AFOGADOS ALUNO MATEMÁTICA final - RedeCompras · PRODUTOS NOTÁVEIS É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos

WBA

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Matemática

CADERNO DE ATIVIDADES SUPLEMENTARESPARA O ENSINO MÉDIO

CADERNO DE ATIVIDADES SUPLEMENTARESPARA O ENSINO MÉDIO

Afogados da Ingazeira – PE

Eduardo Henrique Accioly GOVERNADOR DO ESTADO DE PERNAMBUCO

Danilo Jorge de Barros CabralSECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO

Nilton da Mota Silveira FilhoCHEFE DE GABINETE

Margareth Costa ZaponiSECRETÁRIA EXECUTIVA DE GESTÃO DE REDE

Aída Maria Monteiro da SilvaSECRETÁRIA EXECUTIVA DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO

Cantaluce Mércia Ferreira Paiva de Barros LimaGerente de Políticas Educacionais do Ensino Médio

Campos

Idealização:

Cecília Maria Peçanha Esteves PatriotaGESTORA DA GERÊNCIA REGIONAL

Olegária Maria de OliveiraGERENTE DA UNIDADE DE DESENVOLVIMENTO DE ENSINO – UDE

Organização:

Eliana Nogueira Brito Saturnini

Nadja Patrícia da SilvaTÉCNICAS DE ENSINO

Apoio da Equipe:

José de Arimatheia de Santana

Elisângela BastosTÉCNICAS DE ENSINO DE MATEMÁTICA DA GERÊNCIA

DE POLÍTICAS EDUCACIONAIS DO ENSINO MÉDIO

Revisão:

Janaína Ângela da Silva - GPEM | SEDE

Elisângela Bastos - GPEM | SEDE

Caro (a) aluno (a),

Esta coletânea de atividades matemáticas é mais um suporte didático que tem como objetivo contribuir para o desenvolvimento da aprendizagem sobre os conteúdos expostos e propostos na Base Curricular Comum (BCC), Orientações Teórico-Metodológicas (OTM), Matriz de Referência do SAEPE e Matriz de Referência do ENEM. Ela apresenta sugestões de atividades que favorecem uma reflexão sobre problemas matemáticos, servindo também de ferramenta para resolução de problemas de natureza diversa.

Enfim, este é um material que se apresenta como um instrumento, um estímulo para a participação dos estudantes em práticas sociais de resolução de problemas como também para dar continuidade aos estudos posteriores e exercer plenamente a cidadania.

Bom trabalho!

Caro (a) aluno (a),

Esta coletânea de atividades matemáticas é mais um suporte didático que tem como objetivo contribuir para o desenvolvimento da aprendizagem sobre os conteúdos expostos e propostos na Base Curricular Comum (BCC), Orientações Teórico-Metodológicas (OTM), Matriz de Referência do SAEPE e Matriz de Referência do ENEM. Ela apresenta sugestões de atividades que favorecem uma reflexão sobre problemas matemáticos, servindo também de ferramenta para resolução de problemas de natureza diversa.

Enfim, este é um material que se apresenta como um instrumento, um estímulo para a participação dos estudantes em práticas sociais de resolução de problemas como também para dar continuidade aos estudos posteriores e exercer plenamente a cidadania.

Bom trabalho!

ADERNO DE TIVIDADES U PLEMENTARESC A S

3

01. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) Se é a fração irredutível equivalente ao

valor de p + q é igual a:

A) 38 B) 39 C) 40 D) 41 E) 42 02. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar? A) 132 B) 144 C) 146 D) 148 E) 152 03. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Em um hotel há 100 pessoas. Trinta comem porco, 60 comem galinha e 80 comem alface. Qual é o maior número possível de pessoas que não comem nenhum desses dois tipos de carne? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

04. (Olimpíada Brasileira de Matemática) A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação ( ) ( ) 021452 22 =−−− xx é: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 05. (Olimpíada Brasileira de Matemática - 2002) Quantos são os possíveis valores inteiros

de x para que 1999

++

xx seja um número inteiro?

A) 5 B) 10 C) 20 D) 30 E) 40

06. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? A) R$ 220,00 B) R$ 204,00 C) R$ 196,00 D) R$ 188,00 E) R$ 180,00

EIXO: NÚMEROS E OPERAÇÕES

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4

07. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Sejam x e y números racionais. Sabendo que 5 2006

4 2006x

y−−

também é um número racional, quanto vale o produto xy?

A) 20 B) Pode ser igual a 20, mas também pode assumir outros valores. C) 1 D) 6 E) Não se pode determinar. 08. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Iniciando com o par (2048, 1024), podemos aplicar quantas vezes quisermos a operação que transforma o par (a, b) no par

3 3,4 4

a b a b+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, então, dentre os seguintes pares:

1. (1664, 1408) 2. (1540, 1532) 3. (1792, 1282) 4. (1537, 1535) 5. (1546, 1526)

A) Todos podem ser obtidos. B) Apenas o par 4 não pode ser obtido. C) Apenas o par 3 não pode ser obtido. D) Existem exatamente dois pares que não podem ser obtidos. E) Existem mais de dois pares que não podem ser obtidos.

09. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Numa certa povoação africana vivem 800 mulheres. Delas, 3% usam apenas um brinco; das restantes, metade usa dois brincos e a outra metade, nenhum. Qual o número total de brincos usados por todas as mulheres? A) 776 B) 788 C) 800 D) 812 E) 824

10. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Qual é o menor número inteiro positivo N tal que

são números inteiros?

A) 420 B) 350 C) 210 D) 300 E) 280


5

11. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma formiguinha vai caminhar de A até C

passando por B, podendo passar apenas uma vez por esses pontos e

12. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Dados a e b números reais seja a �b = a2 − ab + b2 . Quanto vale 1� 0 ? A) 1 B) 0 C) 2 D) -2 E) -1 13. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica e todos usam velas à noite. Na casa de João, usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente. Com os tocos de quatro destas velas, é possível fazer uma nova vela. Durante quantas noites João poderá iluminar sua casa com 43 velas? A) 43 B) 53 C) 56 D) 57 E) 60

14. (Olimpíada Brasileira de Matemática) O limite de peso que um caminhão pode transportar corresponde a 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se este caminhão já contém 32 sacos de areia, quantos tijolos, no máximo, ele ainda pode carregar? A) 132 B) 144 C) 146 D) 148 E) 152

15. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Há 1002 balas de banana e 1002 balas de maçã numa caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas da caixa. Se q é a probabilidade das duas balas serem de sabores diferentes e p é a probabilidade das duas balas serem do mesmo sabor, qual o valor de q−p? A) 0 B) 1/2004 C) 1/2003 D) 2/2003 E) 1/1001

pelos caminhos indicados na figura. Qual o número de maneiras diferentes que ela

pode escolher para ir de A até C ? A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

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01. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Sendo a ≠ b e b ≠ 0, sabe-se que as raízes da equação 02 =++ baxx são exatamente a e b. Então, a – b é igual a: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

02. O gráfico de 2 5 9y x x= − + é rodado 180o em torno da origem. Qual é a equação da nova curva obtida? A) 2 5 9y x x= + + B) 2 5 9y x x= − − C) 2 5 9y x x= − + − D) 2 5 9y x x= − − + E) 2 5 9y x x= − − −

03. (Olimpíada Brasileira de Matemática) No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3844. Quantos anos Neto completa em 2006?

A) 55 B) 56 C) 60 D) 62 E) 108

04. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Os dois números reais a e b são não nulos e satisfazem ab = a – b. Assinale a alternativa que exibe um dos possíveis valores de a b abb a

+ − .

A) –2 B) 12

− C) 13

D) 12

E) 2

05. A soma dos valores reais de x tais que x2 + x + 1 = 156/(x2 + x) é:

A) 13 B) 6 C) –1 D) –2 E) –6

06. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Se x é real positivo e 1 + (x2 + x)(x2 + 5x + 6) = 1812, então o valor de x(x + 3) é:

A) 180 B) 150 C) 120 D) 182 E) 75

07. (Olimpíada Brasileira de Mat.) Se xy = 2 e x2 + y2 = 5, então 22

2

2

2

++xy

yx vale:

A) 25 B)

425 C)

45 D)

21 E) 1

EIXO: ÁLGEBRA E FUNÇÕES


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08. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Os valores de x, y e z que satisfazem às equações

51=+

yx , 11

=+z

y e 21=+

xz são tais que zyx 23 ++ é igual a:

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 09. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) Uma escola vai organizar um passeio ao zoológico. Há duas opções de transporte. A primeira opção é alugar "vans": cada van pode levar até 6 crianças e seu aluguel custa R$60,00. A segunda opção é contratar uma empresa para fazer o serviço: a empresa utiliza ônibus com capacidade para 48 crianças e cobra R$237,00 mais R$120,00 por ônibus utilizado. A escola deve preferir a empresa que utiliza ônibus se forem ao passeio pelo menos N crianças. O valor de N é: A) 28 B) 31 C) 32 D) 33 E) 36

10. Sabendo-se que 0,333... 1/3 , qual é a fração irredutível equivalente a 0,1333…? A) 1/13 B) 1/15 C) 1/30 D) 2/5 E) 1333/10000

11. No último campeonato de futebol do bairro em que moro participaram 6 equipes. Cada equipe disputou com cada uma das outras exatamente uma partida. Abaixo, a tabela de classificação do campeonato, onde • V é o número de vitórias de uma equipe. • E o número de empates. • D o número de derrotas. • GP é o número de gols feitos por um time. • GC é o número de gols sofridos. a) Quantas partidas foram disputadas? b) A tabela está incompleta. Determine a quantidade de vitórias da equipe F, a quantidade de derrotas da equipe D e a quantidade de gols feitos pela equipe F, representados por x , y e z na tabela. 12. Se 3 e 1/ 3 são as raízes da equação ax²-6x+c=0 , qual o valor de a + c ?

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A) 1 B) 0 C) – 9/5 D) 18/5 E)-5

13. A figura mostra a marca de uma empresa, formada por dois círculos concêntricos e outros quatro círculos de mesmo raio, cada um deles tangente a dois dos outros e aos dois círculos concêntricos. O raio do círculo menor mede 1cm. Qual é, em centímetros, o raio do círculo maior?


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PRODUTOS NOTÁVEIS

É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

Produtos notáveis Exemplos

(a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2+6x+9

(a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9

(a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2+5x+6

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8

(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x2-2x+4) = x3+8

(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x2+2x+4) = x3-8

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01. O retângulo ao lado está dividido em 9 quadrados, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrado A tem lado 1. Qual é o lado do quadrado I?

I

H

D

C

G

F

E B A

02. No quadrilátero convexo ABCD, ∠A + ∠B = 120°, AD = BC = 5 e AB = 8. Externamente ao lado CD, construímos o triângulo equilátero CDE. Calcule a área do triângulo ABE. A) 20√3 cm2. B) 14 √3 cm2. C) 16√3 cm2.

D) 13 √3 cm2. E) 12√3 cm2.

03. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão na figura abaixo. Qual é a área do retângulo ABCD?

16

12 27

A

B C

D

04. No triângulo ABC, AB = 5 e BC = 6. Qual é a área do triângulo ABC, sabendo que o

ângulo C tem a maior medida possível?

A) 15 B) 75 C) 2/77 D) 113 E) 2/115

EIXO: GRANDEZAS E MEDIDAS

A) 28

B) 14

C) 16

D) 22

E) 18

A) 80

B) 84

C) 86

D) 88

E) 91


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05. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) Marcelo leva exatamente 20 minutos para ir de sua casa até a escola. Certa vez, durante o caminho, percebeu que esquecera em casa a revista Eureka! que ia mostrar para a classe; ele sabia que se continuasse a andar, chegaria à escola 8 minutos antes do sinal, mas se voltasse para pegar a revista, no mesmo passo, chegaria atrasado 10 minutos. Que fração do caminho já tinha percorrido neste ponto?

A) B) C) D) E)

06. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) A linha poligonal AB é desenhada mantendo-se sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seu comprimento total é igual a:

A) 31 B) 88 C) 90 D) 97 E) 105

07. (Exame Nacional do Ensino Médio - 2005)

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão e igual a: A) 1,8 m B) 1,9 m C) 2,0 m D) 2,1 m E) 2,2 m

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08. Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas de 1 m de lado para recortar quadrados de 30 cm de lado. Ao sair da máquina, da chapa original sobra uma parte que é reaproveitada posteriormente. Quantos cm2 de chapa são reaproveitados?

09. Dispondo de uma folha de cartolina medindo 50cm de comprimento por 30cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando-se um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha (ver figura abaixo), Qual será o volume dessa caixa, em cm3? A) 4.300 m3 B) 3.800 m3 C) 3.808 m3 D) 3.288 m3 E) 2.994 m3

10. Determine quantos metros quadrados de papelão são necessários para se construírem 500 caixas de sapatos com as dimensões indicadas na figura.

A) 113,20 cm2 B) 111,20 cm2 C) 115,20 cm2

D) 114,20 cm2 E) 116,20 cm2

11. Deseja-se cimentar um quintal retangular com 10 m de largura e 14 m de comprimento. O revestimento será feito com uma mistura de areia e cimento de 3 cm de espessura. Qual é o volume da mistura utilizado nesse revestimento? A) 4,3 m3 B) 4,4 m3 C) 4,6 m3 D) 4,2 m3 E) 2,4 m3

A) 1 900cm2

B) 1 960cm2

C) 1 800cm2

D) 1 909cm2

E) 1 980cm2


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12. Uma laje é um bloco retangular de concreto de 6 m de comprimento por 4 m de largura. Sabendo que a espessura da laje é de 12 cm, calcule o volume de concreto usado nessa laje. A) 2,88 m3 B)2,8 m3 C) 2,80 m3 D) 2, 82 m3 E) 2, 86 m3 13. Quantos metros quadrados de azulejo serão necessários para revestir uma piscina retangular de 8 m de comprimento, 5 m de largura e 1,60 m de profundidade. A) 81,60m2 B) 81 m2 C) 80,60 m2 D) 80 m2 E)82 m2

14. A piscina de um clube tem 1,80 m de profundidade, 14 m de largura e 20 m de comprimento. Calcule quantos litros de água são necessários para enchê-la. A) 500 000l B) 504 000l C) 540 000l D) 450 000l E) 454 000l 15. Um caleidoscópio de madeira tem a forma e as dimensões da figura abaixo. Quantos cm2 de madeira foram usados para fazer o caleidoscópio? (Use .J3 = 1,7.) 12cm

6cm 12cm

A) 396 cm2 B) 246,6 cm2 C) 72 cm2 D) 240,6 cm2 E) 390 cm2 16. Deseja-se colar papel em toda a superfície de um objeto de madeira que tem a forma e as dimensões indicados na figura. Quantos cm2 de papel serão utilizados? 2cm

A) 259 cm2 B) 269,2 cm2 C) 259,2 cm2

D) 269 cm2 E) 279 cm2

2cm

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17. Considere os prismas retos e regulares indicados abaixo.

fig.1 fig.2 De cada um deles, a área lateral e a área total da fig.1e da fig.2, respectivamente: A) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 768 cm2 e

fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = 8 (9 +√3) cm2

B) fig. 1: a área lateral= 72cm2 e a área total= 768 cm2 e

fig. 2: a área lateral =640cm2 e a área total = 8 (9 +√3) cm2

C) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 8 (9 +√3) cm2 cm2 e fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = 768 cm2

D) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 768 cm2 e fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = (9 +√3) cm2

E) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 768 cm2 e

fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = 8 (3 +√3) cm2

18. Calcule a área da base, a área lateral e a área total de um prisma reto com 6 cm de altura e cuja base é um hexágono regular com 2 cm de aresta.

a=2cm A) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=12 (6 + √3) cm2

B) a área da base=√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=12 (6 + √3) cm2

C) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total= (6 + √3) cm2

D) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=2 (6 + √3) cm2

E) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=12√3) cm2

6cm

h=6cm


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19. O suporte de um abajur tem a forma de um prisma triangular regular. A aresta da base do prisma mede 20 cm e a altura, 50 cm. Sabendo que o suporte deve ser revestido de vidro, determine a área, em m2, da superfície desse material que será utilizado na construção de 30 abajures. (Faça√3 = 1.7.)

A) 10 m2 B) 11 m2 C) 10,02 m2 D) 11,2 m2 E) 10,2 m2 20. Um arquiteto fez o projeto para construir uma coluna de concreto que vai sustentar uma ponte. A coluna tem a forma de um prisma hexagonal regular de aresta da base 2 m e altura 8 m. Qual a área lateral que se deve utilizar em madeira para a construção da coluna e o volume de concreto necessário para encher a fôrma da coluna, respectivamente?

2m

A) 96m2 e 48√3m3 B) 96m2 e 48√3m3 C) 98m2 e 46√3m3

D) 86m2 e √3m3 E) 66m2 e 48√3m3

21. O volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas na figura abaixo: A) 288 m3 B) 384 m3 C) 480 m3 D) 380 m3 E) 450 m3

20 cm

50 cm

8m

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22. O sólido da figura seguinte é composto de 2 cubos de arestas 2 cm e 1 cm. Nessas condições, o volume do sólido é:

A) 6 cm3 B) 9 cm3 C) 10 cm3 D) 12 cm3 E) 17 cm3

23. Qual é o volume de concreto que deverá ser utilizado para construir uma escada com 12 degraus, conforme o modelo indicado na figura?

A) 1,92 m3 B) 1,95 m3 C) 1.96 m3 D) 1,98 m3 E) 2,00 m3 24. Uma caixa-d'água cúbica tem 3 m de aresta interior. Sabendo que 1 dm3 = 1e, calcule a capacidade, em litros, dessa caixa.

A) 37 000l B) 17 000l C) 27 000 l D) 47 000l E) 21 000l

25. Determine quantos cm2 de madeira são necessários para fabricar uma caixa de forma cúbica com as dimensões indicadas na figura.

A) 2 904cm2 B) 2 900 cm2 C) 2 908 cm2 D) 2 902 cm2 E) 2 903 cm2

22cm

22cm 22cm


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26. As medidas internas de uma caixa-d'água em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2 m, 1 m e 0,7 m. Sua capacidade é de: a) 8400 litros b) 84 litros c) 840 litros d) 8,4 litros e) n.d.a. 27. Qual é o volume de areia necessário para encher completamente um dos cones da ampulheta cujas dimensões estão indicados na figura?

28. Num recipiente aberto em forma de cubo cuja aresta mede 10 cm, existem 500 cm3 de água. No interior do recipiente é colocada uma esfera que se ajusta perfeitamente a ele. (Temos, então, a figura de uma esfera inscrita num cubo.) Pergunta-se se haverá derramamento da água.

A) não B) sim, 23 cm3 C) sim, 22 cm3 D) sim, 24 cm3 E) n.d.a

29. Um reservatório de forma esférica (figura abaixo) tem 9 m de raio. Para encher totalmente esse reservatório são necessárias 20 horas. Nessas condições, o reservatório recebe água na razão de quantos m3/h?

A) 1 522 m3 /h B) 1 626 m3 /h C) 152.6 m3 /h

D) 1 528 m3 /h E) 1 523 m3 /h

20 cm

10cm

A) 167,46 cm3 (aproximadamente)

B) 168,46 cm3 (aproximadamente)

C) 167,66 cm3 (aproximadamente)

D) 157,46 cm3 (aproximadamente)

E) 166,46 cm3 (aproximadamente)

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30. Calcule, aproximadamente, a capacidade em ml do recipiente indicado na figura. Adote

∏ = 3,14.

6cm

A) 3 333,52 ml B) 3 234,54 ml C) 3 335,60 ml

D) 3 334,68 ml E) 3 345,66 ml

31. Determine, aproximadamente, quantos cm² de alumínio são necessários para fabricar uma lata de cerveja de forma cilíndrica, com 6,5 cm de diâmetro nas bases e 11,5 cm de altura. Adote II = 3, 14, 32. Consideremos um tanque cilíndrico com 1,6 m de diâmetro e 5 m de altura feito para armazenar azeite. Se apenas 60% do seu volume está ocupado por azeite, qual a quantidade de litros de azeite que há no tanque?

33. Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 8 cm de diâmetro e 15 cm de altura. Quantos ml de cerveja cabem nessa lata?

St = 2∏r (h + r)

V = Sb . h V = ∏r2h


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34. O reservatório, "tubinho de tinta", de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Se você gasta 5II mm³ de tinta por dia, determine quantos dias a tinta de sua esferográfica durará,

35. O tonel representado na figura está ocupado em 80% da sua capacidade. Determine a quantidade de água nele contida.

36. Um cano de drenagem é um tubo cilíndrico com 100 cm de comprimento. Os diâmetros interior e exterior são 26 cm e 32 cm, respectivamente, Calcule o volume de barro necessário para a fabricação desse cano,

37. Uma lata de leite em pó, em forma de um cilindro reto, possui 8 cm de altura com 3 cm de raio na base. Uma outra lata de leite, de mesma altura e cujo raio é o dobro da primeira lata, possui um volume de: (A) duas vezes maior. (B) quatro vezes maior. (C) três vezes maior. (D) sete vezes maior. (E) oito vezes maior.

V = Sb . h V = ∏r2h

V = Sb . h V = ∏r2h

V = Sb . h V = ∏r2h

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20

38. De uma chapa de aço retangular foram recortadas figuras circulares, conforme nos mostra a figura abaixo. As medidas estão na figura. Calcule a área da parte que sobra da placa original. A) 11,32m2 B) 10,36m2 C) 12,32m2 D) 14,32m2 E) 10,32m2

39. Quantos cm2 de alumínio são utilizados para se fazer uma arruela cujas medidas estão colocadas na figura abaixo? A) 44,20 cm2 B) 48,10 cm2 C) 46,90 cm2 D) 47,10 cm2 E) 48,10 cm2 40. Determine a área da superfície total da figura. (Adote ∏ = 3,14.)

A) 99,16 cm2 B) 86,23 cm2 C) 89,13 cm2 D) 86,15 cm2 E) 99,13 cm2

12m

1 cm

4 cm


21

41. (FAAP-SP) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de centro O e a parte hachurada é limitada por quartos de circunferências centradas nos vértices e passando por O. Calcule a área da figura hachurada.

A) a/6(4- ) B) a2/4(4- ) C) a2/2(2- ) D) a/2(4- ) E) a2/2(3- )

42. Calcule a área da figura hachurada da figura. (Adote = 3,14.)

A) 20,3 B) 22,4 C) 24,5 D) 32,3 E) 26,2 43. (Cesgranrio) De um bloco cúbico de isopor, de aresta 3 m, recorta-se o sólido em de H mostrado na figura. Calcule o volume na figura desse sólido.

A) 21 m2 B)22 m3 C) 24 m3 D) 32 m3 E) 26 m3

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22

44. A área total do sólido figura abaixo, é:

A) 240 B) 242 C) 244 D) 246 E) 248

45. Um cubo de madeira de aresta 20cm possui uma cavidade em forma de bloco retangular de base quadrada de lado 8cm e profundidade 12cm. O volume deste sólido é:

46. (PUC-SP) Quantos litros comporta, aproximadamente, uma caixa-d'água cilíndrica com 2 metros de diâmetro e 70 cm de altura? A) 1 250 B) 2 200 C) 2450 D) 3 140 E) 3 700 47. (UFU-MG) Um tanque de gasolina tem forma cilíndrica. O raio da circunferência da base é 3,0 m e o comprimento do tanque é 6,0 m. Colocando-se líquido até os 8/9 de sua capacidade, pode-se afirmar que nesse tanque há: (Use = 3,14.) A) 150 720l B) 50 240l C) 15 072l D) 15 024l E) 1 507,2l 48. (Osec-SP) Se a altura de um cilindro circular reto é igual ao diâmetro da base, então a razão entre a área total e a área lateral do cilindro é: A) 3 B) 3/2 C) 2∏ D) 2 E) 1

A) 8 000cm3

B) 8 768cm3

C) 7 200cm3

D) 7 232cm3

E) 8 232cm3


23

49. (Mack-SP) Um cilindro tem área total de 16 m2. Se o raio mede um terço da altura, a área lateral do cilindro é: A) 6 m2 B) 12 m2. C) 16 m2. D) 20 m2. E) 24 m2.

50. O volume do sólido representado pela figura é:

51. (UFGO) Para encher de água um reservatório que tem a forma de um cilindro circular reto, são necessárias cinco horas. Se o raio da base é 3 m e a altura, 10m, o reservatório recebe água à razão de: A) 18 m3 por hora. B) 30 m3 por hora. C) 6 m3 por hora.

D) 20 m3 por hora. E) n.d.a.

52. (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por: A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15

53. (PUC-SP) Uma pipa de vinho, cuja forma é de um cilindro circular reto, tem o raio da base igual a 4/ √ m e a altura 3 m. Se apenas 30% do seu volume está ocupado por vinho, então a quantidade de vinho existente na pipa, em litros, é: A) 1 440 B) 4 800 C) 16 000 D) 14 400 E) 15 000 54. Um lápis tem 8 mm de diâmetro e 8 cm de comprimento. O volume de uma caixa onde cabem 20 lápis iguais a esse é, aproximadamente: A) 80 cm3 B) 90 cm3 C) 100 cm3 D) 50 cm3 E) n.d.a.

A) 8 B) 4 C) 5 D) 3 E) n. d. a.

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24

55. Uma seringa cilíndrica tem 2 cm de diâmetro por 8 cm de comprimento. Quando o êmbolo se afasta 3 cm da extremidade da seringa próxima à agulha, qual o volume, em ml, de remédio líquido que a seringa pode conter? A) 10 B) 9,42 C) 8,42 D) 8 E) n.d.a 56. O volume de sorvete que cabe dentro de um copinho de forma cônica (casquinha), sabendo que o diâmetro do copinho é 6 cm e sua altura é 10 cm? A) 30 cm3 ou 94,20 cm3 B) 33 cm3 ou 94,20 cm3 C) 30 cm3 ou 90,20 cm3

D) 30 cm3 ou 98,20 cm3 E) 34 cm3 ou 94,20 cm3

57. O volume de um cone circular reto é 18 cm3. A altura do cone é igual ao diâmetro da base, Quanto mede a altura desse cone? A) 3cm B) 6cm C) 2cm D) 5cm E) 1cm 58. Um copo tem a forma de um tronco de cone. Suas bases têm diâmetros de 8 cm e 6 cm, enquanto sua altura é de 10 cm. Qual é o volume máximo de água, em ml, que esse copo pode conter? (Note que as medidas dadas são internas.)

A) v = 390 /3ml ou 407,26 ml (aproximadamente)

B) v = 360 /3ml ou 397,26 ml (aproximadamente)

C) v = 350 /3ml ou 367,26 ml (aproximadamente)

D) v = 380 /3ml ou 397,26 ml (aproximadamente)

E) v = 370 /3ml ou 387,26 ml (aproximadamente) 59. (UFPE) Considere um triângulo equilátero de lado l como na figura. Unindo-se os pontos médios dos seus lados obtemos 4 (quatro) novos triângulos. O perímetro de qualquer um desses quatro triângulos é igual a:

A) 5l/2

B) l

C) 3l

D) l/2

E) 3l/2


25

60. (Unesp) Considere um quadrado ABCD, cuja medida dos lados é 1 dm. Seja P um ponto interior ao quadrado e equidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio do lado DA. Se a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do triângulo BCP, a distância do ponto P ao lado BC é:

A) 2/3 dm

B) 2/5dm

C) 3/5 dm

D) 1/2 dm

E) 4/7 dm

61. (ITA-SP) Por um ponto A de uma circunferência traça-se o segmento AA” perpendicular a um diâmetro desta circunferência. Sabendo-se que o ponto A” determina no diâmetro segmentos de 4 cm e 9 cm, podemos afirmar que a medida do segmento AA” é: A) 4 cm B) 6 cm C) 12 cm D) √13 cm E) 13 cm

62. Calcule a medida dos segmentos a e b na figura.

1 1

63. (Fuvest-SP) Considere o triângulo representado na malha quadriculada. A área do triângulo, em cm2, é:

A) 4

B) √6

C) 12

D) √13

E) 13

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

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26

64. (Unicamp-SP) O retângulo de uma bandeira do Brasil, cuja parte externa ao losango é pintada de verde, mede 2 m de comprimento por 1,40 m de largura. Os vértices do losango, cuja parte externa ao círculo é pintada de amarelo, distam 17 cm dos lados do retângulo e o raio do círculo mede 35 cm. Para calcular a área do círculo use a fórmula A = ∏r2 e, para facilitar os cálculos, tome como 22/7.

• Qual é a área da região pintada de verde? • Qual é a porcentagem da área da região pintada de amarelo, em 'relação à área total

da bandeira? Dê sua resposta com duas casas decimais depois da vírgula. A) Área verde= 19 202, Área amarela=4 948 e porcentagem=17%

B) Área verde= 18 202, Área amarela=4 948 e porcentagem=16%

C) Área verde= 19 209, Área amarela=6 948 e porcentagem=15%

D) Área verde= 17 203, Área amarela=4 948 e porcentagem=13%

E) Área verde= 19 202, Área amarela=5 948 e porcentagem=19%

65. (Mack-SP) Na figura, a área do quadrado de centro O é: A) 10 B) 16 C) 25 D) 100 E) 2500 66. (Mack-SP) A diagonal AD do quadrado ABCD mede √2cm. Se o diâmetro de cada uma das semicircunferências na figura abaixo é igual à metade do lado do quadrado, a área da região assinalada é:

X X }3

0

X2

A) 1

B) 1/

C) ∏/8

D) 2

E)


27

67. (UFJF-MG) Na figura abaixo, o apótema do hexágono regular inscrito no circulo mede √3 cm. A área da região sombreada na figura é, em cm2:

68. (CES-MS) Na figura abaixo, os segmentos AS, SC, CD, DE e AF têm as medidas indicadas em centímetros. O arco ÉF é uma semicircunferência.

A área da figura é, em centímetros quadrados, igual a A) 9 B) 9 + /2 C) 9 + D) 9 + 4 E) 4 + 2 69. (Unicamp-SP) Uma folha retangular de cartolina mede 35 cm de largura por 75 cm de comprimento. Dos quatro cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que o lado de cada um desses quadrados mede x cm de comprimento. Calcule a área do retângulo inicial e Calcule x de modo que a área da figura obtida, após o corte dos quatro cantos, seja igual a 1 725 cm2, respectivamente. A) área do retângulo inicial= 2 625 cm2 e x=15

B) área do retângulo inicial= 2 425 cm2 e x=12

C) área do retângulo inicial= 2 525 cm2 e x=15

D) área do retângulo inicial= 2 325 cm2 e x=13

E) área do retângulo inicial= 2 605 cm2 e x=14

A) 2 (2 - 3√3)

B) 6√3

C) - 3√3

D) 3(2 - 3./3)

E) 4 - √3

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28

70. (Cesgranrio-RJ) Os triângulos 1 e 2 da figura são retângulos isósceles. Então, a razão da área de 1 para a de 2 é:

a) √3 b) √2 c) 2 d) √5/2 e) 3/2 71. André treina para a maratona dando voltas em torno de uma pista circular de raio 100m. Para percorrer aproximadamente 42km , o número de voltas que André precisa dar está entre: A) 1 e 10 B) 10 e 50 C) 50 e 100 D) 100 e 500 E) 500 e 1000 72. Entre 1986 e 1989, a moeda do nosso país era o cruzado (Cz$). De lá para cá, tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro novo e, hoje, temos o real. Para comparar valores do tempo do cruzado e de hoje, os economistas calcularam que 1 real equivale a 2.750.000.000 cruzados. Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em notas de 1cruzado cada uma. Se uma pilha de 100 notas de 1cruzado tem 1,5cm de altura, qual seria a altura do salário do João? A) 26,4km B) 264km C) 26 400km D) 264000km E) 2640000km


29

01. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um quadrado ABCD possui lado 40 cm. Uma circunferência contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD. O raio desta circunferência é: A) 20cm B) 22cm C) 24cm D) 25cm E) 28cm

02. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. 12 delas são pentágonos regulares e as outras 20 são hexágonos também regulares. Os lados dos pentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma que possam ser costurados. Cada costura une dois lados de duas dessas peças. Quantas são as costuras feitas na fabricação de uma bola de futebol? A) 60 B) 64 C) 90 D) 120 E) 180

03. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da circunferência inscrita em ABC e O o ponto médio do lado AC. Se ∠AOI = 45°, quanto mede, em graus, o ângulo ∠ACB? 04. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) No triângulo ABC, AB = 20, AC = 21 e BC = 29. Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que BD = 8 e EC = 9. A medida do ângulo

ˆDAE , em graus, é igual a:

A) 30 B) 40 C) 45 D) 60 E) 75 05. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática-2008) No desenho temos AE = BE = CE = CD.

Além disso, α e β são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão αβ

?

A) 53

B) 54

C) 1 D) 45

E) 35

EIXO: GEOMETRIA

NSIN O ÉDIOE M

30

06. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática - 2008) Na figura a seguir, o pentágono regular ABCDE e o triângulo EFG estão inscritos na circunferência Co, e M é ponto médio de BC. Para qual valor de α , em graus, os triângulos EFG e HIG são semelhantes?

A

B

C

E

D

G

F

HI

MCo

α

A) B) C) D) E)

07. ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede:

A) 38° B) 40° C) 42° D) 44° E) 46°

08. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) Esmeralda e Jade correm em sentidos opostos em uma pista circular, começando em pontos diametralmente opostos. O primeiro cruzamento entre elas ocorre depois de Esmeralda ter percorrido 200 metros. O segundo cruzamento ocorre após Jade ter percorrido 350 metros entre o primeiro e o segundo ponto de encontro. As velocidades das moças são constantes. Qual é o tamanho da pista, em metros? A) 750 m B) 550m C) 350m D) 200 m E) 1500 m 09. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer e ACD e AEB são triângulos equiláteros. Se F e G são os pontos médios de EA e AC,

respectivamente, a razão BDFG

é:

C

A

B

D

E

G

F

°= 36α °= 38α °= 40α °= 42α°= 36α

A) 12

B) 1

C) 32

D) 2

E) Depende das medidas dos lados de ABC.


31

10. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) No triângulo ABC tem-se AB = 4, AC = 3 e o ângulo BÂC mede 60o. Seja D o ponto de intersecção entre a reta perpendicular a AB passando por B e a reta perpendicular a AC passando por C. Determine a distância entre os ortocentros dos triângulos ABC e BCD.

A) 3392 B) 3/4 C)5/6 D) 6/8 E) 9/7

11. Somente uma das figuras a seguir representa a planificação de um cubo na qual está destacada a sua interseção com um plano. Qual?

A) B) C) D) E)

12. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática - 2008) O número inteiro positivo a e o número

a1

localizam-se na reta da seguinte maneira:

Qual é a soma desses dois números?

A) 819

B) 809

C) 981

D) 9

82 E) 9

13. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) Considere o conjunto A dos pares ordenados (x;y) de reais não negativos tais que x + y = 2. Se a probabilidade de um elemento de A escolhido aleatoriamente está a uma distância da origem menor ou igual a 5

3 é p, quanto

vale 2535p2?

A) 3024 B) 3020 C) 3026 D) 4024 E) 4026

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32

14. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Se 00 < x < 900 e 41cos =x então x está entre:

A) 00 e 300 B) 300 e 450 C) 450 e 600

D) 600 e 750 E) 750 e 900

15. (Olimpíada Brasileira de Matemática) A figura mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus?

16. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Determine em qual dos horários abaixo o ângulo determinado pelos ponteiros de um relógio é o menor.

A) 02h30 B) 06h20 C) 05h40 D) 08h50 E) 09h55

17. (Exame Nacional do Ensino Médio - 2005) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será A) o triplo.

B) o dobro.

C) igual.

D) a metade.

E) a terça parte.

x

y

A) 270 B) 300 C) 330 D) 360 E) 390


33

18. Juliano encaixou duas rodas dentadas iguais, cada uma com uma bandeirinha igual desenhada, como mostra a figura ao lado.

Então ele girou a roda da esquerda um pouco. Qual das alternativas abaixo pode representar a posição final das rodas?

A) B)

C) D)

E) 19. Uma cerca de arame reta tem 12 postes igualmente espaçados. A distância entre o terceiro e o sexto poste é de 3,3 m. Qual é a distância entre o primeiro e o último poste? A) 8,4m B) 12,1m C) 9,9m D) 13,2m E) 9,075m

20. Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20cm de lado. Estas caixas são colocadas, sem deixar espaços vazios, em caixotes de madeira de 80cm de largura por 120cm de comprimento por 60cm de altura. Qual o número máximo de latas de palmito em cada caixote? A) 576 B) 4608 C) 2304 D) 720 E) 144

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34

21. Um atleta corre 5000m por semana em uma quadra de esportes, que tem uma pista curta e outra longa. Em uma semana ele treinou seis dias, sendo que a cada dia correu uma vez na pista longa e duas na pista curta. Na semana seguinte ele treinou sete dias, sendo que a cada dia correu uma vez em cada pista. Podemos, então, afirmar que: A) a pista longa é três vezes maior que a curta.

B) a pista longa é quatro vezes maior que a curta.

C) a pista longa é cinco vezes maior que a curta.

D) a pista longa é 600m mais longa que a curta.

E) a pista longa é 500m mais longa que a curta.

22. Os vértices de um cubo são numerados com os números de 1 a 8 , de tal modo que uma das faces tem os vértices {1, 2, 6, 7} e as outras cinco têm vértices {1, 4, 6, 8}, {1, 2, 5, 8}, {2, 3, 5, 7}, {3, 4, 6, 7} e {3, 4, 5, 8}. Qual o número do vértice que está mais distante daquele de número 6? A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

23. Na figura ao lado ABCD é um retângulo e ABE e CDF são triângulos retângulos. A área do triângulo ABE é 150cm2 e os segmentos AE e DF medem, respectivamente, 15 cm e 24cm . Qual o comprimento do segmento CF? A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

24. A figura ao lado foi montada com 12 azulejos quadrados de lados iguais a 10cm . Qual é a área da região hachurada?

A) 200 cm2

B) 260 cm2

C) 255 cm2

D) 240 cm2

E) 265 cm2


35

25. Um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 12 cm de altura, está com água até a altura de 8 cm. Foram então colocadas em seu interior n bolas de gude e o nível da água atingiu a boca do copo, sem derramamento. Qual é o volume, em cm3, de todas as n bolas de gude juntas? A) 32 B) 48 C) 64 D) 80 E) 96 26. (SAEB/ 2009) Duas pessoas, partindo de um mesmo local, caminham em direções ortogonais. Uma pessoa caminhou 12 metros para o sul, a outra, 5 metros para o leste. Qual a distância que separa essas duas pessoas? (A) 7m (B) 13m (C) 17m (D) 60m (E) 119m

27. (SAEB/2009) Ao fazer um molde de um copo, em cartolina, na forma de cilindro de base circular, qual é a planificação do molde desse copo?

28. (SAEB/2009) Ao passar sua mão direita por todos os vértices e arestas de um poliedro, somente uma vez, um deficiente visual percebe que passou por 8 vértices e 12 arestas. O número de faces desse poliedro é, então, igual a: (A) 20 (B) 12 (C) 8 (D) 6 (E) 4 29. (SAEB) Para se deslocar de sua casa até a sua escola, Pedro percorre o trajeto representado na figura abaixo. Sabendo que tg (60°) = 3 , a distância total, em km, que Pedro percorre no seu trajeto de casa para a escola é de

(A) 4 + √

(B) 4 + √3

(C) 4 + √

(D) 4√3

(E) 4 + 4√3

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36

FÓRMULAS DE GEOMETRIA ESPACIAL

PRISMAS

A A h

A A h

A A h

A A A V A h

B L

B L

B L

T L B B

Q Q

H H

Δ Δ= =

=

= + =

ll

l l

ll

2

2

2

34

3

4

6 34

6

2

=

= =

.

.

. .

. .

PARALELEPÍPEDO CUBO

A a b AA ab bc ac AV a b c A

D a b c V

d D

B F

T L

T

face cubo

= =

= + + =

= =

= + + =

= =

.

. .

l

l

l

l

l l

2

2

2

2 2 2 3

2 2 2 46

2 3

PIRÂMIDES

AL = p.ap ap2 = h 2 + K2

AT = AL + AB a2 = ap2 +

V = . a2 = h 2 + R2


37

TETRAEDRO

A a V a

A a A a

h a O b s K h d o

triâ n g u lo eq u ilá tero

F

T L

= =

= =

=

2 3

22

34

21 2

3 3 34

63

: =

.

CILINDRO

V A h r h A rA rhA r rhA rhEquilátero h r

B B

L

T

S

= = ==

= +=

→ =

. π ππ

π π

2 2

2

22 22

2

CONE

V A h r h A r

A rg A rhA r rg g r hEquilátero g r

BB

L S

T

= = =

= =

= + = +→ =

.3 3

2

22

2 2 2 2

π π

π

π π

NSIN O ÉDIOE M

38

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

FÓRMULAS DA ADIÇÃO

FÓRMULAS DA MULTIPLICAÇÃO

1)(cos)( 5)

todopara válidaRelação )(

1)(cos 4)

2 todopara válidaRelação

)cos(1)sec( 3)

todopara válidaRelação )()cos()(cot 2)


)cos()()( 1)

22 =+

≠=

+≠=

≠=

+≠=

xxsen

kxxsen

xec

kxx

x

kxxsenxxg

kxxxsenxtg

π

ππ

π

ππ

)(1)(.2)2( 14)

)(sen)(cos)2cos( 13))cos().sen(.2)2sen( 12)

2

22

xtgxtgxtg

xxxxxx

−=

−=

=

quadrante. primeiro ao pertencesoma cuja positivos, arcos para as verdadeirsão acima fórmulas As

2)(p/

2bp/

2p/

)().(1

)()()( 11)

2)(p/

2bp/

2p/

)().(1

)()()( 10)

)sen().sen()cos().cos()cos( 9))sen().sen()cos().cos()cos( 8))cos().sen()cos().sen()sen( 7))cos().sen()cos().sen()sen( 6)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+≠−

+≠

+≠

+−

=−

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+≠+

+≠

+≠

−+

=+

+=−−=+−=−+=+

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

kba

k

ka

btgatgbtgatgbatg

kba

k

ka

btgatgbtgatgbatg

babababababaabbabaabbaba


39

FÓRMULAS DA TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

2sen.

2sen.2)cos()cos( 18)

2cos.

2cos.2)cos()cos( 17)

2cos.

2sen.2sen(y)-sen(x) 16)

2cos.

2sen.2)sen()sen( 15)

yxyxyx

yxyxyx

yxyx

yxyxyx

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01. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um gafanhoto pula exatamente 1 metro. Ele está em um ponto A de uma reta, só pula sobre ela, e deseja atingir um ponto B dessa mesma reta que está a 5 metros de distância de A, com exatamente 9 pulos. De quantas maneiras ele pode fazer isso? A) 16 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48

02. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português também falam Inglês e 80% dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18 03. Uma pêra tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas de pêra para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serão evaporados? (lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma).

A) 15 litros B) 45 litros C) 75 litros D) 80 litros E) 30 litros

04. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Rafael tem 10 cartões. Cada um tem escrito um dos números 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 48, 53, 68, e todos os dez números aparecem. Qual o menor número de cartões que Rafael pode escolher de modo que a soma dos números nos cartões escolhidos seja exatamente 100?

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) não é possível obter soma 100 com esses cartões.

05. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo baralharam as 52 cartas de um baralho e distribuíram 13 cartas para cada um. Arnaldo ficou surpreso: “Que estranho, não tenho nenhuma carta de espadas.” Qual a probabilidade de Bernardo também não ter cartas de espadas?

A) !52!26

!39

B) !39!13

!26

C) !52!26!39!39

D) !39!13!26!26

E) !52

!13!39

EIXO: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO


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06. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

A) 16 B) 25 C) 30 D) 60 E) 120 07. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Um número de quatro dígitos é dito paladino se é múltiplo de 9 e nenhum de seus dígitos é nulo. Quantos números paladinos existem?

A) 1284 B) 1024 C) 849 D) 1109 E) 729

08. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Considere 10 pessoas, todas de alturas diferentes, as quais devem ficar em fila de tal modo que, a partir da pessoa mais alta, as alturas devem decrescer para ambos os lados da fila (se a pessoa mais alta for a primeira ou a última da fila, todas as pessoas a partir dela devem estar em ordem decrescente de altura). Obedecendo essas condições, de quantos modos essas pessoas podem ficar em fila?

A) 256 B) 768 C) 1260 D) 512 E) 2560

09. Em um certo país há 21 cidades e o governo pretende construir n estradas (todas de mão dupla), sendo que cada estrada liga exatamente duas das cidades do país. Qual o menor valor de n para que, independente de como as estradas sejam construídas, seja possível viajar entre quaisquer duas cidades (passando, possivelmente, por cidades intermediárias)? A) 191 B) 168 C) 160 D) 112 E) 166

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10. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática-2008) Nove números são escritos em ordem crescente. O número do meio é a média aritmética dos nove números. A média aritmética dos 5 maiores é 68 e a média aritmética dos 5 menores é 44. A soma de todos os números é:

A) 500 B) 504 C) 112 D) 56 E) 70 11. (Olimpíada Brasileira de Matemática) De quantas maneiras podemos colocar em cada espaço abaixo, um entre os algarismos 4, 5, 6, 7, 8, 9, de modo que todos os seis algarismos apareçam e formem, em cada membro, números de dois algarismos que satisfazem a dupla desigualdade?

_ _ > _ _ > _ _ A) 100 B) 120 C) 240 D) 480 E) 720

12. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma colônia de amebas tem inicialmente uma ameba amarela e uma ameba vermelha. Todo dia, uma única ameba se divide em duas amebas idênticas. Cada ameba na colônia tem a mesma probabilidade de se dividir, não importando sua idade ou cor. Qual é a probabilidade de que, após 2006 dias, a colônia tenha exatamente uma ameba amarela?

A) 2006

12

B) 1

2006

C) 1

2007

D) 1

2006 2007⋅

E) 20062007


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13. O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das empresas A e B no segundo semestre de 2001.

A

B

jul

a go

s et

out

nov

d ez

100120140160180200

Com base nesse gráfico, podemos afirmar que:

A) houve um mês em que o faturamento da empresa A foi o dobro do faturamento da

empresa B.

B) no mês de julho, a diferença de faturamentos foi maior que nos demais meses.

C) a empresa B foi a que sofreu a maior queda de faturamento entre dois meses

consecutivos.

D) no semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B.

E) a diferença entre os faturamentos totais do semestre excedeu os 20 milhões de

reais.

14. (Exame Nacional do Ensino Médio 2005) Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram indagados quanto aos tipos de poluição que mais afligiam as suas áreas urbanas. Nos gráficos abaixo estão representadas as porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental.

X Y Z

MIL

HÔ

ES

DE R

EA

IS

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Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira medida de combate à poluição em cada uma delas seria, respectivamente:

(A) manejamento de lixo, esgotamento sanitário, controle emissão de gases

(B) controle de despejo industrial, manejamento de lixo, controle emissão de gases

(C) manejamento de lixo, esgotamento sanitário, controle de despejo industrial

(D) controle emissão de gases, controle de despejo industrial, esgotamento sanitário

(E) controle de despejo industrial, manejamento de lixo, esgotamento sanitário

15. (ENEM 2005) Foram publicados recentemente trabalhos relatando o uso de fungos como controle biológico de mosquitos transmissores da malária. Observou-se o percentual de sobrevivência dos mosquitos Anopheles SP. Após exposição ou não a superfícies cobertas com fungos sabidamente pesticidas, ao longo de duas semanas. Os dados obtidos estão presentes no gráfico abaixo. No grupo exposto aos fungos, o período em que houve 50% de sobrevivência ocorreu entre os dias:

(A) 2 e 4

(B) 4 e 6

(C) 6 e 8

(D) 8 e 10

(E) 10 e 12


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16. (ENEM 2005) Em um estudo feito pelo Instituto Florestal, foi possível acompanhar a evolução de ecossistemas paulistas desde 1962. Desse estudo publicou-se o Inventário Florestal de São Paulo, que mostrou resultados de décadas de transformações da Mata Atlântica. Examinando o gráfico da área de vegetação natural remanescente (em mil km2) pode-se inferir que: (A) a Mata Atlântica teve sua área devastada em 50% entre 1963 e 1973.

(B) a vegetação natural da Mata Atlântica aumentou antes da década de 60, mas reduziu

nas décadas posteriores.

(C) a devastação da Mata Atlântica remanescente vem sendo contida desde a década de

60.

(D) em 2000-2001, a área de Mata Atlântica preservada em relação ao período de 1990-

1992 foi de 34,6%.

(E) a área preservada da Mata Atlântica nos anos 2000 e 2001 é maior do que a registrada

no período de 1990-1992.

(Fonte: Pesquisa. 91, São Paulo:FAPESP, set/2003, p. 48.)

Área de vegetação natural

(em mil km2)

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17. (ENEM 2008) A passagem de uma quantidade adequada de corrente elétrica pelo filamento de uma lâmpada deixa-o incandescente, produzindo luz. O gráfico abaixo mostra como a intensidade da luz emitida pela lâmpada está distribuída no espectro eletromagnético, estendendo-se desde a região do ultravioleta (UV) até a região do infravermelho.

A eficiência luminosa de uma lâmpada pode ser definida como a razão entre a quantidade de energia emitida na forma de luz visível e a quantidade total de energia gasta para o seu funcionamento. Admitindo-se que essas duas quantidades possam ser estimadas, respectivamente, pela área abaixo da parte da curva correspondente à faixa de luz visível e pela área abaixo de toda a curva, a eficiência luminosa dessa lâmpada seria de aproximadamente:

A) 10% B) 15% C) 25% D) 50% E) 75% 18. Você conhece software Google Earth? Este software combina os sofisticados recursos de pesquisa do Google com imagens de satélite, mapas, terrenos e edificações em 3D para colocar informações geográficas do mundo todo à sua disposição. Comente sobre a relação que existe da localização de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas com a localização geográfica das cidades, ou seja, latitude e longitude. Faça também um comentário sobre o que é o GPS, Sistema de Posicionamento Global, que é muito utilizado na aviação, viagens marítimas e que hoje em dia começa a ser utilizado também em automóveis de passeio para fornecer, através de mapas, a melhor rota para que um motorista possa se deslocar de um lugar a seu destino.

Sobre as coordenadas geográficas, mostre que elas sempre são mostradas à esquerda e na parte inferior da imagem do local, como na figura abaixo. Explique o que é latitude e longitude.


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Localize a sua escola, copie a imagem e cole em um software gráfico e em seguida monte duas linhas perpendiculares e imprima a imagem com o sistema de eixos conforme a figura abaixo.

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Construa uma tabela com as coordenadas das bases móveis que vocês podem definir em conjunto.

Coordenadas no sistema de cartesiano

Sua escola

Primeira base móvel

Segunda base móvel

Terceira base móvel

Como calcular a distância entre as bases móveis e a base fixa? Acessem o sítio http://www.ucs.br/ccet/deme/naem/seminarioiii/Geom/topicos_em_geometria.html e leiam os itens Sistema Cartesiano Ortogonal, Eixos Coordenados, Plano Cartesiano e Distância entre dois Pontos. Acessem o sítio: http://rived.proinfo.mec.gov.br/atividades/matematica/-batalha/barcos3.html para que possam exercitar mais um pouco sobre distância entre dois pontos. Esta animação simula um jogo bem divertido. A animação trata de uma perseguição de um navio pirata a navios comerciais. A animação ocorre em um sistema de coordenadas cartesianas e para proteger o barco comercial, o aluno deverá calcular a distância entre os dois barcos para poder dar um tiro de canhão. A animação tem diversos níveis:

Nível 1 – O posicionamento dos barcos é feito somente no primeiro quadrante do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são sempre em uma mesma linha ou mesma coluna.

Nível 2 – O posicionamento dos barcos é feito nos quatro quadrantes do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são sempre em uma mesma linha ou mesma coluna.

Nível 3 – O posicionamento dos barcos é feito somente no primeiro quadrante do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são colocados em linhas e colunas diferentes, forçando ao aluno utilizar o Teorema de Pitágoras para solucionar o cálculo da distância.

Nível 4 – O posicionamento dos barcos é feito nos quatro quadrantes do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são colocados em linhas e colunas diferentes, forçando ao aluno utilizar o Teorema de Pitágoras para solucionar o cálculo da distância.

Níveis 5 a 7 – Aparecerão três barcos, um pirata e dois “comerciais”. O barco pirata está perseguindo um barco comercial e o outro barco comercial virá proteger o outro comercial. Você deverá calcular a distância do barco que está protegendo o barco comercial do barco pirata, utilizando o Teorema de Pitágoras.


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O método para calcular a distância entre os barcos, das figuras abaixo, é o mesmo para cada uma delas?

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19. Um engenheiro quer construir uma estrada de ferro entre os pontos de coordenadas (2,3) e (4,7), devendo a trajetória da estrada ser retilínea. Qual é a equação da reta que representa essa estrada de ferro? (A) y = 2x + 3

(B) 4x = 7 y

(C) y = 2x -1

(D) y = + 2

(E) y = + 5

20. Um caixa eletrônico disponibiliza cédulas de R$ 20,00 e R$ 50,00. Um cliente sacou neste caixa um total de R$ 980,00, totalizando 25 cédulas. Essa situação está representada pelo gráfico abaixo.

980, onde x representa a quantidade de cédulas de R$ 20,00 e y a quantidade de cédulas de R$ 50,00, a solução do sistema formado pelas equações de r1 e r2 é o par ordenado (A) (8,17).

(B) (9,16).

(C) (7,18).

(D) (11,14).

(E) (12,13).


51

21. Um cientista verifica que quando a pressão de um gás é de 1 atm, o volume é de 20 cm3 e, quando a pressão é de 7 atm, o volume é de 8 cm3, Calcule a taxa média de volume representada pela declividade entre P1 (1. 20) e P2 (7, 8). A) m = -2

B) m = -3

C) m = -1

D) m = 2

E) m = 1

22. Quando a quantidade x de artigos que uma companhia vende aumenta de 200 para 300, o custo de produção y diminui de R$ 100,00 para R$ 80,00, Determine a variação média de custo representada pela declividade da reta que passa por esses dois pontos: A) m = -1/2

B) m = -1/3

C) m=-1/5

D) m =1/ 2

E) m = 1

23. O crescimento y de uma cultura biológica passa de 8 cm2 para 10 cm2, enquanto o tempo x aumenta de 1 para 2 horas. Se a taxa média de crescimento é representada pelo coeficiente angular da reta que passa por esses dois pontos, determine essa taxa média de crescimento. A) 2cm2/h B) 3cm2/h C) 4cm2/h D) 6cm2/h E) 1cm2/h 24. Um pintor dispõe de 6 cores diferentes de tinta para pintar uma casa e precisa escolher uma cor para o interior e outra diferente para o exterior, sem fazer nenhuma mistura de tintas. De quantas maneiras diferentes essa casa pode ser pintada, usando-se apenas as 6 cores de tinta que ele possui? (A) 6

(B) 15

(C) 20

(D) 30

(E) 60

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25. A tabela abaixo mostra a distribuição dos gastos médios, per capita, com saúde, segundo os grupos de idade.

Qual dos gráficos representa a distribuição dada pela tabela acima?


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BIBLIOGRAFIA

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Brasil, MEC, SEF, Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática 3º e 4º ciclos, 1998.

Brasil, MEC, PREMEN – Universidade Federal do Ceará, 1975

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros

Curriculares Nacionais do Ensino Médio + (PCNEM+) – Ciências da Natureza ,Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC- SEMTEC, 2002.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares

para o Ensino Médio- Ciências da Natureza ,Matemática e suas tecnologias.Brasília: MEC-SEB,2006.

PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Base Curricular Comum para as Redes Públicas

de Ensino de Pernambuco - Matemática. Recife: SE, 2008.

PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Orientações Teórico Metodológicas do Ensino

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Imenes, Luiz Márcio & Lellis, Marcelo – Matemática Para Todos - Editora Scipione, 2002.

Smole, Kátia Cristina Stocco. Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. Matemática – volumes 1,2 e3 –Ensino Médio- 3ª edição reformulada-São Paulo: Saraiva, 2003.

Vasconcellos, M. J. C. e Escordamaglio, M. T. – PROJETO ESCOLA E CIDADANIA PARA

TODOS. São Paulo – Editora do Brasil, 2004.

WBA

9 35

CADERNO DO PROFESSOR

Carta ao (à) Professor (a):

Caro (a) Professor (a),

Este caderno de atividades tem o objetivo de contribuir para o desenvolvimento da aprendizagem dos estudantes sobre os conteúdos expostos e propostos na Base Curricular Comum (BCC) e Orientações Teórico-Metodológicas (OTM) e a Matriz de Habilidades do SAEPE. Ele apresenta sugestões de atividades que favorecem uma reflexão sobre a matemática num aspecto problematizador. Compreende-se que para aprender os conteúdos propostos para o 3º ano do Ensino Médio na sua condição de término da escolarização básica e obrigatória, o sujeito precisa entender as relações entre os dados, os conteúdos, os problemas e as estratégias de resolução, bem como dar conta das características formais dos conteúdos matemáticos em seus eixos, construindo suas hipóteses, que irão acompanhá-lo durante todo o processo de vida, servindo de ferramenta para a resolução de problemas de natureza diversa.

Entendemos que compreender e usar a matemática no seu dia-a-dia, interpretar os fenômenos sociais, econômicos, naturais, históricos etc., é um direito de todos os alunos, e não apenas daqueles que têm mais afinidade com o raciocínio lógico, tendo em vista que a matemática está presente em praticamente tudo, com maior ou menor complexidade. Perceber, isto é, compreender o mundo à sua volta e poder atuar nele. E a todos, indistintamente, deve ser dada essa oportunidade de compreensão e atuação como cidadão.

Enfim, este é um material que se apresenta como um instrumento para o estímulo da participação dos estudantes em práticas sociais de resolução de problemas como também para dar continuidade aos estudos posteriores e exercer plenamente a cidadania.Desejamos a todo (a)s um bom trabalho.

55

56

Introdução

O presente caderno de atividades visa propor alguns problemas não rotineiros, deixando margens à possibilidade do uso de outras situações, que possam enfatizar a função social da matemática em caso do aparecimento dos problemas abertos em que o professor - orientador do 3º ano do Ensino Médio das escolas públicas de ensino poderão estar buscando para agregar ao seu planejamento. Serão contemplados os eixos da Base Curricular Comum de Matemática para o Ensino Médio com reflexões sobre o ensino, alguns dados históricos e os respectivos descritores de avaliação de cada eixo da Matriz de Referência de Pernambuco.

A intenção da construção desse material não é de negar a autonomia, capacidade e condições do orientador de conhecer as necessidades do seu grupo de estudantes e a partir daí construir uma sequência de atividades mais viável e próxima da realidade vivida, mas sim, contribuir com algumas sugestões, na perspectiva de introduzir e explorar conceitos matemáticos numa inclusão de uma sequência didática onde o estudante possa desejar fazer e o orientador de reforço possa trazer outras situações que complementem o caderno de atividades enquanto conhecedor da realidade experienciada e possa lançar mão de situações que transportem os estudantes ao reconhecimento do contexto escolar vivido e se identifique nas situações propostas.

Mesmo considerando que os objetivos e a metodologia no processo de ensino e aprendizagem de matemática, na Educação Básica, venham sofrendo mudanças, ainda que não sejam profundas, mesmo porque, para que isso ocorra se faz necessário que essas mudanças aconteçam primeiras na formação dos profissionais em educação, na valorização profissional, nas instâncias políticas, nas condições de trabalho, nos materiais didáticos entre outros, trabalhamos na perspectiva de que a resolução de problemas em matemática possibilita um caminho apurado para desenvolver capacidades de observação, relações de cooperação, comunicações, construção de argumentação e estimulação dos diversos tipos de raciocínio necessários na validação de um processo coerente à construção do conhecimento matemático. Os estudantes quando expostos a uma lista de problemas, se for desafiadora e o orientador de sala souber se portar e conduzir, revela possibilidades muito mais encantadoras do que uma lista de questões descontextualizadas e que só exige a memorização dos algoritmos e das fórmulas.

Considerando que as estratégias de resoluções criativas podem estar presentes na resolução de problemas abertos ou fechados, escolhemos alguns problemas por observar o seu distanciamento do dia-a-dia das salas de aulas e também na tentativa de expor uma sequência, fazendo o entrelaçamento entre as conexões BCC, OTMs e a Matriz Curricular de Referência do estado de Pernambuco, a fim de propor a exploração de conceitos matemáticos, mas sem perder de vista as questões intrínsecas a cada sala de aula, necessárias ao grupo de estudantes, mas só perceptíveis pelo orientador do grupo para que possa melhorar a introdução e a exploração dos conceitos matemáticos, inclusive no aspecto da contextualização-descontextualização, construção-desconstrução, uma responsabilidade que não se pode esperar apenas dos manuais didáticos, mas das capacidades do orientador de sala de induzir o estudante no sentido de mobilizar seus recursos cognitivos para que possa construir conhecimento com sentido e significado.

O ensino médio, enquanto última e complementar etapa da educação básica precisa:

Possibilitar um ensino articulado com outros campos do saber contextualizado, se expondo a conexões com outras áreas do conhecimento e perpassando aplicações sociais sem deixar de fora outros campos do saber matemático.

Desenvolver no estudante a capacidade de se expressar em linguagem matemática e ser capaz de realizar formulações coerentes e passíveis de validação.

Discutir o programa de conteúdos de Matemática em que o estudante possa se identificar no contexto.

Os problemas fechados são importantes nessa dinâmica, inclusive para proporcionar um desfecho na perspectiva conceitual de acordo com o tratamento dado e estimular o desenvolvimento de habilidades, considerando um aspecto importante: de que os professores, a escola e as universidades não romperam com os problemas fechados, apenas encontraram alternativas nos problemas abertos para outras propostas de construção de habilidades.

Não são os problemas abertos ou fechados que mascaram a efetiva aprendizagem, mas o que fazemos com eles. Se a nossa proposta em sala de aula for a de antecipar conteúdo e proceder com um modelo mecânico de resolução, no qual a manipulação dos dados na receita sugerida é suficiente para se chegar à resposta, o problema é transformado num exercício de fazer conta, em que a leitura, interpretação, erros e reflexões se traduzem obsoletos e o contrato didático para a resolução de problemas se perde no vazio. A proposta não é somente em torno dos problemas fechados, mas deixando para que o professor escolha uma metodologia de modelagem matemática, se for o caso, para agregar aos problemas sugeridos e por conhecer mais de perto seu grupo de trabalho poder lançar mão de um planejamento inovador com diferencial para uma dada realidade, além de dar outro tratamento referente a um bloco de conteúdos de matemática. Porque não? E é importante deixar em “aberto” algumas coisas, inclusive como o orientador propõe complementação do conteúdo explorado a partir dos problemas, buscando relações entre os diversos conteúdos e a vivência do estudante.

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Objetivo Geral

Subsidiar o trabalho do orientador com um Caderno de Atividades, sem perder de vista a possibilidade do planejamento de um material complementar nas aulas de Matemática, assegurando a ampliação das aprendizagens relativas aos conteúdos curriculares de matemática e na interrelação com outras áreas do conhecimento.

Objetivos Específicos

Promover ao final da aula, a revisão conceitual dos conteúdos envolvidos e explorados.Propor ao professor que atua no 3º ano do ensino médio o documento intitulado

Caderno de Atividades do componente curricular de Matemática para a complementação do conteúdo explorado nas aulas de ampliação de aprendizagem, deixando o espaço para que no planejamento vivido o orientador estabeleça relações entre os diversos conteúdos e a vivência do aluno.

Promover a familiarização entre os problemas utilizados nas propostas de avaliação via ENEM, SAEPE, Olimpíadas de Matemática e os conteúdos e a metodologia utilizada nas aulas de Matemática do 3º ano do ensino médio.

Metodologia

Será adotado o Caderno de Atividades para aulas de ampliação de aprendizagem, sendo expostos os conteúdos de acordo com a BCC e as OTM distribuídas em quatro eixos: números e operações, álgebra e funções, grandezas e medidas, geometria, estatística, probabilidade e combinatória (para orientação do aluno e do orientador de aprendizagem), sem desprezar o planejamento e a condição de agregar elementos, possibilitando assim a alteração pelo orientador.

Desenvolvimento

O conteúdo do Caderno de Atividades distribuído em cinco eixos referentes ao Componente Curricular de Matemática da Matriz de Referência de Pernambuco propõe exercícios de aplicação da teoria, atividades individuais, atividades em grupo e atividades com problemas fechados, articulando a teoria com a prática, buscando relações entre os diversos conteúdos e a vivência do aprendente.

Atividade de planejamento

O professor poderá utilizar o Caderno de Atividades no plano de aula para o ensino de Matemática, observando os elementos propostos a seguir:

1. Destacar os conceitos da aula. 2. Identificar o contexto, com incentivo à leitura e interpretação dos problemas

sugeridos e observados nas aulas de ampliação de aprendizagem. 3. Relacionar conceitos envolvidos e promover a leitura e compreensão dos problemas

resolvidos.4. Propor a resolução de problemas do Caderno de Atividades e/ou selecionados pelo

orientador de aprendizagem em grupos cooperativos (de estudantes).5. Promover situações de utilização do Caderno de Atividades complementando-o junto

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aos aprendentes com a possibilidade da construção de diferentes estratégias de cálculos.6. Promover, ao final da aula de ampliação de aprendizagem, um espaço para revisão

conceitual através de memorial e de perguntas aos estudantes sobre os conceitos que foram percebidos na aula.

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Pressupostos da Base Curricular Comum para as Redes Públicas de Ensino de Pernambuco

O ensino médio caracteriza-se como última e complementar etapa da Educação Básica e deve visar atingir tanto aqueles que vão encerrar sua escolaridade regular e ingressar no mundo do trabalho, como aqueles que ainda se dirigirão a fases posteriores de formação escolar.

Portanto, nessa etapa devem ser oferecidas condições para que o aluno possa complementar e consolidar as aprendizagens realizadas no ensino fundamental e desenvolver suas capacidades e competências. No âmbito da escola, isso significa, entre outras mudanças, rever e redimensionar alguns dos conteúdos atualmente trabalhados. Dessa forma, as atenções do professor devem se voltar para as questões da contextualização do saber matemático. Em outras palavras, as escolhas do professor devem priorizar conceitos e procedimentos que permitam as conexões entre diversas ideias matemáticas, diferentes formas de pensamento matemático e vários campos do conhecimento. Importa, também, favorecer a compreensão da relevância social da matemática e de seu papel no desenvolvimento histórico da ciência.

Pode-se dizer, nessa perspectiva, que a palavra-chave da matemática do ensino médio seria “conexões”. Conexões tanto com outras áreas do conhecimento e aplicações sociais, como também com outros campos da própria matemática. Um ponto de vista muito defendido na comunidade educacional indica que um dos meios de levar o aluno a estabelecer essas conexões é trabalhar, simultaneamente, as ideias matemáticas em diferentes quadros (numérico, algébrico, funcional, geométrico, gráfico etc.). Salientamos que, de acordo com a Base Curricular Comum para as Redes Públicas de Ensino de Pernambuco, o estudo das funções, bastante explorado nos currículos atuais de ensino médio, pode ter suas potencialidades ampliadas se houver articulação com a álgebra e a geometria.

Contudo, não se pode esquecer que a matemática do ensino médio, enquanto disciplina estabelecida, também deve ser vista como uma ciência que apresenta características estruturais específicas. É importante que o aluno perceba o papel das definições, simbologia, demonstrações e encadeamentos conceituais em sua composição interna. Nesse sentido, é importante que o professor esteja atento ao desenvolvimento, por parte do aluno, da capacidade de se expressar em linguagem matemática, de realizar formulações coerentes e validá-las com argumentos apoiados no pensamento dedutivo. Deve ficar claro, porém, que tais competências não se desenvolvem pela “visualização” de demonstrações feitas pelo professor, mas, sobretudo, pela habilidade desse professor em criar, em suas salas de aula, situações de debate, nas quais os alunos sejam levados a construí-las.

Em números e operações, é preciso proporcionar aos estudantes o conhecimento da diversidade de problemas geradores da ampliação dos campos numéricos e o domínio dos conceitos básicos relativos a tais números, considerando sua perspectiva histórica. Torna-se necessária, também, a plena compreensão dos algoritmos (no âmbito das representações numéricas ou dos símbolos) que envolvem os números reais. A consolidação dos conceitos de número irracional e de reta numérica, apoiada nas ideias já iniciadas nas etapas anteriores, constitui-se em objetivo importante a ser atingido. Os números complexos devem aparecer somente pela insuficiência dos números reais na resolução de equações algébricas de 2º grau, tornando-se dispensável tomá-los como objeto de estudo em si mesmos.As propriedades dos números e de suas operações devem ser priorizadas nesse nível de ensino, evitando-se a excessiva formalização e a utilização, muitas vezes artificial, da linguagem e da notação da teoria dos conjuntos.

60

A noção de porcentagem aparece em inúmeras aplicações e as atividades propostas pelo professor podem resgatar as experiências e os conhecimentos das práticas sociais dos alunos, particularmente aquelas ligadas ao trabalho com as finanças e as situações de caráter da economia.

No eixo álgebra e funções, o estudo das funções tem papel central na formação do Ensino Médio, principalmente por seu papel de modelo matemático para o estudo das variações entre grandezas em fenômenos do mundo natural ou social. Em particular, a definição de função baseada na ideia de produto cartesiano de dois conjuntos aparece como bastante desaconselhável, tanto do ponto de vista matemático, como do didático.

Estudos têm demonstrado que uma abordagem de funções na perspectiva da modelagem de fenômenos reais proporciona uma aprendizagem consistente e duradoura, permitindo a aplicação desses conceitos em outras áreas do conhecimento. Os conceitos de crescimento e decrescimento, e, em particular, o de taxa de variação merecem atenção especial, por sua importância no estudo das funções como modelos matemáticos para os fenômenos em que ocorrem relações entre grandezas variáveis.

A ligação entre a proporcionalidade e a função linear é um bom exemplo de conexão a ser retomada na presente etapa. A função afim e as funções a ela associadas são, também, tópicos relevantes. Além disso, trabalhar de um ponto de vista funcional as sequências numéricas tem sido bastante defendido. Em particular, as progressões aritméticas podem ser relacionadas à função afim. A articulação com a geometria analítica, nesse momento, pode permitir um passo importante na direção de desenvolver o pensamento funcional. Essa conexão pode permitir a compreensão das relações entre as resoluções gráficas e algébricas de sistemas de equações do primeiro grau, evitando-se, todavia, a excessiva manipulação simbólico-algébrica, normalmente privilegiada nessa etapa do ensino.

O estudo da função quadrática aparece como tema privilegiado para o estabelecimento de relações com o estudo da equação do 2º grau, realizado no ensino fundamental. Na presente etapa, é importante recuperar as aprendizagens realizadas anteriormente, destacando-se a resolução de equações do segundo grau pela técnica de completar quadrados, que tem sido abandonada, em troca da aplicação mecânica da fórmula de Bhaskara. As características da parábola, e sua relação com a função quadrática, devem ser exploradas, o que pode evitar, por parte do aluno, a confusão entre “parábola” e outras curvas que são gráficos de funções não-lineares. O estudo da função quadrática pode, por exemplo, ser explorado como modelo para o movimento uniformemente acelerado. A ênfase nas equações e inequações do segundo grau pode, nesse nível de ensino, desviar a atenção do aluno para aspectos pouco relevantes à compreensão da função quadrática, reforçando a manipulação simbólica algébrica.

A função exponencial aparece como de fundamental importância no conhecimento científico, particularmente dentro da própria matemática. Seu estudo articula-se bem com as progressões geométricas e com a matemática financeira. Devem ser priorizadas as características da função exponencial, seus parâmetros, seu crescimento e seu decrescimento, deixando-se em segundo plano a abordagem puramente algébrica, por meio de equações e inequações.

O conceito de logaritmo de um número como elemento facilitador da realização de cálculos numéricos perdeu, há bastante tempo, sua importância, principalmente com o aparecimento e a popularização das calculadoras. A função logaritmo, porém, apresenta importância como inversa da função exponencial. É recomendável que se evite a ênfase na resolução de equações logarítmicas.

As funções trigonométricas podem ocupar o lugar central como modelos matemáticos para os fenômenos periódicos. Resulta dessa perspectiva que as funções seno e cosseno, com

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suas propriedades fundamentais, devem ser privilegiadas no ensino, pois, com base nelas, é possível construir, gradualmente e com compreensão, modelos simples para muitos fenômenos periódicos. Resulta, também, que o excessivo trabalho algébrico com identidades trigonométricas perde o sentido. Em contrapartida, relações trigonométricas, em particular, as leis dos senos e dos cossenos, podem ser revisitadas, visando à resolução de problemas em triângulos quaisquer.

As grandezas e medidas sugerem conexões com outras disciplinas como a Física e a Química, por exemplo, e pode servir como motivação para a consolidação da ideia de grandeza, particularmente aquelas formadas por relações entre outras grandezas (densidade, aceleração etc.). Em relação à geometria, as atividades que requerem a representação das diferentes figuras planas e espaciais, presentes na natureza ou imaginadas, devem ser aprofundadas e sistematizadas.

Alguns conceitos estudados no ensino fundamental devem ser consolidados, como, por exemplo, as ideias de proporcionalidade,congruência e semelhança,o Teorema de Tales e suas aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos triângulos (retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras. Com relação a esses aspectos, podemos trabalhar questões conforme o exemplo a seguir, com a respectiva resolução e orientação teórico-metodológica.

EX.: O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulo retângulo e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possivel representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.

Se o lado AB do hexágono mostra na figura 2 mede 2cm, então a área da figura 3, que representa uma ‘casinha’, é iqual a:

a) 4 cm²b) 8 cm²c) 12 cm²d) 14 cm²e) 16 cm²

figura 3figura 2

figura 1

A

B

Sugestão de Orientação teórico-metodológica para a questão: O professor poderá construir o Tangram por dobraduras, resgatando e consolidando os conceitos de proporcionalidade,congruência e semelhança,o Teorema de Tales e suas aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos triângulos (retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras.

62

Observe a figura 1, cujas medidas estão indicadas em centímetros:

22x

22x

x2

xx

x

x

x

x

xx

2x

2x 2x

2x

2x

Analisando a figura 1, pode-se indicar as medidas da figura 2, abaixo, em centímetros:

Sendo assim, como AB = 2 cm, tem-se: 2x - 2; x=1 cmDessa forma, a área da figura 3, abaixo, em cm², será:x

x

x

x

x

x

x

x

2x2x

2x

2x

x2

x2

x2

22x

8

)²2.1.2(

)2..2( 2

=

=

=

A

A

xA

As construções com régua e compasso também aparecem como elemento importante no desenvolvimento do pensamento geométrico e do raciocínio dedutivo, desde que não se resumam a uma sequência mecânica de procedimentos de construção sem que as propriedades inerentes às construções sejam colocadas em evidência. Por exemplo, é importante que os alunos saibam as propriedades necessárias à construção de retas perpendiculares e paralelas, mediatriz de segmentos, divisão de segmentos em partes proporcionais, bisseção de ângulos, polígonos regulares (inscritos e circunscritos) e triângulos quaisquer (com a determinação de seus elementos).

O trabalho com a geometria analítica, além de proporcionar o desenvolvimento das habilidades de visualização, permite a articulação da geometria com o campo da álgebra. Os significados geométricos de coeficientes de equações (da reta e da circunferência), de retas paralelas, perpendiculares, tangentes e secantes, podem contribuir bastante para a compreensão das relações entre a geometria e a álgebra. É importante também que o tema não fique restrito a determinado momento, mas seja desenvolvido durante todo o Ensino Médio. Assim, as articulações da geometria analítica com outras áreas da matemática escolar podem ser exploradas de forma proveitosa. Por exemplo, as ideias como crescimento, decrescimento, taxa de variação de uma função, inclinação de um gráfico, entre outras, podem ser relacionadas com o estudo das diferentes funções abordadas no ensino médio.

Esse é um bom momento também para retomar os sistemas de equações, enquanto representações analíticas de intersecções de figuras geométricas. As técnicas de resolução de sistemas de até três equações podem ser exploradas (escalonamento), sem que seja necessário o recurso a determinantes, que podem ser dispensados no ensino médio.

Estatística, probabilidades e combinatória, nessa etapa de escolarização, e o trabalho com tabelas e gráficos devem promover no aluno a capacidade de análise e instrumentalizá-lo para a tomada de decisões. A produção rápida e excessiva de informações na sociedade atual requer um eficiente pensamento analítico para compreender pesquisas de opinião, índices econômicos, doenças, problemas ambientais etc.

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Situações em que o estudante precise tomar certas decisões em sua vida cotidiana podem ser trazidas para a discussão de algumas medidas estatísticas, como, por exemplo, medidas de tendência central (média, mediana e moda) e de dispersão (desvio-médio, desvio-padrão e variância). A interpretação de termos como frequência, frequência relativa, amostra, espaço amostral etc., também pode ser consolidada.

Em relação à combinatória, algumas noções devem ser fortalecidas, como, por exemplo, o princípio multiplicativo, a divisão como um processo de redução de agrupamentos repetidos etc. Entretanto, as atividades propostas pelo professor devem ser elaboradas de forma que o aluno possa ampliar cada vez mais as estratégias básicas de contagem, evitando-se o ensino restrito a uma extensa lista de fórmulas que não apresentem significado para o aluno.

A ideia de probabilidade deve ser ampliada durante o ensino médio, de forma que o aluno, ao final desta etapa, seja capaz de estabelecer o modelo matemático que permite determinar a probabilidade de ocorrência de um evento. O conceito pode ser, também, ampliado para situações em que seja necessário identificar a probabilidade da união e da interseção de eventos, os eventos disjuntos e o conceito de independência de eventos.

Aspectos Didáticos

O papel da resolução de problemas na aprendizagem em matemática deve proporcionar ao estudante que ele seja capaz de realizar tentativas, estabelecer hipóteses, testá-las e validar seus resultados, provando que são verdadeiros ou, em caso contrário, mostrando algum contra-exemplo.

De acordo com a BCC e a OCN, a contextualização pode ser feita por meio da resolução de problemas, mas é preciso estar atento aos problemas “fechados”, porque estes pouco incentivam o desenvolvimento de habilidades. Nesse tipo de problema, já de antemão, o aluno identifica o conteúdo a ser utilizado, sem que haja maiores provocações quanto à construção de conhecimento e quanto à utilização do raciocínio matemático. O uso exclusivo desse tipo de problema consegue mascarar a efetiva aprendizagem, pois o aluno, ao antecipar o conteúdo que está sendo trabalhado, procede de forma um tanto mecânica na resolução do problema.

É importante ressaltar o quanto é importante, para o exercício da cidadania, a competência de analisar um problema e tomar as decisões necessárias à sua resolução, competência que fica prejudicada quando se trabalha só com problemas “fechados”.

Ao se desenvolverem novos paradigmas educacionais do uso exclusivo de problemas do tipo “fechados”, surge a proposta de “problema aberto”.

A prática em sala de aula desse tipo de problema acaba por transformar a própria relação entre o professor e os alunos e entre os alunos e o conhecimento matemático. O conhecimento passa a ser entendido como uma importante ferramenta para resolver problemas e não mais como algo que deve ser memorizado para ser aplicado em momentos de “provas escritas”.

Características do Problema Aberto

1. O enunciado é curto – Leva o aluno a ter uma primeira ideia. Faz com que o aluno sinta a necessidade de procurar a solução.

2. O enunciado não induz o método da resolução. Neste caso, o problema não deve se reduzir à utilização ou à aplicação imediata dos assuntos apresentados em aulas recentes. O próprio aluno deve escolher o caminho a seguir. Ele pode escolher ou abandonar esse caminho,

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se for o caso, com o objetivo de produzir uma proposta de solução (hipótese).3. O problema se encontra dentro de um domínio conceitual familiar ao aluno. Desse

modo, ele pode se “apropriar” facilmente do problema, fazendo tentativas, suposições, contra-exemplos etc. Além de evitar possíveis bloqueios, essa característica permite que o aluno produza resultados num tempo razoável.

Exemplos de Problema aberto:

a) Um sanduíche e um prato de refeição custam em média R$ 5,00 e R$ 7,00, respectivamente. De quantas maneiras pode-se comprar sanduíches e pratos de refeição com R$ 90,00, sem deixar troco?

b) Quatro prefeitos decidem construir uma rodovia circular que passe em suas cidades, entretanto, as quatro cidades não estão sobre um mesmo círculo. Eles contratam uma empresa para elaborar um projeto para construção da rodovia circular equidistante das quatro cidades. Qual o maior número de projetos geograficamente distintos que a empresa elaborou?

Observações Sobre a Prática do Problema Aberto

1. O problema aberto deve ser trabalhado em sala de aula, porque permite ao professor:

?De ver como os alunos utilizam os conceitos matemáticos.?De saber que concepções os alunos mobilizam no momento de resolver o problema.?De analisar os erros que eles cometem.

2. O problema aberto deve ser trabalhado em grupo, porque:

?Evita eventuais desencorajamentos.?Diminui a probabilidade do erro de não conseguir resolver.?Aumenta a chance de conjecturas num intervalo de tempo razoável.?Possibilita o aparecimento de conflitos sócio-cognitivos.

A história da Matemática como recurso didático

É importante que as articulações da matemática com as necessidades humanas de cada época sejam evidenciadas. Mais importante ainda, é preciso levar em conta as contribuições do processo de construção histórica dos conceitos e procedimentos matemáticos para a superação das dificuldades de aprendizagem desses conteúdos em sala de aula.

A construção progressiva dos números naturais, racionais, irracionais, negativos e imaginários ao longo da história é uma fonte importante para a didática atual desses conceitos. Por exemplo, refletir sobre as dificuldades históricas da chamada “regra dos sinais”, relativa à multiplicação de números negativos e discutir a criação dos números irracionais, pode contribuir bastante para o ensino desses conteúdos.

Quanto aos possíveis papéis dos jogos matemáticos no ensino-aprendizagem da matemática, estes englobam situações-problema de vários tipos, entre os quais podem ser citados: jogos que envolvem disputa entre duas pessoas ou entre pares, incluindo os clássicos e suas variações, tais como o xadrez, o jogo de damas, o jogo da velha e outros jogos com

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tabuleiro: o jogo do Nim e suas variantes e o jogo Hex , que têm aparecido cada vez mais nas experiências com jogos matemáticos; quebra-cabeças de montagem ou movimentação de peças, tais como o Tangram e os poliminós; os desafios, enigmas, paradoxos, formulados em linguagem do cotidiano e que requeiram raciocínio lógico para serem desvendados. É importante também, com relação aos aspectos didáticos, o enfoque referente à abordagem interdisciplinar. Essa questão é destacada na BCC (p. 42): “...currículo que privilegie o desenvolvimento de competências básicas requer que o papel hoje desempenhado pelas disciplinas escolares seja profundamente revisto e passe a incorporar a perspectiva da interdisciplinaridade”. Com relação a estes aspectos, podemos trabalhar algumas questões, conforme podemos observar no exemplo a seguir, com a respectiva orientação teórico-metodológica:19) Nesta semana o CEF-15 realizará sua feira cultural de 2008, cujo tema do 1º ano será Meio-ambiente. Alguns alunos resolveram montar uma rádio experimental com base fixa no CEF-15 e outras três bases móveis nos Parque do Gama, são eles: Parque Recreativo do Gama (Prainha), Parque do Gama (Setor Norte) e Parque Ponte Alta do Gama, conforme o mapa abaixo. O mesmo mapa do Gama mostrado abaixo, se encontra na escala de 1:100.000. Nesse mapa foi inserido um sistema de eixos ortogonais xOy, em que x e y estão em centímetros. Os pontos referenciados têm as seguintes coordenadas:

A estação de rádio utilizada pelos alunos não é tão potente, o alcance máximo da referida estação é de um raio de 10,1 km.

Professor, com base no texto, você poderá fazer alguns questionamentos, como por exemplo:

I - Qual é a cobertura da rádio experimental do CED-5? II - Todas as estações móveis receberão o sinal emitido?

III - Em relação ao sistema de eixos montado, em que quadrante está localizada a base móvel da Prainha?

IV - Em relação ao sistema de eixos montado, em que quadrante está localizada a base

Coordenadas no sistema cartesiano

CEF-15 (0;-6)

Parque Recreativo do Gama (Prainha) (4;-7)

Parque do Gama (Setor Norte) (-1;4)

Parque Ponte Alta do Gama (-7,2)

Sugestão de Orientação teórico-metodológica para a questão: O professor poderá ampliar as reflexões com a questão da abordagem interdisciplinar dentro do campo da geografia e da física, por exemplo.

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fixa do CED-5?V - Unindo as coordenadas dos três Parques formamos um triângulo. Qual é o perímetro

e a área deste triângulo? (Para os cálculos deste item, utilize o critério de aproximação e o de truncamento com precisão de duas casas decimais).

Aproveite este momento para verificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre o tema. Discuta com eles que conhecimentos são necessários para responder a estas questões. Por exemplo, área do círculo, medidas dos lados do triângulo, área do triângulo etc. Diante do exemplo podemos remeter a questão destacada na BCC (p.35) “a competência supõe a articulação dos saberes com as condições específicas das situações enfrentadas”, contudo, com relação à matemática temos um conjunto de competências mais gerais que inclui: ?Estabelecer conexões entre os campos da matemática e entre esta e as outras áreas do saber.?Raciocinar, fazer abstrações com base em situações concretas, generalizar, organizar e representar.?Comunicar-se, utilizando as diversas formas de linguagem empregadas na matemática.?Resolver problemas, criando estratégias próprias para sua resolução, desenvolvendo a imaginação e a criatividade.?Utilizar a argumentação matemática apoiada em vários tipos de raciocínio: dedutivo, indutivo, probabilístico, por analogia, plausível etc.?Utilizar as novas tecnologias de computação e de informação. Além dessas competências mais gerais, temos que levar em consideração as Orientações Teórico-Metodológicas de Matemática para a Educação Básica, que trata de uma ação de apoio pedagógico para o professor, organizadas em 04 (quatro) Unidades Didáticas com referências básicas possibilitadoras da construção de aprendizagens significativas para os estudantes, conforme explicitadas a seguir:

ENSINO MÉDIO - ANO 3º - UNIDADE: 1

1. NÚMEROS E OPERAÇÕES

? Ampliação e aprofundamento dos campos numéricos

2. ÁLGEBRA E FUNÇÕES

?O estudo dos Números complexos a partir da insuficiência dos números reais na resolução de equações algébricas do 2º grau?Noção de número complexo

3. GRANDEZAS E MEDIDAS

?Grandezas geométricas (Demonstrações que conduzam a fórmulas da área do círculo e de volume de figuras geométricas)

4. GEOMETRIA

Geometria analítica: ponto e reta

?O estudo das propriedades geométricas de uma figura com base em uma equação

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?O estudo dos pares ordenados de números (x,y) que são soluções de uma equação, por meio das propriedades de uma figura geométrica?Estudo das equações da reta

5. ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATÓRIA

Estatística

?Para que serve a Estatística?A linguagem da Estatística?Representação de dados estatísticos



? Forma algébrica dos números complexos


?_Representação geométrica de um número complexo


?Consolidação da idéia de grandezas

4. GEOMETRIA Geometria analítica: circunferência

?Estudo da equação do círculo?Relações entre os coeficientes de pares de retas paralelas ou coeficientes de pares de retas perpendiculares?Posições relativas de retas e círculos sob o ponto de vista algébrico


Estatística

?Amostra?Distribuição de frequências?Agrupamentos em classes



?Operações simples envolvendo números complexos.

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?Polinômios?Equações polinomiais


?Grandezas geométricas (Demonstrações que conduzam a fórmulas da área do círculo e de volume de figuras geométricas).

4. GEOMETRIA

Geometria Analítica

?O conceito de vetor (sob o ponto de vista algébrico e geométrico)


Estatística

?Representação gráfica de uma distribuição de frequência sem classes?Somatório



?Operações simples envolvendo números complexos


?Funções Polinomiais?Gráficos de um polinômio


?Estudo da área total e ou volume do prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera

4. GEOMETRIA

Geometria analítica: secções cônicas

Geometria Analítica?

?Relações entre lados e ângulos de um triângulo?Estudo das Funções secante, cossecante e cotangente

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Estatística

?Medidas de tendência central: moda, média e mediana

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NÚMEROS E OPERAÇÕES

73

01. E) 42

02. B) 144

03. D) 40

04. B) 3

05. C) 20

06. D) R$: 188,00

08. D) Existem exatamente dois pares que não podem ser obtido

07. A) 20


CADERNO DE RESPOSTA AO PROFESSOR

Seja x = 0,444… então 10x = x + 4 ... x = 49

Logo 6,888… = 6 + 2 . 4 = 62 e portanto a fração dada é equivalente a 62 = 31 e p + q = 42 (opção E) 9 9 22 11

1 saco = 8 tijolos. Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos, então pode carregar 18 X 8 = 144 tijolos

Supondo que todos os que comem galinha também comem porco, então, 40 pessoas, no máximo, não comem nenhum desses dois tipos de carne.

A Fatorando, obtemos y = (3x – 66)(x – 24). As raízes são 22 e 24.

Este número é inteiro se, e somente se, x + 19 for divisor de 80. Como 80 tem 20

Faça as contas de trás para frente: (8 + 2).2 = 20, (20 + 2).2 = 44, (44 + 2).2 = 92 e (92 + 2).2 = 188

Faça as contas de trás para frente: (8 + 2).2 = 20, (20 + 2).2 = 44, (44 + 2).2 = 92 e (92 + 2).2 = 188

Como

2

5 2006 4 2006 4 5 2006 ( 20) 2006

16 20064 2006 4 2006

x y x y xy

yy y

- + -× +-× =

-- + 2006 é irracional, devemos ter

20 0 20xy xy-=Û=

19

801

19

99

++=

+

+

xx

x

divisores inteiros, então existem 20 valores de x.

3 3

4 4

a b a ba b

+++=+

3 3.

4 4 2

a b a b a b++--= Logo em todo par (x, y) obtido a soma é

2048 + 1024 = 3072 e, como a diferença inicial é 1024 uma potência de 2, a diferença é sempre da forma2k, k inteiro. De fato, estas condições são necessárias e suficientes para um par aparecer.

09. C) 800

74

11. E) 9

12. A) 1

13. D) 57

14. B) 144

15. C) 1/2003

10. A) 420



Do enunciado temos que o número de mulheres que usam apenas um brinco é 0,03×800=24 . Restam800-24=776 , das quais 388 usam dois brincos e 388 não usam brincos. Logo, o número total de brincosusados por todas as mulheres é: 24 + 388 × 2 = 800. Solução 2 - Se cada mulher com dois brincos der um dos seus a uma das que não têm brincos, todas as 800mulheres ficarão com um único brinco. Logo, o número de brincos é igual ao de mulheres, ou seja, 800 .

Para cada um dos 3 caminhos para ir de A até B, existem 3 opções para ir de B a C. Logo, há um total de3×3 = 9 possibilidades. Mas geralmente, se fossem m os caminhos de A até B e n os de B até C, então o número de caminhos que nossa formiguinha poderia tomar de A até C seria m × n; esta afirmativa é um casoparticular do Princípio multiplicativo.

Fazendo a = 1 e b = 0 em ab = a2 – ab + b2 obtemos: 1 0 = 12-1×0 + 02= 1

De 43 velas obtém - se 43 tocos. Como 43 = 4 × 10 + 3, com esses 43 tocos se pode fazer 10 velas e guardar 3 tocos. Dessas 10 velas, obtemos 10 tocos que, com os 3 que sobraram, dão 13. Sendo 13 = 4 × 3 + 1, fazemos então 3 velas com 12 tocos, sobrando 1 toco. Depois de usar estas 3 velas, teremosum total de 4 tocos, que nos dá 1 vela extra. No total, obtemos 43 + 10 + 3 + 1 = 57 .

O enunciado mostra que o peso de 1 saco de areia é o mesmo que o de 8 tijolos. Se no caminhão já há 32 sacos de areia, ele pode carregar ainda 18 sacos, o que equivale 18 × 8 = 144 tijolos.

A primeira bala pode ser de qualquer sabor; para fixar ideias suponhamos que seja de banana. Depois que estabala é retirada sobram 1002 +1001 balas na caixa – no nosso caso 1002 de maçã e 1001 de banana. A probabilidade q de que a segunda bala seja diferente (no nosso exemplo, de maçã) é 1002/2003 q = A probabilidade p de que a segunda bala seja igual (no nosso exemplo, de banana) é 1001/2003 p = A diferençaq-p é, portanto, 1002 /2003-1001/2003 =1/2003

Para que N e N , N ,

queremos o menor N possível, ele deve ser o menor múltiplo comum de 3, 4, 5, 6 e 7. Sendo o MMC entre 3,4, 5, 6 e 7 igual a 420, temos N =420.

N , N e N sejam números inteiros, N deve ser múltiplo comum de 3, 4, 5, 6 e 7. Como 3 4 5 6 7

ÁLGEBRA E FUNÇÕES

Muitas pessoas, depois que deixam a escola, atravessam a vida inteira sem precisar resolver uma só equação algébrica. Mas, no mundo em que vivem, tais equações são indispensáveis para reduzir problemas complexos a termos simples. Uma empresa, por exemplo, usa equações algébricas para calcular quanto tempo deve manter uma máquina que deprecia tantos reais por ano antes de trocá-la por outra que custa tantos reais. Outra empresa usa uma equação algébrica para relacionar a venda de um produto com o número de vezes em que este produto aparece anunciado, como propaganda, na tela de um televisor.

Os processos da Álgebra levados para a vida moderna são decisivos, muitas vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que nos levam até a entender mistérios da natureza.

Descritores da Matriz Curricular de Referência (SAEPE) para o 3° Ano

D14 – Identificar a localização de números reais na reta numérica.D15 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.D16 – Resolver problema que envolva porcentagem.D17 – Resolver problema envolvendo equação do 2º grau.D18 – Reconhecer expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela.D19 – Resolver problema envolvendo uma função do 1º grau.D20 – Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.D21 – Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto.D22 – Resolver problema envolvendo P.A./P.G. dada a fórmula do termo geral.D23 – Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes.D24 – Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico.D25 – Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no gráfico de uma função polinomial do 2º grau.D26 – Relacionar as raízes de um polinômio com sua decomposição em fatores do 1º grau.D27 – Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial.D28 – Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial.D29 – Resolver problema que envolva função exponencial.D30 – Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades.D31 – Determinar a solução de um sistema linear associando-o a uma matriz.D32 – Resolver problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples.D33 – Calcular a probabilidade de um evento.

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Orientação para o trabalho com números e operações no ensino médio

É papel fundamental da educação básica voltar o olhar para o desenvolvimento de capacidades, exigidas pela sociedade pós-moderna na era da informação e comunicação. O que provoca algumas exigências como a capacidade de comunicar, de resolver problemas, de se posicionar diante da vida, na forma de ser político que toma decisões o tempo todo, de cooperar e colaborar cuidando de si e do outro - o ser inacabado.

Sequência – Intervenções

O eixo NÚMEROS E OPERAÇÕES deve estabelecer conexões com outros eixos como tratamento da informação, geometria, o que exige a capacidade de resolver problemas, gerando hábitos de investigação provocando desprendimento para analisar e enfrentar situações da vida cotidiana, proporcionando a formação de uma visão ampla e científica da realidade.

Na situação didática a seguir, percebemos a necessidade de alguns conhecimentos como: gráfico cartesiano, habilidade de interpretação de situações problemas, porcentagem, conhecimento prévio do processo eleitoral, desenho geométrico, segmento de reta.

A. Contextualizando

O momento eleitoral vivido pelos cidadãos e cidadãs de Itaporanga, uma cidade com um universo de 300 mil habitantes e 199 mil eleitores. A escola José Joaquim, que não pode ficar de fora da discussão desse processo eleitoral vivido por essa comunidade, admite uma pesquisa de intenção de votos onde analisa a evolução dos três candidatos a prefeito da cidade de Itaporanga, no período de 15 de agosto a 30 de setembro de 2008.

B. Problematização

O estudo dos números está ligado a dados geométricos, tratamento da informação, porcentagem que se podem concretizar no problema da investigação do processo eleitoral quando se estabelece a leitura dos números tabulados e comparados.:

Propomos, por exemplo, a análise dos números apresentados em 04 pesquisas do processo eleitoral em Itaporanga.

O gráfico abaixo representa a evolução dos três candidatos a prefeito nas pesquisas realizadas entre 15/08 e 30/09; de 2008.

50

40 3935

30

3537

47

10 9 1014

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4

C

B

A

Analise o gráfico e responda:

1. Qual o candidato que mais evoluiu ao longo das pesquisas?2. Qual o período de maior involução para o candidato C?3. Supondo que os entrevistados não presentes no gráfico representam os indecisos, como variou esse grupo ao longo das pesquisas?4. Considerando o universo de 199 mil eleitores, qual seria a previsão de votos para o candidato B?5. Levando em conta os eleitores e os dados da última pesquisa, haveria 2° turno nessa eleição?

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Comentários

Adaptar o conhecimento de números e operações a diferentes contextos, usando-as adequadamente no momento oportuno. É importante que o aluno perceba as diferentes situações em que os números e operações são utilizados.

A ideia do nosso trabalho não é apresentar algo pronto e acabado, mas em permanente construção-formação, para isto cabe-nos o direito de aproveitar situações cotidianas que proporcionam o envolvimento do aluno que está querendo saber-discutir e trazer benefícios dessa curiosidade, criando vínculo com os conceitos matemáticos que o professor está querendo explorar.

79

80

01. D) 3

03. C) 60

04. E) 2

05. C) -1

06. A) 180

02. E)



Quando rodarmos um ponto (x; y) 180�a em torno da origem, ele torna-se (–x; –y). Logo a equação da nova curva obtida é (– y) = (– x)2 – 5 (–x) + 9 ��y = –x2 – 5x – 9 (Alternativa E).

Sendo a + b = – a e ab = b conclui-se que a = 1 e b = –2.

Seja x a idade de Neto em 1994. Então a idade de sua avó no mesmo ano era 2x. Os anos de nascimento dosdois são 1994 – x e 1994 – 2x, respectivamente. Logo 1994 – x + 1994 – 2x = 3844, ou seja, x = 48. Neto completa 48 + 2006 – 1994 = 60 anos em 2006.

Temos

Seja y = x2 + x. Temos x2 + x + 1 = 156/(x2 + x) �� y + 1 = 156/y �� y2 + y – 156 = 0 �� y = 12 ou y = –13

1

aab a b b

a=-Û=

+Logo

21

1

1 (1 )(1 )1 1 1 1 2

1 1 1

aa

aa

a b a a a a aab a a a a a

b a a a a a+

+

- -++-=+-× =++=++ =++-=

+ + +

Ou seja, o único possível valor de é 2. a b

abb a+-

x2 + x = 12 ou x2 + x = –13 �� x2 + x – 12 = 0 ou x2 + x + 13 = 0. A segunda equação não tem solução,

assim a soma das soluções reais da equação original é –1/1 = –1.

Note que ()( )()()()()( )23332165 2222 +++=+++=+++ xxxxxxxxxxxx . Seja . Então xxy 32 +=

() () 1801811181118121 222 =Û=+Û=+Û=++ yyyyy

952 +-=xxy

0

);( yx

);( yx --

81

11. a) Cada uma das 6 equipes joga 5 partidas. Portanto, o número de partidas foi de 6×5= 15 2 . Outra maneira de contar: Podemos formar grupos de duas letras e contar o número de grupos: AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF – o número de partidas é 15 .b) Para cada time, a soma do número de vitórias, empates e derrotas é igual a 5 . Assim, temos 1+1+ y = 5, ou seja, y = 3. Temos, também, x + 1 + 0 = 5 , isto é, x = 4 . O número total de gols feitos é igual ao número t o t a l d e g o l s s o f r i d o s . A s s i m , z + 1 8 = 2 8 , o u s e j a , z = 1 0 .Resumindo: O número de derrotas do time D é 3, o número de vitórias da equipe F é 4 e onúmero de gols sofridos pela equipe F é 10.



07. B)

4

25

()4

25

)(

22

2

222

22

2244

2

2

2

2

=+

=++

=++xy

yx

yx

yxyx

x

y

y

x

08. B) 6

;121

2x

x

xz

-=-=

12

1

121

11

-

-=

--=-=

x

x

x

x

zy

1

43

1

125

15

-

-=

-

--=-=

x

x

x

x

yx

2

3,

3

1,204443 22 ===Þ=+-Þ-=- zyxxxxxx

Daí,

, Logo, x + 3y + 2z = 6

09. B) 31

Observemos que um ônibus tem a mesma capacidade que 48/6 = 8 "vans". Para colocar crianças quecaberiam em k + 1 ônibus, precisaríamos de pelo menos 8k "vans". O gasto com ônibus seria 237 + 120(k + 1) = 120k + 357 e o gasto com "vans" seria pelo menos 60, 8k = 480k, que é maior que o preço do ônibus para k maior ou igual a 1, isto é, quando precisarmos de 2 ou mais ônibus.Se utilizarmos um ônibus, pagaremos 237 + 120 = 357 reais para levar até 48 crianças. Como 357 reais são suficientes para pagarmos 5 "vans", mas não 6, temos que é mais vantajoso utilizar ônibus se forem necessárias pelo menos 6 "vans", o que acontece quando levamos pelo menos 5 . 6 + 1 = 31 crianças.Logo N = 31.

10. D) 2/15

82



12. D) 18/5

13.

É muito comum nas expressões algébricas o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

Produtos notáveis Exemplos (a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2+6x+9 (a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9 (a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9 (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2+5x+6 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8 (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x2-2x+4) = x3+8 (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x2+2x+4) = x3-8

83

GRANDEZAS E MEDIDAS

Descritores da Matriz de Referência de Pernambuco (SAEPE) – 3° ANO

D11 – Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.D13 – Resolver problema envolvendo a área total e/ou volume de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).

87

88

01. E) 18



Seja x o lado de B. O lado de C = x – 1,D = x + 5,E = x – 1,F = x – 2, G = 4,H = 2x – 3,I = x + 9 (=D + G) mas também é 3x – 9 (=F + H – G).

02. C)16√3 cm²

Prolongue AD e BC até se encontrarem no ponto F. Veja que AFB = 60 = DEC. Com isso, o quadrilátero FECD é inscritível. Temos: (i) FDE = FCE = ADE = BCE = 180. (ii) AD = BC e ED = EC.De (i) e (ii), concluímos que ADE BCE. Portanto, EA = EB.Além disso, DEA = CEB, de onde concluímos queAEB =DEC = 60. Dessa forma, o triângulo ABE é equilátero

de lado 8 e sua área é igual a cm²3164

382

=

Outra solução:Considere os pontos no plano complexo. Representaremos o número complexo correspondente ao ponto X com a letra correspondente minúscula x. Fixemos o ponto médio de AB como origem e sejam a = –4 e b = 4. Assim, sendo e , ambos no sentido anti-horário, podemos encontrar as coordenadas de C e D:

BADÐ=aABCÐ=b

)cis(54)cis()(8

5bb --=Û--=- cbabc

aa cis54cis)(8

5+-=Û-=- dabad

Sendo a raiz sexta da unidade e raiz da equação .3

cisp

w= 012 =+-xx

iie

ie

ie

e

dccdedcde

343

2cis

3

2cis534

3

2cis

3

2cis534

3

2cis

3

2

3cis51

2

3124

3

2cis

3cis5)1(4

cis54)cis(54)1()( 222

=÷÷ø

öççè

æ÷ø

öçè

æ++÷

ø

öçè

æ+--=Û

÷÷ø

öççè

æ÷ø

öçè

æ++÷

ø

öçè

æ++-=Û

÷÷ø

öççè

æ÷ø

öçè

æ++÷

ø

öçè

æ+--÷

÷ø

öççè

æ-

+×=Û

÷÷ø

öççè

æ÷ø

öçè

æ++÷

ø

öçè

æ---+=Û

-+--=-=+-=Û-=-

ap

ap

ap

pap

ap

app

ap

bp

ww

awwbwwwwwww

Assim, o triângulo ABE, com pontos de coordenadas A = (–4, 0), B = (4, 0) e é eqüilátero

e tem área cm².

)34,0(=E

3162

348=

×

A

B

CD

E

F

89

07. D) 2,1 m

03. E) 91

Se dois retângulos possuem mesma altura, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases.Se dois retângulos possuem mesma base, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas alturas. Isto permite concluir que o retângulo grande tem base 4 + 9 = 13 e altura 3 + 4 = 7. Sua área é, portanto, 13 x 7 = 91.



04. E)

Considere que os pontos B e C estão fixos e que A gira em torno de B. Assim, A está na circunferência comcentro B e raio 5.

Temos que o ângulo é máximo quando AC tangencia a circunferência. Neste caso, temos que o ângulo Â é reto. Logo, pelo teorema de Pitágoras,AC2 = BC2 – AB2 = 62 – 52 = 11 �� AC = . Assim, a área do triânguloABC é AB �� AC/2 = 5 /2.

2/115

C

1111

05. B) 9/20

O tempo necessário para retornar à casa e depois fazer todo o percurso até a escola foi de 18 minutos (pois ia chegar 8 minutos adiantado mas acabou chegando 10 minutos atrasado), tempo correspondente à distânciaa mais que percorreu, exatamente o dobro da distância entre o ponto de retorno e sua casa. Portanto, levou 9 minutos para ir de sua casa até o ponto de retorno, o que corresponde a 9/20 da distância de sua casa atéa escola.

06. D) 97

A linha é composta da repetição da figura ao lado, cujo comprimento é 9. Cada figura dessa inicia-se num ponto representado por um múltiplo de 3 no eixo horizontal: 0, 3, 6, ..., 30. A 11a figura, incompleta, tem comprimento 7. Portanto, o comprimento da linha poligonal é igual a 10 X 9 + 7 = 97

08. D) 1,909cm²

0,3 m

0,3 m

0,3 m

1 m

1 m

30 cm =

?A área da chapa inicial é 1 m²?A área da chapa utilizada é 0,9 x 0,9 = 0,81 m²?Logo a chapa reaproveitada é:

1 m² - 0,81 m² = 0,19 m² = 1.900 cm²

A

BC

A

,

90

09. C) 3.808 m³

10. A) 113,20 cm²

11. D) 4,2 m³

12. A) 2,88 m³

13. A) 81,60m²

14. B) 504 000l

15. B) 246,6 cm²

16. C) 259,2 cm²

17. A) fig. 1: a área lateral= 640 cm² e a área total= 768 cm² e fig.2: a área lateral =72 cm² e a área total = 8 (9 +√3) cm²

18. A) a área da base=6√3 cm², a área lateral= 72 cm² e a área total=12 (6 + √3) cm²

19. C)10,02 m²

20. A) 96m² e 48√3m³

21. B) 384 m³

22. B) 9 cm³

23. A) 1,92 m³

24. C) 27 000 l

25. A) 2 904 cm²

26. C) 840 litros

27. A) 167,46 cm³ (aproximadamente)



V = SBH

V = 0,40 X 0,40 . 2 = V = 0,16 m³1

1

1

2>

>V = 12 . 0,16 = 1,92 m³ = alternativa (a)

91

28. B) Sim; 23 cm³

29. C) 152.6 m³/h

30. D) 3.334,68 ml

31. 301 04 cm

32. 6028,8 I

33. 753.6 ml

34. 80 dias

35. 30l

36. 8 700 p cm³

37. A) duas vezes maior

38. E) 10,32m²

39. D) 47,10 cm²



V = V - V = V =p . (16)² . 100 - p . (13)² . 100 .. V = 8.700 p cm³barro barro barro2 1.

Sendo 1.000 cm³ = 1 litro: V = 30 L

37.500 100%>

V 80% .. 100 . V = 37.500 . 80 .. V = 30.000 cm³. .>

pV =p . R² . h =p . (25)² . 60 .. V = 37.500 cm³total total

.

12 m

4 m

>

>

>>

Área do Retângulo = S = a . b = 12 . 4 = S = 48 m²Área dos círculos = S = 3 . p . R² = S = 3 . 3,14 . (2)² = S = 37,68 m²S = S - SS = 48 - 37,68 = S = 10,32 m²

>>

>1

1 1

2 22

2

> >>

1

1

1 1 1

2

2 2 2

>> >

>S = S - SS = p . R² = S = 3,14 . 1² = S = 3,14S = p . R² = S = 3,14 . 4² = S = 50,24S = 50,24 - 3,14S = 47,10 cm²

92

40. C) 89,13 cm²

41. B) a²/4(4-p)

42. A) 20,3

43. A) 21 m²



6

6

3

8

F

E D

C

BA12

3 3

3

S = p . 3² + 6 . 8 + (12 + 6) . 3

S = 9p + 48 + 27

S = 9p +75

S = 9 . 3,14 + 75

S = 89,13

2

2

2

2

a

A B

O

a

D F E G C

2

2

2

²2²²²

aOC

aAC

aaaAC

=

=

=+=

16

².

8

²2

2.

a

a

pp

=÷÷ø

öççè

æ

Área do setor CFO:

8

²

22

.2 a

aa

=Área do triângulo COE:

[[ )4(2

²

2

²²2²

2

a²

-

a²16

2a²

16

a²-

8

a²8 p

ppp-=-=+=+=

aaaaLogo, a área da figura hachurada vale:

Área da figura formada pelos pontos EFO:16

)2²(

8

²

16

² -=-

pp aaa

A

B

C

D

E

F

G H

2

2

4

4

6

3,2014,3.536

536436

4

²2.

4

²4.

2

2).12(4S

Þ-=

-=Þ--=

--+

=

S

SS ppp

pp

21627

3.1.1.2²3

=Þ-=

-=

VV

V

93

44. C) 244

45. D) 7 232cm³

46. B) 2 200

47. A) 150 720l

48. B) 3/2

49. B) 12p m²



244

2.132.5)5.37.13(2)2.72.32.4(2

=

++-+++=

S

S

²232

7768800012.8.8³20

cmV

V

=

=-=-=

)(198,2³198,21000³1

³198,270,070,0².1.

70,0

1

2

.

baalternativlmlm

mV

mh

mr

md

hSV b

Þ=\=

===

=

=

=

=

pp

ldelmV

hrV

mh

mR

560.1689

8560.169³56,1696.9.

²

6

3

Þ===

=

=

=

p

p

)(

2

3

2

3

2

)(2

S

S

2rhdh

L

T

baalternativ

r

r

S

S

h

rh

rh

rhr

L

T ==Þ+

=+

=

=Þ=

p

p

²1223.222 mrhS ppp ===

16²8)(2 rrhrS ppp

22 mh =2mR =

==+=

3rH =3hR =

94

50. C) 5p

51. A) 18p m³ por hora

52. C) 9

53. D) 14 400

54. A) 80 cm³

55. B) 9,42



)(5441.2.

4.2

1

222

2221

2

1

21

caalternativVShrV

V

VVV

Þ=+=\==Þ=

=÷ø

öçè

æ=

+=

pppppp

pp

32

2

9010.3.

rV

mV

h

pp

p

==

=

O reservatório recebe água à razão de por hora ou seja por hora 318 mp

3

5

90m

p

hrhrV

hrV22

2

21

)(9)3( pp

p

==

=

lm

mhrv

mh

mr

400.14³4,1448.3,048%.30

483.1634

.

3

4

3

2

2

===

==÷ø

öçè

æ==

=

=

ppp

p

3

322

800,4.20

0,48.)4,0.(

cmV

cmVhrV

caixa =@

@Þ==pp

mlcmV

cmhrV

cmh

cmd

42,942,9

3.1.

8

2

3

322

==

==

=

=

pp

95

56. A) 30p cm³ ou 94,20 cm³

57. 6 cm

58.E) v=370/3p ml ou 387,26 ml (aproximadamente)

59.E) 3L/2



3

22

20,9414,3.3030

3

10.3.

3

..

3262

cmVVV

VhR

V

cmRRRD

=Þ=Þ=

=Þ=

=Þ=Þ=

p

pp

R

g

h

10

8

4

3

6

mlVVcmV

VV

TTT

copoT

26,3873

14,3.370

3

370

)12916(3

10)3.434(

3

10

3

22

=Þ=Þ=

++=++==

p

pp

2

l 2

l2

l

l

ll

2

3

222

llll=++

60. A) 2/3 dm

61. B) 6 cm

63. A) 2

64. A) Área verde= 19 202, Área amarela=4 948 e porcentagem=17%



A

Q

D

B

P

C

x1 - x

2

1

2

1

1

Área do trapézio ABPQ:

Área do triângulo BCP:

Então:

4

2

2

1.

2

11 xx -=

-+

21..

2

1 xx =

dmxxx

5

2

2

.2

4

2=\=

-

()cmAA

AA

6''

9,4''

=

=

62. B) 6

1

1

3

D

A

B

C

23.1.2

11.1.

2

1=+=At

53 53

5353

14

0 c

m

17 17

17

17

83 83

200 cm

0

N

385035.7

22)(

87982

166.106)(

28000140.200)(

2 ==

==

==

círculoA

losangoA

retânguloA

III

II

I

a) Área Verde ²19202879828000 cm=-=

b) Área Amarela ²494838508798 cm=-=

96

97

65. D) 100

66. A) 1

67. A) 2(2p- 3√3)

68. A)



23

x+

2

x

x

3 2

6

23

xx +=+

432

6 22

2

=Þ+=÷ø

öçè

æ+xx

x

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

52

43 =+=raio

Lado do quadrado: 10=l

10010.10: =área

l

l

2

área assinalada

()

²11.1

1

2 222

cmA

cml

ll

==

=

+=

Apótema do hexágono é:

22

362

32.3cmAA hh =Þ=

6 222

33

2

3cmrcml

lla =\=Þ=Þ=

22 42. cmAC == pp

área sombreada:

²)332(2364 cmAA hh -=Þ-= pp

4 3

3

1

1

1 1

I

II

III área I:

área II:

área III:

29

263

22

1.

63.2

31.3

2

pp

pp

+=++=

=

=

=

TA

29 p+

98

69. A) área do retângulo inicial= 2 625 cm² e x=153

70. C) 2

71. C) 50 e 100

72. D) 264000 km

O enunciado diz que 1real = 275×107 cruzados. O salário de João é 640 reais, o que é equivalente a 640×275×107=176.000×107=176×1010 cruzados. O número de pilhas de 100 notas que se podem fazer

com este número de notas de 1 cruzado é

Como cada uma destas pilhas tem altura 1,5 cm, a altura de todas elas é 1,5×176×108=264×108 cm. Lembramos agora que 1 km=1000m=103m e 1m=100 cm=102 cm, donde 1 km=103×102=105 cm . Logouma pilha de 264×108 cm tem de altura.



área do retângulo =35x75=2 625 cm²área do quadrado de lado x e x²área do retângulo -4x2=1 7252 625- -4x2 =1 725X2=225=15

2

4

2:

422

.2

2

22

.

2

2

2

1

2

22

222

2

1

==

=Þ=

=Þ+=

==

a

a

A

ARazão

aA

aa

A

axxxa

aaaA

x

x

a

a

b1

2

c) O comprimento de uma circunferência de raio r é 2pr. Assim, em cada volta, André percorre 2p ×100m=200pm. Logo, o número de voltas que André precisa dar é 42000 /200p = 210/p. Podemos agora finalizar o problemade duas maneiras:1a) A aproximação de p até a segunda casa decimal é 3,14. Daí, 210/ p =210/3,14= 66,878 =66,88 . Como66, 88 está entre 50 e 100, a opção correta é C.2a) Como 3 < p < 4 segue que 1/ p <1/ 3S e 1/4 <1/ p. Multiplicando ambos os lados dessas desigualdades por 210 obtemos: 210/ p <210/3=70 e 210 /4< 210/p. Como 210 /4= 52,5, concluímos que André deve dar entre 53 e 70 voltas na pista para percorrer 42000m.

17610

76x102

10

=

GEOMETRIA


O eixo da geometria deve propor um trabalho que propicie aos aprendentes o reconhecimento de figuras por aspectos no nível simbólico e de identificação de características das figuras numa articulação e dedução de relações pertinentes às propriedades das figuras na consolidação inclusive de conceitos anteriores como os de congruência, semelhança, proporcionalidade, teoremas de Tales e de Pitágoras, que vem sendo trabalhado desde o ensino fundamental. É importante que o professor possa fazer as construções com régua e compasso explorando as propriedades inerentes às construções de retas paralelas, perpendiculares, mediatriz, bissetriz e polígonos regulares.

Ensinar geometria como modelo e forma de representar nas Artes, por exemplo, deve ser um momento especial para desenvolver habilidades ligadas à percepção espacial e a percepção visual das cores, das formas, numa construção de conceitos em que articula a geometria com outros eixos e áreas da matemática. A geometria é fundamental para que possamos compreender o espaço em que vivemos, ela nos proporciona o desenvolvimento de capacidades de visualização espacial e as várias formas de representar; evidencia conexões matemáticas quando bem exploradas e pode ser utilizada inclusive para ilustrar aspectos da história e da evolução da matemática.

Na perspectiva da geometria analítica numa articulação da geometria x álgebra explorando retas e circunferências chamando atenção para as equações deduzidas e fazendo a transposição didática no sentido geométrico e observando os parâmetros e como funciona sem deixar de lado as relações entre coeficientes da equação de retas e suas posições relativas na perspectiva vetorial para verificar as posições relativas de retas e circunferências: de pontos de vista algébrico e geométrico. Ao introduzir vetor é importante estudar seu conceito e as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar e apresentar o ponto de vista geométrico (lugar geométrico) sem desconsiderar o ponto de vista algébrico, a fim de fornecer o papel da generalização ao trabalho.

Descritores da Matriz de Referência de Pernambuco (SAEPE) 3° ANO

Eixo: Geometria/ Espaço e Forma

D1 – Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade.D2 – Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou espaciais.D3 – Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas.D4 – Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.D5 – Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente).D6 – Identificar a localização de pontos no plano cartesiano. D7 – Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.D8 – Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.D9 – Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a resolução de um sistema de equações com duas incógnitas.D10 – Reconhecer, dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferências.

101

102

01. D) 25 cm

02. C) 90

04. C) 45

05. D) 5/4

06. A) 36º

As figuras possuem um total de 12 X 5 + 20 X 6 = 180 lados. As costuras são 90.

Sejam: O o centro da circunferência e M o ponto médio de AB. No triângulo retângulo OMA temos OA = R,MA = 20 e OM = 40 – R. O teorema de Pitágoras fornece R = 25.

EIXO: GEOMETRIA


03. oACB 30=Ð

O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da circunferência inscrita em ABC e O o ponto médio dolado AC. Se ��AOI = 45�a, quanto mede, em graus, o ângulo ��ACB?

oACB 30=Ð

A

B

C

I

O

Como ABC é um triângulo retângulo, então AO = BO = CO. Se e , então ? ABI ≡ ? AOI (ALA). Com isso, AB = AO = BO, e portanto, triângulo ABO é eqüilátero. Assim,

045=Ð=ÐAOIABI OAIBAI Ð=Ð

Como AE = BE = CE, então o triângulo ABC é retângulo em B. Dessa forma, podemos escrever = 90º . Como CE = CD, obtemos �� . Logo, como é ângulo externo ao triângulo BEC e �� ,

concluímos que e ��a . Portanto,

ab-º80=Ð=ÐCDECED CEDÐ b=Ð=ÐEBCECB

º40º802 =\=\+=Ð bbbbCED º50=a4

5=

b

a

Seja J a interseção dos segmentos BC e FG. Como M é ponto médio do segmento BC, oposto ao vértice E, conclui-se que EF é diâmetro, e . Sendo ABCDE um pentágono regular, °=Ð=Ð 90BMFFGE °=Ð108ABC

:GHID aa -°=ÐÞ=Ð 90GIHGHI:BJHD aa -°=ÐÞ=Ð 72BJHBHJ:FJMD aa +°=ÐÞ-°=Ð 1872 JFMFJM

NO

NONO

Para que os triângulos EFG e HIG sejam semelhantes, como a única possibilidade é termos aa+°¹18°=Û+°=-° 361890 aaa

103

07. C) 42º�a

08. A) 750 m �a

09. D) 2

EIXO: GEOMETRIA


.1085

)25(180ˆˆ °=-

==DCBCBA

.662

48180ˆ,48ˆ,60ˆ °=-

=°=°= FCBCBFFBA

.4266108ˆ °=°-°=DCF

No momento do primeiro cruzamento, Esmeralda e Jade percorreram a distância total igual à metade da extensão da pista. Entre o primeiro e o segundo cruzamento, as moças percorreram uma distância total igual à extensão da pista. Portanto Esmeralda correu o dobro da distância que correu até o primeiro cruzamento, ou seja, metros e, deste modo, a extensão da pista é 400 + 350 = 750 m.4002002 =×

Até o primeiro encontro

Entre o primeiro eo segundo encontro

10. A) 3

392

GAFDABGAFGABDAB D»DÛÐ=+Ð=Ð º60

AB

AF=

2

1

AD

AG=

2

1

, com razão de semelhança 2.

Portanto

2.BD

FG=

A B

C

D D’

A’

60o

Sejam A' o ortocentro do triângulo BCD e D' o ortocentro do triângulo ABC.Como as retas CD' e BD são ambas perpendiculares a AB, são paralelas. Analogamente, as retas BD' e CD são paralelas. Logo o quadrilátero BDCD' é um paralelogramo e, portanto, os triângulos BCD e BD'C são congruentes.Da mesma maneira, as retas AB e CA' são paralelas, pois são perpendiculares a BD. Analogamente, as retas AC e BA' são paralelas. Logo o quadriláteroCABA' é um paralelogramo e, assim, os triângulos ABC e A'CB são congruentes.Consequentemente, os quadriláteros ABDC e A'CD'B são congruentes, demodo que a distância entre os ortocentros A'D' é igual a AD.

Devemos, então, calcular AD. Como os ângulos e são ambos retos, somam 180º e, portanto, o quadrilátero ABCD é inscritível, sendo AD diâmetro de seu circuncírculo.

DBA ˆ DCA ˆ

104

EIXO: GEOMETRIA


A

C

B

D

4

60º

3

Pela lei dos co-senos, 132

13423460cos2 222222 =Û×××-+=Û×××-+= BCBCACABACABBC o

Enfim, pela lei dos senos, e, portanto, a distância entre os ortocentros é 3

39213

602

23====

osen

BCRAD

3

392

Sejam A' o ortocentro do triângulo BCD e D' o ortocentro do triângulo ABC.

B

DD’

A

A’C

60º

x

y

Sejam A = (0;0) e B = (4;0). Sendo AC = 3 em (BÂC) = 60º, podemos supor que C = ÷÷ø

öççè

æ=

2

33;

2

3)603;60cos3( oosen

Como a reta CD' é perpendicular ao eixo x, admite equação 2

3=x

Além disso, sendo a reta BD' perpendicular à reta AC, de coeficiente angular seu coeficiente

angular é . Logo, sendo , .

360tg =o

3

1-÷ø

öçè

æ=aD ;

2

3'

6

35

3

1

4

0

23

=Û-=-

-a

a

Calculemos agora A'. Como A' pertence à perpendicular a BD por C, então . A reta CD é

perpendicular a AC e, portanto, tem coeficiente angular . Enfim, sendo A'B perpendicular a CD, tem

coeficiente angular . Deste modo, .

÷÷ø

öççè

æ=

2

33;' bA

3

1-

31

31=

--

2

113

4

0233

=Û=-

-b

b

Logo a distância entre os ortocentros A' e D' é 3

392

6

35

2

33

2

3

2

1122

=÷÷ø

öççè

æ-+÷

ø

öçè

æ-

105

11. B)

13. A) 3024

14. E) 75º e 90º

15. A) 270

Marque os ângulos opostos pelo vértice a x e a y. No pentágono com esses ângulos OPV marcados, a soma dos ângulos internos será igual a 540º: x + y + 90º + 90º + 90º = 540º, então x + y = 270º.

Considere um quadrante AOB de raio 1 (ponha OA horizontal). Sobre OA considere os pontos M e N tais que OM = 1/2 e ON = 1/4. Trace MC e NX perpendiculares a OA (C e X no arco AB). Assim, arcAC = 60º, arcAX = xe cos x = 1/4. NX encontra a corda BC no seu ponto médio P. Considere o ponto Q do arco BC tal que PQ seja perpendicular à corda BC. Assim, Q é médio do arco BC e, portanto, arcAQ = 75º. Logo x > 75º.

EIXO: GEOMETRIA


O plano que secciona o cubo no item B é aquele que contém os segmentos que ligam os pontos médiosde arestas paralelas não coincidentes de duas faces adjacentes. Pode-se verificar que as demais planificações não contém representações de interseções de planos com o cubo.

12. D) 9

82

Temos donde e logo 1 80

,9

aa

-= 2

2

2

1 1 64002 ,

81a a

aa

æ ö+-=-=ç ÷

è ø

2 22

2

1 1 6400 6724 822 4 .

81 81 9a a

a a

æ ö æö+=++=+==ç ÷ ç÷

è ø èø

Assim, pois 1 82

,9

aa

+= 1

0.aa

+>

Seja B o conjunto dos pontos de A cuja distância à origem é menor do que e seja P = um ponto de B.

Sabe-se que P está sobre o segmento e que a distância de P à origem é menor ou

igual a . Portanto:

35 );( yx

0,;2 ³=+ yxyx 22 yx +

35

() 09

1142

2

9

2544

2

35

2

222222 £+-

-=

Û£+-+

-=

Û£+

=+

xx

xy

xxx

xy

yx

yx

As raízes de são que nos dá os pontos extremos

e de B. Pela inequação, temos que os pontos de B

estão na reta , delimitados pelos pontos e , logo B é o segmento de reta .Queremos a probabilidade p de escolher um ponto do conjunto A estar contido no segmento, que é a razão entre e o comprimento de A. Como A está delimitado pelos pontos e, seu comprimento vale. O comprimento de B vale

09

1142 2 =+-xx

6

141

4

9

118164

0 ±=-±

=x

÷÷ø

öççè

æ+-=

6

141;

6

1411P ÷

÷ø

öççè

æ-+=

6

141;

6

1412P

2=+yx 1P 2P 21PP

106

16. E) 09h55�a

Para medir o ângulo entre os ponteiros, basta obter as posições dos dois ponteiros. Fazendo isso para cada umdos horários, lembrando que o ângulo entre dois números consecutivos do relógio é 30º:

- 02h30: o ponteiro maior está sobre o 6 e o menor está exatamente na metade entre o 2 e o 3. Logo o ângulo

entre eles será

EIXO: GEOMETRIA


º105º305,3 =

1

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

- 06h20: o ponteiro maior está sobre o 4 e o menor está 1/3 de hora depois do 6. Logo o ângulo é

º70º303

12 =÷

ø

öçè

æ+

1

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

- 05h40: o ponteiro maior está sobre o 8 e o menor está 1/3 de hora antes do 6. Logo o ângulo é

º70º303

12 =÷

ø

öçè

æ+

1

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

- 09h55: o ponteiro maior está sobre o 11 e o menor está 1/12 de hora antes do 10. Logo o ângulo é

º5,32º3012

11 =÷

ø

öçè

æ+

1

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

107

17. B) o dobro.

19. B) 12,1m

20. A) 576

21. C) a pista longa é cinco vezes maior que a curta

22. D) 5

Solução 1 – Desenhando o cubo e numerando seus vértices de acordo com o enunciado da questão, obtemos a figura abaixo, onde podemos ver que o vértice 5 é o mais distante do vértice 6.

Solução 1 - Denotemos por x e y os comprimentos das pistas longa e curta,respectivamente. Numa semana, ele corre 6 (x +2y) e na outra 7(x + y). Como, em cada semana,ele corre os mesmos 5000m, temos: 6(x+2y)=7(x+y). Segue que 6x+12y=7x+7y, e portanto, 5y = x. Assim,o comprimento da pista longa é cinco vezes o da pista curta.

Solução 2 - Na semana em que Joãozinho treinou sete dias, ele correu uma pista longa a mais e cinco pistascurtas a menos do que a semana em que ele treinou apenas seis dias. Como a distância corrida foi a mesma nas duas semanas, concluímos que o comprimento da pista longa é igual ao comprimento de cinco pistas curtas.

18. A) Os dois discos giram em sentidos opostos; quando um gira no sentido horário, o outrogira no sentido anti-horário. Considerando que a engrenagem da esquerda girou um ângulo x em um sentido, a engrenagem da direita girou o mesmo ângulo x no sentido oposto, e, portanto, a bandeirinha ficou na posição mostrada na alternativa (A).

EIXO: GEOMETRIA


A distância entre dois postes consecutivos é 3,3m /3 = 1,1 mm, donde a distância entre o primeiro e o últimoposte é 11×1,1m= 12,1m

1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P 9P 10P 11P 12P

Em cada caixote de madeira de dimensões a×b×c cabem, empilhados regularmente,l

cx

l

bx

l

a

cubos de lado l . No nosso caso, a = 60, b = 80, c = 120 e l = 20 . Como 60 , 80 e 120 são múltiplos de 20,

podemos encher o caixote sem deixar espaços 7220

120

20

80

20

60=xx

20 . 20 . 20 caixas de papelão cúbicas de 20cm de cada lado. Logo, em cada caixote cabem 72× 8 = 576 latas de palmito.

1

2

3

4

5

6

7

8

O vértice 6 está nas faces {1, 2, 6, 7}, {1, 4, 6, 8}e {3, 4, 6, 7}. Como nestas faces não aparece o 5, segue que este é o vértice diagonalmente oposto ao 6, ou seja, o 5 é o vértice mais distante do 6.

23. E) 7

24. A) 200 cm²

25. C) 64p

26. B) 13m

27. D

28. D) 6

O segmento CF, que queremos calcular, é um cateto do triângulo retângulo CDF. O teorema de Pitágoras, aplicado a este triângulo, diz que CD2=CF2+FD2=CF2+242 e daí tiramos CF2=CD2- 242. Ou seja, para acharCF basta conhecer CD. Como os lados opostos de um retângulo (e, mais geralmente, de um paralelogramo) são i g u a i s , t e m o s C D = A B , e n o s s o o b j e t i v o p a s s a a s e r o c á l c u l o d e A B .Para isso, olhemos para o triângulo ABE; sua área é 15 AE×BE/2=15 ×BE/2=150 , donde tiramos BE = 20.O teorema de Pitágoras aplicado a este triângulo nos dá AB2= AE2+BE2=152+202=625=252, donde AB = 25.L o g o C D = A B = 2 5 e , d e a c o r d o c o m n o s s a o b s e r v a ç ã o a n t e r i o r , t e m o sCF2=CD2- 242=252- 242=(25+24)(25- 24)=49. Obtemos então CF = 7. Notamos que a solução independeda medida dos lados AD e BE.

EIXO: GEOMETRIA


A figura dada pode ser decomposta em quatro figuras iguais à figura ao lado. Para calcular a área do triângulo escolhemos como base o lado BC; a altura correspondente é então AE. Como os azulejos são quadrados de lado 10cm, segue que AE=BC=10cm, e a área do triângulo BCE é 250

2

1010cm

x=

. Logo, a área da região hachurada é 4×50=200cm² 2

2cm

abasexaltur

A B C

DE

29. C)3

344+

108

Fórmulas de Geometria Espacial

Prismas

Pirâmides

Tetraedro

A A h

A A h

A A h

A A A V A h

B L

B L

B L

T L B B

Q Q

H H

D D= =

=

=+ =

ll

l l

ll

2

2

2

3

43

4

63

46

2

=

= =

.

.

. .

. .

A a b A

A ab bc ac A

V a b c A

D a b c V

d D

B F

T L

T

face cubo

= =

=++ =

= =

=++ =

= =

.

. .

l

l

l

l

l l

2

2

2

2 2 2 3

2 2 2 4

6

2 3

CuboParalelepípedo

3

.

.

hAV

AAA

appA

B

BLT

L

=

+=

=

²²²

2

²²²

²²²

Rha

lapa

khap

+=

+=

+=

Aa

Va

A a Aa

ha

Obs K h do

triângulo equilátero

F

T L

= =

= =

=

2 3

22

3

4

2

12

3 33

4

6

3

: =

.

109

Cilindro

Cone

V A h r h A r

A rh

A r rh

A rh

Equilátero h r

B B

L

T

S

== =

=

=+

=

®=

. p p

p

pp

2 2

2

2

2 2

2

2

VA h r h

A r

A rg A rh

A r rg g r h

Equilátero g r

BB

L S

T

== =

= =

=+ =+

®=

.

3 3

2

22

2 2 2 2

pp

p

pp

Identidades trigonométricas

1)(cos)( 5)


1)(cos 4)


)cos(

1)sec( 3)


)cos()(cot 2)


)cos(

)()( 1)

22 =+

¹=

+¹=

¹=

+¹=

xxsen

kxxsen

xec

kxx

x

kxxsen

xxg

kxx

xsenxtg

p

pp

p

pp

110


quadrante. primeiro ao pertence

soma cuja positivos, arcos para as verdadeirsão acima fórmulas As

2)(p/

2bp/

2p/

)().(1

)()()( 11)

2)(p/

2bp/

2p/

)().(1

)()()( 10)

)().()cos().cos()cos( 9)

)().()cos().cos()cos( 8)

)cos().()cos().()( 7)

)cos().()cos().()( 6)

ïïï

î

ïïï

í

ì

+¹-

+¹

+¹

+

-=-

ïïï

î

ïïï

í

ì

+¹+

+¹

+¹

-

+=+

+=-

-=+

-=-

+=+

pp

pp

pp

pp

pp

pp

kba

k

ka

btgatg

btgatgbatg

kba

k

ka

btgatg

btgatgbatg

bsenasenbaba

bsenasenbaba

absenbasenbasen

absenbasenbasen

Fórmulas da adição

Fórmulas da multiplicação

Fórmulas da transformação em produto

)(1

)(.2)2( 14)

)()(cos)2cos( 13)

)cos().(.2)2( 12)

2

22

xtg

xtgxtg

xsenxx

xxsenxsen

-=

-=

=

÷ø

öçè

æ-÷ø

öçè

æ+-=-

÷ø

öçè

æ-÷ø

öçè

æ+=+

÷ø

öçè

æ+÷ø

öçè

æ-=

÷ø

öçè

æ-÷ø

öçè

æ+=+

2.

2.2)cos()cos( 18)

2cos.

2cos.2)cos()cos( 17)

2cos.

2.2sen(y)-sen(x) 16)

2cos.

2.2)()( 15)

yxsen

yxsenyx

yxyxyx

yxyxsen

yxyxsenysenxsen

111

ESTATÍSTICA, PROBABILIDADEE COMBINATÓRIA


Descritores da Matriz de Referência de Pernambuco (SAEPE)

D34 – Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.D35 – Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa.

Seja capaz de estabelecer o modelo matemático que permita determinar a probabilidade de ocorrência de um evento.

Identificar a probabilidade de união e da intersecção de eventos, os eventos disjuntos e o conceito de independência de eventos.

115

01. D) 36

02. D) 16

03. C) 75l

04. D) 5

Note que todos os cartões deixam resto 3 na divisão por 5. Então, para que a soma dos cartões seja 100, que é múltiplo de 5, precisamos de pelo menos cinco cartões. Rafael pode escolher 3, 13, 23, 28 e 33, assim a resposta é 5.

Imagine que B esteja a direita de A. O gafanhoto deve, em alguma ordem, dar 7 pulos para a Direita e 2 para

a Esquerda. Uma trajetória possível é, por exemplo, DDDEDDEDD. O número de listas deste tipo é

EIXO: ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATÓRIA


3629 =C

80. 16.

100I =

Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que falam Inglês. É

fácil ver que

Além disso, Com isso, o número de funcionários que falam as duas línguas é

20 80. . 4 .

100 100P I P I=Þ=

804 . 84 20.

100I I I I+-=Þ=

Inicialmente, há 90kg de água e 10kg de matéria sólida. As peras devem ser desidratadas até o ponto em que esses 10kg representem 100% - 60% = 40% da massa total, ou seja, até que a massa total seja igual a

254,0

10

%40

10== kg. Logo 90 – (25 – 10) = 75Lde água serão evaporados.

05. D)!39!13

!26!26

116

Vamos contar o número de distribuições em que Arnaldo não recebe nenhuma carta de espadas. Como há 39

cartas não-espada, temos modos de escolhermos as cartas de Arnaldo. Depois disso, temos também

modos de escolhermos as cartas de Bernaldo (as cartas dele podem ser de espadas) e modos de

escolhermos as cartas de Cernaldo. Por último, só teremos 1 maneira de escolhermos as cartas de Dernaldo

(ele ficará com as cartas que sobraram). Logo, há distribuições em que Arnaldo não

recebe cartas de espadas. De modo análogo, contando as distribuições em que nem Arnaldo nem Bernaldo

recebem cartas de espadas, obtemos um total de distribuições. Logo, a probabilidade é:

÷÷ø

öççè

æ

13

39

÷÷ø

öççè

æ

13

39÷÷ø

öççè

æ

13

26

113

26

13

39

13

39×÷÷ø

öççè

æ×÷÷ø

öççè

æ×÷÷ø

öççè

æ

113

26

13

26

13

39×÷÷ø

öççè

æ×÷÷ø

öççè

æ×÷÷ø

öççè

æ

!13!39

!26!26

!26!13

!39!13!13

!26

13

39

13

26

113

26

13

39

13

39

113

26

13

26

13

39

==

÷÷ø

öççè

æ

÷÷ø

öççè

æ

=

×÷÷ø

öççè

æ×÷÷ø

öççè

æ×÷÷ø

öççè

æ

×÷÷ø

öççè

æ×÷÷ø

öççè

æ×÷÷ø

öççè

æ

117

06. C) 30 ou (D) 60 ambas devem ser consideradas como resposta correta

07. E) 729

08. D) 512

09. A) 191

Escolha 20 das cidades do país. Ligando duas quaisquer delas por uma estrada, utilizaremos

Formaremos a fila da seguinte maneira: inicialmente, posicionamos a pessoa mais alta. Então, a segunda pessoa poderá ocupar qualquer um dos dois lados em relação à primeira pessoa, de modo que há 2 modos da segunda pessoa ser posicionada. A terceira pessoa mais alta pode ser colocada em ambos os lados da fila entãoformada, tendo também 2 modos de entrar na fila. De um modo geral, cada pessoa terá dois modos de se posicionar na fila,escolhendo uma das duas extremidades. O total de posicionamentos feitos dessa forma é



C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes parapintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso pode ser

feito de maneiras de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Pode-se

verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois ao serem giradas, obtém-se a mesma. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir cartões diferentes.

D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividirpor 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.

64

1234=

´

3065 =

Seja abcd um número paladino. Temos 9 possibilidades para escolhermos o dígito a, 9 para escolhermos b e 9para escolhermos c. Uma vez escolhidos esses dígitos, devemos escolher o dígito d de modo que o número formado seja múltiplo de 9. Mas, só haverá um modo de escolhermos d: se a + b + c deixar resto r na divisão por9 (com , devemos escolher d = 9 – r. Logo, a quantidade de números paladinos é 9 x 9 x 9 x 1 = 729. 0 8)r££

51221 9 =x

1902

19.20

2

20==÷÷

ø

öççè

æ

estradas, e a cidade restante não poderá ser alcançada de automóvel. Logo se deve construir pelo menos 191 estradas. Vamos mostrar que com essa quantidade é possível atingir nosso objetivo.

Suponha que n = 191, mas que seja possível dividir as cidades do país em dois grupos A e B, digamos coma e b cidades, respectivamente, de tal sorte que nenhuma cidade de A possa ser alcançada de automóvel a

partir de qualquer cidade de B. Então o número de estradas no país é no máximo , de modo que , ou ainda, (a2 + b2) – (a + b) ≥ 2.191 = 382.

Como a + b = 21, segue da inequação acima que a2 + b2 ≥ 282 + 21 = 403.

Logo ab =

Mas, como a + b = 21 e a e b são naturais, temos ab ≥ 1.20 = 20, uma contradição.

Logo, se n = 191, sempre é possível viajar entre quaisquer duas cidades.

÷÷ø

öççè

æ+÷÷ø

öççè

æ

22

ba

÷÷ø

öççè

æ+÷÷ø

öççè

æ

22

ba191³

.192

403441

2

)()( 222

=-

£+-+ baba

11. B)120

118

10. B) 504

13. D) no semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B.

14. E) Controle de despejo industrial, Manejamento de lixo, Esgotamento sanitário

A alternativa D é correta, pois no semestre o faturamento de B foi de 860 milhões e o faturamento de A foi maior que 860 milhões e menor que 880 milhões;A alternativa A é falsa, pois analisando o gráfico fica claro que em nenhum dos meses o faturamento de A é odobro do faturamento de B;A alternativa B é falsa, pois em outubro a diferença de faturamento entre as duas empresas foi mais de 80 milhões, maior do que a diferença em julho, que foi de 60 milhões;A alternativa C é falsa, pois foi a empresa A que teve a maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos (100 milhões entre os meses de agosto e setembro);A alternativa D é correta, pois no semestre o faturamento de B foi de 860 milhões e o faturamento de A foi maior que 860 milhões e menor que 880 milhões;A alternativa E é falsa, pois a diferença de faturamento no semestre foi menor que 20 milhões.



Sejam os números ordenados assim: a > b > c > d > e > f > g > h > i.

Então, Além disso,

e também temos a seguinte equação,

Portanto, somando, obtemos

E assim, a soma desejada será

,,,,,,,,, ihgfedcba

.99

ihgfedcbaeihgfedcba

e ++++++++=Þ++++++++

=

,340685

=++++Þ=++++

edcbaedcba

445

=++++ ihgfe .220=++++Þ ihgfe .565609 =Þ=+ eee

9 504.e=

Note que basta que o algarismo das dezenas do primeiro membro seja maior do que o algarismo das dezenas

do segundo membro, que por sua vez, seja maior que o algarismo das dezenas do terceiro membro. Há

maneiras de escolhermos três algarismos para serem os algarismos mais à esquerda dos três membros; o maior vai para o primeiro membro, o do meio para o segundo membro e o menor, para o terceiro membro. Feito isso, permutamos os outros três algarismos entre as unidades, obtendo 3! possibilidades. Assim, podemos preencher

a dupla desigualdade de = = 120 maneiras.

6

3

æöç÷èø

63!

3

æö×ç÷

èø

6 5 43!

3!

×××

12. C) 1

2007

Dado que, após n dias, há uma ameba amarela e n amebas vermelhas, a probabilidade de uma ameba vermelha

se duplicar é . Logo a probabilidade de que a colônia tenha, após 2006 dias, exatamente uma ameba amarela

é

1

n

n+

1 2 3 2006 1

2 3 4 2007 2007×××¼× =

119

15. D) 8 e 10

16. E) a área preservada da Mata Atlântica nos anos 2000 e 2001 é maior do que aregistrada no período de 1990-1992.

17. C ) 25%

18. D) No semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B.



18.

Professor, com base no texto, você poderá fazer alguns questionamentos, como por exemplo: & ;nbs p; I - Qual é a cobertura da rádio experimental do CED-5 ? II - Todas as estações móveis receberão o sinal emitido?III - Em relação ao sistema de eixos montado, em que quadrante está localizada a base móvel da Prainha ?IV - Em relação ao sistema de eixos montado, em que quadrante está localizada a base fixa do CED-5 ?V - Unindo as coordenadas dos três Parques formamos um triângulo. Qual é o perímetro e a área deste triângulo? (Para os cálculos deste item, utilize o critério de aproximação e o de truncamento com precisão de duas casas decimais).

Professor, apresente aos seus alunos o software Google Earth que combina os sofisticados recursos de pesquisa do Google com imagens de satélite, mapas, terrenos e edificações em 3D para colocar informações geográficas do mundo todo à sua disposição. Comente sobre a relação que existe da localização de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas com a localização geográfica das cidades, ou seja, latitude e longitude. Faça também um comentário sobre o que é o GPS, Sistema de Posicionamento Global, que é muito utilizado na aviação, viagens marítimas e que hoje em dia começa a ser utilizado também em automóveis de passeio para fornecer, através de mapas, a melhor rota para que um motorista possa se deslocar de um lugar a seu destino.

Sobre as coordenadas geográficas, mostre que elas sempre são mostradas à esquerda e na parte inferior da imagem do local, como na figura abaixo. Aproveite para explicar o que é latitude e longitude.

Peça aos seus alunos que localizem a sua escola, copie a imagem e cole em um software gráfico e em seguida peça a seus alunos que montem duas linhas perpendiculares e imprimam a imagem com o sistema de eixos conforme a figura abaixo.

Peça para os alunos construírem uma tabela com as coordenadas das bases móveis que vocês podem definir em conjunto.

120



Monte alguns questionamentos com base no proposto anteriormente e acrescente mais alguns com as peculiaridades de sua região. Discuta como calcular a distância entre as bases móveis e a base fixa? Deduza a fórmula da distância a entre dois pontos e aplique a fórmula para responder às questões colocadas acima. Acessem o sítio e leiam os itens Sistema Cartesiano Ortogonal, Eixos Coordenados, Plano Cartesiano e Distância entre dois Pontos. Em seguida, peça a eles que acessem o sítio:

para que possam exercitar mais um pouco sobre distância entre dois pontos. Esta animação simula um jogo bem divertido. A animação trata de uma perseguição de um navio pirata a navios comerciais, a animação ocorre em um sistema de coordenadas cartesianas e para proteger o barco comercial, o aluno deverá calcular a distância entre os dois barcos para poder dar um tiro de canhão. A animação tem diversos níveis:

Nível 1 – O posicionamento dos barcos é feito somente no primeiro quadrante do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são sempre em uma mesma linha ou mesma coluna.

Nível 2 – O posicionamento dos barcos é feito nos quatro quadrantes do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são sempre em uma mesma linha ou mesma coluna.

Nível 3 – O posicionamento dos barcos é feito somente no primeiro quadrante do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são colocados em linhas e colunas diferentes, forçando ao aluno utilizar o Teorema de Pitágoras para solucionar o cálculo da distância.

Nível 4 – O posicionamento dos barcos é feito nos quatro quadrantes do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são colocados em linhas e colunas diferentes, forçando ao aluno utilizar o Teorema de Pitágoras para solucionar o cálculo da distância.

Níveis 5 a 7 – Aparecerão três barcos: um pirata e dois “comerciais”. O barco pirata está perseguindo um barco comercial e o outro barco comercial de v e proteger o outro comercial. Você calcular a distância do barco que esta protegendo ao barco pirata utilizando o Teorema de Pitágoras. * Professor, questione seus alunos se o método para calcular a distância entre os barcos, das figuras abaixo, é o mesmo para cada uma delas.

* Trecho transcrito conforme texto encontrado no sítio www.htpp://portaldoprofessorhmg.mec.gov.br

http://www.ucs.br/ccet/deme/naem/seminarioiii/Geom/topicos_em_geometria.html

http://rived.proinfo.mec.gov.br/atividades/matematica/-batalha/barcos3.html

Coordenadas no sistema de cartesiano

Sua escola

Primeira base móvel

Segunda base móvel

Terceira base móvel

19. C) y = 2x -1

20. B) (9,16)

21. A) m = -2

22. C) m=-1/5

23. A) 2cm²/h

24. D) 30

25. E)

121



Avaliação: A avaliação poderá ocorrer durante as atividades desenvolvidas na aula, observando a participação dos alunos nas discussões e na atividade de consolidação dos conhecimentos, que é uma atividade de análise envolvendo cálculo da distância entre dois pontos utilizando a imagem das redondezas de sua escola. Observe e avalie a exploração e os comentários de seus alunos.

BIBLIOGRAFIA

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BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática 3º e 4º ciclos. Brasília: MEC, SEF 1998.

BRASIL, MEC, PREMEN – Universidade Federal do Ceará, 1975.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio + (PCNEM+) – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC - SEMTEC, 2002.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio - Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC-SEB, 2006.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo – Matemática Para Todos. São Paulo: Editora Scipione, 2002.

LONGEN, Adilson. Uma atividade humana, 1ª edição, coleção matemática, Curitiba: Editora: Base, 2003,

PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Base Curricular Comum para as Redes Públicas de Ensino de Pernambuco-Matemática. Recife: SE, 2008.

PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Orientações Teórico-Metodológicas do Ensino Médio - Matemática. Recife: SE, 2008.

SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática - volumes 1,2 e3 –Ensino Médio- 3ª edição reformulada-São Paulo: Saraiva, 2003.

VASCOCELLOS, M. J. C.; ESCORDAMAGLIO, M. T. – PROJETO ESCOLA E CIDADANIA PARA TODOS. São Paulo: Editora do Brasil, 2004.

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