A05 - Caracteristicas Geometricas Da Secao Transversal

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ESTTICA DEC 3674

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5 Caractersticas geomtricas da seo transversal15.1 Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional.Consideremos uma placa horizontal. Podemos dividir essa placa em n elementos pequenos. As coordenadas do primeiro elemento so denominadas x1 e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc. As foras exercidas sobre os elementos da placa sero denominadas P1, P2, Pn, respectivamente. Essas foras ou pesos podem ser consideradas paralelas. Sua resultante , por conseguinte, uma nica fora na mesma direo. A intensidade P desta fora obtida pela adio das intensidades dos pesos elementares. Fz = P = P + P2 + ... + Pn 1

Para obtermos as coordenadas X e Y do ponto G onde a resultante P deve ser aplicada devemos satisfazer a condio de que os momentos das parcelas Pi em relao aos eixos x e y sejam iguais ao momento da resultante P em relao aos mesmos eixos. Mx = PX = P1 x1 + P2 x2 + ... + Pn xn My = PY = P1 y1 + P2 y2 + ... + Pn yn (5.2)

Se aumentarmos o nmero de elementos em que a placa dividida e diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos as seguintes expresses P = dP PX = x dP PY = y dP (5.3)

Essas expresses definem o peso P e as coordenadas x e y do centro de gravidade G da placa.

5.2 Centrides de reas.No caso de uma placa homognea de espessura uniforme, a intensidade P do peso de um elemento da placa pode ser expressa como:

1

Mecnica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976

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P = .t.A Sendo: = peso especfico .(peso por unidade de volume) do material t = espessura da placa, e A = rea do elemento

Substituindo P e Pi na equao de momentos (5.2) e dividindo por t, escrevemos Mx = AX = A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn My = AY = A1 y1 + A2 y2 + ... + An yn (5.4)

Aumentando o nmero de elementos em que a rea A dividida, obtemos XA = x.dA AY = y.dA (5.5)

Essas equaes definem as coordenadas x e y do centro de gravidade de uma placa uniforme. O ponto de coordenadas X e Y tambm conhecido como o centride C da rea A da placa

A integral x.dA conhecida como o momento esttico da rea A em relao ao eixo y. Analogamente, a integral y.dA define o momento esttico de A em relao ao eixo x.

V-se das Eqs. (5.5) que, se o centride de uma rea est situado sobre um eixo coordenado, o momento esttico da rea em relao a este eixo nulo.

reas simtricas em relao aos eixos Quando uma rea A possui um eixo de simetria BB', o centride da rea deve estar situado neste eixo. Se possuir dois eixos de simetria, o centride da rea est situado na interseco dos dois eixos de simetria. Esta propriedade nos possibilita determinar imediatamente o centride de reas tais como crculos, elipses, quadrados, retngulos, tringulos eqilteros ou quaisquer outras figuras simtricas. A seguir so fornecidos alguns centrides de formas usuais de reas:

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y y b/2 C b/2

Tringulo

xCG =

yCG = h/3

rea = . b.h

Quarto de crculoC O y x O C r

xCG = 4.r/3.

yCG = 4.r/3.

rea = .r2/4 rea = ..r2.

Semi crculo xCG =0

yCG = 4.r/3.

Quarto de elipseC O y x O b C

xCG = 4.a/3.r a

yCG = 4.b/3. xCG =0

rea = .a.b/4

Semi elipse

yCG = 4.b/3. rea = ..a.b

a C O y x O h C

Semi parbola xCG = 3.a/8 Parablica yCG = 4.h/5 xCG =0 rea = 2.a.b/3 rea = 4/3.a.h

yCG = 3.h/5

Superfcie arqueada de uma abbada forma gerala y = k.x O xcgn

h ycg

xcg =

n +1 .a n+2

ycg =

n +1 .h 4.n + 2

rea =

a.h n +1

5.3 Placas Compostas.Uma placa pode ser dividida em retngulos, tringulos ou outras das formas usuais. A abscissa X de seu centro de gravidade G pode ser determinada das abscissas dos centros de gravidade das vrias partes, expressando que o momento do peso de toda a placa em relao ao eixo y igual soma dos momentos dos pesos das vrias partes em relao ao mesmo eixo (Fig. 5.9). A coordenada Y do centro de gravidade da placa encontrada de maneira anloga, equacionando os momentos em relao ao eixo x.

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z

z y P = Pi X G1 P3 P1 O x P2 G2 x G3

O

Y

FIGURA 5.9. Centro de gravidade de uma placa composta

Se a placa homognea e de espessura uniforme, o centro de gravidade coincide com o centride G de sua rea. A abscissa X do centride da rea pode ser ento determinada, considerando que o momento esttico da rea composta com respeito ao eixo y igual soma dos momentos estticos das diversas reas em relao ao mesmo eixo (Fig. 5.10). A ordenada Y do centride encontrada de maneira anloga, isto , equacionando momentos estticos das reas em relao ao eixo x.y Ai C X Y O x O C1 A1 y A3 C3 C2 A2 x

FIG. 5.10. Centride de uma rea composta

M

x

=Y ( A1 + A2 + ... + An ) = y1. A1 + y2 . A2 + ... + yn . An

M

y

=X ( A1 + A2 + ... + An ) = x1. A1 + x2 . A2 + ... + xn . An

(5.8)

Cuidado: Momentos estticos de reas podem ser positivos ou negativos. Uma reacom centride esquerda do eixo y ter momento esttico negativo em relao ao eixo y.10 cm

Exemplo 15 cm

r = 10 cm

Determinar o centro de gravidade da placa homognea ao lado.15 cm 22,5 cm 17,5 cm

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y

26,74 cm

4r = 4,24 cm 3

y

24,24 cm

11,25 cm 28,33 cm

x X = 15,16 cm

Y = 14,34 cm

C

15 cm

5 cm

x

Da equao 5.8:

X ( A1 + A2 + ... + An ) = x1. A1 + x2 . A2 + ... + xn . An Y ( A1 + A2 + ... + An ) = y1. A1 + y2 . A2 + ... + yn . An

Componente Retngulo Quarto de crculo tringulo

A 675 78,54 131,25 884,79

x 11,25 26,74 28,33

y 15 24,24 5

x.A 7593,75 2100,16 3718,71 13412,62

y.A 10125 1903,81 656,25 12685,06

X.(884,79) = 13412,62 X = 15,16 cm Y.(884,79) = 12685,06 Y = 14,34 cmy

Exemplo 2

Determinar o centride da rea mostrada ao lado. Observe que a rea desconhecida, mas, ela o complemento da rea do quarto de circulo, que tem seu centride e rea conhecidos. Observe tambm que pela simetria X =Y, assim:y y

15 cm

r = 15 cm

15 cm

x

4r = 6,365 cm 3

y

15 cm

Y

C X x

7,5 cm

x

x 8,635 cm

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Componente Quadrado Quarto de Crculo

A 225,0 - 176,6 A = 48,4

x 7,5 8,64

x.A 1687 - 1525 x.A = 162

Da equao 5.8:X ( A1 + A2 + ... + An ) = x1. A1 + x2 . A2 + ... + xn . An

X ( Ai ) = xi . Ai

X.(48,4) = 162 X = 3,35 cm

Na Tabela anterior que fornece os centrides das figuras planas no consta o trapzio. Determine o centride do trapzio abaixob-a a b a a b

5.4 Determinao do Centride por Integrao.X.A = x dA -Y.A = y dA (5.5)

Exemplo 1

y x h

dx

Para a rea ao lado determinar o momento esttico e as coordenadas do centro de gravidade. Momento esttico:Mx = y dAA

dy y

dA = b.dyh

b

x

Mx = y ( bdy ) =h 0

b ydy =0

h

b. y 2 2

=0

b.h 2 2

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My = x dAAb

dA = h.dxb

My = x ( hdx ) =0

h xdx =0

h

h.x 2 = 2 0

h.b 2 2 bh 2 Mx 2 =h = Y= 2 A b.hy u

hb 2 My 2 =b Centro de gravidade X = = 2 A b.h

e

Exemplo 2h

Para a rea ao lado determinar a coordenada Y do CG.

dy y

Y = Mx / A

x b

Mx = y dA0h

h

dA = u.dyh

e

u h yu = b hh

u=

b( h y ) h

dA =

b(h y ) dy h

b( h y ) ybh by 2 b Mx = y. dy = dy = ( yh y 2 ) dy h h h0 0 0 b hy 2 y 3 b h3 h3 b b.h 2 Mx = . = . = .h 2 = h 2 3 0 h 2 3 6 6h

Y=

Mx b.h 2 6 h = = A b.h 2 3

Exemplo 3

y y = k.x2 h a y dA = y dx y/2 x a y x x

Determinar por integrao direta o centride da figura ao lado Condies de contorno: x = a y = h y= h = k.a2

h 2 .x a2

e

x=

a 1/ 2 .y h1/ 2

Mx e My com o elemento vertical rea: dA = y.dx

h A = dA = y.dx = 2 .x 2 .dx a h.a 3 3.a 2 1 A = a.h 3

h x3 A= 2. = a 3 0

a

h . a3 0 ) = 2 ( 3.a

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Mx = ycg ,vert .dA0

a

dA = y.dx

y Mx = . y.dx 2 0a a

Mx =

1 h 2 .x .dx 2 a2 0a

2

1 h2 4 Mx = . 4 .x .dx 2 0aa

1 h2 5 Mx = . 4 x 2 5.a 0 dA = y.dx

1 h 2 5 a.h 2 Mx = . 4 a = 10 a 10h

My = xcg ,vert .dA0

h

My = x. y.dx0a

h My = x. 2 .x 2 .dx a 0a

h My = 2 .x 3 .dx a 0

a

h My = 2 x 4 4.a 0

1 h h.a 2 My = . 2 a 4 = 4 a 4

Mx e My com o elemento horizontal

y

Mx = ycg ,vert .dA0h

h

dA = ( a x ) .dyh

Mx = ( y ) . ( a x ) .dy0

h

dA = (a-x) dy y x (a + x)/2 a x

a Mx = y a 1/ 2 y1/ 2 .dy h 0 y2 y5 / 2 Mx = a 5 1/ 2 2 .h 0 2 My = xcg ,horiz .dA0 h h h

a Mx = ya 1/ 2 y 3/ 2 .dy h 0

h 2 2.h5/ 2 Mx = a. 1/ 2 2 5.h

h 2 2.h 2 ah 2 Mx = a. = 5 10 2

dA = ( a x ) .dyh

a+x My = . ( a x ) .dy 2 0 a2 y My = 1 .dy 2 0 hh

My = a2 My = 2

1 2 ( a x2 ) .dy 2 0h

y2 y 2h 0

My =

a2 h 2 a 2 .h . h = 2 2.h 4

Posio dos centridesa 2 .h My X= = 4 a.h A 3 3 a 4 ah 2 Mx 10 Y= = a.h A 3 3 h 10

X=

Y=

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Exemplo 3

y

Para a figura ao lado, calcular a rea, os momentos estticos Mx e My e a posio do centro de gravidade C.h X C Y x dx b y/2 x y

Considerar uma curva parablica

y = h[1- (x2/b2)].

dA = y.dx

A = dA = y.dx = h 1 x

(

2

b2

) .dx

h h x2 h A = h. 1 2 .dx = 2 . ( b 2 x 2 ) .dx b b 0 0

h 2 x3 = A= 2 .b x b 3 0

b

h 2 b 3 . b b ( 0 0 ) = b 2 3

h 3.b3 b3 b2 3

A=

2.b.h 3

y Mx = .dA 2 0

b

dA = y.dx2

Mx = 0 b

b

y y.dx 2

b 1 x2 Mx = h 1 2 .dx 2 0 b b

Mx =

1 h2 4 2 2 4 b4 ( b 2b x + x ) .dx 20

h2 Mx = 2.b 4

4 2 x5 b x b 2 x3 + = 3 5 0

h 2 4 2 2 3 b5 h2 b b b b + = (15.b5 10.b5 + 3.b5 ) 2.b 4 3 5 30.b 4 4.b.h 152

Mx =

h 8.b5 ) 4 ( 30.b

2

Mx =

4.b.h 2 Mx Y= = 15 2.b.h A 3

Y=

2 h 5

My = x.dA =0

b

b x2 x3 x.h 1 2 dx = h x 2 dx b b 0 0 b

x2 x4 My = h. 2 2 4.b 0h.b 2 . My X= = 4 2.b.h A 3 3 X= b 8

b

b2 b4 b2 My = h. 2 = h. 2 4.b 4

My =

h.b 2 4

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Exemplos 2

01 - Determinar o ycg do tringulo com os eixos passando pelo vrtice.y dA = x.dy dA b x y x

ycg =

y.dA dAb

e

dA = x.dy

dy

a b = x yb

x=

a y b

b

dA =

a y.dy b

a

a a y2 A = dA = y.dy = . b0 b 2 0a 2 y .dy b 2 y3 = 0 = 2. a.b b 3 2b

0

a b 2 a.b = . = b 2 2

ycg =

y.dA0

b

A

=

a b y. y.dy 0 A

b

b

0

2 ycg = .b 3

Determinar o ycg do trapzio abaixo.y b 1 x1 2 x2 x

y b a x

A1 = b . x1 A2 = 1/2 b . x2 xcg =

xcg,1 = 0,5 x1 xcg,2 = 1/3 x2

ycg,1 = 0,5 b ycg,1 = 1/3 b

2 Ai.xi b.x1. ( 0,5.x1 ) + 0,5.b.x2 . (1 3.x2 + x1 ) 1 2.x12 + 1 2.x1.x2 + 1 6.x2 = = b. ( x1 + 0,5.x2 ) x1 + 1 2.x2 Ai

Ai. yi b.x1. ( 0,5.b ) + 0,5.b.x2 . (1 3.b ) 1 2.b 2 .x1 + 1 6.b 2 .x2 1 6.b. ( 3.x1 + x2 ) ycg = = = = b. ( x1 + 0,5.x2 ) b. ( x1 + 0,5.x2 ) x1 + 1 2.x2 Ai Por exemplo: b = 4,0 m, x1 = 7,0 m e x2 = 3,0 m xcg = 4,294 m ycg = 1,882 m

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02 - Determinar o ycg da seo T abaixo.y h1 h 1 2 a b x 2 ou 1 3 2

A seo simtrica em relao ao eixo vertical.

xcg = 0,5 b.

A = b.h ( h h1 ) . ( b a )2 ( b.h ) . ( 0,5.h ) ( b a ) . ( h h1 ) .0,5. ( h h1 ) = ( 0,5.b.h ) 0,5. ( b a ) . ( h h1 ) ycg = b.h ( h h1 ) . ( b a ) b.h ( h h1 ) . ( b a ) 2

Por exemplo: para b = 150, a = 30, h = 75 e h1 = 15 cm.

ycg = 50,83 cm

03 - Determinar o c.g. da seo T abaixo.y h1 h3 h2 1 2 y1 a b d c x y2 x y3 y x1 x2 3 x3

a 60

b 30

c 60

h1 15

h2 75

h3 45

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rea 1 2 3 Total 900 2250 2700 5850

xcg 30 75 120

ycg 67,5 37,5 52,5

A.xcg

A.ycg

27000 60750 168750 84375 324000 141750 519750 286875 xcg = 88,846 cm ycg = 49,038 cm

04 - Determinar o c.g. da seo abaixo.20 20 60 40 60 40 30

05- Determine para a superfcie plana da figura: os momentos estticos em relao aos eixos x e y e a posio do centride.y 120 mm y 80 mm 120 mm y O 60 mm O 120 mm x

40 mm 60 mm y

O

x

80 mm

y 60 mm 80 mm 80 mm O x

40 mm

60 mm

120 mm O x

O

60 mm

x

xcg = 55 mm ycg = 37 mm

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5.5 Momentos de Inrcia 5.5.1 Momentos de 2 ordem ou Momentos de inrcia de reasUma viga bi-apoiada solicitada por dois momentos iguais e opostos aplicados em suas extremidades, est em um estado de solicitao chamado flexo pura. O efeito dessa ao pode ser facilmente visualizado flexionado as duas extremidades de uma rgua, ou seja, a rgua ser flexionada e, sua face inferior ser tracionada e a superior comprimida. Na figura abaixo, a regio superior (hachurada) comprimida, a inferior tracionada e, a linha que separa as duas regies chamada de Linha Neutra ou eixo neutro da seo.Compresso A C B Trao

Em funo da ao externa aplicada tm-se solicitaes internas nas sees da viga e, consequentemente, os esforos internos resistentes. Assim, as foras em um lado do eixo neutro so foras de compresso e do outro lado, foras de trao, enquanto que no eixo as foras so nulas. Esses esforos internos resistentes so distribudos e seus mdulos variam linearmente com a distncia y a partir da linha neutra. A Figura abaixo mostra o trecho AC da viga AB, e a seo da viga na posio C.y Compresso y L.N. Trao F = k.y.A y

MS,ext A C

MS,int

Uma fora elementar atuando em uma rea elementar dada por: F = k . y.A E o mdulo da resultante R das foras elementares F sobre a seo inteira dada por:R = k . y.dA = k y.dA A ltima integral na expresso da resultante conhecida como momento de primeira ordem da seo, em relao ao eixo x; e nula, pois o baricentro da seo est localizado sobre o eixo x, e, portanto Y.A = 0, pois Y= 0.

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O sistema de foras F reduz-se, portanto, a um conjugado e, o mdulo M deste conjugado (momento fletor) deve ser igual soma dos momentos elementares. Integrando sobre a seco inteira, obtemos: M = k . y 2 .dA = k y 2 .dA Mx = y.F = k.y2.A das foras

A ltima integral na equao acima conhecida como o momento de segunda ordem ou momento de inrcia da seo da viga em relao ao eixo x e designada por Ix. O momento de segunda ordem obtido pela multiplicao de cada elemento de rea dA pelo quadrado de sua distncia ao eixo x, e integrando sobre a seco da viga. Observe que y poder ser positivo ou negativo, mas essa integral ser sempre positiva e diferente de zero. No exemplo da figura acima, para a seo retangular de largura b e altura h, teramos:

y dA = b.dy h dy x

Ix = y 2 .dA = y 2 .b.dy b. y 3 b.h3 Ix = y .b.dy = = 3 0 3 0h h

2

e, analogamente:

b

h.x3 h.b3 Iy = x .h.dx = = 3 0 3 0b

b

2

Mudando-se os eixo de forma que passem pelo centridey dA = b.dy h/2 h/2 b+b / 2

Ix = y 2 .dA = y 2 .b.dydy x+h / 2h/2

y

b. y 3 Ix = y .b.dy = 3 h / 22

h / 2

h b. b.h3 b.h3 2 = 2. = 2. = 3 3x8 12 b h. 3 3 2 = 2. h.b = h.b = 2. 3 3 x8 123

3

Iy =

b / 2

x 2 .h.dx =

h.x 3

3 b/2

b / 2

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Determine o Momento de inrcia da seo triangular.y h dy u b h-y y x

...