A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: perspectivas para a prática pedagógica

Elis Regina Pereira1

Luciane Ferreira Mocrosky2

Resumo: Neste artigo apresenta-se aspectos de um trabalho orientado pela pergunta: “como utilizar a ‘Resolução de Problemas’ nos processos de ensino e aprendizagem das operações com números racionais no ensino fundamental?”. Neste estudo foi realizada uma intervenção pedagógica, pautada no desenvolvimento de atividades que visavam a contribuir para o enfrentamento dos desafios educacionais, de promover a aprendizagem da matemática, que faça sentido ao aluno, que o capacite a resolver problemas e a aplicar os conceitos já compreendidos enquanto aprende matemática, o que justifica o tema escolhido. As leituras e as análises dos dados levantados apontam para possibilidades do objetivo de promover o ensino das operações com números racionais através da metodologia de Resolução de Problemas ser viável. Entretanto é reconhecido tratar-se de um desafio para o professor que deverá habituar seu aluno a explorar, a inquerir, a duvidar, a testar hipóteses levantadas por ele mesmo, a querer mais, a compreender o que faz, a não aceitar o que não faz sentido, a insistir em dar sentido àquilo que num primeiro olhar pode querer dizer nada.

Palavras-chave: Metodologia; Resolução de Problemas; Números Racionais; Educação Matemática; Ensino Fundamental.

Abstract: This article presents some aspects of a piece of work which was guided by the following question: “how to use the ‘Troubleshooting’ in the process of teaching and learning of operations with rational numbers in elementary school?” In this research was achieved an educational intervention, based on the development of activities aimed at contributing to face the educational challenges, to promote the mathematics learning which makes sense to the students, enabling them to solve problems and to apply the concepts already understood at the same time as learning mathematics, which justifies the chosen theme. The readings and analysis of the collected data point to the possibilities of the goal of promoting the teaching of operations with rational numbers through the Troubleshooting methodology to be viable. However, it is well-known that this is a challenge for the teacher who must get the students into the habit of exploring, doubting, testing hypotheses raised by themselves in order to understand what they do, not to accept what doesn’t make sense, to insist on giving meaning to what, at a first glance, may not mean anything. 1Especialização em Parapsicologia pelo IPAPPI. Especialização em Educação Matemática. Licenciatura em

Matemática pela UEL. Professora do Colégio Estadual Pedro Macedo, da Rede Pública Estadual. 2 Orientadora PDE. Professora da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

Key word: Methodology; Troubleshooting; Rational Numbers; Mathematics Education; Elementary School.

Introdução

Muitos pesquisadores que têm se debruçado sobre a educação matemática

apontam que, em geral, a organização dos programas escolares e as metodologias,

que vêm sendo praticadas no cenário educacional brasileiro, têm dificultado a

aprendizagem do aluno (IMENES, LELIS, 1997; ONUCHIC, 1999; ALLEVATO, 2005;

D’AMBRÓSIO, 1989; DANYLUK, 1998; DANTE, 1989). Para Imenes e Lellis (1997,

p.6), “[...] gasta- se muito mais tempo treinando cálculos mecânicos do que

trabalhando com ideias, há conteúdos que não desenvolvem o raciocínio, nem têm

aplicações práticas [...]”.

Na prática cotidiana da escola, observa-se a primazia ao preparo para

aquilo que interessa particularmente a um plano de ação pedagógica, que tem no

cerne a reprodução de um modo de aprendizagem e não aos modos como o aluno

pode aprender. Isso, muitas vezes tem levado ao insucesso do estudante na escola.

Reflexos do como os pesquisadores mencionados compreendem os rumos

do ensino da matemática podem ser observados em documentos oficiais, que

anunciam orientações para o ensino na educação básica. Há, nesses documentos,

uma forte indicação para o trabalho com as tendências em educação matemática,

afim de que se abra o caminho de um ensino que faça sentido ao aluno.

A proposta das Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica

–DCE- (PARANÁ, 2006, p.63), ilustra a constatação já mencionada ao explicitar que

o ensino de matemática deve apoiar-se nas tendências metodológicas:

etnomatemática, modelagem matemática, mídias tecnológicas, história da

matemática e principalmente na resolução de problemas. Ainda, voltando-se os

olhares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – Matemática, vê-se essas

orientações presentes, com destaque para que

[...] no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las (BRASIL, 1997, p.43).

Com esse viés, ancorar o ensino na perspectiva da metodologia da

resolução de problemas, pode ser um caminho que favoreça auxiliar o aluno na

construção do seu conhecimento, na elaboração dos conceitos matemáticos e na

revelação de modos de aprender, de manifestar os significados compreendidos e os

sentidos que a matemática escolar vai fazendo para cada um, em sua trajetória de

vida. Isso porque é ciência que

[...] aprender Matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade e conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível (PARANÁ, 1990, p.66).

Frente aos entendimentos que foram se fazendo durante os estudos

realizados no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE)3 destinado a

docentes do Estado do Paraná, investiu-se na perspectiva da Resolução de

Problemas (RP) como uma metodologia para o ensino e a aprendizagem de

matemática.

Neste artigo, apresenta-se alguns aspectos do referido estudo, onde foi

realizado uma intervenção pedagógica pautada no desenvolvimento de atividades

que visavam contribuir com o enfrentamento dos desafios educacionais. Desafios

compreendidos pela busca de modos de promover a aprendizagem da matemática

que faça sentido ao aluno, que o capacite a resolver problemas e a aplicar os

conceitos já compreendidos “enquanto aprendem matemática” (ALLEVATO, 2005,

p.38).

À luz da interrogação norteadora: “como utilizar resolução de problemas

nos processo de ensino e de aprendizagem das operações com números

racionais no ensino fundamental?”, buscou-se modos de intervir em sala de aula,

com atividades sobre as operações envolvendo os números racionais, e que se

dirigiam à aprendizagem dos conceitos pelos alunos, valendo-se da metodologia da

RP.

3 Informações sobre o Programa de Desenvolvimento Educacional, desenvolvido no Estado do Paraná, estão

disponíveis no endereço www.diaadiaeducacao.pr.gov.br, bem como artigos já desenvolvidos pelos professores concluintes do referido Programa.

Resolução de problemas: uma visada histórico-pedagógica

A presença de problemas para organizar o conhecimento matemático

produzido tem sua história nas mais remotas civilizações. Um exemplo pode ser

encontrado no Papirus de Rhind, (1650 a.C): uma coletânea egípcia com mais de 80

problemas envolvendo aritmética, frações, cálculo de áreas, volumes, progressões,

repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares, trigonometria

básica e geometria, com suas respectivas soluções. A intenção desse compêndio

não é clara! Especula-se que ele tenha tido fins pedagógicos, mas não se pode

descartar a possibilidade de ser apenas um registro de anotações de estudos que

foram preservados. Contudo, pode-se afirmar que nele há intencionalmente o

direcionamento para um modo de expor conteúdos, com textos que envolvam os

assuntos em uma problemática, mesmo diante da suspeita de que os enunciados

tenham sido criados para satisfazer as necessidades de assegurar o domínio das

técnicas que permitem resolver os problemas propostos.

De um modo geral, percebe-se que a presença de problemas tem sido

recorrente para a difusão de conhecimentos matemáticos ao longo da história da

humanidade. Nesse trajeto, Nunes (2010) observa que por um bom tempo foi muito

valorizado, na educação, a solução de um problema. O que se destacou no cenário

educacional foi a elaboração de problemas e a respectiva resolução como uma

alternativa utilizada para finalizar uma unidade curricular, com o intuito de fixar um

conteúdo pelo treinamento dos assuntos já tratados.

Assim, o viés mais marcante na história do ensino da matemática não

revelou os problemas com possibilidade para descobertas dos alunos, nem como

modo de mostrar as estratégias de enfrentamento das situações desconhecidas ou

mesmo como possibilidade para despertar o interesse por estudos. Por

constatações que se assemelham às já expostas, Stanick e Kilpatrick (1989, p. 1)

afirmam que “os problemas têm ocupado um lugar central no currículo da

Matemática escolar desde a antiguidade, mas a resolução de problemas não”.

Esse cenário que envolve problemas e sua resolução com fins pedagógicos

não se manteve inalterado. Segundo Nunes (2010), a obra How to solve it? de

George Polya (1945) foi o marco, pois trouxe um novo sentido orientador para a

utilização de problemas no ensino da matemática. Nela, o autor inova ao valorizar a

importância de um planejamento que permita ao estudante se lançar em busca de

soluções para o desconhecido.

O estudo de Polya reflete consideravelmente no ensino da matemática,

principalmente em resposta aos esforços infrutíferos do movimento da Matemática

Moderna, que tinha como base uma cultura voltada para a ciência e a tecnologia,

não se preocupando com a aplicação do conteúdo, somente com a abstração

(ALLEVATO, 2005). Segundo Onuchic (1999, p.199-218), num panorama mundial,

a resolução de problemas ganhou visibilidade curricular no início da década de 1970

embora, no Brasil, essa perspectiva pedagógica tenha sido valorizada apenas a

partir da segunda metade da década de 1980.

Os estudos de Allevatto (2005), Onuchic (1999), Nunes (2010), apontam

que, para Polya, resolver um problema consiste encontrar um caminho que

possibilite vencer um obstáculo; achar uma saída não conhecida, que envolva

estratégias de ação, possibilitando alcançar um objetivo que não pode ser alcançado

de imediato por meios conhecidos.

Essa concepção indica, mais claramente, para um método a ser seguido.

Assim Polya (1995) considera quatro fases a serem percorridas pelo aluno para

resolver um problema: 1) compreensão; 2) estabelecimento de um plano; 3)

execução do plano; 4) retrospecto ou verificação.

Sucintamente, essas etapas podem ser desdobradas em ações que

requerem inicialmente a leitura cuidadosa do problema, a interpretação atenta, a

minuciosidade na coleta de dados explícitos e implícitos no enunciado. O papel do

professor é ajudar o aluno, instigando-o, favorecendo o interesse pela busca do que

está desconhecido; fazendo perguntas, explorando oralmente a situação-problema.

Todas as informações encontradas e as suposições devem ser anotadas para que

as estratégias sejam traçadas. Comentar que há relação da situação problema com

alguma situação semelhante, que seja do conhecimento do aluno, pode favorecer no

planejamento das ações.

No decorrer das décadas, em que a resolução de problemas, a partir da obra

de Polya, vem sendo estudada e praticada no ensino da matemática, muitas

perguntas vêm sendo postas a fim de trazer clareza para o trabalho assumido pela

escola, pelo professor e pelo aluno. Assim, ao enveredar-se pela pedagogia da

resolução de problemas, se faz necessário explicitar o entendimento que se está

tendo por problema, já que muitas vezes o que é um problema para uma pessoa,

pode não ser para outra.

Recorrendo à literatura, encontramos muitas definições, das quais vamos

expor as que paulatinamente vão favorecendo nossa compreensão, explicitando, ao

final, a concepção por nós assumida.

Em seu estudo, Dante (1989, p. 9) oferece uma definição pragmática de

problema: “qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la".

Entretanto, não aponta para o pensar, comprometido com a busca pela solução,

pela importância que esse encontro enseja à pessoa.

Avançando nas literaturas em busca de maiores esclarecimentos, nos

deparamos com Pereira (1980) que considera problema como sendo toda situação

na qual o indivíduo necessita obter novas informações e estabelecer relações entre

elementos conhecidos e os contidos num objetivo a que se propõe realizar para

atingi-lo. Compreende-se que essa definição dá um passo à frente por envolver não

apenas o pensar de quem está resolvendo o problema, mas a necessidade desse

pensar em função de um interesse pela busca. Assim, vê-se que avança no

entendimento, mas deixa latente a dúvida de que a necessidade de ir em diante à

resolução não seja por interesse real, mas por assumir o compromisso com algo que

se mostra como ideal a ser perseguido.

Caminhando na direção de trazer, com mais nitidez, o que seja um

problema, encontramos em Saviani (1985, p. 21) que

Uma questão em si não caracteriza o problema, nem mesmo aquela cuja resposta é desconhecida; mas uma questão cuja resposta se desconhece e se necessita conhecer, eis aí um problema. Algo que eu não sei não é um problema; mas se eu ignoro alguma coisa que preciso saber eis-me, então, diante de um problema.

Essa fala aponta para o entendimento de Onuchic (1999, p. 215) de que

problema é "tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em

resolver". Desse modo, assumi-se esse entendimento para o conceito de problema a

ser desenvolvido neste trabalho.

Assim como há vários modos de compreender o que seja um problema, há

desdobramentos para as concepções sobre “resolução de problemas”. Schroeder e

Lester (1989, p. 34), apresentam três possibilidades diferentes para a abordagem

pedagógica da “resolução de problemas”, como sendo: ensinar sobre resolução de

problemas, ensinar a resolver problemas e ensinar matemática “através” da

resolução de problemas.

O ensino sobre resolução de problemas aproxima-se da proposta de Polya

(1995), especificada pelas fases de compreender o problema, estabelecer um plano,

executar o plano e verificar a solução encontrada. Nessa perspectiva, problema é

compreendido como um conteúdo a ser trabalhado, portanto o ensino traz em seu

bojo modos de resolver um problema.

A perspectiva anunciada de ensinar para resolver problemas considera a

aplicação da matemática já conhecida na solução de problemas rotineiros ou não. O

encaminhamento prioritário é o de apresentar muitos exemplos com conteúdos que

estão sendo estudados, onde se espera que os alunos transfiram o que aprenderam

para outros problemas.

Atualmente a concepção que tem ganhado espaço é aquela que considera o

ensino da matemática “através” da resolução de problemas. Isso solicita que o

movimento de cada indivíduo, em direção à construção do seu conhecimento

matemático, perpasse e seja perpassado pela resolução de problemas, pois, nessa

abordagem, “pretende-se que aconteça ensinar, aprender e avaliar a matemática

construída pelos alunos com a guia e direção do professor através da resolução se

problemas”(NUNES, 2010).

A metodologia da resolução de problemas em matemática: um

encaminhamento possível

A metodologia da “Resolução de Problemas” tem sido compreendida como

uma alternativa favorável para evitar o uso imediato de dados e fórmulas, já que

nessa perspectiva resolver problemas é uma atividade de investigação. A ênfase é

de que tarefas envolvendo problemas ou atividades seja o veículo pelo qual a

disciplina escolar seja desenvolvida.

Sobre isso, os Parâmetros Curriculares de Matemática destacam que

[...] o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema, porque no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisam desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; o problema não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;

aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se observar na história da Matemática; o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problema [...] a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação de aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se podem aprender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas (MEC, 1997, p.43).

Nessa perspectiva, conforme Polya (1995) já sinalizava, a postura docente

assume importância primordial. Para este estudioso, o professor deve ser um

orientador da atividade pedagógica. Esse entendimento se faz presente no texto dos

Parâmetros Curriculares Nacionais (MEC, 1997, p.24-34): o professor deve ser

mediador entre o conhecimento matemático e o aluno, organizador da

aprendizagem, incentivador da aprendizagem e não mais aquele que expõe os

conteúdos, mas aquele que fornece as condições necessárias para resolver as

questões que o aluno não tem condições de obter sozinho.

A esse respeito, Buriasco (1999) destaca características mais marcantes na

postura assumida por docentes ao conduzir o ensino numa metodologia tradicional e

em uma abordagem diferenciada, como a resolução de problemas. São elas:

Metodologia tradicional Metodologia da resolução de problemas

Explica a matéria O professor apresenta um problema

escolhido por ele ou não

Mostra os exemplos Os alunos tentam resolver o problema com o

conhecimento que têm

Propõe problemas semelhantes aos

exemplos dados para os alunos resolvam

Quando os alunos encontram dificuldade

(falta de conteúdo para continuar a resolução)

o professor apresenta, de alguma maneira

esse conteúdo

Faz a correção no quadro Terminada a resolução, há uma discussão

sobre a solução e os conteúdos envolvidos

Propõe problemas com maior grau de

dificuldade, porém parecidos

Novo problema é apresentado

Ele ou um aluno resolve no quadro

E parte para outro assunto

Quadro 1: Posturas docentes

Fonte: Buriasco (1999, p.65)

Com as leituras efetuadas, compreende-se que conduzir o ensino valendo-

se da resolução de problemas solicita que o professor atue no sentido de assegurar

um espaço de discussão no qual os alunos pensem sobre os problemas que irão

resolver, elaborem uma estratégia, apresentem sua hipótese e façam o registro da

solução encontrada ou de recursos que utilizaram para chegarem ao resultado. Do

mesmo modo, entende-se que essa postura favorece a formação do pensamento

matemático, pois, antes do emprego de regras que vão ao encontro de

generalizações, valoriza-se as compreensões que permitem encontrar um modo

particular de pensar sobre uma determinada situação, articulado a conhecimentos

prévios4 e a revelação de novos conteúdos necessários para dar conta do

empreendimento. Isso quer dizer que ao aluno cabe elaborar estratégias, lançando

mão de recursos como a oralidade, sinais matemáticos, desenhos, representações

diversas e o que se sentir à vontade para utilizar (SMOLE, DINIZ, 2001).

Para Onuchic e Allevato (2008), conduzir o ensino seguindo a metodologia

da resolução de problemas, tem por pressuposto a liberdade de ação para que as

estratégias se revelem, para que se consiga ver o chamado por caminhos ainda não

percorridos, que indiquem conteúdos necessários para serem reforçados ou, ainda,

aqueles a serem trabalhados que são imprescindíveis para a investigação

intencionada. Essas autoras reforçam que embora não haja um modo rígido de

condução dos trabalhos, algumas etapas balizadoras podem ser consideradas para

guiar o trabalho. Por exemplo

-Formar grupos e entregar uma atividade. [...] -[...] O professor deve lançar questões desafiadoras e ajudar os alunos a se apoiarem, uns nos outros, para superar as dificuldades.[...] As resoluções realizadas nos grupos devem ser apresentadas, por escrito, ao professor. -[...] Com o trabalho dos alunos terminado, o professor, na lousa, anota os resultados obtidos pelos diferentes grupos. Anota resultados certos, errados, feitos por diferentes caminhos, etc. -Plenária. O professor chama todos os alunos para uma assembleia plena. Como todos trabalharam sobre o problema dado, têm condições de participar, juntamente com o professor, na exploração e discussões dos resultados. -Análise dos resultados. Nesta fase os pontos de dificuldade encontrados pelos alunos são trabalhados. [...]. -Consenso. A partir de análise feita, com a devida retirada das dúvidas, busca-se um consenso sobre o resultado pretendido. -Formalização. A partir do consenso, num trabalho conjunto, professor e alunos, com o professor na lousa, fazem uma síntese daquilo que se

4 Por conhecimento prévio entendemos o que o aluno sabe que e que não pode ser confundido com pré-

requisito. Sobre isso, o leitor interessado pode ir ao texto de Weisz (2000 ).

objetivava aprender a partir do problema ou da situação-problema e, formalmente, o professor coloca as definições, identifica as propriedades, faz as demonstrações, etc (ONUCHIC, ALLEVATO, 2008, p. 83-84).

Operações com números racionais “através” da resolução de problemas: da

elaboração à realização de uma proposta de unidade didática

A proposta elaborada no programa PDE teve por meta promover o ensino

das operações com números racionais “através” da metodologia da RP, envolvendo

atividades que evidenciassem diversas personalidades dos números racionais

(ONUCHIC, ALLEVATTO, 2008).

Optou-se, desse modo, por uma unidade didática5, por compreender que o

tema a ser trabalhado, operações com números racionais, perpassa outros assuntos

da organização curricular. Por ser um tema amplo, a unidade didática teve a

intenção de trazer esse conteúdo de ensino, sem a pretensão de esgotá-lo em um

curto intervalo do ano letivo. Desse modo as atividades elaboradas tiveram o intuito

de deflagrar o ensino, avaliar as condições de trabalho, os avanços dos estudantes,

as necessidades de reelaborar os problemas, contando com a participação do aluno.

Como já mencionado, a intenção era construir um caminho onde o aluno se

envolvesse na resolução de um problema com a perspectiva de reconhecimento de

unidades, do inteiro e suas partes, compondo novas unidades ou reconhecendo

partes de um todo. Nesse sentido procurou-se evitar o entendimento comum de que

frações indicam sempre as mesmas coisas, as quais dão margem para a

compreensão de que elas não passam de agrupamentos de números inteiros

dispostos na relação parte todo. Isso significa lançar luz sobre as “personalidades”

(ONUCHIC; ALLEVATO, 2008) dos números racionais para que as discussões

possam ocorrer. A unidade didática foi elaborada no 1º semestre de 2011 e foi

realizada no 2º semestre de 2011, com alunos de 6º ano do ensino fundamental em

uma escola estadual de Curitiba. Nesse contexto, os conteúdos trabalhados foram

aqueles elencados no livro didático da escola onde a professora PDE atua. Isso quer

dizer que foi considerado o planejamento de ensino que anuncia o material didático

aprovado no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) e, nele, os conteúdos da

unidade pedagógica números racionais no 6º ano. A saber:

5 Disponível: www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portal/pde. Produção Didático-Pedagógica na Escola. Acesso:

09/06/2012.

● A forma fracionária dos números racionais: ideia de fração, comparação de números fracionários, frações equivalentes, redução de frações ao mesmo denominador, operações com frações, frações e a porcentagem. ● A forma decimal dos números racionais: representação decimal, operações com números decimais e números decimais e a porcentagem.

A implementação ocorreu no último bimestre do ano de 2011 e oportunizou

aos alunos um trabalho participativo, colaborativo e de tomada de constante

decisão. Em equipes, formadas por 4 alunos, foram distribuídos os problemas e

solicitada a leitura atenta para a compreensão do que estava sendo perguntado,

para que se dispusessem na elaboração de um inventário de possibilidades

vislumbradas, pelos membros de cada equipe. Discussões feitas, os alunos

passaram a negociação entre os modos possíveis já visualizados à execução dos

mesmos, ou seja, colocar o pensado em ação.

Nesse modo de caminhar, o professor se mostrou como um incentivador, ao

procurar despertar o interesse das equipes para a resolução dos problemas

propostos, como um animador ao chamá-los à investigação das estratégias

previamente planejadas e de perspectivas que foram se revelando por conta do

modo atento e envolvido com que estavam caminhando, como um orientador ao não

tolher a criatividade e o poder de decisão de cada um em seu grupo, mas de

colaborar nas sínteses ocorridas em diversos momentos do trabalho que serviram

de abertura para que investissem mais enfaticamente no caminho escolhido ou que

favorecesse a percepção da necessidade de mudança de rumo diante de decisões

infrutíferas.

Ao propor cada um dos problemas elaborados, manteve-se as mesmas

recomendações para que os alunos seguissem um roteiro (ONUCHIC, ALEVATTO,

2008), onde não fosse negligenciada a manutenção do registro das ações efetuadas

em função de um estilo de trabalho que busca trazer para a sala de aula a discussão

de um assunto, o reconhecimento do professor, bem como do aluno, dos conteúdos

já dominados, daqueles que solicitam serem articulados e do que ainda não faz

parte de seu conhecimento e que necessitam ser empregados na resolução dos

problemas, por conta das estratégias que emergiram no trabalho em equipe.

Desse modo, foram inicialmente formadas as equipes, distribuído um

problema de cada vez e papeis em branco onde deveriam ser registradas as

discussões ocorridas na equipe, as tentativas de resolução, o replanejamento das

estratégias, os conhecimentos que julgavam necessários para pôr o plano em ação,

os motivos pelos quais achavam que uma estratégia não teria sucesso e aqueles

que julgavam favoráveis aos planejado.

Assim, tornou-se uma rotina a sequência:

- Formadas as equipes– entrega de uma atividade (um problema) para o

grupo e folhas em branco, numeradas, para o registro das ações efetuadas

pelos alunos.

- Registro das resoluções nos grupos: cada grupo deve manter registro de

todos os passos dados em direção da resolução do problema, inclusive dos

esboços individuais. “Vocês não devem apagar as tentativas e, diante da

constatação de um erro, trocar a folha para a numeração seguinte, mantendo

o registro para o acompanhamento das ideias, estratégias, dúvidas, evolução

na compreensão dos conceitos trabalhados”.

- Socialização dos modos de solucionar o problema, dos resultados e das

possibilidades ainda abertas, estimulando a análise pelos alunos.

- Consenso – partindo da analise realizada pelos alunos e mediada pelo

professor, buscar-se-á um consenso sobre as possíveis soluções para o

problema sugerido.

- Formalização do conteúdo - feita pelo professor, com o auxilio dos

estudantes. Nessa etapa serão apontados os novos conceitos, destacados os

conteúdos prévios, as estratégias utilizadas e as generalizações possíveis.

Comparação de frações: um viés da unidade didática

Os problemas que envolvem a comparação entre frações são uma das

atividades que compõem a unidade didática elaborada durante a participação no

programa PDE. O problema a seguir foi o deflagrador para as discussões e busca de

estratégias que pudessem desvelar caminhos e soluções.

Na casa de Dona Neuza, toda sexta-feira é dia de pizza. A semana passada, eles pediram três pizzas de mesmo tamanho e sabores diferentes, porém divididas de formas diferentes: uma de calabresa em 08 pedaços, uma napolitana em 10 pedaços e uma muçarela em 12 pedaços. Carlos, o filho mais velho, comeu 3/8 da pizza de calabresa; Roberto comeu 3/10 da pizza napolitana e Davi 4/12 da pizza de muçarela. Quem comeu mais pizza?

Quadro 2: Problema deflagrador da aula Fonte: Unidade didática PDE

Seguindo a metodologia já anunciada, foi entregue aos alunos folhas em

branco e solicitada a leitura atenta da situação proposta, bem como a discussão em

busca de caminhos que apontassem soluções. Entretanto, antes mesmo de uma

socialização de possibilidades vislumbradas, de pronto, respostas finais foram

aparecendo. A fala da equipe 1 ilustra esse modo de proceder: “Davi comeu mais,

pois 4 é mais do que 3”.

Foi possível perceber certa ansiedade dos alunos na tentativa de resolver o

problema de modo a concluir a tarefa rapidamente, conforme é feito em exercícios

expostos em livros: pergunta e resultado, lançando mão de algumas “continhas”.

Constatação feita, fizemos uma rodada de discussão em plenária, buscando

socializar isso que se mostrou de imediato. São exemplos manifestos por alguns

grupos:

Ao socializar as estratégias mais utilizadas nesse primeiro lance de

tentativas dos grupos, constatou-se que elas se balizaram na tentativa de expressar

uma resposta, a qual poderia ser avaliada como certa ou errada. Voltando-nos

atentamente o modo de trabalho de cada equipe observamos a pouca discussão

sobre o que estava sendo pedido e um direcionamento aos números isolados que

compunham cada fração para, a partir deles, arriscarem uma resposta. Por exemplo,

no recorte citado anteriormente a decisão por Davi levou em consideração o número

de pedaços comidos e não a porção do todo, pois 4 é maior do que 3.

Mesmo sendo um 6º ano, as frações 4/12, 3/10, 3/8 têm sido entendidas por

alguns alunos, como números 4, 3, 10, 8, 12, numa relação direta envolvendo 5

quantidades possíveis de serem comparadas entre si.

Solicitando que o roteiro fosse seguido, foi reforçada a importância de

discutirem o problema, entendendo o que está sendo buscado e como fariam para

encontrar uma solução. Assim, as equipes retomaram a atividade esforçando-se

para manter o registro das negociações. A seguir trazemos um exemplo ilustrativo:

Entretanto, acompanhando cada equipe, vimos que alguns alunos não

avançavam pela dificuldade em visualizar a situação. Alguns tentaram desenhar

pizzas, mas perdiam a noção do todo pela falta de proporção nas representações.

Assim, foi distribuído a cada equipe um conjunto de 8 discos de EVA, com unidades

divididas em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes iguais, respectivamente, conforme figura 1

Figura 1: Discos de frações Fonte : Acervo da autora

Esse material foi construído antecipadamente, com o propósito de ser

fornecido aos alunos quando necessário. Essa distribuição e incentivo para o uso foi

feito por considerar que diante de muitas tentativas, alguns alunos precisavam de

algo mais concreto para trabalhar. Desse trabalho, constatamos a importância de

manipular material didático, ver o que ocorre e caminhar na direção de

paulatinamente subtrair o concreto e encontrar generalizações. Tratou-se assim, nas

atividades, o processo de abstração em cada equipe e nela, o de cada aluno.

Uma primeira iniciativa na direção de resolver o problema compreendendo o

solicitado pode ser vista na figura 2, onde as equipes investiram em verificar a parte

do todo que cada um comeu: Carlos 3/8, Roberto 3/10 e Davi 4/12.

Figura 2 : Estratégias dos alunos Fonte: Acervo da autora

A maioria tentou comparar as partes que cada um comeu para a tomada de

decisão sobre a maior. A pergunta feita por muitos alunos em suas equipes era: o

que é maior, 3/8, 3/10 ou 4/12? Durante a comparação, alguns relacionaram as

partes entre elas, outros tentaram comparar a soma das partes com o todo:

Figura 3 : Estratégias dos alunos Fonte : Acervo da autora

Percebeu-se que os alunos, mesmo diante da solução do problema, se

empenharam em explorar o material, fazendo outras comparações que permitissem

estabelecer relações. Por exemplo, 2/8 equivale a 3/12. Assim, continuaram

buscando por generalizações, como podemos observar na figura 4.

Figura 4: Estratégia do grupo 3 Fonte : Acervo da autora

Na sequência, antes de tentarmos generalizações, propôs-se mais

atividades complementares. Na medida em que as equipes traçavam os planos,

indicando caminhos e apresentando conclusões, novas perguntas foram feitas a

respeito do enunciado proposto. Com isso, procurou-se fazer com que os alunos,

com seus colegas de equipe, repetissem os procedimentos em outras situações,

buscando, cada vez mais, sentido no efetuado. São elas:

- Que fração de cada pizza teriam que comer para que todos comessem a

mesma quantidade de pizza, restando ainda partes de todas as pizzas?

- Que fração cada um teria que comer para comerem toda a sua pizza?

- Se Roberto tivesse comido 4 pedaços da pizza napolitana, que fração ele

teria comido? E se Dona Neuza tivesse comido o dobro do que Roberto comeu, que

fração ela teria comido?

- Compare o resultado do item anterior com outras divisões do disco de

frações e veja se essa quantidade pode ser escrita de modo diferente.

Após todas as equipes terem investido na solução de cada problema, foi

feito o registro das soluções no quadro, e durante a plenária eles foram explicando

como procederam para encontrar a solução. Uma fala articulada de uma das

equipes resume a tarefa: “Medimos o tamanho do pedaço, mas vimos que a

comparação deveria ser entre as porções comidas”. Seguindo, os alunos

sobrepuseram as porções, de onde concluíram que não bastava comer mais

pedaços, pois eles tinham tamanhos diferentes. A figura 5 ilustra o dito.

Figura 5: Estratégia dos alunos grupo 2 Fonte: Acervo da autora

Trabalho realizado, passou-se ao encaminhamento para a formalização do

conteúdo de ensino, tendo em vista a compreensão dos alunos. Entretanto, a tarefa

de comparar frações não foi concluída com estas atividades.

Elaborada uma síntese parcial, esta foi sendo construída com a aplicação de

outras atividades planejadas para a unidade didática. Desse modo, em cada

problema proposto, os conceitos eram retomados, por conta das necessidades

surgidas no investimento das tarefas. A cada passo tinha-se a oportunidade de

refazer trajetos, e ir em direção à consolidação da aprendizagem.

Uma síntese compreensiva do estudo

A elaboração da unidade didática foi orientada pela interrogação: como

utilizar Resolução de Problemas no processo de ensino e de aprendizagem

das operações com números racionais no ensino fundamental. Isso significa

dizer que buscou-se, desde o planejamento, um novo sentido orientador para o

ensino que não se esvaziasse de conteúdo matemático, mas que não se restringisse

à aprendizagem de técnicas para operar em situações que vem se mostrando

padrão no cotidiano das aulas de matemática. Esteve no campo dos interesses

conhecer estratégias dos alunos que revelassem a mobilização de conhecimentos

prévios, bem como do pensamento matemático presente na trajetória escolhida

pelos alunos.

Este estudo revelou a ideia de problema ligado diretamente a estratégias:

docente e discente. Com relação ao professor, destacou-se pela possibilidade de

investigação de modos de conduzir o ensino que se dirija a aprendizagem do aluno,

desvinculando problema de exercício de fixação, que normalmente são conduzidos

no final de um processo de ensino, fechado em regras e modelos a serem seguidos.

Tratando-se do aluno, mostrou-se pelo lançar-se na tentativa constante de

envolvimento com algo a ser realizado, com o comprometimento com a procura

daquilo que ainda não se sabe, de caminhos, de soluções.

Muitos esclarecimentos se fizeram. Viu-se os alunos envolvidos,

interessados em diversificar os enunciados, preocupados em procurar outras

variáveis que não as solicitadas nas atividades previamente elaboradas. Entretanto,

constatou-se muitas dificuldades no trabalho. Na experiência vivida percebeu-se que

o tempo para investir nessa metodologia de ensino não é o mesmo daquele em que

se prioriza técnicas como o objetivo da aprendizagem. Além disso, destacou-se

diferenciadamente os processos de ensino e de aprendizagem que, com relação ao

tempo, compreendem: o tempo de ensino e o tempo de aprendizagem que não são

medidos com a mesma unidade cronológica,

Com a metodologia aqui proposta e praticada, viu-se também diante da

dificuldade de conseguir fazer o aluno manter os registros dos diversos passos

dados em direção à resolução dos problemas. Muitas das tomadas de decisão, de

investimentos feitos em busca de novos rumos, que seriam dados a serem

retomados em outras caminhadas, foram se apagando ao longo das aulas.

Sobre isso, uma dificuldade que se sobressaiu foi a de manter todos os

registros de cada grupo. Constatou-se, no decorrer das atividades, a tendência de

eliminar o erro, deixando apenas aquilo que denota sucesso. Perdeu-se muitas

possibilidades de tratar “o erro” não como algo errado, mas como parte do processo

de aprendizagem.

Algumas atividades também não foram como o desejado. O proposto como

problema derivou de experiência com o assunto. Entretanto, ao apresentá-lo aos

alunos, o intento não foi alcançado. Pensou-se em situações de onde se teve um

problema para o ensino que não se constitui assim para a aprendizagem.

Os insucessos não devem ser entendidos como fracasso, mas como o que

nutre a ação pedagógica, que direciona para o aprofundamento do tema, tendo

novas experiências que considerem os resultados aqui encontrados. O caminho

seguido, de voltar-se sobre o feito, permite afirmar que a metodologia aqui

trabalhada favoreceu a compreensão, mas que é preciso mais. É importante manter

um ritmo de trabalho que instigue o aluno, que o impulsione a ir em busca de algo,

se responsabilizando pela sua aprendizagem, saindo da passividade de quem

recebe conhecimento de fora para dentro. Eis um desafio a ser enfrentado pelo

professor: habituar o aluno a explorar, a inquerir, a duvidar, a testar hipóteses

levantadas por ele mesmo, a querer mais, a compreender o que faz, a não aceitar o

que não faz sentido, a insistir em dar sentido àquilo que num primeiro olhar pode

querer dizer nada.

Eis para o professor, um problema!

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A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: perspectivas para a prática pedagógica

Elis Regina Pereira1

Luciane Ferreira Mocrosky2

Resumo: Neste artigo apresenta-se aspectos de um trabalho orientado pela pergunta: “como utilizar a ‘Resolução de Problemas’ nos processos de ensino e aprendizagem das operações com números racionais no ensino fundamental?”. Neste estudo foi realizada uma intervenção pedagógica, pautada no desenvolvimento de atividades que visavam a contribuir para o enfrentamento dos desafios educacionais, de promover a aprendizagem da matemática, que faça sentido ao aluno, que o capacite a resolver problemas e a aplicar os conceitos já compreendidos enquanto aprende matemática, o que justifica o tema escolhido. As leituras e as análises dos dados levantados apontam para possibilidades do objetivo de promover o ensino das operações com números racionais através da metodologia de Resolução de Problemas ser viável. Entretanto é reconhecido tratar-se de um desafio para o professor que deverá habituar seu aluno a explorar, a inquerir, a duvidar, a testar hipóteses levantadas por ele mesmo, a querer mais, a compreender o que faz, a não aceitar o que não faz sentido, a insistir em dar sentido àquilo que num primeiro olhar pode querer dizer nada.

Palavras-chave: Metodologia; Resolução de Problemas; Números Racionais; Educação Matemática; Ensino Fundamental.

Abstract: This article presents some aspects of a piece of work which was guided by the following question: “how to use the ‘Troubleshooting’ in the process of teaching and learning of operations with rational numbers in elementary school?” In this research was achieved an educational intervention, based on the development of activities aimed at contributing to face the educational challenges, to promote the mathematics learning which makes sense to the students, enabling them to solve problems and to apply the concepts already understood at the same time as learning mathematics, which justifies the chosen theme. The readings and analysis of the collected data point to the possibilities of the goal of promoting the teaching of operations with rational numbers through the Troubleshooting methodology to be viable. However, it is well-known that this is a challenge for the teacher who must get the students into the habit of exploring, doubting, testing hypotheses raised by themselves in order to understand what they do, not to accept what doesn’t make sense, to insist on giving meaning to what, at a first glance, may not mean anything. 1Especialização em Parapsicologia pelo IPAPPI. Especialização em Educação Matemática. Licenciatura em

Matemática pela UEL. Professora do Colégio Estadual Pedro Macedo, da Rede Pública Estadual. 2 Orientadora PDE. Professora da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.