeterminadopropósito.Aabstraçãoéumprocessode

pensamento onde a ideia distancia‐se do objeto. É uma operação mental e

intelectual, portanto, lógica, que pressupõem a existência de procedimentos que

permitemisolaroselementoseproduzirgeneralizaçõesteóricassobreproblemas,

afimderesolvê‐los.Noprocessodeabstraçãousamosestratégiasdesimplificação

ondeosdetalhesdesnecessários,ambíguos,vagosouindefinidossãoabandonados,

etratamosapenasdoqueéessencialparaomodeloqueestamosobservando.

No processo de abstração é importante a interação com amaterialidade,

com as mídias, com as linguagens e, consequentemente, com os signos que

permitemaelaboraçãodoraciocínio.Quandoplanejamosalgo,nuncaconseguimos

observar o fenômeno em sua totalidade, os aspectos que consideramos em

qualquer tipo de abstração nos fazem elaborar imagens visuais oumentais que

irãoauxiliarnoplanejamentodasações.

2.1.1 Oatodecontar

VejamosesteprocedimentonaMatemática.Quandocomeçamosaestudar

esta ciência reconhecemososnúmeros e verificamosque elespermitem realizar

operações que concretizam conceitos abstratos. Isso evolui da seguinte forma:

primeiroconsideramosoconjuntodosnúmerosnaturais,depoisverificamosque,

sesomarmosdoisnúmerospertencentesaesteconjunto,temoscomorespostaum

elemento domesmo conjunto. Dizemos que o conjunto dos números naturais é

fechadoemrelaçãoàoperaçãodasoma.Emseguida,verificamosqueesteconjunto

também é fechado em relação à operação de multiplicação. De fato, se

multiplicarmosdoisnúmerosnaturais,teremossemprecomorespostaumnúmero

natural.

Aoaprofundarosestudossobreoconjuntodosnúmerosnaturais,notamos

uma série de propriedades que são válidas para este conjunto. Verificamos que

valem as propriedades comutativas, associativas, elemento neutro e elemento

inverso.Aíintroduzimosumnovoconceitoabstratoqueirádarmuitaconsistência

ao conjunto dos números naturais, é a “noção de grupo em matemática” que

permite relacionar várias estruturas matemáticas. Mais adiante, neste texto,

trataremos destes conceitos para a ciência damatemática e verificaremos que o

fatodeumconjuntoser“grupo”,elepossuiestruturasabstratamuitointeressante.

Continuandonossoraciocínio,apartirdesteprincipiocomeçamosarealizar

diversas operações com estes números, buscando entendê‐los melhor. Criamos

entãoasoperações inversasdasomaedamultiplicação,ouseja, a subtraçãoea

divisão,enotamosquearespostaparaestasoperaçõesnemsempreéumnúmero

natural. Por exemplo, quando subtraímos um número natural de outro, onde o

primeiro émenor que o segundo, verificamos que a resposta não é um número

natural. Assim, sentimos a necessidade de criar um novo conjunto de números

pararepresentarestasituaçãoedarcontadestaresposta.Oconjuntodosnúmeros

naturais não é fechado para a subtração e assim concebemos o conjunto dos

númerosinteirosquepossuinúmerospositivosenegativose,destemodo,torna‐se

fechadoparaasubtração.

Emseguidapassamosaobservaaoperaçãodadivisãoeverificamosqueela

também não é fechada em relação ao conjunto dos números naturais e nem ao

conjunto dos números inteiros. Com isso somos conduzidos a criar um novo

conjunto de números: os números racionais. De fato, o conjunto dos números

racionais é fechado para a operação de divisão. Assim, sucessivamente vamos

criandoconjuntoaconjuntoatéque,finalmente,criamosoconjuntodosnúmeros

reais.

Ao operar com o conjunto dos números reais verificamos que algumas

operações não são fechadas em relação aos números reais, por exemplo, a raiz

quadrada de número negativo não obtém resposta dentro do conjunto dos

números reais. Com isso, sentimos novamente a necessidade de criar um novo

conjunto de números que permitiram dar a resposta a essa operação. Aqui

passamos a perceber a existência de relações entre a Matemática Discreta e a

TeoriadosConjuntos.

Nessemomentopassamosaperceberas relaçõesentreasváriasáreasde

conhecimentodentrodamatemáticae,percebemosasrelaçõesentreosconjuntos

e a geometria. Verificamos que um número do conjunto dos números complexo

podeserrepresentadoatravésdaraizquadradademenosum,ouseja,osnúmeros

complexospodemserdecompostoseumaparterealeoutra imaginária.Eassim,

construímosarelaçãodoconjuntodosnúmeroscomplexoscomoplano.

Criamososparesordenados.Elessãoidentificadospelasimbologia(a,b)e

(x,y)ondeaexsãoaspartesreaisebeysãoaspartesimaginárias.Estesnúmeros

tambémrepresentamo“plano”quepodeserorganizadograficamenteatravésde

dois eixos – X e Y que se cortam perpendicularmente num ponto que pode ser

identificadopelopar(0,0)queéaorigemdosdoiseixos.

Obviamente que ao tratar destes conceitos e modelos matemáticos não

estamossendorigorososemrelaçãoaosprocedimentoseprincípiosmatemáticos,

atéporque,tornaríamosestareflexãodemasiadamenteextensaesemsentidopara

osnossospropósitos.

Assim, agora podemos introduzir a noção de vetor e de coordenadas

polares.Identificamosquetodoovetorpodeserrepresentadoapartirdopontode

origemdoseixosXeY,istoé,apartirdoparordenado(0,0)temosumadimensão

e umadireção do vetor que é dado pelo par ordenado final do vetor e por uma

direção.Assim,aorelacionarosdoiseixosXeY identificamosoconjuntoR2,R3,

R4 que são as representações do Plano, do Espaço – a Terceira Dimensão, da

QuartaDimensãoeassimpordiante.

Matematicamentepodemos operar nas dimensões espaciais que vão além

dadimensãotrêsequenãopodemosperceber,nomundoemquevivemos,porque

vivemosemtrêsdimensões.Naverdade,essessignossãoapenasrepresentações

dosobjetosespaciaisque,abstratamente,representamoseoperarmoscomeles.A

noçãodeQuartaDimensãocomosendoarepresentaçãodoTempo,possibilitouo

nascimento da Teoria de Relatividade de Albert Einstein. Ele modificou os

conceitos de espaço e tempo, que antes eram observados através da Teoria

deNewtoncomoentidadesindependentes,pelaideiadeespaço‐tempocomouma

grandeza unívoca e geométrica. O espaço‐tempo na Relatividade pode ser

consideradocomoumarepresentaçãodaquartadimensões, trêsespaciaiseuma

temporal,noentanto,integradadefinindoumconceitoúnico.

Na ciênciamoderna porGalileuintroduz o princípio da relatividade. Para

ele, o movimento, ou pelo menos omovimento retilíneo uniforme, só tem

significado quando é comparado com algumoutro ponto de referência. Segundo

Galileu,não existe sistema de referência absolutoonde o movimento possa ser

medido.Elereferia‐seàposiçãorelativadoSol(ousistemasolar)edasestrelas.As

“TransformaçõesdeGalileu”,comoficaramconhecidas,eramcompostasdecinco

leissobreomovimento.GalileueNewtonnãoconsideravamparaseuscálculosa

propagação eletromagnética porque aluz era tida como algo instantâneo, sem

movimento. Os fenômenos demovimento da luz e do som tornavam‐se visíveis

quando eram observados a longas distâncias, e assim, em fins doséculo XIX,

exigiampadrõesdeobservaçãoespecíficoseumateoriadotempo.

Em relação aos Postulados da Relatividade dois pontos devem ser

destacados. O Princípio da Relatividade que afirma que as leis que governam as

mudanças de estado em quaisquer sistemas físicos tomam a mesma forma em

quaisquer sistemas de coordenadas inerciais. Para Einstein, existem os sistemas

cartesianos de coordenadas que é denominado de sistemas de inércia. Podemos

dizer que: dado uma proposição K em um sistema de inércia, qualquer outro

sistema K em movimento de translação uniforme relativo a K, é também um

sistemade inércia.O segundopostulado relativoaBorhque tratada invariância

davelocidadeda luzafirmaque ela é igual a cem relação aqualquer sistemade

coordenadasinercial.Ouseja,a luznãorequerqualquermeio(comooéter)para

se propagar. Através dastransformações de Lorentzpode‐se demonstrar o

segundopostulado.

Defato,o“ParadoxodosGêmeos”ou“ParadoxodeLangevin”na“Teoriada

Relatividade” de Albert Eistein apresentam a seguinte proposição. Se

considerarmosdoisgêmeos,eseumdelesfosseparaoespaçoemumaaeronave,

navelocidadeda luz,eles ficariamcomidadesdiferenteumemrelaçãoaooutro.

Doisaspectospodemserconsiderados:oprimeiro,apartirdamecânicaclássica,

afirmaqueadilatação temporalnãoexiste, oque levariao gêmeoqueviajouna

nave estranhar a disparidade dos tempos decorridos experimentados. O gêmeo

queviajoupelouniversopróximoavelocidadeda luzpodealegarqueaTerra é

quesemoviacomvelocidadepróximaàdaluz.Noentanto,amelhorcompreensão

dessefenômenohoje,équeanavepercorreuumatrajetóriamaior,considerando‐

seatrajetórianoespaço‐tempo.

2.1.2SimetriasnasArtesenaMatemática

Ohomempassaaterconsciênciadeseupassadoevaiàantiguidadeclássica

em busca dos ideais gregos, querendo retomar os valores daquela cultura,

obviamenteligadoàideiadorenascimentodeumNovoImpérioRomano.Porém,

emvezdetrazerànovaeraumaantiguidaderenascida,contribuidefinitivamente

paraaformaçãodohomemmoderno.

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ladoaocomporamecânicadeelaboraçãodessemomento.

Todos esses agrupamentos estruturados a partir de profissões ou

princípios corporativos religiosos carregam em seu interior uma unidade de

pensamento que consiste numa verdadeiramente mudança estrutural na

sociedade. Eles ajudam a construir a visão moderna da economia na qual, uma

novaorganizaçãodotrabalhodeformaracionalestáporvir, istoé,adivisãopor

interesses em categorias profissionais. Esse raciocínio se for levado às últimas

consequênciasnostrazasideiasmarxistasdeclassessociais.

A história pode ser concebida como um processo contínuo em que

transformações ocorrem lentamente. Observamos que características da Idade

Média, que é tida como uma sociedade orgânica, estável e conservadora, atinge

tambémoRenascimentoe,porquenãodizer,aModernidade.Assimé impossível

determinarrigidamentecadamomento.

Estamos em um momento que o homem começa a compreender e

mensuraromundomaterialqueocerca.Eassim,tentamedirlongitudinalmenteo

globoterrestre,eisso

tornou‐sepossível quando a posiçãoda Lua entre as estrelas pôde serprevista pela teoria lunar de Newton e, assim obteve‐se o tempoaparentedomesmofenômenoceleste,medidoemdoislugares.Apartirdaí, os vastos espaços marítimos puderam ser “controlados” e asprojeções nosmapas puderam ser feitas comprecisão cada vezmaior.(MATOS,1990,p.285).

Enfim, encontramos o espírito e a matéria sendo ordenados e medidos

com precisão e rigor, mas sempre subordinados as leis naturais universais

estabelecidas pelo cristianismo. A “Matemática Universal” de René Descartes

denominadade “CiênciaUniversaldaOrdemedaMedida”está calcadana razão

humana e em tudo aquilo que pode ser matematicamente planejado,

diferenciando‐sedascoisasdamemóriaedossonhos,pois,paraDescartes,estes

fenômenos são fontes de incerteza, erro e ilusão. Esses princípios serão

definitivamenteincorporadosanossaculturaapartirdosséculosXVIIeXVIIIcom

a visãomecanicista desse filósofo ematemático e o pensamentomaterialista do

físico IssacNewtonqueprofundamente influenciarãonossapercepçãoocidental,

atéosdiasdehoje.

Descartesdiziaqueapercepçãoédeterminadapelarazãodemodoqueela

não gera dúvidas, pois, se assim o fizer, será descartada como uma percepção

enganosa. Nas palavras do fundador da filosofia moderna, em "Meditação

Primeira",sobrenossapercepção,

tudooquerecebiatépresentemente,comoomaisverdadeiroeseguro,aprendi‐o dos sentidos ou pelos sentidos: ora, experimentei algumasvezesqueessessentidoseramenganososeédeprudêncianuncasefiarinteiramente em quem já nos enganou uma vez. Mas, ainda que ossentidosnosenganem,énelesquedevemosbasearnossaspercepçõeseem diversos casos, deles, não se pode razoavelmente duvidar. (1983,p.85‐86).

Assim, ele encontrava nos sentidos a principal fonte de percepção e

compreensão do mundo, apesar de considerar o sonho como algo distante da

racionalidade. Descartes afirmava que sonhar é iludir‐se, em suas próprias

palavras:

tenhoocostumededormir...esonhar,duranteanoite,queestavanestelugar, que estava vestido, que estava junto ao fogo, embora estivesseinteiramentenuemmeuleito?...oqueocorreunosononãoparecesertãoclaronemtãodistintoquantotudo...,maspensandocuidadosamentenisso,lembro‐medetersidomuitasvezesenganado,quandodormia,porsemelhantesilusões.(DESCARTES,1983,pp.85‐86).

Elepercebeaexistênciadeumaúnicasaídaparaasuperaçãodadúvidae

eladevesertrilhadasegundoamesmaestradaqueasua“MatemáticaUniversal”.

Nelavamosencontrara“ordemdasrazões”ea“ordemdasmatérias”e,segundo

suas reflexões, estas ordens devem ser edificadas com a clareza da evidência

matemáticaeestruturadacomacoerênciaperfeitadeumademonstração.

No“DiscursodoMétodo”elemostraqueoúnicocaminhoparaconhecera

verdade,éodadedução,respaldado,evidentemente,pelaintuição.Quatrosãoos

princípiosquenoslevamàlógicadarazãohumana,esãoeles:

1. Jamaistomaralgocomoverdadeiroquenãosereconheçacomotal;

2. Dividir cada uma das dificuldades a serem examinadas em tantas

parcelas quanto possível e em quantas forem necessárias, a fim de

resolvê‐las;

3. Ordenar os pensamentos pelos objetos mais simples, até o

conhecimentodosmaiscomplexos;eporfim,

4. Fazerenumerações tãoextensase revisões tãogeraisdemodoa ter

certezaquenadaomitiu.(DESCARTES,1983,p.37‐38).

Opensamentodesse filósofomarcouahistóriadesseperíodoeestabelece

umuniversounivocamentedeterminadoequedeve serdivididoempartespara

sercompreendidoeasomadaspartesconfiguramotododenossacompreensão.

O mundo ocidental começa dividido quando o homem deixa de produzir

paraseuconsumopróprioecomeçaasegmentarosprodutosparacomercializá‐

los, temos uma economia que começa a se estrutura de forma financeira,

gradualmentevaiexterminandocomosvaloreseprincípiosfeudais.Aogeraruma

produção excedente, estimulada pelas viagens das cruzadas, o homem

apercebesse‐sedapossibilidadedetrocaraquiloqueeraproduzidoalémdesuas

necessidadesdeconsumo.

Daí, os burgueses, aproveitando‐se desse lapso da economia feudal,

começamapensaremumsistemabaseadono“capital”;natrocadeprodutospor

moedasparaatenderàsnecessidadesbásicas.Estemesmosistemagera também

novas necessidades que se alimentamdos desejos humanos e, assim, notamos a

separação entre a produção e o consumo. Obviamente, essa forma produtiva

possuía características bastante afastadas do método abstrato da produção

capitalistamoderna, segundo a qual, asmercadorias passam por intermediários

antesdechegaraoconsumidorfinal.(HAUSER,1972,p.271)

Iniciamos um processo de pensar nossas vidas em pedaços, porém ainda

substancialmente ligadoaosvaloresorgânicosedeterminadospela IdadeMédia.

Osprofissionaisespecializadosatribuemaobemproduzidoumconceitode“valor

mercadológico”quedá,aoshomens,umarelativaliberdadedecriarnovosvalores

para antigos objetos, sem produzir novas mercadorias. Este fato, unido às

necessidades de troca dos bens culturais, gera no mundo burguês a

obrigatoriedade de quantificação dos valores dos objetos. Precisamos criar

características de particularização de nossas mercadorias com a finalidade de

atribuir‐lhesvalor. Issomarcaráprofundamenteasnossas formasde significar e

comunicar,criandoumcaráterdeprazernassingularidadesena individualidade

estimuladospelafragmentaçãoeracionalidadedonossomundo.

Já em plena Idade Média pudemos sentir essa individualidade,

fragmentação e busca da racionalidade, porque, ao homem medieval coube a

verdadeiramudançadeparadigma.Abandonamosasconcepçõestranscendentais

baseadas em uma sociedade de economia natural estruturada sob o domínio da

Igreja Católica Cristã e passamos para uma economia monetária urbana que

propunha a emancipação da burguesia, no entanto, ainda estruturada pela

ideologiacristã.

Na Filosofia surgem sinais de reconhecimento da individualidade e

segmentação.No“humanismoindividualista”vamosencontrarohomemembusca

daafirmaçãodesuapersonalidade,embuscadoseueu,tendocomobaseatomada

de consciência da própria espécie. Para isso ele proclama contra a autoridade

estabelecida em busca de uma nova ordem.Hauser diz que o individualismo da

Renascença é novo apenas no sentido emque o homem toma consciência desse

fenômeno(1972,pp.361‐362).Aunidadetotalitáriaestabelecidapelafémedieval,

gradualmentedá lugaràdualidadeentreacrençaeoconhecimento,entrea fée

ciência, entre a autoridade e a razão, entre um mundo orgânico e outro

fragmentário;éumanovaordemquecomeçaadespontar.

As obras de arte que antes eram produzidas para os reis e para o clero

passamaserencomendadaspelaburguesia.Eles,comasmudançasnadinâmicada

economia,vão,gradativamente, introduzindoseusvaloreseprincípiosnomundo

europeuocidental.Ascamadassociaisque,atéentão,eramrigidamentedefinidas,

aospoucosvãodandolugaraumespíritomaisdinâmicoeflexível.AindanaIdade

Média temos uma visão religiosa unicamente determinada. Porém,mais adiante,

encontramososelementosdeordem,grandezaeo cientificismodefinindonosso

pensamento combaseno cristianismo.A diferença entre as produções artísticas

dessesdoisperíodosqueantecedemaRevoluçãoIndustrialestána formadever

essarealidade.Oprimeirorepresentaomundopercebidode"modonatural",jáo

segundo faz dele um "estudo de proporções" baseado na Geometria Perspectiva

Linear estruturadamatematicamente pelos princípios de Euclides de Alexandria

queviveuporvoltadoséculoIV.

NoentendimentodeEdgerton,comojávimos,aterceirapartedotripéque

dá sustentação à revolução científica no mundo ocidental é exatamente a

possibilidade de se estabelecer uma filosofia para a pintura possível de ser

demonstrada através de deduções matemáticas estruturadas pela geometria

euclidiana.Paraele,aartedoperíodopré‐industrialinfluenciouváriasculturasno

mundo, não porque foram impostas, mas sim porque teve um trabalho mais

convincente de representação ‐ uma percepção mais natural da realidade, uma

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rigidez das construções urbanas. O movimento de tridimensionalidade passa a

estar diante de nossos olhos. Nas obras plásticas do final da Idade Média e do

Renascimento vamos encontrar representadas as formas arquitetônicas, a partir

do que os gregos haviam elaborado. As ordens, como o dórico, o jônico ou o

coríntio,sãoreutilizadas,aocomporospalácios,asigrejas,ascasasdosburgueses

e as telas dos artistas plásticos que nesse instante utilizam constantemente os

elementosdearquiteturaparacomporoscenáriosdesuasobras.

Apesar de não ser nosso objetivo tratar das obras de arquitetura, é

importante citar a descriçãoda reconstruçãodaCapela‐MordaAbadia de Saint‐

DenisdoAbadeSugereotratadosobreaHarmoniaUniversalpublicadoem1.525

porFrancescoGiorgiqueestabeleceregrasparaaconstruçãodaCatedraldeMilão.

O primeiro demonstra o valor matemático que se atribuía a produção

artísticaemgeral.Essaobra trazconsigoaverdadeira forçaespiritualematerial

das proporções e razões utilizada em toda arte visual do ocidente europeu, em

especial a produzida sobre o patrocínio do Abade Suger. Ele salienta nesta

descriçãoqueovalormaisalto,realizadononovoedifícioéa“Harmonia”‐istoé,

"aperfeitarelaçãodaspartes,emtermosdeproporçõesourazõesmatemáticas‐

queéa fontedetodaabeleza,poisexemplificaas leissegundoasquaisa“razão

divina”construiuouniverso."(JANSON,1977,p.285).

O segundo em seu tratado une a teoria neoplatônica com o cristianismo

reforçandoacrença,jáexistentenaeficáciadarazãonumérica.ParaaCatedralde

Milão, Giorgi sugere um sistemaglobal demedidas que relacionaproporções do

“Homem Vitruviano” com as “Harmonias Cósmicas” de Platão e Pitágoras.

(PENNICK,1980,p.110).

As ordens arquitetônicas ajudam a interpretar o homem e seu meio

ambienteatravésdasmedidas.Adimensãototaldafigurahumanaéexpressaem

frações ordinárias e o homem, agora dividido em partes, serve para definir o

tamanhodasnavescentraisdascatedraisconstruídasnesseperíodo.Naverdadea

fração ordinária é o único signo matemático que representa precisamente a

relaçãoentreduasquantidadesmensuráveis.

Comoverificamos,ousodateoriadasproporçõeseautilizaçãodecânones

geométricassempreestevepresentenasartesvisuais.Verificamostambémquehá

diferenças fundamentais entre o método dos egípcios, o método de Policleto

consideradooformuladordaantropometriaclássicagrega,ométodoutilizadona

IdadeMédiaeodeLeonardodaVinci.Porém,tentandoestabelecerumadefinição

única para o que possa ser a “teoria das proporções,” somos levados ao texto

"Significado nas Artes Visuais" de Erwin Panofsky e de lá extrairmos que essa

teoriaé

um sistema de estabelecer as relações matemáticas entre as diversaspartes de uma criatura viva, particularmente dos seres humanos namedida em que esses seres sejam considerados temas de umarepresentaçãoartística.(Panofsky,1979,p.90).

Aofragmentaremmódulosossereshumanoseoespaçoocupadoporeles,

vemos introduzidos outros dois conceito que irão marcar significativamente os

períodospré‐industrialeindustrialmecânica.

O conceito de individualidade da produção e o conceito de medida do

produto finalizado serão importantes para a compreensão do mundo burguês.

Mensurar as obras de arte como igualmente se fazia com as mercadorias é

característicamarcantedohomem‐produtor‐artísticodessemomentohistórico.

Os artistas têmno suportemóvel suamercadoria, comumvalor de troca

determinado pela individualidade de cada produtor. Agora, ele não é mais um

artesão e sim, um intelectual da arte que emprega em sua produção profundos

conhecimentosmatemáticosaplicadosaanatomiaeageometriaespacial.Issotraz

individualidadeàscriaçõeshumanasonde,omeiodeproduçãoaindaéartesanale

oprodutorelaboraseuprodutoporcompleto.

Osesboços,ostraçadoseosdesenhosnãosãopreservadosnotempoassim

comoéaobradeartefinal.Elesrepresentamapenasafragmentaçãodoprocesso

de trabalho do artista plástico, isto é, o que importa é a pintura final; o quadro

realizado.

Apartirdeentãoastelasaóleotornam‐seavedetedaproduçãoartísticae

junto comelas seusprodutores.Umexemplodissoé anomeaçãodeGiottopara

diretordasobrasdacatedraldeFlorença,umahonraeresponsabilidadeatéentão

reservadaaarquitetoseescultoresenuncaapintores.Essegrandeartistaplástico

afirma que a pintura era superior à escultura, e assim dizendo, colocava‐a no

patamarmaiselevadode todasas formasdeexpressãoartística. (JANSON,1977,

p.325).

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o “número‐científico,” tratado na “Aritmética” propriamente dita,considera o caráter científico abstrato do elemento numérico, segundoum método silogístico e rigoroso do tipo euclidiano e, por fim, o“número‐concreto”quenãoeraconsideradocomociênciamassim,comoumatécnica,tratadonachamada“AritméticadosNavegantes”érelegadoa um grau inferior e trata‐se do cálculo propriamente dito. (GHYKA,1968,p.22)

De fato,o “númeropuro,” “número‐divino, “ou”número‐ideia”éomodelo

idealdo“número‐científico,”este“consideraremosgeralmentecomonúmero;pois

a causa do mundo material são as formas ‐ que dependem de quantidade,

qualidadeedisposições‐aúnicacoisapermanenteéaestruturadascoisas‐cópia

domodelopercebidoemlogo‐esuaúnicarealidadeéoarquétipodiretordetodo

ouniversocriado, (GHYKA,1968,p.22)Aquiencontramosocaráterorgânicoda

Idade Média presente na matemática onde o “número‐divino” e o “número‐

científico”fazempartedeumúnicouniversodepercepção.

Outroaspectoquedeveserdestacadonessemomentoéaintuitivanoçãode

quantificaçãodomundoreal,de fácilverificaçãonos textosdematemáticanesse

instantequeprecedeaRevoluçãoIndustrialnaCivilizaçãoOcidental.Notamosisso

quando lemos o que Oresme, ao generalizar a teoria das proporções de

Bradwardine, escreve: “Tudo que é mensurável ... é imaginável na forma de

quantidade contínua.” (BOYER, 1974, p. 192) Ele, ao medir a distância que um

corpo percorre quando se move com aceleração constante em um determinado

tempo e ao traçar um gráfico de velocidade e tempo com esses dados, realiza a

verificaçãogeométricadaregradedistânciapercorrida.

Richard Suiseth, “O Calculator”, também nos mostra o processo de

quantificaçãodomundoocidental,quandoformulaoproblemasobrelatitudedas

formas,cujoenunciado,éassimdescrito:

Se durante a primeira metade de tempo dado, uma variação continuacomumacertaintensidade,duranteaquartaparteseguintedointervalocontinua com o dobro da intensidade, durante a oitava parte seguintecom o triplo da intensidade e assim ad infinitum; então a intensidademédia para o intervalo todo será a intensidade de variação durante osegundosubintervalo.(BOYER,1974,p.192).

Hoje ela é traduzida pela série infinita, a qual foi demonstrada de modo

geométrico, por Oresme, pois Calculator não conhecia os modos gráficos de

demonstração.A ciênciadosnúmeros começaa tomar impulso significativo com

Regiomontanus considerado o matemático mais influente do século XV e que

conhecia grego, portanto, entrou em contato com o conhecimento científico e

filosóficodaantiguidade.Nestemomento,jáexistiamalgumasboastraduçõespara

o latim do trabalho de Euclides, e sua "noção de grandeza geométrica tal como

aparece,progressivamenteformalizada,emdiferenteslivrosdosElementos."Gilles

GastonGrangerdefiniuessanoçãodegrandezanageometriadeixandoexplícitoa

relaçãoentreelementonuméricoegeométrico,doseguintemodo.Paraele,

aintuiçãoingênua‐pelomenosparaanossa,jáeducadaporséculosdeprática social das operações de medida ‐ a grandeza geométrica nãocolocaproblemas,istoé,aideiadenúmeroéespontaneamenteaplicadaàintuiçãodeumsegmentodelinha,eatédeumfragmentodesuperfície.(GRANGER,1974,p.37)

Já a Euclides coube estabelecer a ligação do ser geométrico com o

aritmético, o que foi plenamente realizado em “Os Elementos” e assim, a

matemática está preparada para uma aritmética do incomensurável que se

realizaráplenamentenesseperíodotrazendonoseuinteriorparâmetrosqueserão

marcantesparaamodernidadeouseja,anoçãodialéticadosnúmerosirracionais.

Esses números não podem ser expressos na forma de razão ou fração e

causaram dificuldades maiores em sua compreensão “porque, não são

aproximáveis por números positivos, mas a noção de sentido sobre uma reta

tornou‐osplausíveis”.(BOYER,1974,p.210),assim,

a questão não é inventar um método particular para superar taldificuldade de medida, mas encontrar princípios gerais que permitamajustar o sistema dos números e a noção aindamuito intuitiva de sergeométricolinear.(GRANGER,1974,p.37).

Esse ajuste irá se realizar com os espaços topológicosmatemáticos numa

baseeuclidianaenanoçãosistêmicamatemáticaunivocamentedeterminadapelas

teorias de Descartes com sua álgebra geométrica, de Fermat com sua álgebra

analíticaedeDesarguescomsuageometriaprojetiva.

A álgebra, a geometria e a trigonometria são os temas centrais do

desenvolvimento matemático no período em questão pelo seu caráter de

mensuraçãoeordenação.Todasasobrasmatemáticas,aquiexpostas,culminaram

comsistemasbaseadosnageometriaeuclidiana,enessavisãointuitivadoespaço

matemático, podemos observar também que as visões de Descartes, Fermat e

Desargues, individualmente concebidas, para efeito sintético, determinam a

produçãoeascaracterísticasdessemomentohistórico.

Tomemos inicialmente a álgebra geométrica deRenéDescartes, que além

dematemáticocontribuiudeformadefinitivaparaoconhecimentohumanonesse

período.Suaobra,emespecialamatemática, começaa tomarcorpono iníciodo

renascimento através da resolução algébrica de equações cúbicas associada a

respectivademonstraçãogeométricaemtermosdesubdivisãodocubo.Estanoção

de resolução de problemas matemáticos através das noções geométricas está

presente em toda produção desse momento. Podemos encontrá‐la também nos

Livros IVeVIdeálgebradeRafaelBombelli; eles tinhamdiversosproblemasde

geometriaresolvidosdemaneiraalgébrica.

Descartesdiziaqueparafazermatemáticadevemos,porumlado,reterdo

objeto apenas o que ele possui de mensurável e redutível ao número puro da

álgebra,edeoutro,guardaraordem.(GRAGER,1974,p.37)Estesdoisconceitos

podemsergeneralizadospor todoomundomatemático,eporquenãodizer,por

todoomundoPré‐Industrial onde tudo é concebido emduaspartes: a primeira,

tratadamatériae,portanto,devesermedida;omaisimportanteaquiémensurar.

Asegundatratadaorganizaçãodamatériae,portanto,desuaordenação.Assim,

estamosdiantededois fenômenosquemarcamoperíodoinicialdaeconomiado

sistemaburguêsdetroca:amedidaeaordem.

Opaidafilosofiamodernatransfereanoçãointuitivado“objetogeométrico

imaginado” e “a confusa complexidade fenomenológica da figura” para um

problemadeálgebra.Istoé,segundoDescarteseleseservedeummétodoonde

tudo o que cai na consideração dos geômetras se reduz a ummesmogênerodeproblemas,queéodeprocurarovalordasraízesdealgumaequação,julgar‐se‐áquenãoédifícilfazerumaenumeraçãodetodasasviaspelasquaispode‐seencontrá‐las.(GRANGER,1974,p.65).

Assim,oobjetomatemáticoé emgeralumaconstruçãogeométrica, enão

necessariamenteareduçãodageometriaàálgebra.Ofundamentalnãoéresolver

os problemas de álgebra através da geometria, mas "consiste justamente em

definir a inteligibilidade da extensão pela medida e em considerar a Geometria

comoaciênciaqueensinageralmenteaconhecerasmedidasdetodososcorpos."

(GRANGER,1974,p.64).

Já Girard Desargues retomando a Antiguidade, preserva as ideias de

Regiomontanusnatrigonometriae,assim,elaboraumbelotrabalhodegeometria

compostopor vinte edois livros sobre “Elementosde cônicas” traduzindodesse

modo,paraolatim,osestudossobrecônicasdeEuclides.Esseéoimpulsoinicial

para o “Brouillonprojetd'uneatteinteauxévénementsdes rencontresd'un cone

avecunplan”quepodesertraduzidopor“Esboçotoscodeumatentativadetratar

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Finalizando,observemosaobradePierredeFermat,quecomomuitosde

suaépoca,dedicava‐seàrecuperaçãodeobrasperdidasdaantiguidadecombase

em informações encontradas nos tratados clássicos, e assim, os trabalhos

traduzidosparao latimaumentavamdia apósdia e umaparcela significativado

conhecimentohumanotemsuaorigemnostextosclássicos.Entreessestrabalhos

encontramos a reconstrução dos Lugares Planos deApolônio, que possuía como

subproduto o “princípio fundamental da geometria analítica”, qual seja: “sempre

que numa equação final encontram‐se duas quantidades incógnitas, temos um

lugar,aextremidadedeumadelasdescrevendoumalinha,retaoucurva”(BOYER,

1974,p.253)eassimestamosnovamentediantedarelaçãoentreosnúmerosea

geometria.

Essematemáticodoperíodopré‐industrial, juntocomDescartes, foioque

maisseaproximoudevisualizaroutrasdimensões,alémdoplano.Fermatemseu

métodoparaacharmáximosemínimosmanipulalugaresdadosporequaçõesque

hojesãoconhecidascomoasparábolasdeFermatequeoperavamem“geometria

analíticadecurvasplanasdegrausuperior”eintroduziuoconceitodeoperações

emmaisquetrêsdimensões,porém,opaidageometriaanalíticasetinhaissoem

mentenão foialémdesseponto.Ea teoriabaseadaemtrêsdimensões teriaque

esperaratéoséculoXVIII,antesdeserdefinitivamentedesenvolvida.Defato,esses

procedimentoslevaramomatemáticoFermataummétodoparaachartangentesa

curvay=x,queporconsequêncianosdeuoteoremasobreasáreasdelimitadapor

essascurvas,istoé,primeiropassoparaa“análiseinfinitesimal.

DomesmomodoqueDescartes,Desargues e todos seus contemporâneos,

inclusive Fermat, tinham uma concepção euclidiana dos espaços matemáticos e

tratava‐osdemaneiraplanimétrica.Eassim,criouasuageometriaanalíticaeseu

método de máximos e mínimos que, entre outras coisas, introduziu o cálculo

diferencial e integral e a percepção dos “valores vizinhos” que é a essência da

“análise infinitesimal”. Como todas as outras teorias, estamos em busca da

consistência entre os seres geométricos e os seres numéricos, estamos tentando

estenderasproposiçõessobreosnúmerosàgeometria,demodoaunificá‐losna

idéiadeumcálculogeométrico,eassim,conceberamatemáticacomoumsistema

único.(GRANGER,1974,p.87)

Aperspectiva comapenasumpontode fuga “resumeuma situaçãoque a

própria ‘perspectiva focalizada’ ajudará a formar e perpetuar: uma situação na

qualaobradeartesetornaráumsegmentodouniverso,comoesteéobservado‐

oupelomenos,comopodiaserobservado‐porumindivíduoparticular,apartirde

umpontodevistaparticular,nummomentoparticular. “Primeiroéoolhoque

vê;segundo,oobjetovisto;terceiroadistânciaentreumeoutro”,dizDürer,

parafraseandoPieroDellaFrancesca (PANOFSKY,1979,p. 360).A teoriade arte

desenvolvidanaRenascençapretendiaajudaroartistaachegaraumacordocoma

realidade numa base observacional; os tratadosmedievais de arte, ao contrário

limitavam‐sequasesempre,aoenunciadodecódigose regrasquepoupariamao

artistaotrabalhodeobservardiretamentearealidade.

Essa característica de particularidade, a que se refere Dürer, pode ser

levadaàmatemáticase tomarmosque,no finaldesteperíodo, temosconstruídas

trêsformasdesepensaraciênciadosnúmeros.Todaselasbaseadasnumavisão

geométrica intuitiva observacional do entematemático; uma visão euclidiana de

espaço, cada qual com característica específica de seus criadores. Duas delas

levavamemcontaosprocedimentosalgébricosestendidosàgeometriae,porisso,

são chamadas de álgebra geométrica ou geometria analítica, desenvolvidas por

DescarteseFermat.

Aprimeiraexperiência,decarátermetafísico,olhavaparaomundoatravés

da filosofia, e assim, a álgebra geométrica cartesiana tinha como finalidade

encontrarum“métodopararaciocinarbemeprocuraraverdadenasciências”.Já

asegunda,nãotãoabrangente,contribuiu fundamentalmenteparaamatemática,

umavezqueseuautor,apesardenadaterpublicadopossuíaumaexposiçãomuito

mais didática e sistemática do que o primeiro. Por fim, a terceira teoria, com

característicaspróprias,eessencialmentesimples,voltadasàscoisadocotidiano,é

denominada de geometria projetiva arguesiana, é construída a partir de termos

tomadosdanatureza,emespecialdabotânica.Desargues,seuautor,atribuíaasua

geometrianomescomo:“nós”,“ramos”,“raiz”eoutrostomadosdodiaadia,para

assuasdefiniçõeseosseusconceitos.Asecçãodecônicasédenominadade“golpe

de rolo”, porque faz referência a um rolo de amassar, e é desse modo que a

geometriaarguesianavêatransformaçãodacircunferênciaemelipse;umamassa

circularque,setrabalhadacomumrolo,podeviraumaelipse.

A produção artesanal imprime “as marcas individuais” do produtor, no

objetocriado,fundamentalmentenociclopré‐industrial.Percebemostambémque

todasasteoriasolhavamparaoobjetomatemáticopeloseuaspectogeométricoe

euclidiano, que se fundamentanuma teoria combases observacionais, na qual o

espaçotopológicoutilizadosustenta‐senumamétricaplanadadaapartirdenossa

percepçãopuraesimples,semquaisquerinstrumentosauxiliares.

Demodoque,nesseperíodoumadassimilaridadesquepodemosdestacar,

dessesdoissegmentosdoconhecimentohumano,éavisãosistêmicadosespaços

topológicosmatemáticos e artísticos, dados pela percepção intuitiva do homem,

sem mecanismos de observação, que não os seus próprios olhos e a sua

individualidade.Oshomenseseusobjetosaoredorsãorepresentadosnumavisão

planimétrica tirada da perspectiva monocular de observação, baseada na

geometria euclidiana e que trazia à percepção de cada produtor um modo

particulardeenxergaromundo.

OsartistasquemaislongelevaramessasideiasforamMiguelangeloeDürer.

Um,aoelaborarojuízofinal,dásuaopiniãoarespeitodessetemasagrado,dentro

doseiodaprópriaigrejacatólica,contrariandoomododepensardessa.Ooutro,

através de seu autorretrato, desenhando‐se com feições semelhantes ao Cristo,

“encarava suamissão de reformador artístico”, (JANSON, 1977, p. 464) como já

destacamosanteriormente,mostrandoassim,queomundodependiadeleedesua

“genialidade”.

Retomando Dürer, ele fala sobre o terceiro elemento, isto é, a distância

entreoolhodoobservadoreoobjetoobservado,eaí,encontramosoutroelemento

que irá marcar significativamente as produções artísticas e matemáticas desse

periodo. A questão da mensuração e ordenação tão fortemente buscadas nesse

mundo,pretensamenteracional.Aarteémedidaeordem.Nosmomentosemque

estabelece as relações de proporcionalidade usadas para construção das figuras

humanas, estabeleceumaordemapartirdeumsistemaperspectivo figurativoe

estabelece também a ordenação das formas representadas e construídas sob os

olhosdasordensarquitetônicas:dórica,jônicaecoríntia.Osensocomumpassaa

serasimetria,oequilíbrio,aordenaçãoeamensuração.

Amatemática,natentativadeestabelecerumaprojetividadeespacial,opera

sobre um conceito semelhante aos artistas. Isto é, apesar de tratar as formas

geométricasdemaneiraespacial,nãovaialémdeumaconvençãoplanimétricado

espaçorepresentado,concebendoassim,umsistemadeordememedidacalcado

nadeformaçãodosobjetos,emumaprojeçãosoboplano.Tomaremosemseguida,

duasconsideraçõesdeGilesG.Grangerquenosmostraaformadepensardedois

matemáticos,arespeitodageometriautilizada:

Do método de projeção de Desargues temos a acrescentar que sua

construçãoperspectivaéuma “transformação”,quepermitepassardoespaçoao

plano", assim, é apenas "uma deformação particular dos comprimentos". De

Descartes podemos ver que “os problemas de geometria facilmente podem ser

reduzidos a termos tais que, depois disso, só há necessidade de conhecer o

comprimentodealgumaslinhasretasparaconstruí‐los.”(GRANGER,1974,p.78)é

evidenteque,quandoessesmatemáticosfalamdecomprimentoestãopercebendo

o espaço‐suporte de seus sistemas inserido num contexto onde só interessa a

distância desdobrada em duas direções, comprimento e largura; nos remetendo

definitivamenteaoplano.

Seenveredarmospelasobrasdessesdoisautores,comotambémdosoutros

matemáticos contemporâneos a eles, verificamos cada vezmaisque apercepção

espacialmatemáticadesseshomenserafundamentalmentebidimensional,apesar

de Descartes e Fermat visualizarem outras dimensões. Eles definem conceitos,

operando‐oscombaseemumcódigogeométricoextraídodaantiguidadeclássica;

o método de Euclides. A geometria e suas projeções, tanto na arte quanto na

matemática, era de concepção euclidiana, única geometria conhecida nesse

momento.

Aperspectivalineartraduzumavisãomonoculardomundo,criaailusãoe

deformaçãodoelementoprofundidadeaoserrepresentadanatelabidimensional.

O plano está organizado segundo um código de representação que achata a

espacializaçãodosobjetosassimcomoumrolodeamassar.Aperspectivaajudaa

mensuraçãodosobjetosnaturaisnomundo;arealidadepercebidaétraduzidaem

umsuporteúnico:oplano;oquadrobidimensionalquepodesertiradodaparede,

transforma‐seemmercadorianumsistemaeconômicopré‐capitalista.

Os artistas do início do período pré‐industrial não conseguem levar para

suasrepresentaçõesgráficasadiferençaentreo“campovisual”eo“mundovisual“,

nas palavras de Edward T. Hall. Para ele “o homem ocidental não fizera ainda

distinções entre o ‘campo visual’ ‐ a verdadeira imagem retiniana ‐ e o “mundo

visual”, que representa o percebido, pois," ele é “...representado não como

registradonaretina,mascomopercebido‐emtamanhonatural.”(1977,p.81).

Como vimos, somente Rembrandt modificará esse modo de representar,

utilizando‐se do artifício das sombras e pintando "um campo visual estático, em

vezdomundovisualconvencionalretratadopelosseuscontemporâneos"imprime

emsuastelasatridimensionalidadese"observadasdedistânciaadequadas‐que

tem de ser determinadas experimentalmente" (HALL, 1977, p. 81) e aí estamos

percebendoconceitosqueirãocaracterizaramodernidade.

2.2 ConceitosdeProgramação2.2.1 SistemaCartesianoSistemaLógico2.2.2 VariáveiseFunções(conceitodefunção),Aritméticas

eLógicas2.2.3 Trigonometria–Seno,CossenoeTangente2.2.4 AcessoRandômico2.2.5 If,ElseeFor.

2.3 Atividades–Série02–MatemáticaDiscreta:

2.3.1 Atividade01‐DesenharumaMandala; Proposta: Solução: