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Acadêmico(a) __________________________________________________________

Turma: _______________________________________________________________

Capítulo 5: Trigonometria

5.1. Triangulo Retângulo

Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto)

Figura 1: Ângulos e catetos de um triangulo retângulo.

Os catetos são denominados oposto ou adjacente, de acordo com a sua posição

em relação a um dado ângulo do triângulo retângulo: se o cateto está junto ao ângulo de

referência, é chamado adjacente; se está oposto a este ângulo, é chamado oposto.

5.1.1. Relações trigonométricas no triângulo retângulo:

Figura 2. Exemplo de relações trigonométricas.

2

A divisão entre o cateto oposto de um ângulo em relação a sua hipotenusa é

igual ao seno desse ângulo, logo:

𝑠𝑒𝑛 𝑎 =𝐵𝐶

𝐴𝐵 Equação 1

Para os demais triângulos: 𝑠𝑒𝑛 𝑎 =𝐷𝐸

𝐴𝐷=

𝐹𝐺

𝐴𝐹

Logo:

𝐵𝐶

𝐴𝐵=

𝐷𝐸

𝐴𝐷=

𝐹𝐺

𝐴𝐹

Já a divisão do cateto adjacente de um ângulo em relação a hipotenusa é igual ao

cosseno do ângulo:

cos 𝑎 =𝐴𝐶

𝐵𝐴 Equação 2

Assim:

𝐴𝐶

𝐵𝐴=

𝐴𝐸

𝐷𝐴=

𝐴𝐺

𝐹𝐴

E por último, tem –se a tangente que é a divisão entra o cateto oposto e o cateto

adjacente:

tan 𝑎 =𝐵𝐶

𝐴𝐶 Equação 3

Logo:

𝐵𝐶

𝐶𝐴=

𝐷𝐸

𝐸𝐴=

𝐹𝐺

𝐺𝐴

3

5.1.2 Demais relações:

A secante de α representa o inverso do cosseno de α.

sec 𝑎 =1

cos 𝑎 Equação 4

A cossecante de α representa o inverso do seno de α.

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑎 =1

𝑠𝑒𝑛 𝑎 Equação 5

A cotangente de α representa o inverso da tangente de α.

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑎 =1

tan 𝑎 Equação 6

5.1.3 Relações entre seno, cosseno e tangente:

Sabe-se que 𝛼 + 𝛽 = 90ᵒ, logo:

𝑠𝑒𝑛 𝑎 =𝐵𝐶

𝐴𝐵= cos 𝛽;

cos 𝑎 =𝐴𝐶

𝐴𝐵= 𝑠𝑒𝑛 𝛽;

tan 𝑎 =𝐴𝐵

𝐶𝐴=

1

tan 𝛽;

tan 𝑎 =𝑠𝑒𝑛 𝑎

cos 𝑎

5.1.4 Relação fundamental da trigonometria:

𝑠𝑒𝑛2 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 = 1

Lembrando que: 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 (Teorema de Pitágoras)

Ângulos notáveis:

30ᵒ 45ᵒ 60ᵒ

Sen 1

2 √2

2

√3

2

Cos √3

2

√2

2

1

2

Tan √3

3

1 √3

4

5.2. Ciclo trigonométrico

Define-se como 1 (um) grau a medida do ângulo central cujo arco

correspondente representa 1

360 partes da circunferência.

Exemplo:

Figura 3. Representação do clico trigonométrico.

O comprimento do arco AB indica que 60

360 partes de uma circunferência, sendo

que o ângulo central corresponde a 60ᵒ.

O comprimento do arco AB é igual à medida do raio da circunferência. Conclui-

se, pela definição acima, que o ângulo central em radiano representa a razão entre o

comprimento de seu arco correspondente e a medida do raio.

𝑎 =𝑐𝑜𝑚𝑝(𝐴𝐵)

𝑅

5.2.1 Elementos do ciclo trigonométrico:

Figura 4. Representação do ciclo trigonométrico com ângulos de 0, 90º, 180º, 270º e

360º.

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1º quadrante: arcos entre 0º e 90º, 0 e π

2, medidos a partir da origem.

2º quadrante: arcos entre 90º e 180º, π

2 e π, medidos a partir da origem.

3º Quadrante: arcos entre 180º e 270º, π e 3π

2, medidos a partir da origem.

4º Quadrante: arcos entre 270º e 360º, 3π

2 e 2 π, medidos a partir da origem.

5.2.2. Arcos côngruos:

Arcos côngruos são os arcos cujas extremidades são coincidentes, quer sejam

tomadas no sentido anti-horário como no sentido horário.

De forma geral:

𝑥 = 𝑎 + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ 𝑍

Em que:

x: é a medida real de qualquer uma das medidas dos arcos côngruos.

: é a primeira medida não negativa dos arcos côngruos.

k: é um contador inteiro de razões.

r: é a razão, ou seja, a distância entre duas medidas consecutivas da sequência dos arcos

côngruos.

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5.3 Função Seno

Define-se como seno do arco AP (indicado por sen α) a medida algébrica do

segmento OP’, em que P’ é a projeção ortogonal do ponto P no eixo vertical. O eixo

vertical será chamado de eixo dos senos.

Figura 5. Representação da função seno no ciclo trigonométrico.

Logo: 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑂𝑃′

Propriedades da função seno:

1) Os valores máximo e mínimo da função seno são, respectivamente, iguais a 1 e –1.

2) A função seno é positiva no 1º e 2º quadrante e negativa no 3º e 4º quadrante.

3) A função seno e periódica de período igual a 2π.

Gráfico da função seno:

Figura 6. Gráfico de função seno.

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5.4 Função cosseno

Define-se como cosseno do arco AP (indicado por cosα) a medida algébrica do

segmento OP’’, em que P’’ é a projeção ortogonal do P no eixo horizontal. O eixo

horizontal será chamado de eixo dos cossenos.

Figura 6. Representação do cosseno no ciclo trigonométrico.

Logo: cos 𝑎 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑂𝑃′′

Propriedades da função cosseno:

1) Os valores máximo e mínimo da função cosseno são, respectivamente, 1 e – 1.

2) A função cosseno é positiva no 1º e 4ºquadrante e negativa no 2º e 3º quadrante.

3) A função cosseno é periódica de período igual a 2π.

Gráfico da função cosseno:

Figura 7. Gráfico da função cosseno.

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5.5 Função tangente

Define-se como tangente do arco AP (indicado por tan α) a medida algébrica do

segmento AT, em que T é o ponto de intersecção da reta suporte do raio OP com a reta

t. O eixo t será chamado de eixo das tangentes.

Figura 8. Representação da tangente no ciclo trigonométrico

Logo: tan 𝑎 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 𝐴𝑇.

Propriedades da função tangente:

1) A tangente é positiva nos quadrantes 1º e 3º e negativa no 2º e 4º quadrante.

2) O período da função tangente é π.

3) A imagem da função tangente é o conjunto dos reais.

Gráfico da função tangente:

Figura 9. Gráfico da função tangente

9

5.6 Redução ao 1ᵒ quadrante:

Reduzir um arco do 2º, 3º ou 4º Quadrante ao 1º Quadrante, é obter um novo

arco, entre 0º e 90º (1ºQ), que possui os mesmos valores para as funções

trigonométricas que o arco dado ao mesmo sinal.

Arco no segundo quadrante: Quanto falta

para 180ᵒ e verificar o sinal da função.

Arco no terceiro quadrante: Quanto

passa de 180ᵒ e verificar o sinal da função.

Arco no quarto quadrante:

Quanto falta para 360ᵒ e verificar sinal.

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5.7 Relações fundamentais auxiliares:

𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 → cos2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − cos2 𝑥

cotan 𝑥 =1

tan 𝑥=

cos 𝑥

sen 𝑥

sec 𝑥 =1

cos 𝑥

cossec 𝑥 =1

sen 𝑥

sec2 𝑥 = 1 − tan2 𝑥

cossec2𝑥 = 1 − cotan2𝑥

tan 𝑎 = cotan 𝛽

sec 𝑎 = cossec 𝛽

sen 2𝑎 = 2 sen 𝑎 ∗ cos 𝑎

cos 2𝑎 = cos2 𝑎 − sen2𝑎

tan 2𝑎 =2 tan 𝑎

1 − tan2 𝑎

cos 2𝑎 = 1 − sen2𝑎 ou 2 cos2 𝑎 − 1

5.8 Soma e diferença de arcos:

sen (𝑎 + 𝛽) = sen 𝑎 ∗ cos 𝛽 + sen 𝛽 ∗ cos 𝑎

sen (𝑎 − 𝛽) = sen 𝑎 ∗ cos 𝛽 − sen 𝛽 ∗ cos 𝑎

cos(𝑎 + 𝛽) = cos 𝑎 ∗ cos 𝛽 − sen 𝛽 sen 𝑎

cos(𝑎 − 𝛽) = cos 𝑎 ∗ cos 𝛽 + sen 𝛽 sen 𝑎

tan(𝑎 + 𝛽) =tan 𝑎 + tan 𝛽

1 − tan 𝑎 ∗ tan 𝛽

tan(𝑎 − 𝛽) =tan 𝑎 − tan 𝛽

1 + tan 𝑎 ∗ tan 𝛽

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Lista de Exercícios – Trigonometria

1. Qual o valor de x para a figura abaixo?

2. Um observador vê um edifício, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60º.

Se ele se afastar do edifício mais 30 m, passará a vê-lo sob ângulo de 45º. Qual a altura

do edifício?

3. (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento

forma um ângulo de 120º com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60m, qual a

distância, em metros, percorrida pelo barco?

4. (UFPA) Num triângulo retângulo ABC tem-se A= 90, AB=45 e BC=6. Pede-se a

tangente do ângulo B.

5. (FAAP-SP) Um arame de 18 metros de comprimento é esticado do nível do solo

(suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo que o ângulo formado pelo

arame com o solo é de 30º, calcule a altura do poste.

6. Converta em radianos:

a) 210ᵒ

b) 270ᵒ

c) 315ᵒ

d) 330ᵒ

e) 15º

f) 12º

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7. Represente no ciclo trigonométrico a imagem de cada número:

a) 3𝜋

4

b) −5𝜋

4

c) −3𝜋

d) 25𝜋

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8. Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 12 horas e 15

minutos?

9. (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50

minutos?

10. Simplifique as expressões:

a) 𝑦 =tan 𝑥

cotan 𝑥∗

cos2 𝑥

sen 𝑥

b) cos2 𝑥−cotan 𝑥

sen2𝑥−tan 𝑥

11. Qual o valor número da expressão abaixo, sabendo que 𝑥 =𝜋

2?

𝑦 = cos 4𝑥 + sen 2𝑥 + tan 2𝑥 − sec 4𝑥

12. Reduza tan 300 º ao primeiro quadrante:

13. (UFPA) Qual a menor determinação positiva de um arco de 1000º?

14. Sendo 𝑥 =𝜋

2, calcule o valor da expressão:

𝑦 =3 cos 𝑥 − 2 sen 𝑥 + tan 2𝑥

tan 𝑥 − 2 sen 𝑥 + cos 4𝑥