Acção Longitudinal do Vento em Edifícios Altos · 4 Teoria das Probabilidades e Dinâmica estocástica ... as direcções longitudinal, transversal e vertical, de acordo com as

Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas

Disciplina de Estruturas de Edifícios Altos

Apontamentos sobre a

Acção Longitudinal do Vento em Edifícios Altos

Ricardo M. de Matos Camarinha

Junho de 2009

Estes apontamentos, da autoria de Ricardo M. de Matos Camarinha, surgem de um trabalho

contínuo de investigação na área dos Edifícios Altos e procuram dar apoio à disciplina de

Estruturas de Edifícios Altos do Diploma de Formação Avançada em Engenharia Civil do

Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura do Instituto Superior Técnico.

Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas Estruturas de Edifícios Altos

ii Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

Índice

1 Introdução ............................................................................................................................. 1

2 Caracterização do comportamento do vento ......................................................................... 3

2.1 Velocidade média .......................................................................................................... 4

2.2 Parcela aleatória da velocidade ..................................................................................... 5

2.3 Caracterização da Turbulência ...................................................................................... 5

3 Escoamentos em torno de Edifícios ...................................................................................... 7

3.1 Forças resultantes da interacção vento-estrutura ........................................................... 7

3.2 Coeficientes de Força e Pressão .................................................................................... 7

3.3 Características do Escoamento ...................................................................................... 8

3.4 Forças e pressões flutuantes .......................................................................................... 9

3.5 Escoamento Tridimensional .......................................................................................... 9

4 Teoria das Probabilidades e Dinâmica estocástica .............................................................. 11

4.1 Função densidade espectral de um processo estocástico ............................................. 11

4.2 Relação entre as funções densidades espectrais de potência dos processos de acção e

resposta .................................................................................................................................... 12

5 Sistema dinâmico de um grau de liberdade generalizado ................................................... 15

5.1 Descrição do sistema dinâmico ................................................................................... 15

5.2 Expressão geral de resposta de um sistema de um um g.d.l. generalizado ................. 16

5.3 Resposta de uma estrutura de um g.d.l. generalizado a duas forças concentradas,

aleatórias e estacionárias ......................................................................................................... 17

6 Resolução da acção do vento .............................................................................................. 21

6.1 Hipótese Quasi-Estacionária ....................................................................................... 21

6.2 Quantificação de pressões e forças flutuantes num edifício ........................................ 22

6.3 Método DGLF ............................................................................................................. 24

6.4 Método MGLF ............................................................................................................ 30

6.4.1 Algumas notas sobre os modelos quasi-estáticos ................................................ 33

6.5 Outras abordagens ....................................................................................................... 34

6.5.1 Túnel de Vento .................................................................................................... 34

6.5.2 Computação dinâmica de fluidos ........................................................................ 35

7 Análise do vento de acordo com o Eurocódigo ................................................................... 37

7.1 Enquadramento............................................................................................................ 37

7.2 Caracterização do vento em escoamento livre ............................................................ 38

7.2.1 Velocidade básica do vento ................................................................................. 38

7.2.2 Função velocidade média do vento ..................................................................... 38

iii

7.2.3 Intensidade da turbulência do vento .................................................................... 39

7.2.4 Pressão de pico do vento em escoamento livre ................................................... 40

7.3 Caracterização along-wind da acção do vento ............................................................ 40

7.3.1 Definição dos coeficientes de força ..................................................................... 41

7.3.2 Factor de estrutura – structural factor cscd ......................................................... 41

7.3.3 Determinação do factor de fundo - 𝐵2 ................................................................ 42

7.3.4 Determinação do factor de ressonância - 𝑅2 ....................................................... 43

7.3.5 Factor de pico - 𝑘𝑝 .............................................................................................. 44

7.4 Análise dos edifícios em Serviço ................................................................................ 44

7.5 Comparação do EC1 com outras normas mundiais (along-wind) ............................... 46

7.5.1 Velocidade Básica do Vento ............................................................................... 46

7.5.2 Comportamento médio do vento ......................................................................... 47

7.5.3 Intensidade da turbulência ................................................................................... 49

7.5.4 Função espectral do vento, Escalas de Comprimento de Turbulência e Correlação

da estrutura do vento ........................................................................................................... 49

7.5.5 Quantificação da Acção de Rajada do Vento (GLF) ........................................... 50

8 Exemplo de aplicação do Eurocódigo 1.4 ........................................................................... 53

8.1 Caracterização do vento em escoamento livre ............................................................ 53

8.2 Coeficiente de força .................................................................................................... 54

8.3 Factor estrutural – cscd ............................................................................................... 54

8.3.1 Factor de fundo – 𝐵2 ........................................................................................... 54

8.3.2 Factor de Ressonância– 𝑅2 ................................................................................. 55

8.4 Factor de pico .............................................................................................................. 56

8.5 Máxima aceleração na direcção along-wind ............................................................... 56

9 Bibliografia ......................................................................................................................... 59


iv Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

Simbologia

𝑢 - Velocidade instantânea do vento na direcção longitudinal

𝑢 - Parcela média da velocidade do vento

𝑢′ - Parcela flutuante instantânea da velocidade do vento

𝑧 - altura genérica de um ponto ao solo

𝛿 - altura da camada limite ao solo

𝜌 - massa volúmica do ar

𝜏 - tensão de corte na camada de superfície

𝑘 - constante de von Karman

𝑧0 - comprimento de rugosidade do terreno

𝑢∗ - velocidade de fricção

𝜍 - desvio padrão de uma amostra

𝑣 - componente transversal da velocidade instantânea do vento

𝑤 - componente vertical da velocidade instantânea do vento

𝜔 - frequência angular de um sinal de vento

𝑓 - frequência de vibração de um edifício, força flutuante

𝑡 - instante de tempo

𝐶𝑝 - coeficiente de pressão

𝐶𝑓 - coeficiente de força

𝑝 - pressão estática do vento

𝑏, 𝐵 - largura do edifício

𝑕, 𝐻 - altura do edifício

𝑔𝑌 - factor de pico

𝑘𝑃 - factor de pico (Eurocódigo)

𝜑 - função de forma

v

𝑚 - massa do edifício

𝑘 - rigidez do edifício

𝜆 - esbelteza do edifício

휁 - coeficiente de amortecimento do edifício

𝜒 - função de admitância aerodinâmica

𝐻(𝑖𝜔) - função de transferência mecânica

𝜉 - função genérica da resposta de um edifício

𝛼 - expoente da função exponencial da velocidade

𝑅𝑋 - função de autocorrelação de um sinal

𝑆𝑋 - função densidade espectral

𝑇 - tempo de medição das médias da velocidade do vento

𝑅 - factor de resposta de ressonância

𝐵 - factor de resposta de fundo

* Esta secção não se encontra completa (nem ordenada)


Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura 1

1 Introdução

Considere-se o seguinte sistema de um grau de liberdade generalizado submetido à acção de

rajadas de vento com velocidade 𝑢(𝑧, 𝑡).

Figura 1 – Edifício esbelto atacado por rajadas de vento 𝑢(𝑧, 𝑡)

A solução deste problema obriga à contabilização da aleatoriedade da velocidade do escoamento

bem como a indução de efeitos dinâmicos no sistema estrutural. A resolução matemática deste

fenómeno exige o domínio de diversos conceitos de dinâmica estrutural estocástica e da teoria

de probabilidades de variáveis aleatórias.

Procura-se neste documento descrever os conceitos fundamentais e apresentar os principais

métodos desenvolvidos para resolução da acção do vento em edifícios esbeltos. Esta descrição

passa ainda pela abordagem proposta nas actuais normas e regulamentações.

A parte final deste documento é dedicada à resolução de um caso prático com a aplicação do

método proposto no Eurocode 1.4 – Wind action.



2 Caracterização do comportamento do vento

A constante alteração dos factores que originam as movimentações de ar atmosférico, i.e. vento,

provocam uma variação bastante irregular da sua velocidade abaixo da camada limite. A

formação de turbilhões no escoamento provoca flutuações na velocidade.

A irregular ocorrência deste tipo de fenómenos está na origem da sucessiva alteração das

condições de escoamento, que por isso apresenta um comportamento aproximadamente

aleatório. É frequente recorrer-se a conceitos estatísticos para caracterização deste tipo de

escoamentos. Em teoria, o registo da variação de velocidade no tempo é contínuo. Contudo, na

prática, o tratamento computacional estatístico deste registo requer a sua discretização em

pontos finitos.

Figura 2 - (a) Registo da velocidade do vento no tempo (b) Registo da velocidade do vento em altura

O registo da velocidade do vento no domínio do tempo assume de uma forma genérica a forma

apresentada na Figura 2(a). Esta figura demonstra que a velocidade é definida por variações

aleatórias no tempo em torno de um valor médio. No conjunto de normas da FIB, actual CEB,

nomeadamente em (Bulletin D'Information N 209 - Vibration Problems in Structures) é

sugerida uma representação ilustrativa deste fenómeno no domínio da altura. Verifica-se então

que a aleatoriedade do fenómeno se expande do domínio do tempo ao domínio espacial.

Em termos médios, o vento é habitualmente caracterizado por uma velocidade crescente em

altura. No entanto, as flutuações do escoamento conduzem à consideração da sobreposição de

duas componentes, tal como descrito em (2.1).

𝑢(𝑧, 𝑡) = 𝑢 (𝑧) + 𝑢′ (𝑧, 𝑡) (2.1)

A primeira componente de comportamento quasi-estacionário é por isso apenas função da altura

ao solo e denomina-se de velocidade média do vento, 𝑢 . A segunda componente de

comportamento variável é por sua vez função também do tempo e como não contribui para a

média do vento é definida por um processo de média zero, como ilustrado na Figura 2(a). Note-

se que esta componente apesar de irregular no interior da camada limite é eliminada para alturas

tais que 𝑕 > 𝛿, altura para a qual o regime atinge a velocidade geostrófica, 𝑉𝑔𝑟 , em regime

uniforme não perturbado.

u(z,t)

z

vgr

z

u(z)

Velocidade do vento


4 Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

A soma das duas parcelas, 𝑢(𝑧, 𝑡), denomina-se velocidade de rajada. É esta velocidade que

importa caracterizar adequadamente para dimensionamento em estado limite último bem como

de serviço.

2.1 Velocidade média

Historicamente a primeira expressão representativa da componente média do vento 𝑢 (𝑧) sobre

superfície horizontal homogénea foi a lei exponencial, definida em 1916 (Simiu & Scanlan,

1996).

𝑢(𝑧𝑔1) = 𝑢(𝑧𝑔2) 𝑧𝑔1

𝑧𝑔2

𝛼

(2.2)

onde 𝑧𝑔1 e 𝑧𝑔2 são as alturas nos pontos 1 e 2 e 𝑢 as respectivas velocidades médias, e 𝛼 é um

factor que depende da rugosidade do terreno. A power law, termo utilizado nas referências para

esta lei (exponencial), converge com valores constastes de 𝛼 para alturas superiores à espessura

da camada limite 𝛿 , o que implica

𝑢 𝑧𝑔

𝐺=

𝑧𝑔

𝛿

𝛿 (2.3)

Por outro lado, Davenport assume que 𝛼 é função unicamente de 𝛿 , o que resulta numa

aproximação da mecânica do escoamento governada pelas equações da continuidade e da 2ª Lei

de Newton.

Mais recentemente, outro tipo de abordagens que não relacionadas directamente com os

pressupostos supracitados permitiram chegar a outras expressões.

De acordo com (Simiu & Scanlan, 1996), uma abordagem em que se divide a camada limite em

duas regiões, uma camada de superfície e uma camada exterior através de uma análise

adimensional e de algumas simplificações matemáticas permite chegar à Lei Logarítmica

𝑢 𝑧 =1

𝑘𝑢∗ ln

𝑧

𝑧0 (2.4)

𝑢∗ = 𝜏0

𝜌

1/2 (2.5)

Onde 𝑧0 o comprimento de rugosidade, 𝜏0 a tensão de corte na camada de superfície e 𝑘 a

constante de von Karman que assume geralmente o valor de 0,4.

Actualmente, existe um grande número de expressões propostas para a velocidade média do

vento. Os principais regulamentos mundiais adoptam geralmente expressões idênticas que são

individualizadas nos parâmetros característicos da rugosidade do terreno e orientação do vento.



2.2 Parcela aleatória da velocidade

A componente variável da velocidade dada a sua instabilidade com origem na turbulência do

vento é de natureza mais complexa do que a da componente média.

A turbulência é causada essencialmente pela existência de obstáculos naturais e artificiais e é

habitualmente representada em espectros para um largo domínio de frequências.

A velocidade do vento flutua no espaço e no tempo, o mesmo é dizer que num determinado

local é uma função aleatória do tempo e, por outro lado, num dado instante é função aleatória da

posição espacial.

As flutuações de velocidade num escoamento num ponto podem ser consideradas como a

sobreposição de inúmeros turbilhões transportados com a parcela média do vento. Cada

movimento turbilhonar pode ser caracterizado como um movimento periódico com frequência

angular 𝜔 = 2𝜋𝑛, onde 𝑛 representa a sua frequência. Por outro lado, o movimento de um

turbilhão tem um comportamento análogo ao de uma onda. Nestas condições, o comportamento

de onda de um movimento turbilhonar singular é descrito pela seguinte relação 𝜆 = 𝑈𝑛 , onde

𝑈 representa a velocidade do vento e o respectivo número de onda por 𝐾 = 2𝜋𝜆 .

2.3 Caracterização da Turbulência

A intensidade da turbulência é definida pelo rácio do desvio padrão da função velocidade do

vento para cada componente flutuante em relação ao valor médio . Desta forma definem-se para

as direcções longitudinal, transversal e vertical, de acordo com as três direcções do vento, as

seguintes relações

𝐼𝑢 = 𝜍𝑢 𝑈 (2.6)

𝐼𝑣 = 𝜍𝑣 𝑈 (2.7)

𝐼𝑤 = 𝜍𝑤 𝑈 (2.8)

Medições efectuadas junto ao solo permitem verificar que 𝜍𝑢 = 2,5. 𝑢∗, onde 𝑢∗ é definida a

velocidade de fricção. Desta forma pode-se definir a intensidade da turbulência através da

seguinte equação (Holmes, 2007),

𝐼𝑢 =2,5.𝑢∗

𝑢∗/0.4 loge 𝑧/𝑧0 =

1

loge 𝑧/𝑧0 (2.9)

Pela expressão (2.9) constata-se que a intensidade da turbulência longitudinal é função apenas

da altura ao solo, 𝑧 e da rugosidade do terreno 𝑧0 . Esta função permite perceber que a

intensidade da turbulência diminui com o decréscimo da altura ao solo.

À semelhança da expressão anterior, são também apresentados valores aproximados para as

turbulências nas restantes direcções (Holmes, 2007), igualmente funções da altura e rugosidade

do solo.



𝐼𝑣 ≅0.88

loge 𝑧/𝑧0

(2.10)

𝐼𝑤 ≅0.55

loge 𝑧/𝑧0 (2.11)


3 Escoamentos em torno de Edifícios

Uma quantidade de ar em movimento na atmosfera ao encontrar um obstáculo procura

contorná-lo, contudo, este processo reveste-se de um conjunto de fenómenos característicos dos

chamados “bluff-bodies”, termo inglês correntemente utilizado para denominar corpos

achatados ou em regra com uma grande dimensão na direcção perpendicular à do escoamento.

Estes fenómenos dependem de vários factores, incluindo a forma do edifício. Na generalidade,

os edifícios em estudo podem ser englobados na categoria descrita.

3.1 Forças resultantes da interacção vento-estrutura

Quando determinado escoamento atravessa um obstáculo geram-se pressões e,

consequentemente, forças nesse obstáculo. No domínio da aerodinâmica esse conjunto de forças

é correntemente dividido em três parcelas.

Figura 3-1 – Forças resultantes da interacção do escoamento-estrutura em torno de um corpo

A primeira parcela, D, corresponde às forças na direcção do escoamento denominadas de forças

de arraste. A parcela L corresponde às forças na direcção transversal à direcção do escoamento

sendo denominada de força de sustentação. O desvio destas forças em relação ao centro de

torção da secção produz um momento torsor no edifício correspondente à parcela M, como

representado na figura.

3.2 Coeficientes de Força e Pressão

As forças num determinado corpo são geralmente traduzidas por coeficientes adimensionais,

denominados coeficientes de força.

De acordo com a convenção das forças habitualmente definidas num corpo atravessado pelo

escoamento são definidos os coeficientes de arraste, sustentação e de momento.

Vinf

L

D

M



Estas três grandezas são definidas pelas seguintes expressões, onde o parâmetro 𝐹 generalizado

pode assumir qualquer uma das duas forças definidas no ponto anterior, D,L e M refere-se ao

momento introduzido na estrutura.

𝐶𝐹 =𝐹

1

2𝜌𝑎𝑈0

2𝐴 (3.1)

𝐶𝑀 =𝑀

1

2𝜌𝑎𝑈0

2𝐴𝐻𝑟

(3.2)

Nestas expressões, 𝜌𝑎 define a massa volúmica do ar. 𝑈0 a velocidade do escoamento e 𝐴 a área

onde é aplicada a correspondente força F. Na expressão (3.2) o termo 𝐻𝑟 define uma altura de

referência onde é aplicado o carregamento generalizado. Esta expressão relaciona a força

esperada sob determinadas condições com a pressão estática do vento, 1

2𝜌𝑎𝑈0

2.

3.3 Características do Escoamento

O escoamento em torno dos edifícios altos contrasta com os escoamentos em torno de edifícios

“aerodinâmicos” uma vez que as linhas de corrente do escoamento em torno do edifício não

seguem geralmente a forma da secção. Por exemplo, no caso das asas de aviões as linhas de

corrente aproximam relativamente bem a forma da sua secção permitindo um estudo

matemático mais acessível que no caso dos edifícios.

Figura 3-2 – Zonas de separação do escoamento em torno de formas rectangulares

O escoamento, por exemplo, em torno de uma secção rectangular (Figura 3-2) causa a

separação do escoamento nos vértices rectos dando origem a camadas de recirculação e

formação de vórtices. A camada de separação destaca duas zonas, uma zona exterior

suficientemente afastada onde o escoamento se comporta continuamente e uma zona interior

junto às faces da secção com grandes características de corte e vorticidade. Esta camada,

denominada camada de corte livre, é bastante instável, sendo esta formada por um lençol de

vórtices que tendem a concentrar-se na zona de levantamento formando turbilhões concentrados

e que se vão arrastando com o escoamento. A formação das zonas de separação varia com a

geometria, no entanto, o fenómeno de desprendimento de vórtices na esteira do corpo é mais ou

menos idêntica em todas as formas. Como é natural, este fenómeno é de grande importância em

edifícios esbeltos.

Separação

Ponto de

estagnação

Recirculação

Zona turbilhonar

Separação

Zona

turbilhonar



3.4 Forças e pressões flutuantes

Os fenómenos de turbulência e instabilidade dos escoamentos atmosféricos são abordados nos

capítulos anteriores. A natureza instável dos escoamentos em torno de obstáculos de grandes

dimensões, tais como edifícios, resulta na separação do escoamento e, por vezes, em

recirculações produzindo pressões e, consequentemente, forças altamente instáveis.

Estas variações têm usualmente três causas (Holmes, 2007):

A turbulência natural das rajadas do vento em escoamento livre, normalmente

denominadas por “buffeting”.

Instabilidade do escoamento causada pelo atravessamento do obstáculo, que geralmente

resulta na separação do escoamento, recirculações e formação de turbilhões nas faces do

obstáculo.

Forças flutuantes devidas ao movimento do corpo, forças aeroelásticas.

Estes fenómenos acoplados têm uma importância crescente, tanto quanto mais flexíveis forem

as estruturas em movimento com o escoamento. Na verdade, as características dinâmicas na

resposta das estruturas são os parâmetros governantes do dimensionamento da estrutura e

respectivos amortecimentos. Desta forma, torna-se importante conhecer matematicamente estas

grandezas no âmbito do estudo dos edifícios altos.

3.5 Escoamento Tridimensional

Os conceitos apresentados neste trabalho são inerentes a condições de fluxo geralmente

bidimensional. Um escoamento é dito bidimensional quando a velocidade do fluido na direcção

normal ao plano de fluxo é desprezável, de maneira que o padrão de escoamento em todo o

comprimento é idêntico. Contudo, as vibrações em torres sob a acção de vento apresentam-se

muito mais complexas que as de um obstáculo atravessado por um escoamento bidimensional.

Figura 3-3 – Escoamento tridimensional esquemático em torno de obstáculos (Pinheiro, 2004).



Existem diversos factores que introduzem efeitos tridimensionais ao escoamento, entre eles:

A secção transversal dos edifícios ser geralmente variável, geometricamente ou por

introdução de acessórios que afectam o escoamento;

Aos edifícios têm dimensões finitas, não sendo desprezável o efeito do escoamento que

atravessa o topo do edifício, criando o chamado efeito de topo;

A variabilidade do vento que não deve ser desprezável para edifícios com alturas

superiores a 50m;

A turbulência do vento.

Alguns destes fenómenos são visíveis na Figura 3-3, onde se denota a complexidade do

escoamento tridimensional em torno de um edifício.


4 Teoria das Probabilidades e Dinâmica estocástica

4.1 Função densidade espectral de um processo estocástico

Considere-se um sinal 𝑥𝑟 𝑡 retirado de um processo estocástico estacionário com média nula.

𝐸 𝑥 𝑡 = 0 (4.1)

Um sinal com tais propriedades pode ser separado no seu conjunto de frequências, por

consequência do teorema de Fourier, numa série que para um intervalo finito genérico −𝐿 2 <𝑡 < 𝐿 2 é representada por

𝑥𝑟 𝑡 = 𝐶𝑛𝑟 𝑒−𝑖𝑛𝜛0𝑡∞

𝑛=−∞ (4.2)

em que,

𝐶𝑛𝑟 =1

𝐿 𝑥𝑟 𝑡

𝐿 2

−𝐿 2 𝑒−𝑖𝑛𝜛0𝑡𝑑𝑡 (4.3)

Note-se ainda que nestas expressões 𝜛0 = 2𝝅 𝐿 . No caso em que 𝑥𝑟 𝑡 é periódico, então a

série de Fourier resulta numa representação perfeita do sinal desde que integrada ao longo de

um período completo.

A equação (4.2) corresponde à sobreposição finita de harmónicas discretas com frequências

… , 𝑛 − 1 𝜛0, 𝑛𝜛0, 𝑛 + 1 𝜛0,… e amplitudes … ,2 𝐶 𝑛−1 𝑟 , 2 𝐶 𝑛 𝑟 , 2 𝐶 𝑛+1 𝑟 , …

respectivamente.

Na grande generalidade dos casos, a grandeza que mais importa analisar em processos deste tipo

é a média quadrática do processo e define-se por meio de

𝑥𝑟 𝑡 2 =

1

𝐿 𝑥𝑟 𝑡

2𝐿 2

−𝐿 2 𝑑𝑡 (4.4)

A introdução da expressão (4.2) nesta equação permite obter a seguinte igualdade

𝑥𝑟 𝑡 2 = 𝐶𝑛𝑟 2∞

𝑛=−∞=

𝐴𝑛𝑟

2

2∞

𝑛=1 (4.5)

Considerando agora a introdução de (4.3) na primeira parte da expressão (4.5), e tratando o

espaçamento entre as harmónicas como 𝛥𝜛 = 2𝜋 𝐿 , resulta que



𝑥𝑟 𝑡 2 =

𝑥𝑟 𝑡 𝐿 2

−𝐿 2 𝑒−𝑖𝑛 𝜛 0𝑡𝑑𝑡 2

𝑠2

∞

𝑛=−∞

= 𝑥𝑟 𝑡

𝐿 2


2𝜋𝑠𝛥𝜛 (4.6)

cuja expressão análoga no domínio contínuo quando 𝛥𝜛 ⟶ 𝑑𝜛 e 𝑛𝜛0 ⟶ 𝜛 é definida por

meio de

𝑥𝑟 𝑡 2 = limn⟶∞

𝑥𝑟 𝑡 𝐿 2


2𝜋𝑠

∞

−∞

𝑑𝜛 = 𝑆𝑥𝑟(𝜛)

∞

−∞𝑑𝜛 (4.7)

A função 𝑆𝑥𝑟(𝜛) é denominada de função densidade espectral do sinal 𝑥𝑟 𝑡 . De acordo com

esta definição, a média quadrática do processo é obtida pela integração da função densidade

espectral em todo o domínio de 𝜛.

A função densidade espectral de todo o processo estacionário é obtida pela média simples das

densidades espectrais de todas as ondas que o compõe.

𝑆𝑥(𝜛) = limn⟶∞

1

n 𝑆𝑥𝑟

(𝜛)nr=1 (4.8)

Note-se ainda que se o processo além de estacionário for também ergódico, i.e. se as suas

propriedades estatísticas forem passíveis de dedução a partir de apenas uma amostra

suficientemente longa, a média definida atrás pode ser desfeita.

4.2 Relação entre as funções densidades espectrais de potência dos

processos de acção e resposta

Considere-se o r-ésimo sinal de um processo estocástico de acção 𝑝𝑟(𝑡) e a respectiva resposta

𝑣𝑟(𝑡), denominados processos de entrada e saída, relacionados pela seguinte expressão

𝑣𝑟(𝑡) = 𝑝𝑟(𝜏)𝑡

−∞𝑕(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 (4.9)

Assumindo 𝑝𝑟(𝑡) de média nula resulta que

𝐸 𝑣𝑟(𝑡) = 𝐸 𝑝𝑟(𝜏)𝑡

−∞𝑕(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = 0 (4.10)

Simplificando a expressão anterior verifica-se que 𝑣𝑟(𝑡) é também um processo estocástico de

média nula.

𝐸 𝑣𝑟(𝑡) = 𝐸 𝑝𝑟(𝜏) 𝑡

−∞𝑕(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = 0 (4.11)

Esta é uma conclusão importante e que permite algumas simplificações no processo de

transformação matemática de acção em resposta.



Admita-se agora sem perca de generalidade a função de autocorrelação do processo estocástico

de resposta 𝑣(𝑡) definida como

𝑅𝑣 𝜏 = 𝐸 𝑣(𝑡)𝑣(𝑡 + 𝜏) (4.12)

A autocorrelação está directamente ligada à função densidade espectral. Posto isto, importa

agora relacionar a autocorrelação dos processos de entrada e saída.

Para isso, aplique-se à expressão (4.12) a relação (4.9)

𝐸 𝑣(𝑡)𝑣(𝑡 + 𝜏) = 𝐸 𝑝(𝛿1)𝑡

−∞𝑕(𝑡 − 𝛿1)𝑑𝛿1 𝑝(𝛿2)

𝑡

−∞𝑕(𝑡 + 𝜏 − 𝛿2)𝑑𝛿2 (4.13)

Note-se que nesta expressão, 𝛿1 e 𝛿2 têm significado análogo a 𝜏 na expressão(4.10). Separando

agora as funções integradas, a função de autocorrelação é passível de tomar a seguinte

reorganização

𝐸 𝑣(𝑡)𝑣(𝑡 + 𝜏) = 𝐸 𝑝(𝛿1)𝑡

−∞𝑝(𝛿2)𝑕(𝑡 − 𝛿1)𝑕(𝑡 + 𝜏 − 𝛿2)𝑑𝛿1𝑑𝛿2

𝑡

−∞ (4.14)

À semelhança da simplificação em (4.11), pode-se obter a seguinte relação entre médias funções

de entrada e saída

𝐸 𝑣(𝑡)𝑣(𝑡 + 𝜏) = 𝐸 𝑝(𝛿1)𝑝(𝛿2) 𝑡

−∞𝑕(𝑡 − 𝛿1)𝑕(𝑡 + 𝜏 − 𝛿2)𝑑𝛿1𝑑𝛿2

𝑡

−∞ (4.15)

Assim, para que esta a equação nos permita relacionar as autocorrelações de entrada e saída,

considere-se por fim a seguinte mudança de variáveis

𝑢1 = 𝑡 − 𝛿1 ⟺ 𝛿1 = t − 𝑢1 (4.16)

𝑢2 = 𝑡 + 𝜏 − 𝛿2 ⟺ 𝛿2 = 𝑡 + 𝜏 − 𝑢2 (4.17)

Aplicando as expressões (4.16) e (4.17) em (4.15), obtém-se a seguinte expressão

𝐸 𝑣(𝑡)𝑣(𝑡 + 𝜏) = 𝐸 𝑝(t − 𝑢1)𝑝(𝑡 + 𝜏 − 𝑢2) ∞

0𝑕(𝑢1)𝑕(𝑢2)𝑑𝑢1𝑑𝑢2

∞

0 (4.18)

Desta forma, demonstra-se que

𝑅𝑣 𝜏 = 𝑅𝑝 𝜏 − 𝑢2 + 𝑢1 ∞

0𝑕(𝑢1)𝑕(𝑢2)𝑑𝑢1𝑑𝑢2

∞

0 (4.19)

Esta relação evidencia que autocorrelação de entrada 𝑅𝑣 𝜏 e a autocorrelação do processo de

saída 𝑅𝑝 𝜏 se relacionam mediante a mudança de variáveis efectuada atrás.

Posto isto, define-se agora a relação entre a função densidade espectral de potência do processo

estocástico de resposta (i.e. saída) e a sua autocorrelação.



𝑆𝑣 𝜛 =1

2𝜋 𝑅𝑣 𝜏 𝑒−𝑖𝜛𝜏 𝑑

∞

−∞𝜏 (4.20)

Introduzindo a equação (4.19), obtém-se

𝑆𝑣 𝜛 =1

2𝜋 𝑅𝑝 𝜏 − 𝑢2 + 𝑢1

∞

0𝑕(𝑢1)𝑕(𝑢2)𝑑𝑢1𝑑𝑢2

∞

0 𝑒−𝑖𝜛𝜏 𝑑

∞

−∞

𝜏 (4.21)

De acordo com a equação (4.20), para se poder relacionar densidades espectrais de potência de

entrada e saída, é necessário efectuar uma mudança de variável

𝛿 = 𝜏 − 𝑢2 + 𝑢1 (4.22)

Tendo agora em conta a mudança de variável, a relação (4.21) pode ser definida tal que

𝑆𝑣 𝜛 =1

2𝜋 𝑅𝑝 𝛿

∞

0𝑕(𝑢1)𝑕(𝑢2)𝑑𝑢1𝑑𝑢2

∞

0 𝑒−𝑖𝜛 𝛿+𝑢2−𝑢1 𝑑

∞

−∞

𝛿 (4.23)

Reorganizando os termos, vem

𝑆𝑣 𝜛 =1

2𝜋 𝑅𝑝 𝛿 𝑒𝑖𝜛𝛿 𝑑

∞

−∞𝛿 𝑕(𝑢1)𝑒𝑖𝜛𝑢1𝑑𝑢1

∞

0 𝑕(𝑢2)𝑒−𝑖𝜛𝑢2𝑑𝑢2∞

0 (4.24)

Tomando novamente em consideração a expressão (4.20), pode-se agora definir a relação entre

densidades espectrais de entrada e de saída por

𝑆𝑣 𝜛 = 𝑆𝑃 𝜛 𝐻(−𝑖𝜛)𝐻(𝑖𝜛) = 𝑆𝑃 𝜛 𝐻(𝑖𝜛) 2 (4.25)

Nesta expressão, 𝑆𝑃 𝜛 reprensenta a densidade espectral de entrada e 𝐻(𝑖𝜛) 2 é denominada

a função de transferência mecânica.


5 Sistema dinâmico de um grau de liberdade generalizado

5.1 Descrição do sistema dinâmico

Esta é a definição dinâmica mais corrente para analisar um edifício alto. Na generalidade, um

edifício deste género é uma estrutura muito esbelta que se deforma continuamente ao longo de

uma linha em princípio curva, passível de uma descrição matemática por meio de uma função

de uma só variável.

Figura 5-1 - Estrutura em consola tratada com um grau de liberdade generalizado

Este tipo de análise é efectuado contemplando uma distribuição de flexibilidade da estrutura.

Considere-se uma estrutura esbelta, aproximada por uma consulta vertical bastante esbelta, com

uma relação geométrica na ordem de h/b=10.

A deformada imposta por uma acção horizontal pode ser descrita por um único grau de

liberdade já que a estrutura se deforma com um comportamento contínuo. A função que traduz

esse andamento é designada por função de forma, 𝛹 𝑥 , definida pela sequinte equação.

𝑣 𝑥, 𝑡 = 𝜓 𝑥 𝑍(𝑡) (5.1)

Para um sistema definido desta forma é corrente formular-se as equações do movimento por

equilíbrio de energias. Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais chega-se a uma expressão

em tudo idêntica à equação do movimento até aqui descrita, no entanto, os parâmetros com

igual significado físico têm uma formulação diferente em virtude do novo conceito de grau de

liberdade.

𝑚∗𝑍 (𝑡) + 𝑐∗𝑍 (𝑡) + 𝑘∗𝑍(𝑡) = 𝑝∗(𝑡) (5.2)

Definida a equação do movimento em função das coordenadas generalizadas no domínio do

tempo, torna-se necessário definir as expressões de massa, amortecimento e rigidez

generalizadas. De acordo com a expressão (5.1) a função de forma deverá estar incluída na

Y(zmax,t)

H

y(z,t)

m(x) EI(x)



equação do movimento. Esta função é englobada nos termos de massa generalizada

𝑚∗,amortecimento generalizado 𝑐∗ e rigidez generalizada 𝑘∗ (v.d. 5).

𝑚∗ = 𝑚(𝑥)𝜓 𝑥 2𝑑𝑥𝐻

𝑜 (5.3)

𝑐∗ = 𝑎1 𝐸𝐼(𝑥)𝜓′′ 𝑥 2𝑑𝑥𝐻

𝑜 (5.4)

𝑘∗ = 𝐸𝐼(𝑥)𝜓′′ 𝑥 2𝑑𝑥𝐻

𝑜 (5.5)

Note-se que o termo da rigidez pode combinar duas parcelas caso seja necessário.

Habitualmente quando se fala de rigidez de um sistema refere-se à rigidez de flexão. Em todo o

caso, a esta rigidez deverá ser subtraída uma parcela relativa às acções normais ao edifício que

estão associadas à instabilidade do mesmo.

Posto isto, o termo da rigidez 𝑘∗ deverá ser substituído por um termo 𝑘 ∗ que se relaciona com o

primeiro por meio das seguintes expressões

𝑘 ∗ = 𝑘∗ − 𝑘𝐺∗ (5.6)

𝑘𝐺∗ = 𝑁 𝜓′ 𝑥 𝑑𝑥

𝐻

𝑜 (5.7)

O termo 𝑘𝐺∗ denomina-se rigidez geométrica generalizada. Quanto este termo for igual à rigidez

de flexão e se anular a rigidez resultante 𝑘 ∗ atinge-se 𝑁𝑐𝑟 .

Note-se porém, que apesar dos parâmetros descritos serem definidos na forma integral da

função de forma 𝜓 𝑥 , podem existir singularidades na estrutura como por exemplo sistemas de

amortecimento, que deverão ser contabilizados em parcelas discretas.

A título justificativo, por exemplo no caso referido atrás dever-se-ia introduzir no termo de

amortecimento generalizado uma parcela semelhante a

𝑐 = 𝑐𝑖 𝜓𝑖 𝑥 2 (5.8)

5.2 Expressão geral de resposta de um sistema de um g.d.l. generalizado

Considere-se o sistema analisado no ponto anterior. Assumindo um amortecimento pequeno e

dividindo a equação (5.2) correspondente ao modo i pela sua massa modal, obtém-se

𝑍 𝑖(𝑡) + 2

𝑖 2𝑛𝑖 𝑍

𝑖(𝑡) + 2𝑛𝑖 2𝑍𝑖(𝑡) =

𝑝∗𝑖(𝑡)

𝑀𝑖 (5.9)

em que 𝑖, 𝑛𝑖 e 𝑀𝑖 correspondem ao amortecimento, frequência natural e massa generalizada do

modo i. A força generalizada para este modo é por sua vez definida por



𝑝∗𝑖 𝑡 = 𝑝 𝑧, 𝑡

𝐻

0𝑦𝑖 𝑧 𝑑𝑧 (5.10)

Esta força quando comparada com uma força concentrada aplicada na estrutura obedece à

relação

𝑝 𝑧, 𝑡 = 𝐹 𝑡 𝑧 − 𝑧1 (5.11)

Quando esta é aplicada num ponto da estrutura, então a relação de 𝑝∗𝑖 𝑡 com essa força pode

ser definida por

𝑝∗𝑖 𝑡 = lim∆𝑧→0 𝑝 𝑧, 𝑡

𝑧1+∆𝑧

𝑧1𝑦𝑖 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑦𝑖 𝑧1 𝐹 𝑡 (5.12)

o que resulta num resultado importante para a análise do sistema. Esta expressão permite-nos

relacionar o carregamento da estrutura para um determinado modo i pela sua função modal

𝑦𝑖 𝑧 .

Atendendo agora que o carregamento concentrado 𝐹 𝑡 aplicado num ponto 𝑧1 apresenta um

comportamento aleatório e estacionário, i.e. mantêm as suas propriedades estatísticas ao longo

do tempo, a resposta da estrutura 𝑦 𝑧, 𝑡 é definida por

𝑦 𝑧, 𝑡 = 𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝑡 𝐹 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞

0 (5.13)

O carregamento aleatório 𝐹 𝑡 deverá ser entendido como a soma elementar de impulsos de

magnitude 𝐹 𝜏′ 𝑑𝜏′. Entenda-se a função 𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝑡 como a função de transferência mecânica

entre acção e resposta.

Escrevendo esta expressão na sua forma espectral, vem que

𝑆𝑦 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 = 𝑆𝐹 𝜛 𝐻(𝑧, 𝑧1 , 𝑛)2 (5.14)

onde 𝑆𝑦 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 representa a função de densidade espectral da resposta, 𝑆𝐹 𝜛 a função de

densidade espectral da força 𝐹 𝑡 e 𝐻(𝑧, 𝑧1 , 𝑛)2 a função de transferência mecânica entre acção

e resposta.

5.3 Resposta de uma estrutura de um g.d.l. generalizado a duas forças

concentradas, aleatórias e estacionárias

Considere-se novamente a função de resposta da estrutura 𝑦 𝑧, 𝑡 . A autocovariância deste

processo é definida pela expressão

𝑅𝑦 𝑧, 𝜏 = lim𝑇→∞ 𝑦 𝑧, 𝑡 𝑦 𝑧, 𝑡 + 𝜏 𝑑𝑡𝑇/2

−𝑇/2 (5.15)



Atendendo a que esta função é originada pela acção de duas cargas concentradas 𝐹1 𝑧1 , 𝑡 e

𝐹2 𝑧2 , 𝑡 , actuando à cota 𝑧1 e 𝑧2 respectivamente, a função de autocovariância pode ser defina

redefinida por meio da expressão (5.13) tal que

𝑅𝑦 𝑧, 𝜏 = lim𝑇→∞ 𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝜏1 𝐹1 𝑡 − 𝜏1 𝑑𝜏1∞

0+ 𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏1 𝐹2 𝑡 − 𝜏1 𝑑𝜏1

∞

0 ×

𝑇/2

−𝑇/2

𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝜏2 𝐹1 𝑡 + 𝜏 − 𝜏2 𝑑𝜏2 + 𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏2 𝐹1 𝑡 + 𝜏 − 𝜏2 𝑑𝜏2∞

0

∞

0 𝑑𝑡 (5.16)

A covariância cruzada da resposta da estrutura em 𝑧1 e 𝑧2 é estatisticamente definida por

𝑅𝑦1𝑦2 𝜏 = lim𝑇→∞ 𝑦1 𝑡 𝑦2 𝑡 + 𝜏 𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2 (5.17)

Com recurso a esta definição, a autocovariância do processo 𝑦 𝑧, 𝑡 pode ser simplificado por

𝑅𝑦 𝑧, 𝜏 = 𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝜏1 𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝜏2 𝑅𝐹1 𝑡 + 𝜏1 − 𝜏2 𝑑𝜏2

∞

0 𝑑𝜏1 +

∞

0

𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏2 𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏2 𝑅𝐹2 𝑡 + 𝜏1 − 𝜏2 𝑑𝜏2

∞

0 𝑑𝜏1 +

∞

0

𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝜏1 𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏2 𝑅𝐹1𝐹2 𝑡 + 𝜏1 − 𝜏2 𝑑𝜏2

∞

0 𝑑𝜏1 +

∞

0

𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏1 𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏1 𝑅𝐹2𝐹1 𝑡 + 𝜏1 − 𝜏2 𝑑𝜏2

∞

0 𝑑𝜏1

∞

0 (5.18)

Onde a expressão da resposta global, nomeadamente a sua autocovariância é descrita por termos

dependentes da autocovariância das forças 𝐹1 𝑧1 , 𝑡 e 𝐹2 𝑧2 , 𝑡 . Esta expressão permite

relacionar a resposta e acção através de um conjunto de funções de transferência mecânica.

Demonstra-se que esta expressão no domínio da frequência toma a seguinte forma (Simiu &

Scanlan, 1996)

𝑆𝑦 𝑧, 𝑛 =

𝐻2 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 𝑆𝐹1 𝑛 + 𝐻2 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 𝑆𝐹2

+ 2𝐻 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 𝐻 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 ∙ 𝑆𝐹1𝐹2

𝐶 (𝑛) cos 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 −

𝑧, 𝑧2 , 𝑛 + 𝑆𝐹1𝐹2

𝑄 (𝑛) sin 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 − 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 (5.19)

Nesta expressão 𝑆𝐹𝑖 representa as funções de densidade espectral das forças Fi e e 𝑆𝐹1𝐹2

𝐶 e 𝑆𝐹1𝐹2

𝑄

representam os termos de co-espectro e de quadratura das forças 𝐹1 𝑧1 , 𝑡 e 𝐹2 𝑧2 , 𝑡 .

Note-se por fim, que quando considerada uma acção contínua sobre uma área A, a expressão

anterior pode ser reescrita no domínio contínuo como

𝑆𝑦 𝑧, 𝑛 = 𝐻 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 𝐴𝐴

𝐻 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 × 𝑆𝑝1′ 𝑝2

′𝐶 (𝑛) cos 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 − 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 +

𝑆𝑝1

′ 𝑝2′

𝑄 (𝑛) sin 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 − 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 𝑑𝐴1𝑑𝐴2 (5.20)

É corrente relacionar os termos de co-espectro e de quadratura num único termo designado de

função de coerência. Esta função representa uma medida do comprimento em que os dois sinais



𝑦1(𝑡) e 𝑦2(𝑡) são correlacionados. A raíz quadrada desta função é matematicamente definida

tal que

𝐶𝑜𝑕𝑦1𝑦2 = 𝑆𝑦1𝑦2

𝐶 (𝑛) 2

+ 𝑆𝑦1𝑦2𝑄

(𝑛) 2

𝑆𝑦1 𝑛 𝑆𝑦2 𝑛

1/2

(5.21)


6 Resolução da acção do vento

6.1 Hipótese Quasi-Estacionária

A hipótese quasi-estacionária fundamenta a base da grande maioria dos modelos utilizados para

quantificação da acção do vento em edifícios altos, nomeadamente os métodos propostos nos

regulamentos internacionais.

No Capítulo 2 descreveu-se o vento com duas parcelas. De acordo com a expressão (2.1), a

velocidade instantânea do vento é definida por uma componente média e uma componente

flutuante.

Considere-se a invariabilidade desta expressão no espaço, ou seja, restrita a um determinado

ponto no espaço. A relação entre pressões no corpo e velocidade no escoamento é definida por:

𝑝 𝑡 =1

2𝐶𝑃0

𝜌𝑎 𝑢(𝑡) 2 (6.1)

em que 𝐶𝑃0 representa um coeficiente de pressão quase-estacionário.

Introduzindo esta expressão na relação entre pressões e velocidades obtém-se o seguinte

resultado

𝑝 𝑡 =1

2𝐶𝑃0

𝜌𝑎 𝑢 + 𝑢′ (𝑡) 2 =1

2𝐶𝑃0

ρa 𝑢 2 + 𝑢′ (𝑡)2 + 2𝑢 𝑢′ (𝑡) (6.2)

Escrevendo esta expressão em termos de valores médios têm-se

𝑝 𝑡 =1

2𝐶𝑃0

𝜌𝑎 𝑢 2 + σ𝑢2 (6.3)

Para intensidades de turbulência pequenas, o parâmetro variável da velocidade σ𝑢2 é muito

menor que o valor médio 𝑢 2 , o que permite considerar que a pressão média no corpo bem

aproximada por:

𝑝 𝑡 ≅1

2𝐶

𝑃𝜌𝑎𝑢 2 (6.4)

admitindo que o coeficiente de pressão médio, 𝐶 𝑃 , aproxima razoavelmente o coeficiente de

pressão quase-estacionário. Como descrito nos capítulos anteriores, para números de Reynolds

elevados, característicos das aplicações no domínio da engenharia civil, este coeficiente é bem

comportado.

Voltando à componente flutuante do vento, considere-se novamente a expressão (6.2).

Subtraindo a componente média da pressão de ambos os lados obtém-se a seguinte relação entre

componentes flutuantes



𝑝′ 𝑡 =1

2𝐶𝑃0

ρa 𝑢′(𝑡)2 + 2𝑢 𝑢′ (𝑡) (6.5)

Novamente para baixas intensidades de turbulência, a média quadrática da última expressão é

definida por:

𝑝′2 𝑡 ≅1

4C P

2ρa

2 4𝑢 2𝑢′ 2 = C P2ρa

2𝑢 2𝑢′ 2 (6.6)

Esta equação define uma relação quasi-estacionária entre a média quadrática das flutuações das

pressões e a média quadrática das flutuações longitudinais das velocidades.

Posto isto, a estimativa de pressões extremas segundo a hipótese quasi-estacionária é definida

por:

𝑝 , 𝑝 =1

2𝐶𝑃0

𝜌𝑎 𝑈 2 ≅1

2𝐶𝑃 𝜌𝑎 𝑈 2 (6.7)

o que representa uma expressão de grande utilidade na aplicação à engenharia, servindo de base

aos métodos descritos neste capítulo. De acordo com esta expressão, pode-se obter estimativas

de pressões de dimensionamento utilizando coeficientes de pressão médios e velocidades de

pico. A grande desvantagem desta expressão reside no facto de não serem consideradas as

flutuações de pressões induzidas pelo edifício. No entanto, esta aproximação é conservativa, já

que na consideração de um coeficiente de pressão médio com a função de velocidade extremas

está implícita a correlação completa das pressões extremas (Holmes, 2007). Por isso, todas as

secções do corpo analisado estão relacionadas estatisticamente. A teoria da correlação de forças

flutuantes é abordada no seguinte ponto.

6.2 Quantificação de pressões e forças flutuantes num edifício

O coeficiente de correlação espacial de duas forças flutuantes em dois pontos ao longo da

secção transversal de um edifício é definido por:

𝜌 =𝑓1

′ 𝑡 𝑓2′ 𝑡

𝜍𝑓2 (6.8)

Com o aumento da distância espacial entre os dois pontos, o coeficiente de correlação

aproxima-se de zero. Por outro lado, quando esta distância tende para zero o valor da função 𝜌

aproxima-se de 1. No primeiro caso dizem-se sem relação estatística e no segundo caso

completamente correlacionadas.

O comprimento de correlação é obtido pela seguinte expressão:

ℓ = 𝜌 𝑦 𝑑𝑦∞

0 (6.9)

Considere-se agora um corpo esbelto formado por N secções transversais acopladas.



Figura 6-1 – Diagrama de um corpo esbelto em consola, dividido em N secções transversais (Pinheiro, 2004).

A força instantânea flutuante que actua no corpo como um todo pode ser definida como

𝐹′ 𝑡 = 𝑓𝑖′ 𝑡 𝛿𝑦𝑖

𝑁1 (6.10)

A função quadrática da força flutuante pode então ser escrita como

𝐹′ 𝑡 2 = 𝑓𝑖′ 𝑡 𝑓𝑗

′ 𝑡 𝛿𝑦𝑖𝛿𝑦𝑗𝑁1

𝑁1 (6.11)

Quando na expressão anterior as distâncias tendem para zero pode-se adoptar a forma integral

da expressão. Transformando ambos os lados nos seus valores médios, tem-se como resultado

que:

𝐹′2 = 𝑓𝑖′ 𝑡 𝑓𝑗

′ 𝑡 𝐿

0

𝐿

0 𝑑𝑦𝑖𝑑𝑦𝑗 (6.12)

Assumindo que a função integrada pode ser escrita em função do coeficiente de correlação, vem

𝐹′2 = 𝑓 ′2 ρ yi − yj 𝐿

0

𝐿

0 𝑑𝑦𝑖𝑑𝑦𝑗 (6.13)

Por meio de uma transformação matemática, pode-se ainda escrever

𝐹′2 = 𝑓 ′2 𝑑𝑦𝑖 ρ yi − yj 𝐿−𝑦𝑗

−y j

𝐿

0 𝑑 yi − yj (6.14)

Daqui se tiram duas conclusões importantes:

No caso de correlação completa entre as forças actuantes em cada uma das N secções, a média

quadrática da força flutuante total é

𝐹′2 = 𝑓 ′2 𝐿2 (6.15)

Considerando um decréscimo rápido do comprimento de correlação, então o integral da

equação(6.14) é aproximado por:



ρ yi − yj 𝐿−𝑦𝑗

−y j 𝑑 yi − yj = ρ yi − yj 𝑑 yi − yj

∞

−∞= 2ℓ (6.16)

Resultando assim que a o valor “r.m.s.” da força flutuante é aproximada por:

𝐹′2 = 𝑓 ′2 ∙ 𝐿 ∙ 2ℓ (6.17)

Este resultado é de grande importância para estruturas esbeltas, já que a média quadrática da

força flutuante total é directamente proporcional ao comprimento de correlação.

6.3 Método DGLF

O método tradicional DGFL descreve o carregamento de pico por acção do vento tal que:

𝑃 𝑧 = 𝐺 × 𝑃 𝑧 (6.18)

onde G é o factor de rajada que, contemplando os efeitos dinâmicos da rajada e da estrutura,

amplifica a força média do vento 𝑃 𝑧 , função da altura z.

No método DGLF, tal como o nome sugere, 𝐺 é definido em termos da função resposta do

deslocamento da estrutura. Considere-se a função deslocamento 𝑌 𝑧 . O factor de rajada DGLF

para a direcção 𝑦 pode ser descrito da seguinte forma:

𝐺𝑦 =𝑌 𝑧𝑅

𝑌 𝑧𝑅 (6.19)

em que 𝑌 𝑧𝑅 e 𝑌 𝑧𝑅 representam a resposta da função de deslocamento máximo e de

deslocamento médio relativas a uma altura de referência 𝑧𝑅 , respectivamente.

A definição matemática destas grandezas passa agora pela caracterização da acção média do

vento e pela contabilização dos efeitos dinâmicos da acção do vento na estrutura para a sua

acção extrema.

Acção Média do Vento

A caracterização da acção média do vento, na expressão (6.20) pode ser descrita como uma

pressão estática tal que:

𝑃 =1

2𝜌𝐶𝐷𝑊𝑈 𝐻

2

𝑧

𝐻

2𝛼 (6.20)

𝑈 𝑧 = 𝑈 𝐻 𝑧

𝐻

𝛼 (6.21)



Esta expressão é função de 𝜌, a densidade do ar, 𝐶𝐷 o coeficiente de arrastamento, 𝑊 a largura

do edifício na superfície perpendicular à acção do vento e 𝑈 𝑧 a velocidade média do vento à

altura 𝑧.

A expressão da velocidade média do vento (6.21) varia de acordo com a lei exponencial com

um parâmetro base, 𝑈 𝐻 representando a velocidade média do vento no topo do edifício (𝑧 = 𝐻).

Nesta expressão 𝛼 é um expoente que define a forma da função de acordo com as condições de

exposição e da morfologia do terreno.

Contabilização dos efeitos dinâmicos do vento

O deslocamento médio pode, na grande generalidade dos casos, ser expresso em função da

resposta média do deslocamento do primeiro modo de vibração da estrutura.

𝑌 𝑧 =𝑃 1

∗

𝑘1∗ ∙𝜑 𝑧

(6.22)

Para tal, definem-se três grandezas da teoria da análise dinâmica de uma estrutura tratada como

um grau de liberdade generalizado (v.d.5). O carregamento generalizado 𝑃1∗, a rigidez 𝑘1

∗ e a

massa equivalente 𝑚1∗ no primeiro modo são descritos de acordo com as seguintes três

expressões:

𝑃 1∗ = 𝑃

𝐻

0 𝑧 𝜑 𝑧 𝑑𝑧 (6.23)

𝑘1∗ = 2𝜋𝑓1 2𝑚1

∗ (6.24)

𝑚1∗ = 𝑚 𝑧 𝜑2 𝑧 𝑑𝑧

𝐻

0 (6.25)

A função 𝜑 𝑧 define a forma do modo em função da altura e de constantes 𝛽 e 𝑐, que de

acordo com as características estruturais, tais como amortecimento e rigidez do edifício,

definem a forma da sua deformada modal.

𝜑 𝑧 = 𝑐 𝑧

𝐻

𝛽 (6.26)

Por outro lado, 𝑚 𝑧 é a função que distribui habitualmente de forma linear a massa pela

estrutura em 𝑧 de acordo com o factor de redução 𝜆.

𝑚 𝑧 = 𝑚0 1 − 𝜆 𝑧

𝐻 (6.27)

Considere-se agora a resposta estrutural do deslocamento um processo estocástico 𝜉1. De acordo

com (4.11) 𝜉1 é por consequência da acção um processo estacionário de média nula.



O desvio padrão da resposta 𝑌 𝑧 relaciona-se com a média e a média quadrática pela seguinte

relação

𝑌2 𝑧 = 𝑌 𝑧 2 + 𝜍𝑌 𝑧 2 (6.28)

em que no caso em estudo a média do processo é nula.

Recorrendo agora à expressão (4.7), a componente relativa às flutuações, 𝜍𝑌 𝑧 , pode ser

determinada em função de 𝜑 𝑧 . Esta relação resulta na seguinte expressão

𝜍𝑌 𝑧 = 𝑆𝜉1 𝑓 𝑑𝑓

∞

0

1

2 ∙ 𝜑 𝑧 (6.29)

Nesta relação, analogamente à equação (4.7), 𝑆𝜉1 representa a função do espectro de potência

das flucutações do deslocamento generalizado 𝑌 𝑧 .

Importa agora relacionar no sistema dinâmico do edifício as funções espectrais de potência da

resposta 𝜉1 com a acção 𝑃 1∗. Recorrendo à expressão (4.25), esta relação é definida por

𝑆𝜉1 𝜛 = 𝑆𝑃 1

∗ 𝜛 𝐻(𝑖𝜛) 2 (6.30)

Daqui se retira que a resposta estrutural se relaciona com a acção do vento apenas pela função

de transferência aerodinâmica. As pressões que caracterizam a acção podem também ser

relacionadas com as propriedades efectivamente conhecidas do vento, a sua velocidade.

Na generalidade dos casos, a velocidade de escoamento é transformada em pressão dinâmica

através de uma expressão função da densidade do escoamento e de um coeficiente de forma, 𝐶𝐷,

que caracteriza o comportamento do escoamento em torno de um obstáculo. No entanto, quando

se tratam de estruturas de grande dimensão, as flutuações de velocidade no escoamento não

ocorrem simultaneamente em toda face do edifício atacada pelas rajadas. Posto isto, deve ser

considerada a correlação entre flutuações na função que define as pressões dinâmicas actuantes

no edifício com base na velocidade do escoamento.

Este conceito é contemplado numa função 𝝌 denominada função de admitância aerodinâmica que traduz a operação completa de transformação de pressões em velocidades, caracterizadas pelas respectivas funções de densidade espectral de potência.

𝑆𝑃 1∗ 𝜛 = 𝑆𝑢 𝜛 χ 𝛽, 𝜛 (6.31)

As relações das pressões em torno do edifício podem ser esquematizadas pela Figura 6-6. Note-

se que apesar de representada na figura, o exemplo estudado não contempla a correlação entre

pressões na face a sotavento e barlavento.



Figura 6-2 – Diagrama ilustrativo das correlações de acções em torno de uma estrutura sob acção longitudinal do

vento

Atendendo às expressões (5.20) e (5.21) e aos conceitos inerentes à sua demonstração, a

expressão da função de admitância aerodinâmica, pode simplificadamente ser definida por

𝜒 𝛽, 𝑓 = 𝜌𝐶𝐷𝑊𝐻𝑈 𝐻 2

1+𝛼+𝛽 2 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 𝛽, 𝑓 2 (6.32)

em que

𝐽𝑋 𝑓 2 =1

𝑊2 𝑅𝑋 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑓 𝑑𝑥1𝑑𝑥2 (6.33)

𝐽𝑍 𝛼, 𝛽, 𝑓 2 = 1+𝛼+𝛽 2

𝐻2 𝑧1

𝐻 𝛼+𝛽

𝑧2

𝐻 𝛼+𝛽

𝑅𝑍 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑓 𝑑𝑧1𝑑𝑧2𝐻

0

𝐻

0 (6.34)

são denominadas “Joint Acceptance Functions” funções de correlação na direcção horizontal e

vertical, respectivamente (v. Figura 5-2).

𝑅𝑋 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑓 = 𝑒−

𝐶𝑋 𝑓

𝑈 𝑕 𝑥1−𝑥2 (6.35)

e

𝑅𝑍 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑓 = 𝑒−

𝐶𝑍𝑓

𝑈 𝑕 𝑧1−𝑧2 (6.36)

são as funções horizontal e vertical de coerência da componente flutuante da velocidade do

vento e, 𝐶𝑋 e 𝐶𝑍, os coeficientes de decaimento exponencial e como já referido, 𝑕 a altura de

referência.

H

z2

z1

Pl(z2,t)

Pw(z1,t)

Pw(z2,t)

Pl(z1,t)

Rpl,pw(z2,f)

Rpl,pw(z1,f)

Pw(z2,t)

Pw(z1,t)

Rpw(x1,x2,t)

v(z1,t)

v(z2,t)

Rpw(z1,z2,f)

Ru(z1,z2,f)

Rpl(z1,z2,f)



Retomando novamente a expressão (6.30), o termo de transferência mecânica 𝐻(𝑖𝜛) é

normalmente definido para o primeiro modo por

𝐻𝑑 𝑓 2 = 𝐻1 𝑓 2

𝑘1∗2 (6.37)

onde,

𝐻1 𝑓 2 =1

1− 𝑓

𝑓1

2

2

+ 2𝜎𝑓

𝑓1

2 (6.38)

De acordo com (Kareem & Zhou, Areodynamic Admittance Function of Tall Buildings), prova-

se que a função de transferência mecânica depende, não só de características da turbulência, mas

também dos modos de vibração, pelo que a contabilização neste método apenas do primeiro

modo incorre na perda de alguma precisão nos resultados obtidos. Esta afirmação será mais

verdadeira quanto menos preponderante e influente for o modo de vibração fundamental e neste

caso deve ser alvo de um estudo aprofundado.

Como resultado das expressões de (6.29) a (6.38), a parte flutuante da acção do vento pode ser

rescrita como

𝜍𝑌 𝑧

𝑌 𝑧 =

𝑆𝑃 ∗ 𝑓 𝐻1 𝑓 2𝑑𝑓 2

𝑃 ∗ (6.39)

Figura 6-3 – Ilustração das densidades espectrais 𝑆𝑃 ∗(𝑛1) 𝐻(𝑛) 2, 𝑆𝑃 ∗(𝑛) 𝐻(𝑛) 2 e

𝑆𝑃 ∗(𝑛) (Simiu & 𝑆𝑐𝑎𝑛𝑙𝑎𝑛, 𝑊𝑖𝑛𝑑 𝐸𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑠 𝑜𝑛 𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠, 1996)

Voltando à expressão (6.29), e com tomando como referência a Figura 6-3, a resposta da

estrutura 𝜍𝑌 𝑧 consiste aproximadamente de duas contribuições tal que

𝜍𝑌2 = 𝜍𝑌1

2 + 𝜍𝑌22 (6.40)

com



𝜍𝑌12 = 𝑆𝑃 ∗(𝑛1) 𝐻(𝑛) 2𝑑𝑛

∞

0 (6.41)

𝜍𝑌22 = 𝑆𝑃 ∗(𝑛)𝑑𝑛

∞

0 (6.42)

As três últimas expressões podem ser compreendidas como as áreas abaixo das curvas definidas

por cada função, podendo-se tomar como boa aproximação que a resposta total de uma estrutura

será bem definida pela resposta do primeiro modo (6.41) e o integral da função espectral da

acção.

No caso da turbulência atmosférica, é corrente admitirem-se funções com andamento idêntico

ao apresentado na Figura 6-3 onde a função de densidade espectral de potência da acção é

sugerida com o decaimento representado (Simiu & Scanlan, 1996).

Demonstra-se que a resolução da acção total sobre uma estrutura de um grau de liberdade é

aproximada por

𝑆𝑃 ∗(𝑛) 𝐻(𝑛) 2𝑑𝑛∞

0≅

1

16𝜋4𝑛14𝑚2 𝑆𝑃 ∗ 𝑛 𝑑𝑛 +

𝜋𝑛1

41

∞

0𝑆𝑃 ∗ 𝑛1 (6.43)

Onde os dois termos na segunda parte da expressão representam a contribuição de fundo e a

contribuição de ressonância respectivamente.

A relação da contribuição de fundo e ressonante é habitualmente contabilizada através de uma

parcela de resposta de fundo e uma contabilizando os efeitos ressonantes da acção do vento

através da seguinte expressão, resultado da simplificação da expressão (6.19) tal que

𝐺𝑦 = 1 +𝑔𝑌𝜍𝑌 𝑧

𝑌 𝑧 = 1 + 2𝑔𝑌𝐼𝐻 𝐵 + 𝑅 (6.44)

Na formulação aqui apresentada, e considerando a estrutura um sistema de um grau de liberdade

generalizado, o factor de fundo pode agora ser definido de acordo com a seguinte expressão

𝐵 = 𝑘 𝛽, 𝑓 𝑆𝑢∗ 𝑓 𝑑𝑓

∞

0 (6.45)

onde,

𝑘 𝛽, 𝑓 = 2+2𝛼

1+𝛼+𝛽

2 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 𝛽, 𝑓 2 (6.46)

e 𝑆𝑢∗ 𝑓 é a função espectral da velocidade do vento normalizada com respeito à média

quadrática da componente variável, 𝜍𝑢2. De acordo com a maioria das regulamentações, toma-se

𝛽 = 1.

O factor de ressonância 𝑅 é, por sua vez, descrito por uma expressão bastante mais simples,

𝑅 = 𝑆𝐸/ em que 𝑆 = 𝑘 𝛽, 𝑓1 é o factor de redução, e o factor de energia de rajada e 𝜎 o

amortecimento crítico da estrutura no primeiro modo (Kareem & Zhou, Gust Loading Factor:

New Model, 2001).

A expressão (6.44) fica completa definindo agora o factor de pico de ressonância. Para um

processo Gaussiano é usual definir-se



𝑔𝑌 = 2𝑙𝑛 𝑓1𝑇 + 0.5772 2𝑙𝑛 𝑓1𝑇 (6.47)

em que 𝑇 é o tempo de observação e 𝑓1 a frequência natural do primeiro modo da estrutura.

A expressão (6.44) pode ainda ser simplificada matematicamente de forma a demonstrar para a

resposta flutuante apenas uma contribuição de fundo e outra ressonante tal que

𝐺𝑌 = 1 + 𝐺𝑌𝐵2 + 𝐺𝑌𝑅

2 (6.48)

com,

𝐺𝑌𝐵 = 2𝑔𝑢 𝐼𝐻 𝐵 (6.49)

𝐺𝑌𝑅 = 2𝑔𝑅𝐼𝐻 𝑅 (6.50)

A grande maioria dos métodos DGLF é baseada nas expressões supracitadas, distinguindo-se na

modelação da turbulência e dos modelos estruturais.

Habitualmente, os valores de R, S e E são apresentados nos códigos de dimensionamento

através de ábacos ou relações simplificadas.

6.4 Método MGLF

Considere-se uma função 𝑀 do momento na base do edifício.

O método MGLF proposto por Kareem em 2003 define o factor de rajada tal que

𝐺𝑀 =𝑀 𝐼

𝑀 𝐼 (6.51)

em que analogamente ao descrito em Erro! A origem da referência não foi encontrada. para

DGLF, 𝑀 1 e 𝑀 1 são o máximo e a média do momento induzido na base, respectivamente. É de

notar que este momento é diferente do momento provocado pela acção externa do vento, daí a

utilização do índice 𝐼.

Para um processo gaussiano a expressão (6.51) pode vir rescrita como

𝐺𝑀 = 1 +𝑔𝑀 𝜍𝑀 1

𝑧

𝑀 𝐼 (6.52)

onde mais uma vez 𝑔𝑀 é o factor de pico e 𝜍𝑀 1a média quadrática do momento na base.

O momento na base engloba as propriedades dinâmicas das rajadas e da estrutura e pode ser

obtido da resolução da equação do movimento generalizado da estrutura



𝑚1∗𝜉 1 𝑡 + 𝑐1

∗𝜉 1 𝑡 + 𝑘1∗𝜉1 𝑡 = 𝑃 1

∗ (6.53)

em que todas as variáveis, massa 𝑚1∗ , amortecimento 𝑐1

∗ , rigidez 𝑘1∗ e carregamento 𝑃 1

∗ são

generalizadas, definidas para o primeiro modo de acordo com o índice apresentado.

Quando a acção quasi-estática generalizada do vento é aplicada no edifício, o deslocamento

generalizado é igual a qualquer outra resposta obtida através de uma análise dinâmica.

A função de densidade espectral de potência desse carregamento é dado por:

𝑆𝑃 1∗ 𝑓 = 𝑘1

∗2𝑆𝜉1 𝑓 = 𝑆𝑃 ∗ 𝑓 𝐻1 𝑓 2 (6.54)

onde a acção generalizada quasi-estática do vento é 𝑃 𝑒∗ = 𝑃 𝑒 𝑧, 𝑡 𝜑1 𝑧 𝑑𝑧 e 𝑃 𝑒 é a acção

estática equivalente do vento.

As relações entre momentos e carregamentos, 𝑃 ∗ = 𝑀 /𝐻 e 𝑃 𝑒∗ = 𝑀 𝐼/𝐻 , permitem re-

-escrever a expressão (6.54) em termos das funções de densidade espectral dos momentos tal

que:

𝑆𝑀 1 𝑓 = 𝑆𝑀 𝑓 𝐻1 𝑓 2 (6.55)

Esta equação define um novo tratamento probabilístico da acção do vento.

Comparado com o DGLF, o MGLF apresenta uma vantagem imediata. O método MGLF dá

uma descrição concisa da relação entre o carregamento aerodinâmico e os efeitos induzidos na

estrutura devido ao vento (v. Figura 5-4). Por outro lado, no DGLF a função de transferência

aerodinâmica é na realidade uma função de transferência entre o comportamento da turbulência

introduzido e o carregamento generalizado do vento, que, por sua vez, é dependente da

normalização utilizada para definir a forma do modo o que cria para a função de transferência

uma dependência da forma do modo. Como tal, este procedimento complica o procedimento de

validação desta função que se revela mais prática no caso do MGLF, já que a relação entre

resposta e carregamento pode ser facilmente validada recorrendo a tecnologias como HFBB.

Figura 6-4 – Diagrama comparativo da metodologia do modelo DGLF e MGLF (Kareem & Zhou, Gust Loading

Factor: New Model, 2001)



Tal como o DGLF, o MGLF pode também ser descrito em função das componentes de

interferência e ressonância

𝐺𝑀 = 1 + 2𝐼𝐻 𝑔𝑢2𝐵 + 𝑔𝑅

2𝑅 = 1 + 𝐺𝑀𝐵2 + 𝐺𝑀𝑅

2 (6.56)

Para determinação destas grandezas é agora necessário recorrer a expressões indicadas em

Hu,2006.

O momento médio induzido na base da estrutura por integração é definido por

𝑀 𝐼 = 𝑃 𝑧 𝐻

0𝑧𝑑𝑧 =

1

2

𝜌𝑉𝐶𝐷𝑊𝑈𝐻2 𝐻2

2+2𝛼 (6.57)

Onde o parâmetro 𝛼 é, tal como no ponto anterior, o expoente da função velocidade.

O momento devido à resposta de fundo pode ser descrito implementando a função de influência

𝑖 𝑧 = 𝑧 (Kareem & Zhou, Gust Loading Factor: New Model, 2001), onde as grandezas têm

igual significado ao do ponto anterior.

𝑀 𝐼𝐵 =

𝑔𝑢 𝜌𝐶𝐷𝑊𝑈 𝐻 2𝐻

0

𝐻

0

𝐻

0

𝐻

0

∞

0

𝑧1

𝐻

𝛼

𝑧2

𝐻

𝛼𝑅𝑧 𝑓 𝑅𝑋 𝑓 𝑆𝑢 𝑓 𝑧1𝑧2𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑧1𝑑𝑧2𝑑𝑓 =

𝑔𝑢𝐼𝐻𝜌𝑉𝐶𝐷𝑊𝑈𝐻

2 𝐻2

2+𝛼 𝑆𝑢

∗ 𝑓 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2𝑑𝑓∞

0 (6.58)

vindo agora

𝐺𝑀𝐵 =𝑀 𝐼𝐵

𝑀 𝐼= 2𝑔𝑢 𝐼𝐻

2+2𝛼

2+𝛼 𝑆𝑢

∗ 𝑓 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2𝑑𝑓∞

0

(6.59)

Para a componente do vento caso o modo não seja linear ou a distribuição de massa não seja

uniforme, o máximo deslocamento do primeiro modo é dado por:

𝑌 𝑅 𝑧 = 𝑔𝑅 𝐼𝐻𝜌𝑈 2

𝐻𝐶𝐷𝑊

2𝜋𝑓1 2𝑚0×

1+2𝛽 2+2𝛽

1+𝛼+𝛽 2+2𝛽 −𝜆 1+2𝛽 × 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2 𝜋𝑓1

4𝜎𝑆𝑢

∗ 𝑓 ∙ 𝑧

𝐻

𝛽

(6.60)

onde se verifica que, pelo último produto, a função do deslocamento acompanha a forma do

modo.

Assim, o carregamento estático equivalente relativamente a esta parcela pode ser obtido pela

expressão



𝑃 𝑅 𝑧 = 2𝜋𝑓1 2𝑚 𝑧 𝑌 𝑅 𝑧 =

𝑔𝑅 𝐼𝐻𝜌𝑈 2

𝐻𝐶𝐷𝑊

2𝜋𝑓1 2𝑚0×

1+2𝛽 2+2𝛽

1+𝛼+𝛽 2+2𝛽 −𝜆 1+2𝛽 × 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2 𝜋𝑓1

4𝜎𝑆𝑢

∗ 𝑓 ∙ 1 − 𝜆𝑧

𝐻

𝑧

𝐻

𝛽

(6.61)

Por sua vez a integração do carregamento permite obter o Momento Induzido na Base devido à

parcela da ressonância

𝑀 𝐼𝑅 = 𝑃 𝑅 𝑧 𝑧𝑑𝑧𝐻

0=

𝑔𝑅𝐼𝐻𝜌𝑈 2𝐻𝐶𝐷𝑊𝐻2 1+2𝛽 2+2𝛽

1+𝛼+𝛽 2+2𝛽 −𝜆 1+2𝛽 ×

3+𝛽 −𝜆 2+𝛽

3+𝛽 2+𝛽 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2 𝜋𝑓1

4𝜎𝑆𝑢

∗ 𝑓1

(6.62)

Com isto pode-se desde já escrever a expressão que define a contribuição da ressonância para

𝐺𝑀 ,

𝐺𝑀𝑅 =𝑀 𝐼𝑅

𝑀 𝐼= 2𝑔𝑅𝐼𝐻

1+2𝛽 2+2𝛽

1+𝛼+𝛽 2+2𝛽 −𝜆 1+2𝛽 ×

3+𝛽 −𝜆 2+𝛽

3+𝛽 2+𝛽 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2 𝜋𝑓1

4𝜎𝑆𝑢

∗ 𝑓1

(6.63)

Ambos os métodos GLF aqui descritos resultam numa distribuição estática equivalente da acção

do vento que proporcionam bons resultados na direcção da acção do vento, tanto para

deslocamento como para momentos na base, no entanto, não apresentam boas estimativas para

outras respostas.

De acordo com (Kareem & Zhou, Areodynamic Admittance Function of Tall Buildings), o

MGLF e o DGLF são numericamente iguais para modos de vibração lineares. Contudo, para

modos de vibração não lineares, apesar da componente de fundo do MGLF ser idêntica à do

DGLF, o mesmo não se passa com a componente de ressonância. Esta relação é traduzida pela

variável como demonstrado sinteticamente na tabela seguinte.

DGLF MGLF

𝑮𝑩 (6.49) (6.59) 1 (funções lineares)

𝑮𝑹 (6.50) (6.63) 1 + 2 2 + 2 2 +

1 + + 2 + 2 − 1 + 2

3 + − 2 +

3 + 2 +

𝐽𝑍 𝛼,, 𝑓 2

𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2

Tabela 6-1– Tabela resumo das principais relações dos métodos DGLF e MGLF

6.4.1 Algumas notas sobre os modelos quasi-estáticos

Todos os métodos descritos até agora pretendem quantificar unicamente na direcção do vento

sobre o edifício. Os fenómenos típicos de escoamento de ar atmosférico em torno de edifícios

provocam não só vibrações longitudinais, mas também transversais, resultando desta

combinação efeitos dinâmicos de torção. Na grande maioria dos casos, estes efeitos são tão ou



mais importantes que os efeitos na direcção do vento, sobretudo quando analisados em serviço

devido ao comportamento oscilatório perceptível ao ser humano.

Ao longo das últimas décadas, como se tem vindo a fazer referência, a acção frontal do vento

sobre as estruturas tem sido eficazmente traduzida pelas teorias quasi-estáticas, no entanto, a

acção transversal e os efeitos de torção não podem ser tratados de igual forma, já que a relação

entre a incidência do escoamento e os efeitos em direcções alternadas não são bem aproximados

por relações lineares.

Contudo, o esforço dedicado à elaboração de modelos tem conduzido a desenvolvimentos dos

métodos apresentados atrás no espaço tridimensional. Baseados no modelo DGLF, Piccardo e

Solari propuseram uma aproximação empírica do espectro para uma acção transversal.

Recentemente, Kareem estende a sua proposta do modelo MGLF aos efeitos laterais e de torção

sobre os edifícios altos.

6.5 Outras abordagens

6.5.1 Túnel de Vento

O cálculo das acções e interacção do vento envolvem interacções entre escoamento e estrutura

muito complexas que, na direcção da acção do vento, têm sido traduzidas com sucesso por

modelos baseados em teorias das faixas - “strip”, e “quasi-steady”. Graças a esses modelos, são

utilizados procedimentos analíticos baseados nas características do escoamento e a geometria do

corpo imerso. Por outro lado, não existem procedimentos numéricos que traduzam eficazmente

o comportamento transversal e de torção.

As dificuldades sentidas neste campo têm destacado a análise em Túnel de Vento como o

procedimento mais fiável e completo, contudo mais dispendioso. Determinados projectistas e

muitas vezes os donos de obra defendem que este investimento inicial, face às análises

regulamentares, permite uma solução final mais económica tanto a nível estrutural como de

fachadas. Esta diferença resulta sobretudo da excessiva majoração de acções e hipóteses

conduzida na aplicação dos regulamentos (Cochran, State of the Art Review of Wind Tunnels

and Physical Modelling to Obtain Structural Loads and Cladding Pressures, 2007).

Para edifícios esbeltos, a vibração transversal e de torção induzidos pelo vento exigem análises

bastante cuidadas, o que torna as análises em túnel de vento bastante importantes nas fases mais

avançadas do projecto.

Existem dois tipos de análises em túnel de vento desenvolvidas no inicio do século XX, em

circuito aberto - NPL (National Physical Laboratory) - ou em circuito fechado – Göttingen type

(Holmes, 2007)

As técnicas de modelos aerolásticos em túnel de vento permitem obter resultados idênticos às

técnicas analíticas através da medição directa das cargas dinâmicas exercidas pela interacção do

escoamento com os edifícios. A obtenção de resultados mais precisos do que os obtidos

analiticamente exigem condições concretas de modelação do escoamento e dos obstáculos

atravessados, nomeadamente o edifício em causa, mas também dos obstáculos vizinhos

susceptíveis de induzirem efeitos importantes no escoamento incidente.

Os métodos propostos na bibliografia (Simiu & Scanlan, 1996)



baseiam-se nas teorias da análise de semelhança, que em determinadas condições reproduz de

forma satisfatória os fenómenos à escala real.

Além de estudos de carácter estrutural também são frequentemente conduzidos estudos sobre os

efeitos induzidos pelo escoamento sobre outros edifícios ou mesmo sobre a circulação de peões

na envolvente do edifício em causa.

6.5.2 Computação dinâmica de fluidos

A computação dos escoamentos em torno dos edifícios e outros corpos sujeitos à acção do vento

é uma técnica que, a par da grande evolução tecnológica das últimas décadas, tem sofrido

especial destaque. Este tipo de técnicas é útil em situações pouco comuns em que os edifícios

assumem formas pouco características e que dificultam a análise por meios expeditos. Um

exemplo desta aplicação é apresentado na Figura 6-5.

Figura 6-5 – Exemplo de aplicação de CFD a uma edifício de secção quadrada – Escoamento no plano X-Z

(esquerda) e distribuição de pressões (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007)

Figura 6-6 – Exemplo de aplicação de CFD a um edifício de secção quadrada – Escoamento no plano X-Y (esquerda)

e comparação com linhas equipotenciais teóricas (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007)



Este tipo de técnica exige normalmente um grande esforço computacional, tentando-se criar

várias hipóteses simplificativas nas equações de Navier-Stokes que descrevem o escoamento.

Contudo, o estudo do vento em estruturas esbeltas exige a consideração de várias escalas de

turbulência o que resulta numa análise muito complexa. Como consequência, na generalidade

das ofertas do mercado neste domínio, os softwares de computação dinâmica de fluidos

reproduzem com alguma fiabilidade as pressões médias do vento, não acontecendo o mesmo

com os fenómenos gerados pelas flutuações do vento bem como as acções extremas do vento.


7 Análise do vento de acordo com o Eurocódigo

7.1 Enquadramento

A norma europeia EN 1991-1-4 procura criar um conjunto de linhas orientadoras para a

determinação das acções do vento sobre estruturas, tanto na sua análise global como

especificamente em elemento singulares.

No enquadramento destas folhas de apoio, importa referir que em 1.1(2) se pode ler que a norma

não é aplicável a edifícios com alturas superiores a 200m, o que limita bastante o domínio da

análise que se pretende efectuar. Contudo, entenda-se que este ponto pretende salvaguardar que

serão efectuados outros tipos de análises e estudos, como análises em túnel de vento, no caso de

edifícios com alturas superiores a 200m. Por isso adoptar-se-ão os procedimentos aplicáveis

segundo a norma EN 1991-1-4 como válidos.

Note-se ainda que em 1.1(4) são referidos anexos nacionais, subjacentes a cada país que

determinam um conjunto de condições físicas e climáticas característica de cada região. Este

tipo de caracterização é de grande importância na correcta definição da acção do vento.

O regulamento é ainda composto por um conjunto de anexos que permitem de forma

simplificada definir um conjunto de características da acção do vento bem como algumas

propriedades dinâmicas dos edifícios. . O regulamento, no que diz respeito aos edifícios altos,

recorre ao MGLF para determinação dos efeitos dinâmicos da interacção vento-estrutura.

Este e outros regulamentos apresentam sem grande excepção, os seguintes factores:

Especificações para velocidades base ou de referência para várias zonas abrangidas pelo

código. Geralmente uma velocidade de referência a 10m de altura e em terreno aberto

(rural);

Factores para cálculo das variações da velocidade em altura, tipo de terreno, direcção do

vento, topografia, etc.;

Coeficientes de força e pressão para várias formas geométricas de edifícios;

Contabilização de efeitos dinâmicos ressonantes em edifícios flexíveis.

O objectivo deste capítulo é enumerar os principais passos e métodos de cálculo adoptados pelo

regulamento, procurando fazer uma analogia com a teoria já apresentada. No final deste capítulo

é também efectuada uma abordagem a outros regulamentos mundiais, baseada em (Zhou,

Kijewski, & Kareem, Along-Wind Load Effects on Tall Buildings: Comparative Study of Major

International Codes and Standards, 2002).



7.2 Caracterização do vento em escoamento livre

7.2.1 Velocidade básica do vento

De acordo com o ponto 4.1, a velocidade do vento e a pressão por ele provocada deve ser

caracterizada contabilizando uma componente média e uma componente flutuante.

A velocidade média, 𝑣𝑚 , é calculada tendo por base a velocidade básica do vento, 𝑣𝑏 . Esta

grandeza é definida por

𝑣𝑏 = 𝑐𝑑𝑖𝑟 ∙ 𝑐𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 ∙ 𝑣𝑏 ,0 (7.1)

Nesta expressão, a velocidade fundamental da velocidade básica do vento de referência, 𝑣𝑏 ,0, é

definida a uma altura de 10m acima do solo numa zona de terreno aberto com vegetação baixa

e obstáculos isolados de pelo menos 20 vezes a sua altura. A transformação da velocidade

fundamental na velocidade básica é feita pela afectação da direcção do vento e época do ano.

Estes coeficientes de afectação da velocidade básica deverão ser consultados no Anexo

Nacional da zona a estudar. Na ausência desta informação e em casos gerais, o valor 1.0 pode

ser adoptado.

Note-se ainda que 𝑣𝑏 ,0 se refere ao valor característico de uma média de 10 minutos com uma

probabilidade anual de ser ultrapassada de 0,02, o que equivale a um período de retorno de 50

anos.

No caso de análise de estruturas temporárias, as propriedades de 𝑣,𝑏0 deverão ser afectadas pelo

coeficiente de probabilidade, 𝑐𝑝𝑟𝑜𝑏 que permite a transformação do período de retorno

equivalente à probabilidade 0,02 para a probabilidade 𝑝.

𝑐𝑝𝑟𝑜𝑏 = 1−𝐾.ln(−ln(1−𝑝))

1−𝐾.ln(− ln 0.98 )

𝑛 (7.2)

No caso de uma época bastante restrita do ano a velocidade básica deverá ser também afectada

pelos coeficientes referidos acima.

Em Portugal é usual admitir-se para 𝑣𝑏 ,0 valores na ordem dos 26m/s.

7.2.2 Função velocidade média do vento

A velocidade média do vento, função da altura z, depende da rugosidade do terreno, da

orografia do terreno e ainda da velocidade básica atrás definida.

𝑣𝑚 𝑧 = 𝑐𝑟(𝑧) ∙ 𝑐0(𝑧) ∙ 𝑣𝑏 (7.3)

O factor de rugosidade 𝑐𝑟(𝑧) depende das características do terreno, que de acordo com o EN

1991-1-4 se pode dividir nas classes apresentadas na seguinte Tabela.



Tabela 7-1– Categorias e parâmetros das classes definidas no EN 1991-1-4

Com recurso aos parâmetros da Tabela 7-1 define-se o coeficiente de rugosidade pela expressão

seguinte:

𝑐𝑟 𝑧 = 𝑘𝑟 ∙ 𝑙𝑛 𝑧

𝑧0 para 𝑧𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑚𝑎𝑥 (7.4)

𝑐𝑟 𝑧 = 𝑐𝑟(𝑧min ) para 𝑧 ≤ 𝑧𝑚𝑖𝑛

com

𝑘𝑟 = 0,19 ∙ 𝑧0

𝑧0,𝐼𝐼

0.07

(7.5)

Nestas expressões, z representa a altura ao solo, 𝑧0 o comprimento de rugosidade definida para

a classe de terreno pretendida e 𝑧0,𝐼𝐼 o comprimento de rugosidade da classe II, que serve no

fundo como valor de referência na expressão do factor de terreno 𝑘𝑟 . Note-se que este valor de

referência é coerente com a dita velocidade de referência apontada no ponto anterior, ambos

definidos numa zona de terreno aberto com vegetação baixa e obstáculos isolados de pelo

menos 20 vezes a sua altura (v. Tabela 7-1).

Relativamente ao coeficiente de orografia 𝑐0(𝑧), onde esta pode influenciar a velocidade do

vento mais do que 5%, os seus efeitos deverão ser tidos em conta. Para isso deve ser consultado

o ponto 4.3.3 da EN 1991-1-4.

De notar ainda os procedimentos sugeridos no Anexo A para casos específicos em que os

edifícios em estudo se encontram bastante próximos de edifícios vizinhos, podendo ficar

sujeitos a efeitos secundários que podem induzir elevadas velocidades do vento segundo

algumas direcções (v. 4.3.4 EN 1991-1-4). Estes efeitos podem inclusive criar situações de

desconforto nos peões que circulam junto aos edifícios.

7.2.3 Intensidade da turbulência do vento

A intensidade da turbulência 𝐼𝑣 𝑧 é habitualmente definida a determinada altura z como a

razão entre o desvio padrão da turbulência e a velocidade média da velocidade.

O Eurocódigo sugere a seguinte expressão para definição da intensidade da turbulência



𝐼𝑣 𝑧 =𝜍𝑣

𝑣𝑚 𝑧 =

𝑘𝑙

𝑐𝑜 𝑧 ∙𝑙𝑛 𝑧/𝑧0 para 𝑧𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑚𝑎𝑥 (7.6)

𝐼𝑣 𝑧 = 𝐼𝑣 𝑧𝑚𝑖𝑛 para 𝑧 ≤ 𝑧𝑚𝑖𝑛

onde 𝑘𝑙 é denominado o factor de turbulência, com valor sugerido de 1.0, salvo indicação do

Anexo Nacional.

7.2.4 Pressão de pico do vento em escoamento livre

Esta grandeza reúne as propriedades médias e flutuantes do vento, como pressão estática. A

pressão de pico é assim definida como a soma de duas parcelas, uma de carácter médio e outra

função da turbulência do escoamento.

𝑞𝑝(𝑧) = 1 + 7 ∙ 𝐼𝑣(𝑧) ∙1

2𝜌𝑣𝑚

2 𝑧 (7.7)

É corrente comparar-se esta grandeza à pressão estática da velocidade básica 𝑞𝑏 , definindo-se

assim uma nova grandeza, o factor de exposição, 𝑐𝑒 𝑧 , que não é mais do que a amplificação

da pressão estática devido à velocidade básica, resultado da diferença de altura z e da

turbulência do escoamento nesse ponto.

𝑐𝑒 𝑧 = 1 + 7 ∙ 𝐼𝑣(𝑧) ∙

1

2𝜌𝑣𝑚

2 𝑧 1

2𝜌𝑣𝑏

2 (7.8)

7.3 Caracterização along-wind da acção do vento

A contabilização da acção do vento sobre o edifício é efectuada com recurso a um ponto de

referência onde todas as propriedades do vento são calculadas. De acordo com 6.3.2, no caso de

edifícios altos a altura de referência de cálculo deverá ser em 𝑧𝑒 = 0.6𝐻, com 𝐻 a altura total

do edifício.

Figura 7-1 – Dimensões estruturais e alturas de referência para estruturas passíveis de análise pelo EN 1991-1-4



A força do vento, no caso de uma análise global, deverá ser quantificada pela seguinte

expressão

𝐹𝑤 = 𝑐𝑠𝑐𝑑 ∙ 𝑐𝑓 ∙ 𝑞𝑝 𝑧𝑒 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑓 (7.9)

Nesta expressão, 𝑐𝑓 representa o coeficiente de força que depende da forma do edifício e

geralmente do número de Reynolds. 𝑐𝑠𝑐𝑑 é denominado factor de estrutura e contempla os

efeitos aleatórios do vento na ocorrência de picos não simultâneos em toda a superfície do

edifício bem como as vibrações induzidas no edifício devido à turbulência do vento. 𝐴𝑟𝑒𝑓

representa a área de referência sobre a qual actuam as pressões estáticas do vento.

Esta expressão define uma análise quasi-estática, em que se aplica o método MGLF para

definição das propriedades do coeficiente 𝑐𝑠𝑐𝑑 . Recordando a expressão (6.18) e analisando

comparativamente com a expressão (7.9), compreende-se que 𝑐𝑠𝑐𝑑 não representa o factor de

pico, uma vez que as pressões estáticas definidas em (7.9) já se encontram nesta expressão

afectadas da turbulência do escoamento.

7.3.1 Definição dos coeficientes de força

Os coeficientes de força aerodinâmicos dependem de vários factores tais como o número de

Reynolds e a forma geométrica da secção do edifício. O Eurocódigo apresenta sugestões para

um conjunto de formas regulares, cilíndricas e poligonais. DE uma forma geral, o coeficiente de

força é determinado por

𝑐𝑓 = 𝑐𝑓 ,0 (7.10)

em que 𝑐𝑓 ,0 representa o coeficiente de força sem a contabilização dos efeitos tridimensionais do

escoamento em torno do edifico. O valor de tem em conta estes efeitos, de recirculação a

barlavento. Estes efeitos dependem da esbelteza efectiva do edifício e deve ser tida em conta de

acordo com o ponto 7.13 do regulamento.

Outros efeitos específicos de cada forma são tidos em conta no Eurocódigo. Essa análise é

efectuada caso a caso.

Note-se ainda que o EN 1991-1-4 apresenta um conjunto vasto de disposições para outro tipo de

coeficientes, como coeficientes de pressões para os mais variados elementos e formas

estruturais. Estas disposições podem ser encontradas no ponto 7.

7.3.2 Factor de estrutura – structural factor cscd

O factor de estrutura, que como já foi referido, contabilizada a aleatoriedade da acção do vento,

a perda de correlação dessa acção em vários pontos simultaneamente e as vibrações induzidas

na estruturas. Este tipo de análise fará apenas sentido para alguns tipos concretos de estruturas,

nomeadamente os edifícios altos.



Para edifícios tipicamente baixos ou com frequências de vibração muito elevados, superiores a

5Hz, o valor de 𝑐𝑠𝑐𝑑 pode ser tomado como 1. Edifícios esbeltos, altos e flexíveis não

dispensam o cálculo detalhado de 𝑐𝑠𝑐𝑑 .

Para as estruturas representadas Figura 6-5, o factor de estrutura pode ser calculado por

𝑐𝑠𝑐𝑑 =1 + 2 ∙ 𝑘𝑝 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 ∙ 𝐵2 + 𝑅2

1 + 7 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 (7.11)

Nesta expressão, 𝑘𝑝 é o factor de pico definido pela maxíma razão entre a flutuação do vento e

o seu desvio padrão. 𝐵2 e 𝑅2 representam o factor de fundo e o facto de ressonância,

respectivamente. O factor de fundo mede a falta de correlação das pressões em toda a estrutura e

o factor de ressonância por sua vez mede a turbulência do vento em ressonância com o modo de

vibração principal da estrutura.

O factor de estrutura pode ainda ser dividido no produto de dois factores, o de dimensão que

tem em conta a ocorrência não simultânea das pressões de pico em toda a estrutura e o factor

dinâmico com respeito à ressonância do edifício.

Esses factores são definidos em 6.3.1 (1) por

𝑐𝑠 =1 + 7 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 ∙ 𝐵2

1 + 7 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 (7.12)

𝑐𝑑 =1 + 2 ∙ 𝑘𝑝 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 ∙ 𝐵2 + 𝑅2

1 + 7 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 𝐵2 (7.13)

Note-se que neste procedimento, a par do que é referido na contextualização teórica deste

problema, admite-se que as respostas devido aos modos secundários na direcção do vento são

desprezáveis.

7.3.3 Determinação do factor de fundo - 𝐵2

O factor de fundo é definido pela expressão seguinte

𝐵2 = 1 1 + 0.9 ∙ 𝑏+𝑕

𝐿(𝑧𝑒)

0.63 (7.14)

em que 𝑏 e 𝑕 representam a largura e altura da estrutura e 𝐿(𝑧𝑒) a Escala de comprimento da

turbulência.

𝐿 𝑧𝑒 = 𝐿𝑡 ∙ 𝑧𝑒

𝑧𝑡

0.67+0.05ln(𝑧0)= 300 ∙

𝑧𝑒

200

0.67+0.05ln(𝑧0) para 𝑧𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑧 (7.15)

𝐿 𝑧𝑒 = 𝐿(𝑧min ) para 𝑧𝑚𝑖𝑛 ≥ 𝑧 (7.16)



7.3.4 Determinação do factor de ressonância - 𝑅2

A expressão do factor de ressonância é definida com recurso ao espectro do vento sugerido no

Eurocódigo.

Figura 7-2 – Função de densidade espectral do vento 𝑆𝐿 normalizada

A densidade espectral da acção do vento normalizada é descrita pela expressão seguinte, em que

𝑆𝑣(𝑧, 𝑛) representa a função de densidade espectral da velocidade do vento

𝑆𝐿 𝑧, 𝑛 =𝑛∙𝑆𝑣(𝑧,𝑛)

𝜍𝑣2 =

6.8∙𝑓𝐿(𝑧 ,𝑛)

(1+10.2∙𝑓𝐿(𝑧 ,𝑛))5/3 (7.17)

A expressão (7.17) é função da frequência adimensional 𝑓𝐿(𝑧, 𝑛) que por sua vez se relaciona

com a escala de comprimentos da turbulência a e a velocidade média através de

𝑓𝐿 𝑧, 𝑛 =𝑛 ∙ 𝐿(𝑧)

𝑣𝑚 𝑧 (7.18)

Destas expressões importa contabilizar o valor espectral da resposta do primeiro modo para a

altura de referência 𝑧𝑒 .

Posto isto, a expressão do factor de ressonância é definida tal que

𝑅2 =𝜋2

2∙𝛿∙ 𝑆𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 ∙ Rh h ∙ Rb b (7.19)

onde 𝛿 representa o decremento logarítmico do amortecimento global da estrutura e Rh e Rb as

funções de admitância aerodinâmica, vertical e horizontal respectivamente.



Segundo B.2(6), as funções de admitância aerodinâmica para o modo de vibração fundamental

podem ser definidas por

𝑅𝑕 𝑕 =1

𝑕

−1

2𝑕2 (1 − 𝑒−2𝑕 ) com 𝑕 =

4.6𝑕

𝐿 𝑧𝑒 ∙ 𝑓𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 (7.20)

𝑅𝑏 𝑏 =1

𝑏

−1

2𝑏2 (1 − 𝑒−2𝑏 ) com 𝑏 =

4.6𝑕

𝐿 𝑧𝑒 ∙ 𝑓𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 (7.21)

Para valores de 𝑕 e 𝑏 nulos, as função de admitância aerodinâmica tomam o valor unitário.

O decremento logarítmico do amortecimento global da estrutura deverá ser determinado com

recurso ao Anexo F do regulamento.

7.3.5 Factor de pico - 𝑘𝑝

O factor de pico é normalmente definido por uma expressão do tipo da equação (6.47), sendo no

entanto no Eurocódigo sugerida uma expressão idêntica com a seguinte forma

𝑘𝑝 = 2 ∙ ln 𝑇 + 0.6/ 2 ∙ ln 𝑇 com 𝑘𝑝 ≥ 3

(7.22)

onde 𝑇 é o tempo em segundos da média da velocidade básica considerada no cálculo de

𝑣𝑚 𝑧𝑒 , ou seja no caso das velocidades definidas pela norma europeia 𝑇 = 600𝑠 (10min) e a

frequência cruzada da interacção dos fenómenos de fundo e ressoantes, contabilizando apenas a

frequência do modo de vibração fundamental.

= 𝑛1,𝑥 𝑅2

𝐵2+𝑅2 com ≥ 0.08 𝐻𝑧 (7.23)

Como exercício final, sugere-se que o leitor tente compreender a analogia destas expressões

com as do capítulo anterior de contextualização teórica.

7.4 Análise dos edifícios em Serviço

No anexo B, na continuação do procedimento de cálculo do factor de estrutura, são também

apresentadas algumas disposições relativamente à avaliação de propriedades cinemáticas tais

como os deslocamentos e as acelerações do edifício.

Relativamente aos deslocamentos, é sugerida a determinação dos deslocamentos na direcção do

vento através do carregamento estático equivalente obtido nos pontos anteriores. Para isso

podem-se por exemplo calcular num modelo de barras ou de elementos finitos os deslocamentos

associados à força do vento.



No que diz respeito às acelerações, é proposta uma expressão para o desvio padrão

característico das acelerações na direcção do vento, num ponto de altura z.

𝜍𝑎 ,𝑥 𝑧 =𝑐𝑓 ∙ 𝜌 ∙ 𝑏 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 ∙ 𝑣𝑚

2 (𝑧𝑒)𝑚1,𝑥

∙ 𝑅 ∙ 𝐾𝑥 ∙1,𝑥(𝑧) (7.24)

Nesta expressão, 𝑚1,𝑥 representa a massa modal equivalente para o primeiro modo, 𝑅 a raiz

quadrada do factor de ressonância e 𝐾𝑥 um factor adimensional definido por

𝐾𝑥 = 𝑣𝑚

2 (𝑧)1,𝑥(𝑧)𝑑𝑧𝑕

0

𝑣𝑚2 (𝑧𝑒) 1,𝑥(𝑧)𝑑𝑧

𝑕

0

(7.25)

Tanto nesta expressão como na anterior, 1,𝑥(𝑧) representa a função de forma modal do modo

de vibração principal, definida no regulamento no Anexo F, função do comportamento

estrutural do edifício.

A função de forma modal é dada por

1,𝑥 𝑧 = 𝑧

𝑕

(7.26)

com a variar com o tipo de estrutura do edifício e pode ser obtido F.3.

A simplificação aproximada da expressão (7.25) considerando a função de formal modal (7.26)

conduz à expressão

𝐾𝑥 = (2 ∙ + 1) + 1 ∙ ln 𝑧𝑒

𝑧0 + 0.5 − 1 + 1 2 ∙ ln

𝑧𝑒

𝑧0 (7.27)

De acordo com os vários tipos de estrutura, a computação da última expressão permite definir o

seguinte gráfico.



Figura 7-3 – Aproximação do coeficiente adimensional 𝐾𝑥 , de acordo com a expressão (7.27)

Uma vez que a média da aceleração é nula, o valor absoluto da aceleração máxima atingida pelo

edifício é obtido pela multiplicação do desvio padrão por um factor de pico. Pode-se ler em

B.4(4) que o valor de pico característico da acção é obtido através da multiplicação do desvio

padrão pelo factor de pico calculado em (7.22), também contabilizando a frequência de vibração

do primeiro modo na direcção along-wind.

𝑎𝑥 ,𝑚á𝑥 = 𝑘𝑝 ∙ 𝜍𝑎 ,𝑥 (7.28)

7.5 Comparação do EC1 com outras normas mundiais (along-wind)

Com base no artigo supracitado, procura-se demonstrar o paralelismo entre as principais normas

mundiais, nomeadamente:

EN 1991-1-4:2005 - Norma Europeia

ASCE 7 – Norma Norte Americana

AS1170.2 – Norma Australiana

NBC – Norma Canadiana

RLB-AIJ – Norma Japonesa

7.5.1 Velocidade Básica do Vento

Na grande generalidade dos regulamentos mundiais, a velocidade básica do vento, 𝑉0 , é

determinada experimentalmente com medições a 10 m de altura sobre terreno aberto.



EC 1 ASCE 7 AS1170.2 NBC RLB-AIJ

Velocidade

básica do vento 3s 3s 1h 10min 10min

Factor de rajada

do vento 3s 1h 1h 10min 3s

Resposta

induzida pelo

vento

1h 1h 1h 10min 10min

Tabela 7-2 – Tempos médios nos diferentes regulamentos

São elaboradas médias sobre amostras de dimensões e períodos de amostragem diferentes.

Neste contexto, a Tabela 7-2 relata os tempos médios de amostragem segundo cada código não

só para a velocidade básica mas também para o factor de rajada do vento, bem como a resposta

induzida pelo mesmo.

A velocidade de dimensionamento é obtida no caso geral pela expressão

𝑉 = 𝑉0. 𝐶𝑑 . 𝐶𝑠 . 𝐶𝑖 . 𝐶𝑟 (7.29)

Este conjunto de coeficientes configura a velocidade básica numa aproximação da velocidade de

um determinado local introduzindo a influência do meio ambiente, da direcção do vento, dos

intervalos de amostragem utilizados na obtenção de 𝑉0 e outros factores significativos

associados à estrutura do vento. Desta forma, os índices poderão ser descritos de acordo com a

seguinte enumeração:

-𝐶𝑑 - coeficiente de direccionalidade, “directionality”

-𝐶𝑠 - , coeficiente de protecção/exposição “shield”

-𝐶𝑖 – coeficiente de importância, “importance”

-𝐶𝑟 – coeficiente de retorno, “return”

7.5.2 Comportamento médio do vento

A distribuição que caracteriza a velocidade média do vento em altura é influenciada pela

topografia do terreno, obstáculos na vizinhança, bem como pelos intervalos de amostragem

utilizados na sua definição. A dimensão do intervalo utilizado nas médias influencia o perfil da

velocidade do vento. Note-se que para os intervalos correntes na Tabela 7-2 uma amostra de três

segundos terá com certeza uma distribuição mais regular do que uma amostra de uma hora.

Como referido no capítulo 2, são utilizados predominantemente duas formulações para o

comportamento da velocidade do vento em altura, a lei exponencial e a lei logarítmica. Os

regulamentos abordados e na sua generalidade, recorrem à lei exponencial.

𝑧 = 𝑉0 . 𝑏. 𝑧

10

𝛼 (7.30)



As constantes 𝛼 e 𝑏, calibram a expressão de acordo com o tipo de terreno. Os valores propostos variam de

variam de regulamento para regulamento e são resumidos na

ASCE -7 AS1170.2 NBC

1h 1h 1h

b 𝛼 b 𝛼 b 𝛼

A 0.30 0.33 0.29 0.28 0.43 0.36

B 0.45 0.25 0.45 0.20 0.67 0.25

C 0.65 0.15 0.58 0.16 1.00 0.14

D 0.80 0.11 0.69 0.13

E

Tabela 7-3

ASCE -7 AS1170.2 EC 1 RLB-AIJ

3s 3s 10min 10 min

b 𝛼 b 𝛼 b 𝛼 b 𝛼

A 0.66 0.20 0.76 0.14 0.55 0.29 0.39 0.35

B 0.85 0.14 0.91 0.10 0.77 0.21 0.58 0.27

C 1.00 0.11 1.04 0.07 1.00 0.16 0.79 0.20

D 1.09 0.09 1.18 0.04 1.17 0.12 1.00 0.15

E 1.23 0.10

ASCE -7 AS1170.2 NBC

1h 1h 1h

b 𝛼 b 𝛼 b 𝛼

A 0.30 0.33 0.29 0.28 0.43 0.36

B 0.45 0.25 0.45 0.20 0.67 0.25

C 0.65 0.15 0.58 0.16 1.00 0.14

D 0.80 0.11 0.69 0.13

E

Tabela 7-3 – Coeficientes de definição dos perfis de vento segundo os vários regulamentos “padronizados”



É usual recorrer-se à relação adimensional 𝐶𝑒 𝑧 = 𝑉 (𝑧)/𝑉 03𝑠 para caracterizar a variação

média da velocidade. No entanto, como já foi feita a observação, nem todos os regulamentos

utilizam as rajadas medidas em 3s. De acordo com (Zhou, Kijewski, & Kareem, Along-Wind

Load Effects on Tall Buildings: Comparative Study of Major International Codes and

Standards, 2002), recorre-se neste estudo a uma transformação (citar fórmula/apresentar

fórmula) para uma rajada de 3s.

Considerando esta transformação, é possível desenhar as curvas que representam este

coeficiente adimensional de acordo com o conjunto de gráficos Figura 7-4 (a).

Figura 7-4 – Comparação das funções velocidade normalizada (a), intensidade da turbulência (b) e densidade

espectral (c) nos vários regulamentos – ASCE, AS1170, NBC, AIJ, EC1.

7.5.3 Intensidade da turbulência

O comportamento da intensidade da turbulência é também descrito por uma função exponencial

𝐼 𝑧 = 𝑐. (𝑧/10)−𝑑 (7.31)

Nesta expressão 𝑐 e 𝑑 são também constantes que dependem da caracterização do terreno. Os

valores que podem tomar de acordo com as classes de terreno definidas nos regulamentos são

apresentados na tabela Tabela 7-4

ASCE -7 AS1170.2 EC1 RLB-AIJ NBC

c d c d c d c d c d

A 0.450 0.167 0.453 0.300 0.621 0.360 0.402 0.400 0.434 0.290

B 0.300 0.167 0.323 0.300 0.335 0.250 0.361 0.320 0.285 0.210

C 0.200 0.167 0.259 0.300 0.200 0.140 0.259 0.250 0.189 0.160

D 0.150 0.167 0.194 0.300 0.204 0.200 0.145 0.120

E 0.162 0.150

Tabela 7-4 – Coeficientes para definição do perfil da intensidade de turbulência

A computação da função referida na expressão (7.31) conduz à Figura 7-4(b).



7.5.4 Função espectral do vento, Escalas de Comprimento de Turbulência e

Correlação da estrutura do vento

A Tabela 7-5 resume as expressões definidas para a função espectral do vento adimensional,

bem como a escala de comprimentos da turbulência.

Função espectral do vento Escala comp. da turbulência

ASCE 7 𝑓𝑆𝑣(𝑓)

𝜍𝑣2 =

6.868𝑥

(1 + 10.302𝑥)5/3, 𝑥 =

𝑓. 𝐿𝑧(𝑧)

𝑉(𝑧)

𝐿𝑧 𝑧 = 𝑙 𝑧/10 휀

𝑙 e 휀 dependem do tipo de terreno

AS1170.2 𝑓𝑆𝑣(𝑓)

𝜍𝑣2 =

4𝑥

6.667(2 + 𝑥2)5/6, 𝑥 =

𝐿𝐻𝑓

𝑉 𝐻 𝐿𝐻 = 1.00 𝐻/10 0.25

NBC 𝑓𝑆𝑣(𝑓)

𝜍𝑣2 =

2𝑥

3(1 + 𝑥2)4/3, 𝑥 =

1,20𝑓

𝑉 𝐻 𝐿𝐻 = 1200

RLB-AIJ 𝑓𝑆𝑣(𝑓)

𝜍𝑣2 =

4𝑥

(1 + 70.8𝑥2)5/6, 𝑥 =

𝐿𝐻𝑓

𝑉 𝐻

𝐿𝐻 = 100(𝐻/30)0.5

EC1 𝑓𝑆𝑣(𝑓)

𝜍𝑣2 =

6.868𝑥

(1 + 10.302𝑥)5/3, 𝑥 =

𝑓. 𝐿𝑧(𝑧)

𝑉 (𝑧)

𝐿𝑧 𝑧 = 300 𝑧/300 휀

휀 depende do tipo de terreno

Tabela 7-5 – Funções de densidade espectral do vento de acordo com os vários regulamentos

De referir na formulação destas expressões que na definição das escalas de comprimentos da

turbulência apenas para o código europeu e para o americano se têm uma dependência do

terreno, introduzida pelo parâmetro 휀 . De facto, nos restantes regulamentos este parâmetro não

é utilizado, sendo que para o código Canadiano 𝐿𝐻 assume mesmo um comportamento

constante em altura. A Figura 7-4 (c) ilustra os resultados aplicados na computação destas

funções.

7.5.5 Quantificação da Acção de Rajada do Vento (GLF)

Os procedimentos para cálculo da acção do vento introduzindo a amplificação de rajada seguem

o modelo referido no capítulo 4 de autoria de Davenport. Nos vários regulamentos a aplicação

deste modelo difere na abordagem feita por cada um para a modelação do campo de velocidades

do vento e das suas características e estrutura dinâmica. Esta abordagem está na origem das

diferenças apresentadas nas expressões que conduzem ao cálculo do carregamento estático

equivalente, de acordo com a Tabela 7-6. De notar que no código americano e europeu a reposta

de fundo é baseada num modelo GLF de autoria de Kareem, no entanto, bastante semelhante à

formulação de Davenport.





Tabela 7-6 – Definição do Factor de rajada –GLF- de acordo com os vários regulamentos


8 Exemplo de aplicação do Eurocódigo 1.4

Para resolução do problema seguinte foram considerados os seguintes pressupostos:

Características do edifício

Forma geométrica da secção do edifício (secção constante) –

Npisos – 60 pisos;

Altura – 200 𝑚;

Largura – 25𝑚; Massa modal – 0,74𝑡𝑜𝑛/𝑚2;

Solução estrutural em betão armado formada por um núcleo central e colunas

periféricas com pouca contribuição para as acções horizontais;

Frequência de vibração fundamental – 𝑓 = 46/200 = 0,23𝐻𝑧

Características do Terreno

Zona costeira;

Características do Vento

Velocidade fundamental do vento – 26𝑚/𝑠; Massa volúmica do ar – 1,25𝑘𝑔/𝑚3.

8.1 Caracterização do vento em escoamento livre

Altura de cálculo - 𝑧𝑒 = 0,6 × 𝐻 = 120𝑚

Velocidade básica do vento - 𝑣𝑏 = 𝑐𝑑𝑖𝑟 ∙ 𝑐𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 ∙ 𝑣𝑏 ,0 = 1,0 × 1,0 × 26,0 = 26,0𝑚/𝑠

Velocidade média do vento

𝑣𝑚 𝑧𝑒 = 𝑐𝑟 𝑧 ∙ 𝑐0 𝑧 ∙ 𝑣𝑏 = 0,19 ∙ 0,003

0,05

0.07

× 1,0 × 26,0 = 42,99𝑚/𝑠

Intensidade da turbulência

𝐼𝑣 𝑧𝑒 =𝑘𝑙

𝑐𝑜 𝑧 ∙𝑙𝑛 𝑧/𝑧0 =

1,0

1,0 ∙ 𝑙𝑛 120/0.003 = 0,094

Pressão dinâmica de pico



𝑞𝑝 𝑧𝑒 = 1 + 7 ∙ 𝐼𝑣 𝑧 ∙1

2𝜌𝑣𝑚

2 𝑧𝑒 = 1 + 7 ∙ 0,094 ∙1

2∙ 1,25 ∙ 42,992 = 1,92𝑘𝑃𝑎

Comprimento de escala da turbulência

𝐿 𝑧𝑒 = 300 ∙ 𝑧𝑒

200

0.67+0.05ln(𝑧0)

= 300 ∙ 120

200

0.67+0.05ln(0,003)

= 247,13𝑚

8.2 Coeficiente de força

De acordo com o ponto 7.6, a resolução do coeficiente de força sem afectação da

tridimensionalidade do edifício é feita pelo ábaco apresentado.

𝑑

𝑏= 1 𝑐𝑓 ,0 = 2,1

O factor de redução para cantos arredondados 𝑟 para uma secção quadrada perfeita é igual à

unidade, virtude da relação 𝑟/𝑏 se aproximar de zero.

O factor de fecho, , deve ser calculado de acordo com o ponto 7.13 do regulamento.

= min 1,4 ∙𝑙

𝑏, 70 = min 1,4 ∙

200

25, 70 = 11,20

Recorrendo agora ao ábaco que nos indica o factor de fecho em função do coeficiente de solidez

e a esbelteza do edifício, obtém-se 0,72.

Assim vem para o coeficiente de força a seguinte expressão:

𝑐𝑓 = 𝑐𝑓 ,0 ∙ 𝑟

∙

= 2,1 ∙ 1,0 ∙ 0,72 = 1,55

8.3 Factor estrutural – cscd

8.3.1 Factor de fundo – 𝐵2

𝐵2 = 1 1 + 0.9 ∙ 𝑏 + 𝑕

𝐿(𝑧𝑒)

0.63

= 1 1 + 0.9 ∙ 25 + 200

247,13

0.63

= 0,54



8.3.2 Factor de Ressonância – 𝑅2

Frequência adimensional

𝑓𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 =𝑛1,𝑥 ∙ 𝐿(𝑧𝑒)

𝑣𝑚 𝑧𝑒 = 0,23 ∙ 247,13

42,99 = 1,32

Densidade espectral normalizada

𝑆𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 =6.8 ∙ 𝑓𝐿(𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥)

(1 + 10.2 ∙ 𝑓𝐿(𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥))5/3=

6.8 ∙ 1,32

(1 + 10.2 ∙ 1,32)5/3= 0,10

Funções de admitância aerodinâmica

𝑕 =4.6𝑕

𝐿 𝑧𝑒 ∙ 𝑓𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 =

4.6∙200

247,13∙ 1,32 = 4,92

𝑅𝑕 𝑕 =1

𝑕

−1

2𝑕2 1 − 𝑒−2𝑕 = 0,18

𝑏 =4.6 ∙ 25

247,13∙ 1,32 = 0,62

𝑅𝑏 𝑏 =1

𝑏

−1

2𝑏2 1 − 𝑒−2𝑏 = 0,69

De notar que a correlação das pressões é maior na direcção horizontal do que na direcção

vertical. A grande dimensão em altura do edifício leva a uma perda de correlação das suas

pressões cuja quantificação é de grande importância para o seu correcto dimensionamento.

Amortecimento global do edifício

Tabela F.2 - 𝑠 = 0,10

𝑎 =𝑐𝑓 ∙ 𝜌𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑣𝑚 𝑧𝑒

2 ∙ 𝑛1 ∙ 𝑚𝑒=

1,55 ∙ 1,25 ∙ 25 ∙ 42,99

2 ∙ 0,23 ∙ 138750= 0,026

𝑠 = 0,00

Factor de ressonância

𝑅2 =𝜋2

2 ∙ 𝛿∙ 𝑆𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 ∙ Rh h ∙ Rb b =

𝜋2

2 ∙ 0,126∙ 0,10 ∙ 0,18 ∙ 0,69 = 0,52



8.4 Factor de pico

Frequência cruzada

= max 𝑛1,𝑥 𝑅2

𝐵2 + 𝑅2, 0.08 = max 0,23

0,522

0,542 + 0,522, 0.08 = 0,16

Factor de pico

𝑘𝑝 = max 2 ∙ ln 𝑇 +0.6

2 ∙ ln 𝑇 , 3 = max 2 ∙ ln 0,16 ∙ 600 +

0.6

2 ∙ ln 0,16 ∙ 600 , 3 = 3,22

8.5 Máxima aceleração na direcção along-wind

Massa generalizada do primeiro modo

𝑚1,𝑥 = 138750 𝑘𝑔/𝑚

O ponto B.3 fornece-nos um ábaco com algumas curvas simplificadas para 𝐾𝑥 válidas

quando o 𝑐0 𝑧 = 1.

𝐾𝑥 𝑧𝑒

𝑧0, 휁 = 𝐾𝑥 40000,1,5 = 1,62

Desta forma a expressão do desvio padrão da aceleração no ponto mais alto (𝑧 = 𝐻)

resulta

𝜍𝑎 ,𝑥 𝐻 =𝑐𝑓 ∙ 𝜌 ∙ 𝑏 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 ∙ 𝑣𝑚

2 (𝑧𝑒)

𝑚1,𝑥∙ 𝑅 ∙ 𝐾𝑥 ∙1,𝑥(𝐻)

𝜍𝑎 ,𝑥 𝐻 =1,51 ∙ 1,25 ∙ 25 ∙ 0,094 ∙ 42,992

138750∙ 0,52 ∙ 1,62 ∙ 1 = 0,0688𝑚/𝑠2

Considerando o factor de pico calculado atrás, obtém-se para a aceleração de pico o

seguinte resultado.

𝑎𝑥 ,𝑚á𝑥 = 𝑘𝑝 ∙ 𝜍𝑎 ,𝑥 = 3,22 ∙ 0,0688 =0,2218𝑚

𝑠2=

22,18𝑐𝑚

𝑠2= 0,0226𝑔



Como exemplo de aplicação na verificação da resposta do edifício em serviço,

considere-se agora o seguinte ábaco ( (Bulletin D'Information N 209 - Vibration

Problems in Structures).

A localização do edifício considerado apresenta uma resposta não só perceptível como

também já perturbadora, com uma amplitude máxima de deslocamento no topo do

edifício a rondar os 17cm (L/2353).

O correcto dimensionamento deste edifício obrigaria a uma optimização das suas

propriedades físicas e geométricas procurando enquadrar o edifício numa zona mais

inferior do ábaco.

Como exercício final propõe-se que o leitor calcule o deslocamento máximo do edifício

através de um programa de cálculo de elementos finitos e compare com o resultado

obtido no ábaco.


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