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Click to edit Master title style 1 Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número: algumas reflexões Joana Brocardo ESE de Setúbal Seminário final do PFCM Julho 2010

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1

Trabalhar os números racionais

numa perspectiva de

desenvolvimento do sentido de

número: algumas reflexões

Joana Brocardo

ESE de Setúbal

Seminário final do PFCM Julho 2010

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 2

• Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê

Números decimais versus fracções

Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número

• Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento

do sentido de número

Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriado

Princípio 2. desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos

números racionais

Princípio 3. Construir significados e relações

• Nem oito nem oitenta!

Sumário

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê

3

C D U

4 5 1

U d c

7, 4 3

Números decimais versus fracções

- Foco na representação posicional

- Foco no cálculo algorítmico

Naturais e decimais: o mesmo algoritmo

7 2 3 3 1

1 0 3 2 3

1 0

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

- Não usar o algoritmo para calcular 23,5 + 12,5 ou 6 : 15;

- Calcular automaticamente 12 × 0,6 ou 1,25 × 100;

- Não recorrer à calculadora para calcular 123,6 – 103,5 ou

0,75 × 24.

4

Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê

Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número

Ser exigente ao nível do cálculo

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

Valorização da construção do sentido que os números podem

progressivamente ir assumindo para os alunos

5

Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê

- colocar e retirar rótulos (5 lápis mais 2 lápis ou 5 + 2)

3+2+1=

2+2+2=

4+1+1=

3+1+1+1=

Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 6

Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê

Introdução dos vários conjuntos numéricos deve ser cuidadosamente

pensada de acordo com a complexidade dos contextos que permitem

rotular e a complexidade da representação que se introduz.

- Contextos de partilha equitativa e de relação parte-todo mais

acessíveis do que os associados a representação decimal.

- A excepção é o contexto de dinheiro mas que envolve,

habitualmente, números inteiros.

Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número

Valorização da construção do sentido que os números podem

progressivamente ir assumindo para os alunos

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 7

Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê

- Mobilizar o conceito de dobro para calcular 2 4 1 0 – 1 2 0 5 ; 1 – 0 , 5

ou metade de 50%

- Usar as propriedades das operações de forma flexível e produtiva

12 × 13 ou 12,5 × 24 (não usar a calculadora )

- 12 × 13 é igual a 130 + 26, ou seja, 156.

- 12,5 × 24 usar a propriedade associativa (no caso particular da

relação dobro-metade) obtendo 25 × 12 = 50 × 6 = 100 × 3 = 300.

Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número

Foco na construção de relações numéricas

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 8

• Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê

Números decimais versus fracções

Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número

• Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento

do sentido de número

Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos

números racionais

Princípio 3. Construir significados e relações

• Nem oito nem oitenta!

Sumário

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Dobragem de papel

9

Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

(i) ter significado e ser entusiasmante para os alunos que gostam

sempre de dobrar, pintar e cortar;

(ii) permitir lidar a um nível informal com ideias que progressivamente

vão sendo formalizadas.

10

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados

O que torna este contexto um bom exemplo

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 11

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Relação entre o contexto e os modelos não é simples

Outros contextos - Depósito de gasolina

0 10 40

0 14

1

Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados

400 10

0 14

1

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 12

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Outros contextos

Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 13

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Outros contextos

1 kg 100 g 25 g 125 g

20

euros

100% 50% 25% 75%

532 266

Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

- Quando pensamos nos números racionais e na sua aprendizagem

• que ideias globais é fundamental destacar?

• o que poderão ser marcos importantes ao nível da evolução da

sua aprendizagem numa perspectiva de desenvolvimento do

sentido do número?

14

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

Significados das fracções não são tópicos a ensinar

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

“grandes” ideias (Fosnot e Dolk, 2002)

15

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

Números decimais versus fracções

relação parte-todo1

equivalência versus congruência2

relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções3

o todo importa4

relações de relações5

decimais e percentagens – representações equivalentes6

valor de posição7

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

A relação parte-todo está no centro da compreensão do que é

uma fracção

16

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Relação parte-todo1

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 17

Relação parte-todo1

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Observa a embalagem de bolas de 2 cores. Completa a

etiqueta de modo que ela represente, relativamente ao

total de bolas, a parte de bolas brancas e a parte de

bolas amarelas.

Quantas bolas brancas e amarelas poderá

ter uma embalagem que tem a seguinte

etiqueta:

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 18

Relação parte-todo1

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Resposta de Francisco e Gustavo

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

As partes de um mesmo todo não precisam de ser congruentes

19

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Equivalência versus congruência2

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)

20

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

Números decimais versus fracções

relação parte-todo1

equivalência versus congruência2

relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções3

o todo importa4

relações de relações5

decimais e percentagens – representações equivalentes6

valor de posição7

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

O todo importa pois as fracções são relações

21

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

O todo importa4

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)

22

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

Números decimais versus fracções

relação parte-todo1

equivalência versus congruência2

relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções3

o todo importa4

relações de relações5

decimais e percentagens – representações equivalentes6

valor de posição7

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)

23

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

Números decimais versus fracções

relação parte-todo1

equivalência versus congruência2

relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções3

o todo importa4

relações de relações5

decimais e percentagens – representações equivalentes6

valor de posição7

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)

24

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números

racionais

Números decimais versus fracções

relação parte-todo1

equivalência versus congruência2

relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções3

o todo importa4

relações de relações5

decimais e percentagens – representações equivalentes6

valor de posição7

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

- „Desestabilização‟ provocada

pelos „novos‟ números

- Atenção ao „prolongamento‟

indevido de regras

25

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 3. Construir significados e relações

1/2 + 1/3 ≠ 2/5 (Fosnot e Dolk, 2002)

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

- Saber operar com os naturais, fraccionários ou decimais é

importante. Mas é-o porque isso é necessário para resolver

problemas de forma flexível, percebendo relações entre as várias

representações dos números e seleccionando estratégias

adequadas.

26

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 3. Construir significados e relações

Estabelecer relações e significados

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 27

• A Ana convidou 4 amigas para irem almoçar a um

pequeno restaurante no dia dos seus anos. Todas

decidiram escolher o prato do dia. No entanto,

estavam indecisas sobre como encomendar as

doses pois consideram que uma dose dá para duas

pessoas. Que diferentes possibilidades teriam de o

fazer? Qual das possibilidades é mais económica?

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Evolução hipotética de José e Leandra

No 1.º ciclo - Problema das ementas

Princípio 3. Construir significados e relações

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 28

• A Ana convidou 4 amigas para irem

almoçar a um pequeno restaurante no

dia dos seus anos. Todas decidiram

escolher o prato do dia. No entanto,

estavam indecisas sobre como

encomendar as doses pois

consideram que uma dose dá para

duas pessoas. Que diferentes

possibilidades teriam de o fazer? Qual

das possibilidades é mais económica?

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Evolução hipotética de José e Leandra

No 1.º ciclo – Resolução dos alunos

Princípio 3. Construir significados e relações

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

Ainda no 1.º ciclo

- Devem ser capazes de perceber relações entre diferentes

representações numéricas, percebendo que ½ x 5 não representa o

mesmo que 5,50 × 5 pois ½ de uma dose não é o mesmo que o

preço de meia dose.

- ½ x 5 pode representar metade de 5 doses ou de 5 pessoas (o que,

tendo em conta o contexto, não faz sentido) e não o preço de cinco

meias doses.

29

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 3. Construir significados e relações

Evolução hipotética de José e Leandra

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

No 2.º ciclo

- Deverão ter tido oportunidade de aprofundar aspectos centrais

relativos aos números racionais que lhe permitam relacionar, com

sentido, as suas várias representações e ser capazes de

manipulá-las adequadamente na resolução de problemas.

30

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 3. Construir significados e relações

Evolução hipotética de José e Leandra

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

No 2.º ciclo

Devem, por exemplo, compreender que:

- o preço de 0,764 kg de laranjas a 1,40 euros por quilo é

aproximadamente ¾ de 1,40 euros;

- ter um desconto de 25% corresponde a pagar ¾ do preço inicial;

- é mais barato comprar um frasco de compota que pesa 400 gramas e custa 3,80 euros do que um frasco com 300 gramas da mesma compota mas que custa 3 euros;

- numas eleições em que 40 em cada 100 portugueses votou, houve maior percentagem de abstenção do que nas eleições anteriores, em que votaram 5 em cada 9 portugueses.

31

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 3. Construir significados e relações

Evolução hipotética de José e Leandra

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo

- Globalmente, José e Leandra deverão ter tido oportunidade de explorar

problemas matemáticos ricos, lidando e relacionando as diferentes formas

de representar os números racionais.

- A partir de um processo sucessivo de retirar rótulos, deverão saber

comparar e representar números racionais na recta numérica, assim como

calcular o valor de expressões numéricas em situações sem contexto,

estabelecendo relações entre os números nas suas várias representações

e usando o tipo de cálculo que melhor se adequa aos números envolvidos e

suas representações.

32

Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Princípio 3. Construir significados e relações

Evolução hipotética de José e Leandra

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 33

• Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê

Números decimais versus fracções

Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número

• Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento

do sentido de número

Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriado

Princípio 2. desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos

números racionais

Princípio 3. Construir significados e relações

• Nem oito nem oitenta!

Sumário

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 34

Nem oito nem oitenta!

n8n80 O equilíbrio não é fácil.

Sobrevalorização versus subvalorização do cálculo

- Manipulação formal não é importante e os alunos podem sempre usar

a calculadora

- Usar materiais é „bom‟

21

31

32

61

62

63

64

65

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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número

Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 35

Nem oito nem oitenta!

n8n80

- Existem cada vez mais materiais de apoio ao trabalho do

professor com qualidade;

- A introdução do PMEB criou, em algumas escolas, dinâmicas de

trabalho bastante interessantes;

- O Programa de Formação Contínua em Matemática.

O equilíbrio não é fácil.

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36

Trabalhar os números racionais

numa perspectiva de

desenvolvimento do sentido de

número: algumas reflexões

Joana Brocardo

ESE de Setúbal

Seminário final do PFCM Julho 2010