JOP.O ROBERTO COSTA ROSA

A TRIGONOMETRIA NUMA PERSPECTIVA ACESsivELDE ENSINO-APRENDIZAGEM

Monografia apresentada ao Curso de P6s-Gradua,iio em Ensino de Matematica, ofertadopela Universidade Tuiuti do Parana.

Prof. Orientador: Prof.(ms) Carlos Petronzelli

" .

CURITIBA2003

RESUMO

A TRIGONOMETRIA NUMA PERSPECTIVA ACESsivELDE ENSINO-APRENDIZAGEM

Este trabalho originou-se da observa~ao das dificuldades encontradas porprofessores e alunos no processo de ensino-aprendizagem da Trigonometria dentro dadisciplina de Matematica, e teve como base meus conhecimentos na area da Topogra-fia e Agrimensura, cnde procurei estabelecer correla90es, vislumbrando meies de mino-rar essas deficiencias e estabelecer uma intimidade maior entre 0 educando e a Tri90-nometria, a partir do conhecimento do processo historico de seu desenvolvimento, suascontingencias e estrutura atual .. 0 trabalho de pesquisa loi leito em tres etapas distin-tas, iniciando com a procura par informac;:oes especificas aeerca da Trigonometria, cndese investigou a etimologia da palavra, a conceituagc3o da ciemcia, sua jornada na anti-guidade e sua estrutura contemporanea; secundada pela pesquisa biografica dos ma-tem.ticos da antiguidade, ensejada pel a ausencia de material bibliogr.fico especificosobre 0 assunto, quando se procurou estabelecer a linha do tempo integrando informa-yoes pertinentes que levassem a compor 0 panorama hist6rico de forma leve e acessf-vel ao leiter; concluindo com a investigayao acerca de conteudos versando sobre a a-versao natural dos educandos a Matematica e a Trigonometria, tendo por base a ques-tao das deficiEmcias na formac;ao de determinados professores, as deticiemcias maiscomuns na aprendizagem e a existencia de uma concepc;ao preconceituosa no que serefere ao dominio, pelos educando, da Matematica e suas areas atins.Nas considera-c;oes finais procurou-se enfatizar a importancia da valorizac;ao da hist6ria da matematicacomo recurso didatico, assim como de se tratar essa disciplina de forma mais democra-tica, com vistas a aumentar as indices de aproveitamento e de apropriayao do conhe-cimento.

iv

INTRODUCAO

A Trigonometria e 0 ramo da Matematica que trata das rela90es entre as la-

dos e angulos de trifmgulos (poHgonos com tres lados). Enquanto a trigonometria

plana Iida com figuras geometricas pertencentes a urn unico plano, a trigonometria

esferica trata dos trifmgulos que sao urna seyao da superficie de urna estera.

8astante pratica, e us ada para determinar distolncias que naD podem ser me-

didas diretamente, assim, serve aos calculos da navega9ao, da agrimensura e da

astronomia; e, per possibilitar a determinag80 de pontcs e distancias em tres dimen-

soes, a trigonometria esferica ampliou sua aplicay80 a Ffsica, a Quimica e a quase

todos as ramos da Engenharia - em especial no estudo de fenomenos peri6dicos

como a vibrar;:ao do som e 0 fluxo de corrente alternada.

Mas sua aplicagao revela-se presente em atividades consideradas inferiores,

como por exemplo no corte-e-costura - que no contexte economico fora do ambito

das grandes confecr;:oes pode ser classificada como informal- e onde, pelo fato de

utilizar-se moldes, 0 seu executor, na maioria das vezes, nao percebe que esta fa-

zendo uso - embora de forma indireta - de uma ferramenta milenar de calcul0.

Esse desconhecimento decorre do fato de a trigonometria, quando ensinada

nas escolas, aparecer como uma ciencia pre-elaborada demonstrando regras pron-

tas, definidas, onde nao se estabelece relar;:ao entre a sua ciencia e a sua aplicabili-

dade pratica em situar;:6es mais proximas da realidade do educando, intensificando 0

distanciamento natural que ja existe entre 0 aluno e 0 universo mate matico.

Objetivando democratizar essa area da ciencia matematica, revelando sua o-

rigem, construr;:ao e seus segredcs, 0 presente trabalho busca apresentar de forma

acessivel os metodcs de usc da trigonometria e sua funr;:ao nas atividades de traba-

Ihos em diferentes tempos e paises.

Este trabalho esta dividido - alem desta lntrodur;:ao, em Fundamentagao Teo-

rica (Capitulo 1 - Conceituac;ao e Origem; Capitulo 2 - A Trigonometria atraves

da Historia, Capitulo 3 - Aplicac;oes Classicas; e, no Capitulo 4 - A questae da

aversao des alunos a Matematica, onde se coloca 0 tema no centro da discussao

das deficiencias no processo de ensino-aprendizagem); e traz, na terce ira parte, as

Considerar;:oes Finais.

FUNDAMENTA<;:AO TEORICA

Capitulo 1:

CONCEITUA<;:AO E ORIGEM

1.1. Conceitua~aoA palavra Trigonometria vern do grego tr; (tres), gona (angulo) e metrien

(medida), significando medida de triangulos. Trata-se, assim, do estudo das rela-

'toes entre as lados e as angulos de urn trianguto.

A Trigonometria necessita da Aritmetica para estabelecer as tabelas, da Alge-

bra para estabelecer as formulas, e tambem da Geometria, embora tenha tido urn

desenvolvimento mais tardio que esta. a que distingue a Trigonometria da restante

geometria, e 0 fata de "ela medir angulos". Toda a geometria lid a com angulos, mas

fora da trigonometria, sao comparados, somados, subtraidos, nao sendo normal-

mente medidos.

1.2. Origem

A origem da Trigonometria e anterior a Era Crista e embora os egipeios e os

babilonios tenham utilizado as rela90es existentes entre lados e angulos dos triangu-

los para resolver problemas, foi 0 faseinio pelo movimento dos astros que impulsio-

nou a evolu980 da Trigonometria. E essa e a razaa pela qual, historieamente a Tri-

gonometria aparece bastante cedo associada a Astronomia.

Acerea da evolu9ao da Trigonometria e dessa intima rela980 com a Astrono-

mia, observa KENNEDY:

"A trigonometria, talvez mais que outro ramos da matematica, desenvolveu-se como resul-tado de uma interac;ao continua e tertii entre oferta e demanda: a oferta de teorias materna-ticas apticaveis e tecnicas acessiveis em qualquer momento e a demanda de uma ciencia a-plicada, a astronomia". (1994, pag. 1).

as prim6rdios do desenvolvimento da Trigonometria perdem-se na pre-

hist6ria, podendo ser identifieados nas primeiras segOeneias numericas relaeionando

eomprimentos de sombras com horas do dia, mas foi no Seculo V, a.C., que se pas-

sou a estudar as rela90es entre areas de cireunferencia e respectivas cordas 1, urn

1 A palavra corda, quando usada em Matematica, refere-se a segmento de reta quo une dois pon-tos situados sobre um circulo

passe importante na area, mas a relayao Trigonometria/Astronomia revelou-se tao

produtiva que so no Seculo XIII passou-se a considera-Ias como topicos separados.

Essa vinculayao entre teorias e aplica9ao, como acima, sempre foi eonsidera-

da de grande relevancia para os estudiosos atraves dos tempos, como suporte as

pesquisas que se desenvolviam dentro da propria area, como afirma KENNEDY:

·0mesmo tipo de intera~ao entre leoria e aplica~ao ocorreu continuamenle denlro do propriocorpo malerial te6rico - intera~ao entre analise numerica e geometria. Considera90es algebn-cas, no sentido de opera~6es discretas efetuadas sobre classes de objetos, desempenharamurn papel primordial e essencial, embora 0 simbolismo freqOentemenle considerado comosendo a marca da algebra s6 tenha sido inlroduzido no seculo XVI. Assim a hisl6ria da tri-gonomelria moslra no seu interior 0 crescirnento ernbrionario de Ires partes classicas damatemalica: algebra, analise e geomelria" (idem).

1.2.1 Seno e Co-Seno

Nas aplica90es da fun9ao corda, e necessario dobrar 0 arco antes de usa-

10 como argumento numa tabua de cordas. Finalmente, alguem pensou em ealcular

e usar a metade da corda de arco duple, assim nasceu a fun9ae SENO

o segmente de reta que une os dois pontes extremes de urn areo de cir-

cule fei estudado per alguns greges antes da era crista. Essa corda2 pode

tarnbem ser associada ao angulo central que intercepta a corda.

Embora a Corda de urn arco nao seja urn seno, rnetade da corda dividida

pelo raio do circulo e 0 sene da metade do arco.

Se Reo raio do circulo , e @ e 0 arco AS subtendido pel a corda, C.

Na seqOencia, diagrama que ilustra a exemplo:

sen ~ = EJ:... = ~ crd n.2 R 2R

na figura, que c = AD = crd AB = crd n.

FIGURA 151-1

2 do latim ch(,,~~, vv.v~ ~v ~.vv, '1 .•.•- I'"V' VV~

intestino de urn animal e dai a corda de um afCO...::-grego chorde, que significa

4

1.2.2 Tangente e Co-tangente

Enquanto as conceitos de sena e co-sena tiveram sua origem no contexte

da astronomia, Tangente e Co-tangente emergiram das necessidades mais

modestas da medic;:ao de alturas e distancias.

Urn exemplo em que 0 equivalente da co-tangente de urn angulo e calcula-

da, encontra-se no problema 56 do Papiro Rhind (650 A.C.), que fornece as dimen-

soes de uma piramide quadrada e pede 0 useqr (0 numera obtido quando 0 upercur-

so" horizontal e dividido pel a elevac;:ao vertical da face da piramide).

Onde:

y= 250 cubitos,

x= 180 cubitos = 180 7 "maos",

e seq! = 7x/y = 7 cot 0 (diagrama abaixo)

FIGURA [6]-1

Para as egipcios 0 seqt era uma indicac;:ao da inclinac;:ao da face da pin~-

mide, e corresponde ao que hoje chama mas co-tangente, ressalvando-se 0 costu-

me egipcio de medir 0 percurso em ~maos~ ( 4 polegadas) e a eleva9ao em cubi-

tos considerado igual a 7 maos).

Para uma piramide de base quadrada de 360 cubitos de lado e 250 cubi-

tos de altura, 0 escrlba obtem 0 resultado (expresso em nota9ao moderna):

Seq! = 180 7 maos 1 250 cubitos = 5 1/5 maos por cubito.

Este valor de 5,04 para 0 seqt e, obviamente exatamente 7 vezes 0

valor correspondente da co-tangente, de 0,72.

Precedendo as func;oes de tangente e Co-tangente haviam as ideias as-

sodadas a sombras projetadas par uma vara vertical ou gn6mon de relegios de

sol, usados no Egito ja em 1500 a C. 0 gnomon e representado por g, e h e a

sombra horizontal, ou umbra recta, do gnomon vertical (diagrama abaixo).

hh

FIGURA 16]-2

FIGURA [6J-3

A ideia basica era de que uma elevac;c3o maiar do Sol produzia uma sombra

menar (essencialmente 0 conceito de Co-tangente).

De fata, as "tabuas de sombra- compiladas no Egito ja em 1200 A C., dao

comprimentos de cordas decrescentes para horas consecutivas (crescentes) da ma-

nha.

Em linhas gerais, a Trigonometria, que comec;ara com as civilizac;oes babilo-

nicas e egipcias, desenvolveu-se na Antiguidade grac;:as aos gregos e indian os; e, a

partir do seculo VIII, astronomos islamicos aperfeic;oaram as descobertas gregas e

indianas., notadamente em relagao as func;:oes trigonometricas. A trigonometria mo-

derna comegou com 0 trabalho de matematicos no Ocidente a partir do seculo XV,

par outr~ lado, a invenc;:ao dos logaritmos pelo escoces John Napier e do calculo di-

ferencial e integral par Isaac Newton auxiliou os calculos trigonometricos.

Capitulo 2

A TRIGONOMETRIA AT RAVES DA HlsTORIA

o conhecimento da Triganometria nao floresceu instantaneamente, antes

sim, deu-se atraves de saltos descantinuos. Importantes avanr;:os feitos numa certa

epoca e num determinado lugar as vezes se difundiram muito lentamente, e as ve-

zes ate chegaram a desaparecer, para voltarem a ser descobertos posteriormente.

Os registros historicos nos relatam que as primeiras civilizar;:oes surgiram

entre 4000 e 3000 a.C. Dentre estas se destaca a civilizar;:ao egipcia, que esta

diretamente relacionada com a hist6ria da matematica e, por conseguinte, a origem

dos estudos relacionados a trigonometria.

Os egipcios, atraves de tribos nomades, instalaram-se na regiao do vale do

Nilo.que, constituido de areas multo ferteis era a base da existencia dessa civiliza-

r;:ao, onde a fertilidade das terras resultava do transbordamento do ria Nilo (Anexo 1)

que ocorria anualmente.

1550, por um lado era benefico para 0 cultivo, mas por outro criava uma gran-

de confusao porque a inunda<;ao fazia desaparecer os marcos das divisas dos ter-

renos, 0 que implicou que os egipcios desenvolvessem habilidades para demarcar

novamente as areas. Estes "agrimensores" da epoca, ja utilizavam alguns principios

matematicos, na verdade baseados no teorema de Pitagoras e noutros conhecimen-

tos de geometria sabre lin has e figuras.

Os egipcios conheciam metoda de trar;:ar angulos retos, utilizando uma corda

onde eram dados treze nos de forma que 0 espar;:o entre eles fosse igual, isto e, a

corda media 12 unidades, sendo cad a unidade 0 espar;:o entre dais n6s con sec uti-

vos. Em seguida, tres pessoas seguravam a corda, un indo os dais nos extremos e a

fim de construirem um triangulo cujos lados medissem 3, 4 e 5 unidades3, obtendo

assim a certeza de que a cingulo era reto ..

o processo descrito ficou conhecido como corda dos treze nos, e, como se

pode verificar, existe uma ligar;:ao entre os comprimentas dos Jados do tricingulo com

o numero de n6s das cordas , recurso esse que permitia que as "agrimensores" da

epoca fizessem os esquadrejamentos.

J Triangulo RetAngulo

Famosos pelas suas construyoes arquitetonicas magnificas, os egipcios

precisaram desenvolver metod os que os auxiliassem nas medic;6es neeessarias em

seus projetos, como as piramides, por exemplo.

As piramides (Anexo 2) foram construidas entre 2650 e 2550 a.C. e serviarn

de tumulos aos reis. A maior delas, a piramide de Queaps foi a grande manu-

mento geometrico do rnais alto rigor erguido aquelas momentosas verdades sobre

triangulos, 0 que se configura numa prova cabal dos conhecimentos matematicos

da epoca. No entanto, 0 conhecimento egipcio se limitou apenas as aplicac;:oes

praticas como as marcac;oes das terras e construyOes. Dai em diante os gregos,

apreciando 0 conhecimento dos egipcios, denominara-no Geametria, que signifiea

medida da terra.

Assim, os gregos passararn a estudar 0 assunto rnais teoricamente e du-

rante seculos descobriram e demonstravam inumeros principios geometricos. Os

primeiros geometras conhecidos - e considerados fund adores da Geometria - foram

Tales (640 a 550' C.) e Pitago,as (570 a 500 'C.).

Tales foi matematico e astronomo. E considerado 0 primeiro fil6sofo grego a

definir normas abstratas e desvinculadas de qualquer aplicaC;ao pratica para 0 de-

senvolvimento da geometria. Por volta dos anos 600 a.C., em visita ao Egito, um

Fara6 desafiou seus conhecimentos maternaticos solicitando-Ihe que determinasse

a altura de uma piramide real sem precisar subir no monumento. Tales 0 fez atraves

da medida da sombra: fincou urna vara no chao, na vertical (Anexo 3).

Observando a posic;ao da sombra, Tales deitou a vara no chao e a partir

do ponto onde fora fincada e marcou na areia 0 seu comprimento, depois voltou a

vara na vertical. Num determinado momenta a sombra ficou exatamente do compri-

mento da vara. Mediu a sombra da piramide e acrescentou ao resultado a medida

da metade da base, resultando na altura da piramide.

Pitagoras era natural de Salmos, IIha do Mediterraneo, pr6xima a Mileto, e,

alem de ter side urn dos rnais conhecidos matematicos gregos da antigOidade, pouco

se sa be sabre sua vida, assim sua figura permanece muito obscura devido a perda

de documentos daquela epoea. Sabe-se que viajou pelos centros culturais da

Mesopotamia, Persa e Egito, e com 0 tempo transformou-se em uma especie de li-

der religioso, e que sua seita era politicamente conservadora, sendo em conferencia

religiosa que Pitagoras apresentou suas contribuic;6es matematicas, como 0 seu

famoso teorema (Anexo 4), que discorre sabre as comprimentos dos lados do

triangulo.

No Seculo III a.C., Arquimedes de Siracusa, na sequencia do trabalho que

desenvolveu para calcular a perlmetro de um cfrculo dado a respectivo raio, calculou

a comprimento de grande numero de cordas e estabeleceu algumas f6rmulas trigo-

nometricas.

As medir;:oes e os resultados dos calculos efetuados pelos astr6nomos eram

registrados em tabuas. As tabuas babil6nicas revelam algumas semelhangas com as

tabuas trigonometricas. Outra tabua, tambem de cord as, mas mais completa, foi

construida par Ptolomeu (Seculo II, a.C.). Esta ja passu fa cordas para angulos

crescentes, desde 0° ate 180°, com intervalos de 1/2 graus. 0 raio usado era

diferente daquele de Hiparcus de Nicaea (Anexo 5), embora tambem fosse fixo e

muito grande (a usa de urn raio muito grande diminui a usa de frac;:oes). A funr;:ao

corda foi a unica func;:ao trigonometrica introduzida par Hiparcus, ainda no Seculo II

a.C. e era muito semelhante a func;:ao seno: corda(A) = 2r sen (N2), sendo r a raio

do circulo e A urn angulo de vertice no centro do cfrculo para expressar as valores

da func;:ao corda4•

Atualrnente, usa-se a seno em vez de cord as, apesar de estas serem talvez

mais intuitivas. Foi construida usando como medida as degraus, cad a degrau cor-

respondia a 1/24 avos de urn circulo. A Hiparcus atribuem-se tambem as primeiras

tabuas trigonometricas. Par todas essas razoes, ele e considerado a pai da Trigo-

nornetria.

Tambem Ptolorneu, Seculo II a.C, influenciou a desenvolvimento da Trigo-

nometria, durante seculos. A sua obra A/mageste, contem uma tabela de cordas cor-

respondentes a diversos angulos, por ordem crescente e em funr;:ao da rnetade do

angulo, que e equivalente a urna tabela de senos, bem como urna serie de proposi-

r;:oes da atual dlsciplina. No A/mageste, Ptolomeu compilou as conhecimentos

existentes na epoca sobre Astronomia e Trigonometria e a que as arabes tiveram

aces so logo de pais (fcram as arabes que trouxeram as conhecimentos de

Trigonometria para a Europa atraves de Espanha).

A relar;:ao da Astronomia com a Trigonometria fez com que esta se desen-

volvesse aplicada a triangulos curvos de lados curvilineos que se formam sabre a

~0 valor da corda depende do raie do clrcul0 usado. esse circulo era 0 que circunscrevia 0 trianguloa resolver.

superficie esferica. Assim, a Trigonometria Esferica desenvolveu-se anteriormente a

Trigonometria Plana, 0 que se deveu ao fato de a Trigonometria Esferica ser muito

utilizada nos calculos astronomicos e na navegac;3.o.

Por volta do ana 500 a C. a matematico hindu Aryabhata ja calculava

semicordas. Algum tempo depois, matematicos hindus calcularam tabuas de sene e

sene reverse ( 1 - cos 0 ). 0 seno era entao chamado de jya, tendo calculado tabelas

de senos para intervalos com variayao de 15'. A palavra sinus - sene - e a traduyao,

em latim, da grafia arabe do sanscrito jya. 0 sene correspondia a metade da corda

do arco duplo e as arabes e os hindus usavam, geralmente, circulos de raio unitsrio

o centr6ide das atividades deslocou-se entao para a india (onde a funcrao

corda transformou-se em variacroes do seno) e dar percorreu parte do caminho de

volta.

Na Siria e Asia Central, no periodo do sec .. IX ao sec .. xv, a nova funcrao

sene e as antigas funyoes sombra (tangente, co-tangente, seeante, etc ..) fcram

primorosamente tabuladas em sexagesimos. Surgiu ali a primeira trigonometria ge-

nuina, no sentido de que s6 entao a objeto de estudos tornou-se 0 triangulo

plano esferieo, seus lados e angulos.

Na Europa medieval, devido a razoes politieo-religiosas, a cie-ncia pouco evo-

luiu. Nesse periodo, ° persa Ulugh Beg encontrou ° sene 10, por meio de uma

estrutura de dlleulo que muito se aproximada de urna equacr3.o de tereeiro grau. Ge-

org von Peurbach (em 1460) usou urn raio de 600 000 partes para calculo de se-

nos, Urna deeada depois, ja no Seculo XV, Johannes Muller Regiomontano5 usou

um raio de 6.000.000 de partes e posteriormente de 10.000.000 de partes. Rheticus

(1550) repetiu esta preeisao e tornou-se a prirneiro europeu a destaear 0 area

e a usar as func;oes trigonornetricas como razoes entre lados de um triangulo retan-

gulo. Por volta de 1613, Pitiscus js publicara tabu as de senos com quinze ca-

sas decimais.

Deve-se a Edmund Gunter (1620) 0 termo co-sen~ para ° sene de com-

plemento de urn angulo. Este cornbinou os termos complemento e seno em co.sinus, que logo foi modificado para cosinus (em portugues "co-seno~).

o recurso sistematico ao circulo trigonometrico e a aplicac;3.o da Trigonome-

tria a resolucrao de problemas algebricos foi proposicrao de Viete, no Seculo XVI, que

Satraves do trabalho de Regiomonlano, -De Triangufis Omnimodis Libri Quinque-, e que a Trigonome-tria veio liberta-se da Astronomia.

10

estabeleceu tambern alguns resultados importantes, contudo, foi Leonhard Euler,

no Seculo XVIII, que, ao usar sistematicamente 0 circulo de raia urn, introduziu 0

conceito de sena de co-sena e de tangente como numeros, bem como as nota<;:Oe5

atualmente utilizadas.

Com 0 deslocamento da trigonometria para a Europa surgiu urn tipo de traba-

Iho que ocupara as cientista orienta is a saber, a calculo de tabuas e a descoberta

de rela<;:oes funcionais entre partes do triangulo. Mas a inven<;:ao do calculo infinite-

simal, vindo laboriosamente ap6s, jil fazia prenunciar 0 rapido fim da trigonometria

como urn ramo independente e em desenvolvimento da matematica. Nesse

periodo, Euler e Qutros ja haviam apresentado todos as teoremas da trigonometria

como coroliuios da teoria das funyoes complexas. (como MATERIA ESCOLAR,

parem, especialmenle ulil para AGRIMENSORES e NAVEGADORES, a Iriganame-

tria manteve ainda sua identidade a parte).

o primeira indicia do tratamenta funcianal da Triganometria surgiu em 1635,

quando Roberval 1esboyo de uma curva do seno. Ja a liga~ao da Trigonometria a

Analise s6 foi feita par Fourier, no Seculo XIX, como conseqO€mcia do estudo dos

movimentos peri6dicos por ele efetuado. Para Fourier as func;oes trigonometricas

como 0 seno, 0 co-sena e a tangente, relacionam medidas de angulos a medidas de

segmentos de reta a elas associados.

Atualmente, as fum;:oes trigonometricas sao definidas usando 0 circulo trigo-

nometrico unitario, a que nao diminui 0 usa de fragoes, mas a forma de nota gao de-

cimal, diferente da dos greg as, torna 0 seu usa mais simples.

Oesse relato observa-se que desde as primeiras seqOencias numericas rela-

cionando comprimentos de sombra com horas do dia, descobertas na pre-historia, e

as tecnicas inusitadas com 0 uso de cordas de Hiparcos no Seculo II, para a solu-

C;aode figuras planas, ha um grande hiato no tempo a que evidenciar a fata de que 0

desenvolvimento cada vez mais acelerado da trigona metria s6 ocorreu pel a necessi-

dade do homem na busca de solugoes para as problemas praticos que come<;:avam

a se acumular em func;ao da capacidade de analise, criagao e construg8o do ho-

memo Esse panorama serve para ilustrar que 0 conhecimento tende a se acumular a

uma taxa proporcional a quantidade que ja se tern em mao, e, de modo geral, pode-

se dizer que seu crescimento e exponencial em relac;c3oao tempo.

11

Todavia, para compreender esse contexte historico e necessaria delimita-lo

no espac;:o temporal sem prescindir de considerar as provaveis equivocos nos regis-

tres dos historiadores.

Acerca dessa colocac;:ao, alerta KENNEDY: "0 historiador constroi uma narra-

9800. Ele teee urn conto cujos prim6rdios sao, via de regra, conjecturas incertas a-

crescidas de fatas acasianais" (1994, pogo 2).

Sabre esse aspecto ha que 5e considerar ainda que a descric;:ao resultante da

contextualizac;:ao do historiador da uma impressao de simplicidade, continuidade e

racionalidade, 0 que nem sempre confere com a realidade.

Contudo, apesar desse conhecimento ter sido construido de forma intermiten-

te e aDs saltos no tempo, seu resultado e cumulativo, e, portanto, nos dias atuais, haabundtmcia de material factual. Esse aspecto, entretanto, pode vir a se constituir

num fator de deficitfmcia para a aprendizagem da trigonometria, posta que a maior

parte dos fatos naa pode ser utilizada, embara ladas, de alguma maneira, sejam re-

levantes.

12

Capitulo 3

APLlCA<;:OES CLAsSICAS DA TRIGONOMETRIA

Oesde a antiguidade ja S9 usava da trigonometria para abter distancias im-

possiveis de serem calculadas par metodos comuns.

Algumas aplica~5es da trigonometria sao:

Determinaram a medida do raio de terra;

Determinayao da altura de predios;

Medir a distancia entre pontes muito longes um do outro;

Identificar a largura de um rio para construir uma ponte;

Determinar alturas de montanhas para confecyao de mapas, etc.

3.1 AS PRIMEIRAS APLlCA<;:OES DA TRIGONOMETRIA

A Trigonometria nasceu em 300 a.C, entre as gregos, para resolver proble-

mas de Astronomia Pura Suas primeiras aplicayoes praticas ocorrem somente em

500 dC, com Ptolomeu, 0 qual, alem de continuar aplicando-a nos estudos astra-

narnicas, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pon-

tos geograficos em seus mapas.

Do mundo grego, a Trigonometria passou, 400 dC, para a india onde era usa-

da nos calculos astrol6gicos e, par volta do ana 800 dC chegou ao mundo islamico,

onde toi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartogratia.

Par cerca de 1.100 de a Trigonometria chegou, junto com as livros de Ptolo-

meu, na Europa Crista. Ai, inicialmente estudada tao somente par suas aplicavoes

na Astronomia, com as portugueses da Escola de Sag res encontra uma aplicavao de

enorme valor economico na navegavao oceanica.

Em slntese, as aplicavoes da Trigonometria ate 1 600 dC .

Astronomia

• Cartografia

• Navegav<3o Oceanica

Todas essas aplicavoes tratavam de problemas de Trigonometria Esterica e

nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. E tambem impor-

tante se observar que, por volta de 1600 dC, a Trigonometria estava num estagio

bastante desenvolvido, em muito ultrapassando 0 que hoje consta nos conteudos

previstos para as series do ensino medio.

13

3.2 OS METODOS NAo TRIGONOMETRICOS EM TOPOGRAFIA

A maioria dos livros destaca que a origem e 0 desenvolvimento da Trigona-

metria devern-se aos problemas de calculo de distancias entre pontcs sabre a super-

frcie da Terra. Abaixo, situac;oes tipicas da agrimensura e da topografia (onde as

tecnicas utilizadas sao baseadas no usa da semelhanca de triangulo).

3.2.1 Exemplo 1

Determinac;ao da altura h de uma montanha usanda duas sam bras de uma

vareta de comprimento v.

Oa primeira sombra: h v = d : 5,.

Oa segunda: h v = ( d + e + 52) : 52

Dai se obtem:

d = 5, (e + 5,) I ( 5, - 5, )

3.2.2 Exemplo 2

Calculo da profundidade p de urn buraco (pOyO, ravina, etc) usanda uma va-

reta de comprimento v.

da primeira posiC;Zloda vareta obtem-se: p : R = v . 5,. e da segunda posiyao (beira-

da do buraco): p : (R - 52) = v 52, de modo que, ape5 eliminar a R, re5ulta: p = v 52/

(5, - 5J).

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3.3 INiclO DAS APLlCA<;:OES DA TRIGONOMETRIA NA GEODESIA

A tim de abter coordenadas dos pontcs de urna regiao na superficie da Terra,

8ne1l6, em 1600 d.C, introduziu a ideia de triangularya.o, que consiste no seguinte:

• cobrir a regiao com urna cadeia de triangulos de vertices A, B, C, etc

escolhidos de modo que cada urn, C par exemplo, seja visivel desde as

dais precedentes (A e B no exemplo) e dos dais seguintes (D e E no e-

• t~inpltl~nte esses vertices sao escolhidos em topas de montanhas, tarres

de igrejas e outros pontcs de faGil visualizat;;ao;

medir com exatidao 0 comprimento do lado AB, que e chamado base e

que preferivelmente deve estar sabre urn terreno plano para facilitar as

medidas;

medir todes as angulos dos triangu!os da cadeia;

a partir da lei dos senes e da base e angulos medidos, calcular 0 compri-

mento de todos os lados dos tri€mgulos da cadeia usando-se Astronomia,

calcular as coordenadas (latitude e longitude) de urn dos vertices e medir a

angulo (azimute) que urn dos lad as faz corn a direyao norte:

calcular entao, as coordenadas dos demais vertices.

Se a regiao tiver urn diametro de ate cerca de 20 Km, pode-se considerar os

triangulos da cadeia como planas, obtendo assim uma triangulacao topogratica.

Para regioes maiores e necessaria levar em conta a esfericidade da Terra,

tratando as triangulos da cadeia como triangulos esfericos, com isso tem-se uma

triangulacao geodesica. Esses dais tipos de triangulayoes sao as usadas, respecti-

vamente, pela Topografia e Geodesica.

A partir de 1750 comeyou a se tornar comum se usar triangulayoes geodes i-

cas para mapas de municfpios, estados e de cantinentes, ease usar as triangula-

<;oes topograficas para 0 mapeamento de areas menores (diametro menor do que 20

Km). Ate entao a usa das triangulayoes se restringia a trabalhos de natureza mais

cientifica do que tecnica.

Os primeiros usos das triangulayoes ocorreram na determinayc3.o do

comprimento de urn arco de meridiano para assim obter 0 tamanho da Terra e a

primeira dessas medidas de meridiano foi feita pelo proprio Snell, 0 qual usou uma

pequena modificayao da versao classica de triangula9ao, descrita acima.

6Snell e mais conhecido pela Lei da Rerra~o do que pela triangula~ao geodesica, propria mente dita.

15

Exemplo (figura ao lado):

Essa figura usa urna cadeia de 7 triangulos.

A base e AS e CD e 0 lado do qual mecte-se a azimute. Ap6s calcular as Ja-

dos dos trizmgulos da cadeia, urn novo usa de Trigonometria Esferica de'! a compri-

mento das projeyoes desses lados sabre a meridiana e isse permite abter 0 compri-

mento do areo xy em Km.

Tendo determinado a latitude dos vertices extrem~s, A e I, obtem-se a ampli-

tude de xy em graus. Oaf, urn calculo simples nos da quantos Km mede urn areo de

urn grau na superficie terrestre e entao a circunferencia da Terra.

Snell usou urna cadeia de 33 tri€mgulos e acabou fazendo urn erro de 3.4%

para menos. Em 1.669, Picard USDU urna cadeia de 13 triangulos para refazer a me-

dida do meridiana. Obteve para diametro da Terra 12554 Km (erro de apenas 1,6%).

3.4 A MODERNIZA<;:AO DA GEODESIA POR GAUSS, 1 820

o seculo dos 1.700 foi 0 periodo do grande desenvolvimento da Trigonome-

tria que veio viabilizar e facilitar os calculos de triangula90es topograficas e geodes i-

cas. Contudo, as tecnicas ai desenvolvidas nao tinham condi90es de atenuar 0 efei-

to dos inevitaveis erros de medida, 0 que acabava comprometendo a qualidade dos

mapas de maior tamanho.

16

A introduvao do tratamento dos erros de observat;:ao na Geodesia e na Topa-

gratia, aumentando em muito a exatidao do trabalho dessas disciplinas, 56 ocorreu

em 1820 d.C, com 0 matematico Gauss.

No inicio do secula passado, durante as guerras napole6nicas, Gauss foi or-

denado per Napoleao a fazer urn mapa de grande precisao da regiao de Hannover,

Alemanha. Para levar a cabo sua missao, Gauss acabou desenvolvendo uma serie

de resultados mate maticos (teoremas sabre a distribuiyao normal ou gaussiana, a

metoda da regressao linear, entre outros) para poder controlar 0 eteila dos erros de

observac;:ao nos levantamentos geodesicos, bern como renovou (com cuidados rele-

vantes as necessidades de alta exatidao em Geodesia) as tecnicas de resolw.;:ao dos

triangulos e as me-todos geodesicas tradicianais7.

3.5 TRIGONOMETRIA NA OFICINA MECANICA

3.5.1 Situa9ao 1

Como exemplo da utilizac;ao pratica da trigonometria na mecanica, tome-se

uma pec;a cilindrica para perfurac;aa (6 furos na base da pec;a), conforme figuras a-

baixo:

CYoo

onde a diametra da base mede 120rnrn e as furos devem distribuir-se igualmente

sabre a circunferencia imaginaria de diametro 100mm. Este problema pode ser re-

salvi do graficamente com simplicidade, usando-se urn corn pass a au com urn altime-

tro constituido par uma barra milimetrada e par uma regua que desliza perpendicu-

larmente a barra (fixado a pec;a).

7 80a parte da determina~ao das coordenadas geograficas de marcos do interior do Brasil. pelo Ser-vi~o Geografico do Exercito, foi feita usando 0 Metodo de Calculo da Latitude de Gauss.

17

• A partir 0 diametro da base, marea-se 0 centro dos dais primeiros furos.

afastados de 100mm (figuras abaixo):

's :rI

• Seja r a reta que contem a diametro e, com a divisao da circunferencia em

6 partes iguais, obtem-se angulos centrais de 60°, As retas 5 e t sao para-

lelas a reta r e suas distancias a ela sao iguais a 0 = 50 x sen 60° ::

43mm;

• Oeste modo, com a regua movel, desenham-se as retas 5 e t, sabre as

quais estarao as Qutros quatro furos8

1550 tambem pode ser comprovado utilizando 0 Teorema de Pitagoras cnde:

• A raiz quadrada de 20,00' + 4,251' = 20,446 m.

A distancia e e dada par: E = 50 .•.5en300 = 25mm.

Oeslocando a regua movel, marea-se as centres des outros quatro furos.

3.5.2 Situa9~o2

A COPEl9 trabalha com a instala<;:ao de postes para a passagem des condu-

tares de energia eletrica. Estes postes possuem sua posit;:ao em um segmento defi-

nido em projeto e, por motivos tecnicos, as distancias entre cad a um nao podem ser

alteradas devido ao tensionamento e aos eSfort;:os provocados pelos cabos eletricos.

8 A reQua movel, sempre perpendicular a barra fixa, executa urn movimento de Iranslac.!lo. Como naoeo poss[vel transladar a barra (que eo fixa), gira-se 0 allimelro de 90Q, colocando a barra sabre 0 diame-Iro desenhado9COPEl _ Companhia Paranaense de Energia Ele-Inca

18

No entanto muitas vezes aparecem obstaculos entre dais postes que dificul-

tam as demarca~6es de distancias entre as mesmos para definir sua posiC;2Io.

Par exemplo, no espac;o para a instalac;:ao de dais posies, existe uma casa.Como medir a distancia entre eles sem precisar demolir a casa?

Com a ulilizac;ao de urn simples triangulo retfmgulo e a trigonometria:

• Distancia entre as dais postes: A=20,OO m e

Arbitrariamente trac;a-se urn novo segmento com urn angulo de 12 o.

• Utilizanda a triganametria, calcula-se: B ; 20,00 I cas 12 0 ; 20,446 m.

Para fechar 0 triimgulo retangulo e consequentemente delerminar a

pasi9aa da paste, calcula-se a segmenta: C; tangente 120 X 20,00 ;

4,251 m au ainda, mais sena de 120 x 20,446; 4,251.

• Caminhando 4,251 m com urn angulo de 780 fecha-se 0 triimgulo,

delerminando as 20,00 m em relac;ao ao primeiro paste.

3.6 CORTE E COSTURA

Usa-5e a trigonometria para cortar uma manga de camisa (figuras abaixo):

IP

1 1C I I Tn + 2c 1 I CI

I 1 1 11m + c 1 m + cl ,I

'" I I 1I 1I 1 8 IQ xA A2r b

• Uma manga de camisa e, via de regra, urn tronco de cilindro;

• A ser;:ao e uma elipse cujo plano possui inclinac,;:ao@ em relar;:ao a base;

• E necessario rnedir b, que e a circunferencia do brar;:o dividida par 2PI;

• E medir a au @, que daa a inclinac,;:aa;

o comprimento da manga e m;

• Faz-se 0 corte em funr;:ao de b,a e rn.

19

E, para cada ponto P da figura, calcular a altura y= PO em funcao

do area AQ de medida x.

• Para isto, calcula-se TR em funryao de X:

CRT: cos @ = TCIRC = NCIMC = AOIMC = bla 1 + Ig' @ = llCas'

@= a"/b2

t92@ = a2/b2 - 1 = a" - b2 I b2 = c2/b" 19 @ = c/b (onde c e a semidistancia

focal)

TR = TC 19@ = AS 19@ = (AO - OS)19 @ = (b - b cos x). Clb = c(l -

cos x), logo,

y= OP = SR = ST + TR = m + C(l- COS X)

Y=m+c-CGOSX

20

Capitulo 4

A AVERSiio DOS ALUNOS A MATEMATICA (E, POR CONSEGUINTE, A TRI-

GONOMETRIA)

E notoria a aversao da maioria dos alunos ao estudo da Matematica e suas

areas afins. Embora esse seja urn problema antigo, vern se observando nos ultimos

anos urn interesse par parte dos estudiosos em minorar esse distanciamento e colo-

car 0 ensine da matematica e, neste casa, especificamente, da trigona metria, num

patamar de acessibilidade ao educando.

Uma pergunta pertinente seria porque somente agora? Uma vez que a mate-

matica, desde as seus primordios, entrelarya-se intimamente com a hist6ria da civili-

zavElo, sendo considerada, inclusive, uma das alavancas principais do progresso

humano.

Parafraseando KENNEDY, urn dos pontcs certamente seria a IirnitayElo biblio-

grafica que cerca 0 universo mate matico educacional, notadamente no que tange a

hist6ria da matematica e a sua aplicabilidade efetiva (1994); isso sem considerar que

a evolu9aO da matematlca encontra-se arraigada aos aspectos culturais de determi-

nadas civiliza90es, 0 que classifica esse lapso a condi9aO de uma pratica que nao

corresponde a tao necessaria transdisciplinaridade na eduCa9aO.

Acerca desse aspecto, LIMA (1974) afirma:

.~ estranMvel que os mestres nao tenham, ate hoje, suspeitado de que haja algo errado como en sino da Matematica .. Pelo que quaJquer observador pode constatar, chega-se a concJu-sao de que, ou Matematica e disciplina que s6 uns podem aprender, ou e ensinada de formatao inadequada que sornente alguns a aprendem. Alias, os bons alunos de Malemalica, erngeral, nao alribuern a seus mestres 0 exilo que conseguem: ou foi esfon;:o pessoal, acima dasobriga90es escolares, ou a descoberta casual de urn processo de estudar que Ihes abriu aporta desse reino maravilhoso" (pag.vll)

Portanto, admitir que s6 alguns alunos sao capazes de aprender Matematica,

conclusao que se chega por observa9ao superficial do que acontece nas salas de

aula, seria aceitar que certos homens descobriram forma de atividade mental que

nao e comum ao ser humano. No entanto, ° que parece ser verdade e justa mente °contra rio.

21

o pensamento humano, em sua plenitude operat6ria, naD e senao urn "pen-

samento mate matico" , tanto que fai no ~grupo matematicon que PiageeOencontrou a

wmodelo" do pensamento abstrato.

Isto porque 0 homem nao age como deseja agir, mas como pode, funcional-

mente, agir. A forma de a~ao matematica, iste e, a forma de pensamento operat6rio,

e, portanto, comum a todos as seres humanos norma is, de forma que, considerar

como wanormaisn as alunos que nao aprendem matematica nas escolas seria fazer a

linha da normalidade deslocar-se para a exce~ao.

Entao porque a deficiencia na aprendizagem e a conseqOente aversao a ci-

encia Matematica?

Varios aspectos concorrem para esse desinteresse, desde a elitiz89ao da dis-

ciplina que se man tern cartesianamente restrita ao seu espac;o e acessivel a uma

minoria intelectualmente dotada, ao senso co mum que acaba por criar uma aura de

inacessibilidade que vem avalizar esse conceito de elitizac;a.o, passando pela forma-

C;aodeficiente de alguns professores que invariavelmente assumem disciplinas dife-

rentes daquelas de sua formac;ao, alem de outros fatores inerentes a condiC;ao do

professor nos paises de terceiro mundo.

Acerca de elitizac;ao da materia, muitos professores de matematica, de fato,

assumem uma postura de sabedoria superior, inclusivo no trato diario com seus co-

legas, reforc;ando 0 co nee ito vulgar de que a maternatica e urna area limitada a pou-

cos. E, em alguns casos, esses professores detem 0 conhecimento cientifico mas

nao possuem uma boa didatica, 0 que torna desastrosa a sua pratica educacional

em prejuizo dos alunos que, desconhecendo esse trac;o, assumem para si a defici-

encia resultando no processo ensino-aprendizagem, incorrendo em desempenho

insatisfat6rio atrelado a uma baixa-estima indevida.

Alguns procuram sistematizar 0 ensino, sem preocupar-se com a questao da

apropriaC;ao do conhecimento, 0 que esclarecido na visao de LIMA:

"Lamentavelmente por uma conlradiyao que a dialetica explica, sao precisamente as profes-sores de Malemalica as mais ferrenhos ameslradores de comportamenlos estereotipados,f6nnulas, regras, "macetes·, problema-lipo, etc), violando assim a natureza criativa do pen-samento matematico e concorrendo para 0 endurecimento dos quadros mentais (1975, pag.XIV).

10 A atividade e condi9aO nao s6 emocionat, como intelectuat de aprendizagem. Pensamen\o nao emais do que a interiorizacao de ayoes praticadas. Aprender, portanlo, e adquiri esquemas de ayao.TamMm a operacao malematica significa uma ayao real represenlada no psiquismo·somar e juntar,diminu;r e separar - essa e a sintese da leona de Jean Piagel, para qual se 0 pensamento e a fonnarepresenlada da atividade, esludar a ·consciencia"nao e senao pesquisar outr~ aspeclo do compor-tamento. (SANTOS BRASIL, 1975)

22

Esse perfil de professor revela pessoas em cuja formac;ao predominou a maM

tematica sao celebres par sua falta de imaginac;ao e de flexibilidade diante dos

problemas.

Par outro lade, naD deveriam as professores de matematica esquecer que na

fase da adolescencia (12/15 anos) a raciocinio - 0 pensamento operat6ria abstrato-

ainda esta 5e desenvolvendo, portanto a caminho para a educac;ao devera serem,

sempre, a de ensinar a pensar e nao supor que 0 alune ja sabe pensar e quando

esse naD 0 faz de maneira satisfat6ria, a soluc;ao seja ministrar-Ihe atalhos que 0

levem a alcanc;ar as resultados, 8em que esse tenha compreendido as esquemas

implicitos.

Esse e um pre-requisito para a ensino da Matematica, posta que e5sa naDtern objeto concreto, como a Fisica, por exemplo. De forma que 0 professor de Ma·

tematica assernelha·se ao professor de Filosofia, urna vez que e 0 professor de pen·

samento. Ou seja, assim como 0 professor de Portugues ensina a refletir com sinais

de objetos e situac;oes, 0 professor de Matematica ens ina a pensar com sinais de

quantidade, formas e relac;oes. Dai a razao dessas duas disciplinas serem a

precondic;ao das aprendizagens posteriores de alto nivel.

Parafraseando LIMA, uma maneira de suplantar parte dessas deficiencias es-

ta no ensino da Historia da Matematica, tanto para professores quanta para alunos,

contextualizando suas etapas de desenvolvimento a situac;oes praticas • como as

que se pro poe no presente trabalho, no que tange ao ensino da Trigonometria· co·

mo forma de aproximar a realidade da constru((ao dessa ciencia ao universo do edu·

cando.

Para LIMA:

"A Hisl6ria da Matema.lica deveria ser disciplina fundamental na formacao did,Mica do profes·sor de Matema.tica. E esta hist6ria deveria ser 0 estudo de como processos complexos, de·sarticulados e plenos de rodeios vieram a se tomar simples, esquemalicos e sinteticos. A Ma-tema.tica nao nasceu como processo formal (hoje a matema.tica e chamada de ciencia vazia";as primeiras noCOes matema.ticas resultaram de necessidades extrema mente pragmaticasque, como tais, possuem uma est6ria quase sempre muito pitoresca (quando se contam es-tas est6rias aos educandos, eles compreendem, com grande rapidez, 0 mecanismo 16gico doprocesso)'-(1975, pa.g. XIII)

Essa colocac;ao tern procedencia, porque, quando se quer urn resultado

pragmatico (a formula), 0 metodo de ensinar nao deve ser a automatiza((2Io, mas a

explora((2Io das possibilidades, pois 0 educador deve visar, essencialmente, ao de·

23

senvolvimento global do aluno, e 56 secundariamente farnecer-Ihe urn ~modo de ta-zer" estereotipado.

Na area da Trigonometria essas possibilidades sao amplamente exploradas,

mas para que 0 aluno compreenda as varies caminhos que pade dispor para chegar

a urn determinado resultado, antes sera necessaria contextualizar todas as hip6te-

ses a sua realidade, aos elementos que ele dis pOe (a exemplo da situac;ao colocada

no item 3.5.1 - pagina 16).

LIMA enfatiza essas colocaryoes, afirmando que uEm Matematica, dever-se-ia

sempre perguntar: como foi (eito isso primitivamenfe: E provavel que a recapitulac;ao

dos rodeios historicos sugira a tecnica pedag6gica que deva ser seguida hoje para

ensinar a uma crianc;a a Matematica". (1975, pag. XI).

No que se refere aos efeitos danosos do dito sense comum, predominando no

conceito acerca da Matematica, alguns pontos tern que ser considerados:

o homem interage com 0 meia em que vive, nele interferindo e com ele a-

prendendo e, a medida que se relaciona com os objetas que 0 cercam, elabora in-

terpretac;:oes baseadas nas suas experiemcias, criando crenc;:as que permitem 0 do-

minio do ambiente. Fatores como crenc;:as, desejas, tradic;:aa, fazem com que haja

urn apego ao senso comurn. No entanto ha momentos em que as crenc;:as se tornam

prablematicas, ai 0 homem comec;:a a pensar e surgem novas respostas, e neste

momento que surge a Glencia.

A Giencia compoe-se de conhecimentos sobre urn objeto de estudo, que e

expresso atraves de uma linguagem precisa. Suas conclus6es sao passiveis de veri-

fica gao e isentas de ernoc;:ao, possibilitando a reproduc;:ao da experiencia, podendo 0

saber ser transmitido e verificado, utilizado e desenvolvido possibilitando atraves

deste 0 desenvolvimento de novas descobertas.

Sem a presenc;:a da analise e critica cientlfica a tendencia do senso eomum e

estagnar, fechar em si mesmo, por isso, ainda que a Giemeia nao possa dispensar 0

senso comum para comec;:ar suas analises, precis a ir para alem do sensa comum.

Urn exemplo dessa necessidade de uma interpretac;:ao mais abrangente e

bastante co mum e refere-se a ideia de que a Matematica e uma ciemcia de dificil a-

cesso, restrita a uma elite minoritaria.

Mas, antes de se suscitar 0 questionamento ace rca de sua veracidade ou nao

desses conceitos, e interessante considerar a afirmac;:aa do fil6sofa e matematico

Karl Popper: "a Gi€!ncia parte do sensa camum, senda que e justamente a critica ao

24

sensa comum que permite que este seja corrigido au substituido. Assim tada Ciencia

e senso comum esclarecido" (apud HOHNE,1989).

Em Discurso do Metodo (1637), Descartes parte da constata,ao de que a ca-

pacidade de julgar e urna Gaisa inerente e igual em todos as seres humanos. 0 fato

dela nac 5er bem aplicada e que, ao seu ver, permitiria que surgissem as divergem-

cias e as vicios aos quais 0 5er humano esta sujeito.

A verdade e que 0 homem atribui criterios seus particulares (ditados pel as su-

as proprias experiEmcias e opini6es), no momento de preceder a urna avalia9Bo ou a

urna considerac;ao acerca de qualquer assunto que seja. Essa atitude, involuntaria,

por si 56 jil. seria suficiente para assegurar que todo e qualquer julgamento nac eimparcial e nac e destituido de conceitos pre-estabelecidos, ou seja, de preconcei-

tos. Exatamente par causa desse deslize tipicamente humano, inerentemente huma-

no, Descartes prop5e urn metodo de investigac;:ao que parte de uma duvida metodica

e que questiona toda forma de conhecimento adquirida a partir de informac;:5es in-

termediadas pel os sentidos e percepc;:5es.

A palavra aqui colocada e ~questiona", e nao grejeita" E, a partir dessa co no-

tac;:8.o,Descartes tenta encontrar exclusivamente na propria razao 0 unico conheci-

mento livre das distorc;:oes impostas pela experiencia, sobre 0 qual todos os conhe-

cimentos verdadeiros serao fundados.

Numa atitude inusitada, colocando-se contra toda a tradic;:8.oanterior, Descar-

tes voltou-se pelo reconhecirnento daquela capacidade natural que cada urn possui

e procurou descobrir, fazendo uso apenas da razao, 0 fundamento da verdade, in-

dependente do sensa cornum.

E e essa dinarnica da Ciemcia e que permite que de urn ponto vago e constru-

ido sobre alicerces inseguros pode-se, as vezes, e apos alguma critica, vislumbrar

os erras, oportunizando a aprendizagem com esses enganos.

o cientista usa 0 conhecimento acumulado para fazer previsoes, ou para

construir um modelo que explique as suas observac;:5es, e, ernbora 0 cientista parta

do senso comum, ele necessita provar ou testar a seu modelo, pOis nao raramente a

sensa comum falha.

Em uma atividade cientifica, sempre se parte de alga conhecida, ou ainda es-

perada, para depais tentar preyer as conseqOencias. Inicialmente faz-se um model a

do abjeto a ser estudado. 8aseando-se neste modelo, elabora-se a experimentac;:ao

para testa-Io. Com os dados obtidos, 0 modelo e mantido (quando satisfez as previ-

25

soes) ou e alterado, criando-se urn novo modelo para descrever as fatos encontra-

dos. A Matematica, inclusive, faz usa desse modele de experimentac;:ao.

Ocorrem inumeras dificuldades para que urn determinado conhecimento cien-

tifieo consiga retificar as ideias arraigadas do sensa comum, par isse e que, mesma

a CiE!ncia conseguindo comprovar 0 mito au a superstic;:a.o de certas praticas, as

pessoas, ainda assim, se apegam a ideias acentuadamente miticas; presos nurn

conjunto de ideias ingenuas, mantidas pela tradic;:ao local au em ideias que foram

Ciemcia em urn passado distante mas, que, verificados posteriormente, demonstra-

ram ser talsos. Essas dificuldades ocorrem muitas das vezes par culpa da comuni-

dade cientifica que tem um desinteresse em divulgar para a populavao as resultados

e as conclusoes das pesquisas, bus cando divulgar as pesquisas na comunidade a-

cademica e entre as que podem financiar suas pesquisas, ficando isolados da soci-

edade, falando em um linguajar incompreensivel para as nao iniciados no assunto.

Essa atitude evidencia, inclusive, a apartamento existente entre a Ciencia e a

sociedade e da a ilusao de que a Ciencia pode dispensar a sensa comum, quando,

na verdade, 0 cientista sempre precisara olhar 0 sensa comum, notadamente porque

a Ciencia e feita par hom ens que vivem em sociedade, produzem suas analises

cientificas a partir das relavoes com a meio que travam; e, principalmente, porque a

neutral idade cientifica absaluta nao existe.

26

3. CONSIDERA<;;OES

Os varios aspectos aqui levantados of ere cern um paine I bastante interessante

que enseja uma absolvi~ao a Matematica e especificamente a Trigonometria, de sua

condic;ao de vila do processo educativ~.

Via de regra, a Trigonometria e dominada par um pequeno numero de alunos

que se sobressai dentre 0 universo escolar. Ha, de fato, uma certa resistencia par

parte da maiaria dos alunos no processo de aprendizagem dessa materia dentro da

disciplina de Matematica.

Todavia, percebe-se que, fundamentalmente, e necessaria propiciar a apro-

ximaC;3o do educando com 0 universo matematico, extrapolando as limites impastos

pelas institui96es e pelos pr6prias academicos, num processo de democratizac;ao

desses conteudos.

Ora, a Trigonometria tern em seu embriao a busca de respostas para ques-

toes basic as, para as quais se utilizaram recursos simplerlos (como uma base de

cordas e de nos!) - notadamente aqueles que faziam parte do dia a dia das pesso-

as e que estavam ali, a mao. A partir desse conceito inicial, pode-se compor a seu

process a evolutivo e as varias alternativas que se somaram e que vieram a integrar

a estrutura cientifica que se tern hoje sabre °assunto, seus metodos e aplicac;6es.

Sob uma luz assim simplista, ate mesmo 0 ens ina da disciplina passa a ser

facilitado para 0 professor, que podera construir com seus educandos a ideia geral

do ass unto, de forma ate mesmo participativa, desmistificando as barreiras impostas,

tambem, pelo senso comum que em multo colaborou para criar 0 distanciamento

que hoje imp era no processo de ensino-aprendizagem da Matematica.

Uma ferramenta positiva a ser utilizada nesse processo e a didatica da Hisle-

ria da Matematica e da Trigonometria, porque propiciara a reconstruc;ao do conheci-

mento acumulado acerca do assunto e permitira que cad a uma de suas eta pas seja

interpretada e problematizada, num crescendo de informac;oes e elementos, ate

chegar a sua contextualizac;ao global, donde a aprendizagem emergira espontane-

amente, na.o como fruto de "macetes", mas como resultado da apropriac;ao do co-

nhecimento, do dominio da capacidade de fazer calculos com medidas e distancias

de pontos distantes e de resolver problemas teoricamente simples mas de dificil ope-

racionalizac;ao.

27

E importante considerar, neste ponto, que a capacidade cognitiva varia de

pessoa para pessoa, estando intimamente Jigada as inteligencias multiplas e a matu-

ridade des esquemas menta is, 0 que deve ser reconhecido e interpretado como urna

incapacidade momentanea de aprendizagem, e nao definitiva, e que, per vezes, exi-

ge urna metodologia diversificada para ensejar a compreensao, 0 que equivale dizer,

exige a habilidade do professor e nao urn esror~o assoberbado par parte do aluno.

Ha, de fata, alguns educandos que encontram maior dificuldade na assimila-

vao das situac;:oes propostas nos conteudos e no trato com a Trigonometria, a que,

gem exce90es, nao esta relacionado a inteligencia, mas sim, as deficiemcias ocorri~

das no seu processo ensino-aprendizagem, a que tambem exige um direcionamento

especffico par parte do professor para auxilia~10 a superar~se.

Em sala de aula, observa~se que as situa~6es pro pastas ern Trigonometria

nao vem acompanhadas de uma contextualiza~ao que possa dar respaldo a abstra-

~ao necessaria, 0 que se configura como um elemento que vem confirmar a conceito

de ciencia vazia para a Matematica.

Assim, com 0 presente trabalho se propoe a considera~ao dessa contextuali~

za~ao na aplica~ao dos conteudos enos enunciados, de forma que se possa articu-

lar a realidade do aluno com as proposi~6es solicitadas nos exercicios, oportunizan-

do a problematiza~ao de situa~6es inusitadas representando~as graficamente.

A propria utiliza~ao da Trigonometria na Agrimensura e desconsiderado no

dia~a-dia da sala de aula, aspecto esse que e, notadamente, 0 rnais proximo da rea-

lidade do atuno, fato que deveria ser considerado e corrigido sem perda de tempo.

E obvio que a presente disserta~ao nao esvazia a assunto, mas espera~se

que a trato desse tema, de forma pratica, simples e acesslvel como se procurou fa~

zer aqui, seja util para os professores que atuam na area e que tanto a Maternatica,

como a propria Trigonometria, sejam vistas como materias interessantes (curiosas

ate) e dignas de explora~ao, sem perder de vista a contribui~ao especifica dessas no

processo de aprendizagem, desmistificando assim a imagem negativa que se fizera

em seu entorno ate entao.

28

BIBLIOGRAFIA

BRASIL, Luiz AS., Estudo Dirigido de Matematica, Centro Experimental e Educacio-

nal Jean Piaget, Rio de janeiro, 1975

KENEDDY, Edward S, Trigonometria - T6picos de Historia da Malematica para uso

em sala de aula, Atual Editora, Sao Paulo, 1994

LIMA, Lauro 0, A Chave do Tamanho, Centro Experimental e Educacional Jean Pia-

get, Rio de janeiro, 1975

SANTOS, Boaventura de S. Urn discurso sabre as ciencias. Porto, Edi90es Afronta-

mento, 1991

STENGER,!. Quem tern medo da ciencia. Ciencias e poderes. Sao Paulo, Siciliano,

1990

www.matweb@com.br