A1. As retas r, s e t da figura são paralelas. Os seis segmentos que elas determinam nas duas transversais têm as medidas indicadas. O valor de x + y é:

a) 9

b) 12

c) 15

d) 16,5 9

2 x

y

4 6

r

s

t

6

x=

4

2

12 = 4x

x = 3

3

9=

2

y

18 = 3y

y = 6

x + y = 9

A2. O perímetro do paralelogramo ABCD da figura é:

a) 80

b) 90

c) 100

d) 108 A B

CD

x

x + 15

16

12

30

x + 15

x=

30

12

12x + 180 = 30x

x = 10

10

a

30

12=

5

2

Razão de Semelhança

a

16=

5

2a = 40

2P = 2(40) + 2(10)

2P = 100

A3. O trapézio retângulo ABCD da figura é circunscritível em um círculo. Sendo r paralela às bases do trapézio, o valor de y é:

a) 13,2

b) 13,8

c) 14,5

d) 15

A B

CD

4

12

24

12

x

y

r

12 + 24 = 4 + 12 + x + y 36 = 16 + x + y 20 = x + y

16

12=

20

y y = 15

A4. Na figura, as retas r, s e t são paralelas cortadas por duas transversais. Se AC = AB, o perímetro do triângulo ABC é:

a) 24

b) 25

c) 27

d) 30

60ºr

s

tA C

B6 4

660º

6

x=

4

6

4x = 36

x = 9

O triângulo é eqüilátero

2P = 27

A5. O triângulo ABC é isósceles, de base AC. Se AM é bissetriz interna, o valor de x é:

a) 13

b) 12

c) 10

d) 9

A

B

M

C

x

4

6

x – 4

x

x – 4=

6

4

4x = 6x – 24

2x = 24

x = 12

A6. Os lados de um triângulo medem 20cm, 24cm e 28cm. Em quanto se deve prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo a ele oposto?

a) 120cm

b) 112cm

c) 108cm

d) 100cm

28

20

24

x28

20 + x=

24

x

28x = 480 + 24x

4x = 480

x = 120

A7. Na figura, os ângulos assinalados são congruentes. O perímetro do triângulo ABC é:

a) 15

b) 15,5

c) 16

d) 16,5B

A

C

3

24

6

y

x

3 + y

3=

6

4

12 + 4y = 18

4y = 6

y =3

2

3

1,5=

x

2

x = 42P = 3 + y + x + 2 + 6

2P = 11 + 1,5 + 4

2P = 16,5

A8. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Se M é ponto médio de CD e BD = 15, a medida de PB é:

a) 8,5

b) 9

c) 10

d) 10,5

A

B C

D

P M

3a

2aa

3a + a + 2a = 15

a = 2,5

PB = 7,5 + 2,5

PB = 10

A9. Na figura, o valor de x é:

a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

x

2

8

46

5

caso L.L.L.

4 + 8

6=

x

5

6x = 60

x = 10

A10. As bases do trapézio ABCD da figura medem AB = 8cm e CD = 6cm. Sua altura mede 7cm. As diagonais AC e BD se interceptam em P. A distância de P à base AB é:

a) 3,8cm

b) 4cm

c) 4,2cm

d) 4,5cm

D C

P

BA

x

7 – x

8

6

x

7 – x=

6

8

8x = 42 – 6x

14x = 42

x = 3

Distância de AB a P = 7 – x = 7 – 3 = 4

A11. O triângulo ABC da figura é eqüilátero. Se AM = MB = 3 e CD = 2, a medida de AE é:

a) 4

b) 4,2

c) 4,5

d) 4,8

E

3

3

2

60º

60º

60º

120º

3

x

3 – x

A

M

B C D120º

3 – x

x=

2

3

2x = 9 – 3x

5x = 9

x = 1,8

AE = 1,8 + 3 = 4,8

A12. (Fatec – SP) Na figura, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é:

a) 0,8

b) 1,4

c) 2,6

d) 3,2 DE

FA B

C

4

3

32 + 42 = a2

a2 = 25

a = 5

x

x5 – 2x

ST =4

32= 6

6 =5

h2 h =

12

5

h

Pitágoras

9 =144

25+ x2

225 = 144 + 25x2 x =9

5

EF = 5 – 2

9

5

EF =7

5= 1,4

A13. Uma torre vertical situada em um terreno plano, é sustentada, a partir de seu topo, por dois cabos de aço, completamente esticados até o solo, conforme a figura. Os pontos B e C, do solo, estão alinhados com a base h da torre. Se os cabos medem 30m e 40m e eles são perpendiculares entre si, a altura da torre é:

a) 20m

b) 22m

c) 24m

d) 25mH

A

B C

40 30

a2 = 1600 + 900

a = 50

H

50a · H = b · c

50 · H = 40 · 30

H = 24

A14. Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede 2cm e BDE é um triângulo eqüilátero. A distância entre os pontos C e E é, em centímetros,

a) 2 ( 3 – 1)

b) 3 ( 2 – 1)

c) 6 – 1

d) 6 – 2

A

BC

D

E

2

2

2 2

2 2

2

2

2

x

8 = 2 + ( 2 + x)2

6 = 2 + 2 2x + x2

x2 + 2 2x – 4

–2 2 8 + 16

2

–2 2 2 62

– 2 + 6

2( 3 – 1)

A15. AB = 16cm é um diâmetro de um círculo. Se P é um ponto do círculo que dista 4cm do ponto A, a distância de P ao diâmetro AB é:

a) 13cm

b) 15cm

c) 4cm

d) 4,2cm0

A B

P

4 8

8 8

h

S = 10 · 2 · 2 · 6

S = 4 158

h2= 4 15 h = 15

STriângulo = p(p – a)(p – b)(p – c)

A16. Em um trapézio isósceles, as bases medem 14m e 10m e a altura mede 5m. Cada uma das duas diagonais mede:

a) 10m

b) 12m

c) 13m

d) 14m

10

14

5 5

102 2

x2 = 25 + 144

x = 13

x

A17. Na figura, o quadrado AMNP está inscrito no triângulo ABC. Se AB = 3 e BC = 3 5, o lado do quadrado mede:

a) 1,8

b) 2

c) 2,2

d) 2,4

A CP

NM

B

x

x

x

x3 – x

6 – x

y

(3 5)2 = 9 + y2

y2 = 36

y = 6

3 – x

3=

x

618 – 6x = 3x

x = 2

A18. Se os catetos de um triângulo retângulo estão entre si na razão 1:2, então suas projeções respectivas na hipotenusa estão entre si na razão:

a) 1:2

b) 1:3

c) 1:4

d) 1: 2 m n

b c

b

c=

m

H

H = 2m

H2 = m · n

4m2 = m · n

4m = n

H

1

4=

m

n

A19. As medianas relativas aos catetos de um triângulo retângulo medem 73cm e 52cm. Calcule a hipotenusa desse triângulo.

a

a 73

52

b

b

x

73 = 4b2 + a2 73 – 4b2 = a2

52 = 4a2 + b2

52 = 4(73 – 4b2) + b2

52 = 292 – 15b2

b = 4

73 – 4(16) = a2

a2 = 9

a = 36 8

xx2 = 64 + 36

x = 10

A20. Os segmentos PB e PD são secantes ao círculo de centro 0, cujo diâmetro mede 5cm. Se PA = 4cm e C é ponto médio de PD, então PC mede:

a) 2 3

b) 3 2

c) 6

d) 2 6

0

D C P

A

B

x x

4

2x · x = 9 · 4x2 = 18

x = 3 2

2,52,5

A21. (PUC – MG) Num círculo de 6m de raio, por um ponto situado a 10m do centro, traça-se uma tangente. O comprimento do segmento da tangente do ponto ao círculo, em metros, mede:

a) 6

b) 7

c) 8

d) 16 0

x

6 6 4

x2 = 16 · 4

x = 8

A22. Na figura, 0 é o centro do círculo. Seu raio mede:

a) 3 3

b) 2 3

c) 4,5

d) 5 0

3

36

x

3 + x

6 · 3 = (6 + x) · x

18 = 6x + x2

x2 + 6x – 18

x =–6 36 +

722

x =–6 + 6 3

2

x = –3 + 3 3

r = 3 – 3 + 3 3 = 3 3

A23. Uma corda de um círculo é perpendicular a um de seus diâmetros e o divide em dois segmentos proporcionais a 1 e 4. A razão entre o comprimento da corda e o diâmetro do círculo é:

a) 0,6

b) 0,7

c) 0,8

d) 0,9 4a a

x

x

4a · a = x2

2a = x

4a

5a= 0,8

A24. No círculo da figura, AB = 8 é um dos diâmetros e o segmento BC = 6 é tangente ao círculo. Se P é ponto de interseção de AC com o círculo, a distância de P ao diâmetro AB é:

a) 4

b) 3,84

c) 3,75

d) 3,5 A B

CP

8

6Hdy

x x2 = 64 + 36 x = 10

a · H = b · c

10 · H = 6 · 8

H = 4,8

64 = (4,8)2 + y2

64 = 23,04 + y2

y2 = 40,96 y = 6,4

a · d = b · c

8 · d = 4,8 · 6,4d = 3,84

A25. Na figura, AB é um diâmetro do círculo de centro 0 e PB é tangente a ela. PC = 8 e CA = 10. Calcule:

a) o raio do círculo.

b) a distância do ponto 0 à corda AC.

A

B

C P

0

8105 5d

xa

x2 = 18 · 8

x = 12

(18)2 = 144 + a2

324 – 144 = a2 a = 6 5

r = 3 5

(3 5)2 = 25 + d2

45 – 25 = d2

d = 2 5

d = 2 5

A26. Os lados do retângulo ABCD medem AD = 6 e AB = 8. O semicírculo de centro 0 tangencia a diagonal AC. O raio do semicírculo é:

a) 2,5

b) 3

c) 3,2

d) 3,6

A B

C0D

6

8

x

x2 = 64 + 36

x = 10

6

r=

10

8 – r

r r

r

8 – 2r

48 – 6r = 10r

r = 3

A27. (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36m de comprimento, faz ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se, verticalmente, de:

a) 12m

b) 13,6m

c) 9 3m

d) 18m36

x

30º

sen 30º =x

30

2

1· 36 = x

x = 18

A28. Na figura, B é o ponto do círculo mais distante de A. Se AB = 8 3cm a distância de P à corda AB é:

a) 4 3cm

b) 4 6cm

c) 6cm

d) 6,3cmA B

P

30º0

d

4 3

4 3

30º

60º

sen 60º =d

4 3

3

2· 4 3 = d

d = 6

A29. As bases de um trapézio isósceles medem 4m e 16m e um dos seus ângulos mede 60º. A altura e o perímetro do trapézio medem, respectivamente,

a) 6m e 44m

b) 6 3m e 44m

c) 6 3m e (20 + 12 3)m

d) 6m e (20 + 12 3)m 6 64

4

H

60º

cos 60º =6

x

1

2· x = 6

x = 12

x

sen 60º =H

12

3

2· 12 = H

H = 6 3

2P = 4 + 12 + 12 + 16

2P = 44

A30. Um prédio está localizado numa rua plana. Em certo momento do dia, os raios do sol formam um ângulo de 30º com a horizontal e projetam, no solo, uma sombra do prédio. Algum tempo depois, os raios do sol formam um ângulo de 60º com a horizontal e a sombra do prédio é 60 metros menor que a anterior. A altura do prédio é, aproximadamente,

a) 45m

b) 48m

c) 50m

d) 52m

h

30º60º

x

x – 60º

tg 30º =h

x x ·

3

3= h x =

3h

3

tg 60º =h

x – 60 3 =

h

3h

3– 60

33h

3– 60 = h

3h – 60 3 = h

h = 30 3 h 51,9

A31. Dois lados de um triângulo medem 6cm e 8cm e formam, entre si, um ângulo de 120º. A medida do outro lado do triângulo é:

a) 2 37cm

b) 117cm

c) 2 3cm

d) 10cm

120º6 8

x

x2 = 64 + 36 – 2 · 6 · 8 ·

1

2–

x2 = 100 + 48

x = 2 37

A32. Na figura, o valor de sen é:

a) 0,4

b) 0,5

c) 0,6

d) 0,8 30º

5 6

6

sen 5

sen 30º=

6

sen 5

1=

2

5 sen = 3

sen = 0,6

A33. Num triângulo ABC, AB = 2, AC = 3 e B = 60º. Calcule os ângulos  e Ĉ.

A

B

C

2

3

60º

ĈÂ

3

sen 60º=

sen Ĉ

2

3=

sen Ĉ

2

3

2

2

3 3 · =

sen Ĉ

2

sen Ĉ = 2

2

Ĉ = 45º

180º = 60º + Â + 45º

 = 75º

A34. Os lados de um triângulo medem 4, 6 e 7. O cosseno do maior dos ângulos desse triângulo é igual a:

a) 1/16

b) 1/8

c) 1/4

d) 1/3

4 6

7

49 = 16 + 36 – 2 · 4 · 6 · cos 48 cos = 3

cos =1

16

A35. Os lados de um triângulo ABC medem AB = 3, BC = 5 e AC = x, sendo B um ângulo obtuso. A soma dos possíveis valores inteiros de x é:

a) 13

b) 15

c) 18

d) 21 A

B

C

3 5

x

5 – 3 < x < 5 + 3

2 < x < 8

x = {3, 4, 5, 6, 7}

6 + 7 = 13

A36. Um quadrado cujo lado mede 8cm está inscrito em um círculo. A altura do triângulo eqüilátero inscrito no mesmo círculo mede, em cm,

a) 6

b) 6 2

c) 6 3

d) 3 38

8

x2 = 64 + 64

x

x2 = 128

x = 8 2

r = 4 2

4 2a

30º

4 2sen 30º =

a

· 4 2 = a1

2 a = 2 2

h = r + a = 4 2 + 2 2 h = 6 2

A37. O perímetro do hexágono regular inscrito no círculo da figura é:

a) 20

b) 24

c) 30

d) 36

30º

660º6 6

60º

no hexágono regular inscrito l = r

2P = 6 · 6 = 36

A38. Um hexágono regular cujo lado mede 6cm está circunscrito a um círculo. O lado do triângulo inscrito nesse mesmo círculo mede:

a) 9cm

b) 6 3cm

c) 4 3cm

d) 12cmr R

3

tg 60º =r

3

3 · 3 = r

60º

30º

3 3

l

2

cos 30º =l

2

3 3

3

2· 3 3 =

l

2

l = 9

A39. Um hexágono regular ABCDEF está inscrito a um círculo de raio R. Se M, N, P e Q são os pontos médios de AB, BC, DE e EF, respectivamente, o perímetro do quadrilátero MNPQ é:

a) R(2 + 3)

b) R(3 + 3)

c) R(1 + 3)

d) 2R(1 + 3)

A B

C

DE

F

M

N

P

Q

R

2R

x =2R + R

2=

3R

2

base média do trapézio

NP também é base média

x

x

y

y R

2

y2 =R2

4+

R2

4– 2 ·

R

2·

R

2· –

1

2

y2 =3R2

4y =

R 3

2

2P = 3R

2+2 · 2 ·

R 3

2

2P = 3R + R 3

2P = R(3 + 3)

A40. A figura abaixo é constituída de sete quadrados congruentes. A área da figura é 7cm2. Seu perímetro é:

a) 12cm

b) 13cm

c) 14cm

d) 15cm

7cm2

7= 1cm2

Área de um quadrado

l = 1cm

2P = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 2P = 14

A41. Um dos lados de um retângulo mede 9 e forma, com uma das diagonais, um ângulo de 30º. Sua área é:

a) 27 3

b) 24 3

c) 18 3

d) 1830º

9

x

tg 30º =9

x=

9

x 3 3x = 9 x =

9

3x = 3 3

S = 9 · 3 3

S = 27 3

A42. Dois lados de um retângulo medem 3cm e 6cm. A diagonal do quadrado equivalente a esse retângulo mede:

a) 4cm

b) 4,8cm

c) 5,4cm

d) 6cm

Sretângulo = SQuadrado 6 · 3 = SQuadrado Squadrado = 18 l = 3 2

d = l 2 d = 6

A43. Aumentando-se uma das dimensões de um retângulo de 10% e diminuindo-se a outra também de 10%, sua área:

a) permanece a mesma.

b) aumenta 1%.

c) diminui 1%.

d) aumenta 10%.

x

y

x + 0,1x

y – 0,1y

S1 = xy S2 = 1,1x · 0,9y

S2 = 0,99xyS1 – S2 = xy – 0,99xy = 0,01xy

A44. Num triângulo isósceles, a base mede 8cm e o perímetro mede 18cm. Sua área é, em cm2,

a) 9

b) 9 3

c) 12

d) 16

8

5 5

STriângulo = p(p – a)(p – b)(p – c)

S = 9 · 1 · 4 · 4

S = 3 · 4 S = 12

A45. A malha abaixo é formada por quadradilhos de lado unitário. A área do triângulo ABC é:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14 B

C

A

S = 4 · 4

2= 8

S = 1 · 6

2= 3

S = 2 · 5

2= 5

STotal = 6 · 5

STriângulo = 30 – (8 + 3 +5)

STriângulo = 14

A46. Dois lados de um triângulo ABC medem AB = 4 e AC = 6. Assinale a alternativa FALSA.

a) A maior área possível do triângulo é 12.

b) Se  = 30º ou  = 150º, a área do triângulo é 6.

c) Se BC = 8, a área do triângulo é 2 15.

d) 2 < BC < 10.

AC – AB < BC < AC + AB 2 < BC < 10

SBC = 8 = 9 · 1 · 3 · 5 SBC = 8 = 3 15

STriângulo =a · b · sen

2STriângulo =

4 · 6 · sen 30º2

= 6

sen 30º = sen 150º

STriângulo =4 · 6 · sen

90º2= 12

Maior área possível

A47. Na figura, as retas r e s são paralelas.

Assinale a alternativa FALSA.

a) Os triângulos ABC e DBC são equivalentes.

b) Os triângulos PAB e PCD são equivalentes.

c) Os triângulos PAD e PCB são semelhantes.

d) Os triângulos PAB e PCD são semelhantes.

A D

B C

P

A48. As bases de um trapézio retângulo medem 10cm e 6cm e um dos seus ângulos mede 45º. Sua área é, em cm2,

a) 24

b) 28

c) 32

d) 36

6

1045º

6 4

h

tg 45º =h

44 = h

S =(B + b) ·

h2S =

(10 + 6) · 4

2S = 32

A49. As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 4 e 6. Sua área é:

a) 10 6

b) 20 6

c) 20 3

d) 30 3

42 2

63 31

h

2

3

h2 + 1 = 25 h = 2 6

S =(B + b) ·

h2S =

(4 + 6) · 2 6

2S = 10 6

A50. O perímetro de um losango é 24cm e a distância entre dois de seus lados opostos é 3cm. Sua área é, em cm2,

a) 16

b) 18

c) 20

d) 24

6

6

6

6

1,5

1,5

STriângulo =6 · 1,5

2= 4,5

SL = 4 · 4,5 = 18

A51. As bases de um trapézio isósceles medem 6 e 10. Os pontos médios de seus lados são vértices de um losango cujo perímetro é 20. A área do losango é:

a) 18

b) 20

c) 22

d) 24

6

10

5 5

55D

D =10 + 6

2= 8

d d

2

2

+ 16 = 25 d2 = 9 · 4 d = 6

S =D · d

2S =

8 · 6

2S = 24

A52. Num disco cuja área é 12cm2 está inscrito um triângulo eqüilátero. A área do triângulo é, em cm2,

a) 6 3

b) 8 3

c) 9 3

d) 122 3

R2 = 12

R = 2 3

2 3

x

120º

x2 = 12 + 12 – 2 · 2 3 · 2 3 · –1

2x2 = 24 + 12

x = 6

STriângulo Eqüilátero =l2 3

4

STriângulo Eqüilátero = 9 3

A53. O perímetro do círculo da figura é 12cm. Nele, está inscrito um hexágono regular. A área da região assinalada é, em cm2,

a) 18(2 – 3 3)

b) 9(2 – 3 3)

c) 9(4 – 3 3)

d) 18(24 – 3)

2R = 12

R = 6

lHexágono = R

S = SDisco – SHexágono

S = R2 – 6 ·l2 3

4

S = 36 – 54 3

S = 18(2 – 3 3)

A54. A figura mostra um retângulo subdividido em quatro retângulo menores. As áreas de três desses retângulo estão indicadas. A área do retângulo em que aparece a interrogação é:

a) 9

b) 10

c) 12

d) 15

6 10

20?

10

20=

6

?

? = 12

A55. A área do quadrilátero da figura é:

a) 14 3

b) 12 3

c) 22

d) 24 64

8

60º 60º

60º24

SQuadri. =l2 3

4–

4 · 2 · sen 60º

2

SQuadri. =64 3

4–

4 3

2SQuadri. = 16 3 – 2 3 = 14 3

A56. A figura mostra parte de um disco. A área desse disco é, em m2,

a) 16

b) 24

c) 25

d) 36

3m 3m

1m

x

x + 1

1 · (1 + 2x) = 3 · 3

1 + 2x = 9

2x = 8

x = 4

R = x + 1 = 4 + 1

SDisco = r2 SDisco = 25

8

A57. O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12cm. Quando a extremidade do ponteiro percorre 8cm, a área do setor circular que ele varre é, em cm2,

a) 24

b) 24

c) 48

d) 48

12

12

SDisco = R2 = 144

2PCírculo = 2R = 24

SSetor = R2

2P· d SSetor =

14424

· 8 SSetor = 48

A58. A área de um triângulo é 36cm2. Pelo seu baricentro, traça-se uma paralela a um de seus lados, dividindo-o em um trapézio e um triângulo. A área do trapézio é:

a) 12cm2

b) 16cm2

c) 18cm2

d) 20cm2

2a

a

3a

2a

9

4=

36

x9x = 36 · 4 x = 16 36 – 16 = 20

A59. Dobrando-se o raio de um círculo, seu perímetro e a área do disco correspondente ficam multiplicados, respectivamente, por:

a) 2 e 4

b) 4 e 4

c) 2 e 6

d) 4 e 6

2P = 2R

S = R2

2P1 = 22R

S1 = (2R)2

2P1 = 4R

S1 = 4R2

2P

2P1

=2R

4R=

1

2

S

S1

=R2

4R2=

1

4

A60. Na figura, a corda AB do círculo de 6m de raio é lado de um triângulo eqüilátero nele inscrito. A área da região assinalada é, em m2,

a) 3(4 – 2 3)

b) 3(3 – 2 3)

c) 3(4 – 3 3)

d) 3(3 – 4 3)

A

BSSegmento = SSetor – STriângulo

SSetor = · r2

360º·

6

6

60º

120º

l

l

l

SSetor =36360º

· 120º = 12

STriângulo =a · b · sen

2S =

6 · 6 ·

2

3

2= 9 3

SSegmento = 12 – 9 3 SSegmento = 3(4 – 3 3)

A61. Um semicírculo de diâmetro AB está inscrito no trapézio retângulo de bases 9 e 4, conforme a figura. Sendo P o ponto de tangência, a área do trapézio é:

a) 64

b) 68

c) 72

d) 78A B

C

4

P

D

9

0

4

9

r r

r

9

r=

r

4r = 6

S =(B + b) ·

h2S =

(9 + 4) · 12

2S = 13 ·

6S = 78

A62. Os dois círculos da figura são concêntricos. O segmento AB mede 6cm. Ele é corda do círculo maior e tangente ao menor. A área da coroa circular determinada é, em cm2,

a) 9

b) 8

c) 6

d) 4A B

r R

3

R2 = r2 + 9

SCoroa = R2 – r2 SCoroa = (r2 – 9) – r2 SCoroa = r2 + 9 – r2

SCoroa = 9

A63. A área de um triângulo eqüilátero é 27 3. Os círculos inscrito e circunscrito nesse triângulo determinam uma coroa circular cuja área é

a) 18

b) 20

c) 24

d) 27

l2 3

4= 27 3 l = 6 3

Rr30º

sen 30º =r

R3 3

tg 30º =r

3 3r = 3

1

2=

3

RR = 6

SCoroa = (R2 – r2) SCoroa = (36 – 9) SCoroa = 27

A64. A base de um triângulo isósceles mede 12cm e os lados congruentes medem 10cm cada um. A área do disco inscrito e o perímetro do círculo circunscrito ao triângulo são, respectivamente,

a) 9cm2 e 25/2cm

b) 8cm2 e 25/2cm

c) 9cm2 e 25cm

d) 8cm2 e 25cm

12

10 10

rR

STriângulo = 16 · (6) · 4 · 6

Striângulo = 4 · 6 · 2 = 48

STriângulo Circunscrito =10 + 10 + 12

2· r 48 = 16r r = 3

SDisco Inscrito = r2

Striângulo Inscrito =a · b · c

4R

10 · 10 · 124R

= 48 R =25

4

2P = 2r

2P =25

2

= 9

A65. Na figura, ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio de AD. As áreas I, II, III e IV são, respectivamente, proporcionais a:

a) 1, 2, 3 e 4

b) 1, 2, 3 e 5

c) 1, 2, 4 e 5

d) 2, 3, 4 e 5I

IIIII IV

A

B C

D

2a

ax x

2x I e III são semelhantes na

razão1

2

Área do Ix · a

2

Área do III2x · 2a

2

Área do II2x · 3a

2

2x · a

2–

3x · a

2=

Área do IV2x · 3a

2

x · a

2–

5x · a

2=

=4x · a

2

A66. Na figura, o ponto P está a 6cm do centro do círculo. Se PA e PB são tangentes a ele e formam um ângulo de 60º, o valor da área assinalada é, em cm2,

a) 3(3 3 – )

b) 3(3 3 – 2)

c) 2(3 3 – )

d) 3(2 3 – )

60º P

A

B

A67. A figura mostra um quadrado de lado igual a 4 e quatro semicírculos com centros nos pontos médios dos lados do quadrado. A área da região assinalada é:

a) 4( – 2)

b) 8( – 2)

c) 4( – 3)

d) 8( – 3)

2

2 2 2

SSegmento =4

360º· 90º – 2 · 2

2= – 2

STotal = 8 · ( – 2)

A68. Os pontos M e P dividem o lado AB do triângulo ABC em três partes iguais. MN e PQ são paralelos a BC. A razão entre a área do triângulo APQ e a área do trapézio BCQP é:

a) 0,8

b) 0,9

c) 1

d) 1,2

A

B C

M N

P Q

x

x

x y

y

y

k

w

z

x

2x=

k

w2k = w

2x

3x=

2k

z3k = z

h

h

h

STriângulo = 2h · 2k

2= 2hk

STrapézio =(2k + 3k) · h

2=

5hk

2

STriângulo

STrapézio

=2hk

5hk

2

=4

5= 0,8

A69. O triângulo ABC da figura é eqüilátero e seu perímetro é 36 3. Os dois círculos tangentes entre si tangenciam os lados do triângulo. A área do círculo menor é:

a) 3

b) 4

c) 6

d) 9

B C

A

12 3

6 36 3

12 3

R

R

r

rx

R

r12 3

r + x=

6 3

r

h2 + (6 3)2 = (12 3)2

h2 = 432 – 108 h = 18

r + x = 2r

x = r

3r + 2R = 18r =

18 – 2R

3h

3= R R = 6

r =18 – 12

3= 2

S = r2 = 4