[Adriana Puccini and Abelardo Puccini (Auth.)] Mat Fin

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Abelardo de Lima PucciniAdriana Puccini

MATEMÁTICAFINANCEIRA

Objetiva e AplicadaEdição compacta

© 2011, Elsevier Editora Ltda.

Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei nº 9.610, de 19/02/1998.Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá serreproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos,fotográficos, gravação ou quaisquer outros.

Revisão: Wilton PalhaEditoração Eletrônica: ERJ Composição Editorial

Elsevier Editora Ltda.Conhecimento sem FronteirasRua Sete de Setembro, 111 – 16º andar20050-006 – Centro – Rio de Janeiro – RJ – Brasil

Rua Quintana, 753 – 8º andar04569-011 – Brooklin – São Paulo – SP

Serviço de Atendimento ao [email protected]

ISBN 978-85-352-4673-5

Nota: Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podemocorrer erros de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses,solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendimento ao Cliente, para que possamosesclarecer ou encaminhar a questão.Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ouperdas a pessoas ou bens, originados do uso desta publicação.

CIP-Brasil. Catalogação-na-fonteSindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ

P972m

Puccini, Abelardo de Lima, 1942-

Matemática financeira : objetiva e aplicada / Abelardo

de Lima Puccini, Adriana Puccini. - Ed. compacta. - São

Paulo : Elsevier, 2011.

Acompanhado do CD

ISBN 978-85-352-4673-5

1. Matemática financeira. I. Puccini, Adriana. II.

Título.

11-1795. CDD: 650.01513

CDU: 51-7

Nota do Autor à Edição Compacta

Esta edição compacta tem como referência o livro Matemática Financeira Obje-tiva e Aplicada, já consagrado pelo mercado universitário e corporativo. Apesarde ter sido reduzido, praticamente, à metade do que lhe deu origem, sua estrutu-ra principal foi mantida, permanecendo, ainda, a abordagem prática da Mate-mática Financeira. A redução deu-se, basicamente, na exclusão de algunsexemplos resolvidos, tendo sido a parte conceitual, em alguns trechos, reescritade forma mais sintética, sem exagerada preocupação com demonstrações de fór-mulas e aprofundamento teórico.

O capítulo sobre Análise de Investimentos e os apêndices, que trazem mate-rial explicativo sobre a calculadora HP-12C e a planilha eletrônica Excel, tam-bém foram retirados. Para ter acesso a esse conteúdo, cujo entendimento éfundamental para tomada de decisão de investimentos e manuseio de fluxos decaixa, em nível mais avançado, o leitor deve consultar a versão completa do li-vro Matemática Financeira Objetiva e Aplicada, 2ª edição.

O objetivo desta edição compacta é, portanto, oferecer um bom conheci-mento dos principais conceitos da matemática financeira, por meio de umaabordagem simples e prática, aos leitores e alunos que não necessitem de ummaior aprofundamento na matéria. Através dos recursos da calculadora HP-12Ce da planilha eletrônica Excel, os procedimentos são demonstrados passo a pas-so, priorizando o desenvolvimento natural do raciocínio por parte do leitor.

Os nove primeiros capítulos são desenvolvidos na hipótese de moeda está-vel, sem inflação, de acordo com o tratamento convencional da matéria. Essa moe-da é representada genericamente pelo símbolo $, que pode corresponder à moedacorrente de qualquer país com economia estável.

O Capítulo 10 — Fluxos de Caixa e Inflação — mostra a aplicação da Mate-mática Financeira quando a moeda não é estável, perdendo o seu valor, ao longodo tempo, pelo fenômeno da inflação. A taxa de juros que inclui a inflação pas-sou a ser denominada “Taxa Nominal”, em substituição à nomenclatura “TaxaAparente”, adotada na 1ª edição.

No total são mais de 100 exemplos propostos e resolvidos, que ilustram asdiferentes utilidades da Matemática Financeira no nosso cotidiano: cálculo dejuros de crediários, operações de leasing, rentabilidade de títulos, valor das pres-tações de um financiamento, escolha da melhor opção de investimento etc.

O principal diferencial desta 2ª edição é a inclusão do “CD do Leitor” comoparte integrante do livro. O CD contém um Banco de Testes com 150 problemasresolvidos e o Simulador da HP-12C para download.

O Simulador da HP-12C é utilizado ao longo do livro como forma didáticade mostrar a solução dos problemas, na medida em que sua apresentação esque-mática facilita o registro dos dados e pela semelhança que o simulador tem coma calculadora.

O Banco de Testes, com estrutura de fácil uso, contém problemas resolvidosque foram especialmente selecionados com o objetivo de consolidar os conheci-mentos adquiridos ao longo do livro e de preparar candidatos para provas deconcursos públicos.

A partir do banco de testes podem ser montadas provas de autoavaliaçãopara cada capítulo do livro, com respostas de múltipla escolha. As provas são fa-cilmente estruturadas com 10 questões selecionadas aleatoriamente a partir detrês níveis de dificuldade.

Na resolução das provas, o leitor pode ter fácil acesso ao Simulador daHP-12C e, ao fazer sua opção de resposta, o programa automaticamente faz acorreção da questão e, no final da prova, fornece a nota final alcançada.

Com as atualizações e inovações introduzidas nesta 2ª edição, o livro ganhanovo fôlego para enfrentar a competente concorrência do mercado.

Abelardo de Lima Puccini e Adriana Puccini.

VI Matemática Financeira – Objetiva e Aplicada – Edição Compacta

Sobre os Autores

Abelardo de Lima PucciniEngenheiro Civil pela PUC/RJ, formado em 1964, com curso de mestrado emEngenharia Econômica obtido na Universidade de Stanford, Califórnia, em1967.

De 1967 a 1970 foi Professor Associado do Departamento de EngenhariaIndustrial e do Rio Datacentro da PUC/RJ, em regime de tempo integral.

De 1970 a 1979 exerceu funções executivas na área financeira de empresasdo governo (Vale do Rio Doce, Nuclebrás e BNDES).

Atuou como Diretor Financeiro da Aracruz Celulose de 1979 a 1983 e, emseguida, foi Superintendente Geral da Bolsa de Valores do Rio de Janeiro até o fi-nal de 1988, quando assumiu a função de Presidente Executivo do Grupo Super-gasbras, onde permaneceu até 1992. De 1993 a 1997 atuou como DiretorAdministrativo Financeiro da Casas Sendas.

No sistema Petrobras exerceu as funções de Diretor Financeiro da PetrobrasDistribuidora (2001 a 2003) e de Presidente da Liquigás Distribuidora (2004 e2006).

É professor de Matemática Financeira, Análise de Investimentos e Funda-mentos de Finanças em programas de pós-graduação de diversas instituições deensino, do governo e da área privada.

Adriana PucciniEngenheira Elétrica com Mestrado em Finanças pelo Departamento de Enge-nharia Industrial da PUC/RJ.

Trabalhou nas áreas financeiras e de marketing da Aracruz Celulose, IBMdo Brasil, Ceras Johnson e Companhia Siderúrgica Nacional.

Na área educacional, trabalhou na Escola 24horas, empresa pioneira emnovas formas de apoio aos processos de ensino e aprendizagem para a comuni-dade escolar e corporativa, através da Internet, e na FGV online, onde atuoucomo Coordenadora da Área de Gerência de Projetos e hoje atua como tutora decursos à distância.

Prefácio

Os relatórios financeiros publicados pelas empresas costumam destacar a quali-dade dos ativos entre os aspectos mais relevantes para o seu desempenho. Balan-ços patrimoniais detalham os ativos para possibilitar a avaliação por analistasfinanceiros, mas é cada vez mais forte a impressão de que o principal ativo deuma empresa não aparece em seu balanço: trata-se do conhecimento acumula-do pelos gestores e demais profissionais, responsável pela capacidade de inovar ediferenciar produtos, serviços e processos, criando vantagens competitivas sus-tentáveis no longo prazo.

Questão semelhante pode ser observada com as medidas de desenvolvi-mento dos países. Cada vez mais, reforça-se a percepção de que medidas como oProduto Interno Bruto (PIB) são incapazes de refletir o verdadeiro estágio de de-senvolvimento, buscando-se alternativas, como o Índice de DesenvolvimentoHumano (IDH), da Organização das Nações Unidas, que incorpora dimensõesvoltadas ao capital humano.

O conhecimento, essência deste capital, pode ser classificado na teoria eco-nômica como um ativo não rival, ou seja, que pode pertencer a mais de um pro-prietário sem que qualquer deles seja privado do seu uso pleno. Entender anatureza do conhecimento talvez seja o primeiro passo para a compreensão daprópria evolução da humanidade.

Ao longo dos séculos, o conhecimento serviu tanto para a melhoria dobem-estar, como para a dominação de pessoas e povos. Algumas vezes foi aprisio-nado em estantes, como complemento da decoração do ambiente; em outrasserviu como instrumento de ação no dia a dia das pessoas e instituições.

Ao examinar este livro para escrever o prefácio, percebi que ele nascera emlinha com o que me parece ser a visão adequada do conhecimento, combinandoprecisão conceitual, direcionamento para a aplicação e esforço para dissemina-ção entre o maior número possível de interessados. O texto teve como ponto departida o conteúdo consistente e sempre atualizado do livro Matemática Finan-ceira Objetiva e Aplicada, do prof. Abelardo de Lima Puccini, utilizado ao longode muitos anos por um número incontável de alunos e professores. O objetivoprincipal do novo livro, batizado de Matemática Financeira Objetiva e Aplicada– Edição Compacta, foi facilitar o acesso ao conhecimento para aqueles que pre-cisavam de um entendimento claro apenas dos aspectos fundamentais do assun-to, compatibilizando os custos com os benefícios almejados no processo deaprendizado.

A espinha dorsal do livro original foi mantida, conservando-se a aborda-gem prática da Matemática Financeira. Foram reduzidos os exemplos resolvidos

e os problemas propostos, eliminados os apêndices e reescritos, de forma maisresumida, alguns trechos da parte conceitual.

O autor, prof. Abelardo de Lima Puccini, trabalhou em parceria com AdrianaPuccini, ambos meus amigos de longa data. Duas gerações, o mesmo talento e amesma preocupação em unir tradição e inovação; uma prova de que o conheci-mento e sua aplicação responsável são elos fortes a unir a humanidade atravésdos tempos. Aos dois, pai e filha, meus parabéns por mais esta realização.

Aos leitores, sejam professores, alunos ou profissionais, desejo que aprovei-tem bem este novo livro, atuando, cada um no seu tempo e espaço, como agen-tes da disseminação e aplicação do conhecimento.

Celso Funcia LemmeInstituto Coppead de Administração

Universidade Federal do Rio de Janeiro12 de junho de 2005

X Matemática Financeira – Objetiva e Aplicada – Edição Compacta

Nota dos Autores Sobre o Conteúdo do CD

A partir desta 2ª edição passamos a incluir o “CD do Leitor” como parte inte-grante da obra, com a principal finalidade de oferecer ao leitor uma alternativadigital para colocar em prática os conhecimentos adquiridos no livro-texto.Assim, em parceria com a Editora Elsevier, desenvolvemos um Banco de Ques-tões interativo com 150 problemas propostos e resolvidos, abrangendo todo oconteúdo da obra.

O Banco de Questões, principal aplicativo deste CD, tem uma estruturade fácil uso e oferece ao leitor duas opções de provas, com respostas de múltiplaescolha:

� A prova customizada, na qual o leitor tem a flexibilidade de criar a sua pró-pria prova, definindo os capítulos do livro que nela devem ser incluídos,a quantidade de questões e seu nível de dificuldade (alta, média ou bai-xa).

� A prova padronizada, com 10 questões geradas automaticamente pelo sis-tema, composta por problemas de todos os capítulos do livro a partir dostrês níveis de dificuldade.

O sistema faz automaticamente a correção de cada questão e, ao final, for-nece o resultado da prova. Na Solução dos Problemas o leitor pode utilizar o Si-mulador da HP-12C e ter acesso à solução do autor para todos os problemaspropostos.

Além do Banco deQuestões o “CDdo Leitor” inclui os seguintes conteúdos:

� Simulador da HP-12C

O Simulador da HP-12C é um arquivo Excel que reúne as suas principaisfunções financeiras com uma apresentação esquemática para facilitar o registrodos dados, e que tem uma aparência semelhante à calculadora HP-12C, namedi-da em que apresenta na sua parte superior as teclas n, i, PV, PMT e FV e na suaparte inferior o visor da calculadora. Ele é utilizado na solução dos problemas dolivro, de forma simples e didática, como se fosse a própria calculadora HP-12C. Asua montagem está explicada, em detalhes, no Apêndice B – Funções Financei-ras do Excel.

� Apêndice A – Utilização da HP-12C

Neste Apêndice mostramos as operações básicas da calculadora e a utiliza-ção das suas principais funções financeiras na solução de problemas, que tam-bém são resolvidos por meio do Simulador da HP-12C. A sua leitura érecomendada para os leitores que estão tendo o primeiro contato com amatéria.

� Apêndice B – Funções Financeiras do Excel

Neste Apêndice apresentamos uma revisão das nomenclaturas e conven-ções adotadas na representação de fluxos de caixa e mostramos a forma de ope-rar das principais funções financeiras da planilha EXCEL, com todos os detalhesda montagem do Simulador da HP-12C. Sua leitura é recomendada para os leito-res que estão tendo o primeiro contato com a matéria.

� Apêndice C – Uso de Tabelas Financeiras

Neste Apêndice apresentamos o Uso das Tabelas Financeiras, método tradi-cional da Matemática Financeira, na solução de problemas mediante a utiliza-ção única e exclusiva de fatores preestabelecidos. Sua leitura é recomendadapara os leitores que pretendem prestar concursos públicos que, normalmente,não permitem o acesso às calculadoras e/ou planilhas eletrônicas.

Abelardo de Lima Puccini

Adriana Puccini

XII Matemática Financeira – Objetiva e Aplicada – Edição Compacta

1.1. IntroduçãoEste capítulo introduz os conceitos básicos e os principais fundamentos que nor-teiam o estudo da Matemática Financeira. São apresentados os conceitos de fluxode caixa e, ainda, as convenções e simbologias adotadas nas suas representações.

O valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interli-gados e indispensáveis ao desenvolvimento do estudo da Matemática Financeira.

1.2. Fluxo de Caixa — Conceitos e Convenções BásicasDenomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa)ao longo do tempo. Podemos ter fluxos de caixa de empresas, de investimentos,de projetos, de operações financeiras etc.

A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidadese custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de pro-jetos e investimentos.

A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros, ouesquematicamente, como na Figura 1.1:

Figura 1.1 Fluxo de caixa

Conceitos Básicos eSimbologia

Eixo horizontal Tempo (período)

em que são respeitadas as seguintes convenções:

a) a escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos,expresso em dias, semanas, meses, trimestres, semestres ou anos. Ospontos 0, 1, 2, 3, ..., n substituem as datas de calendário, e são estipula-dos em função da necessidade de indicarem as posições relativas entreas diversas datas. Assim, o ponto 0 representa a data inicial (hoje), oponto 1 indica o final do 1º período e assim por diante;

b) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais;

c) os valores monetários só podem ser colocados no início ou no final decada período, dependendo da convenção adotada. Nenhum valor podeser colocado ao longo dos períodos, uma vez que eles não são contínuos.Assim, quando os períodos correspondem a trimestres, não há condi-ção de se indicar um valor ao longo do trimestre. Uma solução possível,nesse caso, é diminuir a unidade de tempo dos períodos, por exemplo,para meses;

d) as saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos esão representadas por setas apontadas para baixo;

e) as entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positi-vos e são representadas por setas apontadas para cima.

1.3. Juros

1.3.1. Conceito

Juros são definidos como sendo a remuneração do capital, a qualquer título.

Assim, são válidas as seguintes expressões como conceitos de juros:

a) remuneração do capital empregado em atividades produtivas;

b) custo do capital de terceiros;

c) remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelasaplicado.

1.3.2. Unidade de Medida

Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a umaunidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia).

Exemplos:

12% ao ano = 12% a.a.4% ao semestre = 4% a.s.1% ao mês = 1% a.m.

2 Matemática Financeira – Objetiva e Aplicada – Edição Compacta

1.3.3. Regimes de Juros Adotados

Os regimes de juros estudados na Matemática Financeira são conhecidos comojuros simples e juros compostos.

No regime de juros simples, apenas o capital inicial, também chamado deprincipal, rende juros. Juros não são capitalizados e, consequentemente, nãorendem juros. O regime de juros simples é apresentado, com detalhes, nos Capí-tulos 2 e 3.

No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital parao cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam arender juros. O regime de juros compostos é apresentado nos Capítulos 2 e 4.

1.4. O Valor do Dinheiro no TempoA Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tem-po, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros.

Do ponto de vista da Matemática Financeira, $1.000,00 hoje não são iguaisa $1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longodos períodos, devido à taxa de juros por período.

Assim, um capital de $1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de8% a.a., implicará um rendimento anual de $80,00, proporcionando um mon-tante de $1.080,00 no final de um ano.

Pode-se dizer que considerando uma taxa de juros de, por exemplo, 8% a.a.,é indiferente termos $1.000,00 hoje ou $1.080,00 daqui a um ano.

Um capital de $1.000,00 hoje somente será igual a $1.000,00 daqui a umano na hipótese irreal da taxa de juros ser considerada igual a zero.

1.5. A Matemática Financeira — Fundamentos eObjetivos

É importante que fiquem claros para o leitor os principais objetivos da Matemá-tica Financeira, bem como seu mandamento fundamental.

Objetivos Principais:

a) a transformação e o manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação dastaxas de juros de cada período, para se levar em conta o valor do dinhei-ro no tempo;

b) a obtenção da taxa interna de juros que está implícita no fluxo de caixa;

c) a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa.

Capítulo 1 Conceitos Básicos e Simbologia 3

Mandamento Fundamental:

a) os valores de uma mesma data são grandezas que podem ser compara-das e somadas algebricamente; valores de datas diferentes são grande-zas que só podem ser comparadas e somadas algebricamente depois deserem movimentadas para uma mesma data, com a correta aplicação deuma taxa de juros.

1.6. Moeda Estável e InflaçãoNos nove primeiros capítulos, a matéria está desenvolvida na hipótese de moedaestável, isto é, assumindo-se que a moeda utilizada no fluxo de caixa mantém omesmo poder aquisitivo ao longo do tempo. Essa moeda é genericamente repre-sentada pelo símbolo $, e pode corresponder ao real, ao dólar americano, à coroasueca, ao euro, ou à moeda de qualquer país com economia estável.

O Capítulo 10 mostra os reflexos da inflação na análise dos fluxos de caixa,segundo os Modelos Prefixado e Pós-Fixado. Os conceitos de Matemática Finan-ceira não sofrem alteração em função da taxa de juros e são integralmente apli-cáveis tanto nos fluxos de caixa sem inflação, expressos em moeda estável“forte”, como nos fluxos de caixa com inflação, expressos em moeda “fraca”.A diferença básica existente nos dois modelos refere-se ao valor percentual dataxa de juros a ser adotado em cada caso, que irá refletir a manutenção ou perdado poder aquisitivo da moeda ao longo do tempo.

1.7. Simbologia AdotadaA simbologia e a convenção utilizadas em todo o compêndio para os diversoselementos de um fluxo de caixa são idênticas àquelas adotadas por todas as cal-culadoras da marca HP, inclusive pela HP-12C. Será mantida a simbologia adota-da pelo livro Matemática Financeira Objetiva e Aplicada1, obra que deu origem aesta edição compacta.

As grandezas monetárias podem ser representadas no fluxo de caixa deacordo com as convenções de final de período e de início de período, que sãoapresentadas a seguir.

1.7.1. Diagrama Padrão — Convenção de Final de Período —Série PMT Postecipada

A representação dos fluxos de caixa, de acordo com essa convenção, se faz se-gundo o diagrama indicado a seguir. Esse diagrama será usado como referência


1 Puccini, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada, 9. ed. Rio deJaneiro: Campus/Elsevier, 2011.

para a apresentação de diversos conteúdos ao longo do livro e, por esse motivoserá denominado Diagrama Padrão:

Figura 1.2 Diagrama Padrão – convenção de final de períodoSérie PMT postecipada

Pela convenção de final de período, todos os valores monetários que ocor-rem durante um período são indicados no final do período correspondente,uma vez que não podem ser representados ao longo dos períodos, pois não sãocontínuos. Os elementos do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa estão definidosa seguir.

1.7.1.1. Calculadora HP-12C

A Calculadora HP-12C adota as seguintes convenções e simbologias para definiros elementos do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa:

Número de períodos de capitalização de juros, expressos em anos, se-mestres, trimestres, meses ou dias, podendo tomar os valores 0, 1, 2,3…

Taxa de juros por período de capitalização, expressa em porcenta-gem, e sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano,semestre, trimestre, mês ou dia).

Valor presente (Present Value), ou seja, valor do capital inicial (princi-pal) aplicado. Representa, na escala horizontal do tempo, o valor mo-netário colocado na data inicial, isto é, no ponto correspondente an = 0.

Valor futuro (Future Value), ou seja, valor do montante acumuladono final de n períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Represen-ta, na escala horizontal do tempo, os valores monetários colocadosnas datas futuras, isto é, nos pontos correspondentes a n = 1, 2, 3…

Valor de cada prestação da Série Uniforme (Periodic PayMenT) queocorre no final de cada período (Série Postecipada). Representa, naescala horizontal do tempo, o valor de cada uma das prestações iguaisque ocorrem no final dos períodos 1, 2, 3.


Em relação aos elementos do Diagrama Padrão são relevantes os seguintescomentários:

a) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais. Assim, porexemplo, todos os meses têm a mesma duração de 30 dias;

b) a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamentecoincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir onúmero de períodos n;

c) os problemas comuns de Matemática Financeira envolvem, em geral,apenas quatro elementos, sendo que dois deles são obrigatoriamente ataxa de juros i e o número de períodos n. Os outros dois elementos a se-rem relacionados podem ser PV com FV, PV com PMT, e FV com PMT;

d) as fórmulas deste compêndio são desenvolvidas apenas para este Dia-grama Padrão, assumindo a convenção de final de período. Os proble-mas que se enquadram nessa situação têm solução imediata. Os demaisproblemas deverão ser enquadrados nesse Diagrama Padrão mediantedesdobramentos e outros artifícios que não alteram o enunciado doproblema;

e) a Calculadora HP-12C está preparada para resolver os problemas que seenquadram neste Diagrama Padrão, com a convenção de final de perío-do. Ressaltamos os seguintes pontos:

� a calculadora está preparada para utilizar a convenção de final de pe-ríodo quando a função END estiver ativa (acione as teclas g e END, everifique se a palavra BEGIN não aparece indicada no visor);

� a calculadora deve apresentar sempre a letra C indicada no visor(pressionar concomitantemente as teclas STO e EEX), para que reali-ze todos os cálculos a juros compostos, independentemente do valorde n ser um número inteiro ou fracionário;

� os valores monetários sejam de PV, FV ou PMT devem ser registradosna calculadora sempre de acordo com a convenção de sinal, isto é, asentradas de caixa (recebimentos) devem ter o sinal positivo (+), e assaídas de caixa (pagamentos) devem ter o sinal negativo (–);

� os problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser re-solvidos com o registro do número zero para o elemento monetário(PV, FV ou PMT) que não participa do problema;

� os valores do número de períodos n podem ser números inteiros oufracionários. Por exemplo, n pode ser registrado em anos, fração deano, fração de mês etc.;

� o registro de uma taxa de juros de 8%, por exemplo, deve ser feita coma colocação do número 8 na tecla correspondente a i. A calculadora,internamente, faz as operações com 8%, isto é, com 8/100 = 0,08;


� a calculadora sempre interliga os cinco elementos (n, i, PV, PMT eFV). Por exemplo, no caso de obtenção do PV, a HP-12C calcula a se-guinte relação:

PV = valor presente de FV + valor presente de PMT (1.1)

1.7.1.2. Planilha Eletrônica Excel

A Planilha Eletrônica Excel dispõe de funções financeiras básicas que têm exata-mente as mesmas definições e convenções da HP-12C. Na sua versão em portu-guês, a Planilha Excel batiza os elementos financeiros do Diagrama Padrão doFluxo de Caixa (Figura 1.2) de forma diferente da HP-12C, conforme mostramosna tabela a seguir:

Tabela 1.1

Períodos deCapitalização

Taxade Juros

ValorPresente

ValorFuturo

Prestação daSérie Uniforme

HP-12C n i PV FV PMT

PlanilhaExcel NPER TAXA VP VF PGTO

A Planilha Eletrônica Excel tem amplas condições de resolver os problemasque se enquadram no Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa, com a convenção definal de período. Ressaltamos os seguintes pontos:

a) o parâmetro TIPO seja igual a zero (TIPO = 0) para que as funções fi-nanceiras da Planilha Excel utilizem a convenção de final de período. Naausência dessa informação, as funções financeiras do Excel assumemessa condição, e as operações são realizadas segundo essa convenção;

b) os valores do número de períodos NPER podem ser números inteiros oufracionários;

c) os valores monetários (VP, VF e PGTO) devem ser registrados na plani-lha de acordo com a convenção de sinal também adotada pela HP-12C;

d) os problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser resol-vidos com o registro do número zero para o elemento monetário (VP,PGTO ou VF) que não participa do problema, tal como na HP-12C;

e) as funções financeiras do Excel, tal como na HP-12C, sempre interligamos cinco elementos (NPER, TAXA, VP, PGTO e VF). Por exemplo, a fun-ção financeira VP sempre calcula a seguinte relação:


VP = valor presente de VF + valor presente de PGTO (1.2)

1.7.2. Convenção de Início de Período — Série PMT AntecipadaA representação dos fluxos de caixa, de acordo com a convenção de início de pe-ríodo, se faz segundo o diagrama mostrado a seguir:

Figura 1.3 Convenção de início de período – Série PMT Antecipada

Pela convenção de início de período, todos os valores monetários que ocor-rem durante um período são indicados no início do período correspondente,uma vez que não podem ser representados ao longo dos períodos, pois eles nãosão contínuos.

Em relação ao diagrama da Figura 1.3, destacamos que os cinco elementosdo fluxo de caixa (n, i, PV, FV e PMT) têm definições idênticas às do DiagramaPadrão, exceto com relação ao posicionamento dos valores monetários, que,agora, são colocados no início de cada período.

São, portanto, válidos todos os comentários anteriores a respeito do relacio-namento dessas grandezas, exceto com referência aos pontos destacados a seguir:

a) a convenção de início de período não altera as posições relativas de PV eFV usadas no Diagrama Padrão. Observar que nas duas convenções (iní-cio e final de períodos) a distância relativa entre PV e FV é sempre iguala n períodos;

b) de acordo com essa convenção, a Série Uniforme PMT passa a ser anteci-pada, pois as prestações ocorrem no início de cada período de capitali-zação de juros;

c) a HP-12C está preparada para resolver os problemas que envolvam a Sé-rie Antecipada, bastando, para isso, que a calculadora esteja com a fun-ção BEG ativa (acione as teclas g e BEG, e verifique se a palavra BEGINaparece indicada no visor);

d) a Planilha Excel tem amplas condições de resolver os problemas que en-volvam a Série Antecipada, bastando, para isso, que o parâmetro TIPOdas funções financeiras seja fixado com valor igual a um (TIPO=1). Naausência dessa informação, as funções financeiras assumem a condiçãode Série Postecipada (TIPO= 0).


1.7.3. Simulador da HP-12C

Com o objetivo de simplificar e padronizar a apresentação do conteúdo deste li-vro e de atender àqueles leitores que não possuem a calculadora, desenvolvemosum Simulador da HP-12C,2 utilizando as funções financeiras básicas da PlanilhaEletrônica Excel (NPER, TAXA, VP, PGTO e VF) e respeitando às condições doDiagrama Padrão, Figura 1.2.

Esse simulador encontra-se disponível, sem qualquer custo, no endereçoeletrônico do site deste livro. Recomenda-se que o leitor faça um download do si-mulador e o instale em um microcomputador. Assim poderá acessar o simuladorda HP-12C a qualquer momento e realizar as operações usuais do mercado fi-nanceiro, acompanhando todos os exemplos e exercícios sugeridos neste livro.

Esse simulador também pode ser considerado uma representação esquemá-tica da própria calculadora, na medida em que apresenta na sua parte superior asteclas n, i, PV, PMT e FV e na sua parte inferior, o visor da HP-12C.

Pelo fato de o simulador ter essa dupla função, é utilizado constantementecomo uma forma didática de representar os dados dos problemas, seja na solu-ção pela HP-12C, seja pelas funções financeiras do Excel. O uso sistemático dosimulador fará com que o leitor, de uma maneira espontânea, associe a teoria ex-plicada com a utilização prática da calculadora HP-12C e/ou da planilha eletrô-nica Excel.

Veja, de acordo com o esquema abaixo, que o Simulador da HP-12C possuias funções financeiras dispostas horizontalmente, de forma predefinida, namesma sequência das teclas da HP-12C:

Simulador da HP12-C – cálculo de PMT

Abaixo relacionamos pontos importantes para um bom entendimento eutilização adequada do Simulador:

a) os dados a serem inseridos pelos usuários, ou seja, os valores correspon-dentes a cada um dos respectivos elementos do fluxo de caixa são colo-cados na linha inferior da tabela e podem ser registrados em qualquerordem de entrada;


2 O Apêndice B do livro Matemática Financeira Objetiva e Aplicada, do mesmo autor (obraque deu origem a essa edição compacta), traz explicações detalhadas sobre o Simulador.

b) o parâmetro financeiro (PV, PMT ou FV) que não fizer parte do proble-ma deve ter o seu valor registrado como “zero”, para não interferir noresultado; aqueles parâmetros que fizerem parte do problema deverãoser inseridos respeitando-se a convenção de sinais: (+) para entradas decaixa e (–) para saídas de caixa;

c) a representação do fluxo de caixa deve respeitar a convenção de final doperíodo, e, portanto, só podem ser resolvidos problemas que trabalhemcom a série postecipada;

d) a célula em destaque (mais escura) é sempre aquela que representa a in-cógnita do problema e que, portanto, contém a função financeira doExcel que irá calcular a operação desejada. É nessa célula que aparece ovalor da solução do problema. Na representação gráfica do simuladordesta seção 1.7.3, essa célula corresponde ao parâmetro PMT.

e) o número de períodos de capitalização é representado por n na parte su-perior do simulador, para corresponder à tecla n da HP-12C:

� quando esse parâmetro é um dado do problema, pode ser registradocomo um número inteiro ou fracionário, o que facilita a tarefa decompatibilizar as unidades referenciais de tempo para a taxa de jurose o número de períodos;

� quando é a incógnita do problema, seu valor é calculado pela funçãoNPER do Excel colocada na célula inferior correspondente, que éapresentada em destaque. O resultado obtido pelo simulador por essafunção não é arredondado para o primeiro número inteiro superiorcomo faz a HP-12C;

f) a taxa de juros por período de capitalização é representada por i na partesuperior do simulador, para corresponder à tecla i da HP-12C:

� quando esse parâmetro é um dado do problema, 8,0 % por exemplo,a taxa deve ser informada pelo registro do número 8.

� quando esse parâmetro é a incógnita do problema, o seu valor é cal-culado pela função TAXA do Excel, colocada na célula inferior corres-pondente, que é apresentada em destaque;

� a função TAXA, que realiza o cálculo da taxa de juros tem um parâ-metro adicional denominado ESTIMATIVA, que corresponde à esti-mativa inicial para o valor da taxa de juros, obtida por um processoiterativo. No simulador, o parâmetro ESTIMATIVA é fixado automa-ticamente pelo método dos juros médios apresentado no item 8.3.6do Capítulo 8;

g) o valor presente é representado por PV na parte superior do simulador,para corresponder à tecla PV da HP-12C:


� quando esse parâmetro é a incógnita do problema, seu valor é calcu-lado pela função VP do Excel, colocada na célula inferior correspon-dente, que é apresentada em destaque;

h) o valor futuro é representado por FV na parte superior do simulador,para corresponder à tecla FV da HP-12C:

� quando esse parâmetro é a incógnita do problema, o seu valor é cal-culado pela função VF do Excel, na célula inferior correspondente,que é apresentada em destaque.

i) o valor da prestação de série uniforme é representado por PMT na partesuperior do simulador, para corresponder à tecla PMT da HP-12C:

� quando esse parâmetro é a incógnita do problema, o seu valor é cal-culado pela função PGTO do Excel, na célula inferior corresponden-te, que é apresentada em destaque.

O leitor que utilizar a calculadora HP-12C, como forma de acompanha-mento dos exemplos e problemas propostos pelo livro, terá no simulador umamera representação gráfica da sua calculadora. Nesse caso, deve estar atento aosseguintes pontos:

a) a HP-12C deve estar operando com a função END para realizar os cálcu-los com a prestação postecipada, e com a letra C mostrada no visor paraque todos os cálculos sejam realizados a juros compostos;

b) os dados do problema podem ser registrados em qualquer ordem de en-trada, lembrando de registrar “zero” para o parâmetro financeiro quenão faça parte do problema; a tecla da HP-12C, correspondente à solu-ção do problema, é a última a ser acionada. Ela irá disparar o cálculo daoperação desejada, e mostrará a solução do problema.

1.8. O Enfoque AdotadoO enfoque adotado neste livro enfatiza o lado prático da Matemática Financeirae, portanto, não exige do leitor um conhecimento avançado de matemática. Osconceitos são ilustrados com problemas reais que ocorrem frequentemente nodia a dia de qualquer pessoa, como por exemplo a análise de crédito ao consumi-dor, a escolha do título financeiro mais rentável, a análise da melhor opção decompra que envolva um financiamento de longo prazo etc. Após o entendimen-to dos exemplos numéricos é que, quando necessário, se faz o estudo teóricopara a obtenção de fórmulas genéricas, que irão ajudar na fixação da matéria e asua utilização em qualquer situação que se faça necessária.

A simbologia adotada também visa à simplicidade e à abrangência de suaaplicação. Assim, não se utiliza nenhuma nomenclatura matemática, mas simuma simbologia mnemônica simples e de fácil assimilação, que é a mesma ado-tada pela calculadora HP-12C e pela Planilha Eletrônica Excel.


2.1. IntroduçãoEste capítulo apresenta os conceitos de juros simples e compostos e, por meio deexemplos numéricos, mostra como se comporta o crescimento do dinheiro aolongo do tempo nesses dois regimes de juros.

2.2. Juros Simples — Crescimento LinearNo regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados emfunção do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são soma-dos ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros nãosão capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o prin-cipal é que rende juros. Os exemplos numéricos a seguir servem para fixar esseconceito.

2.2.1. Exemplos Numéricos — Juros Simples

2.2.1.1. Um Investimento de Quatro Anos

Considere o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, peloprazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de jurossimples. Calcule o valor do saldo credor desse investidor no Banco ABC no finalde cada um dos quatro anos da operação.

Solução:

A Tabela 2.1 apresenta os valores solicitados:

Juros Simples eCompostos — Conceitos

Tabela 2.1 Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a.

Ano Saldo noinício do

ano

Juros do ano Saldo no finaldo ano antes

do pagamento

Pagamentodo ano

Saldo no finaldo ano após o

pagamento

1 1.000,00 8% � 1.000,00 = 80,00 1.080,00 0,00 1.080,00

2 1.080,00 8% � 1.000,00 = 80,00 1.160,00 0,00 1.160,00

3 1.160,00 8% � 1.000,00 = 80,00 1.240,00 0,00 1.240,00

4 1.240,00 8% � 1.000,00 = 80,00 1.320,00 1.320,00 0,00

A representação gráfica dos valores da Tabela 2.1 é mostrada a seguir:

Figura 2.1 Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a.

Em relação à Figura 2.1, são válidos os seguintes comentários:

a) o ponto 1 da escala representa o final do 1º ano e o início do 2º ano, oponto 2 representa o final do 2º ano e o início do 3º ano e assim pordiante;

b) os valores dos saldos no final dos quatro anos ($1.080,00, $1.160,00,$1.240,00 e $1.320,00) representam um crescimento linear do capitalinicial (principal) de $1.000,00. Observar que cada valor é obtido pelasoma de uma razão constante de $80,00 (= 8% � $1.000,00) sobre o va-lor anterior.

É importante ressaltar que o Banco ABC sempre aplicou a taxa de 8% ao anosobre o capital inicial de $1.000,00, embora os juros de cada ano ficassem retidosno banco. Assim, apesar de os juros permanecerem no Banco ABC, nunca foramremunerados por aquela instituição durante todo o prazo da operação.


2.2.1.2. Dois Investimentos de Dois Anos

Considere o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, peloprazo de dois anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros sim-ples. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide rea-plicar esse valor no próprio Banco ABC, por mais dois anos, nas mesmascondições da 1ª aplicação. Calcule o montante acumulado no final dessa 2ª ope-ração.

Solução:

A Tabela 2.1 do problema anterior informa que o valor do saldo credor des-se investidor do Banco ABC, no final de dois anos, é de $1.160,00.

Esse valor passa a ser o capital inicial da 2ª operação, que tem um rendi-mento anual de juros igual a 8% � $1.160,00 = $92,80. O montante acumuladono final da 2ª operação é, portanto, igual a:

FV = 1.160,00 + 2 � 92,80 = $1.345,60

Observar que esse montante é $25,60 superior ao montante de $1.320,00obtido na Seção 2.2.1.1, a juros simples, com prazo de quatro anos. Esse incre-mento ocorre porque os juros dos primeiros dois anos ($160,00) passaram a ren-der juros anuais de 8% nos últimos dois anos (8% � $160,00 = $12,80 ao ano).Isso só aconteceu porque o saldo de $1.160,00, no final do 2º ano, passou a ser ocapital inicial da 2ª operação.

2.3. Juros Compostos — Crescimento ExponencialNo regime de juros compostos, os juros de cada período são sempre somados aocapital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capita-lizados e, consequentemente, rendem juros. Assim, os juros de cada período sãocalculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenassobre o capital inicial (principal) aplicado. Os exemplos numéricos a seguir ser-vem para fixar esse conceito.

2.3.1. Exemplos Numéricos — Juros Compostos

2.3.1.1. Pagamento de Juros no Final — Um Investimento de Quatro Anos

Vamos agora considerar que o investidor do exemplo anterior tivesse aplica-do $1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de ju-ros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Calcule o valor do saldocredor desse investidor no Banco XYZ no final de cada um dos quatro anos daoperação.

Solução:

A Tabela 2.2 contém os valores solicitados.

Capítulo 2 Juros Simples e Compostos – Conceitos 15

Tabela 2.2 Crescimento de $1.000,00 a juros compostos de 8% a.a.

Ano Saldo noinício do

ano

Juros do ano Saldo no finaldo ano antes

do pagamento

Paga-mentodo ano

Saldo no finaldo ano após o

pagamento

1 1.000,00 8% � 1.000,00 = 80,00 1.080,00 0,00 1.080,00

2 1.080,00 8% � 1.080,00 = 86,40 1.166,40 0,00 1.166,40

3 1.166,40 8% � 1.166,40 = 93,31 1.259,71 0,00 1.259,71

4 1.259,71 8% � 1.259,71 = 100,78 1.360,49 1.360,49 0,00

A representação gráfica dos valores da Tabela 2.2 está indicada na Figura2.2, juntamente com o gráfico da Figura 2.1, a juros simples, visando compararos dois regimes de juros.

Figura 2.2 Crescimento de $1.000,00 no tempo:juros simples e compostos de 8% a.a.

Em relação à Figura 2.2 são válidos os seguintes comentários:

a) o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a jurossimples;

b) os valores dos saldos no final dos quatro anos ($1.080,00, $1.166,40,$1.259,71 e $1.360,49) representamum crescimento exponencial do capi-tal inicial de $1.000,00 (principal). Verifique que cada valor é obtido apartir do valor anterior pela multiplicação de uma razão constante iguala 1,08 (= 1,00 + 8%).

É importante ressaltar que o Banco XYZ sempre aplicou a taxa de 8% ao anosobre o saldo existente no início de cada período. Assim, após cada período, osjuros são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros.

Em resumo, pode-se concluir que:


a) a juros simples, os juros de cada período são sempre calculados sobre ocapital inicial aplicado (principal), não havendo incidência de juros so-bre juros;

b) a juros compostos, os juros de cada período são sempre calculados sobreo saldo existente no início do respectivo período, havendo incidênciade juros sobre juros.

Nos dois últimos exemplos apresentados, os montantes disponíveis para oinvestidor, no final do 4º ano, estão na Tabela 2.3:

Tabela 2.3

Banco Regime de juros Valor no 4º ano

XYZ Juros compostos $1.360,49

ABC Juros simples $1.320,00

Diferença — $40,49

Essa diferença de $40,49 corresponde ao rendimento de juros sobre jurosproporcionado pelo Banco XYZ, que opera no regime de juros compostos.

2.3.1.2. Pagamento de Juros no Final — Dois Investimentos de Dois Anos

Considere o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco XYZ, peloprazo de dois anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juroscompostos. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor de-cide reaplicar esse valor no próprio Banco XYZ, por mais dois anos, nas mesmascondições da 1ª operação. Calcule o montante acumulado no final dessa 2ª ope-ração.

Solução:

Pela Tabela 2.2, temos que o valor do saldo credor desse investidor no Ban-co XYZ, no final de dois anos, é de $1.166,40.

Esse valor passa a ser o principal da 2ª operação, cujos saldos acumuladossão os seguintes:

a) no final do 1º ano da 2ª operação (final do 3º ano):

FV = 1.166,40 + 1.166,40 � 8% = 1.166,40 + 93,31 = $1.259,71

b) no final do 2º ano da 2ª operação (final do 4º ano):

FV = 1.259,71 + 1.259,71 � 8% = 1.259,71 + 100,78 = $1.360,49

Observar que esse montante é exatamente igual ao montante do investi-mento da Seção 2.3.1.1, a juros compostos, com o prazo de quatro anos. A razãodessa igualdade deve-se ao fato de, no regime de juros compostos, os saldos doinício de cada período serem remunerados com a taxa de juros do respectivo


período. Ou seja, a operação de quatro anos da Seção 2.3.1.1 é equivalente àsduas operações deste exemplo numérico, desde que a 2ª operação seja realizadanas mesmas condições da 1ª.

2.3.1.3. Pagamento de Juros Periódicos — Um Investimento de Quatro Anos

Vamos agora supor que o Banco ABC permita que o investidor retire os $80,00de juros anuais no final de cada ano, ao longo dos quatro anos. No final do 4º ano,além dos juros anuais, o investidor retira ainda o principal de $1.000,00. Em que re-gime de juros passa a operar o Banco ABC? Simples ou compostos?

Solução:

A resposta é que o Banco ABC passa a operar a juros compostos, pois os ju-ros de cada período passam a ser calculados sobre os saldos existentes no iníciodos respectivos períodos. Senão vejamos:

a) no final do 1º ano, os juros de $80,00 são creditados, elevando o saldopara $1.080,00, e imediatamente retirados pelo investidor, fazendo osaldo retornar ao valor de $1.000,00. Assim, não há possibilidade de osjuros serem capitalizados, voltando a base de cálculo para o 2º ano a sero saldo remanescente de $1.000,00;

b) no final dos anos seguintes, o processo se repete, garantindo que o Ban-co ABC remunerou em cada período o saldo existente à disposição dobanco no início do respectivo período.

E o investidor, quanto terá acumulado no final dos quatro anos?

Solução:

A resposta a essa pergunta depende da utilização que o investidor resolvadar aos juros recebidos no final de cada ano. Assim:

a) se o investidor meramente guardar os juros recebidos no cofre de suacasa, o total acumulado no final de quatro anos será de $1.320,00. Issocorresponde a só retirar os juros do Banco ABC no final do 4º ano e vol-tar à situação da Seção 2.1.1, com o banco operando a juros simples;

b) se cada parcela de juros retirada do Banco ABC for aplicada pelo investi-dor no Banco XYZ, a juros compostos de 8% ao ano e pelo prazo neces-sário para completar os quatros anos, o total acumulado no final do 4ºano será de $1.360,49. Isso equivale a aplicar os $1.000,00 iniciais noBanco XYZ, a juros compostos, pelo prazo de quatro anos, tal como naSeção 2.3.1.1. A reaplicação dos juros é que produzirá o resultado adi-cional de $40,49, para fazer o montante de $1.320,00 atingir o valor de$1.360,49 no final do 4º ano. A Tabela 2.4 mostra o resultado dessasoperações:


Tabela 2.4

Ano

Banco ABC Banco XYZ

Aplicaçãoinicial

Retiradasanuais

Juros do 1º ano Juros do 2º ano Juros do 3º ano

Aplicação Saldos Aplicação Saldos Aplicação Saldos

0 1.000,00

1 80,00 80,00

2 80,00 86,40 80,00

3 80,00 93,31 86,40 80,00

4 1.080,00 100,78 93,31 86,40

Assim, a situação do investidor no final do 4º ano pode ser vista na Tabela 2.5:

Tabela 2.5

Disponível Receita de reaplicações

a) No Banco ABC 1.080,00

b) No Banco XYZ

Saldo da 1ª reaplicação 100,78 20,78



Soma 1.360,49 40,49

As receitas de reaplicações totalizam exatamente $40,49, porque as taxas dereaplicações são iguais a 8% ao ano. Essas receitas serão superiores ou inferiores aesse valor caso as taxas de reaplicações sejam maiores ou menores que 8% aoano, respectivamente.

2.4. Análise dos Exemplos NuméricosCom a finalidade de reforçarmos os conceitos de juros simples e juros compostos,vamos analisar os fluxos de caixa dos exemplos numéricos anteriores, incluindonessa análise o Diagrama Padrão de cada uma das situações.

1ª Situação: Banco ABC — Juros Simples: Um Investimento de Quatro Anos.

Neste caso, o fluxo de caixa do investidor da Seção 2.2.1.1 está representa-do na Figura 2.3:


Figura 2.3 Banco ABC: juros simples de 8% a.a. —um investimento de quatro anos

O investidor que aplicar $1.000,00 para receber $1.320,00 no final de qua-tro anos está fazendo um investimento a uma taxa de 8% ao ano, no regime dejuros simples.

Esse fluxo de caixa, se for analisado da ótica do regime de juros compostos,que é a visão correta, necessariamente oferece uma taxa de juros menor do que8% ao ano, porque a juros compostos de 8% ao ano o montante acumulado nofinal do 4º ano é de $1.360,49. O rendimento desse investimento, a juros com-postos, é de 7,19% ao ano.

2ª Situação: Banco XYZ— Juros Compostos: Um Investimento de Quatro Anos.

Nesse caso, o fluxo de caixa do investidor da Seção 2.3.1.1 está representa-do a seguir:

Figura 2.4 Banco XYZ: juros compostos de 8% a.a. —um investimento de quatro anos

O investidor que aplicar $1.000,00 para receber $1.360,49 no final de qua-tro anos está fazendo um investimento a uma taxa de 8% ao ano, no regime dejuros compostos.

Esse fluxo de caixa, analisado da ótica do regime de juros simples, que éuma visão incorreta, oferece uma taxa de juros maior do que 8% ao ano, porque ajuros simples de 8% ao ano o montante acumulado no final do 4º ano é de$1.320,00. O rendimento desse investimento, a juros simples, é de 9,01% ao ano.

3ª Situação: Banco ABC — Juros Simples: Dois Investimentos de Dois Anos.

As duas operações de dois anos realizadas no Banco ABC na Seção 2.2.1.2,no regime de juros simples, têm os seguintes fluxos de caixa para o investidor:


Figura 2.5 Banco ABC: juros simples de 8% a.a. —dois investimentos de dois anos

O montante acumulado no final do 4º ano, pelas duas operações de doisanos, é maior do que o montante da operação de quatro anos. Esse acréscimoocorre porque, com duas operações de dois anos, o montante do final do 2º anopassa a ser o principal da 2ª operação de dois anos no Banco ABC, a juros sim-ples. Com isso, os juros dos primeiros dois anos são somados ao principal e pas-sam a render juros nos últimos dois anos da 2ª operação, e justificam esseacréscimo de valor.

4ª Situação: Banco ABC — Juros Simples: Quatro Investimentos de Um Ano.

Caso o investidor consiga realizar quatro operações de um ano no BancoABC, a juros simples de 8% ao ano, os saldos no final de cada ano serão reaplica-dos no ano seguinte, com o nome de principal, e os juros de cada ano passarão arender juros nos anos seguintes, de forma idêntica ao regime de juros compostos.Nesse caso, o principal de $1.000,00 conseguirá produzir o mesmo montante de$1.360,49, desde que as taxas de juros das reaplicações sejam iguais a 8% ao ano.

5ª Situação: Banco XYZ — Juros Compostos: Dois Investimentos de Dois Anos.

As duas operações de dois anos realizadas no Banco XYZ, no regime de ju-ros compostos, têm os seguintes fluxos de caixa para o investidor:

Figura 2.6 Banco XYZ: juros compostos de 8% a.a. —dois investimentos de dois anos

Repare que o montante que acabamos de observar na Figura 2.6 é igual aocalculado na 2ª situação. Isso acontece porque, a juros compostos, a operação dequatro anos é absolutamente equivalente às duas operações de dois anos, desdeque as taxas de juros das operações sejam iguais. No regime de juros compostos,


são os saldos de cada período que são remunerados pelas taxas de juros de cadaperíodo. Dessa forma, os juros dos dois primeiros anos são igualmente remune-rados nos dois últimos anos da operação de quatro anos, ou nos dois anos da 2ªoperação, desde que as taxas de juros sejam idênticas.

6ª Situação: Banco ABC — Pagamento Periódico.

Nesse caso (Seção 2.3.1.3), em que o Banco ABC paga os juros periodica-mente, no final de cada ano, o fluxo de caixa do investidor é o seguinte:

Figura 2.7 Banco ABC: juros compostos de 8% a.a.pagamento periódico de juros

O Banco ABC opera, rigorosamente, com juros compostos de 8% ao anonesse investimento, pois remunera o saldo inicial de cada período a essa taxa, aolongo dos quatro anos da operação.

Omontante acumulado pelo investidor no final do 4º ano depende da taxade juros obtida nas reaplicações dos valores recebidos no final de cada ano. Se to-das as reaplicações forem feitas a 8% ao ano, a juros compostos, omontante acu-mulado no final do 4º ano será igual a $1.360,49.

2.5. ResumoNeste capítulo, apresentamos operações com juros simples e com juros compos-tos, com o objetivo de deixar bem claro que a utilização do regime de juros sim-ples é totalmente incorreta e que nunca deve ser utilizado como ferramenta deanálise de fluxos de caixa, podendo levar a decisões erradas e a provocar prejuí-zos desnecessários.

Na prática, entretanto, os juros simples são bastante utilizados pelo merca-do, pela facilidade de cálculo, e porque aumentam ficticiamente a rentabilidadeefetiva das aplicações financeiras e reduzem ficticiamente o custo efetivo dos fi-nanciamentos. Por exemplo, a Tabela Price de 12% ao ano corresponde a umatabela de 1% ao mês, que é equivalente, na realidade, a uma taxa de 12,68% aoano. Evidente que fica mais fácil, para o financiador, colocar um financiamentoa “12% ao ano” do que a 12,68% ao ano.


Recomendamos a seguinte linha de ação para uma análise correta de qual-quer operação financeira:

a) obter o fluxo de caixa da operação, a partir de uma análise cuidadosados dados fornecidos. Somente nessa fase é que os juros simples podemser utilizados, se necessário, exclusivamente com a finalidade de obten-ção dos valores do fluxo de caixa da operação;

b) realizar todos os cálculos e análises do fluxo de caixa exclusivamente noregime de juros compostos.

Em resumo, os juros simples só devem ser utilizados na obtenção dos fluxosde caixa das operações financeiras quando o enunciado do problema implicar aadoção desse regime de juros.

Uma vez obtido o fluxo de caixa da operação financeira, ele só deve ser ana-lisado e comparado com fluxos de caixa de outras operações financeiras, no regi-me de juros compostos.

2.6. Problema Proposto1. Um investidor abriu duas contas numa instituição financeira e depositou

$1.000,00 em cada uma. Uma das contas foi remunerada a juros simples, aoutra a juros compostas; ambas foram remuneradas a uma taxa de 5% ao tri-mestre. Mostre o crescimento desse capital no final de cada trimestre, paracada uma das contas, a contar da data da aplicação dos recursos, e informe omontante que poderá ser retirado pelo investidor no final do 6º trimestre,após a efetivação do último depósito. Compare os resultados e analise a dife-rença.

Observação:As respostas de todos os problemas propostos estão disponíveis no final des-te livro.


3.1. IntroduçãoNeste capítulo, vamos desenvolver as fórmulas básicas de juros simples e mos-trar suas aplicações por meio de exemplos numéricos.

O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamentenas operações de curto prazo, não só em função da simplicidade de cálculo, mastambém com o objetivo de alterar, ficticiamente, a verdadeira taxa de juros dasoperações, o que facilita a tarefa de colocação dos produtos para investidorese/ou tomadores de recursos financeiros.

3.2. Capitalização SimplesA rigor, o fenômeno da capitalização só ocorre no regime de juros compostos,em que os juros se transformam em capital e passam a render juros.

Entretanto, é comum o emprego da expressão “capitalização simples” parase referir ao crescimento do dinheiro no regime de juros simples.

3.2.1. Dedução da Expressão Genérica

A expressão genérica do Valor Futuro (FV), no regime de juros simples, em fun-ção dos parâmetros n, i e PV, é baseada no fluxo de caixa representado na Figura3.1, que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.

Juros Simples —Fórmulas Básicas

Figura 3.1 Capitalização simples: taxa de juros idesconto “Por Dentro”

No regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela apli-cação da taxa de juros i sempre sobre o principal PV, fazendo com que os jurostenham o mesmo valor em todos os períodos. Assim, temos:

juros de cada período: PV � i

juros de n períodos: n � PV � i

O valor futuro FV, também chamado de montante, é resultante da aplica-ção de um principal PV, durante n períodos, com uma taxa de juros i por perío-do. No regime de juros simples, FV é obtido pela expressão:

FV = montante = principal +juros = PV + n � PV � i

ou seja:

FV = PV (1 + i � n) (3.1)

em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com aunidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.

A Expressão Genérica (3.1) pode ser verificada utilizando-se os valores obti-dos no Problema da Seção 2.2.1.1, do Capítulo 2. Considerando PV = 1.000,00 en = 8% ao ano, o montante FV, no final de cada ano é:

n = 1 => FV = 1.000,00 (1 + 0,08 � 1) = 1.080,00

n = 2 => FV = 1.000,00 (1 + 0,08 � 2) = 1.160,00

e assim por diante. Observe na tabela 2.1 que o montante FV corresponde ao Sal-do no final de cada ano após o pagamento.

3.3. Desconto “Por Dentro”, ou Racional


A taxa de juros i, também denominada taxa de rentabilidade ou, ainda, taxa dedesconto “por dentro”, pode ser obtida a partir da Relação (3.1), que fornece:


iFVPV

– 11n

= ⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ × (3.2)

O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados notempo. Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valorfuturo FV, ou montante, e o valor presente PV, ou principal, ou seja:

Desconto = FV – PV

O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, é obtido multiplican-do-se o valor presente PV pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo daoperação n, ou seja:

Dd = PV � i � n

Na prática, entretanto, o valor presente é sempre a incógnita, sendo nor-malmente conhecidos o valor futuro FV, o prazo n e a taxa de desconto i. Vamosa seguir deduzir a fórmula que permite obter o valor do desconto racional a par-tir das variáveis conhecidas.

O valor do desconto “por dentro”, ou racional, é também obtido pela apli-cação da expressão geral para desconto, isto é:

Dd = FV – PV (3.3)

A partir da Expressão (3.1), pode-se obter a seguinte relação:

PVFV

1 i n=

+ × (3.4)

Substituindo na Relação (3.3) o valor de PV fornecido pela Relação (3.4),temos:

Dd = FV –FV

1 i n+ ×= FV 1 –

11 i n+ ×

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

e finalmente:

D = FVi n

1 i nd ××

+ × (3.5)

Capítulo 3 Juros Simples – Fórmulas Básicas 27

3.3.2. Exemplos Numéricos

1. Calcule o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, comuma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples.

Solução:

Supondo o valor de PV = $100,00, então teríamos FV = $200,00, e os dados doproblema seriam os seguintes:

PV= $100,00; FV = 2 � 100,00 = $200,00; i = 2% ao mês = 0,02; n = ?

Pela Relação (3.1) temos:

FV = 200,00 = PV (1 + i � n) = 100,00 (1 + 0,02 � n)

200,00 = 100 + 2 � n

que fornece n = 50 meses.

2. Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada numa opera-ção de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é$10.000,00 e cujo valor do principal é $9.750,00.

Solução:

Os dados do problema são os seguintes:

PV= $9.750,00; FV = $10.000,00; n = 60 dias = 2 meses; i = ? (% ao mês)

Pela Relação (3.2), temos:

iFVPV

– 11n

10.000,009.750,00

– 112

0,0=⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ × =

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ × = 1282

ou seja, 1,282% ao mês.

3. Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com venci-mento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de1,2% ao mês.

Solução:


FV = $1.000,00; n = 60 dias; i = 1,2% ao mês = 1,2%/30 ao dia = 0,04% a.d. =0,0004

Desconto = FV – PV = ?

A Relação (3.4) fornece: PV = FV/(1 + i � n) = 1.000,00/(1 + 0,0004 � 60) =$976,56

e, portanto, o desconto “por dentro” é igual a (1.000,00 – 976,56) = $23,44.


4. Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permitesaques a descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobre o saldo devedor, a jurossimples, pelos dias que a conta ficar descoberta. Calcule o montante de juroscobrado no mês de abril, assumindo que a conta tem saldo zero no final demarço e que em abril são emitidos os seguintes cheques:

Data 1º de abril 11 de abril 21 de abril

Valor do cheque ($) 2.000,00 1.000,00 1.000,00

Saldo devedor ($) 2.000,00 3.000,00 4.000,00

Solução:


i = 1,5% ao mês = 1,5%/30 = 0,05% ao dia = 0,0005 a.d.

a) Calculando os juros devidos por período:

� Juros de 1º de abril a 10 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor éde $2.000,00, e portanto: Juros = 2.000,00 � 0,0005 � 10 = $10,00

� Juros de 11 de abril a 20 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor éde $3.000,00, e portanto: Juros = 3.000,00 � 0,0005 � 10 = $15,00

� Juros de 21 de abril a 30 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor éde $4.000,00, e portanto: Juros = 4.000,00 � 0,0005 � 10 = $20,00

Assim, o total de juros devidos no mês de abril é igual a:

Juros do mês de abril = (10,00 +15,00 +20,00) = $45,00

b) Utilizando o conceito de saldo médio:

O saldo devedor médio no mês de abril é obtido pela relação:

Saldo médio =2000 00 10 3000 00 10 4000 00 10

303000 00

. , . , . ,$ . ,

× + × + ×=

Para o cálculo dos juros mensais, tudo se passa como se a conta-correntetivesse ficado com um saldo devedor de $3.000,00, durante os 30 dias domês. Assim temos:

Juros do mês de abril = $3.000,00 � 1,5% = $45,00

resultado que coincide com o obtido anteriormente.

Os resultados obtidos pelas duas formas de cálculos são sempre iguais, e asistemática de cálculo comumente adotada no mercado é a do saldo médio mul-tiplicado pela taxa de juros mensal.


3.4. Desconto “Por Fora”, ou Comercial


A expressão genérica do valor do desconto “por fora” ou comercial, no regimede juros simples, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir,que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.

Figura 3.2 Desconto simples:taxa de desconto D — “por fora”

No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pelaaplicação da taxa de desconto d sempre sobre o valor futuro FV, ou montante, fa-zendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos.Assim temos:

desconto de cada período: FV � d

desconto de n períodos: n � FV � d

Observar que a taxa de desconto d (“por fora”) é aplicada sobre o valor futuroFV para produzir o valor presente PV, ao passo que a taxa de desconto i (“por den-tro”), ou taxa de rentabilidade, é aplicada sobre o valor presente PV para produ-zir o valor futuro FV.

Assim, o valor do desconto “por fora” (Df), ou comercial, é obtido multipli-cando-se o valor futuro FV pela taxa de desconto d por período, e esse produtopelo número de períodos de desconto n, ou seja:

Df = FV � d � n (3.6)

O valor presente PV, ou principal, resultante do desconto “por fora” sobre omontante FV, durante n períodos, com uma taxa de desconto d por período, éobtido, a juros simples, pela expressão:

PV = montante – descontos = FV – n � FV � d

ou seja:

PV = FV (1 – d � n) (3.7)


em que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto d deve coincidir coma unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.

Convém ressaltar que a Expressão (3.7) para o cálculo do valor presente PVtem limitações práticas, pois só pode ser usada para valores de d e n tais que oproduto d � n < 1, pois, caso contrário, podemos chegar ao absurdo de encon-trar valores de PV < 0.

A Relação (3.7) fornece a seguinte expressão para a obtenção da taxa de des-conto d “por fora”, ou comercial:

d = 1 –PVFV n

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ×

1(3.8)


1. Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com venci-mento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5%ao mês.

Solução:


FV = $1.000,00; n = 60 dias; d = 1,5% ao mês = 1,5%/30 ao dia = 0,05% a.d. =0,0005 a.d.

Desconto = FV −PV = ?

A Relação (3.7) fornece:

PV = FV (1 – d � n) = $1.000,00 � (1 – 0,0005 � 60) = $970,00

e, portanto, o desconto “por fora” é igual a (1.000,00 – 970,00) = $30,00.

2. Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por fora” usada numa operaçãode desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de $10.000,00 ecom valor do principal igual a $9.750,00.

Solução:


FV = $10.000,00; PV = $9.750,00; n = 60 dias = 2 meses; d = ? (% ao mês)


d 1PVFV

1n

19.75010.000

12

0,0125= −⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ × = −⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ × =

ou seja, 1,25% ao mês.


3.5. Relação entre as Taxas de Desconto “Por Dentro”e “Por Fora”

As expressões (3.4) e (3.7) permitem escrever a relação:

PV =FV

1 i n+ ×= FV(1 – d � n)

que fornece:

1 – d � n =FV

1 i n+ ×

Nessa relação, ao se explicitar a taxa i (desconto “por dentro”), ou a taxa d(desconto “por fora”), obtém-se, respectivamente:

id

1 – d n=

× (3.9)

di

1 – i n=

× (3.10)

Nessas duas relações, as unidades referenciais de tempo das taxas i e d de-vem coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para medir o núme-ro de períodos n.

3.5.1. Exemplo Numérico

1. No Exemplo 2 da Seção 3.3.2 e no Exemplo 2 da Seção 3.4.2, foram calculadasas taxas de desconto “por dentro” e “por fora”, respectivamente, de um mes-mo título com as seguintes características:

Principal aplicado = FV = $10.000,00

Valor de resgate = PV = $9.750,00

Prazo da operação = n = 60 dias

No Exemplo 2 da Seção 3.3.2, a taxa mensal de desconto “por dentro” en-contrada foi de 1,282% ao mês, e no Exemplo 2 da Seção 3.4.2, a taxa mensalde desconto “por fora” encontrada foi de 1,25% ao mês.

Usar as expressões (3.9) e (3.10) para verificar a relação entre essas duas ta-xas de desconto, considerando o ano comercial com 360 dias.

Solução:


i = 1,282% ao mês = 0,01282; d = 1,25% ao mês = 0,01250; n = 60 dias = 2meses


A Relação (3.9) fornece a taxa de desconto “por dentro”:

i = [0,01250/(1 – 0,01250 � 2)] = 0,01282 = 1,282% ao mês

E a Relação (3.10) fornece a taxa de desconto “por fora”:

d = [0,01282/(1 – 0,01282 � 2)] = 0,0125 = 1,25% ao mês

confirmando, assim, a relação entre essas duas taxas de desconto.

3.6. Desconto de Títulos — ExemplosAs operações bancárias de desconto de títulos são realizadas utilizando-se o con-ceito de taxa de desconto “por fora”, que normalmente é denominada simples-mente taxa de desconto. Os exemplos a seguir mostram os cálculos dessasoperações.

1. Uma empresa oferece os seguintes títulos para serem descontados num bancocomercial:

Vencimento (dias) Valor do título ($)

30 10.000,00

60 20.000,00

90 30.000,00

Total 60.000,00

Calcule o valor a ser creditado na conta dessa empresa, por essa operaçãode desconto, considerando o mês com 30 dias, e sabendo-se que a taxa de des-conto acertada é de 1% ao mês.

Solução:

Vamos aplicar a Relação (3.7) para cada um desses títulos, conforme indi-cado a seguir:

a) título com vencimento em 30 dias:

PV1 = FV1 (1 – d � n) = $10.000,00 (1 – 0,01 � 1) = $9.900,00

b) título com vencimento em 60 dias:

PV2 = FV2 (1 – d � n) = $20.000,00 (1 – 0,01 � 2) = $19.600,00

c) título com vencimento em 90 dias:

PV3 = FV3 (1 – d � n) = $30.000,00 (1 – 0,01 � 3) = $29.100,00

Assim, o valor a ser creditado na conta da empresa é igual a:


PV = PV1 + PV2 + PV3 = $9.900,00 + $19.600,00 + $29.100,00 = $58.600,00

Nas operações de desconto de títulos, existem outros custos adicionais quenão foram considerados no exemplo anterior, tais como a incidência de im-postos e a exigência de saldo médio na conta-corrente da empresa.

O saldo médio corresponde a uma retenção na conta-corrente da empresade um percentual do valor da operação não recebe qualquer remuneração dobanco por se tratar de depósito à vista. O exemplo a seguir esclarece esse con-ceito e permite avaliar o aumento do custo da operação pela inclusão do saldomédio.

2. Um banco comercial realiza suas operações de desconto de títulos com umataxa de desconto de 1,2% ao mês (“por fora”), porém exige um saldo médiode 20% do valor da operação, como forma de reciprocidade bancária. Essebanco foi procurado por uma empresa para descontar $100.000,00 de títulos,todos com vencimento de 90 dias. Considerando o mês com 30 dias, calcule ovalor a ser creditado na conta da empresa e a rentabilidade mensal do banco,a juros simples, sem o saldo médio e com o saldo médio.

Solução:

a) sem o saldo médio:

O valor a ser creditado na conta da empresa é obtido pela Relação (3.7),isto é:

PV = FV (1 – d � n) = $100.000,00 (1 – 0,012 � 3) = $96.400,00

A taxa de rentabilidade do banco é obtida pela Relação (3.2), ou seja:

iFVPV

– 11n

100.00096.400

– 113

= ⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ × = ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ × = 0,012448

que fornece a taxa de 1,2448% ao mês.

b) com o saldo médio:

O saldo médio de 20% sobre $100.000,00 corresponde a $20.000,00.Tudo se passa como se o banco, por ocasião da liberação dos recursos, fi-zesse uma retenção de $20.000,00, deixando apenas o valor de$76.400,00 à disposição da empresa. Esses $20.000,00 ficam parados nobanco, na conta-corrente da empresa, durante os três meses da opera-ção. Na liquidação da operação (final do 3º mês), a empresa precisa de-sembolsar apenas $80.000,00, pois o banco já dispõe de $20.000,00retidos em sua conta-corrente. Essas situações são resumidas no fluxo decaixa da Tabela 3.1:


Tabela 3.1 Fluxo de caixa para o banco

Sem a inclusão dosaldo médio

Saldo médio de20%

Com a inclusão dosaldo médio

Início do 1º mês (–) 96.400,00 (+) 20.000,00 (–) 76.400,00

Final do 3º mês (+) 100.000,00 (–) 20.000,00 (+) 80.000,00

O valor da rentabilidade mensal do banco, levando em consideração o sal-do médio de 20%, é obtido pela Relação (3.2), conforme indicado a seguir:

iFVPV

– 11n

80.00076.400

113

0,= ⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ × = −⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ × = 157068

que fornece a taxa de 1,5707% ao mês.

Assim, o saldo médio de 20% elevou a rentabilidade do banco (e conse-quentemente aumentou o custo para a empresa) de 1,2448% ao mês para1,5702% ao mês, no regime de juros simples.

3.7. Resumo

Nesse capítulo, desenvolvemos as principais fórmulas do regime de juros simplese ilustramos suas aplicações em diversos problemas do mercado.

Ressaltamos que, no regime de juros simples, a taxa de desconto d (“porfora”, ou comercial) é comumente utilizada apenas com o nome de taxa de des-conto, por ser este o método consagrado pelo mercado nas operações de descon-to de títulos comerciais. A taxa de juros i (taxa de desconto “por dentro”, ouracional) é mais conhecida como taxa de rentabilidade. Tanto a taxa de descontopor dentro, quanto à taxa de desconto por fora são valores que não correspon-dem a “verdadeira” taxa de juros (taxa efetiva) da operação, pelo fato do regimede juros simples ser conceitualmente incorreto, na medida em que só remunerao capital inicial (principal) aplicado.

O valor nominal de um título (valor de resgate) descontado a juros simples(desconto comercial) representa o valor que será creditado na conta-corrente do in-vestidor. Esse é o valor presente do título. Para conhecer a taxa efetiva de descontoda operação é preciso comparar o valor presente do título com o seu valor nominal,por meio do cálculo da taxa interna de retorno, que é feita a juros compostos.

A HP-12C dispõe de funções especiais para realizar cálculos no regime dejuros simples. Entretanto, os exemplos deste capítulo foram desenvolvidos semo uso dessas operações especiais da calculadora, pois as fórmulas e expressões dejuros simples são de fácil solução com as operações convencionais de qualquercalculadora.


3.8. Problemas PropostosConsidere em todos os problemas o ano comercial com 360 dias.

1. Calcule o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebi-da a partir da aplicação de um principal de $10.000,00, com uma taxa de jurosde 1% ao mês, no regime de juros simples.

2. Um título com valor de resgate de $1.000,00, com 80 dias a decorrer até seu ven-cimento, está sendo negociado a juros simples, com uma taxa de desconto “porfora” de 15% ao ano. Calcule: a) o valor do principal desse título; b) o valor dodesconto simples; e c) a rentabilidade mensal desse título, até seu vencimento.

3. Imagine que o título do Problema 2 seja vendido com a garantia de recompranum prazo de três dias, e que nessa operação de três dias seja assegurada umarentabilidade de 1,2% ao mês. Calcule: a) o valor do título por ocasião da recom-pra; e b) a rentabilidade mensal e a taxa de desconto anual (“por fora”) desse títu-lo para o seu prazo remanescente de 77 dias a decorrer até seu vencimento.

4. Um investidor aplicou um principal de $1.000,00 para receber um montantede $1.300,00 no prazo de 36 meses. Calcule, no regime de juros simples: a) arentabilidade trimestral do investidor; e b) a taxa de desconto mensal (“porfora”) que corresponde à rentabilidade do item a.

5. Um banco comercial empresta $15.000,00 a um cliente, pelo prazo de três me-ses, com uma taxa de 1% ao mês, juros simples, cobrados antecipadamente.Dessa forma, o valor líquido liberado pelo banco é de $14.550,00, e o clientedeve pagar os $15.000,00 no final do 3º mês. Além disso, o banco exige um sal-do médio de $1.500,00 ao longo de todo o prazo do empréstimo. Calcule ataxa de rentabilidade mensal do banco nessa operação, a juros simples.

6. Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que opera com umataxa de desconto comercial de 1% ao mês, juros simples. O primeiro título temum valor de $10.000,00 e vencimento no prazo de 90 dias. O segundo título temum valor de $10.000,00 e vencimento no prazo de 180 dias. Calcule o valor a sercreditado pelo banco na conta dessa empresa, pelo desconto desses títulos.

7. Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de $10.000,00, comuma taxa de 1,2% ao mês (desconto “por dentro”), juros simples, que pode ser li-quidado no final de cada mês. Decorridos três meses, essa empresa resolve liqui-dar esse empréstimo com recursos obtidos, no mesmo banco, por meio de umnovo empréstimo, com uma taxa de 1% ao mês, também a juros simples. Decor-ridos alguns meses, a empresa decide liquidar o segundo empréstimo e verificaque o total de juros acumulados nos dois empréstimos é de $981,60. Calcule:a) o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro; b) o valordo pagamento final para liquidar o segundo empréstimo; c) o prazo do segundoempréstimo; e d) a taxa média mensal, a juros simples, paga pela empresa, consi-derando os dois empréstimos em conjunto.


8. Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição fi-nanceira. No final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica que o mon-tante acumulado até aquela data totaliza $10.480,00. Esse mesmo valor éentão depositado em outra instituição financeira, por um prazo de cinco me-ses. No final desse período, o montante acumulado na segunda instituição éigual a $11.108,80. Sabendo-se que as duas instituições operam com jurossimples e remuneram seus depósitos com a mesma taxa, calcule: a) a taxamensal de juros simples das duas instituições; e b) o valor do depósito inicialna primeira instituição.


4.1. IntroduçãoO objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas básicas de juros compostos emostrar suas aplicações por meio de exemplos numéricos.

O entendimento do conceito de juros compostos é muito importante, umavez que esse é o sistema indicado para efetuar análises e transformações de flu-xos de caixa de forma conceitualmente correta.

Inicialmente, apresentaremos o problema da capitalização composta, quetrata da valorização do dinheiro ao longo do tempo. Em seguida, apresentare-mos o problema inverso, ou seja, o da diminuição das grandezas futuras, na me-dida em que são trazidas para o valor presente, mediante as operações de descontocomposto.

Nos dois casos, os estudos incluem deduções de fórmulas genéricas e suasaplicações em exemplos numéricos, cujas soluções são apresentadas pelo Simu-lador da HP-12C.1

4.2. Capitalização e Desconto “Por Dentro”, ou RacionalNo regime de juros compostos, os juros de cada período, quando não são pagosno final do período, devem ser somados ao capital e, consequentemente, tam-bém passam a render juros.

A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e, como ele aconteceno regime de juros compostos, costuma ser chamado de capitalização composta.

Juros Compostos –Capitalização e Desconto

1 Consulte o Capítulo 1, item 1.7.3, para informações sobre o Simulador da HP-12C.

4.2.1. Dedução da Expressão Genérica para CapitalizaçãoComposta

A expressão genérica do valor futuro (FV), no regime de juros compostos, emfunção dos parâmetros n, i e PV, é baseada no fluxo de caixa representado nodiagrama a seguir, que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.

Figura 4.1 Capitalização composta: taxa de juros i —desconto “por dentro”

No regime de juros compostos, os juros de cada período são obtidos pelaaplicação da taxa de juros i sobre o capital aplicado no início do período de capi-talização. Assim, temos:

a) no 1º período de capitalização (n = 1)

capital no início do período = PV

juros do período = PV � i

capital no final do período = FV = PV + PV � i = PV (1 + i)

b) no 2º período de capitalização (n = 2)

capital no início do período = PV (1 + i)

juros do período = PV (1 + i) � i

capital no final do período = FV = PV (1 + i) + PV (1 + i) � i =

= PV (1 + i) � (1 + i)

e portanto:

FV = PV (1 + i)2

c) no 3º período de capitalização (n = 3)

A expressão para o valor futuro FV, ou montante, no final do 3º perío-do de capitalização pode ser deduzida de forma análoga, e toma o seguin-te aspecto:

FV = PV (1 + i)3

d) no enésimo período de capitalização


A expressão genérica do valor futuro FV, ou montante, resultante daaplicação de um principal PV durante n períodos de capitalização, comuma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos é:

FV = PV (1 + i)n (4.1)

em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidircom a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número deperíodos n.

A Expressão Genérica (4.1) pode ser verificada utilizando-se os valores obti-dos no exemplo da Seção 2.3.1.1, do Capítulo 2. Observe na Tabela 2.2 que omontante FV encontrado através da fórmula acima corresponde ao Saldo no fi-nal de cada ano após o pagamento.

4.2.2. Desconto “Por Dentro”, ou Racional

A taxa de desconto i (por dentro, ou racional) é usualmente denominada taxa dedesconto e é muito utilizada pelo mercado financeiro.

Pela Expressão Genérica (4.1), podemos obter a seguinte relação:

PVFV

(1+ i)n= (4.2)

que fornece o valor do principal PV a partir de FV, em função dos parâmetros n e i.

O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, expresso em $, é obtidopela aplicação da Expressão Genérica para desconto combinada com a Relação(4.2), isto é:

D = FV – PV =FV[(1+ i) – 1]

(1+ i)d

n

n (4.3)

4.2.3. Dado PV, Achar FV

O problema envolvendo o cálculo do valor futuro FV a partir do valor presentePV consiste na solução da Expressão Genérica (4.1), em que a relação (1 + i)n pre-cisa ser calculada para os parâmetros i e n.

A expressão (1 + i)n pode ser calculada para qualquer valor de i e de n, com autilização da HP-12C ou do Excel, e os cálculos são apresentados no Simuladorda HP-12C, que toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de proble-ma do tipo “dado PV, achar FV”:

Capítulo 4 Juros Compostos – Capitalização e Desconto 41

Além do que já foi apresentado nos capítulos anteriores a respeito da formaadequada de utilização do Simulador, da planilha Excel e da calculadora HP-12C,especialmente na Seção 1.7.3, deve-se destacar os seguintes pontos:

a) a célula do parâmetro FV está em destaque para indicar que esse parâ-metro é que está sendo calculado e o resultado da operação será mostra-do nessa célula em destaque;

b) se a operação é realizada com a HP-12C, a tecla correspondente ao parâ-metro FV deve ser a última a ser pressionada, para acionar o cálculo des-se parâmetro;

c) se a operação é realizada com a Planilha Excel, essa célula em destaquecorresponde à célula onde são inseridos o sinal de igual (=) e a função fi-nanceira FV.

4.2.3.1. Exemplo Numérico

Calcule o valor acumulado no final de seis anos, no regime de juros compostos,com uma taxa efetiva2 de 10% ao ano, a partir de um investimento inicial (prin-cipal) de $1.000,00.

Solução:

n = 6 anos; i = 10% ao ano; PV = $1.000,00; PMT = $0,00; FV = ?

Os dados deste problema têm a seguinte apresentação:

que fornece $1.771,56 para o resultado do valor futuro (FV), no final do 6º ano.

Observar que o valor de PMT foi registrado como zero, por não fazer par-te do problema, e que o valor de PV foi inserido com o sinal negativo (investi-mento). O pagamento FV aparece com o sinal positivo.


2 Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com aunidade de tempo dos períodos de capitalização. Mais informações no Capítulo 5,Seção 5.2.

4.2.4. Dado FV, Achar PV

O problema envolvendo o cálculo do valor presente PV a partir do valor futuroFV consiste na solução da Expressão Genérica (4.2), em que a relação [1/(1 + i)n]precisa ser calculada para os parâmetros i e n.

A expressão [1/(1 + i)n] pode ser calculada, para qualquer valor de i e de n,com a HP-12C ou com a Planilha Excel, e os cálculos serão aqui apresentados como Simulador da HP-12C.

Veja abaixo a apresentação do Simulador quando aplicado na solução deproblemas do tipo “dado FV, achar PV”:

Aqui o leitor deve estar atento aos mesmos pontos levantados no caso de“dado PV, achar FV”, item 4.2.3, mas deve observar que a célula em destaque,nesse caso, é PV.

4.2.4.1. Exemplos Numéricos

1. Calcule o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado noregime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1% ao mês, para produ-zir um montante acumulado de $1.000,00 no final de 12 meses. Calcule o va-lor do desconto “por dentro”, expresso em $.

Solução:

n = 12 meses; i = 1% ao mês; FV = $1.000,00; PMT = $0,00; PV = ?; Dd = ?

a) cálculo do valor presente

Devemos preencher os dados acima no Simulador da HP-12C:

que fornecerá $887,45 para o valor presente (PV).

b) desconto “por dentro”, em $

O valor do desconto “por dentro”, expresso em $, é obtido pela Rela-ção (4.3), conforme indicado a seguir:


Dd = FV – PV = $1.000,00 – $887,45 = $112,55

2. O montante de $1.000,00, colocado no final do 4º mês do diagrama indicadoa seguir, deve ser capitalizado e descontado com a taxa de 1% ao mês, no regi-me de juros compostos.

Figura 4.2

Calcule:

a) o valor acumulado no final do 7º mês, pela capitalização do montante de$1.000,00 indicado no diagrama;

b) o valor que deve ser investido no final do 1º mês, para se obter o montan-te de $1.000,00 indicado no diagrama.

Solução:

a) montante no final do 7º mês

A solução deste problema pode ser visualizada no diagrama a seguir, queenquadra o problema no Diagrama Padrão apresentado no Capítulo 1.

Figura 4.3

Assim, o valor de $1.000,00 fica colocado no ponto zero da nova escalade tempo, e deve ser tratado como um valor presente PV, que precisa sercapitalizado três meses para atingir o final do 7º mês. Preenchendo os da-dos no Simulador da HP-12C:


obteremos $1.030,30 para o valor futuro (FV), no final do 7º mês.

b) principal no final do 1º mês

Nesse caso, para enquadrarmos o problema no Diagrama Padrão, pre-cisaremos colocar o valor PV (a ser determinado) no ponto zero da novaescala de tempo, conforme indicado a seguir:

Figura 4.4

Assim, o valor de $1.000,00 fica colocado no ponto 3 da nova escala detempo, e deve ser tratado como um valor futuro FV, que precisa ser descontadotrês meses para atingir o final do 1º mês. Preenchendo os dados no Simulador daHP-12C:

obteremos $970,59 para o principal, ou seja, para o valor presente (PV).

4.3. Desconto “Por Fora”


A Expressão Genérica do valor do desconto “por fora”, no regime de juros com-postos, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir, que obe-dece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.

Figura 4.5 Desconto composto:taxa de desconto d — “por fora”


No regime de juros compostos, os descontos de cada período são obtidospela aplicação da taxa de desconto d por período, sobre o capital existente noinício do período de desconto. Assim, temos:

a) no 1º período de desconto (n = 1)

capital no início do período = FV

desconto do período = FV � d

capital no final do período = PV = FV – FV � d = FV (1 – d)

b) no 2º período de desconto (n = 2)

capital no início do período = FV (1 – d)

juros do período = FV (1 – d) � d

capital no final do período = PV = FV (1 – d) – FV (1 – d) � d =

= FV (1 – d) � (1 – d)

e, portanto,

PV = FV (1 – d)2

A expressão para o valor presente PV, no final do 3º período de des-conto, pode ser deduzida de forma análoga:

PV = FV (1 – d)3

c) no enésimo período de desconto

A Expressão Genérica do valor presente PV, ou principal, resultantedo desconto de um valor fututo FV, durante n períodos, com uma taxade desconto d por período, no regime de juros compostos, é:

PV = FV (1 – d)n (4.4)

O valor do desconto “por fora” (Df), expresso em $, é obtido pela apli-cação da Expressão Geral para desconto, combinada com a Expressão (4.4):

Df = FV – PV = FV [ 1 – (1 – d)n ] (4.5)


Um título com o valor de $10.000,00, com 60 dias para seu vencimento, édescontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto “porfora” igual a 1,2% ao mês. Calcule o valor presente do título e o valor do descon-to composto, expresso em $.


Solução:

n = 60 dias = 2 meses; i = 1,2% ao mês; FV = $10.000,00; PMT = $0,00; PV = ?;Df = ?

a) valor presente do título

O valor presente do título é obtido pela Relação (4.4), conforme indica-do a seguir:

PV = FV (1 – d)n = $10.000,00 � (1 – 0,012)2 =

= $10.000,00 � 0,97614 = $9.761,44

b) valor do desconto “por fora”, em $

O valor do desconto composto, “por fora”, é obtido pela Relação (4.5),conforme indicado a seguir:

Df = FV – PV = $10.000,00 – $9.761,44 = $238,56

4.4. Problemas Resolvidos1. Calcule o valor acumulado no final de 24 meses, com juros compostos de 1%

ao mês, a partir de um investimento inicial (principal) de $2.000,00.

Solução:

n = 24 meses; i = 1% ao mês; PMT = $0,00; PV = $2.000,00; FV = ?

Os dados do problema têm a seguinte apresentação no Simulador daHP-12C:

que fornece $2.539,47 para o valor futuro (FV), no final do 24º mês.

2. Calcule o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado noregime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1,25% ao mês, para pro-duzir um valor acumulado de $1.000,00 no final de dois anos.

Solução:

n = 2 anos = 24 meses; i = 1,25% ao mês; FV = $1.000,00; PMT = $0,00; PV = ?

Os dados do problema têm a seguinte apresentação no Simulador da HP-12C:


que fornece $742,20 para o valor presente (PV).

4. Um banco comercial realiza suas operações de crédito com uma taxa de jurosde 1,00% ao mês, ou seja, 6,00% ao semestre. Entretanto, os juros são pagosantecipadamente, por ocasião da liberação dos recursos. Assim, para cada$1.000,00 de empréstimo, a ser liquidado no prazo de seis meses, esse bancolibera um principal de $940,00. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nessasoperações, no regime de juros compostos.

Solução:

n = 6 meses; FV = $1.000,00; PV = $940,00; PMT = $0,00; i = ? (ao mês)


que fornece 1,03659% ao mês para a taxa de juros i.

5. Calcule as taxas efetivas mensal e diária de um título de renda fixa que temuma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos.

Solução:

a) taxa mensal efetiva

Em um ano, com uma taxa de 10% ao ano, $100,00 se transformam em$110,00. A taxa mensal procurada é aquela que faz $100,00 se transformarem $110,00 no prazo de 12 meses. Assim temos:

n = 12 meses FV = $110,00; PV = $100,00; PMT = $0,00; i = ? (ao mês)

Os dados do problema têm a seguinte apresentação no Simulador da HP-12C

que fornece 0,797414% para a rentabilidade mensal desse título.


b) taxa diária efetiva

A taxa diária procurada é aquela que faz $100,00 se transformar em$110,00 no prazo de 360 dias (ano comercial). Assim temos:

n = 360 dias; FV = $110,00; PV = $100,00; PMT = $0,00; i = ? (ao dia)

Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

que fornece 0,0264786% para a rentabilidade diária desse título.

6. Um certificado de depósito bancário tem um valor de resgate de $10.000,00 eum prazo de 90 dias a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor a ser apli-cado nesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja de 10% aoano. Realizar os cálculos considerando o ano comercial com 360 dias.

Solução:

a) obtendo a taxa diária equivalente a 10% ao ano

Cálculo da taxa diária:

n = 360 dias; PV = $100,00; FV = $110,00; PMT = $0,00; i = ? (% ao dia)


que fornece a taxa diária de 0,0264786%.

Cálculo do valor de aplicação:

n = 90 dias; i = 0,0264786% ao dia; FV = $10.000,00; PMT = $0,00; PV = ?


que fornece o resultado de PV = $9.764,54.


b) trabalhando com n fracionário

Nesta solução, vamos transformar os 90 dias em fração de ano e traba-lhar com a taxa de 10% ao ano. Esta solução só é possível porque a HP-12Ce a Planilha Excel operam com o valor de n fracionário. Certifique-se deque a calculadora HP-12C apresenta a letra C no visor (acione as teclas STOe EEX), para que ela opere a juros compostos na parte fracionária de n.

n = 90 dias = 90/360 = 0,25 ano; i = 10% a.a.; FV = $10.000,00; PMT =$0,00; PV = ?


que fornece o resultado de PV = $9.764,54, idêntico ao anterior.

7. Uma debênture tem um valor de resgate de $10.000,00 e um prazo de doisanos e três meses a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor a ser aplicadonesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja de 12% ao ano. Rea-lizar os cálculos no regime de juros compostos, assumindo o ano comercialcom 360 dias.

Solução:

Com a HP-12C apresentando a letra C no visor:

Neste caso todos os cálculos da HP-12C são feitos a juros compostos, tantopara a parte inteira de n como para sua parte fracionária. Com a letra C no vi-sor, a HP-12C e a Planilha Excel operam da mesma forma, e os resultados obti-dos são idênticos.

n = 2 anos e 3 meses = 2,25 anos; i = 12% ao ano; FV = $10.000,00; PMT =$0,00; PV = ?


que fornece o resultado de PV � $7.749,25.

Ao se repetirem as mesmas operações com a HP-12C, sem a letra C no visor,o resultado obtido é igual a $7.739,75, que corresponde ao seguinte:


cálculo a juros compostos na parte inteira de n (2 anos);

cálculo a juros simples na parte fracionária de n (0,25 ano).

Para confirmarmos essa situação, vamos inicialmente calcular o valor dopapel, a juros compostos, com dois anos a decorrer até o vencimento. Certifi-que-se de que a letra C esteja indicada no visor, para que o cálculo seja realiza-do a juros compostos:

Vamos agora descontar este valor (PV = $7.971,94) por três meses, a jurossimples de 12% ao ano:

PV$7.971,94

10,1212

3=

+ ×= $ . ,7739 75

resultado que coincide com o calculado sem a letra C no visor, confirmando oque foi enunciado.

4.5. ResumoNeste capítulo, desenvolvemos as principais fórmulas do regime de juros compos-tos, bem como ilustramos suas aplicações em diversos problemas do mercado.

A Expressão Genérica (4.1), que define o crescimento do dinheiro ao longodo tempo como sendo a exponencial (1 +i)n, é a equação fundamental do regimede juros compostos. Todas as demais fórmulas desenvolvidas no livro, para esseregime de juros, são obtidas a partir dessa expressão genérica.

A taxa de desconto i (“por dentro”, ou racional), no regime de juros compos-tos, é usualmente denominada taxa de desconto. Já a taxa de desconto d (“por fora”,ou comercial) praticamente não é utilizada pelo mercado nesse regime de juros.

4.6. Problemas PropostosConsidere em todos os problemas o ano comercial com meses de 30 dias.

1. Calcule o montante acumulado em seis trimestres, com uma taxa de 1,2% aomês, no regime de juros compostos, a partir de um principal de $10.000,00.


2. Calcule o principal que deve ser investido para produzir um montante de$20.000,00, num prazo de dois anos, com uma taxa de 12% ao semestre, noregime de juros compostos.

3. Um investidor aplicou $10.000,00 para receber $11.200,00 no prazo de umano. Calcule a taxa de rentabilidade mensal desse investidor, no regime dejuros compostos.

4. Calcule o número de meses necessários para se fazer um capital triplicar devalor, com uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros compostos.

5. Um investidor deseja fazer uma aplicação financeira a juros compostos de1,5% ao mês, de forma a garantir uma retirada de $10.000,00 no final do 6ºmês e outra de $20.000,00 no final do 12º mês, a contar da data da aplicação.Calcule o menor valor que deve ser investido para permitir a retirada dessesvalores nos meses indicados.

6. Uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $10.000,00 vencidahá três meses, e ainda antecipar o pagamento de outra de $50.000,00 comcinco meses a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor do pagamento aser feito de imediato pela empresa para liquidar essas duas notas promissóri-as, levando em consideração uma taxa de 1,2% ao mês, juros compostos, econsiderando os meses com 30 dias.

7. Um banco de investimento que opera com juros compostos de 1% ao mêsestá negociando um empréstimo com uma empresa que pode liquidá-locom um único pagamento de $106.152,02, no final do 6º mês, a contar daassinatura do contrato. Calcule o valor que deve ser abatido do principaldesse empréstimo, no ato da contratação, para que esse pagamento seja li-mitado em $90.000,00, e para que a taxa de 1% ao mês seja mantida.

8. Calcule o valor de uma aplicação financeira que produz um valor de resgatede $10.000,00 ao final de 21 dias, com uma taxa de 1,5% ao mês, no regimede juros compostos.

9. Calcule o valor de resgate de uma aplicação financeira de $10.000,00,realizada no regime de juros compostos, com uma taxa de 15% ao ano, peloprazo de 18 dias.

10. Um investidor tem uma poupança de $100.000,00 aplicada num banco quelhe garante uma remuneração de 0,8% ao mês para os próximos três meses, elhe são oferecidas as seguintes alternativas de investimentos:

a) aplicação de um valor máximo de $50.000,00, a uma taxa de 1,5% aomês, por um prazo de três meses;

b) aplicação de um valor mínimo de $100.000,00, a uma taxa de 1,0% aomês, por um prazo de três meses.


5.1. IntroduçãoNeste capítulo apresentaremos as diferentes denominações das taxas de jurosutilizadas pelo mercado financeiro, os seus conceitos e as suas principais utiliza-ções. Vamos mostrar também como adequá-las às condições padronizadas pelaHP-12C e pelo Excel, já que os problemas práticos e situações cotidianas nemsempre satisfazem às condições de semelhança das unidades de tempo das taxasde juros e dos períodos de capitalização.

5.2. Taxa EfetivaTaxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coinci-de com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de ta-xas efetivas:

� 2% ao mês, capitalizados mensalmente;

� 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;

� 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;

� 10% ao ano, capitalizados anualmente.

Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tem-pos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se simplesmentedizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano.

A taxa efetiva é a taxa utilizada nas calculadoras financeiras e nas funçõesfinanceiras das planilhas eletrônicas.

Taxa de Juros

5.3. Taxas Proporcionais — Juros Simples

5.3.1. Conceito

Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo dife-rentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo,produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regimede juros simples.


Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um princi-pal de $100,00, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros:

a) 12% ao ano;

b) 6% ao semestre;

c) 1% ao mês.

Solução:

Usando a expressão genérica do crescimento do dinheiro no regime de ju-ros simples (Relação 3.1), e considerando o valor do principal PV = $100,00, tere-mos as seguintes expressões, para cada taxa de juros:

a) i = 12% ao ano

n = 4 anos

FV = PV (1 + i � n) = 100,00 (1 + 12% � 4) = 100,00 (1 + 0,12 � 4)

= $148,00

b) i = 6% ao semestre

n = 4 anos = 8 semestres

FV = PV (1 + i � n) = 100,00 (1 + 6% � 8) = 100,00 (1 + 0,06 � 8)

= $148,00

c) i = 1% ao mês

n = 4 anos = 48 meses

FV = PV (1 + i � n) = 100,00 (1 + 1% � 48) = 100,00 (1 + 0,01 � 48)

= $148,00

Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a $148,00,podemos concluir que as taxas de 12% ao ano, 6% ao semestre e 1% ao mês sãoproporcionais, pois produzem o mesmo montante ao serem aplicadas sobre omesmo principal de $100,00, durante um mesmo prazo (4 anos = 8 semestres =48 meses), no regime de juros simples.


5.3.3. Fórmulas Relacionando Taxas Proporcionais

Inicialmente, vamos demonstrar a fórmula que relaciona as taxas proporcionaismensal (im) e anual (ia). Para isso, consideremos as Figuras 5.1 e 5.2 indicadas aseguir:

Figura 5.1 Taxa Mensal — juros simples —crescimento linear

Figura 5.2 Taxa Anual — juros simples —crescimento linear

No regime de juros simples, a Figura 5.1 fornece:

FV = PV(1 + im � 12) (5.1)

E a Figura 5.2 fornece:

FV = PV(1 + ia) (5.2)

Para que essas taxas sejam proporcionais, é preciso que os montantes (FV)dos dois esquemas (Figuras 5.1 e 5.2) sejam iguais. Assim, podemos igualar as re-lações (5.1) e (5.2), obtendo:

(1 + ia) = (1 + im � 12)

e finalmente:

ia = im � 12

Capítulo 5 Taxa de Juros 55

As demais expressões, relacionando a taxa anual (ia )com as taxas proporcio-nais semestral (is ), trimestral (it ) e diária (id ), podem ser obtidas de maneira aná-loga. Se considerarmos o ano comercial (360 dias), as fórmulas que permitem ocálculo dessas taxas proporcionais estão a seguir indicadas:

ia = is � 2 = it � 4 = im � 12 = id � 360 (5.3)

5.3.4. Problema Resolvido

1. Calcule as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 24% aoano.

Solução:

ia = 24% ao ano


a) taxa semestral

is � 2 = ia ⇒ is =i2a =

242%

=0 24

2,

= 0,12

ou seja, 12% ao semestre;

b) taxa mensal

im � 12 = ia ⇒ im =i12

a =2412

%=

0 2412,

= 0,02

ou seja, 2% ao mês;

c) taxa diária

id � 360 = ia ⇒ id =i

360a =

24360

%=

0 24360,

= 0,000667

ou seja, 0,0667% ao dia.

5.4. Taxas Equivalentes — Juros Compostos

5.4.1. Conceito

Taxas equivalentes são taxas de juros utilizadas no regime de juros compostos,que, apesar de serem fornecidas em unidades de tempo diferentes, levam a ummesmo montante acumulado, quando aplicadas a um mesmo principal duranteum mesmo prazo.



Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um princi-pal de $100,00, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros:

a) 12,6825% ao ano

b) 6,1520% ao semestre

c) 1,00% ao mês

Solução:

Usando a Expressão Genérica do crescimento do dinheiro, no regime de ju-ros compostos (Relação 4.1), e considerando o valor do principal PV = $100,00,teremos as seguintes expressões, para cada taxa de juros:

a) taxa anual

i = 12,6825% ao ano;

n = 4 anos;

FV = PV (1 + i)n = 100,00 (1 + 0,126825)4 = $100,00 � 1,6122 = $161,22

Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel,conforme indicado a seguir, através do Simulador da HP-12C:

A célula em destaque apresenta o valor de $161,22 obtido para FV,que coincide com o calculado através da Expressão Genérica.

b) taxa semestral

i = 6,1520% ao semestre;

n = 4 anos = 8 semestres;

FV = PV (1 + i)n = 100,00 (1 + 0,06152)8 = $100,00 � 1,6122 = $161,22

Podemos obter esse mesmo valor através do Simulador da HP-12C:

A célula em destaque apresenta o valor de $161,22 obtido para FV,que coincide com o calculado através da Expressão Genérica.


c) taxa mensal

i = 1% ao mês ;

n = 4 anos = 48 meses;

FV = PV (1 + i)n = 100,00 (1 +0,01)48 = $100,00 � 1,6122 = $161,22

Podemos obter esse mesmo valor através do Simulador da HP-12C:

A célula em destaque mostra o valor de $161,22 obtido para FV, quecoincide com o calculado através da expressão genérica.

Como o montante obtido no final de quatro anos é o mesmo ($161,22),podemos concluir que as taxas de 12,6825% ao ano, 61520% ao semestree 1% ao mês são taxas equivalentes.

5.4.3. Fórmulas Relacionando Taxas Equivalentes

Inicialmente, vamos demonstrar a fórmula que relaciona as taxas equivalentesmensal (im) e anual (ia). Para isso, consideremos os esquemas indicados a seguir:

Figura 5.3 Taxa Mensal — juros compostos —crescimento exponencial

Figura 5.4 Taxa Anual — juros compostos —crescimento exponencial


No regime de juros compostos, o esquema da Figura 5.3 fornece:

FV = PV (1 + im)12 (5.4)

E a Figura 5.4 fornece:

FV = PV (1 + ia) (5.5)

Para que essas taxas sejam equivalentes, é preciso que os montantes (FV)dos dois esquemas sejam iguais. Assim, podemos igualar as relações (5.4) e (5.5),obtendo:

(1 +ia) = (1 + im)12

As demais expressões, relacionando a taxa anual com as taxas equivalentessemestral, trimestral e diária, podem ser obtidas de maneira análoga. Se conside-rarmos o ano comercial (360 dias), as fórmulas que permitem o cálculo dessas ta-xas equivalentes estão a seguir indicadas:

(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + it)

4 = (1 + im)12 = (1 + id)360 (5.6)

5.4.4. Problema Resolvido

1. Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% ao tri-mestre.

Solução:

it = 3% ao trimestre

Utilizaremos a Relação (5.6) para a solução dos problemas:

a) taxa anual

(1 + ia) = (1 + it)4 = (1 + 3%)4 = (1 + 0,03)4 = (1,03)4

e então:

ia = (1,03)4 −1 = 1,125509 −1 = 0,125509

ou seja, 12,5509% ao ano.

Podemos obter esse mesmo valor com a utilização do Simulador da HP-12C


A célula em destaque apresenta o valor de $112,5509 obtido para FV,que, em relação ao valor principal de $100,00, indica uma taxa de juros de12,5509% ao ano;

b) taxa semestral

(1 + is)2 = (1 + it)

4 ⇒(1 + is) = (1 + it)2 = (1 + 3%)2

e então:

is = (1 � 0,03)2 – 1 = (1,03)2 −1 = 1,060900 – 1 = 0,060900

ou seja, 6,09% ao semestre.

Podemos obter esse mesmo valor com a utilização do Simulador da HP-12C

A célula em destaque apresenta o valor de $106,0900 obtido para FV,que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de juros de6,09% ao semestre.

5.5. Taxa Nominal

5.5.1. Conceito

Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo nãocoincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominalé sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem sersemestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:

� 12% ao ano, capitalizados mensalmente;

� 24% ao ano, capitalizados semestralmente;

� 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;

� 18% ao ano, capitalizados diariamente.

A taxa nominal não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve serusada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.

Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que éa taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetivaimplícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.


A taxa efetiva anual será sempre maior que a taxa nominal, para períodosde capitalização inferiores a um ano, em função dos juros acumulados a cada ca-pitalização.

A taxa nominal aqui citada é a taxa utilizada na Tabela Price (Seção 5.5.4)bastante conhecida no mercado financeiro.

5.5.2. Fórmulas

Vamos, inicialmente, assumir o ano comercial com 360 dias e as seguintes sim-bologias e denominações:

iN = taxa de juros nominal anual (em % a.a.);

is = taxa semestral efetiva implícita (em % a.s.);

it = taxa trimestral efetiva implícita (em % a.t.);

im = taxa mensal efetiva implícita (em % a.m.);

id = taxa diária efetiva implícita (em % a.d.).

As taxas efetivas, que estão implícitas nas taxas nominais anuais, são obti-das em função do número de períodos de capitalização da taxa nominal, pelasexpressões relacionadas na Tabela 5.1:

Tabela 5.1 Taxas efetivas

Período decapitalização de iN

Número de períodos decapitalizações no ano

Taxa efetivaimplícita

Diária 360 ii

360dN=

Mensal 12 ii12m

N=

Trimestral 4 ii4tN=

Semestral 2 ii2sN=

Nos exemplos citados no item 5.5.1, as taxas efetivas que estão implícitasnos enunciados das taxas nominais são as seguintes:

� 12% ao ano, capitalizados mensalmente:

12% a.a12 meses

= 1% ao mês


� 24% ao ano, capitalizados semestralmente:

24% a.a2 semestres

= 12% ao semestre

� 10% ao ano, capitalizados trimestralmente:

10% a.a4 trimestres

= 2,50% ao trimestre

� 18% ao ano, capitalizados diariamente:

18% a.a360 dias

= 0,050% ao dia

Devemos, então, abandonar os valores das taxas nominais e realizar todosos cálculos financeiros com os valores das taxas efetivas correspondentes, ouseja, 1% ao mês, 12% ao semestre, 2,50% ao trimestre e 0,050% ao dia, no regi-me de juros compostos.

Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominalanual é sempre obtida no regime de juros simples, dividindo-se o valor da taxa anualpelo número de períodos de capitalização contidos em um ano.

5.5.3. Problemas Resolvidos

1. Calcule as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de9% ao ano, com os seguintes períodos de capitalização: a) mensal; b) trimes-tral; e c) semestral.

Solução:iN = 9% ao ano

a) capitalização mensal — taxa efetiva mensal:

im =912%

= 0,75 ao mês

Para calcular a taxa efetiva anual, utilizaremos a relação 5.6:

(1 + ia) = (1 + im)12 = (1 + 0,75%)12 = (1,0075)12

ia = (1,0075)12 – 1 = 1,093807 – 1 = 0,093807


Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel. Issoestá apresentado no Simulador, conforme a seguir:


A célula em destaque apresenta o valor de $109,3807 obtido para FV,que, em relação ao valor principal de $100,00, indica uma taxa de jurosde 9,3807% ao ano;

b) capitalização trimestral — taxa efetiva trimestral:

it =i

49%4

N = = 2,25% ao trimestre


(1 + ia) = (1 + it)4 = (1 + 2,25%)4 = (1,0225)4

ia = (1,0225)4 −1 = 1,093083 – 1 = 0,093083


Podemos obter esse mesmo valor utilizando o Simulador da HP-12C

A célula em destaque apresenta o valor de $109,3083 obtido para FV,que, em relação ao valor principal de $100,00, indica uma taxa de 9,3083%ao ano;

c) capitalização semestral — taxa efetiva semestral:

is =92%

= 4,5% ao semestre


(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + 4,5%)2 = (1,045)2

ia = (1,045)2 – 1 = 1,092025 – 1 = 0,092025


Podemos obter esse mesmo valor utilizando o Simulador da HP-12C

A célula em destaque apresenta o valor de $109,2025 obtido para FV, queem relação ao valor principal de $100,00, indica uma taxa de juros de9,2025% ao ano.


Sugerimos que o leitor refaça os cálculos desse problema para as taxasnominais de 12% a.a., 24% a.a. e 36% a.a. e confira os resultados com osvalores indicados na Tabela 5.2.

Tabela 5.2 Taxas efetivas anuais

Taxanominal

anual (%)

Taxas efetivas anuais equivalentes (em %)quando o período de capitalização for

anual semestral trimestral mensal

9,00 9,00 9,20 9,31 9,38

12,00 12,00 12,36 12,55 12,68

24,00 24,00 25,44 26,25 26,82

36,00 36,00 39,24 41,16 42,58

Obs: Valores com aproximação de duas casas decimais

Ao analisarmos os valores da Tabela 5.2, podemos tirar as seguintesconclusões:

a) a taxa efetiva anual é sempre maior do que a taxa nominal anual corres-pondente, a não ser no caso de capitalização anual, quando as taxas sãoiguais;

b) a diferença entre essas duas taxas aumenta quando:

� aumenta o número de períodos de capitalização;

� aumenta o valor da taxa nominal.

2. Calcule a taxa efetiva trimestral que é equivalente a uma taxa nominal de15% ao ano, capitalizados mensalmente.

Solução:

Taxa nominal:

iN = 15% ao ano

capitalização mensal — taxa efetiva mensal:

im =1512

%= 1,25% ao mês

Para calcular a taxa efetiva trimestral, devemos utilizar a relação 5.6:

(1 + it)4 = (1 + im)12 => (1 + it) = (1 + im)3

(1 + it) = (1 + 1,25%)3 = (1,0125)3

it = (1,0125)3 −1 = 1,037971 – 1 = 0,037971


ou seja, 3,7971% ao trimestre.

Podemos obter esse mesmo resultado com a HP-12C, ou com o Excel, pe-los valores indicados a seguir:

A célula em destaque apresenta o valor de $103,7971 obtido para FV, que,em relação ao valor principal de $100,00, indica uma taxa de juros de3,7971% ao trimestre.

3. Calcule o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar$1.000,00 à taxa de 9% ao ano, capitalizados mensalmente.

Solução:

Taxa nominal:

iN = 9% ao ano

capitalização mensal — taxa efetiva mensal:

im =1912

%= 0,75% ao mês

Podemos resolver este problema de duas maneiras, conforme mostrado a seguir:

a) transformando o ano em meses:

PV = $1.000,00; n = 2 anos = 24 meses ; im = 0,75% ao mês

O montante acumulado (FV) pode ser assim obtido:

FV = PV (1 + im)24 = 1.000,00 (1 + 0,75%)24 = 1.000,00 (1,0075)24 =

= 1.000,00 � 1,196414 = $1.196,41

Podemos obter este mesmo resultado com a HP-12C, ou com o Excel, pe-los valores indicados a seguir:

A célula em destaque apresenta o valor de $1.196,41 obtido para FV,que coincide com o calculado através da Expressão Genérica.


b) transformando a taxa mensal na taxa anual equivalente:


(1 + ia) = (1 + im)12 => (1 + ia) = (1 + 0,75%)12

ia = (1,0075)12 −1 = 1,093807 – 1 = 0,093807

ou seja, 9,3807% ao ano. Temos então os seguintes dados:

PV = $1.000,00; n = 2 anos ; ia = 9,3807% ao ano

O valor de FV pode ser assim obtido:

FV = PV (1 + ia)2 = 1.000,00 (1 + 9,3807%)2 = 1.000,00 (1,093807)2 =

= 1.000,00 � 1,196414 = $1.196,41

Podemos obter esse mesmo resultado com a HP-12C, ou com o Excel,pelos valores indicados a seguir:

A célula em destaque apresenta o valor de $1.196,41 obtido para FV,que coincide com o calculado através da Expressão Genérica.

5.5.4. Tabela Price

A Tabela Price, que tem grande aceitação no mercado, é utilizada principalmen-te para calcular o valor das prestações de financiamentos imobiliários. Sua gran-de característica consiste em ter a taxa nominal como elemento de entrada paraobtenção dos fatores. Entretanto, os fatores são calculados com a taxa efetiva de-corrente da taxa nominal, em função do número de períodos de capitalização.Assim, por exemplo, uma Tabela Price de 12% ao ano, capitalizados mensalmen-te, tem as seguintes características:

a) a taxa de entrada, para a obtenção dos fatores, é de 12% ao ano, capitali-zados mensalmente;

b) os períodos dessa tabela correspondem a meses;

c) a taxa utilizada no cálculo dos fatores é a taxa efetiva de 1% ao mês.

Assim, conforme já colocado na Seção 5.5.1, uma Tabela Price de 12% aoano, capitalizados mensalmente, corresponde a uma tabela de 1% ao mês, querepresenta, em termos anuais equivalentes, uma taxa efetiva de 12,68% ao ano.Em função disso, o tomador do financiamento deverá ficar atento, pois a taxaefetiva anual do empréstimo é maior que a taxa informada pela Tabela Price.


5.6. Taxas Proporcionais versus Taxas EquivalentesVeja como o exemplo abaixo ilustra a diferença entre as taxas proporcionais eequivalentes, obtidas, respectivamente, no regime de juros simples e compostos.


Uma instituição financeira remunera suas aplicações com juros simples de1,50% a.m., em todas as operações, com prazos de até 45 dias. Considere trêsaplicações financeiras com os seguintes prazos: a) 15 dias; b) 30 dias; e c) 45 dias.

Calcule qual das três aplicações tem a maior taxa efetiva mensal, no regimede juros compostos.

Solução:

a) operação com prazo de 15 dias

� juros simples — taxas proporcionais

Obtenção do valor de resgate de uma aplicação de $100,00:

id =1 530, %

= 0,050% ao dia = 0,0005 a.d.

n = 15 dias

Valor de aplicação = PV = $100,00

Valor de resgate = FV = $100,00 (1 + 0,0005 � 15) = $100,75

� juros compostos — taxas equivalentes

PV = $100,00; FV = $100,75; n = 15 dias

Obtenção da taxa diária:

FV = 100,75 = PV (1 + id)15 = 100,00 (1 + id)

15

e então:

(1 + id )15 =100 75100 00

,,

= 1,0075

que fornece:

id = (1,0075)1/15 – 1 = 0,00049826 = 0,049826% ao dia

Obtenção da taxa efetiva mensal equivalente, com o auxílio da Relação(5.6):

(1 + im) = (1 + id)30 = (1,00049826)30 = 1,015056

e então:

im = 1,015056 −1 = 0,015056 = 1,51% ao mês


Podemos obter esse mesmo valor para a taxa mensal efetiva com aHP-12C, ou com o Excel. Sejam os valores:

PV = $100,00; FV = $100,75; n = 15 dias = 15/30 = 0,5 mês

A célula em destaque apresenta o valor de 1,5056 obtido para a taxai, que coincide com o calculado através da Expressão Genérica. Obser-var que a taxa obtida já é a taxa mensal efetiva, pois o prazo da operaçãofoi fornecido em fração de mês;

b) operação com prazo de 30 dias

Nas operações com prazo de 30 dias, a taxa de 1,50% ao mês, a juros sim-ples, é idêntica à taxa mensal efetiva, a juros compostos;

c) operação com prazo de 45 dias

� juros simples — taxas proporcionais

Obtenção do valor de resgate de uma aplicação de $100,00:

id =1 530, %

= 0,050% ao dia

n = 45 dias

Valor de aplicação = PV = $100,00

Valor de resgate = FV = 100,00 (1 + 0,0005 � 45) = $102,25

� juros compostos — taxas equivalentes

PV = $100,00; FV = $102,25; n = 45 dias

Obtenção da taxa diária:

FV = 102,25 = PV (1 + id)45 = 100,00 (1 + id)

45

e então:

(1 + id )45 =102 25100 00

,,

= 1,0225

que fornece:

id = (1,0225)1/45 – 1 = 0,00049458 = 0,049458% ao dia


Obtenção da taxa efetiva mensal equivalente, com o auxílio daRelação (5.6):

(1 + im) = (1 + id)30 = (1,00049458)30 = 1,014944

e então:

im = 1,014944 −1 = 0,014944 = 1,49% ao mês

Podemos obter esse mesmo valor para a taxa mensal efetiva com aHP-12C, ou com o Excel. Sejam os valores: PV = $100,00; FV = $102,25; n= 45 dias = 45/30 = 1,5 mês.

A célula em destaque apresenta o valor de 1,4944 obtido para a taxa i,que coincide com o calculado através da Expressão Genérica. Observarque a taxa obtida já é a taxa mensal efetiva, pois o prazo da operação foifornecido em meses.

A análise dos resultados deste exemplo numérico permite as seguintes con-clusões, quando a taxa de juros simples for mensal:

a) para prazos de aplicação inferiores a 30 dias, a taxa efetiva mensal é sem-pre maior que a taxa mensal de juros simples, e é tanto maior quanto me-nor for o prazo da aplicação;

b) para prazos de aplicação iguais a 30 dias, a taxa efetiva mensal é igual àtaxa mensal de juros simples;

c) para prazos de aplicação superiores a 30 dias, a taxa efetiva mensal é sem-pre menor que a taxa mensal de juros simples, e é tanto menor quantomaior for o prazo da aplicação.

5.7. Outras Denominações

5.7.1. Taxa Bruta e Taxa Líquida

Costuma-se denominar taxa bruta de uma aplicação financeira a taxa de jurosobtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levarem conta o desconto do imposto de renda e outros impostos, que são retidospela instituição financeira.


Por outro lado, denomina-se taxa líquida de uma aplicação financeira a taxade juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, jálevando em conta o desconto do imposto de renda e de outros impostos.

5.7.2. Taxa Real e Taxa Nominal

Estas duas denominações estão diretamente ligadas ao fenômeno da inflação.Costuma-se denominar taxa real a taxa de juros obtida após se eliminar o efeitoda inflação, e taxa nominal a taxa de juros que inclui a inflação. Assim, a taxa no-minal é sempre maior do que a taxa real.

Esta taxa nominal não é a mesma citada nas Seções 5.5.1 e 5.5.4. A taxa aquiem questão está sempre associada ao fenômeno da inflação e a uma taxa real dejuros. Para entender com detalhes o conceito da taxa nominal aqui apresentada,consulte a Seção 10.3.

A influência da inflação na análise dos fluxos de caixa será tratada no Capítulo10. Podemos, porém, antecipar que todos os conceitos da Matemática Financeirasão aplicados, indistintamente, nos fluxos de caixa com valores expressos em moe-da “fraca” (que perde o poder aquisitivo no tempo, em que há a presença da infla-ção) ou em moeda “forte” (que mantém o mesmo poder aquisitivo no tempo).

5.8. ResumoNeste capítulo, foram apresentadas diversas formas de informar e calcular taxasde juros. Destacamos os seguintes pontos:

� a taxa efetiva é a utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos, pe-las calculadoras financeiras e pelas funções financeiras das planilhas ele-trônicas;

� a taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita em seu enunciado, que de-pende do número de períodos de capitalização. Essa taxa efetiva implíci-ta deve ser utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos; essa é ataxa nominal utilizada na Tabela Price;

� taxas proporcionais são taxas de juros que permitem o mesmo crescimen-to do dinheiro, no regime de juros simples;

� taxas equivalentes são taxas de juros que permitem o mesmo crescimentodo dinheiro, no regime de juros compostos;

� taxa bruta e taxa líquida estão ligadas à questão do imposto de renda e deoutros impostos;

� taxa real e taxa nominal estão ligadas ao fenômeno da inflação; a taxa no-minal aqui citada é a soma das parcelas da taxa de juros real com a da taxade inflação, e do produto entre essas duas taxas; mais detalhes no Capítu-lo 10, Seção 10.3.4.



1. Calcule as taxas mensal e diária proporcionais à taxa de 3,6% ao trimestre.

2. Calcule as taxas trimestral e anual proporcionais à taxa de 0,9% ao mês.

3. Calcule a taxa diária equivalente à taxa de 6% ao semestre.

4. Calcule as taxas efetivas trimestral e anual equivalentes à taxa de 1,05% aomês.

5. Calcule as taxas efetivas anuais equivalentes às taxas de 2,0% ao trimestre e4% ao semestre.

6. Calcule a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8,5% aoano, capitalizados trimestralmente.

7. Calcule as taxas efetivas trimestral e anual equivalentes à taxa nominal de11,4% ao ano, capitalizados mensalmente.

8. Calcule o montante acumulado no final de dois anos ao se aplicar um princi-pal de $1.000,00 à taxa de 10,20% ao ano, capitalizados mensalmente.

9. Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa de1,20% ao mês, no regime de juros simples. Calcule os valores de resgate e astaxas efetivas mensais de uma aplicação de $10.000,00, nas seguintes hipó-teses para o prazo da operação: a) 10 dias e b) 60 dias.

10. Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa efetivade 1,20% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule os valores de resga-te e as taxas mensais, a juros simples, de uma aplicação de $10.000,00, nasseguintes hipóteses para o prazo da operação: a) 10 dias e b) 60 dias.


6.1. IntroduçãoO objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas usadas nas soluções de pro-blemas envolvendo uma série uniforme de valores monetários (pagamentos ourecebimentos) e de mostrar suas aplicações por meio de exemplos numéricos.

Essa modalidade de prestações é usualmente conhecida como Modelo Pri-ce, no qual todas as prestações têm um mesmo valor, que genericamente deno-minamos PMT.

O fato de as prestações terem um mesmo valor permite a obtenção de fór-mulas simplificadas para a capitalização e o desconto dessas parcelas. Essas fórmu-las são deduzidas através da utilização da expressão para a soma de termos deuma progressão geométrica, conforme será mostrado no decorrer do capítulo.

6.2. Dado PMT, Achar FV

6.2.1. Dedução da Expressão

Consideremos o seguinte fluxo de caixa:

Figura 6.1 Dado PMT, achar FV

Série Uniforme —Prestações Iguais

Observe que a série uniforme PMT está de acordo com o Diagrama Padrãodo Capítulo 1, que obedece à convenção de final de período, sendo portantouma série postecipada. Essa mesma condição será válida para todos os outros ca-sos apresentados ao longo do capítulo.

O problema do tipo ‘‘dado PMT, achar FV’’ consiste em determinar o mon-tante acumulado FV, no final de n períodos, a partir da capitalização das n pres-tações de uma série uniforme, todas com o mesmo valor e igual a PMT, com umataxa de juros i por período.

O montante FV corresponde à soma dos montantes individualmente calcu-lados para cada prestação até esse mesmo período n. Assim temos:

� a 1ª prestação capitaliza juros durante (n −1) períodos,e seu valor futuro no final do período n é igual a . . . . . . . . . . PMT (1 + i)n–1

� a 2ª prestação capitaliza juros durante (n −2) períodos,e seu valor futuro no final do período n é igual a . . . . . . . . . . PMT (1 + i)n–2

� a penúltima prestação capitaliza juros durante 1 período,e seu valor futuro no final do período n é igual a . . . . . . . . . . PMT (1 + i)

� a última prestação não capitaliza juros, e seuvalor no final do período n é igual a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PMT

Assim, o montante FV é obtido pela soma dessas parcelas, isto é:

FV = PMT [(1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + … + (1 + i) + 1] (6.1)

Os termos entre colchetes correspondem à soma de uma progressão geomé-trica (PG). A fórmula de uma PG pode ser obtida multiplicando-se ambos os la-dos da Expressão (6.1) por (1 + i). Vejamos:

FV (1 + i) = PMT [(1 + i)n + (1 + i)n−1 + … + (1 + i)2 + (1+I)] (6.2)

Subtraindo-se da Expressão (6.2) a Expressão (6.1):

FV � i = PMT [(1 + i)n – 1]

e, portanto:

FVPMT[(1 + i) – 1

i

n

= (6.3)

A expressão pode ser calculada para os parâmetros i e n, com a utilização daHP-12C e do Excel, através do Sumulador da HP-12, que apresenta o seguinte as-pecto quando aplicado na solução de problemas do tipo “dado PMT, achar FV”:


Os valores registrados devem obedecer à convenção de final de período e àconvenção de sinal explicadas no Capítulo 1. Fique atento, pois essas mesmas con-venções devem ser respeitadas ao longo deste capítulo.


1. Um investidor efetua os quatro depósitos anuais de $5.000,00 indicados nofluxo de caixa a seguir.

Figura 6.2

Sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa efetiva de8% ao ano, no regime de juros compostos, calcule o valor acumulado por esseinvestidor no final do quarto ano, nas seguintes situações:

a) imediatamente após a realização do quarto depósito;

b) imediatamente antes da realização do quarto depósito.

Solução:

a) saldo imediatamente após o 4º depósito.

n = 4 anos; i = 8% ao ano; PMT = $5.000,00; PV = $0,00; FV = ?


que fornece $22.530,56 para o saldo após o 4º depósito;

b) saldo imediatamente antes do 4º depósito

Capítulo 6 Série Uniforme — Prestações Iguais 75

O saldo acumulado, imediatamente antes da realização do 4º depósito, éobtido subtraindo-se, do saldo calculado no item a, o valor do último depósi-to, isto é:

$22.530,56 −$5.000,00 = $17.530,56

6.3. Dado FV, Achar PMT



Figura 6.3 Dado FV, achar PMT


FV =PMT[(1 i) – 1]

i

n+

Assim, o cálculo de PMT a partir de FV é obtido pela relação inversa, isto é:

PMT = FVi

(1 + i) – 1n (6.4)

O problema do tipo “dado FV, achar PMT” envolve a obtenção do valorPMT de cada prestação, a partir do valor futuro FV, e consiste na solução da Rela-ção Genérica (6.4).

A expressão pode ser calculada para os parâmetros i e n, com a utilização daHP-12C e do Excel, através do Simulador da HP-12, que apresenta o seguinte as-pecto quando aplicado na solução de problemas do tipo “dado FV, achar PMT”:



1. Calcule o valor de seis depósitos mensais, iguais e sucessivos, capazes de pro-duzir um montante de $5.000,00 no final do 6º mês, imediatamente após arealização do 6º depósito, sabendo-se que esses depósitos são remuneradoscom uma taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente.

Figura 6.4

Solução:

Cálculo da taxa efetiva implícita: i =1212

%= 1% ao mês

Outras variáveis:

n = 6 meses; FV = $5.000,00; PV = $0,00; PMT = ?


que fornece o resultado de PMT = $812,74.

6.4. Dado PMT, Achar PV



Figura 6.5 Dado PMT, achar PV


O problema do tipo “dado PMT, achar PV” consiste em determinar o valorpresente PV (principal), a partir do desconto das n prestações de uma série unifor-me, todas com o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por perío-do, no regime de juros compostos.

Este problema pode ser resolvido em duas etapas, conforme indicado no es-quema a seguir:

Figura 6.6

Inicialmente, vamos calcular o montante acumulado FV por essas n presta-ções PMT, no final de n períodos de capitalização da taxa de juros i, com o auxí-lio da Relação (6.3). Isto é:

FV =PMT[(1 i) – 1]

i

n+

Devemos agora transformar esse valor futuro FV no valor presente PV(principal), usando a Relação (4.1). Assim:

FV = PV (1 + i)n

Ao substituirmos o valor de FV na 1ª relação obtemos:

PV(1 + i)n = PMT(1 1) – 1

i

n+

e finalmente:

PV PMT(1 + i) – 1

i(1 i)

n

n=+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ (6.5)

O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solu-ção de problemas do tipo “dado PMT, achar PV”:



1. Calcule o valor do investimento necessário para garantir um recebimentoanual de $10.000,00 no final de cada um dos próximos oito anos, sabendo-seque esse investimento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, noregime de juros compostos.

Solução:

n = 8 anos; i = 10% ao ano; PMT = $10.000,00; FV = $0,00; PV = ?


que fornece o resultado de PV = $53.349,26, onde PV representa o valor do in-vestimento a ser feito.

6.5. Dado PV, Achar PMT



Figura 6.7 Dado PV, achar PMT


PV = PMT(1 i) – 1

i(1 i)

n

n

++

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Assim, o cálculo de PMT a partir de PV é obtido pela relação inversa, isto é:

PMT PVi (1 + i)(1 i) – 1

n

n=+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

(6.6)


O problema do tipo “dado PV, achar PMT” envolve a obtenção do valorPMT de cada prestação, a partir do valor presente PV, e consiste na solução daRelação Genérica (6.6).

O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solu-ção de problemas do tipo “dado PV, achar PMT”:


1. Calcule o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com ataxa efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, sabendo-se que ovalor do principal é $1.000,00 e que o prazo da operação é de quatro anos.

Solução:

n = 4 anos; i = 8% a.a.; PV = $1.000,00; FV = $0,00; PMT = ?


que fornece o resultado de PMT = $301,92.

2. Utilizando os dados do problema anterior, realizar as seguintes operações:

a) calcule as parcelas de amortizações e juros de cada uma das prestaçõesanuais;

b) calcule o saldo devedor (principal remanescente) do financiamento, ime-diatamente após o pagamento da 2ª prestação;

c) verifique que as amortizações crescem exponencialmente na mesma taxado financiamento.

Solução:

a) cálculo das amortizações e juros


As amortizações e os juros de cada prestação estão apresentados naTabela 6.1:

Tabela 6.1 Amortização e juros de cada prestação

Anos Saldo noinício do

ano

Jurosdo ano

Saldo nofinal do

ano apóspagamento

Pagamentos nofinal do ano

Saldo nofinal do

ano apóspagamentoTotal Juros Amorti-

zação

0 1.000,00

1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08

2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,41

3 538,41 43,07 581,48 301,92 43,07 258,85 279,56

4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00

Essa tabela, que será usada como referência ao longo de todo este exemplo,obedece ao regime de juros compostos e foi elaborada de acordo com os se-guintes critérios:

� os juros de cada ano correspondem a 8% do saldo do principal disponí-vel no início do respectivo ano;

� as amortizações do principal em cada ano são iguais ao valor da presta-ção anual (PMT), já calculado no exemplo 1, menos o valor dos jurosanuais correspondentes.

Observar que no final do 4º ano o saldo devedor do financiamento seanula mediante o pagamento da última prestação, o que confirma que ataxa de juros de 8% ao ano está correta, pois ao longo de todo o prazo docontrato houve a remuneração de 8% ao ano sobre o saldo do principalaplicado em cada ano;

b) saldo devedor (principal remanescente) após o pagamento da 2ª prestação

Uma forma de resolver este problema consiste em calcular a soma dasamortizações que faltam ser pagas, isto é:

Saldo no final do 2º ano = amortização do 3º ano + amortização do4º ano = $258,85 + $279,56 = $538,41

O mesmo resultado pode ser obtido descontando-se o valor das prestaçõesque faltam ser pagas, isto é, calculando-se o valor presente (no final do 2ºano) das últimas duas prestações. Isso pode ser alcançado pelas operaçõesindicadas a seguir:


c) amortizações crescem exponencialmente a 8% ao ano

Amortização do 1º ano = $221,92

Amortização do 2º ano = $221,92 � 1,08 = $239,67



Fica assim demonstrado que as amortizações do Modelo Price crescemexponencialmente (em progressão geométrica) com a mesma taxa dofinanciamento.

Dessa forma, podemos afirmar que qualquer amortização do ModeloPrice pode ser obtida a partir da 1ª amortização pela relação:

An = A1 (1 + i) n−1 (6.7)

Essa relação é equivalente à Expressão (4.1), que interliga PV e FV,exceto que o valor presente PV está colocado no ponto zero da escala detempo e tem, portanto, n capitalizações para atingir o valor futuro nofinal do período de ordem n.

A 1ª amortização (A1), que está colocada no final do 1º período, necessitade (n – 1) capitalizações para atingir a amortização de ordem n (An).

A Figura 6.8 apresenta, de forma esquemática, os valores das amortizaçõese juros anuais desse financiamento:

Figura 6.8 Modelo Price — amortizações exponenciais


6.6. Problemas Resolvidos

6.6.1. Problemas Envolvendo PV e PMT

1. O preço à vista de um equipamento é igual a $11.400,00. Uma loja o estáanunciando por $1.400,00 de entrada e mais quatro prestações trimestraisde $2.580,00. Calcule a taxa efetiva trimestral de juros cobrada na partefinanciada.

Solução:

Como a entrada de $1.400,00 é paga no ato da compra, podemos conside-rar um principal líquido conforme indicado a seguir:

PV= $11.400,00 – $1.400,00 = $10.000,00

n = 4 trimestres; FV = $0,00; PMT = $2.580,00; i = ? (% ao trimestre)


que fornece a taxa efetiva de juros de 1,27196% ao trimestre.

2. Uma dívida deve ser liquidada em três prestações trimestrais iguais de$1.000,00. Calcule o valor do principal dessa dívida sabendo-se que o custoefetivo desse financiamento é de 1% ao mês, no regime de juros compostos.

Solução:

O fluxo de caixa dessa dívida pode ser visualizado nas Figuras 6.9 e 6.10:

Figura 6.9


Figura 6.10

a) considerando o período em meses (Fig. 6.9):

Nesse caso, vamos usar a taxa de 1% ao mês e descontar individualmentecada parcela de $1.000,00. Em seguida, devemos somar os valores assimobtidos, conforme indicado a seguir.

Podemos realizar essas operações, como se segue:

que fornece o valor do principal como sendo igual a $2.826,98;

b) considerando o período em trimestres (Fig. 6.10)

A taxa trimestral equivalente à taxa de 1% ao mês pode ser obtida com asoperações indicadas a seguir:

que fornece a taxa de 3,03010% ao trimestre. Podemos também encontrara taxa trimestral correspondente através da relação: (1 + it)

4 = (1 + im)12.

Os dados do problema passaram, então, a ser os seguintes:

n = 3 trimestres; i = 3,03010% a.t.; PMT = $1.000,00; FV = $0,00;PV = ?

Esses dados têm a seguinte apresentação no Sinuladora da HP-12C:


que fornece resultado idêntico ao alcançado anteriormente.

3. Uma empresa anuncia que seus financiamentos são concedidos com umataxa de juros de “1,5% ao mês”. Para simplicidade operacional, as prestaçõessão calculadas pela sistemática indicada a seguir:

a) cálculo dos juros do financiamento:

� Juros = Taxa de juros (% ao mês) � Prazo � Valor financiado

b) cálculo do valor da prestação:

� Prestação =Valor financiado Juros

Prazo+

Considerando os meses com 30 dias, calcule as taxas efetivas de juros men-sais desses financiamentos, para o prazo de quatro meses, nas seguintes hipó-teses:

a) pagamento da 1ª prestação ocorrendo um mês após a liberação dos recur-sos (série postecipada);

b) pagamento da 1ª prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos (sé-rie antecipada).

Solução:

Vamos inicialmente calcular o valor da prestação mensal para o financia-mento de $1.000,00 no prazo de quatro meses:

Juros = 0,015 a.m. � 4 meses � $1.000,00 = $60,00

Prestação =($ . , $ , )1000 00 60 00

4+

= $265,00

a) série postecipada

n = 4 meses; PV = $1.000,00; PMT = $265,00; FV = $0,00; i = ? (% ao mês)

Esses dados têm a seguinte apresentação no Simulador da HP-12C:

que fornece a taxa efetiva de 2,3722% ao mês para a série postecipada.


b) série antecipada

Como a 1ª prestação de $265,00 é paga no ato da liberação dos$1.000,00, podemos considerar um principal líquido conforme indicado aseguir:

PV = $1.000,00 – $265,00 = $735,00

Esse principal líquido de $735,00 deve ser liquidado com três presta-ções postecipadas de $265,00. Assim, os dados do problema passam aser:

n = 3 meses; PV = $735,00; PMT = $265,00; FV = $0,00; i = ? (% ao mês)


que fornece a taxa efetiva de 4,0286% ao mês para a série antecipada.

4. Uma loja de eletrodomésticos oferece seu Plano de Natal, no qual as vendasde dezembro podem ser financiadas com o 1º pagamento só ocorrendo emabril. A taxa de juros efetiva cobrada nesse financiamento é de 1,5% ao mês,no regime de juros compostos, e os cálculos são feitos considerando-se que osmeses têm 30 dias.

Um cliente realizou, em 15 de dezembro, compras no valor de $1.000,00 edeseja pagá-las em quatro prestações mensais, iguais e sucessivas. Calcule ovalor dessas prestações mensais, nas seguintes hipóteses:

a) pagamento da 1ª prestação ocorrendo em janeiro;

b) pagamento da 1ª prestação só em abril, aproveitando a oferta do Plano deNatal.

Solução:

a) primeira prestação em janeiro

Nesse caso os dados do problema são os seguintes:

n = 4 meses; i = 1,5% ao mês; PV = $1.000,00; FV = $0,00; PMT = ?



que fornece a prestação mensal de $259,44 para ser paga a partir de janeiro;

b) primeira prestação em abril

Inicialmente, devemos capitalizar o principal de $1.000,00 durante trêsmeses para obter o saldo do financiamento no mês de março. Isso é alcan-çado com os seguintes dados:

Agora devemos calcular as quatro prestações mensais para esse novo valorde principal, conforme indicado a seguir:

que fornece a prestação mensal de $271,30 para ser paga a partir de abril.

6.6.2. Problemas Envolvendo FV e PMT

1. Uma instituição financeira remunera seus depósitos na base de 1,5% ao mês,no regime de juros compostos, e realiza seus cálculos considerando os mesescom 30 dias. Um investidor efetua nessa instituição seis depósitos mensais eiguais a $800,00, ocorrendo o 1º depósito no final do mês de janeiro e o últi-mo no final do mês de junho. Calcule os valores dos saldos acumulados nasseguintes datas do mesmo ano:

a) final de junho, após o depósito do mês;

b) final de setembro.

Solução:

A Figura 6.11 ilustra o problema:


Figura 6.11

a) saldo no final de junho

De acordo com a Figura 6.11, os dados do problema são os seguintes:

n = 6 meses; i = 1,5% ao mês; PMT = $800,00; PV = $0,00; FV1 = ?


que fornece o resultado de FV = $4.983,64;

b) saldo no final de setembro

Agora precisamos capitalizar o saldo de junho por mais três meses, paraobter o saldo no final de setembro, conforme mostrado no Simulador daHP-12C a seguir:

que fornece o resultado de FV = $5.211,28 para o saldo no final de se-tembro.

2. Um banco comercial remunera seus depósitos na base de 1% ao mês, no regi-me de juros compostos, considerando os meses com 30 dias nos cálculos desuas operações. Um investidor efetua, nesse banco, seis depósitos mensais eiguais, ocorrendo o 1º depósito no final do mês de janeiro e o último no finaldo mês de junho.

Calcule o valor do depósito mensal necessário para produzir saldo de$5.000,00 no final de dezembro.


Solução:

a) saldo no final de junho

Devemos inicialmente achar o valor presente do saldo de $5.000,00, no fi-nal de junho, pois este é o mês onde ocorreu o último depósito. Assim temos:

n = 6 meses; i = 1% ao mês; FV = $5.000,00; PMT = $0,00; PV = ?

Podemos realizar essa operação com o Simulador da HP-12C, confor-me indicado:

que fornece $4.710,23 para o valor do saldo no final de junho, que seráusado no cálculo do valor do depósito mensal.

b) valor do depósito mensal

Agora os dados do problema passam a ser os indicados a seguir:

n = 6 meses; i = 1% ao mês; FV = $4.710,23; PV = $0,00; PMT = ?

Com esses dados, o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:

que fornece $765,64 para o valor do depósito mensal.

3. Um investidor efetuou quatro depósitos consecutivos de $5.000,00 numacaderneta de poupança, no final de cada trimestre. Calcule a rentabilidadeefetiva trimestral dessa caderneta de poupança, sabendo-se que o saldo acu-mulado por esse investidor, imediatamente após a efetivação do último depó-sito trimestral, é de $21.000,00.

Solução:

n = 4 trimestres; FV = $21.000,00; PMT = $5.000,00; PV = $0,00; i = ? (% aotrimestre)


Para os dados do problema, o Simulador da HP-12C tem a seguinte apre-sentação:

que fornece a taxa efetiva de juros de 3,26182% ao trimestre.

6.6.3. Problemas Envolvendo PV, PMT e FV

Nesta seção, vamos resolver alguns problemas envolvendo os cinco elementosdo Diagrama Padrão, isto é, problemas que incluem os parâmetros básicos i e n eainda os três parâmetros monetários PV, PMT e FV.

1. Um título de renda mensal foi emitido com os seguintes parâmetros:

prazo : 12 meses

valor de emissão : $10.000,00

valor de resgate : $10.000,00

juros mensais : 1% ao mês

valor do cupom mensal : $100,00

Observe que esse é um título em que os valores de resgate e de emissão sãoiguais e os rendimentos são pagos periodicamente.

Calcule:

a) o fluxo de caixa do investidor que adquirir esse título e o conservar atéseu vencimento;

b) o valor presente dos 12 cupons de $100,00;

c) o valor presente dos $10.000,00 que serão recebidos pelo investidor no fi-nal do 12º mês;

d) a soma dos valores presentes dos itens b e c.

e) a rentabilidade do investidor que adquirir esse título com 5% de deságiosobre o valor da emissão

Solução:

a) o fluxo de caixa do investidor está indicado a seguir:


Figura 6.12

b) valor presente dos 12 cupons de $100,00:

que fornece PVcupons = $1.125,51;

c) valor presente do resgate de $10.000,00 no 12º mês:

que fornece PV = $8.874,49;

d) soma dos valores presentes dos itens a e b:

PVtítulo = $1.125,51 + $8.874,49 = $10.000,00

Observe que o valor de emissão ($10.000,000) é igual ao valor presen-te dos rendimentos mais (+) o valor presente de resgate do título.

Podemos obter o valor presente do título com uma única operação naHP-12C/Excel, pois os cinco parâmetros estão sempre em operação. Issopode ser alcançado com os dados indicados a seguir:


que fornece $10.000,00 para o valor presente do título.

e) rentabilidade com aquisição com deságio

Com deságio de $500,00 (5% sobre $10.000,00) os dados do problemapassam a ser:

n = 12 meses; PV (valor de venda) = $9.500,00; FV (valor de resgate) =$10.000,00; PMT (valor do cupom mensal) = $100,00; juros mensais = ?

que fornece a taxa efetiva de juros (rentabilidade) de 1,4572% ao mês.

2. Calcule o valor da taxa mensal de arrendamento para uma operação de lea-sing, com os seguintes parâmetros:

a) valor da operação = $100.000,00;

b) prazo = 12 meses;

c) taxa efetiva de juros = 1,4% ao mês;

d) valor residual garantido (VRG) = 20%;

e) prestações são mensais e pagas no final de cada mês.

Solução:


PV = $100.000,00

VRG = FV = 20% de $100.000,00 = $20.000,00

n = 12 meses

i = 1,4% ao mês

Taxa mensal de arrendamento = PMT = ?

O fluxo de caixa dessa operação de leasing está indicado a seguir:

Figura 6.13


Podemos obter a taxa de arrendamento mensal (PMT) com uma únicaoperação na HP-12C ou na Planilha Eletrônica Excel, fazendo os cinco ele-mentos do problema entrarem em operação:

que fornece $7.568,79 para o valor da taxa de arrendamento mensal.

Vamos agora realizar uma verificação do resultado obtido, somando o va-lor presente das parcelas de prestação mensal e do valor residual:

que fornece $100.000,01 para o valor da operação. A pequena diferença de $0,01para o valor original da operação deve-se ao arredondamento das parcelas.

6.6.4. Prestações Perpétuas

Nesta seção, vamos desenvolver a fórmula para o cálculo das prestações PMTquando o número de períodos n tende para o infinito, isto é, para o cálculo deprestações perpétuas, ou perpetuidades.

Vamos nos basear no Problema 1 da Seção 6.6.3, que apresenta o seguintefluxo de caixa:

Figura 6.14


É importante lembrar que esse título obedece ao conceito fundamental doregime de juros compostos. Senão vejamos:

a) no 1º mês, o principal (PV) de $10.000,00 rende juros de $100,00 obti-dos pela aplicação da taxa de 1% sobre os $10.000,00 (saldo do princi-pal no início do mês), elevando o saldo aplicado para $10.100,00 nofinal do 1º mês;

b) no final do 1º mês, o investidor recebe os $100,00 de juros do 1º mês, e osaldo aplicado para o 2º mês volta a ser $10.000,00;

c) no 2º mês, o processo se repete, e o saldo aplicado para o 3º mês conti-nua a ser $10.000,00;

d) essa sistemática é mantida em todos os meses até o mês de vencimentodo papel, em que o investidor recebe os $10.000,00 originariamenteaplicados.

Quanto maior o número de meses (n), menor a importância do valor de res-gate do principal aplicado colocado no último mês do fluxo de caixa, e portantomenor seu valor presente. Se o valor de n tender para o infinito, então o valorpresente dessa parcela futura de $10.000,00 tenderá a zero.

Assim, quando n tende para o infinito, o principal PV passa a ser equivalentea uma série perpétua de prestações PMT = PV � i, e são válidas as relações:

� valor presente de prestações perpétuas com valor PMT

PV PMT1i

= ⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ (6.8)

� valor das prestações perpétuas PMT para um principal PV

PMT = PV � i (6.9)

6.6.4.1 Problemas Resolvidos

1. Calcule o valor do investimento (PV) necessário para garantir um recebimen-to anual de $1.000,00, de forma perpétua, sabendo-se que esse investimento éremunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, no regime de juros com-postos.

Solução:

A partir da Relação (6.8) podemos escrever:

PV =$ . ,

%$ . ,

,$ . ,

1000 0010

1000 000 1

10000 00= =


2. Calcule o valor da prestação mensal perpétua (PMT) que remunera um inves-timento de $100.000,00 com a taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros com-postos.

Solução:

A partir da Relação (6.9) podemos escrever:

PMT = $100.000,00 � 1,2% = $100.000,00 � 0,012 = $1.200,00

3. As ações preferenciais de uma determinada empresa pagam um dividendoanual de $5,00/ação. Calcule o valor da ação preferencial dessa empresa sa-bendo-se que a taxa de desconto utilizada no mercado é de 8% ao ano.

Solução:

Assumindo que essas ações preferenciais pagam regularmente esses divi-dendos anuais, e como as ações preferenciais não têm data de resgate, podemosconsiderar os dividendos pagos por essa ação como sendo uma perpetuidade.Dessa forma, o valor dessa ação preferencial é obtido pela Relação (6.8), isto é:

PV =$ ,

%$ ,

,$ ,

5008

5000 08

62 50= =

6.7. ResumoNeste capítulo, desenvolvemos as fórmulas que permitem transformar presta-ções uniformes de valor igual a PMT em seu valor presente PV e em seu valor fu-turo FV correspondente.

Desenvolvemos também as fórmulas que realizam as operações inversas,permitindo transformar o valor presente PV e o valor futuro FV em suas respecti-vas prestações de valor igual a PMT.

Todas as simplificações proporcionadas pela série uniforme PMT são basea-das na fórmula da soma de termos de uma progressão geométrica, e só são alcan-çadas porque as prestações uniformes são consideradas equidistantes no tempo.Assim, se as prestações são mensais, as fórmulas que envolvem o cálculo comPMT consideram que todos os meses têm 30 dias.

Essa situação não ocorre, normalmente, nas operações de crediário, em queas prestações costumam ter vencimento numa mesma data de calendário. Entre-tanto, é praxe do mercado realizar os cálculos considerando os meses com 30dias, e cobrar as prestações em datas fixas de calendário.

Nas soluções dos problemas, os fluxos de caixa foram enquadrados no Dia-grama Padrão para permitir o uso da solução com a HP-12C/Excel.



1. Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamen-to, cujo valor à vista é de $10.000,00. Para diminuir o valor das prestações, elepretende dar uma entrada de $3.000,00 por ocasião da compra. Calcule o va-lor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte financiada, sa-bendo-se que o financiamento é realizado a juros compostos de 15% ao ano,capitalizados mensalmente, e que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a libe-ração dos recursos.

2. Um equipamento cujo valor à vista é de $25.000,00 está sendo financiado a ju-ros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano.Calcule o valor que deve ser dado de sinal, a título de entrada, para que o valordas 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, seja limitado a $1.700,00. Assumirque a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.

3. Um cliente de uma agência de automóveis adquiriu um veículo financiadoem 24 prestações de $1.500,00 com uma taxa de juros de 1% ao mês, no regi-me de juros compostos. No final de um ano, esse cliente procurou a mesmaagência para vender esse automóvel, e a agência lhe ofereceu $18.000,00,para pagamento à vista. Calcule a parcela que deve ser paga ao cliente paraque a agência adquira esse veículo assumindo o restante do financiamento,com a mesma taxa de 1% ao mês.

4. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidadocom 10 prestações mensais, sucessivas e iguais a $1.075,00. Calcule a taxa in-terna de retorno desse financiamento, no regime de juros compostos, supon-do que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.

5. Um financiamento de $10.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamentode 12 prestações mensais de $900,00. Calcule a taxa efetiva mensal desse fi-nanciamento, no regime de juros compostos, nas seguintes hipóteses:

a) a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação do principal;

b) a 1ª prestação ocorre na mesma data da liberação do principal.

6. Uma loja de eletrodomésticos realiza financiamentos de $1.000,00, para se-rem pagos em prestações mensais iguais, calculadas a “1% ao mês”, pelo se-guinte plano:

� Juros = 1% � Prazo (meses) � $1.000,00;

� Prestação =($1.000,00 Juros)

Prazo (Meses)+

Calcule as taxas efetivas mensais desses financiamentos, a juros compostos,para o prazo de seis meses, nas seguintes hipóteses:


a) pagamento da 1ª prestação 30 dias após a liberação dos recursos;

b) pagamento da 1ª prestação no ato da liberação dos recursos, a título deentrada.

7. Um empréstimo de $100.000,00 é realizado com uma taxa de 10% ao ano,no regime de juros compostos, e deve ser amortizado no prazo de 10 anos,com os dois primeiros anos de carência. Calcule o valor das oito prestaçõesanuais, iguais e sucessivas, que deverão ser pagas a partir do final do 3º ano,nas seguintes hipóteses:

a) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência são pagos no finalde cada ano;

b) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência não são pagos e simcapitalizados.

8. Uma empresa tomou um empréstimo de $100.000,00 que deve ser liquida-do em 25 prestações trimestrais iguais e sucessivas, com juros compostos de3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente. Logo após o pagamento da8ª prestação, essa empresa manifestou sua intenção de aumentar o prazodesse empréstimo, de forma a liquidá-lo em 30 prestações trimestrais adicio-nais, iguais e sucessivas. Calcule o valor dessa nova prestação trimestral, paraque a taxa de 3% ao trimestre seja mantida.

9. Um investidor resolveu efetuar seis depósitos trimestrais sucessivos de$5.000,00 numa caderneta de poupança que oferece uma remuneraçãode 12% ao ano capitalizados trimestralmente. O primeiro depósito é efetua-do no ato da decisão do investidor, e os cinco depósitos restantes no final decada um dos próximos trimestres. Calcule os saldos acumulados por esse in-vestidor nessa caderneta de poupança, nas seguintes ocasiões:

a) imediatamente após seu último depósito;

b) no final do 2º trimestre após a efetivação do último depósito.

10. Um financiamento, cujo valor do principal é de $100.000,00, deve ser liqui-dado mediante o pagamento de 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, apartir de 30 dias da liberação dos recursos. Sabendo-se que a taxa efetiva des-se financiamento, a juros compostos, é de 1% ao mês, calcule:

a) o valor das prestações mensais;

b) o valor dos juros e da amortização, contidos na 1ª prestação;

c) o valor da amortização do principal contida na 20ª prestação;

d) o valor do saldo devedor (principal remanescente) imediatamente após opagamento da 12ª prestação.

11. Um banco de investimentos realiza suas operações de financiamento comuma taxa efetiva de juros de 15% ao ano, no regime de juros compostos.Entretanto, essa taxa é cobrada em duas parcelas:


a) uma parcela de 10% ao ano cobrada de forma postecipada, ao longo docontrato;

b) uma parcela antecipada cobrada no ato da liberação dos recursos.Calcule o percentual que deve ser cobrado antecipadamente, no ato daliberação dos recursos, para que a taxa de 15% ao ano seja mantida nosseguintes esquemas de amortização do financiamento:

� liquidação do financiamento em uma única parcela, no final do 12ºmês da liberação dos recursos;

� liquidação do financiamento em quatro parcelas trimestrais de mes-mo valor, ocorrendo a 1ª parcela 90 dias após a liberação dos recursos.

12. Uma loja de eletrodomésticos financia suas vendas em quatro vezes “sem ju-ros”, mediante pagamentos mensais, iguais e sucessivos, a partir do 30º diada data da venda.Calcule o percentual de acréscimo que essa loja deve aplicar em seus preços àvista para que possa obter uma remuneração efetiva de 1,4% ao mês em seusfinanciamentos.

13. Uma instituição financeira que opera no regime de juros compostos, comuma taxa efetiva de 1% ao mês, oferece a seus clientes os seguintes planos definanciamento:

a) plano mensal: 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, ocorrendo o pa-gamento da 1ª prestação 30 dias após a data da operação;

b) plano trimestral: quatro prestações trimestrais, iguais e sucessivas, ocor-rendo o pagamento da 1ª prestação 90 dias após a data da operação.

Um cliente dessa instituição financeira deseja tomar um financiamentode $100.000,00, para ser pago parte pelo plano mensal e parte pelo plano tri-mestral.

Calcule as parcelas que devem ser financiadas em cada plano para que aprestação do plano trimestral seja o dobro do valor da prestação do planomensal.

14. Uma debênture foi emitida com um valor de $10.000,00 e com um valor deresgate de $10.000,00 no final de cinco anos. Os juros desse título são pagosanualmente com uma taxa efetiva de 8% ao ano, e, portanto, os cupons anuaisde juros têm o valor de $800,00. Calcule a rentabilidade de um investidorque adquirir esse título na data de sua emissão com um deságio de 5% e queo conservar até seu vencimento.

15. Um autor de livro didático tem um contrato de edição, em caráter perpétuo,com uma editora que paga direitos autorais anualmente, na base de 10% dopreço de capa de cada livro vendido. O volume de vendas dessa obra é de3.000 exemplares por ano e seu preço de capa é de $50,00. Calcule o valor pre-sente desse contrato, considerando uma taxa de desconto de 10% ao ano.


7.1. IntroduçãoO objetivo primeiro deste capítulo é expandir e consolidar o conceito de valorpresente de fluxos de caixa no regime de juros compostos, introduzido em capí-tulos anteriores.

O segundo e principal objetivo é apresentar, por exemplos numéricos sele-cionados, os conceitos de valor presente líquido e de taxa interna de retorno deum fluxo de caixa, indispensáveis para o entendimento da Matemática Financeirae para o processo de análise e tomada de decisão de investimentos em geral.

7.2. Valor Presente e Taxa de Desconto

7.2.1. Conceitos

Valor presente, taxa de desconto e equivalência de fluxos de caixa são conceitos abso-lutamente interligados.

Denomina-se valor presente de um fluxo de caixa o valor monetário (PV) doponto zero da escala de tempo, que é equivalente à soma de suas parcelas futu-ras, descontadas para o ponto zero, com uma determinada taxa de juros.

A taxa de juros utilizada para descontar as parcelas futuras do fluxo de caixaé denominada taxa de desconto.


1. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado no diagrama a seguir, comuma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos.

Valor Presente Líquido eTaxa Interna de Retorno

Figura 7.1

1ª Solução: decompondo o fluxo de caixa

O fluxo de caixa pode ser desdobrado nos fluxos de caixa indicados a seguir:

Figura 7.2 Fluxo (1)


Podemos, então, determinar os valores presentes desses dois fluxos de cai-xa, conforme indicado a seguir:

a) valor presente do fluxo (1) = PV1:

b) valor presente do fluxo (2) = PV2:


O valor presente procurado é igual à soma dos valores presentes dessesdois fluxos, isto é:

PV = PV1 +PV2 = $2.577,10 +$2.205,09 = $4.782,19

2ª Solução: descontando individualmente cada parcela do fluxo de caixa

O desconto individual de cada parcela do fluxo de caixa pode ser reali-zado com as operações indicadas a seguir:

que fornece o valor presente de $4.782,19, igual, é claro, ao obtido ante-riormente.

Esse valor de $4.782,19 é equivalente às parcelas futuras do fluxo de cai-xa que foi fornecido, descontadas a uma taxa anual de 8%.

Da ótica do financiador, podemos afirmar que o investidor que aceitaruma remuneração de 8% ao ano sobre seu capital concorda em fazer uminvestimento de $4.782,19 para receber três parcelas de $1.000,00 no finaldos próximos três anos e mais uma parcela de $3.000,00 no final do 4º ano.

Da ótica do financiado, podemos afirmar que o tomador de um emprés-timo de $4.782,19 para ser pago em três parcelas anuais de $1.000,00 emais uma parcela de $3.000,00 no final do 4º ano concorda em remuneraro capital do financiador com a taxa de juros de 8% ao ano, que é o custoefetivo do financiamento.

2. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado no diagrama a seguir, comuma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros compostos.

Capítulo 7 Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno 101

Figura 7.4

1ª Solução: decompondo o fluxo de caixa

O fluxo de caixa pode ser desdobrado nos fluxos de caixa indicados a seguir:



Podemos então determinar os valores presentes desses dois fluxos de cai-xa, conforme indicado a seguir:

a) valor presente do fluxo (1) = PV1:


b) valor presente do fluxo (2) = PV2:

O valor presente procurado é igual à soma dos valores presentes des-ses dois fluxos de caixa, isto é:

PV = PV1 +PV2 = $579,55 +$294,10 = $873,65

2ª Solução: descontando individualmente cada parcela do fluxo de caixa

O desconto individual de cada parcela do fluxo de caixa pode ser reali-zado com as operações indicadas a seguir:

que fornece o valor presente de $873,65, idêntico ao obtido anteriormente.

Esse valor de $873,65 é equivalente às parcelas futuras do fluxo decaixa fornecido, com a taxa de desconto de 1% ao mês utilizada paraefetuar o desconto de todas as suas parcelas.

3. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado na Tabela 7.1 com umataxa de juros de 10% ao ano, no regime de juros compostos.

Tabela 7.1

Ano 0 1 2 3 4 5 Soma

Valor ($) – 2.350,00 1.390,00 3.350,00 4.275,00 5.350,00 16.715,00


Solução:

O fluxo de caixa é totalmente heterogêneo, não permitindo qualquer sim-plificação algébrica. Assim, a única maneira de obter seu valor presente é me-diante o desconto individual de cada uma de suas parcelas, o que pode seralcançado com as operações a seguir indicadas.

O valor presente do fluxo de caixa é, portanto, igual a $12.043,83, que é equi-valente às parcelas futuras do fluxo de caixa, com a taxa de desconto de 10% ao ano.

7.2.3. Comentários

Os exemplos numéricos do item anterior serviram para mostrar diversas ma-neiras de determinar o valor presente de cada um dos respectivos fluxos de caixa.

As simplificações podem ser alcançadas quando os fluxos de caixa apresen-tam uma certa uniformidade que permite seus desdobramentos em outros flu-xos, possibilitando assim a utilização de operações envolvendo o parâmetroPMT para realizar o desconto das parcelas futuras.

O último exemplo apresentou um fluxo de caixa totalmente heterogêneoque não permite nenhuma simplificação algébrica, e a única forma de obter oseu valor presente é pelo desconto individual de suas parcelas futuras.

O valor presente de qualquer fluxo de caixa pode ser sempre obtido pelodesconto individual de suas parcelas futuras, que devem ser, posteriormente, so-madas algebricamente.

7.3. Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno

7.3.1. Conceitos – VPL e TIR

Nesta seção, vamos desenvolver os conceitos de valor presente líquido e de ta-xa interna de retorno de um fluxo de caixa.


O valor presente líquido (VPL) ou “Net Present Value” (NPV) está direta-mente ligado ao valor presente do fluxo de caixa, explicado na Seção 7.2.

O valor presente líquido de um fluxo de caixa é igual ao valor presente desuas parcelas futuras (que são descontadas com uma determinada taxa de des-conto), somado algebricamente com a grandeza colocada no ponto zero.

Na maioria das vezes, a grandeza colocada no ponto zero corresponde aoinvestimento inicial do projeto e tem valor negativo, uma vez que representauma saída de caixa. Ao longo dos próximos capítulos, consideraremos, para efei-to de simplificação didática, que o investimento ocorrerá todo no ponto zero dofluxo, representando a única saída de caixa do fluxo. Na realidade, porém, o in-vestimento pode acontecer durante todo o prazo de execução do projeto, repre-sentando várias saídas de caixa a partir do ponto zero.

A taxa interna de retorno (TIR) ou “Internal Rate of Return” (IRR) de um fluxode caixa é a taxa de desconto que faz seu valor presente líquido ser igual a zero.

O valor presente líquido é igual a zero quando as grandezas futuras do fluxode caixa, ao serem descontadas com uma determinada taxa, produzem um valorpresente que é igual ao investimento inicial (desembolso) colocado no pontozero da escala de tempo.

Os exemplos desenvolvidos a seguir servem para consolidar esses conceitos.


1. Calcule o valor presente líquido do fluxo de caixa indicado a seguir, com umataxa de desconto de 8% a.a.

Figura 7.7

Solução:

Inicialmente, vamos desdobrar o fluxo de caixa do investimento nos doisfluxos indicados a seguir:




O fluxo (1) corresponde a um investimento inicial de $100,00, tem sinal ne-gativo porque corresponde a uma saída de caixa, e não deve ser descontadocom a taxa de desconto, pois já é uma grandeza que está colocada no pontozero da escala de tempo.

O fluxo (2) corresponde à parcela futura de $121,00, que representa umaentrada de caixa no final do 2º ano e, portanto, tem sinal positivo. Essa parce-la futura é que precisa ser descontada com a taxa de desconto de 8% a.a., parase obter seu valor presente.

Essa operação de desconto está a seguir indicada:

O valor presente líquido do fluxo de caixa, com a taxa de 8% a.a., é igual àsoma algébrica desse valor presente de (+)103,74 com a parcela de (–)$100,00colocada no ponto zero (investimento inicial). Assim temos:

VPL (8%) = (–) $100,00 + (+) $103,74 = $3,74

Como o valor presente líquido é positivo, para a taxa de 8% a.a., podemosafirmar que o investimento inicial de $100,00 tem uma taxa interna de retor-no superior a 8% a.a.

Vamos, agora, comentar o que significa o VPL de um investimento ser po-sitivo, para uma determinada taxa de desconto. No exemplo em análise,vamos explicar o significado do VPL (8%) = (+) $3,74 para o investimentode $100,00. Para isso, realizaremos as seguintes operações:

a) capitalização de $100,00 a 8% ao ano, por 2 anos:


b) subtrair dos $121,00 a receber no 2º ano, o valor de $116,64, encontran-do um saldo positivo de $4,36 no 2º ano, cujo valor presente, a 8% aoano, pode ser obtido como se segue:

O investimento original de $100,00 garante um recebimento de $121,00no final do 2º ano, que pode ser desdobrado nas parcelas de (a) $116,64 e de(b) $4,36 . A parcela de $116,64 descontada a 8% ao ano produz um valor pre-sente de $100,00, e a parcela de $4,36 descontada a 8% ao ano produz um va-lor presente de $3,74.

O VPL positivo de $3,74 para a taxa de desconto de 8% ao ano significaque o investimento de $100,00, para receber $121,00 no final do 2º ano, estásendo remunerado a 8% ao ano e, além dessa remuneração, está gerando umaumento de riqueza de $3,74, expresso em moeda do ponto zero. Assim, esseinvestimento, para uma taxa de 8% ao ano, está agregando para esse investi-dor um valor econômico de $3,74, expresso em termos de valor presente.

2. Consideremos o mesmo fluxo de caixa do problema anterior e vamos realizaras seguintes operações:

a) calcule o valor presente líquido para a taxa de desconto de 12% a.a.;

b) calcule a taxa interna de retorno do investimento em termos anuais;

c) elabore um gráfico do valor presente líquido em função da taxa de des-conto.

Solução:

a) valor presente líquido para 12% a.a.

Devemos, inicialmente, descontar a parcela futura de $121,00, confor-me se segue:

Então, o valor presente líquido para a taxa de 12% a.a. é obtido pela relação:

VPL (12%) = (–) $100,00 + (+) $96,46 = (–) $3,54


Como o valor presente líquido é negativo para a taxa de 12% a.a, podemosafirmar que o investimento inicial de $100,00 tem uma taxa interna de re-torno inferior a 12% a.a;

b) taxa interna de retorno

Os valores presentes líquidos para as taxas de 8% a.a. e 12% a.a. obti-dos anteriormente estão indicados a seguir:

VPL (8%) = ( + ) $3,74VPL (12%) = ( – ) $3,54

Como a taxa interna de retorno é a taxa de desconto que anula o valorpresente líquido (VPL = 0), podemos concluir, com os resultados anterio-res, que ela está compreendida entre 8% a.a. e 12% a.a.

Vamos, então, calcular o valor presente líquido para uma taxa de des-conto compreendida entre esses dois valores, por exemplo, 10% ao ano.Essa operação de desconto está indicada a seguir:

Então, o valor presente líquido para a taxa de 10% a.a. é obtido pela re-lação:

VPL (10%) = (–) $100,00 + (+) $100,00 = $0,00

o que garante que a taxa interna de retorno seja igual a 10% ao ano.

Como o fluxo de caixa envolve apenas PV e FV, a taxa interna de retor-no pode ser obtida diretamente pela seguinte operação indicada:

Vamos a seguir analisar o conceito de taxa interna de retorno de umaforma genérica, usando a equação algébrica do valor presente líquido, quetem a seguinte apresentação para o fluxo de caixa do problema:

VPL (i%) = (–)100,00 + 121,001

(1 + i)2× (7.1)


Vamos fazer a seguinte mudança de variável:

x =1

1 + i(7.2)

Assim a Equação (7.1) passa a ter a seguinte apresentação:

VPL (i%) = (–)100,00 +121,00 x2 (7.3)

Como a taxa interna de retorno (TIR) é aquela que anula o valor pre-sente líquido (VPL), podemos escrever:

VPL (TIR %) = (–)100,00 +121,00 x2 = 0 (7.4)

A Relação (7.4) corresponde a uma equação do 2º grau com duas raízes,que podem ser calculadas pela fórmula do trinômio do 2º grau, com os se-guintes coeficientes:

a = (+) 121,00; b = 0,00; c = (–)100,00

Os valores de x encontrados após a solução da equação são:

x1=( ) ,

,+ 110 0012100

x2 =(–) ,

,110 00

12100

O valor da taxa i é obtido a partir da Relação (7.2), que fornece:

i =1

x1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ – 1

e, portanto, temos os seguintes valores para as duas raízes:

i1 =1

x1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ – 1 = (+)

12100110 00

,,

– 1 = 1,1 – 1 = (+)0,10 = (+)10%

i2 =1

x2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ – 1 = (+)

12100110 00

,,

– 1 = 1,1 – 1 = (–)2,10 = (–)210%

Em relação às duas raízes cabe comentar:

1. a primeira raiz, no valor de 10% ao ano, é positiva e coincide com a apresenta-da anteriormente, com o Simulador da HP-12C;

2. a segunda raiz, no valor de (–) 210%, é negativa e não tem qualquer sentidoeconômico.


c) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto

Esse gráfico é desenvolvido para valores de taxas de desconto maiores ouiguais a zero, pois os valores negativos das taxas de desconto não têm senti-do econômico.

Se a taxa de desconto for nula, o valor presente líquido será igual à somaalgébrica dos valores do fluxo de caixa, pois nenhuma parcela futura sofrequalquer desconto de valor ao ser trazida para o ponto zero. Assim temos:

VPL (0%) = (–) 100,00 +121,00 = $21,00

Se a taxa de desconto tende para o infinito todas as parcelas futuras seanulam quando descontadas para o valor presente. Nesse caso, o valorpresente líquido é igual ao valor da parcela colocada no ponto zero(investimento inicial), que não sofre qualquer desconto. Assim temos:

VPL ( %) = (–) 100,00

A Tabela 7.2 resume os resultados obtidos:

Tabela 7.2

Taxa desconto (a.a) 0% 8% 10% 12% %

(+)21,00 (+)3,74 0,00 (–)3,54 (–)100,00

O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto estáindicado a seguir:

Figura 7.10 Valor Presente Líquido (VPL)

3. O estudo de viabilidade econômica de um projeto resulta no fluxo de caixaindicado na Tabela 7.3:


Tabela 7.3

0 1 2 3 4 5 Soma

–11.500 2.350,00 1.390,00 3.350,00 4.275,00 5.350,00 5.215

Calcule:

a) o gráfico do valor presente líquido desse investimento, em função da taxade desconto;

b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva anual derentabilidade desse investimento.

Solução:

a) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto

O fluxo de caixa é totalmente heterogêneo, não permitindo qualquersimplificação algébrica. Assim, a única maneira de obter seu valor presen-te é mediante o desconto individual de cada uma de suas parcelas.

O fluxo de caixa do 1º ao 5º ano é idêntico ao do Exemplo 3 da Seção7.2.2, e seu valor presente foi calculado para a taxa de desconto de 10% aoano, produzindo o resultado de (+) $12.043,83. Assim, o valor presente lí-quido para essa taxa de 10% a.a. é igual a:

VPL (10%) = (–) $11.500,00 + (+) $12.043,83 = (+) $543,83

O VPL positivo de $543,83 para a taxa de desconto de 10% a.a. significaque o fluxo de caixa desse projeto está remunerando o investimento de$11.500,00 com a taxa de 10% a.a., e ainda está gerando um aumento deriqueza de $543,83, expresso em moeda do ponto zero.

Sendo positivo o valor presente líquido, para a taxa de 10% a.a., pode-mos garantir que o investimento inicial de $11.500,00 tem uma taxa inter-na de retorno superior a 10% a.a.

Vamos agora calcular o valor presente das parcelas futuras, com a taxade desconto de 12% a.a., pelo desconto individual dessas parcelas, confor-me indicado a seguir:


Assim, o valor presente líquido para essa taxa de 12% a.a. é igual a:

VPL (12%) = (–)$11.500,00 + (+)$11.343,35 = (–) $156,65

A Tabela 7.4 resume os resultados já obtidos para o valor presente líqui-do do fluxo de caixa do investimento, e os valores extremos para as taxasde descontos de 0% e %.

Tabela 7.4

Taxa de desconto (a.a) 0% 10% 12% ∞%

(+)5.215,00 (+)543,83 (-)156,65 (-)11.500,00

O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto estáindicado a seguir:

Figura 7.11 Valor presente líquido (VPL) — investimento


b) taxa interna de retorno

Pelos resultados obtidos até o momento, podemos garantir que a taxainterna de retorno está compreendida entre 10% a.a. e 12% a.a., pois o valorpresente líquido é positivo para a taxa de 10% a.a. e negativo para a taxade 12% a.a.

O valor da taxa interna de retorno pode ser obtido pelo processo dastentativas, no intervalo de 10% a.a. a 12% a.a., e também pode ser aproxi-mado por interpolação linear.

O valor exato da taxa interna de retorno, que é igual a 11,54% a.a.,pode ser obtido pela função IRR da HP-12C e da função TIR do Excel,como será mostrado no Capítulo 9.

Vamos a seguir analisar o conceito de taxa interna de retorno usando aequação algébrica do valor presente líquido, que tem a seguinte apresenta-ção para o fluxo de caixa do problema:

VPL (TIR%) = (–)$11.500,00 + $2.350,00 x + $1.390,00 x2 +

+ $3.350,00 x3 + $4.275,00 x4 + $5.350,00 x5 = 0,00

em que temos:

x =1

1+ i

A equação do valor presente líquido, nesse caso, é um polinômio do 5ºgrau e, portanto, tem cinco raízes. Entretanto só estamos interessados nasraízes reais e positivas, pois são as únicas que têm significado econômico.

A regra de sinal de Descartes garante que os polinômios cujos coeficien-tes só apresentam uma única variação de sinal têm apenas uma raiz real po-sitiva. Essa é exatamente a situação do fluxo de caixa do investimento emanálise, que apresenta uma única variação de sinal, do 1º para o 2º coeficien-te. Portanto, sua única raiz real positiva é igual a 11,54% a.a.

7.4. ResumoNeste capítulo, apresentamos os conceitos de valor presente líquido e de taxa in-terna de retorno de fluxos de caixa.

O VPL de um fluxo de caixa é igual ao VP de suas parcelas futuras, somadoalgebricamente com a grandeza colocada no ponto zero. A TIR de um fluxo decaixa é a taxa de desconto que faz seu VPL ser igual a zero.

Quando os fluxos de caixa apresentarem parcelas futuras sem qualquer leide formação, recomendamos que essas duas grandezas sejam calculadas com asfunções NPV e IRR da HP-12C e com as funções VPL e TIR do Excel, conformeserá mostrado no Capítulo 9.


A equação algébrica do valor presente líquido de um fluxo de caixa comparcelas futuras até o período de ordem n é um polinômio de grau n.

A taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é a taxa de desconto queanula seu valor presente líquido, e, portanto, é uma das raízes desse polinômiode grau n que tem n raízes.

7.5. Problemas Propostos1. Calcule os valores presentes dos fluxos de caixa indicados a seguir, para uma

taxa de desconto de 1% ao mês, no regime de juros compostos.

Fluxo (A)

Fluxo (B)

Fluxo (C)


Fluxo (D)

Fluxo (E)

2. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabe-la a seguir:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(-) 4.500 (+) 800 (+) 800 (+) 800 — (+) 800 (+) 800 (+) 800 (+) 800

Calcule:

a) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxade desconto, no intervalo de 0,00% a 6,00% ao semestre, com incremen-tos de 1,00%;

b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva semes-tral de rentabilidade desse investimento.

3. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabe-la a seguir:

0 1 2 3 4

(-) 14.000 (+) 5.250 (+) 4.350 (+) 3.000 (+) 2.850

Calcule:

a) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxade desconto, no intervalo de 0,00% a 16,00% ao ano, com incrementos de2,00%;


b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva anual derentabilidade desse investimento.

4. A tabela a seguir mostra os valores presentes líquidos do fluxo de caixa de um in-vestimento, calculados para diversas taxas de desconto, no regime de juroscompostos:

0,0% 0,5% 0,8% 1,0% 1,2% 1,5 % 2,0%

(+) 255,00 (+) 127,18 (+) 51,71 (+) 0,00 (-) 47,54 (-) 120,94 (-) 241,38

Pela análise dos dados desse quadro, responder:

a) Qual a taxa interna de retorno desse investimento?

b) Você desaplicaria seus recursos que estão rendendo 1,5% ao mês para rea-lizar realizar esse investimento?


8.1. IntroduçãoNeste capítulo será introduzido o conceito de equivalência de fluxos de caixa,indispensável no processo de tomada de decisões de investimentos.

Apresentaremos os principais planos de financiamento encontrados nomercado, entre eles o Sistema de Amortizações Constantes (SAC) e o Modelo Pri-ce, muito utilizados nas operações de financiamento imobiliário e de crédito aoconsumidor, e nas operações de financiamento de longo prazo de um modo geral.

8.2. Conceito de EquivalênciaFluxos de caixa equivalentes são aqueles que apresentam valores presentes (PV)iguais, quando descontados a uma mesma taxa de juros (compostos).

A equivalência desses fluxos de caixa deixa de existir caso a taxa de jurosutilizada para o cálculo do VP seja alterada. Quando isso ocorre, os valores pre-sentes também são alterados, e o conceito de equivalência perde o sentido.

Se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor presente, a uma determinadataxa de juros, então, seus valores futuros (FV) após n períodos, obtidos com essamesma taxa de juros, são necessariamente iguais. Dessa forma, a equivalência defluxos de caixa não precisa obrigatoriamente ser verificada no ponto zero da es-cala de tempo. Ela pode ser verificada no final de qualquer período n, desde queo período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos de caixa.

8.3. Planos Equivalentes de FinanciamentoConsidere um financiamento com os seguintes parâmetros:

Equivalência deFluxos de Caixa

Principal = $1.000,00

Taxa de juros = 8% ao ano

Prazo = 4 anos

A seguir, vamos desenvolver e analisar quatro planos equivalentes paraamortizar esse financiamento dentro dos parâmetros anteriormente definidos.

8.3.1. Plano A — Pagamento no Final

Neste plano, o financiamento é liquidado mediante o pagamento de umaúnica parcela no final do período do financiamento, havendo capitalização dejuros no final de cada ano.

A Tabela 8.1 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no finaldos quatro anos da operação.

Tabela 8.1 Plano A — Pagamento no final(principal = $1.000,00, taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)

AnosSaldo noinício do

ano

Juros doano

Saldo nofinal do

ano,antes do

pagamento

Pagamentos no final do ano Saldo nofinal do

ano, após opagamento

Total Juros Amor-tização

0 1.000,00

1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 0,00 0,00 1.080,00

2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 0,00 0,00 1.166,40

3 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 0,00 0,00 1.259,71

4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 360,49 1.000,00 0,00

Soma dos pagamentos 1.360,49 360,49 1.000,00

Por esse quadro de amortização do Plano A, o financiamento de $1.000,00é liquidado com um único pagamento de $1.360,49, realizado no final do 4ºano, sendo $1.000,00 de amortização do principal e $360,49 de juros acumula-dos ao longo dos quatro anos.

Essa modalidade de pagamento se aplica a diversas operações do mercado,tais como operações de capital de giro e de desconto de títulos e aplicações em tí-tulos de renda fixa.

8.3.2. Plano B — Pagamento Periódico de Juros

Neste plano, o financiamento é liquidado da seguinte forma:

a) no final de cada ano, são pagos os juros do respectivo ano;

b) no final do prazo do financiamento, além dos juros anuais, é efetuado opagamento integral do principal.



Tabela 8.2 Plano B — Pagamento periódico de juros(principal = $1.000,00, taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)


ano

Jurosdo ano

Saldo nofinal do ano,

antes dopagamento



Total Juros Amortização

0 1.000,00

1 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00

2 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00

3 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00

4 1.000,00 80,00 1.080,00 1.080,00 80,00 1.000,00 0,00


Por esse quadro de amortização do Plano B, o financiamento de $1.000,00 éliquidado com quatro pagamentos anuais de $80,00, correspondentes aos jurosde cada ano, e mais um pagamento de $1.000,00 no final do 4º ano, para amorti-zar integralmente o principal do financiamento.

Essa modalidade de pagamento se aplica a diversas operações do mercado,tais como operações de leasing e aplicações em títulos de renda periódica (anual,mensal etc.).

8.3.3. Plano C — Prestações Iguais — Modelo Price

Neste plano, o financiamento é liquidado pelo pagamento de n prestaçõesiguais (PMT), sendo n o prazo da operação.

As prestações de cada ano são subdivididas em duas parcelas:

a) juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano;

b) amortização do principal, obtida pela diferença entre o valor da presta-ção e o valor dos juros do ano.

A fórmula do Modelo Price considera que as prestações estejam equidistan-tes no tempo. Deve-se atentar que esse modelo foi baseado no ano civil com 360dias e com os meses de 30 dias.

No financiamento citado acima, podemos calcular o valor das prestações,através do Simulador da HP-12C:

Capítulo 8 Equivalência de Fluxos de Caixa 119

Verifique, na tabela abaixo, os cálculos dos valores desse financiamento nofinal dos quatro anos da operação.

Tabela 8.3 Plano C — Prestações iguais — Modelo Price(principal = $1.000,00, taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)


ano

Jurosdo ano

Saldo nofinal do ano,antes do pa-

gamento




0 1.000,00

1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08

2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,40

3 538,40 43,07 581,48 301,92 43,07 258,85 279,56

4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00


Essa modalidade de pagamento é conhecida como Modelo Price, e é bastan-te utilizada em operações de financiamento imobiliário e de crédito direto aoconsumidor.

Pelo quadro de amortização do Plano C, verificamos que a 1ª prestação con-tém $80,00 de juros, correspondentes a 8% do saldo do início do ano ($1.000,00).A amortização da 1ª prestação ($221,92) é obtida pela diferença entre o valor daprestação ($301,92) e o valor dos juros do 1º ano ($80,00).

O saldo remanescente do principal para o 2º ano é assim obtido:

$1.000,00 – $221,92 = $778,08

Os juros do 2º ano ($62,25) são obtidos pela aplicação da taxa de 8% a.a. so-bre o saldo do principal no início do 2º ano ($778,08).

Assim, os juros de cada ano vão diminuindo de valor ao longo do tempo, eas amortizações, inversamente, vão aumentando de valor de forma exponencial.

Ressaltamos que no Modelo Price as amortizações são obtidas a partir dosvalores das prestações e dos juros, conforme indicado a seguir:

Amortizaçãop = Prestação – Juros (8.1)

Consulte o Exemplo 2 da Seção 6.5.2 e veja a demonstração de que no Mo-delo Price as prestações são iguais e as amortizações crescem exponencialmentecom a mesma taxa de juros do financiamento. Veja também o gráfico (Figura6.8) que ilustra esse modelo de financiamento.


8.3.4. Plano D — Sistema de Amortizações Constantes (SAC)

Neste plano, o financiamento é liquidado mediante o pagamento de n presta-ções linearmente decrescentes. Cada prestação é subdividida em duas parcelas:

a) amortização do principal, obtida pela divisão entre o valor do principal dofinanciamento e o prazo da operação; os valores das amortizações sãoiguais, por isso a denominação de Sistema de Amortizações Constantes,

b) juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano.


Tabela 8.4 Plano D — Sistema de amortizações constantes(principal = $1.000,00, taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)


ano

Jurosdo ano

Saldo nofinal do ano,antes do pa-

gamento




0 1.000,00

1 1.000,00 80,00 1.080,00 330,00 80,00 250,00 750,00

2 750,00 60,00 810,00 310,00 60,00 250,00 500,00

3 500,00 40,00 540,00 290,00 40,00 250,00 250,00

4 250,00 20,00 270,00 270,00 20,00 250,00 0,00


Essa modalidade de pagamento é bastante utilizada nas operações de finan-ciamentos imobiliários e nos financiamentos de longo prazo de um modo geral.

No quadro de amortização do Plano D, devemos, inicialmente, calcular ovalor da amortização anual dividindo o valor do principal do financiamento peloprazo da operação. Nesse caso, devemos dividir 1.000,00 (principal) por 4 (prazoda operação), obtendo ($250,00) como valor anual de amortização.

Os juros do 1º ano ($80,00) correspondem a 8% do saldo do início do 1ºano ($1.000,00), e o valor da prestação ($330,00) corresponde à soma da amorti-zação com os juros de cada ano.

O saldo remanescente do principal para o 2º ano é assim obtido:

$1.000,00 −$250,00 = $750,00

Os juros do 2º ano ($60,00) são obtidos pela aplicação da taxa de 8% a.a. so-bre o saldo do principal no início do 2º ano ($750,00).

Dessa forma, o quadro de amortização do Plano D indica que o financia-mento de $1.000,00 é liquidado mediante o pagamento de quatro amortizações


anuais de $250,00 e mais quatro parcelas anuais de juros ($80,00, $60,00, $40,00e $20,00).

Assim, as prestações e os juros de cada ano vão diminuindo linearmente devalor ao longo do tempo, e as amortizações permanecem com o mesmo valor de$250,00.

Ressaltamos que no sistema de amortizações constantes as prestações sãoobtidas a partir dos valores das amortizações e dos juros, conforme indicado aseguir:

PrestaçãoSAC = Amortização + Juros (8.2)

8.3.5. Comentários sobre os Quatro Planos Equivalentes

Valem os seguintes comentários em relação aos planos de financiamento:

� os quatro planos de pagamentos são absolutamente equivalentes, a umataxa de 8% ao ano, porque têm o mesmo valor presente (VP = $1.000,00)se descontados a essa mesma taxa.

� os quatro planos de pagamentos são equivalentes, a uma taxa de 8% aoano, porque têm o mesmo valor futuro (FV = $1.360,49) no final do 4ºano, quando seus valores são capitalizados para essa mesma data, a umataxa de 8% ao ano.

� Como exercício, sugerimos que o leitor calcule os valores presentes e fu-turos para cada um dos planos de financiamento, através do Simuladorda HP-12C, verificando assim sua equivalência.

� o saldo do principal do início de cada ano foi sempre remunerado a 8% aoano;

� o pagamento do final do 4º ano liquidou integralmente o saldo remanes-cente do principal e juros devidos de cada plano.

� o valor total dos pagamentos de cada plano (consultar as tabelas anterio-res: Plano A = $1.360,49; Plano B = $1.320,00; Plano C = $1.207,68;Plano D = $1.200,00) não pode ser usado como referência para análise domelhor plano, já que não se está considerando o valor do dinheiro notempo. Caso isso fosse válido, o Plano D seria o melhor para quem tomas-se esse financiamento, pois representa o plano com o menor valor a serpago. Seguindo essa mesma linha de raciocínio, o Plano A seria o pior detodos, pois apresenta o maior valor a ser pago. E sabemos que isso não éverdade.


8.3.6. Juros Médios — um Processo Aproximado

Para introduzirmos o conceito de juros médios, vamos considerar que, nocaso do Plano C (prestações iguais — Modelo Price), a taxa de juros não fosse co-nhecida. Assim, os valores conhecidos seriam:

Principal = $1.000,00

Prazo = 4 anos

Prestação = $301,92

Uma das maneiras de achar um valor aproximado para a taxa de juros épelo processo dos juros médios, cujo procedimento é o seguinte:

a) cálculo do prazo médio do financiamento, pela expressão:

prazo médio =prazo 1

2+

No caso do Plano C (Modelo Price), temos:

prazo médio =4 anos 1

2+

= 2,5 anos

b) cálculo da porcentagem total de juros em relação ao principal, com o au-xílio da expressão:

% de juros =soma dos juros

principal


% de juros =$ ,

$ . ,207 68

1000 00= 0,2077

c) cálculo dos juros médios, com o auxílio da expressão:

juros médios =% total de juros

prazo médio


juros médios =20,77

2,5 anos= 8,31% ao ano.

Vamos, agora, aplicar esse processo dos juros médios ao Plano D (Siste-ma de Amortizações Constantes — SAC), como indicado a seguir:

% total de juros =$ ,

$ . ,200 00

1000 00= 0,20

juros médios =20%

2,5 anos= 8,00% ao ano

Com relação à taxa de juros obtida pelo processo de juros médios, para es-ses dois planos (Modelo Price e SAC), temos a comentar:


a) a taxa de juros fornecida por esse processo de juros médios é sempre exatanos financiamentos liquidados pelo sistema de amortizações constantes;

b) a taxa de juros fornecida pelo processo de juros médios é sempre superior àtaxa exata do financiamento nos financiamentos liquidados pelo Mode-lo Price — prestações iguais.

8.4. Exemplos NuméricosAs soluções dos exemplos desenvolvidos nesta seção são apresentadas com

o Simulador da HP-12C.

1. Verifique se os fluxos de caixa indicados na Tabela 8.5 são equivalentes a umataxa de 6% ao ano:

Tabela 8.5 Fluxos de caixa equivalentes a 6% ao ano

Anos Fluxo A ($) Fluxo B ($) Fluxo C ($) Fluxo D ($)

0 100.000,00

1 20.336,26 28.859,15

2 20.336,26 28.859,15

3 20.336,26 28.859,15

4 20.336,26 28.859,15

5 20.336,26

6 20.336,26 141.851,91

Soma 100.000,00 122.017,56 115.436,60 141.851,91

Solução:

Para que esses quatro fluxos de caixa sejam equivalentes a 6% ao ano, énecessário que qualquer uma das duas condições a seguir sejam satisfeitas:

a) seus valores presentes, a 6% ao ano, sejam iguais a $100.000,00;

b) seus valores futuros, no final do 6º ano, a 6% ao ano, sejam iguais a$141.851,91.

As operações para calcular os valores presentes dos fluxos de caixa (B), (C)e (D) estão indicadas a seguir:

a) valor presente do fluxo B, a 6% ao ano:


b) valor presente do fluxo C, a 6% ao ano:

c) valor presente do fluxo D, a 6% ao ano:

Como os valores presentes dos fluxos de caixa (B), (C) e (D), a 6% ao ano,são iguais a $100.000,00, podemos afirmar que esses fluxos de caixa sãoequivalentes ao fluxo de caixa (A), cujo valor presente também é igual a$100.000,00.

Como os valores presentes de todos os fluxos de caixa são iguais a$100.000,00, podemos garantir que seus valores futuros, no final do 6ºano, a 6% ao ano, são iguais a $141.851,91, que é o valor futuro do fluxode caixa (D). Sugerimos que o leitor faça esse cálculo como exercício.

2. Calcule o valor de Z para que os dois fluxos de caixa indicados na Tabela 8.6sejam equivalentes, com a taxa de juros de 10% ao ano.

Tabela 8.6

Ano Fluxo A ($) Fluxo B ($)

0

1 1.000,00

2 1.000,00 Z

3 1.000,00

4 1.000,00

Soma 4.000,00 Z

Solução:

Podemos solucionar este problema calculando o valor futuro dos doisfluxos, no final do 4º ano, conforme mostrado a seguir.


a) valor futuro do fluxo A, no final do 4º ano, a 10% ao ano:

b) valor futuro do fluxo B, no final do 4º ano, a 10% ao ano, para Z = $1,00:

Como os dois valores futuros devem ser iguais, podemos escrever:

Z × 1,21 = $4.641,00

que fornece Z = $3.835,54.

3. Um banco de desenvolvimento realiza seus financiamentos de acordo com osseguintes parâmetros:

i) prazo de 10 anos, com o início da amortização do principal ocorrendo nofinal do 3º ano;

ii) amortização do principal pelo Modelo Price ou pelo Sistema de Amortiza-ções Constantes;

iii) taxa de juros de 10% ao ano, no regime de juros compostos.

Calcule os fluxos de caixa de uma empresa que tomou um financiamentode $100.000,00 nessa instituição de fomento, nas seguintes hipóteses:

a) juros pagos durante os dois anos de carência e amortização pelo Mode-lo Price a partir do 3º ano;

b) juros capitalizados durante os dois anos de carência e amortizaçãopelo Modelo Price a partir do 3º ano;

c) juros pagos durante os dois anos de carência e amortização pelo Siste-ma de Amortizações Constantes a partir do 3º ano;

d) juros capitalizados durante os dois anos de carência e amortizaçãopelo Sistema de Amortizações Constantes a partir do 3º ano.


Solução:

a) Modelo Price com juros pagos na carência

Os juros pagos, em cada ano, nos dois anos da carência são iguais a:

Juros = $100.000,00 � 10% = $10.000,00

O valor da prestação anual é calculado conforme indicado a seguir:

que fornece $18.744,40 para o valor da prestação anual.

b) Modelo Price com juros capitalizados na carência

O saldo do financiamento, acumulado no final do 2º ano, é obtidopela seguinte operação:

O valor da prestação anual é então calculado pela operação:

que fornece $22.680,73 para o valor da prestação anual.

Vale destacar que, nas situações em que não ocorre pagamento de ju-ros ao longo do período de carência, é necessário calcular o valor corrigidodo principal do financiamento na data em que se inicia o pagamento dasprestações (que nesse exemplo ocorre no final do 2º ano). Esse valor corri-gido é que será usado como valor de PV para o cálculo do valor das presta-ções do financiamento.


Os fluxos de caixa correspondentes aos itens a e b estão representadosna Tabela 8.7:

Tabela 8.7 Prestações iguais — Modelo Price — fluxo de caixa

AnoJuros no período de carência

Pagos Capitalizados

0

1 10.000,00

2 10.000,00

3 18.744,40 22.680,73

4 18.744,40 22.680,73

5 18.744,40 22.680,73

6 18.744,40 22.680,73

7 18.744,40 22.680,73

8 18.744,40 22.680,73

9 18.744,40 22.680,73

10 18.744,40 22.680,73

c) Sistema de Amortizações Constantes com juros pagos na carência

Os juros pagos, em cada ano, nos dois anos da carência são iguais a:

Juros = $100.000,00 � 10% = $10.000,00

O valor de cada uma das oito amortizações anuais é obtido dividindo-se oprincipal pelo prazo da operação:

Amortização anual =$ . ,

$ . ,100 000 00

812 500 00=

O fluxo de caixa desse financiamento está indicado na Tabela 8.8:


Tabela 8.8 Sistema de Amortizações Constantes — SAC— fluxo de caixa — juros pagos na carência

Ano Amortização Juros Total

0

1 10.000,00 10.000,00

2 10.000,00 10.000,00

3 12.500,00 10.000,00 22.500,00

4 12.500,00 8.750,00 21.250,00

5 12.500,00 7.500,00 20.000,00

6 12.500,00 6.250,00 18.750,00

7 12.500,00 5.000,00 17.500,00

8 12.500,00 3.750,00 16.250,00

9 12.500,00 2.500,00 15.000,00

10 12.500,00 1.250,00 13.750,00

Observar que na Tabela 8.8 os juros anuais, após o período de carência,decrescem de valor numa razão constante igual a:

Decréscimo anual de juros = 10% � 12.500,00 = $1.250,00

d) Sistema de Amortizações Constantes com juros capitalizados na carência

O saldo do financiamento, acumulado no final do 2º ano, está calculado aseguir:

O valor de cada uma das oito amortizações anuais é obtido como se segue:

Amortização anual =$ . ,121 000 00

8= $15.125,00

Os juros a serem pagos no final do 3º ano correspondem a:

Juros do 3º ano = 10% � 121.000,00 = $12.100,00

Os juros anuais decrescem de valor numa razão constante igual a:

Decréscimo anual dos juros = 10% � 15.125,00 = $1.512,50


O fluxo de caixa desse financiamento está indicado na Tabela 8.9:

Tabela 8.9 Sistema de Amortizações Constantes:fluxo de caixa — juros capitalizados na carência

Ano Amortização Juros Total

0

1

2

3 15.125,00 12.100,00 27.225,00

4 15.125,00 10.587,50 25.712,50

5 15.125,00 9.075,00 24.200,00

6 15.125,00 7.562,50 22.687,50

7 15.125,00 6.050,00 21.175,00

8 15.125,00 4.537,50 19.662,50

9 15.125,00 3.025,00 18.150,00

10 15.125,00 1.512,50 16.637,50

4. Um empresário deseja vender um imóvel pelo preço de $120.000,00 à vista,porém está disposto a financiar 50% desse valor no prazo de um ano, com juroscompostos de 1,5% ao mês, mediante um dos seguintes planos de pagamentos:

a) doze prestações mensais;

b) doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas parcelas intermediáriasde mesmo valor, no final de cada semestre;

c) duas intermediárias semestrais de $10.000,00 e mais 12 prestações mensais.

Sabendo-se que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a venda do aparta-mento e considerando os meses com 30 dias, calcule os fluxos de caixadesses três planos de financiamento para que sejam equivalentes, a umataxa de 1,5% ao mês.

Solução:

Valor da parcela financiada = 50% � $120.000,00 = $60.000,00

a) doze prestações mensais

O valor da prestação mensal pode ser calculado com a seguinte operação:


que fornece $5.500,80 para o valor de cada uma das 12 prestações mensais.

b) doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas intermediárias semestrais

Podemos assumir que cada prestação mensal de $5.500,80 é subdividi-da em duas parcelas, a saber:

� 1ª parcela de $4.000,00, que continua sendo paga mensalmente;

� 2ª parcela de $1.500,80 ($5.500,80 � $4.000,00), que deve ser transfe-rida, de forma equivalente, para pagamento no final do semestre.

Assim, o valor de cada intermediária semestral é obtido com a seguinteoperação:

que fornece $9.349,31 para o valor de cada uma das duas intermediáriassemestrais.

c) duas intermediárias semestrais de $10.000,00 e mais 12 prestações mensais

Podemos inicialmente calcular o valor presente das duas intermediáriassemestrais, como se segue:

Assim, o valor presente que deve ser amortizado pelas 12 prestaçõesmensais corresponde a:

$60.000,00 −$17.509,29 = $42.490,71

O valor da prestação mensal é assim obtido:


que fornece $3.895,55 para o valor de cada uma das 12 prestações mensais.

Podemos, então, resumir os três planos equivalentes de pagamentospara a parcela financiada de $60.000,00:

i) doze prestações mensais de $5.500,80;

ii) doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas intermediárias semes-trais de $9.349,31;

iii) doze prestações mensais de $3.895,55 e mais duas intermediárias semes-trais de $10.000,00.

5. Considere o fluxo de caixa indicado na Figura 8.1 e calcule o valor da presta-ção mensal x, que ocorre do 1º ao 5º mês e do 7º ao 11º mês, para que a renta-bilidade efetiva da operação seja de 1,2% ao mês, no regime de juroscompostos.

Figura 8.1

Solução:

Inicialmente, devemos calcular o valor presente das duas parcelas de$3.000,00, com as operações a seguir indicadas:

Assim, o valor do principal a ser amortizado pelas 10 parcelas mensais devalor igual a x corresponde a:

PVX = $10.000,00 −$5.392,68 = $4.607,32


Vamos, agora, determinar o valor presente de 10 parcelas unitárias (x =$1,00), colocadas no final dos 11 primeiros meses, exceto no final do 6º mês.Isso é alcançado pelas operações a seguir indicadas:

Se chamarmos de x o valor de cada uma dessas 10 parcelas individuais, po-demos escrever:

$4.607,32 = x (9,31658)

que fornece x = $494,53 para o valor das prestações mensais.

Uma solução particular para este problema poderia ser alcançada soman-do e subtraindo a mesma grandeza x no final do 6º mês, conforme mostradono esquema da Figura 8.2:

Figura 8.2


Agora, devemos calcular o valor presente das 11 parcelas unitárias, queocorrem do 1º mês ao 11º mês, e desse valor devemos subtrair o valor presenteda parcela unitária colocada no 6º mês. Isso é alcançado pelas operações indi-cadas a seguir:

que fornece o mesmo resultado obtido anteriormente, pelo desconto indivi-dual de cada uma das 10 parcelas.

6. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidadonum prazo de quatro anos. A 1ª prestação tem um valor de $2.700,00, e seupagamento deve ocorrer no final do 1º ano. As outras três prestações anuaisdevem ter um crescimento linear em relação à 1ª prestação, fazendo com queas quatro prestações formem uma programação aritmética crescente. Calculeo valor das prestações anuais sabendo-se que a taxa efetiva de juros desse fi-nanciamento é de 8% ao ano.

Figura 8.3

Solução:

Inicialmente, devemos calcular o valor presente das quatro parcelas anuaisde $2.700,00, com a seguinte operação:


que fornece o valor presente de $8.942,74.

Assim, o valor presente que deve corresponder às parcelas x, 2x e 3x deveser igual a:

PVX = $10.000,00 – $8.942,74 = $1.057,26

Vamos, agora, assumir que x = $1,00 e descontar as parcelas de $1,00 no fi-nal do 2º ano, $2,00 no final do 3º ano e $3,00 no final do 4º ano, com as ope-rações a seguir indicadas:

Podemos então escrever a equação do valor presente para as parcelas linear-mente crescentes:

PVX = $1.057,26 = x (4,65009)

que fornece x = $227,36, e portanto temos:

Prestação do 1º ano = $2.700,00

Prestação do 2º ano = $2.700,00 + $227,36 � 1 = $2.927,36



8.5. ResumoO conceito de equivalência de fluxo de caixa utilizado na tomada de decisão deinvestimentos foi desenvolvido ao longo do presente capítulo por meio da apre-sentação de exemplos de planos de financiamento, especialmente o Modelo Pri-ce e SAC (Sistema de Amortização Constante), comumente usados no mercadofinanceiro.

A equivalência representa o ponto de indiferença entre dois fluxos de caixa.Isso significa que tanto faz realizar o investimento A ou investimento B se seusvalores presentes forem iguais.


Nas situações em que dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes a umadeterminada taxa de juros, essa equivalência deixará de existir se a taxa de jurosfor alterada.

Lembramos, finalmente, que a equivalência deve ser analisada no regime dejuros compostos e que pode ser verificada no final de qualquer período n, desdeque o período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos de caixa envolvidos.


1. Calcule o valor das cinco prestações anuais de um plano de pagamentos paraum financiamento de $1.000,00, com taxa de juros de 10% ao ano, que obe-deça aos seguintes critérios:

a) os juros de cada ano devem ser calculados sobre o saldo devedor do iníciodo ano, imediatamente após o pagamento da prestação do ano anterior;

b) a prestação de cada ano é obtida pela divisão do saldo devedor no final dorespectivo ano (imediatamente antes do pagamento da prestação que estásendo calculada) pelo número de prestações que ainda faltam ser pagas(inclusive a prestação em questão);

c) desdobre as cinco prestações anuais em suas parcelas de amortização e ju-ros, e verifique que as prestações são crescentes numa progressão geomé-trica igual a 1,10 (= 1 +taxa de juros).

2. Uma instituição financeira está elaborando os cálculos de seus financiamen-tos e deseja que a taxa efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos,seja mantida em todas as suas operações. Considerando que os meses têm 30dias e que o financiamento de um principal de $10.000,00 deve ser amortiza-do no prazo de 10 meses, calcule:

a) o valor das prestações mensais, iguais e sucessivas (Modelo Price, série pos-tecipada);

b) o valor das prestações mensais segundo o Sistema de Amortizações Cons-tantes.

3. Um empréstimo de $100.000,00 é realizado com uma taxa de 10% ao ano, noregime de juros compostos, e deve ser amortizado pelo Sistema de Amortiza-ções Constantes, no prazo de 10 anos com os dois primeiros anos de carência.Calcule o fluxo de caixa desse empréstimo nas seguintes hipóteses:

a) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência são pagos no final decada ano;

b) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência não são pagos, e simcapitalizados.


4. Uma instituição financeira realiza seus empréstimos a juros compostos, comuma taxa efetiva de 1,4% ao mês, e as operações podem ser liquidadas comduas modalidades de pagamentos:

a) em 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, ocorrendo a 1ª prestação 30dias após a liberação dos recursos;

b) em quatro parcelas semestrais, iguais e sucessivas, ocorrendo a 1ª parcela180 dias após a liberação dos recursos.

Calcule o valor das prestações mensais e das parcelas semestrais para umfinanciamento cujo principal é de $50.000,00, de tal forma que as duasmodalidades de pagamentos sejam equivalentes na taxa oferecida pelainstituição financeira. Considere os meses com 30 dias.

5. Um terreno com um valor à vista de $50.000,00 está sendo financiado numprazo de dois anos, mediante o pagamento de 24 prestações mensais e, adicio-nalmente, mais duas parcelas anuais de mesmo valor. Esses pagamentos têmas seguintes características:

a) as prestações mensais são sucessivas e iguais a $1.500,00, ocorrendo a 1ªprestação 30 dias após a venda do terreno;

b) as duas parcelas anuais, de mesmo valor, devem ser pagas no final do 12ºmês e do 24º mês, a contar da venda do terreno.

Considerando os meses com 30 dias, calcule o valor das parcelas anuaispara que a taxa efetiva do financiamento seja de 1,5% ao mês, no regimede juros compostos.

6. Um banco de investimentos está elaborando os programas para os cálculos deseus financiamentos e deseja que a taxa de 1,2% ao mês, no regime de juroscompostos, seja mantida em todas as operações. Considere que os financia-mentos devem ser amortizados no prazo de dois anos e que a 1ª prestação temvencimento 30 dias após a liberação dos recursos. Considere um financia-mento com um principal de $10.000,00 e calcule:

a) o valor de cada uma das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas;

b) para quanto será reduzido o valor da prestação mensal se no final de cadatrimestre for paga uma parcela intermediária de $1.000,00, adicionalmen-te ao valor da prestação mensal correspondente;

c) o valor da parcela intermediária trimestral, se a prestação mensal for fixa-da em $300,00.

7. Um banco de investimentos financia apenas 80% do valor à vista de qualquerequipamento e cobra juros compostos efetivos de 1% ao mês. Um empresáriodeseja comprar um equipamento no valor de $25.000,00 e, portanto, pode sehabilitar num financiamento de $20.000,00, para ser amortizado no prazo deum ano. Considerando o ano comercial, calcule:


a) o valor das 12 prestações mensais, sabendo-se que a 1ª prestação ocorre 30dias após a liberação dos recursos;

b) para que valor deve ser reduzida essa prestação mensal se o banco aceitar opagamento de duas parcelas intermediárias de $5.000,00, sendo a 1ª par-cela no final do 3º mês e a 2ª parcela no final do 9º mês, a contar da li-beração dos recursos? Observar que nesses dois meses serão efetuadosos pagamentos da prestação mensal e também da parcela intermediáriade $5.000,00;

c) repetir os cálculos do item b na hipótese de as parcelas intermediárias de$5.000,00 já incluírem as respectivas prestações mensais do 3º mês e do9º mês.

8. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidadomediante o pagamento de oito prestações mensais, iguais e sucessivas, e demais uma parcela intermediária adicional, a ser paga no final do 3º mês acontar da liberação dos recursos. Obter o fluxo de caixa desse financiamento,sabendo-se que:

a) a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,5% ao mês, no regime dejuros compostos;

b) a 1ª prestação mensal ocorre 30 dias após a liberação dos recursos;

c) a parcela intermediária é três vezes maior do que o valor da prestaçãomensal.

9. Um financiamento cujo principal é igual a $100.000,00 deve ser liquidadomediante o pagamento de nove prestações mensais, ocorrendo a 1ª prestação30 dias após a liberação do principal. As três primeiras prestações mensais sãoiguais a $10.000,00, e as três prestações mensais seguintes são iguais a$12.000,00. As últimas três prestações devem ter valores iguais. Calcule o va-lor dessas últimas três prestações mensais, sabendo-se que a taxa efetiva dejuros desse financiamento é de 1,3% ao mês, no regime de juros compostos.

10.Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidadomediante o pagamento de duas parcelas, uma no final do 1º mês e outra nofinal do 4º mês, a contar da liberação dos recursos. Calcule o valor desses pa-gamentos sabendo-se que a segunda parcela é quatro vezes maior do que aprimeira, e que a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,5% ao mês,no regime de juros compostos.


9.1. IntroduçãoFluxos de caixa não homogêneos são aqueles cujos valores de suas parcelas sãodistintos entre si e que não apresentam nenhuma lei de formação que permitauma simplificação do cálculo das funções financeiras.

Problemas envolvendo fluxos de caixa não homogêneos já foram apresen-tados no Capítulo 7, e solucionados com o auxílio do Simulador da HP-12C. Maspara que fosse possível solucionar esse tipo de problema com o Simulador daHP-12C, cada parcela do fluxo de caixa precisou ser tratada individualmente. Des-sa forma, cada parcela futura (FV) foi, uma a uma, descontada para se obter seucorrespondente valor presente (PV). O valor presente total do fluxo de caixa foi de-terminado pela soma dos valores presentes de suas parcelas futuras. Recomenda-mos que o leitor consulte o Exemplo 3 da Seção 7.2.2 para verificar tal situação.

O objetivo deste capítulo é ilustrar como a calculadora HP-12C e a PlanilhaEletrônica Excel solucionam problemas de fluxos não homogêneos: a HP-12Catravés de suas funções NPV (Net Present Value) e IRR (Internal Rate of Return), e aPlanilha Excel através das funções VPL (Valor Presente Líquido) e TIR (TaxaInterna de Retorno).

9.2. Expressão Genérica do Valor Presente LíquidoA Figura 9.1 mostra um fluxo de caixa genérico, ao longo de n períodos da escalade tempo:

Figura 9.1 Um fluxo de caixa genérico

Fluxos de CaixaNão Homogêneos

em que:

CF0 — parcela do fluxo de caixa no ponto 0 (Cash Flow no ponto 0)



.....

CFn — parcela do fluxo de caixa no ponto n (Cash Flow no ponto n)

Seja CF0 a parcela do fluxo de caixa colocada no ponto zero da escala detempo. Essa parcela normalmente corresponde ao investimento inicial e, nessecaso, tem sinal negativo (−), por representar um desembolso, ou seja, uma saídade caixa.

Seja CFj qualquer parcela do fluxo de caixa que ocorrer a partir do final do1º período até o final do último período (n).

O valor presente líquido desse fluxo de caixa, para uma determinada taxade desconto i, tem a seguinte expressão genérica:

VPL (i%) = C0 + C1 x + C2 x2 + . . . + Cn xn (9.1)

que corresponde a um polinômio de grau n, em que temos:

x =1

1 i+

O valor presente líquido de qualquer fluxo de caixa, para qualquer taxa dedesconto i, é obtido pela função NPV da HP-12C e pela função VPL do Excel.

A taxa interna de retorno de qualquer fluxo de caixa é obtida pela função IRRda HP-12C e pela função TIR do Excel.

A taxa interna de retorno do fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz comque o valor presente líquido seja igual a zero. Essa condição, colocada na Equa-ção (9.1), fornece:

VPL (TIR%) = C0 + C1 x + C2 x2 + . . . + Cn xn = 0 (9.2)

Assim, a taxa interna de retorno do fluxo de caixa corresponde a uma das nraízes da Equação (9.2) de grau n. As únicas raízes que têm sentido econômicosão as que correspondem a valores reais positivos. A regra de sinal de Descartesgarante que os polinômios com apenas uma variação de sinal em seus coeficien-tes tenham apenas uma raiz real positiva.


9.3. Utilização da Calculadora HP-12C e da Planilha Excel

9.3.1. HP-12C: Funções Financeiras NPV e IRR

As funções financeiras NPV e IRR da HP-12C servem para calcular o valor presen-te líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa que tenham sido previa-mente registrados na calculadora por meio das seguintes funções:

CF0: para registrar o fluxo de caixa do ponto zero

CFj : para registrar o fluxo de caixa do ponto genérico j

Nj : para registrar o número de parcelas individuais CFj de mesmo valore repetidas sequencialmente

As funções financeiras NPV e IRR exigem que os fluxos de caixa sejam infor-mados de forma sequencial, sendo indispensável o registro de todas as parcelasdo fluxo, inclusive as que tiverem valor igual a zero.

Os exemplos numéricos deste capítulo irão ilustrar com detalhes a utiliza-ção da HP-12 na solução desses problemas.

9.3.2. Planilha Eletrônica Excel

9.3.2.1 Funções Financeiras VPL e TIR

As funções financeiras VPL e TIR, da planilha Excel, servem para calcular, respec-tivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixaque tenham sido registrados, de uma forma sequencial, nas células da planilha.

Todos os valores do fluxo de caixa devem ser informados, inclusive os quetiverem valor igual a zero, pois cada célula da planilha corresponde, necessaria-mente, a um período de capitalização de juros.

A fórmula da função financeira VPL tem a seguinte expressão:

= VPL (taxa; valor 1; valor 2; ...)

em que os parâmetros correspondem a:

Taxa — taxa de desconto em %, cuja unidade referencial de tempo devecoincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para defi-nir o número de períodos.

Valor 1 — valor da parcela do fluxo de caixa colocada no final do 1º perío-do, ou seja, na 1ª célula após o investimento inicial (período 0).

Valor 2 — valor da parcela do fluxo de caixa colocada no final do 2º perío-do, ou seja, na 2ª célula após o investimento inicial.

A fórmula da função financeira TIR tem a seguinte expressão:

= TIR (valores; estimativa)

Capítulo 9 Fluxos de Caixa Não Homogêneos 141


Valores — valores de todas as parcelas individuais do fluxo de caixa, inclu-indo o investimento inicial (parcela no ponto zero), que devemser informados de forma sequencial, nas células da planilha.

Estimativa — valor estimado da taxa interna de retorno em % (pode seromitido ou registrado sempre com o valor igual a zero).

9.3.2.2 Funções Financeiras XVPL e XTIR1

As funções financeiras XVPL e XTIR são funções “especiais” da Planilha Excelque têm a flexibilidade de calcular o Valor Presente Líquido e a Taxa Interna deRetorno de fluxos de caixa cujas parcelas não apresentam qualquer lei de forma-ção, quer em relação aos seus valores, quer em relação às suas datas de ocorrên-cia. A única exigência é que o fluxo de caixa seja registrado de forma cronológica,fazendo-se a vinculação do valor de cada uma das suas parcelas às suas respectivasdatas de ocorrências.

Essas funções calculam o tempo exato, em dias, entre as parcelas do fluxo decaixa, e sempre transformam a taxa anual de juros em sua taxa diária equivalente.

A fórmula da função financeira XVPL tem a seguinte expressão:

= XVPL (taxa; valores; datas)


Taxa — taxa de desconto em % ao ano, com 365 dias.

Valores — valores de todas as parcelas individuais do fluxo de caixa que de-vem ser informadas cronologicamente, desde o investimentoinicial (ponto zero) até a última parcela.

Datas — datas de calendário em que ocorrem, cronologicamente, as par-celas individuais do fluxo de caixa.

A função XVPL calcula o valor presente líquido do fluxo de caixa pelas se-guintes operações:

a) transforma a taxa de desconto anual em sua taxa equivalente diária, con-siderando o ano com 365 dias;

b) desconta individualmente cada parcela com essa taxa diária, consideran-do os dias decorridos desde o ponto zero;

c) efetua a soma de todos os valores descontados.


1 O leitor que não encontrar as funções XVPL e XTIR na relação das Funções Financeiras do Exceldeve incluí-las através das seguintes operações: 1) escolha no menu principal do Excel a opçãoFerramentas; 2) Selecione a opção Suplementos; 3) marque a janela com a opção ferramentas deanálise. Automaticamente as funções XVPL e XTIR passarão a fazer parte das funções do seu Excel.

A fórmula da função financeira XTIR tem a seguinte expressão:

= XTIR (valores; datas; estimativa)


Valores — valores de todas as parcelas individuais do fluxo de caixa quedevem ser informadas cronologicamente, desde o investi-mento inicial (ponto zero) até a última parcela.

Datas — datas de calendário em que ocorrem, cronologicamente, asparcelas individuais do fluxo de caixa.

Estimativa — valor estimado da taxa interna de retorno em %, que pode seromitido ou fornecido sempre com o valor igual a zero.

O valor da taxa interna de retorno calculado pela função XTIR é sempre for-necido em termos anuais, considerando o ano com 365 dias.


Os exemplos numéricos desse capítulo são todos solucionados pela HP-12C epela planilha eletrônica Excel para que o leitor se familiarize com os dois méto-dos de solução. Vale ressaltar que alguns tópicos dos problemas que podem serresolvidos através do Simulador da HP-12C terão solução idêntica em ambos osmétodos.

1. Considere o fluxo de caixa indicado no Problema 3 da Seção 7.3.2 do Capí-tulo 7.

Calcule:

a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de0,00%, 10,00% ao ano e 12,00% ao ano;

b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano.

1ª Solução: Calculadora HP-12C

Inicialmente, devemos registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguin-tes operações:

f REG (limpeza dos registros)

11500 CHS g CF0 (parcela do ano 0 = (–)$11.500,00)

2350 g Cfj (parcela do ano 1 = $2.350,00)






Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo dovalor presente líquido através da função NPV, para diversas taxas de descon-to, conforme indicado a seguir:

a) cálculo do valor presente líquido

0 i (taxa de desconto de 0,00% a.a.)

f NPV (NPV = $5.215,00 = soma das parcelas)


f NPV (NPV = (+) $543,84)


f NPV (NPV = (–) $156,65)

O fluxo de caixa continua registrado na HP-12C, sem qualquer altera-ção, e podemos calcular sua taxa interna de retorno com a função IRR,conforme indicado a seguir:

b) cálculo da taxa interna de retorno, em % ao ano

f IRR (IRR = 11,537% ao ano)

Recomendamos que seja feita uma comparação entre os resultadosaqui obtidos com aqueles apresentados no Problema 3 da Seção 7.3.2 doCapítulo 7, com o auxílio do Simulador da HP-12C.

Ressaltamos, ainda, os seguintes pontos:

� houve apenas uma inversão de sinal nos valores do fluxo de caixa, quesão os coeficientes da equação do valor presente líquido. Essa inversãoocorreu na passagem do coeficiente CF0 (–$11.500,00) para o coeficienteCF1 (+ $2.350,00). Temos, então, uma única raiz real positiva, que cor-responde a 11,537% ao ano;

� o valor presente líquido para 0,00% corresponde à soma algébrica de to-das as parcelas do fluxo de caixa. Esse cálculo é útil para verificar se osvalores do fluxo de caixa estão registrados corretamente na calculadora.

2ª Solução: Planilha Excel:

Entrada do fluxo de caixa

O registro do fluxo de caixa pode ser feito em qualquer parte da planilha.O importante é registrar todas as parcelas do fluxo de caixa numa ordem se-quencial, digitando, inclusive, as parcelas com valores iguais a zero.

Na chamada das funções VPL e TIR, seus parâmetros são informados pelascélulas que contêm seus respectivos valores. O fluxo de caixa, devidamenteregistrado na Planilha Excel, está indicado a seguir:


Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos:

� o investimento inicial, no valor de $11.500,00, está colocado na célulaC3, com o sinal negativo;

� as parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1º ao 5º ano, estão colocadasnas células C4 a C8, todas com o sinal positivo;

� a soma algébrica dos valores do fluxo de caixa, no valor de $5.215,00,foi calculada com a função SOMA ou Σ do Excel, e está colocada na cé-lula C9. Esse valor deve corresponder ao valor presente líquido do flu-xo de caixa obtido com a função VPL e com a taxa de desconto de 0%.

Valor presente líquido do fluxo de caixa — Função VPL

Devemos, inicialmente, criar uma área na planilha para registrar os VPLsque serão calculados para cada uma das taxas de desconto. Escolheremos ascélulas B12, B13 e B14 para registrar os valores das taxas: 0%, 10% e 12% aoano, respectivamente.

A seguir, devemos inserir as fórmulas da função VPL nas células C12, C13 eC14. Para isso, devemos digitar na célula C13 o sinal de igual (=) e no menuprincipal escolher Inserir Função. Na janela das funções, deve ser escolhida afunção financeira VPL (marcar categoria Financeira) cujos parâmetros devemser localizados na Planilha Excel2. O mesmo procedimento deve ser feito nasoutras células, com o cuidado de selecionar os parâmetros associados a cadauma das taxas de desconto.


2 O apêndice B do livro Matemática Financeira Objetiva e Aplicada (livro que deu origem a essa ediçãocompacta, de Abelardo Puccini) apresenta mais informações sobre as funções financeiras daPlanilha Excel.

Após a localização dos parâmetros da função VPL, a Planilha Excel devemostrar a seguinte apresentação:


� a fórmula colocada na célula C13 está indicada a seguir:

célula C13 : = VPL (B13; C4:C8) +C3

que corresponde à função VPL somada ao valor da célula C3. Seus pa-râmetros correspondem a:

B13 — célula que contém a taxa de desconto de 10,00% ao ano

C4:C8 — intervalo entre as células C4 e C8, que contém os valores dasparcelas futuras do fluxo de caixa, do 1º ao 5º ano

C3 — valor do investimento inicial (parcela do ponto zero) quedeve ser somado à fórmula da função VPL a fim de obter ovalor presente líquido de cada fluxo de caixa.

� O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula colocada nacélula C13 é igual a $543,84, e está indicado na planilha a seguir:



� os valores presentes líquidos obtidos para as taxas de desconto de0,00% e 12% ao ano estão colocados nas células C12 e C14, e corres-pondem, respectivamente, a (+) $5.215,00 e (–) $156,65.

� as fórmulas colocadas nas células C12 e C14 estão indicadas a seguir:

célula C12: = VPL (B12; C4:C8) + C3

célula C14: = VPL (B14; C4:C8) + C3

em que os parâmetros são semelhantes àqueles colocados na célula C13.

Cálculo da Taxa interna de retorno do fluxo de caixa — Função TIR

Devemos inserir a fórmula da função TIR na planilha. A C16 foi a célula es-colhida para tal. Devemos indicar em seus parâmetros as localizações dos va-lores do fluxo de caixa.

Para isso, devemos digitar na célula C16 o sinal de igual (=), e, no menuprincipal, escolher Inserir Função. Na janela das funções, deve ser escolhida afunção financeira TIR, (marcar categoria Financeira), cujos parâmetros de-vem ser localizados na Planilha Excel.

Após a localização dos parâmetros da função TIR, a Planilha Excel tem a se-guinte apresentação:



� a fórmula da função TIR para calcular a taxa interna de retorno, coloca-da na célula C16, está indicada a seguir:

célula C16: = TIR (C3:C8)

em que o parâmetro C3:C8 corresponde ao intervalo entre as células C3e C8 que contêm os valores de todas as parcelas do fluxo de caixa, na or-dem sequencial, desde o investimento inicial até a parcela do 5º ano;

� o parâmetro estimativa dessa função TIR, que corresponde a um valorestimado para a taxa interna de retorno, não foi incluído, pois suaomissão não altera o resultado final.

O valor da taxa interna de retorno obtido pela execução da função TIR co-locada na célula C16 é igual a 11,537% ao ano, e esse valor aparecerá na pró-pria célula C16. Note que os resultados aqui obtidos são idênticos aos obtidoscom a HP-12C.

2. Um título é emitido pelo prazo de um ano, com um valor de $100.000,00, epaga juros trimestralmente com uma taxa efetiva de 12% ao ano, no regimede juros compostos. Considerando o ano com quatro trimestres de 90 dias,calcule:


a) o valor dos juros impresso nos cupons e que será pago no final de cada umdos quatro trimestres;

b) o percentual de deságio no preço de emissão de $100.000,00, para que osinvestidores tenham uma rentabilidade efetiva de 13% ao ano, no caso derealizarem a compra na data da emissão e conservarem o título até seuvencimento, no final de um ano;

c) a rentabilidade efetiva, em % ao ano, dos investidores que comprarem essetítulo, na data de emissão, com um deságio de 1,5% e o conservarem atéseu vencimento, no final de um ano.


a) valor dos cupons trimestrais de juros

Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 12% aoano, com as operações indicadas a seguir:

que fornece a taxa de 2,873734% ao trimestre.

Assim, o valor dos cupons trimestrais de juros é igual a:

$100.000,00 � 2,873734% = $2.873,73

O fluxo de caixa desse título por ocasião de sua emissão é, portanto, oque se segue:

Tabela 9.1

Trimestre 0 1 2 3 4 Soma

Valor ($) (-)100.00,00 (+)2.873,73 (+)2.873,73 (+)2.873,73 (+) 102.873,73 $11.494,92

b) percentual de deságio para rentabilidade de 13% ao ano

Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 13%ao ano, com as operações indicadas a seguir:



O registro do fluxo de caixa na HP-12C é feito com as seguintes operações:


0 g CF0 (parcela do trimestre 0 = $0,00)

2873,73 g CFj (parcela do trimestre 1 = $2.873,73)

3 g Nj (repetir $2.873,73 três vezes)

102873,73 g CFj (parcela do trimestre 4 = $102.873,73)

Observar que o valor de CF0 foi colocado como sendo igual a zero paraque o valor presente líquido do fluxo de caixa (NPV) represente o preço devenda do título para a taxa de desconto desejada.

Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculodo valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de3,102598% ao trimestre, conforme indicado a seguir:

3,102598 i (taxa de desconto de 3,102598% a.t.)

f NPV (NPV = $99.151,36)

Assim, para se obter a taxa de 13% ao ano (equivalente a 3,102598%a.t.), é necessário que o preço de venda seja igual a $99.151,36. O percen-tual de deságio sobre o preço de emissão de $100.000,00 é portanto:

% de deságio =$ . , $ . ,

$ . ,100000 00 9915136

100000 00−

= 0,849%

c) rentabilidade efetiva anual para deságio de 1,5%

Com o deságio de 1,5%, o preço de venda do título é obtido pela relação:

Preço de venda = $100.000,00 – ($100.000,00 � 1,5%) = $98.500,00

Como o fluxo de caixa do título já está registrado na HP-12C, temosapenas de introduzir o valor de $98.500,00 para o preço de venda, confor-me indicado a seguir:

98500 CHS STO 0 ((–)$98.500,00 registrado na memória 0)

Podemos, agora, realizar o cálculo da taxa interna de retorno, confor-me indicado a seguir:

F IRR (IRR = 3,279976% ao trimestre)

A taxa efetiva anual equivalente a 3,279976% ao trimestre é obtidacomo se segue:


que fornece a rentabilidade efetiva de 13,779629% ao ano, encontradaatravés da relação entre o valor futuro e o valor presente do título.

2ª Solução: Planilha Excel

a) valor dos cupons trimestrais de juros

Mesma solução que a apresentada no item a) da Solução com HP-12C. Ofluxo de caixa do título é portanto o mesmo apresentado na Tabela 9.1.

b) percentual de deságio para rentabilidade de 13% ao ano

Mesma solução que a apresentada no item b) da Solução com HP-12C.

Devemos agora registrar o fluxo de caixa na Planilha Excel e descontarsuas parcelas futuras com a taxa efetiva de 3,102598% ao trimestre, com o au-xílio da função VPL, conforme indicado a seguir:

Com relação aos valores dessa planilha destacamos os seguintes pontos:

� a fórmula colocada na célula C11 está indicada a seguir:

célula C11: = VPL (B11; C4:C7)


� em que os parâmetros correspondem a:

B11 — célula que contém a taxa de desconto de 3,102598% ao tri-mestre;

C4:C7 — intervalo entre as células C4 e C7, que contém os valores dasparcelas futuras do fluxo de caixa, do 1º ao 4º trimestre.

O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula colocadana célula C11 é igual a $99.151,36 e está indicado na planilha a seguir:

Assim, para se obter a taxa de 13% ao ano (equivalente a 3,102598%a.t.), é preciso que o preço de venda seja igual a $99.151,36. O percentualde deságio sobre o preço de emissão de $100.000,00 é portanto:

% de deságio =$ . , – $ . ,

$ . ,100000 00 9915136

100 000 00= 0,849%

c) rentabilidade efetiva anual para deságio de 1,5%

O preço de venda do título, já calculado na Solução com HP-12C, é portan-to $98.500,00.

Como o fluxo de caixa do título já está registrado na Planilha Excel, te-mos apenas de introduzir o valor de $98.500,00 na célula C3 para o preçode venda, e executar a fórmula da função TIR, colocada na célula C10,conforme indicado na planilha que se segue:



A taxa efetiva anual já foi calculada no item c da solução com HP-12C, etem o valor de 13,779629%.

3. Um veículo, com o valor à vista de $20.600,00, é vendido a prazo, no dia 1º demarço, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a $7.000,00, que de-vem ser efetuados a partir do 30º dia da data da venda. Cada prestação vence30 dias após a prestação anterior.

No caso deste exemplo, as questões serão apresentadas juntamente com assoluções, uma vez que os enunciados apresentam pequenas diferenças entre ométodo de solução através do Excel e o método através da HP-12C.


a) fluxo de caixa do financiador

O fluxo de caixa do financiador está indicado na Tabela 9.2:

Tabela 9.2

Datas Dia Mês Valor ($)

1º de março 0 0 (–) 20.600,00

31 de março 30 1 (+) 7.000,00

30 de abril 60 2 (+) 7.000,00

30 de maio 90 3 (+) 7.000,00

Soma (+) 400,00

Como as prestações ocorrem a cada 30 dias, os cálculos também po-dem ser realizados considerando-se períodos medidos em meses. Para isso


precisamos calcular a taxa mensal equivalente à taxa fornecida. Dessa for-ma, enquadramos o problema nas condições adotadas pelas funções NPVe IRR da HP-12C.

Com a taxa mensal, podemos, ainda, considerar as três prestações de$7.000,00 como um parâmetro PMT no Simulador da HP-12C.

b) taxa de juros diária equivalente a 9% a.a., assumindo o ano com 365 dias

Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conformeindicado a seguir:

que fornece a taxa de 0,02361312% ao dia;

c) taxa de juros mensal equivalente à taxa diária do item b

Para calcularmos essa taxa mensal, devemos entrar com os dados, con-forme indicado a seguir:

que fornece a taxa de 0,7108244% ao mês;

d) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 — desconto indivi-dual das parcelas com taxa diária do item b

Os dados para o desconto individual das prestações mensais de$7.000,00, usando a taxa de 0,02361312% ao dia, estão indicados a seguir:


que fornece o valor presente de $20.704,95;

e) valor presente das três prestações mensais de $7.000,00 — desconto comfunção PMT e taxa mensal do item c

Nesse caso, os dados, com a taxa de juros de 0,7108244% ao mês, estão in-dicados a seguir:

que fornece o valor presente de $20.704,95, idêntico ao obtido no item d,como era de esperar. O que mudou foi apenas a unidade de tempo dos cál-culos;

f) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 — desconto com fun-ção NPV e taxa mensal do item c

Devemos, inicialmente, registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as se-guintes operações:


0 g CF0 (parcela do mês 0 = $0,00)

7000 g Cfj (parcela do mês 1 = $7.000,00)


Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculodo valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de0,7108244% ao mês, conforme indicado a seguir:

0,7108244 i (taxa de desconto de 0,7108244% a.m.)

f NPV (NPV = $20.704,95)

que fornece o valor presente de $20.704,95, idêntico aos obtidos nos itensd e e;

g) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função i do Simulador daHP-12C.

Devemos entrar com os dados indicados a seguir:


que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês;

h) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função IRR da HP-12C

Devemos, inicialmente, registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as se-guintes operações:


20600 CHS g CF0 (parcela do mês 0 = (–) $20.600,00)

7000 g Cfj (parcela do mês 1 = $7.000,00)


Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculoda taxa interna de retorno, em % ao mês, com o auxílio da função IRR,conforme indicado a seguir:

f IRR (IRR = 0,96776693% ao mês)

que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês, idêntica àobtida no item g.

i) valor presente das prestações mensais de $7.000,00, pela função NPV daHP-12C, com a taxa diária obtida no item b

Para usarmos a função NPV com os períodos medidos em dias, precisa-mos de um artifício simples, que consiste em colocar zeros entre as parce-las do fluxo de caixa, conforme indicado a seguir.

Dessa forma, devemos, inicialmente, registrar o fluxo de caixa na HP-12Ccom as seguintes operações:


0 g CF0 (parcela do dia 0 = $0,00)

0 g Cfj (parcela do dia 1 = $0,00)

29 g Nj (repetir $0,00 29 vezes)

7000 g CFj (parcela do dia 30 = $7.000,00)

0 g CFj (parcela do dia 31 = $0,00)



0 g CFj (parcela do dia 61 = $0,00)



Com o fluxo de caixa registrado, com a presença dos valores zero em to-dos os dias que não ocorrem qualquer tipo de pagamento ou de entrada decaixa, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido, com o auxílio dafunção NPV, para a taxa de 0,02361312% ao dia, conforme indicado a seguir:


0,02361312 i (taxa de desconto de 0,02361312% a.d.)

f NPV (NPV = $20.704,95)

que fornece o valor presente de $20.704,94, idêntico aos valores obtidosnos itens d, e e f;

j) taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C

Com o fluxo de caixa já registrado com os períodos medidos em dias,precisamos introduzir o valor da parcela inicial de (–) $20.600,00 e acionara função IRR, conforme indicado a seguir:

20600 CHS STO 0 ((–) $20.600,00 para CF0 na memória 0)

f IRR (IRR = 0,032108956% ao dia)

que fornece a taxa interna de retorno de 0,032108956% ao dia.

l) taxa interna de retorno, em % ao mês, equivalente à taxa diária do item j


que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês, idêntica àsobtidas nos itens g e h;

m) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida noitem j, considerando o ano com 365 dias


que fornece a taxa interna de retorno de 12,4320528% ao ano, consideran-do o ano com 365 dias.

2ª Solução: Planilha Eletrônica Excel

a) fluxo de caixa do financiador

O fluxo de caixa do financiador é o mesmo que o indicado na Tabela 9.2.

Como as prestações ocorrem a cada 30 dias, os cálculos também podemser realizados considerando-se períodos medidos em meses. Dessa forma,podemos usar as funções VPL e TIR com os períodos (células) em meses e


com a taxa mensal. Além disso, as três parcelas de $7.000,00 podem serconsideradas como um parâmetro PMT no Simulador da HP-12C.

A utilização das funções VPL e TIR, com a taxa diária e com os períodos(células) em dias, implica, necessariamente, a criação de células entre asparcelas do fluxo de caixa para serem preenchidas com zeros, tal como rea-lizado com a HP-12C.

No Excel, temos o recurso das funções XVPL e XTIR, que evita esse arti-fício, como mostraremos a seguir.

b) taxa de juros diária equivalente a 9% a.a., considerando o ano com 365 dias

Mesma solução que a apresentada no item b da Solução com HP-12C.

c) taxa de juros mensal equivalente à taxa diária do item b

Mesma solução que a apresentada no item c da Solução com HP-12C.

d) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 — desconto com fun-ção PMT e taxa mensal do item c

Nesse caso, os dados, com a taxa de juros de 0,7108244% ao mês, estãoindicados a seguir:

que fornece o valor presente de $20.704,95;

e) valor presente das três prestações mensais de $7.000,00 — desconto comfunção VPL do Excel e com taxa mensal do item c

Devemos, inicialmente, registrar as três prestações de $7.000,00 naPlanilha Excel e executar a função VPL, conforme indicado a seguir:



� a fórmula da função VPL, colocada na célula E11, está indicada a seguir:

célula E11: = VPL (D11; E4:E6)


D11 — célula que contém a taxa de desconto de 0,7108244% ao mês

E4:E6 — intervalo entre as células E4 e E6, que contém os valores dasparcelas futuras do fluxo de caixa, do 1º ao 3º mês

O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula da fun-ção VPL, colocada na célula E11, é igual a $20.704,95, idêntico ao obti-do no item d;

f) valor presente das prestações mensais de $7.000,00, pela função XVPL daPlanilha Excel e com taxa de desconto de 9% ao ano (365 dias)

Com o fluxo de caixa já registrado na Planilha Excel, basta introduzir ataxa de desconto na célula D11 e a fórmula da função XVPL na célula E11,como se segue:


� A fórmula da função XVPL, colocada na célula E11, está indicada a seguir:

célula E11: = XVPL (D11; E3:E6; B3:B6)


D11 — célula que contém a taxa de desconto de 9,00% ao ano

E3:E6 — intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores dasparcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até aparcela do 3º mês


B3:B6 — intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referen-tes às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicialaté a parcela do 3º mês

O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula da funçãoXVPL, colocada na célula E11, é igual a $20.704,95, idêntico ao obtidosnos itens d e e;

g) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função i do Simulador daHP-12C/Excel

Mesma solução que a apresentada no item g da Solução com HP-12C.

h) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função TIR do Excel

Com o fluxo de caixa já registrado no Excel, basta introduzir a fórmulada função TIR na célula E10, como indicado a seguir:

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos que a fórmula dafunção TIR, colocada na célula E10, tem a seguinte apresentação:

célula E10: = TIR (E3:E6)


E3:E6 — intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores de todasas parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até aparcela do 3º mês

A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da funçãoTIR, colocada na célula E10, é igual a 0,967766693% ao mês, idêntica à ob-tida no item g;

i) taxa interna de retorno, em % ao dia, que é equivalente à taxa mensal ob-tida no item h



que fornece a taxa interna de retorno de 0,032108956% ao dia;

j) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida noitem i, considerando o ano com 365 dias


que fornece a taxa interna de retorno de 12,4320528% ao ano, consideran-do o ano com 365 dias;

l) taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel

Com o fluxo de caixa já registrado no Excel, basta introduzir a fórmulada função XTIR na célula E9, como se segue:

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos que a fórmula dafunção XTIR, colocada na célula E9, tem a seguinte apresentação:

célula E9: = XTIR (E3:E6; B3:B6)



E3:E6 — intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores das par-celas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcelado 3º mês

B3:B6 — intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referentesàs parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até aparcela do 3º mês

A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da funçãoXTIR, colocada na célula E9, é igual a 12,430525% ao ano, praticamenteidêntica à obtida no item j.

9.4. ResumoNeste capítulo, mostramos as diferentes metodologias de cálculo de VPLs e de TIRsquando os fluxos de caixa dos problemas apresentados são não homogêneos.

Verificamos que na calculadora HP-12C as funções utilizadas para cálculodo valor presente líquido e da taxa interna de retorno de fluxos de caixa são as teclasNPV e IRR, respectivamente, enquanto na planilha Excel essas operações são rea-lizadas através das funções VPL e TIR. Os fluxos de caixa devem ser registradosde forma sequencial, e todas as suas parcelas devem ser informadas, inclusive asque tiverem valores iguais a zero. No caso do Excel, cada célula da área da plani-lha escolhida para registro do fluxo de caixa corresponde a um período de capi-talização de juros.

Em seguida, apresentamos, de forma rápida, as funções financeiras XVPL eXTIR, funções “especiais” do Excel, muito úteis no cálculo de fluxos de caixa quenão apresentam qualquer semelhança nem em relação a seus valores, nem emrelação às suas datas de ocorrências. Caso o leitor queira mais informações sobreessas funções, deve consultar o Apêndice B do CD do Leitor.

Toda a teoria aqui citada foi ilustrada através de exemplos resolvidos, como objetivo de facilitar o entendimento e as peculiaridades de cada um dos méto-dos de cálculo.


9.5. Problemas Propostos1. Considere o seguinte fluxo de caixa:

Mês Valor ($)

0 (–) 25.000,00

1 (+) 0,00

2 (+) 3.000,00

3 (+) 0,00

4 (+) 4.000,00

5 (+) 4.500,00

6 (+) 15.000,00

Soma (+) 1.500,00

Em relação a esse fluxo de caixa, calcule:

a) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50%a.m. e 2,00% a.m.;

b) a taxa interna de retorno, em % ao mês.

2. Considere o seguinte fluxo de caixa:

Mês Valor ($)

0 (–) 55.000,00

1 (+) 5.000,00

2 (+) 5.000,00

3 (+) 6.000,00

4 (+) 6.000,00

5 (+) 6.000,00

6 (+) 10.000,00

7 (+) 10.000,00

8 (+) 10.000,00

Soma (+) 3.000,00

Em relação a esse fluxo de caixa, calcule:

a) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50%a.m. e 2,00% a.m.;


b) a taxa interna de retorno, em % ao mês.

Considere que o investimento inicial de $55.000,00 seja alterado para$53.000,00 e calcule:

c) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50%a.m. e 2,00% a.m.;

d) a taxa interna de retorno, em % ao mês.

3. Um título com o valor de $100.000,00 é emitido com o prazo de quatro anos,pagando juros no final de cada semestre, com a taxa de 5% a.s. No último se-mestre, além dos juros semestrais, é pago o valor de emissão de $100.000,00.O fluxo de caixa desse título é, portanto, o que se segue:

Semestre Valor ($)

0 (–) 100.000,00

1 (+) 5.000,00

2 (+) 5.000,00

3 (+) 5.000,00

4 (+) 5.000,00

5 (+) 5.000,00

6 (+) 5.000,00

7 (+) 5.000,00

8 (+) 105.000,00

Soma (+) 40.000,00

No momento do lançamento do título, é necessário fazer um deságio no pre-ço para atender às condições do mercado. Calcule:

a) o percentual de deságio do preço de emissão necessário para garantir umarentabilidade de 5,5% a.s. ao investidor que adquirir esse título na data deemissão e o conservar até seu resgate, no final do 4º ano;

b) a taxa interna de retorno do investidor que adquirir esse título com 5% dedeságio e o conservar até seu resgate, no final do 4º ano.

4. Um veículo com o valor à vista de $19.500,00 é adquirido no dia 31 de marçocom um financiamento para ser liquidado em quatro prestações mensais de$5.000,00, que vencem a cada 30 dias corridos, a contar da data de aquisiçãodo veículo. Assim, o fluxo de caixa do financiador é o que se segue:


Datas Dia Mês Valor ($)

31 de março 0 0 (–) 19.500,00

30 de abril 30 1 (+) 5.000,00

30 de maio 60 2 (+) 5.000,00

29 de junho 90 3 (+) 5.000,00

29 de julho 120 4 (+) 5.000,00

Total líquido (+) 500,00

Calcule:

a) a taxa diária que é equivalente à taxa de 12% a.a., considerando o ano com365 dias;

b) a taxa mensal que é equivalente à taxa diária obtida no item a;

c) a taxa anual que é equivalente à taxa diária obtida no item a, considerandoo ano com 360 dias;

d) o valor presente das quatro parcelas mensais de $5.000,00, usando as ta-xas de desconto e os métodos indicados a seguir:

� desconto individual de cada parcela com o simulador da HP-12C, usan-do a taxa diária obtida no item a;

� desconto de um PMT � $5.000,00, com o simulador da HP-12C, usan-do a taxa mensal obtida no item b;

� desconto das quatro parcelas de $5.000,00 com o uso da função NPVda HP-12C e da função VPL do Excel, usando a taxa mensal obtida noitem b;

� desconto das quatro parcelas de $5.000,00 com o uso da função XVPLdo Excel, usando a taxa de 12% ao ano;

� compare os resultados obtidos nos quatro itens anteriores.

e) a taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função IRR da HP-12C ea função TIR do Excel;

f) a taxa interna de retorno, em % ao dia, que é equivalente à taxa mensalobtida no item e;

g) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa diária ob-tida no item f, considerando o ano com 365 dias;

h) a taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel.Compare esse resultado com o obtido no item g.


5. Um título que paga juros trimestralmente é emitido no dia 1º de janeiro, comum valor de $10.000,00, prazo de um ano e taxa de 10% a.a., para o ano com360 dias.

Os juros trimestrais são calculados sobre os dias efetivamente decorridos emcada trimestre, e pagos nos dias 1º de abril, 1º de julho, 1º de outubro e 1º dejaneiro do ano seguinte.

Calcule:

a) a taxa diária equivalente a 10% ao ano, considerando o ano com 360 dias;

b) o valor de cada cupom trimestral com o uso do Simulador da HP-12C,usando a taxa diária obtida no item a;

c) a taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C,para um investidor que adquirir esse título na data de sua emissão, comum deságio de 5%, e o conservar até seu resgate, no final de um ano;

d) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtidano item c, considerando o ano com 360 dias;

e) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtidano item c, considerando o ano com 365 dias;

f) a taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel.Compare esse resultado com o obtido no item e;

g) o percentual de deságio necessário para garantir uma rentabilidade de12% ao ano, com 365 dias, ao investidor que adquirir esse título na datada emissão e o conservar até o resgate, no final de um ano. Use a funçãoXVPL do Excel.


10.1. IntroduçãoNos capítulos anteriores, a moeda representada pelo símbolo $ foi consideradacomo estável ao longo do tempo. Essa hipótese, porém, é meramente teórica,pois, mesmo em países com moedas fortes, existe o fenômeno da inflação, aindaque com taxas percentuais reduzidas. Neste capítulo nossa moeda teórica, com osímbolo $, deixa de ser estável e passa a perder seu poder aquisitivo por conta dainflação.

Os conceitos de Matemática Financeira desenvolvidos ao longo dos capítu-los anteriores continuam a ter validade, pois sua aplicação independe da exis-tência da inflação.

Em conjunturas inflacionárias, são muito usadas as expressões “a preçosconstantes” e “a preços correntes”. A primeira expressão corresponde a preçosde uma única data, normalmente da data inicial do fluxo de caixa, enquanto asegunda corresponde a preços das respectivas datas em que ocorrem os valoresdo fluxo de caixa. Na omissão dessa informação, os valores na moeda $ semprecorrespondem a preços correntes.

A conversão de preços constantes para preços correntes é feita por índicesou indexadores, que refletem a perda do poder aquisitivo da moeda provocadapela inflação.

Neste capítulo, a inflação da moeda será medida pelo índice cujas variaçõespercentuais anuais para um período de cinco anos constam das Tabelas 10.1 e10.2.

No tratamento de fluxos de caixa, a inflação pode ser levada em considera-ção através dos modelos pós-fixado e prefixado, cujas características e metodologiasde cálculo serão apresentadas ao longo do presente capítulo.

Fluxos deCaixa e Inflação

10.2. Índice para InflaçãoPor uma questão didática, optamos por medir a inflação da moeda $ pelo

índice cujos valores e variações percentuais constam da Tabela 10.1, que foiconstruída com as seguintes suposições:

� O valor inicial do índice tem como referência o final de dezembro de umdeterminado ano e seu valor, nessa data, é igual a 100,00.

� As variações percentuais do índice para um período de cinco anos foramassumidas com o mesmo valor anual de 12 %, sendo que no 1º ano a perio-dicidade foi considerada mensal.

Os valores anuais do índice e as suas variações anuais para um período decinco anos constam da Tabela 10.1 a seguir.

Tabela 10.1 Valores anuais do Índice

Ano Variação anual do Índice(%)

Valor do Índice no finaldo ano ($)

0 100,000000

1 12,00 112,000000

2 12,00 125,440000

3 12,00 140,492800

4 12,00 157,351936

5 12,00 176,234168

Os valores do índice fornecidos na Tabela 10.1 nos permitem concluir queas cinco variações anuais de 12% ao ano produzem um valor de 176,234168 parao índice final do 5º ano, o que equivale a uma inflação acumulada de 76,234168%nesse período de cinco anos.

Para os exemplos numéricos que envolvam períodos inferiores a um ano,adotamos uma distribuição mensal uniforme para as variações percentuais doíndice durante os 12 meses do 1º ano, conforme indicado na Tabela 10.2:


Tabela 10.2 Valores mensais do Índice no 1º ano

Mês Variação do Índice Valor do Índice nofinal do mês ($)

Mensal (%) Acumulado ($)

Dezembro 100,000000

Janeiro 0,948879 0,948879 100,948879

Fevereiro 0,948879 1,906762 101,906762

Março 0,948879 2,873734 102,873734

Abril 0,948879 3,849882 103,849882

Maio 0,948879 4,835292 104,835292

Junho 0,948879 5,830052 105,830052

Julho 0,948879 6,834252 106,834252

Agosto 0,948879 7,847980 107,847980

Setembro 0,948879 8,871327 108,871327

Outubro 0,948879 9,904385 109,904385

Novembro 0,948879 10,947245 110,947245

Dezembro 0,948879 12,000000 112,000000

Os valores do índice fornecidos na Tabela 10.2 permitem concluir que:

a) o valor do índice no final de março é igual a 102,873734, indicandouma taxa de inflação de 2,873734% para o 1º trimestre;

b) o valor do índice no final de junho é igual a 105,830052, indicandouma taxa de inflação de 5,830052% para o 1º semestre;

c) o valor do índice no final de dezembro é igual a 112,000000, indicandouma taxa de inflação de 12,00% para o 1º ano, que coincide com essainflação anual da Tabela 10.1.

Nos exemplos desenvolvidos neste capítulo, usaremos os índices apresen-tados na Tabela 10.1. A utilização de qualquer outro índice para inflacionar e de-flacionar os valores dos fluxos de caixa expressos na moeda $ deve ser feitaseguindo os mesmos procedimentos adotados neste capítulo, podendo-se utili-zar os índices da Tabela 10.2, quando o horizonte de análise for igual ou inferiora um ano e os períodos dos fluxos de caixa forem expressos em meses.

Capítulo 10 Fluxos de Caixa e Inflação 169

10.3. Taxas de Inflação, de Juros Real e de Juros NominalNa análise de fluxos de caixa levando em consideração a inflação serão uti-

lizadas as seguintes taxas:

� Taxa de Inflação (“ti”): é a taxa que mede a variação do índice defini-do na Seção 10.2. Será representada de forma genérica pelo símbolo “ti”.

� Taxa de Juros Real (“i”): é a taxa de juros utilizada nos fluxos de caixaexpressos em moeda a preços constantes, sem inflação, normalmente re-ferenciados à data inicial do fluxo de caixa. É a taxa “i” utilizada nos ca-pítulos anteriores que foram desenvolvidos com a moeda forte $, seminflação. Manteremos o símbolo “i” para a sua representação.

� Taxa de Juros Nominal (“tn”): é a taxa de juros utilizada nos fluxosde caixa expressos em $ a preços correntes das respectivas datas em queocorrem e que incorporam a inflação da moeda. Essa taxa de juros nomi-nal é uma taxa de juros que incorpora a taxa de juros real e a taxa de in-flação, e será representada pelo símbolo “tn”. Costuma-se dizer que ataxa de juros real é a taxa de juros nominal descontada a inflação. Nãoconfundir essa taxa de juros nominal com a taxa nominal definida naSeção 5.5 do Capítulo 5 – Taxas de Juros.

10.4. Modelo Pós-Fixado

10.4.1. Conceitos Básicos

O modelo pós-fixado é normalmente utilizado em operações financeiras de lon-go prazo. Podemos citar como exemplos, o financiamento de imóveis, todas asoperações financeiras com moeda estrangeira, CDBs com remuneração atreladaao CDI e empréstimos indexados ao IGPM.

As principais características do modelo são:

� a inflação é calculada a posteriori, ao longo do prazo da operação contra-tada, à medida que os valores do índice contratado se tornem conheci-dos;

� a inflação fica “em aberto” no início da operação, sendo acertado nocontrato apenas o índice que será utilizado na atualização dos valores;

� os cálculos financeiros são realizados com o fluxo de caixa expresso emmoeda estável, a preços constantes e com uma taxa de juros real (i), seminflação.


10.4.2. Metodologia de Cálculo

No modelo pós-fixado, os cálculos são realizados com os fluxos de caixa expres-sos na moeda $, a preços constantes da data inicial, mediante a adoção dos se-guintes procedimentos:

� os valores do fluxo de caixa devem ser expressos em $ a preços constan-tes da data inicial, sem considerar a inflação;

� todos os cálculos, na moeda $ a preços constantes, devem ser realizadoscom a taxa de juros real (i), sem inflação;

� os valores expressos em $ a preços constantes devem ser, posteriormen-te, convertidos para $ a preços correntes das datas futuras, utilizando-seo índice da Seção 10.2, escolhido para medir a inflação.

Observe que a taxa interna de juros nominal (tn), que inclui a inflação, sópode ser calculada após o término da operação, quando os valores do fluxo decaixa a preços correntes se tornarem conhecidos. Isso porque no modelopós-fixado a taxa de inflação fica em aberto e só é conhecida ao longo do prazoda operação.

Outra forma de atuar no modelo pós-fixado é mediante a conversão dos va-lores dos fluxos de caixa para quantidades do índice que mede a inflação, e reali-zar todos os cálculos, com a taxa de juros real, nessa moeda estável expressa peloíndice adotado. No final, as quantidades de índice devem ser transformadaspara $, a preços correntes, utilizando os valores do índice nas datas futuras.

10.4.3. Exemplo Numérico — Financiamento com Prazo de Um Ano

Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, comuma taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado no prazo de um ano,com o pagamento de uma única parcela, que deve ser corrigida pelos seguintesvalores do índice que constam da Tabela 10.1:

� na data da liberação dos recursos = 100,00

� na data da liquidação da operação = 112,00

Em relação a esse financiamento, calcule:

a) o valor dos juros cobrados no final do ano, em $ a preços constantes ecorrentes;

b) o valor da parcela cobrada a título de inflação, em $ a preços correntes, eem % ao ano;

c) o valor do pagamento, em $, a preços correntes, para a sua liquidação nofinal de um ano;

d) a sua taxa de juros nominal (tn) incluindo a taxa de inflação.


Solução:

Vamos realizar os cálculos em $, a preços constantes e usar o índice da Se-ção 10.2 como indexador para obter os valores em $, a preços correntes.

a) Juros cobrados no final do ano

O valor do principal liberado, em $, foi fornecido como sendo igual a$1.000.000,00. Assim, os juros anuais calculados com a taxa de juros realde 10% ao ano, são obtidos pela relação:

juros do ano = $1.000.000,00 � 10% = $100.000,00

Esses juros estão expressos em $ a preços constantes, com o valor da moe-da $ correspondente à data inicial do contrato, na qual o índice tem o va-lor de 100,00.

Na ocasião do pagamento dos juros, o índice tem valor igual a 112,00, eos juros, expressos em $, a preços correntes, são assim obtidos:

juros do ano = $100.000,00 �112 00110 00

,,

= $112.000,00

Nesse caso costuma-se dizer que os juros, no valor de $112.000,00, são“juros corrigidos” na medida em que incorporam $12.000,00 a título deinflação;

b) Parcela de inflação, em $ a preços correntes

Essa parcela corresponde à correção do principal, usando os valores doíndice das duas datas. Assim temos:

principal corrigido = $1.000.000,00 �112 00110 00

,,

= $1.120.000,00

valor da inflação = $1.120.000,00 – $1.000.000,00 = $120.000,00

Em termos percentuais a taxa da inflação (ti) é calculada pela relação:

taxa de inflação = ti =$ . ,

$ . . ,120000 00

1000000 00= 12 % ao ano

que corresponde à variação percentual ocorrida entre os dois valores doíndice (de 100,00 para 112,00);

c) Valor do pagamento, em $ a preços correntes, para a liquidação dofinanciamento no final de um ano

A preços constantes, em moeda do início do contrato, esse valor é assimobtido:

Principal = $1.000.000,00

Juros reais = $100.000,00

Montante = $1.100.000,00


A preços correntes, em moeda da data da liquidação do contrato, o mon-tante no final de um ano é assim obtido:

montante = $1.100.000,00 �112,00100,00

= $1.232.000,00

que pode ser desdobrado conforme indicado na Tabela 10.3 a seguir:

Tabela 10.3

Parcelas Valor em $

a) principal liberado 1.000.000,00

b) parcela de inflação do principal, com a taxa de 12% a.a. 120.000,00

c) principal corrigido para o final do ano [(a) + (b)] 1.120.000,00

d) juros reais de 10% a.a. corrigidos pela taxa de inflação de 12% a.a. 112.000,00

e) montante a ser pago no final do ano (c) + (d) 1.232.000,00

d) Taxa de juros nominal

Essa taxa de juros é obtida pela relação:

taxa nominal = tn =$1.232.000,00$1.000.000,00

−1 = 0,232 = 23,20% a.a.

Vamos, agora, analisar o valor da taxa de juros nominal (tn) e identificarsua composição a partir das seguintes parcelas:

� taxa de juros real (i)

� taxa de inflação (ti)

Os juros corrigidos do final do ano, no valor de $112.000,00, tambémpoderiam ter sido calculados com a aplicação da taxa de juros real de10% a.a. sobre o principal corrigido para o final do ano ($1.120.000,00)pelo índice de inflação de 12%.

Os juros do ano calculados com a taxa de 10% a.a. sobre o saldo devedorno início do ano, antes da aplicação da taxa de inflação anual, são iguaisa $100.000,00. Nesse caso, o montante a ser pago no final do ano seriaigual a:

montante = $1.120.000,00 + $100.000,00 = $1.220.000,00

Os valores obtidos nesses dois processos de cálculo de juros estão resumi-dos na Tabela 10.4, a seguir:


Tabela 10.4

ParcelasJuros sobre saldo devedor do

Início do ano Final do ano

a) principal liberado — em $ 1.000.000,00 1.120.000,00

b) montante no final do ano — em $ 1.220.000,00 1.232.000,00

c) incremento: (b)/(a) 22,00% a.a. 23,20% a.a.

Quando os juros são calculados sobre o saldo devedor do início do ano, ataxa total de 22,00% ao ano é constituída das seguintes parcelas:

a) taxa de juros real do período = 10,00% a.a.

b) taxa de inflação do período = 12,00% a.a.

taxa total do período: (a) + (b) = 22,00% a.a.

ou seja, a taxa total é igual à soma da taxa de juros real com a taxa de inflação.

Quando os juros são calculados, de forma correta, sobre o saldo devedor dofinal do período, ou seja, incluindo a inflação do período, precisamos acrescen-tar os juros (10,00% a.a.) sobre a taxa de inflação do período (12,00% a.a.), isto é:

10,00% a.a. � 12,00% a.a. = 1,20% a.a.

Assim, a taxa total do período, que corresponde à taxa de juros nominal(tn), no valor de 23,20% a.a., tem a seguinte composição:

a) taxa de juros real do período = 10,00% a.a.

b) taxa de inflação do período = 12,00% a.a.

c) produto das taxas: (a) � (b) = 1,20% a.a.

taxa total do período: (a) + (b) + (c) = 23,20% a.a.

ou seja, a taxa de juros nominal (tn) é igual à soma da taxa de juros real (i) com ataxa de inflação (ti), acrescida do produto entre essas duas taxas.

10.4.4. Expressão Genérica Relacionando as Taxas

A simbologia adotada para representar as taxas anuais de juros e de infla-ção, bem como suas respectivas taxas equivalentes, está indicada a seguir:

i — taxa de juros real expressa em %, podendo ser representada por:

ia — para a taxa de juros expressa em % ao ano;

is — para a taxa de juros expressa em % ao semestre;

it — para a taxa de juros expressa em % ao trimestre;

im — para a taxa de juros expressa em % ao mês.


ti — taxa de inflação, expressa em %, podendo ser representada por:

tia — para a taxa de inflação expressa em % ao ano;

tis — para a taxa de inflação expressa em % ao semestre;

tit — para a taxa de inflação expressa em % ao trimestre;

tim — para a taxa de inflação expressa em % ao mês.

tn — taxa de juros nominal, expressa em %, podendo ser representada por:

tna — para a taxa de juros nominal expressa em % ao ano;

tns — para a taxa de juros nominal expressa em % ao semestre;

tnt — para a taxa de juros nominal expressa em % ao trimestre;

tnm — para a taxa de juros nominal expressa em % ao mês.

A expressão genérica para obter a taxa de juros nominal (tn) a partir da taxade juros real (i) e da taxa de inflação (ti) está representada abaixo:3

(1 + tn) = (1 + i) � (1 + ti)

Para períodos anuais:

(1 + tna) = (1 + ia) � (1 + tia) (10.1)

Essa relação pode ser aplicada para qualquer índice que for utilizado parainflacionar (corrigir) os valores dos fluxos de caixa.

A Relação (10.1) também pode ser expressa para as taxas mensais, trimes-trais e semestrais, equivalentes a suas respectivas taxas anuais, e as expressõesobtidas são as que se seguem:

(1 + tnm) = (1 + im) � (1 + tim) (10.2)

(1 + tnt) = (1 + it) � (1 + tit) (10.3)

(1 + tns) = (1 + is) � (1 + tis) (10.4)

Aplicando a fórmula (10.1) nos valores do exemplo da Seção 10.3.4:

ia = 10,00% ao ano


3 O livro Matemática Financeira Objetiva e Aplicada, do mesmo autor (versão completaque deu origem a esta edição compacta) apresenta a dedução das fórmulas utilizadasnesta seção.

tia = 12,00% ao ano

que fornece:

(1 + tna) = (1 + 10,00%) � (1 + 12,00%) = 1,232

e portanto:

tna = 1,232 – 1 = 0,232 = 23,20% ao ano

resultado que coincide com o valor obtido anteriormente.

Utilize as fórmulas (10.2) a (10.4) para encontrar os valores das taxas equi-valentes mensais, trimestrais e semestrais do financiamento do exemplo numé-rico da Seção 10.3.4, e consulte a tabela a seguir para verificar os resultados:

Tabela 10.5 Taxas equivalentes e taxas nominais — em %

Anual 12,000000 10,000000 22,000000 1,200000 23,200000

Semestral 5,830052 4,880885 10,710937 0,284558 10,995495

Trimestral 2,873734 2,411369 5,285103 0,069296 5,354400

Mensal 0,948879 0,797414 1,746293 0,007566 1,753860

10.5. Modelo Prefixado


O modelo prefixado é bastante utilizado nas operações financeiras de curto pra-zo. Podemos citar como exemplo os crediários ao consumidor e as operações dedesconto de títulos.

As principais características do modelo prefixado são:

� A inflação tem que ser estimada a priori, e prefixada no início da opera-ção financeira;

� Os cálculos financeiros são realizados com o fluxo de caixa expresso emmoeda corrente (com inflação) das respectivas datas futuras, e com umataxa de juros nominal prefixada, que inclui a inflação.

A taxa de juros tem de ser aumentada para incorporar, numa única parcela,a taxa de juros real e a taxa de inflação de cada período. Essa taxa de juros, queinclui uma parcela de inflação, é denominada taxa de juros nominal prefixada,ou simplesmente taxa nominal prefixada, e tem as seguintes características:

a) é definida no início da operação, o que justifica o nome adotado;


b) deve corresponder à soma da taxa de juros real com a taxa da inflaçãomais o produto dessas taxas;

c) tem o mesmo valor para todos os períodos da operação.


As grandezas em moeda “corrente” podem ser, posteriormente, convertidaspara uma moeda “constante” pelo índice que for definido para aferir a inflação.Nesse fluxo de caixa em moeda constante, pode ser calculada sua taxa internareal, após o término da operação.

O exemplo numérico apresentado a seguir para o modelo prefixado foi ba-seado no exemplo desenvolvido para o modelo pós-fixado (seção 10.4.3). Ado-tamos taxas nominais prefixadas iguais às taxas nominais que foram utilizadasno exemplo correspondente, para que possamos comparar os resultados obtidosnesses dois modelos.


1. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, comuma taxa de juros nominal prefixada de 23,20% ao ano, para ser liquidado noprazo de um ano, com o pagamento de uma única parcela. A inflação será me-dida pelo índice da Tabela 10.1, que tem o valor igual a 100,00 na data da libe-ração dos recursos.

Em relação a esse financiamento determine:

a) o valor do pagamento em $, a preços correntes, para a sua liquidação no fi-nal de um ano;

b) a taxa de inflação, em % ao ano;

c) o seu fluxo de caixa em $, a preços correntes e a preços constantes;

d) a sua taxa interna de juros real em % ao ano;

e) a relação da taxa nominal prefixada com as taxas de inflação e de jurosreal.

Solução:

a) Valor do pagamento em $, a preços correntes, para a liquidação do finan-ciamento

Considerando a taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano, o valor do pa-gamento a ser realizado no final do ano, em $ correntes, é igual a:

pagamento final = $1.000.000,00 � (1 + 0,2320) = $1.232.000,00

c) Taxa de inflação, em % ao ano

A taxa de inflação de 12,00% ao ano é obtida diretamente da Tabela 10.1com os valores anuais do índice.


c) Fluxo de caixa em $, a preços correntes e a preços constantes

O fluxo de caixa em $ a preços constantes é obtido deflacionando os valoresdo fluxo de caixa em $ a preços correntes, utilizando como deflator o índiceda Tabela 10.1, conforme indicado na Tabela 10.6.

Tabela 10.6 Fluxos de caixa em $ a preços correntes e constantes

Ano Valores em$ correntes

Valor do Índice nofinal do ano ($)

Valores em $ apreços constantes

0 –1.000.000,00 100,000000 –1.000.000,00

1 1.232.000,00 112,000000 1.100.000,00

Soma 232.000,00 — 100.000,00

Taxa interna 23,20% a.a. — 10,00% a.a.

Cabe ressaltar que primeiro obtemos o fluxo de caixa em $ correntes a par-tir da taxa nominal prefixada. Posteriormente, obtemos o fluxo de caixaem $, a preços constantes, deflacionando as parcelas em $ a preços corren-tes com o índice da Tabela 10.1.

d) Taxa interna de juros real, em % ao ano

A taxa interna de juros real é obtida pelo desconto do fluxo de caixa em $ apreços constantes, e o valor encontrado é igual a 10,00% ao ano;

e) Relação da taxa nominal prefixada com as taxas de inflação e de juros real

Essas três taxas satisfazem a relação (10.3), senão vejamos:

taxa nominal prefixada = 23,20% ao ano =

= (1 + 0,10) (1 + 0,12) – 1 = 0,2320 = 23,20% ao ano

Os resultados obtidos nesse financiamento no modelo prefixado são idên-ticos àqueles alcançados no financiamento do exemplo da seção 10.4.3com o modelo pós-fixado. Isso ocorreu porque a taxa nominal prefixadaincluiu corretamente a taxa de inflação de 12,00% a.a. e a taxa de jurosreal de 10,00% a.a.

10.6. ResumoNo presente capítulo, apresentamos os modelos pós-fixado e prefixado para otratamento da inflação em fluxos de caixa expressos em moedas que perdem seupoder aquisitivo ao longo do tempo, por conta da inflação. Citamos as princi-pais características de cada modelo, apresentamos exemplos numéricos dos mo-delos pós e prefixado e comparamos seus resultados.


Verificamos que, se a inflação influenciar igualmente todos os valores dofluxo de caixa, tanto faz descontar o fluxo de caixa em $ a preços constantescom a taxa de juros real, como descontar o fluxo de caixa em $ a preços correntescom a taxa nominal prefixada, pois os valores presentes líquidos serão iguais nosdois casos.

Por uma questão de ordem didática, adotamos um índice teórico para me-dir a inflação da moeda com o símbolo $, utilizada em todos os outros capítulosdo livro.

Os conceitos apresentados neste capítulo com esse índice são integralmen-te válidos para qualquer outro índice que for utilizado para medir a inflação.

Por efeito de simplificação, apresentamos apenas um tipo de exemplo, comprazo de financiamento de um ano. A resolução de problemas com períodos di-ferentes deve adotar o mesmo raciocínio, usando-se os procedimentos apresen-tados ao longo deste capítulo.

10.7. Problemas Propostos1. A taxa de juros real a ser cobrada num determinado financiamento é igual a

5,00% ao semestre. Sabendo-se que a projeção da taxa de inflação para esseperíodo de seis meses é de 6,00%:

a) calcule a taxa nominal, em % ao semestre, a ser prefixada para esse finan-ciamento;

b) calcule a taxa de juros nominal anual equivalente à taxa obtida no item a;

c) calcule as taxas anuais de juros real e de inflação, equivalentes às taxas for-necidas;

d) verifique a relação existente entre as taxas obtidas nos itens b e c.

2. Uma aplicação de $10.000,00 rendeu, no prazo de seis meses, uma taxa de ju-ros real de 12,00% ao ano, capitalizados semestralmente. Calcule o valor deresgate dessa aplicação sabendo-se que a taxa de inflação para esse período deseis meses é igual a 8,00%.

3. Uma aplicação de $50.000,00 deve ser remunerada pelo prazo de seis mesescom uma taxa de juros real de 0,90% ao mês. Calcule o valor de resgate dessaaplicação sabendo-se que a taxa de inflação é igual a 1,00% ao mês em cadaum dos seis meses desse investimento.

4. Uma instituição financeira que opera com o modelo prefixado cobra umataxa de juros real de 12,00% ao ano em seus financiamentos e está prevendouma taxa de inflação de 15,00% ao ano para os próximos quatro meses.

Usando o regime de juros compostos para a obtenção de taxas equivalentes,calcule:


a) a taxa de juros nominal prefixada, em % ao mês, a ser utilizada em suasoperações com prazo de quatro meses;

b) o valor da prestação mensal fixa a ser cobrada nos financiamentos comprazo de quatro meses e com o principal de $1.000,00.

5. Um equipamento com o preço à vista de $10.000,00 está sendo financiadoem seis prestações mensais fixas de $1.816,41. Calcule a taxa de inflação, em% ao mês, projetada por essa entidade financiadora sabendo-se que a taxa dejuros real cobrada nessas operações é igual a 1,00% ao mês.

6. Um equipamento com o preço à vista de $10.000,00 deve ser financiado emdois pagamentos anuais iguais, com uma taxa de juros real de 10,00% ao ano.Calcule o valor dessas parcelas anuais, em $ a preços correntes, sabendo-seque a taxa de inflação é igual a 12,00% a.a. no 1º ano e 14,00% a.a. no 2º ano.

7. Um financiamento de $100.000,00 foi realizado no final de dezembro paraser liquidado no prazo de cinco anos, pelo sistema de amortizações constan-tes, segundo o modelo pós-fixado, com uma taxa de juros real de 10,00% aoano.

O índice que mede a inflação da moeda $ tem os seguintes valores para esseperíodo de cinco anos:

Ano Variaçãoanual do Índice (%)

Valor do Índice nofinal do ano ($)

0 100,000000

1 9,00 109,000000

2 9,50 119,355000

3 10,50 131,887275

4 11,00 146,394875

5 12,00 163,962260

Calcule:

a) os valores das prestações mensais em $ a preços constantes da data inicialdo contrato com a taxa de juros real de 10,00% ao ano;

b) os valores das prestações efetivamente pagas, em $ a preços correntes;

c) a taxa interna de juros nominal desse financiamento, em % ao ano.


Capítulo 2 — Juros Simples e Compostos — Conceitos

Prob. 1

Conta remunerada a juros simples:

$1.050,00; $1.100,00; $1.150,00; $1.200,00; $1.250,00; $1.300,00

O montante a ser retirado no final do 6º trim = $1.300,00

Conta remunerada a juros compostos:

$1.050,00; $1.102,50; $1.157,63; $1.215,51; $1.276,28; $1.340,10

O montante a ser retirado no final do 6º trim = $1.340,10

Capítulo 3 — Juros Simples — Fórmulas BásicasProb. 1 Montante = $12.400,00 e Renda = $2.400,00

Prob. 2 a) PV = $966,67; b) Desconto = $33,33; c) i = 1,293% ao mês

Prob. 3 a) FV = $967,83; b) i = 1,295% ao mês; d = 15,04% ao ano

Prob. 4 a) i = 2,5% ao trimestre; b) d = 7,6923% ao ano

Prob. 5 i = 1,1494% ao mês

Prob. 6 PV = $19.100,00

Prob. 7 a) PV2 = $10.360,00; b) FV2 = $10.981,60; c) n2 = 6 meses; d) i médio = 1,097 % ao mês

Prob. 8 a) i = 1,2% ao mês; b) PV1 = $10.000,00

Capítulo 4 — Juros Compostos — Capitalização e DescontoProb. 1 Montante = $12.395,08

Prob. 2 Principal = $12.710,36

Prob. 3 Rentabilidade= 0,9489% ao mês

Prob. 4 110 < n < 111 meses

Prob. 5 Menor valor a ser aplicado = $25.873,17

Prob. 6 Valor do pagamento = $57.469,39

Prob. 7 Abater do principal o valor de $15.215,93

Prob. 8 Valor da Aplicação = $9.896,32

Prob. 9 Valor de Resgate = $10.070,13

Prob. 10 A melhor política de investimentos para esse investidor é:

Aplicar $50.000,00 a 1,5% ao mês, por 3 meses e manter $50.000,00 aplicadosna Poupança.

Respostas dosProblemas Propostos

Capítulo 5 — Taxas de JurosProb. 1 1,2% ao mês; 0,04% ao dia

Prob. 2 2,7% ao trimestre; 10,8% ao ano

Prob. 3 0,03238% ao dia


Prob. 5 8,24322% ao ano; 8,16% ao ano

Prob. 6 0,70337% ao mês


Prob. 8 $1.225,24

Prob. 9 a) FV = $10.040,00 e i = 1,20481% a.m.; b) FV = $10.240,00 e i = 1,19289% a.m.

Prob. 10 a) FV = $10.039,84 e i = 1,1952% a.m. ; b) FV = $10.241,44 e i = 1,2072% a.m.

Capítulo 6 — Série Uniforme — Prestações IguaisProb. 1 PMT = $339,41

Prob. 2 Sinal = $5.866,37

Prob. 3 $1.117,38

Prob. 4 1,3370% a.m.

Prob. 5 a) 1,2043% a.m.; 1,4313% a.m.

Prob. 6 a) 1,6912% a.m.; b) 2,3923% a.m.

Prob. 7 a) PMT = $18.744,40 ; b) PMT = $22.680,73

Prob. 8 PMT = $3.857,58

Prob. 9 $32.342,05; b) $34.311,68

Prob. 10 a) $4.707,35; b) $1.000,00 e $3.707,35; c) $4.478,88; d) $52.981,59

Prob. 11 a) 4,3478%; b) 2,7003%

Prob. 12 3,5244%

Prob. 13 PV mensal = $60.239,36; PV trimestral = $39.760,64

Prob. 14 9,2953% ao ano

Prob. 15 PV = $150.000,00

Capítulo 7 — Valor Presente Líquido — Taxa Interna de RetornoProb. 1 Fluxo (A) => VPL = $13.147,13; Fluxo (B) => VPL = $852,93; Fluxo (C) => VPL = $12.344,54;

Fluxo (D) => VPL = $235,60; Fluxo (E) => VPL = $420,31

Prob. 2 a) i = 0,00% => VPL = $1.100,00; i = 1,00% => VPL = $852,56; i = 2,00% => VPL = $621,31;

i = 3,00% => VPL = $404,96; i = 4,00% => VPL = $202,35; i = 5,00% => VPL = $12,41;

I = 6,00% => VPL = (-) $165,84


b) 5,07 % ao semestre

Prob. 3 a) i = 0,00% => VPL = $1.450,00; i = 2,00% => VPL = $788,07; i = 4,00% => VPL = $173,08;

i = 6,00% => VPL = (-)$399,36

b) 4,59% a.a.

Prob. 4 a) 1,00% ao mês, pois o Valor Presente Líquido é nulo

b) Não, pois os recursos estão rendendo mais do que 1,00% ao mês

Capítulo 8 — Equivalência de Fluxos de CaixaProb. 1 $220,00; $242,00; $266,20; $292,82; $322,10

Prob. 2 a) Price: PMT = $1.055,82;

b) SAC: $2.000,00; $1.900,00; $1.800,00; $1.700,00; $1.600,00; $1.500,00;

$1.400,00; $1.300,00; $1.200,00; $1.100,00

Prob. 3 a) $10.000,00; $10.000,00; $22.500,00; $21.250,00; $20.000,00; $18.750,00;

$17.500,00; $16.250,00; $15.000,00; $13.750,00;

b) $0,00; $0,00; $27.225,00; $25.712,50; $24.200,00; $22.687,50; $21.175,00;

$19.662,50; $18.150,00; $16.637,50

Prob. 4 a) Prestação mensal = $2.467,31; b) Parcelas semestrais = $15.331,77

Prob. 5 $12.991,72

Prob. 6 a) $482,02; b) $152,66; c) $552,64

Prob. 7 a) $1.776,98; b) $939,61; c) $1.128,62

Prob. 8 8 mensais de $965,73 e intermediária de $2.897,19

Prob. 9 3 mensais de $13.679,94

Prob. 10 1º mês = $2.103,51; 4º mês = $8.414,04

Capítulo 9 — Fluxos de Caixa Não HomogêneosProb. 1 a)1,00% => VPL = $197,08; 1,50% => VPL = (-) $423,97; 2,00% => VPL = (-) $1.025,75;

b)1,1570% ao mês

Prob. 2 a)1,00% => VPL = $132,66; 1,50% => VPL = (-) $1.227,21; 2,00% => VPL = (-) $2.540,58;

b)1,0480 ao mês;

c)1,00% => VPL = $2.132,66; 1,50% => VPL = $772,79; 2,00% => VPL = (-) $540,58;

d)1,7921 % ao mês

Prob. 3 a)3,167% de deságio; b) 5,7988% ao semestre

Prob. 4 a) 0,03105378% ao dia; b) 0,9358203% ao mês; c) 11,8262607% ao ano;

d.1) $19.540,71; d.2) $19.540,71; d.3) $19.540,71; d.4) $19.540,71;

Respostas dos Exercícios 183

d.5) todos valores são iguais; e) 1,020461% ao mês; f) 0,03384870% ao dia;

g) 13,148040% ao ano; h) 13,148040% ao ano, igual à do item (g)

Prob. 5 a) 0,02647855% ao dia; b) Cupons: $241,14 (1º trim.) $243,85 (2º trim.) $246,56(3º e 4º trim.); c) 0,04105772% ao dia; d) 15,925488% ao ano;e)16,163666% ao ano; f) 16,163666% ao ano, igual à do item (e);

g)1,5975% de deságio

Prob. 1 a) tns =11,30% a.s.

b) tna = 23,8769% a.a.

c) ia=10,2500% a.a. ; tia = 12,3600% a.a.

d) (1 + tna) = (1 + ia ) (1 + tia)

(1 + 23,8769%) = (1 +10,2500%) (1+12,3600%)

Prob. 2 $12.096,00

Prob. 3 $56.007,38

Prob. 4 a) tnm = 2,1315% a.m.

b) $ 263,46

Prob. 5 tim = 1,50 % a.m.

Prob. 6 Prestação anual = $6.854,16

Prob. 7 a) $30.000,00; $28.000,00; $26.000,00; $24.000,00; $22.000,00

b) $32.700,00; $33.419,40; $34.289,52; $35.134,77; $36.078,52

c) tna = 20,7764 % a.a.


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[Adriana Puccini and Abelardo Puccini (Auth.)] Mat Fin