A05 - Caracteristicas Geometricas Da Secao Transversal

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ESTTICA DEC 3674

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5 Caractersticas geomtricas da seo transversal15.1 Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional.Consideremos uma placa horizontal. Podemos dividir essa placa em n elementos pequenos. As coordenadas do primeiro elemento so denominadas x1 e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc. As foras exercidas sobre os elementos da placa sero denominadas P1, P2, Pn, respectivamente. Essas foras ou pesos podem ser consideradas paralelas. Sua resultante , por conseguinte, uma nica fora na mesma direo. A intensidade P desta fora obtida pela adio das intensidades dos pesos elementares. Fz = P = P + P2 + ... + Pn 1

Para obtermos as coordenadas X e Y do ponto G onde a resultante P deve ser aplicada devemos satisfazer a condio de que os momentos das parcelas Pi em relao aos eixos x e y sejam iguais ao momento da resultante P em relao aos mesmos eixos. Mx = PX = P1 x1 + P2 x2 + ... + Pn xn My = PY = P1 y1 + P2 y2 + ... + Pn yn (5.2)

Se aumentarmos o nmero de elementos em que a placa dividida e diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos as seguintes expresses P = dP PX = x dP PY = y dP (5.3)

Essas expresses definem o peso P e as coordenadas x e y do centro de gravidade G da placa.

5.2 Centrides de reas.No caso de uma placa homognea de espessura uniforme, a intensidade P do peso de um elemento da placa pode ser expressa como:

1

Mecnica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976

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P = .t.A Sendo: = peso especfico .(peso por unidade de volume) do material t = espessura da placa, e A = rea do elemento

Substituindo P e Pi na equao de momentos (5.2) e dividindo por t, escrevemos Mx = AX = A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn My = AY = A1 y1 + A2 y2 + ... + An yn (5.4)

Aumentando o nmero de elementos em que a rea A dividida, obtemos XA = x.dA AY = y.dA (5.5)

Essas equaes definem as coordenadas x e y do centro de gravidade de uma placa uniforme. O ponto de coordenadas X e Y tambm conhecido como o centride C da rea A da placa

A integral x.dA conhecida como o momento esttico da rea A em relao ao eixo y. Analogamente, a integral y.dA define o momento esttico de A em relao ao eixo x.

V-se das Eqs. (5.5) que, se o centride de uma rea est situado sobre um eixo coordenado, o momento esttico da rea em relao a este eixo nulo.

reas simtricas em relao aos eixos Quando uma rea A possui um eixo de simetria BB', o centride da rea deve estar situado neste eixo. Se possuir dois eixos de simetria, o centride da rea est situado na interseco dos dois eixos de simetria. Esta propriedade nos possibilita determinar imediatamente o centride de reas tais como crculos, elipses, quadrados, retngulos, tringulos eqilteros ou quaisquer outras figuras simtricas. A seguir so fornecidos alguns centrides de formas usuais de reas:

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y y b/2 C b/2

Tringulo

xCG =

yCG = h/3

rea = . b.h

Quarto de crculoC O y x O C r

xCG = 4.r/3.

yCG = 4.r/3.

rea = .r2/4 rea = ..r2.

Semi crculo xCG =0

yCG = 4.r/3.

Quarto de elipseC O y x O b C

xCG = 4.a/3.r a

yCG = 4.b/3. xCG =0

rea = .a.b/4

Semi elipse

yCG = 4.b/3. rea = ..a.b

a C O y x O h C

Semi parbola xCG = 3.a/8 Parablica yCG = 4.h/5 xCG =0 rea = 2.a.b/3 rea = 4/3.a.h

yCG = 3.h/5

Superfcie arqueada de uma abbada forma gerala y = k.x O xcgn

h ycg

xcg =

n +1 .a n+2

ycg =

n +1 .h 4.n + 2

rea =

a.h n +1

5.3 Placas Compostas.Uma placa pode ser dividida em retngulos, tringulos ou outras das formas usuais. A abscissa X de seu centro de gravidade G pode ser determinada das abscissas dos centros de gravidade das vrias partes, expressando que o momento do peso de toda a placa em relao ao eixo y igual soma dos momentos dos pesos das vrias partes em relao ao mesmo eixo (Fig. 5.9). A coordenada Y do centro de gravidade da placa encontrada de maneira anloga, equacionando os momentos em relao ao eixo x.

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z

z y P = Pi X G1 P3 P1 O x P2 G2 x G3

O

Y

FIGURA 5.9. Centro de gravidade de uma placa composta

Se a placa homognea e de espessura uniforme, o centro de gravidade coincide com o centride G de sua rea. A abscissa X do centride da rea pode ser ento determinada, considerando que o momento esttico da rea composta com respeito ao eixo y igual soma dos momentos estticos das diversas reas em relao ao mesmo eixo (Fig. 5.10). A ordenada Y do centride encontrada de maneira anloga, isto , equacionando momentos estticos das reas em relao ao eixo x.y Ai C X Y O x O C1 A1 y A3 C3 C2 A2 x

FIG. 5.10. Centride de uma rea composta

M

x

=Y ( A1 + A2 + ... + An ) = y1. A1 + y2 . A2 + ... + yn . An

M

y

=X ( A1 + A2 + ... + An ) = x1. A1 + x2 . A2 + ... + xn . An

(5.8)

Cuidado: Momentos estticos de reas podem ser positivos ou negativos. Uma reacom centride esquerda do eixo y ter momento esttico negativo em relao ao eixo y.10 cm

Exemplo 15 cm

r = 10 cm

Determinar o centro de gravidade da placa homognea ao lado.15 cm 22,5 cm 17,5 cm

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y

26,74 cm

4r = 4,24 cm 3

y

24,24 cm

11,25 cm 28,33 cm

x X = 15,16 cm

Y = 14,34 cm

C

15 cm

5 cm

x

Da equao 5.8:

X ( A1 + A2 + ... + An ) = x1. A1 + x2 . A2 + ... + xn . An Y ( A1 + A2 + ... + An ) = y1. A1 + y2 . A2 + ... + yn . An

Componente Retngulo Quarto de crculo tringulo

A 675 78,54 131,25 884,79

x 11,25 26,74 28,33

y 15 24,24 5

x.A 7593,75 2100,16 3718,71 13412,62

y.A 10125 1903,81 656,25 12685,06

X.(884,79) = 13412,62 X = 15,16 cm Y.(884,79) = 12685,06 Y = 14,34 cmy

Exemplo 2

Determinar o centride da rea mostrada ao lado. Observe que a rea desconhecida, mas, ela o complemento da rea do quarto de circulo, que tem seu centride e rea conhecidos. Observe tambm que pela simetria X =Y, assim:y y

15 cm

r = 15 cm

15 cm

x

4r = 6,365 cm 3

y

15 cm

Y

C X x

7,5 cm

x

x 8,635 cm

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Componente Quadrado Quarto de Crculo

A 225,0 - 176,6 A = 48,4

x 7,5 8,64

x.A 1687 - 1525 x.A = 162

Da equao 5.8:X ( A1 + A2 + ... + An ) = x1. A1 + x2 . A2 + ... + xn . An

X ( Ai ) = xi . Ai

X.(48,4) = 162 X = 3,35 cm

Na Tabela anterior que fornece os centrides das figuras planas no consta o trapzio. Determine o centride do trapzio abaixob-a a b a a b

5.4 Determinao do Centride por Integrao.X.A = x dA -Y.A = y dA (5.5)

Exemplo 1

y x h

dx

Para a rea ao lado determinar o momento esttico e as coordenadas do centro de gravidade. Momento esttico:Mx = y dAA

dy y

dA = b.dyh

b

x

Mx = y ( bdy ) =h 0

b ydy =0

h

b. y 2 2

=0

b.h 2 2

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My = x dAAb

dA = h.dxb

My = x ( hdx ) =0

h xdx =0

h

h.x 2 = 2 0

h.b 2 2 bh 2 Mx 2 =h = Y= 2 A b.hy u

hb 2 My 2 =b Centro de gravidade X = = 2 A b.h

e

Exemplo 2h

Para a rea ao lado determinar a coordenada Y do CG.

dy y

Y = Mx / A

x b

Mx = y dA0h

h

dA = u.dyh

e

u h yu = b hh

u=

b( h y ) h

dA =

b(h y ) dy h

b( h y ) ybh by 2 b Mx = y. dy = dy = ( yh y 2 ) dy h h h0 0 0 b hy 2 y 3 b h3 h3 b b.h 2 Mx = . = . = .h 2 = h 2 3 0 h 2 3 6 6h

Y=

Mx b.h 2 6 h = = A b.h 2 3

Exemplo 3

y y = k.x2 h a y dA = y dx y/2 x a y x x

Determinar por integrao direta o centride da figura ao lado Condies de contorno: x = a y = h y= h = k.a2

h 2 .x a2

e

x=

a 1/ 2 .y h1/ 2

Mx e My com o elemento vertical rea: dA = y.dx

h A = dA = y.dx = 2 .x 2 .dx a h.a 3 3.a 2 1 A = a.h 3

h x3 A= 2. = a 3 0

a

h . a3 0 ) = 2 ( 3.a

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Mx = ycg ,vert .dA0

a

dA = y.dx

y Mx = . y.dx 2 0a a

Mx =

1 h 2 .x .dx 2 a2 0a

2

1 h2 4 Mx = . 4 .x .dx 2 0aa

1 h2 5 Mx = . 4 x 2 5.a 0 dA = y.dx

1 h 2 5 a.h 2 Mx = . 4 a = 10 a 10h

My = xcg ,vert .dA0

h

My = x. y.dx0a

h My = x. 2 .x 2 .dx a 0a

h My = 2 .x 3 .dx a 0

a

h My = 2 x 4 4.a 0

1 h h.a 2 My = . 2 a 4 = 4 a 4

Mx e My com o elemento horizontal

y

Mx = ycg ,vert .dA0h

h

dA = ( a x ) .dyh

Mx = ( y ) . ( a x ) .dy0

h

dA = (a-x) dy y x (a + x)/2 a x

a Mx = y a 1/ 2 y1/ 2 .dy h 0 y2 y5 / 2 Mx = a 5 1/ 2 2 .h 0 2 My = xcg ,horiz .dA0 h h h

a Mx = ya 1/ 2 y 3/ 2 .dy h 0

h 2 2.h5/ 2 Mx = a. 1/ 2 2 5.h

h 2 2.h 2 ah 2 Mx = a. = 5 10 2

dA = ( a x ) .dyh

a+x My = . ( a x ) .dy 2 0 a2 y My = 1 .dy 2 0 hh

My = a2 My = 2

1 2 ( a x2 ) .dy 2 0h

y2 y 2h 0

My =

a2 h 2 a 2 .h . h = 2 2.h 4

Posio dos centridesa 2 .h My X= = 4 a.h A 3 3 a 4 ah 2 Mx 10 Y= = a.h A 3 3 h 10

X=

Y=

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Exemplo 3

y

Para a figura ao lado, calcular a rea, os momentos estticos Mx e My e a posio do centro de gravidade C.h X C Y x dx b y/2 x y

Considerar uma curva parablica

y = h[1- (x2/b2)].

dA = y.dx

A = dA = y.dx = h 1 x

(

2

b2

) .dx

h h x2 h A = h. 1 2 .dx = 2 . ( b 2 x 2 ) .dx b b 0 0

h 2 x3 = A= 2 .b x b 3 0

b

h 2 b 3 . b b ( 0 0 ) = b 2 3

h 3.b3 b3 b2 3

A=

2.b.h 3

y Mx = .dA 2 0

b

dA = y.dx2

Mx = 0 b

b

y y.dx 2

b 1 x2 Mx = h 1 2 .dx 2 0 b b

Mx =

1 h2 4 2 2 4 b4 ( b 2b x + x ) .dx 20

h2 Mx = 2.b 4

4 2 x5 b x b 2 x3 + = 3 5 0

h 2 4 2 2 3 b5 h2 b b b b + = (15.b5 10.b5 + 3.b5 ) 2.b 4 3 5 30.b 4 4.b.h 152

Mx =

h 8.b5 ) 4 ( 30.b

2

Mx =

4.b.h 2 Mx Y= = 15 2.b.h A 3

Y=

2 h 5

My = x.dA =0

b

b x2 x3 x.h 1 2 dx = h x 2 dx b b 0 0 b

x2 x4 My = h. 2 2 4.b 0h.b 2 . My X= = 4 2.b.h A 3 3 X= b 8

b

b2 b4 b2 My = h. 2 = h. 2 4.b 4

My =

h.b 2 4

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Exemplos 2

01 - Determinar o ycg do tringulo com os eixos passando pelo vrtice.y dA = x.dy dA b x y x

ycg =

y.dA dAb

e

dA = x.dy

dy

a b = x yb

x=

a y b

b

dA =

a y.dy b

a

a a y2 A = dA = y.dy = . b0 b 2 0a 2 y .dy b 2 y3 = 0 = 2. a.b b 3 2b

0

a b 2 a.b = . = b 2 2

ycg =

y.dA0

b

A

=

a b y. y.dy 0 A

b

b

0

2 ycg = .b 3

Determinar o ycg do trapzio abaixo.y b 1 x1 2 x2 x

y b a x

A1 = b . x1 A2 = 1/2 b . x2 xcg =

xcg,1 = 0,5 x1 xcg,2 = 1/3 x2

ycg,1 = 0,5 b ycg,1 = 1/3 b

2 Ai.xi b.x1. ( 0,5.x1 ) + 0,5.b.x2 . (1 3.x2 + x1 ) 1 2.x12 + 1 2.x1.x2 + 1 6.x2 = = b. ( x1 + 0,5.x2 ) x1 + 1 2.x2 Ai

Ai. yi b.x1. ( 0,5.b ) + 0,5.b.x2 . (1 3.b ) 1 2.b 2 .x1 + 1 6.b 2 .x2 1 6.b. ( 3.x1 + x2 ) ycg = = = = b. ( x1 + 0,5.x2 ) b. ( x1 + 0,5.x2 ) x1 + 1 2.x2 Ai Por exemplo: b = 4,0 m, x1 = 7,0 m e x2 = 3,0 m xcg = 4,294 m ycg = 1,882 m

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02 - Determinar o ycg da seo T abaixo.y h1 h 1 2 a b x 2 ou 1 3 2

A seo simtrica em relao ao eixo vertical.

xcg = 0,5 b.

A = b.h ( h h1 ) . ( b a )2 ( b.h ) . ( 0,5.h ) ( b a ) . ( h h1 ) .0,5. ( h h1 ) = ( 0,5.b.h ) 0,5. ( b a ) . ( h h1 ) ycg = b.h ( h h1 ) . ( b a ) b.h ( h h1 ) . ( b a ) 2

Por exemplo: para b = 150, a = 30, h = 75 e h1 = 15 cm.

ycg = 50,83 cm

03 - Determinar o c.g. da seo T abaixo.y h1 h3 h2 1 2 y1 a b d c x y2 x y3 y x1 x2 3 x3

a 60

b 30

c 60

h1 15

h2 75

h3 45

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rea 1 2 3 Total 900 2250 2700 5850

xcg 30 75 120

ycg 67,5 37,5 52,5

A.xcg

A.ycg

27000 60750 168750 84375 324000 141750 519750 286875 xcg = 88,846 cm ycg = 49,038 cm

04 - Determinar o c.g. da seo abaixo.20 20 60 40 60 40 30

05- Determine para a superfcie plana da figura: os momentos estticos em relao aos eixos x e y e a posio do centride.y 120 mm y 80 mm 120 mm y O 60 mm O 120 mm x

40 mm 60 mm y

O

x

80 mm

y 60 mm 80 mm 80 mm O x

40 mm

60 mm

120 mm O x

O

60 mm

x

xcg = 55 mm ycg = 37 mm

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5.5 Momentos de Inrcia 5.5.1 Momentos de 2 ordem ou Momentos de inrcia de reasUma viga bi-apoiada solicitada por dois momentos iguais e opostos aplicados em suas extremidades, est em um estado de solicitao chamado flexo pura. O efeito dessa ao pode ser facilmente visualizado flexionado as duas extremidades de uma rgua, ou seja, a rgua ser flexionada e, sua face inferior ser tracionada e a superior comprimida. Na figura abaixo, a regio superior (hachurada) comprimida, a inferior tracionada e, a linha que separa as duas regies chamada de Linha Neutra ou eixo neutro da seo.Compresso A C B Trao

Em funo da ao externa aplicada tm-se solicitaes internas nas sees da viga e, consequentemente, os esforos internos resistentes. Assim, as foras em um lado do eixo neutro so foras de compresso e do outro lado, foras de trao, enquanto que no eixo as foras so nulas. Esses esforos internos resistentes so distribudos e seus mdulos variam linearmente com a distncia y a partir da linha neutra. A Figura abaixo mostra o trecho AC da viga AB, e a seo da viga na posio C.y Compresso y L.N. Trao F = k.y.A y

MS,ext A C

MS,int

Uma fora elementar atuando em uma rea elementar dada por: F = k . y.A E o mdulo da resultante R das foras elementares F sobre a seo inteira dada por:R = k . y.dA = k y.dA A ltima integral na expresso da resultante conhecida como momento de primeira ordem da seo, em relao ao eixo x; e nula, pois o baricentro da seo est localizado sobre o eixo x, e, portanto Y.A = 0, pois Y= 0.

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O sistema de foras F reduz-se, portanto, a um conjugado e, o mdulo M deste conjugado (momento fletor) deve ser igual soma dos momentos elementares. Integrando sobre a seco inteira, obtemos: M = k . y 2 .dA = k y 2 .dA Mx = y.F = k.y2.A das foras

A ltima integral na equao acima conhecida como o momento de segunda ordem ou momento de inrcia da seo da viga em relao ao eixo x e designada por Ix. O momento de segunda ordem obtido pela multiplicao de cada elemento de rea dA pelo quadrado de sua distncia ao eixo x, e integrando sobre a seco da viga. Observe que y poder ser positivo ou negativo, mas essa integral ser sempre positiva e diferente de zero. No exemplo da figura acima, para a seo retangular de largura b e altura h, teramos:

y dA = b.dy h dy x

Ix = y 2 .dA = y 2 .b.dy b. y 3 b.h3 Ix = y .b.dy = = 3 0 3 0h h

2

e, analogamente:

b

h.x3 h.b3 Iy = x .h.dx = = 3 0 3 0b

b

2

Mudando-se os eixo de forma que passem pelo centridey dA = b.dy h/2 h/2 b+b / 2

Ix = y 2 .dA = y 2 .b.dydy x+h / 2h/2

y

b. y 3 Ix = y .b.dy = 3 h / 22

h / 2

h b. b.h3 b.h3 2 = 2. = 2. = 3 3x8 12 b h. 3 3 2 = 2. h.b = h.b = 2. 3 3 x8 123

3

Iy =

b / 2

x 2 .h.dx =

h.x 3

3 b/2

b / 2

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Determine o Momento de inrcia da seo triangular.y h dy u b h-y y x

b h = u h y

u=

b (h y) h

dA = u.dy

dA =

b(h y) .dy h

Ix = y 2 .dA = y 2 .h

b(h y) b .dy = ( y 2 .h y 3 ) .dy h h

b h. y 3 y 4 b 4h 4 3h 4 b.h3 Ix = = = 12 h 3 4 0 h 12

5.5.2 Momento Polar de inrcia da reaJ O = r 2 .dA2

r = distancia do elemento de rea at o plo O.2 2

y dA r O A x x y

Observe que r = x + y , portanto tambm pode ser calculada atravs dos momentos retangulares de inrcia Ix e Iy. J O = r .dA = ( x + y ) .dA = x .dA + y .dA2 2 2 2 2

J O = r 2 .dA = I x + I y Determine o Momento de inrcia da seo circular.y r r y d y x d dA = .d.d y = .sen x

Ix = y 2 .dA = ( .sen ) . .d .d 2 2 r

0 r 0 2

Ix =

.sen .d .d = sen .d .3 2 2 0 0 0

2

44

r

0

r 4 sen2 = 4 2 4

2

0

r 4 2 sen4 = . 4 2 4

Ix = Iy =

.r 44

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5.5.3 Raio de Girao de uma reaUma determinada rea tem um Momento de Inrcia Ix em relao ao eixo x. Se concentrarmos esta rea em uma faixa estreita, paralela ao eixo x, e com o mesmo momento de inrcia Ix, a distancia dessa faixa ao eixo x, denominada Raio de Girao.y A ky O x O x y A

I x = k x2 . A

kx =

Ix A temos

analogamente2 2 kO = k x2 + k y

ky =

Iy A

e

kO =

JO (polar) A

Como J O = I x + I y

5.5.4 Teorema dos Eixos Paralelos.Na figura ao lado, consideremos conhecido o Momento de Inrcia da seo em relao ao eixo x1, Ix1, e queremos determinar o Momento de Inrcia Ix, em relao ao eixo x, paralelo a x1.Ix = y 2 .dA = ( yc + d1 ) .dA2

dA yc y d x A CG x1

Ix = ( yc2 + 2. yc .d1 + d12 ) .dANesta expresso temos:

Ix = yc2 .dA + 2.d1 yc .dA + d12 dA

y .dA2 c

= = =

Ix1 = Momento de Inrcia em relao ao CG

2.d1 yc .dA

y .dA = 0c

Momento esttico em relao ao CG rea x deslocamento dos eixos ao quadrado

d12 dA

dA = A

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Teorema dos eixos paralelos:

I x = I x1 + d x2 . A2 I y = I y1 + d y . A

Sendo:

Ix1 e Iy1 dx e dy A Ix e Iy

Momentos de inrcia em relao ao CG. deslocamentos dos eixos x e y, respectivamente rea da seo Momentos de inrcia em relao aos eixos transladados.

5.5.5 Teorema dos Eixos Paralelos para Momentos de Inrcia Polares.Na figura ao lado, consideremos conhecido o Momento de Inrcia da seo em relao aos eixos x1 e y1 passando pelo CG da seo, Ix1 e Iy1 e queremos determinar os Momento de Inrcia em relao ao eixo x e y, paralelos a x1 e x1. d2 CG d1 x y y1

xc dA yc x1

J = Ix + I y I x = I x1 + d12 . A

e

I y = I y1 + d 22 . A

2 = d12 + d 22J1 = I x1 + I y1 J = I x + I y = ( I x1 + d12 . A ) + ( I y1 + d 22 . A ) = I x1 + I y1 + ( d12 + d 22 ) . A = J1 + 2 . A

Teorema dos eixos paralelos para Momentos de Inrcia Polar.

J = J1 + 2 . A J J1 Momento de Inrcia Polar em relao origem dos eixos que passam pelo CG. Momento de Inrcia Polar em relao aos eixos transladados. distncia entre as origens dos sistemas de eixos considerados.

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5.5.6 Mdulo de Resistncia.Veja a seo abaixo. J vimos que acima da Linha Neutra temos compresso e abaixo, trao. Estas tenses de trao e compresso no so constantes, como j foi visto, elas so nulas na Linha Neutra e aumentam medida que se afastam em direo s bordas, onde atingem seus valores mximos.max. Compr. MS,ext A C MS,int Compresso y L.N. Trao max. Trao

Admitindo-se uma distribuio linear das tenses, a tenso devida flexo dada por:

=

Mf y I

Esta equao nos da a tenso ao longo da altura da seo, com y variando entre h/2 e +h/2, mas, normalmente o que nos interessa o valor mximo dessa tenso, que ocorrer nas bordas. Assim obtemos max em funo de ymax. Como a distncia do centride de uma seo s suas bordas uma caracterstica da seo, definimos Mdulo de Resistncia (W) de uma seo como: W= I ymax Mf y I Wx = Ix ymax e Wy = Iy xmax unidades : ( L3 ) Mf W

=

max =

Mf ymax I

max =

5.5.7 Mdulo de Resistncia Polar.De forma anloga, no dimensionamento de peas submetidas esforos de toro, tem-se o Mdulo de Resistncia Polar (Wp). Quanto maior o Mdulo de Resistncia Polar de uma seo, maior a sua resistncia toro.

Wp =

J0 rmax

(unidades : L3 )

ESTTICA DEC 3674

60

Exemplo:

Determinar o raio de girao, o mdulo de resistncia e o mdulo de resistncia polar, relativos aos eixos baricntricos x e y, para as sees retangular e circular:

C

ix =h x

Ix = A Iy A

b.h3

2 12 = h b.h 12

ix =

h h. 3 = 6 2. 3 b b. 3 = 6 2. 3

iy =b

=

h.b3

2 12 = b b.h 12

iy =

I Wx = x = ymax

b.h3 h

12

2

b.h 2 Wx = 6

Wy =

Iy xmax

=

h.b3 b

12

Wy =

2

h.b 2 6

J0 = I x + I y =

b.h3 h.b3 b.h 2 + = ( h + b2 ) 12 12 122 2

1 2 b h 2 2 rmax = xmax + ymax = + = b + h2 2 2 2 b.h 2 ( h + b2 ) b.h 2 2 J0 Wp = = 12 = b +h 1 2 rmax 6 b + h2 2

y D

ix = i y =

Ix .D 4 4 d . = = 2 64 .D 4 A Ix .D 4 2 .D3 . = = 64 D 32 ymax

x

Wx = Wy =

J0 = I x + I y = 2

.D 464

=

.D 432

Wp =

J 0 .D 4 2 .D 3 . = = 32 D 16 rmax

ESTTICA DEC 3674

61

5.5.8 Produto de Inrcia.A integral do produto de cada elemento dA de uma rea A por suas coordenadas x e y conhecida como o produto de inrcia da rea A em relao aos eixos x e y (Pxy). Pxy = xy.dA

O Produto de Inrcia Pxy pode ser positivo ou negativo e, quando um ou ambos os eixos x e y so eixos de simetria da rea A, o produto de inrcia Pxy zero.y A A dA x Pxy > 0 Pxy < 0 x Pxy = 0 y y A dA x

Teorema dos eixos paralelos para os Produtos de Inrcia.

y

x X A

y dA x' y C Y x x y

C x e y x e y x = x + X y = y + Y

Baricentro eixos baricntricos coordenadas de dA em relao aos eixos baricntricos e

Pxy = xy.dA = ( x '+ X ) . ( y '+ Y ) .dA = ( x '. y '+ x '.Y + X . y '+ X .Y ) .dA

( x '. y ') .dA

Pxy e

( x '.Y ) .dA

( X . y ') .dA

Momentos estticos nulos (eixos baricentricos) rea sendo dx e dy os deslocamentos dos eixos.

( X .Y ) .dA = X .Y dAPxy = Px ' y ' + X .Y . A = Px ' y ' + d x .d y . A

ESTTICA DEC 3674

62

5.5.9 Rotao de Eixos.Considere um eixo de coordenadas x, y e umay1 y x x1 y O dA y1 x x1

superfcie A. Os Momentos e Produtos de Inrcia so: I x = y 2 .dA I y = x 2 .dA I xy = x. y.dA

Determinar os Momentos e Produtos de Inrcia (Ix1, Iy1 e Ix1y1) atravs da rotao de um ngulo , dos eixos originais, em torno da origem.

Aps a rotao:a = x.cos b = y.sen b a O x x1 = a + b x1 = x.cos + y.sen dA y a b x O y1 x1 x y a = y.cos b = x.sen y1 = a - b y1 = y.cos - x.sen dA a y a b b x x1

y1

y

x1 = x.cos + y.sen

y1 = y.cos x.sen 2

I x1 = y12 .dA = ( y.cos x.sen ) .dA = ( y 2 .cos 2 2.x. y.cos .sen + x 2 .sen 2 ) .dA I x1 = I x .cos 2 + I y .sen 2 2.I xy .cos .sen I y1 = I x .sen 2 + I y .cos 2 + 2.I xy .cos .sen

e, analogamente, obtm-se:

I x1 y1 = I x .cos .sen I y .cos .sen + I xy . ( cos 2 sen 2 )

Considerando as identidades trigonomtricas: sen 2 = 2 . sen . cos cos 2 = 1 + cos 2 2 cos 2 = cos 2 sen 2 . sen 2 = 1 cos 2 2

ESTTICA DEC 3674

63

Pode-se escrever as equaes da seguinte forma: I x1 = I y1 = Ix + I y 2 Ix + I y 2 + Ix I y 2 Ix I y 2 .cos 2 I xy .sen 2 .cos 2 + I xy .sen 2 e, analogamente, obtm-se:

I x1 y1 =

Ix I y 2

.sen 2 + I xy .cos 2

Se somarmos

(I

x1

+ I y1 ) obteremos I x1 + I y1 = I x + I y

Ou seja, quando o giro sobre a origem, a soma dos Momentos de Inrcia em relao a estes eixos constante e igual ao Momento de Inrcia Polar.

5.5.10 Eixos Principais e Momentos Principais de InrciaEixos Principais de uma rea em relao a um ponto O, so aqueles para os quais se tem um Momento de Inrcia mximo em relao a um dos eixos e mnimo em relao ao outro. Logo: dI x1 =0 d Obs. d du sen u = cos u dx dx d du cos u = sen u dx dx d du tan u = sec 2 u dx dx

I I I +I d x y + x y .cos 2 I xy .sen 2 2 2 dI x1 = I x I y .2.sen 2 I .2.cos 2=0 = xy 2 d d

(I

x I y ) .sen 2= I xy .2.cos 2

2.I xy sen 2 = Ix I y cos 2

tan 2 p =

2.I xy Ix I y

p o valor de que define os eixos principais.

ESTTICA DEC 3674

64

Se fizermos: Ix1y1 = 0 I x1 y1 = Ix I y 2 .sen 2 + I xy .cos 2 = 0 2.I xy sen 2 = tan 2 = cos 2 Ix I y

Logo o Produto de Inrcia nulo em relao aos eixos principais.

Em resumo

a) os eixos principais so ortogonais b) Ix1y1 = 0 (um eixo de simetria sempre um dos eixos principais)

c) Ix1 e Iy1 um mximo e um mnimo.

Momentos Principais de Inrcia

Determinado o valor de p basta substituir em Ix1 e Iy1 para se obter Imax e Imin.: I x1 = I y1 = Ix + I y 2 Ix + I y 2 + Ix I y 2 Ix I y 2 .cos 2 p I xy .sen 2 p .cos 2 p + I xy .sen 2 p

Ou atravs da equao:I1,2 = Ix + I y 2 Ix I y 2 + I xy 2 2

onde I1 o mximo e I2 o mnimo

Exemplo 01: Determinar os eixos e momentos principais de inrcia da seo abaixo.y 1 1

Baricentro:10 2,5 O x 15

2

ou

2

xcg = 1/ST My2,5

e

ycg = 1/ST Mx

xcg =

1 (150.7,5 93, 75.8, 75) = 5, 417 56, 25 1 (150.5, 0 93, 75.6, 25) = 2,917 56, 25

ycg =

ESTTICA DEC 3674

65

y

5,417 1

Momentos de Inercia passando pelo CG,ycg xcg 2 2,917 x 15

paralelos aos eixos x e y

10 2,5 O

ST = 56,25 cm2

2,5

b Ret 01 Ret 02 Somaxcg = M y A =

h 10,00 2,50

A 25,00 31,25 56,25

x 1,25 8,75

y 5,00 1,25

x.A 31,25 273,44 304,69

y.A 125,00 39,06 164,06

2,50 12,50

304, 688 = 5, 417 56, 25

ycg =

M x 164, 0625 = = 2,917 56, 25 A

Ix 1 2 208,3333

y 2,08

A 25,00 31,25

A.(y)2

Ix+A.(y)2

108,5069 316,84028 86,80556 103,0816 Soma (Ix) 419,92188

16,27604 -1,67

Iy 1 2 406,901

x 3,33

A 25,00 31,25

A.(x)2

Iy+A.(x)2

13,02083 -4,17

434,0278 447,04861 347,2222 754,12326 Soma (Iy) 1201,1719

Produto de Inrcia Ixy A 1 2 25,00 31,25 x -4,17 3,33 y 2,08 -1,67 A.x. y -217,014 -173,611

Soma -390,625 Ixy = -390,625

ESTTICA DEC 3674

66

tan 2 =

2.I xy Ix I y

=

781, 25 = 1 781, 25

2 = -45

1 = -22,5

2 = 67,5

I1,2 =

Ix + I y

2

Ix I y 2 + I xy 2

2

=

810,547

( 390, 625) + ( 390, 625)2

2

Imax = 1362,974 e Imin = 258,1197

Exemplo 02: Determinar os eixos e momentos de inrcia da rea abaixo: em relao ao eixo

YY e em relao ao eixo a-a. Obs. medidas em mmy 50 Y 50 2 3

A1 = b.h = 175 x125 = 21875 A2 = A3 =

.d 216

=

.100216

= - 1963,495

50

.d 24

=

.7524

= - 4417,865

125 75 1 50 a X 175 a x

rea Total = 15493,64r__ __

Tabelado:

y x

x=y=

4.r 3.

A 1 2 3 Soma 21875 -1963,5 -4417,86 15493,64

x 87,50 153,78 50,00 X = 89,79

A.x 1914062,50 -301946,32 -220893,23 1391222,9 e

y 62,50 103,78 75,00

A.y 1367187,50 -203771,55 -331339,85 832076,1

Y = 53,7y

y r x

1 Ix = I y = r4 4

r y x x

Ix = I y =

1 r 4 A.d 2 16

ESTTICA DEC 3674

67

Soluo A - Em relao ao eixo vertical

I1 = 55826822,92

I2 = -342990,502

I3 = -1553155,548

I 1 2 55826822,92 -342990,502

A 21875 -1963,5

d 2,29 -63,99 39,79 Soma

A.d2 114714,6875 -8039964,115 -6994558,172 IY (mm ) IY (cm )4 4

I+A.d2 55941537,6 -8382954,617 -8547713,72 39010869,27 3901,086927

3 -1553155,548 -4417,86

Soluo B - Em relao ao eixo horizontal a-a

I1 = 28483072,92 I 1 2 28483072,92 -342990,502

I2 = -342990,502 A 21875 -1963,5 d 112,50 153,78 Soma

I3 = -1553155,548 A.d2 276855468,8 -46433305,69 -69029135,45 Ia-a (mm4) Ia-a (cm4) I+A.d2 305338541,7 -46776296,19 -70582291 187979954,5 18797,99545

3 -1553155,548 -4417,86 125,00

Exemplo 03: Determinar o produto de inrcia da seo abaixo em relao ao centride.

y

y'

X =Y =

4.a 3. onde A=

C a

x' x

I xy = I x ' y ' + A. X .Y

.a 24

e

a4 I xy = 8

a4 .a 2 4.a = Ix' y' + . 8 4 3.

2

Ix' y' =

a 4 4.a 4 9. 32 = a4. 8 9. 72.

0, 016471.a 4

Observe que as coordenadas do centride tem sinal, veja:

ESTTICA DEC 3674

68

y'

y

Segundo quadrante: Ixy = a4/8, rea > 0, Y > 0 e X < 0 A X.Y < 0I x' y' +0, 016471.a 4

C a y' y

x' x

Terceiro quadrante: Ixy = a4/8, rea > 0, Y < 0 e X < 0 A X.Y > 0x

I x' y'

0, 016471.a 4

C

x'

a y y' x C x'

Quarto quadrante: Ixy = a4/8, rea > 0, Y < 0 e X > 0 A.X.Y < 0I x' y' +0, 016471.a 4

a

Resumindo: I xy = Ix' y' a4 8 = +0, 016471.a 4y' x' a x y' x' x' y

I xy = Ix' y'y' x'

a4 8 = 0, 016471.a 4

I xy = Ix' y'

a4 8 = 0, 016471.a 4

I xy = Ix' y'

a4 8 = +0, 016471.a 4

ESTTICA DEC 3674

69

5.5.11 Ncleo Central de InrciaNcleo Central de Inrcia, ou Ncleo Central da Seo, uma regio ao redor do centride onde aplicando-se uma carga obtm-se, em toda a seo, tenses de mesma natureza da carga aplicada (trao ou compresso).

Apenas como exemplo, considere um pilar retangular submetido a uma carga de compresso

P, aplicada sobre o eixo horizontal, a uma distncia e do centride. Uma outra forma de representar este carregamento excntrico atravs de uma carga centrada P e um momento (P.e), conforme mostrado na figura abaixo.

A P A a

B e b B AA P

e P BB AA

M = P.e BB

A seo solicitada por dois esforos combinados, uma compresso axial e uma flexo pura, conforme mostrado na figura abaixo, e as tenses atuantes na seo sero iguais soma destas tenses.

AA AA BB

BB

AA

BB

Em funo da excentricidade e as tenses resultantes na seo: Excentricidade pequena Excentricidade grande Seo inteiramente comprimida (no uniforme) Seo comprimida e tracionada

ESTTICA DEC 3674

70

O que se busca o limite entre os dois casos, ou seja, a excentricidade que provoca tenses nulas em uma borda (AA) e compresso na outra borda (BB) Compresso axial

1 = 2 =

P P = S a.b

Flexo pura

M P.e = W b.a 2 6

= 1 + 2 =

P 6.P.e P 6.e = 1 2 b.a b.a b.a a

Borda AA' Borda BB'

AA ' = BB ' =

P 6.e 1 + b.a a P 6.e 1 b.a a

A questo se resume em determinar a excentricidade que anula as tenses na borda AA.

AA ' = 0

1 +

6.e =0 a

ou seja,

6.e =1 a

e= e=

a 6 b 6

Analogamente, para a carga aplicada no outro eixo

b/3 b/3 b/3 a/3 a/3 a/3

Ncleo Central de Inrcia, ou Ncleo Central da Seo, de

um retngulo um paralelogramo de diagonais a/3 e b/3.

Aplicada uma carga P de compresso: dentro desta regio, toda a seo comprimida. fora desta regio, parte da seo comprimida e parte tracionada. Nas bordas (nos cantos) compresso numa lateral e tenso nula na outra.

O ncleo central de inrcia de uma seo qualquer pode ser obtido pelo cociente entre o quadrado do raio de girao e a distncia entre o c.g. e a borda.

ESTTICA DEC 3674

71

y

e=c e x

2 ix c

Para a seo retangular acima ix =2 ix b 2 .3 1 b . = = 36 0,5.b 6 c

I x b. 3 = A 6

e, c = b / 2

e=

Ncleo Central de Inrcia de uma seo circular um crculo de raio r/4.r/4

ix =

Ix = A

(1 4. .r ) =4

.r 2

r2 r = 4 2

e, c = r.

r

2 ix r 2 4 r e= = = c r 4

Normalmente encontram-se tabelados, em livros de Resistncia dos Materiais, os valores do Ncleo Central de Inrcia para as sees mais comuns.

ESTTICA DEC 3674

72

Propriedades das reas Planas Elementares

A = rea Ix, Iy = Momentos de Inrcia Ip = Ix + Iy = Momento de InrciaPolary h X C Y x

X, Y = centride Ixy = Produto de Inrcia IBB = Momento de Inrcia em relao ao eixo BB b.h3 12 h.b3 12

A = b.h I xy = 0

b y h C Y b

b h Y= 2 2 b.h 2 IP = ( h + b2 ) 12 X=

Ix =

Iy =

c X x

b.h b+c A= X= 2 3 2 b.h I xy = ( b 2c ) 72

h b.h3 b.h 2 Y= Ix = Iy = ( b bc + c2 ) 3 36 36 b.h 2 IP = ( h + b2 bc + c2 ) 36

y

c B h b x B

b.h3 b.h Iy = ( 3b2 3bc + c 2 ) 12 12 b.h 2 b.h3 I xy = I BB = ( 3b 2c ) 24 4 Ix = b.h b h b.h3 h.b3 X= Y= Ix = Iy = 2 3 3 36 36 3 2 2 b .h b.h 2 I xy = IP = ( h + b2 ) I BB = b.h 72 36 12 A= b.h3 36 3 b.h I BB = 12 h.b3 48

y h B X C Y b y h B X C b Y x B x B

A=

b.h 2

I xy = 0

b h Y= 2 3 b.h IP = ( 4h2 + 3b2 ) 144 X=

Ix =

Iy =

y h B b

a

A = h.x B

a+b 2

Y = h.

C

Y

Ix =

h3 . ( a 2 + 4.a.b + b 2 ) 36. ( a + b )

( 2.a + b ) 3. ( a + b )I BB = h3 . ( 3a + b ) 12

ESTTICA DEC 3674

73

y r C B y r B y X B O C Y r B x C Y x B

A = .r 2 =x B

.D 24 IP =

Ix = I y =

.r 44

=

.D 464 5. .r 4 5. .D 4 = = 4 64

I xy = 0

.r2

4

=

.D32

4

I BB

A= Ix =

.r 2

2 ( 9. 2 64 ) .r 4 72.

Y=

4.r 3. 0,1098.r 4 Iy =

.r 48

I xy = 0

I BB =

.r 48

A=

.r 24 r4 8

X =Y = I BB

I xy =

4.r .r 4 Ix = I y = 3. 16 2 4 ( 9. 64 ) .r 0, 05488.r 4 = 144.

I BC = 0, 0165.r 4