A Série e a Transformada de

Fourier Discretas

A Transformada de Fourier de seqüências periódicas

Vimos que seqüências podem ser escritas como uma soma ponderada de exponenciais complexas por meio da T.F. inversa na forma:

Se x[n] for uma seqüência periódica com período N, ou seja:

Observe que a freqüência angular correspondente a N é

Portanto, só pode ter componentes com freqüências que sejam múltiplos inteiros de ou seja,

Para K>N as freqüências começam a se repetir.

Pode-se escrever então:

Para tal conjunto de seqüências viu-se anteriormente que a T.F. de Fourier é formada por impulsos:

A expressão anterior mostra uma T.F. que contem informação redundante, uma vez que o somatório é infinito em K.

Para descreve-la completamente basta conhecer o valor de N e de a0,a1,...,aN-1. Por convenção, define-se como a série de Fourier discreta da seqüência periódica:

Exemplo gráfico:

A Série Discreta de Fourier - DFS(do inglês, Discrete Fourier Series)

Os impulsos de se repetem periodicamente com período .

Os coeficientes da DFS se repetem periodicamente com período N.

Cálculo dos coeficientes:

Portanto:

Exemplo:

Neste Exemplo N=10.

Resultado Gráfico

Relação entre a DFS e a TF de um período de .

Claramente, conclui-se que:

Convolução Periódica

A Transformada Discreta de Fourier - DFT (“Discrete Fourier Transform”)

Sabemos que:

Podemos escolher

Analogamente ao caso da DFS, pode-se mostrar que DFT inversa pode ser calculada por:

Propriedade: Deslocamento circular

Situação de equivalência entre deslocamento circular e deslocamento circular.

Convolução Circular

Convolução Circular: Definição

Cálculo da saída de SLID através da DFT

A Transformada Rápida de Fourier - FFT (“Fast Fourier Transform”) - Dizimação no tempo.

Dizimação no Tempo: implementação do primeiro estágio

FFT: Segundo estágio -

FFT: terceiro estágio -

Implementação da convolução linear: superposição com soma.

Implementação da convolução linear: superposição com armazenagem.