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V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 1

A UTILIZAÇÃO DA ANALOGIA DE GRELHA PARA ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO

Marcos Alberto Ferreira da Silva (1); Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho(2); Roberto

Chust Carvalho(2) (1) Aluno de Pós-Graduação em Construção Civil – DECiv/UFSCar

[email protected] (2) Professores Adjuntos – DECiv/UFSCar

[email protected] [email protected]

Resumo Diversos métodos para a análise e dimensionamento de lajes de concreto armado de

pavimentos de edifícios têm sido propostos e usados ao longo dos anos. Esses métodos

são usados para analisar os deslocamentos, os esforços internos, os elementos de apoio

e a capacidade de carga das lajes; conhecendo-se a distribuição dos esforços atuantes,

tais como momentos fletores, momentos de torção e esforços cortantes, é possível

verificar as tensões e calcular as armaduras necessárias nestas lajes. A substituição de

uma laje por uma série ortogonal de vigas que se cruzam formando uma grelha é uma

das mais antigas propostas de solução. Dividindo as lajes em um número adequado de

faixas é possível reproduzir o comportamento estrutural de pavimentos em concreto

armado com praticamente qualquer geometria e em diferentes situações de esquema

estrutural. Esta é a base do processo de analogia de grelha, o qual possibilita que se faça

o cálculo integrado do pavimento. Neste trabalho comparam-se os esforços e os

deslocamentos transversais de lajes isoladas e de lajes associadas obtidos a partir do

emprego do processo de analogia de grelha com aqueles obtidos através do emprego de

tabelas de lajes e, verifica-se a influência de parâmetros como o espaçamento da malha,

a rigidez a torção dos elementos e o tipo de carga (concentrada nos nós ou distribuída

nas barras da grelha) utilizada para carregar a estrutura equivalente, nos resultados

fornecidos por este processo.

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1 Introdução

Devido à falta de recursos computacionais capazes de resolver o grande volume

de equações simultâneas necessárias para analisar um pavimento como um todo,

durante muito tempo o cálculo de pavimentos de edifícios compostos por lajes e vigas de

concreto armado foi feito de maneira simplificada, considerando-se as lajes como

elementos isolados apoiados em elementos rígidos, as vigas. Hoje, com o avanço dos

microcomputadores, cada vez mais potentes e velozes e, com o surgimento de

programas de análise estrutural avançados que possibilitam o cálculo integrado, a

situação é outra, podendo-se analisar o comportamento de um pavimento como um todo,

levando-se em consideração a influência da flexibilidade dos apoios e da rigidez à torção,

tanto das lajes como das vigas, sendo ainda possível de se incluir na análise a não

linearidade física do concreto armado.

Entre os diversos processos de cálculo que possibilitam a análise integrada de um

pavimento, levando-se em consideração a influência desses parâmetros, destaca-se o

processo de analogia de grelha, o qual vem sendo muito usado em programas

computacionais de análise de estruturas de concreto armado amplamente difundidos no

país e de grande aceitação no meio profissional.

Além de possibilitar o cálculo integrado de um pavimento, o processo de analogia

de grelha permite ainda que, fazendo-se apenas pequenas modificações em um mesmo

conjunto de dados, se analise um mesmo pavimento em diferentes situações de

esquema estrutural, propiciando desta maneira, ao projetista, rapidez na definição do

sistema estrutural mais adequado a ser utilizado.

2 Processo de Analogia de Grelha Baseado na substituição de um pavimento por uma grelha equivalente, onde os

elementos da mesma (barras da grelha equivalente) passam a representar os elementos

estruturais do pavimento (lajes e vigas), este processo permite reproduzir o

comportamento estrutural de pavimentos com praticamente qualquer geometria, seja ele

composto de lajes de concreto armado maciças, com ou sem vigas, ou então de lajes

nervuradas.

Para analisar um pavimento através do processo de analogia de grelha deve-se

dividir as lajes que o compõem em um número adequado de faixas, as quais terão

larguras dependentes da geometria e das dimensões do pavimento. Considerando que,

assim como as vigas, estas faixas possam ser substituídas por elementos estruturais de

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barras exatamente nos seus eixos, obtém-se então uma grelha equivalente que passa a

representar o pavimento.

Quanto aos carregamentos, considera-se que as cargas distribuídas atuantes no

pavimento se dividem entre as barras da grelha equivalente de acordo com a área de

influência de cada uma; as cargas podem ser consideradas uniformemente distribuídas

ao longo das barras da grelha ou então concentradas diretamente nos seus nós.

As características geométricas que devem ser consideradas para as barras da

grelha equivalente são de dois tipos: as do elemento placa (laje) e as do elemento viga-

placa (viga-laje). O cálculo da inércia à flexão dos elementos de placa é feito

considerando-se uma faixa de largura b, a qual é dada pela soma da metade dos

espaços entre os elementos vizinhos, e altura h, a qual é representada pela espessura da

placa. Para se avaliar a parcela geométrica da rigidez à torção, no estádio I, segundo

HAMBLY (1976), deve-se considerar o dobro da rigidez à flexão. Assim, para um

elemento de placa, pode-se escrever:

6hbI2I e

12hbI

3

ft

3

f⋅=⋅=⋅=

onde tf I e I são respectivamente os momentos de inércia à flexão e à torção do elemento

de placa.

Para o elemento viga-placa, na flexão, pode-se considerar uma parte da placa

trabalhando como mesa da viga, configurando então, dependendo da posição, uma viga

de seção T ou meio T. Uma vez determinada a largura colaborante, a inércia à flexão da

seção resultante pode ser calculada supondo a peça trabalhando tanto no estádio I como

no II.

A inércia à torção do elemento viga no estádio I, de maneira simplificada, usando a

Resistência dos Materiais e considerando a viga como retangular, sem levar em conta a

contribuição da laje adjacente, é dada pela expressão:

3bhI

3

t⋅=

onde b e h são respectivamente a largura e altura do elemento viga.

Como indica CARVALHO (1994), no estádio II, pode-se considerar o valor da

inércia à torção do elemento viga como sendo 10% daquele dado pela Resistência dos

Materiais. Assim:

30bhI

3

t⋅=

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Os valores do módulo de deformação longitudinal à compressão do concreto )(Ec ,

do módulo de deformação transversal do concreto )(Gc , e do coeficiente de Poisson (ν)

relativo às deformações elásticas podem ser determinados a partir das recomendações

da NBR 6118.

3 Situações Analisadas Para exemplificar a possibilidade de uso do processo de analogia de grelha na

análise de pavimentos de edifícios, para comparar os resultados obtidos mediante a sua

utilização com aqueles obtidos quando se empregam tabelas de lajes isoladas (teoria das

placas delgadas) e, para verificar a influência de parâmetros como o espaçamento da

malha, a rigidez a torção dos elementos e o tipo de carga utilizada para carregar a

estrutura equivalente, nos resultados fornecidos por este processo, foram resolvidos

diversos exemplos, os quais serão apresentados a seguir.

Para a determinação dos esforços e deslocamentos das placas atráves da teoria

das placas delgadas, utilizou-se tabelas de lajes apresentadas em CARVALHO &

FIGUEIREDO FILHO (2001), as quais foram extraídas de BARES (1972) e devidamente

adaptadas, por estes autores, para o coeficiente de Poisson (ν) igual a 0,2 e, para a

resolução das grelhas analisadas, foi utilizado o programa GPLAN4 de CORRÊA &

RAMALHO (1987), versão educativa, desenvolvido na Escola de Engenharia de São

Carlos da Universidade de São Paulo.

EXEMPLO 1 – Para comparar os resultados obtidos mediante o emprego do processo de

analogia de grelha com os obtidos atráves da teoria das placas delgadas, foi analisada

inicialmente uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8cm de espessura, suposta

simplesmente apoiada no seu contorno, considerado indeslocável verticalmente. Utilizou-

se os dados:

2

2

22

21

27c

27c

kN/m 6,00total carga

kN/m 3,00q utilização de sobrecarga

kN/m 1,00g permanente carga

kN/m 2,00250,08g:próprio peso

:placa da tocarregamen do DadoskN/m 10 x 1,28G 0,2; ;kN/m 10 x 3,20E

:concreto o para Dados

=⇒

=

=

=⋅=

=== ν

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Para analisar a placa através do processo de analogia de grelha foi utilizada uma

grelha equivalente composta de 25 nós e 40 barras (figura 1), com espaçamento de 75cm

entre as barras nas duas direções.

Figura 1: Grelha equivalente da placa do exemplo 1 (25 nós e 40 barras). O carregamento da grelha equivalente foi feito considerando as cargas

uniformemente distribuídas nas suas barras; o valor numérico destas cargas foi

determinado a partir da área de influência das barras. Assim:

kN/m 1,1250,75

6,0040,750,75

p :contorno do barras as para =

⋅⋅

=

kN/m 2,2500,75

26,0040,750,75

p :centro do barras as para =

⋅⋅⋅

=

Os esforços e os deslocamentos no centro da placa, obtidos admitindo

comportamento linear, estão apresentados no quadro 1.

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QUADRO 1 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro da placa

quadrada do exemplo 1

Modelos de cálculo yx mm = Flecha

Analogia de Grelha (A) 2,895 2,106

Tabelas (B) 2,381 1,385

razão (A/B) 1,216 1,521

Comparando os resultados apresentados no quadro 1, observa-se que o momento

fletor obtido através da utilização da analogia de grelha resultou maior que aquele obtido

utilizando-se as tabelas de placa, aproximadamente 22%, enquanto que a flecha resultou

maior em aproximadamente 52%. No exemplo 3 poderá ser observado que estes

percentuais diminuiram na medida em que se reduziu o espaçamento da malha.

EXEMPLO 2 – Ainda na intenção de comparar os resultados obtidos mediante o emprego

da analogia de grelha com os obtidos atráves da teoria das placas delgadas, foi

analisada neste exemplo uma placa retangular de 3,00 x 4,80m e de 8cm de espessura,

suposta simplesmente apoiada no seu contorno, considerado indeslocável verticalmente.

Para analisar a placa através da analogia de grelha foi utilizada uma grelha equivalente

composta de 55 nós e 94 barras (figura 2), com espaçamento entre as barras de 48cm na

maior direção da placa e, de 75cm, na menor direção.

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Figura 2: Grelha equivalente da placa retangular do exemplo 2 (55 nós e 94 barras).

As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas nas barras. Os dados

para o concreto e para os carregamentos foram os mesmos do exemplo 1. Os esforços e

os deslocamentos no centro da placa, obtidos considerando comportamento linear, estão

apresentados no quadro 2.

QUADRO 2 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro da placa

retangular do exemplo 2

Modelos de cálculo xm ym Flecha

Analogia de Grelha (A) 5,194 1,636 3,554

Tabelas (B) 4,504 1,696 2,830

razão (A/B) 1,153 0,965 1,256

Comparando os resultados apresentados no quadro 2, observa-se que o momento

fletor na menor direção da placa, obtido através da utilização da analogia de grelha,

resultou maior que aquele obtido utilizando-se as tabelas de placa, aproximadamente

15%, enquanto que o momento fletor na maior direção da placa resultou 3,5% menor e, a

flecha, resultou maior em aproximadamente 26%.

EXEMPLO 3 – Para averiguar a influência do espaçamento da malha nos resultados da

analogia de grelha, foi analisada a mesma placa do exemplo 1 considerando mais três

malhas com espaçamentos diferentes: malha de 50 x 50cm, composta de 49 nós e 84

barras, malha de 30 x 30cm, composta de 121 nós e 220 barras e, malha de 15 x 15cm,

composta de 441 nós e 840 barras. As cargas foram consideradas uniformemente

distribuídas nas barras. Os esforços e os deslocamentos no centro da placa, obtidos

considerando comportamento linear, estão apresentados no quadro 3.

QUADRO 3 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma mesma

placa quadrada para quatro tipos diferentes de grelha equivalente

Malha da grelha equivalente N° de nós yx mm = Flecha

Malha 1 (75 x 75cm) 25 2,895 2,106

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Malha 2 (50 x 50cm) 49 2,636 1,941

Malha 3 (30 x 30cm) 121 2,450 1,799

Malha 4 (15 x 15cm) 441 2,320 1,693

Os resultados apresentados no quadro 3 mostram claramente que existe uma

influência da malha utilizada na análise da placa; observa-se que os valores do momento

fletor e da flecha diminuíram na medida em que se reduziu o espaçamento da malha.

Comparando os resultados obtidos para a malha 4 (malha mais "fina") com aqueles

obtidos utilizando-se as tabelas de placa (exemplo 1), observa-se uma pequena diferença

no valor do momento fletor, aproximadamente 3%, para menos, enquanto que para a

flecha observa-se uma diferença de aproximadamente 23%, para mais.

EXEMPLO 4 – Para averiguar se ocorre grande variação nos valores do momento fletor e

da flecha ao considerar-se as cargas como concentradas diretamente nos nós da grelha

equivalente ou como uniformemente distribuídas nos elementos da mesma, resolveu-se

novamente a placa do exemplo 1 utilizando as malhas 1, 2 3 e 4 do exemplo 3,

considerando para estas, as cargas aplicadas diretamente nos seus nós. Para determinar

o valor numérico da carga a ser aplicada diretamente em um nó, determina-se

inicialmente a sua área de influência, multiplicando-a a seguir pela carga atuante por

metro quadrado na placa. Para efeito de ilustração apresenta-se a seguir, para a malha 1,

o cálculo da carga a ser aplicada diretamente nos nós:

kN 1,68826,0040,750,75p:periferia da nós

kN 6,0040,750,75p :canto de nós

=⋅⋅⋅=

=⋅⋅= 844,0

kN 6,0040,750,75p:centrais nós 375,34 =⋅⋅⋅=

Os resultados obtidos, considerando comportamento linear, estão apresentados no

quadro 4.

Os resultados obtidos, pelo menos para este exemplo, mostram que para fins

práticos não há diferença alguma em considerar-se as cargas aplicadas diretamente nos

nós da grelha equivalente ou uniformemente distribuída nas barras da mesma.

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QUADRO 4 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma mesma

placa quadrada para as situações de cargas concentradas nos nós e uniformemente

distribuídas nos elementos

Tipo de carga Tipo de carga

concent.

(A)

uniform

e

(B)

concent.

(C)

uniform

e

(D)

Malha da grelha yx mm =

yx mm =

razão

(A/B)

Flecha Flecha razão

(C/D)

Malha 1 (75 x 75cm) 2,919 2,895 1,008 2,002 2,106 0,951

Malha 2 (50 x 50cm) 2,652 2,636 1,006 1,899 1,941 0,978

Malha 3 (30 x 30cm) 2,457 2,450 1,002 1,785 1,799 0,992

Malha 4 (15 x 15cm) 2,320 2,320 1,000 1,690 1,693 0,998

EXEMPLO 5 – Para averiguar a influência do módulo de deformação transversal do

concreto nos resultados da analogia de grelha, foi analisada novamente a placa do

exemplo 1, para as malhas 1, 2, 3 e 4 do exemplo 3, considerando a relação

0,2/EG cc = . As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas nas barras das

grelhas equivalentes e, admitiu-se comportamento linear. Os resultados obtidos para esta

nova relação e aqueles já obtidos para a relação 0,4/EG cc = (exemplo 3), estão

apresentados no quadro 5.

Pelos resultados obtidos percebe-se que, tanto o momento fletor como a flecha no

centro da placa, aumentaram quando se diminuiu a relação cc /EG de 0,4 para 0,2; este

comportamento era esperado, uma vez que ao diminuir o valor do módulo de deformação

transversal do concreto, diminui-se a rigidez à torção dos elementos da grelha

equivalente e, consequentemente, ocorre uma diminuição dos momentos torsores nas

extremidades das barras desta grelha; como o equilíbrio da grelha deve ser mantido, ele

é obtido através do balanceamento entre momentos fletores e momentos torsores, ou

seja, os momentos torsores diminuindo, originam um aumento dos momentos fletores e

também da flecha no centro da placa.

QUADRO 5 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma

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placa quadrada para as relações 0,2/EG cc = e 0,4/EG cc =

Relação cc /EG Relação cc /EG

0,2

(A)

0,4

(B)

0,2

(C)

0,4

(D)

Malha da grelha yx mm =

yx mm =

razão

(A/B)

Flecha Flecha razão

(C/D)

Malha 1 (75 x 75cm) 3,308 2,895 1,143 2,359 2,106 1,120

Malha 2 (50 x 50cm) 3,182 2,636 1,207 2,286 1,941 1,178

Malha 3 (30 x 30cm) 3,073 2,450 1,254 2,205 1,799 1,226

Malha 4 (15 x 15cm) 2,973 2,320 1,281 2,128 1,693 1,257

EXEMPLO 6 – Para comparar os resultados obtidos através da teoria das placas

delgadas, a qual considera as bordas das placas como apoios indeslocáveis na direção

vertical, com os obtidos quando se considera os contornos dessas mesmas placas

deformáveis verticalmente, resolveu-se novamente a placa do exemplo 1, considerando

porém, que agora, a mesma encontra-se apoiada em seu contorno em vigas de seção de

20 x 30cm, estando estas vigas apoiadas em pilares nas suas extremidades (figura 3).

Para analisar a placa através do processo de analogia de grelha foi utilizada a malha 4

(441 nós e 840 barras) do exemplo 3. As vigas de contorno da laje foram consideradas

como retangulares, sem levar em conta a contribuição da laje adjacente e, as inércias à

flexão e à torção das mesmas, foram calculadas para o estádio I. As cargas foram

consideradas uniformemente distribuídas nos elementos da grelha equivalente. Os dados

para o concreto e para os carregamentos foram os mesmos do exemplo 1. Os esforços e

os deslocamentos obtidos para o centro da placa estão apresentados no quadro 6.

Comparando os resultados apresentados no quadro 6, observa-se que o momento

fletor obtido através da utilização da analogia de grelha resultou menor que o obtido

utilizando-se as tabelas de placa em aproximadamente 27% e, a flecha, resultou menor

em aproximadamente 7%. Em função da inércia à torção das vigas de contorno ser

elevada, maior que a própria inércia à flexão das mesmas, nos nós correspondentes ao

encontro dos elementos de placa com os elementos de viga (nós do contorno da grelha

equivalente), surgem momentos fletores negativos elevados, contribuindo para que

ocorra uma redução do momento fletor positivo e da flecha no centro da placa.

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PILAR

VIGA (20/30)

PILAR3,0 m

PILAR

VIG

A (2

0/30

)

VIG

A (2

0/30

)

VIGA (20/30)PILAR

3,0

m

(H = 8 cm)LAJE

Figura 3: Placa quadrada apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente.

QUADRO 6 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma placa

quadrada apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente e razão com o valor

fornecido pela teoria das placas delgadas

Modelos de cálculo yx mm = Flecha

Analogia de Grelha (A) 1,693 1,576

Tabelas (B) 2,320 1,693

razão (A/B) 0,730 0,931

EXEMPLO 7 – Neste exemplo procurou-se verificar a variação que ocorre nos valores do

momento fletor e da flecha no centro da placa do exemplo 6, ao considerar-se a inércia à

torção das vigas de contorno dessa placa no estádio II, mantendo-se inalterada a inércia

à flexão das mesmas (estádio I). A inércia à torcão das vigas no estádio II foi

considerada, segundo recomendação apresentada em CARVALHO (1994) e, já

comentada neste trabalho, como sendo 10% da inércia à torção das vigas no estádio I.

Os resultados obtidos neste exemplo estão apresentados no quadro 7.

QUADRO 7 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma placa

quadrada apoiada em vigas deformáveis verticalmente e com inércia à torção

considerada ora no estádio I e ora no estádio II

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V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 12

Situação das vigas de contorno yx mm = Flecha

Com inércia à torção no estádio II (A) 2,093 1,914

Com inércia à torção no estadio I (B) 1,693 1,576

razão (A/B) 1,236 1,214

Pelos resultados obtidos observa-se que o momento fletor e a flecha no centro da

placa aumenta bastante quando se considera a inércia à torção das vigas de contorno da

placa no estádio II; no quadro 8 apresenta-se a comparação dos resultados obtidos

considerando-se as vigas de contorno com inércia à torção no estádio II com os obtidos

empregando-se a teoria das placas delgadas.

QUADRO 8 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma placa

quadrada apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente e com inércia à

torção no estadio II e razão com o valor fornecido pela teoria das placas delgadas

Modelos de cálculo yx mm = Flecha

Analogia de Grelha (A) 2,093 1,914

Tabelas (B) 2,320 1,693

razão (A/B) 0,902 1,131

Comparando os resultados apresentados no quadro 8, observa-se que o momento

fletor obtido através da utilização da analogia de grelha resultou menor que aquele obtido

utilizando-se as tabelas de placa em aproximadamente 10%, enquanto que a flecha

resultou maior em aproximadamente 13%.

EXEMPLO 8 – Com a intenção de mostrar que mediante a utilização do processo de

analogia de grelha é possivel calcular pavimentos de concreto armado de uma forma

integrada, fugindo do cálculo clássico, o qual considera os elementos componentes do

pavimento de forma isolada, sem levar em conta a interação entre os mesmos, neste

exemplo foi analisado um pavimento composto por quatro lajes, seis vigas e nove pilares,

conforme mostra a figura 4 e, os resultados assim obtidos, foram comparados com os

obtidos utilizando-se tabelas de placas.

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V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 13

L3H = 10cm

H = 10cmL1

VIGA (20/40)

VIGA (20/40)

VIGA (20/40)

4 m

VIG

A (2

0 /40

)

P7

P4

P1

H = 10cmL4

L2H = 10cm

VIG

A (2

0/40

)

VIG

A (2

0/40

)P9P8

P6P5

P3P2

4 m

4 m

4 m

Figura 4: Fôrma do pavimento do exemplo 8.

Os dados utilizados neste exemplo foram:

27c

27c kN/m 10 x 1,28G 0,2; ;kN/m 10 x 3,20E

:concreto o para Dados

=== ν

2

2

22

21

kN/m 6,50total carga

kN/m 3,00q utilização de sobrecarga

kN/m 1,00g permanente carga

kN/m 2,50250,10g:próprio peso

:lajes das tocarregamen do Dados

=⇒

=

=

=⋅=

A inércia à torção das vigas foi calculada no estádio II ( 10% da inércia à torção no

estádio I), enquanto que a inércia à flexão das mesmas, foi calculada no estádio I. As

vigas foram consideradas como retangulares, sem levar em conta a contribuição da laje

adjacente. Para analisar o pavimento através da analogia de grelha foi utilizada uma

grelha equivalente composta de 441 nós e 840 barras, com espaçamento de 40cm entre

as barras nas duas direções. As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas

nas barras. Os resultados obtidos neste exemplo estão apresentados no quadro 9.

QUADRO 9 – Momentos fletores (em kN.m/m) e flecha (em mm) nas lajes do pavimento

do exemplo 8

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Laje yx mm = yx xx = Flecha

L1=L2=L3=L4 (A) 3,123 -6,325 2,043

Tabelas (B) 2,922 -7,270 1,258

razão (A/B) 1,069 O,870 1,624

Comparando os resultados apresentados no quadro 9, observa-se que o momento

fletor positivo obtido através da utilização da analogia de grelha resultou pouco maior que

o obtido utilizando-se as tabelas de placa, aproximadamente 7%, enquanto que o

momento fletor negativo resultou menor em aproximadamente 13% e, a flecha, resultou

maior em aproximadamente 62%.

4 Conclusões As conclusões deste trabalho são apresentadas a seguir:

Os resultados apresentados no quadro 3 mostram claramente que existe uma

influência da malha utilizada na análise da placa; observou-se que os valores do

momento fletor e da flecha diminuíram na medida em que se reduziu o espaçamento

da malha;

para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura,

suposta simplesmente apoiada em seu contorno, considerado indeslocável

verticalmente, verificou-se que ocorreu uma razoável variação nos valores do

momento fletor e da flecha em função do espaçamento da malha utilizada na sua

análise; da malha mais "larga" (75 x 75cm) para a mais "fina" (15 x 15cm), tanto o

momento fletor como a flecha sofreram uma redução de aproximadamente 20%;

para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura,

suposta simplesmente apoiada em seu contorno, considerado indeslocável

verticalmente, verificou-se que tanto o momento fletor como a flecha obtidos

considerando-se as cargas aplicadas diretamente nos nós da grelha equivalente

resultaram praticamente iguais àqueles obtidos considerando-se as cargas aplicadas

uniformemente distribuídas nas barras dessa mesma grelha;

para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura,

suposta simplesmente apoiada em seu contorno, o qual foi considerado indeslocável

verticalmente, pode-se verificar que tanto o momento fletor como a flecha no centro

da placa, aumentaram quando se diminuiu a relação cc /EG de 0,4 para 0,2;

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• para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura,

apoiada em seu contorno em vigas de 20 x 30cm, consideradas deformáveis

verticalmente e, com as inércias à torção e à flexão calculadas no estádio I, verificou-

se que o momento fletor obtido através da utilização da analogia de grelha,

considerando-se uma malha de 15 x 15cm, resultou menor que aquele obtido

utilizando-se as tabelas de placa em aproximadamente 27% e, a flecha, resultou

menor em aproximadamente 7%;

• para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura,

apoiada em seu contorno em vigas de 20 x 30cm, consideradas deformáveis

verticalmente e, com inércia à flexão calculada no estádio I e inércia à torção

calculada no estádio II, verificou-se que o momento fletor obtido através da utilização

da analogia de grelha, considerando-se uma malha de 15 x 15cm, resultou maior que

o obtido considerando-se a inércia à torção destas mesmas vigas no estádio I,

aproximadamente 24%; o mesmo ocorreu com a flecha, que resultou maior em

aproximadamentre 21%;

para o centro de uma laje quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura, apoiada

em seu contorno em vigas de 20 x 30cm, consideradas deformáveis verticalmente e,

com inércia à flexão calculada no estádio I e inércia à torção calculada no estádio II,

verificou-se que o momento fletor obtido através da utilização da analogia de grelha,

considerando-se uma malha de 15 x 15cm, resultou menor que o obtido utilizando-se

as tabelas de placa, aproximadamente 10%, enquanto que a flecha resultou maior em

aproximadamente 13%;

exceto para um caso (exemplo 6), a flecha obtida através da utilização analogia de

grelha resultou maior que a obtida através da utilização das tabelas de placas;

• o processo de analogia de grelha permite dinamizar a análise de um mesmo

pavimento em diferentes situações de esquema estrutural, dimensões em planta,

espessura das lajes, dimensões de vigas, condições de apoio e carregamentos;

com a utilização do processode analogia de grelha é possível calcular pavimentos de

concreto armado de uma forma integrada, fugindo do cálculo clássico, o qual

considera os elementos componentes do pavimento de forma isolada, sem levar em

conta a interação entre os mesmos. Com o cálculo integrado, a contribuição de cada

elemento que compõe o pavimento fica corretamente caracterizada e, dessa forma, os

esforços e os deslocamentos determinados tendem a ser mais precisos e mais

próximos dos valores reais;

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5 Referências

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NBR-7197. Rio de Janeiro, 2001.

BARES, R. Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona: Editorial

Gustavo Gili S.A., 1972.

CARVALHO, R. C. Análise não-linear de pavimentos de edifícios de concreto através da analogia de grelha. 1994. Tese de Doutorado. Programa de Pós-Graduação em

Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São

Paulo, São Carlos.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. São Carlos: EdUFSCar, 2001. 308 p.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R.; FURLAN JÚNIOR, S. Cálculo de lajes de concreto com a analogia de grelha. In: CONGRESSO DE ENGENHARIA CIVIL DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA, 2., 1996, Juiz de Fora. Anais... Juiz de

Fora: UFJF, 1996. p. 154-163.

CORRÊA, M. R. S.; RAMALHO, M. A. Sistema laser de análise estrutral. In: SIMPÓSIO

NACIONAL DE TECNOLOGIA DE CONSTRUÇÃO: SOFTWARE PARA O PROJETO DE

EDIFÍCIOS, 5., 1987, São Paulo.

HAMBLY, E. C. Bridge deck behaviour. London: Chapman and Hall, 1976.