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    I '> O. q ue p od e s er u rn c omp ri me nt o re al . u rn t emp o d e v ia gem. u rn c us ro . uma re si sren ci a e lei ri ca [ se ( i, j ) f or u rnl::lIId lltor em urn circuito ], e assim por diante. 0 algoritmo de Dijkstra (Secao 23. 3) ou. quando tcdo s os t ii : :: L, 01l1~()rihIlO de Moore (Se9ao 23.2) sao a propriados para esses problemas. '" . ~.

    Uma arvore e urn g ra fo c onec ta do e nao pos su i c ic lo s ( tr aj er or ia f ec ha da s] . A s a rvor es t er n uma gra nde lmportan~iapni tica . l ima arborescencia em u rn g ra fo G e uma a rvor e c on te ndo tados os verti~~s de G. Se ~s arestas de G te~comp ri men to s. p od emo s d et ermi na r a a rb or es cen ci a mi nima. p ara a q ual 0 somatono do s compnmen to s de todas asarcxtas c minimo. usando para isso 0 a lgor itmo de Kruskal ou 0 algoritmo de Prim (Secocs 23.4. 23.5). ,

    Uma re de (S eca c 2 3. 6) I Su rn d ig ra fo n o q u al ca da a re st a (i.j) tern uma capacidade c ij > 0 I = max imo tUXQ pos~lvelao longo de (i, j) J. e em urn venice. ch ama do d e fonte s , p ro du z- se u rn f lu xo q ue es c? a a o l an go . da. s a res ta s at e u rnvertice t. ch amad o d e sorvedouro ou alvo, onde 0 f lu xo d es ap are ce . 0 p ro bl ema co ns rs te em ma xr mi za r 0 f luxo , porexemp!o. aplicando-se 0 a lg ori tmo d e Ford-Fulkerson (Se:"r~a_s al'lica~6es emengenharia, cexe ll 1p lo , nos t es tes de rna te ri ai s, no control e de processos produti vos, no control e da quali dade de-fab~i .

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    CAPITULO 24Ana lise de Dados .Te oria d a Pro Qa qU_ i9 9.9 _~Comecaremos este capitulo mostrando ( . 0 _ 1110manipular dados 1!~;!!lQQ.-'ly!J)=.Q.u.gr@co~s, ,.".01110~~es.ext ra ir i nforma '> .6ei !(p. ex. . medias de t amanhos, d ispers ii o de dados e tc .) Se eS~0_~ sao ~nfl~1ospel~-;:;;;-~s;"::Po~ f:>t

    89 84 87 81 89 86 91 90 78 89 87 99 83 89,IS sao II = 14medidas da tensio(em ~g!I~~. ' )d!efolha.sde ae ( po r e xemp lo . u rn arame). (N . T )"ambem chamados de graficos de pizza . (N. T.)

    Capitulo 24: Analise d e Da dos . T e o r ia d a P r o ba b il i da d e 175

    Ramoe-tolhasEst a e uma das f orma s ma is s imp le s e tambern rna is u te i s d e r ep re se nt ar d ados . A F ig. 5 06 most ra e ss a r ep re -s en ra cao pa ra o s v alo re s d ados em (I), que var iam de 78 a 99; veja (2), Divid irnos esses mimeros em 5 grupos,75-79,80-84,85-89,90- 94,95-99, Os ruimeros inteiros nas casas das dezenas s ao 7, 8, 8, 9. 9. Eles formama ramo na Fig , 506 , A primeiraj i, lha e 8 (represen tando 0 nume ro 78) . A s egunda folh a e 134 ( re pr es en ta ndo o smimeros 81, 83, 84), e assim por diante. CA,'r f ! 1 - _ . Di",_m_Q~91!.~.().!!~!!'E()_~!: ~!Z.~5.1l!LUln ,,~I!,_r_ll~()rr~E._suafr_e!,orianto, 78 ten_lj!eqii~~~a.~Jlsuly!.a.J, 0 valor ~tem_! j-"gii~I1! ~~ etc. A col u na na extr emidade esquerda da Fig. 506 mostr a asfr~'li iel!!' i.~_a"solutas acumu_ladas, ou seja, a sOIl1~~as fr~qlienSi"s absolutas dos valores ate.a l inha dessa folha,Assim,.~ numero 4 n~s"9u~d".Ii,~h~ eS'lue~{ji.rtl()it.':"..'lue ~.po~L:U:.!l!!,1}',"-'!l"_~i,inc14s.iv.~ 0ruimero II:.fnalinha s eg u in te m o st ra que ...~i_._.1_. 1~J .().!".s.....ao..c:x.c.,,?e.1I

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    . .. .. . _ _ . .. _ - = .: - -: _ :: . - : .: .: :" - ~ "~ ' ~ - - -- - -- - -- - -- - -- - -- - --\

    ( )s d iagrarnas de cai xa sao par ti cu la rmente t it ei s quando fazemos cornparacoes. Por exemplo , a F ig . 508 mostrao s d ia gr amas d e c ai xa ?os con ju nt os d e d ados (I) eel) 91 89 93 91 87 94 92 85 9t 90 96 93 89. : F t > . . . " . . . . ' . " . . . . . . . .(conxistindo em It ::::13 valores}.'?Ordena~_o esses numero~,obte~~/'_f _(4) 85 87 89 89 90 91 91 9 t 92 93 93 94 96("'"sao de ruptura, como antes). Do grafico, vem()s de imediato '1u.~3',_c, !i :

    100

    95q,

    90 q,q3 q,q,85 q,80

    75Conjunto de dados (1) Con junt o dedados (3)

    Fig. 508. Diagramas de caixa dos conjuntos de dados (1) e (3)Para os dados de (I), t emos que AIQ = 5, q, = 84, !L~. 89. Log_o,consideraremos como valores .discrepantes

    o s que for cr n r neno re s que 84 -73 qu maior~s. que89.:,"),5.L~~I1!!!!Jl.I!.!'_9..9.~J!!!l..Y!!lQu!ic.!'l;I?~Illi'. [veja (2')),Ja os dados de (3) nao ~presenta",: . valores discrepantes, como se pode facilmente verificar.

    Media, Desvio-padrao. VarianciaAmedi ana e osquart is sao fac ilment e obt idos por ordenacao e contagem, pra ti cament e d ispensando-se os cal cu los,P or em , e le s ~: i. o fo rn ec er n in fo rmaco es comp le ta s s ob re os d ados : e po ss iv el a lte ra r o s v alo re s dos d ados s emalterar a mediana e algosimilar ocorre com'osquartis." . .... ... .-.

    o tamanho - ' m e d i " d o s 'valore s assumidospelos dados pode ser medido de uma forma mais r efinada pelame

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    10 P .uh G P ro b d b i l id a ._ d _ e ,_ E _ 't _ a _ t i s _ t_ ic a _

    ~4.3Probab i l i dadeI'm lUll experimento, a "probabil idade" de ocorrenci a de urn evento A pre tende medir quao frequentemcnt c A podevir a o co rr er c aso r ea liz emos v ar ia s t en ta tiv as . S e f iz er rn os l an camento s d e uma moeda , e nt ao c ar as C a e coroa s('0 aparccerao aproximadamente c om a mesma freque ncia - dizemos que Ca e Co sao "igualmente provaveis".S imi la rment e, p ar a u rn d adod e f ac es r egul ar es e f eito d e mate ria l b omogen eo ( "d ado hon es to ") c ad a u rn dosscis resultados I,.,,,6 s en . ig ua lm en te p ro vave l d e o co rr er . Es se s s ao exemp lo s d e exp er im en to s nos qua is 0espaco amostral S consi st e em urn ruimero f in it o de resul tados (pontos) que , dev ido a uma cer ta s imet ri a, podemser consi derados como possu indo igual probabi li dade de ocorrenci a. l sso sugere a seguint e def in icao ,

    LlINIC;AO 1 Primeira Defini~o de Probabi lidadeSe 0 espaco amostral S de urn e x p er imen to c o ns i st e em u rn numero f in it o de resul tados (pontos) que saoigualmente provaveis, entao a probabil idade PIA) deumev~ntoA.e

    (I) P(A) =Numer o de pontos em ANur nero de pontos em S

    Dcsxa dcfinicao, decorre imediatamente que, em particular,(2) PIS) = 1.

    XEMPLO 1 Dado HonestoAu S~ hU1~'IUima vel, urn dado honesto. qual e a prcbabilidade P(A) de A de ob tenn os um 5 ou urn 61 Equal e a probabi lidade de B:"Num""(Il'lIr"'! ,/ ). ,IStllurcio. Os scis resul tados ~ao igualmente provaveis . de modo que cada urn tern a probabi lidade de 116.Portanto, P(A) = 216 = I/~ poisA ". . ( .\ fl) possui 2 pontes c P{B) = 3/6:::: 1 /2 . . /\ I>Cfilli,ilt>I d iz re sp ci to a diversosjogos, bern como a algumas a p li c ac o es p r at i ca s , conforme veremos, mas certamenten;,,) a todo....)S expenmcntos, simplesmente porque em muitos proi?l.e.~ . ..n.ao.temos resultados finuos e..igualmerueprovaveis , Para chegarmos a uma def in icao mai s geral de probabil idade, consideramos a probabilidade como a c o ; ; .t rupart ida da f r e q i ien c i a re l a ti v a . Lembremos da Secao 24.1 que a freqiienda abso1utafi:A)deum ~vJ'J).t9.Ae.1l1ntentativas e 0 mimero de.vez

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    G Probabilidade, Estatistlca

    Eventos Mutuamente ExcludentesSe a prob,l!~jlil1_ad~ k_ - '4iJ!::~ .e:lIL\l_m,~i,~o.J: comparando (9)e (6), '". ' r

    P(0) = o .(10)(Voce pode provar isso por (5) e (7)?)

    4 Uni ii o de Eventos Arb it ra ri osNo Iancamento ~um dad()h,?_ne~to,_qual e , a p robabj li da de de obt ennos umnume ro i~par o~. ~J!l.mirr:a~.oinferior a~_?Sol~:n: ~'u:A ~j~oe ...ntO{Ntimer(l imparJe ~\Jento fti~nem injerwra 4} Entao. o Teorema 3 fomecea resposta{; ~ , __~ _peA U B) = t + t - t =i~ ~ .orque An B:: "Nt im ero [mpar i nf er io r a 4" = {I, ~}.Probabilidade Condicional. Eventos Independentes~iientemente, e necessario encontrar a p~!,!.bi!i

    p(AIB) = peA): p(BIA) = PCB).(sso signific~I nd ep endenc ia d e m Evento s. Si rn~~~O! .e , m evento s A" ... ! Am s~o .c"a!Ilal~s, urndecada v ez , a p arde urn dado conjunto de obj et os . Est a ~ a chamada amost ragem de uma popul a~ao e ! '. ~duas_ l1 la l1 :i ~as__ef azer u~~ostr ag:r n' como se s egue.1. Na !'1_!I~stragC!!t~posi~o: 0 obje to que foi s ele cio na~~. '! !e ", to ~~. . d evol vid o ao con ju nto d ad !:o conjunto e completame;:}ie misturado. Entao, ~~!ecionamos . ,, :Ie.a_t t)riamente()J~r6xi .n.?_, ,~~ ---- --

    _2. Na ~ '! I~~t ragem sem reposi\ ,ao~Q obj et oque foi sel ec ionado e descartado.

    (16)

    _ _ - - _XEMPlO. '6 Amost ragem Com e Sem Reposi~o.Uma cai xa c on tem IQ_~ ,f usos de por ca~s s ao def ei tuosos . ~ i_ sp '~ ,f usos sa o ~ Ie ci on~dos a le at or iament e. E n~on~_~.pr olbil~~~~e~~

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    G Probabilidade, Estatistlca

    Eventos Mutuamente ExcludentesSe a prob,l!~jlil1_ad~ k_ - '4iJ!::~ .e:lIL\l_m,~i,~o.J: comparando (9)e (6), '". ' r

    P(0) = o .(10)(Voce pode provar isso por (5) e (7)?)

    4 Uni ii o de Eventos Arb it ra ri osNo Iancamento ~um dad()h,?_ne~to,_qual e , a p robabj li da de de obt ennos umnume ro i~par o~. ~J!l.mirr:a~.oinferior a~_?Sol~:n: ~'u:A ~j~oe ...ntO{Ntimer(l imparJe ~\Jento fti~nem injerwra 4} Entao. o Teorema 3 fomecea resposta{; ~ , __~ _peA U B) = t + t - t =i~ ~ .orque An B:: "Nt im ero [mpar i nf er io r a 4" = {I, ~}.Probabilidade Condicional. Eventos Independentes~iientemente, e necessario encontrar a p~!,!.bi!i

    p(AIB) = peA): p(BIA) = PCB).(sso signific~I nd ep endenc ia d e m Evento s. Si rn~~~O! .e , m evento s A" ... ! Am s~o .c"a!Ilal~s, urndecada v ez , a p arde urn dado conjunto de obj et os . Est a ~ a chamada amost ragem de uma popul a~ao e ! '. ~duas_ l1 la l1 :i ~as__ef azer u~~ostr ag:r n' como se s egue.1. Na !'1_!I~stragC!!t~posi~o: 0 obje to que foi s ele cio na~~. '! !e ", to ~~. . d evol vid o ao con ju nto d ad !:o conjunto e completame;:}ie misturado. Entao, ~~!ecionamos . ,, :Ie.a_t t)riamente()J~r6xi .n.?_, ,~~ ---- --

    _2. Na ~ '! I~~t ragem sem reposi\ ,ao~Q obj et oque foi sel ec ionado e descartado.

    (16)

    _ _ - - _XEMPlO. '6 Amost ragem Com e Sem Reposi~o.Uma cai xa c on tem IQ_~ ,f usos de por ca~s s ao def ei tuosos . ~ i_ sp '~ ,f usos sa o ~ Ie ci on~dos a le at or iament e. E n~on~_~.pr olbil~~~~e~~

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    0.' 2 lIustr~o do Teorema 2Em um telegrama codif icado, as tet ras sao arranjadas em grupos de cinco tet ras, chamadas de palavras. De ( 3b) , vemos que 0 mimero dediferentes palavras desse tipo e

    26 = II 881 376.De (3a), decorre que 0 ruimero dessas diferentes palavras contendo cada let ra no maximo uma vez e

    26 /(26 - 5)' = 2625242322 = 7893600

    CornbinacoesEm u rn a p ermu ta cao, a o rd er n dos obj eto s s el ec io nado s te rn u rn a ir npor ta nc ia e ss en ciaL Por outr o la do , u rn acomb in a~o d e obje to s d ados s ig nif ic a qua lq ue r s el ec ao d e u rn ou rna is o bje to s sem nos preocuparmos com aordem. Hi doi s t ipos de combinacoes , como a segui r,o mi rn er o d e combin acoe s d e n obj et os d iferen tes, t ornados k por v ez , s em rep eti eo es e 0 rnimero decon ju nt os que pod em ser obti do s a p ar ti r d os n obj et os dados , com cada conjunto contendo k diferentcs objetose sem que doi s eonjuntos eontenham exatament e as mesmas quant idades k de objetos.o mime ro d e comb iu acoe s d e n diferentes objetos, tornados k por vez, com repeti~i ies e 0mimero de eon-j un to s que pod em ser obt id os a p ar tir d e k objetos eseolhidos entre n objetos dados, cuja frequencia de ocorrenciae a que desejarrnos.Por exemplo , ha t res combinacoes das t res l et ras a,b, c t or nada s dua s a dua s, s em rep eti co es , a s ab er , ab, ac,be, e sei s dessas combinacoes com repet icoes, a saber , ab, ae, be, Q Q , bb, ec.

    IA 3

    (4b)

    Combina~iieso numero de combinacoes diferentes de n objetos dif er ente s tomadas k por vez, sem repeticoes, e(4a) ( n) = n! = n(n - 1 ) . . (n -

    k + 1)k k iln - k ) ! 12 ... k

    e 0 numero dessas combinaciies com repeticoes e

    IVA A afirmacao envolvendo (4.) d ecor re d a p rime ir a p ar te d o Teo rema 2 notando-se que hi k! permutaciies de kobjetos dos n obj eto s d ados que d if er em pela o rd em dos e lement os ( ve ja 0 Teorema I), mas ha somente ur n.unica combinaciio desses k obj et os do t ipo carac te ri zado na primeira afi rmacao do Teorema 3.A ult ima afi rmacaodo Teo rema 3 pod e s er p ro vada por in du cao (ve ja 0 Projeto de Equipe 18).

    {) 3 lIu5tr~ do Teorema 3o rulmero de amostras de c inco Iampadas que podem sec selec ionadas de urn lote de 500 lampadas e [veja (4a)]

    (500) 5005 == 5!495! =500. 499 .4984974%

    I' 234 5 = 255244 687 600

    Fun~ao FatorialEm (1) -( 4) , a f un~o f at or ia l e basica, Por definicao,(5) 0\ = I.Pode-se cal cu lar recursi vament e os val ores a par ti r dos val ores dados por(6) (n + I)! = (n + I)n!.Par a u rn n grande, a funcao e mu ito g ra nd e (ve ja a T ab el a A3 no Apend ic e 5 ). Urna aprox im ac ao conveni en tepara urn n grande e a formula de Sti rl ing'%JAMES STIRLING (1692-1770), maternanco escoces.

    .....pmno L4: AnalISe aeVados.Teoria da Probabilidade

    n! - VZ;;; ( ;fonde 0 s inal - signif ica "as sinlolicamente igual", q uerendo dizer qu e a raz ao entr e os dois la dos deaproxirna de It medida que n se aprox ima do inf in it o.

    (7) (e = 2,71

    = - , EXEMPLO 4 F6rmula de Sti rl ing243628800

    2 432 902 008 176 640 ( )( )( )2,1%0,8%0,4%

    1O !20!

    35986962 .4 22 79 . 10"

    Coeficientes BinomiaisOs coefi ci en tes b inomia is sao def in idos pel a formula

    ( Q ) = ala - I)(a - 2) ... (a - k + I)k k!o numerador possui k fatores. Alern disso, definimos(8) (k;;:; 0, ir

    (~) = I, ( ~ )9) em particular, I.Para urn intei ro Q = n, obt emos de (8)(10) (n;;: ; 0, ~ kOs coefi ci en tes b inomia is podem ser computados recursi vament e, poi s

    (Q + I )k + 1(11) (k;;:; 0, in

    A formula (8) tarnbern fomece(12) (k ;;:;0, inteiro) (mHa var ias out ras rel acoes; mencionemos duas important es ,'il (k + S )

    ,~O k (n + k )'k + I(13) (k ;;: ;0, n ; ;: ; I, ambos inte

    (14) (r;;:; 0 , i nl

    PROBLEMAS PROPOSTOS 24.4I. Liste todas as permutacoes de quatro digitos I, 2, 3, 4 tornadostodos de uma vez,2. L is te ( a) t odas a s per rnut ac oe s, ( b) t odas as combinacoes semrepc-t icoes e (c)todas as combinacoes com repeticoes, de 5 letras a,e ,i, o. u tomadas duas a duas.

    3. De quantas maneiras podemos dest inar 8 atividades a 8 trabalha-dar es ( com urn trabalhador para cada atividade e vice-versa)?

    4. Quantas amostras de 4 obje tos podemos selec ionar de urn l at e de80objetos?

    5. De quantas fonnas d if er en re s podemos sel ec iona r u rn c om itp es so as a p art ir d e 2 0 p es so as ? R es po nd a p ri me iro p or p al l

    6 . De quantas formas diterenres podemos selecianar urn comitsistindo em3 engenheiros, 2 bi6logos e 2 qufrnicos a partirconjunto de 10 engenheiros, 5 bi6logos e 6 q uf mi co s? R esprimeiro par palpite .

    7. D e u rn l ot e d e 1 0 itens. 2 sao defei tuosos. (a) Encontre 0 ruirndiferentes amost ra s de 4 i te ns , E ncon tr e a ruimero de amostni tens contendo: (b) nenhum defeito, (c) I defeito, (d) 2 def

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    G P ro ba bi li da de , E st at is ti ca

    o5F(x)

    30362036)036

    oFig. 512. Fun~aode probabilidade f(x) efun~ao de distribui~ao F(x) da variavela l ea to ri a X = Numero otnid nu m un;col a n~ am en t o d e um dado hone st o

    oFig. 513.Fun~aode probabilidade ((x) e fun~aode distribulcao F(x) da variavel ateatoria X = Somad os d ol s n u me ro s o bt ki o: n u m un;co lan~amentos ; mu l ta n eo d e d o ;s d a do s h o ne s to s

    2 Fun~aode Probabilidade e Fun~aode Distribui~oA var iave l a leat6r ia X = Soma dos dois mimeros resultarues no lancamento de dais dados hones tos e discre ta e tern ~s v.a lore~possl~ 'e is 2(= I + 1 ). 3. 4 .. .1 2 (= 6 + 6). Ha6 6 = 36r e su lt ados i gualmenr e p rovave is ( 1. 1) (1 . 2 ), ' ' ( 6 , 6 ) , onde 0pn~e1fo numero eAo ~af ac e do prime ir o dado, e 0 segundo numero e da f ac e do segundo dado. Cada urn desses resultados tern uma probabilidade de ocorrenc~~de 1/36. Ora , X = 2 ocorr e noc a so do r esul ta do ( I, I )~X = 3 oco rr e no c ase de doi s r esul ta dos ( 1, 2 ) e ( 2. I);X = 4 oco rr e noc a so de t r esresultados (I, 3), (2. 2), (3, I ); e assim pordiarue. Logo,f lx) = P(X = x) e F(x) = P(X ~ x) tern os valores

    x 2 1 /3636/3611361 /36

    f(x)F(x) 10 /36 15 /36 21 /36 26 /36 30/36 33/36 35/36

    A Fig. 513 apresenta urn grafico de bar ras de~sa .funcao e 0 gra fi co da f unca o de d is tr ibui ca o, que e novamenre uma f unca o deg ra u. c ;sal tos (de diferentes a lturas!) nos valores possiveis de X.Duas f6rmulas u te is para as d is tr ibui coes d iscret as sao pront amente obt idas como se segue . Para a probabi li dadecor re spondent e a os i nte rv al os , t emos d e (2) e ( 4)

    (5) P(a < X : : : b) = F(b) - F(a) = L Pja I.Disso e de (9) , obtemos

    Capi tulo 24: A n al is e d e Da d os . T e o ri a d a P r ob a bi l id a d e

    e , em geral . P(X = n) =

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    G P ro ba bi li da de , E st at is ti ca

    o5F(x)

    30362036)036

    oFig. 512. Fun~aode probabilidade f(x) efun~ao de distribui~ao F(x) da variavela l ea to ri a X = Numero otnid nu m un;col a n~ am en t o d e um dado hone st o

    oFig. 513.Fun~aode probabilidade ((x) e fun~aode distribulcao F(x) da variavel ateatoria X = Somad os d ol s n u me ro s o bt ki o: n u m un;co lan~amentos ; mu l ta n eo d e d o ;s d a do s h o ne s to s

    2 Fun~aode Probabilidade e Fun~aode Distribui~oA var iave l a leat6r ia X = Soma dos dois mimeros resultarues no lancamento de dais dados hones tos e discre ta e tern ~s v.a lore~possl~ 'e is 2(= I + 1 ). 3. 4 .. .1 2 (= 6 + 6). Ha6 6 = 36r e su lt ados i gualmenr e p rovave is ( 1. 1) (1 . 2 ), ' ' ( 6 , 6 ) , onde 0pn~e1fo numero eAo ~af ac e do prime ir o dado, e 0 segundo numero e da f ac e do segundo dado. Cada urn desses resultados tern uma probabilidade de ocorrenc~~de 1/36. Ora , X = 2 ocorr e noc a so do r esul ta do ( I, I )~X = 3 oco rr e no c ase de doi s r esul ta dos ( 1, 2 ) e ( 2. I);X = 4 oco rr e noc a so de t r esresultados (I, 3), (2. 2), (3, I ); e assim pordiarue. Logo,f lx) = P(X = x) e F(x) = P(X ~ x) tern os valores

    x 2 1 /3636/3611361 /36

    f(x)F(x) 10 /36 15 /36 21 /36 26 /36 30/36 33/36 35/36

    A Fig. 513 apresenta urn grafico de bar ras de~sa .funcao e 0 gra fi co da f unca o de d is tr ibui ca o, que e novamenre uma f unca o deg ra u. c ;sal tos (de diferentes a lturas!) nos valores possiveis de X.Duas f6rmulas u te is para as d is tr ibui coes d iscret as sao pront amente obt idas como se segue . Para a probabi li dadecor re spondent e a os i nte rv al os , t emos d e (2) e ( 4)

    (5) P(a < X : : : b) = F(b) - F(a) = L Pja I.Disso e de (9) , obtemos

    Capi tulo 24: A n al is e d e Da d os . T e o ri a d a P r ob a bi l id a d e

    e , em geral . P(X = n) =

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    l/2P(-t;2 x ~ t) = FCt ) - F(-t) = 0,75 f (l- v2) du = 68,75%

    -V2

    ' 1M I I~ , I , ~ ; ., X 7 i . : tl ::. P( -t < X ~ t) para uma disrnbuicao continua) e1

    P(t ~ X ~ 2) = F (2 ) - F(;l-) = 0,75 f (l - v2) dv = 31,64%.1/4

    (Nult' '1"(" II luuite superior de integracao e I.e n ao 2 . P or que? ) Fmatmente.P(X ~ .r} = F(r) = 0,5 + O ,7 5x - 0 .2 5x3 = 0,95.

    t )IIR ~111\1) lllll- l t \ ,[IOalgebrica tornece 3x -.r1~ 1 , 8. A s o lu c ao e x = 0 ,7 3 . a p roximadamen t e.Ji.lrlhon!.f(l) e mar que . r = - t. t. t e 0,73, de forma que voce possa ver os resul tados (as probebi lidades) como areas abaixo da curva .

    hhun !ltlllhem f'(t).

    ( Il Ilm, excmplos de dis tr ibui coes conti nuas sao dados nos probl emas propost os a segui r e em secoes poste ri ores .

    ROBLE MAS PROPOSTOS 24 .51-("III,ulIh Wllih nnu-ntc II Iunciio de probabilidadefix) = k.il (x =I , ,', t, ,1, ',111111 f l \J ll 'Opti ;u lo) l' a fum.'au de d i s tr i b u ic i i o.1~111I1' ' ' '"h .!,lulntl lulIh :1 11111\ ',10 de densidadc fix) = h?- (0 ~ x- , . '\ 1 01 11 k " ll It ll lt lmlo) ( . a hll \\ '; IO de tJ islr iblli

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    l/2P(-t;2 x ~ t) = FCt ) - F(-t) = 0,75 f (l- v2) du = 68,75%

    -V2

    ' 1M I I~ , I , ~ ; ., X 7 i . : tl ::. P( -t < X ~ t) para uma disrnbuicao continua) e1

    P(t ~ X ~ 2) = F (2 ) - F(;l-) = 0,75 f (l - v2) dv = 31,64%.1/4

    (Nult' '1"(" II luuite superior de integracao e I.e n ao 2 . P or que? ) Fmatmente.P(X ~ .r} = F(r) = 0,5 + O ,7 5x - 0 .2 5x3 = 0,95.

    t )IIR ~111\1) lllll- l t \ ,[IOalgebrica tornece 3x -.r1~ 1 , 8. A s o lu c ao e x = 0 ,7 3 . a p roximadamen t e.Ji.lrlhon!.f(l) e mar que . r = - t. t. t e 0,73, de forma que voce possa ver os resul tados (as probebi lidades) como areas abaixo da curva .

    hhun !ltlllhem f'(t).

    ( Il Ilm, excmplos de dis tr ibui coes conti nuas sao dados nos probl emas propost os a segui r e em secoes poste ri ores .

    ROBLE MAS PROPOSTOS 24 .51-("III,ulIh Wllih nnu-ntc II Iunciio de probabilidadefix) = k.il (x =I , ,', t, ,1, ',111111 f l \J ll 'Opti ;u lo) l' a fum.'au de d i s tr i b u ic i i o.1~111I1' ' ' '"h .!,lulntl lulIh :1 11111\ ',10 de densidadc fix) = h?- (0 ~ x- , . '\ 1 01 11 k " ll It ll lt lmlo) ( . a hll \\ '; IO de tJ islr iblli

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    t7 Distribukoes Binomial, de PoissoneHiperqeornetrkab,lu", 1\110 us Ires rnais importantes distribuicocs discretas, com imimeras aplicaeoes.

    Distribuicao BinomialI I d l. lr lh ul ,' iio b in omi al o co rr e em jogos d e az ar (p. ex., no jogo de dados, que ser a visto a seguir etc.), nasin'l'r,")c' de qualidade (p. ex., n a con ta gem do nume ro d e de fe ito s) , n as p esqu is as d e opi ni ao (p. ex. , na con-' .~ rl 1l , to numcro de empregados favoravei s a cer tas a lt eracoes de escal a e tc .) , em medic ina (p. ex. , no registro,1 0numc ro d e p ac ic nte s c ur ado s p ar uma nov a r er nedio ), e a ss im par d ia nte . As condic oe s de sua o cor re nc ia s aoliNNr:~uin'rs.E"tnmu. "_uucressados no rnimero de vezes que urn evento A ocorre em n t en ta ti vas i ndependent es . Em cada

    l

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    t7 Distribukoes Binomial, de PoissoneHiperqeornetrkab,lu", 1\110 us Ires rnais importantes distribuicocs discretas, com imimeras aplicaeoes.

    Distribuicao BinomialI I d l. lr lh ul ,' iio b in omi al o co rr e em jogos d e az ar (p. ex., no jogo de dados, que ser a visto a seguir etc.), nasin'l'r,")c' de qualidade (p. ex., n a con ta gem do nume ro d e de fe ito s) , n as p esqu is as d e opi ni ao (p. ex. , na con-' .~ rl 1l , to numcro de empregados favoravei s a cer tas a lt eracoes de escal a e tc .) , em medic ina (p. ex. , no registro,1 0numc ro d e p ac ic nte s c ur ado s p ar uma nov a r er nedio ), e a ss im par d ia nte . As condic oe s de sua o cor re nc ia s aoliNNr:~uin'rs.E"tnmu. "_uucressados no rnimero de vezes que urn evento A ocorre em n t en ta ti vas i ndependent es . Em cada

    l

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    til' 1111"11lltllllm. duns tlU mats par tf cu la s dur an te u rn s egundo'1 11141'1 11 "'"

    M. t 1111IIHn'''~1I til' pnH.lu,\ao de parafusos e ver if ic ado a c ada hor a1"1111"" ll lll lli lo \r " pa ra fu sos selecionados aleatoriamente da1'1111111\1\11 IH'lInid'l durante cssa h or a. S e urn au meis parafusosdll ll 'l trnldl ll dcfcuo. 0 processo e i nt er rompido e e xamina do cui -1 1 14 ,l u" " lI w nl r ( ) uA o grunde dew ser n se 0 fabricante deseja urna1 11 1 ,h nh ll lt hu lr d C" c c rc a d e < ) 5( ,! f, d e que 0 processo seja interrompidot l lHuulu 10% " u s p ar a fu so s produzidos sao dcfei tuosos? (Suponha'11If! If I tURlhhuk tiC" 11111 dcterminado parafuso i ndepcnda da qua li -, 1 . . 1 1 1 ' ,11U1 Itrmlll' pnrafusos produzidos.)

    V '"I"llIhl4 'Illf. II" pnH.iu"ilo de r cs is to re s de 50 n, o s i te ns nao-defei-11111" " "Bu I t t luC"les q u e po ss u em urna rcsistencia e nt re 45 fl e 55U r 11111' It p"lhlliJili(lutiC" de qllc urn resistor seja defeituoso se ja delI) t~ , (h, 11""jroIOff\ silo vendidos cm lores de 100 com a garantia detillf ueuluuu ticIo" "I 'n '~e llta falhas. Qual e a p robabi li da de de que11111 ,11,,10 IlIll' \ l tol, ' t '~~11gurant ia" (Use a disrribuicao de Poisson.)

    IU. (IIIl ..tl.I("4111(" I" P X, \ (' .1 " a prohabilidade de qu e urn c erto tipo.I t- 11\11\1'",111 Iltllw "III tllII n-ste de 24 h. Encontre a probabilidadeIII 'I"l 11111kllllIlI11.'>IIII\lo I()dcssas lampadas f ique aceso duranteH 1 10 11 1" ""111'1111' ucnhnmu I;"ullpada falhe .

    II 1 " 1 11 1 ' i l ll l 'j . !I I HU pOI p al pu c q ui io tnenor a probabi lidade obtida 00JIII"hlIlil III ","UI "I' 0 l cr rc tr o u ti li za ss e 1 0 0 l fl mp ad as . E nt ii oIAIIIlh-

    Il. \ ll ll ll I Il uI ' li lt " 1 1 1 11'('1111 1 I J) lI d e f il a magncuca c on te nh a, e m media, 2IIt"frIlIlIllIHIl 100III('IIOS. ()uul e a pmbab il idadc de que u rn r ol o de11111 rUMII ll ft lt l\ con tcuhu (a) . r dcfci tos. (b) nenhum defei to?

    U. S lip ou hH q ue . ( "I II u m hslc t i t " percepci io extra-sensorial. 0 indivi-duo r -x nu un u du t eu hu (111(" i dc ut if ic ar ( em q ua lq u er ordem) 3 cartas, ( " 1" ' 11111111111, ak-utouumcnu- de lIlIl har al ho de 13c ar ta s. E ncoo tr e apl llhl lhrl il liul t" de que . por sortc " I)C' llas . uma pcssoa oomeie cor re-111IlII"1I1(" IU) ncnhumu cur ta , (b) I car ta . ( c) 2 cartes. (d) 3 cartas.

    1 4 , 1 1 1I 1 i1catxu conrcm 20 fu,iveis,) d os q ua is sao d ef ei tu o so s. E nc on -111'11 pltlhuhilitlatlc til" que , s c uma amost ra de: 1 f us fvei s f or r et ir ada,I " '111\11 uh-anuiumcurc c SCI11 r cpos ic ii o, . r f us ivei s na amost ra"1" '111111 tI{"kIII lO~o~

    I~ . l . . t ~t rl hu i4 ;jI U mu lt in om ia l) S up on ha q ue uma te nt at iv a p os sa11 - , ,,11.11 C' I11 p n- c- rs an n- nt c 1 1m d e k c v cn to s m ut ua rn en te excludentes

    24 .8 Distribuicao Normal

    At, ... , Ak com as probabilidades Pl' ... Pk. respectivamente,o nd e P I + . .. + Pk ;;::;1 . S u po nh a q ue n teotativas independentess ej am r ea li za da s. Mos tr e que a p robabi li da de de obt ermos Xl At's, .. , xkAk 's e

    n!f(x l . ,xk) = ~ p t! . .. Pk Ik

    onde 0 ~ Xj ~ n,j = I , . .. ,k, e Xl + ... + Xk = n.A disrrlbuicaoapresentando essa funcao de probabilidade e c hamada de distribui-(aO multinomial.

    16. PROJETO DE EQUlPE. 'Fun~o Geradora de Mementos. Afuncao geradora de momentos G(t) e definida por

    G(t) = (e 0)onde exp e a funcao exponenci al com base e =2 .718' . -. T udo is so e mai s s impl es do que pode parecer it prirneiravista. ftx) t ern as seguint es carac te rfst icas (ve ja t ambem a Fig . 518).

    1. IL e a media e a0 desvio-padrao.2. I/(aVZ-;:) e ur n fator c onstante que f az c om que a ar ea abaixo da cur va deftx) de _00 a 00 seja igual a I ,c omo r eque r ( 10 ) d a S ec ao 24.5 .

    3. A curva de ftx) e s im et ri ca c om rela cao a x = IL,pois 0 expoente e quadrat ico. Logo, pas irne tr ica com rel acao ao eixo y (x =0) (Fig. 518 . "curvas emforma de sino").

    4. A funcao expon encia l em (I) deer esce em dir ecao a zer o muito r apidamente - tao maismenor for 0 desvio-padrao a. como dev e s er (Fi g. 5 18 ).

    (x)

    -2

    F ig . 5 1 8. Densidade (1 ) da distribukao norma l ( om /L = 0 para varies valores de (I

    Fun~aode Distrlbuicao F(x)De (7) na Secao 24.5 e de (I). vemos que a dis tr ibui cao normal t ern a run~o de dis tr ibui~l io(2) F(x) = ,~ r exp [_ 1 (v - J . L ) 2 ] d v .av27T -= 2 aAqui, p reci samos de x p ar a i nd ic ar a limi te s up er io r d e i nte gr a,a o. d e modo que e sc re vemo s v (no integrando.Para a d is tr ibui~l io normal padroni zada correspondent e, com media 0 e desvio-padrao I , repr

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    til' 1111"11lltllllm. duns tlU mats par tf cu la s dur an te u rn s egundo'1 11141'1 11 "'"

    M. t 1111IIHn'''~1I til' pnH.lu,\ao de parafusos e ver if ic ado a c ada hor a1"1111"" ll lll lli lo \r " pa ra fu sos selecionados aleatoriamente da1'1111111\1\11 IH'lInid'l durante cssa h or a. S e urn au meis parafusosdll ll 'l trnldl ll dcfcuo. 0 processo e i nt er rompido e e xamina do cui -1 1 14 ,l u" " lI w nl r ( ) uA o grunde dew ser n se 0 fabricante deseja urna1 11 1 ,h nh ll lt hu lr d C" c c rc a d e < ) 5( ,! f, d e que 0 processo seja interrompidot l lHuulu 10% " u s p ar a fu so s produzidos sao dcfei tuosos? (Suponha'11If! If I tURlhhuk tiC" 11111 dcterminado parafuso i ndepcnda da qua li -, 1 . . 1 1 1 ' ,11U1 Itrmlll' pnrafusos produzidos.)

    V '"I"llIhl4 'Illf. II" pnH.iu"ilo de r cs is to re s de 50 n, o s i te ns nao-defei-11111" " "Bu I t t luC"les q u e po ss u em urna rcsistencia e nt re 45 fl e 55U r 11111' It p"lhlliJili(lutiC" de qllc urn resistor seja defeituoso se ja delI) t~ , (h, 11""jroIOff\ silo vendidos cm lores de 100 com a garantia detillf ueuluuu ticIo" "I 'n '~e llta falhas. Qual e a p robabi li da de de que11111 ,11,,10 IlIll' \ l tol, ' t '~~11gurant ia" (Use a disrribuicao de Poisson.)

    IU. (IIIl ..tl.I("4111(" I" P X, \ (' .1 " a prohabilidade de qu e urn c erto tipo.I t- 11\11\1'",111 Iltllw "III tllII n-ste de 24 h. Encontre a probabilidadeIII 'I"l 11111kllllIlI11.'>IIII\lo I()dcssas lampadas f ique aceso duranteH 1 10 11 1" ""111'1111' ucnhnmu I;"ullpada falhe .

    II 1 " 1 11 1 ' i l ll l 'j . !I I HU pOI p al pu c q ui io tnenor a probabi lidade obtida 00JIII"hlIlil III ","UI "I' 0 l cr rc tr o u ti li za ss e 1 0 0 l fl mp ad as . E nt ii oIAIIIlh-

    Il. \ ll ll ll I Il uI ' li lt " 1 1 1 11'('1111 1 I J) lI d e f il a magncuca c on te nh a, e m media, 2IIt"frIlIlIllIHIl 100III('IIOS. ()uul e a pmbab il idadc de que u rn r ol o de11111 rUMII ll ft lt l\ con tcuhu (a) . r dcfci tos. (b) nenhum defei to?

    U. S lip ou hH q ue . ( "I II u m hslc t i t " percepci io extra-sensorial. 0 indivi-duo r -x nu un u du t eu hu (111(" i dc ut if ic ar ( em q ua lq u er ordem) 3 cartas, ( " 1" ' 11111111111, ak-utouumcnu- de lIlIl har al ho de 13c ar ta s. E ncoo tr e apl llhl lhrl il liul t" de que . por sortc " I)C' llas . uma pcssoa oomeie cor re-111IlII"1I1(" IU) ncnhumu cur ta , (b) I car ta . ( c) 2 cartes. (d) 3 cartas.

    1 4 , 1 1 1I 1 i1catxu conrcm 20 fu,iveis,) d os q ua is sao d ef ei tu o so s. E nc on -111'11 pltlhuhilitlatlc til" que , s c uma amost ra de: 1 f us fvei s f or r et ir ada,I " '111\11 uh-anuiumcurc c SCI11 r cpos ic ii o, . r f us ivei s na amost ra"1" '111111 tI{"kIII lO~o~

    I~ . l . . t ~t rl hu i4 ;jI U mu lt in om ia l) S up on ha q ue uma te nt at iv a p os sa11 - , ,,11.11 C' I11 p n- c- rs an n- nt c 1 1m d e k c v cn to s m ut ua rn en te excludentes

    24 .8 Distribuicao Normal

    At, ... , Ak com as probabilidades Pl' ... Pk. respectivamente,o nd e P I + . .. + Pk ;;::;1 . S u po nh a q ue n teotativas independentess ej am r ea li za da s. Mos tr e que a p robabi li da de de obt ermos Xl At's, .. , xkAk 's e

    n!f(x l . ,xk) = ~ p t! . .. Pk Ik

    onde 0 ~ Xj ~ n,j = I , . .. ,k, e Xl + ... + Xk = n.A disrrlbuicaoapresentando essa funcao de probabilidade e c hamada de distribui-(aO multinomial.

    16. PROJETO DE EQUlPE. 'Fun~o Geradora de Mementos. Afuncao geradora de momentos G(t) e definida por

    G(t) = (e 0)onde exp e a funcao exponenci al com base e =2 .718' . -. T udo is so e mai s s impl es do que pode parecer it prirneiravista. ftx) t ern as seguint es carac te rfst icas (ve ja t ambem a Fig . 518).

    1. IL e a media e a0 desvio-padrao.2. I/(aVZ-;:) e ur n fator c onstante que f az c om que a ar ea abaixo da cur va deftx) de _00 a 00 seja igual a I ,c omo r eque r ( 10 ) d a S ec ao 24.5 .

    3. A curva de ftx) e s im et ri ca c om rela cao a x = IL,pois 0 expoente e quadrat ico. Logo, pas irne tr ica com rel acao ao eixo y (x =0) (Fig. 518 . "curvas emforma de sino").

    4. A funcao expon encia l em (I) deer esce em dir ecao a zer o muito r apidamente - tao maismenor for 0 desvio-padrao a. como dev e s er (Fi g. 5 18 ).

    (x)

    -2

    F ig . 5 1 8. Densidade (1 ) da distribukao norma l ( om /L = 0 para varies valores de (I

    Fun~aode Distrlbuicao F(x)De (7) na Secao 24.5 e de (I). vemos que a dis tr ibui cao normal t ern a run~o de dis tr ibui~l io(2) F(x) = ,~ r exp [_ 1 (v - J . L ) 2 ] d v .av27T -= 2 aAqui, p reci samos de x p ar a i nd ic ar a limi te s up er io r d e i nte gr a,a o. d e modo que e sc re vemo s v (no integrando.Para a d is tr ibui~l io normal padroni zada correspondent e, com media 0 e desvio-padrao I , repr

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    (h I 2 I ( l.O164.pois, para 0 evento complementar, temos0,96 = P(2 - c - ; : 2 X ~ 2 + c)

    0,9 8 ~ PIX", 2 + c), If 'modo que a Tabela A8 fomece

    (2+C-2)0,98 ~ ~

    c ~ 0,0164.

    Aprcximacao Normal da Distribuicao BinomialA hlll~I\O de probabil idade da distribuicao binomial e (Secao 24.7)(X) f(x) = C ) pxqn-xS("" e grande. os coeficientes binorniais e as potencies tornam-se muito inconveniente~. E ~e grande i~p~rta~c!aprf il i~ '11e Ic{,r ica) 4uc . em casas ass im , a d is tr ibui cao nanna .l ~ornec; a uma boa aproxlma~ao para a d~s~nbUlc ;aoh ill omi al ) slu o co rr e g ra~a s 30 t e or ema a s egui r, u rn dos ma rs rmpor ta nte s d e t od a a t eona d a p robabil id ad e.

    (x = 0, 1,"', Il).

    OHLMA j Teor.ma do Limitede DeMoivre e laplacel'uru fI grande,

    f(x) - f'(x) (x =0 1,"', n).(1)A'/lIi, f" dada I 'or ( X). A funciio

    x - npz= y,;p;jJiI)f' a dcnsidudr da dis tr ibuiaio normal com media Ii. = np e variancia c r = npq (a media e a variiincia dadi,\"rihuiuio binomial). 0 simbolo . .. ., le-se assintoticamente igual) s igni fi ca que .a raz~o e~t re a:: zbos asIllt/o.\'aproxima.se de 1 a medida que n s e aproxima de 00 Alem disso, para quaisquer tntetros nao-nega-tivos a r b (> a)

    (II)Pta ~ X ~ b) = ~a (:) pxqn-x - 1 >( {3 ) - 1>(a),

    a= a - np - 0,5- V n P qb - np + 0,5

    {3 = y,;p;j

    Pode- se encon tr ar a p ro va d es se te or ema na Re f. [ 03 ] d o Apend ic e I . A p rova mos tr a que .o t~n_no0,5 :m (3 e ae a cor re cao c au sada p ela mudan ca que s e f az d e uma d is tr ib ui ca o d is cr eta p ar a uma d is tn bu ic ao con tmua .

    PROBLEMAS PROPOSTOS 24 .8~ DISTR IBUIc;:Ao N OR MAL C on si der e q ue X s e ja n orma l c om me di a 8 0 e v ar ian ci a 9 . En co nt reP(X> 83), PIX < 81), PIX < 80) e P(78 116), P(125 c) ~ 10%, Pt-e< X - 4,2 ;a c) ~ 99%

    5. Se 0 tempo d e vid a X de u rn certo tipo de bateria d e au tomovele normalmente distribu fdo com uma med ia de 4 anos e urn des-vio-padrao de 1 a no, e 0 fa br ic an te d es ej a g ar an ti r a b at eri a p or 3a no s. q ue p erc en tu al d e b at eri as e le t era q ue s ub st it ui r d ur an te agarantia?

    6 . S e, n o P ro blema 5 , 0 desvio-padrao fosse menor, 0 percentual seriamaior ou meoor' !

    7 . U rn f ab ri ca nt e s abe par e xper ie nc ia que a r es is te nc ia des r es is to re spar ele produzidos e normal com media J . 1 - = 150 fl e desvio-padraocr= .5 n. Qual e e nt ao a por ce nt agem de r es is to re s c om r es is te nc iaentre 1480 e 152 O? E entre 1400 e 160 O?

    8. A t en sa o d e ru pt ura X [ kg f] d e u rn ce rro t ip o d e b lo co p la st ic o ed is rr ibuf da nonna lm en te c om uma med ia de 1250 kgf e u rn desvi o-padrao de 5 5 kgf. Qual e a carga max ima capaz d e fazer com q ueseja de 5% 0 per ce nt ua l e sper ado de b locos que se r ompam?

    9 . U rn f ab ri ca nt e p roduz e nvel opes de c or re io a er eo c uj o peso pos su iuma d is rr ibui ca o norma l c or n med ia 1L = 1 ,950 grama e desvi o-padrao a = 0,02 5 grama. as envelopes sao ven didos em lo tes de1 00 0. Q ua nt os e nv el op es em u rn l ore t er ao u rn p es o s up er io r a 2gramas?

    1 0. S e a re si st en ci a X d e c er to s ca bo s d e uma re de e let nca e normalcom uma media de 0,01 fl e urn desvi o- pa dr ao de 0 .001 n. eml (X)O c abos , qua nt os s at is fa ra o a s e spec if ic ac oe s s egundo a s qua iso v al or d a r es is te nc ia d ev e s e s it ua r en tr e 0 ,0 09 e 0 ,0 11 fl?

    1 1. N os e xam es SAT* p ar a i ng res so n o en si no s up eri or , s e o s re su lt a-dos de rnatematica sao normais com uma media de 480 ponto s eu rn d es vio -p ad rao d e 1 00 p on tes ( es te s s ao a pr ox ima damen te o sv alo re s d e an os r ec en tes ) e s e a lg uma s i ns tit uic oe s r eq uer em u rnmi nima d e 5 00 p on to s d e s eu s c an di da tes a admlssao, qual e 0per ce nt ua l de e st udan te s que nao a ti ng ir ao e ss a ponruac ao?

    12. Em uma c er ta f ab ri cs , o s c us to s mensa is X de manut enca o e r epar od es maquinas tern uma distrib uicao normal com uma media d e$12 000 e urndesvio-padrao de $2000, qual e a probabi lidade deq ue o s cu st os d e r ep ar o p ara 0 proximo mes excedam 0 montanteorcado de $15 OOO?

    1 3. S e o s t emp os me ns ais X d e fa lt as p or mo ti ve d e d o en ca d os t ra ba -I ha do re s de uma companh ia t iver em grosso modo uma distribui~ao

    n on na l c om u rn a me di a d e 1 00 0 b ore s e u rn d es vi ohor as , qua l deve ser 0 val or o rc ado par a 0 pr6ximct de faltas por mati vo de d ocn ca. d e modo que a pre le s er e xce di do s ej a d e s om en te 2 0%' ?

    14. PROJETO DE EQUIPE. Distribui~ao Normal.formulas em (6)e (7) a parti r da tabela normal apr(b) Mestre que < 1> (- z) ~ I - < 1 > ( z ) . De urn exemplo(c ) E nc on tre a s p on tes d e i nfl ex ao d a c ur va d e (I)( d) C on si de ra nd o c f> 2 (o o) e introduzindo coordenadasg ra l dup la ( ur n truque-padrilo que vale f l pena lcmbr(12)( e) Mos tr e que a em (I)e . de f at o, 0 desvio-padraonormaL [Use (12).](0 Lei de Bernoul li dos grandes numeros . Em urc onsi de re que u rn e vent o A t en ha a p ro bab il id ad e ((0 < p < I) , e c on si de re q ue X s ej a 0 mlmero de voco rr e em n t en ta ti va s i ndependent es . Mos tr e que ,E" >0,

    P ( I ~ - p I ;a .) -> I como n->cc( g) T ra ns fo rma cao . S e X e n or ma l c om me di a J .1 - 'mos tr e que X* = (IX + c2 (c1 >0) e normal co m m6c2 e variancia U*2 = c,202.

    15, PROJETO ESCRlTO, Usc d as T ab el as . F ae a ,sistematica d o u so das Tabelas A 7 e A8 para a ob< b), P(X> a), Pta < X < b), PIX < c) ~ k e PIXcomo P (J .L - c

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    (h I 2 I ( l.O164.pois, para 0 evento complementar, temos0,96 = P(2 - c - ; : 2 X ~ 2 + c)

    0,9 8 ~ PIX", 2 + c), If 'modo que a Tabela A8 fomece

    (2+C-2)0,98 ~ ~

    c ~ 0,0164.

    Aprcximacao Normal da Distribuicao BinomialA hlll~I\O de probabil idade da distribuicao binomial e (Secao 24.7)(X) f(x) = C ) pxqn-xS("" e grande. os coeficientes binorniais e as potencies tornam-se muito inconveniente~. E ~e grande i~p~rta~c!aprf il i~ '11e Ic{,r ica) 4uc . em casas ass im , a d is tr ibui cao nanna .l ~ornec; a uma boa aproxlma~ao para a d~s~nbUlc ;aoh ill omi al ) slu o co rr e g ra~a s 30 t e or ema a s egui r, u rn dos ma rs rmpor ta nte s d e t od a a t eona d a p robabil id ad e.

    (x = 0, 1,"', Il).

    OHLMA j Teor.ma do Limitede DeMoivre e laplacel'uru fI grande,

    f(x) - f'(x) (x =0 1,"', n).(1)A'/lIi, f" dada I 'or ( X). A funciio

    x - npz= y,;p;jJiI)f' a dcnsidudr da dis tr ibuiaio normal com media Ii. = np e variancia c r = npq (a media e a variiincia dadi,\"rihuiuio binomial). 0 simbolo . .. ., le-se assintoticamente igual) s igni fi ca que .a raz~o e~t re a:: zbos asIllt/o.\'aproxima.se de 1 a medida que n s e aproxima de 00 Alem disso, para quaisquer tntetros nao-nega-tivos a r b (> a)

    (II)Pta ~ X ~ b) = ~a (:) pxqn-x - 1 >( {3 ) - 1>(a),

    a= a - np - 0,5- V n P qb - np + 0,5

    {3 = y,;p;j

    Pode- se encon tr ar a p ro va d es se te or ema na Re f. [ 03 ] d o Apend ic e I . A p rova mos tr a que .o t~n_no0,5 :m (3 e ae a cor re cao c au sada p ela mudan ca que s e f az d e uma d is tr ib ui ca o d is cr eta p ar a uma d is tn bu ic ao con tmua .

    PROBLEMAS PROPOSTOS 24 .8~ DISTR IBUIc;:Ao N OR MAL C on si der e q ue X s e ja n orma l c om me di a 8 0 e v ar ian ci a 9 . En co nt reP(X> 83), PIX < 81), PIX < 80) e P(78 116), P(125 c) ~ 10%, Pt-e< X - 4,2 ;a c) ~ 99%

    5. Se 0 tempo d e vid a X de u rn certo tipo de bateria d e au tomovele normalmente distribu fdo com uma med ia de 4 anos e urn des-vio-padrao de 1 a no, e 0 fa br ic an te d es ej a g ar an ti r a b at eri a p or 3a no s. q ue p erc en tu al d e b at eri as e le t era q ue s ub st it ui r d ur an te agarantia?

    6 . S e, n o P ro blema 5 , 0 desvio-padrao fosse menor, 0 percentual seriamaior ou meoor' !

    7 . U rn f ab ri ca nt e s abe par e xper ie nc ia que a r es is te nc ia des r es is to re spar ele produzidos e normal com media J . 1 - = 150 fl e desvio-padraocr= .5 n. Qual e e nt ao a por ce nt agem de r es is to re s c om r es is te nc iaentre 1480 e 152 O? E entre 1400 e 160 O?

    8. A t en sa o d e ru pt ura X [ kg f] d e u rn ce rro t ip o d e b lo co p la st ic o ed is rr ibuf da nonna lm en te c om uma med ia de 1250 kgf e u rn desvi o-padrao de 5 5 kgf. Qual e a carga max ima capaz d e fazer com q ueseja de 5% 0 per ce nt ua l e sper ado de b locos que se r ompam?

    9 . U rn f ab ri ca nt e p roduz e nvel opes de c or re io a er eo c uj o peso pos su iuma d is rr ibui ca o norma l c or n med ia 1L = 1 ,950 grama e desvi o-padrao a = 0,02 5 grama. as envelopes sao ven didos em lo tes de1 00 0. Q ua nt os e nv el op es em u rn l ore t er ao u rn p es o s up er io r a 2gramas?

    1 0. S e a re si st en ci a X d e c er to s ca bo s d e uma re de e let nca e normalcom uma media de 0,01 fl e urn desvi o- pa dr ao de 0 .001 n. eml (X)O c abos , qua nt os s at is fa ra o a s e spec if ic ac oe s s egundo a s qua iso v al or d a r es is te nc ia d ev e s e s it ua r en tr e 0 ,0 09 e 0 ,0 11 fl?

    1 1. N os e xam es SAT* p ar a i ng res so n o en si no s up eri or , s e o s re su lt a-dos de rnatematica sao normais com uma media de 480 ponto s eu rn d es vio -p ad rao d e 1 00 p on tes ( es te s s ao a pr ox ima damen te o sv alo re s d e an os r ec en tes ) e s e a lg uma s i ns tit uic oe s r eq uer em u rnmi nima d e 5 00 p on to s d e s eu s c an di da tes a admlssao, qual e 0per ce nt ua l de e st udan te s que nao a ti ng ir ao e ss a ponruac ao?

    12. Em uma c er ta f ab ri cs , o s c us to s mensa is X de manut enca o e r epar od es maquinas tern uma distrib uicao normal com uma media d e$12 000 e urndesvio-padrao de $2000, qual e a probabi lidade deq ue o s cu st os d e r ep ar o p ara 0 proximo mes excedam 0 montanteorcado de $15 OOO?

    1 3. S e o s t emp os me ns ais X d e fa lt as p or mo ti ve d e d o en ca d os t ra ba -I ha do re s de uma companh ia t iver em grosso modo uma distribui~ao

    n on na l c om u rn a me di a d e 1 00 0 b ore s e u rn d es vi ohor as , qua l deve ser 0 val or o rc ado par a 0 pr6ximct de faltas por mati vo de d ocn ca. d e modo que a pre le s er e xce di do s ej a d e s om en te 2 0%' ?

    14. PROJETO DE EQUIPE. Distribui~ao Normal.formulas em (6)e (7) a parti r da tabela normal apr(b) Mestre que < 1> (- z) ~ I - < 1 > ( z ) . De urn exemplo(c ) E nc on tre a s p on tes d e i nfl ex ao d a c ur va d e (I)( d) C on si de ra nd o c f> 2 (o o) e introduzindo coordenadasg ra l dup la ( ur n truque-padrilo que vale f l pena lcmbr(12)( e) Mos tr e que a em (I)e . de f at o, 0 desvio-padraonormaL [Use (12).](0 Lei de Bernoul li dos grandes numeros . Em urc onsi de re que u rn e vent o A t en ha a p ro bab il id ad e ((0 < p < I) , e c on si de re q ue X s ej a 0 mlmero de voco rr e em n t en ta ti va s i ndependent es . Mos tr e que ,E" >0,

    P ( I ~ - p I ;a .) -> I como n->cc( g) T ra ns fo rma cao . S e X e n or ma l c om me di a J .1 - 'mos tr e que X* = (IX + c2 (c1 >0) e normal co m m6c2 e variancia U*2 = c,202.

    15, PROJETO ESCRlTO, Usc d as T ab el as . F ae a ,sistematica d o u so das Tabelas A 7 e A8 para a ob< b), P(X> a), Pta < X < b), PIX < c) ~ k e PIXcomo P (J .L - c

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    3 ' ( - 1 1 3 )X ( - 1 2 3 ( - ' - 1 0 33 - X - >f(x, y) = .r! y! (3 - x - y)! (x + y ~ 3)I'" I f. _ , v) ( )n( I!oOcrnais casos. ATabela 24.1 mostra nocentro os valores defix, y) e nas margens dire i tae infer ior os valores das funcoes dejllllhllhlildiule/,h) e.h(Y) das disrribuicoes marginais de X e de Y. respectivamente.

    , 4brl . 24. 1 Valores das Fun~i ies de Probabi li dade I {x , y l , ( ,( x l, ' ,( Y l naR.tlr.da de Tres Car tas com Reposi~ao de um Baral ho de Bri dge, onde Xt 0Numero de Damas Ret iradas eYE 0Numero de Rei s ou Ases Ret irados

    It y 0JJm 261~ _m_ __JL 17282197 2197 2197 2197_ ; ! Q Q _ _rn/._ 12 0 4322197 2197 2i97 2197~ s 0 0 362197 2197 2197__I_ 0 0 0 21~797!ffi 7 2 . .1E._ 21~7197 2197

    (I

    Distribuicces Marginais de uma Dist ribuicao Continua( ' ol ln 'i tu ulm cnh: c ste a ss un to e 0 me smo que p ar a a s d is tr ib uic oe s d is cr eta s, c om a s fun co es de p robabil id ad eC' os .~lIl1lal t')ri(}ssendo subst ituidos por densidades e integrais. Para uma variavel aleat6ria continua (X, Y) comdeu su ln dc /( ., v ). a go ra temo s a d is tr ib ui ~i io ma rg in al d e X em (X, 1'), definida pela funcao de distribuicao

    Fl(x) = P (X ~ x, -00 < Y < 00) = (JI(X') dx"1.1)COll i I Idr-nsidnde 1, de X obt ida de fix, y) pel a i nt egracao em y,(14)

    ~fI(x) = toof(x, y) dy.

    Troc ando a s pos ic oe s d eX e Y, obt emos a dis tr ibui~i io margina l de Yem (X, 1') com a funcao de distribuicaoF2(y) = P( -00 < X < 00, Y ~ y) = {J,(Y*) dy'IS)

    c

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    3 ' ( - 1 1 3 )X ( - 1 2 3 ( - ' - 1 0 33 - ' - >(x, y) = .r! y! (3 - x - y)! (x + y ~ 3)I'" I f. _ , v) ( )n( I!oOcrnais casos. ATabela 24.1 mostra nocentro os valores defix, y) e nas margens dire i tae infer ior os valores das funcoes dejllllhllhlildiule/,h) e.h(Y) das disrribuicoes marginais de X e de Y. respectivamente.

    , 4brl . 24. 1 Valores das Fun~i ies de Probabi li dade I {x , y l , ( ,( x l, ' ,( Y l naR.tlr.da de Tres Car tas com Reposi~ao de um Baral ho de Bri dge, onde Xt 0Numero de Damas Ret iradas eYE 0Numero de Rei s ou Ases Ret irados

    It y 0JJm 261~ _m_ __JL 17282197 2197 2197 2197_ ; ! Q Q _ _rn/._ 12 0 4322197 2197 2i97 2197~ s 0 0 362197 2197 2197__I_ 0 0 0 21~797!ffi 7 2 . .1E._ 21~7197 2197

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    Distribuicces Marginais de uma Dist ribuicao Continua( ' ol ln 'i tu ulm cnh: c ste a ss un to e 0 me smo que p ar a a s d is tr ib uic oe s d is cr eta s, c om a s fun co es de p robabil id ad eC' os .~lIl1lal t')ri(}ssendo subst ituidos por densidades e integrais. Para uma variavel aleat6ria continua (X, Y) comdeu su ln dc /( ., v ). a go ra temo s a d is tr ib ui ~i io ma rg in al d e X em (X, 1'), definida pela funcao de distribuicao

    Fl(x) = P (X ~ x, -00 < Y < 00) = (JI(X') dx"1.1)COll i I Idr-nsidnde 1, de X obt ida de fix, y) pel a i nt egracao em y,(14)

    ~fI(x) = toof(x, y) dy.

    Troc ando a s pos ic oe s d eX e Y, obt emos a dis tr ibui~i io margina l de Yem (X, 1') com a funcao de distribuicaoF2(y) = P( -00 < X < 00, Y ~ y) = {J,(Y*) dy'IS)

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    ,1"Mllitu II "1111'11111 I , " hl (" lI hu a I cl rmul a par a a med ia da distribui-, .. , hl'~fllf.llllll4'-llh It VtMt IMMlt'I"ia utilizar 0 Teorema 3 para obrerIt " ,U 1 " 1 11 h t ( 1 '' '' 1 11 1 th!ll(nhHl,lto~

    19. Usando os Teoremas I e 3, obtenha as formulas para a media epar a a var ia nc ia da d is tr ibui ca o b inom ia l.

    2 0, P ro ve a af irma cao e nv ol ven dc (1 8).

    JIll " IOES E PROBLEMAS DE RE V ISAo DO CAPiTULO 2411,,1 'I"f' 1IIII"IItl IIO\ II t"lIpfllllo com lima se\ao sobre menlpulacaoI' " 4 1 . . , 1 1 1 1 1 ' 1I ' I II it ' , .1 \0 1 1 I1 1 I1 I~t lolhll~".' Diagramas de caix.a? Histogramas?I ' 1 11 1 1 11 1 " " I Io l ll t \ \ lllIlnf,(,II"(JUt 'tIWllhl"tl('~ 1I I( l rl1 0 t a ru a nho r n ed i o dos dados? E a disper-. A , , . '1, I ,IH 1111111('... II r onsi dc ru r a t co ri a da p robabi li da de ? Qua l e 0III'U 1 '_ 1" '1 , U I C'MIIIJ~tlnl"1 . '1111"'' lI tC 'l H lf 'I 1 1W ' IM I l t ll II c x pe r im c nt o? P or uma variavel aleatoriaI IT lt w lt lu w .1 1 t " C 'I ~ I ( l q u I. ' s a o r csuhados? Eventos?1 )1 l'Io,,'lIIplll ...til' l'xpt"limclllos nos quais os cases sao igualmente11111\,1",""1 r-IIUIIIl'" 1\0...quais clcs nao 0 sao .l 'I IUII .l f dr 1I1("lIu~nl1 /I lh.fini\~ao de probabilidade.()1I111 (- II IllItH'n,11 cutn- os c oncc uos de permuracao e combina-,illl)1 1 1 1 1 11 " ' " " . . . l"ill(ll'lII" n-on-mus d a p ru ba hi li da de . I lu st re -o s com1\"1111,111'" vuuplc . . .C) ' I IU ' ( ' UlIIlI ,ti,tnlllll,'ao < I t ' uma varia.vel alearoria? Uma funcao,k t ll ,l llhl ll , j\ II '. ' A 1111I,' j\1I de probahil idade" A densidade?h lllil '" t i C " ' rueuuu- iu .1."k f in i ~' ( )c " " d e media c de varifincia de uma'"I ulvl,l ukuh\na'i, lOlA I /'(/1) c A ( .. tt, podc A . f . - B?...- I, I S ( IIC""I ' "~O 1lI1loslral), rode P(E) ~ I'!1)111 '11,fllhtll,t"Ir ...."1 IIn-...pondcm a l im a amosuagem com r epos ic ao, . \ ,111 lIpO"I\llo.''.11111111111um (\Pt rtllllrtill cnvol vcnl uma distribuicao binomial?1IIIIil , 1 I . . lnlllll,lin hlpt.'jl~l(llllcirila?1)III\lulll II ,h" ll lh l l~; i J d l" P(l ISSIH sera uma b oa aproxirnacao da111..111111I11 ;{ \ l 1 binunuul?( ) 1 II It ' .. .nn' s ah c.' s oh re a a pr ox im ac ao da d is tr ibui ca o b inom ia lI ' l" ' la tll\llIhul\'IIO normal?1;'phtlllC ' n uso l ias tabelas da distribuicao normal. Se voce dispusertit' 1 1 1 1 1 Il ro v, ral ll a d e c orn pu tad or, c omo v oc e p ro ce der ia s em asIlIhclu.'i?"iMIf' a ftll1~~aode p robabi li da de de u rna var ia ve l a le at 6r ia d is cr et a1 ( '1 1 1 11 1 numero inf inito de valores positivos?Iimnuie o s fa tes ma is i mp ort an tes s ob re a s d is tr ib ui co es d e d ua sVIU I llve i._a leat6rias e suas distr ibuicoes margina is .1 ' 1 1 1 , ; ; 1 1 m ramo-e-folhas, u rn histograma e u rn d ia gr ama de c ai xad os d ud os : 2 2. 5. 2 3, 2, 2 2. 1, 2 3, 6. 2 3, 3, 2 3, 4. 2 4. 0. 2 0. 6. 2 3, 3.Repita 0 P ro bl ema 2 1 p ar a o s d ad os : 2 10 , 2 13 , 2 09 , 2 18 . 2 10 , 2 15 .2114, 211. 216 . 213 .

    23. Encontre a media, 0 d es vi o-p ad rao e a v ar ia nc ia n o P ro blema21.

    2 4. En co nt re a med ia , 0 d es vi o-p ad rac e a v en an ci a n o P ro blema22.

    2 5. Qu ai s s ao o s r es ul ta do s d o es pa co amo st ral d e X; Lancamento deuma moeda ate que a p rime i ra Car a apa reca 't2 6. Qu ai s s ao o s re su lt ad os n o e s pa co amo st ral d o ex per imen to d e s e

    Iancarem simultaneamente tres moedas?27, Uma caixa contem 50 p ara fu so s, c in co d os q ua is s ao d efe it uo -

    50S. En co nt re a fu nca o d e p ro bab ili dad e d a v ari a v e l a lea to ri a X =Numero de parafusos ae feu uosos na rairada de dois parafusossem reposicao e c al cu lo s eus val or es .

    2 8. En co nt re o s v alo re s d a funcao d e d is tr ib ui cao n o P ro bl em a 2 7.2 9, U sa nd o u rn d ia grama d eV e nn , mo st re q ue A ~ B se e somente se

    AU B=B.3 0. Us an do u rn d ia gr ar na d e V e nn , mo st re q ue A ~ B s e e s or nen te s eAn B=A.

    31. Se X tern adensidadef ix) = O ,5x (O ~ x ~ 2) eO nos der na is c as es ,qu ais sao a media e a v ariancia de X* = -2X + 5?

    32. Se ha d is po ni vei s 6 t in tas d ife re nt es , d e q ua nt as fo rmas p od e-mo s s el eci on ar d ua s c ore s p ara u rn t rab al ho d e p in tu ra? Qu at rocores?

    3 3. C al cu le 5 ! p el a f ormu la d e S ti rl in g e e nc on tr e o s e rro s a bs ol ut o erelative.

    34. Doi s par ef usos s ao r et ir ados a le ar or iament e s em r cpos ic ao de umaca ix a co nt en do 7 p ara fu so s d es tr og iro s e 3 l ev og ir os . C on si de reque X seja 0 ruimero selec ionado de parafusos levogiros. EncontreP(X = 0), P(X = I), P(X = 2), P(I < X < 2), P(O < X < 5)

    3 5. E nco nt re a me di a e a v ari an ci a d a d is tr lb ui cao c om d en sid ad e fix)= 1/2 e~I.

    3 6, En co nt re a a ss ime tri a d a d is tri bu ica o c om d en sid ad e f(x) = 2(1- x) se 0 < x < I, fix) = 0 nos demais casos.

    37. Esboce a funcao de probabiiidadejl.c) = x '/30 (x= l , 2, 3, 4) e afuncao de distr ibuicao, Encontre J1 . .38. Esboce F(x) = 0 se x '" 0, F(x) =0.2x se 0 < x '" 5, F(x) = I se

    x > 5 , e sua densi da de j(x).39. Se a vida de pneus tern uma distribuicao no rmal com urn a media

    de 25 00 0 km e uma v arian cia de 2 5 000 000 k rn", qu al e a p ro -babilidad e de qu e u rn d esses pneus d ure p elo men os 30 00 0 km?P el o me no s 3 5 0 00 Ian?

    40. Se 0 peso de sac os de c im en to e no rmal com uma media de 5 0 k ge urn dcsv io-padrao de I kg, qual e a probabilidade d e qu e 100sacos sejam mais pesad os d o que 503 0 kg ?

    RESUMO DO CAPiTULO 24Analises de Dados. Teoria da Probabilidade

    Urn experimenm aleatoric, sucintamente chamado de exper imento, e urn proce sso no qua l 0 resnltado"a cas o" (e fei to s o u f at ore s q ue d es co nh ec emo s) . Ex emp lo s d is so s ao o s j og os d e az ar com d ad os o u c art as ,d ure za d o a ce. a o bs er vac ao d as c on di co es ci ima ti ca s o u 0 re gi st ro d o mime ro d e a ci de nt es em uma ci da dca _p al av r~ "e xp er im en to " e u sa da a qu i em u rn s en ti do mu it o ma is amp lo d o q ue n a l in gu ag em c orn um. ) 0s ao c on si de rad os como p on to s ( el eme nt os ) d e u rn co nj un to S , c hama do d e e sp aeo amo st ra l, c uj os s ub ccchamados de e ve nt os . P ar a os e ve nt os E, def inimos uma probabil idade peE) pelos axiomas (Se'f30 24,3)

    0", peE) '" I(I) peS) = I

    peE, U E, U. .. ) = peE,) + peE,) + ..Esses a xi omas se f undament ar n nas p ropr ie da de s das d is tr ibui 'fOe s de f re quenci as de dados ( Se ca o 24.1) .o compiemenlar EC de E tern a probabilidade(2) peE') = I-P(E).A p ro bab il id ad e co nd ic io na l d e u rn ev en to B sob a condicao d e que urn evenro A a co nt eca e (Secao 24.3(3) P(BIA) = peA n B)

    peA)Dois eventos A e B s ao c hamados de i ndependent es s e a p robabi li da de de sua s oco rr enci as simultanas em une i gu al ao p ro du to d e s ua s p ro ba bi li dad es , o u s ej a, s e(4) peA n B) = P(A)P(B).

    A urn exper im en to a ssoc iamos uma var ia ve l a le at 6r ia X. Es ta e uma f un ca o d efi nid a em S c u jo s v al or es s ireais; alern d is so , X e cal que a probabi lidade P(X = a) com a q ual X as sume q ual qu er v al or a e a probabils.r ~ b) c om a q ua l X a ssume qua lque r val or em urn i nt er va lo a < x ~ h sao definidas (Secao 24.5) . A distrprobabilidade de X e determinada pcla funcao de distribuicao(5) F(x) = P (X ' " x).N as ap lic a~. Oes , h a d ~is t ip os i mp ort an res d e v ari av ei s al ea t6 ri as : as d o t ip o d is cr et e. q ue s ur gem qua ndco nt ag ~n s { it en s d ef e. lt uo so s. c li eme s em u rn b an co e rc .), e as d o tipo c on ti nuo. que sur gem quando fazernc( co rnpr ir ne nt o. vel oc idade, t empe ra tu ra , peso e rc .)

    Uma var ia ve l a le at or ia d is cr et e t er n uma Cun-t ao de p robabi li da de(6) f(x) = P(X = x).Sua media J. L e s ua v ar ia n ci a a2 sao ( Sec ao 24.6)(7)

    ) )ond e ~s X sao as vaJores para os q uais X p os su i uma p ro ba bi li da de p os it iv a. Imp ort an tes v ar iav ei s e disa lea to ri as d is cre tas s ao a b in omi al , a d e P oi ss on e a h ip er geomet ri ca , d is cu ti das n a S ec ao 2 4. 7.

    U rna var ia ve l a le at or ia c on ti nua t er n uma densi da de(8) f(x) = F(x)S ua me di a e s ua v ar ian ci a s ao ( Se4 f3 0 2 4. 6)

    J .L = (Xf(X)dx .r = f _ : (x - J.L)'f(x) dx.(9)Mu it o i mp ort an te e a d is tr tb ul cao n or ma l (S eca o 2 4. 8) , c uj a d en si da de e(10) f(x) = ,,~ e x p [ - ~ ( x : J . L r Je c uj a f unca o de d is tr ibui ca o e ( Se cao 2 4. 8; T ab el as A 7, A S d o A pc nd ic e 5 )

    (X - J . L )II) F(x) = < I > - , , _ .

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    Uma vanavel aJeat6ria bidimensional (X. Y) ocorre se simultaneamente observarrnos duas quanlidades (p. ex..altura X e peso Y de adultos). Sua fun~aode distribuicao e (Se,30 24.9)(12) F(x,y) = P(X~x, Y~y ).X e Y tern as funcoes de dlsrribuicao (Se

    J25.1

    CAPITULO

    Estatistica MaternaticaNa teori a da probabi li dade , e laboramos modelos mat erna ti cos para processos que sao afe tados pel o 'Em est at is ti ca mat emat ica ou, suc in tament e, em est at is ti ea , ver if icamos esses modelos em rel acaodade observavel. Isto e a chamada i nf er en cia e sta ns tlc a. E la e f eita p or amo slr ag em, i ss o e , p e la ,de amost ras a leat or ias, suc in tament e chamadas de amost ras, que sao conjuntos de val ores provenurn conjunto mui to maior de val ores passfve is de est udo, chamado de popnl a~ ii o, Exernplo de umasao 10di iimetros de parafusos t ornados de urn grande conjunto de parafusos . A amost ragem e fei t:i nt ui to de ver if icar se urn modelo da popul acao e acurado 0 bas tant e para prop6si tos pra ti cos. Se escaso, 0modelo pode ser usado para previ soes , dec isoes e acoes , por exemplo , no plane jamento de prna compra de equipamentos, nos i nves timentos em pro je tos de neg6cios, e ass im por d iant e.Os mai s important es metodos de i nferenci a est at is ti ca sao a esl ima~ ii o de parametres (Secao

    d et ermin ac ao d e in te rva lo s d e con fla nc a (Se cao 25.3 ) e o s te st es d e h ip 6te se (Se co es 25. 4, 2 5.,que t ern apl icacao no controle de qualidade (Se9aO 25.5) e na amostragem de aceitarao (Secao 2:Na ult ima secao (25 .9), apresen tarnos uma int roducao a regress ii o e ii ana lis e d e cor re la eao, r e:

    a expcrimcntos envolvendo duas variaveis.Pre-requisite: Capitulo 24.S ec oe s q ue p odem s er omi ti da s em um cur so menor : 25.5, 25.6, 25.8.Referencias, Respostas dos Problemas e Tabelas Estatisticas: Par te G do Apendic c I , A pendi ce 2

    dice 5 .

    Intr()du~ao:Amostragem Aleat6ria/ A est at is ti ca mat emat ica consi st e em rnetodos de model ar e de avali ar val ores de exper imentos a leat or i

    obter informacoes acerea de probl emas pra ti cos, t ai s como explorar a rel acao ent re 0 con te udo de f er ro e ,dade do rni neri o de ferro , a quali dade de rna teri as-primas ou de produtos manufat urados , a efi ci enci a de S 1de ar-condieionado, 0 desernpenho de certos automoveis, 0 efe it o da propaganda, as reacoes de consumurn novo produto e tc .Em engenha ri a ( e em out ra s a re as ), a s v ar ia ve is a le ate ri as o co rr em com ma is f re qu en cia do que s e ir

    P or e xemp lo , a s p ro pr ie dade s d e a rti go s p ro du zid os em mas sa ( pa ra fu so s, lampad as e tc .) s empr e apr evar ia~Oes a leat or tas, dev ido a pequenas ( incont ro lave is l) d iferencas na mat er ia -prima ou nos processos ducao. Assirn, 0 diametro de parafusos e uma var iave l a leat or ia X ,de modo que t emos parafusos tuio-defeicom dii imet ros s it uados ent re cer tos l im it es de t ol eranci a, e parafusos defeituosos, com diametros foral irni tes. Podemos nos i nt eressar pel a d is tr ibui cao de X, pel o percentua l esperado de parafusos defei tuosoaperfeicoamentos necessaries ao processo produtivo.As amostras sao selecionadas de populacoes - 20 par afusos de urn lote de 1000, 100 eleitores em

    8 eas to re s em u rn proje to de con se rv ac ao d a v id a s el vagem - pois in sp ec io na r a popula cao in te ir a p0)120(Secao 24.1) {amostra de tamanho n = 20 (ou qualquer out ro n) sera uma boa aproximacao da media popul ac iona l I-'24.6 ); e a a cu ra ci a d a aprox ir na cao g er almente aumenta ra c om 0 cresc imento de n, confonne veremoss imil ar oeorre com out ros paramet res (desv io-padrao, var ianc ia e tc .) .Os va lo re s d e amo str as in depend en te s s er ao obti do s em exper ir nento s c om u rn e sp aco amost ra l S i

    (Secao 24.2) , cer ta rnen te para a d is tr ibui cao normal. Isso t arnbern e verdade nas amost ragens com subst it uiaprox imadamente verdade na obt encao de pequenos amost ras a par ti r de uma grande popul acao f in it a (por

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    Usando logaritmos, temosonde 1 nh ~ - - - - z L (x - 1L)2 .2u j=l

    In I = -m In v'2"; - n In II - h.A primeira equacac em (8) e o(ln f ) /alL = 0, escrita como

    ~ ~ -!!:_ ~ - . ! , ix - IL) ~ 0,a } L a IL U j=lA so luc ao e a estimative desejada ji para J . L ; encontramos

    LX i - n IL ~ O.j=l

    logo,

    Asegunda equacao em (8) e a(ln f )HJ( r = 0, escrita como~ = - ! ! _ - ~ = - !!_ + ~ ~ (X j - J . L )2 = o.au a au U o j-=l

    Substituindo Ii- por jL e resclvendo para 02 , obtemos a estimativaii2 ~ _I _ ix. _ i)2

    n '=que uti lizarernos na Secao 25.7. Note que isso difere de (2) . Nao podemos discuti r c ri te rios para a eficiencia de est imat ivas. mas vale men~cionar que , para pequenos valores de n a formula (2) e preferfvel.

    a e st im at iva de max im a ver os simi lbanca par a 0 parame-uma d is tr ibui ca o norma l c om var ia nc ia c onhe ci da a 2 =

    LEMAS PROPOSTOS 25.2

    ) rne todo da maxima verossimilhanca a distr ibuicao nor -IL ~ O.Ij~o binomial) Obt enha a e st im at ive de max im a ver os -a para p.I Pr ob lema 3 como a s eg ui r. S up on ha q ue m vezes n ten-r am f ei ta s e que nas n primeiras tentativas A aconteceu klin segundas tenta tivas A aconteceu f0 . v ez es .: . -, e n es ntentativas A aconteceu km vexes. Encontre uma est imat i-xirna verussimilhanca de p baseada nessa inforrnacao.q ue, n o Pr ob lema 4 , t en har no s fe it o 5 t en ta ti va s 4 v ez esc on te ce u 2 , 1 , 4 , 4 vez es , r espe ct ivar ne nt e. E st im e p.~X =Numerode tentatil:asindcpendentes a te um eventoA~ostre queX tern a funcao de probabilidadej(x) = pq"-',. . , o n de p ea p ro ba bi li dad e d e A n uma u ni ca t en ra tiv ap. Encon tr e a e st ir na ti va de max im a ver os simi lhanca demden te a uma amost ra Xl' .. " Xn de valores observados

    .ma 6, encontre a est imat ive de maxima verossimilhancaspondente a uma unica observacao x d e X.nento d e u rn d ad o, s up on ba q ue o bt emo s a p ri mei ra fa cet im a t en ta ti va e que , c omec ando de novo, n6s a obt emosmtativa. Estime a probabilidade p de obt er rnos u rna f ac endo 0 d ad o uma u ni ca v ez .

    Intervalos de Confianca

    9, (Dist rtbukao de Poisson) Aplique 0 metodo da maxima vercssi-rnilhanca a distr ibuicao de Poisson.

    10. (Dist ribu~Q uniforme) Most re q ue , n o ca so d os parsrnctros a eb de uma d is tr ibui ca o uni fo rm e ( ve ja a Sec ao 24.6) , a e st im at ivad e max ima v er os simi lh an ca n ao p od e s ec o bti da ig ual an do -s e ap ri me ir a d ert ve da a z ero . Como p od er no s o bte r a e sti ma tiv e d emax im a ver os simi lhanca nes se c aso?

    1 1. En co nt re a es ti mat iv e d e ma xima v cr os si mil ha nca d e () n a d en si -dade j(x) = 8e

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    Usando logaritmos, temosonde 1 nh ~ - - - - z L (x - 1L)2 .2u j=l

    In I = -m In v'2"; - n In II - h.A primeira equacac em (8) e o(ln f ) /alL = 0, escrita como

    ~ ~ -!!:_ ~ - . ! , ix - IL) ~ 0,a } L a IL U j=lA so luc ao e a estimative desejada ji para J . L ; encontramos

    LX i - n IL ~ O.j=l

    logo,

    Asegunda equacao em (8) e a(ln f )HJ( r = 0, escrita como~ = - ! ! _ - ~ = - !!_ + ~ ~ (X j - J . L )2 = o.au a au U o j-=l

    Substituindo Ii- por jL e resclvendo para 02 , obtemos a estimativaii2 ~ _I _ ix. _ i)2

    n '=que uti lizarernos na Secao 25.7. Note que isso difere de (2) . Nao podemos discuti r c ri te rios para a eficiencia de est imat ivas. mas vale men~cionar que , para pequenos valores de n a formula (2) e preferfvel.

    a e st im at iva de max im a ver os simi lbanca par a 0 parame-uma d is tr ibui ca o norma l c om var ia nc ia c onhe ci da a 2 =

    LEMAS PROPOSTOS 25.2

    ) rne todo da maxima verossimilhanca a distr ibuicao nor -IL ~ O.Ij~o binomial) Obt enha a e st im at ive de max im a ver os -a para p.I Pr ob lema 3 como a s eg ui r. S up on ha q ue m vezes n ten-r am f ei ta s e que nas n primeiras tentativas A aconteceu klin segundas tenta tivas A aconteceu f0 . v ez es .: . -, e n es ntentativas A aconteceu km vexes. Encontre uma est imat i-xirna verussimilhanca de p baseada nessa inforrnacao.q ue, n o Pr ob lema 4 , t en har no s fe it o 5 t en ta ti va s 4 v ez esc on te ce u 2 , 1 , 4 , 4 vez es , r espe ct ivar ne nt e. E st im e p.~X =Numerode tentatil:asindcpendentes a te um eventoA~ostre queX tern a funcao de probabilidadej(x) = pq"-',. . , o n de p ea p ro ba bi li dad e d e A n uma u ni ca t en ra tiv ap. Encon tr e a e st ir na ti va de max im a ver os simi lhanca demden te a uma amost ra Xl' .. " Xn de valores observados

    .ma 6, encontre a est imat ive de maxima verossimilhancaspondente a uma unica observacao x d e X.nento d e u rn d ad o, s up on ba q ue o bt emo s a p ri mei ra fa cet im a t en ta ti va e que , c omec ando de novo, n6s a obt emosmtativa. Estime a probabilidade p de obt er rnos u rna f ac endo 0 d ad o uma u ni ca v ez .

    Intervalos de Confianca

    9, (Dist rtbukao de Poisson) Aplique 0 metodo da maxima vercssi-rnilhanca a distr ibuicao de Poisson.

    10. (Dist ribu~Q uniforme) Most re q ue , n o ca so d os parsrnctros a eb de uma d is tr ibui ca o uni fo rm e ( ve ja a Sec ao 24.6) , a e st im at ivad e max ima v er os simi lh an ca n ao p od e s ec o bti da ig ual an do -s e ap ri me ir a d ert ve da a z ero . Como p od er no s o bte r a e sti ma tiv e d emax im a ver os simi lhanca nes se c aso?

    1 1. En co nt re a es ti mat iv e d e ma xima v cr os si mil ha nca d e () n a d en si -dade j(x) = 8e

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    Probabilidade, Estatistica

    A F ig . 5 27 compa ra a curva d a d en si dade d a d is tr ib uic ao f com a da dis tr ibui cao normal. Est a u lt ima e maisinclinada. Isso i lustra 0 f at o d e que a T ab el a 25.1 ( qu e u sa ma is in fo rm acoe s, a s ab er , 0 valor conheci do de a")p rodu z in te rv alo s d e con fia nc a meno re s que o s d a T ab el a 25.2 . T al f at o e confi rmado na Fig . 528 , que t ambernn os da uma ideia do g anho obtido com 0decrescimo do tamanho amostral.

    1 \\ \\~Y=99%\ r o o 95%

    ,~,~ - - - - - - - = =0~--~----~I~O--n--~--~20

    L"iL 1 .5

    Fig. 528. Razao dos comprimentos L' e L dos intervalos de c on fi an ca ( 1 0) e (3 ) com y = 95 % e y = 99 % como umafun~ao do tamanho amostral n para s e

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    Probabilidade, Estatistica

    A F ig . 5 27 compa ra a curva d a d en si dade d a d is tr ib uic ao f com a da dis tr ibui cao normal. Est a u lt ima e maisinclinada. Isso i lustra 0 f at o d e que a T ab el a 25.1 ( qu e u sa ma is in fo rm acoe s, a s ab er , 0 valor conheci do de a")p rodu z in te rv alo s d e con fia nc a meno re s que o s d a T ab el a 25.2 . T al f at o e confi rmado na Fig . 528 , que t ambernn os da uma ideia do g anho obtido com 0decrescimo do tamanho amostral.

    1 \\ \\~Y=99%\ r o o 95%

    ,~,~ - - - - - - - = =0~--~----~I~O--n--~--~20

    L"iL 1 .5

    Fig. 528. Razao dos comprimentos L' e L dos intervalos de c on fi an ca ( 1 0) e (3 ) com y = 95 % e y = 99 % como umafun~ao do tamanho amostral n para s e

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    Probabllidade, Estatlstica

    ) var ia ve is a le at 6r ia s norma is e i ndependent es , c omvar ianc ia 3 e 1,respec tivarnente , que distr ibuicao terntstdo: use 0 P ro je to de Equ ipe 14( g) na Secao 24.8.p re en ch e com X I b d e s al ca ix as d e p es o Y tb, ondenais com media 100 Ib e 5 Ib e desvio-padrao 1 I b ei vament e. Qua l e a por ce nt agem e sper ada de c ai xa sesando entre 104 lb e 106 lb?Ie sacos de cimento e normalmente disrribufdo com: 4 0 kg e um d esv io -p ad ra o d e 2 k g, q uan to s s ac os

    p od e u rn cami nh ao d e en tre gas ca rr eg ar d e t al f orma q ue a p ro -b ab il id ad e d e a c ar ga to ta l e xced er 2 00 0 k g e de 5%?

    25. EXPERIMENTO DE ALGEBRA COMPUTACIONAL.Intervalos de Ccnfianca. Obtenha 100 amostras de tamanho 10d e u rn a distnbuicao n or ma l p ad ro niz ad a. Us an do -as , c al cul e ere pre se nt e g rafi camen te o s i nte rv alo s d e co nf ian ca d e 9 5% p araa media e conte quantos deles naD content O.0 resul tado estad e a co rd o com a t eo ri a? R ep it a t od o 0 e xper ir ne nt o, c ompa re ecomente.

    re ste d e H ip6te se s. D e cis 6e s~side ias dos i nt erva los deconf ianca e dos t es tcs' ' sao asduas mai s important es na est at fs ti ca modema. Num tes te.s ta ns tic o, f az emo s in fe re nc ia s p ar a a popu lac ao a p ar tir d e amos tr as , p or me io d a te st agem de uma h ip6te se ,esu lt ando de expcr ienc ias ou observacoes , de uma t eori a ou de urn requerimento de quali dade , e ass im por d iant e.Em muitos casas, usa-se 0 r es ulta do de u rn te st e c omo bas e pa ra uma dec is ao , p or ex er np lo , s ob re comp ra r ( ou. laOcomprar) um cer to modelo de carro . dependendo de urn t es te de efi ci enci a do consumo de combust ivel (emmilhas/ ga lao) (e out ros t es tes, nat ural rnen te), sobre apl icar a lguma medicacao , dependendo de urn t es te sobre seuefe it o; para adotar uma est ra tegi a de rnercado, dependendo de um tes te de reacoes dos consumidores e tc .Expli quemos esse t es te por meio de urn exemplo t fp ico e i nt roduzamos as correspondent es not acoes-padrao

    da testagem estatfstica,Teste de Hip6teses. Alternativa, Nivel de Significancia aDesejamos comprar 100 rolos de urn cer to r ipe de arame. no intui to de ver if icarmos a afi rmacao do fabricante de que 0 arame tern urn limitederuptura de Jl = J I . o = 200 I tt (ou mais) . I stc e urn teste da hip6tese ( tambem chamada de hpotese nufa) p.::; J . L o = 200. Nao compraremos 0arame se 0 teste (estatfstico) mostrar que, na verdade. J = IJ.I < 1 J . o , sendo 0 arame fraco e a afirmacao do fabricante nac seria verdadeira. ""1e a chamada alterna tiva (ou hipotese alternativa) doteste . Devemos ace itar a hiporese ee 0 teste sugenr que ela e verdadeira. excero por urnpequeno erro de probabi lidade c , cbamado de Rivel de significinc ia do teste . De outro modo. rejeitamos a hipotese. Consequentemente, o ea probabi lidade de rejei ta r uma hipotese apesar de e la ser verdadeira. A escolha de Q_ f ica a nosso cri te rio. 5% e I% sao valores comuns.

    Para 0 teste . precisamos de uma amostra . Selec ionamos aleator ia rnente 25 rolos de arame. cor tamos urn pedaco de cada rolo e deter rni-namos experimentalmente as lirrnres de ruptura . Supcnha que essa amosr ra de n = 25 valores de l imite de rupture tenha a media x = 197 lb(urn tanto menor que 0 anunciado!) e 0 desvio-padrao s = 6 l b.

    Nes te pon te . podenamos soment e e spec ul ar s e a d if er enca 197 - 200 = - 3 s e de ve a a rr edondemenr cs . s e e urn efe itc casua l. ou se esignificante. devido a r ea l qualidade infer ior do ararne. Para I rmos alem das especulacoes. precisamos da teoria das probabi lidades, comose segue.

    Suponhamos que os l irni tes deruptura tenham uma distr ibuicao normal. (Essa suposicao pode ser testada pelo metoda da Se9iio 25.7. Oupodemos nos recordar do teorema do l imite central (Se93o 25.3) e coletar rna amostra a inda maior .) Entao,

    T~ X - I ' < lSIYn

    em ( II ) daSe~3o 25.3. c om IJ.::: f.Lo. (em uma distribuifiio I com n - I graus de liberdade ( /I - I = 24 para a oossa amostra). Alem disso,; = 197 e s = 6 sao valores observados de XeS a serem usados mais tarde . Podemos agora escclher urn nivel de significanc ia , digamos.c = 5%. D a T a be la A 9 no Apendice 5 ou de urn programa de ccmputador, obtemos entao urnvalor enrico c talque P(T ~ c) == a == 5%. Parap eT ~ c ) = I - Q_ = 95%. a tabela fomece c = 1,71, de forma que c = .,z = -1,71 devido a simetria da distribuicac (Fig. 531).

    Usamos agora 0 seguime rac iocfnio - esta e a idiw crucial do teste . Se a hipotese e verdadeira. ecuo temos uma chance de somente e(= 5%) de observannos um valor t de T ( ca lculado a par ti r da amostra) que estara situado entre _ 0 e -1,71. Logo, se nao obstante obser -varmos esse valor t, afi rmaremcs que a hipotese nao pock ser verdadeira e a rejei ramcs. Entao ace itamos a a ltemat iva. Se, contudo, t ~ c.aceiramos a hip6tese.

    IRee,ar el I Nao r ee t ar a hp6t ese

    ~ c - -1,71 0fig. 531. Distribui~ao t do Xemplo 1

    ' fnic rando-se por vol ta de 1930, uma tecria sistematica de testes foi desenvolvida por NEYMAN (veja a Seese 25.3) e EGON SHARPEPEARSON (1895-1980) . estar fstico ingles, f ilho de Kar l Pearson (ve ja a nota de radapt mais adiante).

    Capitulo 25: Estatistica Matematica 2

    . ~m simpl~s :alculo f inalme~te nQS fo~e' = (197 - 200)/ (6/V2s} = - 2. 5 c omo urn val or obser va do de T_ Como -2,5 < _I.:~~~~ i : : : .hiporese (a afi rmacao do fabricante) e ace itamos a a ltemat iva I.L = IL < 2 00 , a d e q ue 0 a rame par ee e s er ma is f ra co quEsse exemplo i lust ra os passos de um teste:1 . Forrnul e a h ipot ese (I : (10 a ser testada. (10: iJ.oneste exemplo.)2. Fonnule uma alternativa (I : 8 ,. (8, : i J. , nest e exemplo .)3 . Escolha urn n ivel de s igni fi di nc ia a (5%,1%,0,1%).4. Use uma _var, iavel aleat6ria e ", g(X,,' . " Xn) cuja di str ibu ica o d ep ende d a h ip 6te se e d a a ltema ti va , e ed ,s tn~Ul~ao e conheci da em ambos os cas ,!s. Det ermine urn val or crf ti co c da dis tr ibui cao de fl, supondo (a hipotese seja verdadeira. (No exemplo, e '"T, e c : a, com c obtido de P(T ~ c) =a).

    5. Use urna amostra x,, .. , xn para detenninar urn valor observado e = g(X,,' .. , xn) de e . (t no exernplo.)6. A?eit : o u r eje it ,e a h ip 6te se , depend endo do t amanho d e e rel at ivo a c . (nest e exemplo , t < C 0 que l evarejeicao da hipotese.) ,Doi s i rnport an tes fat os requerem uma discus sao adi ci onal e uma maior a tencao . 0p rime ir o e a e sc ol ha d e u

    alternativa, No exemplo, iJ. , < i J. o, porem out ras apl icacoes podem requerer i J. 1> u OUiJ.I * iJ.o.0 segundo ft er n, a v er c om os e rr os . Sabemos que a (0 nfv~1 de s igni fi cf inci a do t es te ) e a probabi li dade de rejeicao de uhipotese verdadeira, E discuti remos a probabi lidade f3 da aceitarao de urna hip6tese falsa.Alternativas Uni e Bilaterais (Fig. 532)C~nsidcre~os (I,u~ pa ra rne tr o d es conh ec id o numa d is tr ib ui~ao e suponh amos que de se jamos t es ta r a h ip 6t8 - (10' Ent ao , ha t res upos pnncrpa is de a lt erna ti vas, a saber ,(I)(2)(3)(I ) e (2) sao a1temativas unilaterais e ( 3) e uma alternativa bilateral .Ch amamos de r egi ao d e r ej ei ~o (ou r eg ii io c rit ic al a r eg ia o n a qua l r eje it amo s a h ip 6te se c aso n ela c a

    val or observ~do do t es t: . Em " I " , 0c crftico situa-se a direi ta de 11 0 porque 0mesmo ocorre com a alt erna tLo~o, a reg iao de rej ei cao se est ende a direita. Este e 0 ch amado te st e do l ado di re ito . Em "2" , 0 C crf ti co s ise a esquerda de 80 (como no Exemplo I),a reg iao de rej ei cao se est ende it esquerda e temos um teste do I~squerdo (FIg. 532 , p~r te cen tral ). Esses sao os t es tes uni la te ra is . Em "3" , t ernos duas reg ioes dc rej ei cao. Ie 0 chamado t es te umlat eral (FIg. 532 , par te i nfer io r) .

    Regiao de Aceita~aoNao ree t ar a t uoot ese(Aceitar a trtpotese)

    Rega", oe(RegaoReet er a t uuct ese

    .L_~ " i 1W ! ! ! ! ! l l i " fti1i80

    Re g ia o d e A c e it a c aoNao rejeitar a hipotese( Ac e ta r a tuootesei

    Regao de Aceta~aoNao reetar ahpotese

    (Ace ta r a hpo tese

    c ,f ig . 532 . Tes te no caso da alternativa (1) (parte superior da figural , alternativa (2) (parte central ) e alternativa I

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    Probabllidade, Estatlstica

    ) var ia ve is a le at 6r ia s norma is e i ndependent es , c omvar ianc ia 3 e 1,respec tivarnente , que distr ibuicao terntstdo: use 0 P ro je to de Equ ipe 14( g) na Secao 24.8.p re en ch e com X I b d e s al ca ix as d e p es o Y tb, ondenais com media 100 Ib e 5 Ib e desvio-padrao 1 I b ei vament e. Qua l e a por ce nt agem e sper ada de c ai xa sesando entre 104 lb e 106 lb?Ie sacos de cimento e normalmente disrribufdo com: 4 0 kg e um d esv io -p ad ra o d e 2 k g, q uan to s s ac os

    p od e u rn cami nh ao d e en tre gas ca rr eg ar d e t al f orma q ue a p ro -b ab il id ad e d e a c ar ga to ta l e xced er 2 00 0 k g e de 5%?

    25. EXPERIMENTO DE ALGEBRA COMPUTACIONAL.Intervalos de Ccnfianca. Obtenha 100 amostras de tamanho 10d e u rn a distnbuicao n or ma l p ad ro niz ad a. Us an do -as , c al cul e ere pre se nt e g rafi camen te o s i nte rv alo s d e co nf ian ca d e 9 5% p araa media e conte quantos deles naD content O.0 resul tado estad e a co rd o com a t eo ri a? R ep it a t od o 0 e xper ir ne nt o, c ompa re ecomente.

    re ste d e H ip6te se s. D e cis 6e s~side ias dos i nt erva los deconf ianca e dos t es tcs' ' sao asduas mai s important es na est at fs ti ca modema. Num tes te.s ta ns tic o, f az emo s in fe re nc ia s p ar a a popu lac ao a p ar tir d e amos tr as , p or me io d a te st agem de uma h ip6te se ,esu lt ando de expcr ienc ias ou observacoes , de uma t eori a ou de urn requerimento de quali dade , e ass im por d iant e.Em muitos casas, usa-se 0 r es ulta do de u rn te st e c omo bas e pa ra uma dec is ao , p or ex er np lo , s ob re comp ra r ( ou. laOcomprar) um cer to modelo de carro . dependendo de urn t es te de efi ci enci a do consumo de combust ivel (emmilhas/ ga lao) (e out ros t es tes, nat ural rnen te), sobre apl icar a lguma medicacao , dependendo de urn t es te sobre seuefe it o; para adotar uma est ra tegi a de rnercado, dependendo de um tes te de reacoes dos consumidores e tc .Expli quemos esse t es te por meio de urn exemplo t fp ico e i nt roduzamos as correspondent es not acoes-padrao

    da testagem estatfstica,Teste de Hip6teses. Alternativa, Nivel de Significancia aDesejamos comprar 100 rolos de urn cer to r ipe de arame. no intui to de ver if icarmos a afi rmacao do fabricante de que 0 arame tern urn limitederuptura de Jl = J I . o = 200 I tt (ou mais) . I stc e urn teste da hip6tese ( tambem chamada de hpotese nufa) p.::; J . L o = 200. Nao compraremos 0arame se 0 teste (estatfstico) mostrar que, na verdade. J = IJ.I < 1 J . o , sendo 0 arame fraco e a afirmacao do fabricante nac seria verdadeira. ""1e a chamada alterna tiva (ou hipotese alternativa) doteste . Devemos ace itar a hiporese ee 0 teste sugenr que ela e verdadeira. excero por urnpequeno erro de probabi lidade c , cbamado de Rivel de significinc ia do teste . De outro modo. rejeitamos a hipotese. Consequentemente, o ea probabi lidade de rejei ta r uma hipotese apesar de e la ser verdadeira. A escolha de Q_ f ica a nosso cri te rio. 5% e I% sao valores comuns.

    Para 0 teste . precisamos de uma amostra . Selec ionamos aleator ia rnente 25 rolos de arame. cor tamos urn pedaco de cada rolo e deter rni-namos experimentalmente as lirrnres de ruptura . Supcnha que essa amosr ra de n = 25 valores de l imite de rupture tenha a media x = 197 lb(urn tanto menor que 0 anunciado!) e 0 desvio-padrao s = 6 l b.

    Nes te pon te . podenamos soment e e spec ul ar s e a d if er enca 197 - 200 = - 3 s e de ve a a rr edondemenr cs . s e e urn efe itc casua l. ou se esignificante. devido a r ea l qualidade infer ior do ararne. Para I rmos alem das especulacoes. precisamos da teoria das probabi lidades, comose segue.

    Suponhamos que os l irni tes deruptura tenham uma distr ibuicao normal. (Essa suposicao pode ser testada pelo metoda da Se9iio 25.7. Oupodemos nos recordar do teorema do l imite central (Se93o 25.3) e coletar rna amostra a inda maior .) Entao,

    T~ X - I ' < lSIYn

    em ( II ) daSe~3o 25.3. c om IJ.::: f.Lo. (em uma distribuifiio I com n - I graus de liberdade ( /I - I = 24 para a oossa amostra). Alem disso,; = 197 e s = 6 sao valores observados de XeS a serem usados mais tarde . Podemos agora escclher urn nivel de significanc ia , digamos.c = 5%. D a T a be la A 9 no Apendice 5 ou de urn programa de ccmputador, obtemos entao urnvalor enrico c talque P(T ~ c) == a == 5%. Parap eT ~ c ) = I - Q_ = 95%. a tabela fomece c = 1,71, de forma que c = .,z = -1,71 devido a simetria da distribuicac (Fig. 531).

    Usamos agora 0 seguime rac iocfnio - esta e a idiw crucial do teste . Se a hipotese e verdadeira. ecuo temos uma chance de somente e(= 5%) de observannos um valor t de T ( ca lculado a par ti r da amostra) que estara situado entre _ 0 e -1,71. Logo, se nao obstante obser -varmos esse valor t, afi rmaremcs que a hipotese nao pock ser verdadeira e a rejei ramcs. Entao ace itamos a a ltemat iva. Se, contudo, t ~ c.aceiramos a hip6tese.

    IRee,ar el I Nao r ee t ar a hp6t ese

    ~ c - -1,71 0fig. 531. Distribui~ao t do Xemplo 1

    ' fnic rando-se por vol ta de 1930, uma tecria sistematica de testes foi desenvolvida por NEYMAN (veja a Seese 25.3) e EGON SHARPEPEARSON (1895-1980) . estar fstico ingles, f ilho de Kar l Pearson (ve ja a nota de radapt mais adiante).

    Capitulo 25: Estatistica Matematica 2

    . ~m simpl~s :alculo f inalme~te nQS fo~e' = (197 - 200)/ (6/V2s} = - 2. 5 c omo urn val or obser va do de T_ Como -2,5 < _I.:~~~~ i : : : .hiporese (a afi rmacao do fabricante) e ace itamos a a ltemat iva I.L = IL < 2 00 , a d e q ue 0 a rame par ee e s er ma is f ra co quEsse exemplo i lust ra os passos de um teste:1 . Forrnul e a h ipot ese (I : (10 a ser testada. (10: iJ.oneste exemplo.)2. Fonnule uma alternativa (I : 8 ,. (8, : i J. , nest e exemplo .)3 . Escolha urn n ivel de s igni fi di nc ia a (5%,1%,0,1%).4. Use uma _var, iavel aleat6ria e ", g(X,,' . " Xn) cuja di str ibu ica o d ep ende d a h ip 6te se e d a a ltema ti va , e ed ,s tn~Ul~ao e conheci da em ambos os cas ,!s. Det ermine urn val or crf ti co c da dis tr ibui cao de fl, supondo (a hipotese seja verdadeira. (No exemplo, e '"T, e c : a, com c obtido de P(T ~ c) =a).

    5. Use urna amostra x,, .. , xn para detenninar urn valor observado e = g(X,,' .. , xn) de e . (t no exernplo.)6. A?eit : o u r eje it ,e a h ip 6te se , depend endo do t amanho d e e rel at ivo a c . (nest e exemplo , t < C 0 que l evarejeicao da hipotese.) ,Doi s i rnport an tes fat os requerem uma discus sao adi ci onal e uma maior a tencao . 0p rime ir o e a e sc ol ha d e u

    alternativa, No exemplo, iJ. , < i J. o, porem out ras apl icacoes podem requerer i J. 1> u OUiJ.I * iJ.o.0 segundo ft er n, a v er c om os e rr os . Sabemos que a (0 nfv~1 de s igni fi cf inci a do t es te ) e a probabi li dade de rejeicao de uhipotese verdadeira, E discuti remos a probabi lidade f3 da aceitarao de urna hip6tese falsa.Alternativas Uni e Bilaterais (Fig. 532)C~nsidcre~os (I,u~ pa ra rne tr o d es conh ec id o numa d is tr ib ui~ao e suponh amos que de se jamos t es ta r a h ip 6t8 - (10' Ent ao , ha t res upos pnncrpa is de a lt erna ti vas, a saber ,(I)(2)(3)(I ) e (2) sao a1temativas unilaterais e ( 3) e uma alternativa bilateral .Ch amamos de r egi ao d e r ej ei ~o (ou r eg ii io c rit ic al a r eg ia o n a qua l r eje it amo s a h ip 6te se c aso n ela c a

    val or observ~do do t es t: . Em " I " , 0c crftico situa-se a direi ta de 11 0 porque 0mesmo ocorre com a alt erna tLo~o, a reg iao de rej ei cao se est ende a direita. Este e 0 ch amado te st e do l ado di re ito . Em "2" , 0 C crf ti co s ise a esquerda de 80 (como no Exemplo I),a reg iao de rej ei cao se est ende it esquerda e temos um teste do I~squerdo (FIg. 532 , p~r te cen tral ). Esses sao os t es tes uni la te ra is . Em "3" , t ernos duas reg ioes dc rej ei cao. Ie 0 chamado t es te umlat eral (FIg. 532 , par te i nfer io r) .

    Regiao de Aceita~aoNao ree t ar a t uoot ese(Aceitar a trtpotese)

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    .L_~ " i 1W ! ! ! ! ! l l i " fti1i80

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    Regao de Aceta~aoNao reetar ahpotese

    (Ace ta r a hpo tese

    c ,f ig . 532 . Tes te no caso da alternativa (1) (parte superior da figural , alternativa (2) (parte central ) e alternativa I

    Cap it ul o 25 : fs tatistica Matemat i c a

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    0,4

    02

    20 22 1-'0 26 28 JiFig,534, Fun,ao do poder "' (1 ' ) do Exemplo 2, para 0 caso (a) (Iinha tracejada) e 0 caso (c)

    (8) (22,44 - p.) )TJ ( ~ ) - < I > ( - ~ ) = I-a = 0,95.'\,/Q.9 I k - I 8 6 I 0 fo rn ec e o s v al ore s c == 24 -1,86 = 22.14 e C2 = 24 + 1.86 = 25,86.A T_!belaAS no Apendice 5 fom~ce kl 0,9 = _ 1,960, ~~p60' - Ca~ s;ontr. ir io rejenamo- !a . ~ fun9ao do poder do teste e (Fig. 534)Se rna o e m e n or q u e C1 ou mater qu e C2 acertamos a Lese. ,

    ,.,(1') = P(X < 22,14)~ + P(X> 25,86). = P(X < 22.14). + I-P(X '" 25,86)._ (~) _(,25,86-1')-1+ v09 v099)= I+ (23,34- 1,05p.) - (27,26- 1,05p.) .

    Consequentemente. a caractertsuca operacional f3(p.) = 1 - l1(JL) (ve ja antes) e (Fig. 535)J3(p.) = (27,26- 1,051') - (23,34- 1,05p.) .

    Se usarmos uma amcstra maier , digamos, de tamanho n ~ 100 (ao inves de 10) . ,en.tao crln ~ 0,09 (ao inve~ de 0,9) e as valores crt ticossao Ct = - 23.41 e c: = - 2459. COI1'\Oodemos prontamente verificar. Entjo. a caractenstlca operacicnal do teste e

    (24.59 - p.) (23.41 - p.)i'{1') = v o : o 9 - v o : o 9= (81,97- 3,331') - (78,03- 3,331') .

    A Fig. 535 mcstra que a curva CO corres(X)n~entea~ m::~:;c~nea~~~~~i:~~ ; : : e ~ :;a~ t~ ~~sS~i:~~~r :~u:oo;:s:e: :~~~n g~: :~~o~num ape rf ei ~ament o do t es te . Emqual que: s rt ua c . e ue s e iam de i nt er es se p ra ti co . Por e xemplo . s e e s tamos i nr er es sa dos emde sv iossuficiente para fazer a teste apresentar desvios e,ntre.IL JLq q J . d _ 2 4 _ 2 ::::22 ou p o . ~ 24 + 2 = 26. f3 vale aproximadamentede 2unidades, vemos da Fig. 535 que n = 10e muuo pequeno. pOS ~uan 0 p o . - 50%. Por outre Iado. vemos que n = 100 e suficiente para esse propos ItO.

    ~(P)1,008

    0,6

    / \ = 1 0\0,40220 22 lLo 26 2B JL

    Fig,535.(urvas de caracterist ica operacional (curvas (0) do Exemplo 2, caso (c),para doisdiferentes tarnanhos arnostrais n

    II~ Teste para a Media fL Q uando a V ariancia (T2 ED esconhecida, e para (T2EXEMPlO 3 Tes te p ar a a Med ia da Di str ibu i~o Norma l ( om a Va ria nc ia De sconh ec id aPara n = 16cordas de canhamo (diametro de 3 polegadas). mediram-se suas tensoes de ruptura . A media amcstra l foi X : :: . 4 48 2 k gf , e (vio-padrao amostral foi s = 115 kgf (N. C. Wiley , 4 t I Enconrro Anual daAmer ican Socie ty for Testing Mater ia ls). Supondo que a resista tensao e urna variavel alearoria normal. teste a hipotese #L ( ) : : :. 4500 kgf contra a altemativa J-li = 4400 kgf Aqui, JL o pode ser urn valorpelo fabricante. enquanto / - L l pode resultar de experiencias anteriores.Soluciio. Adotemos 0 nfvet de significancia a = 5%. Sea hipctese e verdadeira, entao decorre do Teorema 2na Se9ac ; ~ 5. 3que a vaaleatoria

    X - I;) X - 4500T=-=--SlY;; SI4tern urna distribuicao t com n - I = 15g .l . 0 teste e do lade esquerdo. 0 valor crt tico c e obt ido de P(T < c)JLO= ex = 0.05. A Tabela PApendice 5 fomece c = -1.75. Como urn valor observado de T, obr emos da amostra t = (4482 - 45OO}/(115/4) = -0.626. Vemo s que taceitamos a hipotese. Para obtermos valores numericos sabre 0 poder do teste, precisartamos das chamadas tabelas t de Student nao-cenuma questao que nao discutiremos aqui.

    EXEMP lO 4 Tes te p ar a a Va ria nd a d a O is tr ib ui~ao No rma lUsando uma amostra de tamanho n = 15e uma var ianc ia amcstra l s2 = 13de urna populacao normal, teste a hipotese