A MATEMÁTICA A MATEMÁTICA FINANCEIRA NA FINANCEIRA NA

EDUCAÇÃO BÁSICAEDUCAÇÃO BÁSICA

Prof. Ilydio Pereira de SáProf. Ilydio Pereira de Sá

UERJ – USS – PEDRO IIUERJ – USS – PEDRO II

OU ISTO OU AQUILO

Ou se tem chuva e não se tem solOu se tem sol e não se tem chuva!Ou se calça a luva e não se põe o anel,Ou se põe o anel e não se calça a luva!Quem sobe nos ares não fica no chão,Quem fica no chão não sobe nos ares.É uma grande pena que não se possaEstar ao mesmo tempo nos dois lugares!Ou guardo o dinheiro e não compro o doceOu compro o doce e gasto o dinheiro.Ou isto ou aquilo; ou isto ou aquilo...E vivo escolhendo o dia inteiro!Não sei se brinco, não sei se estudo,Se saio correndo ou fico tranqüilo.Mas não consegui entender aindaQual é melhor: se é isto ou aquilo.

Cecília Meireles

E a Matemática? Está pronta,

acabada, imutável, com existência

própria e “fora do mundo”?

Para que ensinar Matemática?

Quais os objetivos dessa disciplina?

Que Matemática ensinar?

Conhecimentos matemáticos são aplicados na interpretação de fenômenos, em diferentes áreas da ciência, nas atividades tecnológicas e cotidianas. O cidadão necessita da capacidade de leitura e interpretação de informações através de distintas formas de linguagem matemática, de percepção da coerência ou não de uma argumentação, bem como da competência para formular suas próprias idéias de forma consistente, para uma inserção crítica e autônoma na sociedade contemporânea.

Dentro deste espírito, espera-se que o estudante e cidadão compreenda os conceitos fundamentais da Matemática, tratados na Educação Básica, de forma a saber aplicá-los em situações diversas, relacionando-os entre si e com outras áreas do conhecimento humano. Nesse sentido, a Matemática Financeira tem se mostrado um elemento positivo e que funciona como um “elo de ligação”.

INTRODUÇÃO:

Você sabe responder às questões seguintes?

1) Uma conceituada loja, numa promoção, oferece as seguintes opções de compra: a) à vista, com 30% de desconto sobre o preço de

tabela; b) com um acréscimo de 20% sobre o preço de tabela,

em dois pagamentos “iguais” (entrada mais outro para 30 dias).

Qual é a taxa de juros, sobre o saldo devedor, que a loja está cobrando na segunda opção oferecida?

2) Uma loja oferece uma mercadoria à vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

3) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2 0,30103 e log 3 0,47712

4) Calcule quanto uma pessoa deve depositar semestralmente numa conta a prazo fixo, que paga juros de 12% ao semestre, para acumular R$ 50 000,00, daqui a 10 anos, considerando-se que o depósito inicial somente ocorrerá no final do primeiro semestre.

5) Um eletrodoméstico pode ser comprado por R$ 1.500,00 à vista ou com entrada de R$ 450,00 e mais 4 pagamentos mensais de R$ 296,11. Qual a taxa de juros implícita no financiamento proposto?

Será que esses tipos de questões costumam, normalmente, ser trabalhadas nas séries da Educação Básica?

Será que nossa formação contempla tais discussões?

Tenho a certeza, após muitos anos de magistério, que as respostas às duas últimas perguntas é NÃO.

A Educação Básica, na maioria dos casos, ignora completamente a Matemática Financeira e, quando não o faz, trabalha num verdadeiro “conto de fadas” como se vivêssemos num país com economia a “juros simples”.

Lembra da famosa “fórmulazinha” que está na maioria dos livros do Ensino Fundamental?

100

cit j

E PARA QUE ELA SERVE?

Para quase nada...infelizmente!

Veja o exemplo abaixo extraído de um importante livro do Ensino Fundamental...(Antiga 5ª série)

Uma criança consegue re

solver tal questão só com os conhecimentos

de porcentagem e juros simples ?????

A grande vantagem da Matemática Financeira e da sua inserção na Educação Básica é, além de amplas possibilidades de contextualização, permitir relacionar diversos conteúdos tradicionais da Educação Básica, desde as primeiras séries do Ensino Fundamental.

Núm

eros

rac

iona

isEquações Polinomiais

Porcentagem

PA

e PG

Equações Exponenciais

MATEMÁTICA FINANCEIRA NA

EDUCAÇÃO BÁSICA

Logaritmos

OS DOIS GRANDES “SEGREDOS” DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

1) OS FATORES DE CORREÇÃO

2) VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

Casos comentadosCasos comentados

1) O senhor “Enkren Kado”, gerente de um supermercado, tem que aumentar os preços de todos os produtos de um setor em 32,5 %. Qual o fator de aumento? Quanto passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00?

FATOR DE AUMENTO = 100% + 32,5% = 132,5% = 1,325 NOVO PREÇO = 1,325 x 60,00 = 79,50

soluçãosolução

2) Ritinha, em Setembro, obteve uma correção salarial de 15%, sobre o salário de Agosto, passando a receber R$ 908,50. Quanto recebia em Agosto?

A x 1,15 = 908,50 A = 908,50 :1,15 = 790,00. Logo, em agosto, Ritinha recebia R$ 790,00

soluçãosolução

3) Um remédio estava custando R$ 34,00, e passou a custar R$ 47,00. Qual o fator e qual o percentual de aumento?

34,00 x F = 47,00 F = 47 : 34 = 1,3824 (Fator de correção) 1,3824 x 100 - 100 = 38,24 % (Aumento Percentual)

soluçãosolução

4) Vamos supor que , no exemplo anterior, o remédio custasse R$ 47,00 e sofresse uma redução de preço para R$ 34,00. Qual seria o fator de redução e o percentual de redução correspondente ?

47 x F = 34 F = 34 : 47 = 0,7234 (Fator de Redução) 0,7234 x 100 = 72,34 % (Valor Final) 100 % - 72,34 % = 27,66 % (Redução Percentual)

soluçãosolução

5) Uma loja está vendendo um produto com um desconto à vista de 30%, ou então com pagamento normal, sem desconto, com um cheque pré-datado para 30 dias. Quanto estará pagando de juros , em um mês, o cliente que optar pela segunda forma de pagamento?

F = 100 / 70 1,4286 Logo, a taxa de juros cobrada, em um mês, foi de 42,86%

Observe que o preço à vista é de 70 reais e não de 100 reais. É sobre tal valor que se faz o cálculo dos juros.

Vamos supor que a mercadoria estivesse tabelada em 100 reais. Com o desconto de 30%, o preço à vista seria de 70 reais.

$70

$100

30 d

soluçãosolução

6) O que aconteceria no problema anterior, se a opção pelo pagamento do preço de tabela, fosse subdividida em duas parcelas iguais, uma no ato da compra e outra a 30 dias da compra?

$70

$50$50

$20 Saldo devedor

30 d F = 50 /20 = 2,5

Logo, a taxa de juros cobrada seria de 150% em um mês.

soluçãosolução

Primeiro “Segredo” – Fatores de CorreçãoPrimeiro “Segredo” – Fatores de Correção

Exemplo: Seja uma taxa de 3,5%

Taxa percentual = 3,5% taxa unitária = 0,035 fator de aumento 1,035 fator de redução = 0,965

F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumento de k%)

F = (100 - k ):100 (Fator de Redução de k%)

RESUMINDO AS COISAS ...

AUMENTOS E REDUÇÕES AUMENTOS E REDUÇÕES SUCESSIVOSSUCESSIVOS

7) Qual o aumento total, acumulado, gerado por 3 aumentos sucessivos de 12%?

soluçãosoluçãoP +12% +12% +12%P x 1,12 (P x 1,12) x 1,12

((P x 1,12) x 1,12) x 1,12 = P x 1,123

P x 1,123 = P x 1,4049

Logo, o aumento total acumulado foi de 40,49%

Aumentos ou reduções sucessivos – Multiplica-se os respectivos fatores de correção

8) Certa classe trabalhadora conquistou, no mês de julho de 2006 (em dissídio coletivo), um reajuste salarial de 15%, sobre os salários de janeiro de 2006, descontadas as possíveis antecipações. Ocorre que eles receberam, em junho de 2006 uma antecipação de 8%, sobre os salários de janeiro. Qual o valor do reajuste complementar, devido a tal classe trabalhadora, sobre os salários de junho de 2006?

soluçãosolução Verifique que se trata de um caso de aumentos sucessivos. O segundo

aumento (a determinar), sobre o primeiro (antecipação de 8%), terão de dar um total acumulado de 15%.

JAN. 06 +8% JUN. 06 +X% = 15%

1,08 x F = 1,15, LOGO, O FATOR DESCONHECIDO SERÁ: F = 1,15 : 1,08 1,065 Conclusão: Deverão receber um reajuste complementar de 6,5%, aproximadamente.

IMPORTANTE: Assim como aumentos sucessivos são calculados pelo produto dos fatores de correção, as subtrações geradas por taxas sucessivas devem ser calculadas através da divisão dos respectivos fatores de correção.

9) Uma mercadoria aumentou 12% num mesmo período em que a inflação correspondente foi de 5%. Qual a taxa de AUMENTO REAL dessa mercadoria?

Essa é uma questão análoga à anterior. Quando há inflação, o aumento sofrido por algum preço é constituído por duas parcelas: a correção da inflação e o aumento real (quando há).

+X% (aumento real)

5%inflação

= 12%

(Taxa nominal)

Logo, F = 1,12 : 1,05 1,067 A taxa de aumento real da mercadoria, foi de 6,7%

FATOR DE AUMENTO = 260 / 240 1,0833

TAXA DE AUMENTO =

0,0833 x 100 = 8,33 %

Ou (1,0833 – 1) x 100

Jornal do Brasil – 30 de abril de 2004

10) Trabalhando com a Notícia na sala de aula ...

Taxa real de aumento ... F = 1,0833: 1,0702 1,012 (fator de aumento)

A taxa de ganho real do salário mínimo, foi de 1,2% e a notícia estava correta.

O 2º Segredo... “O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO”

PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS (OU JUROS SOBRE JUROS), TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM ATRAVÉS DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

NUMA DATA FUTURA, O DINHEIRO FICA MULTIPLICADO POR F n E

NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR F n.

A Bx F n

11) Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2006. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho extra propôs pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2006, ou seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia teve de pagar à loja?

soluçãosolução

Como Lídia pagou com uma antecipação de 1 mês, no cálculo basta DIVIDIR 80 por 1,05 (fator de correção). Logo, 80 : 1,05 = 76,19 reais.

12) Certa pessoa aceitou um empréstimo garantido pelas promissórias, a seguir discriminadas:

R$ 10 000, prazo de 1 mês;

R$ 20 000, prazo de 3 meses;

R$ 40 000, prazo de 6 meses.

No fim do primeiro mês, na impossibilidade de pagar o primeiro título, entrou em acordo com o credor para efetuar o pagamento do total do empréstimo ao final do segundo mês. Sendo de 5 % a.m. a taxa envolvida na época do fechamento do negócio e de 15% a.m. a taxa acertada para as parcelas vencidas e não pagas, qual o pagamento global a ser feito na referida data?

10 000 20 000

40 000

0 1 2 3 4 5 6

W

0 1 2 3 4 5 6

10 000 20 000

40 000

455,72 63 (1,05)

000 40

1,05

000 20 1,15 . 000 10 W

411

soluçãosolução

Devemos “empurrar” todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos).

0 1 2 3

5000

2500x

2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)3

2625 + x = 5788,13x = 3163,13

13) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

soluçãosolução

14) Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

0 1 2

400

220 220

Sugerimos “empurrar” todos os valores

para a data 2 e igualar as entradas (valor à

vista) com as saídas (pagamentos mensais).

400 . F2 = 220 . F + 22040 . F2 = 22 . F + 22 ou 20. F2 – 11. F – 11 = 0

40

64,3111

40

100111

40

)11.(20.412111F

Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = (11 + 31,64) / 40 Logo, F = 1 + i 1,067 ou i 0,067 ou ainda i 6,7%

soluçãosolução

Aliás…lembra da questão retirada do livro da antiga 5ª série? Ela teria de ser resolvida como a questão anterior. Vejamos:

Preço a vista = 600 x 0,75 (25% de desconto) = 450 reais.

Entrada = 0,4 x 600 = 240 reais

Valor de cada prestação = 360: 2 = 180 reais.

$450

$240$180 $180

Equação que resolve o problema:

0 6 F 6 - F 7

ou 0 180- 180F - 210F2

2

SALDO = $210

44,88% DETAXA , LOGO

1,4488 14

204 6 F

14

(-6) . 7 . 4 - 36 6 F

15) Cálculo do tempo... Equações Exponenciais e logaritmos.

Durante quantos meses (aproximadamente) estiveram aplicados 580 reais, sob juros compostos com taxa efetiva de 5% ao mês, para gerarem um montante de 900 reais? Informação: log (1,55) ≈ 0,1903 e log (1,05) ≈ 0,021

580 x (1,05) n = 900(1,05) n = 1,55 ou entãon . log (1,05) = log (1,55)n = log (1,55) / log (1,05)

n = 0,1903 / 0,021n 9 meses

soluçãosolução

i = 8 % a.a.

12.000

5.000

0 n

log(1,08)

log(2,4) n (2,4) log (1,08) log .n

2,4 1,08

2,4 5000

000 12 1,08

000 12 1,08 x 5000

n

n

n

0,38021 1 - 0,47712 0,30103 . 3

10 log - 3 log 2 log . 3

10 log - 3)x (2 log 10

24 log (2,4) log 3

0,03342 2 - 3.0,47712 0,30103 . 2

100 log - 3 3.log 2 log . 2

100 log - )3x (2 log 100

108 log (1,08) log 32

anos 11,3767 0,03342

0,38021

log(1,08)

(2,4) log n

16) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2 0,30103 e log 3 0,47712

17) (CONCURSO DE PROFESSORES – PEDRO II – 2007)

Um certo capital foi investido a juros compostos, com uma taxa de 20% ao mês. O tempo que levará para que este capital triplique é de:(log 2 0,30 e log 3 0,48). A) 5 meses B) 10 meses C) 8 meses D) 6 meses

soluçãosolução

Se designarmos o capital por C, o Montante final será 3C. Logo,

3C (1,2) . C n

3 (1,2)n

1,2 log

3 log n

3 log (1,2) log .n

Cálculo do log 1,2

0,08 1 - 0,48 0,60

10 log - 3 log 2 log . 2 10

3.2 log

10

12 log 1,2 log

2

meses 6 0,08

0,48

1,2 log

3 log n Logo,

Prof. Ilydio Pereira de Sá

www.magiadamatematica.com

ilydio@gmail.com

Livro: Matemática Financeira na Educação Básica

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A MAGIA DA MATEMÁTICA: ATIVIDADES INVESTIGATIVAS, CURIOSIDADES E HISTÓRIAS DA MATEMÁTICA – ED. CIÊNCIA MODERNA

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