Administração do Orçamento e Finanças

Equipe

– Professor –

Gilberto Pinto

Compreender e dominar os conteúdos relativos aos juros simples e compostos, as suas diversas aplicações no cotidiano e identificar as melhores formas de investimento de capital.

Compreender as definições de juros simples, compostos, descontos, série de capitais dentre outros.Saber identificar qual situação será mais

favorável na hora de adquirir certo bem de consumo.Conhecer e utilizar, as propriedades

decorrentes das definições, dos assuntos vistos, em problemas do cotidiano.

CONTEÚDOS DA AULACONTEÚDOS DA AULA

Juros compostos, taxas equivalentes, análise gráfica, juros simples X juros compostos, Taxa nominal X taxa efetiva.

Fluxo de caixa, equivalência de capitais a juros compostos.

Desconto racional e comercial composto.

Os Juros Compostos se caracterizam quando a taxa de juros incide sempre sobre o montante do período anterior.

• JUROS SIMPLES - Característica função linear (Função do 1º grau)

• JUROS COMPOSTOS - Característica Função Exponencial (Curva ascendente)

.(1 )nM C i

ONDE:M=MontanteC=Capitali=TaxaN=Período de capitalização

Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a taxa de 2% ao mês durante 4 meses, determine o montante.

• Dados:

• C=500,00

• i=2%a.m

• T=4m

• M=?

• n=t=4

4500.(1 0,02)M

.(1 )nM C i

4500.(1,02)M

500.1,082432160M

$541,2160800M R

$541,22M R

Um turismólogo aplicou R$ 320 000,00 em títulos que proporcionou um resgate de R$ 397 535,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros compostos que foi aplicada esse capital?

• Dados:

• C=320 000

• M=397 535

• T=90 d = 3m

• i = ? m

• n=3

.(1 )nM C i

3397535 320000.(1 )i

3 397535(1 )

320000i

3(1 ) 1,242296875i

3(1 ) 1,242296875i

3 1,242296875 1i

Agora veja como devemos calcular a raiz cúbica ( )

3 2 1,242296875ynd x

3 1,242296875

3 1,242296875 1,075Logo

1,075 1Então i

0,075 7,5% .i ou a m

• Se a inflação mensal estar em torno de 0,7% enquanto tempo uma estadia num Hotel de luxo que custa R$ 15 000,00 vai passar a custar R$ 15 916,30?

• Dados:

• i=0,7%a.m

• t=?m

• C = 15 000

• M=15 916,30

.(1 )nM C i

15916,30 15000.(1 0,007)t

15916,30(1 0,007)

15000t

log(1 0,007) log1,061086667t

log log , 1 0nx n x x

log1,061086667 log(1 0,007)t

log1,06108666740

log1,007t

8,5t m

• J=c[(1+i)n-1]

• Onde:

• J= Juros

• C= Capital

• i=Taxa

• n=Período de capitalização

Um capital de R$ 100 000,00 foi aplicado ao prazo de 5 anos, a taxa de 14% ao ano. Determine os juros produzidos, considerando juros compostos.

s

• Dados

• C = 100 000

• t=5a

• i=14%a.a

• J=?

[(1 ) 1]nJ c i

5100000[(1 0,14) 1]J

5100000[(1,14) 1]J

100000.0,925414582J

92541,45623J

$92541,46J R

Três turistas tinham cada um R$ 10 000,00 para aplicar. O primeiro aplicou a uma taxa de 24% ao ano, o segundo aplicou a uma taxa de 12% ao semestre, o terceiro aplicou a uma taxa de 2% ao mês. Qual o montante de cada um no final de um ano?

• Dados

• C=10 000

• i1=24%a.a

• t=1a

• n=1

• M=?

(1 )nM c i

110000(1 0,24)M

110000(1,24)M

$12400,00M R

Dados M=C(1+i)n

• c=10 000 M=10 000(1+0,12)2

• I2=12%a.s M=10 000.1,254400000

• t=1a =2s M=R$ 12 544,00

• n=2

• M=?

• Dados M=C(1+i)n

• C=10000 M=10 000(1+0,02)12

• i=2%a.m M=10 000(1,02)12

• t=1a=12m M=10 000 . 1,268241795

• n=12 M=R$ 12 682,42

• M=?

Já vimos em juros simples que as taxas equivalentes podem ser trabalhadas com proporcionalidade. Exº: a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre são ditas proporcionais pois 1/3 = 3/9.

• Em juros compostos não se trabalha com taxas proporcionais. Para tornar compatíveis taxas e prazos converta sempre os prazos (quando possível) para a mesma base das taxas fornecidas. Evite converter as taxas.

• Quem paga taxa de1% ao mês paga taxa de 12% ao ano.

A operação que foi usada foi a MULTIPLICAÇÃO.

• Quem paga taxa de 24% ao ano paga taxa de 2% ao mês.

A operação que foi usada foi a DIVISÃO.

• Quem paga taxa de 1% ao mês, não paga taxa de 12% ao ano. Aqui não podemos aumentar com a multiplicação

• Quem paga taxa de 24% ao ano, não paga taxa de 2% ao mês. Aqui não ´podemos diminuir com a divisão

• Para passar de uma taxa menor para uma maior usamos a POTENCIAÇÃO.

• Para passarmos de uma taxa maior para uma menor usamos a RADICIAÇÃO

• Taxa menor(in) – Passando de uma taxa menor para uma maior. Só sobe através de potenciação

In = (1 + im )k – 1

In = Taxa menorIm = Taxa maiorK = Quantidade de capitalização entre os i.

• Se for dada uma taxa mensal de 1% qual a taxa anual? Só sobe através de potenciação.

Queremos passar de mês para ano.

In = ?Im = 1% K = 12 ( 1a tem 12 m)

In =(1 + im )k – 1

In =(1 + 0,01)12 – 1

In =(1,01)12 – 1

In =1,126825030 – 1

In =0,126825030

In = 12,68% a.a

• Taxa maior(im) – Passando de uma taxa maior para uma menor. Só desce através de radiciação

Im = √ (1 + im ) – 1

Im = Taxa maior In = Taxa menor K = Quantidade de capitalização entre os i.

Qual a taxa trimestral equivalente a 82,25% ao semestre? (Queremos passar de uma taxa maior para uma menor).

Im=?

In = 82,25% ao sem

K = 2 ( 1 semestre tem 2 trimestre )

Im = √ (1 + im ) – 1

Im = √ (1 + 0,8225 ) – 1

Im = √ (1,8225 ) – 1

Im = 1,35 – 1

Im =0,35 ou 35% a.t

• Qual a taxa efetiva anual que devo aplicar R$ 100 000,00 para obter juros de R$ 147 596,32 capitalizado trimestralmente, pelo prazo de 2 anos?

• Lembrete: Taxa efetiva é o mesmo que taxa real, representada por ie.

• Dados

ie = ? a

c = 100 000

j = 147 596,32

t = 2 a = 8 t

(cap.trimestral)

• Devemos encontrar 1º a taxa efetiva em trimestre e transforma-la depois para ano.

J = c[(1+i)n -1]

147 596,32=100 000[(1+i)8 -1]

(1+i)8 - 1 =147 596,32 : 100 000

(1+i)8 - 1= (1,4759632 )

(1+i)8 = 1,4759632 + 1 1+i = 8√(2,4759632 )

1+i = 1,120000001

i= 1,120000001 - 1

i= 0,120000001

Ou

i= 12% ao ano

Qual a taxa mensal necessária para que um capital possa quadruplicar em um ano?

Dados C J

i=? m 1 4-1=3

c=1

j=3 t=12 J = c.i.t

t=12

3 = 1.i.12

12 i= 3

i= 3/12

i = 0,25 ou 25% ao mês

ASSAF, Alexandre N. , Matemática Financeira e suas Aplicações, 9ª Edição, Editora Atlas, 2006.SOBRINHO, José Dutra V., Matemática Financeira, 7ª Edição, Editora Atlas, 2000.SAMANEZ, C. P., Matemática Financeira Aplicações à Análise de Investimentos, 4ª Edição, Editora Prentice Hall, 2006.

“A felicidade não está em possuir mais dinheiro, mas na alegria de conseguir o almejado, na excitação do esforço criativo”

Roosevelt