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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Informática
Adaptação de um Modelo Térmico de Piscina para Condições Climáticas
Regionais via RNA e Estimação Paramétrica do Sistema
Enock Tony dos Santos
Belo Horizonte
Agosto de 2008
Enock Tony dos Santos
Adaptação de um Modelo Térmico de Piscina para Condições Climáticas
Regionais via RNA e Estimação Paramétrica do Sistema
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Informática do Instituto de Informática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Informática. Área de Concentração: Ciência da Computação Linha de Pesquisa: Sistemas de Informação Orientador: Prof. Dr. Luis Enrique Zárate
Belo Horizonte
2008
FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Santos, Enock Tony dos S237a Adaptação de um modelo térmico de piscina para condições climáticas regionais via RNA e estimação paramétrica do Sistema. / Enock Tony dos Santos. – Belo Horizonte, 2008. 116f. : il. Orientador: Luís Enrique Zárate. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Programa de Pós-graduação em Informática. Bibliografia.
1.Redes neurais (Computação). 2. Energia solar. 3. Estimativa de parâmetros I. Zárate, Luís Enrique. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. III. Título
CDU: 681.3.091:620.91
Bibliotecário: Fernando A. Dias – CRB6/1084
Para Vanessa, meu amor.
AGRADECIMENTOS Muitas pessoas contribuíram para tornar este trabalho possível. Dessa forma, sou
profundamente grato:
A Deus por me proporcionar coragem e força diante dos desafios encontrados ao longo deste
percurso.
Ao professor Zárate, pela orientação, pelas reuniões esclarecedoras e pelo apoio que sempre
me deu. Pela paciência e entusiasmo ao compartilhar seus conhecimentos em computação e
engenharia comigo. Pela amizade e por me fornecer o suporte necessário para a realização
deste trabalho.
À professora Beth, por ter incentivado esta pesquisa, mesmo sabendo das dificuldades da sua
realização. Pelo apoio técnico e conceitual provido e por estar sempre disponível a me receber
no GREEN.
À Vanessa, pelo seu companheirismo nos bons momentos e também nos difíceis. Por me
ajudar a reencontrar caminhos que eu havia perdido. Por sempre me incentivar, me apoiar e
não permitir que eu desista dos meus objetivos. Por seu amor sem fronteiras. Sem dúvida você
está fazendo a diferença.
Aos amigos que sempre estiveram ao meu lado, Guilherme, Luis, Lu, Alessandra, Cris, Maria
Helena, Júlio e Fabrício, pela amizade e por sempre poder contar com vocês.
Aos meus sobrinhos Henrique e Letícia, que me alegram com sua inocência e brincadeiras.
Ao Jésus e à Maria José, por sempre me acolherem e me apoiarem. Pela companhia,
conversas e conselhos. E por me incentivarem a continuar.
Aos amigos do mestrado, Rogério, Sérgio, Breno, Cassiano, Fabrício e Cristiano que sempre
ajudaram com sugestões, conversas e auxílio.
Aos professores do programa de mestrado Silvio, Poley, Mark, Raquel, Lucila e Ana Maria,
os quais contribuíram muito no meu aperfeiçoamento acadêmico e profissional.
Aos funcionários da PUC e do mestrado, especialmente a Giovana, por estar sempre bem
disposta a receber a todos e a resolver qualquer problema.
Aos amigos da I2, em especial ao Jero e ao Rora por serem pessoas que sempre me apoiaram,
tanto profissionalmente, quanto pessoalmente e que, desde o começo, me ofereceram
condições para a realização dessa pesquisa.
À FINEP e ao CNPq pelo apoio financeiro que permitiu a realização deste trabalho.
RESUMO
Atualmente é crescente o interesse em fontes de energias renováveis, entre elas a fornecida
pelo sol. Para que essas fontes de energia sejam utilizadas de forma eficiente, é necessário que
sejam realizados estudos por meio de modelos matemáticos e simulações, uma vez que
auxiliam em um melhor entendimento de um processo e as relações de causa e efeito que o
compõem. Neste trabalho, é proposta uma estrutura híbrida para simulação do comportamento
térmico de piscinas em diferentes condições climáticas. Essa estrutura utiliza a representação
neural para modelar a temperatura ambiente, temperatura ambiente máxima, temperatura do
ponto de orvalho e umidade relativa do ar. Esses dados climáticos são utilizados como entrada
para um modelo térmico de piscina – o qual tem como saída a temperatura da piscina. A esta
estrutura, foi adicionado um módulo de estimação dos parâmetros da piscina e, com isso, é
possível identificar a variação do volume proveniente da atividade humana. A atividade
humana em uma piscina provoca perda de massa de água, o que altera a dinâmica desse
sistema e, portanto, precisa ser investigada. Os resultados obtidos com a validação dos
modelos neurais e nas simulações utilizando a estrutura proposta indicaram resultados
satisfatórios.
Palavras-chave: Redes Neurais Artificiais; Estimação Paramétrica; Sistemas Híbridos; Desenvolvimento de Software; Energias Renováveis; Modelo Térmico de Piscinas
ABSTRACT
Today the interest in renewable energy sources, including that provided by the sun, is
growing. For these sources of energy can be used more efficiently it is necessary to study
mathematical models and to do simulations to help in better understanding of a process and
the relationships of cause and effect that composes it. In this work it is proposed a hybrid
structure to simulate the behavior of thermal pools in different climatic conditions. This
structure uses the neural representation for modeling the ambient temperature, maximum
temperature, the dew point temperature and relative humidity. These climate data are used as
input for a model of thermal pool, that have as outputs the temperature of the pool. In this
structure, a module was added to estimate the parameters of the pool and thus it is possible to
identify the changes in volume of pool from human activity. Human activity in a pool causes
lose of body of water, which changes the dynamic of this system and therefore needs to be
investigated. The results obtained with the validation of neural models and simulations using
the structure proposed showed satisfactory results.
Key-words: Artificial Neural Network; Estimation of Parameters; Hybrid Systems; Software Development; Renewable Energy; Pool Thermal Model
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Transformação de um sistema contínuo em discreto ............................................... 23
Figura 2: Simulação utilizando diferentes métodos ................................................................ 24
Figura 3: Variação da temperatura ao longo de um ano ......................................................... 30
Figura 4: Neurônio artificial ................................................................................................... 32
Figura 5: Funções de ativação ................................................................................................. 33
Figura 6: Rede com única camada .......................................................................................... 33
Figura 7: Rede com múltiplas camadas .................................................................................. 34
Figura 8: Propagação e retropropagação ................................................................................. 35
Figura 9.a: Estrutura híbrida para adaptação de modelos térmicos de piscina ....................... 47
Figura 9.b: Diagrama de blocos da estrutura proposta ............................................................ 47
Figura 10: Mapa das cidades adotadas como referência ......................................................... 49
Figura 11: Esquema das variáveis ambientais ........................................................................ 54
Figura 12: Comparação entre a insolação real ao longo do dia típico do mês de Janeiro e o
valor dados pela função de interpolação ................................................................................. 62
Figura 13.a: Variação da temperatura ambiente para a cidade Belo Horizonte mês de janeiro ..
.................................................................................................................................................. 63
Figura 13.b: Variação da temperatura ambiente de Janeiro a Junho ....................................... 63
Figura 13.c: Variação da temperatura ambiente de Julho a Dezembro ................................... 64
Figura 14: Diagrama de casos de uso do SIPI ........................................................................ 72
Figura 15: Diagrama de atividades do SIPI ............................................................................ 72
Figura 16: Tela principal do SIPI ............................................................................................ 73
Figura 17: Variação de energia no sistema ............................................................................. 74
Figura 18: Variação da Insolação (artigo) ............................................................................... 75
Figura 19: Variação da temperatura ambiente ........................................................................ 75
Figura 20: Informações sobre o SIPI ...................................................................................... 76
Figura 21: Requisitos do software Aestimare ......................................................................... 77
Figura 22: Simulação com o método dos mínimos quadrados recursivos .............................. 78
Figura 23: Simulação on-line com a técnica do passo aleatório ............................................. 80
Figura 24: Informações sobre o Aestimare ............................................................................. 80
Figura 25: Diagrama de casos de uso do RN Klíma ............................................................... 81
Figura 26: Classe utilizada pelo RN Klíma ............................................................................ 82
Figura 27: Funcionamento básico da classe RedeNeuralArtificial ......................................... 83
Figura 28: Diagrama de funcionamento do RN Klíma ........................................................... 84
Figura 29: Tela inicial do RN Klíma ...................................................................................... 85
Figura 30: Mapa das estações ................................................................................................. 86
Figura 31: Informações sobre o software ................................................................................ 86
Figura 32: Diagrama de casos de uso do ASI ......................................................................... 88
Figura 33: Tela inicial do ASI ................................................................................................. 89
Figura 34: Mapa com os pontos de treinamento da rede neural ............................................. 90
Figura 35: Informações sobre o ASI ....................................................................................... 90
Figura 36.a: Variação das temperaturas da piscina e ambiente durante o mês de Janeiro ...... 92
Figura 36.b: Variação das temperaturas da piscina e ambiente durante o mês de Julho ........ 92
Figura 36.c: Variação da insolação durante o dia padrão do mês de Janeiro .......................... 92
Figura 36.d: Variação da insolação durante o dia padrão do mês de Julho ............................ 92
Figura 37: Variação da temperatura da piscina ao longo de um ano ...................................... 93
Figura 38.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro ........................... 94
Figura 38.b: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro ............... 94
Figura 38.c: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o mês de
Janeiro ..................................................................................................................................... 94
Figura 38.d: Variação do parâmetro "b" real e estimado durante o mês de Janeiro ............... 94
Figura 38.e: Ampliação da primeira variação do volume apresentada da Figura 38.c ........... 95
Figura 39.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro ........................... 96
Figura 39.b: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o mês de
Janeiro ..................................................................................................................................... 96
Figura 39.c: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro ................ 96
Figura 40.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro ........................... 97
Figura 40.b: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o mês de
Janeiro ..................................................................................................................................... 97
Figura 40.c: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro ................ 97
Figura 41.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro ........................... 98
Figura 41.b: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o mês de
Janeiro ..................................................................................................................................... 98
Figura 41.c: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro ................ 98
Figura 42.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro ........................... 99
Figura 42.b: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o mês de
Janeiro ..................................................................................................................................... 99
Figura 42.c: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro ................ 99
LISTA DE TABELAS Tabela 1: Dados climáticos coletados para a cidade de Januária/MG .................................... 50
Tabela 2: Erro obtido no processo de treinamento e validação (treinamento com 25 cidades) ...
.................................................................................................................................................. 55
Tabela 3: Treinamento e validação para aT (treinamento com 25 cidades) ........................... 55
Tabela 4: Treinamento e validação para maxT (treinamento com 25 cidades) ........................ 56
Tabela 5: Treinamento e validação para dwT (treinamento com 25 cidades) .......................... 56
Tabela 6: Treinamento e validação para U (treinamento com 25 cidades) ............................. 56
Tabela 7: Validação da temperatura ambiente anual média para o microclima de Ouro
Preto/MG ................................................................................................................................. 57
Tabela 8: Dados comuns às simulações .................................................................................. 91
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................14
1.1. MOTIVAÇÃO .................................................................................................................16 1.2. OBJETIVOS ....................................................................................................................16 1.3. JUSTIFICATIVA .............................................................................................................17 1.4. PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES ...................................................................................18 1.5. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ................................................................................19
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA............................20
2.1. GENERALIDADES .........................................................................................................20 2.2. MODELAGEM MATEMÁTICA DE PROCESSOS FÍSICOS ......................................20 2.3. REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DE MODELOS ANALÍTICOS LINEARES.....21 2.4. MODELAGEM E REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA FÍSICO – PISCINA ...............25 2.4.1. DESCRIÇÃO FÍSICA DO SISTEMA .......................................................................................25 2.4.2. REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO SISTEMA ...................................................................28 2.5 REDES NEURAIS ARTIFICIAIS ...................................................................................31 2.5.1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................31 2.5.2. PROCESSO DE TREINAMENTO ...........................................................................................34 2.5.3. ALGORITMO DE TREINAMENTO LEVENBERG-MARQUARDT .............................................36 2.5.4. APLICAÇÃO DE REDES NEURAIS ARTIFICIAIS NA ESTIMAÇÃO DE DADOS CLIMÁTICOS.....38 2.6. TÉCNICAS DE ESTIMAÇÃO PARAMÉTRICA...........................................................40 2.6.1. MÉTODOS DOS MÍNIMOS QUADRADOS – OFF-LINE .........................................................40 2.6.2. MÉTODOS DOS MÍNIMOS QUADRADOS RECURSIVOS – ON-LINE .....................................42 2.6.3. TÉCNICA DO PASSO ALEATÓRIO .......................................................................................44 2.7. CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................45
3. MÉTODO DE DESENVOLVIMENTO...........................................................................46
3.1. GENERALIDADES .........................................................................................................46 3.2. ESTRUTURA PARA ADAPTAÇÃO DE DADOS CLIMÁTICOS APLICADA A MODELOS DE PISCINA ........................................................................................................46 3.2.1. PREPARAÇÃO DA BASE DE DADOS....................................................................................49 3.2.2. REPRESENTAÇÃO NEURAL DE VARIÁVEIS AMBIENTAIS ....................................................52 3.2.3. ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO ....................................................................58 3.3. SÍNTESE DA ESTRUTURA DE ADAPTAÇÃO PROPOSTA .........................................59 3.3.1. SÍNTESE DAS EQUAÇÕES DA ESTRUTURA DE SIMULAÇÃO.................................................59 3.3.2. PSEUDOCÓDIGO DO ALGORITMO ......................................................................................65
4. SOFTWARES DESENVOLVIDOS .................................................................................71
12
4.1. GENERALIDADES .........................................................................................................71 4.2. SIPI .................................................................................................................................71 4.2.1. MODELAGEM DE REQUISITOS...........................................................................................71 4.2.2. APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE .......................................................................................73 4.3. AESTIMARE ...................................................................................................................76 4.3.1. MODELAGEM DE REQUISITOS...........................................................................................76 4.3.2. APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE........................................................................................77 4.4. RN KLÍMA ....................................................................................................................81 4.4.1. MODELAGEM DE REQUISITOS...........................................................................................81 4.4.2. APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE .......................................................................................84 4.5. ASI ..................................................................................................................................87 4.5.1. MODELAGEM DE REQUISITOS...........................................................................................87 4.5.2. APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE .......................................................................................88
5. SIMULAÇÕES E ANÁLISE DE RESULTADOS ..........................................................91
5.1. SIMULAÇÃO 1: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA FRENTE A VARIAÇÃO DA TEMPERATURA AMBIENTE E DA INSOLAÇÃO.....................................91 5.2. SIMULAÇÃO 2: VARIAÇÃO ANUAL DA TEMPERATURA DA PISCINA................92 5.3. SIMULAÇÃO 3: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA E ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS FRENTE A VARIAÇÕES DO TIPO DEGRAU NO VOLUME ............93 5.4. SIMULAÇÃO 4: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA E ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS FRENTE A VARIAÇÕES DO TIPO RAMPA NO VOLUME...............95 5.5. SIMULAÇÃO 5: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA E ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS FRENTE A VARIAÇÕES DO TIPO EXPONENCIAL NO VOLUME .96 5.6. SIMULAÇÃO 6: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA E ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS FRENTE A VARIAÇÕES DO TIPO RAMPA COM VOLUME INICIAL DE 150 3m E ÁREA DA PISCINA DE 100 2m .......................................................................98 5.7. SIMULAÇÃO 7: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA E ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS FRENTE A VARIAÇÕES DO TIPO RAMPA COM VOLUME INICIAL DE 75 3m E ÁREA DA PISCINA DE 50 2m ............................................................................99
CONCLUSÕES.....................................................................................................................100
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................102
ANEXO I – EQUAÇÃO DIFERENCIAL..........................................................................106
ANEXO II – TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................................108
ANEXO III – TRANSFORMADA Z..................................................................................111
ANEXO IV – EQUAÇÃO DE DIFERENÇAS ..................................................................113
13
ANEXO V – CONCEITOS DE TERMODINÂMICA......................................................115
14
1. INTRODUÇÃO
Com a redução das bacias hidrográficas e com o crescimento populacional, é observado que
os sistemas hidroelétricos podem não ser capazes de suprir a demanda necessária de energia.
Com isso, se fazem necessários estudos de novas formas de obter essa energia e também, de
modelos que permitam a simulação e a implantação de sistemas que possam utilizar estas
novas formas de captação.
Atualmente, é observado em vários países um crescente interesse pelo uso das fontes de
energias renováveis, como o sol, o vento e as ondas marítimas. No caso do Brasil, o próprio
governo tem incentivado estudos nesse sentido. Um exemplo disso é o Projeto SolBrasil,
financiado pela agência governamental Finep1, com o objetivo de fomentar a utilização de
sistemas alternativos que baseiam-se no aquecimento solar da água.
Especificamente neste trabalho, o foco consiste no modelo térmico de piscina, o qual pode ser
simulado em diferentes locais e condições climáticas diversas após adequações do modelo
para cada região considerada. Os modelos contribuem para o uso mais racional da energia
através do estudo, simulação e desenvolvimento de sistemas onde possam ser utilizadas as
novas formas de energia para diferentes localidades e condições climáticas diversas.
Sistemas de piscina que utilizam como fontes de aquecimento de água a energia solar podem
exercer um papel social importante, uma vez que viabilizam a utilização de piscinas aquecidas
em programas de fisioterapia, recuperação de traumatismos, APAE's e na área hospitalar com
custos acessíveis.
Os modelos térmicos de piscinas existentes na literatura levam em consideração as condições
médias mensais, como o RetScreen que possui mais de 500.000 usuários, do local onde o
estudo foi realizado ou utiliza simplesmente dados aproximados que, em geral, não são
adequados à realidade brasileira. Sendo assim, é necessário criar mecanismos que possibilitem
a inserção de aspectos ambientais (parâmetros climáticos) de outras regiões nos modelos
existentes.
1 CTENERG0105004800 – 520263/2005-7
15
Assim, neste trabalho é proposto o uso de redes neurais artificiais (RNAs) para mapear dados
do clima, como a temperatura ambiente, temperatura ambiente máxima, umidade relativa,
temperatura do ponto de orvalho e a utilização desses valores para cálculo da radiação solar, a
partir de entradas de posicionamento geográfico, como altitude, latitude e longitude, o que
permite a simulação de piscinas frente a diferentes condições ambientais e em locais distintos.
Como estudo de caso, foram utilizados dados para o estado de Minas Gerais. As informações
geradas pelas RNAs serão incorporadas ao modelo analítico de piscina proposto por Govaer e
Zarmi em [Govaer e Zarmi, 1981] para estudo da dinâmica do modelo em diferentes
localidades.
Para viabilizar o estudo do impacto da atividade no funcionamento das piscinas foi proposta
uma estimativa da variação do seu volume, que, além de indicar perdas de massa de água por
meio da evaporação, também representa perdas devido à atividade humana. O volume é
determinado indiretamente pela estimação paramétrica do modelo de piscina através do
método dos mínimos quadrados. A estimação paramétrica permite ajustar os parâmetros da
equação diferencial que representa o comportamento da piscina, possibilitando assim, que
informações de variáveis que compõem o processo físico sejam recuperadas. As implicações
da atividade humana na piscina, atribuídas à variação do seu volume, serão investigadas em
trabalhos futuros.
Assim, neste trabalho, o ajuste dos parâmetros climáticos de modelos de piscina, através de
RNA, é tratado e os parâmetros, como o volume, são determinados indiretamente a partir da
estimação paramétrica do modelo. Para isto, um ambiente de simulação, baseado em equações
de diferenças, foi desenvolvido para simular e estimar os parâmetros do processo. É
importante observar que os resultados da estrutura de estimação proposta permitem a sua
implementação real para diferentes condições ambientais, diferentes condições de localização
e dimensões da piscina.
16
1.1. Motivação
A motivação desta pesquisa consiste em melhorar a representação matemática de processos
físicos, através da incorporação de dados reais fornecidos por RNA e estimação dos
parâmetros do modelo.
Uma vez inseridas informações do ambiente real aos modelos matemáticos utilizando RNA,
adequa-se à realidade da qual os dados foram extraídos. Com isso, é possível incorporar as
condições climáticas brasileiras ao modelo.
Quando se estimam os parâmetros do modelo em estudo, são identificados os coeficientes que
variam no tempo e, assim, ajustando a equação que o representa. Com isso, seria possível
propor uma estrutura de aquecimento de piscina – tema a ser tratado em trabalhos futuros.
A estrutura baseada em RNA e estimação paramétrica proposta neste trabalho é aplicada aos
sistemas de energia solar, o que consiste em mais uma motivação, visto que, devido ao
aumento da demanda pela energia elétrica e a sua escassez, se fazem necessários estudos para
um melhor proveito deste recurso, assim como, formas alternativas de captação do mesmo.
1.2. Objetivos
O objetivo geral deste estudo consiste em propor uma estrutura onde seja possível adaptar um
modelo térmico de piscina para as condições climáticas de regiões específicas – no caso deste
trabalho, o estado de Minas Gerais (Brasil) – e, também, viabilizar a estimação dos
parâmetros do modelo para determinar o volume da piscina, o que permitirá analisar o
impacto de atividade humana na mesma.
17
Objetivos específicos:
1) Propor uma estrutura que permita incorporar dados climáticos gerados por RNA ao modelo
físico de uma piscina;
2) Representar umidade relativa, umidade do ponto de orvalho, temperatura ambiente máxima
e temperatura ambiente, através de rede neural artificial onde a entrada é composta pela
altitude, longitude e latitude;
3) Incorporar dados climatológicos do estado de Minas Gerais, fornecidos por RNA, ao
modelo térmico de piscina Govaer-Zarmi;
4) Estimar o volume da piscina por meio do método de estimação de parâmetros dos mínimos
quadrados;
5) Criar um ambiente computacional para simulação.
1.3. Justificativa
Devido a alterações nos cenários energético e ambiental mundial, as fontes primárias podem
não ser capazes de suprir a demanda de energia. Desta forma, se faz necessária a criação, o
aperfeiçoamento e o estudo de modelos que possam representar sistemas reais que utilizem os
recursos providos pelas fontes de energias renováveis. Especificamente neste estudo, é tratado
o modelo térmico de piscina.
Como mencionado anteriormente, os modelos térmicos de piscinas encontrados na literatura
trabalham com parâmetros ajustados, como valores médios ou mesmo dados que representam
apenas a realidade de uma determinada região, tornando-os dependentes das condições
ambientais do local. Por isto, estes modelos requerem melhorias, como, por exemplo, a
incorporação de informações climáticas de outras localidades, para que seja possível
flexibilizá-los e torná-los úteis em diferentes regiões geográficas.
Existe, ainda, a necessidade de se investigar o impacto da atividade humana na dinâmica da
piscina, uma vez que esse fator pode contribuir significativamente para alterações no
18
comportamento dinâmico da mesma. Isto ocorre porque, no caso da atividade humana, por
exemplo, a água é retirada da piscina à medida que as pessoas entram e saem dela. Tal fato
modifica a constante de tempo deste sistema, alterando, portanto, a sua dinâmica. Constata-se
uma variação mais rápida da temperatura da piscina, o que, por sua vez, influencia
diretamente na quantidade de energia necessária para repor a água perdida e, se for o caso,
para elevar a temperatura da água da piscina até aquela que havia sido previamente
estabelecida (aquecimento ativo).
1.4. Principais Contribuições
As principais contribuições deste trabalho consistem na:
1) Proposta de um procedimento e/ou estrutura que permite a representação neural de um
sistema climático a ser utilizado na adaptação de modelos matemáticos de energia solar
existentes em condições ambientais locais;
2) Proposta de um modelo neural para dados climatológicos (umidade relativa, temperatura do
ponto de orvalho, temperatura ambiente máxima e temperatura ambiente) para diferentes
localidades do estado de Minas Gerais, em função de dados de referência geográfica (latitude,
longitude, altitude), dentre outros;
3) Adaptação do modelo térmico de piscina proposto por Govaer e Zarmi [Govaer e Zarmi,
1981] para as condições climáticas do estado de Minas Gerais – Brasil;
4) Desenvolvimento de um ambiente de simulação propício para o modelo de piscina,
permitindo simular variações do volume de água da piscina associado à atividade humana. O
ambiente permite simular modelos de piscinas de distintas dimensões e localizadas em
diferentes regiões geográficas dentro do estado de Minas Gerais;
5) Proposta de uma estrutura de estimação paramétrica do modelo para estimar variações dos
parâmetros principais, especialmente do volume da piscina.
19
1.5. Organização do Trabalho
Este trabalho se organiza em seis capítulos. No Capítulo 2, é apresentada uma revisão dos
principais conceitos de Modelagem Matemática de Sistemas, Modelos Térmicos de Piscinas,
Redes Neurais Artificiais e Estimação de Parâmetros. No Capítulo 3, é exposta a metodologia
de desenvolvimento utilizada. Como parte dessa metodologia, é desenvolvida a proposta da
estrutura que permite representar informações do clima para o estado de Minas Gerais; a
representação neural para o clima e o estimador de parâmetros utilizado para estimar o
volume da piscina. Os softwares desenvolvidos na pesquisa são apresentados no Capítulo 4.
No Capítulo 5, os resultados de simulações para a estrutura proposta são detalhados e
discutidos. No último capítulo, constam as conclusões e considerações finais.
20
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. Generalidades
A modelagem de um sistema refere-se à compreensão que se obtém acerca do processo
analisado. A modelagem matemática permite conhecer a relação causa-efeito de uma
determinada observação para obtenção de informações sobre o comportamento do sistema.
A modelagem matemática pode chegar a ser uma atividade complexa e, dependendo do
processo, demandar muito tempo para sua finalização. Na modelagem matemática, três tipos
de modelos podem ser construídos: caixa branca, caixa cinza e caixa preta [Aguirre, 2004].
Na modelagem do tipo caixa branca é necessário que se conheça profundamente o sistema a
ser representado, o que, muitas vezes, não é possível devido ao tempo necessário para estudá-
lo. Já nas representações do tipo caixa preta, são utilizadas técnicas onde não é fundamental
dominar o funcionamento do sistema a ser modelado. Por último, o tipo caixa cinza é uma
representação híbrida dos tipos anteriores.
Neste capítulo, são apresentados alguns aspectos teóricos utilizados no presente trabalho e que
são necessários à modelagem matemática; ao modelo de piscina adotado (modelo caixa
cinza); à representação neural de sistemas (modelo caixa preta) e ao método de estimação
paramétrica dos mínimos quadrados.
2.2. Modelagem Matemática de Processos Físicos
A modelagem matemática é utilizada para a criação de modelos de representação análogos a
processos reais. Um modelo matemático raramente terá todos os aspectos existentes no evento
real. Isso ocorre devido a uma dificuldade inerente à modelagem do tipo caixa branca que
consiste em compreender profundamente o funcionamento do processo a ser representado
[Aguirre, 2004]. Além disso, os modelos matemáticos podem ser complexos e com difícil
21
solução analítica, o que pode demandar grande esforço computacional. Para contornar estas
questões, normalmente, são impostas restrições a esses modelos, o que acaba por restringi-los
a uma faixa de operação menor.
2.3. Representação Matemática de Modelos Analíticos Lineares
Um sistema pode ser considerado linear se apresentar um comportamento linear e se respeitar
o princípio da superposição, ou seja, ao aplicar duas entradas distintas, o resultado será igual à
soma da saída de cada uma dessas entradas independentes [Ogata, 2003].
Alguns desses sistemas são dependentes da evolução temporal e são compostos por equações
diferenciais. Nesse caso, também podem ser denominados sistemas dinâmicos. Essas
equações que os representam podem ser escritas, também, em outros domínios como o da
variável S (Laplace) e/ou Z (transformada Z). A modelagem de sistemas utilizando outras
formas de representação permite analisar e simular um sistema em condições operacionais
distintas, como, por exemplo, analisar o comportamento do processo antes que se tenha o
sistema físico implantado [Doebelin, 1980].
Alguns sistemas lineares são invariantes no tempo. Isto significa que os coeficientes da
equação diferencial que os representam são constantes ao longo tempo. Ver equação (1).
mnxbdt
dxb
dtxd
bdt
xdb
yadt
dya
dtyd
adt
yda
tmt
mmt
m
mt
m
tnt
nnt
n
nt
n
≥++++
=++++
−−
−
−−
−
,...
...
)()(
11)(
1
1)(
0
)()(
11)(
1
1)(
0
(1)
Outros sistemas lineares podem ser variantes no tempo, o que implica na variação desses
coeficientes na medida em que o tempo decorre:
22
mnxbdt
dxb
dtxd
bdt
xdb
yadt
dya
dtyd
adt
yda
tmt
mmt
m
mt
m
tnt
nnt
n
nt
n
tttt
tttt
≥++++
=++++
−−
−
−−
−
,...
...
)()(
11)(
1
1)(
0
)()(
11)(
1
1)(
0
)()()()(
)()()()(
(2)
Neste estudo, sendo o modelo térmico de piscina de 1ª ordem [Govaer e Zarmi, 1981], n e m
assumirão os valores de 1 e 0, respectivamente. A análise temporal destes sistemas é descrita
no Anexo I.
Uma maneira equivalente para modelar o sistema apresentado em (1) é utilizar a transformada
de Laplace para representá-lo no domínio S:
)()(1)(1
1)(0)()(1)(1
1)(0 ...... smsmsm
sm
snsnsn
sn xbsxbxsbxsbyasyaysaysa ++++=++++ −
−−
− (3)
A equação (3) pode ser escrita da seguinte maneira:
nnnn
mmmm
s
s
asasasabsbsbsb
xy
++++++++
=−
−−
−
11
10
11
10
)(
)(
...
... (4)
Os conceitos básicos da teoria de Laplace utilizados neste trabalho são apresentados no Anexo
II.
Para utilizar um computador para simular um modelo matemático de um processo físico, é
necessário utilizar uma forma discreta de representação.
Como pode ser observado na Figura 1, a entrada x, ao ser submetida a um trem de pulso com
tempo de amostragem Ta, tem seu valor mantido constante pelo hold. Ao ser submetida a uma
função G qualquer, gera uma saída y discreta que é equivalente ao resultado obtido no
sistema contínuo análogo dependendo do período de amostragem.
23
Figura 1: Transformação de um sistema contínuo em discreto
Foi aplicada a transformada Z na equação (4). Como o sistema adotado neste estudo é de 1ª
ordem, com n=1 e m=0, a equação que o representa pode ser escrita como:
10
0
)(
)()( asa
bxy
Gs
ss +
== (5)
Ao utilizar a tabela de transformação ZS → e, supondo 1010 === baa , tem-se:
tz
zz ez
zxy
G −−==
)(
)()( (6)
Note que, para a representação de sistemas reais, a transformação ZS → requer a inserção da
função de transferência do hold. Para mais informações a respeito da transformada Z, ver
Anexo III.
Um processo representado por uma equação diferencial também pode ser modelado por uma
equação de diferenças equivalente. Uma maneira de obtê-la é através da utilização do método
de Euler ou da transformada Z. Na equação(2), cosiderando-se n=1, m=0 e 1010 === baa ,
ao empregar o método de Euler, tem-se:
TaxyTay kkk )()()1( )1( +−=+ (7)
onde Ta é o período de amostragem descrito anteriormente. No Anexo IV existem mais
informações a respeito da obtenção da equação de diferenças de um processo.
24
A Figura 2 demonstra a resposta entre os diferentes métodos de representação dispostos
anteriormente, frente aos mesmos estímulos para um sistema de primeira ordem com n=1 e
m=0:
Figura 2: Simulação utilizando diferentes métodos
Como pode ser observado na Figura 2, as informações obtidas a partir do mesmo modelo de
equação diferencial linear, por diferentes domínios de representação (tempo contínuo,
domínio s e domínio z), produzem valores resultantes similares, o que significa que podemos
utilizar a representação que mais nos convier para a modelagem matemática. No caso de
simulações através de computadores, a representação por meio de equação de diferenças é a
mais adequada. Isto porque, os computadores trabalham com informações em tempo discreto,
assim como este tipo de equação.
25
2.4. Modelagem e Representação do Sistema Físico – Piscina
2.4.1. Descrição física do sistema
Na literatura existem diversos modelos térmicos para sistemas de piscina2, como pode ser
visto em [Govaer e Zarmi, 1981]; [Almanza e Lara, 1994]; [Croy e Peuser, 1994]; [Haaf,
Luboschik e Tesche, 1994]; [Hahne e Kübler, 1994]; [Molineaux, Lachal e Guisan, 1994];
[Smith, Löf e Jones, 1994] e [Sartori, 2000].
As perdas de energia em uma piscina aberta e sem atividade foram estudadas por Smith, Löf e
Jones em [Smith, Löf e Jones, 1994] e puderam ser observados os principais fatores que
causam perdas de energia no sistema. Foram eles: evaporação (56%), radiação (26%) e
convecção (18%). Com esses resultados foi possível melhorar o modelo utilizado por esses
pesquisadores.
Sartori [Sartori, 2000] também estudou as perdas de energia em uma piscina. Porém,
concentrou os esforços no problema da evaporação por ser o efeito predominante. Nesse
trabalho, foram estudados diferentes modelos de perda por atividade humana, com a
finalidade de determinar um que melhor se adapte aos modelos de piscinas.
Um modelo de piscina foi descrito por Haaf, Luboschik e Tesche [Haaf, Luboschik e Tesche,
1994]. Para sua validação, piscinas foram monitoradas durante três anos para coletar dados.
Molineaux, Lachal e Guisan, em [Molineaux, Lachal e Guisan, 1994], propuseram um modelo
de piscina aquecida que utiliza como fonte de aquecimento coletores solares. Neste estudo
também foram identificados os principais fatores de perda e ganho de energia. Hahne e
Kübler, em [Hahne e Kübler, 1994], desenvolveram um modelo de simulação de piscinas
aquecidas que considera a perda por evaporação uma das principais causas de perda de
energia do sistema onde, a velocidade do vento aumenta este processo.
2 O ano de 1994 foi um marco para o estudo do comportamento térmico de piscinas devido a publicação de vários estudos e propostas de equações de balanço de energia.
26
Croy e Peuser, em [Croy e Peuser, 1994], propuseram maneiras de aquecer piscinas e
estudaram os impactos da atividade humana no sistema de aquecimento de uma piscina. De
acordo com os autores, pôde ser observado que o número de pessoas varia de acordo com a
temperatura ambiente, assim como a temperatura da piscina.
Em piscinas aquecidas, é necessário saber a quantidade de calor a ser fornecida para que a
água mantenha a temperatura desejada. Almanza e Lara, em [Almanza e Lara, 1994],
propuseram uma maneira de calcular essa energia através de balanços de energia.
O sistema físico que representa o comportamento térmico de piscinas e que será adotado neste
trabalho foi modelado por Govaer e Zarmi [Govaer e Zarmi, 1981]. Nesse modelo são
utilizadas condições ambientais para determinar a temperatura da piscina ao longo do tempo
e, por isso, esse modelo pode ser adaptado para funcionar em condições ambientais diferentes
das quais fora projetado para ser operado. O modelo define e ajusta uma equação de balanço
de energia ao longo do tempo, o que permite calcular a energia do sistema a cada instante.
Os parâmetros referentes à piscina e ao ambiente utilizados no modelo são:
§ pA : área da piscina ( 2m );
§ c : constante de perda de calor por evaporação ( kPaC /° );
§ pC : calor específico da água ( kgKKJ / );
§ I : variação anual da insolação ( 2/ mW );
§ −
I : insolação anual média ( 2/ mW );
§ 1I : amplitude da insolação anual ( 2/ mW );
§ aP : pressão do vapor da água ( kPa );
§ wP : pressão de saturação do vapor da água à temperatura do ar ( kPa );
§ R : radiação emitida na região do IV ( 2/ mW );
§ HR. : umidade relativa (%);
§ T : temperatura da piscina ( C° );
§ sT : temperatura do solo ( C° );
§ aT : variação da temperatura ambiente anual ( C° );
27
§ −
aT : temperatura ambiente anual média ( C° );
§ 1T : amplitude da temperatura ambiente anual ( C° );
§ cU : coeficiente de perda de calor por convecção ( CmW °2/ );
§ rU : coeficiente de perda de calor por radiação ( CmW °2/ );
§ sU : coeficiente de perda de calor pelo contato com o solo;
§ V : volume da piscina ( 3m );
§ )(τα : produto da transmitância e da absorção;
§ ε : emissividade;
§ ρρ : densidade da água;
§ Iφ : fase angular da insolação máxima;
§ Taφ : fase angular da temperatura ambiente máxima.
Os termos referentes à insolação e à temperatura ambiente foram definidos em [Govaer e
Zarmi, 1981] como senóides e variam em torno das médias anuais e suas respectivas
amplitudes:
)sen(1)( It tIII φω −+=−
(8)
)sen(1)( Tat tTTaTa φω −+=−
(9)
Nas equações (8) e (9) podem ser observados os termos Iφ e Taφ . Esses parâmetros são
responsáveis pelo ajuste da senóide e devem ser avaliados para representar a curva destas
informações para o Brasil. ω é a freqüência angular e t é o tempo. A expressão (10) descreve
ω , onde yT corresponde ao ano nas unidades desejadas (por exemplo: 365 dias ou 8760h).
yT/2πω = (10)
28
Nesta pesquisa, os valores de Iφ , Taφ e R foram ajustados para as condições típicas do Brasil.
O parâmetro −
aT será incorporado através de dados gerados por duas redes neurais. Este
processo será detalhado mais adiante.
A pressão de saturação do vapor da água wP é dada pela equação (11). E a pressão do vapor da
água, juntamente com a média da umidade relativa do ar ( HR. ), são dadas pela expressão
(12):
6092.01535.0)( 21 −=+= TBTBTPw (11)
)(*.)( awa TTPHRTaTP === (12)
Como o modelo proposto por Govaer e Zarmi foi elaborado para funcionar em condições
ambientais diferentes das encontradas no Brasil, o mesmo será adaptado, utilizando técnicas
de redes neurais artificiais, para incorporar condições climáticas brasileiras.
No Anexo V é feita uma sucinta descrição dos principais conceitos de termodinâmica
relacionada ao modelo térmico descrito acima.
2.4.2. Representação matemática do sistema
A equação de balanceamento de energia proposta por Govaer e Zarmi, que modela o
comportamento térmico de piscinas, está representada na expressão (13):
dtdTVCRAPPAcUTTAUTTAUU
IA
pawpctstsstatprc
tp
ρρρε
τα
++−+−+−+
=
)()()()(
)(
)()()()(
)(
(13)
Considere que:
pAA )(τα= (14)
29
prc AUUB )( += (15)
ss AUC = (16)
)( awpc PPAcUD −= (17)
pRAE ε= (18)
ρρρ VCF = (19)
Desta forma, tem-se:
dtdTFEDTTCTTBAI tsttatt +++−+−= )()( )()()()()( (20)
0)( )()()()( =−++−−++ ttstat AIEDCTBTTCBdtdTF (21)
Considerando:
)()()()( ttstat AIEDCTBTU −++−−= (22)
Tem-se:
0)( )()( =+++ tt UTCBdtdTF (23)
A equação acima, que foi obtida a partir da expressão (13), será utilizada na representação do
sistema térmico de piscinas. O modelo baseado em equação diferencial foi simulado através
do método Runge Kutta de 4a ordem. De forma a ilustrar esse método, abaixo é apresentado o
algoritmo:
Enquanto (tempo decorrido < tempo total de simulação)
nn tyk +=1
22 12htkhyk nn +++=
22 23htkhyk nn +++=
30
hthkyk nn +++= 34
)22(6 43211 kkkkhyy nn ++++=+
tempo decorrido = tempo decorrido + h
Fim enquanto
h = passo de integração
A Figura 3 demonstra a simulação utilizando o método Runge Kutta para solucionar a
equação(23). Pode ser verificado que os resultados obtidos são semelhantes aos alcançados
por Govaer e Zarmi em [Govaer e Zarmi, 1981] durante a simulação de uma piscina sem
capa.
Figura 3: Variação da temperatura ao longo de um ano
31
2.5 Redes Neurais Artificiais
2.5.1. Conceitos fundamentais
As redes neurais artificiais são sistemas paralelos e distribuídos [Haykin, 2001] que são
capazes de ajustar uma função matemática para representar um fenômeno. Através de
exemplos (dados coletados), uma RNA é capaz de aprender e generalizar a informação de um
processo para o qual foi treinada e ajustada.
De acordo com Hecht-Nielsen, em [Kovács, 1996], existe sempre, para uma função contínua e
diferenciável qualquer, uma representação neural de três camadas capaz de representá-la,
onde a camada de entrada possui n neurônios, a camada oculta 2n+1 e a camada de saída m,
que é o número de saídas da função original. Isto é possível porque uma função contínua pode
ser representada pela sobreposição de várias outras, desde que a função de ativação dos
neurônios seja uma sigmóide e o intervalo seja restrito.
Para que uma RNA represente um sistema, é necessário que haja um conjunto de dados de
treinamento, que são os estímulos de entrada e as respostas a estes estímulos. No caso do
aprendizado supervisionado, a saída é utilizada para determinar o erro e ajustar os pesos que o
minimizam. Após o treinamento, a rede é capaz de extrapolar a informação obtida durante o
processo de treinamento e fornecer respostas a estímulos que não fizeram parte desta etapa.
Uma RNA é composta por neurônios artificiais. A representação de um neurônio artificial é
relativamente semelhante a um neurônio humano, isto porque, o sintético foi inspirado no
neurônio biológico, com o intuito de criar um modelo de vida artificial.
32
Figura 4: Neurônio artificial
A Figura 4 demonstra a representação do neurônio artificial. Assim como no neurônio
biológico, existem os dendritos, as sinapses, os axônios e o núcleo.
Os dendritos, as sinapses, o núcleo e os axônios do neurônio biológico são representados,
respectivamente, pelas entradas ( nxxx ,...,, 21 ); pelos pesos sinápticos ( nwww ,...,, 21 ); pela
soma dos produtos das entradas pelos pesos correspondentes ( nn wxwxwx ,...,, 2211 ) e pela
saída ( ky ) do modelo neural artificial.
O núcleo também é chamado de soma, pois, nele é efetuada a soma dos resultados obtidos nas
etapas anteriores. Também é somado no núcleo um coeficiente de polarização ( kb )
denominado Bias.
No neurônio biológico, durante a passagem dos resultados obtidos no núcleo pelo axônio, é
realizado um processo químico que faz com que o resultado seja modificado. E é exatamente
isto que a função de ativação (f) descreve. No caso de um neurônio artificial binário, por
exemplo, podemos definir nesta função que, para valores superiores a um certo limiar θ , a
saída seja 1 e, para valores iguais ou inferiores, seja 0.
Assim como existem neurônios binários onde a saída será sempre 0 ou 1, também existem
neurônios que podem fornecer outras respostas. Desta forma, existem as funções de Limiar
(Passo), Linear por Partes (Rampa ou Linear) e Sigmóide.
33
Figura 5: Funções de ativação
Na figura 5, podem ser observados os diferentes tipos de comportamento das funções de
ativação passo (a); rampa (b) e log- sigmóide (c).
A função sigmoidal tem a forma de 'S' e pode ter diferentes inclinações. Para que isto ocorra,
basta variar o parâmetro relativo à inclinação. Esta é a função mais utilizada em redes neurais
artificiais [Haykin, 2001].
Para utilizar uma rede neural artificial para abordar um sistema, é necessário que seja
escolhida a arquitetura mais adequada para representá-lo. Por exemplo, redes com apenas uma
camada são capazes de resolver apenas problemas que podem ser linearmente separados. Já as
redes recorrentes, são utilizadas para questões que envolvem processamento dinâmico em
função do tempo.
Uma RNA é classificada como única camada se existir apenas uma camada onde ocorre o
processamento da informação, a camada de saída. Na camada de entrada não é realizada
computação.
Figura 6: Rede com única camada
34
Para que uma rede neural artificial seja classificada como uma rede que possui múltiplas
camadas, é necessário que exista, pelo menos, mais uma camada de neurônios entre as
camadas de entrada e a de saída.
Nesse tipo de rede, as camadas que ficam entre as camadas de entrada e saída são chamadas
de camadas ocultas e são normalmente denominadas nhhh ,...,, 21 .
Figura 7: Rede com múltiplas camadas
2.5.2. Processo de treinamento
Para o processo de treinamento, será utilizado o algoritmo backpropagation ou
retropropagação, variação Levenberg-Marquardt, que é utilizado para o treinamento de redes
multicamadas com uma única saída.
Neste algoritmo, após ser obtida uma saída da rede, é calculado o erro entre esse valor e o
valor desejado. A diferença entre eles (erro) é utilizada para o ajuste dos pesos da rede.
O ajuste é realizado no sentido saída-entrada, ou seja, na medida em que o conjunto de
treinamento é utilizado, vão sendo obtidos resultados no sentido entrada-saída ou esquerda
para direita. Quando é observado um erro, é realizada a correção (ajuste dos pesos da rede),
35
que é feita no sentido inverso (da direita para esquerda) ou no sentido da saída para a entrada
da rede, ajustando-se também os valores dos pesos das camadas ocultas.
Figura 8: Propagação e retropropagação
Na Figura 8 podem ser observados os fluxos da propagação (setas contínuas) e da
retropropagação (setas pontilhadas). Esse último é o responsável pelo ajuste das arestas do
grafo da rede.
A seqüência de propagação e retropropagação é dada pela seguinte sinopse:
Considere pxxx ,...,, 21 os conjuntos de treinamento
ipii xxxxxxx ,,22,21,2,12,11,1 ,...,,...,,,...,,...,, , os elementos de cada um destes conjuntos e
∫∫ n(.)(.)...
1 a função de ativação. Onde p é o número do conjunto de treinamento.
Para cada conjunto de treinamento, id representa a saída desejada, iy a saída obtida e
ie o erro, onde iii yde −= .
As saídas dos perceptrons de uma rede com uma camada oculta (h) são dadas pela
expressão ∫∑=
=h
j
N
ipijipj xwi
0 com 10 =px , onde o elemento 0px é a constante de
polarização (Bias) e N o número de entradas da primeira camada de neurônios.
Com a formulação acima, podemos observar que o cálculo da saída da camada oculta de
um neurônio nada mais é que o somatório do produto das entradas pelos pesos
correspondentes que têm o resultado multiplicado pela função de ativação.
Já para o cálculo da saída iy , o processo é praticamente o mesmo. O que difere são
36
apenas as entradas do perceptron da camada de saída que são os resultados gerados pela
camada oculta. Sendo assim, temos que ∫∑=
=o
k
L
jpj
okjpk iwo
0, onde o indica a camada de
saída.
Uma vez realizada a propagação e computado o resultado da rede, é necessário que seja
feita a retropropagação para ajustar os pesos sinápticos com base no erro quadrático.
O erro quadrático é calculado a partir do somatório de todos os erros e é computado
utilizando a expressão ∑=
=M
kpk
op eE
0
2
21 .
Uma vez calculado o erro quadrático, é necessário encontrar o gradiente do erro que é
dado por okj
opo
p dwdE
E =∇ , que resulta em op
otkj
otkj Eww ∇−=+ µ)()1( ou
pjopk
otkj
otkj idww µ−=+ )()1( , onde ∫ ∑
=
=o
k
L
jpj
okjpk iwdd
0.
Desta forma, pjopk
otkj
otkj idww µ−=+ )()1( é utilizado para ajustar os pesos da camada de
saída e, por analogia, pihpj
otkj
htji xdww µ−=+ )()1( é aplicado para adequação dos valores
das arestas da camada oculta, onde ∑=
=M
k
okj
opkpj
hpj wdid
1
, e µ é a constante de força para
a correção do erro.
2.5.3. Algoritmo de treinamento Levenberg-Marquardt
O algoritmo de treinamento Levenberg-Marquardt (LM) é derivado do método de
convergência rápida do gradiente proposto por Newton. Esse algoritmo possui alta
performance, uma vez que é capaz de terminar o treinamento com eficiência satisfatória,
aceitável generalização e rápida convergência em poucas épocas [Bittencout, 2007]. Devido a
37
essas características, o algoritmo de treinamento Levenberg-Marquardt será adotado neste
trabalho.
Durante o processo de ajuste dos pesos, o algoritmo LM utiliza matrizes Jacobianas e
Hessianas – primeira e segunda derivadas, respectivamente – que equivalem à razão entre o
gradiente e a segunda derivada com respeito aos pesos e às bias, conforme a equação (24).
n
n
w
wjk H
wε
ε∇−=∆ (24)
onde o gradiente e a matriz Hessiana são dados por:
)()( nTn eJ=∇ε (25)
)()( nTn JJH =ε (26)
onde )(nJ é a matriz Jacobiana dos pesos e das bias e )(ne é o erro obtido durante o processo
de treinamento da rede. Ao substituir (25) e (26) em (24) tem-se:
)()(
)()(
nTn
nTn
jk JJeJ
w −=∆ (27)
À equação (27) deve ser adicionado o termo Iµ para garantir que a segunda derivada seja
sempre finita. Desta forma, o método Levenberg-Marquardt é definido por:
IJJeJ
wn
Tn
nTn
jk µ+−=∆
)()(
)()( (28)
38
2.5.4. Aplicação de Redes Neurais Artificiais na estimação de dados climáticos
Como será visto através da literatura, o uso de Redes Neurais Artificiais tem se tornado uma
alternativa para representar o comportamento climático. Isto se deve, principalmente, à
dificuldade de modelar analiticamente estes tipos de sistemas.
Costa e Pasero, em [Costa e Pasero, 2001], utilizaram redes neurais artificiais para tentar
prever as informações de temperatura ambiente, umidade relativa do ar, velocidade e direção
do vento. Para isso, foi empregada uma rede neural recorrente com esses quatro parâmetros na
camada de saída. Porém, de acordo com os autores, as informações obtidas da umidade
relativa do ar e da velocidade do vento não foram satisfatórias. Com relação a este trabalho,
uma possível causa da má qualidade dos resultados obtidos pela rede neural é devido às RNAs
funcionarem melhor quando se tem apenas um parâmetro na camada de saída. Uma vez que
uma rede neural contém mais de um parâmetro de saída, os pesos são, de certa forma,
forçados a modelar em uma única função vários sistemas distintos e, com isso, a RNA pode
não conseguir atender aos modelos adequadamente.
Em [Maqsood, Khan e Abraham, 2004], foram realizados experimentos com diferentes
arquiteturas neurais para detectar quais delas são mais adequadas para a previsão de
informações climáticas. Os melhores resultados foram obtidos ao empregar redes neurais
multicamadas e redes recorrentes.
Em [Zarzalejo, Ramirez e Polo, 2005], foi realizado um estudo que compara a eficiência dos
resultados obtidos após a aplicação das técnicas de lógica nebulosa, regressão linear e redes
neurais artificiais para a representação da irradiação solar. As técnicas baseadas em lógica
nebulosa e redes neurais apresentaram melhor desempenho e nível de confiança de 95%.
Dentro da área de conforto climático, a fim de investigar os impactos causados pela
temperatura ambiente e pela umidade relativa do ar no consumo de energia elétrica, devido
principalmente ao aumento da utilização de condicionadores de ar no verão, Ferik e Belhadj,
em [Ferik e Belhadj, 2004], e Ferik, Hussain e Sunni, em [Ferik, Hussain e Sunni, 2005],
empregaram técnicas de redes neurais artificiais para modelar informações climáticas e
investigar os efeitos do clima em um ambiente fechado com condicionadores de ar.
39
Kolokotroni, Zhang e Watkins, em [Kolokotroni, Zhang e Watkins, 2006], também utilizaram
técnicas de redes neurais artificiais para representar as informações de temperatura ambiente
para ajudar a prever a demanda de energia elétrica em zonas de maior calor.
A estimação da insolação e da radiação foram discutidas por [Elminir, Areed e Elsayed, 2004]
e [Mellit et al, 2005], respectivamente. Em [Elminir, Areed e Elsayed, 2004], foram utilizadas
técnicas de redes neurais artificiais multicamadas e, com base nos resultados, foi constatado
que as RNAs possuem uma boa acurácia para representação desse tipo de informação. Mellit
et al, em [Mellit et al, 2005], empregaram técnicas de redes neurais artificiais para estimar a
radiação solar. O modelo híbrido, utilizando RNA e a biblioteca de transição de matrizes de
Markov, que foi proposto foi capaz de estimar os valores da radiação solar com erro inferior a
8%, o que permite constatar a validade do modelo proposto e da utilização de redes neurais
artificiais na representação de informações climáticas.
Para modelar e controlar variáveis que compõem o clima, dentre elas a temperatura ambiente
e a umidade relativa do ar, Basu et al, em [Basu et al, 2006,] propuseram um framework que
utiliza técnicas de redes neurais artificiais, algoritmos genéticos e lógica nebulosa para
representar as informações climáticas e também para controle do clima em um ambiente
controlado.
Mubiru e Banda, em [Mubiru e Banda, 2007], adotaram técnicas de RNA para modelar a
irradiação solar. Para associar a irradiação a localidades distintas, foram utilizados, além de
informações climáticas, os parâmetros de localização – latitude, longitude e altitude – como
entradas do modelo neural. Os resultados obtidos com o modelo neural foram comparados
com medições reais e com equações provenientes de modelos empíricos. De acordo com
Mubiru e Banda, a representação neural foi mais eficiente e isto ocorreu porque as redes
neurais são capazes de descrever melhor a natureza não linear da irradiação do que os
modelos empíricos convencionais.
Como visto na literatura, as técnicas de redes neurais artificiais são amplamente utilizadas na
representação de informações climáticas e constituem uma excelente perspectiva se
considerarmos a relação de eficiência versus custo de aprendizado do fenômeno estudado.
Desta forma, neste trabalho, serão empregadas técnicas de RNA na representação de
40
informações do clima, necessárias para adaptação do modelo de piscina a condições
climáticas regionais.
2.6. Técnicas de Estimação Paramétrica
O princípio do método dos mínimos quadrados foi formulado por Gauss no final do século
XVIII para determinar as órbitas dos planetas. Esse método pode ser aplicado a sistemas
dinâmicos com entrada x que possam ser escritos na forma ϕθ=Y , onde ϕ representa os
dados de entrada/saída do sistema e θ os parâmetros que serão estimados. Em [Zárate, 1991]
foram estudadas e comparadas as principais técnicas utilizadas para a estimação de
parâmetros single-input and single-output (SISO).
2.6.1. Métodos dos Mínimos Quadrados – Off-Line
As principais técnicas de estimação de parâmetros em tempo real são derivadas do método
dos mínimos quadrados recursivos e, este último, é uma adaptação do método off-line. Dessa
forma, se faz necessário explicitá-los. Primeiramente, iniciaremos com o método para a
estimação de parâmetros off-line.
Considere o sistema dinâmico com entrada simples }{ )(tx e sua respectiva saída }{ )(ty .
Suponha que os sinais são amostrados em tempos discretos nk ,...,3,2,1= e podem ser obtidos
a partir da equação:
)()()1(1)()1(1)( ...... kmkmknknkk exbxbyayay +++=+++ −−−− (29)
)(ke é introduzido no cálculo como erro de ajuste e , na teoria de regressão linear, é conhecido
como “resíduo”.
41
Definimos como o vetor que representa as entradas e as saídas do sistema o vetor ϕ :
[ ]Tmkknkkkk xxyyy )()1()()2()1()( ,...,,,...,, −−−−− −−=ϕ (30)
e o vetor dos parâmetros que serão estimados θ :
[ ]Tmn bbbaaa ,...,,,,...,, 2121=θ (31)
Considere um sistema linear e invariante no tempo, ou seja, onde o parâmetro θ seja
constante. Para este sistema a solução para θ é dada por:
eY += ϕθ (32)
Para um sistema, entre o instante k até um instante N, teremos:
+
−−−
−−−
−−−
=
−+++−+++++
−+−+−
−−−−−
+
+
)(
)2(
)1(
)(
)2(
)1(
)()1()()2()1(
)1()()1()1()(
)()1()()2()1(
)(
)1(
)(
,...,,,...,,
,...,,,...,,
,...,,,...,,
NNmNkNknNkNkNk
mkknkkk
mkknkkk
Nk
k
k
e
ee
xxyyy
xxyyyxxyyy
y
yy
MMMM
φ
φ
φ
(33)
Observe que a estimação de parâmetros é realizada através da construção de um sistema de
equações, a partir de informações do processo que está sendo estudado, e que a representação
matricial facilita a representação e também a solução dessas expressões. Por se tratar de um
sistema de equações, o número dessas deve ser igual ao número de parâmetros que serão
estimados para que seja possível encontrar uma solução.
Os valores de Y e ϕ são conhecidos. E, para estimar os valores θ , deve-se minimizar a
função de erro )(θNJ :
∑=
==N
i
TiN eee
NJ
1
2)(
1θ (34)
42
Como Ye −= ϕθ e eeJ TN =)(θ , teremos:
( ) ( ) ϕθϕθϕθϕθϕθϕθθTTTTTTT
N YYYYYYJ +−−=−−=)( (35)
Para minimizar )(θNJ , deve-se derivar 0ˆ)( =
=∂
∂
θθθθNJ
( )θθ
ϕθϕϕϕθϕϕθθθ
θ
ˆˆ)(
=++−−=
=∂
∂ TTTTTN YYJ
( ) ( )θθ
θϕϕθϕϕϕϕθθθ
θ
ˆˆ)(
=++−−=
=∂
∂ TTTTTN YYJ
( ) ( )θθ
θϕϕθϕϕϕϕθθθ
θ
ˆˆ)(
=++−−=
=∂
∂ TTTTN YYJ
( )θθ
θϕϕϕθθθ
θ
ˆ22ˆ)(
=+−=
=∂
∂ TTN YJ
( ) YY TTT
T
ϕϕϕϕϕ
ϕθ
1ˆ −== (36)
Na identificação off-line, a expressão acima resulta no vetor de parâmetros estimados
desejados.
2.6.2. Métodos dos Mínimos Quadrados Recursivos – On-Line
Para um sistema onde seja necessária a estimação dos parâmetros em tempo real, tal qual um
sistema dinâmico onde os parâmetros da expressão que o representam são variantes no tempo,
a equação (35) para uma estimação on-line pode ser definida como:
( ) )()(1
)()()(̂ NTNN
TNN yϕϕϕθ
−= (37)
43
Considere N o número de expressões capazes de apresentar uma solução numérica para o
vetor de parâmetros )(̂ Nθ . Desta forma, para o próximo instante tem-se:
( ) )1()1(1
)!()1()1(̂ ++−
+++ = NTNN
TNN yϕϕϕθ (38)
A idéia de recursividade ocorre ao obter o instante N+1, a partir do instante N, sem ter que
inverter a matriz da equação (36). Isto é possível ao utilizar o teorema de inversão de matriz:
1111111 )()( −−−−−−− +−=+ DABDACBAABCDA (39)
Para se aplicar o teorema acima na expressão (37), esta deverá estar na mesma forma
apresentada na equação (39).
Considerando-se ( ) 1)()()(
−= N
TNNP ϕϕ e ( ) 1
)1()1()1(−
+++ = NTNNP ϕϕ , pode ser obtido [Lennart,
1985]:
( ) ( )[ ] 1
)1()1(1
)(1
)1()1()()()1(
−
++−−
+++ +=+= TNNN
TNNN
TNN PP ϕϕϕϕϕϕ
Ao forçar 1)(
−= NPA , )1( += NB ϕ , C = 1 e TND )1( += ϕ , obtemos, como desejado, a expressão
(37) na forma da (39):
[ ] )()1(1
)1()()1()1()()()1( 1 NTNNN
TNNNNN PPPPP +
−++++ +−= ϕϕϕϕ (40)
A partir da equação (38) é obtida a equação abaixo:
( ) )1()1()1()1()1(1
)!()1()1(̂ +++++−
+++ == NTNNN
TNN
TNN yPy ϕϕϕϕθ
[ ]
=
++++
)1(
)()!()()1()1(̂
N
NN
TNNN y
yP ϕϕθ
[ ])1()1()()()1()1(̂ ++++ += NNNTNNN yyP ϕϕθ (41)
44
Substituindo a equação (40) na equação (41) obtém-se:
[ ]( ) [ ]( ))1()1()()()()1(1
)1()()1()1()()()1( 1ˆ+++
−++++ +×+−= NNN
TNN
TNNN
TNNNNN yyPPPP ϕϕϕϕϕϕθ
[ ][ ] )1()1()()1(
1)1()()1()1()()()(
)()1(1
)1()()1()1()()1()1()()()()()1(
1
1ˆ
+++−
+++
+
−
++++++
+−×
×+−+=
NNNTNNN
TNNNN
TN
NTNNN
TNNNNNNN
TNNN
yPPPy
PPPyPyP
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕθ
Após agrupar os termos em comum:
[ ][ ])1()()1(
)()()()1()1()1()()()()()1(
1ˆ
++
++++
+
−+=
NNTN
NTNN
TNNNN
NTNNN
P
yPyPyP
ϕϕ
ϕϕϕϕθ
A partir da equação (36), sabe-se que )()()()(̂ NTNNN yP ϕθ = . Sendo assim, pode se obter:
[ ] [ ])()1()1(
)1()()1(
)1()()()1(
ˆ1
ˆˆN
TNN
NNTN
NNNN y
P
Pθϕ
ϕϕ
ϕθθ ++
++
++ −×
++= (42)
A estimação dos parâmetros θ̂ é realizada a partir da equação (42) e a matriz P é atualizada
utilizando-se a equação (40).
2.6.3. Técnica do passo aleatório
Em [Zárate, 1991], foi estabelecido que a técnica dos mínimos quadrados de passo aleatório
(Random Walk) apresentou maior eficiência quando comparada a outras técnicas como Filtro
de Kalman e Variável Instrumental.
Para a técnica do passo aleatório, é somada a matriz ][Q à equação (40), o que aumenta a
força de correção do algoritmo.
45
A matriz ][Q contém em sua diagonal elementos relacionados aos parâmetros do sistema.
Deve-se identificar o elemento que representa o parâmetro com variação mais rápida e atribuir
o valor zero aos demais elementos, repetindo este processo até que se encontrem os
parâmetros invariantes.
O algoritmo do passo aleatório é descrito a seguir:
Iniciar )0(θ̂ e );0()0( >>= ααIP ][Q , 0=k
)1()()1(
)1()()1(
++
++ +
=kk
Tk
kkk P
Pk
ϕϕλ
ϕ
−+= ++++ )()1()1()1()()1( ˆˆˆ k
Tkkkkk yk θϕθθ
{ }][)()1()1()(
)1( QPKP
P kTkkk
k +−
= +++
λ
ϕ
)(1 ipassokk →+=
Observe que 1=λ e que I deve ser da ordem de 710 ou superior.
2.7. Considerações Finais
Neste capítulo, foram apresentados conceitos fundamentais que serão aplicados no
desenvolvimento da estrutura para modelar o sistema térmico de piscinas adaptado a
condições climáticas para o estado de Minas Gerais, Brasil.
46
3. MÉTODO DE DESENVOLVIMENTO
3.1. Generalidades
Foi demonstrado ao longo do capítulo anterior que, assim como os modelos matemáticos são
capazes de representar sistemas de diversos tipos, as redes neurais também podem exercer
essa função. Contudo, as RNAs propiciam uma representação na qual não é necessário
dominar por completo os princípios físicos entre os diversos parâmetros que compõem um
sistema – o que é um fator que motiva a sua utilização diante das facilidades computacionais e
de tempo de desenvolvimento que podem proporcionar. Neste trabalho, as redes neurais serão
utilizadas para previsão de dados climáticos (umidade relativa, temperatura ambiente máxima,
temperatura ambiente, temperatura no ponto de orvalho e temperatura do céu) para o estado
de Minas Gerais.
Tendo como objetivo a obtenção de uma estrutura para simulação do comportamento térmico
de piscinas adaptadas às condições climáticas brasileiras, é proposta a utilização da estrutura
apresentada na seção (3.2) para modelagem, adaptação, estimação e recuperação de
informação do sistema térmico dinâmico para piscinas. Essa estrutura combina técnicas de
modelagem matemática com tecnologia de RNA e estimação de parâmetros, o que
proporciona um ambiente híbrido, eficiente e, em certo ponto, simples de ser adotado e
implantado.
3.2. Estrutura para Adaptação de Dados Climáticos Aplicada a Modelos de Piscina
Para que seja possível adaptar um modelo físico matemático que representa um processo
térmico de uma piscina para operar nas condições climáticas do estado de Minas Gerais,
propomos a utilização da estrutura apresentada na Figura 9.a que integra técnicas de redes
neurais artificiais com estimação de parâmetros. Observe que o modelo resultante é baseado
47
no modelo neural, no modelo físico e na estimação de parâmetros, o que iremos denominar de
modelo híbrido.
Figura 9.a: Estrutura híbrida para adaptação de modelos térmicos de piscina
Na Figura 9.b são apresentados os detalhes de cada módulo existente na Figura 9.a, assim
como as variáveis envolvidas no processo e o fluxo das informações.
Figura 9.b: Diagrama de blocos da estrutura proposta
48
No módulo neural, detalhado na seção 3.2.1, existem quatro redes neurais (RNA UMID que
fornece os valores da umidade relativa do ar; RNA TAMB que tem como saída a temperatura
ambiente; RNA TMAX que gera os valores da temperatura ambiente máxima e RNA TDW
de onde são obtidos os valores da temperatura do ponto de orvalho) que alimentam o módulo
tceu, que é composto por uma equação matemática, que é utilizada para calcular a
temperatura do céu:
273))90cos(013,0000073,00056,0711,0)(273( 25,02 −+++= dwdwaceu TTTT (43)
onde os valores de aT e dwT são fornecidos pelas RNA apresentadas na Figura 9.b.
No módulo correspondente ao modelo do processo físico de piscina, as informações
climáticas estimadas e calculadas no módulo neural são utilizadas para alimentar a equação do
modelo físico da piscina. Com estas informações, pode ser realizado também o cálculo da
radiação solar que, para o modelo de piscina adotado [Govaer e Zarmi, 1981], é obtido através
da equação [Ashrae, 1995]:
( )44*66970,00000005*0,96 TceutpR −= (44)
4tp e 4Tceu representam, respectivamente, a temperatura da piscina e a temperatura do céu
expressos em graus Kelvin elevado à quarta potência.
No módulo de estimação, as informações obtidas no módulo neural e do processo físico são
reutilizadas para estimar os parâmetros da equação diferencial que representa o processo e,
assim, estimar o volume da piscina. A informação desse processo é detalhada na seção 3.2.2.
49
3.2.1. Preparação da base de dados
A base de dados climáticos considerada neste trabalho foi composta por diversas bases de
dados obtidas através de contato com diversas instituições privadas e governamentais. Essa
base de dados foi utilizada para a representação neural dos dados climáticos e possui
informações climatológicas de 28 cidades do estado de Minas Gerais, coletadas durante 10
anos (1996-2006), conforme a figura abaixo:
Figura 10: Mapa das cidades adotadas como referência
As informações disponíveis na base de dados, inicialmente, eram compostas pela data da
medição, longitude, latitude, altitude, temperatura ambiente máxima e mínima, temperatura
ambiente às 9h, 15h e 21h, temperatura do ponto de orvalho às 9h, 15h e 21h e umidade
relativa do ar. Uma pequena amostra dos dados segue na tabela abaixo:
50
Tabela 1: Dados climáticos coletados para a cidade de Januária/MG
Data Longitude Latitude Altitude TMin TMax T9h T15h T21h Tdw9h Tdw15h Tdw21h Umidade 1/1/1996 -44,37 -15,43 474 22 21,5 96,99 1/1/1997 -44,37 -15,43 474 29,5 28,3 24,4 22,4 20,3 75,44 1/1/1998 -44,37 -15,43 474 21,6 35,3 29,7 34,3 25,4 18,4 19,8 20,4 60,3 1/1/2000 -44,37 -15,43 474 21 26,4 22,9 25,8 23,3 21,6 22,1 22,4 90,47 1/1/2001 -44,37 -15,43 474 21 28,1 22,4 23,4 21,9 21,6 21,8 20,8 93,24 1/1/2002 -44,37 -15,43 474 21,6 27,8 24,7 25,3 23,1 23,2 23,3 22,5 93,24 1/1/2003 -44,37 -15,43 474 20,6 29,8 26 25,1 25,1 22,3 23,1 23,4 87,36 1/1/2004 -44,37 -15,43 474 21,7 34,2 28,7 30,3 27,1 20,6 22,1 22 67,68 1/1/2005 -44,37 -15,43 474 21,2 34,3 28,2 33,7 26,7 19,4 18,1 20 58,03 1/1/2006 -44,37 -15,43 474 20,3 29,7 24,5 29,1 23,9 20,1 19,3 21,1 75,21
Os dados climáticos apresentados na Tabela 1 são da cidade de Januária, uma das 28 cidades
existentes na base de dados. Como pode ser observado, existem dados ausentes. Nesses casos,
os registros foram descartados.
A temperatura ambiente média diária é calculada pela equação (45), conforme recomendação
do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET):
5/)21*29( TMinTMaxhThTT +++= (45)
A temperatura do ponto de orvalho média diária foi calculada através das informações
existentes na base de dados. Porém, isso foi realizado com o cálculo da média entre os valores
das medições realizadas da temperatura do ponto de orvalho ao longo de cada dia.
3/)21159( hThThTT dwdwdwdw ++= (46)
Originalmente, a base de dados já estava dividida por cidades. As informações de cada cidade
foram subdivididas em função de cada conjunto <cidade, mês>. Isso foi necessário porque
foram utilizados valores médios mensais da umidade relativa, temperatura ambiente,
temperatura ambiente máxima e temperatura do ponto de orvalho para o processo de
treinamento das redes neurais artificiais. Para o conjunto de validação foram utilizados os
dados diários.
51
Para cada conjunto <cidade, mês> foram eliminados os outliers, ao considerar apenas os
dados que estavam entre dois desvios padrão acima ou abaixo da média. Ao adotar x como o
dado, σ o desvio padrão e x a média da população, tem-se:
xxx +≤≤− σσ *2*2 (47)
As informações médias diárias e mensais da umidade, temperatura ambiente, temperatura
ambiente máxima e temperatura do ponto de orvalho; e as informações de posicionamento,
latitude, longitude e altitude foram normalizadas no intervalo entre [0,2:0,8]. De acordo com
Tarca e Cooke, em [Tarca e Cooke, 2005], e Altincay e Demirekler, em [Altincay e
Demirekler, 2002], ao normalizar as entradas de uma rede neural que tem função de ativação
sigmoidal nesse intervalo, a rede neural aumenta sua capacidade de extrapolação.
As funções de normalização e de desnormalização são dadas, respectivamente, por:
) - L) / (L (Lo - LLn (Lo)f a minmaxmin== (48)
min1max - Ln) * L ( Ln * LLo (Ln)f b +== (49)
onde Lmin e Lmax são calculados, respectivamente, através das equações abaixo:
Lmin = (4 x LimiteInf – LimiteSup) / 3 (50)
Lmax = (LimiteInf – 0.8 x Lmin) / 0.2 (51)
Nas equações (50) e (51), LimiteInf representa o elemento com menor valor no conjunto
considerado e LimiteSup o maior.
Os procedimentos utilizados para a preparação dos dados de treinamento podem ser
resumidos na seqüência de passos abaixo:
1. Eliminar registros com valores ausentes:
Se ( ijd = ausente) => eliminar ijd ; j=1...13
2. Dividir a base de dados por mês e por cidade;
52
3. Calcular e incluir na base de dados as informações diárias da temperatura
ambiente média, conforme a equação (45), temperatura ambiente máxima e da
temperatura média do ponto de orvalho, conforme a equação (46);
4. Excluir os registros onde, em pelo menos um dos campos – temperatura ambiente,
temperatura ambiente máxima, temperatura do ponto de orvalho e umidade –, a
informação esteja abaixo ou acima da condição estabelecida pela equação (47):
Se ( ⊄ijd ]*2,*2[ xx +− σσ ) => eliminar ijd ; j=1...15
5. Para cada tupla <cidade, mês>, calcular a média mensal de cada variável por
cidade;
6. Para o conjunto de treinamento, foram utilizadas as informações médias de cada
tupla <cidade, mês> de cada mês;
7. Para o conjunto de validação, foram considerados os dados diários de cada mês;
8. Normalizar os dados de treinamento e validação utilizando o intervalo entre
[0,2:0,8].
É importante observar que o conjunto de treinamento será composto por 12 sub-conjuntos, um
para cada mês e para cada parâmetro (temperatura ambiente, temperatura do ponto de orvalho
e umidade) que será mapeado pelas RNAs. Cada conjunto de treinamento contém 28
registros.
3.2.2. Representação neural de variáveis ambientais
As variáveis ambientais foram representadas por redes neurais artificiais cujo treinamento foi
realizado utilizando-se o algoritmo de treinamento Levenberg-Marquardt. A arquitetura
adotada é a MLP. Assim como discutido por Hecht-Nielsen em [Kovács, 1996], foram
utilizados 2n+1 neurônios na camada escondida de cada RNA, onde n representa a quantidade
de entradas.
53
O processo de treinamento das RNAs para representar as variáveis ambientais foi realizado
utilizando-se o software MATLAB versão 6.5. Já a operação foi realizada pelo simulador
desenvolvido para operar o modelo de piscina juntamente com a estrutura proposta.
Foram modeladas, utilizando redes neurais artificiais, as variáveis responsáveis por fornecer
os valores da umidade relativa do ar, temperatura ambiente e temperatura do ponto de
orvalho. Estas informações podem ser representadas, respectivamente, pelas funções abaixo:
As equações (52.a), (52.b), (52.c) e (52.d) podem ser representadas na forma de esquema
conforme a figura abaixo:
54
Figura 11: Esquema das variáveis ambientais
Como pode ser observado na equação (52.a) e Figura 11.a; na equação (52.b) e Figura 11.b e
na equação (52.c) e Figura 11.c, a função que representa a umidade relativa do ar, a
temperatura ambiente e a temperatura ambiente máxima recebe como estímulos as entradas
latitude, longitude e altitude. Já para se obter a temperatura do ponto de orvalho (equação
(52.d) e Figura 11.d), as entradas são compostas pela latitude, longitude, altitude e, também,
pela temperatura ambiente que será estimada pela RNA apresentada na Figura 11.b.
A análise de correlação entre a temperatura ambiente e a temperatura do ponto de orvalho foi
aplicada para verificar que essas variáveis possuem uma relação não linear. O valor do índice
de correlação foi de 0,68.
Devido ao número limitado de cidades existentes na base de dados, para mapear todo o estado
de Minas Gerais, o treinamento foi realizado utilizando todas as cidades existentes. Porém,
55
para cada variável climatológica, foi realizado treinamento e validação prévia para testar a
capacidade de generalização da RNA.
Tabela 2: Erro obtido no processo de treinamento e validação (treinamento com 25 cidades)
ErroMédioTrein ErroMédioVal DesvioPadrãoTrein DesvioPadrãoVal
aT 0,0790ºC 0,1339ºC 0,0642ºC 0,0516ºC
maxT 0,0085ºC 0,3220ºC 0,0082ºC 0,2621ºC
dwT 0,0156ºC 0,4200ºC 0,0233ºC 0,4691ºC
U 0,0910% 1,5674% 0,0758% 1,1413%
Na tabela 2, é possível observar uma representação satisfatória dos dados climatológicos. O
parâmetro aT , por exemplo, apresentou erro médio de 0,1339 ºC durante o processo de
validação. Os parâmetros maxT , dwT e U obtiveram, respectivamente, 0,32ºC, 0,42ºC e
1,5674% nesse mesmo processo.
Para essa etapa de treinamento e validação, foram retiradas três cidades do conjunto de
treinamento e utilizadas no conjunto de validação, ou seja, foram validados valores que nunca
haviam sido apresentados à rede neural. Os resultados obtidos para o mês de janeiro são
apresentados nas tabelas 3, 4, 5 e 6.
Tabela 3: Treinamento e validação para aT (treinamento com 25 cidades)
Cidade aT Real aT RNA Erro
Belo Horizonte 24,31ºC 24,12ºC 0,19ºC
Formoso 24,29ºC 24,40ºC 0,11ºC
Frutal 25,52ºC 25,62ºC 0,09ºC
56
Tabela 4: Treinamento e validação para maxT (treinamento com 25 cidades)
Cidade maxT Real maxT RNA Erro
Belo Horizonte 29,69ºC 29,09ºC 0,60ºC
Formoso 31,58ºC 31.51ºC 0,07ºC
Frutal 31,36ºC 31,66ºC 0,30ºC
Tabela 5: Treinamento e validação para dwT (treinamento com 25 cidades)
Cidade dwT Real dwT RNA Erro
Belo Horizonte 18,20ºC 18,32ºC 0,11ºC
Formoso 18,68ºC 17,72ºC 0,96ºC
Frutal 21,42ºC 21,61ºC 0,18ºC
Tabela 6: Treinamento e validação para U (treinamento com 25 cidades)
Cidade U Real U RNA Erro
Belo Horizonte 68,56% 71,44% 2,88%
Formoso 69,57% 70,50% 0,93%
Frutal 75,74% 76,62% 0,88%
Para melhorar ainda mais a representatividade neural dos dados climáticos, as três cidades
(Belo Horizonte, Formoso e Frutal) utilizadas na validação foram incluídas no treinamento.
É possível observar que os resultados do processo de treinamento foram satisfatórios. Com
relação aos valores obtidos durante a validação, esses podem ser considerados como uma
amplitude ao invés de erro. Isto é possível, porque, a validação foi realizada com dados
diários médios de cada cidade para o mês de Janeiro. Desta forma, o que se obtém é a
amplitude de aT , maxT , dwT e U para todo o estado de Minas Gerais.
57
Como forma de testar a validade do modelo neural da temperatura ambiente para um
microclima, foi utilizado o valor médio anual da temperatura ambiente para a cidade de Ouro
Preto/MG (latitude=-20,23o, longitude=43,30o e altitude=1179m). Na Tabela 7, é apresentado
o resultado obtido:
Tabela 7: Validação da temperatura ambiente anual média para o microclima de Ouro Preto/MG
Cidade Mês Ta RNA
Janeiro 20,01ºC
Fevereiro 24,23ºC
Março 23,32ºC
Abril 18,85ºC
Maio 17,86ºC
Junho 17,16ºC
Julho 15,83ºC
Agosto 13,99ºC
Setembro 15,88ºC
Outubro 20,57ºC
Novembro 20,04ºC
Ouro Preto
Dezembro 19,62ºC
Cidade Ta (Real) 12
∑Ta
(RNA)
Erro
Ouro Preto 17,4ºC 18,94ºC 1,54ºC
Como pode ser observado na Tabela 7, o erro obtido foi 1,54oC. Para que os dados gerados
pela RNA pudessem ser utilizados para fornecer o valor médio anual da temperatura
ambiente, a RNA foi operada para os 12 meses do ano e os resultados obtidos para cada mês
foram somados e depois dividido por 12 – o que resultou no valor 18,94oC que equivale à
média anual. O erro anual obtido, portanto, seria proveniente do erro mensal médio que, para
58
este caso, seria de 0,128oC. Desta forma, observa-se que o resultado foi satisfatório frente ao
microclima da cidade de Ouro Preto/MG.
3.2.3. Estimação dos parâmetros do modelo
Como já mencionado, a atividade humana influencia o comportamento das piscinas por
provocar perdas de massa de água. Nesta seção, será apresentada uma maneira de estimar o
volume da piscina para estudo futuro do impacto da atividade humana em uma piscina.
Durante o processo de estimação, são descobertos os valores dos parâmetros a e b da equação
(23), onde FCBa /)(1 +−= e Fb /1−= . Com estes valores, é possível obter qualquer uma
das entradas do modelo, assim como, qualquer informação que o compõe. Desta forma, é
possível estimar, por exemplo, a variação de volume de água da piscina, o que está
relacionado com a perda de massa de água que a atividade humana exerce sobre a piscina.
O volume da piscina, contido no parâmetro a, que foi estimado, é dado por:
)1(*)(V
−+−
=a
hCBα (53)
onde, h é o passo de integração e α é dado por:
36001000000*1855.4
=α (54)
O volume também pode ser estimado através do parâmetro b pela equação:
αbh-V =
(55)
59
3.3. Síntese da estrutura de adaptação proposta
Ao longo dos capítulos e seções anteriores foi apresentado o conjunto de expressões
matemáticas necessárias para implantar, analisar e simular a estrutura proposta. Nesta seção,
será trabalhada a interação entre o modelo teórico de piscina, os modelos neurais e as
expressões da estrutura de estimação paramétrica já discutidos. O objetivo é apresentar, de
forma resumida, as diferentes formulações que fundamentam a estrutura do simulador.
3.3.1. Síntese das equações da estrutura de simulação
Segundo a Figura 9.b, as equações e técnicas necessárias para compor a estrutura de
simulação são resumidas a seguir.
Primeiramente, as informações correspondentes à latitude, longitude e altitude são
normalizadas de acordo com o mês de operação. Para esse processo, foram utilizadas as
equações (48), (50) e (51):
) - L) / (L (Lo - LLn (Lo)f a minmaxmin== Eq. (48)
Lmin = (4 x LimiteInf – LimiteSup) / 3 Eq. (50)
Lmax = (LimiteInf – 0.8 x Lmin) / 0.2 Eq. (51)
Esses dados foram normalizados entre [0.2, 0.8], como discutido no item 3.2.1 da seção 3, e
utilizados como entrada nos módulos neurais representados através das equações (52.a),
(52.b), (52.c) e (52.d):
60
O resultado da operação de cada rede neural é desnormalizado utilizando as equações (49),
(50) e (51):
min1max - Ln) * L ( Ln * LLo (Ln)f b +== Eq. (49)
A saída da operação da RNA da temperatura ambiente (Eq. (52.b)) alimenta a entrada da rede
neural que fornece a temperatura do ponto de orvalho (Eq. (52.c)).
Os valores obtidos nas equações (52.a), (52.b) e (52.c) são utilizados para cálculo da
temperatura do céu, conforme a equação (43) proposta por Duffie e Beckman em [Duffie e
Beckman, 2006]:
273))90cos(013,0000073,00056,0711,0)(273( 25,02 −+++= dwdwaceu TTTT Eq. (43)
As informações da pressão de saturação do vapor da água( wP ), pressão do vapor da água( aP )
e radiação( R ) são calculadas durante a simulação do modelo, juntamente com os demais
elementos já mencionados. O cálculo é realizado através das equações:
6092.01535.0)( 21 −=+= TBTBTPw Eq. (11)
)(*.)( awa TTPHRTaTP === Eq. (12)
( )44*66970,00000005*0,96 tceutpR −= Eq. (44)
Às informações da área da piscina, insolação anual média, amplitude da insolação anual,
temperatura inicial da piscina, amplitude da temperatura ambiente anual, coeficiente de perda
de calor por condução e condutividade, coeficiente de perda de calor por radiação, coeficiente
de perda de calor pelo contato com o solo, volume da piscina, emissividade, fase angular da
insolação máxima, fase angular da temperatura ambiente máxima e produto da média anual de
transmitância e absorção que alimentam o modelo físico da piscina, são dados valores iniciais
válidos para as condições climáticas para o estado de Minas Gerais.
61
As informações da temperatura ambiente e da insolação são atualizadas, originalmente, no
modelo proposto por Govaer e Zarmi, através das equações (8) e (9):
)sen(1)( It tIII φω −+=−
Eq. (8)
)sen(1)( Tat tTTaTa φω −+=−
Eq. (9)
Como a simulação na estrutura proposta não trabalha com médias anuais, mas sim valores
horários, essas equações foram substituídas por outras que trabalham desta forma e que foram
ajustadas para o estado de Minas Gerais.
Para a insolação horária, foram utilizadas equações de interpolação que fornecem o valor
acumulado a cada hora do dia para a cidade de Belo Horizonte/MG, onde x, que representa o
período de 1h, varia de 1 a 12 e é equivalente ao período onde existe insolação que é de seis
horas da manhã (6h) até as dezoito horas (18h). Na equação (56), são apresentadas as
equações para os meses de Janeiro a Dezembro:
Jan )(tI = 0,2859 4x - 7,434 3x + 44,859 2x + 45,006x + 32,218 186 ≤≤ t (56.a)
Fev )(tI = 0,3403 4x - 8,8477 3x + 54,308 2x + 41,628x + 16,473 186 ≤≤ t (56.b)
Mar )(tI = 0,3586 4x - 9,3231 3x + 58,435 2x + 28,152x - 7,1802 186 ≤≤ t (56.c)
Abr )(tI = 0,3944 4x - 10,255 3x + 65,732 2x + 12,02x - 31,789 186 ≤≤ t (56.d)
Mai )(tI = 0,3946 4x - 10,259 3x + 66,989 2x - 3,9464x - 47,532 186 ≤≤ t (56.e)
Jun )(tI = 0,3967 4x - 10,315 3x + 67,96 2x - 11,879x - 54,147 186 ≤≤ t (56.f)
Jul )(tI = 0,4043 4x - 10,513 3x + 68,985 2x - 8,4863x - 52,393 186 ≤≤ t (56.g)
Ago )(tI = 0,3935 4x - 10,232 3x + 66,109 2x + 5,2054x - 38,885 186 ≤≤ t (56.h)
Set )(tI = 0,3578 4x - 9,3037 3x + 58,825 2x + 21,436x - 16,188 186 ≤≤ t (56.i)
Out )(tI = 0,3185 4x - 8,2807 3x + 51,179 2x + 34,398x + 7,8395 186 ≤≤ t (56.j)
Nov )(tI = 0,2774 4x - 7,2117 3x + 43,713 2x + 41,114x + 26,358 186 ≤≤ t (56.l)
Dez )(tI = 0,2558 4x - 6,6499 3x + 39,933 2x + 42,794x + 33,869 186 ≤≤ t (56.m)
62
Figura 12: Comparação entre a insolação real ao longo do dia
médio do mês de Janeiro e o valor dado pela função de
interpolação.
Como pode ser observado na Figura 12, as curvas da insolação real e a dada pela equação de
interpolação se sobrepõem, o que indica que a interpolação proposta é capaz de representar a
insolação.
A temperatura ambiente foi calculada a partir de uma senóide que representa o dia padrão de
um determinado mês, onde a temperatura ambiente média é dada por uma rede neural e a
variação em torno dela é dada pela diferença entre a temperatura ambiente máxima e a
temperatura ambiente média. A variação da temperatura ambiente ao longo do dia é dada pela
equação (57), proposta pela Ashrae.
)03,224/**2sen()( max)( −−+=−−
hkTaTTaTa t π (57)
É importante observar que a equação (57) irá construir uma senóide com valor máximo às 14
horas e mínimo às 2 horas. Isto é possível graças ao valor ϕ (2,03) que desloca a função. Na
figura abaixo, é mostrada a curva que representa a variação da temperatura ambiente para a
cidade Belo Horizonte durante o mês de janeiro:
63
Figura 13.a: Variação da temperatura ambiente para a cidade Belo
Horizonte durante o mês de janeiro
As figuras 13.b e 13.c representam a variação da temperatura ambiente para a cidade Belo
Horizonte ao longo dos seis primeiros e seis últimos meses do ano, respectivamente.
Figura 13.b: Variação da temperatura ambiente de Janeiro a Junho
64
Figura 13.c: Variação da temperatura ambiente de Julho a Dezembro
Uma vez que todos os valores iniciais necessários ao processo de simulação da estrutura
proposta foram obtidos, o sistema de piscina é simulado utilizando-se a equação de diferenças
obtida a partir da equação (23):
)()()()()()1( kkkkkk eUbTaT ++=+ (58)
A matriz que armazena o sistema de equações necessário para a estimação de parâmetros é
montada conforme apresentado abaixo:
+
−−
−−=
−−
−−−−
+ )(
)(
)(),(
)(),(
)1()()1()(
)2()1()2()1(
)1(
)(
][
][
,,,
,,,
k
k
Tkk
Tkk
kkkk
kkkk
k
k
ee
ba
baUUTT
UUTTTT
O passo de integração ou amostragem foi escolhido com o valor de 1h. A cada intervalo de
tempo – definido pelo período de amostragem – os valores dos parâmetros )(ka e )(kb da
equação (23) são estimados utilizando-se a técnica do passo aleatório apresentada na seção
65
2.6.3 – que é uma variação do método dos mínimos quadrados recursivos. O volume atual da
piscina é estimado utilizando-se a equação (55):
600)(1000000/3*4.1855*bh-V =
Eq. (55)
3.3.2. Pseudocódigo do algoritmo
Abaixo é apresentado um quadro com a sinopse do algoritmo de implementação da estrutura
proposta utilizada neste trabalho.
];[ TaD // Matriz com os dados originais de treinamento e validação do modelo neural para a
temperatura ambiente
];[ TMaxD // Matriz com os dados originais de treinamento e validação do modelo neural para
a temperatura ambiente
];[ TDWD // Matriz com os dados originais de treinamento e validação do modelo neural para
a temperatura do ponto de orvalho
];[ RHD // Matriz com os dados originais de treinamento e validação do modelo neural para a
umidade relativa do ar
;pesosW hTa ← // Pesos da camada escondida que foram obtidos após o treinamento da rede
;pesosW oTa ← //Pesos da camada de saída que foram obtidos após o treinamento da rede
;pesosW hTMax ← // Pesos da camada escondida que foram obtidos após o treinamento da rede
;pesosW oTMax ← //Pesos da camada de saída que foram obtidos após o treinamento da rede
;pesosW hTDW ← // Pesos da camada escondida que foram obtidos após o treinamento da rede
;pesosW oTDW ← //Pesos da camada de saída que foram obtidos após o treinamento da rede
;pesosW hRH ← // Pesos da camada escondida que foram obtidos após o treinamento da rede
;pesosW oRH ← //Pesos da camada de saída que foram obtidos após o treinamento da rede
// Dados de localização geográfica
;]0[ latituded ←
66
;]1[ longituded ←
;]2[ altituded ←
// Cálculo do limite inferior e superior para a temperatura ambiente (inclui dados de
Entrada-saída)
←[]aLimiteInfT min( []TTaD ); // T: indica transposta
←[]aLimiteSupT max( []TTaD ); // T: indica transposta
// Normaliza os dados de entrada da temperatura ambiente
para 0←i até 2≤i faça
Lmin[i] ← (4 x LimiteInfTa[i] – LimiteSupTa[i]) / 3;
Lmax[i] ← (LimiteInfTa[i] – 0.8 x Lmin[i]) / 0.2;
Lo[i] ← d[i];
dn[i] ← (Lo[I] – Lmin[i]) / (Lmax[i] – Lmin[i]);
i ← i+1;
fim enquanto
// Opera a rede neural da temperatura ambiente
←anT OperaRNATa( hTaW , o
TaW ,dn);
// Desnormaliza o valor da temperatura ambiente média
aT ← anT [3] *Lmax[3]+(1- anT )+Lmin[3]
// Cálculo do limite inferior e superior para a temperatura ambiente máxima (inclui dados de
Entrada-saída)
←[]MaxLimiteInfT min( []TTMaxD ); // T: indica transposta
←[]MaxLimiteSupT max( []TTMaxD ); // T: indica transposta
// Normaliza os dados de entrada da temperatura ambiente
para 0←i até 2≤i faça
Lmin[i] ← (4 x LimiteInfTMax[i] – LimiteSupTMax[i]) / 3;
Lmax[i] ← (LimiteInfTMax[i] – 0.8 x Lmin[i]) / 0.2;
Lo[i] ← d[i];
dn[i] ← (Lo[I] – Lmin[i]) / (Lmax[i] – Lmin[i]);
i ← i+1;
fim enquanto
67
// Opera a rede neural da temperatura ambiente
←aMaxT OperaRNATMax( hTMaxW , o
TMaxW ,dn);
// Desnormaliza o valor da temperatura ambiente média
MaxT ← aMaxT [3] *Lmax[3]+(1- aMaxT )+Lmin[3]
// Cálculo do limite inferior e superior para a umidade relativa do ar (inclui dados de
Entrada-saída)
←[]HLimiteInfR min( []TRHD ); // T: indica transposta
←[]HLimiteSupR max( []TRHD ); // T: indica transposta
// Normaliza os dados de entrada da umidade relativa do ar
para 0←i até 2≤i faça
Lmin[i] ← (4 x LimiteInfRH[i] – LimiteSupRH[i]) / 3;
Lmax[i] ← (LimiteInfRH[i] – 0.8 x Lmin[i]) / 0.2;
Lo[i] ← d[i];
d[i] ← (Lo[I] – Lmin[i]) / (Lmax[i] – Lmin[i]);
i ← i+1;
fim enquanto
// Opera a rede neural da umidade relativa do ar
←RHn OperaRNARH( hRHW , o
RHW ,dn);
// Desnormaliza o valor da umidade relativa média
RH ← RHn*Lmax[3]+(1-RHn)+Lmin[3]
// Adiciona o valor da temperatura ambiente média ao vetor de entradas
;]3[ aTd ←
// Cálculo do limite inferior e superior para a temperatura ambiente
←[]dwLimiteInfT min( []TTDWD ); // T: indica transposta
←[]dwLimiteSupT max( []TTDWD ); // T: indica transposta
// Normaliza os dados de entrada da temperatura ambiente
para 0←i até 3≤i faça
Lmin[i] ← (4 x LimiteInfTdw[i] – LimiteSupTdw[i]) / 3;
Lmax[i] ← (LimiteInfTdw[i] – 0.8 x Lmin[i]) / 0.2;
68
Lo[i] ← d[i];
dn[i] ← (Lo[I] – Lmin[i]) / (Lmax[i] – Lmin[i]);
i ← i+1;
fim enquanto
// Opera a rede neural da temperatura ambiente
←DWnT OperaRNATdw( hTDWW , o
TDWW ,dn);
// Desnormaliza o valor da temperatura ambiente média
DWT ← DWnT [4] *Lmax[4]+(1- DWnT )+Lmin[4];
// Leitura das informações utilizadas pelo modelo físico da piscina
leia temperatura inicial da piscina (T), volume de água da piscina (V), área da superfície da
piscina (Ap), perda por provocada pelo contato com o solo, temperatura do solo(Ts),
insolação média anual ou mensal ( I ), amplitude da insolação anual ou mensal ( 1I ),
amplitude da temperatura ambiente anual ou mensal(1aT ), transmitância média anual ou
mensal )(γ , perda por condução (Uc), perda por radiação (Ur);
// Leitura das informações necessárias para a estimação de parâmetros
leia valores da diagonal da matriz de correção P, valor inicial dos parâmetros que serão
estimados ( 1θ e 2θ ), fator de convergência λ , valores da diagonal da matriz de correção Q,
tempo de simulação (Tsim);
// Kernel ou Núcleo principal enquanto k*h ≤ Tsim faça
)03,224/**2sen()()1(
−−+←−−
+hkTTTT aMaxaa k
π ;
273))90cos(013,0000073,00056,0711,0)(273( 25,02)1()1(
−+++←++ dwdwaceu TTTT
kk;
6092.01535.0 −← TPw ;
)1()1(**
++←
kk awa TPRHP ;
( )44)1()1( )1(
*66970,00000005*0,96+
−← ++ kceukk TTR ;
pAA *γ← ;
prc AUUB )( +← ;
69
ss AUC ← ;
)(**)1()1( +
−←+ kawpck PPAUcD ;
p4
ceu4
)1()1( A*))273.15)+(T-273.15)+((T*0000000)(5.6697/10*(0.96)1( +++ ←
kkkE ;
RHF *ρρ← ;
)56.()1( EqI k ←+ ;
)1()1()1()1( ***)1( ++++ −++−−←
+ kkksak IAEDTCTBUk
;
hFCBa k *)/)((1)1( +−←+ ;
Fhb k /)1( −←+ ;
)1()1()1()1()1()1( ++++++ ++← kkkkkk eUbTaT ;
];[ )1()1()1( +++ ← kkk UTϕ ; Se k > 1 faça
)1()()1(
)1()()1(
++
++ +
←kk
Tk
kkk P
Px
ϕϕλ
ϕ
−+← ++++ )()1()1()1()()1( ˆˆˆ k
Tkkkkk yx θϕθθ
{ }][)()1()1()(
)1( QPxP
P kTkkk
k +−
← +++
λ
ϕ
)()()()( kkkk Te −← θϕ
)3600/1000000(*1855.4*bhV −
←
fim se
Se k*h < 150 faça
470←V ; Senão se k*h < 300 faça
400←V ;
Senão se k*h < 450 faça
330←V ;
Senão faça
70
400←V ;
fim senão
k ← k+1;
fim enquanto
71
4. SOFTWARES DESENVOLVIDOS
4.1. Generalidades
Neste trabalho, foram desenvolvidos quatro softwares. O primeiro para simular o modelo de
piscina proposto por Govaer e Zarmi, em [Govaer e Zarmi, 1981]; o segundo para fornecer
uma interface gráfica ao software ALG1ESTM, desenvolvido por Zárate, em [Zárate, 1991]; o
terceiro para operar as RNAs utilizadas neste trabalho para estimação de dados climáticos e o
quarto aplicativo, que é a união dos três softwares citados anteriormente. Estes programas
foram denominados, respectivamente, SIPI, Aestimare, RN Klíma e ASI.
O ambiente de simulação integrado que é utilizado para simular a estrutura de adaptação de
modelos térmicos de piscinas proposta neste trabalho foi denominado ASI e é composto pelos
módulos kernel dos três aplicativos descritos no parágrafo anterior.
4.2. SIPI
4.2.1. Modelagem de requisitos
O SIPI foi desenvolvido para simular o comportamento térmico de piscina com diferentes
dimensões e condições de operação, de acordo com o modelo proposto por Govaer e Zarmi. O
modelo matemático que representa o sistema piscina foi apresentado no Capítulo 2. Para a
solução numérica do modelo, foi utilizado o método de integração numérica de Runge-Kutta
de 4 ª ordem.
Os requisitos do SIPI foram modelados na forma de um diagrama de casos de uso, conforme
apresentado na figura abaixo:
72
Figura 14: Diagrama de casos de uso do SIPI
Como pode ser observado na Figura 14, os requisitos do SIPI consistem em simular o sistema
térmico de uma piscina e exibir em forma de gráfico as informações de insolação, temperatura
ambiente, temperatura da piscina e perdas ou ganhos de energia.
O fluxo de funcionamento do SIPI está representado no diagrama de atividades apresentado
na Figura 15:
Figura 15: Diagrama de atividades do SIPI
73
No início da execução do SIPI, são exibidos os dados para a piscina utilizada por Govar e
Zarmi durante os seus experimentos. Caso o usuário deseje, é possível alterar as dimensões e
os fatores climáticos que influenciam a piscina. Após este passo, o usuário deverá escolher o
gráfico da informação a ser exibida e selecionar a opção "Simular". Feito isso, o SIPI irá
calcular as informações e exibí-las no formulário do aplicativo.
4.2.2. Apresentação do software
As funcionalidades da tela principal do SIPI se resumem ao que foi especificado no diagrama
de casos de uso da aplicação.
Figura 16: Tela principal do SIPI
A validação do SIPI foi realizada ao simular uma piscina nas mesmas condições utilizadas por
Govaer e Zarmi e comparando os resultados obtidos com os que foram apresentados por estes.
74
Pode ser observado na Figura 16 que é possível ajustar a simulação da piscina de diversas
maneiras distintas e, com isso, realizar experimentos com diferentes configurações climáticas
e da própria piscina.
O resultado da simulação e da variação da temperatura de uma piscina ao longo de um ano é
apresentado na Figura 16. Existe também a possibilidade de exibir outros tipos de
informações, como a da variação de perda e ganho de energia, insolação e temperatura
ambiente, conforme apresentado nas figuras 17, 18 e 19, respectivamente.
Figura 17: Variação de energia no sistema
75
Figura 18: Variação da Insolação (artigo)
Figura 19: Variação da temperatura ambiente
76
No menu opções da aplicação existem duas alternativas: Sair que encerra a execução do
software e Sobre que exibe informações sobre o SIPI, como apresentado na Figura 20.
Figura 20: Informações sobre o SIPI
4.3. Aestimare
4.3.1. Modelagem de requisitos
Com o objetivo de contar com um ambiente adequado para estudar e analisar algoritmos de
estimação paramétrica, frente aos problemas em estimar parâmetros de uma piscina, foi
desenvolvido um ambiente gráfico denominado Aestimare.
Este aplicativo é baseado no software ALG1ESTM que reúne 15 técnicas de estimação de
parâmetros estudadas e analisadas por Zárate, em [Zárate, 1991].
Os requisitos funcionais do Aestimare são apresentados na Figura 21:
77
Figura 21: Requisitos do software Aestimare
Na Figura 21, pode-se observar que os requisitos principais do Aestimare consistem em:
fornecer os 15 tipos de técnicas de estimação paramétrica para que o usuário possa selecionar
uma durante o processo de estimação; permitir que o usuário entre com os dados iniciais e
parâmetros de ajustes do método de estimação escolhido; salvar as informações da estimação
em arquivo para uma análise futura das informações; selecionar diferentes informações para
serem exibidas em forma de gráfico e estimar os parâmetros de uma equação de diferenças
qualquer.
4.3.2. Apresentação do software
A tela inicial do software Aestimare foi baseada nas informações do aplicativo ALG1ESTM e
possui as mesmas funcionalidades. Porém, no Aestimare os elementos são apresentados em
modo gráfico.
78
Figura 22: Simulação com o método dos mínimos quadrados recursivos
A Figura 22 mostra os resultados da estimação do parâmetro a real e o estimado. A equação
de diferenças utilizada nessa simulação é dada por:
21210 ducubyayy ++−−=
Onde, b = 0,7 e d = 0,5. Os valores de a, b, c e d são os parâmetros e podem ser estimados
pelo Aestimare.
O sistema físico representado por uma equação de diferenças foi simulado e os resultados são
apresentados nas figuras 22 e 23. A Figura 22 é o resultado de uma simulação utilizando o
método dos mínimos quadrados recursivos e na Figura 23 são apresentados os valores obtidos
ao empregar a técnica on-line do passo aleatório.
As informações de cada um dos quatro parâmetros do sistema apresentado nas figuras 21 e 22
podem ser visualizadas. Para isso, selecione a caixa de seleção "01 Real" para exibir os
79
valores do parâmetro a real; "01 estm" para os resultados do parâmetro a estimado e, assim
por diante.
Para visualizar o erro médio quadrático de cada parâmetro estimado, selecione a caixa de
seleção "EMQ 01" para o parâmetro a; "EMQ 02" para o parâmetro b e, assim por diante.
Cada parâmetro recebe automaticamente o valor inicial zero. Para modificá-lo, é necessário
preencher as caixas de texto "Parâmetro inicial O(1)" para o parâmetro a e assim
sucessivamente.
Os valores reais e estimados da saída da equação que representa o processo físico podem ser
observados ao selecionar as caixas de seleção "Saída Y" e "Saída estimada". Já a variação dos
valores que alimentam o sistema, é exibida ao selecionar a opção "Entrada U".
É possível simular o sistema mediante interferências ou ruídos externos. Para isso, basta
selecionar a opção "sim" na caixa de opção "Ruído Aleatório". Para exibir o gráfico do ruído
gerado, é necessário selecionar a caixa de seleção "Ruído Gaussiano E".
O tempo total da simulação é definido pelo valor contido na caixa de texto "Tempo de
simulação".
O fator de correção do erro da estimação pode ser ajustado através da caixa de texto "Fator de
esquecimento". Para o método dos mínimos quadrados recursivos, este valor é constante (para
a simulação da Figura 19 foi informado o valor 0,7). Para o método do passo aleatório, são
exibidas caixas de controle para que seja informada a matriz de pesos que será utilizada na
correção do erro do processo de estimação.
80
Figura 23: Simulação on-line com a técnica do passo aleatório
Na tela principal da aplicação existe a opção Sobre. Ao selecioná-la será exibida uma nova
tela com informações a respeito do software, conforme apresentado na Figura 24.
Figura 24: Informações sobre o Aestimare
81
4.4. RN Klíma
4.4.1. Modelagem de requisitos
O software RN Klíma foi desenvolvido para operar as redes neurais artificiais projetadas no
Capítulo 3 – que fornecem os valores da temperatura ambiente, temperatura ambiente
máxima, umidade relativa, temperatura do ponto de orvalho – e para calcular a temperatura do
céu.
As premissas necessárias ao desenvolvimento do RN Klíma foram representadas abaixo na
forma de um diagrama de casos de uso:
Figura 25: Diagrama de casos de uso do RN Klíma
Como pode ser observado na Figura 25, os requisitos consistem: na operação de quatro RNAs
– temperatura ambiente, temperatura ambiente máxima, temperatura do ponto de orvalho e
82
umidade relativa –; em calcular a temperatura do céu; exibir o mapa das estações de medições
climáticas e exibir as informações do produto.
Para atender a estes requisitos, foi criada a classe RedeNeuralArtificial que está especificada
no diagrama de classes abaixo:
Figura 26: Classe utilizada pelo
RN Klíma
Na Figura 26, foram apresentados os atributos e os métodos utilizados pelo RN Klíma. O
método Create() é o construtor da classe e é responsável pela atribuição dos valores de todos
os atributos, exceto o da variável resultado. Os métodos NormalizaDados() e
DesnormalizaDados() são responsáveis, respectivamente, pela normalização e
desnormalização das informações da rede. As funções AplicaSigmoid() e
CalculaSomaPonderada() são métodos auxiliares utilizados pelo método Opera() na operação
das RNAs. A função ResultadoFinal() retorna o valor armazenado na variável resultado que
consiste na saída calculada pela rede neural.
O funcionamento básico da classe RedeNeuralArtificial foi resumido na forma do diagrama
de atividades apresentado abaixo:
83
Figura 27: Funcionamento básico da classe
RedeNeuralArtificial
Na Figura 27, pode ser observado o fluxo de atividades desejado na classe
RedeNeuralArtificial que consiste na normalização das entradas da rede, cálculo e retorno da
informação desejada.
O software RN Klíma teve o funcionamento especificado de acordo com o diagrama de
atividades apresentado na Figura 28:
84
Figura 28: Diagrama de funcionamento do RN Klíma
Ao iniciar a execução da aplicação, o usuário informa as coordenadas geográficas de um local
dentro do domínio do estado de Minas Gerais e pressiona a opção "Calcular". Essas entradas
são normalizadas e utilizadas para cálculo das informações da temperatura ambiente, umidade
relativa, temperatura do ponto de orvalho e temperatura do céu. Após este processo, as
informações são desnormalizadas e estão adequadas para serem exibidas no formulário da
aplicação.
4.4.2. Apresentação do software
O software RN Klíma teve suas telas derivadas do diagrama de casos de uso apresentado na
Figura 25.
85
Figura 29: Tela inicial do RN Klíma
Como pode ser observado na Figura 29, o RN Klíma possui no formulário principal dois
quadros: um correspondente à entrada de dados e um correspondente à exibição dos resultados.
A opção "Calcular", que inicia os processos necessários para funcionamento da RNA e
exibição dos resultados – Resultado da operação –, pode ser acessada através da tela principal
ou em menu -> opções -> Calcular.
No menu->opções existem mais duas funcionalidades: Mapa, que exibe o mapa apresentado na
Figura 30 e Sair, que encerra a aplicação.
86
Figura 30: Mapa das estações
As informações do produto, apoio, número do projeto e contato são acessadas através do menu-
>Sobre. Nesse caso, a tela apresentada na Figura 31 será exibida.
Figura 31: Informações sobre o software
87
Como pode ser observado, o RN Klíma é um software relativamente simples de ser operado e
não exige conhecimento prévio dos métodos utilizados para calcular as informações climáticas
– temperatura ambiente, temperatura ambiente máxima, temperatura do ponto de orvalho,
umidade relativa e temperatura do céu. As únicas informações necessárias são as de
localização (latitude, longitude e altitude) – as quais deverão, obrigatoriamente, estar situadas
dentro do estado de Minas Gerais.
4.5. ASI
4.5.1. Modelagem de requisitos
O ambiente de simulação integrado ou, como denominamos, ASI, foi desenvolvido para
integrar os softwares das seções 4.2, 4.3 e 4.4 e, assim, fornecer uma ferramenta para simular
a estrutura que permite a adaptação de modelos térmicos de piscinas para operarem nas
condições climáticas do estado de Minas Gerais.
Na figura abaixo, é apresentado o diagrama de casos de uso do ASI que, em suma, é
composto pela junção das principais características dos softwares apresentados nas seções
anteriores.
88
Figura 32: Diagrama de casos de uso do ASI
4.5.2. Apresentação do software
O software ASI engloba funcionalidades dos aplicativos Aestimare, Sipi e RN Klíma. Por
isso, sua interface também contém elementos que foram herdados destes programas.
Na tela principal do ASI, é possível observar claramente uma área mais à esquerda onde estão
disponíveis informações e opções relativas à estimação dos parâmetros do modelo – no caso
do ASI, apenas a estimação on-line está disponível. Na área à direita, observam-se elementos
relacionados ao posicionamento geográfico – estes elementos têm a mesma função do RN
Klíma, ou seja, fornecer os valores da temperatura ambiente, temperatura do céu, temperatura
do ponto de orvalho e umidade relativa. E, na parte central da tela, observa-se o gráfico de
simulação, onde serão exibidos os resultados da simulação da piscina.
A equação de diferenças utilizada no ASI é equivalente à equação proposta por Govaer e
Zarmi, em [Govaer e Zarmi, 1981].
89
Figura 33: Tela inicial do ASI
No ASI existem diversas alternativas de gráficos que foram modificadas da ferramenta
Aestimare. As opções "Temperatura da Piscina" e "Temp. Piscina Estimada" exibem o
gráfico da temperatura real da piscina e temperatura que foi estimada, respectivamente. A
variação da temperatura ambiente pode ser observada ao selecionar a opção "Temperatura
Ambiente". "Parâmetro Real" e "Parâmetro Estimado" exibem os valores calculados e
estimados dos parâmetros a e b. Já as opções "Volume Real" e "Volume Estimado" exibem o
volume real e estimado através dos parâmetros a e b do modelo.
Assim como no RN Klíma, no ASI também está disponível o mapa com a localização das
cidades que foram utilizadas como base de medição das informações climáticas e para o
treinamento das RNAs.
90
Figura 34: Mapa com os pontos de treinamento da rede neural
As informações sobre o produto são apresentadas conforme a Figura 35 e são exibidas ao
selecionar a opção Sobre na tela principal do programa.
Figura 35: Informações sobre o ASI
91
5. SIMULAÇÕES E ANÁLISE DE RESULTADOS
Durante os capítulos anteriores foram validados os resultados obtidos pelo modelo proposto
por Govaer e Zarmi, as implementações dos algoritmos de estimação de parâmetros e os
modelos neurais propostos. Neste capítulo, são apresentados os resultados das simulações
realizadas com a estrutura de adaptação de informações climáticas frente a diferentes
variações de dados de entrada.
Dados comuns para simulação:
Tabela 8: Dados comuns às simulações Dados da localidade Dados da piscina Dados adicionais
Cidade: Belo Horizonte Volume: 470 3m Transmitância média anual: 0,75
Latitude: -19,93 o Área: 312,50 2m Perda por condução: 9,12 CmW o2/
Longitude: -43,94 o Temperatura inicial da piscina: 28 Co
Perda por radiação: 5,10 CmW o2/
Altitude: 850 m Perda pelo solo: 850 CW o/ Temperatura do solo: 30 Co 1,0=λ ]0001,0;8,1[=Q h = 1 h
5.1. Simulação 1: Variação da temperatura da piscina frente a variação da temperatura ambiente e da insolação
Para esta simulação foram considerados os meses de Janeiro e Julho. Os dados obtidos da
variação horária da temperatura, da piscina, temperatura ambiente e insolação, nestes dois
períodos, são apresentados abaixo:
92
Figura 36.a: Variação das temperaturas da piscina e ambiente durante o mês de Janeiro
Figura 36.b: Variação das temperaturas da piscina e ambiente durante o mês de Julho
Figura 36.c: Variação da insolação durante o
dia médio do mês de Janeiro Figura 36.d: Variação da insolação durante o
dia médio do mês de Julho
Como pode ser observado nas Figuras 36.a-d, a temperatura da piscina tende a acompanhar a
variação horária da temperatura ambiente e da insolação ao longo do tempo. Isto ocorre com
um certo retardo, devido ao tempo necessário para uma quantidade de calor qualquer
conseguir alterar a temperatura da água. Este calor é fornecido pela insolação e pela variação
da temperatura ambiente.
5.2. Simulação 2: Variação anual da temperatura da piscina
Além da variação da temperatura da piscina ao longo dos meses de Janeiro e Julho foi
realizada uma simulação durante um ano. Os resultados são apresentados na Figura 37:
93
Figura 37: Variação da temperatura da piscina ao longo de um ano
5.3. Simulação 3: Variação da temperatura da piscina e estimação dos parâmetros frente a variações do tipo degrau no volume
Para simular o impacto da diminuição do volume na dinâmica da piscina, foram propostas
diferentes variações no volume. A primeira variação funciona como um degrau, conforme
especificado na equação (59), onde v=470 3m :
≥≤≤≤≤≤≤
≤≤
=
673,4096,0672505,512,0504339,64,0338169,8,0
1680,
)(
tvtvtvtv
tv
v t (59)
94
Figura 38.a: Variação da temperatura da
piscina durante o mês de Janeiro Figura 38.b: Variação do parâmetro "a" real e
estimado durante o mês de Janeiro
Figura 38.c: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o
mês de Janeiro
Figura 38.d: Variação do parâmetro "b" real e estimado durante o mês de Janeiro
Como pode ser observado nas Figuras 38.a-d, quando ocorre redução do volume de água da
piscina, o sistema reage mais rapidamente frente a fatores como a temperatura ambiente e a
insolação, ou seja, essas variações terão um impacto mais perceptível no sistema. Se
compararmos as simulações das Figuras 36a e 38a, é possível observar com maior clareza o
aumento da temperatura da piscina à medida que o volume reduz.
Nas Figuras 38.b e 38.d, respectivamente, são mostrados os resultados da estimação dos
parâmetros "a" e "b" frente aos valores reais. É possível observar que o parâmetro "a" foi
estimado com erro menor que o apresentado por "b". Dessa forma, o parâmetro "a" é mais
eficiente para ser utilizado durante a estimação da variação do volume ao longo do tempo. O
resultado dessa operação pode ser observado na Figura 38.c e foi ampliado na Figura 38.e e é
apresentado abaixo:
95
Figura 38.e: Ampliação da primeira
variação do volume apresentada da Figura
38.c
Nas Figuras 38.b-e observam-se picos muito elevados. Esses picos são provocados pela força
de correção do algoritmo de estimação paramétrica durante o processo de estimação dos
parâmetros "a" e "b". Durante um intervalo de aproximadamente 3hrs, o algoritmo de
estimação passa por um processo de acomodação e suas informações deverão ser
desconsideradas.
5.4. Simulação 4: Variação da temperatura da piscina e estimação dos parâmetros frente a variações do tipo rampa no volume
Para esta simulação, foi proposta variação no volume do tipo rampa, de acordo com a equação
(60), onde v=470 3m :
>≤<+−
≤<=
672672168266.10015873.0
1680)(
tvtvvt
tvvf
(60)
96
Figura 39.a: Variação da temperatura da
piscina durante o mês de Janeiro Figura 39.b: Variação do volume real e
estimado através do parâmetro "a" durante o mês de Janeiro
Figura 39.c: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro
Como pode ser observado nas Figuras 39.a-c, a variação do volume, de acordo com a equação
(60), proporciona alteração na dinâmica da piscina e redução do tempo de reação do sistema
frente às variações ambientais. No caso da variação do tipo rampa, por ser mais suave, não é
necessário aguardar o tempo de acomodação, pois o erro é pequeno.
5.5. Simulação 5: Variação da temperatura da piscina e estimação dos parâmetros frente a variações do tipo exponencial no volume
Para esta simulação, foi proposta variação no volume do tipo exponencial, de acordo com a
equação (61), onde v=470 3m :
97
>≤<+
≤<
= −−
6726721682.08.0
1680)( )100/)169((
tvtvve
tvvf t
(61)
Figura 40.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro
Figura 40.b: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o
mês de Janeiro
Figura 40.c: Variação do parâmetro "a" real
e estimado durante o mês de Janeiro
Novamente, é possível observar nas Figuras 40.a-c que a variação do volume, de acordo com
uma função exponencial, também altera a dinâmica da piscina.
98
5.6. Simulação 6: Variação da temperatura da piscina e estimação dos parâmetros frente a variações do tipo rampa com volume inicial de 150 3m e área da piscina de 100 2m
Para confirmar a eficiência do modelo proposto para diferentes piscinas, as dimensões da
piscina foram reduzidas a uma área de 100 2m e volume inicial de 150 3m , e foram realizadas
simulações do tipo rampa, de acordo com a equação (59):
Figura 41.a: Variação da temperatura da
piscina durante o mês de Janeiro Figura 41.b: Variação do volume real e
estimado através do parâmetro "a" durante o mês de Janeiro
Figura 41.c: Variação do parâmetro "a" real
e estimado durante o mês de Janeiro
Nas Figuras 41.a-c observa-se que a variação da temperatura ambiente foi bem superior a da
simulação anterior do tipo rampa. É possível observar que o erro da estimação do volume foi
menor.
99
5.7. Simulação 7: Variação da temperatura da piscina e estimação dos parâmetros frente a variações do tipo rampa com volume inicial de 75 3m e área da piscina de 50 2m
Para esta simulação, as dimensões da piscina foram reduzidas a uma área de 50 2m e volume
inicial de 75 3m , e foram realizadas simulações do tipo rampa, de acordo com a equação (59):
Figura 42.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro
Figura 42.b: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o
mês de Janeiro
Figura 42.c: Variação do parâmetro "a" real
e estimado durante o mês de Janeiro
Como pode ser observado nas Figuras 42.a-c, além da variação da temperatura da piscina
aumentar, os erros provenientes da estimação do volume da piscina através do parâmetro "a" e
do próprio parâmetro "a" novamente reduziram, como era esperado.
100
CONCLUSÕES Atualmente, é observado que existe um interesse mundial crescente pelo uso de energias
renováveis, dentre elas a fornecida pelo sol. Para utilização destes novos recursos é necessário
que sejam estudados modelos que permitam a utilização dos recursos renováveis com
eficiência.
Os modelos matemáticos de sistemas físicos permitem conhecer a relação causa-efeito entre
os parâmetros envolvidos em um processo. O modelo térmico de piscina tratado neste
trabalho permite, através de simulações, que os recursos energéticos possam ser utilizados de
maneira mais eficiente.
Neste trabalho, o modelo térmico de piscina proposto por Govaer e Zarmi foi adaptado, para
fins de estudo, às condições climáticas brasileiras do estado de Minas Gerais. A adaptação
permite simular esse modelo em diferentes condições ambientais e em diferentes localidades.
Foi também introduzida a estimação paramétrica para determinar a variação do volume da
piscina frente à atividade humana.
No trabalho, foi apresentada uma estrutura híbrida baseada em um modelo teórico de piscinas,
redes neurais artificiais e estimação paramétrica para simular o sistema físico de piscinas.
A adaptação do modelo às condições climáticas brasileiras foi realizada através de uma
representação neural do clima. Durante as várias etapas onde foram realizados testes e
validações, constatou-se que as RNAs apresentaram resultados satisfatórios para estimar os
valores médios mensais da temperatura ambiente, temperatura ambiente máxima, temperatura
do ponto de orvalho, umidade relativa do ar e para o cálculo da temperatura do céu a partir
desses dados. A validação da temperatura ambiente realizada com a cidade de Ouro
Preto/MG, a qual é um microclima, mostrou-se satisfatória.
Apesar do resultado satisfatório da representação neural do clima, é importante enfatizar que a
interpolação dos dados climáticos para o estado de Minas Gerais não é garantida. Embora a
representação considere a latitude, longitude e altitude, a representação neural modela micro
101
regiões. Localidades geograficamente distintas do conjunto de dados de treinamento podem
não ser contempladas, tornando o modelo inconsistente. Como trabalho futuro, sugere-se que
o modelo seja validado com medições realizadas através de estações meteorológicas móveis,
especialmente nas localidades geograficamente distintas. Com isto, é possível interpolar o
perfil climático do estado de Minas Gerais de maneira mais eficiente.
Os resultados das simulações envolvendo variações diversas no volume da piscina
demonstram, como esperado, que a redução de volume de água na piscina altera sua dinâmica
de funcionamento. Assim, a diminuição do volume causará o aumento da temperatura da
piscina frente às mesmas condições climáticas. Desta forma, a atividade humana em uma
piscina pode provocar alterações consideráveis, uma vez que essa atividade irá provocar perda
de massa de água da piscina.
Neste trabalho, para simular a atividade humana, foram consideradas as funções matemáticas
apresentadas no capítulo 5 (degrau, rampa e exponencial), o que pode não refletir o
comportamento real da atividade humana. Como trabalho futuro, é sugerida, também, a
modelagem com o emprego de agentes inteligentes. Nas simulações realizadas, o modelo foi
restringido à cidade de Belo Horizonte, visto que não havia dados da insolação disponível
para as demais cidades consideradas no conjunto de treinamento das RNAs de dados
climáticos. Sendo assim, o processo de validação foi realizado apenas para essa cidade, sendo
esta uma restrição deste trabalho. Todavia, a estrutura que foi proposta aqui é genérica o
bastante para aceitar dados da insolação de outras localidades.
Para esta pesquisa, foi desenvolvido um conjunto de quatro aplicativos que permitem simular
diversas situações e podem ser utilizados por outros estudos associados ao uso de energias
renováveis para piscinas.
Em trabalhos futuros espera-se monitorar uma piscina para validar as informações da
estrutura híbrida de simulação em ambientes reais e, assim, validá-la e ajustá-la, caso
necessário, para novas condições.
102
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106
ANEXO I – Equação Diferencial Na expressão (2), seção 2.3, temos uma equação diferencial que pode representar um sistema
contínuo qualquer.
Se o sistema a ser modelado possuir n=2 e m=1, tem-se:
)(1)(
0)(2)(
12)(
2
0 )()()()()( tt
ttt xb
dtxd
byadt
yda
dtyd
attttt
+=++ (I.1)
Como a equação acima tem n=2, ele pode ser classificado como um sistema de 2a ordem no
domínio da variável t.
Para n=1 e m=1, tem-se:
)(1)(
0)(1)(
0 )()()()( tt
tt xb
dtxd
byadt
yda
tttt+=+ (I.2)
Considerando o processo físico deste estudo, onde a equação diferencial do sistema tem a
forma abaixo para n=1 e m=0:
)(0)(1)(
0 )()()( ttt xbya
dtyd
attt
=+ (I.3)
O gráfico abaixo exemplifica o comportamento do sistema (I.3):
107
Figura I.1: Resposta de um sistema com n=1 e m=0.
Neste trabalho, o sistema de piscina é representado por um modelo de 1a ordem.
Na figura acima, pode ser observado que quando a simulação alcança um tempo equivalente a
τ5 , o sistema está quase estável (τ é a constante de tempo do sistema). As saídas típicas dos
sistemas de 1ª ordem, quando os coeficientes assumem o valor 1, ao longo do tempo, são
[Aguirre, 2004]:
Tempo de simulação (t) Saída do sistema
0
τ
τ2
τ3
τ4
τ5
0
0,63
0,86
0,95
0,98
0,99
108
ANEXO II – Transformada de Laplace
A Transformada de Laplace (T.L.) é um método que permite analisar um sistema no domínio
da freqüência. Neste trabalho, é utilizado para resolver equações diferenciais lineares. Quando
utilizamos a T.L., encontramos uma equação algébrica equivalente, cuja solução numérica
pode ser encontrada através da utilização das tabelas de transformação St → .
A definição da T.L. para ℜ>→ooof ,[: transforma uma função do domínio t para o
domínio S e é dada por:
dteFFLF sttts
−∞
∫==0
)()()( ][ (II.1)
Exemplo 1:
Seja, dAeFtAt
F stst ∫
∞−=⇒
≥<
=0
)()( 0,0,0
SA
SAF
SeeAF
SeAF
dteAF
s
s
st
s
sts
=
−
−=
−−=
−=
=
∞−
∞−
∞−∫
1)(
0
)(
0)(
0)(
Exemplo 2:
Considere a equação (1) com n=1 e m=1
mnxbdt
xdbya
dtyd
a tt
tt ≥+=+ ,)(1
)(0)(1
)(0 (II.2)
109
A equação (II.2) pode ser representada algebricamente no domínio de Laplace como:
mnasa
bsb
xy
s
s ≥+
+= ,
10
10
)(
)( (II.3)
Considerando 1010 === baa e 01 =b , teremos:
1)(
)(
+=
ss
xy
s
s (II.4)
Exemplo 3:
Considere a equação (1) com n=2 e m=1
mnxbdt
xdbya
dtyd
atdyd
a tt
ttt ≥+=++ ,)(1
)(0)(2
)(12
)(2
0 (II.5)
A equação (II.5) pode ser representada algebricamente no domínio de Laplace como:
mnasasa
bsb
xy
s
s ≥++
+= ,
212
0
10
)(
)( (II.6)
Considerando 110210 ===== bbaaa , teremos:
11
2)(
)(
+++
=ss
sxy
s
s (II.7)
Exemplo 4:
110
Considere a equação (1) com n=1 e m=0
mnxbyadt
yda tt
t ≥=+ ,)(0)(1)(
0 (II.8)
A equação (II.8) pode ser representada algebricamente no domínio de Laplace como:
mnasa
b
xy
s
s ≥+
= ,10
0
)(
)( (II.9)
Considerando 1010 === baa , teremos:
11
)(
)(
+=
sxy
s
s (II.10)
Na figura abaixo, pode ser observado que a resposta ao degrau unitário para um sistema no
domínio S é equivalente à equação diferencial (I.3):
Figura II.1: Resposta de um sistema com n=1 e m=0.
111
ANEXO III – Transformada Z
A Transformada Z é utilizada para transformar funções que estão no domínio do tempo
contínuo t para o domínio discreto z.
Através do amostrador, um sinal contínuo é convertido em pulsos produzidos nos instantes
nTTTT ,...,3,2,,0 . O hold, por sua vez, captura esses pulsos e os retém, transformando o sinal
amostrado em pseudocontínuo, que reproduz de maneira aproximada o valor da entrada x e
corresponde a uma função de transformação dada por:
SeG
ts
h
−−=
1 (III.1)
O valor do sinal de entrada x, após passar pelo amostrador, é dado pela equação abaixo:
∑∞
=−=
0)(
*
kkTtkTt xx δ (III.2)
Exemplo:
Considerando a equação (I.3), porém, no domínio do variável S com 1010 === baa ,
teremos:
11
)(
)(
+=
Sxy
s
s (III.3)
Multiplicando a equação (III.3) pelo hold (III.1):
( ) ( ) )()( 11
1s
tss xe
SSy −−
+= (III.4)
112
Utilizando a tabela de transformação de ZS → , obtemos a equação no domínio Z:
)1(10)(TT
k exeyy −− −+= (III.5)
Se considerarmos 11 =−kx , onde T é o tempo de amostragem, podemos simular o sistema
(III.3):
Figura III.1: Variação do resultado obtido frente a diferentes intervalos de amostragem
No sistema apresentado acima, podemos observar diferentes resultados frente a entradas em
degrau unitário. Isto ocorre porque, ao transformar um sistema contínuo em discreto, o
mesmo poderá perder informação dependendo do intervalo utilizado para a amostragem (h)
do sistema.
Como pode ser observado, quanto mais curto for o intervalo de amostragem, mais o sistema
discreto irá se aproximar do contínuo.
113
ANEXO IV – Equação de Diferenças
A solução discreta de uma equação diferencial pode ser obtida através de uma equação de
diferenças equivalente que tem sua forma genérica explicitada abaixo:
)(0)1(1)(0)1(1)()( ...... nkknnkknknk xxuuux −−−−−− −−−+++= ββααα (IV.1)
A qual pode ser obtida através da equação diferencial:
mnubdt
dub
dtud
bdt
udb
yadt
dya
dtyd
adt
yda
tmt
mmt
m
mt
m
tnt
nnt
n
nt
n
≥++++
=++++
−−
−
−−
−
,...
...
)()(
11)(
1
1)(
0
)()(
11)(
1
1)(
0
(IV.2)
Para a transformação, podemos aplicar o método da Transformada Z em uma função no
domínio de Laplace:
nnnn
mmmm
s
s
asasasabsbsbsb
xy
++++++++
=−
−−
−
11
10
11
10
)(
)(
...
... (IV.3)
Em nosso caso, como o sistema é de 1a ordem, com n=1 e m=0 , temos:
10
0
)(
)(
asab
xy
s
s
+= (IV.4)
Aplicando a tabela de transformação [Phillips e Troy, 1984], obtemos:
[ ]T
aaZs
eZ
ZabGaaS
abZGZ0
1)/(
//
00)(01
00)( −
−
=⇒
+
= (IV.5)
Supondo 1010 === baa , temos:
114
)()(1
)(1)(
)(
)(
)(
11
ZZT
ZTZ
ZT
Z
Z xyeZyeZx
yeZ
Zxy
=−⇒−
=⇒−
= −−−−−
(IV.6)
Pelo teorema da translação – sendo n um inteiro positivo e 0)( =ke para 0<k , )(ZE será
transformado em { })(ke –, portanto:
{ }[ ])()( nkZn eZEZ −
− = (IV.7)
Assim, aplicando o teorema da translação na equação (IV.7), obtemos a equação de diferenças
abaixo:
)()1()( kkT
k xyey =− −− (IV.8)
onde, T é o período de amostragem. Como pode ser observado, a equação (IV.8) não está com
hold. Após incluí-lo, teremos a mesma equação apresentada em (III.5).
115
ANEXO V – Conceitos de Termodinâmica
Um sistema é denominado térmico quando ocorre troca de calor entre os corpos que, de
alguma forma, o compõem. O calor de um corpo é transferido para outro através de fluxo de
calor.
Figura V.1: Transferência de calor
Cada corpo possui uma capacitância térmica ou calórica que indica o calor necessário para
aumentar sua temperatura e que é dada pela razão entre a variação da quantidade de calor e da
variação da temperatura.
TQC
∆∆
= (V.1)
Existe, também a constante de calor específico que indica a quantidade de calor necessário
para elevar a temperatura de um corpo em C°1 .
µCc = (V.2)
No calor específico, a constante µ está relacionada com a substância que está em análise e,
portanto, podemos dizer que é única para o material considerado.
Quando a temperatura de um sistema varia devido à transferência de calor, está ocorrendo
troca de energia na forma de calor. Existem quatro fenômenos básicos que podem causar
alterações térmicas em um corpo:
- Transmissão: a energia de um corpo é transmitida para outro;
116
- Condução: em dois ou mais corpos que estão em contato o calor flui do que tem maior
quantidade para o de menor;
- Radiação: ocorre quando dois ou mais corpos que não estão em contato trocam calor;
- Convecção: é uma forma de condução de calor, porém, ocorre entre um corpo em
estado sólido e um corpo em estado líquido.
Os conceitos apresentados acima estão presentes nos sistemas de piscinas e são utilizados na
modelagem matemática das mesmas para representar as transferências de energia térmica que
alteram a dinâmica do sistema. Desta forma, esses conceitos são necessários na formulação de
modelos térmicos, quaisquer que sejam.
FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Santos, Enock Tony dos S237a Adaptação de um modelo térmico de piscina para condições climáticas regionais via RNA e estimação paramétrica do Sistema. / Enock Tony dos Santos. – Belo Horizonte, 2008. 116f. : il. Orientador: Luís Enrique Zárate. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Programa de Pós-graduação em Informática. Bibliografia.
1.Redes neurais (Computação). 2. Energia solar. 3. Estimativa de parâmetros I. Zárate, Luís Enrique. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. III. Título
CDU: 681.3.091:620.91
Bibliotecário: Fernando A. Dias – CRB6/1084
