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Abordagem Mono e Multifractal para o Modelamento Fractal da Estrutura Porosa da Matriz Óssea Trabecular
Lucas Máximo Alves(1), Marco André Argenta(2), Luis Antonio Farani(2), Mildred Ballin
Hecke(2)
(1) GTEME – Grupo de Termodinâmica, Mecânica e Eletrônica dos Materiais, Departamento de Engenharia
de Materiais, Universidade Estadual de Ponta Grossa, Av. Gal. Carlos Calvalcanti, 4748, Campus UEPG/Bloco
L – Uvaranas – Ponta Grossa-PR, Brazil, CEP. 84030.000, Cx. Postal 1007; e-mail: [email protected].
(2) Universidade Federal do Paraná, Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos
em Engenharia, Centro de Estudos em Engenharia Civil - Bioengenharia –
CESEC/PPGMNE-UFPR, Brazil; e-mail: [email protected], home-page:
http://www.cesec.ufpr.br/bioengenharia
Índice Índice..................................................................................................................................... 1 Lista de Figuras...................................................................................................................... 3 Lista de Tabelas ..................................................................................................................... 4 1 - Introdução 5
2 - Revisão Sobre o Problema da Osteoporose ....................................................................... 6
2.1 - Remodelação óssea ........................................................................................................ 8 2.2 - Remodelação óssea com Fractais ................................................................................... 9 3 - Fundamentos da Teoria Fractal ......................................................................................... 9
3.1 - Medida da extensão geométrica de um objeto .............................................................. 12 3.2 - Relação entre a Geometria Fractal e a Euclidiana ......................................................... 14 4 - Modelagem Fractal da Estrutura Trabecular .................................................................... 16
4.1 – Discretização de um osso pelo Método Box-Counting ................................................. 16 4.1.1 - Aproximação do modelo monofractal........................................................................ 18 4.1.2 - Cálculo do Volume Efetivo e da Taxa de Variação do Volume Ósseo ....................... 21 4.2 - Medida de Massa de uma Célula .................................................................................. 22 4.3 – Dimensão de Capacidade de uma Célula ..................................................................... 24 4.4 - Discretização de um Osso pelo Método das Fatias ....................................................... 25 4.4.1 - Monofractalidade das Fatias Horizontais e Verticais ................................................. 26 4.4.2 – Multifractalidade das Fatias Horizontais e Verticais ................................................. 27 4.5 - Discretização de um Osso pelo Método das Projeções Ortogonais................................ 29 4.5.1 - Monofractalidade das Projeções Ortogonais .............................................................. 29 4.5.2 - Multifractalidade das Projeções Ortogonais............................................................... 30 a) Contagem dos Trabéculos na Horizontal .......................................................................... 30 b) Contagem dos Trabéculos na Vertical ............................................................................. 31 c) Contagem Total dos Trabéculos no Volume ..................................................................... 31 d) Autosimilaridade da Contagem........................................................................................ 31 4.6 - Escalonamento Fractal do Volume Ósseo..................................................................... 32 4.7 - Taxa de Perda Óssea .................................................................................................... 32
2
4.8– Variação da Densidade Óssea....................................................................................... 33 4.9 – Taxa de Remodelação Óssea ....................................................................................... 34 5 - Materiais e Métodos........................................................................................................ 35
6 - Resultados e Discussão ................................................................................................... 37
6.1 – Medidas das Dimensões Fractais das Matrizes Óssseas................................................ 37 6.2 - Variação do Volume com o tamanhos dos vazios ......................................................... 38 7 - Conclusões 39
8 - Bibliografia 40
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Lista de Figuras
Figura - 1. Variação da estrutura trabecular com o grau de calcificação do osso .................... 7 Figura - 2. Variação do tamanho dos vazios de ums estrutura trabecular; (a) parte trabecular de uma osso sem osteoporose e (b) de um osso com osteoporose............................................ 7 Figura - 3. Estrutura trabecular com o aparecimento de osteoporose...................................... 8 Figura - 4. Ilustração do contorno de uma ilha, fractal, e uma pessoa, não fractal. ............... 10 Figura - 5. Fractal Matemático mostrando o seu iniciador e sua semente como estrutura básica ou fundamental de cosntrução.................................................................................... 11 Figura - 6. Alguns tipos de fenômenos que podem ser modelados pela teoria do crescimento fractal .................................................................................................................................. 12 Figura - 7. Geometria Euclidiana x Geometria fractal.......................................................... 15 Figura - 8. Geometria Euclidiana Regular............................................................................ 15 Figura - 9. Geometria Fractal Irregular. ............................................................................... 16 Figura - 10. Diferenciação geométrica da estrutura trabecular com a variação do teor de cálcio. .................................................................................................................................. 16 Figura - 11. Medida da matriz trabecular pelo Box-Counting usando o conceito de régua e comprimento........................................................................................................................ 17 Figura - 12. Modelo geométrico de uma estrutura trabecular com o diametros dos vazios constantes. ........................................................................................................................... 18 Figura - 13. Estrutura trabecular normal (a) e estrutura trabecular com osteoporose (b). ...... 18 Figura - 14 – Esquema de aproximação monofractal de uma estrutura trabecular normal (a), estrutura trabecular aproximada (b). ..................................................................................... 19 Figura - 15 - Refino da malha do esquema de aproximação monofractal. ............................. 20 Figura - 16. Espectro da dimensão de capacidade de caixa em 2D. ...................................... 23 Figura - 17. Espectro da capacidade de uma fatia em 1D. .................................................... 23 Figura - 18. Discretização de uma curva fractal por meio de fatias horizontais e verticais.... 25 Figura - 19. Contagem das estruturas trabeculares usando o método das fatias. ................... 28 Figura - 20. Mudança da forma da estrutura trabecular com o teor de cácio em um caso de osteoporose. ......................................................................................................................... 35 Figura - 21. Estrutura trabecular em duas condições de calcificação diferentes.................... 35 Figura - 22. Contagem de caixas utilizando uma malha de tamanho . ................................ 36 Figura - 23. Contagem de caixas utilizando uma malha de tamanho /2.............................. 36 Figura - 24. Contagem de caixas utilizando uma malha de tamanho /4. ............................. 36 Figura - 25. Variação da Dimensão fractal com a escala de medida ..................................... 37 Figura - 26. Variação da Dimensão fractal com a escala de medida .................................... 38 Figura - 27. Gráfico do Volume Ósseo Efetivo.................................................................... 38 Figura - 28. Variação do Volume com o tamanhos dos vazios ............................................. 39
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Lista de Tabelas
Tabela - I. Medidas Fractais do Caso - 1.............................................................................. 37 Tabela - II. Medidas Fractais do Caso - 2 ............................................................................ 37
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Abordagem Mono e Multifractal para o Modelamento Fractal da Estrutura Porosa da Matriz Óssea Trabecular
Lucas Máximo Alves(1), Marco André Argenta(2), Luis Antonio Farani(2),
Mildred Ballin Hecke(2)
GTEME – Grupo de Termodinâmica, Mecânica e Eletrônica dos Materiais
(*) Departamento de Engenharia de Materiais, Universidade Estadual de Ponta Grossa,
Av. Gal. Carlos Calvalcanti, 4748, Campus UEPG/Bloco L – Uvaranas – Ponta Grossa-PR,
Brazil, CEP. 84030.000, Cx. Postal 1007,([email protected]). Bioengenharia – CESEC/PPGMNE,
e-mail: [email protected], home-page: http://www.cesec.ufpr.br/bioengenharia
RESUMO
A geometria fractal apresenta uma riqueza matemática abrangente capaz de descrever diferentes aspectos dos fenômenos de crescimento irregular dos quais a estrutura óssea é um exemplo. Neste contexto podemos citar a osteoporose, que é uma doença que atinge os ossos. Ela é caracterizada quando a quantidade de massa óssea diminui substancialmente e desenvolve ossos ocos, finos e de extrema sensibilidade, mais sujeitos a fraturas. É uma variação na densidade do osso trabecular, ou ainda, uma variação na quantidade de trabéculas. A modelagem generica de uma estrutura irregular, como a das trabeculas ósseas, permitirá uma descrição analítica dos fenômenos decorrentes da estrutura dessas trabeculas dentro dos modelos de crescimento ósseo, remodelamento ósseo, osseointegração, etc. Desta forma os modelos teóricos desses fenômenos poderão incorporar os aspectos fractais das trabeculas, explicando-os de forma mais apropriada, como também as propriedades decorrentes de sua geometria de uma forma geral. O objetivo deste trabalho é desenvolver uma metodologia para a medição da variação do volume de vazios e a variação do volume de material ósseo trabecular baseada em fractais. Palavras Chave: Fractais, Osteoporose,
1 - Introdução
A visualização da estrutura óssea de um paciente pode ser feita por diferentes
métodos, tais como: Raios-X, tomografia, micro-CT, etc. A partir de uma imagem pode-se
realizar um diagnóstico clínico de enfermidades ósseas como a osteoporose, por exemplo.
Contudo, esses métodos qualitativos que são comumente utilizados, limitam-se a experiência
visual do ortopedista. Nenhum dado quantitativo da imagem é fornecido, a não ser que se faça
uma análise computadorizada dessas imagens. Um diagnóstico seguro é o objetivo contínuo
do clínico que utiliza os métodos de imagens citados acima.
6
Sabendo-se que a estrutura trabecular irregular pode ser caracterizada pela
geometria fractal, neste trabalho nós realizamos uma análise geométrica de uma estrutura
óssea como uma forma de quantificar as informações que podem ser obtidas por meio de uma
imagem.
Neste trabalho propusemos um modelo monofractal para a estrutura óssea
trabecular como uma forma de quantificar as análises feitas sobre imagens digitalizadas. O
objetivo inicial deste trabalho é extrair informações por meio da análise de imagens que
possam quantificar grandezas matemáticas definidas no modelo fractal, em função da área de
observação, tais como: volume ósseo efetivo, variação do volume ósseo, contagem total das
trabéculas contidas, variação da densidade óssea, taxa de perda óssea, taxa de remodelamento
ósseo.
Neste trabalho nos limitaremos a apresentar apenas as análises geométricas feitas
com base na geometria monofractal. Apresentamos o estudo fractal realizado sobre imagens
ósseas, onde se quantificou dados relativos à variação do volume ósseo com a escala de
observação e com o tamanho dos vazios trabeculares. O objetivo é apresentar uma proposta de
pesquisa para utilização em Modelos de Potenciais Termodinâmicos Aplicados ao Estudo do
Fenômenos Associados a Matrizes Porosas como a Matriz Trabecular Óssea .
2 - Revisão Sobre o Problema da Osteoporose
A osteoporose é uma doença que atinge os ossos. Caracteriza-se quando a
quantidade de massa óssea diminui substancialmente e desenvolve ossos ocos, finos e de
extrema sensibilidade, mais sujeitos a fraturas. Faz parte do processo normal de
envelhecimento e é mais comum em mulheres que em homens. A doença progride lentamente
e raramente apresenta sintomas antes que aconteça algo de maior gravidade, como uma
fratura, que costuma ser espontânea, isto é, não relacionada a trauma. Se não forem feitos
exames diagnósticos preventivos a osteoporose pode passar despercebida, até que tenha
gravidade maior. A osteoporose pode ter sua evolução retardada por medidas preventivas.
O aparecimento da osteoporose está ligado aos níveis hormonais do organismo. O
estrógeno, hormônio feminino, também presente nos homens, mas em menor quantidade,
ajuda a manter o equilíbrio entre a perda e o ganho de massa óssea. As mulheres são as mais
atingidas pela doença, uma vez que, na menopausa, os níveis de estrógeno caem bruscamente.
Com isso, os ossos passam a incorporar menos cálcio (fundamental na formação do osso),
7
tornando-se mais frágeis. Para cada quatro mulheres, somente um homem desenvolve esta
patologia.
Embora pareçam estruturas inativas, os ossos se modificam ao longo da vida. O
organismo está constantemente fazendo e desfazendo ossos. Esse processo depende de vários
fatores como genética, boa nutrição, manutenção de bons níveis de hormônios e prática
regular de exercícios. As células ósseas (osteócitos) são as responsáveis pela formação do
colágeno, que dá sustentação ao osso. Os canais que interligam os osteócitos permitem que o
cálcio, essencial para a formação óssea, saia do sangue e ajude a formar o osso.
Figura - 1. Variação da estrutura trabecular com o grau de calcificação do osso
(a) (b)
Figura - 2. Variação do tamanho dos vazios de ums estrutura trabecular; (a) parte trabecular de uma osso sem osteoporose e (b) de um osso com osteoporose
A densidade mineral de cálcio é reduzida de 65% para 35% quando a osteoporose se
instala conforme mostrado na Figura - 1. O canal medular central do osso torna-se mais
largo. Com a progressão da osteoporose, os ossos podem ficar esburacados e quebradiços. O
colágeno e os depósitos minerais são desfeitos muito rapidamente e a formação do osso torna-
8
se mais lenta. Com menos colágeno, surgem espaços vazios na estrutura trabecular que
enfraquecem o osso, conforme mostra a Figura - 2 e Figura - 3.
Figura - 3. Estrutura trabecular com o aparecimento de osteoporose
2.1 - Remodelação óssea
A quantidade de massa óssea presente no esqueleto é o resultado da formação e da
reabsorção. Esse processo está diretamente relacionado à necessidade corporal de manter uma
concentração fisiológica de cálcio ionizado nos fluidos orgânicos e, especialmente, à
necessidade de manter a integridade estrutural do esqueleto.
No processo fisiológico normal, a reabsorção e a formação ósseas estão
intimamente relacionadas em tempo, grau e espaço, tanto que a formação óssea só é ativada
depois que estiver estabelecida uma área de absorção. O metabolismo ósseo é influenciado
por vários fatores hormonais, locais, comportamentais e ambientais, além de forças
mecânicas, elétricas, químicas e magnéticas. Esse mecanismo é relativamente rápido no osso
trabecular e mais lento no osso cortical.
Os osteoclastos são recrutados para a superfície (processo chamado de ativação) e
reabsorvem uma quantidade de mineral, criando uma cavidade - lacuna de Howship - no osso
trabecular. Essa fase dura em torno de duas semanas e é seguida por um período de aparente
inatividade no sítio da reabsorção. Durante essa fase, os osteoclastos desaparecem e são
substituídos por macrófagos, cuja função não está inteiramente elucidada, mas que parece ser
a de depositar uma substância que inicia a cimentação. Como esse processo ocorre entre a
remoção do osso e sua subseqüente substituição, ele é chamado de fase de reversão. Através
do recebimento de um sinal, os osteoblastos - células que sintetizam a nova matriz - aderem-
se à superfície da cavidade. Essas células sintetizam colágeno e outras proteínas não
9
colagenosas, que são secretadas dentro da cavidade para formar o osteóide, uma matriz não
mineralizada, que o será mais tarde, formando osso novo. Essa fase de formação pode levar
vários meses para se estabelecer. Sob condições normais, a quantidade de osso novo
sintetizado em cada sítio de remodelação é exatamente igual àquela que foi removida pelos
osteoclastos. Calcula-se que os adultos remodelem de 10 a 30% da sua massa óssea a cada
ano. Essa “manutenção preventiva” faz com que o esqueleto tenha uma idade média em torno
de oito anos.
2.2 - Remodelação óssea com Fractais
A idéia de integrar os processos e teorias sobre remodelação óssea com a teoria de
fractais é obter um modelo teórico capaz de demonstrar além variação da densidade óssea, o
crescimento das trabéculas, sua direção e tamanho, face a sua posição dentro do osso.
Utilizando-se medições fractais de imagens de ossos, em outras palavras, aplicado
a teoria de fractais, para obtenção da dimensão fractal, que pode ser considerada uma
descrição quantitativa do grau de irregularidade das superfícies complexas, sobre uma
seqüência de imagens de tomografias, ou raios X, em função do tempo, obtêm-se
características de formação ou de reabsorção das trabéculas. Com isso pode-se definir uma
linha guia para a obtenção das propriedades específicas de cada trabécula durante o processo
de remodelação óssea.
3 - Fundamentos da Teoria Fractal
Estamos muito familiarizados com a Geometria Euclidiana, onde estudamos as
figuras mais simples e conhecidas da geometria: retas, quadrados, círculos, cones, pirâmides
etc. Estamos acostumados a calcular suas medidas de comprimento, área e volume. Neste
contexto a idéia de dimensão já está em nossas mentes. Porém, muitos fenômenos e formas
encontradas na natureza não podem ser explicados nos moldes da matemática convencional,
sendo para isso necessário uma teoria especial que os explique e os caracterize, a chamada
geometria fractal. De uma forma geral, a geometria fractal serve para descrever um objeto
geométrico que nunca perde a sua estrutura qualquer que seja a distância de visão, ou escala.
A Figura - 4 contém desenhos de dois objetos de ocorrência natural, o contorno
(ou a linha de costa) de uma ilha ( Figura - 4a) e uma pessoa ( Figura - 4b). A medida
que amplia-se o contorno da ilha observa-se que a rugosidade se repete e, trocando-se a
escala, a rugosidade parece ser a mesma, ou seja, o contorno da ilha é uma curva fractal e a
10
ilha é um objeto auto-semelhante. A pessoa, no entanto, não é um objeto auto-semelhante.
Quando ampliam-se diversas partes do corpo, observam-se mudanças completas na forma dos
objetos. A mão não representa o corpo inteiro, a unha não se parece com a mão, e mesmo
observando-se diferentes partes do corpo na mesma escala, como por exemplo, a cabeça e a
mão, não pode-se dizer que essas partes têm formas semelhantes. Com isso conclui-se que
uma pessoa não é um objeto fractal.
Figura - 4. Ilustração do contorno de uma ilha, fractal, e uma pessoa, não fractal.
Seguindo esta observação em escala, como ilustrado acima, verifica-se que muitos
objetos, fenômenos e formas encontradas na natureza não podem ser explicados nos moldes
da matemática convencional, sendo para isso necessário uma teoria especial que os explique e
os caracterize, a chamada geometria fractal. Tanto o padrão de formação de nuvens quanto o
padrão de crescimento e disposição de galhos e folhas numa árvore, por exemplo, podem ser
recriados por meio de regras simples de construção geométrica, mas que ao serem executadas
são capazes de gerar estruturas de complexidade admirável, os fractais.
FRACTAIS: são objetos geométricos cuja a dimensão de Haussdorf-Besicovitch
excede estritamente a dimensão topológica e possuem estruturas em todas as suas escalas de
ampliação, comumente com alguma similaridade entre elas, ou seja, são objetos geométricos
auto-invariantes por transformação de escala que possuem dimensão fracionária excedendoa
dimensão topológica, como mostrado na Figura - 5.
INVARIÂNCIA POR TRANSFORMAÇÃO DE ESCALA: è quando a partes de
um objeto são semelhantes ao todo que pode ser por, AUTO-SIMILARIDADE (Ex. um
Pinheiro) ou AUTO-AFINIDADE (Ex. uma Trinca) cujas características são: apresenta
vazios na estrutura, possui dimensão fracionária e apresenta invariância por transformação de
escala, como mostrado na Figura - 5.
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Figura - 5. Fractal Matemático mostrando o seu iniciador e sua semente como estrutura básica ou fundamental de cosntrução
Existem basicamente dois tipos de auto-semelhança, a estatística e a exata ou
estrita. A auto-semelhança estatística é o caso do exemplo citado na Figura - 4a (a
linha de costa de uma ilha) e na Figura - 5b, assim como o caso das trabéculas de um osso
trabecular, ou seja, estes exemplos possuem as mesmas características estatísticas. No caso da
linha de uma costa, da rugosidade de uma superfície ou perfil, e no caso dos ossos
trabeculares observamos irregularidades que se repetem de forma estatisticamente similar em
diferentes escalas de ampliação. Na auto-semelhança exata, ou estrita, pode-se observar em
uma parte do objeto fractal uma réplica do todo, como é o caso da folha de samambaia.
O termo fractal foi cunhado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês
nascido na Polônia, que descobriu a geometria fractal na década de 70 do século XX, a partir
do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. Serve para descrever um
objeto geométrico que nunca perde a sua estrutura qualquer que seja a distância de visão, ou
escala. Mandelbrot classificou desta forma os seus objetos de estudo, pois estes possuíam uma
dimensão fracionária, uma dimensão não inteira. As dimensões fracionárias tornaram-se uma
forma de quantificar qualidades que, de outro modo, permaneceriam sem dimensão precisa,
como por exemplo, o grau de irregularidade ou tortuosidade de um objeto. A palavra fractal
acima de tudo significa auto-semelhante. A auto-semelhança é a simetria através das escalas,
ou seja, um objeto possui auto-semelhança se apresentar sempre o mesmo aspecto em
qualquer escala em que seja observado. Se repararmos, todas as formas geométricas ortodoxas
perdem a sua estrutura quando são ampliadas ou diminuídas.
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Figura - 6. Alguns tipos de fenômenos que podem ser modelados pela teoria do crescimento fractal
É interessante observar que o corpo como um todo não é um objeto fractal, porém
estudos recentes vem demonstrando, com algum sucesso, que é possivel caracterizar certas
partes do corpo usando geometria fractal, como por exemplo, a ramificação da estrutura do
pulmão, a fina estrutura dos neurônios e as trabéculas de ossos trabeculares.
3.1 - Medida da extensão geométrica de um objeto
Quando nos deparamos com uma estrutura geométrica irregular como as
trabéculas ósseas, imaginamos ser impossível quantificar dados a respeito dessas estruturas, a
não ser por meio de uma análise estatística. Contudo, percebe-se intuitivamente que existe
algum tipo de informação geométrica embutida que nos faz dizer que tal estrutura são
trabéculas de um osso e não outra coisa qualquer. Essa informação visual intuitiva pode ser
identificada matematicamente pela geometria fractal. Para se obter essas informações de
forma quantificada precisamos recorrer a conceitos e equações matemáticas. A primeira delas
é a idéia de uma medida geométrica, que pode ser de comprimento, área, volume, etc. No caso
de uma imagem 2D de um osso, obtida por raios-X, ou microscopia, por exemplo, podemos
avaliar a área examinada por meio da medida da sua extensão (no caso 2D- bidimensional),
que a partir de agora será uma conceito geral definido como:
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od
D MNM )( , ( 1)
onde N É o número de elementos estruturais que recuperam o objeto e d é a dimensão
euclidiana.
A Extensão do Objeto, DM , depende do tamanho da régua de medida utilizada,
oL .
od
D MNM )( , ( 2)
Por meio da equação ( 1) define-se uma medida como sendo uma função da sua
escala de medida, além dos atributos geométricos da dimensão topológica do espaço de
medida, da dimensão da unidade de medida e da dimensão do objeto medido.
As funções F que descrevem o escalonamento fractal são do tipo homogêneas e a
suas diferenciais são dadas por:
1
n
j jj j
FdF X dXX
, ( 3)
onde jX são as variáveis desta função matemática para 1, 2...,j n
A escala de medida é definida em termos de uma régua de tamanho 0l (utilizada
como uma unidade de medida) e em termos do tamanho máximo 0L do objeto sob medida,
conforme mostra a seguinte equação:
o o
o o
L ll L
, ( 4)
Onde e é um fator de escala.
Funções homogêneas também satisfazme o teorema de Euler que é dado por:
1
nn
j jj j
FF X XX
, ( 5)
De onde para medidas de massa M , volume V e energia U se pode deduzir que:
~ ;k x
F F dM M dU UX X dV V dV V
, ( 6)
Matematicamente, um fractal pode ser definido como uma seqüência geométrica
S definida por
14
kk
S S onde 0,1, 2...k , ( 7)
onde kS é uma subseqüência, representada no espaço euclidiano quando a medida da sua
extensão geométrica, dada pela série d kM , satisfaz a seguinte condição de Hausdorf-
Besicovitch:
0
0( )d d
d k k k k dk
D dM d N d M D d
D d
, ( 8)
sendo d o fator geométrico dos elementos unitários (ou semente) da sequência
representada geométricamente, é o tamanho dos elementos, usados como unidade padrão
de medida da extensão geométrica da representação espacial da sequência, N é o número
de unidades elementares (ou sementes) que formam a representação espacial da sequência em
uma determinada escala, d é a dimensão dos elementos unitários e D é a dimensão de
Hausdorff-Besicovitch.
3.2 - Relação entre a Geometria Fractal e a Euclidiana
Algumas estruturas irregulares são consideradas objetos fractais com auto-
similaridade ou auto-afinidade estatística. Um fractal é um objeto cuja medida da sua
extensão geométrica depende da régua de medida utilizada. Este objeto é definido como
sendo aquele que possui uma dimensão de Hausdorff-Besicovitch.
De acordo com a Figura - 7 observa-se que um fractal sempre excede a uma
dimensão euclidiana e possui falta na dimensão imediatamente superior à qual está imerso.
Vejamos os exemplos: um fractal tipo curva de Cantor possui dimensão no intervalo 0 D
1, de acordo com a figura 1, ele excede a um ponto mas não chega a ser uma reta. Um perfil
de rugoso possui dimensão fractal no intervalo 1 D 2, de acordo com a figura 1, ele
excede uma reta, mas não chega a um plano. Uma superfície rugosa possui dimensão fractal
no intervalo 2 D 3, e de acordo com a Figura - 7, ela excede a um plano mas não chega
a um sólido.
15
d = D = 0 0 < D < 1f
d = D = 1
d = D = 2
d = D = 3
1 < D < 2f
2 < D < 3f
3 < D < 4??f
Figura - 7. Geometria Euclidiana x Geometria fractal.
Mas para que servem os fractais na prática?
- Os Fractais servem para se descrever matematicamente estruturas irregulares,
que pelos elementos básicos, Ponto, Reta, Plano e Espaço da Geometria Euclidiana, não são
possíveis. Observe a seguinte modelagem geométrica mostrada nas Figura - 8. Este
exemplo de modelagem geométrica utilizou figuras planas como círculo, retângulo e triângulo
para representar, geometricamente, algumas figuras mais elaboradas, como uma pessoa, um
cão, e um carro.
Por outro lado na Figura - 9, observa-se que figuras de geometrias não
euclidianas como trincas, nuvens, relâmpago, etc., não podem ser descritas facilmente por
simples formas regulares da geometria euclidiana. Neste caso é preciso recorrer a modelos
geométricos mais complexos como os modelos fractais, conforme veremos a seguir.
Figura - 8. Geometria Euclidiana Regular.
16
Figura - 9. Geometria Fractal Irregular.
4 - Modelagem Fractal da Estrutura Trabecular
A geometria fractal apresenta uma riqueza matemática abrangente capaz de
descrever diferentes aspectos dos fenômenos de crescimento irregular dos quais a estrutura
óssea é um exemplo. Acreditando-se ser possível modelar genericamente uma estrutura
irregular, como a das trabéculas ósseas, isto permitirá uma descrição analítica dos fenômenos
decorrentes da estrutura dessas trabéculas dentro dos modelos de crescimento ósseo,
remodelamento ósseo, osseointegração e healing. Desta forma os modelos teóricos desses
fenômenos poderão incorporar os aspectos fractais das trabéculas explicando-os de forma
mais apropriada como também as propriedades decorrentes de sua geometria de uma forma
geral.
4.1 – Discretização de um osso pelo Método Box-Counting
Consideremos a seguinte estrutura trabecular, que pode ser considerado um fractal
(ou multifractal), como sendo representativo de uma estrutura óssea, conforme mostra a
Figura - 10.
Figura - 10. Diferenciação geométrica da estrutura trabecular com a variação do teor de cálcio.
17
Sobre esses modelos é construído uma malha inicial e por meio de um processo de
refinamentos consecutivos, de ordem, i, ou seja, procedamos à seguinte construção, conforme
mostra a Figura - 11. Para isto, adotam-se diversos passos de refino de malha, convergindo-se
assim o modelo para o resultado.
Figura - 11. Medida da matriz trabecular pelo Box-Counting usando o conceito de régua e comprimento
Em cada iteração i subdividimos a malha em uma malha menor de abertura (ou
espaçamento) de comprimento li. As células ou retículos retangulares da malha que não
interceptam a trabécula são considerados regiões ou células vazias ou ainda segmentos
ausentes de trabécula, onde
0i i
Ll
a ( 9)
onde il é a largura da malha e 0L é o tamanho horizontal aparente na direção- x e a é o fator
de redução da malha na direção horizontal.
.oi i
Hh
b ( 10)
onde ih é a altura da malha e 0H é o tamanho vertical aparente na direção- x e b é o fator de
redução da malha na direção vertical.
Os elementos da malha que não interceptam as trabéculas são considerados
regiões vazias, ausentes de trabécula. Sendo assim, pode-se escrever a área irregular total da
estrutura como,
maxA NA ( 11)
onde, N é o número total de elementos não vazios, e maxA é a área de um elemento.
18
No caso desta discretização, foram utilizados elementos hexaédricos, a área de um
elemento pode ser calculada da seguinte maneira, para cada passo de refino,
max i iA l h ( 12)
4.1.1 - Aproximação do modelo monofractal
A modelagem Monofractal consiste em admitir que cada elemento da malha que
não está vazio ou totalmente preenchido terá uma quantidade fixa de estrutura trabecular.
Figura - 12. Modelo geométrico de uma estrutura trabecular com o diametros dos vazios constantes.
Considerando-se as seguintes estruturas trabeculares, como sendo representativas
de uma estrutura óssea normal e de uma com osteoporose, conforme mostra a Figura - 13,
que mostra um osso trabecular.
(a)
(b)
Figura - 13. Estrutura trabecular normal (a) e estrutura trabecular com osteoporose (b).
19
Considerando que cada elemento a área de trabécula seja a de um retângulo menos
a área de uma elípse inscrita neste retângulo, conforme é mostrado na Figura - 12, tem-se
que,
min retângulo elípseA A A ( 13)
sendo, minA a área do elemento intermediário.
A Figura - 14 ilustra esta esquematização de elípses em retângulos para a estrutura
trabecular normal para a primeira malha adotada.
(a)
(b)
Figura - 14 – Esquema de aproximação monofractal de uma estrutura trabecular normal (a), estrutura trabecular aproximada (b).
A medida que vai se refinando a malha, o modelo aproxima-se mais das estruturas
das trabeculas reais. A Figura - 15 mostra o primeiro refino desta malha.
20
(a)
(b)
Figura - 15 - Refino da malha do esquema de aproximação monofractal.
Observa-se que a malha com o primeiro refino, Figura - 15b se aproxima mais da
estrutura trabecular mostrada na Figura - 15a. Os refinos de malha são executados até que o
modelo discretizado possa descrever com uma boa precisão o modelo real.
Os valores da área de um retângulo e de uma elípse são conhecidos. Sustituindo-
os na equação ( 13), chega-se a,
min i i i iA l h l h ( 14)
Substituindo as equações ( 9) e ( 10) na equação ( 14), obtém-se
min 1o oi i
l hAa b
( 15)
Um caso particular da equação ( 15) é observado quando o refino na horizontal
segue a mesma regra que o refino na vertical, e portanto i i ia b r , sendo ir um fator de
redução geral da malha. Para este caso particular, a equação ( 15) pode ser reescrita
utilizando-se as equações ( 11), ( 12) e ( 13) da forma,
max min2 1o oi
l hA N Nr
( 16)
21
As únicas incógnitas, inicialmente desconhecidas, da equação ( 16) são os valores
de maxN e minN , que podem ser encontrados facilmente contando-se os números de elementos
totalmente preenchidos e de elementos intermediários.
4.1.2 - Cálculo do Volume Efetivo e da Taxa de Variação do Volume Ósseo
Considerando que o volume irregular total da estrutura trabecular é dado por:
minV NV , ( 17)
onde N é o número total de caixas preenchidas e minV é o volume unitário de uma caixa, dado
por:
min quadrado elipseV V V , ( 18)
ou
min i i i iV l h l h , ( 19)
Ou
min 1i iV l h , ( 20)
Logo substituindo ( 9) e ( 10) em ( 20) obtemos:
min 1o on n
L HVa b
, ( 21)
Considerando a b temos:
min 2 1o on
L HVa
, (22)
E ainda
min quadrado elipseV NV N V V , ( 23)
Portanto,
2 1o on
NL HVa
, (24)
Sabendo que cada estrutura de tamanho mínimo possui um volume dado pelo modelo
unitário.
22
22 2
min 12 4o
o ol
V l l
, ( 25)
Logo o volume total da região analisada possui, N volumes unitários, então
min quadrado elipseV NV N V V , ( 26)
Substituindo ( 25) em ( 26) temos:
2 14oV Nl
, ( 27)
Agora o problema matemático a ser resolvido para o caso de uma curva qualquer
é escrever o número, N, e as dimensões das caixas de recobrimento em termos de grandezas
que possam ser facilmente medidas.
Vamos supor agora que na (17) o expoente fractal, D e pode ser considerado
como um único expoente, porque o objeto é monofractal, da mesma forma que na equação (7)
temos, portanto, o número de células na direção x e y, que interceptam a curva em uma fatia
horizontal qualquer pode ser escrito como:
0
0
DlNL
, (28)
Portanto, o volume fractal da matriz é dado por:
20 002
0 0
1 14
D D
o on
L H l lV l
L La
, (29)
Esta equação fornece o volume real do osso em função da dimensão fractal
4.2 - Medida de Massa de uma Célula
Agora dentro das fatias, para cada célula, vamos também classificar as estruturas
das trabeculas e as regiões vazias, da seguinte forma.
Uma trabecula pode ter diferentes graus de irregularidades cada uma delas
classificada no espectro da Figura - 16. Desta forma uma única estrutura trabecular pode
apresentar diferentes dimensões de capacidade, conforme mostra a Figura - 16.
23
Figura - 16. Espectro da dimensão de capacidade de caixa em 2D.
Considere que cada fatia também contém células com diferentes graus de
irregularidades. E que estes graus podem ser representados por diferentes expoentes de
capacidade, conforme o espectro da Figura - 16. Desta forma, cada célula em uma fatia
possui uma probabilidade de preenchimento que se revela a cada refinamento da malha.
Assim, a cada novo refinamento da malha a dimensão de capacidade das células pode variar,
pois para uma malha mais resolvida cada célula pode mostrar novos detalhes do segmento que
anteriormente não era percebido no refinamento da malha anterior de tal forma que o
expoente de capacidade, , varia, de acordo com a Figura - 16.
Para cada estrutura contida em uma fatia da malha nesta malha atribuamos
uma fração da massa p do segmento da malha anterior. As massas destes segmentos não são
iguais se p ≠ 1.
Figura - 17. Espectro da capacidade de uma fatia em 1D.
De forma análoga para cada segmento pode dar-se uma numeração que
corresponde à sua ordem de refinamento que varia entre 0 ≤ i ≤ N − 1. Essa outra
representação binária do inteiro i caracterizará o segmento para dá-nos a história dos
refinamentos do segmento no sentido em que o número de zeros corresponde ao número de
regiões vazios e o número de uns corresponde ao número de segmentos de trincas não vazios
de cada refinamento. Por exemplo, fazendo a analogia com o fractal de Cantor da Figura -
17, para n = 3 temos 8 segmentos e o segmento 3 cuja representação binária é 011, resultou
do refinamento de um primeiro segmento vazio na esquerda seguido de dois segmentos de
trinca à direita, conforme mostra a Figura - 17. Logo a massa desse segmento será então (1
24
− p)p2. Veja que existem outros segmentos com esta mesma massa que podem ser contados
por análise combinatória.
Por exemplo, o segmento 6 cuja representação binária é 110. Na verdade, para n =
3 há 3 segmentos com a massa p(1 − p )2.
Therefore, in this way, using genetic algorithm, it is possible reconstruct a bone in
computer simulation.
4.3 – Dimensão de Capacidade de uma Célula
Portanto, a probabilidade p local de que uma célula contenha uma fração de
/o nN N pontos é dada por:
o o
n n
N lpN l
( 30)
Onde é o tamanho da caixa. Logo a probabilidade de em uma célula aparecer um pixel
vazio é dada por:
1 1 1o o
n n
N lq pN l
( 31)
Em geral um segmento de trinca cuja representação binária tenha u zeros tem
massa
1 nN uuk p p ( 32)
e existem
!
! !n
n
N nu N uu
( 33)
segmentos de trinca com esta mesma massa.
È necessário somar sobre todas as fatias para obter a massa todas das fatias
0 0
! 1! !
nN N
N un uk
nu r
N n p pu N uu
( 34)
Esta descrição matemática combinatorial dos trabéculos podem ser usados para obter uma
análise do espectro multifractal do osso.
25
4.4 - Discretização de um Osso pelo Método das Fatias
Sabemos que uma linha fractal qualquer, correspondente ao excesso de uma reta e
à falta de um plano. Como em cada fatia, o número de caixas preenchidas é análogo ao fractal
de Cantor. Logo, se considerarmos uma fatia como sendo um segmento de reta, e as suas
caixas como sendo pontos, vemos que na intersecção com a estrutura trabecula, a fatia excede
a um ponto, mas falta para uma linha reta. Pois, mais de uma caixa está preenchida, contudo a
fatia não está totalmente preenchida. Isto nos permite escrever o número de células nas
direções x e y, que interceptam a curva em uma fatia horizontal e vertical respectivamente,
como sendo:
Vamos fatiar a malha de tal forma que obtenhamos várias fatias correspondentes a
uma linha fractal análogas a um fractal de Cantor, porém com distribuição irregular de
segmentos. A estrutura trabecula pode ser discretizada nas direções x e y por fatias de
tamanhos ,o nL l na horizontal e por fatias de tamanho ,n oh H na vertical conforme
mostra a Figura - 18.
Figura - 18. Discretização de uma curva fractal por meio de fatias horizontais e verticais.
Na iteração n, para cada fatia horizontal da malha, temos um numero de células
igual a:
26
oHn
n
LNl
( 35)
e, para cada fatia vertical da malha, temos o número de células a:
oVn
n
HNh
. ( 36)
Portanto, a toda a malha terá um número total de:
.nT Hn VnN N N ( 37)
células contidas nesta malha.
4.4.1 - Monofractalidade das Fatias Horizontais e Verticais
Vamos supor agora, que os expoentes xi podem ser considerados um único
expoente, porque a curva é monofractal, da mesma forma yj, temos, portanto,
10; xxxi (38)
e
10; yyyj (39)
Sendo um comportamento auto-afim, temos,
yx (40)
O número de células na direção x, que interceptam a curva em uma fatia
horizontal qualquer pode ser escrito como:
10
xi
o
oHi
xi
lLn
, (41)
where xi is a fractional exponent extracted directly from the fractal analysis of the image, in
analogue way to fractal dimension for the horizontal slice.
Porém na direção y, o número de células que interceptarem a curva em uma fatia
vertical qualquer é único e pode ser escrito como:
27
10
yi
o
oVj
yi
hHn
, (42)
where yi is a fractional exponent extracted directly from the fractal analysis of the image, in
analogue way to fractal dimension for the vertical slice.
4.4.2 – Multifractalidade das Fatias Horizontais e Verticais
Vamos supor agora, que os expoentes xi são diferentes para cada fatia, porque a
curva é multifractal, da mesma forma yj, temos, portanto,
0 1 ; 1, 2,...,xl
o oHl xl
n n
L Hn ll h
( 43)
where xi is a fractional exponent extracted directly from the fractal analysis of the image, in
analogue way to fractal dimension for the horizontal slice.
0 1 ; 1, 2,...,ym
o oVm ym
n n
H Ln m
h l
( 44)
where yi is a fractional exponent extracted directly from the fractal analysis of the image, in
analogue way to fractal dimension for the vertical slice.
Logo
1
xloHn Hl
n
LN nl
( 45)
Ou e
1
ymoVn Vm
n
HN nh
( 46)
Pois é sempre possível encontrar expoentes ,xl ym que satisfaçam as relações acima. A
partir de ( 9) e ( 10) temos:
28
1
xl noHn Hl
n
LN n al
( 47)
e
1
ym noVn Vm
n
HN n bh
( 48)
Logo
xlnHln a ( 49)
e
ymnVmn b ( 50)
Portanto, o número total de células na malha é dado por:
11
. ymxlnT Hn Vn Hl VmN N N n n
( 51)
Figura - 19. Contagem das estruturas trabeculares usando o método das fatias.
29
4.5 - Discretização de um Osso pelo Método das Projeções Ortogonais
Para se obter as projeções das curvas fractais sobre os eixos ortogonais é preciso
somar todas as possíveis fatias do item anterior, sobre todo intervalo da curva, tanto na
horizontal quanto na vertical, dentro da grade de tamanho (Lo,Ho).
Observe que como obrigatoriamente o número de fatias cobre todo o objeto
(Figura - 18) no intervalo de grade de tamanho (Lo,Ho). Logo, o número total de células que
interceptam o objeto, contados na horizontal deve ser igual ao número de células que
interceptam o objeto na vertical, o que leva à relação
NTH = NTV, (52)
4.5.1 - Monofractalidade das Projeções Ortogonais
Analogamente para monofractais, somando-se sobre todas as possíveis fatias tanto
na horizontal quanto na vertical dentro da grade de tamanho (Lo,Ho), temos que o número total
de fatias na horizontal e na vertical são dados respectivamente por:
xoo xoo
o
o
o
ohH
i o
ohH
iHiTH l
LhH
lLnN
/
1
/
1, (53)
yoo yoo
o
o
o
olL
j o
olL
jViTV h
HlL
hHnN
/
1
/
1
, (54)
Analogamente ao caso anterior temos:
NTH =NTV, (55)
Logo o número total, neste caso, é dado por:
yx
o
o
o
o
o
o
o
o
hH
lL
lL
hH
, (56)
O que dá a seguinte relação entre as escalas horizontais e verticais
11
yx
o
o
o
o
hH
lL
, (57)
30
Para o caso de monofractal esta é a relação necessária para se utilizar nas
equações de escalonamento de comprimentos, áreas e no volume trabecular dada em (29).
4.5.2 - Multifractalidade das Projeções Ortogonais
Para o caso multifractal teremos que o número total de fatias na horizontal e na
vertical são dados respectivamente por:
oo xioo hH
i o
ohH
iHiTH l
LnN/
1
/
1
, (58)
oo yjoo lL
j o
olL
jVjTV h
HnN/
1
/
1
, (59)
logo
oooo hH
jVj
hH
iHiTH nnN
/
1
/
1
, (60)
Ou
oo yjoo xi lL
j o
ohH
i o
o
hH
lL /
1
/
1
, (61)
Para o caso de multifractal esta é a relação necessária para se utilizar nas equações
de escalonamento de comprimentos, áreas e no volume trabecular dada em (29).
a) Contagem dos Trabéculos na Horizontal
Contando-se as estruturas dentro de cada fatia horizontal temos:
0 1xi
oHi xi
o
Lnl
, ( 62)
Portanto varrendo todo a area ou volume da regiào analisada temos:
/ /
1 1
yj yo o o oL l L l
o o oTV Vj
j j o o o
H L HN nh l h
, ( 63)
31
b) Contagem dos Trabéculos na Vertical
Contando-se as estruturas dentro de cada fatia vertical temos:
0 1yi
oVj yi
o
Hnh
, ( 64)
Portanto varrendo todo a area ou volume da regiào analisada temos:
/ /
1 1
x xo o o oH h H h
o o oTH Hi
i i o o o
L H LN nl h l
, ( 65)
c) Contagem Total dos Trabéculos no Volume
Sabemos que as duas contagens anteriores (horizontal e vertical em 2D e uma
terceira para o modelo em 3D) devem apresentar o mesmo resultado, logo podemos igualar
esses valores obtendo
/ /
1 1
o o o oH h H h
TH Hi Vj TVi j
N n n N
, ( 66)
De onde facilmente se extrai o número total das estruturas irregulares, obtendo
x y
o o o o
o o o o
H L L HNh l l h
, ( 67)
Para o caso de monofractal esta é a relação necessária para se utilizar nas
equações de escalonamento de comprimentos, áreas e no volume trabecular dada em (29).
d) Autosimilaridade da Contagem
Por uma questão de simplicidade podemos considerer que as estruturas nao
apresentam direçào preferencial, são auto-similares, logo podemos fazer:
o o o oH L e h l , ( 68)
E portanto,
1
o
o
LNl
, ( 69)
32
Para o caso de monofractal esta é a relação necessária para se utilizar nas
equações de escalonamento de comprimentos, áreas e no volume trabecular dada em (29).
4.6 - Escalonamento Fractal do Volume Ósseo
Partindo do volume unitário considerado no modelo geométrico
2 14oV Nl
, ( 70)
O Volume Real da Massa Óssea pode escrito substituindo ( 69) em ( 70) e obtendo:
12 1
4o
oo
LV ll
, ( 71)
Podemos ainda escrever este volume real em termos do volume aparente dado por:
2o oV L , ( 72)
e obter
12
2 14
o oo
o o
V LV lL l
, ( 73)
ou
12
2 14
o oo
o o
l LV VL l
, ( 74)
Portanto,
1
14
oo
o
LV Vl
, ( 75)
Esta é a equação que segundo o modelo monofractal proposto descreve o volume ósseo real
das estruturas irregulares das trabéculas em uma região de observação delimitada por um
volume aparente 2o oV L .
4.7 - Taxa de Perda Óssea
Para se obster um formulação matemática para a perda ou ganho ósseo em funçào
do tempo basta derivar o resultado anterior em relação ao tempo e obter:
33
2 11(1 ) 1
4o o
oo
L dVdV Vdt l dt
, ( 76)
Multiplicando tudo pela densidade óssea temos:
2 11(1 ) 1
4o o
oo
L dVdm Vdt l dt
, ( 77)
Note que a taxa de perda óssea pode ser calculada em termos da taxa de variação do volume
aparente do osso.
4.8– Variação da Densidade Óssea
Sabendo que temos:
dM dV , ( 78)
Considerando que uma mesma massa óssea é analisada temos;
odM dM , ( 79)
logo
o odV dV , ( 80)
então
oo
dVdV
, ( 81)
A partir de Erro! Fonte de referência não encontrada. temos que:
12
214
o o
o o o
l LdVdV L l
, ( 82)
Portanto,
14
4o
oo
Ll
, ( 83)
Note que a densidade óssea real pode ser calculada em termos da densidade aparente do osso.
34
4.9 – Taxa de Remodelação Óssea
Sabendo que:
oo
o
MV
, ( 84)
Considerando que uma mesmo volume ósseo é analisada temos;
1 2o oV V , ( 85)
Logo
1 2
1 2
o o
o o
M M
, ( 86)
A partir de Erro! Fonte de referência não encontrada. temos que:
1
14
oo
o
LV Vl
, ( 87)
Logo
1 21 1
1 21 2
4 44 4
o o
o o
L LV Vl l
, ( 88)
e
1 21 1
1 21 2
o o
o o
L LV Vl l
, ( 89)
Multiplicando tudo por temos:
1 21 1
1 21 2
o o
o o
L LV Vl l
, ( 90)
Todos esses os resultados desses cálculos são equações matemáticas que podem
representar as características de uma estrutura trabecular de acordo com os modelos
monofractal e multifractal. O que resta é sua aplicação na pratica para verificação de sua
validade na caracterização geométrica e física dos processos que acontecem na matriz ósssea
nos fenômenos de osteoporose e healing.
35
5 - Materiais e Métodos
Tomando como base as seguintes figuras obtidas em uma análise microscópica de
uma estrutura trabecular, conforme mostrado na Figura - 20 vamos utilizar o método da
contagem de caixas (Box-Counting) para analisar esssas estruturas.
Para esta primeira análise vamos utilizar o software fractal vision para se obter a
dimensão fractal desssas estruturas.
Figura - 20. Mudança da forma da estrutura trabecular com o teor de cácio em um caso de osteoporose.
Vamos utilizar a análise microscópica mostrada na Figura - 21 para aplicar a
técnica de contagem Box-Counting com redução da malha pela metade a cada contagem.
Figura - 21. Estrutura trabecular em duas condições de calcificação diferentes
36
Figura - 22. Contagem de caixas utilizando uma malha de tamanho .
Figura - 23. Contagem de caixas utilizando uma malha de tamanho /2.
Figura - 24. Contagem de caixas utilizando uma malha de tamanho /4.
37
6 - Resultados e Discussão
Nesta secção descrevemos a caracterização fractal de algumas estruturas ósseas
para verificação dos modelos apresentados no item 5.0 desse artigo.
6.1 – Medidas das Dimensões Fractais das Matrizes Óssseas
Aplicando-se o método Box-Counting ao caso mostrado na Figura - 20
obteve-se os resultados mostrados na Tabela - I e Tabela - II
Tabela - I. Medidas Fractais do Caso - 1
Tamanho de Caixa Dimensão Fractal Numero de Estruturas Normal - 1 Osteoporótico - 1 Normal - 1 Osteoporótico - 2
2 1,705463 1,355219 2,55835949 3,26133581 4 1,602282 1,128430 4,77950099 9,21870435 6 1,600730 1,225713 8,99062955 17,6039469 8 1,863938 1,269649 14,0154581 48,2284988
Tabela - II. Medidas Fractais do Caso - 2
Tamanho de Caixa Dimensão Fractal Numero de Estruturas Normal - 2 Osteoporótico - 2 Normal - 2 Osteoporótico - 2
2 1,5483350 1,80088 2,9247940 3,4843366 4 1,3984410 1,7444 6,9493691 11,2262485 6 1,2724950 1,81622 9,7767290 25,8996945 8 1,3314510 1,8006 15,9374952 42,2773194
Método Box-Counting
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10escala
Num
ero
de E
stru
tura
s Normal 1Osteo 1Normal 2Osteo 2
Figura - 25. Variação da Dimensão fractal com a escala de medida
38
Graficando-se a contagem de caixas obtidas nas estruturas analizadas temos os
resultados mostrados nas Figura - 25 e Figura - 26.
Método Box-Counting
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 2 4 6 8 10Escala
Dim
ensã
o Fr
acta
l
Osso Poro1Osso Normal1Osso Normal2Osso Poro2
Figura - 26. Variação da Dimensão fractal com a escala de medida
6.2 - Variação do Volume com o tamanhos dos vazios
Calculando-se a variação do volume ósseo com o comprimento aparente, L0 temos
o resultado mostrado na Figura - 26.
Figura - 27. Gráfico do Volume Ósseo Efetivo
Analisando-se a fração volumétrica dos ossos em função do tamanho dos vazuos
observados temos o gráfico da Figura - 28.
39
Figura - 28. Variação do Volume com o tamanhos dos vazios
As análises forneceram uma equação de volume dada por: 1
14
oo
o
lV VL
, ( 91)
Onde a dimensão fractal dos ossos analisados tiveram um valor de:
1 1,17D , ( 92)
7 - Conclusões
A remodelação óssea é um processo extremamente complexo e difícil de ser
entendido. Referenciar esse processo com medições geométricas capazes de visualizar e
identificar as irregularidades das trabéculas ósseas pode ser uma forma de simplificar esse
processo para facilitar as análises.
Resultados obtidos até o presente momento mostram que a variação da
irregularidade das imagens, sempre está relacionada com um processo externo. No caso das
imagens mostradas na Figura - 22, Figura - 23 e Figura - 24, o processo para a “perda” óssea
na geração das figuras foi uma simples modificação no nível de precisão de um algoritmo de
rastreio de imagem bitmap.
Concluímos que há uma relação direta entre as Grandezas Fractais e os Potencias
Termodinâmicos, porque todas as grandezas Extensivas e Intensivas que dependem da
geometria óssea podem utilizar a relação de Volume Ósseo nos modelos.
40
Portanto, a modelagem e a caracterização geométrica fractal podem fornecem
informações importantes a serem utilizados nos modelos de Remodelação Óssea,
Osseointegração, Fratura Óssea, e fenômenos de evolução dinâmica que podem utilizar a
derivada do volume ósseo no tempo
Em próximas análises serão feitas varreduras e verificações sobre imagens de
tomografia para a tentativa de se observar esse parâmetro de variação da remodelação e tentar
identificá-lo junto à teoria de fractais.
8 - Bibliografia
MARINHO, R. M. Climatério. Rio de Janeiro: MEDSI Editora Médica e Científica, Ltda, 1995. FAVUS, M. J. Primer on Metabolic Bone Diseases and Disorders of Mineral Metabolism. 2nd edition. New York: Raven Press, 1993. ALVES, L. M. “, Tese Doutorado, CESEC-PPGMNE-UFPR 2011.
MANDELBROT, B. B., Fractal: form chance and dimension, Freeman, San Francisco, 1977.
MANDELBROT, B. B., The Fractal Geometry of Nature, Freeman, San Francisco - New York 1982.
KROLL, Martin H. Parathyroid Hormone Temporal Effects on Bone Formation and Resorption. Bulletin of Mathematical Biology, 2000; 62, 163–187.
VERNA, C., Melsen B. Tissue reaction to orthodontic tooth movement turnover conditions. Ortho Cranofacial Res 6, 2003; 155-163.
M. B. HECKE, F. V. Tormena, L. A. Farani, L. M. R. Carvalho, Nestor Zouain e J. A. Simões. A scalar damage-remodelling bone models derived from thermodynamics pseudo-potentials, 2008.
LEMAIRE, V. et al. Modeling the interactions between osteoblast and osteoclast activities in bone remodelling. Journal of Theoretical Biology 229, 2004; 293, 309.
http://pt.wikipedia.org/wiki/PTH http://pt.wikipedia.org/wiki/Gl%C3%A2ndulas_paratire%C3%B3ideas
http://en.wikipedia.org/wiki/Runge-Kutta_methods
