24
Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças essenciais entre as teorias de Mindlin e Kirchhoff e as chamadas Teorias não lineares.

Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças essenciais entre as teorias de Mindlin e Kirchhoff e as chamadas Teorias não lineares.

Page 2: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

2

Page 3: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

3

Hipóteses de Reissner-Mindlin

(i) A superfície média é plana e indeformável ou seja as deformações no plano médio.

(ii) Os pontos pertencentes à normal ao plano médio da placa antes da deformação permanecem numa direcção linear mas não necessariamente na normal à superfície média flectida.

(iii)A tensão na direcção normal ao plano médio, 33 é irrelevante quando comparada com as tensões 11 e 22.

Page 4: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

4

Placas de Mindlin

Tensor das Tensões

02313

232212

131211

ij

0xpara0 3122211

033

Page 5: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

5

Placas de Mindlin

e P

P' e

x 1

1

1 3 1

2 3 2

3 1 2

u - x θu = - x θu ω x ,x

Vector Deslocamentos

Generalizados

Page 6: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

6

Placas de Mindlin

Deformações Calculadas a partir dos Deslocamentos

13

111

222 3

212

1 23 3

2 1

∂ θ- x ∂ xε∂ θε = - x ∂ x

∂ θ ∂ θ- x -x∂ x ∂ x

1113

232

2

∂ ω-θ +∂ x= ∂ ω-θ +∂ x

Page 7: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

7

Placas de Mindlin

A lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos, estabelece uma relação entre as tensões e deformações

11 11

22 22

12 12

1 01- 1-σ εE 1σ = 0 ε1- 1-1+σ ε10 0 2

13 13

23 23

σ 1 0E=σ 0 12.0 1+

Page 8: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

8

Placas de Mindlin

Relações Tensões - Deslocamentos Generalizados

2

2

1

13211 xx

x1

E

1

1

2

23222 xx

x1

E

1

2

2

1312 xx

x12E

1

113 x12E

2

223 x12E

Page 9: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

9

Placas de Mindlin

O x2

x3x1

1122 21

33112/e

2/e11 dxxM

33222/e

2/e22 dxxM

33122/e

2/e12 dxxM

3232/e

2/e23132/e

2/e1 dxTedxT

Page 10: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

10

Placas de Mindlin

Relações Momentos e Esforços e Deslocamentos Generalizados

2

2

1

111 xx

DM

1

1

2

222 xx

DM

12

112 x

2x

D2

1M

2

1'

2

1

1001

GTT

22

11

2

1

x

x

10.2/EeG '

Page 11: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

11

Placas de Mindlin

x1

x2

x3

T1

T2

M12

M21

M11

M22

M11

1

M221

M121

M211 T2

1

T11

A

B C

C

Esforços Unitários

Page 12: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

12

Placas de Mindlin

dVT ijijV

Trabalho Virtual realizado pelas Deformações Virtuais ij

23

2

2

1

1

1

22

23

1

1

2

2

1

12

2/e2/eS x

xxx1Ex

xxx1E

11

11

23

1

2

2

1

1

2

2

1

xx12Ex

xxxx12E

32

22

2 dxdSxx12

E

Page 13: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

13

Placas de Mindlin

Integrando ao longo da espessura obtém-se

dSxx

Mx

Mx

MT1

2

2

112

2

222

1

111S

+ dSx

Tx

T2

221

11S

Page 14: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

14

Placas de Mindlin

21

121

2

122

2

221

1

11S x

Mx

Mx

Mx

MT

dSxT

xT

TT2

2

1

12211

dLcosMsenMsenMcosM 212112222111L

dLsenTcosT 21L

Aplicando o Teorema de Green, obtém-se

Page 15: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

15

Placas de Mindlin

Tendo em conta que sencos sn1

cossen sn2

cossenM2senMcosMM 122

222

11n

22122211t sencosMcossenMMM

senTcosTT 21

Page 16: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

16

Placas de Mindlin

O Trabalho virtual toma a forma

21

121

2

122

2

221

1

11S x

Mx

Mx

Mx

MT

dSxT

xT

TT2

2

1

12211

dLTdLMM LssnnL

Page 17: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

17

Placas de Mindlin

O trabalho realizado pelas forças exteriores

dspW s

Note-se que o Teorema dos trabalhos virtuais obriga a que seja:

T W 0

Ver como se obtêm as Equações de Equilíbrio

Page 18: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

18

Placas de Mindlin

Equações de Equilíbrio

12

12

1

11 Tx

Mx

M

21

12

2

22 Tx

Mx

M

212

2

1

1 x,xpxT

xT

Page 19: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

19

Placas de Mindlin Solução de Navier

1x

1x

Placas Simplesmente Apoiadas

21mn,1n,m

xsenxsenW

21mn,1n,m

1 xsenxcosX

21mn,1n,m

2 xcosxsenY

Admite-se uma solução do tipo série dupla de Fourier

a

b

2x

sendo = 2m/a e = 2n/b.

Page 20: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

20

Placas de Mindlin Solução de Navier

No caso de se admitir que a função de carga pode ser representada por um desenvolvimento em série dupla de Fourier do seguinte modo:

21mn,1n,m

xsenxsenPy,xp

2121

21

b

0

a

0mn dxdx

bxn

senaxm

senx,xpab4P

Os Coeficientes Pmn são determinados pela equação

Page 21: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

21

Placas de MindlinSolução de Navier

As equações de Equilíbrio tomam a forma

2 2mn mn mn mn mn

1 1D X Y X G W X 02 2

2 2mn mn mn mn mn

1 1D X Y Y G W X 02 2

2 2mn mn mn mn mnG W W X Y P 0

Page 22: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

22

Placas de MindlinSolução de Navier

A este sistema de equações pode dar-se a forma matricial seguinte:

mnmn

mn

mn

333231

232221

131211

P00

WYX

CCCCCCCCC

2233

2222

2211 GC;G

21

DDC;G2

1DDC

GCC;GCC;2

1DCC 322331132112

Page 23: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

23

Placas de MindlinSolução de Navier

A solução do sistema de equações toma então a forma seguinte:

mn

1

mn

mn

mn

P00

CWYX

Page 24: Abril Placas e Cascas 8ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças

Abril Placas e Cascas8ªAula

24

Placas de MindlinSolução de Navier

21mnmn1n1m

11 xsenxsenYXDM

Os esforços são

21mnmn1n1m

22 xsenxsenXYDM

21mnmn1n1m

2112 xcosxcosYX2

1DMM

21mnmn1n1m

1 xsenxcosXWGT

21mnmn1n1m

2 xcosxsenYWGT