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A MATEMÁTICA NO PISM I
PROF. KELLER LOPES
A MOTIVAÇÃO
TEMAS DO PISM I01 - GEOMETRIA PLANA
Semelhança e congruência de triângulos
Áreas.
Razões Trigonométricas .02 - Conjuntos Numéricos
03 - Funções
Conceito de função e seus elementos.
Interpretação Geométrica.
Função do 1° grau.
Função do 2° grau.
Função Exponencial.
Função Logarítmica.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
2 – CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
3 – CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
4 – CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
5 – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
0,1,2,3,4,5,6,..., 20,21,...
..., 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,..., 20,21,...
*/ a
x a Z e b Zb
são as dízimas não periódicas e as raízes não exatas
são os elementos de todos os outros conjuntos numéricos
Solução
DICA: Testar cada opção fazendo um
diagrama para cada uma.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS – QUESTÃO PISM IConsidere a figura e as informações abaixo:
Sobre os valores de x e y, podemos afirmar que: (A) x e y são números inteiros positivos. (B) x + y 10. (C) x é um número irracional e y > 2.(D) x e y são números irracionais. (E) x é um número irracional maior que 3.
SOLUÇÃO
Noções de áreas de figuras
planas
Questão PISM I – 2016Marcos comprou a quantidade mínima de piso para colocar
em toda a sua sala que tem o formato abaixo e pagou R$
48,00 o metro quadrado. Quanto ele gastou comprando o
piso para essa sala
(A) R$ 288,00
(B) R$ 672,00
(C) R$ 1152,00
(D) R$ 1440,00
(E) R$ 2304,00
SOLUÇÃO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULOcateto oposto c
sen x = = hipotenusa a
cateto adjacente bcos x = =
hipotenusa a
cateto oposto ctang x = =
cateto adjacente b
SOH CAH TOA
Questão PISM 1Um fazendeiro quer medir a largura de um rio. De um ponto A, situado a 3 m de uma das margens, ele vê uma árvore (ponto B), na margem oposta, que entende como o menor caminho. Andando 6 m perpendicularmente a AB, até o ponto C, mede o ângulo ACB = 60°. A largura aproximada do rio, no local referido, é igual a:
a) 5,4 m.
b) 7,4 m.
c) 6,4 m.
d) 3 m.
e) 10 m.
Solução
360
6
xtg
33
6
x
31,73
6
x
3 10,38x
7,38x m
CÍRCULO
COMPRIMENTO DO CÍRCULO
ÁREA DO CÍRCULO
2. .C R
2.A R
QUESTÃO PISM 1
A figura abaixo mostra um círculo, sobre o qual estão desenhados um triângulo equilátero e um retângulo, cada um com um vértice no centro do círculo. A área da figura hachurada em cinza mede cm².
GABARITO B
21
Solução
2 22 21
4 6
R RR
2 2 212 252 3 2R R R
27 252R
2 36
6
R
R cm
CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO, PONTO DE
MÁXIMO OU DE MÍNIMO E RAÍZES DE
FUNÇÕES.
(PISM I) Segue abaixo o gráfico da função f : IR IR .
Considere as seguintes afirmações:I) f possui 2 raízes racionais.II) A função f assume valor mínimo quando x = -3 e x = 3.III) A função f é crescente em (-4,0) (4,+ ) e decrescente em (- ,-4) (0, 4).É CORRETO afirmar que:(A) Apenas I é verdadeira.(B) Apenas II é verdadeira.(C) Apenas III é verdadeira.(D) Apenas II e III são verdadeiras.(E) Apenas I e III são verdadeiras.
FUNÇÃO DO 1º GRAU
GRÁFICO: RETA
a > 0 f(x) é crescente
a < 0 f(x) é decrescente
a = 0 f(x) é constante
O valor de b indica onde o gráfico tocará o eixo y
( )f x ax b
QUESTÃO PISM I
Se é uma função do 1º grau cujo gráfico passa pelos pontos (0,5) e (6,3), podemos afirmar que:
a) f é decrescente e f(3) = 0
b) f é crescente e f(3) = 4.
c) f é crescente e f(3) = 5.
d) f é decrescente e f(3) = 5.
e) f é decrescente e f(3) = 4
Solução
f é do tipo f(x) = ax + b, ou seja, y =ax + b
Para x = 0 e y = 5, temos a.0 + b = 5, onde b = 5.
Para x = 6 e y = 3, temos 6.a + 5 = 3, onde b = -1/3.
Assim,
Logo, f(x) é DECRESCENTE e
GABARITO E
1( ) 5
3f x x
1(3) .3 5 1 5 4
3f
FUNÇÃO DO 2º GRAU
GRÁFICO: PARÁBOLA
a > 0 côncava para cima
a < 0 côncava para baixo
O valor de c indica onde o gráfico toca o eixo y
2( )f x ax bx c
Vértice da parábolaSe V estiver à direita do eixo y, então a e b têm
sinais contrários.
Se o V estiver à esquerda do eixo y, então a e b
têm sinais iguais.Se o V estiver em cima do eixo y, então b = 0.
,2 4
bV
a a
2 4b ac
ANALISANDO O SINAL DO
>0 < 0 = 0
EXEMPLO : Analise o sinal de a, b, c no gráfico
abaixo
a > 0
b < 0
c > 0
< 0
QUESTÃO PISM IConsidere uma função definida por
, sendo a, b e c R para a qual , para todo k R,
cujo gráfico encontra-se esboçado abaixo. É CORRETO afirmar que:
2( )f x ax bx c :f R R
( ) ( )f k f k
GABARITO A
QUESTÃO PISM I - 2016
É correto afirmar sobre a função quadrática
que:
(A) f(x) é decrescente para
(B) A concavidade é para cima.
(C) f(x) possui três zeros diferentes.
(D) f(x) tem como vértice o ponto
(E)O valor máximo de f(x) é
2 3 1y x x
/ 0x x
1 4,
5 5
5
4
Solução
(A) para , f(x) é CRESCENTE quando
(B) a = -1, CONCAVIDADE PARA BAIXO.
(C) função do 2º grau possui no máximo dois zeros.
(D)
(E) GABARITO
0x
2
3 3
2 2.( 1) 2
(3 4.( 1).( 1)) 5
4 4.( 1) 4
V
V
bx
a
ya
FUNÇÃO EXPONENCIAL
( ) xf x a
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Questão PISM I – 2016
A diferença entre o maior e o menor valor de x, na equação exponencial
(A) 1 (B) 7 (C) (D) (E)
2
4 152
3 6
125
125
xx
x
1
2
7
23
2
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
( ) logaf x x
Questão PISM 1 - 2016Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais
que , e
O valor da expressão é igual a:
(A)1
(B) 2
(C) 3
(D)4
(E) 0
log 5b a log 2b c log 3b d
2 5
3logc
a b
d
Solução
GABARITO C
2 52 5 3
3log log logc c c
a ba b d
d
2 5 3log log logc c ca b d
2log 5log 3logc c ca b d
Efetuando a mudança de base para a base b
log log log=2 5 3
log log log
b b b
b b b
a b d
c c c
5 1 32. 5. 3.
2 2 2
5 95
2 2 5 2 3
Questão PISM 1 - 2016Para qual das funções abaixo, a equação
não possui raiz real?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
( ) 1 0f x
( ) xf x e
10( ) logf x x
2( )f x x
( ) 2f x x
( ) 1f x
Solução:
GABARITO C
) 1 0 1 0x xa e e x
10 10) log 1 0 log 1 10b x x x
2 2 2) 1 0 1 1 1c x x x x
1)2 1 0
2d x x
)1 1 0e
