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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Marco,
2000 83
A Teoria de Renormalizac~ao no Calculo
dos Potenciais Escalar Eletrico e Vetorial Magnetico
(Renormalization theory in the electrostatic and vector
potential calculation)
Wesley Spalenza e Jose Alexandre Nogueiras
Departamento de Fsica, Centro de Cie^ncias Exatas,
Universidade Federal do Espirito Santo,
29.060-900 - Vitoria-ES - Brasil,
E-mail:[email protected]
Recebido em 14 de junho, 1999
Neste trabalho tentamos mostrar de uma maneira clara e simples
as ideias fundamentais da Teoria
de Renormalizac~ao. Neste intuito usamos dois problemas bem
conhecidos dos alunos de graduac~ao
de Cie^ncias Exatas, os calculos do potencial eletrico escalar e
magnetico vetorial de um o innito
de carga e corrente eletrica, respectivamente. Diferentes
metodos de regularizac~ao (por corte,
dimensional e func~ao zeta) s~ao usados e o aparecimento do
para^metro de escala e discutido.
In this work we attempt to show, in a clear and simple manner,
the fundamental ideas of the Re-
normalization Theory. For this purpose, we use two well-known
problems of Physics undergraduate
students, the calculation of the electrostatic and vector
potential of a innite line charge density
and current, respectively. We still employ dierent
regularization methods (cut-o, dimensional
and zeta function) and the existence of the scale parameter is
discussed.
I Introduc~ao
Nos dias atuais a Teoria Qua^ntica de Campos e larga-
mente empregada em diversas areas da fsica, tais como,
Fsica de Altas Energias, Meca^nica Estatstica, Materia
Condensada, etc. Como a Teoria Qua^ntica de Campos
lida fundamentalmente de aspectos perturbativos, ela
sofre de graves problemas de diverge^ncias. O trata-
mento destas diverge^ncias te^m sido um enorme desao
para os fsicos. A natureza matematica do problema
e bem conhecida. Diverge^ncias ocorrem nos calculos
perturbativos porque duas distribuic~oes n~ao podem ser
multiplicadas em um mesmo ponto. Varios metodos
tem sido propostos para solucionar este problema. En-
tretanto somente e possvel eliminar estes innitos de
uma maneira fsica e consistente para absorve^-los nos
para^metros livres da teoria (massa e constante de aco-
plamento).
O procedimento usual para sanar o problema das
diverge^ncias e empregar um metodo de regularizac~ao
(por corte, dimensional, zeta, etc.), tornando a teoria
nita atraves do uso de um regulador (para^metro de
regularizac~ao) a m de isolar as diverge^ncias e, ent~ao,
restabelecer a teoria original com a eliminac~ao do regu-
lador usando uma prescric~ao de renormalizac~ao, sub-
trac~ao dos polos ou adic~ao de contra-termos.
De maneira geral o entendimento do procedimento
de renormalizac~ao empregado ca prejudicado devido
a complexidade da Teoria Qua^ntica de Campos. A m
de contornar esta diculdade, vamos tratar aqui de dois
problemas simples e bem conhecidos por qualquer aluno
de graduac~ao em Fsica e possivelmente dos demais cur-
sos da area de Cie^ncias Exatas.
Os problemas aos quais nos referimos e o da deter-
minac~ao do potencial escalar eletrico e do potencial ve-
tor magnetico de um o innito de carga e de corrente,
respectivamente. Tais problemas, de um modo geral,
parecem ambguos para os alunos, pois escondido neles
existe um procedimento de renormalizac~ao, como apon-
tou Hans em seu artigo [1]. Uma maneira encontrada
para se evitar diretamente as diverge^ncias nos calculos
dos potenciais, e primeiramente determinar os campos
eletrico e magnetico e em seguida calcular os potenciais
eletrico escalar e magnetico vetorial do o innito.
O artigo esta organizado com segue. Na sec~ao II
tratamos do calculo do potencial eletrico de um o in-
nito com densidade linear de carga e do potencial
magnetico de um o innito de corrente constante, que
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84 Wesley Spalenza e Jose Alexandre Nogueiras
nos conduzira a uma integral divergente. Nas sec~oes
III, IV e V nos regularizamos a integral divergente ob-
tida na sec~ao anterior usando os metodos, por corte [3],
dimensional [4] e func~ao zeta [5] respectivamente. Na
sec~ao VI usando as prescric~oes de renormalizac~ao, de-
terminamos os potenciais renormalizados, discutimos o
para^metro de escala e apresentamos as ideias basicas da
teoria de Renormalizac~ao em Teoria Qua^ntica de Cam-
pos.
II Potencial Escalar Eletrico e
Potencial Vetor Magnetico
O potencial eletrico (~r) gerado por um o innito
com densidade linear de carga em um ponto qualquer
do espaco exceto no o e dado por [2-3]
(~r) =
4"
0
Z
1
1
dz
p
z
2
+
2
; (1)
onde temos colocado o o sobre o eixo z e e a dista^ncia
do ponto ao o, coordenada radial cilndrica.
O potencial magnetico
~
A(~r) produzido por um o
innito de corrente eletrica constante i, e dado por [3]
~
A(~r) =
0
i
4
Z
1
1
dz
p
z
2
+
2
^
k; (2)
onde temos usando a mesma geometria anterior.
Uma analise dimensional da integral
I =
Z
1
1
dz
p
z
2
+
2
; (3)
que aparece nas equac~oes dos potenciais, mostra que
ela e dimensional e portanto sofre de uma diverge^ncia
logartmica.
Assim, vemos que para estes dois problemas simples
devemos empregar um procedimento de renormalizac~ao
a m de obtermos os potenciais renormalizados, isto e,
\observados" (a difere^nca de potencial entre dois pon-
tos, pois ele e uma grandeza relativa e n~ao absoluta).
A m de tornar a teoria nita e assim manuseavel,
devemos empregar um metodo de regularizac~ao. Isto
vai nos permitir separar a parte nita da divergente.
Porem, a teoria ca dependente de um para^metro de
regularizac~ao e uma prescric~ao de renormalizac~ao de-
vera ser empregada para restabelecermos a teoria origi-
nal. Vamos utilizar diferentes metodos de regularizac~ao
e mostrar que, embora cada um forneca um resultado
diferente, a teoria nal, isto e, renormalizada (fsica) e
independente do metodo de regularizac~ao usado.
III Regularizac~ao por Corte
Esse metodo de regularizac~ao se baseia no emprego
de um corte nos limites da integral, isto e, trocamos o
limite innito por um valor nito (para^metro regula-
rizador).
Com a inclus~ao do corte tornamos a teoria nita,
porem dependente de . Portanto, para restabelecer-
mos a teoria original, devemos ao nal tomar o limite
com tendendo a innito.
Na integral da eq.(3) vamos introduzir um corte
I
=
Z
0
dz
p
z
2
+
2
: (4)
Uma vez que tomaremos o limite, e conveniente ob-
termos o resultado da integral da eq.(4) em pote^ncias de
e de
1
de forma a permitir a separac~ao do(s) polo(s)
da parte nita. Vamos dividir a integral da eq.(4) em
duas partes
I
=
Z
0
dz
q
z
2
2
+ 1
+
Z
dz
z
q
2
z
2
+ 1
; (5)
para considerarmos os casos em que z < e z > .
Realizando as expans~oes em serie de Taylor dos inte-
grandos da eq. (5) e depois integrando termo a termo
obtemos
I
= C + ln
+O
1
2
; (6)
onde C e uma constante.
Podemos observar que quando tentamos restabele-
cer a teoria original, ou seja, tomamos o limite de
tendendo a innito, presenciamos uma diverge^ncia lo-
gartmica, como ja esperavamos.
IV Regularizac~ao Dimensional
Este metodo de regularizac~ao consiste em modi-
car a dimens~ao da integral atraves de uma continuac~ao
analtica de forma a torna-la nita. Consegue-se isto
trocando a dimens~ao do diferenciando por uma outra
complexa, atraves da inclus~ao de um para^metro regu-
larizador complexo, !
I(; !) =
Z
1
1
d
1!
z
p
z
2
+
2
: (7)
A integral (7) agora e nita e pode ser realizada
usando a relac~ao [4]
Z
1
1
k
2
+ a
2
d
m
k =
m
2
,(
m
2
)
,()
a
2
m
2
; (8)
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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Marco,
2000 85
obtendo
I(; !) =
!
2
,
!
2
()
!
: (9)
Para separarmos a parte nita da diverge^nte quando
! vai a zero, vamos fazer uma expans~ao em pote^ncias de
! da eq.(9), para isto usamos para j!j 1 as seguintes
relac~oes
,
!
2
=
2
!
+ O(!); (10)
e
!
= 1
!
2
ln(
2
) +O(!
2
); (11)
onde e o numero de Euler. Ent~ao temos
I(; !) =
!
2
2
!
ln
2
2
+O(!)
; (12)
onde temos includo um para^metro de escala com di-
mens~ao de comprimento, a m de tornar o argumento
do logartmo adimensional.
V Regularizac~ao por Func~ao
Zeta
A func~ao zeta generalizada associada a um operador
M e denida como
M
(s) =
X
i
s
i
; (13)
onde
i
, s~ao os auto-valores do operador M e s um
para^metro complexo.
Denimos, para o nosso caso, a func~ao zeta como
(s + 1=2) =
Z
1
1
z
2
2
+
2
2
s1=2
d
z
(14)
e a integral (3) torna-se
I(; s) = (s + 1=2): (15)
O para^metro de escala , com dimens~ao de compri-
mento, foi includo para tornar a func~ao zeta adimensi-
onal para todo s.
Usando a relac~ao (8) obtemos
(s + 1=2) =
p
,(s)
,(s+ 1=2)
2
2
s
(16)
que com a aproximac~ao
2
p
,(s)
,(s 1=2)
1
s
; (17)
para jsj 1, conduz a
(s + 1=2) =
2
2
s
2s(s 1=2)
: (18)
A continuac~ao analtica para s igual a zero da
eq.(18) e obtida multiplicando a equac~ao por s e em
seguida derivando em s = 0 [5]. Assim
(~r) =
2"
0
2"
0
ln
; (19)
~
A(~r) =
0
i
2
^
k
0
i
2
ln
^
k: (20)
VI Condic~oes de Renorma-
lizac~ao
Como podemos observar os potenciais obtidos
atraves dos resultados dados pelas eq.(6) e (12) s~ao
ainda divergentes. Portanto, devemos lancar m~ao de
uma prescric~ao de renormalizac~ao a m de eliminar a
parte divergente (polo).
Como prescric~ao de renormalizac~ao, usaremos a
condic~ao fsica de que os potenciais n~ao s~ao grande-
zas absolutas e sim relativas, isto e, somente diferencas
de potenciais podem ser observadas. Assim, usando as
eq.(6) e (12) obtemos
(~r) (~r
0
) =
2"
0
ln
0
(21)
e
~
A(~r)
~
A(~r
0
) =
0
i
2
ln
0
^
k (22)
Agora tomando o potencial nulo no ponto de refere^ncia
~r
0
, temos
R
(~r) =
2"
0
ln
0
(23)
e
~
A
R
(~r) =
0
i
2
ln
0
^
k: (24)
Note que o ponto de refere^ncia ~r
0
e completamente
arbitrario.
Embora os resultados obtidos nas eq.(19) e (20) se-
jam nitos, eles ainda n~ao representam os resultados
fsicos, pois n~ao sabemos se o que retiramos da parte
divergente foi mais que o necessario. Uma renorma-
lizac~ao nita deve ser realizada para que os potenciais
obtidos sejam aqueles que representem a fsica do pro-
blema.
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86 Wesley Spalenza e Jose Alexandre Nogueiras
Novamente usando a diferenca de potencial como
condic~ao de renormalizac~ao, obtemos,+ das eq.(19) e
(20), os mesmos resultados obtidos nas eq.(23) e (24).
E importante comentarmos a presenca do para^metro
de escala nas eq.(12), (19) e (20).
A prescric~ao de renormalizac~ao usada aqui fornece
imediatamente o resultado fsico, isto e, o potencial no
ponto ~r medido em relac~ao aquele medido no ponto de
refere^ncia ~r
0
. Se desejassemos como primeira etapa ob-
ter um resultado nito para as eq.(6) e (12) poderamos
usar como prescric~ao a subtrac~ao do termo divergente
(polo). A m de separarmos a parte divergente da -
nita na eq.(6), devemos multiplicar e dividir o argu-
mento do logartmo por um para^metro arbitrario nito,
o para^metro de escala .
I(; ;) = C +
ln
ln
+ O
1
2
: (25)
Agora usando como prescric~ao a subtrac~ao do polo, ob-
temos, para a regularizac~ao, por corte
(~r) =
2"
0
ln
+
2"
0
C; (26)
e para regularizac~ao adimensional
(~r) =
2"
0
ln
+
2"
0
: (27)
Ent~ao, notamos que no caso da regularizac~ao dimen-
sional e zeta, esta separac~ao ja foi realizada de alguma
forma escondida dentro dos procedimentos usados.
Uma maneira mais elegante e formal de introduzir-
mos o para^metro de escala e fazendo com que a integral
inicial (3) seja adimensional, isto e,
I =
Z
1
1
d
z
q
z
2
2
+
2
2
: (28)
E desta forma tornamos a eq.(7) adimensional para
qualquer !.
E claro que a continuac~ao analtica usada no metodo
da func~ao zeta e a prescric~ao de renormalizac~ao ne-
cessaria para se obter o resultado nito e e equivalente
a subtrac~ao do polo. Isso ca claro se tivessemos reali-
zado a expans~ao em serie de Laurent da eq.(18),
I(; s) =
a
1
s
+ ln
+O(s); (29)
onde a
1
e o resduo.
Note que os resultados das eq.(19),(26) e (27) dife-
rem por uma constante e s~ao dependentes do para^metro
de escala. Como ja dissemos, embora os resultados des-
tas equac~oes sejam nitos eles ainda n~ao representam a
fsica da teoria. Isto e obvio, pois, n~ao podemos ter os
resultados fsicos (observados) dependentes do metodo
de regularizac~ao. Uma renormalizac~ao nita deve ser
feita para ajustar os potenciais obtidos aqueles observa-
dos (diferencas). Esta condic~ao de renormalizac~ao nos
permite escrever os potenciais em func~ao daqueles ob-
servados em um determinado ponto. Ela tambem per-
mite que o para^metro de escala seja escrito em func~ao
do ponto de refere^ncia
0
.
E claro que o ponto de re-
fere^ncia e arbitrario e portanto tambem o para^metro de
escala.
Agora estamos aptos a sintetizar como funciona a
renormalizac~ao. Os potenciais dados pelas eq.(6), (12)
e (19), n~ao s~ao aqueles fsicos (observaveis) sendo ate
mesmo divergentes. Para torna-los aqueles observados
devemos ajusta-los. Assim, medimos (na verdade aqui
denimos um valor qualquer, em geral zero) o potencial
em um ponto de refere^ncial qualquer ~r
0
que no caso da
Teoria Qua^ntica de Campos e chamado ponto de re-
normalizac~ao ou subtrac~ao. Por m escrevemos o po-
tencial fsico (observado) como func~ao daquele medido
no ponto de refere^ncia (ponto de renormalizac~ao). Este
procedimento ent~ao absorve a diverge^ncia do potencial
original n~ao fsico.
Em resumo:
i) Potencial original n~ao fsico
d
(~r) = D +C +
F
(~r); (30)
onde D e o termo divergente separado por um metodo
qualquer de regularizac~ao, e C e uma constante que
depende do metodo de regularizac~ao e
F
(~r) e o po-
tencial.
ii) Potencial medido no ponto de refere^ncia (renor-
malizac~ao)
0
= D +C +
F
(~r
0
): (31)
Neste caso para
0
e determinado um valor arbitrario
e n~ao realmente medido.
Agora escrevemos
D + C =
0
F
(~r
0
); (32)
e substituindo na eq.(30), ca
R
(~r) = (~r) (~r
0
) +
0
; (33)
onde
R
(~r) e o potencial renormalizado.
Note que mesmo no caso de um metodo de regula-
rizac~ao que forneca um resultado nito, ainda temos de
ajustar este resultado aquele fsico.
Finalmente, podemos analizar como funciona a re-
normalizac~ao na Teoria Qua^ntica de Campos. A teoria
original depende de alguns para^metros em geral diver-
gentes, tais como m e . Tais para^metros n~ao repre-
sentam a massa (m) e a constante de acoplamento
observados da teoria e sim s~ao ajustados atraves das
condic~oes de renormalizac~ao a estas quantidades fsicas
renormalizadas, medidas em caso de teorias realistas,
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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Marco,
2000 87
ou denidas no caso de teorias n~ao realistas, em um de-
terminado ponto, chamado ponto de renormalizac~ao ou
subtrac~ao. Este ponto, pode ser o quadri-momento da
teoria ou um determinado estado do sistema, em geral o
de menor energia, ou estado de vacuo, embora qualquer
ponto seja t~ao bom quanto outro. Ou seja, o ponto de
renormalizac~ao e arbitrario.
Escrevendo agora a teoria original em func~ao n~ao
mais dos para^metros originais m e e sim das quanti-
dades fsicas renormalizadas (\observadas") m
R
e
R
,
as diverge^ncias s~ao absorvidas de forma semelhante ao
que ocorreu com o potencial.
Uma maneira alternativa usada e tomar os
para^metros m e da teoria original como sendo re-
almente aqueles observados (renormalizados) e absor-
ver as diverge^ncias da teoria em contra-termos m e
includos na teoria. Tais contra-termos, e claro, de-
vem conter termos de mesma pote^ncia nos campos que
aqueles de m e . Ent~ao, usando as condic~oes de renor-
malizac~ao os contra-termos s~ao determinados de forma
a anular as diverge^ncias e fornecer a fsica da teoria.
VII Conclus~ao
Atraves de um exemplo simples do calculo dos po-
tenciais escalar e vetorial de um o innito de carga
e de corrente, respectivamente, podemos apresentar as
diverge^ncias que sofrem algumas teorias, os metodos
usados para lidar com estas diverge^ncias (separa-los da
parte nita) e o procedimento usado para transformar
tais teorias em teorias fsicas (renormalizac~ao).
References
[1] M. Hans, Am. J. Phys., 51(8), 694 (1983).
[2] D. Halliday and R. Resnick, Fsica, Livros Tecnicos e
Cientcos, Rio de Janeiro (1984)
[3] J. R. Reitz, F. J. Milford and R. W. Christy, Funda-
mentos da Teoria Eletromagnetica, Editora Campus,
Rio de janeiro (1982).
[4] E. Myers, Phys. Rev. Lett. 54, 165 (1987).
[5] A. Salam and J. Strathdee, Nucl. Phys. B90, 203
(1975).
