A Série de Fourier

Prof. Luis S. B. Marques

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE

DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica

Série trigonométrica de Fourier

Um sinal periódico x(t) com período To possui a propriedade:

Vamos considerar um sinal f(t) constituído por senos e cossenos e todas as suas harmônicas, incluindo a harmônica zero.

Série trigonométrica de Fourier

Série trigonométrica de Fourier

Coeficientes da série de Fourier

Série de Fourier – Forma compacta

Quando x(t) é real pode-se utilizar a forma compacta

A Série de Fourier – Forma compacta

Exercício: Determine a série trigonométrica compacta de Fourier do sinal periódico x(t).

A Série de Fourier – Forma compacta

Exercício: Determine a série trigonométrica compacta de Fourier do sinal periódico x(t).

Série trigonométrica de Fourier

Exercício: Determine a série trigonométrica geral de Fourier do sinal periódico x(t).

Série exponencial de Fourier

Podemos expressar a série de Fourier em termos de exponenciais. Um sinal periódico x(t) com período To pode ser descrito por:

A série exponencial de Fourier é bem compacta e a expressão para obter os coeficientes também.

Série Exponencial de Fourier

Exercício: Determine a série exponencial de Fourier do sinal periódico x(t).

Existência para a Série de Fourier

Para a existência da série de Fourier de um sinal periódico x(t) os coeficientes a0, an e bn devem ser finitos. Dessa forma, a existência desses coeficientes é garantida se x(t) for absolutamente integrável em um período.

A convergência da série de Fourier de um sinal periódico x(t) é garantida, na média e não para todo t, se x(t) possui energia finita em um período.

Existência para a Série de Fourier• Para a existência da série de Fourier é

suficiente que a função f(t) satisfaça as condições de Dirichlet.

• Qualquer sinal que pode ser gerado na prática satisfaz as condições de Dirichlet.

Papel do espectroConsidere a série de Fourier abaixo para um sinal periódico x(t) com forma quadrada.

Considere a influência apenas da componente cc.

Considere agora a influência da fundamental e da componente cc.

Considere agora a influência da fundamental, terceira e da componente cc.

Considere agora a influência da fundamental, terceira, quinta harmônicas e da componente cc.

Considere agora a influência até a décima nona harmônica

A análise anterior mostra um aspecto interessante da série de Fourier. As baixas frequências afetam o formato em larga escala, realizando uma aproximação para a forma de onda original. As altas frequências determinam a estrutura fina, ou seja, quanto mais bruscas as variações em x(t) maior a necessidade de harmônicas de ordem elevada.

Papel do espectro

Papel da FaseConsidere a série de Fourier abaixo para um sinal periódico x(t) com forma dente de serra.

Os 3 primeiros componentes da série possuem uma fase tal que antes da descontinuidade eles são positivos e tornam-se negativos logo após a descontinuidade.

Papel da fase

Essa mudança de sinal das harmônicas permitem uma boa aproximação para a descontinuidade que ocorre em t=1.

O Papel do espectro é de fundamental importância para que se obtenha uma rápida mudança na forma de onda da função representada.

A síntese de qualquer sinal x(t) é obtida util izando a combinação adequada das amplitudes e das fases de várias senóides. Essa combinação única é a série de Fourier.

A série de Fourier

O Fenômeno Gibbs

O Gráfico acima com as 19 harmônicas é muito próximo da função original x(t), porém, exibe um sobre sinal d e v i d o a o c o m p o r t a m e n t o o s c i l a t ó r i o d e a p r o x i m a d a m e n t e 9 % n a p r o x i m i d a d e d a descontinuidade. Independente da quantidade de harmônicas o sobre sinal permanece em 9%. Esse comportamento perturbou muitos matemáticos até que Josiah Williard Gibbs, matemático e físico, inventor da análise vetorial, forneceu uma explicação.

O Fenômeno Gibbs

Esse comportamento poderia desacreditar a série de Fourier. Entretanto, a potência do erro tende a zero quando o número de harmônicas tende ao infinito. Portanto, a série pode diferir de x(t) em alguns pontos, mas converge na média.O Fenômeno de Gibbs está presente apenas quando existe um salto de descontinuidade em x(t). Na ausência desse salto de descontinuidade, usando apenas N termos é possível notar a ausência do fenômeno. Veja a figura a seguir:

Ausência do Fenômeno Gibbs

Teorema de ParsevalA série trigonométrica de um sinal x(t) é dada por:

Cada termo do lado direito é um sinal de potência:

A potência de um sinal periódico é igual à soma das potências de suas componentes de Fourier.

Exercício: Considere o Sinal abaixo. Verifique o teorema de Parseval sabendo que:

Resposta de um sistema LCIT a entradas periódicas

A resposta y(t) é obtida na forma da série exponencial de Fourier e portanto um sinal periódico com o mesmo período da entrada.