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À VOLTA DO TEOREMA À VOLTA DO TEOREMA DE PITÁGORASDE PITÁGORAS
SUZANA NÁPOLESDM-FCUL
MARGARIDA OLIVEIRAEB 2,3 Piscinas, Olivais
“Enquanto a Álgebra e a Geometria estiveram separadas, o seu progresso foi lento e o seu uso limitado; mas uma vez que estas ciências se uniram, elas deram uma à outra um apoio mútuo e rapidamente avançaram juntas para a perfeição. Devemos a Descartes a aplicação da Álgebra à Geometria; ela tornou-se na chave das maiores descobertas em todos os campos da matemática.”
Lagrange (Oeuvres, vol.7), 1795
Teorema de Pitágoras“Num triângulo rectângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”
C
B
A
A soma das áreas dos quadrados A e B construídos sobre os catetos de um triângulo rectângulo é igual à área do quadrado C construído sobre a hipotenusa.
Demonstração de Euclides
A
B
C
a
y
b
x
P
a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2
Os triângulos ABC e CAP são semelhantes, logo
Os triângulos ABC e CBP são semelhantes, logo
y/b = b/c b2 = cy
x/a = a/c a2 = cx
c = x + y
c2 = (a+b)2 4 (ab/2)
c2 = a2 + b2
a
b
c
b a
c2 = (b a)2 + 4 (ab/2)
c2 = a2 + b2
B
CA a c
b
8
2aA
8
2bB
8
2cC
CcbabaBA
8888
22222
b
ca
B
A
C
243 aA
243 bB
243 cC
CcbabaBA 2222243
43
43
43
x
x
B
AC
ac
b
xaxA
bxB
cxC
xbaBA
CBA
xb/a
x
xc/a
B
A
C
ac
b
axA
axbB
2
axcC
2
Ca
xca
xbaa
xbaxBA
2222 )(
B
ac
b
A
C
AabB
2
AacC
2
CAa
cAa
baAa
bABA
2
2
2
22
2
2 )(
Duas formigas vão de O a Q pelas paredes de um cubo, à mesma velocidade (R e Q são os pontos médios das arestas). A formiga A segue o trajecto ORQ e a formiga B o OPQ.
Qual das formigas chega primeiro?
Equações quadráticas da forma O método geométrico de Al-Khwarizmi
O cálculo das raízes de uma equação do 2º grau
é um tópico curricular que praticamente se resume à aplicação da fórmula resolvente
Para b, c > 0 esta “fórmula mágica” pode ser interpretada geometricamente
2 x b x c
2 x b x c
x
b/2
x2
x2 + b x = c
bx/2
bx/2
x2 + b x + = c + b2
4b2
4
(b/2)
