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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ENGENHARIAS

A ROBÓTICA NA APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA:

UM ESTUDO COM ALUNOS DO 8º ANO

DE ESCOLARIDADE

Rui Oliveira

Dissertação apresentada para a obtenção do grau

de Mestre em Matemática. Especialização em Matemática para o Ensino

Madeira 2007

PROGRAMA OPERACIONAL PLURIFUNDOS DA REGIÃO AUTÓNOMA DA MADEIRA

UNIÃO EUROPEIA FUNDO SOCIAL

EUROPEU

vi

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ENGENHARIAS

A ROBÓTICA NA APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA:

UM ESTUDO COM ALUNOS DO 8º ANO

DE ESCOLARIDADE

Rui Oliveira

Licenciado em Matemática (Ensino de)

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Orientadores Professora Doutora Elsa Maria dos Santos Fernandes

Professor Doutor Eduardo Leopoldo Fermé

Dissertação apresentada para a obtenção do grau de Mestre em Matemática.

Especialização em Matemática para o Ensino

Madeira 2007

PROGRAMA OPERACIONAL PLURIFUNDOS DA REGIÃO AUTÓNOMA DA MADEIRA

UNIÃO EUROPEIA FUNDO SOCIAL

EUROPEU

vii

À Paula e ao Miguel

viii

Resumo Este estudo é fundamentado na introdução de robots no ensino da Matemática, mais

concretamente na sua contribuição para a produção de significado e desenvolvimento da aprendizagem de tópicos e conceitos matemáticos por parte dos alunos, em contexto de aula.

Esta investigação tem como objectivo descrever, analisar e compreender como é que os alunos aprendem matemática tendo os robots como elementos mediadores entre o aluno e a Matemática. Para tal, formulou-se as seguintes questões: (1) Qual o papel dos robots na resolução de problemas matemáticos envolvendo funções? (2) Como é que os alunos aprendem funções (no 8º ano) utilizando os robots? (3) Como é que os robots podem ajudar a desenvolver a representação de saberes matemáticos? e (4) Qual o papel dos robots no desenvolvimento de competência matemática nos alunos?

A investigação incidiu sobre o estudo das funções do 8º ano de escolaridade, e foi desenvolvida em duas turmas.

A investigação segue uma metodologia qualitativa, dispondo-se a descrever, analisar e compreender a actividade desenvolvida pelos alunos na realização das tarefas. A proposta pedagógica foi constituída por cinco tarefas que compreendiam o uso de pequenos modelos robóticos da Robotics Invention System™ 2.0 da Lego Mindstorm™, duas fichas de trabalho e um teste de avaliação em duas fases. A recolha de dados foi efectuada através de registos escritos do investigador feitos a partir da observação directa durante as aulas, registos audiovisuais com duas câmaras de filmar (destinadas ao registo do trabalho de dois grupos em cada aula), os registos escritos elaborados pelos alunos (fotocopiados após as aulas) e um inquérito aplicado a alguns alunos após a realização das tarefas. A análise dos dados e a disposição das conclusões foram estabelecidas conforme o papel desempenhado pelos robots na resolução de problemas matemáticos, na aprendizagem das funções e no desenvolvimento de competência matemática.

Das conclusões que emergiram do estudo destacam-se: - A utilização dos robots parece ter despertado o interesse, curiosidade e sentido de desafio dos alunos. A sua actuação pautou-se pela grande actividade, motivação e persistência na resolução dos problemas apresentados. As estratégias adoptadas pelos alunos foram diversificadas, desde o recurso a experiências passadas e conhecimentos já adquiridos, à formulação e teste de conjecturas e, principalmente, por tentativa e erro. Os dados parecem sugerir que os alunos tiveram uma evolução na adopção de estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de decisões acerca dos procedimentos e resultados a apresentar. - O conceito de função foi apreendido de forma significativa pelos alunos. A definição de função emergiu como uma conclusão do trabalho realizado e não como um ponto de partida. O trabalho realizado com os robots proporcionou aos alunos o desenvolvimento da compreensão do conceito de função e das facetas que pode apresentar, como correspondência entre conjuntos e como relação entre variáveis, e o desenvolvimento da sensibilidade para entender o uso de funções como modelos matemáticos de situações do mundo real, em particular, nos casos em que traduzem relações de proporcionalidade directa. - Os alunos trabalharam ao nível do desenvolvimento de competências nomeadamente, competência em pensamento matemático, competência no tratamento de problemas que envolve a formulação e resolução de problemas matemáticos, competência de raciocínio matemático, que implica estar apto a raciocinar matematicamente, competência em instrumentos e acessórios que implica estar apto a fazer uso e estabelecer relações com instrumentos e acessórios matemáticos, competência de comunicação que envolve a comunicação em, com e sobre a matemática, competência de representação que supõe que o aluno esteja apto a manusear diferentes representações de entidades matemáticas e competência de cooperação. Palavras-chave: Matemática; Robots na Educação; Conceito de Função; Aprendizagem da

Matemática; Competência Matemática.

ix

Abstract

This study is based on the introduction of robots in the teaching of mathematics, more specifically, on its contribution to the production of meaning and learning improvement of mathematical topics and concepts in class.

This research aims at describing, analysing and understanding how students learn mathematics using robots as mediators between learners and mathematics. In this context the following research questions were raised: (1) How do students learn functions (in the 8th form) using robots? (2) What is the role played by robots when it comes to solving mathematical problems involving functions? (3) How can the mathematical concepts to be learned be related to tasks for robots to perform? (4) How can robots help in developing mathematical knowledge? and (5) What is the role played by robots in the improvement of learner mathematical competence?

The research has focused on the learning of functions in the 8th form and was conducted in two classes.

A qualitative methodology was chosen, aiming the research at describing, analysing and understanding the students’ activity while doing the tasks. The pedagogical proposal consisted in five tasks which included the use of simple robots from Robotics Invention System, Lego Mindstorm, two worksheets and a two-stage written test. Data were gathered using the researchers’ records based on direct observation in class, audiovisual records using two cameras (which registered the performance of two groups in each class), students’ records (photocopied after class) and a questionnaire filled in by the students after doing the tasks. Data analysis and conclusion drawing were carried out bearing in mind the role played by robots in solving mathematical problems, in the construction of representations, in the learning of functions and in the improvement of mathematical competence.

The study has led to several conclusions and the following are to be highlighted: - The use of robots seems to have enhanced learner interest, curiosity and sense of challenge. The students’ performance was characterised by dynamism, motivation and persistence towards problem solving. They adopted a diversity of strategies such as the reference to past experiences and previous knowledge, conjecture forming and testing and, above all, a process of trial and error. The gathered data suggest that students have improved their capacity to adopt adequate strategies for solving problems and to make decisions concerning procedures and results. - The concept of function was significantly well understood by the learners. The definition of function was not the starting point but the product of the students’ work. Working with robots has allowed learners to improve their understanding of the concept of function and its possible facets, as set correspondence and as relation between variables and to develop their sensitiveness to view functions as mathematical models of real situations, mainly those where direct proportion is involved. - The students have worked aiming at competence development, namely: mathematical thinking; handling problems by means of mathematical problem formulation and solving; mathematical reasoning, which implies the ability to think mathematically; using tools and accessories, which implies the ability to use and interact with tools and accessories; communication competence including communication in, with and about mathematics; representation competence, which supposes the student is able to deal with different representations of mathematical entities; and cooperation competence. Key-words: Mathematics; Robots in the Education; Concept of Function; Mathematics

Learning; Mathematical Competence.

x

Agradecimentos

Aos meus orientadores Prof.ª Doutora Elsa Fernandes e Prof. Doutor Eduardo Fermé pela atenção, disponibilidade, exigência e amizade com que me orientaram. À Direcção Executiva da escola na pessoa da Prof.ª Juvelina Pereira pelo apoio, disponibilidade e simpatia. Aos meus alunos pelo seu empenho, interesse e alegria. À União Europeia – Fundo Social Europeu, ao Programa Operacional Plurifundos da Região Autónoma da Madeira e ao Centro de Ciência e Tecnologia da Madeira pelo apoio financeiro. Ao Vítor, ao Américo e à Alexandra, colegas de mestrado, pelos momentos de trabalho e pela amizade. Aos meus pais e irmãos pelo carinho e apoio. À Paula e ao Miguel.

xi

Índice Capítulo 1

INTRODUÇÃO 1

1.1. Apresentação do problema 1 1.2. Contexto e relevância do estudo 4 1.3. Plano geral da tese 8

Capítulo 2

CAMPO TEÓRICO 10

2.1. Finalidades do Ensino da Matemática 10 2.1.1. Porquê ensinar Matemática? 10 2.1.2. Caracterização Portuguesa 17

2.2. Aprendizagem da Matemática 19 2.2.1. Aprender matemática 20 2.2.2. Ser matematicamente competente 25

Competências associadas ao tema Funções ___________________________ 31 2.2.3. Natureza das Actividades 33 2.2.4. Tecnologias na aula de Matemática 35

Robótica Educacional____________________________________________ 39 2.2.5. Avaliação das aprendizagens 45

Conceito de Avaliação ___________________________________________ 46 Modalidades de avaliação_________________________________________ 47 Fases da avaliação ______________________________________________ 48 Avaliação na disciplina de Matemática ______________________________ 49 Instrumentos de avaliação ________________________________________ 51

2.3. Conceito de função 54 2.3.1. Desenvolvimento histórico do conceito de Função 54

Períodos do desenvolvimento histórico do conceito de Função____________ 62 2.3.2. Ensino/aprendizagem do conceito de Função 63

Capítulo 3

METODOLOGIA 73

3.1. Opções metodológicas 73 3.1.1. Investigação-acção 73 3.1.2. Investigação qualitativa 75

3.2. Participantes 76 3.3. Materiais utilizados 77 3.4. Tarefas 81

Tarefa Introdutória 81 Tarefa 0 –“ Revisões” 82 Tarefa 1 – “Noção de função” 83 Tarefa 2 – “Modos de representação de uma função” 84 Tarefa 3 – “Proporcionalidade Directa” 85

xii

Tarefa 4 – “Função Afim” 86 3.5. Técnicas de Recolha de Dados 86 3.6. Análise de Dados 88

Capítulo 4

ANÁLISE DOS DADOS 89

4.1. Tarefa Introdutória 89 4.2. Tarefa 0 – “Revisões” 91

Avaliação 98 Síntese 98

4.3. Tarefa 1 – “Noção de função” 99 Avaliação 109 Síntese 109

4.4. Tarefa 2 – “Modos de representação de uma função” 110 Avaliação 128 Síntese 128

4.5. Tarefa 3 – “A proporcionalidade directa como função” 130 Avaliação 149 Síntese 150

4.6. Tarefa 4 – “Função afim” 151 Avaliação 160 Síntese 161

4.7. Teste de avaliação 162 Capítulo 5

CONCLUSÕES 165

5.1. A resolução de problemas matemáticos com robots. 165 5.2. O papel dos robots na aprendizagem das funções 167

5.2.1. Os robots e a construção de representações 168 5.2.2. Construção do conceito de função 169

5.3. O desenvolvimento de competência matemática com os robots 170 5.4. Recomendações 172 5.5. Reflexão final 173

Referências 176

Anexos i

Anexo 1 Requerimento à Presidente da Direcção Executiva iii Anexo 2 Autorização do Encarregado de Educação v Anexo 3 ”Tarefa Introdutória” vii Anexo 4 Tarefa 0 – “Revisões” xiii Anexo 5 Tarefa 1 – “Noção de Função” xvii Anexo 6 Ficha de trabalho – I xxiii Anexo 7 Tarefa 2 – “Modos de representação de uma função” xxvii Anexo 8 Tarefa 3 – “A proporcionalidade directa como função” xxxi Anexo 9 Tarefa 4 – “Função afim” xxxiv Anexo 10 Ficha de trabalho – II xxxvii Anexo 11 Teste de Avaliação xli Anexo 12 Inquérito xlvii

xiii

Índice de Figuras FIGURA 1: DIMENSÕES DO CURRÍCULO........................................................................................................12 FIGURA 2 – FASES DA AVALIAÇÃO. .............................................................................................................48 FIGURA 3: CAMINHO PARA O ESTUDANTE COMEÇAR COM UM CONCEITO DE EXPRESSÃO. ...........................70 FIGURA 4 : POSSÍVEIS CAMINHOS PARA O ALUNO INICIAR COM UM CONCEITO DE ACÇÃO. ..........................70 FIGURA 5 – TANKBOT (“TANQUE”) .............................................................................................................78 FIGURA 6 – ROVERBOT (“TODO-O-TERRENO”)............................................................................................78 FIGURA 7 - RCX (ROBOTICS COMMAND SYSTEM) ......................................................................................79 FIGURA 8 – AMBIENTE DE PROGRAMAÇÃO ROBOTICS INVENTION SYSTEM™ 2.0.......................................79 FIGURA 9 – “PÁRA-CHOQUES” COM DOIS SENSORES DE TOQUE. ..................................................................82 FIGURA 10 – REFERENCIAL CARTESIANO DA TAREFA 0. .............................................................................83 FIGURA 11 - TABULEIRO USADO NA TAREFA 2............................................................................................85 FIGURA 12 – REFERENCIAL CARTESIANO DA TAREFA 0. .............................................................................91 FIGURA 13: GRÁFICOS DA TAREFA 1 “NOÇÃO DE FUNÇÃO”......................................................................100 FIGURA 14 - TABULEIRO USADO NA TAREFA 2..........................................................................................111 FIGURA 15: TABELA ELABORADA PELOS ALUNOS NA QUESTÃO 1.1 (TAREFA 2)........................................116 FIGURA 16: DIAGRAMA PROPOSTO PELOS ALUNOS NA QUESTÃO 1.2 (TAREFA 2). .....................................117 FIGURA 17: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA REALIZADA PARA A QUESTÃO 1.4 (TAREFA 2). ............................118 FIGURA 18: TABELA APRESENTADA NA QUESTÃO 1.1 (TAREFA 2). ...........................................................124 FIGURA 19: GRÁFICO REALIZADO NA QUESTÃO 1.4 (TAREFA 2)................................................................125 FIGURA 20: TABELA (QUESTÃO 1.1, TAREFA 2). .......................................................................................127 FIGURA 21: DIAGRAMA (QUESTÃO 1.2, TAREFA 2). ..................................................................................127 FIGURA 22: GRÁFICO (QUESTÃO 1.4, TAREFA 2). ......................................................................................128 FIGURA 23: GRÁFICO CONSTRUÍDO POR UM DOS GRUPOS NA QUESTÃO 1.7 (TAREFA 3). ...........................137 FIGURA 24: GRÁFICO REALIZADO PELO GRUPO NA QUESTÃO 1.7 (TAREFA 3). ..........................................146 FIGURA 25: RESPOSTA À QUESTÃO 5 – 2.ª FASE (TESTE DE AVALIAÇÃO). .................................................164

Índice de Tabelas TABELA 1: ASPECTOS A DAR MAIOR E MENOR ATENÇÃO NA AVALIAÇÃO ...................................................49 TABELA 2: CONCEPÇÕES ESTRUTURAL E OPERACIONAL: SUMÁRIO .............................................................68

1

Capítulo 1

INTRODUÇÃO Neste capítulo apresenta-se o problema que motivou a realização do presente estudo, o seu objectivo geral e as questões que o orientaram na consecução desse objectivo. Sucede-se a contextualização do estudo, a discussão da sua relevância e, por fim, explicita-se a organização da tese.

1.1. Apresentação do problema

A Escola vê continuamente aumentar a importância do papel que desempenha na formação, educação e preparação dos jovens para a sua integração na sociedade. Compete à Escola ser o espaço adequado para os indivíduos desenvolverem as competências necessárias a uma plena participação na vida social, tendo por base uma sociedade caracterizada por mudanças céleres e frequentes, muitas vezes potenciadas pelo rápido desenvolvimento tecnológico. Consequentemente, o processo educativo é evolutivo e caracteriza-se pela constante mutação, uma vez que visa “responder” às constantes mudanças das necessidades impostas pela sociedade. Como tal, a orientação educativa não pode esgotar-se na transmissão de informação e na avaliação da capacidade de aquisição da mesma. O desenvolvimento das crianças e dos adolescentes enquanto indivíduos e membros de uma sociedade pressupõe a oportunidade de aprender Matemática. É considerado um direito básico e surge como resposta a necessidades de carácter individual e social:

“Dirigir o ensino da Matemática para objectivos gerais de “ordem superior”,

como a resolução de problemas, o raciocínio e a comunicação, e fazê-lo numa

perspectiva de Matemática para todos, corresponde hoje a uma necessidade

tanto da sociedade como dos indivíduos, na óptica dos ideais democráticos”

(Abrantes, 1994, p. 604, em Segurado, 1997, p. 1).

É também aceite, embora muitas vezes esquecido pelos professores, que aprender Matemática não se reduz à aquisição de algoritmos, realização de procedimentos rotineiros, memorização de regras ou ao desenvolvimento de capacidades sem as respectivas aplicações (NCSM, 1990), conforme os princípios e orientações dos programas de Matemática em vigor (ver Direcção Geral do Ensino Básico e Secundário, 1991)1. De facto, aprender matemática passa por desenvolver capacidades que

1 No final dos anos 80, o Ministério da Educação procedeu a uma reformulação geral dos

programas, decorrente da reorganização dos planos curriculares implementada pela reforma produzida

pela introdução da Lei de Bases do Sistema Educativo. Essa reformulação atendeu às “novas

perspectivas” propostas pela Associação de Professores de Matemática (APM), cujas reflexões foram

influenciadas pelas ideias do National Council of Teachers of Mathematics (NTCM), entre outros. Estas

2

possibilitem ao aluno ser independente, competente, crítico e confiante nos aspectos com que se depara ao longo da sua vida, directa ou indirectamente relacionados com a Matemática. Para tal, terá de ser capaz de “desenvolver a sua capacidade de usar a Matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar, assim como a autoconfiança necessária para fazê-lo” (Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999, p. 18). Lamentavelmente, a realidade é bastante diferente dos pressupostos atrás mencionados e a disciplina de Matemática é reconhecida pelos piores motivos. É certo que todos os professores e educadores têm presente o problema do insucesso escolar, mas em particular e de forma intensa, os professores de Matemática. De um modo geral, ao longo dos anos e quase imune às reformas realizadas, os resultados obtidos pelos alunos na disciplina de Matemática têm-se pautado por uma preocupante mediocridade. Relativamente a este assunto, Ponte referia em 1988 que os níveis de insucesso não se limitavam a aprendizagens insatisfatórias, traduzindo-se também pela falta de confiança na utilização dos conceitos e técnicas matemáticas, na visão negativa, deturpada e empobrecida da natureza da Matemática e nas atitudes de repulsa e alheamento relativamente às suas matérias. No estudo Matemática 2001

2 da autoria da Associação de Professores de Matemática (APM, 1998) pode ler-se que “grande parte dos objectivos curriculares pré-estabelecidos não são atingidos por uma percentagem significativa dos nossos alunos, isto é, por outras palavras, que existe uma distância considerável entre o currículo enunciado e o currículo aprendido” (APM, 1998, p. 3). Mais recentemente, o estudo internacional do PISA3 (Ramalho, 2001, 2002) aferiu que o desempenho dos alunos portugueses foi inferior ao verificado em média no espaço da OCDE. Ponte (2002) refere que estudos internacionais como o TIMSS4 e o PISA indicam, consistentemente, deficiências significativas nas aprendizagens dos alunos portugueses. Actualmente, o problema persiste com contornos de agravamento, comprovado pelas constantes notícias das elevadas taxas de não aprovação em todos os anos de escolaridade, pela alta

“novas perspectivas” realçavam a importância da resolução de problemas, do uso de novas tecnologias e

propunham a valorização da Geometria (Ponte, 2002, pp. 8-9). 2 Matemática 2001 é um estudo realizado entre Março de 1996 e Outubro de 1998, pela

Associação de Professores de Matemática com o propósito de elaborar um diagnóstico e um conjunto de

recomendações sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática em Portugal. 3 O estudo PISA (Programme for International Student Assessment) foi lançado pela OCDE, em

1997. Os resultados obtidos nesse estudo permitem monitorizar, de uma forma regular, os resultados dos

sistemas educativos em termos do desempenho dos alunos, no contexto de um enquadramento conceptual

aceite internacionalmente e procura medir a capacidade dos jovens de 15 anos para usarem os

conhecimentos que têm de forma a enfrentarem os desafios da vida real, em vez de simplesmente avaliar

o domínio que detêm sobre o conteúdo do seu currículo escolar específico. 4 O Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), é um estudo realizado pelo

Institute of Education Sciences (U. S. Departement of Education) que recolhe e analisa dados relativos

aos conhecimentos matemáticos e científicos dos estudantes norte-americanos, comparando-os com os

conhecimentos de estudantes de outros países.

3

taxa de abandono escolar e pelos fracos resultados nos exames nacionais aplicados no final do terceiro ciclo e secundário. A preocupação com o problema do insucesso escolar tem originado uma constante e progressiva abordagem do tema pelos vários intervenientes e responsáveis pela Educação. Realizam-se investigações e reflexões afim de compreender o processo de ensino/aprendizagem da Matemática em todas as suas vertentes, procurando-se novas metodologias e experiências educativas que promovam o desenvolvimento das competências definidas para a disciplina. Para atingir os objectivos aqui descritos, tem sido incentivada, entre outros, a implementação e exploração de novas tecnologias, designadas por Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), na sala de aula de Matemática. Desde a implementação dos programas em 1991, que admitiram e incentivaram o uso de novas tecnologias na aula de Matemática, têm-se realizado trabalhos de investigação baseados nesse pressuposto (e.g. Carreira, 1992; Jorge, 1994; Fernandes, 1997), nas diversas unidades temáticas leccionadas de todos os níveis escolares, e que, de forma mais ou menos contundente, confirmam as potencialidades e importância pedagógica destes “novos” materiais. Vivemos num mundo cada vez mais informatizado e dependente das novas tecnologias de informação. Torna-se vital a valorização de novos objectivos educacionais e a redefinição dos processos e modos de actuação dos professores. É neste contexto que surge a Robótica Educacional. A sua utilização como elemento mediador da aprendizagem da Matemática apresenta-se como um novo desafio pedagógico que, além de permitir aos alunos desenvolverem as competências previstas para a disciplina no ensino básico, visará aumentar o seu interesse e motivação para a Matemática, demonstrando-lhes a sua importância e permitindo-lhes apreciar a sua aplicabilidade. Os robots desempenham o papel de ferramenta (meio) de ensino/aprendizagem e não de objectivo (fim) de aprendizagem. Esta tecnologia tem a vantagem de combinar o uso de computadores, de software de programação e de pequenos autómatos de fácil construção, que podem ser usados na resolução dos mais diversos problemas com grande amplitude do grau de dificuldade, indo ao encontro das mais recentes indicações pedagógicas que alertam para a importância do uso de novas tecnologias na sala de aula de Matemática. Assim, surge como pertinente a realização de uma investigação com o intuito de averiguar as potencialidades desta ferramenta pedagógica. Esta investigação tem como objectivo descrever, analisar e compreender como é que os alunos aprendem matemática tendo os robots como elementos mediadores entre o aluno e a Matemática. Para tal, formulou-se as seguintes questões:

1. Qual o papel dos robots na resolução de problemas matemáticos envolvendo

funções?

2. Como é que os alunos aprendem funções (no 8º ano) utilizando os robots?

3. Como é que os robots podem ajudar a desenvolver a representação de saberes

matemáticos?

4. Qual o papel dos robots no desenvolvimento de competência matemática nos

alunos?

4

1.2. Contexto e relevância do estudo

De acordo com National Council of Teachers of Mathematics (NTCM) o objectivo do ensino da Matemática é ajudar os alunos a desenvolver o poder matemático, ou seja, a desenvolver as capacidades de explorar, conjecturar e raciocinar logicamente, bem como desenvolver a aptidão para usar uma variedade de métodos matemáticos para resolver problemas não rotineiros (NTCM, 1991, p. 6). No mesmo documento pode ler-se que saber matemática é fazer matemática, ou seja, o aluno recolhe, descobre ou cria conhecimento na realização de alguma actividade com finalidade própria, devendo-se privilegiar o fazer em detrimento do saber que (p. 8). Imediatamente se deduz que algumas práticas pedagógicas, como a aquisição de algoritmos, realização de procedimentos rotineiros, treino isolado e mecanizado de cálculos ou memorização de regras e conceitos, são, por si só, manifestamente insuficientes e desadequados à criação das condições necessárias à aprendizagem significativa por parte dos alunos, dado que se restringem ao saber que e não promovem, pelo menos de forma significativa, o desenvolvimento do poder matemático. De acordo com as Normas profissionais para o ensino da Matemática (NTCM, 1994), a aprendizagem da matemática por parte dos alunos depende do ambiente da aula, do tipo de actividade, do seu envolvimento nessa actividade e do discurso em que participam, isto é, o que os alunos aprendem está essencialmente relacionado com o modo como aprendem. Os professores devem proporcionar actividades matematicamente válidas aos alunos, ou seja, actividades que lhes permitam desenvolver a compreensão e as aptidões matemáticas, que apelem à formulação e resolução de problemas, ao raciocínio matemático, à comunicação sobre matemática e promovam a sua predisposição para fazer matemática. Estas actividades podem assumir-se como projectos, questões, problemas, construções, aplicações ou exercícios, desde que propiciem contextos intelectuais favoráveis ao desenvolvimento dos alunos (NTCM, 1994). Na procura da definição das competências matemáticas essenciais aos cidadãos a estabelecer na revisão dos currículos do Ensino Básico de 2002, o Departamento da Educação Básica do Ministério da Educação apresentou no estudo A Matemática na

Educação Básica (Abrantes et al., 1999) um conjunto de ideias fundamentais sobre a aprendizagem, que têm um papel importante na discussão dessas competências, e que realçam a importância directa ou indirecta das actividades desenvolvidas para o sucesso do processo de aprendizagem. Segundo o documento, a aprendizagem requer que os alunos se envolvam em actividades significativas, que vivam experiências concretas que atribuam sentido aos conteúdos, que experimentem actividades que lhes permitam estabelecer relações com o que já sabem e que lhes permitam observar as mesmas coisas noutros contextos de forma a construírem o seu conhecimento de forma gradual. As actividades facultadas aos alunos deverão encerrar elementos de compreensão, raciocínio e resolução de problemas. Para valorizar as desejadas capacidades de pensamento e raciocínio dos alunos é necessário criar condições para que se envolvam em actividades ajustadas a esse fins. Existem ainda outros aspectos importantes da aprendizagem directamente relacionados com as actividades desenvolvidas nas aulas. As concepções que os alunos têm da aula de Matemática e da própria Matemática, assentam na ideia da aplicação de procedimentos e espera por uma resposta positiva ou negativa que confirme ou contradiga a sua, e que certamente está relacionada com as experiências e actividades que lhes foram proporcionadas nas aulas da disciplina. Igualmente, a motivação que

5

advém do grau de identificação dos alunos com a actividade desenvolvida, é essencial para o pleno envolvimento do aluno na exploração e compreensão do que esta compreende. Também o ambiente de aprendizagem vivido nas aulas é determinante para a aprendizagem: é essencial valorizar o envolvimento do aluno em processos de pensamento, de raciocínio e de argumentação lógica em detrimento da resposta rápida e certa, e no qual caberá um papel central ao tipo de actividade proposta e o modo como é abordada (Abrantes et al., 1999). Na concepção e aplicação de actividades na sala de aula, para além de todos os aspectos já referidos a ter em consideração, é fundamental não esquecer que os nossos alunos vivem numa sociedade onde as novas tecnologias desempenham um papel cada vez mais importante. É um mundo mais informatizado e consequentemente mais matematizado. A sociedade de informação coloca novas exigências à sabedoria humana, provoca novos saberes e novas competências (Ponte e Canavarro, 1997). Como educadores não podemos ignorar esta transformação e compete-nos modificar as nossas metodologias de trabalho para que os alunos consigam ser matematicamente

competentes perante as necessidades e desafios que enfrentam na sociedade, sob pena de vermos os alunos rejeitarem a Matemática por considerarem que a aula de Matemática e a Matemática em si mesmo estão desfasados do “seu” tempo. Consequentemente, os professores deverão manter uma permanente e contínua abertura crítica, para aprofundar as capacidades e qualificações que permitam acompanhar toda a evolução e mudanças e em especial os professores de Matemática constantemente deparados com problemas de insucesso. Citando João Ponte, (1988), os professores de Matemática terão “de saber apreciar a importância das situações problemáticas em Matemática, das ligações desta ciência com a realidade, de orientar o uso de instrumentos tecnológicos, de reconhecer a cultura matemática espontânea dos alunos, proporcionada pelo seu meio sociocultural, e ser ele mesmo capaz de criar, adaptar e aperfeiçoar situações e materiais apropriados para a aprendizagem” (p.19). Como o objectivo fundamental e primário do Ensino, e em particular do ensino da Matemática, é a preparação e inserção dos alunos na sociedade é necessário considerar e propor actividades que procurem dar resposta a esta premente e crescente necessidade. Em 1991, Fey escrevia:

“Uma das mais importantes tarefas em Educação Matemática, actualmente, é

a revisão dos currículos e dos métodos de ensino de modo a tirar proveito das

novas tecnologias de informação. O hardware poderoso e barato e o software

que foram desenvolvidos só nesta década desafiam todas as convicções

tradicionais acerca do que devemos ensinar, como devemos ensinar e do que

os alunos podem aprender” (p.45).

Relativamente às novas tecnologias, Ponte (1988) refere que “deve-se garantir um amplo acesso a todos estes recursos nas escolas de forma a terem uma utilização versátil e servirem de base ao desenvolvimento de capacidades de pesquisa e de lidar de forma critica e consciente com a informação, desenvolvendo a iniciativa e a auto-confiança dos seus jovens utilizadores” (p.17). O responsável pela qualidade, apresentação e condução das actividades desenvolvidas pelos alunos na sala de aula é o professor. O NTCM, nas Normas Profissionais para o

Ensino da Matemática refere que:

6

“Actividades que exigem dos alunos que raciocinem e comuniquem

matematicamente têm tendência a promover as capacidades de resolver

problemas e estabelecer conexões. Tais actividades podem inspirar uma visão

da matemática como um intrigante e valioso domínio de investigação. (…)

Uma responsabilidade fundamental dos professores é seleccionar e elaborar

propostas de actividades válidas e materiais que criem oportunidades para os

alunos desenvolverem este tipo de compreensão, competência, interesse e

predisposição para a matemática“ (NTCM, 1994, p.26).

No documento Matemática 2001: Diagnóstico e Recomendações para o Ensino e

Aprendizagem da Matemática (1998), a Associação de Professores de Matemática constatou que os exercícios, a resolução de problemas e a exposição pelo professor são as situações de trabalho de aula mais frequentes em todos os níveis de ensino. Também constatou que a resolução de problemas sofre um decréscimo acentuado à medida que se avança no nível de ensino. As situações menos frequentes são a discussão entre alunos, as actividades de exploração, a História da Matemática e o Trabalho de projecto. Relativamente aos modos de trabalho na sala de aula verificou-se uma forte predominância do trabalho individual em detrimento do trabalho em grupo. Quanto à frequência de utilização de materiais pelos professores foi possível constatar que o manual adoptado, as fichas de trabalho e a calculadora são os mais usados. Em situação inversa encontra-se o uso dos jogos didácticos, de materiais manipuláveis e do computador, referidos em grande percentagem como nunca ou raramente usados. Perante os factos supracitados, a APM fez três recomendações: (1) “a prática pedagógica deve utilizar situações de trabalho que envolvam contextos diversificados (…) e a utilização de materiais que proporcionem um forte envolvimento dos alunos na aprendizagem, nomeadamente, materiais manipuláveis, calculadoras e computadores”; (2) “a prática pedagógica deve incluir situações de trabalho variadas, valorizando tarefas que promovam o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos e que diversifiquem as formas de integração em aula, criando oportunidades de discussão entre alunos, de trabalho de grupo e de trabalho de projecto”; (3) “deve ser encorajada a utilização de fontes diversificadas na preparação das actividades lectivas (…)” (APM, 1998, p. 78). Também relembra que os programas instituídos em 1991 recomendam a realização de actividades matemáticas significativas, tais como a resolução de problemas e a aplicação da Matemática a situações da vida real, e que as situações de aprendizagem devem incluir momentos de discussão entre o professor e os alunos (em trabalho colectivo) e entre os alunos (em trabalhos aos pares e pequenos grupos) (p. 30). Assim, os robots apresentam-se como um bom e promissor motivo de trabalho para o desenvolvimento de novas actividades e estratégias, permitindo abordagens alternativas em alguns conteúdos Matemáticos, capaz de responder aos pressupostos aqui referidos e explicados. Estas actividades baseadas no uso dos robots afiguram-se como um bom fomentador da exploração (pois permite a realização de um grande número de experiências), da resolução de problemas, da modelação e simulação (desenvolvimento de capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e interacção no mundo que nos rodeia), da discussão, da comunicação e criação do ambiente de aula propício à realização de aprendizagens significativas (Ponte e Canavarro, 1997). Também poderá

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ser um bom motivo para a realização de trabalho de grupo e para a aplicação de novas situações de avaliação. A pertinência da utilização dos robots na aula de Matemática também é justificável através das duas principais finalidades da Matemática do ensino básico: “proporcionar aos alunos um contacto com as ideias e métodos fundamentais da matemática que lhes permita apreciar o seu valor e a sua natureza e desenvolver a capacidade e confiança pessoal no uso da matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar” (Ministério da Educação, 2001, p.58). Ainda no mesmo documento, encontra-se a indicação para a utilização das tecnologias na aprendizagem da Matemática, nomeadamente em contextos de resolução de problemas, actividades de investigação ou projectos, visando as finalidades consagradas para a disciplina:

“A Matemática tem contribuído desde sempre para o desenvolvimento de

técnicas e de tecnologias, mesmo quando não são necessários conhecimentos

matemáticos para as utilizar. É importante que os alunos realizem actividades

que ajudem a revelar a matemática subjacente às tecnologias criadas pelo

Homem (...)” (Ministério da Educação, 2001, p.71).

Com o desenvolvimento e aplicação de propostas de trabalho baseadas no uso de robots pretende-se proporcionar um desenvolvimento integrado através do uso combinado de conhecimentos matemáticos com outros tipos de conhecimentos, que permitam o desenvolvimento do sentido crítico, da autonomia, responsabilidade e criatividade dos alunos. Pretende-se também combinar o trabalho experimental com a realização de raciocínios indutivos e dedutivos. A realização deste trabalho de investigação visa contribuir para a promoção dos pressupostos atrás apresentados, a partir da evolução e aplicação de novas abordagens pedagógicas, nomeadamente o uso de robots como elemento mediador entre o aluno e a Matemática. Com a realização da parte empírica do trabalho, além da intencional promoção do sucesso escolar dos alunos na disciplina de Matemática pretende-se também alterar junto dos alunos, encarregados de educação e, de uma forma geral, a comunidade educativa, a imagem negativa que têm da disciplina. Tendo plena consciência de que estas posturas não mudarão apenas devido à realização deste trabalho, pretende-se que este seja (mais) um contributo para a mudança. Este trabalho surge como parte integrante de um projecto mais amplo – o projecto “DROIDE: Os Robots como Elementos Mediadores entre o Aluno e a Matemática/Informática”, que tem sido desenvolvido no Departamento de Matemáticas e Engenharias da Universidade da Madeira (DROIDE, 2005). Este projecto tem como objectivos (1) criar problemas na área da Matemática/Informática a serem resolvidos através dos robots, (2) criar robots para abordar problemas específicos na área da Matemática/Informática; (3) implementar a resolução de problemas utilizando robótica nas aulas de matemática no ensino básico e secundário, nas aulas de informática no ensino secundário e nas aulas de Inteligência Artificial, Didáctica da Informática e Didáctica da Matemática, e por fim (4) analisar a actividade dos alunos aquando da resolução dos problemas utilizando os robots nos diferentes tipos de aula referidos no ponto anterior.

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1.3. Plano geral da tese

A organização deste trabalho pode ser diferenciada em duas partes distintas de acordo com o seu carácter e conteúdo. Uma primeira parte de carácter teórico é composta pelos capítulos 1 e 2 relativos à Introdução e Campo Teórico, respectivamente. No segundo capítulo realiza-se uma revisão de literatura relativa à temática em estudo, apresentada em quatro subtemas: um primeiro relativo às finalidades do Ensino da Matemática em que se apresenta a realidade portuguesa; o segundo diz respeito à aprendizagem da Matemática, explorando-se questões como a competência matemática, a introdução de tecnologias na aula de Matemática, mais concretamente, da robótica, e abordam-se algumas questões relativas à avaliação, principalmente da avaliação em matemática; por fim, no quarto subtema é explorado o desenvolvimento histórico do conceito de função e algumas considerações sobre o seu ensino e aprendizagem. A segunda parte constituída pelos capítulos 3, 4 e 5 dizem respeito à Metodologia, Análise dos dados, e Conclusões do estudo, respectivamente. No capítulo 3, Metodologia, justificam-se as opções metodológicas e caracterizam-se o contexto da recolha de dados, os instrumentos de recolha desses dados e a forma como foram analisados. O capítulo 5 refere-se à descrição e análise dos dados recolhidos. O capítulo 6 contém as conclusões e resultados de todo o estudo, e algumas recomendações e sugestões de/para novos trabalhos, mediante novas questões pertinentes que foram surgindo durante a realização deste trabalho.

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Capítulo 2

CAMPO TEÓRICO Este capítulo apresenta uma revisão das principais temáticas que servem de suporte a esta investigação. Num primeiro ponto abordam-se as finalidades do ensino da Matemática, explorando-se as sugestões de resposta de alguns autores à questão “porquê ensinar matemática?” e, em particular, as finalidades da disciplina de Matemática no ensino básico português. Num segundo ponto são abordadas questões relacionadas com a aprendizagem em Matemática, nomeadamente o que significa aprender matemática e ser matematicamente competente, as competências associadas ao tema Funções do 3º ciclo (dado tratar-se do conteúdo programático objecto da investigação), a natureza das tarefas, o uso de tecnologias na aula de Matemática com particular ênfase na nova “disciplina” de robótica educacional. Ainda directamente relacionado com a aprendizagem, seguem-se algumas considerações sobre a avaliação das aprendizagens matemáticas relevantes para o presente estudo. O terceiro ponto diz respeito ao desenvolvimento histórico do conceito de função e a algumas considerações sobre o seu ensino e aprendizagem.

2.1. Finalidades do Ensino da Matemática

O estudo A Matemática na Educação Básica (Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999), no capítulo intitulado Matemática para todos, começa por referir que “aprender Matemática é um direito básico de todas as pessoas – em particular, de todas as crianças e jovens – e uma resposta a necessidades individuais e sociais” (p.17). Refere ainda que a Matemática integra os currículos por razões de natureza cultural, prática e cívica, relacionados com o desenvolvimento dos alunos ao nível individual e enquanto membros da sociedade e, de uma forma mais global, relacionado com o anterior, o desenvolvimento da própria sociedade. O ensino da Matemática tem estado sujeito a diversas mudanças a nível curricular e programático, sempre com o intuito de melhorar a sua aprendizagem e acompanhar a constante evolução da sociedade. Consequentemente, surgem algumas questões que importa responder pela sua pertinência e constante actualização: Porquê ensinar Matemática? Que Matemática ensinar a uma sociedade influenciada pela tecnologia? Como atender à diversidade cultural a partir do currículo de matemática? (Rico, 1997). As questões formuladas têm grande importância, correspondente à sua abrangência e posição basilar na educação matemática. No âmbito deste trabalho interessa discutir a primeira questão, pelo que a seguir se ensaiam algumas propostas de resposta.

2.1.1. Porquê ensinar Matemática?

No artigo Finalidades de Educação Matemática, Rico (1997) apresenta três estudos que procuram responder à questão “porque se ensina matemática?”. O primeiro, Metas e

objectivos gerais da Educação Matemática de D’Ambrósio (1979, referido em Rico,

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1997, pp.7-8), segundo o qual é necessário contextualizar a questão na modificação profunda que o ensino atravessou provocada pela massificação, no qual todos os estratos da sociedade devem usufruir dos benefícios da educação, subentendendo-se uma obrigação social de reduzir as diferenças devido à educação. Assim, relativamente às funções sociais da educação matemática, D’Ambrósio defende que só pensando na sociedade do futuro, fundamentada em valores democráticos, será possível discutir a orientação para a educação a fim de alcançar esse futuro. Para tal refere dois pontos de vista: o ponto de vista utilitário e o ponto de vista especulativo. Segundo o ponto de vista utilitário, há uma necessidade crescente de preparar matemáticos, em todos os níveis, para a aplicação e uso da tecnologia, até porque a sociedade espera, mesmo que a longo prazo, benefícios ou recompensas das matemáticas e do seu ensino. No ponto de vista especulativo, D’Ambrósio refere um outro tipo de educação matemática que pretende desenvolver a educação como livre e criadora, como “aquisição” da aptidão de utilizar o conhecimento. A meta desta forma de educação é assentar a matemática como linguagem conveniente e útil para simular o mundo real, ajudando na solução dos novos problemas que constantemente vão surgindo. Refere ainda que objectivo básico da educação matemática não é perpetuar conhecimentos ou gerar pequenos avanços sobre os existentes, mas fomentar a criação de novos conhecimentos, ou seja, atingir uma posição favorável à produção de novo conhecimento.

“A tarefa principal da educação matemática consiste em propor estratégias

que permitam o desenvolvimento simultâneo destes dois objectivos, o

primeiro baseado no conceito da matemática como corpo utilitário de técnicas

e habilidades, pensado e projectado para satisfazer necessidades sociais, e o

segundo que considera a matemática como componente de um grande corpo

de modelos do pensamento e da linguagem para simular os fenómenos

anteriores” 5 (Rico, 1997, p.8, baseado em D’Ambrósio, 1979).

O segundo trabalho referido por Rico é da autoria de Romberg (1991, referido em Rico, 1997, pp.9-10). Romberg considera que há duas categorias de justificações para a questão apresentada: justificações funcionais e “outras justificações” onde se incluem o desenvolvimento das capacidades pessoais. As justificações funcionais dizem respeito à necessidade de as escolas proporcionarem aos alunos uma formação especializada em Matemática, dado tratar-se de um pré-requisito fundamental para o estudo das mais diversas disciplinas, com o intuito de satisfazer a necessidade funcional de formar cidadãos produtivos. As “outras justificações” contemplam razões dos mais diversos tipos, como a ideia que ensinar Matemática promove o desenvolvimento de capacidades de pensamento, promove a propensão para o esforço e para a confiança no próprio trabalho, e proporciona satisfação aos que a compreendem. Também engloba fundamentos como a necessidade de formar matemáticos profissionais, as importantes contribuições da Matemática para a cultura democrática ocidental e a visão de que a Matemática é parte integrante das dimensões da personalidade humana.

5 Tradução do autor.

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Por fim, Rico (1997) apresenta um trabalho de 1996 de sua autoria. Nesse trabalho realizou uma reflexão com o intuito de organizar as várias dimensões que caracterizam os fins da educação matemática. Estruturou a sua posição através da identificação de um sistema de quatro categorias de finalidades: culturais, sociais, de desenvolvimento ou aprendizagem, e éticas ou formativas.

Figura 1: Dimensões do currículo (Rico, 1997, p.13)

Cultura e educação matemática. No que concerne à dimensão cultural, Rico (1997) pensa que as considerações realizadas sobre o ensino da matemática se baseiam, implícita ou explicitamente, em finalidades culturais. O facto da matemática por si só ser parte integrante de qualquer cultura, sustenta a grande dimensão cultural que se encontra nas finalidades do ensino da matemática.

“O conhecimento matemático não se pode considerar isolado do meio

cultural. As Matemáticas dão expressão a um mecanismo claro de controlo

para o governo da conduta já que atendem a planos, fórmulas, regras,

estratégias, procedimentos e instruções; contribuem para ajustar a conduta

humana a pautas de racionalidade e a desenvolver um pensamento objectivo.

Também apresentam uma dimensão social e pública, fundam as suas raízes

nas formas básicas da expressão humana” (Rico, 1996, p.146, citado em Rico,

1997, p.15).

O carácter histórico e contingente do conhecimento matemático, a sua contemplação como um conjunto de práticas e realizações conceptuais intimamente ligadas ao contexto social e histórico concretos e como resultados incontestáveis, vêm confirmar a dimensão cultural que deve, de forma cuidadosa, integrar as finalidades da educação matemática (Rico, 1997). Dimensão social.

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É evidente a dimensão social do conhecimento matemático se atendermos ao seu interesse a este nível. Compete ao conhecimento matemático proporcionar a todos os cidadãos as ferramentas matemáticas básicas necessárias ao seu desempenho social e qualificá-lo profissionalmente para as necessidades do mercado de trabalho e para os desafios organizacionais e de gestão proporcionados pela sociedade (Rico, 1997). No entanto, o autor reconhece que a importância do conhecimento matemático não se reduz à sua utilidade e carácter prático, e refere que:

“As Matemáticas permitem comunicar, interpelar, predizer e conjecturar;

dotam a nossa informação de objectividade e constituem-na em conhecimento

fundamentado. (…) A sociologia do conhecimento estabelece que, como no

resto das disciplinas científicas, as representações matemáticas são

construções sociais. A conjectura da construção social localiza o

conhecimento, a cognição e as representações nos campos sociais da sua

produção, distribuição e utilização. O conhecimento científico é

constitutivamente social dado que a ciência está socialmente orientada e os

objectivos da ciência estão socialmente sustentados (Restivo, 1992). O

conhecimento matemático, como todas as formas de conhecimento,

representa as experiências materiais de pessoas que interactuam em contextos

particulares, culturas e períodos históricos.” (Rico, 1996, pp. 146-147, citado

em Rico, 1997, p.16).

Esta vertente social do conhecimento matemático demonstra o importante papel que a educação matemática, principalmente a desenvolvida a nível escolar, desempenha na integração dos indivíduos no meio social:

“Tendo em conta esta dimensão social, o sistema educativo – e, em particular,

o sistema escolar – estabelece uma multiplicidade de interacções com a

comunidade matemática, já que se ocupa em que as novas gerações sejam

iniciadas nos recursos matemáticos utilizados socialmente e na rede de

significados (ou visão do mundo) em que se encontram inseridos; isto é,

organiza um modo de prática matemática” (Rico, 1996, pp. 146-147, citado

em Rico, 1997, p.16).

Rico (1997, baseado em Rico, 1996) considerou três âmbitos distintos para a dimensão social, que reconhece serem três modos de considerar a matemática como uma ferramenta intelectual determinada socialmente:

1) A prática profissional – práticas profissionais em que os matemáticos ou especialistas que utilizam a matemática produzem conhecimento organizado;

2) Os contextos matemáticos – situações laborais ou sociais em que o domínio de ferramentas matemáticas é necessário para um

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desempenho e desenvolvimento eficiente, denominado por Cockcroft de necessidades do mundo do trabalho;

3) Hábitos e práticas usuais no emprego das matemáticas – necessidades básicas de cada pessoa, o conhecimento matemático imprescindível para a integração e desenvolvimento na sociedade, para comunicar, receber e interpretar informação e tomar decisões correctas com base nessa interpretação; Cockcroft designou este âmbito por necessidades matemáticas da vida adulta.

Finalidades formativas. Se a educação é a transmissão da herança cultural e dos valores sociais à geração seguinte, então dessa cultura faz parte, necessariamente, o conhecimento matemático, cuja responsabilidade de transmissão é grande pois a Matemática é uma ferramenta intelectual potente, cujo domínio individual facilita o desenvolvimento intelectual, promove novas aprendizagens e proporciona vantagens intelectuais (Rico, 1997). O ensino da matemática evoluiu de uma função exclusivamente instrutiva (que passava pela memorização e mecanização) para uma função formativa mais ampla, em que o conhecimento matemático não está isolado do meio cultural envolvente nem dos interesses dos alunos. Rico (1997) refere que o interesse formativo do ensino da Matemática, a partir de uma perspectiva educativa, provém da convicção que determinadas actividades matemáticas favorecem o desenvolvimento e a aquisição de capacidades, principalmente cognitivas. Rico (1997, citando Rico, 1990) destaca os seguintes valores formativos da Matemática:

i) “a capacidade para desenvolver o pensamento do aluno, que permitem

determinar factos, estabelecer relações, deduzir consequências, e, realmente, potenciar o raciocínio e a capacidade da acção simbólica;

ii) a utilidade para promover a expressão, elaboração e apreciação de padrões e regularidades, assim como a sua combinação para obter eficácia ou beleza; a matemática tem que promover o uso de esquemas, representações gráficas, e fomentar o projecto de formas artísticas e a apreciação e criação de beleza;

iii) a adequação para garantir que cada aluno participe na construção do seu conhecimento; a matemática escolar tem que ser razoável, não pode constituir um factor da discriminação;

iv) a versatilidade para estimular o trabalho cooperativo, o exercício da crítica, a participação e colaboração, a discussão e defesa das próprias ideias, e para assumir a tomada conjunta de decisões;

v) a potencialidade para desenvolver o trabalho científico e para a procura, identificação e resolução de problemas;

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vi) a riqueza de situações para mobilizar este tipo de conhecimentos, de maneira que se estimule a gratificação pelos esforços intelectuais e a satisfação com o trabalho bem realizado” 6 (pp. 122-123).

Dimensão ética e política. Esta dimensão compreende factores influentes na planificação e desenvolvimento da Matemática escolar como a difusão dos valores democráticos e de integração social, a realização e exercício da crítica e o esforço para a acção comunicativa (Rico, 1997). A extensão da educação a toda a população, por imposição do ensino obrigatório com as finalidades de homogeneização social e elevamento do nível cultural da sociedade, implica que as prioridades educativas se direccionem de forma especial para os alunos que manifestem mais dificuldades em desenvolver as suas capacidades e competências. Segundo Rico (1997) a educação referente à escolaridade obrigatória deve promover o aperfeiçoamento da capacidade dos alunos tomarem decisões devidamente fundamentadas referentes à sua posição na sociedade, ao seu futuro profissional e responsabilidade cívica. Os relacionamentos na sociedade regem-se por normas morais que resultam da cooperação entre os indivíduos, determinando também a importância da educação moral. A educação matemática não pode ignorar nenhum destes factores, devendo, sempre que possível, permitir aos alunos participarem na gestão e tomada de decisões nas aulas de uma forma democrática (Rico, 1997). Uma visão crítica da educação matemática sustenta que o conhecimento matemático deve ser analisado e avaliado nos seus fundamentos e nas suas aplicações, uma vez que está intimamente relacionado com a vida social dos homens, que se utilizam para tomar decisões que afectam a colectividade e servem como argumento de justificação (Rico, 1997). Assim, deve ser possível criticar as aplicações da Matemática do ponto de vista social e como tal os alunos deverão receber a necessária formação para procederem à crítica de qualquer aplicação tecnológica resultante de conhecimentos matemáticos.

“Uma escola orientada para o valorização de comportamentos éticos,

consecução de hábitos democráticos e capacidades morais individuais, deve

enfatizar o conhecimento reflexivo de todo o sistema da matemática; esta

orientação crítica e formativa deve estar presente nas finalidades gerais do

currículo da matemática escolar.

Em suma, a admissão explícita de valores éticos e democráticos entre as

finalidades da instrução matemática articulam-se num eixo ou dimensão

política, no seu sentido mais nobre”7 (Rico, 1997, p.24).

Ao abordar a temática da Matemática como fenómeno social, Ponte (2002) integrou um ponto relativo aos papéis sociais da Matemática escolar onde apresenta as finalidades desta disciplina escolar nesse âmbito. A primeira função social da Matemática apontada reside no facto de esta constituir a base do desenvolvimento da cultura científica e

6 Tradução do autor. 7 Tradução do autor.

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tecnológica. A segunda função está relacionada com o uso da Matemática como instrumento de selecção no acesso a muitos cursos superiores porque goza de uma imagem de “conhecimento objectivo” com uma infinidade de aplicações nas mais diversas áreas. Outro papel que o ensino da Matemática tem desempenhado é o de símbolo de desenvolvimento e de arma de arremesso político de diversas forças sociais (Ponte, 2002). Por fim, “a Matemática serve para promover o desenvolvimento das crianças e dos jovens, estimulando uma maneira de pensar importante para a vida social e para o exercício da cidadania” (Ponte, 2002, p.13). É desta forma que a Matemática serve as necessidades dos indivíduos como seres sociais. A capacidade de compreender a linguagem matemática socialmente usada e a aptidão de pensar nas mais diversas situações de um modo matemático é, pelo menos teoricamente, reconhecida como a principal função (finalidade) do ensino da Matemática (Ponte, 2002). Em Matos (2003) podemos encontrar as principais finalidades da matemática escolar segundo a perspectiva do autor. Este começa por referir que no conjunto das finalidades da educação matemática se inclui “o desenvolvimento do poder dos alunos e dos indivíduos em sociedade, quer para ultrapassar barreiras do seu desenvolvimento em termos de educação e emprego, quer no sentido de aumentar a sua autodeterminação e o seu envolvimento crítico na cidadania social” (Matos, 2003, p.1). De imediato acrescenta que a grande finalidade da educação é a mudança social no sentido de uma sociedade mais justa e igualitária, o que, ao nível da prática escolar, se deverá traduzir no questionamento permanente e sistemático, na realização de espaços de discussão das coisas e possibilidade de debate de opiniões contraditórias, na oportunidade de questionar os temas matemáticos e na negociação de objectivos partilhados (Matos, 2003). Matos (2003) realça que o ensino escolar da matemática já não pode limitar-se à transmissão de factos matemáticos, apresentando três argumentos neste sentido: O primeiro argumento tem por base o facto de que o conhecimento que o cidadão tem de ter acerca dos modelos cada vez mais complexos que regulam a sociedade é inversamente proporcional ao crescente uso desses modelos matemáticos. Em contrapartida, é exigido ao cidadão a capacidade de lidar com esses modelos (desocultá-los, notar a sua presença, perceber as sua intenções, adoptar uma postura crítica, etc.). No segundo argumento, o autor refere que a ênfase deve estar na educação matemática e não no ensino da matemática, propondo mesmo a substituição da disciplina de matemática por uma disciplina de educação matemática (Matos, 2002). Na nova disciplina, para além do necessário conhecimento de alguns factos matemáticos, o essencial “não será a matemática mas o seu uso como um dos recursos estruturantes do pensamento, da reflexão e da acção” (Matos, 2003, p.2). Segundo Matos, algumas visões da didáctica da matemática têm o seu ensino como a tarefa de fazer os alunos aprenderem matemática (conhecerem factos matemáticos) e educar matematicamente é entendido como o fornecimento de factos matemáticos recontextualizados, com o argumento de que servirão de base noutras disciplinas ou serão úteis na vida do aluno. O autor sugere uma outra perspectiva em que se entende a Matemática como um “instrumento que confere uma dimensão muitíssimo potente aos modelos que a sociedade cria e adopta” (Matos, 2003, p.3) e, consequentemente, a educação deverá incluir formas de aprender a lidar com esses modelos. Essa aprendizagem passa por educar matematicamente os alunos: “levar os alunos a apropriar-se de modos de

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entender matematicamente as situações do dia-a-dia” (Matos, 2003, p.3), isto é, entender matematicamente todas as actividades que fazem parte do seu quotidiano. O terceiro argumento sustenta-se na ideia de que um exercício de mudança das perspectivas sobre as finalidades da matemática escolar a fim de promover uma cultura matemática que vise a “participação dos jovens na construção e sustentação de uma sociedade democrática, tem que ser enquadrado numa problematização mais alargada da escola e do seu papel na educação dos jovens” (Matos, 2003, p.3) Também Greer e Mukhopadhyay (2003) se debruçaram sobre a questão das finalidades do ensino da Matemática. Estes autores, propondo-se responder à questão what is

mathematics education for?, sugeriram o seguinte conjunto de respostas:

1. Produção de mais matemáticos, cientistas, engenheiros, e outros que venham a usar técnicas matemáticas no desenvolvimento do seu trabalho;

2. Proporcionar o treino de uma força de trabalho capaz de competir na economia global na era da informação;

3. A matemática faz parte da herança cultural que torna os indivíduos melhor preparados e mais criativos na resolução dos mais diversos problemas intelectuais;

4. A matemática é caracterizada como a mais pura forma de argumentação, fazendo uso dos melhores métodos de prova, constituindo um treino imparcial e objectivo do pensamento racional;

5. A matemática é necessária como preparação para o desenvolvimento e superação dos aspectos práticos presentes no quotidiano dos indivíduos;

6. Permite às pessoas o acesso a poderosas ideias matemáticas, a ser usadas como ferramentas de crítica, análise e avaliação de situações e assuntos relevantes para a sua vida;

7. A matemática reflecte o nosso ponto de vista do mundo, permitindo compreendê-lo e modelá-lo (p. 4).

Como refere Rico (1997) as diferenças tocantes às finalidades dos currículos de matemática podem ser maiores que as coincidências e parece não haver consenso nas respostas a dar à pergunta “porque ensinamos Matemática?”. Também Ponte (2002) se refere ao problema da indefinição das finalidades do ensino da Matemática, afirmando que a sua clarificação deverá constar obrigatoriamente de um plano de combate ao insucesso em Matemática.

2.1.2. Caracterização Portuguesa

Em Portugal, o papel do ensino da Matemática e as finalidades da disciplina de Matemática para o 3º Ciclo do Ensino Básico (correspondente aos últimos três anos da escolaridade obrigatória, 7º, 8º e 9º anos de escolaridade) foram definidas pelo Ministério da Educação (1991) no documento Organização curricular e programas:

Ensino Básico 3º Ciclo, que estabelece o seguinte:

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“Atribui-se ao ensino da Matemática uma dupla função:

• Desenvolvimento de capacidades e atitudes.

• Aquisição de conhecimentos e de técnicas para a sua mobilização” (p.171).

e

“Consideram-se finalidades da disciplina de Matemática no ensino básico:

• Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real.

• Promover a estruturação do indivíduo no campo do pensamento, desenvolvendo os conceitos de espaço, tempo e quantidade ou estabelecendo relações lógicas, avaliando e hierarquizando.

• Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como a memória, o rigor, o espírito crítico e criatividade.

• Facultar processos de aprender a aprender e condições que despertem o gosto pela aprendizagem permanente.

• Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação” (p.175).

O ensino da Matemática não é encarado de forma independente e descontextualizada. É parte integrante de um currículo, devendo contribuir para a consecução de objectivos gerais estabelecidos para o ensino. Esta vertente que situa o ensino da Matemática como parte contributiva para o alcance de objectivos gerais ficou bem vincada na reorganização curricular levada a cabo pelo Ministério de Educação Português em 2001. No documento O Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais do Departamento da Educação Básica do Ministério da Educação (Ministério da Educação, 2001) pode ler-se o seguinte acerca do processo de reorganização que então se iniciava:

“Com efeito, o processo pressupõe uma transformação gradual do tipo de

orientações curriculares formuladas a nível nacional: de programas por

disciplina e por ano de escolaridade, apoiados em tópicos a ensinar e

indicações metodológicas correspondentes, para competências a desenvolver

e tipos de experiências a proporcionar por área disciplinar e por ciclo e

considerando o ensino básico como um todo” (p.20).

As finalidades do ensino básico e, consequentemente, do ensino da matemática ficaram directamente relacionadas com um conjunto de competências consideradas “essenciais”, que os alunos deverão adquirir ao longo do seu percurso escolar no ensino básico. O

Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais definiu as competências essenciais no âmbito do currículo nacional, assim como, as competências específicas de cada uma das áreas disciplinares, por ciclo e no seu conjunto, e os tipos de experiências educativas a proporcionar aos alunos. Esta reforma curricular implicou

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uma reformulação dos programas ao nível do papel que estes desempenham no currículo e a revisão dos seus conteúdos, estilo e organização (Ministério da Educação, 2001). Ainda de acordo com o documento, as principais finalidades da Matemática no ensino básico consistem em (1) proporcionar aos alunos um contacto com as ideias e métodos fundamentais da matemática que lhes permita apreciar o seu valor e a sua natureza e (2) desenvolver a capacidade e confiança pessoal no uso da matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar.

“A educação matemática tem o objectivo de ajudar a desocultar a matemática

presente nas mais variadas situações, promovendo a formação de cidadãos

participativos, críticos e confiantes nos modos como lidam com a

matemática” (Ministério da Educação, 2001, p.58).

No mesmo documento é referido que o principal motivo para a existência de uma educação matemática ao longo de todo o ensino básico, dirigida a todos, é de origem cultural, dado que a matemática é uma herança cultural da humanidade e um modo de pensar e de aceder ao conhecimento, e que a Matemática escolar não deve privilegiar a aquisição de conhecimentos isolados e domínio de regras ou técnicas, devendo basear-se na resolução de problemas, na realização de raciocínios e promoção da comunicação.

2.2. Aprendizagem da Matemática

“Aprender Matemática é um direito básico de todas as pessoas – em

particular, de todas as crianças e jovens – e uma resposta a necessidades

individuais e sociais.” (Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999, p.17).

Todos, sem excepção, deverão ter a oportunidade de aprender matemática. Os fundamentos para esta aprendizagem são de ordem cultural, prática e cívica, directamente relacionados com o desenvolvimento das crianças e jovens enquanto indivíduos e membros de uma sociedade em constante evolução. A sociedade está cada vez mais matematizada, repleta de tecnologia, e os requisitos matemáticos evoluem de acordo com as suas necessidades. Se a sociedade evolui, também as escolas deverão transformar o seu ensino de forma a proporcionar aos alunos uma aprendizagem capaz de os habilitar a responder positivamente a essas necessidades e desafios. A sociedade espera que a escola garanta a todos os alunos oportunidades iguais de aprender, capacitando-os para o prolongamento da aprendizagem ao longo de toda a sua vida, com a finalidade de se tornarem cidadãos aptos a “compreender as questões em aberto numa sociedade tecnológica” (NTCM, 1991, p.5). Os alunos devem contactar, de forma apropriada, com as ideias e os processos primordiais da matemática, apreciando o seu valor e a sua natureza. Prontamente se depreende que a visão da aprendizagem da matemática como aquisição de algoritmos, realização de procedimentos rotineiros, memorização de regras ou

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desenvolvimento de capacidades sem as respectivas aplicações, são inadequadas e exíguas para alcançar os fins supracitados e para criar ambientes capazes de responder ao desejo de aprender dos alunos.

“A aprendizagem é um processo activo, dinâmico e contínuo, que é ao

mesmo tempo individual e social. As crianças são naturalmente curiosas e

desejosas de aprender. As suas primeiras experiências reflectem a excitação

da descoberta. No entanto, na escola, as limitações de tempo, espaço e

percepções colocam muitas vezes obstáculos a este processo natural,

encontrando as crianças ambientes que não lhes dão respostas ao seu desejo

de aprender” (NTCM, 1994, p.149).

A aprendizagem da matemática esteve, durante muito tempo, essencialmente associada ao treino e mecanização de procedimentos de cálculos, presentemente reconhecidos como insuficientes perante as necessidades do desenvolvimento das crianças e dos jovens, não se coadunando com as exigências da actual sociedade (Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999; Delgado, 2003). Assim, importa reflectir sobre o processo de aprendizagem da matemática, nomeadamente sobre o que significa aprender matemática e como se aprende matemática, visando aspectos essenciais desse complexo processo, como o desenvolvimento de competências, a natureza das actividades propostas e o importante papel das novas tecnologias.

2.2.1. Aprender matemática

A perspectiva de ensino ainda hoje generalizada, que não deixa por isso de ser estreita, limitada e empobrecida, é a que confina o processo de ensino aprendizagem, à execução de tarefas repetitivas e à resolução de problemas e exercícios a partir dos quais os alunos deverão procurar a (única) resposta correcta (Guimarães, 1996). As investigações realizadas no âmbito da educação e aprendizagem da matemática, em consonância com as mais diversas avaliações globais (nacionais e internacionais), têm posto em causa esta visão tradicionalista da aula de Matemática, indicando um ensino que não se quede pela transmissão de determinada informação e a formação de um conjunto de aptidões e hábitos considerados essenciais. As mais recentes propostas curriculares não se coadunam com a ideia de que saber Matemática passar por ter um conjunto de conhecimentos ou dominar esta ou aquela técnica de cálculo ou regra (Guimarães, 1996). Novas indicações educacionais sublinham a natureza dinâmica e interactiva da aprendizagem e a sua natureza interpessoal, defendendo-se o abandono da aprendizagem da matemática como uma acumulação de factos e técnicas, substituída por uma aprendizagem como um conjunto integrado de instrumentos que permitem atribuir sentido a situações matemáticas (Resnick, 1987, referido em NTCM, 1994).

“Os resultados da investigação em psicologia da cognição e em educação

matemática indicam que a aprendizagem ocorre quando os alunos assimilam

activamente nova informação e experiências e constroem os seus próprios

21

significados (Case and Bereiter 1984; Cobb and Steffe 1983; Davis 1984;

Hiebert 1986; Lampert 1986; Lesh and Landau 1983; Schoenfeld 1987)”

(NTCM, 1994, p.2).

Estas ideias foram defendidas por Polya em 1968 (citado em Ralha, 1992), quando apresentou o Princípio de Aprendizagem Activa que consistia, basicamente, em deixar que os alunos fossem tão livres quanto possível e que tomassem eles próprios a iniciativa (sempre que possível) durante o processo de aprendizagem. Neste sentido, um dos factores a reconsiderar é o papel do professor. A sua actuação que não poderá ser somente a de fornecedor de informação e funcionar como intermediário entre o manual adoptado e os alunos, passando a ser também um “organizador das actividades, um facilitador da aprendizagem, um dinamizador do trabalho, um companheiro de descoberta” (APM, 1988, p. 71). A aprendizagem deverá resultar como um produto da actividade criadora dos alunos e do professor. Ao professor são “exigidas acrescidas qualidades de iniciativa, trabalho, imaginação, organização” e deverá “imaginar propostas pedagógicas ricas, quer de situações problemáticas ou de resolução de problemas, quer de situações para desenvolver actividades de exploração e consequente tratamento matemático” (APM, 1988, p.72). Posteriormente às ideias de Polya, o National Research Counsil (NRC) referiu a construção da “própria” compreensão da matemática como o factor determinante e fundamental para uma boa aprendizagem da matemática.

“A pesquisa em educação oferece forte evidência de que os alunos apenas

aprendem bem matemática quando constroem a sua própria compreensão da

matemática. Para compreender o que aprendem, devem representar para si

mesmos os verbos de que está impregnado o currículo de Matemática:

“examinar”, “representar”, “transformar”, “resolver”, “aplicar”, “demonstrar”,

“comunicar”.” (NRC, 1989, pp.58-59).

Este processo decorre rapidamente quando os alunos, de uma certa forma, se incumbem da própria aprendizagem, nomeadamente ao trabalharem em grupo, ao envolverem-se em discussões e ao fazerem representações (NRC, 1989). A persistência do National Council of Teachers of Mathematics é um exemplo da importância atribuída ao tema e do esforço realizado no sentido de promoção da mudança das concepções “tradicionalistas” do ensino e aprendizagem da matemática acima referidas. Com a publicação das Normas para o currículo e a avaliação em

matemática escolar (1991) pretenderam alterar definitivamente a visão predominante que existia da aprendizagem da matemática. Nesse documento foram estabelecidos novos objectivos de aprendizagem para os alunos que pretendiam reflectir a importância da alfabetização matemática. Pretende-se que os alunos se tornem matematicamente

alfabetizados, ou seja, que adquiram a “capacidade individual para explorar, conjecturar, e raciocinar logicamente, bem como para utilizar com eficácia uma variedade de métodos matemáticos na resolução de problemas” (NTCM, 1994, p.7). Assim, os alunos devem aprender a dar valor à matemática, adquirir a confiança necessária na sua capacidade de fazer matemática, tornar-se aptos a resolver problemas matemáticos, aprender a comunicar e a raciocinar matematicamente.

22

As Normas estabelecidas assentam no desenvolvimento da cultura e do poder matemático de todos os alunos, ou seja, a aprendizagem da matemática está formulada em termos de aquisição do poder matemático:

“O poder matemático inclui a capacidade para explorar, conjecturar e

raciocinar logicamente; para resolver problemas não rotineiros; para

comunicar sobre matemática e através dela; e para estabelecer conexões

dentro da matemática e entre a matemática e outras actividades intelectuais.

O poder matemático também envolve o desenvolvimento da auto-confiança e

a predisposição para procurar, avaliar e usar informação quantitativa e

espacial na resolução de problemas e na tomada de decisões. O espírito

inventivo, a perseverança, a flexibilidade, a curiosidade e o interesse também

afectam a concretização do poder matemático” (NTCM, 1994, p.1).

É reforçada a concepção da aprendizagem da matemática fundamentada no seu reconhecimento como mais do que uma grande colecção de conceitos e capacidades a adquirir, reconhecendo que inclui métodos de investigação e de raciocínio, meios de comunicação e noções de contexto (NTCM, 1991). Mais recentemente, o NTCM elaborou o Principles and Standards for School

Mathematics (2000) no qual estabelece um princípio relativo à aprendizagem da Matemática assente na compreensão. De acordo com esse princípio, os alunos devem aprender matemática com base na compreensão, construindo activamente novo conhecimento a partir de experiências e conhecimentos antecedentes. Aprender matemática requer compreensão e capacidade de aplicar procedimentos, conceitos e processos (NTCM, 2000). Segundo o NTCM, pesquisas educacionais e psicológicas sobre a aprendizagem de assuntos complexos como a matemática têm estabelecido um papel importante da compreensão conceptual no conhecimento e actividade das pessoas que são proficientes. A proficiência matemática pressupõe a capacidade de usar os conhecimentos de forma flexível aplicando, o que é aprendido numa situação, de forma adequada noutra.

“Compreensão conceptual é uma componente essencial do conhecimento

necessário para lidar com novos problemas e cenários. (…) A mudança é uma

característica omnipresente da vida contemporânea, portanto aprender com

compreensão é essencial para capacitar os estudantes a usar o que eles

aprendem na resolução dos novos tipos de problemas que enfrentarão

inevitavelmente no futuro"8 (NTCM, 2000, p.20).

Os estudantes que memorizam factos ou procedimentos sem compreensão têm dificuldades em saber como e quando aplicar o que sabem, tratando-se de um conhecimento caracterizado pela sua fragilidade (Bransford, Brown, and Cocking, 1999, referidos em NTCM, 2000). A aprendizagem baseada na compreensão facilita as

8 Tradução do autor.

23

aprendizagens subsequentes, e certamente fará mais sentido e será mais fácil de recordar e de aplicar os novos conhecimentos quando estes são relacionados com conhecimentos já existentes. Também potencia a formação de alunos capazes de aprender autonomamente, dado que os alunos aprenderão mais e melhor se definirem os próprios objectivos de aprendizagem e monitorizarem os progressos alcançados. Para tal, os alunos deverão ter a oportunidade de realizar actividades adequadas afim de se tornarem confiantes na suas capacidades de exploração de problemas considerados à priori como difíceis, flexíveis na exploração de ideias matemáticas e na procura de diferentes soluções alternativas, conduzindo-os à perseverança. Durante as aprendizagens, os alunos deverão reconhecer a importância de reflectirem sobre os seus pensamentos e de aprenderem com os erros que entretanto vão cometendo, sempre associados à satisfação da resolução de problemas matemáticos (NTCM, 2000). Como já anteriormente foi referido, a última reorganização curricular do ensino básico português estabeleceu, pela primeira vez, um currículo assente no desenvolvimento de competências. O estudo A Matemática na Educação Básica (Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999), que precedeu e antecipou a definição dessas competências, apresentou um conjunto de ideias fundamentais sobre o processo de aprendizagem da matemática:

- A aprendizagem requer que os alunos se envolvam em actividades significativas,

isto é, vivam experiências concretas que atribuam sentido aos novos conteúdos;

- Para além da participação em actividades concretas é necessário que haja uma

reflexão sobre essas actividades, ou seja, o objectivo será sempre a natureza da

actividade intelectual do aluno e não os recursos utilizados;

- Para valorizar capacidades de pensamento e raciocínio dos alunos é necessário

criar condições para que se envolvam em actividades adequadas a esses fins;

- As actividades proporcionadas aos alunos deverão conter elementos de

compreensão, raciocínio e resolução de problemas, pois a sua ausência poderá

conduzir a dificuldades na realização de procedimentos simples.

- O desenvolvimento do conhecimento de termos, factos e procedimentos e o

desenvolvimento da capacidade de raciocinar e resolver problemas deverá ser

simultâneo e apoiando-se mutuamente (é o caso da definição de conceitos ou uso

de linguagem simbólica adequada que deverá surgir para o aluno como uma

necessidade no seu raciocínio e argumentação e não como uma imposição);

- É importante que os alunos experimentem actividades que lhes permitam

estabelecer relações com o que já sabem, que vejam as mesmas coisas de outros

ângulos ou noutros contextos de forma a construírem gradualmente o seu

conhecimento;

24

- Cometer erros, responder com imperfeição ou de forma incompleta é algo próprio

do processo de aprendizagem, permitindo perceber a origem dos erros,

compreender as dificuldades em causa, contribuindo para uma aprendizagem mais

significativa; o facto de um aluno ter sucesso ou insucesso numa actividade não é

sinónimo que tenha ou não compreendido inteiramente o assunto em causa, isto é,

não garante que o aluno tenha, a partir do momento, sempre presente o assunto ou

que não venha alguma vez a compreende-lo, respectivamente;

- Se os alunos estiverem motivados para a realização das actividades, certamente se

envolverão mais na exploração e compreensão do que esta envolve (a motivação, a

par de outros aspectos afectivos, são factores determinantes na aprendizagem; a

motivação dependerá da maior ou menor identificação do aluno com as

actividades propostas e daí a necessidade de ter em atenção as diferentes

experiências e predisposições dos alunos);

- As concepções que os alunos têm da Matemática e do seu papel na aula de

Matemática são muito importantes; os alunos não estão habituados a valorizar os

processos de pensamento, pois normalmente limitam-se a aplicar procedimentos e

esperar por uma das respostas “certo” ou “errado”, em consonância com a visão

que têm da ciência e da disciplina e que certamente está relacionado com as

experiências e actividades que lhe foram proporcionadas nas aulas de Matemática;

- O ambiente de aprendizagem que se vive nas aulas também é determinante; é

necessário valorizar o envolvimento do aluno em processos de pensamento, de

raciocínio e de argumentação lógica em detrimento da resposta rápida e certa (pp.

24-28).

Segundo Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999), aprender matemática é desenvolver capacidades que possibilitem ao aluno ser independente, competente, crítico e confiante nos aspectos com que se depara ao longo da sua vida, directa ou indirectamente relacionados com a matemática. Alguns autores defendem que “saber matemática” significa ou implica conhecer factos matemáticos, saber usá-los em “novas situações” e saber pensar matematicamente. No entanto, segundo Matos (2004) é necessário que exista algum conhecimento prévio acerca das “novas situações” para que seja realmente possível a aplicação dos factos matemáticos, principalmente em situações não matemáticas. O desenvolvimento do pensamento matemático, o saber pensar matematicamente, é apontado como umas das principais razões para o ensino da matemática, e assumindo que pensar matematicamente significa ou passa por ter um ponto de vista matemático sobre as

25

coisas, é fundamental promover o desenvolvimento desse ponto de vista nos nossos alunos, o que envolve necessariamente o conhecimento de factos matemáticos e a análise de situações usualmente consideradas fora do âmbito da matemática (sejam consideradas aplicações da matemática, modelação matemática, matemática realista, investigações, ou outras) (Matos, 2004).

“Daqui decorre que aprender matemática não pode ser entendido como

adquirir (e demonstrar) certas destrezas no jogo de linguagem em que se pode

transformar o trabalho na matemática escolar. Aprender matemática é um

elemento residual do envolvimento dos alunos em práticas que envolvam a

necessidade da percepção e do desenvolvimento de um ponto de vista

matemático sobre as coisas.” (Matos, 2004, p.5).

Actualmente, as teorias da aprendizagem assentam o processo de aprendizagem no desenvolvimento de um conjunto de competências. Diversos países, entre os quais está Portugal, redefiniram os seus currículos segundo estas orientações, tendo como grande e principal objectivo a formação de pessoas “competentes” e, mais concretamente na disciplina de matemática, de pessoas matematicamente competentes.

2.2.2. Ser matematicamente competente

No que concerne à definição de competências matemáticas e estabelecimento do processo de ensino aprendizagem da matemática baseado no desenvolvimento de competências, o projecto dinamarquês KOM – Kompetencer Og Matematiklæring (Competências e Aprendizagem em Matemática) (Niss, 2006) é certamente, um dos mais reconhecidos internacionalmente. Este projecto foi realizado por indicação do Ministério da Educação da Dinamarca e do Conselho Nacional para Ciências e Educação Matemática dinamarquês, depois de constatada a existência de um conjunto vasto de problemas e desafios em todos os níveis do ensino e aprendizagem da matemática, nomeadamente a questão da utilidade da matemática que é ensinada a todos os cidadãos em geral na era dos computadores, das calculadoras e outras tecnologias, e a clivagem acentuada entre a matemática ensinada e a forma como era ensinada nos diversos níveis de educação (Niss, 2003). O projecto tinha por objectivo resolver estes problemas e outras questões relevantes da educação matemática dinamarquesa, em todos os níveis de ensino, e elaborar uma abordagem unificadora, de forma a incluir todas as áreas e todos os níveis educacionais (Niss, 2003, 2006). Os responsáveis pelo projecto iniciaram o seu trabalho pela tentativa de resposta à questão “O que significa dominar a Matemática?” (Niss, 2006, p. 32), que lhes permitiria direccionar todo o desenvolvimento do trabalho. A resposta encontrada foi “Dominar matemática significa possuir competence matemática” (Niss, 2003, p. 6). O termo competence não é traduzido por competência (por agora), porque o autor sugere dois termos diferentes com significados distintos, passíveis da mesma tradução: competence e competency. Segundo Niss (2003), possuir competence (ser competente) nalgum domínio da vida pessoal, profissional ou social, implica dominar determinados aspectos essenciais da vida nesse domínio e, particularmente:

26

“ (…) significa conhecer, compreender, fazer, usar e possuir uma opinião

bem fundamentada sobre a Matemática em uma variedade de situações e de

contextos onde ela tem ou pode vir a ter um papel.

Uma competency matemática é uma componente principal da competence

matemática.” (Niss, 2006, p.32).

Portanto, competence matemática refere-se à capacidade de compreender, julgar, fazer e utilizar a matemática em diversos contextos matemáticos ou extramatemáticos, ou seja, refere-se ao domínio global da Matemática. A competency é um dos (principais) componentes da competence matemática (Niss, 2003, 2006). Perante o exposto, percebe-se que possuir competence matemática poderá ser entendido como ser matematicamente competente e competency refere-se às competências a desenvolver para se alcançar essa competência matemática. No projecto KOM identificaram oito competências (competencies

9), estabelecidas em dois grupos de quatro:

“1.º Grupo – Habilidade para perguntar e responder perguntas em Matemática e com a Matemática.

Competência de pensamento matemático – dominar modos matemáticos de pensamento:

• entender e lidar com as origens, os escopos e as limitações de determinados

conceitos;

• abstrair conceitos e generalizar resultados;

• distinguir os vários tipos de proposições matemáticas, como definições,

teoremas, conjecturas e preposições concernentes a objectos únicos e casos

particulares;

• ter consciência dos tipos de perguntas típicas da Matemática e insights

sobre os tipos de respostas esperadas;

• possuir habilidade de propor tais perguntas.

Competência no tratamento de problemas – formular e resolver problemas matemáticos:

• descobrir, formular, delimitar e especificar problemas matemáticos – puros

ou aplicados, abertos ou fechados;

• possuir habilidade de resolver problemas propostos por si próprio ou por

outros e de modos diferentes, se assim o desejar.

Competência de modelagem – ser capaz de analisar e construir modelos matemáticos concernentes a outras áreas:

9 Plural de competency.

27

• analisar os fundamentos e as propriedades dos modelos existentes e avaliar

sua abrangência e validade;

• executar modelagem activa em determinado contextos, isto é, estruturar e

matematizar situações, manejar o modelo resultante, tirar conclusões

matemáticas, validar o modelo, analisá-lo criticamente, comunicar factos

sobre ele e controlar o processo.

Competência de raciocínio – estar apto a raciocinar matematicamente: • acompanhar e avaliar o raciocínio matemático de outrem;

• entender o que é uma demonstração (e o que não é) e como ela difere de

outros modos de raciocínio;

• entender a lógica subjacente a um contra-exemplo;

• descobrir as ideias principais em uma demonstração;

• planejar e colocar em prática argumentos informais e formais, incluindo a

transformação de um raciocínio heurístico em uma demonstração válida.

2º Grupo – Habilidade para lidar com

a linguagem matemática e seus instrumentos

Competência de representação – poder manejar diferentes representações de entidades matemáticas:

• compreender (decodificar, interpretar, distinguir) e utilizar vários tipos de

representações de entidades matemáticas;

• entender as relações entre representações diferentes da mesma entidade;

• escolher, fazer uso de e alternar representações diferentes.

Competência em simbologia e formalismo – estar apto a manejar a linguagem e os sistemas matemáticos formais:

• decodificar a linguagem simbólica e formal;

• traduzir bilateralmente a linguagem simbólica e a linguagem natural;

• manejar e utilizar proposições simbólicas e expressões, inclusive fórmulas;

• compreender a natureza dos sistemas matemáticos formais.

Competência de comunicação – estar apto a se comunicar em, com e sobre a Matemática:

• compreender, examinar e interpretar tipos diferentes de expressões

matemáticas ou textos escritos, orais ou visuais;

• expressar com precisão ou de modos diferentes e em níveis diferentes

assuntos matemáticos para vários níveis de audiências.

28

Competência em instrumentos e acessórios – estar apto a fazer uso e estabelecer relações com instrumentos e acessórios em Matemática:

• ter conhecimento da existência e das propriedades de diferentes

instrumentos e de acessórios relevantes para a actividade matemática (por

exemplo, réguas, bússolas, … , calculadoras, computadores e internet);

• ter insights sobre as possibilidades e as limitações de tais instrumentos;

• usar instrumentos e acessórios de maneira refletida.”

(Niss, 2006, pp. 33-35)10. As competências abarcam todos os níveis educacionais e percorrem todos os tópicos da matemática. Todas elas são realizadas em processos mentais ou físicos, actividades e comportamentos, o que as define como comportamentais. As competências estabelecidas, embora distintas e bem delineadas, são intimamente relacionadas entre si, dado que a concretização de uma pode implicar a concretização de um conjunto de outras (Niss, 2003, 2006). Todas as competências têm uma faceta dual dado que têm um aspecto analítico e um aspecto produtivo. O aspecto analítico das competências enfatiza a habilidade de um indivíduo para entender, interpretar, acompanhar, relacionar, analisar e julgar fenómenos e processos matemáticos, nomeadamente o trabalho de outros sobre actividades abarcadas por aquela competência, e o aspecto produtivo incide na construção activa ou levada a cabo do processo, ou seja, enfatiza a própria busca independente do indivíduo em relação às actividades atrás referidas (Niss, 2003, 2006). A definição do currículo de Matemática em termos de competências também ocorreu no nosso país. Com a última reorganização curricular do ensino básico português, O

Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais (Ministério da Educação, 2001) determinou as finalidades do ensino básico e, consequentemente, do ensino e aprendizagem da matemática em termos de um conjunto de competências consideradas essenciais que os alunos deverão adquirir ao longo do seu percurso escolar no ensino básico. Aí é assumida a seguinte noção de competência:

“Adopta-se aqui uma noção ampla de competência, que integra

conhecimentos, capacidades e atitudes e que pode ser entendida como saber

em acção ou em uso. Deste modo, não se trata de adicionar a um conjunto de

conhecimentos um certo número de capacidades e atitudes, mas sim de

promover o desenvolvimento integrado de capacidades e atitudes que

viabilizam a utilização dos conhecimentos em situações diversas, mais

familiares ou menos familiares ao aluno.” (Ministério da Educação, 2001,

p.9).

10 Itálico e negrito conforme o autor.

A definição original (em inglês) destas competências pode ser consultada em Niss, M. (2003)

Mathematical competencies and the learning of mathematics: the danish KOM project. em

http://www7.nationalacademies.org/mseb/Mathematical_Competencies_and_the_Learning_of_Mathemat

ics.pdf.

29

O documento supracitado não refere concretamente a procedência para esta ampla noção de competência. No entanto, esta não está muito distante da noção de competência de Basil Bernstein e aproxima-se bastante do que Wenger afirma a este respeito (Fernandes e Matos, 2004), principalmente quando no documento é estabelecido mais concretamente que:

“A competência diz respeito ao processo de activar recursos (conhecimentos,

capacidades, estratégias) em diversos tipos de situações, nomeadamente

situações problemáticas. Por isso, não se pode falar de competência sem lhe

associar o desenvolvimento de algum grau de autonomia em relação ao uso

do saber” (Ministério da Educação, 2001, p.21).

N’O Currículo Nacional do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2001) as competências essenciais estão definidas em duas categorias: competências gerais a serem desenvolvidas ao longo do todo o ensino básico, e competências específicas que dizem respeito a cada uma das áreas disciplinares, em termos globais do ensino básico e para cada um dos três ciclos que o compõem. O desenvolvimento das competências específicas de cada área disciplinar, como a Matemática, deverá ser “ser visto como um contributo, a par e em articulação com outros para a promoção das competências gerais do ensino básico” (p. 58). Assim, são dez as competências gerais definidas para o ensino básico:

“À saída da educação básica, o aluno deverá ser capaz de:

1) Mobilizar saberes culturais, científicos e tecnológicos para

compreender a realidade e para abordar situações e problemas do

quotidiano;

2) Usar adequadamente linguagens das diferentes áreas do saber cultural,

científico e tecnológico para se expressar;

3) Usar correctamente a língua portuguesa para comunicar de forma

adequada e para estruturar pensamento próprio;

4) Usar línguas estrangeiras para comunicar adequadamente em situações

do quotidiano e para apropriação de informação;

5) Adoptar metodologias personalizadas de trabalho e de aprendizagem

adequadas a objectivos visados;

6) Pesquisar, seleccionar e organizar informação para a transformar em

conhecimento mobilizável;

7) Adoptar estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de

decisões;

30

8) Realizar actividades de forma autónoma, responsável e criativa;

9) Cooperar com outros em tarefas e projectos comuns;

10) Relacionar harmoniosamente o corpo com o espaço, numa perspectiva

pessoal e interpessoal promotora da saúde e da qualidade de vida.”

(Ministério da Educação, 2001, p. 15).

Fica subentendido que o objectivo fundamental da aprendizagem da matemática é formar pessoas matematicamente competentes o que envolve, de forma integrada, “um conjunto de atitudes, de capacidades e de conhecimentos relativos à Matemática” (Ministério da Educação, 2001. p.57). Ao longo da sua instrução básica os alunos deverão adquirir as seguintes competências específicas na disciplina de Matemática:

• “A predisposição para raciocinar matematicamente, isto é, para explorar

situações problemáticas, procurar regularidades, fazer e testar conjecturas,

formular generalizações, pensar de maneira lógica;

• O gosto e a confiança pessoal em realizar actividades intelectuais que

envolvem raciocínio matemático e a concepção de que a validade de uma

afirmação está relacionada com a consistência da argumentação lógica, e

não com alguma autoridade exterior;

• A aptidão para discutir com outros e comunicar descobertas e ideias

matemáticas através do uso de uma linguagem, escrita e oral, não ambígua e

adequada à situação;

• A compreensão das noções de conjectura, teorema e demonstração, assim

como das consequências do uso de diferentes definições;

• A predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e a

aptidão para desenvolver processos de resolução, assim como para analisar

os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas;

• A aptidão para decidir sobre a razoabilidade de um resultado e de usar,

consoante os casos, o cálculo mental, os algoritmos de papel e lápis ou os

instrumentos tecnológicos;

• A tendência para procurar ver e apreciar a estrutura abstracta que está

presente numa situação, seja ela relativa a problemas do dia-a-dia, à

natureza ou à arte, envolva ela elementos numéricos, geométricos ou ambos;

31

• A tendência para usar a matemática, em combinação com outros saberes,

na compreensão de situações da realidade, bem como o sentido crítico

relativamente à utilização de procedimentos e resultados matemáticos”.

(Ministério da Educação, 2001, p.57).

A investigação de carácter prático deste trabalho recai na unidade temática de iniciação do estudo das funções no 8º ano de escolaridade. A seguir exploram-se as competências especificamente associadas ao tema no ensino básico.

Competências associadas ao tema Funções

O tema Funções é reconhecido como um dos tópicos centrais da Matemática. Dada a sua importância, o estudo deste tema ganha especial relevância e interesse na matemática escolar. Em Portugal, o estudo do tema começa no primeiro ano do 3º Ciclo do Ensino Básico e prolonga-se por todos os anos de escolaridade até à conclusão do Ensino Secundário. Inicia-se com o estudo da “Proporcionalidade Directa” no 7º ano de escolaridade, seguida do “Conceito de Função” e ”A proporcionalidade directa como função kxx → ” no 8º ano, e da “Proporcionalidade inversa” e “Análise de gráficos que traduzem situações da vida real” no 9º ano. O Ensino Secundário contempla o estudo de generalidades sobre funções e gráficos, as funções polinomiais e a função módulo no 10º ano, e uma introdução ao cálculo diferencial no 11º e 12º anos, onde se incluem o estudo das funções exponencial, logarítmica e trigonométricas. Com a implementação dos programas de Matemática de 1991 do ensino básico (1º, 2º e 3º Ciclos) baseados na “pedagogia por objectivos” (Ponte, Boavida, Graça e Abrantes, 1997), foram formulados os objectivos educacionais em termos de comportamentos observáveis em vários domínios – atitudes e valores, capacidades e aptidões, e cognitivos – e apresentados os objectivos específicos para todos as áreas temáticas (ver Direcção Geral do Ensino Básico e Secundário, 1991). Não obstante a validade destes programas, a publicação d’O Currículo Nacional do Ensino Básico: Competências

Essenciais (Ministério da Educação, 2001) estabeleceu novas orientações curriculares formuladas em termos de competências a adquirir por área disciplinar e, mais concretamente, em cada um dos temas matemáticos a abordar – Números e Cálculo, Geometria, Estatística e Probabilidades, Álgebra e Funções – e de experiências de aprendizagem a proporcionar aos alunos na Matemática (Ponte, 2002). Assim, no domínio das funções aponta os seguintes aspectos que os alunos deverão desenvolver ao longo de todos os Ciclos do Ensino Básico para alcançarem a competência matemática desejada:

• “A predisposição para procurar padrões e regularidades e para

formular generalizações em situações diversas, nomeadamente em

contextos numéricos e geométricos;

32

• A aptidão para analisar as relações numéricas de uma situação,

explicitá-las em linguagem corrente e representá-las através de

diferentes processos, incluindo o uso de símbolos;

• A aptidão para construir e interpretar tabelas de valores, gráficos,

regras verbais e outros processos que traduzam relações entre

variáveis, assim como para passar de umas formas de representação

para outras, recorrendo ou não a instrumentos tecnológicos;

• A aptidão para concretizar, em casos particulares, relações entre

variáveis e fórmulas e para procurar soluções de equações simples;

• A sensibilidade para entender e usar as noções de correspondência e

de transformação em situações concretas diversas”

(Ministério da Educação, 2001, p.66). A estas competências, acrescem outras específicas para o 3º Ciclo:

• “O reconhecimento do significado de fórmulas no contexto de

situações concretas e a aptidão para usá-las na resolução de

problemas;

• A aptidão para usar equações e inequações como meio de representar

situações problemáticas e para resolver equações, inequações e

sistemas, assim como para realizar procedimentos algébricos simples;

• A compreensão do conceito de função e das facetas que pode

apresentar, como correspondência entre conjuntos e como relação

entre variáveis;

• A aptidão para representar relações funcionais de vários modos e

passar de uns tipos de representação para outros, usando regras

verbais, tabelas, gráficos e expressões algébricas e recorrendo,

nomeadamente, à tecnologia gráfica;

• A sensibilidade para entender o uso de funções como modelos

matemáticos de situações do mundo real, em particular nos casos em

que traduzem relações de proporcionalidade directa e inversa”.

(Ministério da Educação, 2001, p.67).

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2.2.3. Natureza das Actividades

Apesar dos esforços realizados, a imagem que persiste da aula de matemática assenta em concepções tradicionalistas. A visão da aula de matemática como a aula que inicia com a correcção do trabalho de casa, seguida da revisão da aula anterior, apresentação de nova matéria com resolução de alguns exemplos de aplicação e inicio de treino de novos exercícios, infelizmente mantém-se (APM, 1988, 1998; NTCM, 1994). Os alunos estão envolvidos na mesma tarefa, planeada, iniciada e controlada pelo professor e estruturada para o nível do aluno médio. Os principais modos de ensinar são a exposição do professor, o trabalho no quadro, as perguntas e respostas, complementados com o trabalho sentado no lugar, a prática sistemática e a ajuda individual aos alunos que revelam mais dificuldades. É uma visão pobre, aborrecida e rotineira da matemática escolar, e em geral, da Matemática. Perante este cenário a matemática confunde-se com a memorização e aplicação mecanizada de uma colecção de regras e fórmulas desprovidas de qualquer significado, tratando-se de “métodos que têm conduzido a uma imagem falsa da Matemática – uma ciência morta que se limita a aplicar velhas fórmulas a velhos problemas” (APM, 1988, p.53). De acordo com as Normas profissionais para o ensino da Matemática (NTCM, 1994), a aprendizagem da matemática por parte dos alunos depende do ambiente da aula, do tipo de actividade, do seu envolvimento nessa actividade e do discurso em que participam, isto é, o que os alunos aprendem está essencialmente relacionado com o modo como aprendem. A extensão e qualidade das aprendizagens realizadas pelos alunos dependem de diversos factores, em que, certamente, um dos mais relevantes é o tipo de actividades propostas aos alunos. Já em 1988, a Associação de Professores de Matemática (APM, 1988) insistia que “o factor decisivo na transformação positiva da matemática escolar não é a alteração dos conteúdos nem a introdução de novas tecnologias, mas sim a mudança profunda nos métodos de ensino, na natureza das actividades” (p.55), dado que a aprendizagem da matemática resulta como um produto da actividade desenvolvida. O NTCM (1994) definiu o termo actividade como "projectos, questões, problemas, construções, aplicações ou exercícios, em que os alunos se envolvem e que proporcionam os contextos intelectuais para o desenvolvimento dos alunos” (p. 22). Pede-se aos professores que proporcionem aos alunos actividades matematicamente

válidas, isto é, actividades que assentem numa base matemática sólida e significativa, no conhecimento das aptidões, interesses e experiências dos alunos, e no conhecimento da variedade de formas pelas quais diversos alunos aprendem matemática. As actividades deverão: (1) apelar à inteligência dos alunos, (2) desenvolver a compreensão e aptidões matemáticas dos alunos, (3) estimular os alunos a estabelecer conexões e a desenvolver um enquadramento coerente para as ideias matemáticas, (4) apelar à formulação e resolução de problemas e ao raciocínio matemático, (5) promover a comunicação sobre matemática, (6) mostrar a matemática como uma actividade humana permanente, (7) ter em atenção e assentar em diferentes experiências e predisposições dos alunos e (8) promover o desenvolvimento da predisposição de todos os alunos para fazer matemática (NTCM, 1994). A Associação de Professores de Matemática (APM, 1988) apontou a resolução de problemas, o desenvolvimento de modelos matemáticos, as actividades de exploração, investigação e descoberta, a formulação de conjecturas, discussão e comunicação, a argumentação e prova e a construção de conceitos, como as actividades essenciais a desenvolver na disciplina. A resolução de problemas deverá ser uma das actividades

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privilegiadas na aula de Matemática porque se trata de uma actividade “natural” da Matemática dado que o seu desenvolvimento tem surgido da resolução dos mais diversos problemas internos ou externos à própria ciência, que transporta os alunos para outras actividades como a discussão de estratégias, a argumentação, a prova, a crítica dos resultados, a construção de conceitos e a criação da necessidade de utilização de uma simbologia matemática, para além de que a proficiência na resolução de problemas constitui um objectivo importante da Matemática e geral da escola. O desenvolvimento de modelos matemáticos é uma actividade em que normalmente os alunos estão muito interessados e envolvidos desde a sua concepção, consistindo em trabalhos com alguma extensão no tempo e possivelmente constituído por diversas actividades com um intuito geral. Realizar uma actividade de exploração e de descoberta significa “entrar em terreno desconhecido, recolher dados, detectar diferenças, ser sensível às repetições e às analogias, reconhecer regularidades e padrões – ou porventura um sentido ainda mais forte – investigar, procurar, encontrar e descobrir” (APM, 1988, p. 59). A exploração conduz à formulação de conjecturas que apela ao uso de capacidades intelectuais como o espírito de observação, a sistematização de resultados parcelares, a imaginação e o poder de abstracção, e à conjecturação seguem-se a argumentação e a demonstração.

“Na realidade, se pretendessemos sintetizar em poucas palavras o que é fazer

matemática, a sequência de palavras … exploração/conjectura/

argumentação/prova-reformulação da conjectura… poderia bem constituir um

ponto de partida para essa síntese.” (APM, 1988, p. 62).

Por fim, a construção de conceitos trata-se de um processo de interiorização realizado através da relação que o aluno assume com a situação que é confrontado e a partir da comunicação e argumentação com os seus colegas e o professor. Posteriores extrapolações do conceito perante situações distintas com estrutura análoga indicam-nos o significado atribuído pelo aluno a esse conceito e, sobretudo, se foi realmente interiorizado (APM, 1988). A APM (1988) também preconizou que as actividades devem ser organizadas de modo que os alunos tenham a oportunidade de trabalhar individualmente, em pequeno grupo e em grande grupo, devendo existir um equilíbrio entre estas três formas de organização do trabalho para o êxito da aprendizagem. O trabalho em pequeno grupo permite aos alunos expor as suas ideias, ouvir as dos seus colegas, colocar questões, debater estratégias e soluções, argumentar e criticar os argumentos e ideias de outrem. Os alunos encontram um espaço para explicar e verificar os seus raciocínios sem recorrerem constantemente à ajuda e juízo do professor, e onde é mais fácil avançar opiniões e descobertas, exprimir pensamentos, conduzindo os alunos para a necessidade adopção de uma linguagem matemática. As discussões em grande grupo surgem como excelentes oportunidades de síntese, critica e resumo de estratégias, ideias ou conjecturas que tenham resultado do trabalho realizado a nível individual ou em pequeno grupo (APM, 1988). Os alunos deverão envolver-se em actividades significativas, onde vivam experiências concretas que atribuam sentido aos novos conteúdos, em que haja uma reflexão sobre essa actividade (o objectivo será sempre a natureza da actividade intelectual do aluno e não os recursos utilizados, o mesmo que se pretende com o uso dos robots nesta investigação). As actividades devem ser adequadas à valorização das capacidades de

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pensamento e raciocínio dos alunos, contendo elementos de compreensão, raciocínio e resolução de problemas, pois a sua ausência poderá conduzir a dificuldades na realização de procedimentos simples (Abrantes et al., 1999). Assim, deverão ter como ponto de partida problemas ou situações problemáticas, como por exemplo, fenómenos do mundo físico que se pretende matematizar (APM, 1988, Abrantes et al., 1999). A motivação e interesse, factores determinantes na aprendizagem do aluno, dependerão fortemente da sua identificação com as actividades propostas e daí a necessidade de ter em atenção as diferentes experiências e predisposições dos alunos, até porque é importante que estas lhes proporcionem o estabelecimento de conexões com conhecimentos aprendidos anteriormente (Abrantes et al., 1999). A Matemática é um instrumento poderoso de conhecimento e compreensão da realidade que nos rodeia. Os alunos deverão ser confrontados com tarefas abrangentes, conduzindo-os à resolução de problemas, à analise de situações e à utilização e aplicação de uma série de técnicas e perspectivas para lidar com novas situações problemáticas, conduzindo-os à alfabetização matemática e ao desenvolvimento do raciocínio matemático. Com a aquisição de uma cultura matemática e do poder

matemático estarão “mais aptos a interpretar vastas quantidades de dados, situações e problemas na sua vida futura e a ser pensadores flexíveis, analíticos e críticos, tanto dos seus próprios resultados, como dos argumentos dos outros” (Guimarães, 1996, p.14).

2.2.4. Tecnologias na aula de Matemática

Para além de todos os aspectos já referidos a ter em consideração na concepção e aplicação de actividades na sala de aula, é fundamental não esquecer o contexto tecnológico que os nossos alunos experienciam no seu quotidiano. As novas tecnologias têm introduzido implicações profundas na sociedade, nomeadamente ao nível das actividades profissionais, da cidadania, da cultura e, consequentemente, ao nível educacional. O ritmo de desenvolvimento da sociedade contemporânea é pautado pela força das novas tecnologias, que determinam o progresso da vida económica, social e cultural das sociedades. As primeiras experiências de utilização de novas tecnologias no ensino da Matemática remontam aos anos 60 e o uso das calculadoras na aula de Matemática surgiram na década de 70, originando um grande debate sobre o seu papel no ensino da Matemática. Durante os anos 80 assistiu-se ao crescimento acentuado da introdução e exploração do uso do computador no ensino da Matemática e no final dessa década as novas tecnologias entram “de um modo mais directo” nas aulas da disciplina (Ponte e Canavarro, 1997). Actualmente, são inúmeros os estudos e experiências de utilização lectiva das novas tecnologias, principalmente do computador. Multiplicam-se os ensaios de novas abordagens dos conteúdos programáticos experimentando-se novas metodologias de trabalho baseadas na utilização da tecnologia. Estudam-se constantemente os papéis de tais tecnologias e dos alunos no processo de ensino-aprendizagem da Matemática. As novas tecnologias provocaram o aparecimento de novos saberes e novas competências (Ponte e Canavarro, 1997). Numa fase inicial, toda a aplicação da matemática através do uso do computador era realizado por programação. Os alunos eram envolvidos na escrita de programas, supondo-se que lhes permitisse aprofundar a compreensão dos conteúdos matemáticos

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subjacentes (Fey, 1991). Apesar de reconhecer que os estudos até então realizados não indicariam todas a vantagens da programação, Fey (1991) recolheu alguns aspectos positivos decorrentes da sua utilização. O autor acredita que a aquisição da destreza de programação desenvolverá hábitos mentais úteis em diversos aspectos relacionados com a aprendizagem da Matemática: os alunos “programadores” utilizarão abordagens mais activas e sistemáticas na resolução de problemas e, mais frequentemente, corrigirão os erros e verificarão as potenciais soluções; implícito à aplicação do poder de programação está o esboço de um algoritmo adequado e é muito importante para os alunos de Matemática aprenderem algoritmos eficazes para a resolução de problemas e desenvolverem uma capacidade mais geral para criar soluções algorítmicas para novos problemas. Estas concepções são defendidas por Ponte (1997) ao afirmar que a aprendizagem da programação, independentemente da linguagem usada (dado tratar-se de um meio e não um fim) e desde que convenientemente dirigida, favorece uma atitude positiva face ao erro e um espírito sistemático no processo de detecção de erros e consequente aperfeiçoamento do conhecimento ganhando “consciência do carácter relativo, transitório e sempre susceptível de aperfeiçoamento do nosso conhecimento” (p.85), salientando também o carácter organizado desse tipo de actividades, necessitando da elaboração de planos e a sucessiva decomposição do problema em problemas menores até atingir o estádio de tarefa de resolução relativamente simples. Um dos exemplos mais conhecidos é a linguagem de programação LOGO objectivamente criada para a exploração de tópicos disciplinares. Desenvolvida por Seymourt Papert e pesquisadores do MIT (Massachussets Institute Technology) no final da década de 60, pretendia ser um meio para a concretização de outros projectos, de outros objectivos educacionais que não a aprendizagem da programação (Chella, 2002; Ponte e Canavarro, 1997). O LOGO apresentava um interface com os utilizadores baseado na metáfora de movimentação de uma pequena tartaruga simbolizada por um objecto cibernético que se movimentava no ecrã, existindo algumas versões em que a tartaruga realmente existia sob a forma de um robot que se deslocava no chão e obedecia aos comandos comunicados através de fios de ligação ou raios infravermelhos. Esta linguagem poderia ser usada para resolver problemas de diversas índoles, nomeadamente relacionados com a simulação de processos físicos, ou biológicos (Ponte e Canavarro, 1997). Ao programar a tartaruga, os alunos estavam a aprender “a exercer controlo sobre um micromundo excepcionalmente rico e sofisticado” (Ponte, 1997, p. 84). Os micromundos são ambientes computacionais vocacionados para a realização de determinadas tarefas ou explorações, propícios ao desenvolvimento de certos conceitos ou estratégias de raciocínio por parte dos alunos (Ponte e Canavarro, 1997). Papert (referido em Ponte e Canavarro, 1997) justifica esta abordagem de utilização do computador no favorecimento de um “tipo de aprendizagem natural em ambiente não escolar” (p.32) e pelo apelo à participação activa dos alunos. Também destaca o papel que o computador poderá desempenhar no pensamento das pessoas, não porque lhes faça surgir facilmente o conhecimento e de forma pronto a usar, mas como factor de confiança e motivação, levando os alunos a sentirem-se capazes de realizar uma série de coisas que anteriormente considerariam muito difíceis ou impossíveis (Ponte, 1997). Outro aspecto positivo decorrente da sua utilização é o processo de aperfeiçoamento sucessivo de um programa, dado que para se obter um determinado efeito realiza-se um procedimento que, não correspondendo ao desejado e depois de devidamente analisado, conduzirá a novo procedimento, supostamente com um resultado mais refinado e aproximado do pretendido. Constatou-se que este tipo de utilização do computador

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levou a uma melhoria da relação dos alunos com a disciplina de Matemática e criava maior disposição para a sua aprendizagem (Ponte e Canavarro, 1997). Mais tarde, com o surgimento de programas de índole geral como as folhas de cálculo e os programas de desenho assistido, e a criação de softwares com fins educativos, o interesse pela programação esmoreceu. Apareceram os programas tutoriais e os programas de prática, entre outros. Os primeiros visam a explicação de novos conteúdos e conhecimentos através da apresentação sucessiva de ecrãs segundo uma sequência preestabelecida, em que o aluno avança de acordo com o seu próprio ritmo. Os segundos visam o treino dos alunos na resolução repetitiva de exercícios subordinados a determinado conteúdo (Ponte e Canavarro, 1997; Ponte, 1997). Os resultados das investigações infirmaram que este tipo de programas tinha um reduzido valor educacional, muito por culpa da posição passiva e dependente que os alunos mantêm na sua utilização, quando se pretenderia que assumissem a “responsabilidade” pela sua aprendizagem (Ponte, 1997). As indicações e orientações para a utilização de novas tecnologias, nomeadamente do computador e da calculadora, no ensino da Matemática são muitos e já provêm desde há algum tempo (APM, 1988, 1998; NRC, 1989; NTCM, 1991, 2000). As implicações da sua utilização verificam-se em todos os campos relacionados com o ensino da Matemática. É um factor contributivo para a consecução dos objectivos do ensino da Matemática, podendo (com actividades adequadas) favorecer a curiosidade, o gosto por aprender, a confiança, a autonomia, o espírito de tolerância e a cooperação, e ajuda os alunos a desenvolverem capacidades intelectuais mais elevadas como a capacidade de resolução de problemas, principalmente aqueles associados à interpretação e intervenção no mundo que os rodeia (Ponte e Canavarro, 1997). A aplicação da tecnologia é passível nos diversos conteúdos curriculares como demonstram as seguintes investigações: Susana Carreira (1992) conduziu uma investigação com alunos do 10º ano do estudo da trigonometria realizado num contexto de aplicação e modelação de situações do mundo real usando a folha de cálculo; Fátima Jorge (1994) realizou uma investigação sobre o computador e a Educação Matemática abordando o conteúdo das sucessões do 11º ano de escolaridade; Maria Fernandes (1997) levou a cabo uma investigação com alunos do 12º ano sobre os processos de aprendizagem do conceito de derivada em contextos computacionais. Porventura, as aplicações mais usuais das tecnologias na aula de Matemática são ao nível do cálculo e das funções, que estará associado à tecnologia mais desenvolvida e comum nas escolas. As máquinas de calcular gráficas e os computadores com softwares de manuseamento de funções (parâmetros e desenho de gráficos) podem ter um papel importante no estudo das funções. Por exemplo, a sobreposição de gráficos de várias funções, facilmente realizados com uma calculadora gráfica ou computador, possibilita o estudo da influência dos diversos parâmetros numa família de funções. Também relacionado com as funções, mas não exclusiva deste conteúdo, está uma das principais vantagens associadas ao uso das tecnologias: as representações. Segundo Fey (1991), uma das grandes potencialidades dos computadores reside na facilidade em passar de uma forma de representação de informação para outra, enquanto se procura a compreensão conceptual de um problema e da sua solução. Segundo o autor há vários motivos para considerar as múltiplas representações baseadas/realizadas em computadores:

1. O carácter dinâmico das representações de ideias e procedimentos matemáticos;

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2. A flexibilidade das representações em se adaptarem a propósitos concretos do indivíduo;

3. A representação gráfica constitui um intermediário para a abstracção; 4. A versatilidade gráfica do computador permite criar representações

matemáticas novas; 5. As representações computacionais constituem poderosos instrumentos

para a resolução de problemas (p. 61).

A utilização das tecnologias também permite aos professores de Matemática diversificarem as actividades que sugerem aos alunos. Estas podem contribuir fortemente para uma abordagem investigativa da aprendizagem da Matemática, isto é, para a realização de investigações e explorações que implica o desenvolvimento da capacidade de observação, do espírito crítico, a formulação e teste de conjecturas, a criação de argumentos convincentes e o desenvolvimento do raciocínio matemático (Ponte e Canavarro, 1997). A tecnologia aumenta o alcance e a qualidade das investigações porque providência meios de visualização de ideias matemáticas de múltiplas perspectivas (NTCM, 2000). A resolução de problemas também é favorecida pelo uso de tecnologias dado que proporcionam novas estratégias de resolução e permitem a abordagem de problemas com maior complexidade, isto é, de mais e melhores problemas realistas e relevantes, capazes de estimular o interesse dos alunos pela Matemática (Matos, Carreira, Santos e Amorim, 1994; Ponte, 1997; Ponte e Canavarro, 1997). Da mesma forma, a simulação e modelação são aspectos importantes da utilização das tecnologias. Simulações são programas que representam uma situação da vida real ou experimental, devendo haver um equilíbrio entre o realismo e a simplicidade, sendo instrumentos úteis para o estudo de fenómenos das diversas ciências, e modelação é o estudo de fenómenos reais construindo-se modelos abstractos que os representam. Os alunos são encorajados a fazer, testar, conjecturar, criar e avaliar modelos matemáticos, experimentando uma actividade matemática muito próxima da dos matemáticos (Carreira, 1992; Fey 1991). Contudo, as simulações e a modelação não devem substituir o estudo experimental (Ponte, 1997).

“O papel das novas tecnologias, e em particular do computador, na

construção e exploração de modelos matemáticos passa naturalmente pelas

potencialidades de manipulação de múltiplas representações matemáticas e

simbólicas que advêm da introdução de tais ferramentas.” (Matos et al., 1994,

p.9)

As novas tecnologias têm, geralmente, grande utilidade no desenvolvimento de trabalhos de projecto, funcionando com instrumento de apoio (elaboração de textos, realização de gráficos, etc.) ou mesmo de ferramenta principal se o objectivo do projecto passar, por exemplo, pelo desenvolvimento e aperfeiçoamento de um programa (Ponte, 1997). A utilização de tecnologias favorece a criação de novas dinâmicas na sala de aula, de ambientes de trabalho que estimulam a discussão e a partilha de ideias, que incentivam a formulação de conjecturas e a comunicação matemática (oral e escrita), nomeadamente através do tipo de dados e de argumentos usados pelos alunos, assim como a sua capacidade crítica perante argumentos alheios (Ponte e Canavarro, 1997).

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O uso eficiente da tecnologia nas aulas de matemática depende maioritariamente do professor, que deverá criar actividades matemáticas que tirem partido das vantagens do que a tecnologia faz bem e de forma eficiente (NTCM, 2000). No entanto, a tecnologia não pode substituir o professor de matemática, nem tão pouco pode ser usada como uma substituição para compreensões básicas e intuições, e caberá sempre ao professor a importante decisão sobre quando e como usar tecnologia, assegurando-se que a sua utilização está a contribuir para o desenvolvimento e aperfeiçoamento do pensamento matemático dos alunos (NTCM, 2000; Ponte 1997). O Princípio da Tecnologia estabelecido pelo NTCM (2000) concretiza, resumidamente, as ideias supra citadas:

“A tecnologia é essencial no ensino e aprendizagem da matemática;

influencia a matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos

alunos”11 (NTCM, 2000, p. 24).

Segundo o Princípio da Tecnologia, os alunos podem aprender mais matemática e mais profundamente com o uso apropriado e responsável de tecnologia. Esta influencia como a matemática é ensinada e aprendida, assim como, o que é ensinado e quando aparece no currículo, atendendo que os alunos podem debruçar-se sobre assuntos mais gerais, fazer e testar conjecturas e modelar e resolver problemas mais complexos antigamente inacessíveis para eles, trabalhando a níveis de generalização e abstracção mais altos (NTCM, 200). A tecnologia, para além de dar aos alunos a possibilidade e o poder necessário de resolver problemas mais difíceis, também lhes permite relacionar de forma mais intuitiva os vários domínios da matemática, como a geometria, a álgebra, a estatística e situações reais e os modelos matemáticos correspondentes (Ponte, 1992). A evolução tecnológica é vertiginosa e assoberba o dia-a-dia dos nossos alunos com máquinas cada vez mais poderosas e de simples utilização, que devidamente aproveitadas abrem novas possibilidades metodológicas, permitindo novas abordagens dos conteúdos curriculares. Os robots são um dos últimos exemplos dessa capacidade. Pequenos autómatos de fácil montagem e programação, providos de alguns sensores capazes de percepcionar características do meio envolvente, afiguram-se como ferramentas de grandes potencialidades metodológicas. Esta tecnologia insere-se no domínio da tecnologia do controlo, respeitante à automatização de máquinas, ferramentas e processos (Ponte, 1997).

Robótica Educacional

Não é consensual a origem da palavra “robot”. Algumas pesquisas indicam que a palavra provém da palavra checa robotnik, (ou robota) que significa servo ou trabalho forçado e terá sido utilizado pela primeira vez por Karel Capek em 1923 (Zilli, 2004). Etimologicamente é possível encontrar palavras muito semelhantes a “robot” como Arbaiths ou Arbeit que significam trabalho, e são de origem gótica e alemã respectivamente (Jímenez, 1996). Existem factos históricos que relatam a existência de objectos que seriam os primeiros “robots” da história, como o “Homem Mecânico”,

11 Tradução do autor.

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construído por relojoeiros para exibição em feiras ou animações mecânicas da autoria de Leonardo da Vinci (Zilli, 2004). Actualmente, os robots são vistos como um conjunto de mecanismos automatizados capazes de realizar um tipo de tarefa para o qual foram criados (Jímenez, 1996). Na indústria os robots são utilizados para aumentar a velocidade dos processos de produção e a qualidade dos produtos e diminuir os custos de produção. Apesar do antigo reconhecimento do controlo como uma vertente das “novas tecnologias” respeitante à automação de máquinas, ferramentas e processos (e.g. Coelho, 1986; Ponte, 1997), este é um aspecto pouco desenvolvido em Portugal, pelo menos ao nível pedagógico, mas com significativo desenvolvimento no estrangeiro, nomeadamente Brasil, México, Costa Rica, Dinamarca, Estados Unidos, Itália e Colombia, entre outros. Certamente, a vertente mais reconhecida da aplicação dos robots a nível educacional, pelo menos em Portugal, está relacionada com o grande número de competições robóticas12 que se realizam a nível nacional e internacional, geralmente associadas a projectos do ensino superior. A Robótica Educacional, também designada por Robótica Educativa ou Robótica Pedagógica, é um importante recurso tecnológico, surgindo no processo de ensino aprendizagem como um instrumento que possibilita a exploração dos diversos temas do currículo escolar. Martial Vivet (citado em Jímenez, 1996, p. 3) sugeriu a seguinte definição de Robótica Educacional:

“É a actividade de concepção, criação e colocação em funcionamento, com

fins pedagógicos, de objectos tecnológicos que são reproduções reduzidas

muito fiéis e significativas dos processos e ferramentas robóticas que são

usados quotidianamente, sobretudo, no meio industrial”13.

Foi criada uma nova “disciplina” cuja finalidade é explorar a interacção dos alunos com os robots e como estes podem favorecer o desenvolvimento dos processos cognitivos (Jímenez, 1996). Pretende-se a criação de ambientes de aprendizagem essencialmente baseados na actividade dos alunos, em que estes podem conceber, desenvolver e pôr em prática uma variedade de projectos que lhes permitem resolver problemas e, simultaneamente, lhes facilitam determinadas aprendizagens. Nestes ambientes de aprendizagem os alunos ocupam grande parte do seu tempo a simular fenómenos e mecanismos que são micro representações da realidade tecnológica que os rodeia ou são invenções suas propositadamente criadas para o momento (Colorado, 2003b). É uma ferramenta pedagógica que permite ao professor demonstrar (de forma prática) e aos alunos experimentar muitos dos conceitos teóricos, por vezes de difícil compreensão, motivando o aluno, que a todo momento é desafiado a observar, a abstrair e a inventar (Zilli, 2004). Colorado (2003b) refere que o principal objectivo da implementação da robótica educacional na escola é a criação de ambientes interdisciplinares que proporcionam aos alunos o desenvolvimento de capacidades de estruturação de investigações e resolução de problemas, contribuindo para a formação de pessoas com capacidades para desenvolver novas habilidades, novos conceitos e responderem eficientemente aos

12 As competições com maior visibilidade são as de futebol com robots. 13 Tradução do autor.

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aspectos em mudança no mundo que as rodeia. Os ambientes de aprendizagem assim criados contribuem com experiências conducentes ao desenvolvimento da criatividade e do pensamento dos alunos: constroem estratégias para a resolução de problemas e simulam o método científico pois formulam hipóteses, implementam, testam, observam e fazem as devidas alterações sobre a solução; sentem a necessidade de utilização de algum vocabulário especializado e permite-lhes construir as suas próprias concepções acerca do significado dos objectos que manipulam; interiorizam conceitos tecnológicos, como por exemplo, estratégias de programação, de controlo e de sincronização de processos; realizam estimações e medições; adquirem e relacionam os conceitos de forma e função; partilham as suas criações com a comunidade escolar, principalmente os seus colegas, onde se questionam, enriquecem, valorizam e desenvolvem o sentido crítico, procedendo a um importante intercâmbio de experiências que contribuem para a aprendizagem através da análise e crítica construtiva; desenvolvem a auto-estima e as relações interpessoais dado que o trabalho é realizado em equipa na prossecução de um mesmo objectivo (constroem, programam e sincronizam resultados que se integram num projecto construído por um grupo) (Colorado, 2003b). A forma natural como se dá a integração de conhecimentos de diversas áreas é um dos factores mais relevantes associados à Robótica Educacional, até porque esta se desenvolveu com a perspectiva de aproximação às soluções de problemas das mais distintas áreas como a matemática, as ciências naturais e experimentais, a tecnologia e ciências da informação e da comunicação, entre outras (Colorado, 2003b). Segundo Maisonette (2002, referida em Zilli, 2004), com a robótica educacional, o aluno passa a construir o seu conhecimento através das próprias observações e o que é aprendido pelo próprio esforço terá, certamente, muito mais significado para o aluno, adaptando-se às suas estruturas mentais. É privilegiada a aprendizagem indutiva e por descoberta orientada, que permite a experimentação de um conjunto de situações didácticas que permitem aos alunos construir o seu próprio conhecimento. O erro é considerado um factor integrante e importante do processo de aprendizagem, dado que este incita o aluno a motivar-se e a procurar diferentes soluções (Colorado, 2003a). A robótica educacional, para além de permitir a integração de áreas distintas do conhecimento, assenta na manipulação de objectos e concretização de experiências que favorece a passagem do concreto para o abstracto e proporciona aos alunos oportunidades de apropriação da linguagem gráfica (como se se tratasse da linguagem matemática). Também implica a operação e controlo de variáveis e o desenvolvimento de um pensamento metódico, assente na construção e prova das próprias estratégias de aquisição do conhecimento mediante alguma orientação pedagógica (Colorado, 2003a). De acordo com Zilli (2002, referida em Zilli, 2004), a robótica educacional, além de proporcionar aos alunos o contacto com tecnologia actual, sugere o desenvolvimento do seguinte conjunto de competências: raciocínio lógico; habilidades manuais e estéticas; relações interpessoais e intrapessoais; utilização de conceitos aprendidos em diversas áreas do conhecimento para o desenvolvimento de projectos; investigação e compreensão; representação e comunicação; trabalho com pesquisa; resolução de problemas por meio de erros e acertos; aplicação das teorias formuladas a actividades concretas; utilização da criatividade em diferentes situações; capacidade crítica. Alguns investigadores, como Colorado (2003a) e Miglino, Lund e Cardaci (2000), justificam a introdução da robótica educacional a partir da perspectiva construtivista (Teoria Cognitiva) da educação:

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“De acordo com Piaget e Papert, os indivíduos seleccionam activamente os

aspectos relevantes que os rodeiam, manipulam objectos concretos, e

assimilam novo conhecimento por intermédio da observação dos efeitos

dessas acções. Neste sentido o indivíduo constrói uma representação da

realidade”14 (Miglino, Lund e Cardaci, 2000, p.17).

Seymour Papert usou o trabalho de Piaget como fundamentação para o desenvolvimento da linguagem de programação Logo. Na segunda metade da década de 80, o MIT (Massachussets Institute Technology) realizou uma parceria com a Lego e aos conjuntos de construção da Lego foram acrescentados motores e sensores, permitindo às crianças construírem modelos cibernéticos, que poderiam ser programados utilizando a linguagem Logo (Zilli, 2004). Posteriormente surgiu o software Robolab, seguindo-se a linguagem RCX Code incorporada nos robots Robotics Invention System™ 2.0 que não exige ao professor e aos alunos conhecimentos aprofundados sobre programação e facilmente adaptável a vários níveis educativos. No mercado existem outros materiais para desenvolvimento de projectos de robótica educacional. No entanto, materiais como os kits de montagem de robots da série Robotics Invention System™ 2.0 da Lego Mindstorm™ que são compostos por pequenas peças de fácil montagem, permitem alterar e adaptar a morfologia do robot às necessidades da actividade que se pretende desenvolver. Estas características do kit da Robotics Invention System™ 2.0 da Lego Mindstorm™, aliado ao seu preço moderado, estarão na base da sua escolha, por parte de investigadores e professores, para o desenvolvimento de projectos de robótica nos diversos níveis de ensino, inclusive do ensino superior. Mónica Colorado (2003a) realizou um trabalho de investigação sobre ambientes de aprendizagem com robótica pedagógica, dividido em três níveis estratégicos diferentes: criação e desenvolvimento de clubes de robótica; inserção da robótica na área da tecnologia e informática; e o desenvolvimento de uma experiência específica na área da Matemática. Relativamente aos clubes de robótica, a autora constatou a grande motivação que os alunos têm pelo uso deste tipo de tecnologia e o crescente conhecimento e domínio de conceitos da ciência e da tecnologia. Os alunos desenvolveram projectos propostos por eles próprios, sendo por isso muito significativos para eles, facilitando a compreensão dos diferentes operadores mecânicos, assim como a forma de programação. Quanto à introdução da robótica na área de Tecnologia e Informática apurou, junto dos docentes dessa área, a grande facilidade de encadeamento de vários processos e conceitos num mesmo projecto. Por fim, relativamente ao desenvolvimento de uma experiência específica no campo da Matemática, refere que o principal aspecto a destacar foram as evidentes dificuldades que os professores encontraram para expressar conhecimentos teóricos através de aplicações práticas e concretas. Colorado (2003a) conclui que o estudo permitiu constatar que o uso da robótica desafia os docentes a repensar os seus modelos pedagógicos, favorece a integração de conhecimentos e ajuda a desmistificar o uso de tecnologias de ponta como recurso de ensino/aprendizagem.

14 Tradução do autor.

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Outro projecto que utilizou a robótica educacional foi o World-Class Maths and Science (Knudsen, 2000) desenvolvido na região de Copenhaga. Tratou-se de um projecto para um laboratório de aprendizagem com o intuito de desenvolver, testar e aplicar novos métodos e experiências de ensino e aprendizagem. Pretendia identificar novos conceitos em educação e flexibilizar os métodos de ensino afim de melhorar, a um nível geral, a aprendizagem e as normas de aprendizagem, de modo que todos os alunos fossem capazes de compreender matemática e ciências e assim aumentar o seu grau de proficiência. Visava aumentar o interesse dos jovens pela ciência, e em particular, pelas disciplinas de Matemática, Química e Física, pretendendo colmatar as falhas no ensino destas ciências. Entre outras iniciativas, propôs a utilização de equipamento experimental da Lego MindStorms (Robolab) para o desenvolvimento de trabalhos em grupo (de 3 a 4 alunos). Pretendiam atestar até que ponto estes materiais contribuem para que estudantes executem experiências, realizem testes e estudos, tendo por base as próprias ideias e hipóteses, e promovem a assimilação de estratégias de resolução de problemas. A robótica proporcionaria actividades que combinassem a aprendizagem com a “diversão” e a teoria com a prática, permitindo aos alunos desenvolverem uma estratégia de resolução de problemas ou uma estratégia de aprendizagem. O projecto Driving Math (Limkilde, 2000) aplicou o Mindstorms for Schools nas aulas de Matemática. A ideia de utilização dos robots surgiu quando o autor decidiu introduzir o tópico de algoritmos. Esta utilização decorreu em quatro “pequenos” projectos que os alunos teriam de construir um modelo robótico o mais adequado possível á tarefa em questão e proceder à programação, tendo sempre subjacentes importantes conceitos matemáticos. O tempo para a realização destes projectos era limitado e terminavam com a apresentação dos resultados. A primeira actividade envolveu a construção e programação de um robot que deveria percorrer exactamente a distância de um metro. A segunda tarefa consistiu na construção e programação de um robot que deveria passar em cinco pontos predeterminados – situados sobre a parábola y =5x – numa superfície horizontal em que também estava representado um referencial cartesiano. Depois de iniciar a sua marcha, o robot não podia ser controlado externamente. O terceiro projecto consistiu na construção e programação de um robot que deveria subir uma superfície inclinada e que parasse exactamente a 20 cm medidos verticalmente a partir da altura do robot no ponto de partida. O quarto projecto envolveu a construção e programação de um robot que percorresse uma “paisagem” acidentada e parasse exactamente no topo da primeira ou da segunda colina. Conforme se avançava nos projectos, aumentava a sua dificuldade e a complexidade dos conceitos matemáticos envolvidos, assim como a exigência das respostas, começando por uma explicação do programa e do algoritmo realizado no primeiro projecto, até à apresentação de um esboço do robot e do algoritmo e uma explicação completa de como é que estes resolveriam o problema apresentado na quarta proposta (Limkilde, 2000). Segundo Limkilde (2000), o ambiente das aulas era caracterizado pelo desafio, competição, planeamento estratégico, surpresa, compromisso, criatividade e uma forte concentração, principalmente nos resultados. Estes projectos permitiram criar situações que originaram um sentido de competição, de grande engajamento e motivação dos alunos. Os alunos esperavam ansiosamente à porta pela aula e não queriam parar quando esta terminava. O autor finaliza sugerindo a organização de um projecto interdisciplinar entre a matemática e a informática, ou o desenvolvimento de actividades semelhantes para abordar outros tópicos como as funções lineares, a trigonometria ou as secções cónicas.

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Marco Chella (2002) desenvolveu um projecto de Ambiente de Robótica Educacional (ARE) com Logo para professores do ensino fundamental15. Os alunos trabalharam em projectos relacionados com conteúdos das disciplinas que leccionavam: Matemática, História, Geografia, etc. Alguns deles propiciaram a exploração de conceitos de física e matemática. A aplicação do ARE com os alunos-professores demonstrou a possibilidade de trabalhar concretamente e de forma contextualizada os diversos conceitos utilizados nas práticas da sala de aula. Existem outros projectos, como o Robotics Education Project

16 promovido pela NASA, para o uso da robótica na educação17. Esta é uma pequena lista das experiências, investigações e projectos já realizadas nesse âmbito (grande parte com divulgação na internet) que atestam as potencialidades desta ferramenta pedagógica. Em Portugal, no que concerne ao uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) no ensino/aprendizagem da Matemática, tanto ao nível da formação de professores como no ensino Básico e Secundário, muita investigação tem sido desenvolvida em torno desta temática, nomeadamente no que se refere à utilização de determinado tipo de software (Sketchpad, Cabri-Geometre, Modellus, etc) e de calculadoras gráficas. A utilização de robots como elementos mediadores entre o aluno e a Matemática é um tema pouco estudado, pelo menos no contexto de sala de aula. Assim, com o intuito de desenvolver investigação com a finalidade de compreender de que forma o uso da robótica contribui para que os alunos produzam significado e desenvolvam aprendizagem de tópicos e conceitos matemáticos e informáticos e se possível a articulação entre as duas áreas de conhecimento, foi idealizado, no Departamento de Matemática e Engenharias da Universidade da Madeira, o projecto DROIDE: “Os Robots como elementos mediadores entre os alunos e a Matemática/Informática”

(DROIDE, 2005) iniciado no ano lectivo de 2005/06 e com a duração de três anos. O projecto tem como objectivos:

I – a) Criar problemas na área da Matemática/Informática a serem resolvidos através dos robots;

b) Criar robots para abordar problemas específicos na área da Matemática/Informática.

II – Implementar a resolução de problemas utilizando robótica em três tipos de sala de aula: a) nas aulas de matemática no ensino básico e secundário; b) nas aulas de informática no ensino secundário;

c) nas aulas de Inteligência Artificial, Didáctica da Informática e Didáctica da Matemática, no ensino superior, nas licenciaturas em Ensino da Informática, Ensino da Matemática

15 Ensino fundamental é a etapa inicial da Educação Básica no Brasil, com a duração de nove anos,

envolvendo crianças e adolescentes com idades entre os 6 e os 14 anos. 16 Disponível no sítio http://www.robotics.nasa.gov/index.html.

17 Por exemplo, em Miglino, Lund e Cardaci (2000) são apresentados vários projectos educativos com robots da Lego ou outros robots. Os autores propõem a utilização da robótica em diferentes níveis educativos como ferramenta de aprendizagem.

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III – Analisar a actividade dos alunos aquando da resolução dos problemas utilizando os robots nos diferentes tipos de aula referidos no II.

Pretende-se assim descrever, analisar e compreender como é que os alunos aprendem matemática/informática tendo os robots como elementos mediadores entre o aluno e a Matemática/Informática. Para tal, no âmbito da Matemática, pretende-se responder ao seguinte conjunto de questões: Como é que os alunos se apropriam de determinados conceitos matemáticos utilizando os robots? Como se utilizam os robots para aprender a desenvolver algoritmos? Qual o papel dos robots na aprendizagem da Matemática? Em que medida os robots facilitam a aprendizagem da Matemática/? Como é que os robots podem ajudar a desenvolver a representação dos saberes matemáticos? Qual o papel dos robots no desenvolvimento de competência matemática nos alunos? (DROIDE, 2005). A análise de dados utilizando a teoria da aprendizagem situada (Lave e Wenger, 1991; Wenger 1998; Wenger, McDermott e Snyder, 2002) revela resultados promissores. A actividade matemática desenvolvida pelos alunos, nomeadamente no campo das funções, permitiram concluir que os alunos aprenderam de forma significativa o conceito de função e negociaram outros como o de proporcionalidade directa. Também proporcionaram um maior engajamento dos alunos e uma maior acessibilidade à matemática da sua parte. As actividades realizadas possibilitavam aos alunos deslocarem-se e contactarem com outros grupos e aceder a outras formas de pensar e resolver os problemas. O vocabulário usado pelos alunos provinham do seu dia-a-dia e da Matemática, coexistiam e davam significado à sua actividade matemática (Fernandes, Fermé e Oliveira, 2007). O uso dos robots para aprender matemática promove o aumento tanto da discussão entre os alunos e entre estes e o professor como a colaboração e a cooperação na resolução das tarefas matemáticas propostas (Fernandes, Fermé e Oliveira, 2006). Outro aspecto importante está relacionado com o desenvolvimento da competência matemática dos alunos:

“Mas podemos certamente afirmar que a metodologia de trabalho adoptada

para o estudo de funções utilizando os robots como elementos mediadores da

aprendizagem é um bom caminho para o desenvolvimento de competências

matemáticas nos alunos” (Fernandes, Fermé e Oliveira, 2007).

A presente investigação é parte integrante deste projecto, pretendendo contribuir para as respostas às questões supracitadas e consecução dos objectivos relacionados com a Matemática do ensino básico.

2.2.5. Avaliação das aprendizagens

De todos os momentos que se possam considerar no processo de ensino/aprendizagem, o momento da avaliação é, certamente, o mais problemático para qualquer professor ou educador. Trata-se de um elemento fundamental da prática pedagógica que se caracteriza, para além da sua importância, pela complexidade e subjectividade. Assim, atendendo que a avaliação é parte integrante e fundamental do processo de ensino/aprendizagem e que neste trabalho se desenvolveram novas situações de

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aprendizagem, importa analisar alguns aspectos fundamentais da avaliação, que deverão ser tidos em consideração na preparação, realização e análise das propostas de trabalho desenvolvidas com os robots.

Conceito de Avaliação

Como refere Nunes (2004) não é fácil encontrar um significado claro para um processo problemático e complexo como é a avaliação, mas importa compreender o seu significado atendendo à necessidade constante que os professores têm de o realizar. O primeiro significado atribuído à avaliação estava directamente relacionado com a ideia de medida, tendo surgido mais recentemente novos conceitos de avaliação: como congruência e como interpretação (Ponte, Boavida, Graça e Abrantes, 1997, Nunes, 2004). A concepção da avaliação como medida é a perspectiva mais tradicional do processo. A avaliação é “encarada como o processo de medir a diferença entre o “modelo do professor “ e a forma como o aluno o reproduz. As medidas resultantes são geralmente classificações numéricas (notas), relacionadas com a média de um grupo (a turma, por exemplo) e idealmente ajustadas pela curva normal. Os conceitos de avaliação e classificação não se distinguem.” (Ponte et al., 1997, p.100). De acordo com Leal (referido em Nunes, 2004) esta avaliação, normalmente, cinge-se à realização de testes escritos e o erro é encarado como a ausência de aprendizagem. É evidente a forma reducionista da avaliação na abordagem como medida. A exclusão de todos os aspectos não comensuráveis da avaliação, nomeadamente dos dados de natureza qualitativa, implica a omissão de muita informação relevante e essencial para a avaliação das aprendizagens dos alunos (Hadji, 1994; Nunes, 2004). Segundo Ponte et

al. (1997), os resultados obtidos neste tipo de avaliação “não têm uma dimensão pedagógica no sentido em que não incidem directamente no processo de ensino-aprendizagem (p.100)”. A perspectiva da avaliação como congruência surge relacionada com a “pedagogia por objectivos”. Depois da definição de todos os objectivos educacionais a partir de comportamentos observáveis, a avaliação é encarada “como um processo de medir a distância entre a resposta do aluno e o objectivo (comportamento) previamente identificado” (Ponte et al, 1997. p.100). De imediato se infere a mudança de referencial relativamente à perspectiva anterior: o professor é substituído por um conjunto de objectivos pré-estabelecidos. Ainda segundo os autores, esta concepção atribuiu uma dimensão pedagógica à avaliação, nomeadamente, pela introdução de noções como a avaliação diagnóstica e a avaliação formativa que incidem directamente no processo de ensino/aprendizagem. Contudo, esta perspectiva é passível de algumas críticas:

“A pedagogia por objectivos tende a dar uma atenção privilegiada ao treino

de competências específicas, numa lógica de estímulo-resposta, para que o

aluno seja capaz de produzir as respostas certas no momento do teste ou do

exame, independentemente da consistência das suas aprendizagens, do

significado que atribui aos seus conhecimentos e de saber até que ponto estes

vão perdurar” (Ponte et al, 1997, p.101).

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A perspectiva interpretativa da avaliação encara-a como parte integrante do processo de ensino/aprendizagem, constituindo com o ensino um só sistema e não dois sistemas separados (Ponte et al, 1997). Ainda segundo os mesmos autores, a intenção da avaliação é agora essencialmente pedagógica, pois o seu objectivo não é medir informação, mas interpretar a informação e agir pedagogicamente em função dessa interpretação. Facilmente subentende-se o carácter subjectivo que a avaliação toma, contrariamente às perspectivas anteriores que visavam a objectividade e rigor na atribuição das avaliações, normalmente sob a forma de notas quantitativas. Como refere Nunes (2004), de acordo com esta concepção, avaliar significa (1) analisar as produções dos alunos em função de um conjunto de critérios definidos conjuntamente pelo professor e pelos alunos ajudando-os a melhorar o seu desempenho e (2) aperfeiçoar o ensino. Também Ponte et al (1997) explicam esta dupla função:

“Com efeito, as tarefas de avaliação devem fornecer dados significativos a

respeito das aptidões, preferências e dificuldades de cada aluno que ajudem o

professor a compreendê-lo enquanto “aluno de Matemática” e constituam

uma base para conceber e orientar futuras actividades. Ao mesmo tempo,

devem fornecer ao aluno uma informação que o ajude na reflexão e auto-

regulação relativamente ao seu próprio processo de aprendizagem” (p.102).

Modalidades de avaliação

Nunes (2004) associa a cada uma das três fases do processo de ensino/aprendizagem uma modalidade de avaliação. Assim, a avaliação diagnóstica surge associada à planificação, a avaliação formativa é associada à execução e a avaliação sumativa é associada à avaliação. A avaliação diagnóstica, normalmente realizada no ínicio do estudo de uma nova unidade temática, “destina-se a determinar se o aluno tem os pré-requisitos necessários para aprender os tópicos seguintes do programa, podendo os seus resultados condicionar a planificação prevista” (Ponte et al, 1997, p.98). Tem, portanto uma dupla função: uma primeira de aferição das potencialidades e/ou dificuldades dos alunos e a segunda relativa à orientação da planificação da unidade de acordo com os resultados da anterior. A avaliação formativa “tem o propósito de fazer pontos da situação relativamente ao progresso dos alunos face aos vários tipos de objectivos do currículo, permitindo ao professor introduzir as necessárias correcções ou inflexões na sua estratégia de ensino” (Ponte et al, 1997, p.98). Assim, esta modalidade visa a orientação e regulação do processo de ensino/aprendizagem. Neste sentido, Hadji (1994) apresentou quatro funções para a avaliação formativa:

- Segurança: consolidar a confiança do aprendente em si próprio; - Assistência: marcar etapas, dar pontos de apoio para progredir; - Feedback: dar, o mais rapidamente possível, uma informação útil sobre as etapas vencidas e as dificuldades encontradas; - Diálogo: alimentar um verdadeiro diálogo entre professor e aprendente que esteja fundamentado em dados precisos (p. 64).

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A avaliação sumativa tem um carácter pontual, contrariamente ao verificado na avaliação formativa. Segundo Pacheco (1995, p.76, citado em Nunes, 2004, p.16) a avaliação sumativa “está ligada à medição e classificação do grau de consecução do aluno no final de um processo (trimestre, semestre, ano) tendo a finalidade de certificar mediante a determinação de níveis de rendimento”. Em Portugal, estas classificações têm a função de determinar a transição dos alunos para o ano de escolaridade e/ou ciclo seguinte e, no caso do ensino secundário, determinar a posição do aluno na sua admissão a estudos de nível superior.

Fases da avaliação

Uma das características do processo de avaliação mais referenciadas é o seu carácter subjectivo, decorrente da aceitação da perspectiva interpretativa da avaliação. Assim, para além da definição dos modos e instrumentos de avaliação, é necessário definir procedimentos (parâmetros, critérios, modos de fazer) que sejam adequados aquilo que efectivamente se pretende avaliar e que atendam à natureza das tarefas de avaliação propostas (Ponte et al, 1997). O NTCM (1999), nas Normas para a avaliação em matemática escolar, identifica quatro fases constituintes do processo de avaliação: (1) planificação, (2) recolha de dados, (3) interpretação de evidências, e (4) utilização de resultados.

Figura 2 – Fases da avaliação (Nunes, 2004, p.18, adaptado de Normas para a avaliação em

matemática, NTCM, 1999).

Como se pode verificar pelo esquema, as fases não são independentes nem têm uma sequência pré-estabelecida. Segundo Nunes (2004), as fases da planificação e da utilização dos resultados assumem particular relevância neste processo: a planificação reporta-se “à definição clara dos critérios que estão na base da recolha, tratamento e comunicação dos dados, e a selecção criteriosa dos modos e instrumentos de avaliação que serão utilizados” (p. 18); a utilização dos resultados refere-se à “forma como eles vão ser transmitidos, as interpretações que se devem fazer e a regulação das práticas de ensino e de avaliação a realizar com base nessas interpretações” (p. 18).

Planificação

Recolha de dados

Interpretação da evidência

Uso dos resultados

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Avaliação na disciplina de Matemática

A organização norte-americana Nacional Council of Teachers of Mathematics tem demonstrado a grande importância que a avaliação toma em todos os aspectos relativos ao ensino da matemática ao abordar o tema em todas as suas publicações de referência (NTCM, 1991, 1994, 1999, 2000). No documento Normas para a avaliação em

matemática escolar (NCTM, 1999) define a avaliação em Matemática como “o processo que inclui a recolha de evidência sobre o conhecimento matemático de um aluno, a sua aptidão para o usar, e a sua predisposição para a Matemática, e também o estabelecimento de inferências, a partir dessa evidência, para propósitos variados” (p. 4). Anteriormente, nas Normas para o currículo e a avaliação em matemática escolar (NTCM, 1991), a mesma organização refere uma série de aspectos cruciais a dar maior ou menor atenção na avaliação.

Maior atenção Menor atenção Avaliar o que os alunos sabem e como pensam sobre a Matemática

Avaliar o que os alunos não sabem

Encarar a avaliação como parte integrante do processo de ensino

Avaliar pela contagem das respostas correctas nos testes com o único propósito de classificar

Focar uma grande variedade de tarefas matemáticas e adoptar uma visão holística da Matemática;

Focar um grande número capacidades específicas e isoladas organizadas numa matriz de conteúdos/objectivos comportamentais

Desenvolver situações problemáticas que envolvam aplicações de um conjunto de ideias matemáticas;

Usar exercícios ou problemas de palavras que requeiram apenas uma ou duas capacidades

Usar várias técnicas de avaliação, incluindo formas escritas, orais e de demonstração;

Utilizar apenas testes escritos

Utilizar calculadoras, computadores e materiais manipuláveis na avaliação;

Excluir calculadoras, computadores e materiais manipuláveis do processo de avaliação

Avaliar o programa de recolha sistemática de informação de resultados, currículo e ensino;

Avaliar o programa apenas com base nos resultados dos testes

Utilizar testes normalizados apenas como um de entre muitos indicadores de resultados.

Utilizar teste normalizados como único indicador de resultado.

Tabela 1: Aspectos a dar maior e menor atenção na avaliação (NTCM, 1991, p.228)

As mesmas Normas (NTCM, 1991) definem e explicitam catorze normas para a avaliação agrupadas em três temas: Avaliação Geral, Avaliação do Aluno (posteriormente designada de Avaliação da Aprendizagem) e Avaliação do Programa. As normas respeitantes à Avaliação Geral ditam três princípios a ter em consideração relativamente aos instrumentos de avaliação: (1) é necessário que exista compatibilidade entre as formas e instrumentos de avaliação da aprendizagem dos alunos e determinados aspectos curriculares como as finalidades, objectivos e conteúdos matemáticos, as reacções dos alunos e o peso atribuído aos diversos tópicos, os processos, abordagens e actividades realizadas, incluindo todos os tipos de materiais usados (calculadoras, computadores, materiais manipuláveis, ou outros); (2) deve haver diversidade na recolha de informação, isto é, deve-se proceder à recolha de informações convergentes sobre a aprendizagem do aluno, através de fontes variadas, que envolvam diferentes tipos de pensamento matemático e que apresentem os conceitos e processos em diferentes contextos, forma e situações; (3) os critérios para a escolha das formas e

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instrumentos de avaliação devem ser o tipo de informação que se pretende recolher, assim como o uso dar-lhe, e o nível de desenvolvimento e maturidade do discente. As normas respeitantes à Avaliação da Aprendizagem centram-se na avaliação da compreensão e predisposição dos alunos face à matemática, propondo-se a descrever “o que se deve observar e medir no processo de compreensão do que sabem os alunos de matemática” (NTCM, 1991, p.240). As normas estabelecem sete âmbitos a ter em conta na avaliação dos alunos: poder matemático, resolução de problemas, comunicação, raciocínio, conceitos matemáticos, procedimentos matemáticos, e predisposição para a Matemática. Por fim, as normas relativas à Avaliação do Programa reportam-se aos indicadores da consistência de um programa de Matemática, à análise dos recursos curriculares, do ensino e do ambiente em que é aplicado o programa, e até à constituição das equipas que deverão realizar essa avaliação. As Normas para a avaliação em matemática escolar do NCTM (1999) apresentam seis normas para a qualidade da avaliação em Matemática:

- Norma para a Matemática: “a avaliação deve reflectir a Matemática que

todos devem saber e ser capazes de fazer” (p. 13);

- Norma para a aprendizagem: “a avaliação deve melhorar a aprendizagem

em Matemática” (p. 15);

- Norma para a equidade: “a avaliação deve promover a igualdade de

oportunidades” (p. 18);

- Norma para a transparência: “a avaliação deve ser um processo

transparente” (p. 21);

- Norma para as inferências: “a avaliação deve promover inferências válidas

sobre a aprendizagem em Matemática” (p. 23);

- Norma para a coerência: “a avaliação deve ser um processo coerente” (p.

25);

As normas atrás mencionadas visam contribuir para os quatro propósitos da avaliação em Matemática:

- Regular o progresso dos alunos: relativamente ao seu poder Matemático,

ao seu desempenho e à capacidade de auto-avaliação;

- Tomar decisões sobre o ensino: avaliar os alunos com o objectivo de

informar os professores sobre que decisões tomar em relação à adopção de

novas estratégias de ensino, usando múltiplas fontes de evidência para

planificar a curto e longo prazo;

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- Classificar o aproveitamento dos alunos: comparar o trabalho dos alunos

usando critérios de desempenho e certificar a partir de fontes equilibradas

de dados, recorrendo a perfis de aproveitamento de conhecimento público;

- Avaliar projectos educativos: apreciar a qualidade e sucesso do programa,

promovendo uma melhor articulação entre o currículo, o ensino, e a

avaliação, sendo necessária a análise dos dados de um grupo e a apreciação

profissional dos programas pelos professores. (NCTM, 1999, referido em

Nunes, 2004, p. 22).

Mais recentemente, nos Principles and standards 2000 (NCTM, 2000) um dos princípios orientadores para a educação Matemática de qualidade refere-se à avaliação e estabelece que deve ser usada como apoio na aprendizagem da Matemática, constituindo também uma vantajosa fonte de informações importantes quer para o professor quer para o aluno.

Instrumentos de avaliação

Um dos aspectos mais importantes da avaliação é, certamente, a selecção dos instrumentos de avaliação a adoptar. Os testes escritos com tempo de realização limitado, a par da observação, são os principais modos e instrumentos de avaliação adoptados pelos professores, como é corroborado pelo relatório Matemática 2001 (APM, 1998) onde é referido que "o instrumento de avaliação por excelência continua a ser o teste escrito" (p.43). É uma forma errónea de realizar a avaliação atendendo ao seu carácter redutor, pois nenhum instrumento de avaliação individualmente é capaz de apurar as aprendizagens realizadas e as competências adquiridas pelos alunos. Existe uma grande variedade de modos e instrumentos de avaliação e cabe ao professor “fazer as sua opções de acordo com a orientação que dá ao processo de ensino-aprendizagem e tendo em conta, em cada caso, as prioridades que estabelece quanto ao tipo de informação que pretende obter” (Ponte et al., 1997, p.105). Alguns modos e instrumentos de avaliação como o relatório, o trabalho de projecto, o portfólio, o teste em duas fases e a auto-avaliação têm vindo a ganhar importância na avaliação em Matemática, devido às suas potencialidades educativas e ao seu enquadramento nas actuais orientações curriculares para o ensino-aprendizagem da Matemática (Nunes, 2004). Dado que não é objectivo deste trabalho realizar um estudo aprofundado sobre os instrumentos de avaliação, concentrar-nos-emos naqueles que foram seleccionados para a avaliação dos alunos na realização das propostas de trabalho base deste estudo: a observação, o relatório e o teste em duas fases. Observação. A observação é uma das práticas avaliativas mais comuns nas escolas. Trata-se de uma avaliação com carácter informal mas fundamental para o conhecimento dos alunos. De facto, segundo Leal (1992, referido em Santos, 2005) a observação directa das interacções e trabalho diário dos alunos constitui um elemento avaliativo capaz de considerar aspectos como a curiosidade, o sentido de responsabilidade pessoal e de grupo, o gosto e a capacidade de se relacionar com os outros e o gosto pela

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Matemática. Também Varandas (2000) refere que a observação é fundamental na avaliação da predisposição dos alunos para a Matemática:

“A forma e a vontade que os alunos têm para explicar e defender os seus

pontos de vista, a sua curiosidade e tolerância em perceber soluções pouco

vulgares e o tipo de perguntas que fazem são bons indicadores da referida

predisposição” (p.29).

Para além dos aspectos apontados relativos ao domínio atitudinal, permite aferir a capacidade de interpretação, reflexão e exploração de ideias (Santos, 2005), e revelar processos de raciocínio usados pelos alunos que dificilmente seriam detectados em actividades escritas (NCTM, 1999). O estudo de Varandas (2000) revelou que a observação foi crucial para as professoras intervenientes apreciarem o grau de autonomia dos alunos e que desempenha uma função reguladora do ensino, atendendo que é a partir dos constantes informações obtidas por este meio que se vão tomando decisões de alteração, reformulação ou aprofundamento das escolhas inicialmente previstas na planificação da aula ou actividade. Contudo, as informações recolhidas pela observação raramente são registadas de forma sistemática, perdendo formalismo e fiabilidade para o professor, e assim, não são encaradas da mesma forma que os dados obtidos, por exemplo, numa avaliação escrita, podendo ou não influenciar a avaliação final atribuída ao aluno. Este facto acentua-se com a progressão nos níveis de ensino (APM, 1998). Relativamente a este assunto, Ponte et al (1997) defendem que é através da observação do modo como os alunos participam nas aulas e se envolvem nas actividades, que o professor poderá compreender a sua evolução relativamente a muitos dos objectivos mais importantes do currículo, e como tal, “o professor não deve desvalorizar este tipo de informação pelo facto de dar origem a juízos alegadamente impressionistas ou subjectivos” (p.118). Relatório. Os relatórios consistem em produções escritas nas quais o aluno descreve, analisa e critica uma dada situação – problema, actividade de investigação ou projecto – em que tenha trabalhado (Ponte et al, 1997; Varandas, 2000). Os relatórios concentram a dupla função de elemento de avaliação e de factor de aprendizagem, dado que estão habitualmente associados à aplicação de conhecimentos e desenvolvimento de capacidades e atitudes (Ponte et al., 1997). Ainda segundo os mesmos autores:

“O esforço para desenvolver uma actividade deste tipo pode originar uma

reflexão mais profunda do que aquela que é necessária quando apenas se

apresenta a resposta, eventualmente acompanhada de uma justificação breve

e imediata do raciocínio seguido” (Ponte et al, 1997, p.112).

A realização de relatórios permite desenvolver as capacidades de raciocínio, de comunicação, assim como o gosto pela pesquisa, a persistência e a responsabilidade (Varandas, 2000). Também Santos (1997) refere que deve ser proporcionado ao aluno a experimentação de situações diversas em que tenha de expor os seus raciocínios e ideias sobre as soluções e resultados decorrentes dessas experiências, salientando assim as

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possibilidades de desenvolvimento das capacidades de persistência, raciocínio e comunicação do aluno:

“Depois de articular oralmente os seus argumentos e ideias é importante que

o aluno se habitue a registar por escrito o seu pensamento e se acostume com

a ideia de que a versão escrita final nem sempre fica pronta numa primeira

tentativa. Colocar ideias no papel de forma clara e articulada é um processo

que se aprende ao longo da caminhada” (Santos, 1997, p. 23).

Teste em duas fases. Os testes em duas fases foram utilizados pela primeira vez em Portugal no projecto Mat789 (Abrantes et al., 1997). Os testes em duas fases, tal como o nome indica, realizam-se em dois momentos distintos: no primeiro momento, é proposto ao aluno a resolução do teste na sala de aula sem indicações do professor; no segundo momento, com mais tempo que o primeiro e depois de o professor avaliar e comentar as respostas iniciais, é proposto ao aluno que rectifique ou complemente as suas respostas. Um teste em duas fases deverá incluir questões de resposta fechada como perguntas de interpretação ou problemas de resolução breve, e questões de resposta aberta, isto é, problemas cuja resolução exige alguma investigação e respostas mais desenvolvidas (Ponte et al., 1997). Para além do cuidado essencial na escolha das questões a incluir num teste desta natureza, é necessário realçar o papel determinante que as pistas, sugestões e comentários do professor às respostas iniciais na orientação do trabalho subsequente dos alunos. O segundo momento de resolução proporcionado aos alunos não se limita a uma mera correcção dos erros mas uma parte essencial do processo, que se pretende desta forma, gerador de novas oportunidades de aprendizagem (Ponte et al, 1997). A utilização dos testes em duas fases permitem “captar mais aspectos relevantes sobre a aprendizagem sem se perder o tipo de informações que é recolhido através das provas habituais” (Ponte et al, 1997, p.108). De facto, as características deste instrumento de avaliação permitem avaliar aspectos como as capacidades de argumentação, de persistência, de procura de informação e de análise de textos matemáticos, que juntamente com o desempenho oral e a capacidade de discussão, constituem as limitações da avaliação por testes comuns (provas escritas) (Ponte et al, 1997; Varandas 2000). Os objectivos gerais da disciplina de Matemática, referidos no programa oficial, criam um quadro que nos remete para uma diversificação das nossas práticas pedagógicas. Assumindo que a avaliação é parte integrante do processo de aprendizagem, é fundamental que esta seja compatível com as práticas pedagógicas implementadas. Perante a utilização de actividades que pretendem o desenvolvimento da colaboração em trabalho de grupo, das discussões em pequeno e grande grupo, da partilha de saberes e responsabilidades, da formulação de generalizações a partir de experiências, da capacidade de comunicação e do espírito crítico, como são exemplos as actividades com robots, a avaliação não se pode limitar à realização dos tradicionais testes escritos. Nas actividades aplicadas nesta investigação, para avaliação optou-se pela realização de pequenos relatórios e realização de um teste em duas fases, com o intuito de proporcionar aos alunos oportunidades para aprenderem durante o processo e melhorarem o seu trabalho, desenvolvendo uma atitude positiva e confiante em relação à aprendizagem da Matemática.

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2.3. Conceito de função

A importância e centralidade do conceito de função na Matemática são indiscutíveis. Este conceito, juntamente com a noção de derivada, constituem a base da análise matemática que actualmente desempenha o papel que a geometria Euclidiana teve desde a Grécia Antiga até à Idade Moderna, ou seja, o papel de teoria central no desenvolvimento da Matemática (Ponte, 1992). A definição moderna de função é baseada na noção de um subconjunto especial de um produto cartesiano de dois conjuntos:

“ (…) sendo dados dois conjuntos E e F, chama-se aplicação do conjunto E

no conjunto F, uma relação entre os elementos de E e os elementos de F, isto

é a um subconjunto G do produto cartesiano E × F possuindo a propriedade

seguinte: para todo o x ∈ E, existe um elemento único y ∈ F tal que

(x, y) ∈ G.” (Apostol, 1979, p. 65).

Generalizou-se a visão da função como uma correspondência unívoca entre conjuntos. Apesar do uso frequente do conceito de função nestes termos nos livros de texto, da sua apresentação e ensino aos alunos, estes tendem a identificar função com uma fórmula. Quando questionados sobre a definição de função os alunos referem-se ao conceito na forma atrás enunciada, mas quando confrontados com tarefas relacionadas com esse conceito assumem a concepção de função como uma fórmula (Fernandes, 1997). O desenvolvimento histórico deste conceito mostra-nos que não é uma concepção inédita, longe de poder ser considerada como totalmente despropositada. Recorde-se que a primeira definição de função proposta por Euler em 1748 determinou a identificação do conceito de função com o conceito de expressão analítica durante todo o século XVIII. Tal como grande parte dos conceitos e noções matemáticas, o conceito de função resultou de um longo desenvolvimento e amadurecimento do pensamento matemático. A sua importância implica que constitua um conceito fundamental na matemática escolar, conforme as actuais orientações para o currículo de matemática (e.g. NTCM, 1989; Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999), podendo ser encarado de diversas formas, dependendo do ponto de vista matemático dominante (como prova a sua longa evolução histórica que será apresentada à frente), e cada uma com diferentes implicações educacionais (Ponte, 1992). Assim, ganha interesse rever os principais aspectos históricos da evolução histórica do conceito de função. Segue-se uma reflexão sobre o ensino e aprendizagem do conceito, abordando-se algumas implicações educacionais resultantes do seu percurso histórico e exploram-se dois modelos de construção do mesmo, dos quais resultam importantes recomendações pedagógicas.

2.3.1. Desenvolvimento histórico do conceito de Função

É difícil estabelecer concretamente o momento em que foram usadas funções pela primeira vez, dado que é possível encontrar exemplos em épocas antigas, como são os

55

casos da simples contagem ou das quatros operações aritméticas elementares (funções de duas variáveis) (Ponte, 1992). Uma dos primeiros povos a destacar-se pela utilização de algumas funções foi a civilização Babilónica. O estudo e conhecimento desta civilização baseiam-se, essencialmente, nas centenas de milhares de placas de barro gravadas em escrita cuneiforme. Muitas dessas placas, de conteúdos matemáticos, contêm tabelas de cubos, de raízes quadradas, de raízes cúbicas, de recíprocos, de multiplicação, de somas de quadrados com cubos do mesmo número (aparentemente usadas para resolver equações cúbicas do tipo axx =+

23 ), de conversão de unidades de comprimento, peso, superfície, volume, etc. (Youschkevitch, 1976; Struik, 1997; Estrada, Sá, Queiró, Silva e Costa, 2000). Não obstante o estudo destas funções, não se pode dizer que os Babilónios tivessem presente o conceito de função (Youschkevitch, 1976; O’Connor e Robertson, 2005). Também na Grécia é possível encontrar o estudo de algumas funções específicas. Cláudio Ptolomeu (séc. II d.C.) escreveu o grande tratado de astronomia da Antiguidade Composição Matemática, posteriormente conhecido como Almagesto. Este tratado, composto por treze livros, apresenta no primeiro uma tábua de cordas, isto é, uma tabela com os comprimentos das cordas duma determinada circunferência associadas a diferentes amplitudes de arco (Estrada et al., 2000). De certa forma, Ptolomeu estabeleceu as funções trigonométricas, parecendo conhecer o conceito de função:

“Mas se nós concebermos uma função, não como uma fórmula, mas como

uma relação mais geral que associa os elementos de um conjunto de números

com os elementos de outro conjunto, é óbvio que as funções neste sentido

abundam ao longo do Almagesto" 18 (O’Pedersen, 1974, p.36, citado em

Youschkevitch, 1976, p.42).

No entanto, Ptolomeu dificilmente dominaria o conceito de função, uma vez que esta identificação ocorre à luz do significado moderno de função. Segundo Youschkevittch (1976) a primeira vez que surgiu a noção de função de uma forma mais geral terá sido nas Escolas de Oxford e Paris no século XIV. Numa altura em que se procurava quantificar os fenómenos naturais tratados de forma qualitativa desde a Antiguidade, destacaram-se alguns trabalhos realizados no Merton College de Oxford e na Universidade de Paris (Estrada et al., 2000). Um dos nomes a destacar em Paris é o de Nicole Oresme (1323-1382), o primeiro matemático a aproximar-se da definição moderna do conceito de função ao apresentar algumas ideias gerais sobre quantidades variáveis independentes e dependentes (Ponte, 1992). Foi Oresme quem usou pela primeira vez um gráfico para representar numa direcção o tempo e na outra a velocidade de um móvel. Na obra De latitudinibus

formarum traçou um gráfico de uma variável dependente (latitudo) em relação a uma independente (longitudo) que se modifica, que pode ser considerada como uma transição, embora pouco clara, das coordenadas celestes conhecidas pelos antigos para a geometria de coordenadas (Youschkevitch, 1976; Struik, 1999). Também demonstrou

18 Tradução do autor.

56

geometricamente o teorema de Merton19 onde, segundo Estrada et al. (2000), há dois

novos aspectos a salientar:

“Primeiramente, há a ideia de representar a velocidade (uma qualidade,

segundo a Física de Aristóteles) dum móvel por uma grandeza com graus de

intensidade e, portanto, quantificável. Em segundo lugar, é de notar que o

espaço percorrido pelo móvel no intervalo de tempo considerado (um

comprimento) é representado por uma grandeza que não lhe é homogénea, a

saber uma área” (p.556).

Também os estudos de Galileu (1564-1642) sobre o movimento e a relação entre distância, velocidade e aceleração, envolveram a compreensão da relação entre variáveis, depreendendo-se daí uma percepção do conceito de função (O’Connor e Richardson, 2005). Num dos problemas que analisou, Galileu considerou duas circunferências concêntricas, uma com o dobro do diâmetro da outra, tendo estabelecido duas funções, dos pontos da circunferência de diâmetro menor para os pontos da circunferência de diâmetro maior e vice-versa, concluindo que as duas circunferências teriam o mesmo “número” de pontos (O’Connor e Richardson, 2005). Galileu nunca explicou aprofundadamente as suas ideias ou apresentava-as de uma forma, no mínimo, original: “Nem o número de quadrados é menor que do que o da totalidade dos números, nem o último é maior do que o primeiro” (Struik, 1997, p.161). Analisando a prova segundo os termos modernos, o raciocínio de Galileu baseia-se no conceito de correspondência entre dois conjuntos e estabelece uma bijecção entre o conjunto dos números naturais e um subconjunto próprio, atendendo que as correspondências aplicadas podem ser encaradas como funções injectivas entre os números naturais e os respectivos quadrados (O’Connor e Richardson, 2005). No entanto, o surgimento das funções na pesquisa matemática como conceito individual e objecto de estudo por direito próprio é relativamente recente, reportando-se ao final do

19 Teorema de Merton: “Considere-se um movimento uniformemente diforme, começando com

velocidade nula no instante A e atingindo no instante B a velocidade representada pelo segmento de recta

BC. Seja D o instante médio entre A e B, no qual o móvel atinge a velocidade representada pelo segmento

DE. Então o espaço percorrido pelo móvel é o mesmo espaço que o móvel percorreria, durante o mesmo

intervalo de tempo, se estivesse animado dum movimento uniforme cuja velocidade pudesse ser

representada pelo segmento de recta DE” (Estrada et al., 2000, p.556). Os movimentos uniforme e

diformemente diforme são movimentos com velocidade e aceleração constante, respectivamente.

Prova geométrica do teorema de Merton (Estrada et al., 2000, p.556).

57

século XVII (Ponte, 1992). Em 1637, Descartes (1596-1650) apresenta, sob a forma de apêndice do Discours de la Méthode, o tratado La Géométrie onde propõe a unificação da álgebra e da geometria, sendo geralmente aceite como a obra responsável pela criação da geometria analítica20 (Struik, 1997). Aí, é apresentada a ideia da representação analítica de funções. Descartes “introduziu” a álgebra na geometria, associando equações com duas variáveis a lugares geométricos – uma das principais consequências da abordagem cartesiana – tendo afirmado claramente que uma equação de duas variáveis, geometricamente representado por uma curva, indica uma dependência entre quantidades variáveis de tal modo que o cálculo de valores de uma delas corresponde a determinados valores da outra (Estrada et al., 2000; Ponte, 1992; Youschkevitch, 1976). Apesar do trabalho inicial de Descartes se restringir ao estudo das funções algébricas, isto é, das curvas que admitiam uma equação de tipo polinomial para sua representação, a representação de funções sob a forma de equações originou uma revolução no desenvolvimento da matemática e a generalidade dos matemáticos europeus dos séculos XVII e XVIII aderiu ao método analítico (Youschkevitch, 1976; Estrada et al., 2000). Um desses desenvolvimentos foi a importante ideia de derivação que terá surgido da procura de um modo de descobrir a tangente em qualquer ponto de uma curva (Ponte, 1992). Também Newton (1642-1727) contribuiu para o desenvolvimento do conceito de função. Foi um dos primeiros matemáticos a mostrar que as funções poderiam ser desenvolvidas como séries de potências infinitas, tendo usado os termos fluent, relata

quantitas e genita para designar as variáveis independentes, as variáveis dependentes, e as quantidades obtidas de outras através das quatro operações fundamentais da aritmética, respectivamente (Ponte, 1992). Leibniz (1646-1716), contemporâneo de Newton, que trabalhou paralelamente mas independentemente deste, concluiu as noções básicas do Cálculo desenvolvidas a partir do estudo da geometria das curvas. O conceito de função encontra-se entre essas noções básicas e foi com Leibniz que a palavra função aparece impressa pela primeira vez, em 1676, no manuscrito The Methodus Tangentum Inversa, Seu de functionibus (Botelho, 1992). Segundo Ponte (1992):

20 A criação da geometria analítica é atríbuida a René Descrates (1596-1650) e a Pierre de Fermat

(1596-1650). Em 1673, Fermat propôs que a cada ponto do plano fossem associados dois segmentos de

recta, a e e. O segmento a era marcado numa recta horizontal fixa r do plano, a partir de um ponto origem

O, e o segmento e era elevado sobre r, segundo um ângulo fixo, terminando em P, ficando assim

determinado que a cada ponto do plano P corresponderia uma abcissa a e uma ordenada e, e vice-versa

(Estrada et al., 2000).

As coordenadas no plano, segundo Fermat (Estrada et al., 2000, p.557).

58

"Ele [Leibniz] escolheu função para designar, em termos muito gerais, a

dependência de quantidades geométricas como subtangentes e subnormais na

forma de uma curva"21 (p.3).

Leibniz foi quem introduziu os termos “constante”, “variável”, “parâmetro” e “coordenadas”, assim como, de “calculus differentialis”, “calculus integralis” e restante notação do cálculo hoje utilizada (Struik, 1997). Entretanto, o estudo de curvas por métodos algébricos desenvolvia-se rapidamente e tornava-se premente a criação de um termo que representasse as quantidades que eram dependentes de uma variável por intermédio de uma expressão analítica, que surge com esse propósito na correspondência trocada por Leibniz e Johann Bernoulli (1667-1748) entre 1694 e 1698 (Ponte, 1992). Bernoulli estudava problemas de cálculo de variações onde as funções ocorriam como soluções e numa carta de 2 de Setembro de 1694 descreve função como:

“…uma quantidade formada de algum modo por quantidades indeterminadas

e constantes”22 (O’Connor e Robertson, 2005, p.2).

Em 1716 foi elaborado um léxico matemático onde não aparece o termo função e a sua primeira divulgação ocorreu num artigo popular de Bernoulli de 1718 que continha a seguinte definição:

“Chamamos função de uma grandeza variável a uma quantidade composta de

um modo qualquer a partir desta grandeza variável e constantes” (Correia,

1999, p. 9).

Estas tentativas de definição de função provinham da já evidente necessidade de existência e enunciação concreta de tal conceito. É neste contexto que Leonhard Euler (1707-1793) apresenta uma primeira definição de função assente na definição anteriormente proposta por Bernoulli, seu antigo professor (Ponte, 1992). Na obra

Introductio in analysin infinitorum de 1748, Euler apresentou a seguinte definição de função:

“Uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta

de um modo qualquer a partir da quantidade variável e de números ou de

quantidades constantes” (Correia, 1999, p. 10).

Euler define constante como a quantidade determinada que assume sempre um e apenas um valor e variável como quantidade indeterminada, ou universal, que comporta em si mesma todos os valores determinados (Botelho, 1992). A diferença entre a definição então apresentada por Euler e a anterior de Bernoulli consiste na substituição de

21,22 Traduções do autor.

59

“quantidade” por “expressão analítica”. A definição de função proposta por Euler implicou que, a nível prático, a noção de função fosse identificada e substituída pela noção de expressão analítica, o que originou vários problemas de incoerência pois uma função podia ser representada por diversas expressões analíticas diferentes. A este facto acresciam ainda algumas limitações, nomeadamente ao nível das funções que poderiam ser consideradas, que sob o ponto de vista actual significaria limitar-se ao estudo das funções analíticas23 (Ponte, 1992). Em Introductio in analysin infinitorum, Euler apresenta as funções contínuas, as funções descontínuas e as funções mistas. As funções contínuas são as funções expressas por uma expressão analítica e as funções mistas são expressas por duas ou mais expressões analíticas. Euler não apresentou uma definição concreta de funções descontínuas, mas trata-se de um conceito mais geral que inclui funções mistas (O’Connor e Robertson, 2005). É evidente que esta classificação de funções não tem qualquer relacionamento com a actual definição de continuidade. Paralelamente da tentativa de definição correcta do conceito de função, Euler também contribuiu decisivamente para que esta investigação se tornasse um objectivo premente (Botelho, 1992). A necessidade de generalização do conceito ainda ficou mais patente quando Euler introduziu as funções de uma variável complexa que, ao contrário das funções reais de uma variável real, não tinham o apelo geométrico imediato de curvas ou gráficos, e sem o apoio da visualização aumenta a necessidade de definições mais precisas e cuidadosas, uma vez que é exigido um maior grau de abstracção. O tratamento isolado de funções transforma-se num procedimento totalmente obsoleto (Botelho, 1992). Em 1734/35, Euler introduz a notação f(x) para a representação da função f da variável x, e em 1755 vê-se obrigado a rever o seu conceito de função (Botelho, 1992). No livro Institutiones calculi differentialis (1755) propôs a seguinte definição:

“Se algumas quantidades dependem de outras quantidades, de modo que se

estas variam as primeiras variam, então chamamos às primeiras quantidades

funções das últimas. Esta designação é de natureza mais ampla e compreende

qualquer método por meio do qual uma quantidade pode ser determinada por

outras. Se, por conseguinte, x denota uma quantidade variável, então todas as

quantidades que dependem de algum modo de x, ou por ele são determinadas,

são chamadas funções de x” (Correia, 1999, p. 65).

Esta nova definição (aproximada da definição moderna de função) decorre da tomada de consciência da parte de Euler dos problemas apontados à sua primeira definição. Contudo, esta passou relativamente despercebida e o reconhecimento de função como expressão analítica manteve-se durante todo o século XVIII (Ponte, 1992). Euler vê o seu trabalho ser contestado pela primeira vez em 1780, principalmente a classificação de funções, quando Cauchy (1789 - 1857) apresentou um exemplo de uma

23 Actualmente as funções analíticas são as funções representáveis por séries de potências.

60

função supostamente mista que podia ser reduzida a uma expressão analítica24. Mas o maior problema surgiu quando Fourier (1768-1830) demonstrou que algumas funções descontínuas podiam ser desenvolvidas numa série, presentemente conhecida como série de Fourier (O’Connor e Robertson, 2005). Em 1821 Cauchy apresentou uma definição de função:

“If variable quantities are so joined between themselves that, the value of one

of these being given, one can conclude the values of all the others, one

ordinarily conceives these diverse quantities expressed by means of the one

of them, which then takes the name independent variable; and the other

quantities expressed by means of the independent variable are those which

one calls functions of this variable” (O'Connor e Robertson, 2005, p.4).

Esta definição de Cauchy tem como elemento chave a dependência entre variáveis. Segundo O’Connor e Robertson (2005), não obstante a generalidade que se pode inferir nesta definição, ela foi pensada para incluir os casos das funções explícitas assim como as implícitas, demonstrando que Cauchy continuava a pensar numa função como uma fórmula. Fourier também contribuiu para a evolução do conceito de função. Ao estudar o fluxo de calor em corpos materiais considerou a temperatura em função de duas variáveis: tempo e espaço (Ponte, 1992). Na obra Théorie analytique de la Chaleur de 1822, Fourier apresentou uma definição onde é possível identificar a tentativa de afastamento da expressão analítica:

“In general, the function f(x) represents a succession of values or ordinates

each of which is arbitrary. An infinity of values being given of the abscissa x,

there are an equal number of ordinates f(x). All have actual numerical values,

either positive or negative or null. We do not suppose these ordinates to be

subject to a common law; they succeed each other in any manner whatever,

and each of them is given as it were a single quantity” (O´Connor e

Robertson, 2005, pp.4-5).

Também conjecturou que era possível obter o desenvolvimento de qualquer função através de uma série trigonométrica num intervalo adequado, mas não apresentou qualquer prova desta conjectura, cabendo a Dirichlet (1805-1859) o mérito de ter formulado as condições necessárias para uma função ser representada por uma série de Fourier (Ponte, 1992). Dirichlet, que havia aceite a definição de Fourier, para atingir tais resultados, viu-se obrigado a reformular a definição de função a fim de a separar definitivamente da sua representação analítica e, em 1837, apresenta uma nova versão

24 O exemplo mais conhecido foi apresentado por Cauchy em 1844. A função

0,0 <−=≥= xsexyxsexy pode ser representada pela expressão 2xy =

(O´Connor e Robertson, 2005; Botelho, 1992).

61

tendo por base uma correspondência arbitrária entre variáveis que representavam conjuntos numéricos:

“y é uma função de uma variável x, definida no intervalo a < x < b , se a todo

o valor da variável x deste intervalo corresponder um valor definido da

variável y. É irrelevante a maneira de estabelecer esta correspondência”

(Kleiner, 1989, p. 10, citado em Mourão, 2002, p.282).

Depois desta definição, a função ficou irremediavelmente associada a uma correspondência entre duas variáveis. Dirichlet também é responsável pela definição de continuidade no sentido actual (Ponte, 1992). Em 1838 Lobachevsky apresentou a seguinte definição de função:

“A function of x is a number which is given for each x and which changes

gradually together with x. The value of the function could be given either by

an analytic expression or by a condition which offers a means for testing all

numbers and selecting one from them, or lastly the dependence may exist but

remain unknown” (O’Connor e Robertson, 2005, p.5).

A definição de Lobachevsky implicava, necessariamente, a continuidade da função (no sentido actual de continuidade). De imediato se constata que perante esta condição muitas funções não poderão ser consideradas como tal, como é o caso da função apresentada por Dirichlet que é descontínua em todos os pontos do domínio [0,1]:

=irracionaléxse

racionaléxsexf

1

0)(

Mais recentemente, a criação e estudo da teoria de conjuntos iniciada por Richard Dedekind (1831-1916) e Georg Cantor (1845-1918) proporcionou grandes desenvolvimentos à noção de função (Ponte, 1992; Estrada et al., 2000) Já no século XX, Edouard Goursat (1858-1936) apresentou em 1923 a definição que é, provavelmente, uma das mais usadas ainda hoje:

“Dizemos que y é uma função de x se a um valor de x corresponde um valor

de y. Indicamos esta correspondência pela equação y = f(x).”25 (O’Connor e

Robertson, 2005, p.6).

Durante o século passado, a definição de função foi ampliada com o intuito abranger todo o tipo de correspondências arbitrárias que satisfazem a condição de singularidade entre conjuntos, numéricos ou não (Ponte, 1992). Em 1939, Nicolas Bourbaki26 define função a partir de um “conjunto de pares ordenados”:

25 Tradução do autor.

62

“Sejam E e F dois conjuntos, não necessariamente distintos. Uma relação

entre um elemento variável, x, de E e um elemento variável, y, de F, é

chamada uma relação funcional em y se, para todo o x ∈E, existir um único

y ∈F que esteja na relação considerada com x. Damos o nome de função à

operação que a cada elemento x ∈E associa o elemento y ∈F que está na

relação dada com x; y é chamado o valor da função no elemento x e a função

é dita determinada pela relação funcional dada. Duas relações funcionais

equivalentes determinam a mesma função (Kleiner, 1989, p. 18, citado em

Mourão, 2002, p.283).

O desenvolvimento da matemática no século XX e a sua crescente intervenção nas outras ciências levaram a generalizar o conceito de função ao caso de variáveis cujos valores pertencem a um qualquer conjunto de objectos. Actualmente, é possível encontrar definições que tentam a todo custo evitar o uso de conceitos dúbios ou indefinidos, em que da noção de correspondência se avançou para a noção de relação, como é exemplo a definição sugerida por Patrick Suppes em 1960:

“Definição. A é uma relação ( ) ( )( ) ( )( )( )zyxzyAxx ,=∃∃⇒∈∀⇔ .

Escrevemos yAz se ( ) Azy ∈, .

Definição. f é uma função ⇔ f é uma relação e

( )( )( )( )zyxfzandxfyzyx =⇒∀∀∀ ” (O’Connor e Robertson, 2005, p.6).

Períodos do desenvolvimento histórico do conceito de Função

As definições referidas neste trabalho não esgotam, certamente, os contributos de todos os matemáticos que pelas mais diversas razões se empenharam no desenvolvimento do conceito de função. No entanto, a partir do resumo realizado torna-se claro que o conceito de função, que hoje nos parece simples, é resultado de uma longa evolução histórica conduzindo sempre, cada vez mais, à abstracção. Youschkevitch (1976/77) considera três fases capitais, no desenvolvimento da ideia de função, até meados do século XIX:

(i) Antiguidade: em que se estudaram casos particulares de dependência entre

duas quantidades mas as noções de ‘quantidades variáveis’ e ‘função’ não

aparecem isoladas;

(ii) Idade Média: as noções anteriores são definitivamente expressas pela primeira

vez nas formas geométrica e mecânica, no entanto os exemplos concretos de

26 Nicolas Bourbaki é o pseudónimo colectivo sob o qual um grupo de matemáticos,

maioritariamente franceses, escreveu uma série de livros que começaram a ser editados em 1935 onde

expunham a matemática avançada moderna.

63

dependência entre duas quantidades eram definidos por descrições verbais ou

por gráficos;

(iii) Período Moderno: este período começou no final do século XVI e caracteriza-

se pelo predomínio das expressões analíticas de funções (principalmente no

século XVII); em meados do século XVIII, esta interpretação (função como

expressão analítica) revela-se desajustada e é substituída por uma nova

definição geral; na segunda metade do século XIX, esta definição geral

“permitiu o desenvolvimento da teoria de funções mas foi traída por

dificuldades lógicas que no século XX fizeram com que a essência do conceito

de função fosse reconsiderada” (Youschkevitch, 1976, p. 39,).

Inicialmente associada a correspondências entre entidades geométricas e depois associadas ao estudo de expressões analíticas, o conceito de função alcançou o estatuto de noção-chave da Matemática. Na actualidade as funções estudadas na Análise Infinitesimal, e usadas nas aplicações, retêm no fundamental a ideia de dependência entre variáveis, mas a generalização do conceito de função levou à criação da Análise Moderna, que compreende ramos como a lógica, a teoria dos conjuntos, a álgebra abstracta e a topologia geral, entre outros. O desenvolvimento da matemática no século XX e a sua intervenção cada vez maior nas outras ciências levaram a generalizar o conceito de função ao caso de variáveis cujos valores pertencem a um qualquer conjunto de objectos. Quiçá, não estaremos a atravessar a época que mais tarde será designada como o quarto período do desenvolvimento do conceito de função, iniciada na segunda metade do século XX.

2.3.2. Ensino/aprendizagem do conceito de Função

O National Council of Teachers of Mathematics (NTCM, 1991) considera que o conceito de função é uma importante ideia unificadora na Matemática. As recomendações referentes à importância e ênfase a dar a este conceito estendem-se pela história do ensino da Matemática do século passado, acompanhadas por indicações metodológicas relativas ao modo como o conceito de função deveria ser ensinado (Wilson, 1991). Trata-se de um conceito complexo e, como tal, o seu ensino não pode ser encarado de uma forma simplista e leviana.

“The concept of function is very complex. There are several reasons for this.

First, there are many common ways to represent functions, including graphs,

formulas, tables, mappings, and descriptions. Meaningful understanding

requires individuals to construct multiple presentations as well as operations

for transforming from one representation to another. Second, the notion of

function involves many other concepts. A few of the sub-concepts associated

with it are domain, range, inverse, and composition. Other concepts closely

64

related to function are quantity, variable and ratio. It is difficult to discuss

functions without referring to some of these sub-concepts. Third, there are

several accepted definitions for function (e.g., dependence relation, rule,

mapping, set of ordered-pairs). Although these definitions are equivalent (or

nearly equivalent) mathematically, they differ conceptually (see e.g., Vinner

& Dreyfus, 1989)” (Wilson, 1991, pp.7-8).

Perante estes factos, ganha relevância a análise de questões referentes à definição de função a considerar, à introdução das formas de representação da função, e ao modo como os alunos percepcionam, constroem e compreendem o conceito. Como é possível constatar pela sua história, o desenvolvimento do conceito de função está fortemente relacionado com a resolução de problemas reais e concretos (como grande parte dos conceitos matemáticos), nomeadamente de carácter físico. Esta associação é um aspecto histórico que não pode ser ignorado no momento em que projecta o processo de ensino aprendizagem deste tema. Como já anteriormente foi apontado noutros pontos deste capítulo, os alunos deverão envolver-se em actividades que seja significativas para eles, concretas e reais, que lhes permitam desenvolver as competências matemáticas necessárias ao seu dia-a-dia, e certamente as situações que melhor preenchem esses requisitos são as relacionadas com o seu quotidiano e o mundo físico que os rodeia. Este importante aspecto é realçado por vários autores. Segundo Caraça (1998), os conceitos matemáticos surgem uma vez que sejam postos problemas de interesse capital, prático ou teórico. O conceito de função não é excepção. Associada à definição de lei natural27, o conceito de função surge como o conceito próprio para o estudo das leis quantitativas:

“Então em que consiste, afinal, a lei? – Na forma de correspondência de dois

conjuntos. Se, por consequência, queremos estudar leis quantitativas, temos

que criar um instrumento matemático cuja essência seja a correspondência de

dois conjuntos” (Caraça, 1998, p.119).

As leis naturais surgiam como um instrumento para o entendimento e explicação da realidade. Esta característica é, consequentemente, extensível ao conceito de função. O aparecimento e desenvolvimentos mais significativos deste conceito estão relacionados com o estudo de fenómenos físicos, como por exemplo o movimento. Sendo as leis dos fenómenos expressas por funções, são os conceitos matemáticos de variável e de função que permitem interpretar os movimentos e, geralmente, os fenómenos naturais. Ponte (1992, p.3) afirmou que:

27 “Definição: Chamaremos lei natural a toda a regularidade de evolução de um isolado” (Caraça,

198, p.112). Um isolado é “um conjunto de seres e factos, abstraindo de todos os outros que com eles

estão relacionados” (Caraça, 1998, p.105). Caraça define dois tipos de lei: lei qualitativa que diz respeito

à variação de qualidade, e lei quantitativa que se refere à variação de quantidade.

65

“As funções são ferramentas excelentes para estudar problemas de variação.

Uma determinada quantidade pode variar no tempo, pode variar no espaço,

pode variar com outras quantidades, e pode mesmo variar simultaneamente

em várias dimensões”.

Mais, Ponte (1992) refere-se a Galileu e Newton como dois importantes exemplos de matemáticos que também se notabilizaram na física através das aplicações matemáticas estabelecidas e contributos para o desenvolvimento do conceito de função:

“De acordo com Galileu, para estudar um determinado fenómeno, era

necessário medir quantidades, identificar regularidades, e obter relações

representando descrições matemáticas tão simplesmente quanto possível. O

estudo do movimento da queda corpos, do movimento de planetas, e mais

geral, do movimento curvilíneo, conduziu à consideração de

proporcionalidades directas e inversas, como também de funções polinomiais

e trigonométricas” (Ponte, 1992, p.3).

Decididamente, “medir quantidades”, “identificar regularidades” e “obter relações” que se possam representar através de descrições matemáticas o mais simples possível, serão aspectos importantes que os alunos deverão experimentar na realização de actividades, isto é, deve-lhes ser proporcionada a oportunidade de fazer matemática.

"Pode ser discutido que muitas das dificuldades que os estudantes

experienciam na matemática escolar surgem da pressão para lidar

predominantemente com as mais abstractas entidades, sem considerar o seus

fundamentos naturais. Construir e analisar tabelas, calcular valores numéricos,

desenvolver um senso quantitativo, e adquirir uma noção para o que são

aproximações aceitáveis e inaceitáveis, são aspectos importantes da

competência matemática que só pode ser atingida se a pessoa poder

frequentemente e facilmente lidar com números concretos, se possível, vindo

de situações da vida real" (Ponte, 1992, p.8).

Actualmente, as aplicações da matemática, e em concreto das funções, são infindáveis estendendo-se a todas as ciências. Estas aplicações são concretizadas, essencialmente, por modelação. A modelação é considerada como uma das experiências de aprendizagem essenciais a proporcionar aos alunos, nomeadamente, no desenvolvimento do tema funções:

“No último ciclo da educação básica, é importante que os alunos tenham

experiências de aprendizagem em que as funções e gráficos surjam como

modelos de situações reais diversas. Em particular, devem ser consideradas

situações em que trabalhem com conceitos também abordados noutras

66

perspectivas, como é o caso da proporcionalidade directa e inversa”

(Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999, p.120).

Segundo Edwards e Hamson (1990), referidos em Carreira (1992), um modelo é uma forma simplificada de representar determinados aspectos de um sistema real e, mais especificamente, um modelo matemático é um modelo que assenta no uso de conceitos matemáticos (como funções e equações), para traduzir a situação real. Niss (1989, referido em Carreira, 1992) estabelece o modelo matemático através de um trio ordenado (A, M, f), em que A representa o segmento do mundo real a ser investigado, M o conjunto de objectos e f a correspondência que possibilita a transferência de determinados elementos de A para M. A construção de um modelo matemático é um processo constituído por diversas fases, em que poderão ser necessários vários ciclos para atingir um resultado satisfatório. Para Niss (1989, referido em Carreira, 1992, p.4), o processo de modelação inclui diversas actividades sequenciais:

a) Identificação dos aspectos da realidade a modelar;

b) Selecção de objectos, relações, e outros elementos, relevantes para esse

propósito;

c) Idealização dos dados anteriores de uma forma adequada para a sua

representação matemática;

d) Escolha do universo matemático adequado ao estabelecimento do

modelo;

e) Tradução para a Matemática dos aspectos previamente seleccionados

na realidade;

f) Estabelecimento de relações matemáticas entre os objectos traduzidos,

explicando os pressupostos formulados (hipóteses) e propriedades;

g) Uso de métodos matemáticos para obter resultados e conclusões;

h) Interpretação dos resultados e conclusões no contexto da situação

original;

i) Avaliação do modelo, através da confrontação com a realidade, da

comparação com outros modelos ou com a teoria existente;

j) Modificação do modelo ou construção, se necessário, de um novo. A evolução das definições do conceito de função está intimamente relacionada com os modos de representação das funções: numérica, gráfica e algébrica. O modo de representação de uma função é um aspecto fundamental a ter em conta na iniciação dos alunos no estudo do tema. No início do século XX, as recomendações para o ensino do conceito de função passavam pelo uso de situações reais com o intuito de introduzir informalmente o conceito. Posteriormente, a meio do século, as recomendações indicavam a abordagem das funções como conjuntos de pares ordenados ou correspondências arbitrárias entre conjuntos, ou seja, a instrução inicial acerca de funções deveria decorrer dentro de uma estrutura matemática formal (Wilson, 1991).

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Segundo Ponte (1992), o ensino das funções deve articular de forma equilibrada as três formas de representação de funções mais importantes: numérica, gráfica e algébrica. Ainda de acordo com o autor, seria uma má interpretação da importância histórica das representações analíticas e geométricas de função permitir subestimar o papel dos aspectos numéricos na aprendizagem das funções, pois nas situações do mundo real, valores numéricos concretos estão subjacentes às expressões analíticas e às curvas geométricas. A este facto acresce as dificuldades que os alunos demonstram em trabalhar com gráficos cartesianos e expressões algébricas, corroboradas por estudos que confirmam que os alunos perante a necessidade de interpretar relações funcionais representadas graficamente, habitualmente recorrem a estratégias e processos de raciocínio numéricos (Ponte, 1992). Recentes tendências sugerem a iniciação do estudo das funções de um modo fortemente intuitivo e informal, adiando-se a introdução das funções centrada na teoria dos conjuntos. Essa abordagem inicial de carácter informal passa pela exploração e representação de situações reais, concretas, através de gráficos e tabelas de valores (Abrantes et al., 1999). Também Ponte (1992) se refere à importância do estudo de características das funções a partir dos seus gráficos cartesianos, onde ideias e outros conceitos como variação (crescimento, decrescimento, etc.), variação na variação (continuidade, descontinuidade, etc.), serão compreendidos de uma forma mais significativa por parte dos alunos. Ponte (1992) explica a sua importância da seguinte forma:

“Ser matematicamente literado significa ser capaz de usar estes conceitos

para fazer predições, interpolar, e extrapolar; ser capar de estabelecer relações

entre diferentes funções por sobreposição de gráficos; e também, ser capaz de

construir curvas de regressão que aproximam o relacionamento de dados

obtidos empiricamente e tem uma ideia do grau de associação entre duas

variáveis" (p.4).

Na sequência da integração equilibrada das diferentes formas de representação de uma função proposta por Ponte (1992), o trabalho com as expressões analíticas não perde importância, mas mais importante do que conseguir manipular correctamente uma expressão algébrica, será, certamente, que os alunos compreendam o significado dessas expressões em situações concretas, de preferência reais, como no caso de fórmulas da física ou de outras ciências quaisquer. Outro aspecto essencial relativo às diversas representações é o estabelecimento de relações entre elas. A aprendizagem das funções deverá contemplar o estabelecimento e compreensão de relações entre vários tipos de representação matemática – tabelas de valores (dados numéricos), gráficos e expressões algébricas – dado que “ajuda os alunos a desenvolver diversos tipos de conexões e a compreender o conceito de função” (Abrantes et al., 1999, p.118), aspectos importantes da competência matemática que interessa desenvolver. As mais recentes recomendações educacionais são fundamentadas em considerações sobre o processo cognitivo dos alunos na construção dos conceitos sobre funções. Uma das abordagens propostas para o conceito de função é a teoria da reificação de Anna Sfard (1989, em Fernandes, 1997; Mourão, 2002). Sfard considera que é possível observar duas formas diferentes de pensamento matemático na origem de grande parte

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dos conceitos matemáticos: uma concepção operacional em que os conceitos são concebidos como um produto de certos processos ou são identificados com os próprios processos, e uma concepção estrutural em que as “noções matemáticas são tratadas como se se referissem a entidades como objectos reais, como estruturas estáticas permanentes que podem ser manipuladas e combinadas em estruturas mais complexas” (Mourão, 2002, p. 275). Segundo este modelo de desenvolvimento conceptual, a concepção operacional é a primeira a aparecer, que depois através da reificação dos processos, permite o desenvolvimento dos objectos matemáticos.

Concepção operacional Concepção estrutural Características gerais A entidade matemática é concebida

como um produto de certo processo ou é identificada com o próprio processo

A entidade matemática é concebida como uma estrutura estática – como se fosse um objecto real

Representações internas

É apoiada por representações verbais

É apoiada por imagética visual

O seu lugar no desenvolvimento de conceitos

Desenvolve-se na primeira fase da formação do conceito

Desenvolve-se a partir da concepção operacional

O seu papel nos processos cognitivos

É necessária mas não suficiente para uma eficaz aprendizagem e resolução de problemas

Facilita todos os processos cognitivos (aprendizagem, resolução de problemas, etc.)

Tabela 2: Concepções estrutural e operacional: sumário

(Sfard, 1991, p. 23, citada em Mourão, 2002, p. 280).

Na concepção operacional, os alunos pensam nos processos computacionais (cálculos algébricos) associados às funções, e na concepção estrutural pensam no conceito como um objecto. Este processo de desenvolvimento é longo e difícil, decorrendo em três fases:

(i) Interiorização – os processos são realizados em objectos matemáticos

elementares e previamente conhecidos, como por exemplo as manipulações

algébricas; nesta etapa os alunos aprendem a noção de variável e adquirem

“a capacidade de usar uma fórmula para encontrar valores da variável

dependente” (Sfard, 1991, p.19, citada em Mourão, 2002. p. 284);

(ii) Condensação – os processos anteriores são transformadas em unidades

compactas, daí emergindo em entidades independentes e de fácil

manipulação; os alunos serão capazes de pensar num processo como um

todo em termos de informação inicial e resultado final (input-output); nesta

fase os progressos dos alunos traduzem-se na facilidade em trabalhar com

correspondências como um todo sem olhar para valores específicos, e poderá

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ser capaz de investigar funções, desenhar gráficos de funções e combinar

pares de funções;

(iii) Reificação – é alcançada uma aptidão para ver as novas entidades como

objectos permanentes por direito próprio; os alunos reificaram o conceito de

função quando compreenderem plenamente as diversas representações de

uma função, alternado entre elas se necessário, quando resolverem equações

funcionais, e quando revelar “capacidade de falar acerca de propriedades

gerais de diferentes processos realizados com funções (tais como

composição ou inversão) e pelo derradeiro reconhecimento de que os

cálculos algébricos [computability] não são uma característica necessária dos

conjuntos de pares ordenados que definem funções” (Sfard, 1991, p. 20,

citada em Mourão, 2002, p. 285).

Mourão (2002) resume algumas dificuldades apontadas por Sfard como indicadores da não reificação por parte dos alunos do conceito de função, a saber: a concepção de função como um processo e não como uma construção estática, dificuldades em lidar com a função constante, relutância em aceitar “correspondências arbitrárias” como funções, e tendência para identificar o conceito com uma das suas representações. Perante este modelo conceptual, Sfard propõe que as funções não sejam introduzidas por intermédio de descrições estruturais como é o caso da definição de função como um conjunto de pares ordenados, mas sim por descrições operacionais tal como a definição de função como uma dependência de uma quantidade variável em relação a outra (Mourão, 2002; Wilson, 2001). Apesar da dificuldade em alcançar a concepção estrutural (reificação), esta deve ser estimulada nos alunos, mas apenas quando se tornar indispensável (Mourão, 2002). Uma segunda abordagem do conceito é proposta por Wilson (2001). O autor, a partir da interpretação dos trabalhos sobre a compreensão dos alunos no campo das funções e da sua experiência profissional, propõe um modelo para a construção do conceito de função baseado numa sucessão de estádios cognitivos que terminam com uma significativa compreensão e competência em lidar com as funções. Os quatro estádios que compõem o modelo são designados de campos perceptuais que traduzem diferentes modos de organizar ideias sobre funções. No primeiro campo, a função é percepcionada como uma expressão, isto é, os alunos encaram a função como uma fórmula, equação ou expressão algébrica, sendo capazes de efectuar operações e aplicar um algoritmo na construção de um gráfico, mas não compreendem a relação entre a expressão e os valores obtidos a partir dela. Nem tão pouco compreendem o processo que transforma um valor da variável independente num valor da variável dependente. No segundo campo, a função é uma acção, ou seja, os alunos são capazes de substituir uma variável por números e realizar cálculos com o intuito de obter valores numéricos. Poderão ser capazes de identificar as variáveis independentes e dependentes, mas só começam a perceber o processo de transformação

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de uma variável em outra. No terceiro campo, a função é vista como um processo. Os alunos que se encontram neste estádio são capazes de pensar em tomar um valor e transformá-lo noutro, compreendem a relação entre as variáveis dependentes e independentes, e as relações entre as diferentes formas de representação da função. O aluno compreende operações para avaliar funções que não são representadas por uma expressão algébrica simples, como por exemplo, as funções circulares. Por fim, no quarto campo, a função é percepcionada como um objecto dinâmico. Este estádio incorpora os estádios anteriores. Os alunos que alcancem este estádio são capazes de considerar vários aspectos da função, e seleccionar as propriedades mais importantes para a resolução dos problemas, ou seja, são capazes de relacionar qualquer característica com o todo. É a forma mais organizada, flexível e útil de pensar nas funções: “It describes a organized, logical and rich concept of function” (Wilson, 1991. p.8). O processo de aprendizagem não é necessariamente linear e os campos da expressão e acção estão no nível cognitivo mais baixo de compreensão do conceito de função. Wilson (1991) sugere que há três caminhos possíveis para progressão através dos campos.

Figura 3: Caminho para o estudante começar com um conceito de expressão.

Figura 4 : Possíveis caminhos para o aluno iniciar com um conceito de acção.

(Wilson, 1991, pp.8-9).

Wilson (2001) refere que o campo mais elevado da concepção do conceito de função deverá ser atingido no secundário, mas admite que os alunos do ensino básico (pré-secundário) apenas atinjam os dois campos inferiores de compreensão. Defende que uma definição dinâmica de função, como a relação de dependência definida por uma regra, será mais apropriada para iniciar o estudo das funções, principalmente no

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secundário, visando a construção do conceito a partir de conhecimentos anteriores sobre operações com números e de situações reais do quotidiano dos alunos em que experienciam o contacto com funções: “In other words, a less formal approach would make it more natural for students to develop formal notions of function by building on less formal but more natural intuitions and experiences (Wilson, 1991, p.11). A evolução histórica do conceito de função relembra-nos que não há uma única forma de encarar as funções. Mesmo actualmente, dependendo do campo da matemática em que nos enquadramos, as funções têm abordagens diferentes: na análise matemática mantêm a ideia de dependência entre variáveis numéricas; na álgebra enfatizam a noção de relação; na lógica e ciência computacional importam, sobretudo, os aspectos algorítmicos (Ponte, 1992). Do exposto ao longo deste subcapítulo, percebe-se que as recomendações pedagógicas são no sentido de não definir função como um conjunto de pares ordenados (Mourão, 2002; Wilson, 1991, Ponte, 1992). Esta definição enfatiza uma perspectiva algébrica que, apesar de ser parte importante do estudo das funções, não é um apoio “sustentável para produzir uma teoria matemática elementar acessível, rica em resultados interessantes e em aplicações significativas” (Ponte, 1992. p.8). Geralmente, nas aulas de matemática, os professores sobrevalorizam a importância da manipulação algébrica que, no entanto, não é suficiente para resolver problemas reais. Sfard e Wilson indicam a ideia de dependência entre variáveis como a abordagem mais indicada para o início do estudo das funções e posterior definição do conceito. Ponte (1992) defende a apresentação das funções como correspondências entre conjuntos numéricos, usando exemplos em que existe uma expressão analítica ou uma regra simples, e que não se deve dar demasiada importância ao facto de alguns alunos associarem o conceito de função ao de expressão analítica, dado que, como vimos anteriormente, é um “erro” natural associado à história do conceito. Segundo Ponte (1992), as funções numéricas destacam-se pela simples e intuitiva representação geométrica, e são úteis para descrever muitos tipos de situações diferentes, permitindo aos estudantes trabalhar a partir de uma base de conhecimento prévio e em representações variadas de situações com que já estão habituados. O estudo das funções deverá ser iniciado de uma forma intuitiva e informal, prestando-se para tal a exploração de situações reais e concretas representadas em gráficos e tabelas de valores (numericamente). Os alunos deverão ter a oportunidade de reflectir e discutir sobre problemas significativos, reais, e elaborar estratégias adequadas para a sua resolução, usando processos como a modelação ou outros similares. Não podemos ignorar que a evolução da matemática, e em particular do conceito de função, estiveram intimamente ligados à resolução de problemas físicos, que, se possível e com grau de dificuldade adequados, poderão ser experimentados pelos alunos na sua construção do conceito. No entanto, é necessário realçar a importância de articulação das três formas principais de representação de uma função, numérica, gráfica e algébrica. Estas capacidades são parte fundamental da competência matemática que o aluno deve desenvolver.

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Capítulo 3

METODOLOGIA Neste capítulo são referidas as opções metodológicas do presente trabalho, assim como, as principais características dos participantes, as tarefas desenvolvidas, os materiais usados e as formas de recolha e de análise dos dados.

3.1. Opções metodológicas

Como foi referido no primeiro capítulo, com esta investigação pretende-se descrever, analisar e compreender como os alunos aprendem matemática tendo os robots como elementos mediadores e potenciadores do processo de aprendizagem. Para tal, foram desenvolvidas experiências pedagógicas usando pequenos modelos robóticos e seleccionadas duas turmas do oitavo ano de escolaridade para a sua aplicação. Não se pretende comprovar hipóteses preliminares nem generalizar as eventuais conclusões, mas analisar e compreender com alguma profundidade o alcance de tal prática. Esta investigação assenta, fundamentalmente, num processo de natureza subjectiva (processo de ensino/aprendizagem), complexo e dependente da realidade em que se insere. Assim, realizou-se uma investigação-acção recorrendo a métodos qualitativos, ou seja, alicerçada numa abordagem qualitativa.

3.1.1. Investigação-acção

Segundo Bogdan e Biklen (1994), “a investigação-acção consiste na recolha de informações sistemáticas com o objectivo de promover mudanças sociais” (p. 292) e “é um tipo de investigação aplicada no qual o investigador se envolve activamente na causa da investigação“ (p. 293). Cohen, Manion e Morrison (2000) referem algumas áreas onde a metodologia da investigação-acção pode ser aplicada: (1) em métodos de ensino, substituindo um método tradicional por um método pela descoberta, (2) em estratégias de aprendizagem, adoptando uma aprendizagem integrada em vez do estilo de assunto único, (3) encorajando atitudes mais positivas dos alunos no seu trabalho, ou modificando o seu sistema de valores em relação a algum aspecto da vida, e (4) desenvolvendo a formação do professor em serviço, através da aplicação de novos métodos de ensino. O estudo desenvolvido tem várias das características atrás referidas visto que pretende potenciar o processo de ensino/aprendizagem através da descoberta, partindo de situações experimentais concretas, apelando à integração dos mais diversificados saberes, incluindo os de carácter empírico, encorajando os alunos a participar, promovendo o seu interesse e a sua motivação para o estudo da temática e, em geral, da Matemática. Quanto ao professor, o estudo é um importante momento de formação tanto a nível teórico como a nível prático. Segundo Hut, Lennung e Mckernan (em Cohen et al., 2000, pp. 228-229) as principais características da investigação-acção são: (1) é realizada directamente in situ; (2) usa o feedback dos dados recolhidos num processo cíclico; (3) procura compreender

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determinadas situações sociais complexas; (4) procura compreender os processos de mudança no interior de sistemas sociais; (5) procura melhorar a qualidade das acções humanas; (6) centra-se em problemas que estão imediatamente relacionados com os participantes; (7) é participante; (8) frequentemente usa estudos de caso; (9) tende a evitar o paradigma do investigador que isola e controla as variáveis; (10) é formativa (a definição do problema, os instrumentos de recolha de dados, a metodologia podem modificar durante o processo de investigação-acção); (11) inclui a avaliação e a reflexão. Na investigação-acção é passível o uso de métodos quantitativos e qualitativos, sendo que os qualitativos se baseiam na recolha de dados por observação, por entrevista ou através de documentos (Bogdan e Biklen, 1994, p.293). No presente estudo foi realizada uma abordagem qualitativa.

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3.1.2. Investigação qualitativa

Não existirá uma definição estanque de investigação qualitativa dado o elevado número de temas e disciplinas em que é usada e os muitos métodos e abordagens consignados sob esta designação (Denzin e Lincoln, 1994). No entanto, Bogdan e Biklen (1994) referem-se à investigação qualitativa como "uma metodologia de investigação que enfatiza a descrição, a indução, a teoria fundamentada e o estudo das percepções pessoais" (p. 11). O principal objectivo de uma investigação qualitativa é compreender o comportamento e experiências humanas. Na investigação qualitativa procede-se à recolha de dados, designados de qualitativos, constituídos por pormenores descritivos que visam a compreensão dos comportamentos a partir da perspectiva dos sujeitos da investigação. A abordagem assume um forte cunho descritivo e interpretativo. Os dados e as provas não são recolhidos com o intuito de confirmar ou infirmar hipóteses determinadas à priori, pois as abstracções só são construídas à medida que se recolhem e agrupam os dados particulares (Bogdan e Biklen, 1994). Ainda segundo os mesmos autores, os principais aspectos que caracterizam a metodologia de investigação qualitativa são: (1) a fonte directa de dados é o ambiente natural, sendo o investigador o instrumento principal; (2) a investigação qualitativa é descritiva (os dados recolhidos são na sua essência descritivos); (3) a investigação qualitativa incide mais nos processos do que nos resultados ou produtos; (4) os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de modo intuitivo; (5) o significado é vital na abordagem qualitativa (é dada especial importância ao ponto de vista dos participantes) (Bogdan e Biklen, 1994, pp.47-50). A função do investigador numa investigação qualitativa é estabelecer estratégias e procedimentos que lhe permitam tomar em consideração as experiências do ponto de vista do informador, ou seja, “os investigadores qualitativos preocupam-se com aquilo que se designa por perspectivas participantes” (Erickson, 1986, referido em Bogdan e Biklen, 1994, p. 50). Pretende-se que o investigador entre no mundo das pessoas alvo do seu estudo e mantenha uma perspectiva exterior a essa situação, procurando minimizar o impacto da sua presença. As recolhas dos dados são descritivas e a sua análise indutiva, procurando ultrapassar opiniões ou preconceitos pessoais. De acordo com Psathas (1973), citado em Bogdan e Biklen, (1994, p.51), “os investigadores qualitativos em educação estão continuamente a questionar os sujeitos de investigação, com o objectivo de perceber aquilo que eles experimentam, o modo como eles interpretam as suas experiências e o modo como eles próprios estruturam o mundo social em que vivem”. Preocupam-se com o rigor e a abrangência dos seus dados. As concepções anteriores estão presentes em Denzin e Lincoln (1994) quando fazem uma breve distinção entre investigação qualitativa e quantitativa:

“The word qualitative implies an emphasis on processes and meanings that

are not rigorously examined, or measured (if measured at all), in terms of

quantity, amount, intensity, or frequency. Qualitative researchers stress the

socially constructed nature of reality, the intimate relationship between the

researcher and what is studied, and the situational constraints that shape

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inquiry. Such researchers emphasize the value-laden nature of inquiry. They

seek answers to questions that stress how social experience is created and

given meaning. (…)” (p. 4).

Aquando da realização de uma investigação de carácter qualitativo, as principais questões que se levantam dizem respeito à fiabilidade do estudo e à generalização dos resultados obtidos. A aceitação da investigação qualitativa como abordagem científica e a sua relação com a investigação quantitativa foram amplamente discutidas (e. g. Smith, 1983; Smith e Heshusius, 1986; Firestone, 1987). Relativamente a este assunto Bogdan e Biklen, (1994) referem:

“Alguns autores podem utilizar definições muito estritas de ciência, apenas

considerando científica a investigação dedutiva e de testes de hipóteses.

Contudo, parte significativa da atitude científica, como a entendemos, passa

por uma mente aberta no respeitante aos métodos e às provas. A investigação

científica implica um escrutínio empírico e sistemático que se baseia em

dados. A investigação qualitativa preenche estes requisitos (…)” (p. 64).

Por generalização de resultados entende-se a aplicação e extensão dos resultados de um estudo particular a outros locais e sujeitos diferentes. Normalmente, os investigadores qualitativos não pensam na generalização desta forma convencional (e.g. Williams, 2002), porque valorizam o estabelecimento de afirmações universais sobre processos sociais gerais em detrimento de considerações relativas a pontos comuns de contextos semelhantes, ou seja, parte do pressuposto que o comportamento humano não é aleatório ou idiossincrático: “Deste modo, a preocupação central não é a de se os resultados são susceptíveis de generalização, mas sim a de que outros contextos e sujeitos a eles podem ser generalizados.” (Bogdan e Biklen, 1994, p.66). Ainda de acordo com os mesmos autores, outros investigadores qualitativos entendem que os seus estudos devem documentar cuidadosamente determinado contexto ou grupo de sujeitos, deixando para outros o trabalho de enquadramento dos resultados no cômputo geral.

3.2. Participantes

A parte empírica desta investigação realizou-se no ano lectivo de 2005/06 numa escola do ensino básico do segundo e terceiro Ciclos da zona oeste da Região Autónoma da Madeira. Todos os alunos eram provenientes da localidade onde se insere a escola. As tarefas foram desenvolvidas em duas turmas do oitavo ano de escolaridade. Esta escolha decorreu do facto do investigador desempenhar as funções de professor de Matemática destes alunos pelo segundo ano consecutivo e de ser o Director de Turma de uma das turmas em questão. Estas circunstâncias proporcionaram um conhecimento e confiança mais aprofundado das duas partes. Também facilitou o contacto com os Encarregados de Educação dos discentes, a quem, após autorização da Direcção Executiva da escola para a realização da investigação (anexo 1), foram solicitadas autorizações escritas (anexo 2) para a participação dos seus educandos no estudo e para

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a realização de gravações áudio e vídeo das aulas em que participavam. Na selecção das turmas também influiu o facto de apresentarem um número de alunos razoável, indicado para o tipo de tarefas que se pretendia desenvolver, assim como, para a quantidade de materiais disponíveis, nomeadamente os conjuntos de construção dos modelos robóticos. Uma turma era composta por 19 alunos, dos quais 14 eram rapazes e 5 eram raparigas. A média de idades dos alunos era de 13,8 anos e não tinha alunos repetentes. No entanto, 10 alunos repetiram o sétimo ano de escolaridade e outros 4 foram retidos pelo menos uma vez em anos de escolaridade anteriores a esse. O aproveitamento destes alunos a Matemática no ano anterior foi muito heterogéneo. Mais de cinquenta por cento dos alunos foram avaliados com nível positivo, mas verificou-se uma grande percentagem de níveis negativos relacionados com alguma desmotivação e desinteresse pela disciplina ou pela escola. A segunda turma era constituída por 16 alunos, 9 rapazes e 7 raparigas. No início do ano lectivo a turma contava com 18 alunos. Entretanto, dois alunos pediram transferência de escola por motivos familiares e outros dois ingressaram no mundo de trabalho, anulando a matrícula ainda na primeira semana de aulas. A média de idades era de 13,4 anos e todos os alunos estavam no oitavo ano de escolaridade pela primeira vez, mas cinco repetiram o sétimo ano de escolaridade. O aproveitamento global destes alunos a Matemática no ano anterior foi satisfatório. Independentemente da turma, a grande parte destes alunos provinham de contextos socio-económicos médios ou baixos, onde as mães são, em geral, domésticas e os pais pedreiros ou pescadores. A maioria dos pais ou Encarregados de Educação dos alunos têm habilitações ao nível do primeiro ciclo e somente alguns completaram ou foram além do segundo ciclo. Nos diversos inquéritos realizados pelos Directores de Turma para fundamentação dos Projectos Curriculares de Turma, a generalidade dos alunos referiu que gosta da escola mas que não gosta das aulas. Também se pôde constatar que todos os alunos já tinham conhecimentos básicos de informática, nomeadamente ao nível de processamento de texto (Word), folha de cálculo (Excel) e Internet, adquiridos na disciplina de Novas Tecnologias (disciplina de oferta da escola) e na área curricular não disciplinar de Área de Projecto. Alguns alunos afirmaram usar assiduamente os computadores disponíveis na biblioteca e na sala de estudo da escola.

3.3. Materiais utilizados

Nas tarefas elaboradas e aplicadas nesta investigação foram usados alguns materiais: fitas métricas, cartolinas, tabuleiros (especificamente elaborados) e robots. Considerando o papel central que os robots desempenharam nessas propostas de trabalho, interessa apresentá-los e descrever as suas principais características e potencialidades. Os modelos robóticos usados nas tarefas, como é o caso do “Tanque” (Figura 5) e do “Todo-o-terreno” (Figura 6), foram construídos com kits de montagem de robots da série Robotics Invention System™ 2.0 da Lego Mindstorm™.

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Figura 5 – Tankbot (“Tanque”)

Figura 6 – Roverbot (“Todo-o-terreno”)

Os kits de montagem possuem 718 peças, com diferentes formas e tamanhos, e funções distintas. Grande parte dessas peças destina-se à montagem da estrutura do robot, na qual são instalados motores que permitem o accionamento de rodas ou braços, sensores de toque e de luz (percepcionam a intensidade luminosa), e um bloco designado por RCX – Robotics Command System (Figura 7) que consiste num microcomputador programável. O RCX possui três portas de entrada e três portas de saída. As portas de entrada são para conectar os sensores que permitem ao robot percepcionar o meio envolvente. As portas de saída são para as ligações dos motores. Desta forma, o RCX consegue determinar o comportamento do robot em função do que percepciona no meio envolvente e de acordo com o estipulado num dos cinco programas que consegue armazenar.

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Figura 7 - RCX (Robotics Command System)

Os programas são construídos com o software da Robotics Invention System™ 2.0 (Figura 8) na linguagem de programação RCX code. Esta linguagem usa comandos estabelecidos em blocos de construção, cuja montagem é similar aos blocos LEGO®. A construção de um programa consiste em escolher e arrastar os blocos (comandos) pretendidos para a zona de programação e proceder ao seu encaixe na estrutura já existente. A construção assim realizada representa as tradicionais linhas de comando. Existem os seguintes tipos de comandos: movimento e som, variáveis, espera e repetição, opções de sim ou não (condições), e sensores. Também é possibilitado a construção de blocos de comando que agregam um conjunto de instruções, isto é, escondem uma composição de outros blocos de comando. Após a elaboração do programa pretendido é possível descarregá-lo no microcomputador RCX através de uma torre de infravermelhos. A execução do programa pode ser iniciada e terminada no próprio RCX ou a partir do ambiente de programação.

Figura 8 – Ambiente de programação Robotics Invention System™ 2.0.

A escolha destes modelos robóticos deve-se às suas características. Como a base de construção dos modelos assenta no uso de peças LEGO® permite que esta seja

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relativamente rápida e de fácil execução, passível de ser realizada pelos alunos, podendo assim tornar-se num factor motivacional importante. Como os modelos não são estáticos, também é possível construir ou modificar modelos robóticos adaptados às mais diversas situações ou problemas de forma a obter os melhores resultados. Outra importante característica destes modelos prende-se com a “programação”. O software de programação é de fácil instalação e manuseamento, não sendo necessário que os alunos tenham noções de programação para construírem algoritmos na resolução dos problemas. O ambiente de programação é apelativo, baseado no arrastamento e junção de blocos que representam os mais variados comandos cuja composição vertical ou paralela (no caso dos comandos dos sensores) determinam o algoritmo. Os modelos robóticos e os respectivos softwares foram disponibilizados pelo investigador e pelo projecto DROIDE do Departamento de Matemática e Engenharias da Universidade da Madeira. Os computadores foram disponibilizados pela escola na forma do laboratório móvel de informática, composto por dezasseis computadores portáteis.

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3.4. Tarefas

Atendendo aos objectivos delineados para a investigação foram propostas cinco tarefas para as aulas e uma extra-aula. As tarefas foram idealizadas e preparadas a partir de situações usadas com alguma frequência nas aulas de Matemática como, por exemplo, o estudo da representação gráfica de uma viagem que traduz a distância do veículo a um determinado ponto de partida em função do tempo. No entanto, essas abordagens tinham carácter meramente teórico e nunca prático ou experimental como agora. As propostas de trabalho foram sucessivamente melhoradas até ao momento da sua aplicação e considerando sempre que seriam realizadas em grupo. Exceptuando a primeira tarefa (designada por tarefa introdutória) cujas características e objectivos foram diferentes das restantes, pois não visava explicitamente a abordagem de conteúdos matemáticos, todas as tarefas realizadas inserem-se no tema das Funções. A concentração das tarefas numa unidade temática deve-se, essencialmente, à intenção de proporcionar uma continuidade do processo de aprendizagem, evitando que a utilização dos modelos robóticos surgisse em propostas de trabalho isoladas, integradas com outras metodologias, o que dificultaria a identificação do papel e importância dos modelos durante o processo de aprendizagem dos alunos. A aplicação das tarefas decorreu durante o segundo período, mais concretamente nos meses de Janeiro e Fevereiro, conforme a planificação anual realizada pelo professor. De seguida, apresentam-se os aspectos gerais de cada uma das tarefas propostas, tais como, o modo e tempo de implementação, os objectivos, o material utilizado e o processo de conclusão das mesmas.

Tarefa Introdutória

Esta tarefa decorreu no dia 18 de Novembro de 2005 numa sessão no laboratório do projecto DROIDE, sito no Departamento de Engenharias e Matemática da Universidade da Madeira. As restantes tarefas decorreram em salas de aula da escola. As propostas de trabalho dessa sessão foram concebidas com o intuito de iniciar os alunos nos materiais usados nas tarefas seguintes. Pretendia-se que os alunos compreendessem o funcionamento dos robots, constatassem as suas capacidades e limitações, e se iniciassem no ambiente de programação da Robotics Invention System™ 2.0 e na linguagem de programação RCX code. A sessão decorreu em duas partes distintas. Na primeira parte foi apresentado aos alunos o kit de montagem Robotics Invention System™ 2.0, nomeadamente as peças mais importantes como o microcomputador RCX e os sensores de toque e de luz, seguido da construção de um robot pelos alunos a partir de um manual de construção. Após o intervalo do lanche, já na segunda parte, foi dado a conhecer aos alunos o software da Robotics Invention System™ 2.0 e a linguagem de programação RCX code, à qual se seguiu a proposta de realização de três propostas de trabalho (anexo 3) em grupo. Visto tratar-se do primeiro contacto dos alunos com o ambiente e com a linguagem de programação, a primeira proposta de trabalho resumia-se a fazer o robot avançar cinco segundos, abanar três vezes e, por fim, emitir um sinal sonoro. A segunda propunha que

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os alunos construíssem um programa para o robot de forma que este descrevesse uma trajectória quadrangular. Apelava à recordação da definição da figura geométrica em causa e ao uso das suas características na resolução do problema. Também pretendia aferir as capacidades e propensão dos alunos para o uso de comandos mais complexos como estruturas de repetição, embora fosse possível resolver o problema com a repetição de comandos simples. Após a segunda proposta de trabalho, os alunos construíram um “pára-choques” composto por dois sensores de toque paralelos de funcionamento independente (Figura 9), que foi utilizado na tarefa seguinte.

Figura 9 – “Pára-choques” com dois sensores de toque.

Na terceira proposta de trabalho pedia-se aos alunos que programassem os robots de forma a percorrer um labirinto de forma aleatória. Com isto, pretendia-se promover o uso de comandos mais complexos como os comandos dos sensores de toque e as estruturas de repetição. No entanto, o aspecto essencial desta tarefa residia na necessidade dos alunos anteciparem e delinearem uma resolução coerente para o problema, sucessivamente melhorada após experimentação e verificação dos aspectos errados no comportamento do robot perante as dificuldades de um labirinto.

Tarefa 0 –“ Revisões”

A tarefa denominada de “Revisões” (anexo 4) foi realizada em meados do mês de Janeiro, num bloco de 90 minutos. A tarefa continha duas partes distintas. A primeira de carácter teórico, comparável a uma ficha informativa, proporcionava aos alunos a revisão de conceitos essenciais para a iniciação do estudo das funções, tais como, a construção de um referencial cartesiano, a noção de quadrante e de coordenadas de um ponto do plano. Pretendia-se que os alunos estudassem esta parte inicial e, posteriormente, realizassem a segunda parte de cariz prático. A segunda parte continha três questões. Na primeira questão era pedido aos alunos que desenhassem um referencial cartesiano na cartolina que lhes foi fornecida. Na segunda eram solicitadas as coordenadas dos pontos assinalados numa figura traçada num referencial cartesiano (Figura 10).

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Figura 10 – Referencial cartesiano da Tarefa 0.

Por fim, os alunos teriam de programar o robot de forma que desenhasse a figura representada. Para tal, foi fornecido aos alunos um robot previamente construído com uma adaptação que permitia colocar um lápis na retaguarda que traçava a sua trajectória na cartolina e um computador portátil com o software da Robotics Invention System™ 2.0 instalado. Inicialmente, o professor previra realizar uma discussão dos resultados em grande grupo no final da tarefa. No entanto, optou por realizar esse momento após a resolução da segunda questão, depois de constatar que, apesar de todos os grupos terem respondido satisfatoriamente à questão, restavam algumas dúvidas pontuais comuns a um grande número de alunos. No final da aula, os alunos foram convidados a mostrar aos colegas os resultados obtidos na última questão.

Tarefa 1 – “Noção de função”

A tarefa “Noção de função” (anexo 5) foi trabalhada durante dois blocos de 90 minutos na última semana do mês de Janeiro e visava o estudo da noção de função, a identificação do domínio, do contradomínio, dos objectos, das imagens e das variáveis dependente e independente de uma função. Tinha como principal objectivo orientar os alunos para a descoberta da noção de função a partir de uma situação relativamente simples de leitura e interpretação de gráficos. Note-se que se trata do primeiro contacto dos alunos com o tema “Funções” e como tal desconhecem o conceito de função e a terminologia usada, mas por certo reconhecem exemplos de funções comuns da vida real, assim como das diferentes formas de representação dessas funções. Para além dos objectivos já referidos, pretendia-se com esta tarefa orientar os alunos para o reconhecimento de exemplos e contra-exemplos de funções em correspondências representadas por gráficos ou diagramas, para a identificação de funções com exemplos de correspondências em situações de vida real e para a necessidade de utilização de termos e simbologia próprias para as funções, pretendendo-se que os conceitos e a simbologia fossem introduzidos gradualmente e com a naturalidade de resposta a uma necessidade que entretanto fosse surgindo.

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Para a execução desta tarefa, foram entregues aos alunos um robot e um computador com o ambiente de programação da Robotics Invention System™ 2.0. Depois de analisarem e descreverem as viagens relativamente à distância ao ponto de partida estabelecidas nos gráficos, era pedido que programassem o robot de forma a reproduzir na íntegra essas viagens. Os alunos deveriam verificar que o primeiro gráfico representa, de facto, uma viagem para o robot sendo possível programá-lo afim de a executar. No segundo gráfico, pretendia-se que concluissem a impossibilidade de tal viagem dado que não é possível voltar atrás no tempo, ou seja, pretendiua-se que identificassem intuitivamente as correspondências que são funções e as distinguissem das que não são, e daí inferissem, ainda que de modo intuitivo, o importante conceito de função No final do segundo bloco de 90 minutos, realizou-se uma discussão em grande grupo, moderada pelo professor, com registo das diferentes respostas no quadro. Com este processo pretendia-se formalizar os conceitos e iniciar o uso da simbologia específica das funções. Dada a importância do conceito de função, foi proposta a resolução de uma ficha de trabalho (anexo 6) para consolidação dos conhecimentos e colmatação de eventuais dúvidas que existissem. O trabalho decorreu em grupo, durante dois blocos de 90 minutos, sendo que grande parte do segundo bloco foi destinado à discussão e correcção da ficha de trabalho.

Tarefa 2 – “Modos de representação de uma função”

Para a realização da proposta de trabalho “Modos de representação de uma função” (anexo 7) estava previsto um bloco de 90 minutos. No entanto, os alunos consideraram que o tempo era insuficiente e foi-lhes concedido mais um bloco. Nesta tarefa pretendia-se que os alunos, partindo de uma situação real e experimental, representassem uma relação funcional de diferentes formas, mais concretamente através de uma tabela e de um gráfico. Também se pretendia que passassem de um tipo de representação para o outro. Os alunos já haviam contactado com gráficos e diagramas na tarefa anterior, restando explorar a expressão analítica como forma de representação de uma função. Outro objectivo da tarefa prendia-se com a aplicação dos conhecimentos adquiridos na tarefa anterior, tais como a noção de função, domínio, contradomínio, variável dependente e variável independente, a novas situações. Para a realização desta proposta de trabalho, os alunos dispuseram de uma fita métrica de metro e meio de comprimento, de um robot com um sensor de luz acoplado e previamente programado para seguir uma pista preta traçada num tabuleiro de grande dimensões propositadamente criado para o efeito (Figura 11), que consistia numa circunferência com três diâmetros traçados e um raio (aleatoriamente traçado).

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Figura 11 - Tabuleiro usado na Tarefa 2.

Aquando da apresentação da tarefa, os alunos foram informados pelo professor que deveriam ser rigorosos, explícitos, registar e justificar todas as suas respostas e conclusões, como se de um relatório se tratasse, principalmente na última questão, porque no final seria recolhido um exemplar por grupo para posterior correcção e avaliação. Inicialmente, estava planeada uma apresentação e discussão dos resultados. No entanto, não foi necessário a realização dessa discussão porque todos os grupos conseguiram concluir satisfatoriamente a tarefa proposta.

Tarefa 3 – “Proporcionalidade Directa”

A tarefa “Proporcionalidade Directa” (anexo 8) decorreu em dois blocos de 90 minutos e tinha como objectivo o estudo de funções do tipo kxx → , ou seja, de funções de proporcionalidade directa. Os alunos já haviam estudado a proporcionalidade directa no sétimo ano de escolaridade e importava agora relacionar essa ideia de correspondência com o conceito e a linguagem básica relativa às funções. Pretendia-se também que os alunos procedessem à leitura, interpretação e construção de tabelas e gráficos relativos a funções do tipo kxx → , inferissem o tipo de gráficos associado a uma função de proporcionalidade directa e relacionassem, ainda que de uma forma intuitiva, a inclinação da recta com a constante de proporcionalidade k. Também se pretendia, como epílogo, concluir a definição de função linear e a representação dessa função através de uma expressão analítica. O material usado nesta proposta de trabalho consistiu em dois robots com velocidades diferentes previamente construídos, computadores com o software da Robotics Invention System™ 2.0 e réguas ou fitas métricas. Trata-se de uma tarefa que parte de um situação simples de programação de viagens curtas em linha recta de dois robots com velocidades diferentes e posterior medição do espaço percorrido por cada um no mesmo espaço de tempo. Baseando-se nesta situação experimental e comparando os valores obtidos com cada um dos robots, os alunos eram encaminhados pela sucessão de questões para a representação da função através de uma expressão analítica, assim como para a reflexão sobre determinadas propriedades do

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tipo de gráficos associados a uma proporcionalidade directa, da constante de proporcionalidade e da sua relação com a inclinação da recta. O professor foi colocando questões de forma a orientar a realização das propostas de trabalho e a suscitar um maior aprofundamento na exploração das situações ou questões realizadas. Na última meia hora do segundo bloco de 90 minutos, realizou-se uma apresentação e discussão dos resultados em grande grupo, com registo dos resultados mais importantes no quando negro.

Tarefa 4 – “Função Afim”

Esta tarefa (anexo 9) foi trabalhada durante dois blocos de 90 minutos. Tendo como ponto de partida uma situação similar à da tarefa anterior, pretendia-se que os alunos constatassem que não se tratava de uma função de proporcionalidade directa e, por comparação com situações que o seriam, eram conduzidos para a escrita da expressão analítica de funções afins ( bkxx +a ). Os objectivos da tarefa passavam pela leitura, interpretação e construção de tabelas e gráficos relativos a funções da família bkxy += e pela definição de função afim. Também se pretendia que os alunos inferissem o significado de ordenada na origem (b) e relacionassem os gráficos das funções bkxx +a e kxx a a partir das representações geométricas de diversas funções. Para a realização desta proposta de trabalho os alunos dispuseram de um robot previamente construído, um computador com o software da Robotics Invention System™ 2.0 e de réguas ou fitas métricas de metro e meio de comprimento. O trabalho decorreu em grupo e o ritmo de trabalho era estabelecido pelos alunos. O professor limitava-se a apoiar os grupos através de sugestões ou da formulação de questões. No último tempo lectivo do segundo bloco de 90 minutos realizou-se uma apresentação e discussão dos resultados em grande grupo, com registo dos resultados mais importantes no quadro negro, que terminou com a formalização da definição de função linear. Após a conclusão da tarefa, para revisão e consolidação dos conteúdos abordados e sua aplicação a outras situações, foi realizada a segunda ficha de trabalho (anexo 10) nos dois blocos de 90 minutos. Por fim, foi aplicado um teste em duas fases num bloco de 90 minutos. Nesse bloco decorreu a primeira fase, em que os alunos resolveram o teste de avaliação na sala de aula sem qualquer auxílio. Posteriormente a uma primeira correcção com comentários e sugestões do professor às respostas apresentadas, os alunos dispuseram de uma semana para rever, explorar e aprofundar as suas respostas que foram sujeitas a nova correcção e avaliação.

3.5. Técnicas de Recolha de Dados

Uma das principais preocupações na definição da metodologia de investigação é a obtenção de um conjunto de dados suficientemente vasto para permitir o aparecimento

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de conclusões fundamentadas acerca do problema em estudo. Assim, a recolha de dados foi efectuada através de:

(1) Registos escritos feitos pelo investigador a partir da observação realizada

durante as aulas;

(2) Registos vídeo e áudio de dois grupos de trabalho escolhidos aleatoriamente

em cada proposta de trabalho;

(3) Recolha e análise dos trabalhos escritos de todos os alunos (propostas de

resolução das tarefas de cada um dos grupos, relatório da segunda tarefa e

testes de avaliação);

(4) Um inquérito aplicado a alguns alunos depois da realização das tarefas.

O método de recolha de dados mais comum numa investigação de carácter qualitativo é certamente o registo escrito a partir da observação directa. Atendendo que neste estudo o investigador era também o professor da turma, determinou que este tivesse necessariamente um papel mais participante e menos observador, implicando a adopção de métodos de observação e recolha de dados que permitissem compensar posteriormente essa posição. O tipo de observação realizado designa-se por observação participante e caracteriza-se pelo envolvimento directo do investigador no ambiente natural das pessoas a estudar. O investigador tenta integrar-se no grupo e simultaneamente olhar o contexto de uma posição exterior com o objectivo de obter uma perspectiva diferente (em Fernandes, 1999, baseado em Eisenhart, 1988). Durante as aulas procedi, sempre que possível, ao registo de notas sobre situações pontuais que se afiguravam relevantes para o desenvolvimento da investigação e após as aulas elaborava um registo escrito do que observara. Estes registos são habitualmente designados de notas de campo (Bogdan e Biklen, 1994). O facto do investigador desempenhar as funções de professor de Matemática das turmas em questão permitiu eliminar o designado efeito do observador que se caracteriza pela alteração dos comportamentos devido à presença do investigador (Bogdan e Biklen, 1994). No decorrer das aulas foram efectuados registos áudio e vídeo de dois grupos de trabalho. A selecção dos grupos observados era aleatória e apenas se mantinham caso se tratassem de aulas referentes à mesma tarefa. Com esta aleatoriedade pretendia-se abranger o maior número de alunos possíveis de modo a percepcionar as suas reacções e desenvolvimentos na realização das diversas propostas de trabalho. Inicialmente a presença da câmara e do microfone provocaram alguma timidez nos alunos, ultrapassada após alguns minutos. Estes registos foram transcritos para depois serem analisados. Durante a realização das tarefas propostas foi solicitado aos alunos que registassem as suas respostas, dúvidas e conclusões no próprio enunciado ou no caderno diário. No final de cada tarefa ou ficha de trabalho, previamente à apresentação e discussão dos resultados, recolhia um exemplar da resolução de cada grupo, que depois de fotocopiar devolvia na aula seguinte. Com a recolha e análise destes documentos pretendia-se constatar e compreender a evolução, as dificuldades e os resultados das situações de

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aprendizagem proporcionadas pelas tarefas. Na tarefa 2, a recolha destes dados escritos também tinha como objectivo a realização de uma avaliação com carácter mais formal. Após a conclusão das tarefas e a realização do teste de avaliação em duas fases, foi aplicado um questionário (anexo 12) a alguns alunos das duas turmas. Estes questionários tiveram o propósito de compreender melhor as percepções dos alunos relativamente às tarefas desenvolvidas com os robots, de que modo os ajudou nas aulas de Matemática e, de certo modo, aferir as suas concepções acerca da Escola, da Matemática e das aulas de Matemática.

3.6. Análise de Dados

Segundo Bogdan e Biklen (1994) a análise de dados é:

“ (…) O processo de busca e de organização sistemático de transcrições de

entrevistas, de notas de campo e de outros materiais que foram sendo

acumulados, com o objectivo de aumentar a sua própria compreensão desses

mesmos materiais e de lhe permitir apresentar aos outros aquilo que

encontrou. A análise envolve o trabalho com os dados, a sua organização,

divisão em unidades manipuláveis, síntese, procura de padrões, descoberta

dos aspectos importantes e do que deve ser aprendido e a decisão sobre o que

vai ser transmitido aos outros” (p. 205).

Em suma, é um processo de compreensão e sistematização da informação recolhida com o objectivo de responder às questões propostas no início da investigação que nos transporta das descrições vagas até aos produtos finais (Bogdan e Biklen, 1994). A análise dos dados iniciou-se aquando da sua recolha e organização, mas foi realizada de forma mais profunda e atenta após estes momentos, pressupondo sempre os princípios de uma investigação qualitativa e as questões a que o estudo se propunha responder. A primeira etapa da análise de dados consistiu na transcrição integral das aulas gravadas em vídeo, visando uma descrição dinâmica das aulas nomeadamente no que diz respeito ao envolvimento dos alunos. Os diversos dados recolhidos (registos escritos, tarefas resolvidas pelos alunos, transcrição dos registos de vídeo e áudio) foram organizados por tarefa de modo a facilitar a análise dos dados e a redacção da investigação. Numa segunda etapa foi efectuada uma análise de conteúdo detalhada com a finalidade de encontrar respostas para o problema inicial. Procurei descobrir e explicar toda a actividade matemática desenvolvida pelos alunos – desempenho matemático no seio do grupo de trabalho, raciocínios matemáticos realizados, processos matemáticos evidenciados, formas de mobilização de conhecimentos e estabelecimento de conexões matemáticas – e as competências matemáticas que iam sendo desenvolvidas. As cópias dos trabalhos desenvolvidos pelos alunos nas diferentes tarefas forneceram alguns dados que facilitaram a compreensão de como os alunos abordaram a tarefa e a executaram, como obtiveram e organizaram os dados, e que questões ou conjecturas formularam.

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Capítulo 4

ANÁLISE DOS DADOS

4.1. Tarefa Introdutória

Recorde-se que a tarefa foi realizada ainda no decorrer do primeiro período escolar do ano lectivo (18 de Novembro de 2006), no laboratório do projecto DROIDE no Departamento de Matemática e Engenharias da Universidade da Madeira. Para tal, foram solicitados transportes à Secretaria Regional da Educação da Madeira e organizada uma visita de estudo com a duração de uma tarde ao referido laboratório. A expectativa dos alunos era grande, já tinham conhecimento do programa da visita de estudo, nomeadamente do tipo de materiais que iriam encontrar à sua disposição e perguntavam frequentemente pelos pormenores. A equipa de professores do projecto DROIDE, planeou uma sequência de propostas de trabalho para os alunos cujos objectivos passavam, essencialmente, pela familiarização dos alunos com os robots de forma a compreenderem o seu funcionamento, as suas capacidades e limitações, e iniciá-los no ambiente e linguagem de programação RCX

Code que lhes permitiria controlar o robot. Chegados ao laboratório, os 35 alunos organizaram-se livremente em 8 grupos, (a maioria com quatro alunos), e sentaram-se numa secretária onde dispunham de um computador com o software RCX Code instalado e uma porta de infravermelhos acoplado. No centro do laboratório estava uma mesa de grandes dimensões que os alunos poderiam usar nas suas experiências. De seguida, iniciou-se a sessão com a apresentação do kit de montagem Robotics Invention System™ 2.0, nomeadamente das peças mais importantes como o microcomputador RCX e os sensores de toque e de luz, seguido da construção do modelo robótico pelos alunos, segundo um manual de construção. Antes da proposta da realização das tarefas, um dos elementos do projecto apresentou e explicou o funcionamento do ambiente de programação RCX Code. A sessão decorreu em duas partes distintas. Após a apresentação dos componentes essenciais para a construção dos robots, os alunos construíram um modelo robótico a partir de um manual de instruções. Foram construídos dois tipos de robots (Roverbot e Tankbot aqui designados por Todo-o-terreno e Tanque). O interesse e empenho dos alunos na montagem dos robots foram grandes, caracterizados pela cooperação e entreajuda entre os elementos do grupo. Apesar de ser o primeiro contacto de muitos dos alunos com peças lego, todos os grupos conseguiram construir o robot rapidamente e com relativa facilidade. Após um breve intervalo para o lanche, foi dado a conhecer aos alunos o software de programação RCX Code da Lego, o modo como este funcionava e os procedimentos para a implementação dos programas nos robots, à qual se seguiu a proposta de realização da primeira tarefa. Visto tratar-se do primeiro contacto dos alunos com o ambiente e com a linguagem de programação, a tarefa consistia em fazer o robot avançar cinco segundos, abanar três vezes e, por fim, emitir um sinal sonoro. Foi

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rapidamente concluída por todos os grupos. A solução foi apresentada e explicada por um dos elementos do projecto, ainda que de forma sucinta e rápida dados os resultados obtidos pelos alunos. Na segunda proposta de trabalho pretendia-se que os alunos construíssem um programa para o robot de forma que este descrevesse uma trajectória quadrangular. Apelava à recordação da definição da figura geométrica em causa e ao uso das suas características na resolução do problema, e também pretendia aferir as capacidades e disposição dos alunos para o uso de comandos mais complexos como as estruturas de repetição, embora fosse possível resolver o problema com sequências de comandos simples. Os alunos revelaram mais dificuldades na realização desta tarefa devido a diversos factores, nomeadamente o tamanho do programa (dado que não usaram estruturas de repetição) ou o tempo de viragem correcto para conseguirem um ângulo de 90 graus. Perante a tarefa, os alunos programaram os robots para descreverem um quadrado e, desde logo, discutiam entre si o tamanho que deviam dar ao quadrado e o tempo de viragem para obterem 90º graus. Na mesa central de grandes dimensões foi assinalado um ponto com fita-cola preta que serviria como ponto de partida e de chegada para os robots. Os alunos eram convidados a experimentarem os programas que tinham realizado e, quando o resultado não era o pretendido, os orientadores da sessão questionavam o que o robot estava a fazer de incorrecto e incitavam os alunos a corrigir os erros. Os alunos eram incentivados a mostrarem e a partilharem os seus resultados e melhorias, e alguns comportamentos tímidos e inseguros iniciais rapidamente deram lugar ao desejo de partilha e apresentação dos seus trabalhos. A determinada altura, os grupos trocavam impressões e sugeriam melhorias para trabalhos de outrem. Todos os grupos conseguiram resultados eficazes para a tarefa. Aos grupos que rapidamente conseguiram concluir a tarefa, foi pedido que optimizassem o seu programa (pretendia-se com isto que utilizassem estruturas de repetição, tendo por base uma definição da figura geométrica “quadrado”). Alguns grupos conseguiram fazê-lo e apresentaram novas soluções para a tarefa proposta. Seguidamente, os alunos construíram um “pára-choques” para os robots que continham dois sensores de toque, um de cada lado, permitindo percepcionar obstáculos que surgissem na sua trajectória e evitá-los. Com esses para choques acoplados nos seus robots, deveriam programá-los para ultrapassar um labirinto qualquer. O processo de resolução desta tarefa foi similar à anterior. Os alunos programavam, dirigiam-se à mesa central que tinha um labirinto construído com caixas de cartão e testavam os programas. Conferiam, individualmente ou com auxílio dos orientadores ou colegas, os erros e de imediato partiam para o melhoramento do programa. Dada a natureza da tarefa proposta, os alunos necessitaram de mais tentativas para conseguirem resolver a questão do que na anterior, mas todos os grupos conseguiram resolver a tarefa. Alguns procuraram optimizar as suas soluções com comandos de repetição e outros pediram mais tarefas para realizar no fim das que foram propostas. Atendendo ao tipo de sessão desenvolvido e aos objectivos inicialmente estabelecidos para a mesma, os orientadores optaram por discutir os resultados imediatamente após a realização das tarefas, quando todos os grupos tivessem alcançado resultados satisfatórios. Como os resultados obtidos pelos alunos foram bons, esta fase limitou-se à apresentação das soluções sugeridas pelos diversos grupos. Destaca-se a discussão da segunda tarefa, em que um dos elementos do projecto, após ter solicitado as soluções dos grupos, foi lançando e discutindo algumas questões que realçavam a importância do

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reconhecimento das características do quadrado para a correcta utilização de uma estrutura de repetição. Os objectivos delineados para a actividade, nomeadamente os de carácter “técnico” relacionado com a montagem e programação dos robots, foram alcançados. Os alunos adaptaram-se e trabalharam facilmente com o software de programação e procuravam soluções diferentes das propostas pelos colegas. Também há a salientar o desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas. A grande motivação e interesse impulsionaram os alunos para a persistência, a auto-descoberta, a aprendizagem por tentativa e erro, a cooperação e a partilha de resultados. O entusiasmo dos alunos foi grande, assim como as suas movimentações. Faziam questão que os professores presentes acompanhassem as experiências e discutiam com eles e com os colegas, principalmente junto da mesa central, os resultados que foram obtendo e os eventuais problemas dos seus programas. Saliente-se também que os alunos normalmente caracterizados por terem grandes dificuldades à disciplina de Matemática foram os mais activos, destacando-se na realização das tarefas propostas pela iniciativa, determinação e insistência na procura de diferentes soluções, assumindo os papeis de líderes dos respectivos grupos. As reacções pós actividade foram muito positivas e num pequeno inquérito realizado alguns alunos referiram que aprenderam matemática, a programar e a resolver problemas. Os alunos passaram a perguntar frequentemente nas aulas de Matemática quando voltariam a trabalhar com robots.

4.2. Tarefa 0 – “Revisões”

A Tarefa 0 “Revisões” (anexo 4), a primeira realizada na escola, visava rever alguns conceitos essenciais para a iniciação do estudo das funções, tais como, a construção de um referencial cartesiano, a noção de quadrante e de coordenadas de um ponto do plano. Pretendia-se que os alunos voltassem a ter contacto com os robots e com o ambiente de programação RCX Code. Para tal deveriam indicar as coordenadas dos pontos assinalados no referencial e programar o robot para que traçasse a trajectória desenhada.

Figura 12 – Referencial cartesiano da Tarefa 0.

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Esta aula também visava a organização dos grupos e o estabelecimento das regras de orientação desta e de todas as outras aulas que se seguiriam. Foi solicitado aos alunos que trouxessem uma cartolina por grupo e uma régua com cerca de 20 centímetros para a aula. Após a organização dos alunos em grupo de quatro ou cinco elementos, foi proposta a tarefa aos alunos. O professor começou por distribuir o enunciado, seguido de uma explicação breve dos objectivos da sua realização. Depois, apelou aos alunos para que, inicialmente, estudassem e discutissem com os outros elementos do grupo a primeira parte da proposta de trabalho (primeira página da tarefa) que continha um resumo acerca do referencial cartesiano e das coordenadas de um ponto no plano, e então realizassem a segunda parte. Por fim, apelou para que os alunos procurassem continuamente melhorar a solução obtida, isto é, desenvolvessem e aperfeiçoassem a sua solução até estarem completamente satisfeitos com ela, e referiu que podiam e deveriam trocar impressões e ideias com os colegas de grupo. A ansiedade provocada pelo facto de voltarem a utilizar e experimentar os robots e computadores era notória. Durante a distribuição dos enunciados da proposta de trabalho era possível observar grupos a explorar o ambiente de programação RCX Code e a brincar com os robots. Só após alguns minutos com chamadas de atenção do professor para a realização da tarefa, é que os alunos se envolveram na sua resolução. Os alunos começaram por ler em silêncio a primeira parte (correspondente à primeira página) da tarefa. Sem qualquer tipo de discussão nos grupos, os alunos passaram de imediato para a segunda parte da tarefa. À primeira dificuldade solicitavam de imediato o auxílio do professor, desvalorizando a discussão no seio do grupo e possíveis opiniões dos colegas. Perante isto, o professor decidiu fazer uma rápida reflexão em grande grupo sobre os conceitos abordados. Para tal colocou algumas questões – “O que é então um referencial cartesiano?”, “Como deverão ser esses eixos?”, “O que representam as coordenadas de um ponto?” e “Qual deverá ser a ordem de apresentação da abcissa e da ordenada nas coordenadas de um ponto?”. Os alunos foram respondendo de forma correcta, excepto na posição relativa dos eixos do referencial.

Prof.: O que são eixos perpendiculares?

A.: São paralelos.

Prof.: Então rectas paralelas e rectas perpendiculares é a mesma situação?

T.: Têm de estar à mesma distância…

[Silêncio].

T.: Perpendiculares cruzam-se e paralelas estão à mesma distância.

Prof.: [Exemplificando com as mãos] Então assim, como se cruzam, são perpendiculares?

R.: Não. Têm de fazer um ângulo de 90º.

Os alunos demonstraram grandes dificuldades em identificar a posição relativa dos dois eixos. Poucos alunos responderam à questão do professor e só o fizeram correctamente após a visualização proporcionada pelas mãos do professor. Como se tratava da primeira aula em que se procedia à recolha de registos vídeo, os alunos revelaram muita timidez e falavam propositadamente baixo perante a câmara de filmar. Outras vezes tapavam a cara ou desviavam-se da câmara. Inicialmente o trabalho era maioritariamente de cariz individual. Os alunos quase não trocavam impressões. Cada um resolvia para si as questões apresentadas, e só perante as

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dificuldades e dúvidas, e depois de verificarem a impossibilidade imediata do professor aceder às solicitações de todos os grupos, começaram, pontualmente, a discutir e a procurar ajuda junto dos colegas. Os alunos começaram por desenhar um referencial cartesiano nas cartolinas, conforme proposto na questão 1. Quase todos tiveram o cuidado de medir a cartolina e proceder aos cálculos necessários para centrar o referencial. No entanto, um dos grupos continuava com dificuldades e uma aluna solicitou o apoio do professor.

S.: Professor, o que…. Como é fazemos um referencial cartesiano?

Prof.: Não compreendeste a explicação dada pelos teus colegas ainda à pouco?

S.: Sim… [silêncio]. Não.

Prof.: Lê novamente a primeira parte e podes pedir ajuda aos teus colegas.

S.: Oh!!!

Prof.: Que se passa?

S.: Oh! Gostamos é da papinha toda feita.

[Os colegas de grupo riram após a observação da colega].

A adaptação à tarefa e ao trabalho de grupo foi lenta. A situação proposta aos alunos, exigia a cooperação e colaboração, situação que não era nova para eles e sugeria um papel mais activo e autónomo da sua parte, o que contrariava a percepção e a maioria das experiências que os alunos haviam vivido no ensino em Matemática e nas outras disciplinas. Os grupos teimavam em solicitar constantemente a ajuda do professor e só pontualmente procuravam discutir as questões entre si. Revelavam grande interesse em começar a programar o robot (questão 2.2), mesmo sem terem registado as coordenadas dos pontos da figura (questão 2.1). No referencial não era pedido que fossem marcadas unidades porque dependeria do que o robot andasse. A unidade seria determinada pela distância percorrida pelo robot durante meio segundo e portanto, a unidade seria estabelecida na programação e não directamente no referencial. Um dos grupos resolveu rapidamente a questão 2.1 relativa às coordenadas dos pontos. Perante este facto, os outros grupos começaram a perguntar-lhes as respostas para comparar com as suas, às quais os elementos do grupo respondiam prontamente e em voz alta. Todos os grupos resolveram a questão, recorrendo frequentemente à primeira parte da tarefa mas não registavam os resultados sem primeiro procurar a aprovação do professor. Perante a impossibilidade, por vezes propositada, do professor aceder a todos os grupos, começaram a entreajudar-se, a realizar discussões em grupo e a trocar opiniões.

P.: Professor. Professor.

[O professor não compareceu junto deles de imediato. Entretanto discutiam as coordenadas

do ponto H (-2;-2)].

P.: 2 e -2.

M.: O H está aqui [apontando para o ponto H]. Agora é o H.

P.: [Apontando para os eixos] -2 e -2.

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M.: I.

P.: Este vem para aqui [eixo das abcissas] e este vem para aqui [eixo das ordenadas]. 2 e -2.

M.: Mas não passa do 0?

P.: É 2 e -2 [apontando para os eixos novamente].

D.: Mas aí não são números negativos.

P.: Não é nada. É 2 e -2.

M.: É 2 e -2. Não vês que isto vai dar aqui [eixo das abcissas] e este vai dar aqui [eixo das

ordenadas]?

D.: Mas aqui não dá negativo? [referia-se à abcissa].

M.: Não. Aqui em cima não há números negativos [referia-se à abcissa de I]. São positivos.

M.: J. Está no 0.

P.: É 2 e 0.

Os alunos começaram a questionar-se mutuamente e a explicar as suas respostas quando solicitado pelos colegas e as participações nas discussões sucediam-se naturalmente. Todos os elementos dos grupos procuravam ter um papel activo e interventivo no diálogo que se ia construindo.

N.: Isto é -1.

T.: -1? De certeza? Não é 1?

N.: [virando a folha da tarefa e apontando para o exemplo] Não. Tás a ver, isto aqui é -1.

N.: -1, -1? E o D?

T.: 1, -1.

N.: E o G?

T. e S.: [apontando para os eixos] 2 e -2.

N.: Mas primeiro não é o eixo das abcissas? Do x?

T.: Este assim? [realizando um movimento horizontal com a mão].

N.: Sim.

T.: É. Então é -2 e 2.

Outro grupo tentava pensar nas coordenadas através da movimentação que o robot teria de realizar, concluindo que a todos os pontos abaixo do eixo das abcissas correspondia uma ordenada negativa.

J.: Quais são as coordenadas do D? São as duas negativas? [referia-se à abcissa e à

ordenada do ponto]

T.: Não sei.

H.: O robot vai ter de andar dois quadrados para baixo.

T.: Pois é. O C é -1 e 1 e o robot vai andar dois quadrados para baixo e fica negativo.

J.: -1 e -1?

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T.: Acho que é assim. Quando o robot andar para baixo acaba sempre num número negativo

[apontava para semi-eixo negativo das ordenadas].

Quando todos os grupos terminaram, o professor pediu que elegessem um porta-voz e alternadamente foi pedindo que indicassem as coordenadas dos pontos em questão. Quando um grupo dava uma resposta errada, prontamente os elementos de outros grupos corrigiam ou voluntariavam-se para o fazer. O professor decidiu promover esta breve correcção em grande grupo para esclarecer algumas dúvidas que subsistiam relativamente à ordem da abcissa e da ordenada, dado tratar-se de um pré-requisito importante para as tarefas seguintes, nomeadamente na interpretação e construção de representações gráficas de funções. Apesar de haver um intervalo entre os dois tempos de 45 minutos destinados à aula de Matemática, os alunos optaram de imediato por não saírem da sala e continuarem a trabalhar. Os alunos não revelaram qualquer dificuldade na programação dos robots e as questões que discutiram prenderam-se com os tempos de viagem.

T.: O que é para fazer? Não estou a perceber.

P.: Chama o professor… Professor. Professor podia chegar aqui?

[O professor não se aproximou. O grupo esperou alguns instantes e voltaram a ler a

pergunta em silêncio].

P.: É meio segundo. É para o robot andar meio segundo.

M.: O quê?

P.: O robot tem de fazer meio segundo assim [indicava com a mão] e depois vira e faz mais

meio segundo.

M.: É isso mesmo.

D.: É assim?

P.: Tem de ser assim. Tá dizendo meio segundo [referia-se ao enunciado].

M.: Agora tem de virar à direita. Distorce.

[Passaram à programação do robot]

P.: E para virar?

M.: Também é meio segundo. E depois vai andar um segundo [apontava para o segmento

CD].

A segunda questão a que deram grande atenção dizia respeito a como obter um ângulo de 90 graus.

N.: Como é que vamos fazer isto?

S.: Usas o avançar e o virar à esquerda.

T.: Fazemos o programa e depois tentamos para ver o que dá.

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N.: [apontando para a figura e programando simultaneamente] Frente… esquerda…

frente… esquerda…. Frente e esquerda.

S.: Está bem.

T.: Calma, calma. Dá-me a folha. Espera. Olha.Vê…

N.: O quê?

T.: Aqui são dois segundos [referia-se a segmento [GH]]. Deixa-me fazer.

N.: Agora para o lado esquerdo.

N.: Quanto?

T.: Não sei. É preciso experimentar.

[Experimentaram].

N.: É pouco.

[Experimentaram].

N.: É 2, 2 [segundos].

T.: É, leva mais, leva mais…

[Experimentaram].

T.: Tem de ser mais 1 [1 décima de segundo]. 1 chega.

[Experimentaram].

N.T. e S.: AH!! É 2,3.

Alguns grupos adoptaram uma abordagem diferente. Antes de procederem à programação do robot, resolveram experimentar o tempo de viragem necessário para obter um ângulo de 90 graus e foram ajustando o tempo conforme os resultados obtidos. Saliente-se alguns aspectos relevantes presentes nos diálogos anteriores e nos que se seguem. Como é possível constatar, em todos os grupos a programação surgia como uma negociação, resultando da interacção dos alunos e da partilha de opiniões e sugestões, acompanhadas de perguntas directas direccionadas para os colegas. O segundo aspecto diz respeito às sucessivas experiências que os alunos realizavam, imediatamente seguidas pelo aperfeiçoamento das suas soluções. Os alunos referiram-se claramente à necessidade de experimentar para confirmar as suas ideias e o seu trabalho.

M.: Vamos ver agora.

[Experimentaram o programa]

M.: O tempo de andamento está bom mas o de viragem está errado. Põe mais tempo.

P.: Não… Olha o que está aqui [apontando para o programa]. Está certo. Ainda não está

aqui a segunda parte.

D.: Então o que é que está errado?

P.: Vamos aumentar o tempo de viagem.

M.: É isto que acho que está errado. Tem de ser tudo à esquerda e não para a direita.

D.: Para a esquerda?

M.: Sim. Não vês que é tudo para a esquerda.

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[Aumentaram o tempo e experimentaram].

M.: Assim está bom. Está bom.

As experiências sucediam-se a um ritmo elevado e os alunos revezavam-se na

sua realização. Para não estragar a cartolina, todos os grupos optaram por realizar as suas experiências sem o lápis acoplado na traseira (ou dianteira), do robot.

N.: A partir do ponto C é maior.

T.: Não é 10 segundos. É 2 segundos porque cada é meio segundo. Se fosso 10 segundos

dava a volta à sala.

S.: Vamos experimentar. Está até ao ponto H?

N.: Não. Está até ao ponto D. Não, ponto E.

[Experimentaram].

N.: Agora não percebi.

T.: Não está a fazer tudo. Tem de virar mais e tem de andar mais 10 segundos [referia-se ao

segmento CD].

N.: Dez?

T.: Sim, dez. Cinco mais cinco.

S.: Não é 10 segundos. É 1 segundo porque é meio segundo mais meio segundo [enquanto

apontava para a figura].

T.: Ainda não compreendeste? Olha vê….

S.: Então meio mais meio segundo?

[Silêncio]

T.: Dá 1 segundo.

N.: Então dá 1 segundo [E programou para 1 segundo].

Depois de obterem um resultado que consideravam satisfatório, os grupos

solicitavam a presença do professor para assistir a uma exibição, o que marca uma grande diferença entre este tipo de aula e a tradicional aula de matemática. Tradicionalmente aos alunos está reservado o papel de ouvintes atentos dos conhecimentos transmitidos pelo professor, enquanto nesta situação o trabalho de aprendizagem foi desenvolvido pelos alunos, de forma quase autónoma, e só depois de terem obtido uma resposta consensual no grupo é que a submetiam à apreciação do professor. O “papel activo” durante o processo de aprendizagem está reservado aos alunos e não ao professor.

Um dos elementos que protagonizou o diálogo anterior, depois do seu grupo ter obtido um resultado que consideraram muito aproximado do que tinham representado na tarefa, levantou-se e foi confirmar o resultado da programação na cartolina do grupo do lado de forma a comparar com o trajecto feito pelo robot do outro grupo. Seguiram-se comparações, mais discussões e partilha de soluções encontradas, principalmente respeitantes à programação. Outros grupos decidiram trocar de robots e compararam as diversas figuras obtidas. Como os robots tinham algumas características diferentes,

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como por exemplo a velocidade, tiveram de reajustar o programa. Esta necessidade de experimentar diferentes robots parece ter surgido da simples curiosidade dos alunos, mas também para verificarem se com outro material semelhante obteriam o mesmo resultado e se, eventualmente, lhes permitiria aperfeiçoar a solução. Os resultados obtidos por todos os grupos foram muito semelhantes ao desejado. As figuras representadas eram muito semelhantes à figura representada no referencial cartesiano da tarefa. No entanto, quando os robots efectuavam a viragem acrescentavam alguns centímetros ao segmento que estavam a traçar (desenhavam pequenos quartos de círculo) criando ligeiros erros na figura. Alguns grupos pretenderam compensar esse erro, procurando novos comandos para a viragem ou diminuindo o tempo de andamento em linha recta de forma a compensar o excesso provocado pela viragem. O professor tinha planeado uma discussão em grande grupo mas perante os resultados obtidos, o professor decidiu que não se justificava realizar essa discussão, até porque a partilha de ideias e soluções fora uma constante ao longo da segunda parte da aula e os grupos conheciam o trabalho dos seus pares. Não obstante os objectivos “técnicos” e os objectivos “matemáticos” da tarefa parecerem distantes, alguns alunos relacionaram-nos, como foi possível constatar no grupo que comparou as coordenadas dos diversos pontos com o percurso que o robot deveria realizar, e através de alunos que entretanto, no final e após a aula, perguntavam ao professor se o sistema de coordenadas que viam nos filmes a orientar os aviões e carros (através dos GPS’s) era semelhante ao que usaram na aula. Juntamente com a resposta positiva e explicação do professor, esta proposta de trabalho terá contribuído desta forma para que os alunos tivessem uma maior compreensão da realidade, de situações e de problemas do seu quotidiano.

Avaliação

A avaliação realizada nesta tarefa foi de carácter diagnóstico, ou seja, pretendia-se determinar se os alunos tinham alguns dos pré-requisitos necessários para aprender os tópicos seguintes e, se tal fosse necessário, aferir possíveis condicionantes para a planificação prevista.

Da observação directa da actividade desenvolvida pelos alunos na resolução da tarefa foi possível aferir que os alunos revelaram algumas dificuldades em determinar as coordenadas de um ponto do plano, principalmente na ordem com que deve surgir a abcissa e a ordenada. O professor, tendo verificado esta dificuldade, alterou a programação da aula e promoveu uma correcção em grande grupo na tentativa de a colmatar. Desta constatação, resulta ainda uma indicação para um maior cuidado nas tarefas seguintes, nas questões que envolvam coordenadas de pontos. Não se verificaram quaisquer dificuldades dos alunos na programação dos robots.

Síntese

Tal como se havia verificado na tarefa introdutória, a programação foi um trabalho de entreajuda e de grande concentração em todos os grupos. A programação era acompanhada pela discussão entre os alunos e resultava do consenso alcançado.

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No início da tarefa os alunos mostravam-se tímidos, inseguros e relutantes em participar. Ficavam na expectativa da ajuda imediata do professor ou de conseguirem aceder a alguma informação relevante de grupos vizinhos. À medida que a aula se foi desenvolvendo, os alunos foram revelando mais autonomia e à vontade. A cooperação foi-se desenvolvendo naturalmente, aliada à crescente persistência e sucessivas experiências realizadas. A descoberta por tentativa e erro foi uma característica comum a todos os grupos como demonstram as constantes afirmações “Temos de experimentar”. O professor evitava dar informações directas aos diversos grupos e quando lhe colocavam questões remetia-os para o exemplo da primeira parte ou questionava-os: “Qual é a vossa opinião?”, “O que pensam sobre isso?”, “Porque é que estão a fazer essa pergunta?” ou “Quanto é que o robot andará aqui?”.

Também o ambiente de aula foi-se modificando. Os alunos, inicialmente sentados, tinham a possibilidade de trabalhar de pé e passaram a poder movimentar-se pela sala, proporcionando a partilha de informação com os outros grupos. Aproveitavam esta oportunidade para mostrar e comparar o seu trabalho com os dos colegas. Em determinados momentos, a aula tornou-se numa pequena competição na procura da melhor solução.

As metodologias e estratégias de trabalho variaram nos grupos. Por exemplo, alguns alunos testaram primeiramente o tempo de viragem necessário para conseguir 90 graus e só depois programaram o robot, enquanto outros optaram por realizar de imediato o programa na sua totalidade.

Ao nível do vocabulário, verificou-se que os alunos não utilizavam frequentemente os termos matemáticos em questão e só pontualmente surgiam verbalizações como “abcissa”, “ordenada” ou “coordenada”. Preferiam fazê-lo através do seu vocabulário habitual diário ou concretizá-lo apontando directamente para as figuras.

Um outro aspecto resultante da realização desta tarefa é a negociação. Os alunos realizaram negociações durante a programação do robot. Apesar de não estarem habituados a fazê-lo na aula de matemática, a negociação surgiu quase espontaneamente da interacção, da partilha de opiniões e sugestões, e das questões que foram colocando no seio do grupo.

4.3. Tarefa 1 – “Noção de função”

A tarefa “Noção de função” foi realizada em dois blocos de 90 minutos nas últimas aulas de Janeiro e visava a introdução do conceito de função. Pretendia-se que os alunos, tendo como situação de partida uma situação traduzida graficamente e supostamente passível de concretização com os robots, inferissem o conceito de função. Atendendo às frequentes dificuldades que os alunos demonstram na compreensão e aplicação deste conceito e ao contacto frequente que têm com informação gráfica, optou-se, para primeiro contacto com o conceito, a apresentação de dos dois seguintes gráficos que, supostamente, traduziriam uma viagem do robot idealizadas pelo Pedro e pelo João, respectivamente (ver anexo 5).

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Figura 13: Gráficos da tarefa 1 “Noção de Função”.

O primeiro gráfico está bem idealizado sendo possível a sua concretização por programação do robot. O segundo traduz uma viagem impossível de concretizar, dado apresentar um recuo no tempo (fisicamente impossível) e que se traduziria em duas distâncias diferentes para um mesmo instante temporal. Cada grupo de alunos recebeu um robot, um computador com o ambiente de programação RCX Code e a Tarefa 1. De imediato, o professor pediu que lessem atentamente o enunciado e que depois começassem a resolver as questões propostas. Seguiram-se alguns momentos de silêncio. A primeira questão remetia os alunos para o estudo dos gráficos e descrição das viagens aí sugeridas. Na primeira das turmas (turma 1) em que foi desenvolvido este trabalho, logo após a distribuição da proposta de trabalho, um dos alunos notou, ao resolver a questão 1.1 onde se pretendia o estudo dos gráficos e a descrição da viagem do robot relativamente à sua distância ao ponto de partida, que havia qualquer coisa de errado com o gráfico do João:

R.: Professor… Professor… Este gráfico não dá! [apontando para o gráfico do João].

Prof.: Não dá? Porquê?

R.: Não dá porque assim está a andar para trás. Está a andar para trás e o robot tem de andar

sempre para a frente.

Prof.: Não estou a perceber bem. O que queres dizer com isso?

R.: Não sei bem…

O R. voltou a olhar para o gráfico e teceu um comentário para os colegas de grupo (imperceptível para o professor). Entretanto, no grupo ao lado, o Ri. estava particularmente atento à conversa do R. com o professor. Pouco depois, R. voltou a chamar o professor:

R.: Professor… já sabemos. Podia vir aqui?

Prof.: Sim?

R.: Isto não é o que o robot tem de desenhar, é a distância…

Prof.: Distância?

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R.: A distância ao ponto de partida, da fita preta [referia-se ao ponto de partida assinalado

na mesa por uma fita cola preta]. E aqui é o tempo e não dá.

Prof.: Não dá o quê?

R.: O robot não dá para fazer isto.

O grupo foi incapaz de responder à questão do professor. No entanto, verifica-se que já atentaram nas grandezas envolvidas no gráfico. Inicialmente, os alunos de outro grupo não tomaram em consideração as grandezas em questão e consideravam o gráfico como o trajecto que o robot deveria traçar, porventura associando esta tarefa à anterior (tarefa 0) onde tinham de fazer o robot desenhar uma figura a partir de coordenadas de determinados pontos estabelecidos num referencial cartesiano. Entretanto, do grupo do lado o Ri. respondeu:

Ri.: Não dá porque o robot… porque não pode andar para trás no tempo.

Prof.: Sim? Se voltasse atrás no tempo o que é que aconteceria?

R. e Ri.: [quase em simultâneo] Não sei.

Prof.: Observem e estudem os gráficos.

[Passaram-se alguns instantes].

R.: Já sei! Já sei! O robot tinha que tar em dois lugares ao mesmo tempo, não é professor?

R.: [Dirigindo-se aos colegas do grupo] Não é necessário programar esta viagem porque ela

é impossível!

Ri.: Pois é. Vamos… afinal é fácil.

Note-se que os alunos envolvidos neste diálogo pertenciam a grupos distintos. Apesar do professor estar a dirigir-se mais concretamente ao grupo do R., o Ri. que fazia parte de outro grupo mantinha grande interesse no diálogo e não se coibia de participar, sugerindo de imediato a solução para o problema da impossibilidade da viagem. Não foi necessário chegar à fase da programação (questão 1.2) para que estes alunos descobrissem que num instante o robot não poderia estar a duas distâncias diferentes. O R. não referiu claramente que num instante o robot não poderia estar a duas distâncias diferentes, mas da sua intervenção percebe-se que concluiu correctamente o motivo que impossibilitava a viagem e, ainda que intuitivamente, a noção de função. Um terceiro grupo que ouvia a discussão, perguntou ao grupo do R. como é que era e este explicou-lhes de imediato os problemas existentes no gráfico. O quarto e último grupo, apesar da partilha de informação que existia na sala, continuavam com dificuldades em perceber as grandezas envolvidas no gráfico e descreveram o programa do robot com erros de forma a cumprir o gráfico do João. Apesar das indicações dos colegas, e oposição de um dos elementos, teimavam em interpretar o gráfico como o desenho que o robot teria de efectuar. Quando solicitado que apresentassem uma condição necessária para que um gráfico represente uma “viagem possível” de realizar (questão 1.4), as respostas foram as seguintes:

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“Ter um ponto de partida, não pode recuar no tempo e nos 10 segundos ele não pode estar na distância de 10 e de 5”. “A condição necessária é que não é possível o robot estar em 2 sítios ao mesmo tempo (10 segundos) e não o podemos fazer porque não podemos recuar no tempo”.

Os grupos resolveram com relativa facilidade os diagramas que lhes eram propostos na questão 1.5. A única dificuldade que surgiu estava relacionada com aparente necessidade de repetir os elementos no contradomínio. Com os diagramas pretendia-se, além de dar a conhecer uma nova forma de representação de uma função, que os alunos, baseando-se nos diagramas e na questão 1.4, discutissem e comentassem uma afirmação que referia que a correspondência do Pedro era uma função e a do João não era função (questão 1.6). Três dos grupos deram a mesma resposta ou muito semelhante às supra citadas aquando da “viagem possível”, mas um dos grupos sugeriu a seguinte resposta, cuja primeira parte é muito próxima a uma possível definição de função:

“A correspondência do Pedro é uma função porque a cada tempo corresponde uma distância, a do João não é função porque existe um tempo com duas distâncias e o robot não pode estar em duas posições diferentes ao mesmo tempo”.

O segundo bloco começou com a discussão em grande grupo da questão 1.6. O professor pediu aos vários grupos que lessem as suas respostas. Gerou-se um consenso imediato que a resposta acima referida foi a melhor resposta sugerida. Partindo do exemplo concreto que trabalhavam, o professor questionou os alunos se as grandezas em todas as funções seriam o tempo e a distância. Depois da esperada resposta negativa, e demonstrando a necessidade de usar termos gerais que servissem para todas as funções, o professor introduziu os termos objecto, imagem, conjunto de partida, conjunto de chegada, domínio e contradomínio. Também foram atribuídas as designações de variável independente e de variável dependente às variáveis tempo e distância. Quando o professor questionou qual das variáveis dependia da outra, houve alguns segundos de silêncio total, mas a resposta foi quase em coro: “a distância”. Foi distribuída a terceira folha da proposta de trabalho em que era solicitado aos alunos que aplicassem os termos que haviam aprendido. Não se registaram grandes dificuldades, e os alunos quebravam pontualmente o silêncio do grupo para discutir alguns pormenores ou confirmar respostas. Num dos grupos, um aluno ia lendo as questões em voz alta e todos acompanhavam. Na questão que perguntava a maior distância a que o robot esteve do ponto de partida, respondeu “A maior distância… andou aqui… é aqui. 10”. Os colegas de grupo limitaram-se a acenar com a cabeça e todos registaram o valor. Quando todos os grupos terminaram, realizou-se uma apresentação das respostas sugeridas. Os alunos foram lendo as respostas, geralmente certas, e os outros grupos limitaram-se a confirmá-las. O desenvolvimento desta tarefa na turma 2 decorreu de forma diferente da atrás descrita. A introdução da proposta de trabalho foi em tudo semelhante à anterior. Os alunos foram entrando (alguns já tinham entrado durante o intervalo depois de se oferecerem para ajudar o professor a preparar os materiais) e escolheram os lugares. O professor

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apelou ao empenho e esforço dos alunos na realização da tarefa e alertou para a importância de seguirem os passos e responderem às questões pela ordem em que surgem na proposta de trabalho. Os alunos estavam inicialmente bastante inactivos e à espera de indicações. O professor distribuiu a primeira página da tarefa (que continha a introdução e os gráficos) e pediu-lhes que os estudassem e interpretassem. Fez-se silêncio durante algum tempo. Depois foi entregue a segunda folha que continha as questões. Só então os alunos começaram a interagir, demonstrando algumas dificuldades inicias em compreender os gráficos:

Prof.: Então, o que está representado neste gráfico?

C.: A viagem do robot.

Prof.: Conseguem explicar a viagem do robot?

M.: O robot parte da partida e anda 2 segundos, depois vira à direita durante dois segundos.

Prof.: Pelo que percebo, então o gráfico representa o trajecto do robot?

Prof.: Que variáveis estão no gráfico?

C.: O tempo e a distância.

Prof.: Distância?

C.: A distância percorrida pelo robot.

Prof.: Tentem então descrever a viagem. Imaginem que têm de contar a viagem a um amigo.

Como o fariam?

L.: [Dirigindo-se aos colegas de grupo] Então o robot já não vai andar para o lado?

Apesar de C. ter referido claramente que se tratava da distância percorrida pelo robot, procederam à programação do robot de modo que avançava 2 segundos e depois voltava para a direita. No entanto, quando experimentaram o robot, um dos elementos do grupo reconheceu a discrepância entre o que estavam a fazer e a situação traduzida no gráfico.

M.: Estás a ver! Assim a distância está a mudar e no gráfico não muda nada!!!

M. e C.: [Quase em simultâneo] O robot tem de ficar parado.

Depois destas observações continuaram facilmente a ler o gráfico: “avança 2 segundos, pára 2 segundos, …” até que se depararam com duas novas dificuldades. A primeira dizia respeito aos períodos de tempo que o robot deveria andar e repousar:

C.: Avança 2 segundos, depois para 4 segundos e…

L.: Mas não são 4 segundos, são 2.

C.: São?

L.: Vê melhor. Cada quadrado [referia-se à unidade de tempo] é 1 segundo.

C.: Mas só está marcado de 2 em 2…

L.: Não interessa… Tem tracinhos no meio e cada um deles vale 1 segundo.

C.: Mas aqui onde ele pára tem o número 4.

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L.: Oh! Já sei… Estás a contar desde o início e só conta a partir do que ele andou. Andou 2

segundos e vai ficar parado 2 segundos.

Como o robot deveria ficar parado até aos 4 segundos, a aluna C. considerava que era esse o tempo que o robot deveria ficar parado sem lhe subtrair os 2 primeiros segundos em que estaria em movimento. A segunda dificuldade surgiu na programação para os instantes seguintes aos 9 segundos. Os alunos solicitaram a ajuda do professor porque não sabiam como proceder quando a distância começava a decrescer:

C.: Professor: o que é que acontece aqui?

Prof.: Digam-me vocês. O que significa essa alteração no gráfico?

C.: O robot está a descer.

Prof.: Está a descer como?

C.: Não sei. Sei lá! Está a descer…

M.: Está a andar para trás e depois torna a parar e depois torna a andar para trás e para.

Prof.: Pára onde?

M.: No fim.

Com a presença do professor, baseando-se nas questões que este foi elaborando, os alunos rapidamente concluíram que o robot, tal como deveria avançar e parar, teria de recuar. A aula foi decorrendo e a maioria dos alunos continuava a manifestar muitas dificuldades na compreensão dos gráficos, nomeadamente em detectar os erros contidos no segundo gráfico. Alguns grupos descreveram as duas viagens, admitindo a sua possibilidade. Perante estas dificuldades, as solicitações constantes de auxílio e a actuação distante dos alunos da outra turma, o professor decidiu intervir junto de um dos grupos:

R.: O robot avança 2 segundo, pára 2 segundos, avança 2 segundos e pára 6 segundos.

Prof.: Então já decorreu 12 segundos. E a seguir?

R.: O robot andou 3 segundos para trás.

Prof.: E isso está bem? É possível?

[Os elementos do grupo ficaram a olhar uns para os outros e para o gráfico].

Prof.: É possível andar para trás no tempo?

R.: Não.

Prof.: Então que podemos concluir acerca desta viagem?

R.: É impossível.

Prof.: É impossível porquê?

R.: Porque não é possível andar para trás no tempo e isso acontece no gráfico.

O professor conduziu o diálogo de uma forma que proporcionou quase de imediato as respostas aos alunos, não lhes deixando grande margem de descoberta autónoma. Os

105

alunos não tiveram a oportunidade de descobrir e discutir as questões devido à excessiva orientação do professor. Este deveria ter deixado os alunos descreverem a viagem, inclusive a “impossível”, para que estes detectassem o erro aquando da programação do robot. Esta actuação do professor está de acordo com uma natural tendência de ajudar os alunos quando têm dificuldades em vez de os questionar e orientar na descoberta dos conhecimentos. O papel de transmissor de conhecimentos parece estar, na percepção da maioria dos docentes e alunos, intrínseco à actuação de professor, que reduz as possibilidades de os alunos construírem activamente os seus próprios conhecimentos. Os alunos programaram rapidamente a viagem idealizado pelo Pedro. O único contratempo foi a procura do comando “esperar”. Quando terminaram a programação experimentaram e logo depois chamaram o professor para que este visse a sua solução. O professor solicitou que, à medida que decorria a viagem do robot, apontassem para o ponto do gráfico correspondente, o que fizeram plenamente. Todos os grupos preencheram satisfatoriamente os diagramas da pergunta 1.5. No entanto, tal como na turma anterior, foi necessário chamar a atenção dos diversos grupos para que não repetissem elementos no conjunto de chegada. Levantou-se então a questão de como proceder com os instantes 10 e 12 segundos no diagrama relativo ao segundo gráfico.

Cr.: Professor, já terminei a pergunta.

Prof.: Mostra a resolução. Observa o gráfico de novo. No instante 10 segundos a que

distância se encontra o robot?

Cr.: A 10.

D.: E também a 5… Já sei. Tens de fazer outra seta para o 5.

Quando chegaram à questão 1.6, onde se questionava qual o motivo que fazia com que uma correspondência fosse uma função e a outra não, os grupos responderam que não se podia recuar no tempo e que o do João não é função porque há um tempo com duas distâncias enquanto que na correspondência do Pedro a cada tempo corresponde uma distância.

Prof.: Então porque é que a correspondência do João não é uma função e a do Pedro é?

T.: Porque há um tempo com duas distâncias.

R.: O tempo 10 segundos. E nos 12 segundos também acontece isso.

Prof.: E isso não poderia acontecer na viagem do robot?

T.: Não.

Prof.: Porquê?

R.: Porque o robot não pode estar em dois sítios ao mesmo tempo.

Este grupo, ao qual pertencia o aluno R., chegou mesmo a escrever que a correspondência do João não era função porque a um objecto correspondia duas imagens, mesmo antes de se ter falado nestes termos específicos na aula. O conhecimento antecipado destes termos deve-se ao facto de um dos alunos do grupo

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frequentar a sala de estudo disponibilizada pela escola, onde teria ocorrido o primeiro contacto, ainda que apenas verbal. Tal como sucedeu na turma anterior, o segundo bloco destinou-se à discussão dos resultados então obtidos e resolução da segunda parte da proposta de trabalho. Procedeu-se à leitura e discussão das respostas à questão 1.6. Quando a resposta mais incompleta foi lida, gerou-se o seguinte diálogo:

T.: A condição necessária é não voltar para trás no tempo.

Prof.: Se isso acontecesse, o que implicaria para o robot?

R.: [Aluno não pertencente ao grupo] Teria que estar em dois sítios ao mesmo tempo.

Prof.: E em que instante isso ocorreria?

T.: O 10… o 12…

Prof.: Só esses?

R.: E o 11.

Prof.: Quantas distâncias corresponderiam ao instante 11 segundos?

T.: 3. E não pode estar a 3 distâncias.

O professor aproveitou este diálogo para referir que a ideia que tinham estado a desenvolver era, ainda que de uma forma intuitiva e não formalista, a ideia do conceito de função, e pediu aos alunos para completar a frase “ A correspondência do Pedro é uma função porque…”:

R.: Cada distância tem um tempo.

S.: Não. Cada tempo tem uma distância. A cada tempo corresponde uma distância.

Prof.: E portanto terá de ser uma ou podem ser mais? Talvez duas?

P.: Uma e unicamente uma.

Então o professor completou no quadro preto a expressão que havia iniciado usando a sugestão de P.. Seguidamente o professor introduziu os termos objecto, imagem, domínio, contradomínio, conjunto de partida e conjunto de chegada a partir dos dados da questão 1. Durante a resolução da tarefa, alguns alunos já haviam contestado o facto de ser necessário “escrever muito” para dizer que a determinado objecto corresponde uma imagem. O professor aproveitou esse facto para introduzir a simbologia yxf =)( .

Prof.: Qual é a imagem do objecto 4?

M.: 5.

[O professor escreveu “Ao objecto 4 corresponde a imagem 5”].

Prof.: A imagem de 8?

T.: É 10.

[O professor voltou a escrever].

Prof.: Será que não poderíamos escrever isto de uma forma mais simplificada?

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Faremos assim: 5)4( =f que significa que a imagem de 4 é 5 por intermédio da função f.

M.: Ai! É melhor assim.

T.: É melhor.

R.: Pois é. É mais rápido e mais fácil de escrever tudo.

A simbologia introduzida surgiu como uma necessidade de poupança de tempo detectada pelos alunos. Assim, a formalização, normalmente mal recebida pelos alunos, surgiu como algo com sentido que lhes proporciona poupança de tempo e que é útil. Mais uma vez, as variáveis envolvidas na proposta de trabalho revelaram-se muito úteis para a discussão da aplicação dos termos variável independente e variável dependente. O professor iniciou esta questão propondo perguntas sobre as características das variáveis e o que acontecia na programação.

Prof.: Qual das variáveis é possível controlar no robot? O tempo ou a distância?

H.: A distância.

R.: O tempo.

Prof.: O tempo, porquê?

R.: A programar é o tempo.

S.: Não é o tempo. O tempo não pára e só podemos controlar a distância.

Prof.: Concordam com o colega?

Alunos: [Em coro] Sim.

Prof.: Então como associariam os termos variável independente e variável dependente com

as variáveis tempo e distância? Comecemos pela independente…

T.: É a distância.

Alunos: [Novamente em coro] Não. Tempo.

C.: Não é preciso controlar. É livre.

Prof.: E o que significa livre?

C.: Não está ligada a nada.

Prof.: E dependente?

J.: É a distância. Depende do tempo que o robot andar.

Apesar da pergunta do professor ser tendenciosa nos sentido da resposta tempo,

dado que a programação é feita em termos de tempo de andamento e de paragem, os alunos aperceberam-se que depois de iniciada a viagem é impossível parar o tempo e que a distância depende do tempo de andamento.

Os alunos conseguiram responder a todas as questões sugeridas nas últimas páginas da tarefa. Quando tinham dificuldades recorriam aos colegas de grupo.

M.: É 6 segundos.

L.: Como é que é 6?

Ca.: Estás aqui. É 8 segundos.

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M.: 10 unidades de comprimento

L.: É o de cima, não é esse.

M.: Vê. 10 é 6.

L.: 10 quê?

M.: 10 segundos… de… distância.

M.: Este é daqui. Distância não é segundos. É unidade de comprimento.

Ca.: Vê aqui. 8 segundos de tempo e aqui 10 unidades de comprimento, aqui 6 segundos de

tempo e 10 unidades de comprimento.

M.: O 10 é a imagem do objecto 8 segundos.

Apesar da dificuldade em compreender o sentido e o raciocínio realizado pelas alunas, nota-se uma grande necessidade de se explicarem e confrontarem as suas colegas com as suas ideias.

No final os alunos leram as respostas em voz alta. A assinalar o facto de um aluno ter respondido que um dos objectos era 1,5 segundos. Todos os outros colegas haviam respondido valores inteiros para o valor do tempo.

Dada a importância do conceito em questão nestas duas aulas, o professor

decidiu realizar uma ficha de trabalho (anexo 6) afim de proporcionar aos alunos mais possibilidades de aplicação dos conteúdos abordados. As questões que suscitaram alguma discussão mais acesa foram a primeira (que exigia uma justificação do facto de ser ou não função) e a segunda (conjuntos de partida e chegada, e contradomínio), como comprova o seguinte diálogo.

L.: Já fizeram?

N.: Esta é função e esta. Esta não é porque a um objecto corresponde duas imagens.

M.: É esta e esta porque… porque… um objecto não pode ter duas imagens, mas esta

imagem pode ter dois objectos [enquanto apontava para os diagramas].

N.: É como o tempo e a distância.

C.: O domínio é A e o contradomínio é o B.

N.: Oh. Isto é fácil.

L.: Pois é.

M.: E desta função? Qual é o domínio desta função?

L.: É o D.

M.: É o D?

C.: Acho que sim. Estes são os objectos e estas as imagens.

M.: Sim. Pois é. E o conjunto de chegada?

L.: Chegada…. Chegada é o segundo.

M.: Sim. Deve ser. O primeiro é o de partida e o segundo é o de chegada.

N.: É aqui que chega a função [apontando para a questão]. Este é o de chegada.

109

C.: Escreve isso, é o F.

L.: O contradomínio também é o F.

M.: O objecto que tem imagem 5?

N.: -1.

Na generalidade, os alunos não revelaram grandes dificuldades na resolução das

restantes questões da ficha de trabalho.

Avaliação

Da observação da aplicação da tarefa e da resolução da ficha de trabalho parece que, de um modo geral, os alunos aprenderam a noção de função, porventura de uma forma mais significa na primeira turma observada. No entanto, esta acepção terá de ser confirmada em tarefas posteriores com a aplicação do conceito a novas situações semelhantes.

A generalidade dos alunos identificou correctamente as correspondências que eram funções e as que não o eram na ficha de trabalho. O uso da simbologia e formalismos associado às funções foram bem aceite pelos alunos na tarefa e correctamente utilizados na ficha de trabalho, mas alguns grupos demonstraram dificuldades pontuais na representação do domínio e do contradomínio.

Também há a registar o comportamento global dos alunos, nomeadamente a sua elevada persistência, a motivação, o interesse e o empenho demonstrados.

Síntese

Ao longo destas aulas foram emergindo aspectos importantes relacionados com a aprendizagem que os alunos desenvolveram. O comportamento ao nível de organização de trabalho alterou-se. Os alunos passaram a recorrer sistematicamente aos pares em vez da habitual e constante solicitação do auxílio do professor. Mesmo as questões que não levantaram dúvida eram respondidas em voz alta para apreciação dos restantes elementos do grupo.

Os alunos automotivavam-se e motivavam os colegas. Expressões como “Isto é fácil” eram acompanhadas de alguns sorrisos e mais empenho. Quando um dos elementos do grupo não escrevia a resposta era pressionado pelos colegas para o fazer.

Note-se também que os alunos responderam com relativa facilidade às questões colocadas e um deles relembrou o exemplo da função tempo/distância em jeito de confirmação do resultado consensual já obtido. Não revelaram dificuldades em identificar as correspondências que eram funções e as que o não eram. Outro aspecto evidenciado prende-se com a utilização constante dos novos termos aprendidos: domínio, contradomínio, objecto, imagem, etc. Como não se recordavam do que era o conjunto de chegada, concluíram-no a partir do sentido textual da palavra “chegada”.

A correcção da ficha de trabalho foi realizada em grande grupo, oralmente e no quadro negro pelos alunos. As respostas eram sugeridas por um grupo e corrigidas ou complementadas por outros.

110

Com esta tarefa pretendia-se que os alunos, numa primeira fase intuíssem a noção de função, para posteriormente se proceder a uma definição formal do mesmo. Propunha-se assim, introduzir o conceito de função. Nas respostas observadas na proposta de trabalho e, posteriormente, na ficha de trabalho, surgem evidências de que os alunos adquiriram essa noção intuitiva do conceito de função a partir do exemplo concreto estudado. Inicialmente, as relações entre o tempo e a distância representadas nos gráficos foram utilizadas para definir função, e mesmo depois da definição formal do conceito, foram utilizadas para comparação noutros casos. Desta forma, o conceito de função surgiu, de forma mais natural na primeira turma, como resultado do trabalho desenvolvido pelos alunos. Os diálogos estabelecidos durante a resolução da ficha de trabalho sugerem que os alunos apreenderam o conceito de função, mostrando-se capazes de aplicar o mesmo a novos exemplos e determinar se uma correspondência designa uma função.

No início predominavam os termos informais e as explicações surgiam na linguagem do dia-a-dia dos alunos. Depois da tarefa e da formalização dos conceitos predominavam os termos específicos como domínio, contradomínio, objecto e imagem. Os termos correspondência e função tomaram um papel central na linguagem dos alunos.

O interesse foi uma constante e o trabalho de grupo pautou-se pela participação e intervenção de todos os elementos do grupo. O ponto de partida para este interesse terá residido no uso dos robots e na concretização dos conteúdos abordados, usualmente visualizados pelos alunos como conteúdos ou processos intangíveis, de carácter meramente teórico, e portanto, de interesse, aplicabilidade e utilidade duvidosos.

A persistência dos alunos foi aumentando com o decorrer da proposta de trabalho. Habitualmente muito dependentes da presença, opinião e anuência do professor, os alunos foram voltando-se para “dentro” do grupo a fim de discutirem as questões e exporem as suas dúvidas. Nos diálogos finais é possível constatar que, nas questões em que não revelavam dificuldades na resolução, os alunos “pensavam em voz alta” com o intuito de partilharem e confirmarem os seus resultados.

Os aspectos supra citados parecem evidenciar que os alunos estiveram a trabalhar ao nível do desenvolvimento de competências nomeadamente ao nível do pensamento matemático, do tratamento de problemas, do raciocínio matemático, de representação das entidades matemáticas (neste caso de uma função), em simbologia e formalismo, de comunicação (manejaram a linguagem característica das funções), e em instrumentos e acessórios (usaram os robots e acessórios de uma forma reflectida e estabeleceram relações com a Matemática).

4.4. Tarefa 2 – “Modos de representação de uma função”

Inicialmente estava previsto a realização desta proposta de trabalho (anexo 7) em apenas um bloco de 90 minutos. No entanto, devido ao prolongamento da discussão e correcção da primeira ficha de trabalho (anexo 6), os alunos consideraram que o tempo era insuficiente e foi-lhes concedido um segundo bloco. A proposta de trabalho pretendia proporcionar aos alunos o contacto com as diversas formas de representar uma função. Tendo como ponto de partida uma situação real e experimental, teriam de representar uma relação funcional de diferentes formas, mais concretamente através de uma tabela e de um gráfico e passarem de uma representação para a outra. Na tarefa anterior já haviam contactado com a representação gráfica e com

111

os diagramas. Também se pretendia proporcionar a aplicação dos conhecimentos adquiridos na tarefa anterior, tais como a noção de função, domínio, contradomínio, variável dependente e variável independente, a uma nova situação de cariz experimental. Por fim, possibilitaria aos alunos contactar com funções cujas representações gráficas não são rectas. Esta proposta de trabalho também foi idealizada para funcionar como elemento de avaliação escrita e, como tal, os grupos tiveram de entregar os registos escritos resultantes dos seus trabalhos. Foram distribuídos robots com um sensor de luz acoplado e previamente programado para seguir uma pista cinzenta traçada num tabuleiro de grandes dimensões (70 cm de diâmetro) propositadamente criado para o efeito (Figura 14), que consistia numa circunferência com três diâmetros traçados (formando 8 ângulos ao centro de 45 graus) e um raio (aleatoriamente traçado e, portanto, diferente em cada tabuleiro), e fitas métricas de metro e meio de comprimento. O robot teria de iniciar a marcha no ponto A e descrever uma volta completa, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, parando em todos os pontos assinalados. Os alunos teriam de organizar uma tabela onde constassem os valores da distância do robot ao ponto A em função dos ângulos ao centro correspondentes aos arcos descritos pelo robot. Este seria o ponto de partida para a abordagem das várias representações de uma função, culminando com a escolha do gráfico, entre quatro opções, que poderia traduzir a situação que estavam a estudar.

Figura 14 - Tabuleiro usado na Tarefa 2.

Aquando da apresentação da tarefa, os alunos foram informados pelo professor que deveriam ser rigorosos e registar todas as suas respostas, justificando as suas conclusões, como se de um relatório se tratasse, principalmente na última questão, com o intuito de no final recolher um exemplar, por grupo, para posterior correcção e avaliação. Na primeira turma (turma 1) onde foi desenvolvida a tarefa, os alunos, antes de lerem a proposta de trabalho, experimentaram repetidamente o robot no tabuleiro e concluíram qual seria o seu comportamento. Um dos grupos chegou a experimentar outras cores para aferir a reacção do robot. Procuraram papéis com cores diferentes que colocaram no sensor de luz e observavam a reacção do robot, sem terem discutido ou concluído qualquer coisa deste procedimento.

112

Depois de algum tempo, começaram a ler a proposta de trabalho. Os elementos de um grupo, sem falarem entre si, decidiram imediatamente chamar pelo professor.

Ri.: Professor. Ajude-nos.

Prof.: Leram tudo com atenção?

Ri.: O robot vai andar na linha, de marca preta em marca preta [que assinalava os pontos].

Prof.: Sim. Se leram a tarefa não deverão estar surpreendidos, e se pressionarem aqui

[sensor de toque] o robot reinicia o seu andamento. Já sabiam?

Ri.: Sim, sabíamos. Já tínhamos visto naquele grupo ali [grupo vizinho].

M.: Não estou a perceber muito bem isto.

Prof.: Têm de ler com atenção. Já experimentaram o robot e agora devem ler e cumprir as

instruções.

Ri.: É para [começou a ler] “organizar uma tabela de valores onde conste os valores dos

ângulos correspondentes aos pontos…. E a distância”.

Prof.: Então que terá essa tabela?

Ri.: Os ângulos e a distância.

[O professor afastou-se].

M.: A distância deve ser medida com esta fita.

[E começaram a construir a tabela de valores].

M.: É o ângulo e a distância.

Ri.: Tem de ter duas colunas.

Um segundo grupo, vizinho do anterior, já tinha construído uma tabela e

preparava-se para a preencher. Estavam com alguma dificuldade em descobrir os valores correspondentes aos ângulos.

Prof.: Então como vai o trabalho?

L.: Professor, quanto é cada ângulo?

Prof.: Uma volta completa corresponde a…?

L.: 360º. AH! Já sei como tirar os ângulos. Metade é 180º. E aqui é 90º.

Entretanto o primeiro grupo já havia iniciado o seu trabalho, mas revelavam

algumas dúvidas na construção da tabela e pensavam numa forma de medir os ângulos. Sem sugestões, olhavam uns para os outros e para a tarefa. Quando o professor passou próximo do grupo, aproveitaram de imediato para obterem alguma ajuda.

M.: Professor, uma tabela é assim não é?

Prof.: Sim. E o que deve conter?

S.: Os valores dos ângulos aqui e a distância aqui [apontava para as colunas]. Como se

medem os ângulos?

Prof.: Observem os ângulos. Há ângulos iguais?

113

[O professor afastou-se e os alunos ficaram em silêncio].

[Entretanto começaram a medir os ângulos com a fita métrica].

R.: Faz a tabela.

N.: Quantos ângulos são?

S.: São 8.

N.: É 8. 8.

S.: São 9. Tem mais um.

N.: Aqui é o tempo [na primeira coluna].

M.: Não, não é. São os ângulos [e registaram].

T.: E coloca o título na tabela.

N.: Agora o outro [segunda coluna].

M.: A distância do robot [e registou].

N.: Vê agora. Distância do robot ao ponto A.

T.: d é a distância de A ao B.

N.: Não tem de se usar o robot?

T.: Tem de percorrer estes pontos A, B, C e D… Tem que fazer daqui até aqui [com a mão

apontou de A até B]. Percorre isto tudo.

N.: A, B, C e D… Mas este aqui é mais pequenino [entre C e E estava desenhado um raio

[OD] que dividia o ângulo ao centro em dois geometricamente iguais de 22,5º]. Todo é isto

[ângulo COE]. Estes quatro são iguais e este é mais pequeno.

Quando o aluno solicitou o auxílio do professor, colocando-lhe uma pergunta

directa, obteve como resposta um incitamento à observação seguida de outra pergunta. Este curto diálogo do professor com o aluno foi o suficiente para iniciar a discussão no grupo, caracterizada pelas indicações de trabalho, interpelações e correcções mútuas entre os seus elementos. Note-se também que o N., aluno com dificuldades na disciplina e habitualmente tímido, com poucos hábitos de participação e intervenção nas aulas, assumiu o papel de líder do grupo. Dava indicações concretas para o trabalho dos colegas e participava activamente no diálogo que se foi desenvolvendo.

Quando um dos elementos se preparava para medir as distâncias entre os pontos assinalados sem usar o robot, dois dos seus colegas colocaram o robot na faixa e puseram-no em andamento. Logo no primeiro ponto (ponto B) verificaram que primeiro teriam de resolver a questão dos valores dos ângulos. Perante a dificuldade em descobrirem como mensurar os ângulos e na falta de sugestões no seio do grupo, T. pegou na fita métrica e mediu um dos raios da circunferência na procura do valor da amplitude do ângulo, denotando o desconhecimento do processo de mensuração de ângulos.

T.: O ângulo é 35.

N.: Mede agora a distância.

T.: 12 cm [de A à traseira do robot parado em B].

114

N.: O ângulo não pode ser assim.

M.: Os ângulos são todos iguais.

S.: Não, estes dois são diferentes [ângulos entre C e E].

M.: Mas os grandes são todos iguais.

[Mediram a distância entre todos os pontos]

N.: É tudo igual. Dá 26.

[E confirmaram a medição].

N.: Ele anda 26 cm.

T.: Pois, mas não pode ser este o ângulo… Como se faz?

N.: Este mais pequeno é 13, metade para cada parte. De A para B anda 26. De C para E

anda 13 mais 13. As partes grandes são todas 26.

Nota-se alguma confusão e desorientação na passagem anterior, talvez

proveniente da crescente necessidade de descobrir os valores dos ângulos. T. aponta uma solução, inicialmente consentida pelos seus pares, mas posteriormente posta em causa. Seguiram-se algumas afirmações na sequência da hipótese levantada por um elemento de que os ângulos seriam todos iguais. Esta discussão terminou com a verificação experimental dessa hipótese. Provaram que de facto os ângulos ao centro principais têm todos a mesma amplitude medindo a distância entre os pontos. No final, perante o reconhecimento de T. que o ângulo por ele sugerido não estava correcto, um colega sugere o valor da distância para o valor do ângulo.

Talvez por falta de sugestões melhores preencheram a tabela com esses valores. Enquanto um dos elementos registava os valores, os outros observavam em silêncio até que T. interveio novamente, já na presença do professor.

T.: O ângulo não está bem. Não é assim. Como se vê os ângulos?

Prof.: Como chegaram a estes valores?

T.: Assim [e demonstrou-o].

Prof.: Então é a distância de ponto a ponto? Releiam atentamente a questão.

N.: O robot vai percorrer a linha a partir do ponto A.

Prof.: E depois?

S.: Vai do ponto A ao ponto B, do B ao C e assim…

Prof.: E nos pontos o que acontece?

T.: Pára.

Prof.: Com que objectivo?

N.: Para calcular a distância deste ponto [apontava para o ponto A] e o robot.

[Silêncio].

Prof.: Quanto “mede” o ângulo AOC? [E o professor afastou-se].

[Silêncio].

S.: Isto é um ângulo recto!!!

115

M.: Pois é, isto é 90.

N.: Ah! Metade de 90 são… 45.

Verificou-se uma grande persistência em torno da descoberta dos valores dos

ângulos em questão. Não obstante as sugestões do professor, formuladas em termos de questões, essa descoberta foi inteiramente da responsabilidade dos alunos, cuja satisfação era evidente após o feito, traduzida em sorrisos e palmadas nas costas.

De imediato começaram a realizar a experiência com o robot. N.: Distância ao robot: 14… não, 12 [parado em B].

[No ângulo seguinte].

S.: Também é 45.

N.: Não, é 90. Acho que é 90.

S.: É?

T.: É 45 mais 45. Não é?

N.: É sempre a partir do ponto A. É daqui ao ponto A, daqui ao ponto A. Não é assim?

T.: Acho que sim.

M.: Eu também.

T.: Vamos medir assim [segurava um em cada ponta da fita].

T.: E agora? Ângulo?

S.: Aqui não é 45º.

N.: É metade de 45º. 90 mais metade de 45.

[recorreram à máquina de calcular].

S.: Metade de 45 é 22,5, mais 90 dá 112,5.

N.: Arredondando dá 112… não, 113. Põe aí 113.

T.: Distância?

N.: 46.

T.: Outro: 113 mais 22,5 dá 135,5, arredondado 136. Distância… 55.

No início do diálogo houve uma negociação relativamente ao segundo ângulo a

registar na tabela. Perante duas sugestões diferentes, os alunos manifestaram as suas opiniões e perante a maioria (S., T. e N.) foi registado 90º.

A cooperação estendia-se à parte experimental. Partilhavam tarefas e procediam às medições em pares, enquanto outro indicava e realizava o cálculo dos ângulos com máquina de calcular e o último registava os valores indicados pelos colegas.

Sem qualquer indicação nesse sentido, os alunos resolveram arredondar o valor do ângulo. Devido a esse arredondamento, com o decorrer do preenchimento da tabela, obtiveram 181, 226, 271, 316 e 361 como valores para os ângulos.

T.: Dá 361. 361?

N.: Não pode. Está mal.

116

T.: Foi aqui. Passamos 112,5 para 113 no arredondamento.

[Refizeram todos os cálculos e corrigiram a tabela].

T.: Agora dá 360. Espera aí [verificou de novo].

T.: Aqui dá 270, aqui 315 e aqui 360.

N.: Já estou a corrigir. Está certo, dá 270.

[Entretanto o professor aproximou-se].

Prof.: E a distância ao robot quando ele está no A?

S.: É 0.

N.: Eu acabo isto. Comecem a fazer a seguinte.

Os alunos reconheceram imediatamente que o valor 361º não era o correcto para

uma volta completa. Com a mesma destreza identificaram o procedimento que originou esse erro. Contudo, com o intuito de atestarem a hipótese sugerida, realizaram de novo os cálculos duas vezes.

Mais uma vez o trabalho foi repartido. O aluno que procedia às rectificações sugeriu aos colegas que passassem para a questão seguinte enquanto terminava. A tabela final apresentada pelo grupo foi a seguinte:

Figura 15: Tabela elaborada pelos alunos na questão 1.1 (Tarefa 2).

A discrepância entre as distâncias registadas pelos alunos no ponto C (90º) e no

ponto H (270º ou -45º), que aparentemente deveriam ser iguais, deve-se à posição relativa robot em cada um dos pontos, de modo que o seu próprio comprimento afecta ou não a distância ao ponto A, respectivamente.

Seguindo a sugestão do colega, três alunos começaram a debater a questão 1.2. Quando um deles apresentava uma dúvida os colegas tentavam explicar e recorriam a exemplos trabalhados anteriormente.

S.: É para fazer um diagrama.

M.: O que é um diagrama?

117

S.: Vê na última tarefa. É isto. A este valor vai corresponder este, a este é este… é assim.

T.: Estes valores para aqui [conjunto de partida] e estes nesta bola [conjunto de chegada].

N.: E depois fazemos as setas.

S.: Não são os pontos que ficam aqui [conjunto de partida]?

M.: Olha aqui. Tempo e distância.

N.: Pois é. Ficam os ângulos e a distância.

T.: Põe antes os pontos. Está bem professor?

Prof.: Também poderiam ser os pontos, mas na tabela o que aparece?

N.: Os ângulos. Eu disse que eram os ângulos mas nós decidimos…

Apesar de na discussão M. e N. defenderem claramente que no primeiro

conjunto ficariam os ângulos, T. propõe a S. que registe os pontos. Quando, junto do professor, concluem que deveriam ser os ângulos, N. assume a decisão tomada pelo grupo apesar de não concordar com ela. Propuseram o seguinte diagrama:

Figura 16: Diagrama proposto pelos alunos na questão 1.2 (Tarefa 2).

Para justificarem que a correspondência era uma função recorreram à leitura da

tarefa anterior. Depois de relembrarem o que era uma função, a resposta foi complementada, pouco a pouco (uma ou duas palavras) por todos os elementos do grupo. Quando terminaram, um deles leu a resposta em voz alta, ao que os outros responderam que estava bem. A resposta apresentada foi:

“É uma função porque a cada elemento do conjunto dos ângulos faz corresponder um e só um elemento do conjunto da distância”. Na turma, todos os grupos conseguiram justificar porque se tratava de uma

função. As justificações foram muito semelhantes à anterior: “É função porque um elemento do grupo dos ângulos corresponde um e unicamente um elemento do grupo das distâncias”. Contrariamente ao tempo que despenderam na descoberta dos valores dos

ângulos, os alunos resolveram as questões seguintes com alguma rapidez e facilidade. Sem grandes discussões ou diálogos foram registando as suas respostas. Relativamente

118

à identificação da variável dependente e da variável independente, a discussão preliminar cingiu-se a uma pergunta e à resposta imediatamente admitida:

M.: Qual é a dependente? T.: A distância depende dos ângulos. Variável distância. Apesar da resposta estar correcta escreveram valores do contradomínio em vez

de indicarem a distância como variável dependente. Exceptuando um dos grupos, todos conseguiram fazer uma representação gráfica dos pontos obtidos e escolheram a opção correcta (opção D) na última questão.

Figura 17: Representação gráfica realizada para a questão 1.4 (Tarefa 2).

As justificações apresentadas para a escolha dessa opção foram concisas,

referindo-se, maioritariamente, à semelhança do gráfico da opção D com o elaborado na questão anterior. Os alunos atenderam, essencialmente, às características da curva apresentada, salientando-se um grupo que reporta a distância máxima atingida pelo robot como factor de decisão.

“Não escolhemos nem o A nem o B porque tem dois pontos na mesma distância e a meio desses dois pontos tem um mais para baixo, e não escolhemos a C porque a distância máxima é 35.” “É o D porque é uma só curva e é parecida ao nosso gráfico. Não escolhemos a A e a B porque tem duas curvas e a C tem a curva muito deitada”. No final, o professor recolheu as folhas de resposta para posterior avaliação e

deu os parabéns a todos os grupos pelo trabalho realizado. Na turma 2 a introdução da tarefa decorreu de forma semelhante à anterior. Num

dos grupos, um dos seus elementos lia a tarefa em voz alta e os restantes colegas acompanhavam-no. Quase sem falarem, começaram a elaborar a tabela. Mostravam-se particularmente atentos a um dos grupos vizinhos, chegando mesmo a parar o seu trabalho para observarem quando verificavam mais agitação ou uma discussão mais acesa. Quando o professor passou por perto solicitaram a sua ajuda.

Prof.: O que tem de fazer o robot?

119

H.: Tem de andar nesta linha.

Prof.: Partindo de onde?

H.: De aqui [apontou para o ponto A].

Prof.: Assim ou assim? [referia-se ao sentido do movimento].

J.: Assim [exemplificou com o braço, movimentando-o para a esquerda].

T.: É assim porque é o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio e o relógio anda para

este lado, logo é para este lado.

Prof.: Então é aqui [referia-se ao ponto de partida]?

Todos: Sim

Prof.: E que irá acontecer?

J.: Vai parar em todos os pontos [e experimentaram].

Prof.: E agora?

J.: Ver qual é a distância até lá.

Prof.: Como vão medir essa distância?

T.: Pela linha…

J.: Já sei. É o ângulo daqui até aqui.

Prof.: Que ângulo é?

[Silêncio]

Prof.: Imaginando que era uma piza. Vamos comer uma fatia. As fatias são iguais?

J.: Algumas. Há umas diferentes.

H.: São 8 fatias.

Prof.: Há alguma forma de descobrir o tamanho dessas fatias, ou seja, o valor desses

ângulos? [e afastou-se].

Os alunos demonstraram que perceberam a acção que teriam de desenvolver nesta proposta de trabalho. No entanto, tal como os grupos da outra turma, revelaram dificuldades em descobrir a amplitude dos ângulos ao centro. Após o diálogo transcrito, os alunos pegaram na fita métrica e começaram a medir os arcos correspondentes aos ângulos. Corrigiram a sua actuação quando um dos elementos do grupo vizinho se juntou a eles e disse-lhes que os ângulos rectos tinham uma amplitude de 90 graus.

Num segundo grupo, mais atrasados no trabalho, ainda se discutia a realização da tabela de valores, principalmente o que nela deveria constar.

Ca.: Como se faz uma tabela de valores?

L.: É assim. E aqui colocas os valores.

[Leram as perguntas].

L.: A tabela tem de ter o x.

Ca.: Mas aqui não tem nenhum x.

120

L.: x é o ângulo. É o ângulo x. Olha aqui: é o ângulo desde aqui até aqui [ângulo AOB].

Percebeste?

Ca.: É para registar o ângulo x e a distância.

[Entretanto o professor aproximou-se].

Prof.: Estão a fazer?

Ca.: Não percebemos…

Prof.: Têm essa circunferência e o robot vai percorrê-la. Já experimentaram? É importante

experimentar e ver o que se passa ver o que irá acontecer. Será mais fácil de perceber.

[O robot andou de A até ao ponto B].

Ca.: Temos de medir a distância do ponto A até ao ponto B com a fita.

Onde medimos [referia-se ao ponto a considerar no robot]?

L.: É aqui [apontou para a traseira].

Ca.: Tem cuidado. Tem que dar a volta [para medir pela frente].

L.: Não é assim. É esticada.

N.: Dá 28.

L.: Coloca na tabela.

[O professor reaproximou-se e os alunos repetiram a medição na sua presença].

Ca.: Mas se é daqui até a aqui dá 26 [de A até B].

Perante a observação de Ca., começaram a medir a distância de ponto em ponto e concluíram que todos distavam 26 cm entre si, excepto dois que contavam com 13 cm. Perante isto, o professor que continuava a observar o grupo resolveu intervir com o intuito de clarificar o objectivo da tarefa e reorientar o trabalho dos alunos.

Prof.: O que pede o problema?

L.: A distância.

Prof.: Que distância?

N.: Entre dois pontos.

Prof.: Que pontos?

[Voltaram a ler].

Ca.: Ao ponto A.

Prof.: Então é a distância ao ponto A.

L.: Temos de medir assim… e assim…. e assim… [apontava para o ponto A e para outro

ponto, sucessivamente].

As questões lançadas pelo professor conduziram os alunos para uma nova leitura

do enunciado de onde surgiu o esclarecimento dos pontos envolvidos na medição da distância. A intervenção do professor provocou um momento de reflexão nos alunos. Note-se que todos os elementos do grupo participaram no diálogo.

121

No meio da sala estava um grupo que discutia exactamente a mesma questão dos ângulos e reclamavam já ter descoberto o valor do ângulo. O professor resolveu verificar essa descoberta.

Prof.: Quanto mede tudo?

T.: .... 360º.

Prof.: Quanto mede cada “fatia”?

[Pegaram na máquina de calcular].

J.: 45º.

Prof.: A tabela deve ter os ângulos e…?

T.: A distância.

Prof.: Que distância?

T.: Do robot ao ponto A.

Os alunos, apesar de já conhecerem antecipadamente a amplitude do ângulo,

recearam responder incorrectamente perante o professor, principalmente quando este se referiu à amplitude do ângulo giro e recorreram à máquina de calcular para confirmarem o valor obtido. Quando findou este diálogo, um dos elementos (T.) ficou tão satisfeito e entusiasmado que fez uma ronda por dois grupos vizinhos a anunciar que já tinham descoberto e propondo-se explicar, ao que os grupos acederam. Os alunos realizavam a tarefa de pé, tendo a possibilidade de se movimentarem pela sala sem grandes restrições, favorecendo este tipo de situações de partilha de informação e opiniões. Entretanto a aluna T. voltou para o grupo e começaram a completar a tabela. Esta ditava os valores dos ângulos para uma colega registar.

T.: De C a D, e de D a E é 45º. De E a F…

S.: É metade de 45º.

T.: É este [A a B], mais este [B a C], mais este [C a D], este [D a E] e este [E a F]. Faz 22,5

mais 22,5.

S.: E, F, 22,5 mais 22,5 dá 45º.

[Registaram e passaram à questão seguinte sem preencher a coluna das distâncias].

T.: Apresente os dados num diagrama. Justifique que é uma função. Porque cada…

S.: Cada objecto tem a sua imagem.

T.: Cada distância tem um ângulo. Ao contrário.

S.: Acho que isto não é uma função.

O diálogo inicial é um pouco confuso, e apesar de uma das alunas ter referido

explicitamente a soma das várias amplitudes, colocaram 45º em todos os ângulos e como tal a correspondência não seria uma função. Ainda antes de esboçarem o diagrama já sugeriam uma justificação para o facto da correspondência ser uma função. Após se corrigirem quanto a essa justificação, uma das alunas concluiu que afinal a

122

correspondência que tinham na tabela de valores não era uma função. Quando o professor sugeriu que pensassem melhor nos ângulos, decidiram somá-los. Uma aluna começou a alterar os valores da tabela. Dizia os valores em voz alta e as colegas faziam os cálculos mentalmente. Quando chegaram aos ângulos de amplitude 22,5º tiveram mais dificuldades e recorreram à máquina de calcular.

Passaram de imediato para as distâncias. Colocaram o robot no ponto A e puseram-no em marcha. Quando parou no ponto B começaram a pensar em como medir.

T.: E agora como vamos medir?

S.: De ponto a ponto?

C.: Não porque o robot fica para trás.

T.: Por trás do robot.

[Tentaram prender a fita métrica no robot. Como não o conseguiram optaram, sem trocar

qualquer impressão, medir a distância entre os pontos].

S.: Dá 26 cm.

T.: Então os seguintes também dão 26 porque os ângulos são de 45 graus.

S.: [Depois de medir] Pois é, 26.

S.: E agora é sempre 26 na tabela?

T.: Não, de A para B são 26, mas para o C já são 26 mais 26. Fazes como aqui para os

ângulos, percebeste?

S.: 26 mais 26 dá….

C.: 52.

Preencheram o resto da tabela seguindo este processo. Contudo, não ficaram

satisfeitos com a solução encontrada e continuaram a questionar-se sobre como deveriam proceder para obter a distância pretendida na tarefa.

T.: Será que a distância é a partir dos segundos que ele faz?

S.: Não sei. Dá para ver aqui no robot o tempo.

C.: Só se for este tempo [apontando para o visor do RCX].

[Entretanto o professor aproximou-se].

Prof.: Como obtiveram estes resultados?

T.: Medimos assim, assim e depois somava-mos.

Prof.: Então pretende-se a distância entre os pontos? De que serve o robot?

S.: Pois… Se calhar temos de medir de outra maneira.

T.: [Depois de ler de novo o enunciado] É a distância do robot ao ponto A.

Prof.: Ummm… Ao ponto A….

As alunas recomeçaram a resolução da tarefa. Rasgaram a folha que continha a

tabela que haviam realizado até ao momento e iniciaram a construção de uma nova. A

123

discussão continuava a voltaram a analisar propostas já discutidas. O professor manteve-se próximo do grupo.

T.: Agora são as distâncias.

S.: As que temos?

T.: Não. Do robot ao ponto A. Já temos os ângulos, e agora?

S.: Como medimos?

T.: É isso que o professor quer saber [sorrisos].

S.: Metemos aqui a fita [encaixada na traseira do robot].

T.: Não é pelos segundos, pois não?... Ele andou 5 segundos.

S.: Será que é medir daqui até aqui?

C.: Acho que não.

S.: Mete-se a fita métrica aqui e mede-se.

T.: 5 segundos correspondem a uma distância de 26 cm.

Prof.: O robot pára nos pontos porquê?

[Releram todos de novo a questão].

T.: Ah. Para tirar-mos as medidas.

Prof.: De onde até onde?

[Voltaram a ler a questão].

T.: Do robot ao ponto A. Espera que eu vou pensar melhor. Distâncias do robot …. ao ponto

A. É daqui até aqui [apontou para o ponto A e para o robot]. Só pode ser.

S.: É. É sempre do ponto A até à parte de trás do robot. Assim [e exemplificou para as

colegas].

[Procederam a todas as medições].

T.: É tão simples. É a distância do ponto A até ao robot, até onde pára, na parte de trás. Que

tontas…

Quando terminaram de preencher a coluna das distâncias repetiram a experiência e confirmaram as medições. Procederam à medição do comprimento do arco descrito pelo robot que corresponderia à distância percorrida pelo robot e não à distância do ponto A. Devido à proximidade de dois pontos, um deles diametralmente oposto a A, e a falhas na medição obtiveram dois ângulos diferentes com a mesma distância. Perante isto, T. propôs que se retirasse um dos ângulos.

T.: Tira-se um destes valores?

S.: Não. Não se pode tirar.

T.: Porque não? Têm a mesma distância.

S.: Mas numa função isso pode acontecer.

C.: São ângulos diferentes. Não os podes tirar.

124

A T. não concordou. Cruzou os braços e encostou-se na cadeira como forma de protesto mas acatou democraticamente a opinião da maioria (das duas) colegas de grupo. Entretanto um colega de outro surgiu junto deste e pediu para ver os valores que tinham na tabela.

M.: Como é que mediste?

C.: Daqui até aqui e daqui aqui [do ponto A ao ponto B, de B até C, pelo arco].

M.: Não é assim. É directamente para o robot a passar aqui pelo meio.

S.: Pois, tem lógica.

Procederam a novas medições e alteraram a tabela. Enquanto uma escrevia as

outras observavam concentradas. A tabela final foi a seguinte:

Figura 18: Tabela apresentada na questão 1.1 (Tarefa 2).

Salienta-se a duradoura persistência destas alunas. Apesar das grandes

dificuldades em compreender o que era solicitado na tarefa, não desistiram e foram propondo as mais diversas hipóteses de solução para os problemas que surgiam. Essas propostas eram posteriormente discutidas no grupo.

Contrariamente ao que se passou até este momento, as questões seguintes foram resolvidas com grande rapidez, talvez por se tratar da aplicação de conteúdos abordados em tarefas anteriores. Quando se pretendia que justificassem que a correspondência era uma função, uma das alunas tomou a iniciativa e começou a escrever, sem consultar as colegas. A escrita era acompanhada por um raciocínio em voz alta.

T.: A correspondência é uma função porque cada ângulo tem uma dist…

S. e C.: …só uma, só uma distância.

C.: Escreve.

S.: O domínio é este.

C.: São os ângulos [e registaram].

S.: Variável dependente é a distância e a variável independente é os ângulos.

C.: Escreve isso. Espera, não é ao contrário?

125

T.: Não. Olha, a distância ao robot depende dos ângulos. A independente não depende de

ninguém.

C.: Está bem.

Verificou-se uma dinâmica de grupo interessante. As alunas corrigiam-se e

complementavam-se no trabalho e perante alguma dúvida de uma colega não hesitavam em tentar explicar e fazer ver o seu ponto de vista. Na questão 1.2 onde se pedia que justificassem que se tratava de uma função, as respostas obtidas foram as seguintes ou muito semelhantes:

“É uma função porque a cada elemento dos ângulos corresponde um e um só elemento da distância”. “É o D porque cada ângulo (objecto) tem uma e só uma distância (imagem) e porque corresponde ao gráfico que fizemos e corresponde aos valores da tabela.” Elaboraram o gráfico (questão 1.4) quase em silêncio. A excepção ocorreu

quando S. ditou os valores para a colega colocar nos eixos ordenados que se limitou a apontá-los nos eixos, desrespeitando as escalas.

Figura 19: Gráfico realizado na questão 1.4 (Tarefa 2).

A T. que já tinha escrito as respostas das questões anteriores disse à C. para o

fazer ela a partir daqui. Preocupavam-se que todos os elementos do grupo participassem e contribuíssem activamente para o trabalho do grupo.

C.: Digam-me os objectos.

S.: 0, 45, 90, [….] 360.

C.: Agora as imagens.

S.: 10, 33, 54 […], 0.

Chegados à questão final, quando o professor se aproximou, uma das alunas

apresentou uma sugestão de resposta em voz alta, talvez com o intuito de obter ajuda do professor. Mas o professor continuou com a actuação que vinha demonstrando desde o início da tarefa, ou seja, dando sugestões ou propondo outras questões.

S.: Achamos que é a D [sem consultar o grupo].

Prof.: Então, se já decidiram, se é essa… resta justificar.

126

S.: Porque esta é uma função. Cada objecto só tem uma imagem.

Prof.: E as outras opções não são funções?

T.: [Virada para a colega] As outras também são funções. Temos é de escolher uma.

Prof.: Observem os vossos resultados e tentem justificar a partir daí.

S.: É este. De certeza.

T.: Porquê?

S.: Olha para o gráfico. Tem uma curva parecida [com o gráfico que construíram - Figura

19]. Faz assim e assim.

T.: Mas duas curvas. Parece este [opção C]. Então?

C.: Temos de decidir.

Sem mais discussão, as alunas optaram pela opção D e justificaram-na com a

forma do gráfico que seria semelhante à do seu gráfico. Quando terminaram solicitaram a presença do professor.

C.: Professor já está.

Prof.: Já? Qual foi a opção?

T.: A D.

Prof.: Porquê? [leu a resposta] Por este motivo a opção C também pode ser.

[Voltaram a sentar-se e reiniciaram a discussão].

S.: Temos que arranjar outra razão.

C.: Pois, são parecidos [opções C e D]. Podia ser este [C].

T.: Temos de ter mais alguma coisa.

Prof.: Já está?

T.: Aí professor…

S.: Olha, aqui é 35 e aqui é 70. Só se for por isto.

T.: Não sei…

T. pegou no lápis e acrescentou à resposta que a escolha recaía na opção D

também devido aos valores que tinham na tabela, em que as distâncias correspondentes a determinados ângulos ultrapassam os 35 cm, valor máximo da função da opção. Outras respostas, muito semelhantes à do grupo anterior foram:

“É o gráfico D porque o gráfico A e o gráfico B têm duas curvas e o gráfico da alínea anterior só tem uma, o gráfico C a distância não passa de 35 e o gráfico D tem uma curva e a distância é de 70” “É o gráfico D porque este quando atinge o máximo mede 70 cm e porque só faz uma curva ao contrário de A e B que fazem duas curvas, e o C atinge o seu máximo na curva em 35.”

127

Apenas um grupo escolheu uma opção errada, a A, apesar de terem uma tabela e

um diagrama (Figura 20 e Figura 21, respectivamente) com valores que contradizem a sua

opção e um gráfico (

Figura 22) com uma curva semelhante à da função da opção D.

Figura 20: Tabela (questão 1.1, Tarefa 2).

Figura 21: Diagrama (questão 1.2, Tarefa 2).

128

Figura 22: Gráfico (questão 1.4, Tarefa 2).

No final da aula o professor recolheu uma tarefa por grupo para posterior

avaliação. Alguns alunos ficaram à porta da sala de aula à espera do professor para lhe perguntarem o que tinha achado do trabalho por eles desenvolvido.

Avaliação

A avaliação realizada foi positiva para todos os grupos. Os alunos conseguiram passar de uma representação para a outra (da tabela de valores para o diagrama e depois para a representação gráfica) e relacioná-las, como foi o caso dos grupos que se reportaram aos valores registados na tabela como factor de decisão na escolha da opção correcta.

Também foi possível aferir que os alunos aplicaram correctamente a definição de função, fizeram uso frequente dos termos associados às funções e concluíram de forma satisfatória o domínio, contradomínio e as variáveis dependente e independente.

Apenas um grupo, em cada uma das turmas, não concluiu correctamente qual era o gráfico que poderia representar a situação em causa, apesar de terem realizado um trabalho que os aproximou da opção correcta. Determinados grupos revelaram alguma dificuldade no momento do registo escrito das suas conclusões, principalmente quando lhes foi solicitado que justificassem a sua escolha.

Mais uma vez se destacou a motivação e empenho dos alunos, a sua intensa actividade na resolução da tarefa e o desenvolvimento das competências associadas ao trabalho de grupo.

Síntese

No oitavo ano de escolaridade o estudo do tema funções está limitado à função linear e à função afim, ou seja, a funções cujos gráficos são rectas. No entanto, a maioria das situações reais do dia-a-dia estabelecem funções cujos gráficos em nada se assemelham a rectas. Com esta proposta de trabalho os alunos foram colocados perante uma situação experimental, real, de onde inferiram a representação gráfica da função

129

que traduz essa situação (uma curva), tendo para tal de recorrer a aspectos que caracterizassem essa representação gráfica, como por exemplo o máximo.

Porventura, o aspecto mais saliente ao longo da resolução desta proposta de trabalho é o dinamismo das aulas, caracterizado pelo papel activo dos alunos na procura das soluções. O ritmo de trabalho foi imposto pelos grupos, pela sua maior ou menor mas sempre crescente autonomia e cooperação, cabendo-lhes o papel principal no trabalho desenvolvido. O professor limitou-se a uma orientação intencionalmente discreta, proposta na forma de questões e sugestões e nunca sob a forma de resposta.

A actividade de grupo e inter grupos foi intensa, sucedendo-se a partilha de informação e resultados. A dinâmica de grupo foi intensa. Alguns alunos que normalmente evidenciavam grandes dificuldades na aula de matemática assumiram papéis centrais, de destaque dentro do grupo, chegando mesmo a coordenar os trabalhos dos respectivos grupos. Os alunos voltam-se cada vez mais para o seu grupo. A partilha de ideias e opiniões, a apresentação de sugestões foram evidentes, destacando-se algumas discussões que só terminaram com a realização de experiências com os robots.

Assistiu-se à partilha de responsabilidades, nomeadamente, antes de registar qualquer resultado ou ideia procuravam ouvir a opinião dos colegas perguntando-lhes “Não é?”, “Não é assim?” ou “E agora?”. As questões e as propostas de respostas eram lidas em voz alta para os colegas de grupo ouvirem e assim obter a sua opinião, normalmente crítica. Também permitia ao colegas de grupo acompanharem e confirmarem, ou não, o seu raciocínio. Todos tinham que trabalhar e fazer algo na resolução que seria entregue ao professor.

A negociação dos procedimentos, processos a adoptar e respostas foi uma constante. Por vezes, quando no grupo surgiam duas ou mais opiniões diferentes, os grupos adoptaram o critério da maioria para tomar decisões. Ainda que por vezes, se pudesse verificar o descontentamento de alguns alunos por serem vencidos pela maioria, acabaram por aceitar a decisão. Também se assistiu a um episódio, em que um dos alunos apesar de discordar claramente de uma decisão do grupo, perante o professor assumiu que a decisão fora colectiva e, consequentemente, era também da sua responsabilidade: “Eu disse que eram os ângulos mas nós decidimos…“.

Verificou-se uma grande persistência de todos os alunos. Apesar das dificuldades se sucederem e os graduais desenvolvimentos na sua transposição obrigarem a constantes revisões dos resultados e respostas e, sobretudo, a constantes repetições das experiências com os robots, os alunos não desanimaram e só terminaram depois de responderem a todas as questões de uma forma satisfatória. Em determinados momentos decidiram mesmo recomeçar toda a resolução da tarefa.

Era visível a satisfação dos alunos quando conseguiam concluir a tarefa e ultrapassar situações aparentemente difíceis. Registaram-se situações de cumprimentos (abraços e beijinhos) entre colegas quando descobriam algum pormenor que lhes permitia avançar na resolução da tarefa. Outros, quando descobriram a solução de determinado problema, como foi o caso da descoberta da amplitude dos ângulos ao centro que deveriam constar na tabela de valores, fizeram questão de ir dizê-lo aos grupos vizinhos, partilhando livremente essa informação.

Num episódio, um dos grupos decide arredondar um valor sem ter indicações para tal. No final dos cálculos constataram que havia algo errado (a soma das amplitudes que formavam um ângulo giro perfazia 361º), e de imediato compreenderam de onde derivava aquela situação. Corrigiram a sua actuação sem qualquer intervenção

130

externa ao grupo. Trata-se de um exemplo claro de auto correcção, de aprendizagem pela tentativa e erro potenciada pela análise do erro cometido.

As estratégias de trabalho e de resolução de alguns problemas passou, na maioria das situações, pela procura no caderno diário e em tarefas anteriores de indicações que auxiliassem à resolução das novas questões, seguida de alguma discussão. Os grupos experimentaram várias soluções e sugestões que iam discutindo até encontrar a correcta, como foi a caso da procura das amplitudes dos ângulos ao centro em que foram sugeridas várias hipóteses desde o comprimento do raio, a distância entre os pontos assinalados e até os segundos que o robot andava, que foram sendo discutidas e eliminadas sucessivamente até concluírem correctamente.

Os alunos continuaram a insistir em mostrar os seus resultados ao professor apesar desta proposta de trabalho estar destinada a correcção escrita posterior.

A manipulação de acessórios foi uma vertente muito explorada. Os alunos usaram os materiais disponíveis várias vezes, dependendo única e exclusivamente do seu entender para determinarem ou confirmarem valores e resultados. Resolveram problemas relacionados com o seu uso, como por exemplo a realização das medições.

Apesar da linguagem predominante ser a que usam normalmente no seu dia-a-dia, os termos e simbologia específicos das funções (objecto, imagem, domínio, etc.) foram usados com propriedade e alguma frequência.

Os alunos aplicaram correctamente a definição de função à nova situação quando justificaram que a correspondência era uma função. Há duas discussões distintas que atestam que os alunos dominam o conceito de função. Na primeira situação, um dos grupos repete o ângulo e assinala distâncias diferentes para cada um deles, e na segunda dois ângulos diferentes correspondem à mesma distância. Os alunos concluíram correctamente que a primeira correspondência não seria uma função tal como estava definida e que a segunda era função apesar de dois objectos diferentes terem a mesma imagem. Também não revelaram dificuldades em identificar o domínio, o contradomínio e as variáveis dependente e independente. Os alunos revelaram ser capazes de aplicar os conhecimentos anteriormente adquiridos à nova situação.

4.5. Tarefa 3 – “A proporcionalidade directa como função”

A tarefa “A proporcionalidade directa como função” (anexo 8) foi aplicada em dois blocos de 90 minutos e tinha como objectivo o estudo de funções do tipo kxx → . O conceito de proporcionalidade directa não é novo para os alunos. Pretendia-se estender esse tipo de correspondência ao conceito de função e à sua linguagem básica. Trata-se de uma proposta de trabalho que parte de um situação simples de programação de viagens curtas em linha recta de dois robots com velocidades diferentes e posterior medição do espaço percorrido por cada um no mesmo tempo. A partir desta situação experimental, por comparação dos valores de cada um dos robots, a proposta de trabalho encaminha os alunos para a representação da função através de uma expressão analítica, para a reflexão sobre determinadas propriedades do tipo de gráficos associados a uma proporcionalidade directa, da constante de proporcionalidade e da sua relação (de forma intuitiva) com a inclinação da recta. Como os alunos (da turma 1) já estavam familiarizados com a dinâmica das aulas, entraram na sala de aula e de imediato colocaram-se em posição para trabalharem em

131

grupo. O professor distribuiu a tarefa e todo o material necessário: dois robots com velocidades diferentes, computadores com o software da Robotics Invention System™ 2.0, torres de infravermelhos e fitas métricas. Seguidamente, o professor pediu que os alunos lessem atentamente a proposta de trabalho e alertou-os para dois aspectos: (1) para serem o mais rigorosos possíveis nas suas experiências, principalmente nas medições; (2) para terem em consideração o facto de os robots terem algum balanço e não pararem de imediato quando termina o tempo programado andando um pouco mais do que o pretendido e, como tal, seria um problema que teriam de resolver. Terminou desejando bom trabalho aos alunos. Contrariamente às primeiras aulas e tarefas desenvolvidas com os robots, em que os alunos manipulavam, brincavam e experimentavam os robots, nesta aula começaram por iniciar o programa RCX Code de programação do robot, ler a proposta de trabalho e a tomar decisões. Os alunos mostravam-se bastante empenhados e concentrados na tarefa que começavam a desenvolver. Na maioria dos grupos havia um elemento que lia a questão em voz alta e logo após o início da tarefa, era possível ouvir alunos a dizerem aos colegas “o robot tem de andar 1 segundo para medirmos o que andou ”. Contrariamente ao verificado em tarefas anteriores, os alunos compreenderam facilmente a introdução da tarefa e qual a experiência pretendida. Para este facto, poderá ter contribuído decisivamente a formulação da primeira questão com base numa tabela (tipo de representação já abordado em tarefas anteriores), cuja leitura parece ser quase intuitiva para a maioria dos alunos. Os alunos tinham de programar os robots de forma que cumprisse uma viagem em linha recta de acordo com os tempos indicados na tabela – 1, 3 e 6 segundos – e procedessem à medição e registos dos respectivos espaços percorridos. Todos os grupos demonstraram grande à vontade na programação e utilização dos robots. O professor ia percorrendo os diversos grupos e verificou que todos haviam iniciado o trabalho, no entanto, foi necessário relembrar que os robots não paravam imediatamente e que esse facto poderia adulterar as medidas, que se pretendiam rigorosas. Perante isto, alguns alunos começaram a procurar um eventual comando de programação que travasse o robot. Dois dos grupos optaram por reduzir ao tempo de viagem para compensar o espaço extra percorrido pelo robot: programaram a viagem para 2,8 segundos quando deveria ser de 3 segundos. Dado que os alunos não conseguiam encontrar o tal comando de travagem, foi necessário o professor intervir junto dos grupos e indicar-lhes o comando. Apenas o fez junto de dois grupos porque os outros, por observação ou troca de informações, rapidamente o aplicaram. Aquando desta questão, já os grupos haviam procedido a algumas medições, pelo que tiveram de repetir as experiências com as devidas alterações na programação e foram observando pequenas diminuições no espaço percorrido pelo robot. Todos os elementos dos grupos desempenhavam um papel na realização da experiência. Espontaneamente, sem discutirem os papéis individuais a desempenhar, surgia uma organização de trabalho. Num dos grupos, um aluno preocupava-se em programar o robot, outro andava com o robot e os outros dois preparavam a mesa, assinalavam os pontos de partida e chegada e efectuavam as medições. Os alunos utilizaram diversos métodos, alguns engenhosos, para proceder à medição porque, contrariamente a tarefas anteriores o professor não marcou um ponto de partida para o robot com fita preta, tendo ficado ao critério dos alunos. A maioria dos grupos decidiu aproveitar o início da mesa como ponto de partida, outros marcaram na mesa, com um lápis, a posição inicial e final do robot, o que tornava muito simples e prática a

132

medição. Um dos grupos conseguiu prender a fita métrica no robot e depois fazia-o partir do início da mesa. Em seguida limitavam-se a registar o valor que observavam na fita métrica junto da borda da mesa. Por vezes, uma fita métrica não chegava para medir o espaço percorrido pelo robot. Então, a maioria dos alunos optou por pedir uma segunda fita métrica ao professor ou a um grupo vizinho para colocarem no alinhamento da primeira e alcançarem a posição do robot. Os alunos ajudavam-se e corrigiam-se mutuamente. Durante as medições foi possível observar alguns episódios de negociação.

R: Chega a fita ou mede isso!

Ru: Espera… Dá… 13.

L: Não. São 14. Não estás a ver?

Li e Ru: São treze e meio.

Li: Fica no meio do 13 e do 14. Põe 13,5 aí na ficha.

Os grupos procediam à programação do robot e realizavam as medições. Como um dos robots a usar era o Tanque, bastante mais rápido que o robot Todo-o-terreno, os alunos só conseguiram realizar em cima da mesa as experiências relativas a 1 e 3 segundos. Para os 6 segundos tiveram de recorrer ao chão da sala de aula. Um dos grupos decidiu registar com giz, no chão junto da fita métrica, os segundos e o espaço percorrido em centímetros. Entretanto discutiam os resultados:

M: Dá 172 cm [referia-se ao espaço percorrido pelo robot em 6 segundos].

P: 172?

M: 172 ou 173.

P: Mas não pode ser. Não dá certo. Devia dar 180 e o outro devia dar 90 [referia-se ao

espaço percorrido em 3 segundos].

Ma: Porquê?

P: Fiz na máquina. Se num segundo o robot andou 30 cm, multipliquei por 3 e dá 90. E é

para 6 segundos. Dá 180.

M: Mas não dá. Não estás a ver a fita? Dá isto (apontava para os 173 cm).

Neste diálogo é possível constatar que um dos alunos do grupo tem presente a ideia de proporcionalidade directa e aplica-a para comparar com os resultados da experiência, parecendo confiar mais no seu raciocínio do que nas evidentes medições. Contrariamente a este, outro elemento do grupo parece confiar mais nas experiências do que no raciocínio do colega. Entretanto os alunos, que estavam a trabalhar no chão da sala, deslocaram-se para a mesa do grupo e continuavam a discutir entre eles os resultados que haviam obtido e os que eles suspeitavam ser os correctos.

P: Estás a ver a 1.2? Para ser directamente proporcional tem que dar o mesmo resultado e

não dá [referia-se ao quociente entre o espaço percorrido e o tempo].

M: Então pomos esses valores [valores calculados].

133

P: É 30, 90 e 180.

[Entretanto o professor aproximou-se].

Prof.: Já realizaram as medições necessárias?

M: Já.

Prof.: E concluíram esses valores certinhos?

P: Não. Não foram estes.

Prof.: Não? Expliquem.

Ma: As medidas que tínhamos não davam pro…proporcionalidade directa e nós mudámos.

E o robot também não andava direito…

Prof.: E como chegaram a esses valores?

M: Fizemos na máquina de calcular. Se num segundo anda 30 cm em 3 segundos tem de

andar 90. E assim já dá o mesmo resultado.

Prof.: Então acham que deveria dar proporcionalidade directa?

P: Sim.

Prof.: E com os valores que tiraram das medições não dava proporcionalidade directa?

P: Não. Não dava o mesmo resultado.

Prof.: Deveriam procurar saber porque é que o que experimentaram não condiz com que

pensam… Talvez devessem experimentar de novo.

Os alunos aceitaram a sugestão do professor e voltaram ao chão da sala para realizarem de novo as suas experiências. Outros grupos que já tinham as medições, preparavam-se para responder à questão 1.2 onde se pedia o quociente entre o espaço percorrido e o tempo e se se trataria de uma proporcionalidade directa. O início da discussão começou pelo significado de quociente.

R.: O que é o quociente?

Prof.: O quociente?

R.: O quociente é…

Ru.: Não é isto? [escreveu 11/1].

R.: Não… espera.

L.: É um sobre o outro. A distância a dividir pelos segundos.

R.: Este é o numerador e este é o denominador.

[Olharam para o professor e riram-se].

Os elementos deste grupo solicitaram a ajuda do professor, mas não foi necessário que este participasse para que os alunos chegassem de forma rápida e autónoma à solução. No entanto, fica a ideia de que a presença do professor funcionou como um catalisador para a discussão e exposição de ideias. Perante as dificuldades em descobrir o que era o quociente, um dos grupos chegou recorreu a um dicionário para procurar o significado. Depois de encontrada a resposta

134

começaram a discutir questão a questão e logo surgiu o conceito de proporcionalidade directa (questão 1.3). Procuraram no caderno diário e no manual adoptado essa definição e, depois de constatarem que nenhum dos elementos do grupo tinha qualquer ideia sobre o assunto, apelaram ao auxílio do professor.

R.: Não estamos a perceber.

Prof.: O que significa serem directamente proporcionais?

R.: São… [silêncio].

Prof.: Como é que uma variável está relacionada com a outra?

R.: O tempo e distância têm de bater certo.

Prof.: De que forma?

[Silêncio].

Prof.: Quando aumenta o tempo o que acontece com a distância?

L.: A distância também aumenta.

Prof.: Quanto andou num segundo?

Li.: Andou 11 cm.

Prof.: E em dois segundos?

Li.: Andou 22 cm.

Prof.: Como chegaram a esse resultado, se não mediram para 2 segundos?

R.: É o dobro do tempo.

Prof.: E 3 segundos?

R.: São 33 cm.

Prof.: Então quando o tempo aumenta o que sucede com a distância?

Ru.: Vai multiplicado por 11.

Prof.: Proporcionalidade directa. Conseguem agora explicar?

Ru.: O robot anda 1 segundo faz 11 cm, anda 2 segundos faz 22 cm porque no segundo a

seguir multiplica-se por 11.

L.: Então há proporcionalidade directa.

Os alunos concluíram que existiria proporcionalidade directa a partir do raciocínio proposto pelo professor. No entanto, após esta passagem, os alunos começaram a aperceber-se que os resultados obtidos não condiziam com o que acabavam de concluir. Procederam as novas medições mas os resultados, ainda que mais próximos dos valores por eles idealizados, não garantiam um quociente igual. Um outro grupo experimentou as mesmas dificuldades. C. programou o robot para avançar durante 1 segundo. Experimentaram e mediram a distância percorrida pelo robot. Registaram na tabela da ficha o valor 33 cm. S. seguiu o mesmo processo e registaram 99 cm. Depois C. programou o robot para avançar durante 6 segundos. Experimentaram em cima da mesa, tal como fizeram para os outros dois casos. Mas a mesa era muito curta para o percurso do robot. Li. sugeriu que experimentassem no chão. 178 cm foi o resultado da medição da distância percorrida pelo robot no tempo de

135

6 segundos. Voltaram para a mesa onde estavam a trabalhar e registaram na tabela da ficha de trabalho 178 cm. Depois começaram a calcular os quocientes entre o espaço percorrido e o tempo gasto para o percorrer. Até este momento os alunos do grupo quase não tinham falado.

C: 33/1 = 33

[Registaram na ficha de trabalho].

C: 99/3 = 33

Li: 178:6 = 29.6666

S: Não pode ser. Tinha que dar 33.

C: Vamos programar o robot e medir de novo. Algo está mal.

[Repetiram todo o processo e os valores voltaram a ser 33, 99 e 178 cm].

S: Mas não pode ser. Tinha que dar 33 [referindo-se ao valor do quociente entre as duas

variáveis].

La: 33vezes 6 é 198. Vamos colocar 198 na tabela.

Apagaram o 178 que tinham escrito na tabela da ficha de trabalho e escreveram 198. O professor aproximou-se do grupo e viu 198 (mas antes tinha passado pelo grupo e visto 178).

Prof.: O resultado da medição não foi 178?

C: Sim, mas 33/1 é 33, 99/3 é 33

La: Então mudamos 178 por 198 porque 33 vezes 6 é 198.

S: Vamos programar e medir de novo.

Entretanto o professor afastou-se do grupo respondendo à solicitação de outros alunos. Os alunos deste grupo continuaram a trabalhar. Programaram o robot para avançar um segundo e mediram a distância percorrida, em cima da mesa.

La: Oh! Já sei… Medimos em dois locais distintos Temos que medir sempre no chão.

Depois de efectuarem todas as medições no chão os resultados obtidos foram 30, 89 e 178 para 1, 3 e 6 segundos e os quocientes foram 30, 29,(6) e 29,(6) respectivamente. Estes resultados foram aceites pelos alunos do grupo e a resposta dada à questão 1.3. foi que o tempo e a distância são directamente proporcionais. A situação constatada para estes dois grupos verificou-se em todos os grupos colocando-os perante duas opções: uns decidiram apostar nos valores que obtiveram nas medições e consideraram que os valores aproximadamente iguais obtidos no quociente eram suficientes para lhes garantir a proporcionalidade directa; outros optaram por apresentar os valores calculados depois de saberem o espaço percorrido pelo robot num segundo. As informações que a tarefa disponibilizava relativamente à relação do espaço percorrido e o tempo (o seu quociente é a velocidade) foi suficiente para a maioria dos

136

grupos descobrirem que a constante de proporcionalidade directa correspondia à velocidade do robot.

Li.: Por segundo o robot faz 12 segundos?

R.: Por segundo o robot anda 12 segundos.

Li.: Por segundo, 12 segundos? Segundos e segundos? Não pode ser em cada segundo? Se é

um segundo não pode ser 12 segundos.

R.: Não é.

Ru.: Durante 1 segundo o robot anda 12 centímetros.

L.: Estava a ver. Segundo com segundos não dava.

Li.: Exactamente. Não podia ser. Estava mal.

Num dos grupos a solução surgiu espontaneamente, sugerida pelo elemento que leu a questão em voz alta e que de imediato a escreveu, ainda antes dos colegas terem concordado. O professor, que assistia ao trabalho do grupo, decidiu questionar a decisão.

Prof.: O que representa a constante?

R.: É que num segundo o robot anda 11 cm.

Prof.: Todos concordam?

Todos: Sim.

O ambiente criado à volta da resolução da tarefa facilitava a partilha de informação entre os grupos. Foi possível ouvir alunos a perguntar a grupos vizinhos qual era a velocidade do robot que tinham usado, que era diferente do seu. A resolução das questões sucediam-se a bom ritmo, sempre acompanhada de alguma discussão. Entretanto um dos grupos completava a expressão analítica da função (Espaço percorrido = ________ x tempo).

Li.: O espaço percorrido é igual a…

R.: É igual ao tempo… vezes…

L.: O tempo já está à frente. Não é a velocidade?

R.: Velocidade?

L. e Li.: Sim, a velocidade.

[Entretanto o professor tinha-se aproximado].

R.: Professor, já está.

Prof.: E qual é o valor da velocidade?

R.: Não sei.

Prof.: Não?

R.: 12.

Ru.: É a velocidade [apontando para a resposta que haviam dado à questão 1.4].

137

Para a realização do gráfico voltaram a recorrer às tarefas anteriores para descobrir qual o eixo das ordenadas e qual o eixo das abcissas. Discutiram também o tipo de gráfico que deveriam fazer quando um dos elementos defendeu que não deveriam fazer um gráfico cartesiano igual ao da tarefa anterior porque os valores estavam sempre a aumentar e portanto não podia dar “curvas para baixo”. Espontaneamente colocaram o tempo no eixo das abcissas e fizeram o gráfico unindo os pontos. Depois de trocarem de robot repetiram muito rapidamente a experiência dado que se limitaram a repetir os procedimentos realizados para o primeiro robot. Foi preciso alertar alguns grupos, que para fazer uma melhor comparação dos resultados dos dois robots, era preferível representar as duas funções de proporcionalidade directa no mesmo referencial cartesiano. A realização da tarefa prosseguiu na aula seguinte. O segundo bloco destinado à tarefa começou pouco depois das oito horas da manhã e os alunos estavam, na sua maioria, ensonados e demoraram algum tempo até começar a trabalhar. Num dos grupos, alguns elementos limitavam-se a olhar para o colega que procedia à construção do gráfico até que esse aluno os acusou de não estarem a fazer nada e então todos começaram a tentar fazer o gráfico. O professor teve de chamar de novo a atenção dos grupos para fazerem os dois gráficos no mesmo referencial e para terem cuidado com as escalas. Quase todos os grupos criaram confusão com o facto de terem de desenhar os dois gráficos no mesmo referencial.

Figura 23: Gráfico construído por um dos grupos na questão 1.7 (Tarefa 3).

Um grupo assinalou os pontos das duas funções no mesmo referencial e foi unindo quase aleatoriamente, obtendo um gráfico que não era função, apesar de anteriormente terem representado correctamente apenas um deles.

138

Prof.: Acham que este gráfico está correcto?

D.: Acho que não.

Prof.: Porquê?

D.: Ummm… Não sei bem…

Prof.: Comparem com gráfico que já tinham feito. Que tipo de gráfico é?

Ma.: É rectilíneo.

Prof.: Então?

Ma.: Também tinha que dar rectas [referindo-se ao que estava errado].

Prof.: Este gráfico representa uma função?

M.: Não.

Prof.: Porquê?

P.: Porque volta para trás.

Os alunos foram revelando algumas dificuldades na construção do gráfico, principalmente no que concerne à escolha de escalas adequadas à situação. Este grupo, em particular, não teve em atenção esta questão apesar de previamente avisados pelo professor. Foi necessária a intervenção do professor, quase grupo a grupo, para alertar para a situação.

Prof.: Daqui até aqui são…?

P.: Vale 12.

Prof.: E daqui até aqui?

P.: Vale 6… Eu bem disse que estava errado… mas depois decidimos assim. Tem de valer o

mesmo.

Prof.: Então qual será o valor a colocar aqui?

P.: Será 12 mais 12. 24.

Depois, com o auxílio da máquina de calcular foram realizando o resto da escala. Todos colaboraram nesta tarefa e quando algum se abstinha de participar os colegas apelavam à sua participação, ao “trabalho em equipa” e à partilha dos resultados. O diálogo seguinte é um exemplo dessa cooperação, quando tentavam descobrir o tipo de gráfico associado a uma proporcionalidade directa.

Ma.: Qual é o tipo de gráfico associado a uma proporcionalidade directa?

M.: É um…

Ma.: É para dizer o quê?

M.: É para dizer em que é que estes dois gráficos são diferentes dos outros. E isto é… é…

Ma.: Oh. São rectas.

M.: Boa. Juntos é mais fácil.

139

As questões 1.9.2 e 1.9.3 que perguntavam qual o objecto cuja imagem era o valor da constante de proporcionalidade e quando a constante de proporcionalidade aumenta que variação se verificava no gráfico, respectivamente, não suscitaram grande discussão, e a maioria dos grupos respondeu que o objecto era o 1 e que o gráfico aumentava. Perante isto, o professor decidiu avançar para a apresentação e discussão dos resultados. Mais uma vez, no início estavam relutantes em participar mas depois todos queriam apresentar as suas ideias. Quando o professor questionou se a situação deveria dar uma proporcionalidade directa as respostas reflectiram as posições que foram descritas: a aceitação da aproximação dos quocientes espaço percorrido/tempo como indicação de proporcionalidade directa e a alteração dos valores para que esses quocientes fossem iguais.

Prof.: Houve proporcionalidade directa nos vossos cálculos?

Li.: Deu aproximadamente.

Prof.: E porque não deu? Acham que deveria dar?

R.: Sim, tinha que dar.

Prof.: A que se deve então essas pequenas diferenças?

Cl.: Porque no início a gente estava a medir na mesa e depois medimos no chão e o robot já

não andava igual.

Outro grupo referiu que os robots nem sempre andavam da mesma forma (por vezes curvavam ligeiramente) e os erros de medição que iam comentando, pois cada vez que experimentavam iam obtendo resultados diferentes. Dado que todos haviam respondido correctamente ás questões seguintes, o professor limitou-se a ouvir as respostas dos alunos e a registá-las no quadro negro. Na questão 1.9.1 todos os grupos referiram que se tratava de uma recta mas não indicaram que teria de passar na origem do referencial.

Prof.: Qual é o tipo de gráfico?

St.: É rectilíneo.

Ri.: É isso, é uma recta.

Prof.: O que é que esta recta tem em comum com a outra recta?

P.: Passa no centro [referia-se à origem].

Prof.: Então é uma recta que passa… [foi interrompido].

P.: No centro.

Prof.: E como designamos esse “centro”?

P.: Origem.

Na questão 1.9.2 as respostas foram imediatas. Mas quando o professor questionou o que representava essa imagem houve alguns momentos de silêncio.

Prof.: Qual é o objecto cuja imagem é a constante de proporcionalidade?

140

St.: É o objecto 1 segundo.

Prof.: Qual é a imagem de 1 no robot Tanque? Representa o quê?

[Silêncio].

M.: Constante.

T.: Velocidade.

M.: Oh, é a mesma coisa. Está na pergunta 1.4.

[O professor registou no quadro as conclusões dos alunos].

Prof.: 1.9.3. Quando a constante de proporcionalidade aumenta…

St.: A velocidade é maior.

P.: Aumenta a distância percorrida pelo robot.

Prof.: Concordam?

Todos.: Sim.

Prof.: Qual das duas rectas está mais inclinada?

Todos.: A segunda [relativa ao tanque].

Nenhum dos grupos se referiu explicitamente à inclinação das rectas para as diferenciar. Apontaram o aumento do espaço percorrido e uma velocidade superior, facilmente transmissíveis para a ideia de maior ou menor inclinação da recta. O professor foi realizando um resumo das respostas no quadro negro e no final apresentou um resumo mais formal dos conteúdos abordados na tarefa. Os gráficos obtidos pelos alunos foram o ponto de partida para a formalização da expressão de todos os tipos de gráfico de proporcionalidade directa – kxx → , da relação do declive (k) com a inclinação e da influência deste na recta. Também abordou a função constante depois de propor que imaginassem o gráfico para a situação do robot avariar e não conseguir sair do ponto de partida. Os alunos reconheceram a similaridade entre a situação que o professor colocava e a tarefa 1 onde lhes foi proposto um gráfico tempo/distância em que o robot se mantinha parado durante alguns segundos. A aplicação desta tarefa na segunda turma (turma 2) correu de uma forma muito similar à anterior. O professor realizou os mesmos procedimentos e distribui todo o material necessário. Os alunos começaram logo a ler a tarefa. Ainda uns estavam a ler e já havia grupos a discutir sobre o que deveriam fazer na tarefa.

T.: O que temos de fazer?

C.: Temos de programar o robot, medir e completar a tabela.

[S. ligou o robot e começou a experimentá-lo].

T.: Para que estás a fazer isso? Já programaste?

C.: Não brinques. Vamos fazer isto bem.

[Começaram a programar; fizeram-no para o robot andar 1 segundo].

C.: Está a andar torto.

T.: Não interessa. O que interessa é medir.

141

S.: À frente ou atrás?

T.: Atrás.

C.: Á frente? [colocaram a fita ao lado do robot] Aqui.

S.: A parte da frente não é aí. [marcaram com um lápis]. 27, é 27. Agora 3 segundos. Apaga

isso e altera.

T.: Para que apagaste? Era só mudar para 3 segundos….

S.: Estica aí a fita.

C.: 50. A seguir vai cair abaixo da mesa.

S.: O robot anda torto.

[Experimentaram de novo].

T.: Tira daí a fita. Anda mesmo torto.

Note-se que dois elementos do grupo chamaram à atenção o terceiro elemento que estaria a brincar com o robot. Todos os elementos do grupo mexiam no robot e partilhavam a responsabilidade de medir. Usavam o início da mesa como ponto de partida e tiveram de experimentar várias vezes o robot para 6 segundos porque o robot curvava ligeiramente para a esquerda. Perante estas dificuldades, estenderam a fita na mesa e colocaram o robot a andar em cima dela. Só terminaram quando consideraram que o robot tinha realizado uma trajectória rectilínea. Um aluno de outro grupo propôs que medissem o tempo para 1 segundo e a partir daí multiplicassem esse valor pelo tempo que pretendiam. No entanto, depois de verificarem que os outros grupos estavam a conferir as medidas com o robot resolveram fazer o mesmo. Tal como na outra turma, a questão do quociente entre o espaço percorrido e o tempo suscitou algumas dúvidas e, consequentemente, alguns momentos de discussão:

T.: “Calcula o quociente entre o espaço percorrido e o tempo”. O que é o quociente?

S.: É fácil. É assim… Espera.

[Procuraram no caderno diário].

T.: Quociente... quociente…

C.: O quociente é 10 [referia-se a uma fracção em que o denominador era 10]. O quociente

é a parte de baixo.

T.: Não é isso.

C.: É.

T.: Não é nada. Não é [exaltada]. Quociente é assim: 27 por 1 [escreveu 27

1

27=

].

C.: Isto é uma conta de dividir como na primária, lembras-te? [e exemplificou]. Nestas

contas de dividir este é o divisor, este é que é o quociente. Isto a dividir pelo tempo.

S.: Divisor, dividendo, quociente e resto [apontando]. Isto é uma conta de dividir. Então é 1

a dividir por 27.

142

T.: Não, não. 1 a dividir?

S.: Então não é uma conta de dividir?

T.: Não.

S.: Pelo amor de Deus. É 1 a dividir por 27 que dá…

T.: Ó pequena, primeiro é o espaço percorrido e depois é que é o tempo.

[S. revelava dificuldades em realizar os cálculos, então T. tirou-lhe o lápis e a folha e fez ela

o cálculo].

T.: Não sabes a tabuada da primária?

[S. sorria].

Terminado este episódio colocaram na folha de resposta

No diálogo estabelecido nota-se alguma confusão na posição das alunas, sendo provavelmente a razão pelo tom exaltado que se registou. T. que havia proposto que o

quociente era 1

27, com o decorrer da discussão, acabou por dizer que não era uma

divisão, e terminou a fazer a proposta que contestava. Entretanto, no centro da sala, o professor pegou num robot que estava programado para andar 3 segundos e colocou-o a andar.

Prof.: Observem o robot. Ele está programado para andar 3 segundos.

[Depois do robot parar].

Prof.: O que aconteceu com o robot?

D.: Andou mais um bocadinho.

Prof.: Porquê?

J.: Por causa do balanço. Ele não travou.

Prof.: Isso influencia os valores obtidos nas medições?

Todos.: Sim.

O professor optou por fazer este aviso geral porque nenhum dos grupos estava a ter em consideração que o robot não pára de imediato a não ser que seja programado para o fazer. Depois o professor pediu para reverem os tempos com o novo programa que incluiria o comando de “parar”. Quando executavam novas medições um dos grupos começou a notar a diferença e o professor que assistia colocou outra questão que ainda viria a alterar mais os seus dados:

T.: Agora é 20. Que diferença…

Prof.: Estão a medir por onde?

S.: Por aqui, pela frente. Mas se calhar devíamos medir por trás.

143

T.: Pois é. É a parte de trás que começa aqui [início da mesa que funcionava como ponto de

partida].

Quando terminaram as medições para 1, 3 e 6 segundos, tinham 13, 39 e 74 cm respectivamente (antes tinham 27, 50 e 88 cm porque mediam pela frente do robot considerando o seu comprimento). Mais uma vez reinava o espírito de cooperação: uma segurava na fita métrica, outra programava e a terceira colocava o robot a andar e verificava as medidas obtidas. Usaram um lápis para traçar uma linha da traseira do robot até à fita quando este se afastava. De imediato passaram ao cálculo do quociente, mas desta vez apresentaram os resultados em forma de fracção e usaram a máquina de calcular para confirmarem os seus cálculos.

S.: Não sei. E agora?

C.: Deixa-me tentar.

T.: Acho que é assim.

C.: Eu também.

T.: Dá-me a máquina. Vamos confirmar. 72 a dividir 4 dá… vês.

C.: Está certo.

Quando foi questionada a proporcionalidade directa das grandezas envolvidas voltaram-se para o caderno diário. Como não foi um conteúdo tratado anteriormente, não encontraram qualquer resposta voltando-se para o grupo. A discussão e a descoberta só surgiram após constatarem que não encontravam a resposta no caderno diário.

T.: Grandezas proporcionais.

S.: É isto vezes isto, isto vezes isto…

T.: Não é isto vezes isto, é tempo percorrido vezes tempo.

S.: Não é tempo vezes tempo. É o espaço percorrido vezes o tempo. É assim que se faz.

C.: Não concordo. As grandezas são directamente proporcionais porque o espaço a dividir

pelo tempo dá o mesmo resultado [enquanto observava os valores].

S.: É uma grandeza directamente proporcional... Isto aqui é assim porque todos os tempos

têm 13 segundos.

C.: Mas esse não tem.

S.: Mas este devia ser 13.

C.: Então, mas na calculadora não dá.

S.: Oh, isso foi a medir.

C.: Mas nós tivemos cuidado.

S.: Está bem, mas o robot também andou para além [desviou-se ligeiramente para a

esquerda]. Juízo.

144

T.: Acalmem-se. Já sei. Este é 13 e este é 13. É directamente proporcional porque todos os

resultados dão o mesmo valor.

Concluíram que duas grandezas são directamente proporcionais quando o quociente dos valores correspondentes é constante e perante a constatação que um dos valores obtidos por experimentação não conduzia a um quociente igual, um dos elementos do grupo apressou-se a atribuir as culpas a problemas na medição. Contudo, como não estavam satisfeitas com o espaço percorrido que haviam obtido, repetiram a medição para os 6 segundos. Obtiveram 76 cm.

T.: 76.

C.: De 76 para 74 já é uma grande diferença.

S.: Dá 12,666666…. Já melhorou.

T.: Estica melhor. Vamos repetir até dar 13.

S.: 77.

T.: 78.

S.: Já dá. 78 a dividir por 6 é 13.

S.: Estás a ver como já dá 13?

Os alunos foram constatando que aumentando o rigor das condições em que efectuavam a experiência se iam aproximando do valor que consideravam certo, e persistiram nas experiências até o obter. Procederam à alteração dos valores na tabela e quando um dos elementos parou de escrever os outros acusaram-no de estar à espera e não tentar fazer por si só. Passaram à questão relativa à constante de proporcionalidade.

T.: Sabe-se a velocidade a que ele vai?

S.: Sabe-se. Sabe-se o espaço percorrido. Qual é o espaço?

C.: 13.

S.: 13 é o tempo. A velocidade é igual ao espaço percorrido a dividir pelo tempo.

T.: E qual é a velocidade? Temos de calcular todos [para 1, 3 e 6 segundos]?

S.: Velocidade é igual ao espaço que é 13…

T.: 13.

S.: Não é, o tempo é que é 13.

T.: O tempo é 1 e o espaço é 13. O espaço é 13 e o tempo é 1.

S.: Como sabes que é este e não é este?

T.: É para descobrir isto. Temos de calcular todos, não? Aqui também calculamos todos.

Vês? Aqui também não diz que é preciso calcular todos!

S.: Está bem, fazemos todos. Vai dar 13.

C.: Isto é assim: Tem aqui um valor do espaço e aqui um valor do tempo. Divide-se este por

este e dá a velocidade.

145

Depois disto, concluíram imediatamente que 13 era a constante de proporcionalidade directa e que, neste caso concreto, representava a velocidade do robot. Quando a T. leu em voz alta a questão para justificar que é uma função, responderam em coro que era uma função porque cada objecto correspondia uma e uma só imagem. T. continuou e leu a questão 1.6 e no seguimento completou “espaço percorrido é igual a velocidade vezes tempo”. As colegas simplesmente acenaram afirmativamente com a cabeça. Perante a representação gráfica surgiram algumas questões:

C.: A abcissa é o espaço? Não?

[As colegas acenavam negativamente com a cabeça].

C.: A abcissa é o tempo?

T.: É.

C.: Pois é.

T.: A ordenada é o espaço percorrido.

S.: Faz de 6 em 6.

C.: Como vai ser de 6 em 6?

S.: 6 mais 6 dá 12. 24.

[…]

T.: 72 mais 12 dá 74.

S.: 72 mais 12 dá 74? [risos].

T.: Faz mais abaixo.

C.: Dita os valores.

Prof.: Agora unam os pontos e verifiquem se estão alinhados.

T.: Professor, precisamos do tanque rapidamente.

Verificaram que os pontos estavam alinhados entre si e com a origem do referencial e quando se preparavam para recomeçar o processo com o Tanque tocou e a aula terminou. Na aula seguinte, os elementos deste grupo nem chegaram a sentar-se. Foram à mesa do professor buscar um robot e reiniciaram o processo. Mostravam-se mais calmos e prevaleciam as expressões como “Não é?” e “Está bem?”. Também demonstraram muito mais cuidado nas medições. Este robot (Tanque) era bem mais rápido que anterior e como a mesa se tornava pequena para os 6 segundos resolveram passar para o chão. Como uma fita métrica não chegava, foram buscar outra à secretária do professor para colocar no prolongamento da primeira. Para 1 e 3 segundos obtiveram 33 e 100 cm respectivamente. Para 6 segundos obtiveram 167.

C.: O robot andou torto. Devia haver proporcionalidade directa.

[Reviram a medição].

T.: Faz 33 vezes 3. Dá 99. 99 a dividir por 3 dá 33.

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Decidiram rever os resultados para 3 e 6 segundos (no chão). Repetiram-no várias vezes e como continuava a não dar proporcionalidade directa, decidiram chamar o professor, mas o professor não se aproximou de imediato.

T.: 150 mais 17 dá 167.

C.: Dá as mesmas medidas que há bocado: 167.

T.: Tem algum problema. As medidas não estão certas. O robot tem algum problema.

Então resolveram escrever que não deu proporcionalidade directa mas que deveria dar, atribuindo as culpas a qualquer problema do robot ou da medição e passaram à construção dos gráficos no mesmo referencial.

C.: Rapariga, não faças isso [referia-se a unir os pontos]. Só fazes quando estiver direito.

T.: E não está?

S.: Vê melhor…

T.: Dá ou não [olhando para as colegas].

C.: Não é bem… mas dá.

T.: Professor? Professor?

Prof.: Sim?

T.: Está pronto?

Prof.: Tipo de gráfico associado a uma proporcionalidade directa?

T.: É um gráfico cartesiano.

Prof.: O que é isto?

C.: É um referencial cartesiano.

Prof.: O que desenharam?

T.: É uma recta.

T.: Mas o outro não dá bem uma recta.

Prof.: Então deveriam rever esse valor.

Apesar de já terem revisto o valor várias vezes anteriormente, as alunas não hesitaram em voltar a tentar e acederam à proposta do professor. Fizeram-no mais duas vezes e obtiveram 32, 100 e 192 cm. Procederam de novo aos cálculos e verificaram que já se aproximaram mais de forma a atestar a proporcionalidade directa. Refizeram o gráfico e passaram às questões seguintes.

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Figura 24: Gráfico realizado pelo grupo na questão 1.7 (Tarefa 3).

C.: Gráfico de uma proporcionalidade directa?

T.: Acho que é uma recta, não é ? [olhava para os colegas].

S.: É uma recta.

C.: Também acho.

[Responderam recta].

C.: Qual é o objecto cuja imagem é a proporcionalidade directa?

[C. repetiu a pergunta].

C.: O valor da proporcionalidade directa acho que é 33, não é T.?

T.: Sim.

C.: E qual é o objecto? S. o objecto qual é?

S.: É… o… 1.

Fez-se silêncio e as alunas ficaram a olhar para os gráficos. Apesar das respostas estarem correctas não tinham certeza absoluta, até porque as intervenções de S. não foram muito confiantes, e não avançaram enquanto não as dissiparam. Para tal chamaram o professor.

T.: O objecto que tem por imagem a constante de proporcionalidade?

[O professor sorriu e não respondeu]

C.: A constante é 33, então o objecto é 1. Olha no gráfico: 33 é a imagem de 1.

T. olhava para o professor à espera de uma reacção. Como tal não sucedeu, registaram “O objecto é 1 segundo” e seguiram para a próxima questão. Não duvidaram mais e aceitaram a resposta da colega, certamente com a confiança reforçada depois de o professor não ter corrigido a colega.

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Passaram a discutir o tipo de gráfico associado à proporcionalidade directa.

Prof.: Que gráfico é este?

T.: Este é do Todo-o-terreno e este do Tanque.

Prof.: Quais são as constantes de proporcionalidade?

T.: 13 e 23.

Prof.: O que se passa com o gráfico?

T.: Aumentou.

Prof.: Aumentou? Observem as rectas. Neste caso a constante é maior?

C.: Os objectos aumentam e as imagens também.

T.: Não, andaram o mesmo tempo mas o espaço percorrido foi maior.

Prof.: E o que acontece à recta?

T.: Ficou maior.

Prof.: Explica o que pretende dizer com maior.

S.: Andou o mesmo tempo mas a velocidade foi maior e andou mais espaço.

C.: Então a recta também é maior.

Prof.: O que há de diferente nestas rectas?

S.: A velocidade desta foi menor do que esta.

Prof.: Se fossem duas montanhas o que diriam?

C.: Esta é mais alta e esta é mais baixa.

Prof.: Qual é a mais difícil de subir?

T.: Esta.

Prof.: Porquê?

S.: É mais inclinada.

T.: Então é isso, quando a constante de proporcionalidade é maior fica mais inclinada.

Tal como os grupos observados na outra turma não se referiram directamente à inclinação como uma diferença entre as rectas. Todos os grupos apontaram a velocidade e “mais espaço andado” como os factores que faziam a diferença entre as rectas. Apenas se referiram concretamente à inclinação quando orientados pelo professor, como foi o caso do grupo acima, que respondeu “Porque quando a constante de proporcionalidade aumenta a recta fica mais inclinada”. Fizeram questão de mostrar ao professor que terminaram e a aula terminou. A aula seguinte começou com a discussão dos resultados obtidos na tarefa. Todos os grupos responderam que havia proporcionalidade directa. Três grupos justificaram que obtiveram valores aproximadamente iguais no quociente e aceitaram esses valores, os outros dois afirmaram que conseguiram valores que resultaram em quocientes exactamente iguais.

Prof.: Foram as medidas que tiveram?

J.: Não.

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T.: Os vossos valores são aproximados?

J.: Medimos o primeiro segundo e depois multiplicamos por 3 e por 6. Deu-nos o mesmo

resultado e deu proporcionalidade directa.

H.: Vimos que em 1 segundo andou 13. Depois multiplicamos por 3 segundos e depois por

6 segundos.

Prof.: Porque é que os valores obtidos na medição não originaram quocientes iguais?

T.: Fizemos a medição mal mas o robot também andava torto.

T.: As pilhas podiam estar gastas.

C.: Os sítios onde medimos eram diferentes ou utilizamos robots diferentes.

Prof.: E o que eles pensaram estava correcto [apontava para o grupo do J. e do H.]?

Sim.

Prof.: Mas não aconteceu…

S.: Se ele [robot] andasse direitinho dava tudo igual.

Os alunos responderam bem à questão da constante de proporcionalidade directa, no caso correspondentes às velocidades dos robots, assim como na justificação do facto da correspondência ser uma função. Os gráficos foram construídos no quadro a partir dos dados de um dos grupos e a análise das questões seguintes foram realizadas a partir daí. Quando o professor perguntou qual o tipo de gráfico associado a uma proporcionalidade directa, obteve uma resposta correcta mas incompleta. Os alunos referiram-se ao facto de ser uma recta mas ignoraram o facto de passar na origem do referencial.

Prof.: Qual é o tipo de gráfico associado a uma proporcionalidade directa.

Sa.: Um gráfico rectilíneo.

Prof.: E o que têm em comum?

C.: O centro.

J.: A origem.

Prof.: Qual é o objecto que tem por imagem a constante de proporcionalidade?

T.: É o 1.

J.: Está certo professor.

Prof.: Quando a constante aumenta que variação se verifica no gráfico?

Ra.: Aumenta a distância e os ângulos.

Prof.: Que ângulo?

M.: O ângulo com a horizontal.

Prof.: Boa. Gostei da resposta…

O professor mostrou o seu agrado porque não tinha encontrado esta resposta dada por três grupos na aula anterior. Outro grupo referiu que a recta fica mais inclinada e apenas um não respondeu a esta questão.

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O professor aproveitou a deixa da inclinação para introduzir o declive e formalizar, baseado nas expressões analíticas por eles descobertas, a função linear y = kx. Também foram abordadas as funções constantes imaginando que o robot não se movia depois de colocado num determinado ponto. Depois de registadas no quadro negro as principais conclusões, foi proposto aos alunos a resolução da tarefa 4.

Avaliação

Durante a realização desta tarefa foi possível observar que os alunos estavam mais concentrados, mais predispostos a trabalhar, a partilhar e a discutir as questões, existia mais responsabilidade e responsabilização entre eles e uma grande cooperação. Também se registou a criatividade e persistência dos alunos na resolução dos problemas que foram surgindo. Os alunos demonstraram que redefiniram o seu entendimento de proporcionalidade directa, assim como de constante de proporcionalidade directa a partir do exemplo concreto com que se depararam. Conseguiram completar, de forma relativamente fácil, a expressão que traduzia a situação de proporcionalidade e associaram a representação de uma proporcionalidade directa com uma recta mas não se referiram de imediato à sua passagem pela origem. Revelaram mais dificuldades na associação da inclinação da recta com a constante de proporcionalidade, que ocorreu com a orientação do professor.

Síntese

O início desta tarefa revelou uma alteração na atitude dos alunos face às tarefas anteriores. Até aqui os primeiros instantes das tarefas eram preenchidos com momentos de exploração, brincadeira e dispersão dos alunos, mas nesta, imediatamente após a distribuição das propostas de trabalho os alunos começaram a ler, a experimentar e a trocar opiniões. Num dos grupos, quando um elemento ligou o robot para seu divertimento foi prontamente repreendido pelos colegas para “parar de brincar”. Notava-se uma grande motivação, interesse e empenho dos alunos na resolução da tarefa. Os grupos organizaram-se de forma espontânea e a distribuição do trabalho interno surgia do mesmo modo, e quando tal não aconteceu verificaram-se episódios em que os colegas mais activos apelavam à ajuda e participação dos outros ou criticavam a sua falta de participação. Nesta tarefa, de uma forma geral, o trabalho dos grupos pautou-se pela ajuda mútua e grande cooperação. Houve mais autonomia mas por vezes a presença do professor pareceu funcionar como catalisador da discussão entre os alunos. Os alunos tentavam explicar os seus raciocínios e opiniões aos seus colegas e procuravam defender as suas posições. Desde logo se notou a agitação da aula. Os alunos trabalhavam de pé, movimentavam-se livremente pela sala de aula, interagiam com elementos de outros grupos e partilhavam o material disponibilizado, principalmente as fitas métricas. Também partilhavam informação como, por exemplo, quando um grupo descobriu o comando que fazia o robot parar imediatamente a informação foi passando de grupo em grupo, e quando descobriram o que representava a constante de proporcionalidade neste contexto andavam a perguntar uns aos outros qual a velocidade que tinham obtido, comparavam-

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na e comentavam as características dos robots que estariam na base da maior ou menor velocidade. Perante os pequenos problemas que foram surgindo os alunos adoptaram estratégias diferentes. Como não foi estabelecido pelo professor um ponto de partida, alguns grupos optaram por marcar um na mesa ou no chão, com lápis ou giz, e medir a partir daí enquanto outros usavam o início da mesa ou a parede como ponto de partida. Também o modo como procediam à medição foi diferente e revelou criatividade. Uns faziam o robot andar e mediam depois, outros colocavam a fita estendida por baixo do robot e verificavam onde parava e outros prenderam a fita métrica na traseira do robot. Um dos grupos, enquanto media no chão, registava o tempo e o espaço percorrido a giz ao lado da fita métrica no chão da sala. Perante a dificuldade em saber o que era um quociente, um grupo chegou mesmo a recorrer ao dicionário de Língua Portuguesa para descobrir o seu significado. Quando verificaram que o robot não parava de imediato, a solução mais procurada foi encontrar o comando que obrigasse o robot a travar. No entanto um grupo sugeriu e experimentou retirar duas décimas de segundo ao tempo de andamento do robot para compensar esse pequeno deslize. Depois de constatarem o que era o quociente pedido e a sua importância para a situação, relembraram facilmente a condição necessária para que se tratasse de uma proporcionalidade directa. Trata-se de um conceito abordado em anos anteriores, definido como uma relação constante entre duas variáveis, e como tal, o quociente de entre elas deverá ser constante. É ensinado aos alunos que, caso um desses quocientes não dê um valor igual a todos os outros, mesmo que aproximado, não estão perante uma situação de proporcionalidade directa. No entanto, esta ideia está descontextualizada e situações reais que imediatamente são reconhecidas como de proporcionalidade directa, devido a factores externos relacionados com o contexto da experiência, aparentam não o ser. Dos episódios transcritos é possível constatar que os alunos têm presente a ideia e assumem claramente a identificação da situação como estando presentes duas grandezas directamente proporcionais. Quando verificaram que os resultados obtidos nas medições não conferiam o que anteviam teoricamente, experimentaram várias vezes até obterem os resultados pretendidos e, na persistência da discrepância de resultados, procuraram motivos para essas diferenças (como o facto da fita métrica estar mal esticada ou de o robot descrever uma trajectória ligeiramente curva), nunca deixando cair a sua crença na existência de proporcionalidade directa. Um aluno propôs medir o espaço percorrido em 1 segundo e usar esse valor para multiplicar pelo tempo pretendido evitando assim mais complicações. Os alunos reconheceram falhas nos seus procedimentos e o surgimento de outros factores que influenciam o movimento do robot, como quando curva ligeiramente ou efectuam as medições em pisos diferentes. Os alunos mostraram-se dispostos a procurar e a analisar a origem dos “erros”. A maioria dos alunos denotaram ter mais confiança no seus raciocínios do que propriamente nas experiências e dados obtidos a partir delas. Os grupos que obtiveram quocientes aproximadamente iguais continuaram a afirmar que existia proporcionalidade directa, ignorando de certo modo os dados recolhidos. Os robots surgiram como os objectos que ajudaram a atribuir significado ao conceito de proporcionalidade directa. Os alunos reconhecem que se o robot andar sempre com a mesma velocidade numa trajectória rectilínea, em dois segundos conseguirá exactamente o dobro do espaço percorrido do que num só segundo. Se, eventualmente, a definição de proporcionalidade como a relação constante entre duas variáveis tem um carácter abstracto para os alunos, a ideia anterior permite-lhes concretizá-la e atribuir-

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lhe um significado facilmente compreendido, como comprova a sua persistência em não abandonar a ideia de proporcionalidade directa. Também foi interessante a relativa facilidade com que os alunos assumiram a constante de proporcionalidade como a velocidade do robot e completaram a expressão analítica que traduzia a relação entre o espaço percorrido e o tempo. Proporcionou aos alunos a oportunidade de, a partir da noção proporcionalidade directa, descobrir uma segunda faceta do conceito de função como a relação entre duas variáveis (a primeira reporta-se à correspondência entre conjuntos). A tarefa ainda proporcionou aos alunos a discussão e revisão de alguns conteúdos leccionados em anos e até ciclos anteriores como por exemplo o algoritmo da divisão e as fracções. Em determinados momentos era difícil definir especificamente o local de trabalho de cada um dos grupos. Os alunos movimentaram-se livremente pela sala de aula, trabalharam nas mesas e/ou no chão, dado que este aspecto ficava inteiramente ao seu critério. O âmbito de trabalho dos alunos era a totalidade da sala de aula e não apenas o tradicional lugar sentado a uma mesa.

4.6. Tarefa 4 – “Função afim”

Esta tarefa (anexo 9) foi realizada durante um bloco de 90 minutos e discutida nos primeiros momentos de um segundo. Nesta proposta de trabalho os alunos teriam de executar um procedimento similar ao da tarefa anterior. O robot teria de iniciar um movimento rectilíneo cinco centímetros adiantado de um ponto preestabelecido como ponto de partida e, a partir daí, os alunos deveriam proceder à experimentação e registo dos valores obtidos numa tabela. Seguiam-se questões que orientavam os alunos para a discussão acerca da eventual proporcionalidade directa e para a representação dos dados num referencial cartesiano a partir do qual seria estudado o significado de ordenada na origem e a relação deste tipo de gráfico com o gráfico correspondente à situação de proporcionalidade directa (que ocorreria se o robot partisse do ponto de partida). Depois dos alunos constatarem que não se tratava de uma função de proporcionalidade directa, e por comparação com a situação em que o seria (dado que os alunos já tinham contactado com a expressão analítica de uma proporcionalidade directa na tarefa anterior), teriam de inferir as expressões analíticas das duas situações e idealizá-la para uma terceira situação em que o robot partiria vinte centímetros atrás do ponto de partida, ou seja, eram conduzidos para a escrita de expressões analíticas de funções afim ( bkxx +a ). Consequentemente, os objectivos desta proposta de trabalho também passavam pela leitura, interpretação e construção de tabelas e gráficos relativos à família de funções bkxy += e pela definição de função afim. Para a realização desta tarefa os alunos dispuseram de um robot previamente construído, um computador com o software da Robotics Invention System™ 2.0 e de fitas métricas de metro e meio. O trabalho decorreu, como habitualmente, em grupo e o ritmo de trabalho era estabelecido pelos alunos. Na turma 2 (a primeira a realizar esta tarefa), o professor informou os alunos que, dada a semelhança da tarefa com a anterior, quarenta e cinco minutos deveriam chegar para a sua realização e procedeu à entrega dos materiais. Os alunos iniciaram logo a leitura da proposta de trabalho e imediatamente começaram a programar quase sem falarem.

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No momento de experimentarem os robots os grupos adoptaram duas estratégias diferentes para obter os valores: uns mediram 5 cm depois do ponto de partida e colocaram aí o robot, outros, como o grupo seguinte, optaram por colocar o robot no ponto de partida, fazê-lo avançar e aumentar 5 cm ao resultado obtido.

T.: Não começa na partida.

C.: Temos de dar 5 cm e depois é que ele anda.

T.: 19. 19 mais 5 dá… vinte e… quatro.

C.: Para 3 segundos.

T.: É 72. Não viste como fez o J.? Está certo, é 72. Como ele fez, ele mediu e depois

multiplicou por 3.

Registaram 24 cm para 1 segundo e programaram o robot para os 3 segundos. Antes de efectuarem a experiência e as medições, T. antecipou o valor que obteriam. Apesar desta sugestão, baseado no raciocínio que o seu colega J. apresentou na tarefa anterior e partindo do pressuposto que se tratava de uma proporcionalidade directa, procederam às medições e obtiveram 42. A disparidade dos valores criou alguma tensão entre os elementos do grupo.

C.: 42 mais 5? Não dá!

T.: 24 vezes 3 dá… 72. 72 a dividir por 3 dá 24 e 24 a dividir por 1 dá 24. É como o J. disse

na outra aula.

[Silêncio].

T.: Dá proporcionalidade como na aula anterior.

S.: Olha, faz-se e mede-se e assim tem-se a certeza.

T.: Mas assim não vai dar certo.

S.: Não interessa. Vê-se.

C.: Também duvido que dê directamente proporcional.

Confrontada com os valores obtidos, diferentes dos sugeridos por si, T. insiste no seu raciocínio mas S. não parece convencida e sugere que façam, pela segunda vez, todas as medições para confirmarem os valores. Esta atitude de S. talvez esteja relacionada com a grande disparidade entre o valor obtido e o apontado pela colega de grupo. O diálogo termina com uma intervenção de C. que põe em causa a proporcionalidade directa assumida por T.. Repetiram as experiências para 1 e 3 segundos e como os valores das medições continuavam muito distantes do que propunha T. e as colegas não aceitavam o seu raciocínio, T. resolveu chamar o professor.

T.: Professor.

[O professor aproximou-se].

T.: Professor não é como o J. disse?

Prof.: Porque fazes essa pergunta?

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C.: Nós medimos para 3 segundos e deu 24.

T.: 3 segundos não, não deram 24. Foi 1 segundo que deu 24.

C.: Em 3 deu 43. A T. fez como o J. na aula anterior e deu 72.

Prof.: Qual é a melhor forma de tirar as dúvidas?

C.: Experimentando.

Apesar de já terem efectuado as medições duas vezes, os alunos aceitaram a proposta do professor e dirigiram-se imediatamente para uma mesa grande (duas mesas unidas) para repetirem a experiência.

S.: 42 mais 4 dá 47 [para 3 segundos].

[Alteraram o programa para 6 segundos].

T.: Mede agora.

S.: 80. Mais 5 dá 85.

T.: 24 a dividir por 1 dá 24, 47 a dividir por 3 dá…. São directamente proporcionais? Sim

ou não?

S.: Fazemos esses cálculos.

T.: Pois, mas dá resultados diferentes.

S.: Então faz como disse o J. [notoriamente irritada].

T.: Já faço… Dá 72… Dá 144. 144 a dividir por 6 dá 24. 72 a dividir por 3 dá 24 e 24 a

dividir por 1 dá 24. Está certo ou não está certo como eu fiz?

[Entretanto o professor aproximou-se].

Prof.: Fizeram as medições necessárias?

T.: Fizemos como o J. disse.

No início da tarefa surgiu a ideia (proposta por C.) que não se trataria de uma situação de proporcionalidade directa, contestada por T. a defender que deveria haver. Talvez porque na tarefa anterior existia proporcionalidade directa e surgiram problemas com as medições e com os robots que os levaram a aceitar quocientes de valor aproximado, acabaram por aceitar que também agora poderia ocorrer essa situação, apesar das grandes discrepâncias nos valores dos quocientes. No entanto, refira-se que S. não se mostrou convicta da posição da colega e aceitou a sua proposta porque esta se mostrava irredutível e contestava os resultados que obtinham com o robot. Note-se também que C., responsável pela sugestão de que não se trataria de uma proporcionalidade directa, não participou neste diálogo e manteve-se a observar as colegas. Esta situação só foi esclarecida quando o professor se aproximou por ter constatado alguma tensão e elevar da voz entre os elementos do grupo.

Prof.: Há proporcionalidade directa?

S.: Eu acho que não.

C.: Eu também achava.

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Prof.: E tu T.?

[T. não respondeu].

Prof.: Então se a maioria do grupo pensava que não porque optaram por estes cálculos?

Quando o professor se afastou o grupo manteve-se em silêncio alguns momentos. Então procederam à alteração dos valores de acordo com o constatado nas medições. Realizaram os quocientes entre o espaço percorrido e o tempo e concluíram que, neste caso, as grandezas não eram directamente proporcionais. Entretanto, um grupo vizinho que parecia discutir a mesma situação perguntou a C. os valores que tinham considerado. C. ditou-lhes os valores e acrescentou que as grandezas não eram “proporcionais”. A partir deste momento as questões foram resolvidas a um ritmo elevado. Construíram o gráfico (questão 1.3) sem conversar, apenas olhavam para o trabalho das colegas de grupo para compararem. Na questão 1.4, onde se questionava se os pontos estavam alinhados entre si e com o referencial, T. leu e respondeu imediatamente que “entre si sim, mas com a origem não” e olhou para as colegas. Estas acenaram com a cabeça a concordar e avançaram. Voltaram a trocar impressões quando chegaram à questão 1.5 que pedia a intersecção da recta com o eixo das ordenadas (ordenada na origem).

T.: Em que pontos…

S.: Assim é o eixo das abcissas e assim o das coordenadas.

T.: Mas é ordenadas. Não é coordenadas.

S.: Se calhar o professor enganou-se.

T.: Professor ajude-nos aqui.

Prof.: Mostrem-me o gráfico… Muito bem.

T.: É ordenada ou coordenada?

Prof.: Lembram-se da tarefa 1?

S.: Sim.

Prof.: Qual a diferença entre ordenada e coordenada?

C.: Já sei. Ordenada é aqui [apontava para o eixo das ordenadas] e coordenadas é as duas

juntas [abcissa e ordenada].

C.: Professor não passa no zero [origem do referencial]. Se passar no zero não dá para unir

todos.

Prof.: E teria de passar no zero? Onde passa no gráfico de uma proporcionalidade directa?

T.: Na origem.

Prof.: E aqui é uma proporcionalidade directa?

S.: Não. Então não tem de passar pelo zero.

T.: Qual é o ponto [referia-se à ordenada na origem]?

C.: É entre aqui [origem] e o 10. Professor, não é para dizer onde começa o gráfico?

Prof.: Qual é o eixo das ordenadas?

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Todos.: Este.

Prof.: Onde há intersecção entre a recta e o eixo das ordenadas?

C.: Em 5.

Aproveitaram a presença do professor para confirmarem respostas anteriores e para obterem ajuda na presente questão. Depois de dissiparem as dúvidas quanto ao que seria a ordenada chegaram ao valor 5 como o ponto de intersecção da recta com o eixo. Outro grupo estava a tentar prever a função para o caso do robot ter saído do ponto de partida. Como não havia sugestões chamaram pelo professor.

M.: Professor explique esta pergunta.

[O professor limitou-se a ler questão pausadamente].

R.: Ah. É menos cinco.

M.: Mas ele não saiu do ponto de partida.

H.: Oh. É só tirar 5 cm que ele estava à frente do ponto de partida.

M.: Tira a todos menos 5 cm.

Os alunos pediram explicitamente ao professor para lhes explicar a questão que depois de o professor ler pausadamente compreenderam imediatamente. Foram à tabela numérica e calcularam os novos valores. Seguidamente, representaram a nova recta no mesmo referencial e fizeram questão de o mostrar e explicar ao professor.

H.: Professor, fizemos todos os pontos menos 5. Ao valor que obtivemos tiramos 5 e

fizemos uma recta nova.

Perante a necessidade de escrever as expressões analíticas, os alunos recorreram ao caderno diário e à tarefa anterior..

S.: Expressão analítica é assim. É isto [espaço percorrido] vezes isto [tempo].

T.: Do ponto de partida…

S.: Vê no gráfico. 24 e depois 42….

T.: Chega. É te ×= 24 . Não é. É 19.

C.: Aqui é 19.

S.: Pois, te ×= 19 .

T.: Fácil. Se partisse 5 à frente é te ×= 24 .

T.: E agora atrás 20 do ponto de partida…

S.: Aiii….

C.: te ×= 20

T.: Mas não é do ponto 20. É atrás 20.

C.: Ora bem, 19 menos 20 dá -1.

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[Escreveram xy 1−= ].

Concluíram correctamente a expressão analítica para o caso da proporcionalidade directa, mas não o fizeram para os restantes casos. Alteraram o valor do declive ignorando uma das conclusões da tarefa anterior. Dos quatro grupos formados, dois sugeriram a expressão analítica correcta para o caso do robot ter iniciado a sua marcha 5 cm adiantado do ponto de partida, mas não responderam para a situação do atraso de 20 cm. O grupo responsável pelo diálogo anterior usava, no início, as variáveis e e t passando depois para x e y sem qualquer razão ou justificação aparente. Entretanto a aula terminou e a discussão dos resultados ficou para a aula seguinte. Nos primeiros instantes do bloco seguinte realizou-se a apresentação e discussão dos resultados em grande grupo. Os grupos foram lendo as questões e sugerindo as respostas. Aquelas que os alunos consideraram mais completas, ou entretanto complementadas, foram registadas no quadro. A discussão dos resultados terminou com a formalização da definição de função linear e a forma de obter a recta de uma função afim a partir da recta de uma proporcionalidade directa (com o mesmo declive) baseado na situação experimentada pelos alunos com o robot. A introdução da tarefa na turma 1 foi muito similar à da turma anterior. O professor distribuiu a tarefa e todo o material necessário e pediu para que a realizassem na íntegra, com muita atenção a todos os pormenores.

[Ri. leu a questão 1.1 em voz alta].

H.: É programar para 5 segundos.

T.: Não, olha é 1 segundo.

Ri.: Sai 5 cm à frente do ponto de partida. Vai buscar a fita de medir.

H.: É 1 segundo mas é 5 cm.

Programaram e experimentaram. Optaram por medir 5 cm a partir do início da mesa e colocar o robot nessa posição. Prenderam a fita na parte de trás do robot e colocavam-no a andar, restando-lhes observar o valor da fita métrica que ficava na borda da mesa. Repetiram o processo várias vezes para o mesmo tempo de viagem para se certificarem dos valores obtidos. Este trabalho envolveu coordenação, pois todos os elementos participavam, desempenhando uma tarefa, mas sem discussão.

Ri.: Contando com o adiantamento deu 14.

H.: Agora programa para os 3 segundos.

Obtiveram os valores 19, 45 e 83 cm para 1, 3 e 6 segundos respectivamente. Já depois de pousarem o robot, começaram a pensar nos valores obtidos e a relacioná-los com experiências anteriores de outras tarefas. O professor estava perto do grupo a observar o seu trabalho.

Ri.: Aumentou mais 19 e dá 57.

Prof.: Quanto deu?

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Ri.: 45.

Prof.: Que nome dás a essa ideia que estão a utilizar?

Ri.: É a proporcionalidade directa da outra aula. Devia ser… mas não está a dar. 1 segundo

dá 19, vezes 3 dá 57 e como é que só dá 45?

[Silêncio].

H.: Já percebi. Aqui no primeiro dá 19 mas tem mais cinco que da partida e não podes

multiplicar. Não sai da partida.

[Silêncio].

H.: Vamos experimentar outra vez.

[E programaram e experimentaram]

Ri.: 1 segundo, 19.

H.: Vê. 19 tem 5 cm a mais.

Ri.: 1 segundo é 19. Então 2 segundo deve dar 38.

H.: Não pode ser assim. Os 19 já têm os 5 e mais 19 volta a ter os cinco e não pode ser. O 5

já está contado. Estás a contá-lo duas vezes.

Tal como nos grupos da outra turma, os alunos assumiram que estariam perante grandezas directamente proporcionais e realizaram os devidos cálculos para compararem com as medições efectuadas. Mas, neste grupo, H. percebeu a razão pela qual os colegas não poderiam realizar esse tipo de raciocínio e tentou explicar-lhes. Como não foi bem sucedido, experimentaram de novo e perante a insistência do colega em realizar cálculos de proporcionalidade directa (“1 é 19 então 2 deve dar 38”) explica-lhes claramente que ao adicionar 19 com 19 estão a contabilizar duas vezes o avanço inicial de 5 cm, quando na experiência apenas ocorre uma só vez. Tal como nas tarefas anteriores, os alunos movimentavam-se pela sala de aula e era possível observar grupos a trabalhar no chão da sala. Num dos grupos que o fazia era possível observar a participação de todos os elementos. O trabalho era partilhado: um segurava a fita e confirmava os valores obtidos, outro apontava os valores obtidos com o giz no chão e o último programava e transportava o robot. Este grupo registou 46, 120 e 253 cm, depois alterado para 254 cm. Todos os grupos conseguiram construir o gráfico com os pontos registados e obtiveram uma recta, ou aproximadamente uma recta. No entanto um dos grupos verificou que os pontos estavam desalinhados.

H.: Este não fica alinhado.

Ri.: Pois não. Está ao lado.

Prof.: Porquê? Porque não dá alinhado?

[Silêncio].

Prof.: Verifiquem bem o vosso gráfico.

T.: Pois é. Isto aqui vale 15 e este 15 e isto só 5.

Ri.: Se daqui até aqui é 45 o dobro fica aqui. Deixa mais espaço. Faz isso grande.

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[Depois uniram os pontos].

Ri.: Os pontos estão alinhados com a origem? Sim?

H.: Não.

T.: Não estão.

Ri.: Não estão?

H.: Então verifica.

[E traçaram a recta que passava pelos três pontos].

Ri.: Em que eixo a recta intersecta o eixo das ordenadas? [Questão 1.5].

[Fez-se silêncio e recorreram ao caderno]

Ri.: Eixo das ordenadas é este. Uns 5.

H.: Não, uns 8. É mais ou menos no meio.

T.: Eu voto no 8.

Perante a maioria que opinava 8, optaram por responder 8. Na questão seguinte (1.6), mesmo depois de lerem duas vezes, não a conseguiam compreender. A questão que pedia que imaginassem e traçassem, no mesmo referencial, a função para o caso do robot ter saído do ponto de partida. Perante as dificuldades persistentes e a falta de sugestões, os elementos do grupo ficaram a olhar uns para os outros. O professor apercebeu-se da situação e, depois de algum tempo, resolveu intervir.

Prof.: Qual é a diferença na nova situação?

Ri.: O robot sai daqui [apontou para o início da mesa].

Prof.: E qual a influência dessa alteração?

H.: A distância é mais pequena, é 14 [para 1 segundo].

T.: Pois é, é sempre menos 5 cm.

H.: Não era melhor fazer de novo com o robot?

Ri.: Para quê? Podes fazer, mas ao andar 1 segundo vai fazer 14 cm e a 3 segundos 40 cm.

Não adianta experimentar.

H.: Temos é de fazer com o robot e não de cabeça.

[Experimentaram tudo de novo com o robot a sair do ponto de partida].

Ri.: É 39 [39 cm em 3 segundos].

Prof.: Que estão a fazer?

Ri.: Era uma dúvida que eu tinha.

Contrariando a situação verificada antes da presença do professor, os alunos responderam de forma rápida e acertada às suas questões, terminando com uma conclusão proposta por um deles. Note-se que espontaneamente foi sugerido por um dos elementos do grupo que repetissem a experiência para o caso do robot sair do ponto de partida, denotando mais confiança na prática do que no raciocínio que tinham realizado. Apresentaram a seguinte resposta:

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“Concluímos que se o robot partir do 5 cm depois a recta não passa no ponto da origem.

Mas se o robot partir do início já passa no ponto da origem”

Redigiram a resposta interrompendo-se mutuamente, construindo a frase palavra a palavra com a contribuição de todos os elementos. A discussão da questão 1.9.1 (expressão analítica para a função da saída do robot do ponto de partida) resumiu-se a duas intervenções. Depois de Ri. ler a questão, foram ver à tarefa anterior o que era uma expressão analítica.

Ri.: Fica x = 14 y.

H.: Não, o 14 é do lado do x. Fica y = 14x.

Os alunos também propuseram y = 14x para a situação em que o robot saia 5 cm adiantado do ponto de partida, mas apagaram de imediato quando se aperceberam que duas rectas diferentes não poderiam ter a mesma expressão analítica. Quando o professor passou por perto pediram o seu auxílio.

Prof.: Qual é o declive?

T.: É 14.

Prof.: O que se passou deste ponto para este ponto?

H.: Aumentou 5 cm.

[Silêncio].

H.: Coloca 19x. Se é mais 5…

Prof.: O que se passou de uma recta para a outra?

Ri.: Aumentou 5 cm.

Prof.: Então que terá de acontecer na expressão analítica para acompanhar essa mudança?

[O professor afastou-se]

Ri.: Só… só se for… a expressão mais 5.

H.: É isso…

E registaram y = 14x + 5. Os alunos demonstraram que sabiam qual era o declive da recta mas não associaram o facto de rectas paralelas terem o mesmo declive e daí a incorrecção da proposta y = 19x. Com as questões formuladas pelo professor concluíram correctamente a questão mas não conseguiram aplicar o mesmo raciocínio para o caso do robot partir 20 cm atrás do ponto de partida, onde registaram y = -20x. Nos últimos momentos do bloco de 90 minutos realizou-se uma apresentação e discussão dos resultados em grande grupo, com registo dos resultados mais importantes no quadro negro, que terminou com a formalização da definição de função linear. Também foram abordadas as transformações ocorridas de uma recta de proporcionalidade directa para uma recta de uma função afim (com o mesmo declive), sustentadas na situação anteriormente experimentada pelos alunos com os robots.

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Após a conclusão da tarefa, para revisão e consolidação dos conteúdos abordados e sua aplicação a outras situações, foi realizada a segunda ficha de trabalho (anexo 10) nos dois blocos de 90 minutos. Esta ficha de trabalho sem os robots teve um duplo objectivo: verificar se os alunos aprenderam os conceitos e proporcionar-lhes a oportunidade de contactarem com os aspectos mais algébricos relacionados com as funções, nomeadamente, o cálculo da imagem de determinado objecto a partir da expressão analítica e a resolução de equações simples em que se pretende determinar o objecto conhecida a imagem. A sua correcção foi realizada pelos alunos. Ficou a seu cargo a leitura, discussão e registo no quadro negro das respostas que foram apresentadas. As reacções dos alunos foram muito positivas e não revelaram dificuldades de maior para resolver a ficha de trabalho. A resolução da ficha limitou-se à partilha de respostas e registo das conclusões no quadro negro. No final ouvia-se os alunos dizerem que isto era fácil e que se o teste fosse assim iriam tirar “boa nota”.

Avaliação

Os alunos resolveram rapidamente esta tarefa. Para tal, contribuiu a grande dinâmica instalada nos grupos de trabalho que se revelavam muito organizados.

Foi possível registar algumas dificuldades dos alunos na interpretação de algumas questões, posteriormente ultrapassadas pela discussão ou pela orientação do professor. Também revelaram dificuldades na descoberta da expressão analítica da função afim, apesar de pelo menos dois grupos terem identificado claramente o facto que estava na origem da diferença entre essa expressão e a expressão da situação de proporcionalidade directa. No entanto, os alunos conseguiram determinar a expressão analítica para o caso da proporcionalidade directa e, após a discussão em grande grupo, pareciam compreender a expressão (correcta) apresentada por um dos grupos para o caso em que tal não acontecia, assim como a relação entre elas.

Síntese

Apesar da resolução da tarefa ter decorrido a um ritmo de trabalho estabelecido pelos alunos, tal como em todas as tarefas anteriores, esta foi a que teve o período de execução mais curto. Com a aplicação desta tarefa pretendia-se proporcionar aos alunos a oportunidade de contactarem com as funções afim a partir de conhecimentos anteriores (sobre funções lineares que estudaram na tarefa precedente). Esta “transição” das funções lineares para as funções afim pretendia-se intuitiva para posterior formalização com a orientação do professor. A aula caracterizou-se pela grande actividade dos alunos. Os alunos movimentaram-se livremente pela sala de aula, permitindo-lhes realizar as experiências necessárias no chão da sala ou juntar mesas para construir uma ”pista” para o robot e contactar e partilhar dados e informações com os outros grupos. As experiências sucediam-se a um ritmo elevado, e os grupos repetiram-nas várias vezes, simplesmente para confirmar resultados ou para desfazer dúvidas que entretanto foram surgindo, como quando averiguavam se realmente não estariam perante uma situação de proporcionalidade

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directa. Os alunos experimentaram os robots em diversos locais (chão, mesas e em mesas unidas) e alguns grupos experimentaram em mais do que um. Os alunos adoptaram estratégias diferentes para a realização das medições. Uns optaram por adiantar o robot 5 cm e colocaram-no posteriormente em movimento, enquanto outros preferiram que o robot partisse do ponto de partida e depois adicionavam 5 cm à distância obtida. Houve grupos que prenderam a fita métrica na parte de trás do robot para depois verem a medida no início da mesa que consideravam como o ponto de partida. Também se verificaram aspectos interessantes quanto à dinâmica de grupo. Os alunos surgem nesta tarefa com mais apetência para a cooperação e para o trabalho em grupo. Se nuns a coordenação não precisava de ser negociada ou estabelecida, surgindo espontaneamente, noutros discutiam-se todas as questões e quando a resposta lhes parecia evidente procuravam sempre partilhá-la com os colegas e obter a sua opinião e concordância, por vezes manifestada através de pequenos gestos. É possível constatar episódios em que os alunos tentam explicar aos pares os seus raciocínios. Foi o caso do aluno que compreendeu porque estavam numa situação que não era de proporcionalidade directa e tentou, mais do que uma vez, explicar aos colegas essa razão. Como os seus colegas teimavam em não compreender, o aluno pediu para voltarem a realizar as experiências com os robots para realçar e demonstrar esse raciocínio. Não raras vezes, os alunos chamavam o professor propositadamente para lhe explicar o raciocínio que tinham feito no grupo e mostrarem os resultados. Atrás foram descritas duas situações de discussão em grupo muito semelhantes, mas que tiveram epílogos distintos. Num primeiro grupo de três elementos, uma aluna antecipou que não estariam perante uma situação de proporcionalidade directa e foi apoiada por uma colega e contrariada por outra. Apesar da maioria dentro do grupo e das evidências das medições a teoria proposta pela aluna foi “vencida” pela colega que pensava contrariamente. Num segundo grupo, quando decidiam qual o valor da ordenada na origem os alunos efectuaram uma espécie de votação espontânea que determinou que o resultado a registar seria o da maioria. Nesta tarefa foi possível constatar algumas dificuldades dos alunos em compreenderem plenamente as questões apresentadas como demonstra a situação em que o professor com a simples leitura pausada foi o suficiente para que os alunos iniciassem uma discussão que os conduziu à solução. Na turma 2 todos os grupos referiram que a situação não era de proporcionalidade directa porque os quocientes (espaço percorrido/tempo) deram valores muito afastados. Dois grupos da turma 1 aprofundaram mais a questão, e além de referirem os quocientes diferentes, justificaram que a proporcionalidade directa não ocorria devido ao avanço inicial que proporcionavam ao robot. As intervenções do professor originaram discussões que resultaram em descobertas (como foi o caso das escalas mal estabelecidas e a razão porque não era proporcionalidade directa). O professor limitava-se a apoiar os grupos através de sugestões ou da formulação de questões. Pela primeira vez, desde o início das tarefas propostas com os robots, era possível observar alguns alunos que começavam a manifestar cansaço e a dispersar por assuntos não relacionados com a proposta de trabalho, apesar da maioria continuar interessada e motivada.

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O principal objectivo desta tarefa, a construção de novos conhecimentos a partir de conhecimentos anteriores, foi atingido satisfatoriamente na maioria dos grupos. Apesar dos alunos terem revelado dificuldades nas expressões analíticas das funções afim, a situação criada e o estudo prévio realizado pelos alunos permitiu, em grande grupo, formalizar a função afim e fazer com que os alunos atribuíssem um significado muito próximo ao atribuído na matemática a este tipo de funções.

Todos estes aspectos parecem evidenciar que os alunos estiveram a trabalhar ao nível do desenvolvimento de competências nomeadamente ao nível do raciocínio e do pensamento matemático (quando decidiam se se tratava de uma proporcionalidade directa ou não e devida justificação), de representação das entidades matemáticas (neste caso de funções lineares e afim), de comunicação (com os colegas e com o professor), e em instrumentos e acessórios (usaram os robots e acessórios de uma forma reflectida e estabeleceram relações com a Matemática).

4.7. Teste de avaliação

Por fim, foi aplicado um teste em duas fases (anexo 11) num bloco de 90 minutos. Nesse bloco decorreu a primeira fase, em que os alunos resolveram o teste de avaliação na sala de aula sem qualquer auxílio. Posteriormente a uma primeira correcção com comentários e sugestões do professor às respostas apresentadas, os alunos dispuseram de uma semana para rever, explorar e aprofundar as suas respostas que foram sujeitas a nova correcção e avaliação. Os resultados foram muito positivos. De um ponto de vista quantitativo registou-se, ainda na primeira fase, uma melhoria significativa dos resultados. As classificações positivas habitualmente confinadas ao intervalo 50 a 60%, subiu para os 75% na primeira fase e posteriormente, com a segunda fase, para os 87%. A generalidade dos alunos identificou correctamente o gráfico (questão 1) que representava uma função e justificou adequadamente. A minoria que não o fez na primeira fase fê-lo correctamente na segunda. As questões 2 e 4 que sugeria uma situação de proporcionalidade directa e um gráfico de tempo versus distância, respectivamente, registaram um índice de acerto elevado logo na primeira fase. Na questão 2 os alunos mostraram-se bastante à vontade a responder a questões relativas ao domínio, contradomínio, objectos, imagens, variáveis dependentes e independentes, e expressão analítica. Em todas alíneas se verificou que os alunos tiveram em geral o cuidado de utilizar os termos e simbologia associado às funções. Por exemplo, quando lhes foi solicitado que indicassem a imagem do objecto 20, apesar de o professor aceitar simplesmente 80, a maioria dos alunos respondeu

80)20( =f . Também conseguiram justificar satisfatoriamente que a situação se tratava de uma proporcionalidade directa, ou através dos quocientes entre os valores da tabela ou através da representação gráfica da situação. O sucesso da questão 4 está certamente relacionado com a semelhança ao trabalho que desenvolveram nas tarefas. Na questão 3 a generalidade dos alunos realizou correctamente as representações gráficas mas revelaram alguma dificuldade em resolver a equação 13)( =xf ( ( ) 3 1f x x= − + ). Os alunos revelaram bastantes dificuldades na questão 5. Esta era a questão com carácter mais aberto e propícia a discussão e exploração posterior, isto é, na segunda

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fase. E de facto foi isso que aconteceu. Na primeira fase as respostas foram erradas ou manifestamente incompletas, que surgiram melhoradas e mais ponderadas na segunda fase, como o exemplo que se segue. Na primeira fase este aluno apenas referiu que a primeira função era constante e não apresentou a expressão analítica. Os restantes gráficos ficaram sem resposta. Na segunda fase o aluno sugeriu as seguintes respostas (Figura 25):

Figura 25: Resposta à questão 5 – 2.ª Fase (Teste de avaliação).

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Capítulo 5

CONCLUSÕES Neste capítulo, depois de recordar o problema e as questões que orientaram este

estudo, são apresentadas e discutidas algumas conclusões que entendemos poder inferir da investigação. Seguem-se algumas recomendações relacionadas com a temática do estudo e, a finalizar, é feita uma reflexão final acerca da investigação realizada no que concerne as suas influências na minha prática enquanto professor de Matemática.

Esta investigação tinha como objectivo descrever, analisar e compreender como é que os alunos aprendem matemática tendo os robots como elementos mediadores entre o aluno e a Matemática. Para tal, formulou-se as seguintes questões: (1) Qual o papel dos robots na resolução de problemas matemáticos envolvendo funções? (2) Como é que os alunos aprendem funções (no 8º ano) utilizando os robots? (3) Como é que os robots podem ajudar a desenvolver a representação de saberes matemáticos? (4) Qual o papel dos robots no desenvolvimento de competência matemática nos alunos?

5.1. A resolução de problemas matemáticos com robots.

Embora não exista consenso generalizado quanto à definição de problema, e mais concretamente de problema matemático, adoptando a definição proposta por Schoenfeld (1985, p.74, citado em Santos, 2000, p.127) na qual é definido como “uma questão difícil ou que levanta dúvidas; uma questão de pesquisa, discussão ou pensamento; uma questão que exercita a mente”, podemos constatar que os alunos se depararam com um número significativo de problemas matemáticos ou situações problemáticas directa ou indirectamente relacionadas com a matemática.

A elaboração do programa para o robot na primeira tarefa exigiu a análise e compreensão do problema, discussão durante a sua realização, experimentação, verificação do resultado e reformulação ou aperfeiçoamento do mesmo. Esta resolução de uma situação problemática não eminentemente matemática permitiu aos alunos estabelecer implicitamente uma estratégia e um método de trabalho que viriam a aplicar e a desenvolver nas tarefas posteriores.

Perante os problemas que se surgiram nas tarefas seguintes, os alunos começavam por tentar compreendê-lo, fazendo sugestões que eram debatidas no seio do grupo, experimentadas e reformuladas quantas vezes necessárias até conseguirem um resultado que considerassem satisfatório. Ocorreram episódios em que alunos conseguiram formular hipóteses, justificá-las e prever alguns resultados, parecendo evidenciar uma boa compreensão da situação problemática (tarefa 3).

As estratégias de trabalho e de resolução de alguns problemas passou, assiduamente, pela procura de indicações, sugestões e esclarecimentos no caderno diário e nas tarefas já realizadas, ao que se seguia invariavelmente alguma discussão. Este procedimento visava estabelecer possíveis analogias entre os problemas que já haviam realizado e os novos com que se deparavam (tarefa 3). Trata-se de uma forma de construir novo conhecimento a partir de conhecimentos e experiências antecedentes (Abrantes et al., 1999, NTCM, 2000).

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A descoberta por tentativa e erro foi uma característica comum a todos os grupos, em todas as tarefas, como comprovam as constantes experiências. Tal como preconizado pelo NTCM (2000) e por Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999), o erro foi determinante no desenvolvimento do trabalho dos alunos, dado que se mostraram dispostos a procurar e a analisar a origem desses “erros” ou discrepâncias que foram surgindo entre os seus raciocínios e os resultados das experiências (em todas as tarefas). Assim, demonstraram espírito crítico e de análise, não aceitando facilmente as soluções propostas e tentando encontrar outras alternativas. Parecem ter adoptado como método a análise ou retrospectiva da resolução realizada (se o problema foi resolvido ou não e se a estratégia foi adequada), isto é, uma prática reflexiva da resolução de problemas.

Nos pequenos problemas que foram surgindo ao longo das tarefas, os alunos adoptaram estratégias de trabalho e resolução diferentes (tarefas 0, 2 e 3). Repetiam inúmeras vezes as experiências com os robots para se certificarem dos resultados obtidos ou simplesmente para tirar dúvidas. Os modos como realizaram as medições foram verdadeiros exercícios de persistência e criatividade (tarefas 2, 3 e 4).

Quando os grupos se deparavam com problemas para os quais não tinham qualquer ideia ou sugestão de resolução, não raras vezes, procuraram informação junto de outros grupos. A partilha de informação, de estratégias de resolução e a comparação de resultados foi uma constante em todas as tarefas.

Quando os alunos conseguiam concluir a tarefa ou resolver problemas que se afiguravam como difíceis era visível a sua satisfação, manifestada perante os colegas de grupo e, outras vezes, partilhada com os grupos vizinhos (tarefa 2). Este facto sugere que estes episódios aumentam a sua confiança a ponto de procurarem partilhar e mostrar as suas descobertas aos colegas de outros grupos.

Na primeira tarefa os alunos revelaram-se muito tímidos, inseguros e relutantes em iniciar a sua resolução e ficaram na expectativa do auxílio exterior, também devido às dificuldades de interpretação das questões. Estas dificuldades iniciais repetiram-se frequentemente nas tarefas seguintes, ultrapassadas pela explicação e orientação do professor ou discussão da interpretação a dar à questão e delineamento do trabalho subsequente, na ausência do anterior. Se inicialmente os alunos pareciam muito dependentes da presença do professor para interpretarem as questões e validar as suas propostas de resolução e soluções, começaram gradualmente a voltar-se para os grupos, onde discutiam e aprovavam todas as propostas. As mais controversas foram fortemente debatidas e, na falta de um consenso, as decisões foram tomadas por maioria. As situações, questões ou problemas que se revelavam de resolução rápida e fácil eram respondidas em voz alta para validação por parte dos colegas. Não obstante este desenvolvimento, os alunos continuaram a insistir em mostrar os seus resultados ao professor, mesmo quando o seu trabalho estava destinado a correcção escrita posterior (tarefas 2).

A utilização dos robots parece ter despertado o interesse, curiosidade e sentido de desafio destes alunos. A sua actuação pautou-se pela grande actividade, motivação e persistência na resolução dos problemas apresentados. Os dados parecem sugerir que os alunos tiveram uma evolução na adopção de estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de decisões acerca dos procedimentos e resultados a apresentar. Também sugere que a sua predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e a sua aptidão para desenvolver processos de resolução, de analisar os erros cometidos, de ensaiar estratégias alternativas e procurar novas soluções foi desenvolvido.

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As respostas registadas no inquérito realizado no final das tarefas denotam que os próprios alunos notaram e sentiram o seu desenvolvimento e reconhecem alguns dos processos adoptados para resolver problemas. Observaram-se respostas como as seguintes: “Achei interessante, diferente e muito bem pensado. Fez as nossas cabeças pensar e descobrir por nós próprios e resolver problemas”; “Gostei de resolver problemas com os robots”; “Tivemos de pensar muito e com a ajuda dos robots às vezes surgiam-nos ideias para os problemas e experimentavamos tudo para ver se descobríamos a solução do problema”.

5.2. O papel dos robots na aprendizagem das funções

Posteriores extrapolações de um conceito perante situações distintas com estrutura análoga indicam-nos o significado atribuído pelo aluno ao conceito em questão e se foi interiorizado (APM, 1988). Neste sentido, nos dados recolhidos (tarefas 2, 3, 4 e teste de avaliação) surgem evidências de que os alunos apreenderam a noção de função a partir do trabalho realizado na tarefa 1 baseado nas relações entre as grandezas tempo e distância representadas nos gráficos.

Os alunos concluíram de uma forma intuitiva e informal o conceito de função (Abrantes et al., 1999). O conceito de função surgiu de forma natural como resultado do trabalho desenvolvido pelos alunos. O uso dos robots parece ter ajudado os alunos a concretizarem e a visualizarem os conteúdos que se abordavam, neste caso em concreto a noção de função.

As situações criadas pela utilização dos robots também foram fundamentais no momento de atribuição das designações de variável dependente e variável independente. Os alunos concluíram que a distância do robot dependia do tempo de viagem estabelecido na programação, e como tal a primeira seria a variável dependente, enquanto o tempo era “livre”.

Os robots também ajudaram os alunos a atribuir um novo significado ao conceito de proporcionalidade directa, anteriormente assimilado como dependendo única e exclusivamente dos quocientes entre as grandezas. Segundo Ponte (1992), a pressão para lidar com entidades matemáticas abstractas sem considerar os seus fundamentos naturais está na base de muitas dificuldades dos alunos em matemática. O trabalho desenvolvido permitiu-lhes concretizar e atribuir um significado ao conceito, contrariando o carácter teórico e abstracto da definição de proporcionalidade como a relação constante entre duas variáveis. Da mesma forma, os robots permitiram aos alunos associarem a constante de proporcionalidade a uma característica real e observável, no caso à sua velocidade.

A tarefa 4 passava pela construção activa de novos conhecimentos (função afim) a partir dos conhecimentos assimilados na tarefa anterior relativos à proporcionalidade directa (NTCM, 2000; Abrantes et al., 1999). Os alunos desenvolveram uma noção de função afim muito próxima ao atribuído na matemática, principalmente os dois grupos da turma 2 que identificaram claramente o facto responsável por não existir proporcionalidade directa.

Os termos informais e a linguagem do quotidiano dos alunos foram substituídos naturalmente pelos termos formais das funções, ainda na tarefa 1, depois da sua introdução como resposta à necessidade de simplificar processos (Abrantes et al., 1999). A partir da tarefa 2, apesar da linguagem predominante ainda ser a do seu quotidiano, os

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termos e simbologia específicos das funções foram usados com propriedade e alguma frequência, principalmente nos registos escritos, como comprovado ao longo das aulas e no teste de avaliação. Os termos correspondência e função tomaram um papel central na linguagem dos alunos.

Em suma, pode dizer-se que o conceito de função foi apreendido de forma significativa para estes alunos. A definição de função emergiu como uma conclusão do trabalho realizado e não como um ponto de partida (Fernandes, Fermé e Oliveira, 2006, 2007). A par da compreensão do conceito de função, há a destacar o desenvolvimento por parte dos alunos da sensibilidade para entender o uso de funções como modelos matemáticos de situações do mundo real, em particular nos casos em que traduzem relações de proporcionalidade directa.

5.2.1. Os robots e a construção de representações

A questão das representações é um dos tópicos centrais do tema funções no oitavo ano de escolaridade. Os alunos devem contactar com os diferentes formas de representação de uma função – tabela de valores, diagrama, representação gráfica e expressão analítica – que deve ser feito de modo equilibrado (Ponte, 1992). Também é realçada a importância da capacidade de passagem e mobilização da informação de uma representação para outra (Ponte, 1992; Abrantes et al., 1999).

O primeiro contacto dos alunos com a representação de uma função ocorreu na tarefa 1 e tratou-se de uma representação gráfica. Depois surgiram o diagrama e a tabela de valores. As transições de um tipo de representação para outro foram, em geral, bem sucedidas (o exemplo mais explicito será a última questão da tarefa 2 na qual relacionaram diferentes representações da mesma função). No entanto, os alunos revelaram algumas dificuldades na construção dos gráficos e no tratamento da expressão analítica da função afim.

Na tarefa 3 e 4, além das representações já abordadas os alunos contactaram com as expressões analíticas. Começaram por trabalhar com uma situação de proporcionalidade directa devidamente contextualizada pelas experiências com os robots que lhes permitiram completar com sucesso a expressão analítica da função. Esta ideia foi posteriormente generalizada em grande grupo. Trata-se da aptidão para analisar relações numéricas de uma dada situação e representá-la por diferentes processos, no caso, por uma expressão analítica (Ministério da Educação, 2001).

Depois, completaram a expressão analítica que traduzia a relação entre o espaço percorrido e o tempo descobrindo de uma forma lógica e significativa para eles, uma segunda faceta do conceito de função (como a relação entre duas variáveis).

Onde os alunos experimentaram mais dificuldades foi na expressão da função afim. Partindo de uma tabela de valores, passando pela representação gráfica, apenas um grupo de alunos conseguiu concluir correctamente a expressão analítica adequada à situação. Todos os outros teimavam em alterar o declive da recta correspondente à situação em que o robot partiria do ponto de partida, isto é, da situação de proporcionalidade directa, apesar de noutros momentos terem usado a noção de declive com propriedade.

Perante estes factos é possível dizer que os alunos desenvolveram as suas capacidades de manuseamento das diferentes representações de função. Na generalidade, demonstraram ser capazes de interpretar, compreender e utilizar os vários tipos de

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representações, de aferir relações entre elas e proceder à mobilização de informação de umas para as outras (Ministério da Educação, 2001).

Optou-se por uma introdução do conceito realizado a partir de uma situação intuitiva e informal que passasse pela exploração e representação de uma situação real, concreta, através de gráficos e diagramas, seguindo-se explorações a partir de tabelas de valores, isto é uma aproximação de carácter numérico indicada por autores como Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999) e Ponte (1992). Seguiu-se a definição de variável dependente e variável independente e, só posteriormente, surgiram as expressões analíticas e, por associação, a ideia de correspondência entre duas variáveis.

Este percurso realizado pelos alunos na aprendizagem do conceito de função e das suas representações relembra significativamente a sua evolução histórica: desde as primeiras tabelas de valores na Babilónia, da tábua de cordas do Almagesto de Ptolomeu em que surge “a relação que associa os elementos de um conjunto de números com elementos de outro conjunto” (O'Pedersen, 1974, p.36, citado em Youschkevitch, 1976, p.42), à correspondência entre dois conjuntos de Galileu, à variável dependente e variável independente de Oresme e Newton, à expressão analítica de Bernoulli e Euler, até à ideia de correspondência entre duas variáveis de Fourier.

Outro aspecto que ressalta da evolução história do conceito está relacionado com a sua identificação com a expressão analítica. Procurou-se que os alunos não confundissem o conceito com uma das suas representações, nomeadamente com a expressão analítica, como ocorreu durante muito tempo depois da definição de função proposta por Euler, tendo surgido no trabalho dos alunos apenas como uma necessidade de estabelecer uma relação entre as duas variáveis em questão e não com o propósito de definir função.

O trabalho realizado com os robots proporcionou aos alunos o desenvolvimento da compreensão do conceito de função e das facetas que pode apresentar, como correspondência entre conjuntos e como relação entre variáveis. As tarefas desenvolvidas mostraram que os alunos foram capazes de representar as relações funcionais de vários modos e passar de uns tipos de representação para outros, usando tabelas, gráficos e expressões algébricas, apesar de demonstrarem alguma dificuldade na sua manipulação das últimas como foi possível constatar na segunda ficha de trabalho e no teste de avaliação.

5.2.2. Construção do conceito de função

Considerando a teoria da reificação de Sfard (em Mourão, 2002), temos evidências que a generalidade dos alunos ficaram com uma concepção operacional do conceito de função, isto é, o conceito de função é para eles um produto dos processos realizados ou o próprio processo. Os alunos referem-se ao conceito de função como o processo que faz a correspondência unívoca dos elementos de um conjunto para outro.

Do processo de desenvolvimento da concepção operacional para a concepção estrutural, a fase da interiorização que se traduz pela realização dos processos em objectos matemáticos elementares e anteriormente conhecidos, como por exemplo as manipulações algébricas, não foram evidentes devido ao tipo de abordagem preparada para a introdução do conceito, não imediatamente consentânea com a proposta por Sfard que passaria pela definição de função de uma quantidade variável em relação a outra (Mourão, 2002). A fase seguinte, da condensação, que é caracterizada pelo pensamento

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dos processos como um todo em termos de informação inicial e resultado final foi significativamente atingida pela maioria dos alunos. Os alunos demonstraram que conseguiam pensar na função como um todo, isto é, não recorriam a aspectos particulares da função para justificar que o era. Esta fase também se traduz pela capacidade de investigação de funções, realizada com resultados satisfatórios na tarefa 2, e de desenhar gráficos de funções, que foi observado em todas as tarefas.

Eventualmente, apenas dois alunos poderão ter atingido a reificação do conceito, aproximando-se da concepção estrutural, em que este surge como uma estrutura estática, um objecto real e manipulável (Sfard, 1991, em Mourão, 2002). Esta ideia provém do facto destes alunos não evidenciarem nenhum dos aspectos apontados por Sfard como indicadores da não reificação do conceito, nomeadamente dificuldades em lidar com a função constante, relutância em aceitar “correspondências arbitrárias” como funções, e tendência para identificar o conceito com uma das suas representações. Sfard refere que o processo de passagem de uma concepção para outra é longo e difícil e como tal não será de estranhar que apenas dois alunos o tenham conseguido realizar.

Se considerarmos o modelo de construção apontado por Wilson (2001) podemos afirmar que os alunos, nesta investigação, evidenciaram aspectos de três estádios: expressão, acção e processo. No primeiro campo perceptual (primeiro estádio), referente à percepção da função como uma expressão, os alunos mostraram-se capazes de efectuar operações e aplicar um algoritmo na construção de um gráfico, mas não demonstram encarar a função como uma fórmula, equação ou expressão algébrica. No segundo campo, em que a função é uma acção, os alunos foram capazes de substituir uma variável por números e realizar cálculos com o intuito de obter valores numéricos (demonstrado nas fichas de trabalho e no teste de avaliação), forma capazes de identificar as variáveis independentes e dependentes. No terceiro campo, no qual a função é vista como um processo os alunos demonstraram ser capazes de pensar em tomar um valor e transformá-lo noutro, de compreender a relação entre as variáveis dependentes e independentes assim como as relações entre as diferentes formas de representação da função.

5.3. O desenvolvimento de competência matemática com os robots

Segundo Niss (2006) ser matematicamente competente “significa conhecer, compreender, fazer, usar e possuir uma opinião bem fundamentada sobre a Matemática em uma variedade de situações e de contextos onde ela tem ou pode vir a ter um papel” (p.32) e “as competências matemáticas entram em jogo lidando com situações e contextos nos quais uma tarefa ou um desafio relacionado à Matemática está direta ou indiretamente presente” (p. 36).

Os alunos desenvolveram competência ao nível de raciocínio dado que foi possível observar alunos a acompanharem e a avaliarem raciocínios matemáticos dos seu pares, a procurar exemplos para confirmar ou rebater afirmações dos colegas e a colocar em prática argumentos formais e informais, principalmente na comunicação com os seus colegas de grupo. Os exemplos de raciocínios matemáticos sucederam-se na resolução das tarefas (por exemplo, na tarefa 3 aquando da discussão de proporcionalidade directa).

A motivação, interesse, cooperação em grupo e envolvência dos alunos nas tarefas propostas pareceram aumentar a sua predisposição para raciocinar matematicamente,

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isto é, para explorar situações problemáticas e pensar de maneira lógica. Ocorreram diversas situações em que os alunos perante a possibilidade de optarem pelos seus raciocínios ou pelos resultados das experiências, escolheram a primeira opção, valorizando os seus raciocínios matemáticos. Também deixaram de recorrer frequentemente ao professor para validar as suas conclusões ou respostas, denotando que começaram a reconhecer que a validade de um raciocínio ou de uma afirmação está relacionada com a consistência da argumentação lógica que conseguiam produzir e não com alguma autoridade exterior.

Associado ao desenvolvimento do raciocínio matemático surgiu o desenvolvimento dos modos matemáticos de pensamento. Os alunos contactaram e demonstraram “dominar” o uso do conceito de função, ou seja, de entender e lidar com os propósitos e limitações do conceito. Também conseguiram, ainda que de uma forma simples e intuitiva, abstrair conceitos como foi o caso do conceito de função.

O tipo de trabalho desenvolvido em grupo sugeria a partilha e a discussão como elemento essencial para o trabalho e para a aprendizagem. Na base desse trabalho está a comunicação e a crescente necessidade que se foi criando no seio dos grupos de comunicarem as suas ideias matemáticas ou que envolviam termos e conceitos matemáticos, proporcionando-lhes o desenvolvimento de competências ao nível da comunicação.

Os alunos foram confrontados com a necessidade de compreender, examinar e interpretar textos escritos e expressões matemáticas e de se expressarem com algum rigor e precisão de diferentes modos, (por exemplo, na descrição das viagens dos robots ou na construção e interpretação das tabelas de valores, diagramas, representações gráficas das funções e expressões analíticas). Este aspecto concerne à aptidão para discutir com os outros e partilhar as suas descobertas, ideias e sugestões através de uma linguagem, escrita ou oral, adequadas à situação.

Os alunos assimilaram e compreenderam rapidamente a simbologia característica das funções, certamente porque surgiu como resultante de uma necessidade e de reconhecida utilidade pelos alunos. Isto significa que os alunos trabalharam a sua competência ao nível da simbologia e do formalismo que se traduz na aptidão para manejar a linguagem e os sistemas formais da matemática (Niss, 2006). Os alunos revelaram-se capazes de compreender e aplicar a linguagem matemática formal associada às funções.

Durante a resolução das tarefas propostas os alunos fizeram uso de diversos instrumentos ou materiais que foram parte integrante e fundamental desse trabalho (robots, computadores, fitas métricas). Tratam-se de instrumentos e acessórios que os alunos foram aprendendo a manipular e ganhando grande aptidão e propensão para a sua utilização, a partir dos quais foram estabelecidas relações com aspectos da Matemática. Os alunos tomaram conhecimento da existência e das propriedades de diferentes instrumentos e de acessórios importantes para a actividade matemática, nomeadamente a que eles desenvolveram, tendo noção das capacidades e limitações dos instrumentos utilizados (como por exemplo dos robots), de modo a usá-los de forma eficaz, adequada e reflectida.

Os alunos tiveram a oportunidade de inferirem as expressões analíticas das situações reais verificadas com os robots, nos casos em que havia uma proporcionalidade directa e que se tratava de uma função linear, ou seja, procuraram e analisaram modelos matemáticos simples.

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Além destas competências, a análise dos dados sugere claramente que os alunos desenvolveram competência ao nível da cooperação (Fernandes, Fermé e Oliveira, 2007). Se na fase inicial o trabalho era essencialmente individual, com o decorrer das tarefas o trabalho de grupo pautou-se pela partilha, divisão de tarefas, discussão de propostas e validação de respostas. O fenómeno da cooperação ocorreu inclusivamente entre os grupos, que não hesitavam em partilhar descobertas e comparar resultados e soluções.

Em suma, estes alunos estiveram a trabalhar ao nível do desenvolvimento de competências nomeadamente, e de acordo com Niss (2006), competência em pensamento matemático, competência no tratamento de problemas que envolve a formulação e resolução de problemas matemáticos, competência de raciocínio matemático, que implica estar apto a raciocinar matematicamente, competência em instrumentos e acessórios que implica estar apto a fazer uso e estabelecer relações com instrumentos e acessórios matemáticos (neste caso concreto todos os artefactos usados na aula de matemática), competência de comunicação que envolve a comunicação em, com e sobre a matemática, competência de representação se supõe que o aluno esteja apto a manusear diferentes representações de entidades matemáticas (os alunos conseguiam entender e explicitar as relações entre representações diferentes de uma mesma função) e competência de cooperação.

Não podemos dizer que com este trabalho os alunos se tornaram matematicamente competentes porque a competência matemática não é algo que se desenvolva num conjunto de aulas e desenvolver competências exige tempo, continuidade do trabalho e envolvimento dos alunos em situações apropriadas. Mas podemos certamente afirmar que a metodologia de trabalho adoptada para o estudo de funções utilizando os robots como elementos mediadores da aprendizagem é um bom caminho para o desenvolvimento de competências matemáticas nos alunos (Fernandes, Fermé e Oliveira, 2007).

5.4. Recomendações

A investigação realizada aponta resultados claramente favoráveis à introdução dos robots como elementos mediadores entre os alunos e a Matemática, desde que devidamente enquadrados. O seu uso possibilitou que estes alunos apreendessem de forma significativa o conceito de função e reformulassem a percepção que tinham de outros, como o caso da proporcionalidade directa e da constante de proporcionalidade directa. Também lhes possibilitou trabalharem ao nível do desenvolvimento de um número considerável de competências matemáticas.

As aulas foram extremamente dinâmicas dado que os alunos trabalharam em grupo, podiam movimentar-se livremente pela sala de aula e organizaram o seu trabalho da forma que entenderam. A motivação e interesse dos alunos durante as tarefas foram grandes. As reacções obtidas no inquérito realizado depois da aplicação do teste de avaliação foram muito favoráveis e todos os alunos referiram que gostaram das tarefas propostas com os robots, mesmo aqueles que antes no mesmo inquérito responderam que não gostavam da escola nem das aulas. Os alunos consideraram as tarefas desenvolvidas “muito interessantes e divertidas” e “uma maneira nova de aprender” e de “se esforçarem”. Também se referem ao modo como os auxiliou a compreender os novos conteúdos: “Aprendi a trabalhar com robots e a programar e a fazer gráficos”;

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“Aprendi matérias novas e recordei matérias anteriores”; “Ajudaram a compreender melhor a matéria”; “Foi muito bom porque não pensava só, tinha os colegas do meu grupo para me ajudarem e acho que assim aprendemos com mais facilidade”; “Experiência muito divertidas e a matéria tornou-se mais fácil”; “Gosto de aprender a brincar e foi isso que aconteceu”.

Todavia, na última proposta de trabalho era possível observar, pela primeira vez, alguns alunos que manifestavam cansaço, desconcentrados e a dispersar mais facilmente por assuntos extra-aula. A este acontecimento não deve ser alheio o facto de as tarefas virem a ser aplicadas de forma ininterrupta, começando a banalizar-se e a tornar-se rotineiras, sucedendo o mesmo que com qualquer outro tipo de tarefas, demonstrando a importância da diversificação dos métodos de ensino.

Normalmente este tipo de tarefas são bem recebidas pelos professores mas teimam em não aplicá-las, talvez por falta de confiança ou devido ao facto das suas características contrastarem com a aula tradicional de matemática. Também é certo que se tratam de materiais muito improváveis na escola, mesmo num futuro próximo, mas a questão principal redunda não nos materiais utilizados mas no tipo de tarefas que se propõem aos alunos e no tipo de situações de aprendizagem que um professor está disposto a preparar e a experimentar. A aplicação da metodologia decorrente do tipo de tarefas desenvolvido, o ambiente de aula criado e a actividade desenvolvida pelos alunos, matemática e não matemática, contrastam abertamente com as características da aula tradicional. Quando confrontados com este género de factos, os professores justificam-se, geralmente, com o cumprimento do programa, relegando para último plano o desenvolvimento de competências matemáticas, quando é aceite que este último é um dos principais objectivos da educação matemática.

Na pesquisa e preparação efectuados no campo teórico deste trabalho, quando se tratou do resumir algumas investigações já efectuadas neste âmbito, ficou patente a grande propensão destes materiais para o desenvolvimento de projectos, em contexto de aula ou extra aula (Limkilde, 2000; Miglino, Lund e Cardaci, 2000; Chella, 2002; Colorado 2003a). Seria interessante aplicar e estudar a metodologia de projecto utilizando os robots, principalmente se se tratasse de um projecto interdisciplinar da Matemática com outras disciplinas como a Informática, a Física ou as Arte Visuais e Tecnológicas. Este tipo de trabalho permitiria aos alunos um maior contacto com os robots, permitindo-lhes potenciar as suas capacidades desde logo na construção com a idealização do robot mais adequado e capaz para determinada tarefa.

Ainda no que concerne a possíveis futuras investigações, perante as conclusões que emergiram deste estudo, fica de imediato a ideia de estender a presente investigação a outras áreas da Matemática e em diferentes anos de escolaridade, nomeadamente à geometria, à trigonometria ou às secções cónicas, estas duas últimas já apontadas, a par das funções lineares, como investigações com grande interesse por Limkilde (2000). Existem ainda outras áreas que não constam explicitamente dos programas do ensino básico ou secundário que se afiguram como promissoras para realização de investigações desta natureza como a lógica ou a introdução aos algoritmos.

5.5. Reflexão final

A realização de um mestrado em Matemática com especialização em Matemática para o Ensino em que se efectua uma investigação desta natureza traduz-se,

174

obrigatoriamente, numa experiência única e enriquecedora para o professor. Promove a reflexão acerca das suas práticas lectivas, essencialmente as de cariz metodológico, impulsionando o seu desenvolvimento integral enquanto agente educativo.

Do ponto de vista do professor (investigador), a investigação realizada encetou uma série de factores que Niss (2006) resume como um conjunto de competências que devem estar associadas à prática de um professor de Matemática: competência em currículos, competência pedagógica, competência na detecção de aprendizagem, competência na avaliação, competência de colaboração e competência de desenvolvimento profissional.

A competência em currículos pressupõe a capacidade de entender, analisar, avaliar e implementar os currículos da Matemática e a competência pedagógica refere-se às habilidades de propor, planear, organizar e realizar o ensino da Matemática, criar situações de ensino/aprendizagem e seleccionar, descobrir e avaliar materiais pedagógicos. Nestas enquadra-se a preparação e elaboração das tarefas com “novos” materiais pedagógicos, no caso, os robots, e posterior avaliação das suas potencialidades como material pedagógico no tema em questão.

Os registos e as observações realizados das tarefas propostas, a análise e descrição detalhada da actividade desenvolvida pelos alunos e a tentativa de compreensão dos seus comportamentos, percepções e experiências, integram-se no desenvolvimento da competência na detecção de aprendizagem, que, segundo Niss (2006), diz respeito às capacidades de descobrir, analisar e interpretar a aprendizagem dos alunos e determinar o desenvolvimento e progressos de cada um.

A competência na avaliação concerne à identificação, avaliação, caracterização e comunicação dos resultados da aprendizagem e das competências dos alunos, informando e ajudando-os individualmente, também incluindo o conhecimento, selecção, construção, análise crítica e implementação de diferentes formas e instrumentos de avaliação. Após a preparação e elaboração das tarefas tornou-se claro que a avaliação tradicional, o típico teste escrito de tempo limitado, não estaria de acordo com a sequência de aprendizagens pretendidas.

Este tipo de investigação só é possível com a anuência dos encarregados de educação dos alunos e a colaboração de colegas, da Direcção Executiva e, inclusivamente, do técnico de informática e outros auxiliares da escola, integrando a denominada competência de colaboração, definida como a capacidade de colaboração do professor com os colegas e outros intervenientes no processo educacional.

Por fim, a competência de desenvolvimento profissional traduz-se na capacidade de desenvolver a própria competência como professor de Matemática “participando de actividades de desenvolvimento profissional, tais como cursos em serviço, pesquisa e desenvolvimento em projectos e conferências; reflectir sobre o seu próprio ensino e necessidade de desenvolvimento; manter-se actualizado sobre novos desenvolvimentos e tendências na pesquisa e na prática” (Niss, 2006, p. 40). No meu entendimento, esta poderia constar de uma definição de Mestrado em Matemática com especialização para o Ensino.

Todavia, não se pretende afirmar que a realização deste trabalho se traduziu na aquisição plena destas competências por parte do professor, mas, certamente, contribuiu de forma muito relevante para o desenvolvimento de cada um dos aspectos sugeridos e, consequentemente, para o desenvolvimento destas.

175

176

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Anexos

Anexo 1

Requerimento à Presidente da Direcção Executiva

Exma. Sr.ª Presidente da Direcção Executiva da Escola Básica dos 2º e 3º Ciclos do Caniçal

Rui Miguel Novais Oliveira, Professor de Matemática desta escola, requer a V.

Ex.ª autorização para proceder ao registo áudio e vídeo de algumas aulas de Matemática

que o mesmo leccionará no 2º período, nas turmas 2 e 3 do 8º ano (aulas a decorrer às

segundas-feiras – das 8:15 às 11:35 - e quartas-feiras - das 8:15 às 9:45 e das 11:45 às

13:20). Os registos de áudio e vídeo visam a obtenção de dados num estudo relacionado

com a utilização de estratégias baseadas nas novas tecnologias, nomeadamente a robótica, que

promovam melhores aprendizagens na aula de Matemática. O estudo surge no âmbito da

elaboração da dissertação de Mestrado em Matemática para o Ensino do Departamento

de Matemática e Engenharias da Universidade da Madeira.

Oportunamente, será solicitado aos Encarregados de Educação as devidas

autorizações para a participação dos seus educandos neste estudo.

Caniçal, 6 de Dezembro de 2005

Pede deferimento

(Rui Oliveira)

Anexo 2

Autorização do Encarregado de Educação

Escola Básica do 2º e 3º Ciclos do Caniçal

Ano Lectivo 2005/06 Caro Encarregado(a) de Educação

O Professor de Matemática do seu educando pretende realizar um estudo relacionado com a utilização de estratégias de ensino/aprendizagem baseadas nas novas tecnologias, nomeadamente a robótica, que promovam melhores aprendizagens na aula de Matemática e a diminuição do insucesso escolar. O estudo insere-se na elaboração de uma dissertação referente ao 2º ano do Mestrado em Matemática para o Ensino da Universidade da Madeira.

Para a realização do estudo e elaboração da dissertação, o Professor necessita do contributo do seu educando. Por esse motivo, pede a sua autorização para a participação do seu educando no estudo e contribuição para a dissertação através da resposta a inquéritos, questionários ou entrevistas e de filmagens e/ou gravação de aulas em que participa. Os dados recolhidos terão um carácter confidencial, servindo apenas para a fundamentação da parte empírica da dissertação, pelo que não serão difundidos.

Atenciosamente,

O Professor de Matemática A Presidente da Direcção Executiva

(Rui Oliveira) (Juvelina Pereira)

--------------------------------------------------- Cortar por aqui------------------------------------ Eu, __________________________________________________ Encarregado(a) de Educação do(a) aluno(a) _________________________________________, n.º ____, da turma ____ do 8º ano, autorizo o meu educando a contribuir com a sua participação para a dissertação de mestrado do Professor de Matemática.

Caniçal, ___ de Dezembro de 2005 Assinatura do Encarregado de Educação

Anexo 3

”Tarefa Introdutória”

Departamento de Matemática e Engenharias

2ª Parte

Tarefas Agora que construíram o vosso robot Tanque, devem programá-lo de forma que cumpra correctamente as tarefas propostas. Para tal, devem usar o ambiente de programação RCX Code que dispõem no vosso computador e que vos permite comunicar com o robot. Para acederem ao ambiente de programação RCX Code devem seguir os seguintes passos:

1. Fazer um duplo clique em Robotics Invention System 2.0; 2. Optar por Run; 3. Seleccionar a opção Tarefa e clicar em Enter; 4. Entrar em Program; 5. Seleccionar Pick A Robot; 6. Seleccionar O Tanque e clicar em Program This Robot;

BOM TRABALHO e…. MUITO DIVERTIMENTO!!!

Tarefa 1

O robot Tanque terá de avançar 5 segundos, abanar 3 vezes

e, por fim, emitir um sinal sonoro.

DROIDE

Os Robots como Elementos Mediadores entre o Aluno e a Matemática/Informática

Conseguiram resolver a tarefa?

Consideram que a tarefa foi:

Muito fácil Fácil Mais ou menos

Difícil Muito Difícil

Sim.

Não. Porquê? _________________________________________________

_____________________________________________________________

Tarefa 2

O robot Tanque deverá realizar uma trajectória em forma de quadrado.

Conseguiram resolver a tarefa?

Sim.

Não. Porquê? _______________________________________________

___________________________________________________________

Consideram que a tarefa foi:

Muito fácil Fácil Mais ou menos

Difícil Muito Difícil

Tarefa 3

3.1 Primeiro, terão construir o “pára-choques

inteligente”, conforme as instruções, e montá-lo no robot Tanque.

3.2 Deverão programar o robot Tanque de modo que seja capaz de realizar

um trajecto semelhante ao da figura, evitando os obstáculos e/ou ajustando a sua trajectória sempre que necessário.

Conseguiram resolver a tarefa?

Sim.

Não. Porquê? _________________________________________________

_____________________________________________________________

Consideram que a tarefa foi: Muito fácil Fácil Mais ou menos

Difícil Muito Difícil

As seguintes questões destinam-se ao melhoramento da proposta de trabalho e não servirão como vossa avaliação. Por favor, respondam com sinceridade. Na próxima semana, quando estiveres com os teus colegas, vais descrever esta experiência. Conta-nos o que lhes dirás (o que aprenderam, o que gostaram mais, o que gostaram menos, o que correu melhor, o que correu pior e sugestões para ajudar-nos a melhorar as tarefas, etc.)

Obrigado pela participação!

Anexo 4

Tarefa 0 – “Revisões”

Referencial cartesiano

Para desenhar um referencial cartesiano: � Traça-se duas rectas orientadas perpendiculares

� Eixo horizontal (dos xx) é o eixo das abcissas � Eixo vertical (dos yy) é o eixo das ordenadas

� A intersecção das duas rectas é marcada como o ponto O – origem do referencial – e escolhe-se uma unidade de comprimento para graduar cada recta.

Quadrantes

Cada uma das quatro partes em que o plano fica dividido pelos eixos cartesianos chama-se quadrante.

Coordenadas de um ponto A cada ponto do plano corresponde um par de valores (x;y) que se designam por coordenadas, onde x é a abcissa e y a ordenada.

Exemplo: Ponto ���� A (- 3;2)

Coordenadas ���� (- 3;2) Abcissa ���� – 3 Ordenada ����2

ESCOLA BÁSICA DO 2º E 3º CICLOS DO CANIÇAL MATEMÁTICA – 2005/06

Capítulo: FunçõesFunçõesFunçõesFunções

Revisões Antes de iniciares a resolução da tarefa, recorda alguns conceitos importantes.

Tarefa 0

1. Na cartolina desenhem um referencial cartesiano.

2. Observem a seguinte figura. A unidade de comprimento considerada para graduar este referencial cartesiano é o comprimento percorrido pelo robot durante meio segundo.

2.1. Registem as coordenadas de todos os pontos assinalados na figura. 2.2. O vosso robot tem acoplado um lápis que traçará na cartolina a sua trajectória.

Programem o vosso robot de forma que desenhe a figura a partir do referencial anteriormente desenhado. O ponto de partida do robot deverá ser a origem do referencial cartesiano.

Anexo 5

Tarefa 1 – “Noção de Função”

ESCOLA BÁSICA DO 2º E 3º CICLOS DO CANIÇAL MATEMÁTICA – 2005/06

Capítulo: FunçõesFunçõesFunçõesFunções

Tarefa 1

1. Foi pedido ao Pedro e ao João que imaginassem e desenhassem um gráfico que representasse uma viagem do robot a partir de um determinado ponto de partida. Apresentaram os seguintes gráficos:

Pedro

João

Estudem os gráficos apresentados pelo Pedro e pelo João. Descrevam a viagem do robot relativamente à sua distância ao ponto de partida (não é necessário indicar valores da distância).

Ponto de Partida

Tentem programar o robot de forma que realize as viagens propostas. Experimentem e, se possível, confirmem os resultados. Escrevam os programas que eventualmente construíram.

Conseguiram que o robot realizasse as viagens propostas? Apresentem as dificuldades que encontraram.

Qual a condição necessária para que um gráfico represente uma “viagem possível” de realizar?

Completa os diagramas de acordo com os dados dos gráficos sugeridos pelo João e pelo Pedro.

João

Pedro

Tendo em atenção as duas alíneas anteriores (1.4 e 1.5), procura justificar a afirmação:

“A correspondência apresentada pelo Pedro é uma função. A correspondência

0. 2. 4. 6. 9. 12. 14. 15.

.

.5

.

.

.

Tempo Distância

0. 2. 4. 6. 10. 12. 14. 16.

.

.5

.

.

.

Tempo Distância

do João não é uma função”.

2. Regressemos à viagem proposta pelo Pedro que já vimos ser uma função.

Indica alguns objectos da função proposta pelo Pedro.

Completa os espaços:

No instante 2 segundos o robot estava a _________ unidades de comprimento do

ponto de partida, ou seja, ___________ é a imagem do objecto _____________.

10 unidades de comprimento (distância ao ponto de partida) é a ____________

do ____________ 8 segundos (tempo) e representa-se por ( ) ________ =f .

O robot iniciou a viagem do ponto de partida (a distância é 0). Qual foi a maior distância a que o robot esteve do ponto de partida?

Consegues determinar o contradomínio desta função?

Anexo 6

Ficha de trabalho – I

ESCOLA BÁSICA DO 2º E 3º CICLOS DO CANIÇAL MATEMÁTICA – 2005/06

Ficha de Trabalho

1. Considera as seguintes correspondências:

1.1. Quais destas correspondências são funções? Justifica.

1.2. Para as que forem funções, indica o domínio e o contradomínio.

2. Considera a função f, de D em F, definida pelo diagrama:

2.1. Indica: 2.1.1. O domínio.

2.1.2. O conjunto de chegada;

2.1.3. O contradomínio.

2.1.4. A imagem do objecto 5.

2.1.5. O objecto que tem imagem 0.

2.2. Completa:

2.2.1. ____)4( =f .

2.2.2. 3(____) −=f .

2.3. Representa a função por meio de um gráfico cartesiano.

3. Observa a correspondência representada no gráfico. 3.1. A correspondência é uma função.

Justifica.

3. 4. 5. 6. 7.

.- 3

.- 2

.- 1

.0

.1

.2

f D F

3.2. Indica o domínio e o contradomínio. 3.3. Considerando que se trata da função f, completa:

3.3.1. ____)1( =f

3.3.2. 3(__) =f

3.3.3. ____)4( =f

3.3.4. 2(__)(__) == ff

4. 28Qual destes gráficos descreve melhor a distância percorrida por um ciclista numa

corrida de contra-relógio? Na parte inicial da prova, ele teve de subir uma grande montanha. Justifica a tua resposta.

28 Retirado de MAT789 Inovação Curricular em Matemática, APM, 1997.

Anexo 7

Tarefa 2 – “Modos de representação de uma função”

ESCOLA BÁSICA DO 2º E 3º CICLOS DO CANIÇAL MATEMÁTICA – 2005/06

Capítulo: FunçõesFunçõesFunçõesFunções

Tarefa 2

1. Observa a seguinte figura, semelhante à que dispões na cartolina.

• A circunferência representada

na cartolina tem 35 cm de raio;

• O robot deverá partir do ponto

A e realizar uma volta

completa;

• O robot está programado para

seguir a pista e deverá fazê-lo

no sentido contrário ao dos

ponteiros do relógio;

• O robot parará em todos os

pontos de forma que possas

determinar a sua distância ao

ponto A;

• O robot prosseguirá para o ponto seguinte quando pressionares o sensor de

toque.

Seja x o ângulo que o robot descreveu (em relação à origem do referencial)

desde a saída do ponto A e d a distância do robot ao ponto A.

1.1 Organiza uma tabela de valores onde conste os valores dos ângulos (x)

correspondentes aos pontos assinalados na cartolina e a distância do robot (d) ao ponto A.

1.2 Representa os dados num diagrama. Justifica a afirmação: “A correspondência é uma função”.

1.3 Indica o domínio, o contradomínio, a variável independente e a variável dependente da função.

1.4 Marca os pontos correspondentes aos pares de valores da tabela num referencial cartesiano. Une os pontos.

Os pontos estão alinhados? Que tipo de gráfico te sugere a representação?

1.5 Atendendo às alíneas anteriores, qual dos gráficos seguintes pode ser o da

função d? Apresenta o teu raciocínio.

Anexo 8

Tarefa 3 – “A proporcionalidade directa como função”

ESCOLA BÁSICA DO 2º E 3º CICLOS DO CANIÇAL MATEMÁTICA – 2005/06

Capítulo: FunçõesFunçõesFunçõesFunções

Tarefa 3

1. Vamos comparar a velocidade de dois robots: Todo-terreno e Tanque. Provavelmente a primeira ideia que nos ocorre é fazer uma corrida com os robots para descobrir o mais rápido, tal como mostra a figura. No entanto, não é certamente a melhor forma de determinar os valores das velocidades e compará-las correctamente, nem tão pouco a melhor forma de apresentar os resultados a outras pessoas.

1.1. Através da experimentação do Todo-terreno (programação, teste e registo de dados) completa a seguinte tabela:

1.2. Calcula o

quociente entre o espaço percorrido e o tempo gasto.

1.3. As grandezas “espaço percorrido” e “tempo” são directamente proporcionais? Justifica.

1.4. Indica a constante de proporcionalidade. Nesta situação, o que representa a

constante de proporcionalidade? (Recorda da Física que e

vt

= em que v

representa a velocidade do robot, e o espaço percorrido e t o tempo gasto no percurso).

1.5. Comenta a afirmação: “A correspondência entre o espaço percorrido pelo robot e o tempo gasto a percorrê-lo é uma função”.

Tempo

(segundos)

1 3 6

Espaço percorrida Todo-terreno

(cm)

Tanque

1.6. Atendendo às alíneas anteriores, completa:

Espaço percorrido = _______ x tempo

A função pode ser definida pela expressão analítica ___e t= × .

1.7. Representa num referencial cartesiano os pontos que têm por abcissa o tempo

e por ordenada o espaço percorrido. Une os pontos e verifica que ficam alinhados entre si e com a origem do referencial.

1.8. Repete todo o processo para o Tanque. Representa a função obtida no

referencial cartesiano feito na alínea anterior.

1.9. Observa os gráficos obtidos. 1.9.1. Qual é o tipo de gráfico associado a uma proporcionalidade directa? 1.9.2. Qual é o objecto cuja imagem é o valor da constante de

proporcionalidade?

1.9.3. Quando a constante de proporcionalidade aumenta que variação se verifica no gráfico?

Anexo 9

Tarefa 4 – “Função afim”

ESCOLA BÁSICA DO 2º E 3º CICLOS DO CANIÇAL MATEMÁTICA – 2005/06

Capítulo: FunçõesFunçõesFunçõesFunções

Tarefa 4

1. Imagina agora que o robot parte de uma posição adiantada à linha de partida. Considera que o adiantamento é de 5 cm.

1.1. Através da experimentação do Todo-terreno (programação, teste e registo de dados), completa a seguinte tabela:

1.2. As

grandezas “espaço percorrido” e “tempo” são directamente proporcionais? Justifica.

1.3. Representa os pontos sugeridos na tabela num referencial cartesiano.

1.4. Verifica que os pontos estão alinhados entre si e une-os. Os pontos estão alinhados com a origem do referencial?

1.5. Em que ponto é que a recta que traçaram intersecta o eixo das ordenadas?

1.6. Atendendo aos dados obtidos, prevê e traça no mesmo referencial cartesiano a função para o caso do robot ter saído do ponto de partida. O que concluis?

1.7. Tendo em atenção as duas alíneas anteriores, escreve as expressões

analíticas que definam as funções relativas às situações:

1.7.1. Do robot partir do ponto de partida.

Tempo - t (segundos)

1 3 6

Espaço percorrido - e (cm)

1.7.2. Do robot partir adiantado 5 cm do ponto de partida.

1.8. Qual seria a expressão analítica da função caso o robot partisse atrás do

ponto de partida 20 cm?

Anexo 10

Ficha de trabalho – II

ESCOLA BÁSICA DO 2º E 3º CICLOS DO CANIÇAL MATEMÁTICA – 2005/06

Ficha de Trabalho – II

1. Uma revista sobre animais de estimação apresentou a seguinte tabela que

relaciona a idade de um cão com a idade humana.

Idade do cão (anos) 0 1 2 3

Idade humana equivalente (anos) 0 12 19 26

1.1. A correspondência é uma função. Justifica.

1.2. Indica o domínio e o contradomínio.

1.3. Representa graficamente a função.

2. O António, o Sérgio e o João construíram três robots diferentes. Testaram-nos e a

partir dos dados recolhidos elaboraram os seguintes gráficos:

2.1. Qual é o robot mais rápido? E o

mais lento?

2.2. Qual é a velocidade de cada um

dos robots?

2.3. Determina quanto tempo leva cada

um dos robots a percorrer 520 cm?

2.4. O tempo (t) e a espaço percorrido

(e) são duas variáveis. Qual é a

variável independente? E a

dependente?

2.5. Escreve as equações de cada uma das rectas que contêm os pontos dos

gráficos e indica o seu declive.

2.6. São funções de proporcionalidade directa? Justifica.

3. Considera as funções definidas por:

23)(23)(3)( −−=+−=−= xxhxxgxxf

3.1. Representa no mesmo referencial cartesiano as três funções. 3.2. Qual é a posição relativa das três rectas?

3.3. Qual é o declive de cada recta? E a ordenada na origem?

3.4. Determina )4(),4( gf e )4(h .

3.5. Determina x tal que 11)( =xh .

4. 29Em Janeiro, o Vítor, depois de ter vindo do

barbeiro, decidiu estudar o crescimento do seu cabelo, registando todos os meses a sua medida. O gráfico seguinte representa o crescimento do cabelo do Vítor desde o mês de Janeiro (mês 0) até ao mês de Junho (mês 5).

4.1. Completa a tabela seguinte de acordo com os dados representados no gráfico.

4.2. Em cada mês, quantos centímetros cresceu o cabelo do Vítor?

4.3. Assinala com X a expressão que representa o comprimento do cabelo do Vítor, em cada um dos seis primeiros meses:

□ MC 4,1= □ MC 4,13 += □ MC 34,1 += □ MC 3=

29 Prova de aferição de Matemática – 2004

Anexo 11

Teste de Avaliação

Escola Básica do 2º e 3º Ciclos do Caniçal

MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática

Teste de Avaliação Fevereiro de 2006

Nome: ________________________ N.º ___ Turma: ___ 8º Ano

Professor: ________________

Classificação

Enc. Ed. ________________

1. Observa os seguintes gráficos:

Qual deles representa uma função? Justifica.

2. Na reprografia de uma escola era possível encontrar uma tabela semelhante à seguinte que relacionava o custo (em cêntimos) com o número de fotocópias.

2.1. Relativamente a esta função indica:

2.1.1. O domínio e o contradomínio; 2.1.2. Variável independente e variável dependente; 2.1.3. A imagem do objecto 20;

2.1.4. O objecto cuja imagem é 20.

2.2. Comenta a seguinte afirmação: “Esta correspondência é uma função de proporcionalidade directa”.

2.3. Designando por x o n.º de fotocópias e por y o custo, representa a função através de uma expressão analítica.

2.4. Se um aluno comprar 13 fotocópias, quanto terá de pagar? (Apresenta os cálculos que

realizares).

N.º de fotocópias 5 10 15 20 Custo (cêntimos) 20 40 60 80

Procura resolver todas as questões. Não respondas à pressa. Se houver alguma questão que não consigas terminar ou gostasses de completar melhor, terás a

oportunidade de fazê-lo mais tarde na 2ª fase da ficha de avaliação.

1 1 1 1

(B) (C) (D) (A)

3. A função f é definida por ( ) 3 1f x x= − + .

3.1. Determina (1)f e ( 1)f − .

3.2. Determina x tal que 13)( =xf .

3.3. Representa graficamente a função.

3.4. Sem realizar cálculos ou tabelas e tendo por base o gráfico da função f (alínea

anterior), traça no mesmo referencial o gráfico correspondente á função definida por

23)( +−= xxf . Explica o teu procedimento.

4. O gráfico refere-se a uma viagem realizada por um robot. A distância é relativa à linha de partida. 4.1. O

Linha de Partida

Distância

robot partiu da linha de partida? Justifica. 4.2. Quanto tempo demorou a viagem do robot?

4.3. Qual foi a maior distância a que o robot esteve em relação à linha de partida?

4.4. Imagina que um amigo teu te pedia para lhe descreveres com rigor a viagem do robot. Diz como o farias.

5. Define através de uma expressão analítica cada uma das funções representadas pelos gráficos seguintes. Apresenta o teu raciocínio.

Bom trabalho!

(B)

(C)

(A)

Anexo 12

Inquérito

Inquérito

(Escola) 1. Gostas da Escola? Gostas de andar na Escola? 2. Consideras a escola importante? Porquê?

(Matemática)

3. O que é para ti a Matemática? (O que pensas sobre a Matemática?) 4. Gostas de Matemática? Porquê? 5. Sempre tiveste esta opinião relativamente à Matemática? 6. (Se houve mudanças) O que provocou essa (s) mudança (s)?

(Aula de Matemática)

7. Descreve o que é para ti uma boa aula de Matemática. 8. Quais são os aspectos que gostas mais de uma aula de Matemática? E que gostas

menos? (Tarefas desenvolvidas)

9. Qual é a tua opinião sobre as tarefas desenvolvidas com os robots na aula? 10. Que aspectos consideras mais positivos nessas tarefas (do que gostaste mais)? E

aspectos negativos? 11. Quais foram as principais dificuldades que encontraste na realização das tarefas?

(Conclusões)

12. Em que é/Como é que os robots te ajudaram na aula e na Matemática? 13. Se um amigo teu te pedisse para lhe contares como foram as aulas de

Matemática com os robots, o que lhe dirias? 14. Queres referir mais alguma coisa que consideres importante? (Espaço aberto

para os alunos).