A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA DE ENSINO DA

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA: uma proposta utilizando software

GeoGebra

Marcel Bertoni1

Valdeni Soliani Franco2

RESUMO

Este artigo descreve experiências, reflexões e uma análise que foi feita por meio de contribuições que incorporam situações de aprendizagem e interações realizadas com alunos do 9° ano de uma escola em uma cidade ao norte do estado do Paraná. Como inovação das práticas metodológicas tradicionais, utilizou-se a construção do conhecimento, por meio da resolução de problemas como metodologia de ensino da geometria Euclidiana Plana juntamente com o software GeoGebra. A pergunta que tínhamos era: a possibilidade de construir os conceitos matemáticos, por meio do ambiente dinâmico e interativo, pode contribuir para que o aluno supere suas dificuldades, a falta de motivação, ou pelo menos as minimize? A experiência mostrou que essa articulação proporcionou percepções diversificadas das tradicionais e serviu para estimular, facilitar, construir novas formas de representar, de explorar, de conjecturar resultados e principalmente despertar a atenção e as capacidades cognitivas dos participantes, que mostraram interesse pelas atividades, que consideramos de essencial importância para o ensino e aprendizagem dessa disciplina. Além desses resultados obtidos com os alunos, destacou-se a importância da socialização da metodologia com demais professores da rede de ensino do GTR (Grupo de trabalho em rede), com possibilidades da democratização da mesma, que oportunizou a cada um dos participantes meios de inovação quanto às práticas metodológicas no ensino da matemática.

PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática; GeoGebra; Resolução de Problemas; Educação Básica.

1 INTRODUÇÃO

1 Professor do Ensino Fundamental e Médio da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná,

licenciado, em Ciências Habilitação em Matemática pela FAFIPA, Paranavaí Pr. 2 Professor do Departamento de Matemática e do Programa de Pós-graduação em Educação Para a

Ciência e a Matemática, da Universidade Estadual de Maringá.

As inovações nas escolas buscando torná-las mais compatíveis com a

realidade da sociedade contemporânea, além da atualização de currículos e da

transformação de praxes pedagógicas, são relevantes considerar a inserção de

tecnologias como agentes transformadores do processo de ensino e de

aprendizagem da matemática, já que, em geral, são ambientes familiares e

agradáveis para nossos alunos. Vinculados ao ensino, esses ambientes tornam-se

ferramentas auxiliadoras e estimuladoras no processo de aprendizagem.

Este artigo pretende estimular algumas reflexões acerca da utilização das

mídias digitais, tais como os softwares dinâmicos, e de como essa tecnologia pode

estar articulada a algumas abordagens dadas à resolução de problemas em sala de

aula, com conteúdos da geometria Euclidiana Plana.

As características de abordagens do ambiente dinâmico e interativo com

flexibilidade a resolução de problemas, e as considerações sobre as diversas

experiências citadas por vários autores, como Amorim (2003), Penteado (1999),

Hendres (2005), Borba (1999), Allevato (2005), Polya (1945), Dante (2003), entre

outros, são entendidas como contribuições que incorporam situações de

aprendizagem, interação e oportunidades de ensino e de aprendizagem.

A inovação das práticas metodológicas tradicionais conjectura que a

construção do conhecimento de conteúdos da geometria provoca no aluno o

conceito prático, mediante a visualização e a manipulação de objetos geométricos,

mobilizando e envolvendo o aluno para o conhecimento matemático em sala de

aula, sendo essas fontes essenciais para que o aluno conheça o espaço onde vive

como base para a sua formação.

Essa articulação, tecnologias computacionais, resolução de problemas e

geometria pode contribuir para que o aluno supere suas dificuldades? Atenue a falta

de motivação? O ensino de matemática pode melhorar por meio da articulação

dessas tendências? Essas eram nossas perguntas antes da implementação.

Apesar de a prática dominante tradicional nos processos de ensino e de

aprendizagem ainda privilegiar a “transmissão” de conhecimento, por meio de aulas

expositivas, giz, quadro-negro, livro didático etc., há hoje um assentimento por parte

daqueles que estudam a educação, de que é necessário renovar essa prática por

uma que esteja mais de acordo com o modelo que insere o aluno como ser histórico

e crítico.

São propostas de novas práticas metodológicas as concepções críticas de

aprendizagens, o uso de ferramentas tecnológicas, tais como internet, televisão,

computadores, softwares, calculadoras, vídeos etc., uma vez que é perceptível a

presença destas nas relações e meios sociais. Mesmo porque estamos inseridos

numa sociedade informatizada regida por transformações em alta velocidade, sendo

hoje as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) uma necessidade em todas

as áreas do conhecimento, mercado de trabalho, pesquisas etc.

A Matemática como área do conhecimento não é diferente, internet,

softwares, calculadoras, vídeos etc., são relevantes nos estudos da geometria,

álgebra, aritmética etc., são meios pedagógicos, ferramentas inovadoras que podem

contribuir para que os alunos se sintam estimulados, motivados a explorarem os

conteúdos desenvolvidos. Isso enriquece o contexto da aprendizagem, já que

existem atitudes passivas, certa resistência, e até mesmo repulsa por parte de

alguns alunos em relação a essa disciplina.

Atividades que estimulem os alunos a pensar, investigar e conjecturar são

experiências que os alunos podem vivenciar como desafiadoras e inovadoras das

práticas metodológicas usualmente tradicionais e mecânicas. A resolução de

problemas como objeto central de trabalho da sala de aula permite que os alunos

compreendam como se constrói o conhecimento matemático e sintam prazer com

pensamento crítico e reflexivo, como uma metodologia que pode contribuir para

reduzir os problemas relacionados ao processo de ensino e de aprendizagem.

2 DESENVOLVIMENTO

2.1 APORTES TEÓRICOS

2.1.1 GEOGEBRA

GeoGebra é um programa livre de geometria dinâmica criada por Markus

Hohenwarter para ser utilizado em ambientes de sala de aula. Seu criador iniciou o

projeto em 2001 na University of Salzburg e continuado o desenvolvimento na

Flórida Atlantic University. O GeoGebra é escrito em Java e assim está disponível

em múltiplas plataformas.

O ambiente dinâmico e interativo também entendido como o ambiente do computador formado pelos softwares que possibilitam trabalhar com a geometria explorando, principalmente, o movimento e a manipulação, e no qual os usuários desses softwares podem mover dinamicamente partes e, quando necessário, o todo da figura construída. Isso faz com que eles sejam estimulados a explorar a geometria de forma a ver a Matemática não como uma coleção de regras formais e acabadas em si mesmas, mas como uma ciência dinâmica e passível de manipulação (AMORIM, 2003).

Por meio das ferramentas do GeoGebra é possível realizar construções

utilizando pontos, vetores, segmentos, retas, ângulos, polígonos, círculos, oferece

comandos para encontrar raízes e pontos extremos de uma função, entre outras

funções. Uma das grandes vantagens da utilização dos softwares dinâmicos é a

possibilidade de alterar todos os objetos construídos a qualquer momento que

desejar, sem perder os nexos das construções, permitindo ao aluno construir e

manipular, dinamicamente com movimentos as figuras construídas e fazer análise

criando assim, condições para que o conhecimento possa ser construído.

Deste modo, o programa reúne as ferramentas tradicionais de geometria, com

outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Tem a primazia didática de

apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto

que interage dinamicamente entre si: sua representação geométrica e algébrica.

Os computadores e softwares harmonizam-se de um poderoso ambiente de

aprendizagem, no qual é possível trabalhar com uma perspectiva que possibilita a

construção de conhecimentos relacionados a conteúdos específicos da Educação

Matemática.

Para Vygotski (1994, p.73), “o uso de meios artificiais – a transição para a

atividade mediada – muda, fundamentalmente todas as operações psicológicas,

assim como o uso de instrumentos amplia de forma ilimitada a gama de atividades

em cujo interior as novas funções psicológicas podem operar”.

São ferramentas computacionais, que reincidem sobre ensino da matemática

e proporcionam maior interatividade e atitudes para se buscar uma solução, ou seja,

a atitude do aluno se encontra mais descentralizada por conta das ações com

ambientes dinâmicos e interativos. As interações numa lacuna no qual se tem a

presença de alunos e, que se pode definir o conhecimento, nesse contexto a

máquina midiática é vista como ferramenta que media tal construção. Dessa forma,

a inserção desses recursos tecnológicos por meio de sua facilidade de uso,

possibilita práticas docentes diferenciadas.

“É fato também que a informática, cada vez mais, toma conta do ambiente de

sala de aula, por isso o uso do computador no ensino de Matemática é uma

necessidade atual e deve, cada vez mais, ligar-se à rotina didática dos professores e

à escola em geral” (HENDRES, 2005, p.26).

O trabalho com computador provoca mudanças na dinâmica da aula, exigindo

por parte do professor novos conhecimentos e ações, principalmente no panorama

pedagógico (PENTEADO, 1999, p.309).

“A tecnologia deve servir para enriquecer o ambiente educacional, propiciando

a construção de conhecimentos por meio de uma construção ativa e crítica e criativa

por parte dos alunos e professores” (BRASIL. 1997.p.140).

Segundo os autores dos parágrafos acima o uso do computador como

ferramenta pedagógica impõe certa demanda de ações e formação por parte dos

professores que geram oportunidade de tornar o ensino mais cativante, gerando

uma aprendizagem agradável, especificamente no campo da matemática, onde se

percebe, historicamente, certo marasmo por parte dos alunos.

Existe uma conexão de uso entre os softwares e as mídias tradicionais

televisão, vídeos, dvd, aparelhos de som, mp3 etc., que tanto a mídia computacional

quanto a tradicional, os alunos adquirem as competências manipulativas do

instrumento com facilidade, porque as mídias fazem parte do cotidiano dos alunos,

são métodos para diversão, informação, pesquisas, comunicação etc. Assim, a

escola busca cada vez mais interagir com essa metodologia de ensino e

aprendizagem, disponibilizando ajuda e auxílio aos professores, para que melhor

eduquem e ensine os alunos ligados à cultura dessa nova geração.

Dentre estudos, é possível encontrar literaturas esclarecendo que a utilização

adequada do computador nas aulas de Matemática ajuda a compor um cenário mais

favorável e motivador ao seu ensino e aprendizagem.

No contexto da Educação Matemática, os ambientes de aprendizagem gerados por aplicativos informáticos podem dinamizar os conteúdos curriculares e potencializar o processo de ensino e da aprendizagem voltados à “Experimentação Matemática”, com possibilidades do surgimento de novos conceitos e novas teorias matemáticas a fim de torná-lo um aliado importante na construção do conhecimento. (Borba, 1999).

É importante salientar que o uso do software em si, não comprova nenhum

dos teoremas, pois a matemática, enquanto ciência utiliza-se do método dedutivo,

no entanto a utilização dos softwares é de grande valia, pois, quando bem utilizada,

facilita o conhecimento exposto por parte do educando. O uso da informática, em

particular de softwares, não é o desfecho para os impasses do ensino de

matemática, porém deve ser visto como aliado dos professores, pois de fato é uma

importante ferramenta mediadora em oposição das aulas tradicionais.

2.1.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Ao ter como primazia a construção do conhecimento pelo produzir e pensar, a

função da resolução de problemas é essencial para incentivar o aluno na construção

de novos conceitos e resultado advindos.

Segundo Polya (1957), “um problema é uma questão para qual o aluno não

dispõe de um método que permita a sua resolução”.

Segundo Onuchic (1999), problema: “[...] é tudo aquilo que não se sabe fazer,

mas que está interessado em resolver” (p.215).

“Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de

aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a

resolver a questão proposta” (DANTE, 2003).

Adquirir conhecimentos matemáticos por meio de resolução de problemas é

desenvolver maneiras de pensar, praxe de persistência e curiosidade, bem como

autonomia em situações não familiares, é o centro do trabalho na matemática, a

criança constrói e vê significado no aprendizado, valorizando o uso social e cotidiano

da matemática.

“Uma grande descoberta resolve um grande problema. Mas há sempre

alguma descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode ser modesto,

mas se desafiar a curiosidade e se puserem em jogo as faculdades inventivas, quem

o resolver pelos seus próprios meios experimentará o prazer e o triunfo da

descoberta” (PÓLYA, HOW TO SOLVE IT, 1945).

Assim, em síntese a resolução de problemas significa envolver-se em uma

tarefa cujo método de solução não conhecido no imediato, mas deseja solucioná-lo.

Para encontrar uma solução, os alunos devem empregar seus cognoscere e

por meio desses procedimentos, eles poderão construir e despertar o gosto pelo

raciocínio ou adquirir novos conhecimentos matemáticos. Os alunos deveriam ter

oportunidades rotineiramente para construir, tentar e solucionar problemas que

requerem uma quantidade significativa de empenho, e deveriam então, ser

estimulados a refletir, pensar em seus conhecimentos, descobertas.

“Uma metodologia de ensino, onde um problema é ponto de partida e

orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á através

de sua resolução, professores e alunos, unidos, desenvolvem esse trabalho e a

aprendizagem se realiza de modo colaborativo em sala de aula” (ALLEVATO;

ONUCHIC, 2007; ONUCHIC; ALLEVATO, 2005). Nessa concepção, entende-se que

a ascensão do desenvolvimento humano é um processo sócio histórico, construído

nas inter-relações estabelecidas entre o sujeito e seu contexto e que a constituição

do conhecimento se dá pela mediação de outros sujeitos. Nesse sentido, o professor

faz parte deste processo de ensinar e aprender.

É papel de o docente promover o desenvolvimento e mediar o conhecimento

dos alunos por meio de sua interferência na “zona proximal” (ZDP) consiste na

“distância entre o nível de desenvolvimento real da criança, que se costuma

determinar através da solução independente de problemas, e o nível de

desenvolvimento potencial, determinado através da resolução de problemas sob a

orientação de um adulto ou em colaboração com os companheiros mais capazes”

(VYGOTSKY 1998).

Importantes estudos já foram e estão sendo desenvolvidos buscando

compreender as implicações e formas de práticas da resolução de problemas no

ensino de Matemática, que deve valorizar a aquisição de formas dinâmicas de

conhecimento. A metodologia adotada neste trabalho consiste em buscar estratégias

de ação visando contribuir para capacidade dos alunos em compreender a

linguagem matemática, juntando duas das tendências: Resolução de Problemas e

Uso de Mídias Tecnológicas.

Considerando a integração das Mídias com a Resolução de Problemas, o uso

do computador é como um instrumento de apoio à descoberta de conceitos e à

resolução de problemas, e o uso da capacidade de resolução de problemas

apresentados pelos computadores é uma forma de ampliar as abordagens

tradicionais de resolução e programar novas estratégias de interação e simulação,

podendo potencializar e enriquecer os resultados almejados no cotidiano da sala de

aula.

2.1.3 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

A Geometria proporciona um campo de conhecimentos por contribuição de

vários povos, fundamental para a percepção do mundo e participação ativa do

homem na sociedade, pois facilita observar, perceber, descrever, representar de

forma organizada, o mundo quanto aos conceitos de ponto, reta, plano, ângulos,

polígonos e circunferências. A geometria incentiva o homem a observar, perceber

semelhanças, diferenças e reconhecer a harmonia na construção de conceitos

geométricos, possibilitando a contextualização dos conteúdos, raciocínio visual e

está presente no dia-a-dia, no contexto físico e diversas áreas do conhecimento.

Sobre a importância da Geometria diz que esta tem função essencial na formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente de idéias e uma visão mais equilibrada da Matemática, porém é pouco estudada nas escolas de Educação Básica LORENZATO (1995).

A construção do saber geométrico Euclidiano tem sido de grande afronta para

os educadores, não somente pela quantidade de conceitos envolvidos, mas pela

relutância de torná-los claros e coesos para o aluno, bem como, aplicáveis à

resolução de problemas.

A geometria Euclidiana sistematizada em os elementos tem uma importância

extraordinária na história da Matemática, contribui nos programas e propostas no

ensino geométrico da educação básica brasileira, porém com toda essa gama de

vertentes, lamentável que a geometria está em plano secundário nas escolas.

No entanto, certos professores têm como pretexto para não colocar em

prática estas ações, a falta de tempo ou a exigência de preparar um material vasto

para um resultado lento demais quando se leva em conta o período disponível para

se ministrar conteúdos geométricos nos 8° e 9° anos do Ensino Fundamental.

A geometria é mencionada, programada nos últimos capítulos dos livros

didáticos, privilegiando a álgebra. Estes problemas, talvez a falta de conhecimento

consistente e pedagogicamente bem fundamentados, planejados por parte dos

professores e a aprendizagem falha ou insuficiente por parte dos alunos que

chegam ao ensino médio, fizeram propor este trabalho como estratégia para

enriquecer, estimular o ensino da Geometria Euclidiana Plana. O estudo da

Geometria Euclidiana Plana objetivando a resolução de problemas juntamente com

softwares exige do professor grande habilidade pedagógica que envolve o

conhecimento sobre o que expor, que conteúdos apresentar aos estudantes, em que

sequência expor os conteúdos selecionados, como expor para tornar significativa

aprendizagem de cada um destes conteúdos expostos.

A Geometria Euclidiana, denominada assim pela literatura matemática por

estar sistematizada e fundamentada nos postulados de Euclides.

O ramo da Matemática conhecido como geometria tem suas origens no antigo Egito e na Babilônia. Naquela época, o conhecimento geométrico era composto por regra práticas advindas de experimentações. O caráter lógico-dedutivo da geometria iniciou-se muito tempo depois, na Antiga Grécia, com Tales de Mileto (624-547 a.C.) e Pitágoras (569-475 a. C.). Mas a obra sobre Geometria, mais famosa e citada até hoje é Elementos, cujo autor foi um professor da biblioteca de Alexandria chamado Euclides (325-265 a.C.) (GERÔNIMO; BARROS; FRANCO, 2010, p.11, introdução).

Em Elementos, a geometria apresenta-se como um sistema axiomático, lógico

e deduzido, por axiomas e postulados a partir de afirmações evidentes por si

mesmas (axiomas) e intuitivas não demonstradas (postulados), atualmente usa-se

indistintamente os termos, como proposições admitidas sem demonstrações.

A contribuição de Euclides para o conhecimento matemático inicia com

definições fundamentais, porém existem as noções primitivas, como Reta, Plano e

Ponto que devem ser aceitas sem definições, que são objetos básicos da geometria

Euclidiana.

A partir desses conceitos, realiza-se uma sistematização geométrica através

dos cinco axiomas ou postulados que constituem o fundamento de toda a sua obra.

A Geometria Euclidiana Plana faz parte do currículo de ensino fundamental,

tem o espaço como referência, hoje dentre várias funções, além de familiarizar o

aluno com linguagem formal da matemática, a geometria euclidiana desenvolve a

capacidade de redigir demonstrações de resultados teóricos, estratégias como

construções geométricas utilizando régua, compasso, planificação, dobraduras,

facilita a visualização de objetos geométricos e a interpretação de resultados. Além

disso, a Geometria possibilita o reconhecimento e a aplicabilidade desses mesmos

resultados, tanto em situações abstratas de teorias matemáticas quanto em

resolução de problemas da vida real; favorece a aquisição de um sólido

conhecimento de teoremas, inclusive dos próprios resultados consagrados por

Euclides; e ainda, produz uma postura crítica durante a utilização da geometria em

problemas diários. São modelos adequados de se expor e estudar a Geometria

Euclidiana, acentuando conceitos imediatos, definidos ou construtivos.

3 METODOLOGIA

A metodologia empregada nessa pesquisa teve como objetivo desenvolver

algumas reflexões acerca da utilização de uma das mídias digitais, a saber, o

software GeoGebra, e de como essa tecnologia como ferramenta estimuladora pode

estar associada a alguns enfrentamentos dados à resolução de problema em sala de

aula. De acordo com as Diretrizes Curriculares de matemática (SEED, 2008), os

conteúdos propostos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas

da Educação Matemática que fundamentam a prática docente. Sendo assim, a

metodologia trabalha a ideia de que os recursos tecnológicos são essenciais e

importantes no desenvolvimento de habilidades em aulas de Matemática e do ponto

de vista pedagógico eles despertam o interesse do professor e do aluno.

A experiência foi implementada no ensino de geometria, com alunos do 9°

ano em uma cidade ao norte do estado do Paraná no ano de 2011.

Para a implementação, foi feito inicialmente uma fundamentação teórica, para

em seguida trabalhar atividades de ambientação e atividades envolvendo resolução

de problemas com flexibilidade ao ambiente interativo dinâmico GeoGebra, sendo a

escolha por este devido ao fato de o mesmo ser distribuído de forma livre e trabalhar

simultaneamente com álgebra e geometria, além disso, pode ser utilizado na

plataforma Linux instalado em nossas escolas e está disponível entre aos aplicativos

do Paraná Digital, condição fundamental para a viabilização da implementação na

escola.

As estratégias de ação possibilitaram troca de experiências com colegas

professores do GTR (Grupo de trabalho em rede), podendo vir a ser incorporada às

práticas pedagógicas das diversas escolas da rede, recebendo críticas e

contribuições dos professores do grupo de trabalho, oportunizando a cada um dos

participantes: leitura, reflexão e diálogo a fim de que pudessem ampliar seus

conhecimentos, renovar seus conceitos, partilhar experiências, inovar práticas

pedagógicas e ter consciência de que é necessário adotar metodologias

diferenciadas e inovadoras em oposição ao tradicional, fazer dessa ferramenta uma

rotina de nossas aulas. A contribuição dos participantes do GTR foi significativa, uma

vez que muitos apresentaram sugestões que enriqueceram o trabalho do professor

PDE.

3.1 AÇÕES E ANÁLISE

No decorrer da implementação ocorreram diversos problemas, tais como: os

computadores do Paraná Digital às vezes travavam e ficavam muito lento quando se

usava grande número de computadores ao mesmo tempo, com instabilidades do

provedor, ausência de projetor na sala de informática para que os alunos pudessem

acompanhar melhor as imagens das atividades desenvolvidas, reuniões do

Conselho Escolar que os professores realizavam na sala de informática,

agendamentos antecipados de outros professores na mesma data, aulas em contra-

turno para desenvolver outros conteúdos previstos no plano de ação, grande maioria

dos alunos não vinham porque os pais não podiam trazê-los porque iam trabalhar,

não acordavam pela manhã para ir à escola, outros projetos desenvolvidos como:

Cultura Afro-descendente jardinagem do pátio do colégio, além da semana cultural e

provas bimestrais que alongou durante todo mês de novembro.

As atividades dos encontros foram divididas em três momentos:

Primeiro momento: acolhida aos alunos que se agruparam em duplas, dado o

número de equipamentos, ambientando-os a sala de informática; apresentação dos

objetivos pretendidos para cada aula;

Segundo momento: acesso ao Software GeoGebra para realização das

atividades de ambientação e resolução de problemas.

Terceiro momento: análise dos resultados.

Apesar de todos os problemas elencados anteriormente, as atividades foram

desenvolvidas pelos alunos participantes da pesquisa. Atividades tais como:

exploração das ferramentas e conceitos geométricos como: ponto, reta, semi-reta,

segmento de reta, retas paralelas, perpendiculares, ângulo, bissetriz, baricentro,

circuncentro, construção de polígonos, círculos, áreas e perímetro, semelhança de

triângulos, que foram as atividades de ambientação. Todos os conceitos foram

explorados, discutidos e considerações apresentadas a partir de construções no

GeoGebra. Foi motivador e surpreendente o interesse, entusiasmo, familiarização e

competência com que alguns manipulavam o software, talvez pela equivalência

entre outros softwares e as mídias tradicionais, televisão, DVD, sites de

relacionamento etc.

Na penúltima etapa o objetivo foi desenvolver as atividades com resolução de

problemas envolvendo resultados e conceitos geométricos, partir de construções

geométricas com flexibilidade ao ambiente interativo dinâmico GeoGebra, de forma

organizada e planejada, conforme previsto na unidade didática. Tentou-se mostrar a

importância da geometria, por meio do desenvolvimento da visualização e do

raciocínio geométrico, objetivos que surgiram da dificuldade observada que os

alunos dos 9° anos anteriores e alunos do ensino médio tinham para desenvolver e

resolver certos problemas.

Diante do tempo destinado à implementação e a opção pelo GeoGebra foram

trabalhados especificamente os conteúdos: Semelhança de Triângulos, Regiões

Poligonais e suas áreas, unidades curriculares do 9° do ensino fundamental.

Articulados aos objetivos gerais, os objetivos específicos na qual se pretendia que

os alunos:

Compreendessem e utilizassem o conceito de semelhança de triângulos para

resolver situações-problema por meio do ambiente GeoGebra.

Reconhecessem se dois polígonos são semelhantes e enunciem os critérios

de semelhança.

Reconhecessem e determinassem a razão de semelhança das áreas de dois

triângulos semelhantes.

Determinassem, por meio de construções no ambiente do GeoGebra, as

fórmulas das áreas dos polígonos, para aplicar nas situações do contexto do

dia-a-dia.

Utilizassem as potencialidades do GeoGebra na compreensão de figuras

semelhantes.

A seguir destacamos algumas atividades envolvendo semelhança de

triângulos da apostila de apoio da unidade didática do professor PDE, e análise do

envolvimento dos alunos com o software GeoGebra no desenvolvimento das

atividades.

Atividade12:

Crie um triângulo ABC (BC base). Calcule os pontos médios D e E dos lados

AC e AB, respectivamente. Trace o segmento DE.

Considere os triângulos ABC e ADE. Observe que o ângulo  é comum aos

dois triângulos.

Calcule as medidas dos ângulos A E e A C. Por que elas são iguais?

Calcule as medidas dos ângulos AÊD e AĈB. Por que elas são iguais?

Há uma correspondência entre os vértices dos dois triângulos?

Vejamos a proporcionalidade dos lados correspondentes?

Calcule as medidas dos lados AB, AC, BC, AE, AD e ED. Escreva no campo

de entrada para calcular os seguintes quocientes: AB/AD, AC/AE e BC/ED.

Q1= distânciaAB/distânciaAD e clique Enter

Q2= distânciaAC/distânciaAE

Q3= distânciaBC/distânciaED

Qual a relação do segmento DE que liga os dois pontos médios dos lados AB

e AC ao terceiro lado.

Movimente os vértices do triângulo ABC. Observe os quocientes ”razões”

expressos na coluna algébrica. As medidas dos lados correspondentes dos

triângulos ABC e ADE formam uma proporção? Qual a relação entre os triângulos

ABC e ADE?

Figura da atividade 12 - apostila da unidade didática Prof. PDE

No desenvolvimento da atividade 12 percebeu-se o envolvimento e interesse

das duplas na construção, quando movimentaram os vértices da figura observaram

que os vínculos da construção eram o mesmo. Questionou-se se o segmento DE é

paralelo a BC? O que garante isso? Quando mediram os ângulos verificaram a

congruência entre os ângulos correspondentes e observaram que DE é paralelo a

BC, pediu-se novamente que movimentassem os vértices e perceberam que os

vínculos “congruência entre os ângulos correspondentes” continuavam. Quando se

pediu para selecionar arredondamento para “0” ou “’1” casas decimais, perceberam

com facilidade a relação do segmento DE ao terceiro lado “metade”. Por último

foram questionados se as medidas dos lados correspondentes dos triângulos ABC e

ADE determinam uma proporção? Digitaram no campo de entrada as razões entre

as medidas correspondentes dos lados de acordo com a apostila e logo alguns

perguntaram o que é uma proporção? Contudo algumas duplas com espírito de

interatividade e cooperatividade começaram o observar a igualdade entre as razões

e logo foram supondo que seria a igualdade entre as razões, e um aluno percebeu

como o tema era semelhança, disse que os triângulos eram semelhantes.

Observou-se que algumas duplas tinham mais rapidez no desenvolvimento

das atividades por terem algum prévio conhecimento das mídias, o que facilitou o

trabalho e o interesse por ser uma aula diferenciada do tradicionalismo, o que

motivou interesse e participação dos alunos.

Atividade13:

Abra um arquivo novo.

Crie um triângulo ABC.

Marque um ponto P externo ao triângulo ABC.

Trace uma reta r paralela ao lado BC que passe por P e que intercepte o

triângulo. Determine respectivamente os pontos D e E da interseção de r com os

lados AB e AC.

Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as

medidas dos segmentos AD, AB, AE, AC, BC e DE.

Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões

AB/AD, AC/AE e BC/DE. Digite no campo de entrada:

R1= distânciaAB/distânciaAD

R2=distânciaAC/distânciaAE

R3=distânciaBC/distânciaDE

Movimente os vértices do triângulo e a reta R. O que acontece com as

razões?

Conjecture o teorema fundamental da semelhança de triângulos.

Figura da atividade 13 - apostila da unidade didática Prof. PDE

No momento de conjecturar observou-se bastante dificuldade, mas mesmo

assim, surpreenderam com espírito de cooperatividade e mediação do professor

quando 2 duplas conseguiram perceber com movimentos da figura a proporção das

razões na janela algébrica e começaram a supor a proporcionalidade das razões

entre os lados e o teorema fundamental da semelhança, lógico com debate, auxílio e

questionamentos do professor.

Atividade17:

Abra um arquivo novo.

Com a ferramenta Polígono, crie um triângulo ABC qualquer numa região

central da área de desenho.

Marque um ponto P interior ao polígono.

Tome a ferramenta Seletor, clique na parte superior da área de desenho.

Aparecerá uma janela com vários campos que o configuram. Altere nome

para n, intervalo min.: 1.2 e máx:5 e Aplicar

Escolha a ferramenta Ampliar ou Reduzir Objetos dados Centro e Fator de

Homotetia, clique sobre o polígono, depois clique sobre o ponto P e na janela que

aparecerá para a escolha do fator de homotetia escreva n. Assim, será criado um

triângulo A’B’C’ obtido do primeiro por uma homotetia de centro P e fator n.

Deslize o seletor com mouse e observe a posição e forma do novo triângulo.

Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as

medidas dos segmentos AB, A’B’ CB, C’B’, AC e A’C’. (clique em dois pontos

extremos do segmento).

Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões

AB/A’B’, CB/C’B’ e AC/A’C’. Para isso digite no campo de entrada:

k1= distânciaAB/distânciaA’B’

k2=distânciaCB/distânciaC’B’

k3=distânciaAC/distânciaA’C’

Movimente o seletor e os vértices do triângulo ABC. Observe as razões na

coluna algébrica. Porque elas são iguais? Qual a relação das razões das medidas

dos lados dos triângulos ABC e A’B’C’. A partir dos resultados obtidos, conjecture

uma condição para que dois triângulos sejam semelhantes.

Figura da atividade 17 - apostila da unidade didática Prof. PDE

Observou-se um gasto de tempo por ser uma atividade longa, dificuldade dos

alunos em conjecturar novamente. Assim que acabou a construção, deveriam

observar alguma relação de semelhança entre as figuras “triângulos”, contudo notou-

se interesse, motivação e interatividade entre os alunos, quando alguns alunos

verificaram na coluna algébrica que através da manipulação do movimento do

seletor, que as medidas dos lados correspondentes dos “triângulos” eram

proporcionais, nesse momento pediu-se aos alunos que alterassem o valor mínimo

do seletor para “0” e o movimentassem e questionava-se qual seria a relação da

razão de proporcionalidade entre os lados correspondentes a fim de concluírem que

se tratava de ampliações ou reduções; com espírito desafiador diante dos alunos

indagava-se qual relação da razão do perímetro de dois triângulos semelhantes e a

razão de dois lados correspondentes. No momento da conclusão tiveram

dificuldades em concluir qual a condição de semelhança. Concluindo, o que chamou

a atenção foi à motivação e interesse dos alunos diante do software, percebendo

que mesmo com dificuldades nas conjecturas, construíam um conhecimento com

significados, uma aprendizagem dinâmica, manipulativa e visual.·.

Atividades21:

Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em C e seja CD a altura em

relação a AB. Então ΔACD~ΔABC~ΔCBD. Verifique a veracidade da afirmação.

Figura da atividade 21 - apostila da unidade didática Prof. PDE

A atividade 21 foi realizada no período de contraturno com presença de

poucos alunos. Após a construção assistiu-se certa dificuldade nos casos de

semelhança ÂÂ (ângulo-ângulo) e LLL (lados proporcionais), pois não conseguiam

fazer a relação de correspondência dos ângulos congruentes e lados proporcionais,

pela composição da figura sentiram dificuldades, não conseguiam responder com

convicção, às vezes respostas ao acaso. Após esse momento pediu-se que

medissem cada ângulo indicado na figura e movimentassem os vértices, o que

facilitou a visualização e conjectura do caso AA, porém o caso LLL os alunos não

conseguiam estabelecer relação de proporcionalidade das medidas dos lados, não

perceberam que quando os ângulos são congruentes os lados são proporcionais.

A partir das experiências realizadas foi aplicada aos alunos uma avaliação

escrita (abaixo) de três questões relativas ao conteúdo semelhança de triângulos e

os resultados estão no gráfico (abaixo):

1) Calcule o valor das incógnitas x e y nos casos de semelhança de

triângulos da figura a seguir:

2) Na figura abaixo está representada a fachada de um prédio. Os

segmentos de reta AB e CD são perpendiculares a BE e os segmentos de

reta AB e CD são paralelos.

a) Justifique se o triângulo ABE e CDE são semelhantes.

b) Determine a razão de semelhança do triângulo ABE para o triângulo CDE.

c) Determine a altura do prédio.

3) Dada o triângulo retângulo ABC da figura, h é altura relativa à base BC.

Verifique e justifique os casos de semelhança entre os triângulos:

a) Δ ABC e Δ ACD b) Δ ABC e Δ ABD c) Δ ACD e Δ ABD

ANÁLISE DOS RESULTADOS

Questão 1: Com a primeira questão pretendia-se que através da observação

dados dois triângulos retângulos semelhantes, onde faltavam algumas das medidas

de lados x e y, os alunos calculassem essas medidas, usando a propriedade

fundamental da semelhança de triângulos. Constatou-se que os alunos sabiam quais

eram os elementos correspondentes, mas, no entanto demonstraram certa

dificuldade nos cálculos, mas a maioria dos alunos acertou pelo menos uma das

incógnitas pedidas, conforme o gráfico, portanto os objetivos propostos foram

positivos.

Questão 2: Pretendia-se que os alunos através da observação da figura dada

aplicassem os conhecimentos de triângulos semelhantes, justificassem o caso de

semelhança, determinassem a razão de semelhança entre os triângulos e a

distância pedida. Observou-se que os alunos não tinham se apropriado do

conhecimento dos casos de semelhança, mesmo porque uma questão idêntica foi

realizada como uma das atividades no período de contraturno, mas a maioria tinha

faltado e em particular o aluno não compreendeu que em triângulos semelhantes os

ângulos correspondentes são congruentes (caso: AA) e o que pode ser diretamente

proporcional é a medida do comprimento dos lados correspondentes. Outro

problema pode ter sido a composição da figura, o que pode ter dificultado a

visualização da questão. Mas com resultados positivos a maioria “17” alunos acertou

o item c.

Questão 3: Dado um triângulo retângulo ABC, sendo h a altura relativa à base

BC, foi pedido que verificassem e justificassem os casos de semelhança entre os ∆

ABC e ∆ACD, ∆ABC e ABD e ∆ACD e ∆ABD. Observou-se como na questão acima

os alunos não tinham se apropriado do conhecimento dos casos de semelhança,

novamente pelos mesmos problemas citados na questão acima, não conseguiram

verificar os ângulos correspondentes congruentes (caso: AA) nos ∆ABC e ∆ACD e

∆ABC e ABD, sendo os ângulos congruentes deveriam ter observado a

proporcionalidade da medida dos lados nos Δ ACD e Δ ABD, caso LLL.

Conforme ilustra gráfico, apenas 3 alunos acertaram o item a e 1 o item b.

Acreditamos que se tivéssemos um maior número de aulas com certeza as

atividades poderia ser revisado o que poderia melhorar a aprendizagem dos alunos.

Por se tratar de uma nova metodologia para os alunos e também para o professor,

acarretou uma deficiente gestão de tempo, isto é, como os alunos demoravam muito

tempo nas construções, porque as atividades eram longas, todas com passo-a-

passo, principalmente na parte inicial, escasseava-se o tempo para a resolução e

discussão das atividades de uma forma significativa, tempo que pode ser um

obstáculo, pois para se ter sucesso na promoção da autonomia é importante que os

alunos tenham tempo, assim como os professores para se familiarizarem com essa

nova ferramenta de trabalho.

Ao final da implementação elaborou-se um questionário buscando aprimorar a

opinião dos alunos que possibilitou uma análise das perspectivas quanto à

preferência da nova metodologia: Por meio de métodos Tradicionais ou Ferramentas

dinâmicas Softwares “GeoGebra”?

A forma escolhida para apresentação e análise dos resultados levantados foi

por meio dos gráficos abaixo:

Figura 01

Dos alunos do 9°ano vespertino pesquisado, observou-se através do gráfico da

figura 01, que 100% dos alunos já acessaram um computador.

Figura 02

Ao serem questionados em quais locais possuíam acesso ao computador,

observou-se que 39% dos alunos acessam em casa, 33% na escola e 28% nas lan

houses, observando que existem alunos que fazem acesso nas três opções. A

segunda opção foi alta pelo fato das pesquisas escolares.

Figura 03

Através do gráfico da figura 03, reforçado pelo acima, observou-se o fato que

os alunos podem obter acesso aos computadores e internet, e através de pesquisas

escolares eles demonstram facilidade de acesso no ambiente em que estudam, ou

seja, integrar o aprendizado escolar à facilidade de acesso as tecnologias de rede.

Figura 4

Observou-se na figura 04 apesar de estarem disponíveis na internet inúmeros

softwares matemáticos ou jogos, apenas 7% dos alunos demonstrou que pouco

conhece ou não possuem acesso a eles, fato que nós professores da disciplina de

matemática devemos repensar, propor e fazer destas ferramentas uma rotina,

buscando metodologias midiáticas, uma forma para um aprendizado com significado

para os alunos. Observou-se ainda que 31% fazem uso do correio eletrônico ou 32%

das redes socais de relacionamento ou 30% editor de textos, claro que a maioria faz

uso dessas três ao mesmo tempo. Fato que estes três últimos recursos midiáticos

associados às mídias tradicionais como celulares, DVD, televisores, projetores etc.,

só trazem benefícios ao ensinamento dos softwares, pois a partir do conhecimento

dos mesmos o aluno passa a ter uma visão mais aberta, facilitada para aprender as

ferramentas do GeoGebra.

Figura 05

Nota-se no gráfico da figura 05, que 67% dos alunos concordaram totalmente,

24% parcialmente, apenas 9% dos alunos discordaram parcialmente e nenhum

discordou totalmente, conclui-se que a apostila de atividades possibilitou vertentes

para uma melhor ambientação e familiarização nas atividades construídas o que

proporcionou melhor segurança nas construções.

Figura 06

Com base no gráfico da figura 06, a maioria concordou totalmente ou

parcialmente e apenas 9% discordaram parcialmente que houve uma facilidade

efetiva de manipulação, concluiu-se que já possuíam certo domínio das mídias como

já citado acima, o que facilitou a manipulação das ferramentas, mas com o espírito

de interatividade e cooperatividade, uns se colocaram a disposição do outro para

ajudá-los.

Figura 07

Feita uma análise do gráfico da figura 07, 95% dos alunos concordaram

totalmente, 5% parcialmente e nenhum discordou, pois se empolgaram se

motivaram com dinamismo do software, manipulação, movimentos, visual etc., mas

no imediato da interpretação e conjecturas demonstraram dificuldades, o que era

esperado por se tratar de uma nova metodologia, pois não são acostumados com

essa ferramenta e prática de construção, manipulação, interpretação e conjecturas.

Figura 08

O gráfico da figura 08 revelou a análise da figura 07 acima, quando se

mostraram motivados pelo dinamismo do GeoGebra, na euforia que seriam somente

as construções, mas no imediato da interpretação, exploração e conjecturas

apresentaram dificuldades, e observou-se que quase 50% dos alunos tiveram essa

problemática tanto na exploração da situação problema quanto na conjectura dos

conceitos. Nossos alunos não estão acostumados com nenhuma das duas

tendências metodológicas, exploração de situações-problemas e mídias, é focada

somente nas aulas expositiva e resolução de exercícios, o que vem se tornando

cansativo e apático para eles.

Figura 09

Observou-se no gráfico da figura 09 que, 80% dos alunos concordaram

totalmente, 20 % parcialmente e nenhum aluno discordou, portanto, concluí-se que a

ferramenta é estimuladora, interativa, os alunos gostaram de fazer uma aula

diferente, inovadora, pois se sentiram motivados.

Figura 10

O gráfico revelou resultados com índice de aceitação satisfatório da proposta

metodológica, pois 67% concordaram totalmente e 28% parcialmente e 5% apenas

discordaram parcialmente, pois os alunos gostam de desafios inovadores,

estimuladores, o que faz o aluno pensar, ser crítico.

Segue abaixo alguns comentários e ou sugestões dos alunos no final da

implementação:

A1: Eu acho que as aulas do GeoGebra ajudaram muito, que até melhorei na

prova.

A2: Eu gostei muito das aulas do GeoGebra, mas tivemos poucas, não

tivemos o suficiente para aprender o bastante.

A3: Foi boa a iniciativa do professor, faltaram algumas aulas, mas, no entanto

as aulas foram boas e facilitaram bastante.

A4: No começo gostei sim, como não houve aulas o suficiente para praticar as

atividades, portanto eu não gostei, mas se tivéssemos como terminar seria muito

bom, porque no começo gostei muito.

A5: Infelizmente faltaram aulas para concluir nossa aprendizagem, mas o

trabalho ficou realmente ótimo.

A6: Eu gostei muito do GeoGebra, pena que tivemos pouco tempo para poder

interpretar as construções.

A7: Tivemos uma boa experiência, porque é uma nova maneira de aprender

matemática, com todas as dificuldades encontradas pelo professor e nós alunos,

faltou tempo e aulas, mas foi boa a aprendizagem, precisamos repetir a experiência

no ano que vem.

A maior parte dos alunos julgou concordar que o GeoGebra como ferramenta

estimuladora e interativa contribuiu para a melhor aprendizagem da matemática

frente ao tradicionalismo do dia-a-dia. Nota-se nos comentários que a opinião da

maioria pelo pouco tempo e as condições em que realizamos nosso trabalho,

perdemos algum tempo nas aulas de apresentação e mesmo nas atividades de

ambientação, mas se essa prática se tornar uma rotina dos alunos essa gestão de

tempo com apresentação e ambientação é ocupada direto com a resolução das

atividades, tempo que pode levar o aluno deixar de ser dependente dos colegas e

professor para ser autônomo e criativo o que todos nós professores almejamos.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este artigo, por meio da articulação de duas das tendências metodológicas da

Educação Matemática proposta nas Diretrizes Curriculares, à Resolução de

Problemas e Mídias (aqui representada pelo software GeoGebra) proporcionou um

trabalho com possibilidades, percepções diversificadas das tradicionais para

melhorar o complexo processo de ensinar e aprender Matemática. Isso permitiu

fazer algumas reflexões diante da necessidade da inovação de estratégias

metodológicas de uma forma dinâmica proporcionando novos olhares para o ensino

da matemática, uma vez que estamos inseridos numa sociedade regida por

transformações e competitividade em todas as áreas do conhecimento que exige

cidadãos autônomos e críticos, imprescindível para a formação e integração dos

jovens na vida profissional ativa.

São contribuições que tentam fragmentar as mesmices tradicionais da sala de

aula, estabelecidas como facilitadora do ensino e aprendizagem.

Nesse sentido, este artigo trás experiências que permitem aos alunos uma

aprendizagem dinâmica, manipulativa e visual, não inerte, com espírito colaborativo

e interativo. Apesar de se mostrarem empenhados ao longo da experiência, não se

assistiu autonomia, visto que buscavam constantemente apoio do professor, mas

acreditamos que a autonomia poderá estar presente num breve futuro com a

perseverança dessa metodologia, ou seja, que essas estratégias passem a ser

rotineira para alunos e professores.

Quanto à organização, gestão do tempo das atividades pode-se concluir que

houve uma pouquidade de tempo com os problemas citados anteriormente, tempo

que professores e alunos com práxis constantes podem trazer autonomia e mais

rapidez, obtendo-se uma melhor compreensão de conceitos e resultados da

matemática.

Apesar de aparentemente a experiência não ter conduzido às conclusões

desejadas e que este tipo de metodologia de ensino pareça não trazer em curto

tempo amplos progressos, acreditamos que os grandes efeitos das inovações

metodológicas midiáticas são muitas vezes visíveis em médio e longo prazo. No

imediato, a maioria das oportunidades não é alcançada pelas suas competências,

pois não foi uma apropriação avinda da memorização, foi uma aprendizagem

baseada em construções, manipulações, no visual, elaborando conjecturas,

realizando discussões, ou seja, uma aprendizagem que constrói significados.

Logo a proposta metodológica de ensino descrita neste artigo apresenta-se

como um desafio, pois exige mudança na postura do professor, sendo acessível por

meio de cursos de formação continuada. A principal contribuição do artigo é mostrar

que é possível fazer com que o aluno deixe de ser passivo, apático – comum nas

metodologias tradicionais – para ser ativo, participativo, interativo, provocando

transformações no processo de ensino e aprendizagem da Educação Matemática.

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