A TRIGONOMETRIA

NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Notacaoc.zip

Na Grécia antiga, entre os anos Na Grécia antiga, entre os anos de 180 a.C. e 125 a.C., viveu Hiparco, de 180 a.C. e 125 a.C., viveu Hiparco,

um matemático que construiu a um matemático que construiu a primeira tabela trigonométrica. Esse primeira tabela trigonométrica. Esse trabalho foi muito importante para o trabalho foi muito importante para o desenvolvimento da Astronomia, pois desenvolvimento da Astronomia, pois

facilitava o cálculo de distâncias facilitava o cálculo de distâncias inacessíveis, o que lhe valeu o título de inacessíveis, o que lhe valeu o título de

PAI DA TRIGONOMETRIA.PAI DA TRIGONOMETRIA.

Mais tarde, no primeiro século Mais tarde, no primeiro século da era cristã, Ptolomeu da Alexandria da era cristã, Ptolomeu da Alexandria

escreveu uma coleção de livros escreveu uma coleção de livros conhecida como Almajesto, que significa conhecida como Almajesto, que significa

“o maior”. Nela aparece uma tabela “o maior”. Nela aparece uma tabela trigonométrica mais completa que a de trigonométrica mais completa que a de

Hiparco. Hiparco.

Foram muito importantes as Foram muito importantes as contribuições de Ptolomeu para a contribuições de Ptolomeu para a

Trigonometria estudada nos dias atuaisTrigonometria estudada nos dias atuais..

Por que usar a Trigonometria?

* Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.* Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais

fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.* Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa

saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria

anos para desenhar um mapa.

ASTROLÁBIO

TEODOLITO

Um dos mais antigos instrumentos científicos, que

teria surgido no século III a.C. A sua invenção é

atribuída ao matemático e astrônomo grego Hiparco.

Instrumento geodésico, que serve para levantar plantas, medir ângulos reduzidos ao

horizonte.

ONTEM HOJE

USANDO ÂNGULOS PARA MEDIR ALTURAS

Com a ajuda de um transferidor e de um canudinho de refrigerante

podemos medir o ângulo necessário para calcular alturas como a de um prédio, de uma

árvore ou uma torre. Esse ângulo é chamado ÂNGULO DE

ELEVAÇÃO.

Propriedades do Triângulo Retângulo:

1-Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos

complementares.2-Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e

outros dois lados que são os catetos.

3-Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e

a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A

outra altura é obtida tomando a base como a hipotenusa.

altura

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

hipotenusa

cateto oposto

sen = cateto opostohipotenusa

hipotenusa

cos =cateto adjacente

hipotenusacateto

adjacente

tg = cateto opostocateto adjacente

cateto adjacente

cateto oposto

sen = cateto opostohipotenusa

cos = cateto adjacentehipotenusa

tg = cateto opostocateto adjacente

Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:

Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou tem aclive maior, pois seu ângulo de subida é maior (55º > 30º)

Vejamos agora a seguinte situação problema: Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das

duas rampas é mais íngreme?

Para situações como essa, que envolvem lados e ângulos de um triângulo retângulos, é que

buscaremos soluções a partir de agora.

Índice de Subida

• Para cada ponto P de uma subida, temos uma altura, um percurso e um afastamento.

PontoPonto AlturaAltura AfastamentoAfastamento

AA 1m 1m 2m2m

BB 2m 2m 4m4m

CC 4m 4m 8m8m

2m 4m

1m2m

AB

C

Índice de Subida = Altura . = 1 Afastamento 2

8m

4m

Vejamos o problema Inicial:

Na 1ª Rampa: índice = 3/4 = 0,75Na 2ª Rampa: índice = 5/7 = 0,714Portanto a 1ª Rampa é mais íngreme do que a segunda, pois 0,75 > 0,714

TABELA TRIGONOMÉTRICA

Ângulo sen cos tg

1 0,017452 0,999848 0,017455

2 0,034899 0,999391 0,034921

3 0,052336 0,99863 0,052408

4 0,069756 0,997564 0,069927

5 0,087156 0,996195 0,087489

6 0,104528 0,994522 0,105104

7 0,121869 0,992546 0,122785

8 0,139173 0,990268 0,140541

9 0,156434 0,987688 0,158384

10 0,173648 0,984808 0,176327

11 0,190809 0,981627 0,19438

12 0,207912 0,978148 0,212557

13 0,224951 0,97437 0,230868

14 0,241922 0,970296 0,249328

15 0,258819 0,965926 0,267949

16 0,275637 0,961262 0,286745

17 0,292372 0,956305 0,305731

18 0,309017 0,951057 0,32492

19 0,325568 0,945519 0,344328

Ângulo sen cos tg

30 0,5 0,866025 0,57735

31 0,515038 0,857167 0,600861

32 0,529919 0,848048 0,624869

33 0,544639 0,838671 0,649408

34 0,559193 0,829038 0,674509

35 0,573576 0,819152 0,700208

36 0,587785 0,809017 0,726543

37 0,601815 0,798636 0,753554

38 0,615661 0,788011 0,781286

39 0,62932 0,777146 0,809784

40 0,642788 0,766044 0,8391

41 0,656059 0,75471 0,869287

42 0,669131 0,743145 0,900404

43 0,681998 0,731354 0,932515

44 0,694658 0,71934 0,965689

45 0,707107 0,707107 1

A Idéia de TangenteA Idéia de Tangente

O índice de subida, em uma rampa, chamaremos de TangenteTangente em um Triângulo Retângulo.

Tg x = Cat.Oposto Cat. Adjacente

Exercício

Um avião levanta vôo e sobe fazendo um ângulo de 15º com a horizontal. A que altura ele estará e qual a

distância percorrida quanto sobrevoar uma torre a 2 Km do ponto de partida?

tg 15º = CO CA

0,268 = x 2000

x = 536m

Altura: Distância: cos 15º = CAH

0,966 = 2000 d

d = 2070,39m

x

d

Profº José Marcos