Adequação do BackTesting no Modelo Value-at-Risk … Reinaldo Marques.pdf · Bacharel em Atuária pela Universidade Federal de Minas Gerais. Mestrando em Atuária pela Pontifícia

R. Bras. Risco e Seg., Rio de Janeiro, v. 5, n. 9, p. 1-22, abr./set. 2009 1

Adequação do BackTesting no Modelo Value-at-Risk:Comparação entre Aproximação Normal e o Teste deRazão de Verossimilhança†

Reinaldo Antonio Gomes MarquesBacharel em Atuária pela Universidade Federal de Minas Gerais. Mestrando em Atuária pela PontifíciaUniversidade Católica do Rio de [email protected]

Resumo

O trabalho tem por objetivo apresentar uma comparação entre dois testes (o Teste da Razão daVerossimilhança e o Teste pela Aproximação Normal) que possam auxiliar no aperfeiçoamento nas técnicasde validação do VaR. A partir do processo de simulação de Monte Carlo, procura-se estimar o número deperdas que excedem o VaR, em seguida, confrontá-las por meio dos dois testes e, posteriormente,verificar a eficiência de ambos. As simulações estão estruturadas na distribuição de probabilidademultivariada de forma que os retornos futuros de diversos ativos convirjam para a sua média históricade um período pré-estabelecido. Este trabalho desenvolve, também, uma abordagem sobre algunsaspectos que possam comprometer o modelo Value-at-Risk e considerações sobre a alocação de capitalajustado ao risco em investir em renda variável aplicada, por exemplo, em entidades de previdência ouseguradoras.

Palavras-Chave

modelo Value-at-Risk; alocação de capital; renda variável; previdência; seguradoras.

Sumário

1. Introdução. 1.1. Problema de pesquisa e objetivos do estudo. 2. Referencial teórico. 2.1. Estimativada variável Perda. 2.2. Mensuração do risco de mercado. 2.3. Considerações sobre o Value-at-Risk.3. Teste de Adequação do Modelo: Backtesting. 3.1. Comparação entre aproximação Normal e LRT.3.2. Resultados. 4. Conclusões. 5. Referências bibliográficas.

† Artigo recebido em 9/4/2008. Aprovado em 5/5/2008.


Adequação do BackTesting no Modelo Value-at-Risk: Comparação entre Aproximação Normal e o Teste de Razão de Verossimilhança

Abstract

BackTesting adjustment into the Value-at-Risk Model: comparison between normal approximationand the likelihood ratio test

Reinaldo Antonio Gomes MarquesBachelor’s degree in Actuary at the Universidade Federal de Minas Gerais (Federal University of MinasGerais), currently taking a Master’s degree in Actuary at Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro(Catholic University of Rio de Janeiro)[email protected]

Summary

The purpose of this work is to present a comparison between two tests (the likelihood ratio test and theNormal approximation test), in order to improve the validation techniques of the VaR. Taking the MonteCarlo simulation process as the starting point, the aim is to estimate the quantity of losses that exceedthe VaR and compare them with the aid of two tests, to subsequently verify, the efficiency of both. The simulationsare structured in the Multivariate Probability Distribution, so that future returns of various assets convergeto its historical average of a pre-established period. This work also develops an approach on some aspectsthat may hinder the Value-at-Risk model, and considerations on the allocation of adjusted capital of riskon investing in variable income applied, for example, in pension funds or insurance companies.

Key Words

Value-at-Risk Model; allocation of capital; variable income; pension fund; insurance companies.

Contents

1. Introduction. 1.1. Research problems and purposes of the study. 2. Theoretical references. 2.1. Estimationof the variable Loss. 2.2. Market Risk measurement. 2.3. Considerations about the Value-at-Risk.3. Adjustment Test of the Model: Backtesting. 3.1. Comparison between Normal approximation and LRT.3.2. Results. 4. Conclusions. 5. Bibliographical references.


Reinaldo Antonio Gomes Marques

Sinopsis

Adecuación del “BackTest” en el Modelo “Value-at-Risk”: comparación entre aproximación normaly el test de la razón de verosimilitud

Reinaldo Antonio Gomes MarquesLicenciado en Ciencias Actuariales por la Universidad Federal de Minas Gerais. Cursando el Master enCiencias Actuariales por la Pontifícia Universidade Católica de Río de [email protected]

Resumen

El trabajo tiene como objetivo presentar una comparación entre dos pruebas (el test de la razón deverosimilitud y el test por la aproximación Normal), los que pueden auxiliar en el perfeccionamiento de lastécnicas de validación del VaR. A partir del proceso de simulación de Monte Carlo se busca estimar elnúmero de pérdidas que exceden el VaR y, enseguida, confrontarlas por medio de dos pruebas y,posteriormente, verificar la eficiencia de ambos. Las simulaciones están estructuradas en la distribuciónde probabilidad multivariada de manera que los retornos futuros de diversos activos convergen para supromedio histórico de un periodo preestablecido. Este trabajo desarrolla, también, un enfoque acerca dealgunos aspectos que pueden comprometer el modelo “Value-at-Risk” y consideraciones sobre el destinodel capital ajustado al riesgo en invertir en renta variable aplicada, por ejemplo, en administradoras defondos de pensión o aseguradoras.

Palabras-Clave

modelo “Value-at-Risk”; destino del capital; renta variable; fondo de pensión; aseguradoras.

Sumario

1. Introducción. 1.1. Problema de investigación y objetivos del estudio. 2. Referencial teórico. 2.1. Estimativade la variable Pérdida. 2.2. Mensuración del riesgo de mercado. 2.3. Consideraciones sobre el“Value-at-Risk”. 3. Prueba de Adecuación del Modelo: “Backtesting”. 3.1. Comparación entre aproximaciónNormal y LRT. 3.2. Resultados. 4. Conclusiones. 5. Referencias bibliográficas.



1. Introdução É inerente à maior parte dos investimentos a associação de umdeterminado nível de risco que na prática poderá acarretar umadeterminada perda financeira em tempo futuro. Em função disso, vêmaumentando nos últimos anos o empenho das intuições financeiras,seguradoras e entidades de previdência em utilizar técnicas queauxiliam no gerenciamento dos riscos envolvidos e, como conseqüência,na minimização das perdas derivadas das decisões de investimento.Assim, a avaliação adequada dos aspectos relacionados ao risco demercado tem assumido importância crescente no sistema financeiro, pordiversos fatores relacionados às crises financeiras de amplitude global,aos compromissos em honrar as diversas obrigações, colapsosempresariais decorrentes de deficiências na gestão de riscos e àsexigências de capital pelos órgãos fiscalizadores em função dos riscosincorridos pelas instituições.

Nesse contexto, percebe-se que administrar riscos é necessidade diáriaque se torna premente para instituições financeiras ligadas àintermediação de recursos que utilizam, em sua maior parte, recursosde terceiros, captados seja na forma de depósitos à vista ou em cotas defundos de investimento.

Assim, desde outubro de 1994, quando o Banco J. P. Morgan apresentoua sua metodologia de gerenciamento de risco, o Value-at-Risk (VaR)passou ser incorporado como principal ferramenta pela maioria dasentidades financeiras e, além disso, continua motivando inúmeraspesquisas no meio acadêmico na tentativa de obter uma melhor precisãopara o modelo.

1.1. Problema de pesquisa Uma das principais características da legislação brasileira para ase objetivos do estudo atividades que demandam uma rigidez da supervisão atuarial é sua

excessiva preocupação com os riscos inerentes aos investimentos dosrecursos dos participantes. Além disso, a legislação brasileira não apenaselabora e define regras e limites para a aplicação e diversificação dosinvestimentos como, por exemplo, a Resolução do Conselho MonetárioNacional 3.121/2003 (diretrizes para as Entidades de PrevidênciaComplementar) ou a Resolução Normativa 67 da Agência Nacionalde Saúde Suplementar (diretrizes para Entidades de Assistência de SaúdePrivada), mas, também, a legislação vem mostrando uma grandepreocupação para que as entidades demonstrem maior transparênciaem relação às suas atividades, para com seus participantes.

A exemplo disso, destaca-se a Resolução 13/2004, do Conselho deGestão de Previdência Complementar, que estabeleceu princípios, regrase práticas de governança, gestão e controles internos a serem observadospelas entidades fechadas de previdência complementar. É muito provávelque essa tendência em demonstrar de forma efetiva e transparente ogerenciamento de riscos relacionados aos fundos de previdência no Brasilseja reflexo da lei norte-americana Sarbanes-Oxley (2002), que teve comoobjetivo instruir as empresas de capital aberto a construir mecanismos eavaliações minuciosas de seus controles internos.

Ao avaliar a composição dos fundos de previdência complementarbrasi leiros, observa-se que esses fundos têm as maioresconcentrações da América Latina em aplicações em títulos do governo.



De uma carteira de investimentos de R$ 271 bilhões (previdênciacomplementar), cerca de 90% das aplicações em renda fixa estão emtítulos públicos. Na Argentina e no Chile, os investimentos nesses ativosestão limitados a 50%. No Uruguai, o limite é de 60% e no Peru, 40%.No Brasil, cerca de 60% da carteira de investimentos (R$ 219 bilhões)dos fundos de pensão de empresas (fundos fechados emultipatrocinados), que estão na renda fixa, a maior parte (80%) é detítulos públicos. Nas carteiras dos fundos de previdência comercializadospor seguradoras, ou fundos abertos (PGBLs, VGBLs e PlanosTradicionais), a situação não é diferente. Em 2005, dos R$ 51,8 bilhõesdas entidades abertas de previdência complementar, conforme dadosda Superintendência de Seguros Privados, grande parte é aplicada narenda fixa com títulos públicos. Os três gigantes do setor privado, quedetêm mais de 50% da carteira total dos fundos abertos, a Itaú Vida ePrevidência, o Bradesco Vida e Previdência e a Brasilprev, do Banco doBrasil, têm mais de 90% em renda fixa.

Existem evidências, tanto no cenário internacional como no ambientedoméstico, que apontam para uma perspectiva de redução na taxa básicade juros no Brasil. Observa-se recentemente no cenário nacional umrelativo controle da inflação, o que implicaria para o Banco Central umanecessidade em reduzir a meta para a taxa básica de juros.

Nesse contexto, as entidades de previdência, seguradoras e instituiçõesfinanceiras serão forçadas a diversificar sua gestão de portfólios natentativa de cumprir as metas atuariais estabelecidas, o que certamenteaumentará o risco das carteiras de investimentos. Assim, para evitar queessas entidades venham a ter um futuro semelhante ao da previdênciasocial, órgãos reguladores do setor e operadores vêm adotando cadavez mais controles de risco e discutindo os melhores métodos desupervisão e fiscalização. Além disso, para uma gestão atuarial eficientefaz-se necessária a adoção de premissas a partir de evidências concisas,de forma a antecipar fatos que possam comprometer ou influenciar oscálculos atuariais. Sob a hipótese de redução da taxa de juros em futuropróximo, a aplicação de um modelo de gerenciamento de risco adequadotorna-se um aspecto cada vez mais relevante.

A partir dessa necessidade, de cada vez mais as entidades seempenharam em obter um gerenciamento de risco de mercadoeficiente, este trabalho propõe abordar o teste de adequação domodelo Value-at-Risk. Baseado na Simulação de Monte Carlo e a partirde uma carteira de ações do mercado brasileiro, o estudo busca forneceruma avaliação da adequação da metodologia do VaR em que, por meiode dados dos retornos históricos dessa carteira, possa avaliar em horizontefuturo de tempo desejado a adequação do modelo Value-at-Risk.

A Simulação de Monte Carlo consiste em simular repetidamente osprocessos aleatórios baseados em uma distribuição de probabilidade,que, neste caso, terá a finalidade de gerar os retornos futuros para umadeterminada carteira. Cada simulação gera um valor possível para acarteira no horizonte de tempo desejado. Assim, com um número desimulações suficiente, podemos obter as perdas ou ganhos no períodoe, por último, verificar a precisão do modelo Value-at-Risk para os cenáriosque foram gerados. A utilização do método de Monte Carlo consiste nautilização intensa de recursos computacionais por se tratar de estimação



de valores futuros. Neste trabalho, as simulações foram executadas emlinguagem Dev C++ com objetivo de avaliar o procedimento dobacktesting ao VaR, comparando a utilização do teste de razão daverossimilhança com a aproximação da distribuição normal.

2. Referencial teórico

2.1. Estimativa da Na tentativa de apresentar uma melhor compreensão no uso do modelovariável Perda de mensuração de risco de mercado, este trabalho apresentará uma

concisa abordagem para a variável perda. Assim, seja V0 e VT o valor demercado para um único ativo ou uma carteira no tempo t = 0 e t = T,sendo que usualmente utiliza-se o tempo em dias ou meses, as perdasou ganhos dado um intervalo de tempo de T-dias podem ser espessadaspela seguinte variável (profit/loss):

LT = – (VT – V0) (1)

Note-se que as perdas são mensuradas com sinal positivo, caso contráriohaverá um ganho se LT for negativo. A perda LT, no intervalo de tempo T,também poderá ser expressa por meio dos retornos:

R(T) = )(∑≤

−Tt

tR (2)

Como as perdas são representadas com LT positivos, o retorno no tempoT será a soma dos retornos com o sinal contrário entre o tempo t0 até otempo t = T. O valor total de mercado Vt para um ativo no tempo t podeser expresso por Vt = hSj, onde h é a quantidade de ações e St o preçodo ativo no tempo t. Deseja-se, portanto, expressar a perda no tempo tem função do retorno Rt. Para isso, considera-se que a distribuição deprobabilidade de ocorrer uma alta e uma baixa são iguais. Dessa forma,o preço de um ativo assume uma distribuição log-normal e o retornode ativo segue uma distribuição normal (mesma probabilidade de altae baixa). Se o preço de um altivo qualquer assume uma distribuiçãolog-normal com média (μs) e variância ( 2

sσ ), a distribuição de probabilidadeserá dada por:

}2/])[ln(exp{2

1),;( 22 σμπσ

σμ −−= ss

sf s ≥ 0 (3)

onde:

E(S) = exp(μ + σ 2/2) e Var(S) = exp(2μ + σ 2)exp(σ 2 – 1)

Assim, os retornos de um ativo ou de uma carteira no tempo t,considerando que não há pagamento de dividendos e que esses tendema assumir uma distribuição gaussiana, podem ser expressos, em funçãodo preço do ativo, por:

Rt = ln( St ) – ln( St-1 ) (4)



Existem evidências de que algumas distribuições de retornos individuaisnão são normalmente distribuídas já que, em alguns casos, apresentamcaudas pesadas (fat tails). Este é um aspecto muito relevante para umgerenciamento eficiente de riscos, pois as distribuições com caudaspesadas podem diagnosticar uma maior freqüência de valores extremosque a distribuição normal.

Entretanto, apesar de os retornos de um ativo não apresentaremnecessariamente uma distribuição normal, conforme Crouhy et al. (2001),os retornos de uma carteira bem diversificada por meio de muitos fatoresde riscos poderão tender a uma distribuição normal. Isto pode serexplicado pelo Teorema do Limite Central, em que variáveis aleatóriasindependentes de distribuições bem comportadas convergem, emgrandes amostras, para uma distribuição normal. Portanto, segundo oTeorema do Limite Central, se R1... Rn foram variáveis aleatóriasindependentes com média μ e variância σ2 (0< σ2 < ∞), então:

)()(Pr2/1

lim xxXn n

nΦ≅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≤−−

−

∞>− σμ

(5)

Além disso, uma suposição fundamental, de acordo com RiskMetrics(1996), é que os retornos subjacentes em preços financeiros sãodistribuídos de acordo com a distribuição normal condicional. A implicaçãoprincipal desta suposição é que enquanto a distribuição de retorno emcada ponto do tempo é normalmente distribuída, a distribuição do retornodurante o período inteiro da amostra não é necessariamente normal.

Caso seja de interesse avaliar se a carteira ou o ativo em estudotenha distribuição normal, uma opção é realizar o teste de normalidadeJarque-Bera (1987). O teste consiste em avaliar a simetria,comportamento da distribuição em torno da média, e a curtose em“excesso”, que tem por finalidade verificar se existe mais peso nascaudas do que a distribuição gaussiana (curtoses positivasrepresentam caudas pesadas). Para realização do teste, sob a hipóstasenula em que os retornos seguem uma distribuição normal, a estatísticade Jarque-Bera (1987) é dada por:

]24/)3ˆ()6/ˆ([ 22 −+= κτnJB (6)

A estatística é definida em termos das estimativas amostrais de assimetria( 33 /])[(ˆ σμτ −= XE ), do excesso de curtose ( 44 /])[(ˆ σμκ −= XE )e do tamanho da amostra. O valor crítico da função é determinado poruma distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade.

Alternativamente ao Jarque-Bera (1987), um teste não paramétrico quepode ser realizado é o Anderson-Darling, descrito por Conover (1980).Esse, por sua vez, para estabelecer o critério de rejeição, se os dadosseguem uma determinada distribuição de probabilidade, formula oseguinte teste de hipótese:

H0: dados seguem uma determinada distribuição de probabilidadeH1: dados não seguem uma determinada distribuição de probabilidade



Onde a estatística para o teste Anderson-Darling é dada por (CONOVER,1980):

AD = ))](1ln()(ln[)12(1

1ini

n

ixFxF

nin −+

=

−+−−− ∑ (7)

A distribuição acumulada de interesse está representada em F(xi ).Para o cálculo da estatística Anderson-Darling, é necessário que os dadosestejam ordenados, isto é, x1 < x2 <....< xN. Como a distribuição deprobabilidade interesse para os retornos é a normal, o valor-p deve sercomputado a partir da estatística z* = A(1 + 0,75/n + 2,25/n2). Assim, com95% de confiança, o valor-p, para que os retornos assumem umadistribuição normal, deve ser maior que 5%.

Relembramos que, após compreender os testes de normalidade, oobjetivo é expressar a equação (1), em função dos retornos. Sendo assim,seja S0, S1, S2... St e R0, R1, R2... Rt, os preços do ativo e os retornos notempo 0,1,2...t, respectivamente, logo:

S1 = S0 exp(R1);S2 = S1 exp(R2) = S0 exp(R1)exp(R2) = S0 exp(R1 +R2 );

MSt = S1 exp(Rt) = S0 exp(R1)exp(R2)...exp(Rt) = S0 exp(R1 +R2 +...+Rt);

Logo:

ST = S

0 exp( )(∑

≤TttR ) ou S

T = S

0 exp(–R

T) (8)

Seja também:

V0 = hS

0 ou S

0 = V

0/ h

Vt = hSt ou St = Vt / h

Substituindo ST e So em função de V e h na equação (4), temos:

)exp(0T

t Rh

VhV −= (h ≠ 0)

VT = V

0 exp(–R

T) (9)

Dessa forma, a perda no tempo T em função dos retornos, a variávelaleatória perda pode ser definida pela seguinte expressão:

LT = – (V

T – V

0) = –(V

0 exp(–R

T) – V

0)

Logo,LT = V0 (1 – exp(–RT)) (10)



Considerando uma carteira com diversos ativos, e se Vt,j = hjSt,j é o valorde mercado do j-ésimo ativo no tempo t, observa-se que o valor demercado da carteira pode ser escrito por Vt = ∑ j jtV , . Ao introduzir ovetor de pesos w = (w1, w2,...wd), onde wj = V0,j / V0, a perda da carteira notempo T pode ser redefinida em função dos retornos como:

LT = V0 ))exp(1( ),( jTj

j Rw −−∑ (11)

onde: R(T) = (R(T,1), R(T,2),... R(T,d)) é o vetor aleatório para os diferentesativos.

2.2. Mensuração do Define-se o valor em risco (VaR), segundo Crouhy et al. (2001), como arisco de mercado perda máxima ao longo de um período de tempo tal que haja uma baixa

probabilidade de que a perda efetiva ao longo do período dado sejamaior. Em outras palavras, o VaR representa a perda máxima esperada,medida em valores monetários, dada uma probabilidade de ocorrência eum intervalo de tempo. Logo, o valor em risco, VaR(T,q), é o percentil-qda distribuição de perda. Assim, o valor em risco com probabilidade qterá que satisfazer a seguinte equação:

P{ LT

≤ VaR(T,q) } = q (12)

Se FT é a função de densidade dos retornos (R(T)), então FT(x) = P{R(T) ≤ x}.Aplicando a equação (10), podemos escrever, de forma alternativa, ovalor em risco como:

VaR(T,q) = V0(1 – exp( )) (13)

Assim, conforme mencionado anteriormente, na hipótese de que osretornos sigam uma distribuição normal, é muito comum que emhorizontes de tempo muito curto, tipicamente um dia, o valor em riscopossa ser definido como:

VaR(T,q) = V0σT Φ –1 (q) (14)

Considerando que os ativos derivam de um mercado eficiente onde osretornos diários Rt são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d),então o retorno em t dias também é normalmente distribuído com variância

= t σ 2. Logo, podemos expressar o VaR em horizonte de tempodiferente de um dia pela seguinte expressão:

VaR(T,q) = VaR(1,q) (15)



Outro aspecto importante a considerar é que na prática a maioria dascarteiras de investimentos é composta por vários ativos. No entanto,devido à correlação entre os ativos, não é possível obter o VaR da carteirapela soma individual de cada a ativo. Sobre este aspecto Jorion (2001)sugere que o VaR de uma carteira possa ser obtido pela seguinte fórmula:

VaRc = ou

VaRc = (16)

sendo que ρin é o coeficiente de correlação entre os ativos “i” e “n”.

Em diversos momentos, uma instituição financeira deseja avaliar oincremento (relação risco e retorno) de um determinado ativo em suacarteira de investimentos. Baseadas nessa finalidade, duas abordagensfreqüentemente são citadas na literatura para o gerenciamento de risco:o Delta Var (DVaR) e o VaR Incremental (I-VaR). Para o cálculo do DeltaVaR, Crouhy et al. (2001) propõem que:

DVaRi = (17)

Onde DVaRi, VaR

n e A

i em (17) são, respectivamente, o Delta Var do

ativo i, o VaR da carteira com n ativos e a unidade do ativo i da carteira.Dessa forma, define-se o Delta VaR, como o efeito marginal de um ativosobre a carteira de investimentos. Em outras palavras, o DVaR permitedeterminar, de forma aproximada, a variação do VaR dada uma pequenamudança na composição da carteira. Já o VaR Incremental apresentauma abordagem bem mais simples que o Delta VaR. Neste caso, acontribuição de um ativo A sobre o VaR da carteira é dada por:

I-VaR (A) = VaR (carteira com ativo A) – VaR (carteira sem ativo A) (18)

Embora a modelagem para o risco de mercado proposta pelo J. P. Morgantenha se mostrado eficiente e de fácil implementação, Artzner (1997),por meio de uma abordagem axiomática, classifica o VaR como umamedida não satisfatória. Conforme Artzner (1997), uma medida coerentede risco ρ, dada uma perda X, deve seguir as seguintes condições:

1. O risco é monotônico: se X ≤ Y, então ρ(X) ≤ ρ(Y);2. O risco é homogêneo: ρ(t*X) = t* ρ(X);3. Condição livre de risco: ρ(X+nr) = ρ(X)-n, em que r é taxa de juros

livre de risco;4. O risco é subaditivo: ρ(X+Y) = ρ(X)+ ρ(Y).



Sob essas condições, o VaR não pode ser considerado uma medida nãocoerente de risco, já que não satisfaz, necessariamente, o axioma 4.Entretanto, como foi mencionado anteriormente, uma alocação dosrecursos aliada à teoria de Markowitz (1952) proporcionará umacombinação entre ativos de tal forma que a carteira terá uma variância(risco) menor que a soma dos riscos individuais.

2.3. Considerações Um aspecto muito pertinente para as entidades que necessitam desobre o Value-at-Risk controle rigoroso para seus investimentos consiste em avaliar as perdas

que excedem o VaR. A metodologia proposta por J P Morgan, entre assuas diversas aplicações, pode ser empregada como mensuraçãodo risco de investimentos ou como método de alocação de capital.Nesse sentido, também se faz necessária a compreensão de perdasexcessivamente altas, já que em um efeito conjunto do mercado, essasperdas podem causar danos desastrosos para as instituições. Assim, aoavaliar situações extremas, uma variável de interesse seria o valoresperado para a perda, dado que essa foi maior que o Var. Isto é, deseja-seavaliar a esperança condicional da perda. Matematicamente, estaocorrência pode ser descrita por:

= = (19)

Segundo Reiss e Thomas (1997), uma distribuição muito apropriada paravalores extremos de perdas é a distribuição de Pareto. Essa distribuiçãoé composta por dois parâmetros k e β. O parâmetro k representa a menorperda que a distribuição assume, já o parâmetro β controla o peso dacauda superior da distribuição em relação aos valores mais baixos epróximos de k. A densidade de probabilidade de uma variável aleatória Xque possui distribuição de Pareto com os parâmetros (k, β) é dada por:

com x > k (20)

Além disso, temos que a distribuição acumulada, a esperança e avariância para uma distribuição de Pareto com os mesmos parâmetrossão, respectivamente:

• P (X ≤ x) = 1 – (k / x)β, onde β > 0, k > 0, k ≤ x• E (X) = βk (β – 1)–1, onde β > 1• Var (x) = βk 2 (β – 1)–2 (β – 2)–1, onde β > 2

Souza e Silva (1999) propõem que a cauda da distribuição dos retornosidenticamente distribuídos em uma amostra grande possa ser aproximadaassintoticamente pela distribuição de Pareto. Logo, a esperançacondicional, sob a ótica da distribuição de probabilidade dos retornos,pode ser definida como:

(21)



Com a equação anterior, bastaria modelar os retornos extremos paraum ativo ou uma carteira na tentativa de verificar qual o valor do parâmetroβ da distribuição de Pareto que seria mais adequado. Assim, com umaestimativa do parâmetro β, podemos obter uma medida bastante confiávelpara os valores das perdas extremas, o que na prática significa umexcelente suporte em tomada de decisão. Na tentativa de contribuir comuma adaptação ao modelo de gerenciamento de risco de mercado, foramrealizadas simulações para perdas excedentes ao um VaR teórico deR$ 100.000,00, a partir de uma distribuição de Pareto. Assunção (2005)lembra que, para simular os valores desejados, basta aplicar o método

da transformação inversa na função acumulada: (u é obtido pela distribuição Uniforme(0,1)).

Figura 2.7 – Simulação para Distribuição de Pareto com diferentes parâmetros

β = 0,9–1 β = 0,5–1

μobs = R$ 723.500,00maxobs = R$ 19.295.490,00E (L / L ≥ VaR) = R$ 1.000.090,00

μobs = R$ 188.880,00maxobs = R$ 2.661.590,00E (L / L ≥ VaR) = R$ 200.000,00



Como pode ser observado no histograma, ao serem implementadas10.000 simulações, as médias das perdas simuladas a diferentes valoresdo parâmetro β tendem a esperança condicionada ao VaR. Além disso,ao analisar as perdas máximas para cada β, é razoável considerar queas simulações mais adequadas são aquelas onde o valor do parâmetroseja de aproximadamente 10 (β = 0,1–1). Além disso, não seria coerenteestimar um VaR de R$100.000,00, dada uma probabilidade de ocorrência,e ainda esperar uma perda excedente de aproximadamenteR$1.000.090,00 (β = 0,9–1). Assim, caso se observem perdas muitosuperiores às estimadas pelo VaR ,deve-se avaliar as perdas máximasque expressariam estimativas mais coerentes para as perdas,proporcionando um gerenciamento de risco de mercado mais eficaz.

3. Teste de A metodologia do VaR possui uma grande aceitação entre as diversasAdequação do instituições financeiras, pois apresenta uma medida de risco comum,Modelo: Backtesting consistente e integrada para a gama de fatores de risco. Entretanto,

existe uma necessidade em avaliar a metodologia e, conseqüentemente,qualificá-la como adequada ou não. Assim, a eficiência do modelo deValue-at-Risk é comprovada por técnicas de backtesting, onde sãocomparados perdas e ganhos reais diários com a percentagem de casosem que o resultado ficou fora dos limites de perda máxima, dado umnível de probabilidade pré-estabelecido.

Com o objetivo de apresentar um backtesting para o modelo Value-at-Risk,este trabalho propõe uma comparação entre o teste razão deverossimilhança, recomendado por Kupiec (1995), e o teste pelaaproximação de uma distribuição Normal para a proporção do númerode falhas em determinado período. Assim, para a realização dos testes,

β = 0,1–1 β = 0,01–1

μobs = R$ 110.580,00maxobs = R$ 208.280,00E (L / L ≥ VaR) = R$ 111.110,00

μobs = R$ 100.990,00maxobs = R$ 106.840,00E (L / L ≥ VaR) = R$ 101.010,00



foram coletados dados referentes aos preços dos fechamentos diáriosde 10 ativos que compuseram o índice Ibovespa, em 02/10/2006.A seleção dos dados foi baseada no critério liquidez (alto poder de comprae venda) e no critério de práticas de boa governança corporativa. Para oprimeiro critério, foram selecionados os ativos mais negociados listadosno Ibovespa na data de referência. Este critério, por sua vez, é de extremaimportância visto que, para entidades que atuam no âmbito atuarial anecessidade de honrar suas obrigações no momento em que as mesmasocorrem, está associado ao risco de um descompasso no fluxo de caixaque pode gerar incapacidade momentânea de quitar seus compromissos.Vale ressaltar que as ações integrantes da carteira teórica do ÍndiceBovespa respondem por mais de 80% do número de negócios edo volume financeiro verificados no mercado à vista (lote-padrão) daBovespa. Já o segundo critério refere-se a práticas de boa governançacorporativa, ou seja, os ativos selecionados se enquadram no nível 1 ounível 2 da Bovespa. Sendo que as principais características para a práticade boa governança são:

• Melhoria nas informações prestadas, adicionando as InformaçõesTrimestrais. Incluindo as melhorias nas informações relativas a cadaexercício social, adicionando as Demonstrações FinanceirasPadronizadas (DFPs).

• Realização de uma oferta pública de aquisição de todas as açõesem circulação, no mínimo, pelo valor econômico, nas hipóteses defechamento do capital ou cancelamento do registro de negociaçãoneste Nível. Além disso, realizar reuniões públicas com analistas einvestidores, ao menos uma vez por ano.

• Manutenção em circulação de uma parcela mínima de ações,representando 25% (vinte e cinco por cento) do capital social dacompanhia. E, quando da realização de distribuições públicas deações, adoção de mecanismos que favoreçam a dispersão do capital.

Conforme os critérios acima, os ativos selecionados atenderiam, porexemplo, à Resolução da CMN 3.121, que estabelece limites e diretrizespara alocação do capital das entidades fechadas de previdência (EFPC)para cada segmento. Assim, sob a ótica do segmento em renda variável,as definições propostas pela resolução são:

Segmento de Aplicação Modalidades de Investimento Limite (%)

FI, Ações – Novo Mercado e Nível 2 da BOVESPA 50%

FI, Ações – Nível 1 da BOVESPA 45%Renda Variável

FI, Ações – Não citados anteriormente (tradicional) 35%

Participação em SPE em inversão própria (% patrimônio) 20%

Infra-Estrutura (FIEE, FIP, Debêntures SPE) 20%

Fonte: Resolução CMN 3.121, de 25/set/2003.

Tabela 2.1 – Limite de aplicação das EFPC, conforme Resolução CMN 3.121/03



Assim, de acordo com os critérios preestabelecidos listados acima, asações selecionadas foram: Arcelor Br (ON), Bradesco (PN), Brasil Telecom(PN) Braskem (PNA), Cemig (PN), Gerdau (PN), Itaubanco (PN), Itausa(PN), Net (PN), Unibanco (UNT), Vale do Rio Doce (PNA), em períodode referência de 02/01/2004 a 10/10/2006.

3.1. Comparação entre Para avaliar a adequação do modelo Value-at-Risk, ambos os testesaproximação Normal e LRT que este trabalho propõe comparar são baseados na proporção de falhas,

ou seja, deseja avaliar se o número de perdas que excederam o VaR emdeterminado tempo e dado o nível de significância estabelecido ésignificativo para comprometer o modelo. Para a comparação, em queambos os testes que serão comparados a hipótese nula representa ummodelo significativo, faz necessária a determinação de algumas variáveis.Assim, temos que:

1 se VaR(T,q) ≤ LTI =

0 se VaR(T,q) > LT

Define-se o número de violações do modelo em uma amostra de tamanhon a variável K, onde:

K =

Considerando a independência entre os dias, conforme lembra Alexander(2001), k segue uma distribuição binomial com parâmetros (n, p). Assim,a variável aleatória k (número de falhas) representará o evento sucesso,de tal forma que a probabilidade de ocorrer k sucessos é dada por:

= (22)

Alexander (2001) recomenda também que a distribuição binomialpossa ser aproximada por uma distribuição normal quando n forgrande. Com essa aproximação, podemos construir o teste de hipótesepara proporção do número de perdas excepcionais em n dias e definir aestatística para a região crítica do teste:

H0 : = 1 – q = k / n

H1 : ≥ 1 – q ≥ k / n

onde a região de não rejeição da hipótese nula é dada por:

(23)



Alternativamente, para comparar com o teste acima, utilizaremos oteste de razão de verossimilhança (LRT), proposto por Kupiec (1995).Assim, devemos assumir que I1, I2, ... In são independentes eidenticamente distribuídos (i.i.d) e, além disso, assumir que é estimadornão viesado de p. Então, o teste de razão de verossimilhança (LRT) édefinido por:

(24)

Na inequação acima, L( p⏐I ) representa a função de máximaverossimilhança do conjunto de observações i.i.d, na qual L(p⏐I ) é obtidopelo produtório da função de densidadeda variável aleatória I dado o parâmetro p. Como foi mencionadoanteriormente, o número de falhas em n dias segue uma distribuiçãobinomial (n, p). Deste modo, o teste de razão de verossimilhança definidona inequação (24), pode ser escrito da seguinte forma:

(25)

A estatística de teste LRT tem assintoticamente uma distribuiçãoqui-quadrado com um grau de liberdade. Para amostras grandes, rejeita-seH

0 (números de perdas esperadas é igual ao número de perdas

observadas), a certo de nível de probabilidade, se LR > .

3.2. Resultados Para comparar os testes propostos acima, os ativos selecionados nestetrabalho serviram de base para a formação de uma carteira teórica.A partir dessa carteira, foram realizadas simulações na tentativa deobservar o número de vezes em que as perdas superam o valor emrisco. Para a realização de várias simulações para essa carteira, duascondições são fundamentais para obter as perdas esperadas:

1. Correlação entre os ativos: os comportamentos dos ativos podemapresentar trajetórias correlacionadas, de forma que um ativo qualquerapresente um comportamento semelhante ou divergente em relaçãoa outro ativo ou em relação ao resto da carteira. Neste sentido, pararealizar uma simulação que leve em consideração a correlação entreos ativos, utilizou-se a Decomposição de Cholesky para a matriz decovariâncias. Então, seja r= (R1, R2,.... Rj)’ o vetor de retornos de jativos, neste trabalho calculado a partir da média observada em umajanela de tempo passado, ou seja, a média observada do preço dofechamento dos ativos selecionados em período de tempodeterminado. A Decomposição de Cholesky fornecerá uma matriz Ctal que CC’=V (C’ é a matriz transposta de C), onde V é matriz decovariâncias. Entretanto, para decompor a matriz de covariâncias,é necessário que essa seja uma matriz positiva semidefinida.Assim, conforme adverte Alexander (2001), se a matriz de covariância



V não for definida semipositiva, então existem carteiras não triviaiscom variância negativa. Logo, isto não é possível já que a variânciada carteira deve ser sempre não negativa. Obtida a matriz triangularinferior C, bastar transformar um vetor aleatório z=(z1,z2,...zj)’ normalpadronizado em r*=Cz+r. Assim, o vetor aleatório z é convertido emum conjunto de retornos normais r que reflete a estrutura apropriadada covariância entre os ativos.

2. A mudança da volatilidade ao longo do tempo: é notável que avolatilidade dos ativos ao longo do tempo possa apresentar umarelação de dependência, ou seja, a variância é diferente ao longo deum determinado período. Na tentativa de atribuir uma importânciamaior para os dias mais recentes, o RiskMetrics estabeleceu umametodologia conhecida como EWMA (Exponential Weight MovingAverage). A média móvel exponencialmente ponderada (EWMA)possui um parâmetro λ (0 < λ ≤ 1) chamado “fator de suavização”,que determina a magnitude dos pesos em relação aos retornospassados. Logo, quando λ aproxima-se de zero, maior é a importânciadas observações recentes em relação àquelas que estão no horizontede tempo mais distante. Ao passo que, quando o fator de decaimentoassume valor um, a EWMA torna-se uma média simples. Admitindouma série de retornos (geométricos ou aritméticos) de um ativo: r1,r2,...rn onde r1 é o retorno mais recente e rn o mais antigo, e atribuindopesos iguais λi à observação de i dias atrás, as estimativas do retornomédio e da volatilidade são:

(26)

Alexander (2001) recomenda que, na maioria dos mercados, o valor dofator de decaimento deva estar entre 0,75 (volatilidade altamente reativa)e 0,98 (volatilidade pouco reativa). O modelo para a médiaexponencialmente ponderada, proposto pelo RiskMetrics, possui duasvantagens importantes sobre o modelo de média simples. Primeiro,segundo RiskMetrics (1996), a volatilidade reage mais rapidamente aimpactos no mercado quando as observações mais recentes têm umpeso maior que os dados no período distante. Além do mais, após umareação extrema no mercado, a volatilidade declina exponencialmente àmedida que o peso da observação diminui.

Assim, após o resultado de várias simulações para uma carteira teóricacom os ativos selecionados mencionados anteriormente e considerandoo cálculo do VaR e o teste de hipótese com 95% de confiança, obtemosnas tabelas abaixo a comparação entre os dois testes, onde T representao número de dias analisados, k é números de perdas superiores ao VaR,e é proporção de falhas no período.



Para o fator de suavização λ = 0,94, como sugere RiskMetrics (1996),temos os seguintes resultados:

Tabela 3.1 – Rejeição do modelo Value-at-Risk com 95% de confiança

T K Aprox. LRTNormal6 6,00% NR Rejeita7 7,00% NR Rejeita

T = 100 4 4,00% NR NR5 5,00% NR NR

3 3,00% NR Rejeita12 4,80% NR NR

13 5,20% NR NRT = 250 14 5,60% NR Rejeita

15 6,00% NR Rejeita11 4,40% NR NR

25 5,00% NR NR23 4,60% NR NR

T = 500 26 5,20% NR Rejeita27 5,40% NR Rejeita

28 5,60% NR RejeitaFonte: Resultados da pesquisa.* NR: Não rejeita a hipótese de que a proporção esperada para o númerode perdas é igual à observada.



Como pode ser observado pelos resultados acima, a estimação davolatilidade aplicando a metodologia da média exponencialmenteponderada apresentou resultados mais significativos. Em relação aosdois testes, a aproximação pela distribuição Normal padrão revelou umteste bastante conservador, isto é, quando se esperava que 5% dasperdas seriam maiores que o VaR, este teste admite, com uma certaaproximação, valores observados acima ou abaixo de 5%. Ao passoque, o teste de razão da verossimilhança apresentou ser um teste muitomais rigoroso do ponto de vista de rejeitar a hipótese de que a proporçãode perdas esperadas é igual a 5%. Como advertiu Kupiec (1995), o teste derazão de verossimilhança torna-se mais poderoso em amostras grandes(amostras superiores a 250 dias, como exemplo da recomendação doComitê da Basiléia). Isto pode ser exemplificado nos resultados acimaao comparar uma amostra de 250 e 500 dias. Foi observado, no períodode 250 dias, que treze valores de perdas foram superiores ao valor emrisco da carteira, que representaram uma proporção de 5,20%.Entretanto, ao comparar com a amostra de período de 500 dias, na quala proporção de falhas é a mesma, o teste de razão da verossimilhançamostrou-se mais eficiente.

Para o fator de suavização λ = 0,94, ou seja, considerando que todas asobservações têm a mesma importância ao longo do tempo, podemosobservar os seguintes resultados:

Tabela 3.2 – Rejeição do modelo Value-at-Risk com 95% de confiança

T K Aprox. LRTNormal9 9,00% Rejeita Rejeita7 7,00% NR Rejeita

T = 100 10 10,00% Rejeita Rejeita5 5,00% NR NR

11 11,00% Rejeita Rejeita17 6,80% NR Rejeita

18 7,20% NR RejeitaT = 250 21 8,40% Rejeita Rejeita

19 7,60% Rejeita Rejeita20 8,00% Rejeita Rejeita

24 4,80% NR NR27 5,40% NR Rejeita

T = 500 26 5,20% NR Rejeita29 5,80% NR Rejeita

30 6,00% NR RejeitaFonte: Resultados da pesquisa.* NR: Não rejeita a hipótese de que a proporção esperada para o númerode perdas é igual à observada.



Enfim, como foi mostrado nos resultados acima, o teste de razão daverossimilhança, proposto por Kupiec (1995), tem se mostrado mais eficienteem relação ao teste pela aproximação Normal. Além disso, dois aspectossão extremamente relevantes ao validar o modelo Value-at-Risk por meiode teste de hipótese. Primeiro, os dois testes apresentaram baixo podercontra o erro tipo II, ou seja, ambos não rejeitam a hipótese nula quandoela é falsa. E, por último, nota-se que os testes tornam-se mais poderososquando o tamanho da amostra aumenta. Porém, para a maioria dasentidades que assumem compromissos que devem ser honrados comalta severidade, esperar mais de 250 dias para verificar se o modelo éeficiente pode ser tornar inviável na prática.

4. Conclusões O backtesting possui algumas limitações, dentre elas, a principal é o fatode que a carteira de uma instituição não se mantém constante ao longodo tempo, havendo diversas variações de compra e venda ao longo doperíodo analisado. Dessa forma, o resultado da carteira, uma perda ouganho, no dia seguinte não poderia representar as variações e condiçõesimpostas no dia anterior, o que prejudicaria estatisticamente o resultadopara a validação do modelo. Entretanto, o Comitê da Basiléia, porexemplo, considera que ao trabalhar com um horizonte de um dia asmudanças na composição da carteira não serão muito bruscas. A partirdesse trabalho, concluímos que além de utilização de “técnicas debacktesting”, é interessante que outras medidas sejam acompanhadaspara a validação do VaR. Assim, sugerimos que a aplicação dos testesde normalidade (suposição forte do modelo), aplicações de modeloseficientes de séries temporais (SOUZA E SILVA, 1999) sugerem aimplementação dos modelos da família ARCH, avaliações das perdassuperiores ao VaR, estudo e aplicações de técnicas eficientes parasimulações de resultados antes de obtidos na prática. E, por último,podemos citar que as escolhas de ativos devem ser bastante criteriosase fundamentadas. Além dos 2 critérios que sugerimos neste trabalho(liquidez e práticas de boa Governança Corporativa), poderíamosacrescentar a aplicação de índices econômicos e financeiros obtidospelas companhias de capital aberto ao logo dos anos.

É importante ressaltar que para um acompanhamento preciso e eficazpara o gerenciamento de risco é recomendável que as entidades queutilizam a metodologia Value-at-Risk executem testes para verificar aqualidade do modelo, caso contrário, poderá ocorrer uma sub ousuperestimação da perda que a instituição está sujeita. Entretanto, énecessário que as entidades que adotam VaR como medida degerenciamento de risco fiquem atentas não apenas à realização dostestes para confrontar os dados observados contra os esperados, mas,também, é preciso que as instituições tenham ferramentas que auxiliemno tratamento das observações ao longo do tempo e procuremdesenvolver modelos estatísticos adequados para acompanhar as perdasou ganhos da entidade.



5. Referências bibliográficas

ALEXANDER, C. Modelos de mercado, um guia para a análise de informações financeiras. SãoPaulo: BM&F, 2001.

ASSUNÇÃO, R. M. Simulação de Monte Carlo em atuária e seguros. Minas Gerais: UFMG, 2005.

CONOVER, W. J. Pratical nonparametric statistics. New York: John Wiley, 1980.

CROUHY, M.; GALAI, D.; MARKY, R. Gerenciamento de risco. São Paulo: Qualimark, 2001.

JORION, P. Value at risk: the new benchmark for controlling market Risk. 2. ed. New York: McGraw-Hill, 2001.

KUPIEC, P. H. Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models. The Journal ofDerivatives, 1995.

MARKOWITZ, H. Portfolio selection: efficient diversification of investments. New Haven, 1959.

RISKMETRICS TECHNICAL DOCUMENT. Riskmetrics. Fourth Edition, 1996. Disponível em:<www.riskmetrics.com>. Acesso em: 25 set. 2006.

SOUZA, L. A. R; SILVA, M. E. Teoria de valores extremos para o cálculo do VaR. São Paulo: USP, 1999.

Documents

Adequação do BackTesting no Modelo Value-at-Risk … Reinaldo Marques.pdf · Bacharel em Atuária pela Universidade Federal de Minas Gerais. Mestrando em Atuária pela Pontifícia