A obra de Isaac Newton (1642-1727) foi esmiuçada de cem mil maneiras pelos seus biógrafos. Tudo foi pesquisado, visto e revisto Aqui apresentamos aos leitores, como simples curiosidade, alguns comentários sobre uma frase que é atribuída ao imortal cientista, filósofo, geômetra, astrônomo, alquimista, teólogo e também matemático inglês. Vejamos em que consiste a pirâmide humana de Newton.Sendo consultado por seu dileto amigo Edmund Halley (1656-1742), o astrônomo, sobre as notáveis descobertas por ele realizadas, respondeu Newton, revelando, como sempre, o traço marcante de sua incomensurável modéstia:“Se  eu consegui ver mais longe do que os outros foi porque subi sobre ombros de gigantes”A forma mais corrente dessa frase, que ficou famosa na História da Matemática, é a seguinte:“If I have seen farther than others it is because I have stood on the shouldes og gigants”.Ao espírito do curioso repontam logo duas perguntas que são, aliás, bem naturais:Quem teria servido de base para a maior glória do imortal criador do Cálculo diferencial? Quais foram os gigantes que permitiram a Newton “ver mais longe do que os outros”?A estranha pirâmide humana que vemos na figura ao lado foi imaginada pelo matemático americano Professor Raymond W. Anderson e incluída em seu livro Romping Through Mathematics (pág. 134).

Vemos que o autor do incrível Binômio, de binóculo em punho, tem o pé direito sobre o ombro esquerdo de Descartes (1596-1650) e o pé esquerdo bem firme sobre o ombro direito de Neper (1550-1617).O primeiro foi o criador da Geometria Analítica e o segundo teve a glória de inventar os logaritmos. Está, assim, Newton apoiado em dois gigantes da Análise Matemática.Descartes e Neper, este com trajes escoceses, pisam tranquilos sobre os ombros de três geômetras orientais: al-Karismi (persa do século XII) que imaginou o sistema de numeração indo-arábico, Omar Khayyamm (persa, 1040-1112) que ampliou o campo algébrico e um matemático anônimo (árabe ou hindu) que teve a idéia genial de criar o zero. Anderson dá a esse matemático a denominação de Mr. Zero.Os três orientais da pirâmide newtoniana estão amparados por dois gregos de fama: Pitágoras, o Filósofo do Número (século IV a.C.), Euclides, o criador da Axiomática (século III a.C.).Abaixo dos gregos, com braço estendidos, está o geômetra egípcio (talvez um Ahmés, do Papiro de Rhind) que enunciou as primeiras proposições geométricas e calculou áreas e volumes. Na base da coluna, Anderson colocou o matemático caldeu que construiu as bases do cálculo aritmético e criou o sistema sexagesimal de numeração.Falta alguém nesta pirâmide?Sim, na opinião do Prof. Cristovam dos Santos, matemático mineiro, dois geômetras e um astrônomo deveriam ser incluídos entre os gigantes: Arquimedes de Siracusa, Tales de mileto e o Alemão Johannes Kepler.E por que esquecer o matemático anônimo que inventou o ponto geométrico?Todos reconhecem e proclamam a importância do conceito de ponto entre noções básicas da Geometria. E tanto assim, que Horácio Lamb, físico e matemático inglês, propôs que se erguesse um monumento ao inventor desconhecido do ponto geométrico. Essa glorificação seria justa, assegurava Lamb, porque o primeiro homem a idealizar o ponto lançou os fundamentos do prodigioso edifício da abstração matemática.

As Leis de Newton Princípio da DinâmicaOs filósofos antigos se deparavam com questões como: Todos os movimentos necessitam de uma causa? E se tiver correto, qual é a natureza desta causa? A confusão sobre estas questões persistiu até o século XVII, quando Galileu e Newton desenvolveram uma abordagem para estudar estes movimentos, conhecido como “Mecânico Clássica”.As Leis de Newton são a base do nosso entendimento sobre o movimento e suas causas, até que suas limitações foram reveladas pelas descobertas no século XX, na Física Quântica e da Relatividade. 1ª Lei de Newton: Lei da InérciaSegundo Aristóteles, tanto para colocar um corpo em movimento, como para mantê-lo em movimento é necessária a ação de uma força.Em seu monumental tratado “OS Princípios Matemáticos da Filosofia  Natural”, conhecido como Princípia, publicado em 1687, podemos encontrar enunciado por Newton, sua primeira Lei:“Todo corpo persiste em seu estado de repouso, ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja compelido a modificar esse estado pela ação de forças impressas sobre ele.” 2ª Lei de Newton: Lei Fundamental da DinâmicaUma das implicações da 1ª Lei de Newton é que qualquer variação da velocidade v de um corpo em relação a um referencial inercial, ou seja, qualquer aceleração diferente de zero deve estar associada à ação de forças.A força é dada por:

onde:

é a força, é a aceleração e m é a massa do corpo.A unidade de massa é definida em termos de um protótipo, padrão de platina iridiada, depositado no Ofício Internacional de Pesos e Medidas em Paris, que representa o quilograma (kg), e foi construído originalmente para corresponder à massa de 1l de água à pressão atmosférica e à temperatura de 4ºC. Por definição, 1kg é a massa desse protótipo. Poderíamos pensar em adotar também unidades atômicas para a massa, mas isto seria atualmente desvantajoso do ponto de vista de precisão nas aplicações práticas, uma vez que não podemos contar diretamente o número de átomos contido num corpo macroscópico, e o número de Avogrado (número de moléculas por mol) é conhecido com precisão muito inferior à precisão com a qual podemos medir massas em termos de quilograma padrão.A unidade de força no S.I. é o Newton (N). Por definição, 1N é a força que, quando aplicada a um corpo de massa de 1kg, lhe imprime uma aceleração de 1m/s2. Para ter uma idéia concreta da ordem de grandeza do Newton, a aceleração da gravidade

, 1N é a ordem de grandeza da força-peso exercida pela gravidade sobre um corpo de massa de aproximadamente igual a 100g (uma maçã, por exemplo!).Obs.: No sistema CGS de unidade, em que as unidades básicas são: cm, g e s (centímetro, grama e segundo), a unidade de força é 1 dina, a força que comunica uma aceleração de 1cm/s2 é uma massa de 1g. Como:

e

temos que:

Uma aplicação da 2ª Lei de Newton é que só intervém na dinâmica deslocamentos, velocidades e acelerações das partículas. Não é preciso considerar, por exemplo, derivadas temporais da aceleração, tais como:

Outra implicação importante está relacionada com o caráter vetorial da fórmula:

Como é um vetor e m é um escalar, segue-se que a força é um vetor. Assim F1, F2, F3, ..., FN, são forças de diferentes origens que atuam sobre a mesma partícula, a força F é a resultante que atua sobre a partícula, ou seja:

onde a soma vetorial (para N = 2), obedece à regra do paralelogramo. Este é um resultado experimental, conhecido como princípio de superposição de forças:

Considerando a partícula 1 da figura acima interagindo com outras duas, 2 e 3, e seja F1(2) a força sobre 1 devida à partícula 2, e F1(3) a força sobre 1 devida à partícula 3. A força resultante sobre a partícula 1 será:F = F1(2) + F1(3)Newton não formulou originalmente a força como produto da massa pela aceleração. Newton começou definindo o que chamou de “quantidade de movimento”, também conhecido como momento linear, ou simplesmente momento. A definição de Newton foi:“A quantidade de movimento é a medida do mesmo, que se origina conjuntamente da velocidade e da massa.”Ou seja: o momento linear de uma partícula é o produto de sua massa por sua velocidade:

Decorre imediatamente que p é um vetor.Se m não varia com o tempo, ou seja, se excluirmos sistemas de massa variável, obtemos, derivando em relação ao tempo ambos os membros da equação do momento linear:

Comparando com a equação da força, obtemos:

que corresponde à formulação de Newton da 2ª Lei:“A variação do momento é proporcional à força impressa e tem a direção da força.”Ou seja, a força é a taxa de variação do momento linear em relação ao tempo. Embora esta formulação da 2ª Lei pareça inteiramente equivalente a F = m . a, tem algumas vantagens sobre esta. Uma delas é que revela a importância do conceito de momento. Outra é que mesmo na mecânica relativista permanece válida. 3ª Lei de Newton: Conservação do MomentoTodas as forças são parte de interações mútuas entre dois ou mais corpos.Considere o caso Terra-Lua: A Terra exerce uma força gravitacional sobre a Lua e esta exerce uma força gravitacional sobre a Terra.As forças que agem sobre um corpo A são devidas a outros corpos da vizinhança. Suponha que um corpo B aja sobre A. A força de ação será:

Por sua vez, a força que o corpo A exerce sobre B será:

Enunciado da 3ª Lei de Newton:Quando um corpo exerce uma força sobre o outro, o segundo exerce uma força sobre o primeiro. Essas duas forças são sempre iguais em intensidades e opostas em sentido.

Forma Compacta da 3ª Lei de Newton:A cada ação existe uma reação igual em intensidade e oposta em sentido. Transmissão de Movimento Circular Uniforme É possível efetuar a transmissão de movimento circular por contato (engrenagens) ou por correia (correntes, polias, etc.):Transmissão por contato:

Transmissão por corrente:

Na transmissão por contato, há inversão de movimento, já na transmissão por corrente, não há. No entanto, independentemente do tipo de transmissão, os pontos periféricos das duas rodas têm os mesmos módulos de velocidades linear, então:

Como v = r. w, então:

Como:

Então:

Postado por Kleber Kilhian às 09:47 0 comentários Marcadores: Física Aceleração Centrípeta No movimento circular, a partícula tem a direção da velocidade linear constantemente alterada. Isto ocorre porque sobre ela, atua uma aceleração chamada de Aceleração CentrípetaConsiderando o caso de um satélite que orbita em torno da Terra. No ponto P1 ele está com velocidade v. Se não houvesse aceleração ele iria do ponto P1 ao P2, num intervalo de tempo t. Porém, ele chega ao ponto P’2.

Assim, num certo sentido, o satélite “cai” à distância h. Tomando um tempo muito pequeno, teremos h << r ( h muito menor que r):

Associado h com:

reconhecemos que a aceleração centrípeta é:

mas como v = r. w, temos:

Que é a aceleração centrípeta, medida em m/s2

Velocidade Linear Para uma partícula que realiza movimento circular, notamos que esta partícula percorre uma distância linear dada pelo comprimento do arco ∆s = r∆ θ.O deslocamento do arco ∆s ocorre num intervalo de tempo ∆t, então a velocidade linear é:

Mas:

Logo:

onde v é a velocidade linear.Postado por Kleber Kilhian às 18:07 0 comentários Marcadores: Física Equação Horária Angular De maneira análoga ao que foi desenvolvido para o movimento unidimensional, podemos determinar a equação horária angular.Considerando uma partícula que descreve uma circunferência e cuja velocidade angular é uniforme, então:

Que é a equação horária angular.Postado por Kleber Kilhian às 17:48 0 comentários Marcadores: Física Velocidade Angular Considere um ponto P que se encontra em q0 no instante inicial t0= 0.Num outro instante qualquer t, o ponto encontra-se em q, então o ponto deslocou-se de q0 até  q,ou seja:

num intervalo:

Podemos, portanto, definir velocidade angular como:

A unidade de velocidade angular é rd/s.

Para movimento circular  uniforme, a velocidade angular é constante, dessa forma o ponto P descreve uma volta em um período T e Dq = 2p logo:

Como:

então:

Movimento Circular Alguns movimentos como a órbita da Terra em torno do Sol ou da Lua em torno da Terra, podem ser aproximados por uma trajetória circular. Rodas giram automóveis, descrevem arcos de circunferência ao fazerem curvas.No movimento circular, o período T é o tempo necessário para uma partícula descrever uma volta completa.A unidade do período no S.I. é o segundo (s).A frequência é o número de voltas que a partícula descreve em 1 segundo. A unidade de frequência é o Hertz (Hz).Existe uma relação entre período e frequência:

Por exemplo: Se um motor elétrico gira a 3600 RPM a frequência será:

O período será:

Movimento de Projéteis O que torna o movimento de projéteis complicado são:A resistência do ar

A rotação da TerraA  variação da aceleração gravitacionalSe desprezarmos  a resistência do ar e analisarmos os lançamento a distância de alguns quilômetros apenas, podemos simplificar sobremaneira o lançamento de projéteis.Considerando uma partícula que é lançada com velocidade  v0 e sob um ângulo q, conforme mostra a figura abaixo:

A velocidade inicial v0 pode ser decomposta em:

As acelerações sofridas pela partícula serão:

Analisando o movimento horizontal, vemos que a velocidade é constante.

Como a velocidade é constante, logo:

Por sua vez, o movimento vertical é afetado pela aceleração gravitacional, fazendo com que a velocidade seja:

Logo:

Exemplo: Um canhão dispara um projétil com uma elevação de 45º e velocidade inicial de 300m/s. Calcular:a) A altura máxima do projétilb) O tempo após o disparo para que o projétil atinja o soloc) O alcance do projétil.Resolução:Graficamente temos:

a)

b)

c)

Observação:Podemos notar que, o lançamento de um projétil a 45º permite um maior alcance vertical e horizontal. Se aumentar o ângulo de lançamento para maior que 45º, obtêm-se um alcance vertical maior, mas um alcance horizontal menor; Se diminuir o ângulo de lançamento para menor que 45º, o projétil atingirá mais rapidamente o solo.Postado por Kleber Kilhian às 16:15 0 comentários Marcadores: Física Vetores  Em Física, algumas grandezas necessitam definir o sentido e a direção. Estas grandezas são chamadas de vetores, dentre elas o deslocamento, velocidade, força, …

Escalares são grandezas que basta um valor numérico para defini-la, tais como tempo, temperatura, energia, …Os vetores podem ser representados por:

A representação gráfica é:

A magnitude de um vetor , é chamada de módulo e representado por:v ou

Considere o gráfico a seguir:

O vetor é a soma dos vetores , , , , , ou seja:

Os vetores também podem ser representados pelas suas coordenadas, ou seja:

Graficamente:

O módulo do vetor pode ser extraído por:

Usando esta notação, a soma de vetores torna-se simples:

Dado um vetor genérico , podemos extrair as suas coordenadas, conforme o exemplo abaixo:

Temos que:

Postado por Kleber Kilhian às 12:21 0 comentários Marcadores: Física Equação de Torricelli Sabendo que:

Podemos isolar o tempo e obtemos:

Substituindo este tempo em:

Obtemos:

Multiplicando a equação por 2a, temos:

Que é a equação de Torricelli. Note que esta equação não depende do tempoEquação do Movimento Equação do movimento ou equação horária dos espaços:Observando o gráfico:

podemos dizer que a Vm é a média aritmética da velocidade inicial e a final:

Sabemos também que:

Substituindo a equação II em I, obtemos:

Porém, a equação da velocidade é:

Substituindo-a, então, na equação III, obtemos:

Se t0 = 0, temos que:

Então:

que é a equação do movimento. Observações:

1) Queda Livre:Quando tratamos de corpos em queda livre, utilizamos o eixo dos y como referencial e a aceleração a é a aceleração da gravidade g, assim, a equação do movimento pode ser reescrita da seguinte maneira:

Na descida, a velocidade é negativa, pois obedece o sentido contrário à orientação do eixo y (referencial) g é sempre negativa y0 é o ponto de origem da queda do corpo y é o ponto final do deslocamento vertical do corpo Graficamente temos:

2) Lançamento vertical:Analogamente à queda livre, temos que:Na subida a velocidade é positiva, pois obedece o sentido da reta orientação do eixo y (referencial) g é sempre negativa y0 é o ponto de origem da queda do corpo y é o ponto máximo que o corpo atinge Graficamente temos:

Equação Horária da Velocidade Partindo da definição de aceleração:

Obtemos:

Quando t0 = 0 , temos:

Que é a equação horária da velocidade.Postado por Kleber Kilhian às 11:03 0 comentários Marcadores: Física 15/05/2009Aceleração A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Analogamente à velocidade instantânea, temos:

Ou seja, a aceleração instantânea é a derivada em relação ao tempo da velocidade instantânea:

que é a derivada segunda da distância x em relação ao instante t.Postado por Kleber Kilhian às 23:44 0 comentários Marcadores: Física Velocidade Instantânea Enquanto a velocidade média é tomada num intervalo de tempo Dt, a velocidade instantânea é tomada num instante extremamente pequeno. Em termos mais rigorosos:

Movimento Uniforme Quando a partícula tiver velocidade constante, Vm = V, então:

Considerando que uma partícula parta do instante inicial t0 = 0, então a posição inicial é x0. Fazendo x como sendo a posição para o instante qualquer t.t0 = x0t1 = x1t2 = x2t = xLogo:

Como o instante inicial t0 = 0, fazemos:

Então:

Que é a equação do movimento.Graficamente:

Transformação de km/h em m/s No S.I., a velocidade escalar é medida em metros por segundo (m/s). Na prática a unidade de medida é km/h.Como em muitos problemas é importante colocar as unidades de medida num mesmo sistema, segue abaixo a transformação de km/h em m/s:

Então:

Portanto:

Postado por Kleber Kilhian às 22:37 3 comentários Marcadores: Física Movimento Unidimensional Para descrever o movimento é necessário definir um sistema de referências (referencial), que no caso unidimensional, pode ser representado por uma reta orientada onde se define uma origem O.

A velocidade média é definida como:

Suponha uma partícula que se encontra na posição x1 em t1. No instante t2 a partícula encontra-se em x2. O deslocamento sofrido pela partícula foi:

E o tempo decorrido deste deslocamento foi:

Então:

Note que a velocidade pode ser positiva ou negativa.Principia Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 - Londres, 31 de Março de 1727) foi Cientista, Astrônomo, Alquimista, Filósofo Natural, Teólogo, Físico e soberbamente Matemático. Sua obra: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica é considerada uma das mais influentes na história das ciências. Foi publicada em 1687 descrevendo a Lei da Gravitação Universal e as três leis de Newton que revolucionaram a física fundamentando a mecânica clássica.

Clicando aqui é possível ler sua obra online digitalizado pela empresa Google.

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Gravitação Universal

Johanes Kepler (1571-1630) foi um grande conhecedor de Matemática e dedicou parte de sua vida à análise sobre as posições dos planetas.

Através de cálculos matemáticos, Kepler fez diversas tentativas para comprovar as órbitas planetárias circulares descritas pelo seu mestre Tycho Brahe, conseguindo somente aproximações. Por fim, chegou às órbitas elípticas e às leis que fizeram avançar a Astronomia.

1ª Lei - Lei das Órbitas: Cada Planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol, onde este é um dos focos da elipse:

2ªLei - Lei das Áreas: A reta que liga o Sol ao Planeta, descreve áreas iguais para intervalos de tempo iguais:

3ª Lei - Lei dos Períodos: O quadrado do período do movimento do Planeta ao redor do Sol, dividido pela distância média do Planeta ao Sol elevado ao cubo é uma constante para todos os Planetas:

K = T2 / R3T2 = KR3

onde:

T é o período de revolução do Planeta ao redor do Sol; K é a constante de proporcionalidade; R é a distância média do Planeta ao Sol.

Apesar das Leis de Kepler permitirem grandes avanços na Astronomia, havia uma pergunta sem resposta: "Que espécie de força o Sol exerce sobre os Planetas obrigando-os a movimentarem-se de acordo com as Leis descobertas por Kepler?"

Newton respondeu essa questão, orientando-se pelas próprias Leia de Kepler e aplicando ao movimento da Lua as três Leis que Newton mesmo descobrira, chegou à Lei da Gravitação Universal, cujo enunciado pode ser expresso da seguinte forma:

"Matéria atrai matéria com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas."

F = G (M1 . M2 / d2)

onde:

F é a força em Newtons (N) M é a massa em quilogramas (kg) d é a distância em metros (m) G é a constante gravitacional em Newtons metro quadrado por quilograma quadrado (N m2/k g2)

Para transformar uma proporcionalidade em uma igualdade, temos que inserir uma constante de proporcionalidade, que, no caso da gravitação, é a constante G, também chamada de Constante de Gravitação Universal.

A constante G tem um valor muito pequeno e não foi descoberto seu valor por Newton, somente algum tempo depois Cavedish, através de um experimento em laboratório, encontrou numericamente seu valor:

G = 6,7 . 10-11 Nm2 / kg2

Sua unidade de medida é dada por:

F = G (M1 . M2 / d2) N = G (kg . kg / m2) [G] = Nm2 / kg2

Exemplo 1:

Duas pessoas de massas respectivamente iguais a 80kg e 60kg estão 6m distantes uma da outra. Determinar a força de atração gravitacional entre elas.

Sabemos que:

G = 6,7 . 10-11 Nm2 / kg2 M1 = 80kg M2 = 60kg

d = 6m

Pela fórmula da Gravitação Universal temos:

F = G (M1 . M2 / d2) F = 6,7 . 10-11 . 80 . 60 / 62 F = 8,9 . 10-9N

Como podemos notar, a força de atração entre duas pessoas é muito pequena.

Exemplo 2:

Calcular a força de gravitação entre a Terra e a Lua, considerando:

( MT) Massa da Terra = 6,0 . 10 24kg (M L) Massa da Lua = 7,3 . 10 22kg (d) Distância entre os corpos = 3,8 . 10 8m

F = G (M1 . M2 / d2) F = 6,7 . 10-11 . 6,0 . 1024 . 7,3 . 1022 / (3,8 . 108)2 F = 2,93 . 1037 / 1,444 . 1017 F = 2,03 . 1020N

Como podemos notar, a Lei da Gravitação de Newton só tem sentido com corpos de massa muito grande, encontrando uma força de atração de F = 2,03 . 1020N, diferentemente da força encontrada no exemplo 1, que é desprezível.

Exemplo 3:

Calcular a força de atração entre o Sol e a Terra, considerando: (MT) Massa da Terra = 6,0 . 10 24kg (M S) Massa do Sol = 2,0 . 10 30kg (d) Distância entre os corpos = 1,5 . 10 11m ( 150 milhões de quilômetros)

F = G (M1 . M2 / d2) F = 6,7 . 10-11 . 6,0 . 1024 . 2,0 . 1030 / (1,5 . 1011)2 F = 8,04 . 1044 / 2,25 . 1022 F = 3,573 . 1022N

Campo Gravitacional

A intensidade do campo gravitacional em um ponto, a uma certa distância d do centro da Terra, pode ser calculada através de algumas relações:

Pela segunda Lei de Newton, temos que:

(1) F = mg

Pela Lei da Gravitação Universal, temos que:

(2) F = G (M1 . m / d2)

Substituindo (1) em (2), temos:

mg = G (M1 . m / d2) g = G (M1 . m / d2m) g = G (M1 / d2)

A aceleração da gravidade em um ponto é a Força G multiplicada pela massa do Planeta dividido pelo quadrado da distância.

Mas, d = r + h, então:

(3) g = G (M1 / (r + h)2)

g depende de uma altura h e do raio r do planeta. Se a altura h tende a zero, a distância será o próprio raio r do Planeta:

(4) g0 = GM / r2

onde g0 é a aceleração da gravidade na superfície do Planeta.

Ainda assim dependemos da massa M do Planeta e da constante G. Se dividirmos (3) por (4), teremos:

g / g0 = [(GM / (r + h)2)] / (GM / r2) g / g0 = (GM / (r + h)2) . (r2 / GM) g / g0 = r2 / (r + h)2 g = g0(r2 / (r + h)2)

Com esta equação não dependemos da massa do Planeta, somente da aceleração na superfície.

Exemplo 3:

A aceleração da superfície da Lua é de aproximadamente gL = 2m/s2, na superfície da Terra é aproximadamente gT = 10m/s2. Sabendo que a razão entre os raios da Lua e da Terra 1/4, calcular as massas da Lua e da Terra.

gL = 2m/s2 gT = 10m/s2 RL / RT = 1/4 RT = 4RL

gL = GML /RL2 gT = GMT /RT2

gL / gT = (GML /RL2) / (GMT /RT2) gL / gT = (GML /RL2) . (RT2 / GMT) gL / gT = (MLRT2 /MTRL2)

2/10 = ((4RL)2ML) / (RL2MT) 1/5 = (16RL2ML) / (RL2MT) 1/5 = 16(ML / MT) (ML / MT) = 1/80

Concluímos que a massa da Terra é cerca de 80 vezes a massa da Lua.