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AFTRF - 2009 RACIOCÍNIO LÓGICO – QUANTITATIVO SUMÁRIO 1. ESTRUTURAS LÓGICAS......................................................................... 2 2. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO................................................................9 3. DIAGRAMAS LÓGICOS..........................................................................16 4. ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES................................22 5. PROBABILIDADES..................................................................................36

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AFTRF - 2009

RACIOCÍNIO LÓGICO – QUANTITATIVO

SUMÁRIO

1. ESTRUTURAS LÓGICAS......................................................................... 2 2. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO................................................................9 3. DIAGRAMAS LÓGICOS..........................................................................16 4. ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES................................22 5. PROBABILIDADES..................................................................................36

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1. ESTRUTURAS LÓGICAS

A lógica matemática, também chamada de lógica simbólica ou lógica formal, é baseada em dois princípios:

PROPOSIÇÃO E SENTENÇA ABERTA

De acordo com os princípios dados, podemos dizer que uma proposição em lógica, é uma afirmação que admite um único valor lógico definido: verdadeiro(V) ou falso(F). Exemplos: a) Porto Alegre é uma cidade brasileira (V) . b) A maçã é uma fruta (V) . c) 2+1= 5 (F) . Não são consideradas proposições, por não ter um valor lógico definido, por exemplo: a) Que horror ! b) Será que chove hoje? c) Ele é um ator. d) x é um número primo.

Sentenças que apresentam um sujeito indeterminado ou uma variável, como os exemplos c e d acima, são chamadas de sentenças abertas, funções proposicionais ou predicados, com uma variável. Ao atribuirmos um valor para a variável, transformamos a sentença aberta em uma proposição (que seria uma “sentença fechada”). Outra maneira de “fechar” uma sentença aberta é utilizar os quantificadores, como veremos adiante. Notação: Nos concursos públicos, as proposições são representadas por letras minúsculas p, q, r, s,... ou por letras maiúsculas P, Q, R, S, ..., dependendo da banca examinadora. As sentenças abertas com uma variável são representadas por p(x), q(x), r(x),... ou por P(x), Q(x), R(x), ..., etc. CONETIVOS

Os conetivos são palavras que ligam proposições simples, originando proposições compostas. Utilizaremos os cinco conetivos dados a seguir:

1º) Princípio da Não-Contradição “Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa”.

2º) Princípio de Terceiro Excluído “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo uma terceira possibilidade”.

e ( ∧∧∧∧ ) : conjunção; ou ( ∨∨∨∨ ) : disjunção não exclusiva ; ou...ou (∨∨∨∨ ) : disjunção exclusiva ; se...então ( →→→→ ) : condicional ; se e somente se ( ↔↔↔↔ ) : bicondicional.

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Exemplos 1) Maçã é uma fruta e 1+2=4 2) 2>1 ou 3<4 3) Ou 2 é par ou 2 é ímpar 4) Se 2+2=5, então 3 = 95) Paris é capital da França se e somente se Bagé é um estado. Observe que o conetivo “ou” pode ter dois significados: não exclusivo e exclusivo. No exemplo (b) temos o “ou” com significado não exclusivo (ou vale p, ou vale q, ou valem ambos) e no exemplo (c), com significado exclusivo (ou vale p, ou vale q, mas não ambos). No português, o significado do “ou” é dado, em geral, pelo contexto. A partir do significado de cada conetivo, estabelecemos as regras dadas a seguir, que determinam o valor lógico de proposições compostas. Essas regras são a base para a construção das estruturas lógicas e, o seu uso, nos assegura uma linguagem mais precisa para nos expressarmos.

Resumimos essas regras no quadro ( tabela-verdade ) abaixo

p q p ∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨ q p ∨∨∨∨ q p →→→→ q p ↔↔↔↔ q

V V V V F V VV F F V V F FF V F V V V FF F F F F V V

Além dos conetivos temos o “modificador”, indicado pelo símbolo ~ (ou ¬ ). O modificador é usado para negar uma proposição, trocando o seu valor lógico. Ou seja: se p é verdadeira, ~p é falsa ; se p é falsa, ~p é verdadeira. Exemplos 1) 2 é um número par e 2 é primo é uma conjunção V; 2) 3+1=5 ou 1+7=17 é uma disjunção F; 3) ou 4 > 0 ou 4 < 0 é uma disjunção exclusiva V; 4) se 1 > 2, então 3 < 4 é um condicional V; 5) se 6 > 8, então 9 < 8 também é um condicional V; 6) 1+1=3 se e somente se 2+2=5 é um bicondicional V.

EXERCÍCIOS 01. (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. “A frase dentro destas aspas é uma mentira”. A expressão X+Y é positiva. O valor de 4 + 3 = 7 .Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. ( ) Certo ( ) Errado

“A proposição p ∧∧∧∧ q só é verdadeira se as proposições p e q forem ambas verdadeiras”.

“A proposição p ∨∨∨∨ q só é falsa se as proposições p e q forem ambas falsas”. “A proposição p ∨∨∨∨ q só é verdadeira quando uma e somente uma das proposições p e q

for verdadeira”. “A proposição p →→→→ q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa”. “A proposição p ↔↔↔↔ q só é verdadeira quando p e q têm valores lógicos iguais”.

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02. (CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos. ( ) Certo ( ) Errado

OBSERVAÇÕES 1ª) Número de linhas de uma tabela-verdade:

Por exemplo: 1) Uma proposição ⇒ Tabela com 21 = 2 linhas 2) Duas proposições ⇒ Tabela com 22 = 4 linhas 3) Três proposições ⇒ Tabela com 23 = 8 linhas, etc. 2ª) O condicional p → q corresponde, na linguagem de conjuntos, a A ⊂ B (A está contido em B) . De fato, quando A ⊂ B, para todo x, o condicional x∈A→ x∈B é verdadeiro.

3ª) O bicondicional p ↔ q significa p → q e q → p (Temos um condicional “de ida” e um “condicional de volta”). A partir daí, é fácil entender a regra do bicondicional. De fato, de acordo com a regra do “e”, p ↔ q será V quando os condicionais de ida e de volta forem ambos V, o que ocorre somente quando p e q têm o mesmo valor lógico: V e V ou F e F. 4ª) Outras maneiras de ler um condicional e um bicondicional: • No condicional p → q , a proposição p é chamada de antecedente, hipótese, premissa ou ainda condição suficiente (CS) para q . A proposição q é chamada de conseqüente, tese,conclusão ou ainda condição necessária (CN) para p .

• No bicondicional p ↔ q dizemos que “p é condição necessária e suficiente (CNS) para q”ou também “q é condição necessária e suficiente (CNS) para p”.

5ª) Implicação e Equivalência :

O número de linhas de uma tabela-verdade com n proposições é igual a 2n.

1) Quando o condicional p → q é sempre verdadeiro, para quaisquer valores lógicos de p e q , dizemos que p implica q e escrevemos p ⇒ q.

2) Quando o bicondicional p ↔ q é sempre verdadeiro, para quaisquer valores lógicos de p e q, dizemos que p equivale a q e escrevemos p ⇔ q.

A B

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6ª) Um “alerta” sobre o condicional p → q :

Exemplo: Decida se é válida ou não a conclusão tirada a seguir. “Se João estudar, será aprovado no concurso. Logo, se João não estudar, não será aprovado no concurso”. A conclusão não é válida (nv). Se João não estudar, João poderá ser aprovado ou não no concurso.

EXERCÍCIOS

03. Considerando as proposições p: 1+1=2 e q: 3+4=5, determine o valor lógico das proposições seguintes: a) p∧ qb) p∨ qc) p∨∨∨∨qd) p→qe) p↔qf) ~(p∧ q) g) ~(p∨ q) h) ~(p→q) i) ~(p↔q) j) ~p ∧ ~q→pl) p∨ ~q→~q 04. Em que casos a proposição ~(p e ~q) é falsa? Solução A proposição dada é falsa quando (p e ~q) é V, ou seja, quando p é V e ~q é V, ou ainda, quando p é V e q é falsa.

05. Complete: a) p →→→→ q é F; q é... b) p →→→→ q é F; q →→→→ p é... c) p →→→→ q é V; q →→→→ p é... d) p ↔↔↔↔ q é V; p →→→→ q é... e q →→→→ p é... 06. Dadas as proposições p: 5>>>>2 , q: 3+4=6, r: 3>>>>4 e s, qual o valor lógico da proposição (p ou ∼∼∼∼q) e r →→→→ s ?

07. (VUNESP) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo: a) seu esforço é condição suficiente para vencer; b) seu esforço é condição necessária para vencer; c) se você não se esforçar, então não irá vencer; d) você vencerá só se se esforçar; e) mesmo que se esforce, você não vencerá.

Um erro muito comum é concluir que, sendo verdadeiro o condicional p → q, o condicional ~p → ~q também será verdadeiro. Isso não é verdade! O condicional ~p →→→→ ~q poderá ser verdadeiro ou não. De fato, o condicional p → q ser V significa que não ocorre o caso VF, isto é, podem ocorrer VV, FV ou FF. No caso de ocorrer FV, ou seja, p falso e q verdade, o condicional ~p →→→→ ~q será F. Ok?

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08. (ESAF) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, a) D ocorre e B não ocorre b) D não ocorre ou A não ocorre c) B e A ocorrem d) nem B nem D ocorrem e) B não ocorre ou A não ocorre 09. (ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio, a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. c) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo. e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

Solução Para abreviar, façamos: J: João está feliz; M: Maria sorri; D: Daniela abraça Paulo; S: Sandra abraça Sérgio. Temos aqui os condicionais M→ J, J → D e o bicondicional D ↔ S, que de acordo com o enunciado, são todos verdadeiros.

87687648476 VVV

SDeDJeJM ↔→→

Quando S é falso (como é dito na questão), D também é falso (pois o bicondicional D ↔ S éverdadeiro). Como D é falso, J também é falso (pois o condicional J → D é verdadeiro ). Como J é falso, M também é falso (pois o condicional M→ J é verdadeiro). Logo, a alternativa correta é (d). 10. Mostre, usando tabelas-verdade, que são válidas as regras de negação dadas a seguir: a) Negação da conjunção e da disjunção (Leis de DE MORGAN) ~(p e q) ⇔⇔⇔⇔ ~p ou ~q ~(p ou q) ⇔⇔⇔⇔ ~p e ~q

b) Negação do condicional ~(p→→→→ q) ⇔⇔⇔⇔ p e ~q

c) Negação do bicondicional ~(p ↔↔↔↔ q) ⇔⇔⇔⇔ ou p ou q

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Solução Faremos apenas o item b para ilustrar.

p q ~q p→ q ~(p → q) p e ~qV V F V F FV F V F V VF V F V F FF F V V F F

Como as tabelas de ~(p → q) e p e ~q são iguais, essas proposições são equivalentes . 11. Mostre, novamente usando tabelas-verdade, que é válida a propriedade contrapositiva

p →→→→ q ⇔⇔⇔⇔ ~q →→→→ ~p

12. (VUNESP) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: a) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu; b) Rodrigo é culpado; C c) se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado; d) Rodrigo mentiu; M e) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. Solução No desenho acima, estamos representando por M o conjunto dos mentirosos e por C o conjunto dos culpados. Basta olhar atentamente o desenho para ver que x∉C → x∉M, pois M está contido em C. A alternativa (a) é a correta ( É a propriedade contrapositiva). 13. (FCC) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista “ Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa “. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: a) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. b) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. c) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. d) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. e) ou os juros bancários são baixos, ou a inflação é baixa.

14. (ESAF) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 15. (CESPE) A proposição simbólica (P ∧∧∧∧ Q) ∨∨∨∨ R possui, no máximo, 4 avaliações V.

Solução

Basta fazer a tabela-verdade de (P ∧ Q) ∨ R.:

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P Q R P ∧ Q (P ∧ Q) ∨ RV V V V VV V F V VV F V F VF V V F VV F F F FF V F F FF F V F VF F F F F

Vemos na tabela-verdade, que a proposição dada tem 5 avaliações V. Logo, a afirmação feita está Errada.

16. (CESPE) Uma expressão da forma ~(A ∧∧∧∧ ~B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A → B.

Solução

Fazendo as tabelas-verdade das proposições ~(A ∧ ~B) e A → B verificamos que elas são iguais.

A B ~B A ∧ ~B ~(A ∧ ~B) A→ BV V F F V VV F V V F FF V F F V VF F V F V V

Logo, a afirmação está Certa. 17. (CESPE) A proposição simbolizada por (A →→→→ B) →→→→ (B →→→→ A) possui uma única valoração F. Solução Vamos construir a tabela-verdade de (A → B) → (B → A) :

A B A→ B B→ A (A → B) → (B → A)V V V V VV F F V VF V V F FF F V V V

De fato, a proposição dada possui uma única valoração F, como mostra a tabela acima. A resposta é Certo .

18. (ESAF) X e Y são números tais que: se X ≤ 4, então Y >>>> 7. Sendo assim: a) Se Y ≤ 7, então X > 4. b) Se Y > 7, então X≥ 4. c) Se X ≥ 4, então Y< 7. d) Se Y < 7, então X≥ 4. e) Se X < 4, então Y≥ 7.

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19. (ESAF) A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa “é: a) Ana e Pedro vão ao cinema ou Maria fica em casa. b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

GABARITO- ESTRUTURAS LÓGICAS

2. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

Um argumento lógico é uma seqüência de proposições onde a última é chamada CONCLUSÃO e as anteriores PREMISSAS. Representação: p1, p2, p3, ... pn ├ cPremissas: p1, p2, p3, ... pn .Conclusão: c O símbolo ├ lê-se “logo” ou “portanto” .

VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Observe que, de acordo com a definição dada acima, na análise da validade de um argumento, temos que verificar apenas, se a validade das premissas tem como conseqüência (ou acarreta) a validade da conclusão. Ou seja, não pode ocorrer premissas verdadeiras e conclusão falsa. Daí, é irrelevante admitir premissas não válidas. Com base nisso, veja a “dica” dada a seguir:

Obs.: o argumento do qual estamos falando, é o argumento utilizado no raciocínio lógico dedutivo. Existe também o argumento utilizado no raciocínio lógico indutivo, para o qual não se aplica o conceito de validade dado acima e não será estudado aqui.

01. Errado 02. Certo 03. a) F b) V c) V d) F e) F f ) V g) F h) V I) V j) V l) V 05. a) F b) V c) V ou F d) V e V 06. V07. a08. c09. d13. a 14. e 18. a 19. b

Um argumento é considerado válido quando, sendo verdadeiras todas as premissas, a conclusão também é verdadeira, ou seja, quando a validade das premissas implica avalidade da conclusão. Se as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa, temos um argumento não válido (também chamado de sofisma ou falácia).

Para verificar se um argumento é válido, basta supor que todas as premissas são verdadeiras e verificar se, como conseqüência, a conclusão é também verdadeira.

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Exemplo Considere o seguinte argumento: “Todo careca é gordo. Nenhum gordo é alto. Logo, nenhum careca é alto”. Premissas: p1: todo careca é gordo; p2: nenhum gordo é alto; Conclusão: c: nenhum careca é alto. Escrevendo em linguagem simbólica, teremos: p1 , p2 ├ cSupondo as premissas p1 e p2 verdadeiras, teremos, como conseqüência, a conclusão c também verdadeira. O argumento é válido.

SILOGISMO É um argumento com apenas duas premissas . Exemplos de Silogismos a) Se penso , então existo. Penso. Logo, existo . Premissas: p1: Se penso, então existo, p2: Penso. Conclusão: c: Existo. Em linguagem simbólica, o argumento fica: p1, p2 ├ c. Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras, concluímos que c também é verdadeira. Argumento válido. b) x < 5, x > 0. Logo, x < 5. Premissas: p1 : x < 5, p2 : x > 0. Conclusão: c: x < 5 ( que coincide com a premissa p1). Em linguagem simbólica o argumento fica p1, p2 ├ c .Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras concluímos que c é verdadeira. Argumento válido. c) x > 1, x < 5. Logo, x = 2. Premissas: p1: x > 1, p2: x < 5.Conclusão: c : x = 2. Em linguagem simbólica temos p1, p2 ├ c .Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras não podemos concluir que c é verdadeira. Argumento não válido.

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EXERCÍCIOS

01.(ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia e) se o passarinho canta, então o gato não mia Solução Essa questão servirá de modelo, para mostrar a técnica que utilizaremos na resolução de questões de argumentação lógica em geral. 1º) Escrever o enunciado em linguagem simbólica, para simplificar. Para isso,criamos uma legenda, como por exemplo: J: o jardim é florido; G: o gato mia; P: o passarinho canta. Em linguagem simbólica o argumento fica assim: ~J → G, J → ~P ├ ?

2º) Supor todas as premissas verdadeiras para descobrir o valor lógico das proposições componentes. Lembre que o condicional “ se p, então q” só é falso no caso VF. Assim, sendo p verdadeiro, q também deve ser verdadeiro, para ser válido o condicional. Então:

P é verdade ( “dica” dada no enunciado). Daí: J →→→→ ~P é verdade e ~P é falso ⇒ J é falso (para que o condicional seja verdadeiro); ~J →→→→ G é verdade e ~J é verdade ⇒ G é verdade (para que o condicional seja verdadeiro); Logo, a conclusão correta é a opção c: o jardim não é florido e o gato mia. 02.(ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que : A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados; b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados; c) somente a governanta é culpada; d) somente o cozinheiro é inocente; e) somente o mordomo é culpado. 03. (ESAF) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo b) Bernardo é barrigudo ou César é careca c) César é careca Maria é magra d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo e) Lúcia é linda e César é careca.

04. (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme ”Fogo contra fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria , Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís está enganado, então o filme não está sendo exibido.

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Ora, ou o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo: a) o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido b) Luís e Júlio não estão enganados c) Júlio está enganado, mas não Luís d) Luís está enganado, mas não Júlio e) José não irá ao cinema. 05. (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro b) Carlos é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia têm a mesma idade c) Carlos e João são mais moços do que Pedro d) Carlos é mais velho do que Pedro e João e mais moço do que Pedro e) Carlos não é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 06. (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 07. (ESAF) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado ou Sicrano é culpado, ou ambos são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo, a) Fulano é inocente, Beltrano é inocente e Sicrano é inocente. b) Fulano é culpado, Beltrano é culpado e Sicrano é culpado. c) Fulano é culpado, Beltrano é inocente e Sicrano é inocente. d) Fulano é culpado, Beltrano é culpado e Sicrano é inocente. e) Fulano é inocente, Beltrano é culpado e Sicrano é culpado.

08. (ESAF) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo: a) Jorge é juiz e Breno é bonito b) Carlos é carioca ou Breno é bonito c) Breno é bonito e Ana é artista d) Ana não é artista e Carlos é carioca e) Ana é artista e Carlos não é carioca 09. (ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é Espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é Francês

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(CESPE)- Julgue os itens subseqüentes (Certo ou Errado). 10. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto, José será aprovado no concurso . 11. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego. Ela conseguiu um bom emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo. 12. (CESPE) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira. 13. (CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira . 14. (CESPE) Considere as proposições A, B e C a seguir. A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público. B; Jane foi aprovada em concurso público. C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V. 15. Examinar a validade dos seguintes argumentos: a) ~p →~q , p ├ qb) p, p→q ├ q

16. Considerando as proposições p e q, decidir se os argumentos a seguir são válidos ou não: a) p, q ├ pb) (p∨ q) ∧ ~p ├ qc) (p∨ q) ∧ p ├ qd) p→q, ~q ├ ~p 17. Examine a validade dos seguintes argumentos: a) Se estudo, passo no concurso . Não passei no concurso. Logo, não estudei. b) Se x não é par, então y não é primo. Mas x é par. Logo, y é primo. c) Se a é menor que b, então a não é par. Mas a não é menor que b. Logo, a é par. d) Se a é um número primo, então a não divide b. Mas a divide b. Logo, a não é um número primo. e) Se Porto Alegre está na Itália, então Florianópolis não está no Brasil. Mas Florianópolis está no Brasil. Logo, Porto Alegre não está na Itália.

QUANTIFICADORES Os quantificadores são elementos lógicos utilizados para indicar se uma propriedade qualquer é válida para todos ou para apenas alguns elementos de um determinado conjunto.Temos 2 quantificadores : -Universal: símbolo∀ . Significa: “para qualquer que seja”, “para todo” , “para cada” , ou simplesmente , “todo” .

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-Existencial: símbolo∃ . Significa: “existe pelo menos um” , “para algum” , ou simplesmente “algum”.

Exemplo: consideremos a sentença aberta p(x): “x é um número par”, com x∈N.

1) Para x=4, p(x) é uma proposição verdadeira; para x=3, é uma proposição falsa;

2) Quantificando a variável com o quantificador universal, teremos:

“Para qualquer que seja x∈∈∈∈N, x é um número par” (ou: “ todo número natural x é par”) , que é uma proposição falsa;

3) Quantificando a variável com o quantificador existencial, teremos :

“Existe pelo menos um x∈∈∈∈N, tal que x é um número par” (ou: “algum número natural x é par” ), que é uma proposição verdadeira.

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS Exemplo 1) Todo número natural é primo. Negação: Nem todo número natural é primo, ou seja, algum número natural não é primo. Exemplo 2) Algum gato é preto. Negação: Nenhum gato é preto, ou seja, todo o gato não é preto. Analisando com atenção os exemplos acima, podemos estabelecer a seguinte

Resumo:

EXERCÍCIOS

18.Considerando como conjunto universo o conjunto A={1,2,3,4,5} e x um elemento de A, determine o valor lógico das proposições seguintes: a) Existe pelo menos um x tal que x+3=9 b) Para qualquer que seja x, x+3< 9 c) Para algum x, x+3 < 5 d) Para todo x, x+3 < 6

Para transformar uma sentença aberta p(x), com x∈A, em uma proposição, temos duas maneiras: 1) Atribuir um valor qualquer a x; 2) Quantificar a variável x.

Regra prática: para negar uma proposição quantificada pelos quantificadores universal e existencial, troca-se o quantificador e nega-se a sentença aberta.

1)Todo A é B⇒ Negação: Nem todo A é B, ou seja, Algum A não é B2) Algum A é B⇒ Negação: Nenhum A é B, ou seja,Todo A não é B.

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(CESPE)- Julgue os itens 19 e 20. 19. A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x2 > x” é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto

{ 5,25

, 3,23

, 2, 21

}.

20. A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 “ é verdadeira para elementos do conjunto {2,3,9,10,15,16}. 21.(BACEN) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentença: Nenhum pescador é mentiroso. a) Algum pescador é mentiroso b) Nenhum mentiroso é pescador c) Todo pescador não é mentiroso d) Algum mentiroso não é pescador e) Algum pescador não é mentiroso Solução O contrário de “Nenhum pescador é mentiroso” é “Pelo menos um pescador é mentiroso”, isto é, “Algum pescador é mentiroso”. Resposta: a

22. Dê a negação das seguintes proposições: a) Todos os homens são sérios; b) Nenhuma mulher é fiel ; c) Alguns homens são infiéis. 23. Considere as proposições : 1-toda mulher é boa motorista 2-nenhum homem é bom motorista 3-todos os homens são maus motoristas 4-pelo menos um homem é mau motorista 5-todos os homens são bons motoristas . Qual das alternativas abaixo reúne o par de proposições em que uma é negação da outra? a) 2 e 5 b) 1 e 3 c) 3 e 5 d) 2 e 4 e) 4 e 5 24. (ESAF) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico; b) nenhum economista é médico; c) nenhum médico é economista; d) pelo menos um médico não é economista; e) todos os não-médicos são não-economistas.

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GABARITO – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

3. DIAGRAMAS LÓGICOS São inúmeros os argumentos que envolvem quantificadores. Esses argumentos, na maioria das vezes silogismos (duas premissas), são facilmente identificados pelas expressões : “Todo A é B”, “Algum A é B” e “Nenhum A é B” . A maneira mais simples de resolver problemas com esses argumentos, é usar os chamados diagramas lógicos , que nada mais são, do que os Diagramas de Venn, da Teoria dos Conjuntos. Por exemplo, o argumento: “Todo careca é gordo. Nenhum gordo é alto. Logo, nenhum careca é alto”, pode ser representado por diagramas lógicos da seguinte maneira: C: careca G: gordo A: alto

G AC

Vemos facilmente pelos diagramas, que o argumento é válido.

Observe bem as “dicas” dadas a seguir, para usá-las nos exercícios:

02. b 03. a 04. e 05. e 06. a 07. b 08. e 09. b 10. Certo 11. Errado 12. Errado 13. Errado 14. Errado 15. a) nv b) v 16. a) v b) v c) nv d) v 17. a) v; b) nv; c) nv; d) v; e) v 18. a) F b) V c) V d) F 19. Errado 20. Errado 22. a) Alguns homens não são sérios;

b) Algumas mulheres são fiéis; c) Todos os homens são fiéis.

23. e 24. a

C

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Exemplos 1) Nenhum estudante é ansioso. João é um músico. Todos os músicos são ansiosos. Logo, João não é um estudante. A = conjunto dos ansiosos E= conjunto dos estudantes M= conjunto dos músicos.

Solução Vemos , analisando os diagramas acima vemos , que a conclusão “João não é um estudante” é correta e o argumento é válido.

2) Alguns E são P. Todos os H são P. Logo, alguns E são H.

Solução Vemos pelo diagrama que a conclusão “Alguns E são H” não é necessariamente correta. Pode ser ou não. Assim, o argumento não é válido.

EXERCÍCIOS

01.(IBGE) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam religiosos. Pode-se concluir que, se : a) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota. b) Antônio não é professor, Antônio não é religioso. c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor. d) Pedro é poliglota, Pedro é professor. e) João é religioso, João é poliglota.

“Todo A é B” : desenhe

Algum A é B”: desenhe

“Nenhum A é B”: desenhe

A B

M AE

H

A B

BA

P

E

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Solução:

Basta analisar o desenho acima para ver que a alternativa (a) é a correta. 02. Se toda mulher feia é eficiente, então a) existem mulheres eficientes b) existem mulheres feias c) toda mulher bonita é eficiente E Fd) toda mulher ineficiente não é feia e) toda mulher eficiente é feia Solução Basta analisar o diagrama ao lado, para ver que ~E → ~F é um condicional verdadeiro (Propriedade contrapositiva novamente). Resposta.: d 03. (VUNESP) Todo A é B, e todo C não é B, portanto: a) algum A é C; b) nenhum A é C; c) nenhum A é B; d) algum B é C; e) nenhum B é A. Solução É fácil ver pelo diagrama que a alternativa correta é (b).

04. (ESAF) Todos os jornalistas defendem a liberdade de expressão. Cristina não é jornalista. Logo, a) nem todos os jornalistas defendem a liberdade de expressão. b) não existe jornalista que não defenda a liberdade de expressão. c) existe jornalista que não defende a liberdade de expressão. d) Cristina não defende a liberdade de expressão. e) Cristina defende a liberdade de expressão. 05. Nenhum fanático é inteligente. Tiago é colorado.Todos os colorados são inteligentes. Logo: a) Tiago é fanático b) Tiago não é fanático c) Tiago não é inteligente d) Tiago não é colorado e) Nada se pode concluir 06. (IBGE) Se todo Y é Z e existem X que são Y, pode-se concluir que: a) todo Z é Y b) todo Y é X c) todo X é Y d) existem X que são Z e) todo X é Z

Prof

Poli

Rel

A

B

C

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Solução

Z

Y X

Vemos pelo diagrama, que a alternativa correta é (d).

07. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se , também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que

a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C

d) nada que não seja C é A e) nenhum A não é C

08. (CESPE) A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de premissas seguida por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas consideradas inválidas. No quadro abaixo, são apresentadas duas formas de argumentação lógica, uma de cada tipo citada, em que ~é o símbolo de negação.

Forma de argumentação Válida Inválida

Premissa 1: ∀x, se p(x), então q(x) Premissa 1: ∀x, se p(x), então q(x)Premissa 2: p(c), para algum c Premissa 2: ~p(c), para algum c Conclusão: q(c) Conclusão: ~q(c)

A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes. a) A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1:Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. b) A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. 09. Examine a validade do argumento : “Algumas mulheres bonitas são competentes. Todas as mulheres competentes são gordas. Maria é bonita. Logo, Maria é gorda”.

Verifique a validade dos seguintes silogismos: 10. Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, você certamente vencerá. Logo, você é persistente. 11. Para vencer no concurso basta ser estudioso. Ora, todos os alunos do Curso Alfa são estudiosos. Logo, todos os alunos do referido curso vencerão no concurso.

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12. Todo alemão é inteligente. Ora, Fritz é alemão. Logo, ele é inteligente. 13. Todo macaco é animal. Ora, homem é animal. Logo, homem é macaco. 14. Todo retângulo é paralelogramo. Todo quadrado é retângulo. Logo, todo quadrado é paralelogramo. 15. Todos os alunos são impacientes. Alguns alunos são heróis. Logo, alguns heróis são impacientes. 16. Nenhuma criança é má. Todas as borboletas são más. Logo, nenhuma borboleta é criança.

GABARITO – DIAGRAMAS LÓGICOS

P.M.S. ( Para Momentos de Solidão ) CESPE

Com base no texto acima, julgue o item a seguir. 01. Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor “ e a segunda pessoa diz “Nossas fichas são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade. Resp.: Certo

02. Um lógico queria saber as idades dos três filhos de uma enigmática senhora. Ela disse: vou lhe dar apenas 3 pistas. 1ª) O produto de suas idades é 36. -Ainda não é possível saber, disse o lógico. 2ª) A soma das idades é igual ao número da casa aí em frente. -Ainda não descobri, falou o lógico. 3ª) O filho mais velho toca piano. -Agora já sei, afirmou o lógico. Qual é a idade dos três filhos? Resp.: 2 anos, 2 anos e 9 anos.

04. b 05. b 07. c 08.a) Errado; b) Errado 09.nv 10. nv 11. v 12. v 13. nv 14. v 15. v 16. v

No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. “Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades.”

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03. Um matemático aprisionado por canibais na floresta, recebeu destes a seguinte proposta: se você disser uma mentira, será queimado. Se disser uma verdade, será afogado. De que maneira você prefere morrer? A resposta do matemático foi tal, que os canibais foram obrigados a libertá-lo. Qual foi a resposta do matemático? a) Jamais morrerei. b) Morrerei afogado. c) Morrerei queimado. d) Morrerei enforcado. e) Vocês são mesmo uns canibais ! Resp.: c

4. ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (PM)

Exemplo Vanessa comprou 2 calças, 2 tênis e 3 blusas . Quantas possibilidades que ela tem de vestir uma calça, 1 tênis e uma blusa usando essas peças novas? Solução:

O desenho acima, conhecido como a “Árvore das Possibilidades”, mostra todas as 12 possibilidades que Vanessa tem para escolher uma calça, um tênis e uma saia.

“ Se um determinado evento pode ocorrer em k etapas sucessivas e independentes E1, E2,E3,..., Ek, sendo n1, n2, n3,...,nk o número de possibilidades de ocorrer cada etapa E1, E2, E3,..., Ek,respectivamente, então o número de possibilidades de ocorrerem todas as etapas, ou seja, ocorrer E1 e E2 e E3 e... ...e Ek, é igual ao produto n1.n2.n3....nk “.

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Utilizando o Princípio Multiplicativo (PM), chegamos ao mesmo resultando, sem desenhar a árvore das possibilidades, o que é muito mais rápido e prático. Então, pelo PM, temos: Etapa E1: escolha de uma calça: 2 possibilidades.

Etapa E2: escolha de um tênis: 2 possibilidades. Etapa E3: escolha de uma blusa: 3 possibilidades.

Nº de possibilidades para escolher uma calça, um tênis e uma blusa: 2.2.3 = 12 possibilidades. Obs.: O PM utiliza o conetivo e, que está associado à Intersecção de Conjuntos.

EXERCÍCIOS

Considerando apenas os investimentos mostrados na tabela acima, julgue o item seguinte. 01. Se um investidor pretende aplicar, simultaneamente, em 3 tipos diferentes de fundo de investimento e aceita que a taxa de administração do primeiro seja de 3%, a taxa do segundo seja de 2% e a do terceiro seja de 1%, então ele tem mais de 15 formas diferentes de compor suas opções de investimento.

Solução: a tabela mostra Taxa de administração = 3%: 4 fundos; Taxa de administração = 2%: 2 fundos; Taxa de administração = 1%: 2 fundos. Pelo Princípio Multiplicativo(PM), teremos um total de 4x2x2 = 16 formas diferentes de

composição. O item está Certo.

(CESPE) O BB oferece aos investidores do mercado financeiro vários fundos de investimento. Alguns deles estão mostrados na tabela abaixo.

Fundo Classificação de risco Taxa de administração

BB Curto Prazo mil muito baixo 3,00% BB Referenciado DI mil muito baixo 3,00% BB Referenciado DI LP mil

baixo 3,00%

BB Referenciado DI 10 mil muito baixo 2,50% BB Referenciado DI LP 50 mil

baixo 1,00%

BB Renda Fixa mil baixo 3,00% BB Renda Fixa LP Índice de Preço 20 mil

alto 1,50%

BB Renda Fixa Bônus Longo Prazo

baixo 2,00%

BB Renda Fixa 25 mil baixo 2,00% BB Renda Fixa LP Premium 50 mil

médio 1,00%

BB Multimercado Moderado LP 10 mil

muito alto 1,50%

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02. Quantos números naturais de 2 algarismos diferentes podemos formar usando 4, 5, 6 e 7? Solução ___ ___ ↓ ↓4 3

Etapas: Escolha do 1º algarismo: 4 possibilidades (ou 4, ou 5, ou 6, ou 7). Escolha do 2º algarismo: 3 possibilidades (porque não podemos repetir o 1º algarismo escolhido). Total: de acordo com o PM, teremos um total de 4.3 = 12 números. Observação Acabamos de calcular o número de Arranjos simples de 4 elementos, tomados 2 a 2, que se representa por A4,2 . 03. Quantos números naturais de 2 algarismos podem ser formados usando os dígitos 2, 3, 4 e 5?

Solução ___ ___ ↓ ↓4 4

Etapas: Escolha do 1º algarismo: 4 possibilidades. Escolha do 2º algarismo: 4 possibilidades (porque podemos repetir o 1º algarismo escolhido). Total: de acordo com o PM, termos um total de 4.4 = 16 números. Observação Acabamos de calcular o número de Arranjos com Repetição de 4 elementos, tomados 2 a 2, que é representado por (AR)4,2 . 04. Existem 5 caminhos diferentes para ir do ponto A ao ponto B. De quantas maneiras diferentes pode-se ir de A a B e retornar, se o retorno deve ser por um caminho diferente do utilizado na ida? a) 9 b) 10 c) 20 d) 22 e) 24 05. Uma loteria esportiva tem 14 jogos de futebol. Cada jogo tem 3 possibilidades de resultado: coluna 1, coluna 2 e coluna de meio. Quantos cartões diferentes posso fazer, marcando apenas uma coluna por jogo?

06. Um retângulo é dividido em 6 quadrinhos. De quantas maneiras é possível pintar a figura resultante, cobrindo os quadrinhos de preto ou vermelho? 07. (PUCRS) Sabendo que , num novo município, os números de telefones devem ter 6 algarismos e não podem começar por zero, então o número máximo de telefones que podem ser instalados é a)106 b) 9.105 c) 10.96 d) 10.95 e) 96

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08. (UFRGS) Se cada placa de carro deve ter 3 letras de um alfabeto de 26 letras, seguidas de um número de 4 algarismos, a totalidade de carros que podem ser emplacados é a) 3! b) 7! c) 26.25.24.10.9.8.7 d) 263.104

e) (26!).(10!) 09. (UFRGS) De um ponto A a um ponto B existem 5 caminhos, de B a um terceiro ponto C existem 6 caminhos e, de C a um quarto ponto D existem também 6 caminhos. Quantos caminhos existem para ir do ponto A ao ponto D? a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080 10. Quantos são os números com quatro algarismos distintos, no sistema decimal, que tem o algarismo das centenas igual a 5? 11. (CESPE) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertençam ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 1) Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a reposição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.

2) Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 1.000 códigos distintos.

3) O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15.000. Solução: 1) Cada código deve ter 4 letras, podendo haver repetição. Então, a escolha de cada uma das 4 letras tem 26 possibilidades e, pelo PM, teremos um total de : 26 × 26× 26× 26 = 456.976 códigos distintos . Item 1: Errado.

2) Como não podemos usar vogais, mas é permitida a repetição de letras, podemos usar 21 letras. Então, teremos:

-códigos com 1 letra: 21 possibilidades -códigos com 2 letras: 21× 21 = 441 possibilidades -códigos com 3 letras: 21× 21× 21 = 9.261 possibilidades. Total: 21 + 441 + 9.261 = 9. 723 códigos distintos. Item 2: Certo. 3) O número total de códigos diferentes, formados por 3 letras distintas é, de acordo com o PM, igual a 26 × 25 × 24 = 15.600.

Item 3: Certo.

GABARITO – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (PM)

04) c 05) 314 06) 64 07) b 08) d 09) c 10) 448

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ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES SIMPLES Dado um conjunto A com n elementos, podemos formar, basicamente, dois tipos de subconjuntos de A: a) Subconjuntos não ordenados de A com p elementos, ou simplesmente, subconjuntos de A com p elementos cada um ( p ≤ n );

b) Subconjuntos ordenados de A com p elementos cada um ( p ≤ n ).

Exemplo: Dado o conjunto A = { a, b, c }, pede-se: a) o número de arranjos simples de A, com 2 elementos, ou seja, A3,2 ; b) o número de permutações simples de A, ou seja, P3;c) o número de combinações simples de A, com 2 elementos, ou seja, C3,2 ;d) a relação entre os números C3,2 e A3,2 ; e) a generalização da conclusão tirada no item anterior, mostrando a relação entre C n, p e A n ,p ( Fórmula para o cálculo do número de combinações simples). Solução: a) Os arranjos simples de 3 elementos 2 a 2, são os subconjuntos ordenados de A, com dois elementos: (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c) e (c,b). Veja que A3,2 = 6.

Para determinar o número A3,2 , basta usar o Princípio Multiplicativo (PM): -Escolha do 1º elemento: 3 possibilidades; -Escolha do 2º elemento: 2 possibilidades; Total : 3.2 = 6 possibilidades. Logo, A3,2 = 6.

b) As permutações simples de A, são os arranjos simples de 3 elementos 3 a 3: (a,b,c), (b,a,c), (b,c,a), (c,b,a), (c,a,b) e (a,c,b). Temos então, P3 = 6.Para determinar o número P3 , usamos o PM novamente: -Escolha do 1º elemento: 3 possibilidades; -Escolha do 2º elemento: 2 possibilidades; -Escolha do 3º elemento: 1 possibilidade; Total: 3.2.1 = 6 possibilidades. Logo, P3 = A3,3 = 6.

Os subconjuntos não ordenados (subconjuntos comuns) são chamados de combinações simples dos n elementos de A, tomados p a p.Os subconjuntos ordenados são chamados de arranjos simples dos n elementos de A, tomados p a p.Um permutação simples dos n elementos de A, é simplesmente um subconjunto ordenado deA, formado por todos os elementos de A. Ou seja, uma permutação simples dos n elementos de A, é um arranjo simples dos n elementos de A, tomados n a n.

Regra prática No cálculo de An,p , consideramos o produto dos números naturais decrescentes a partir de n, tomando p fatores. Veja que p funciona aqui como um “contador”, pois ele nos indica o número de fatores que devemos tomar. A3,2 = { 62.3

2=

fatores; A4,3 = { 242.3.4

3=

fatores; A10,4 = 04057.8.9.10

4=43421

fatores; etc.

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FATORIAL

c) As combinações simples de 3 elementos 2 a 2, são os subconjuntos não ordenados {a,b}, {a,c} e {b,c}. Observe que C3,2 = 3.Para determinar o número C3,2 , basta observar que nos subconjuntos ordenados ou arranjos simples (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b), cada combinação foi contada duas vezes , pois {a,b}={b,a}, {a,c}={c,a} e {b,c}= {c,b}.

Assim, C3,2 = 26 = 3.

d) No item anterior vimos que: -A combinação {a,b} se desdobrou nos 2 arranjos (a,b) e (b,a); -A combinação {a,c} se desdobrou nos 2 arranjos (a,c) e (c,a); -A combinação {b,c} se desdobrou nos 2 arranjos (b,c) e (c,b). Em outros termos, cada uma das 3 combinações se desdobrou em 2 arranjos , obtendo-se o total de 6 arranjos . Mas esse “2”, é exatamente o número de permutações que podemos formar com os dois elementos de cada combinação, pois P2 = 2.1 = 2.Conclusão: a relação entre os números C3,2 e A3,2 é A3,2 = P2 .C3,2 ou

C3,2 = 2

2,3

PA

.

e) Generalizando a conclusão tirada no item (d) teremos:

, sendo p≤ n.

A relação acima é a fórmula que usaremos para calcular o número de combinações simples de n elementos, tomados p a p. Observação

COMBINAÇÕES COMPLEMENTARES

Essa propriedade facilita muito o cálculo de algumas combinações. Por exemplo, para calcularmos C30,28 , fazemos :

C30,28 = C30,2 = .4351.229.30 =

O produto 3.2.1 é chamado de Fatorial de 3 e escreve-se 3!Assim, P3 = 3! = 3.2.1 = 6. De um modo geral, dado um número natural n diferente de zero, definimos Fatorial de n por:

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)……3.2.1

Cn,p = p

pn

PA ,

An,p e Pn podem ser calculados diretamente pelo Princípio Multiplicativo (PM). Mas Cn,p

não. Para calcular o número Cn,p utilizaremos a fórmula : Cn,p = p

pn

PA ,

As combinações Cn,p e Cn,n-p são conhecidas como Combinações Complementares. Por exemplo, C12,9 e C12,3 , C30,28 e C30,2 , C100,97 e C100,3 são combinações complementares. Pode-se demonstrar que Cn,p = Cn,n-p , ou seja, duas combinações complementares sempre são iguais. Assim, C12,9 = C12,3 , C30,28 = C30,2 e C100,97 = C100,3 .

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EXERCÍCIOS

01. Calcule: a) A5,2 e) P2 i) C4,2 b) A10,3 f) P1 j) C8,3 c) A8,1 g) P0 k) C5,5 d) P5 h) Pn l ) C20,2

02. Dado o conjunto A= { 1,2,3,4,5,6} , determine : a) o número de subconjuntos de A com 3 elementos; b) o número de subconjuntos ordenados de A com 3 elementos; c) o número de subconjuntos de A com zero elementos; d) o número de subconjuntos ordenados de A com zero elementos.

03. (ESAF) Em um campeonato de padel participam 10 duplas, todas com a mesma possibilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes podemos ter a classificação para os 3 primeiros lugares? Solução: A10,3 = 10.9.8= 720.

04. Dez competidores disputam um torneio de natação, em que apenas os 4 primeiros colocados classificam-se nas finais. Quantos resultados possíveis existem para os 4 primeiros lugares? Solução A10,4 = 10.9.8.7 = 5 040. 05. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 podemos formar x números pares com 4 algarismos distintos. O valor de x é a) 420 b) 240 c) 120 d) 80 e) 60 Solução Os números pares formados com 4 dos algarismos dados terminam em 0, 2, 4 ou 6: _ _ _ 0 ⇒ A6,3 _ _ _ 2 ⇒ A6,3 _ _ _ 4 ⇒ A6,3 _ _ _ 6 ⇒ A6,3

e são em número de 4A6,3 = 4(6.5.4)= 480. Mas nos números pares que terminam em 2, 4 e 6, estão incluídos os números que começam por 0, que são números com 3 algarismos: 0 _ _ 2⇒ A5,2 0 _ _ 4⇒ A5,2 0 _ _ 6⇒ A5,2

e que são em número de 3A5,2 = 3(5.4) =60. Descontando esses números, teremos 480 – 60 = 420 números pares com 4 algarismos distintos. A alternativa correta é (a).

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06. (CESGRANRIO) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de 4 algarismos distintos entre 1000 e 9999. A quantidade de senhas, em que a diferença positiva entre o 1º algarismo e o último algarismo é 3, é igual a a) 936 b) 896 c) 784 d) 768 e) 728 07. (ESAF) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10 funcionários de uma empresa? Solução

C10,4 = 2101.2.3.47.8.9.10 = comissões.

08. Quantas diagonais tem um octógono? 09. (ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é ? a) 1.650 b) 165 c) 5.830 d) 5.400 e) 5.600 10. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo de 10 pessoas, de modo que duas pessoas A e B estejam presentes em todas as comissões? Solução Cada comissão deve ter 4 pessoas. Como as duas pessoas A e B devem estar em todas as comissões, restam apenas duas vagas para completar cada comissão. Basta eliminar as pessoas

A e B do grupo das 10 pessoas e calcular C8,2 : C8,2 = 1.27.8 = 28 comissões.

11. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo de 12 pessoas, de modo que duas pessoas A e B não estejam presentes em nenhuma comissão? Solução Para garantir que as pessoas A e B não estejam em nenhuma comissão, basta eliminar as pessoas A e B do grupo de 12 pessoas e calcular C10,3 :

C10,3 = 1.2.38.9.10 = 120 comissões.

12.(FGV) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas poderão ser formadas, contendo, no mínimo, 1 diretor? Solução Como cada comissão deve conter no mínimo 1 diretor, devemos calcular quantas são as comissões com 1, 2 ou 3 diretores.

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Comissões: -com 1 diretor e 4 gerentes ⇒ C3,1 × C5,4 ; -com 2 diretores e 3 gerentes ⇒ C3,2 × C5,3 ; -com 3 diretores e 2 gerentes ⇒ C3,3 × C5,2 .

Total: C3,1 × C5,4 + C3,2 × C5,3 + C3,3 × C5,2 = 55 comissões. Outro método (“Atalho”): 3 diretores + 5 gerentes = 8 pessoas. Basta calcular o total de comissões com 5 pessoas (C8,5) e subtrair deste total o número de comissões com nenhum diretor (C5,5). A diferença nos dará o número de comissões que contém pelo menos um diretor: C8,5 – C5,5 = 56 – 1 = 55 comissões. Notas a) Cuidado! Este “atalho” só pode ser aplicado a problemas que falam em“no mínimo um”. Para problemas que falam em “no mínimo dois”,” no mínimo três”, etc, o raciocínio não se aplica. b) Para calcular C8,5 use combinações complementares:

C8,5 = C8,3 = 561.2.36.7.8 = .

13. (ESAF) Em uma empresa existem 10 supervisores e 6 gerentes. Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas de maneira que participem pelo menos 3 gerentes em cada uma delas? 14. Num encontro de 12 cientistas, 3 são matemáticos. Quantas comissões de cinco elementos podem ser formadas, tendo cada comissão no mínimo um matemático? 15. Determine o valor de A7,2 – C7,2.

16. O valor de n na equação An,2 = 3Cn,3 éa) 4 b) 5 c) 7 d) 10 e) 12 Solução

An,2 = n(n-1) e Cn,3 = 6

)2)(1(1.2.3

)2)(1( −−=−− nnnnnn .

Substituindo na igualdade dada, teremos:

n(n-1) = 3 .6

)2)(1( −− nnn ⇒ n(n-1) = 2

)2)(1( −− nnn ⇒

2n(n-1) = n(n-1)(n-2) ⇒ 2 = n-2 ⇒ n = 4.Resposta: a

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17. Se Cn, 2 = 28, então n é igual a a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 40

18. (FCC) Oito processos deverão ser distribuídos entre três juízes de modo que o primeiro juiz receba 4 processos, o segundo 2 e o terceiro também 2. O número de maneiras em que a distribuição poderá ser feita é a) 124 b) 250 c) 380 d) 400 e) 420 19. Marcamos 8 pontos sobre uma reta r e 5 pontos sobre uma reta s, paralela a r. Quantos triângulos podemos obter unindo 3 quaisquer desses pontos?

20. Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa, etc. Suponha também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV,sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70. 21. Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários.

CESPE/UnB

22. Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no 1º, 2º e 3º lugares foi igual a 6. Solução: -Classificação em 1º lugar: 3 possibilidades -Classificação em 2º lugar: 2 possibilidades -Classificação em 3º lugar: 1 possibilidade. Pelo PM, teremos um total de 3.2.1 = 6 possibilidades. Resposta: Certo. 23. Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.

CESPE/ UnB Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de contagem.

O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

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Solução: Como temos 12 atletas da América do Sul, basta calcular C12,2 .

C12,2 = 661.211.12 = .

Resposta: Certo. 24. Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do Caribe. Solução: -Comitês com 3 representantes da América do Sul: C12,3 -Comitês com 2 representantes da América Central: C8,2 -Comitês com 2 representantes do Caribe: C19,2 De acordo com o PM, teremos um total de: C12,3 x C8,2 x C19,2 = 220 x 28 x 171 > 419 e a resposta é Errado. Observação: Essa questão é uma “pegadinha”, pois 220 + 28 +171 = 419. Nem precisamos fazer a multiplicação para ver que 220 × 28 × 171 > 419. Na verdade, 220 × 28 × 171 = 1.053.360, que é bem maior do que 419. 25. Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180. Solução: -América do Norte: 3 países participantes -América Central: 8 países participantes. Como cada comitê tem que ter representantes de 5 países, sendo pelo menos 3 países da América Central, teremos um total de : C8,3 × C3,2 + C8,4 × C3,1 + C8,5 × C3,0 = ...= 287 > 180. Resposta: Errado. 26. (CESPE) Em uma reunião social, cada convidado cumprimentou uma única vez todos os outros com um aperto de mão, o que resultou em 45 desses cumprimentos. Nesse contexto, é correto afirmar que apenas 12 pessoas participaram da reunião. Solução A pessoa A apertar a mão da pessoa B é o mesmo que a pessoa B apertar a mão da pessoa A e cada pessoa cumprimentou uma única vez todas as outras pessoas. É óbvio, que temos aqui um problema de combinações de x convidados, escolhidos 2 a 2. Então;

Cx, 2 =45 ⇒ 451.2

)1( =−xx ⇒ x(x-1) = 90 ⇒ x2 – x –90 = 0. Resolvendo essa equação pela

fórmula de Bháskara, x = a

acbb2

42 −±− , teremos:

x =2191

2361)1( ±=

±−− ⇒ x = 10 ou x = -9. A resposta é x = 10 convidados (a raiz negativa

não serve) e a afirmação feita na questão está Errada. 27. Permutando os algarismos 1, 2, 3 e 4 de todos os modos possíveis, obtemos números com 4 algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, constatamos que o lugar ocupado pelo número 3 214 é o

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a) 15º b) 17º c) 20º d) 34º e) 40º 28. Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61. 473 será a a) 74ª b) 76ª c) 78ª d) 80ª e) 82ª 29. Calcule o valor de:

a) !8!10 b)

!20!18.20 c)

!7!8!9 +

30. Simplificando a expressão )!1(

)2()!1(−

++n

nn obtemos:

a) (n+1) b) (n+1)(n+2) c) n(n+2) d) n(n+1)(n+2)

e)1

)2)(1(−

++n

nn

31. Considerando os anagramas da palavra LIVRO, pergunta-se: a) O número total deles; b) Quantos começam com R? c) Quantos têm a sílaba LI ? d) Quantos têm as letras L e I juntas ? Solução a) O número total de anagramas é igual ao número de permutações simples que podemos formar com as 5 letras da palavra LIVRO, ou seja, P5 =5! = = 5.4.3.2.1 = 120; b) Os anagramas que começam por R são do tipo: R _ _ _ _ .Como o R é fixo na 1ª posição, basta permutar as 4 letras restantes: P4 = 4! =24; c) Ter a sílaba LI significa ter as letras L e I juntas e nessa ordem.

Uma técnica muito simples para resolver esse item, é supor que as letras L e I estão “coladas”, e pensar no bloco LI como se ele fosse uma só letra. Teríamos então que permutar 4 “letras” entre si, pois o “bloco” LI não está fixo: LI _ _ __ LI _ _

…..etc…….. O total de anagramas com a sílaba LI é P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24.

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d) L e I juntas, significa juntas e em qualquer ordem. 1ª etapa: anagramas com L e I juntas e nessa ordem = 24 (item anterior); 2ª etapa: permutações de L e I entre si: P2 = 2.1= 2; Anagramas com L e I juntas e em qualquer ordem = 24 x 2 = 48.

32. Quantos anagramas da palavra ”VESTIBULAR” têm as letras “V”, “E” e “S” a) Juntas e nessa ordem? b) Juntas e em qualquer ordem? 33. (ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos, de modo que as duas moças fiquem sempre juntas, uma ao lado da outra, é igual a: a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120 34. Tenho 4 livros de matemática, 5 de física e 3 de química. De quantos modos diferentes posso colocar esses livros numa prateleira de uma estante, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos?

35. Quatro pares de casais estão sentados em uma fileira de 8 cadeiras. De quantas maneiras elas podem sentar, se: a) não existir nenhuma restrição; b) sentarem homens juntos e mulheres juntas; c) sentarem homens juntos; d) sentarem pares de casais juntos.

36. (ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila de teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente: a) 1.112 e 1.152 b) 1.152 e 1.100 c) 1.152 e 1.152 d) 384 e 1.112 e) 112 e 384 37. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se , os cinco, lado a lado na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48 38. (FCC) Considere todos os números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto A = {1,2,3,4,5}. Em quantos desses números a soma dos algarismos é ímpar? a) 8 b) 12 c) 16 d) 24 e) 48

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GABARITO- ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES SIMPLES

PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS Quando uma palavra apresenta letras repetidas, teremos alguns anagramas (que são permutações) também repetidos, pois teremos que permutar elementos iguais entre si. E esses anagramas repetidos são contados mais de uma vez. Como os anagramas repetidos devem ser contados uma única vez, não podemos usar diretamente a fórmula das permutações simples. Exemplo: Quantos são os anagramas distintos da palavra ANA? Como temos duas letras “A”, vamos representar um “A” por A1 e o outro por A2, isto é, vamos fazer A1=A2=A. Teremos então os seguintes anagramas: A1NA2, A1A2N, A2A1N, A2NA1, NA2A1 e NA1A2. Vemos que o total de anagramas é 6, mas, como A1NA2 = A2NA1, A1A2N = A2A1N e NA2A1= NA1A2 (porque A1=A2=A), temos apenas 3 anagramas distintos, que são, A1NA2, A1A2N e NA2A1, ou seja, ANA, AAN e NAA. Cada um desses 3 anagramas foi contado duas vezes.

Logo, o número de anagramas distintos é 326 = , que é obtido dividindo-se o número total de

anagramas P3, por P2 , sendo 2 o número de vezes que a letra “A” se repete: 326

!2!3

2

3 ===PP .

Se tivermos mais letras repetidas, fazemos o mesmo raciocínio para cada uma delas. • De um modo geral, o número de permutações com n elementos, tendo elementos repetidos, pode ser facilmente obtido pela fórmula

02) a) 20 b) 120 c) 1 d) 1 08) 20 09) d 13) 3.136 14) 666 15) 21 17) b 18) e 19) 220 20) Certo 21) Errado 27) a 28) b 29) a) 90 b) 1/19 c) 80 30) d 32) a) 8! b) 8!.3! 33) d 34) 3!.4!.5!.3! 35) a) 8! b) 2!.4!.4! c) 5!.4! d) 4!.2!.2!.2!.2! 36) c 37) e 38) d

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Pn (r1, r2, r3, ..., rn) =!r!...r!r!r

n!

n321

onde r1, r2, r3,..., rn indicam o número de vezes que cada um dos n elementos se repete.

EXERCÍCIOS

01. Quantos são os anagramas distintos das palavras a) ARARA b) RECEITA c) ROMARIA Solução a) A letra “A” está repetida 3 vezes e a letra “R” 2 vezes.Então, teremos:

P5(3,2) = 10!2!3!3.4.5

!2!3!5 ==

b)A letra “E” está repetida 2 vezes. Assim, teremos:

P7(2) = 520.2!2!7 =

c) A letra “R” está repetida 2 vezes e a letra “A” também está repetida 2 vezes.

P7(2,2) = =!2!2

!7 1.260.

02. Quantos anagramas da palavra PANACA começam por consoante? Solução Temos 3 possibilidades: P _ _ _ _ _ P5(3) N _ _ _ _ _ P5(3) C _ _ _ _ _ P5(3) Total = P5(3) + P5(3) + P5(3) = 3. P5(3) = 60.

03. Um ratinho que está no ponto A, quer chegar no ponto B, onde tem um delicioso pedaço de queijo. Sabendo que o ratinho só pode se deslocar para cima ou para a direita (um movimento de cada vez) , por quantos caminhos diferentes ele poderá ir de A até B?

B

A

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36

Solução Deslocando-se só para a direita e para cima, por qualquer caminho, o ratinho fará 4 deslocamentos horizontais e 4 deslocamentos verticais para ir de A até B (Experimente alguns caminhos para se convencer) O número de caminhos diferentes para ir de A até B é igual ao número de permutações que podemos formar com as 8 letras HHHHVVVV, ou seja:

P8(4,4) = =!4!4

!8 70 caminhos diferentes.

04. (CESPE) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo , 140 formas diferentes com essas faixas.

Solução Temos 7 faixas, com 3 verdes(V), 3 amarelas (A) e 1 branca(B). Basta calcular o número de permutações distintas que podemos formar com as letras VVVAAAB:

P7(3,3) = =!3!3

!7 140 formas diferentes e o item está Certo.

5. PROBABILIDADES

CONCEITOS

EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS são experimentos que, mesmo realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentam resultados diferentes, sendo impossível uma previsão lógica dos resultados.

ESPAÇO AMOSTRAL (OU CONJUNTO UNIVERSO) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplo Determine o número de elementos do Espaço Amostral ou Conjunto Universo (U), isto é, n(U), nos seguintes experimentos: 01. Jogar um dado e ler o número da face voltada para cima. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(U) = 6 02. Jogar uma moeda e ler a figura da face voltada para cima. U = {Cara, Coroa} n(U) = 2 03. Jogar dois dados e ler os números das faces voltadas para cima. U = {(1,1), (1,2),..., (6,6), (2,1), (2,2),..., (3,1), (3,2), ... (6,6)} n(U)= ? Para determinar n(U) usamos o PM:

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37

=°=°

adespossibiliddadoadespossibiliddado

6261

Total = 6 . 6 = 36 possibilidades. Logo, n(U) = 36 . 03. Jogar um dado e uma moeda e ler as faces voltadas para cima. U = {(1,C),(1,K), (2,c), (2,K), ..., (6,C), (C,K)}, onde C=cara e K=coroa.

==

adespossibilidMoedaadespossibilidDado

26

Total = 6 . 2 = 12 possibilidades. Logo, n(U) = 12. 04.Um casal planeja ter 3 filhos. Considerando o sexo (M ou F) dos futuros filhos, quantas são as possibilidades? U = {(M, M, M), (M, M, F), ... , (F, F, F)}.

Total = 2. 2. 2 = 8 possibilidades. Logo, n(U) = 8.

EVENTO é qualquer subconjunto do espaço amostral. A seguir, vamos definir os principais eventos utilizados na teoria das probabilidades dando um exemplo de cada. Em todos os exemplos dados, consideraremos o experimento aleatório lançamento de um dado e leitura do número na face voltada para cima. Neste caso, o espaço amostral ou conjunto universo será U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Evento certo é o próprio espaço amostral. Exemplo: Evento C: ocorrência de um número menor que 9 C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U Evento impossível é o subconjunto vazio. Exemplo: Evento I: ocorrência de um número maior que 7 I = ∅

Evento união é a união de dois eventos. Exemplo: Evento A: ocorrência de um número maior que 3:A = {4, 5, 6} Evento B: ocorrência de um número ímpar:B = {1, 3, 5} Evento A ∪ B: ocorrência de um número maior que 3 ou ímpar:A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6}. Evento intersecção é a intersecção de dois eventos. Exemplo: Evento A: ocorrência de um número par:A = {2, 4, 6} Evento B: ocorrência de um número múltiplo de 3:B = {3, 6} Evento A ∩B: ocorrência de um número par e múltiplo de 3:

=°=°=°

adespossibilidfilhoadespossibilidfilhoadespossibilidfilho

232221

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A ∩B = {6}. Eventos mutuamente exclusivos são dois eventos que têm intersecção vazia. Exemplo: Evento P: ocorrência de um número par: P = {2, 4, 6} evento I: ocorrência de um número ímpar:I = {1, 3, 5} P ∩ I = ∅

Eventos complementares (ou contrários) são dois eventos mutuamente exclusivos cuja união é igual ao espaço amostral. Ou seja, são dois eventos A e B tais que A ∩B = ∅ e A ∪ B = U. Exemplo: Evento A: ocorrência de um número par:A = {2, 4, 6}; Evento B: não ocorrência de um número par (ou seja, ocorrência de um número ímpar): B = {1,3,5} Vemos que A ∩B = ∅ e A ∪ B = U.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO Supondo que num experimento aleatório, o número de elementos do espaço amostral é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), a probabilidade de ocorrer o evento A é o número real P(A) dado por

Notas:a) Na definição acima supomos que todos os elementos do espaço amostral sejam

eqüiprováveis, isto é, tenham a mesma chance de ocorrer; b) É óbvio que P (∅ ) = 0 e P(U) = 1; c) 0 ≤ P(A) ≤ 1;d) Em termos de porcentagem, temos 0% ≤ P(A) ≤ 100%. EXEMPLOS 01. Numa urna há 10 bolas pretas e 30 bolas brancas. Qual a probabilidade de sortearmos a) uma bola preta? b) uma bola branca?

a) P(P) = 41

4010 = ou 25%

b) P(B) = 43

4030 = ou 75%.

02. Num baralho com 52 cartas, há 13 cartas de cada naipe. Qual a probabilidade de tirarmos uma carta do naipe copas?

P(C) = 41

5213 = ou 25%

P(A) = )()(

UnAn

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03. Jogando-se dois dados, um vermelho e outro azul, qual a probabilidade de obtermos soma igual a 10?

U = {(1,1), (1,2),..., (6,5), (6,6)} n(U) = 6 . 6 = 36 Evento E = {(4,6), (5,5), (6,4)} n(E) = 3

P(E) = 121

363 = ou 8,33%

04. Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de terem 2 homens e 1 mulher? n(U) = 2 . 2. 2 = 8 Evento E = {(H, H, M), (H, M, H), (M, H, H)} n(E) = 3

P(E) = 83

05. Um cartão da Quina é composto por 80 dezenas (de 01 a 80). Qual a probabilidade do sr. Hazharad fazer a quina num cartão com 8 números? n(U) = C 80,5 n(E) = C 8,5

P(E) = 80,5

8,5

CC

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (REGRA DO “OU”) Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de que ocorram A ouB é dada por

P(A ∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Nota: se A e B são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, A∩B=∅, então

P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Exemplos 1) Numa urna há 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de retirarmos uma bola com número par ou maior que 4? n (U) = 10

==

4quemaior número combolaBpar número combolaA

n(A) = 5, n(B) = 6, n (A ∩ B) = 3

P (A ou B) = 54

108

103

106

105 ==−+

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40

2) Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade da carta escolhida ser um 4 ou um 9? n(U) = 52

=⇒==⇒=

4n(B)9númerocartaB4n(A)4númerocartaA

n (A ∩ B) = 0

P(A ou B) = 132

5280

524

524 ==−+

3) Jogando-se dois dados não viciados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4 ou 5? n(U) = 6 . 6 = 36

=⇒==⇒=

4n(B)(4,1)}(3,2),(2,3),{(1,4),B3n(A))}1,3(),2,2(),3,1{(A

n (A ∩ B) = 0

P(A ou B) = 3670

364

363 =−+

PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (REGRA DO “E”) Dados dois eventos sucessivos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de que ocorram A e B é dada por

P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) onde P(B/A) é a probabilidade de ocorrer B após ter ocorrido A.

Notas: a) o número P(B/A) é chamado probabilidade de B condicionada a A; b) se os eventos A e B são independentes, ou seja, a ocorrência de A não afeta a probabilidade

da ocorrência de B, temos P(B/A) = P(B) e a expressão acima fica

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

Exemplos 1) Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Se sortearmos 2 bolas, uma de cada vez, repondo a primeira na urna, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta?

P(B e P) = 92

3020.

3010 =

2) Considerando a mesma situação do exemplo anterior, mas sem reposição da primeira bola sorteada, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta?

P(B e P) = 8720

2920.

3010 =

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3) Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Uma peça é escolhida ao acaso e, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra peça é retirada. Qual a probabilidade de as duas peças retiradas serem usadas?

P(u e u) = 161

3699.

7010 =

4) Uma moeda é lançada duas vezes. Qual a probabilidade de sair coroa nos dois lançamentos?

P(K e K) = 41

21.

21 =

5) Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de sair cara nas 5 vezes?

P(C, C, C, C, e C) = 321

21 5

=

6) Tira-se 3 cartas ao acaso, com reposição, de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de ser a primeira de paus, a segunda de ouros e a terceira de espadas?

P(p, o, e) = 641

41

5213

5213.

5213.

5213 33

=

=

=

7) Temos 3 caixas: caixa 1 com 5 bolas brancas e 5 bolas pretas; caixa 2 com 10 bolas azuis e 40 bolas verdes; caixa 3 com 16 bolas amarelas e 4 bolas vermelhas. Sorteando uma bola de cada caixa, qual a probabilidade de sair branca da caixa 1, verde da caixa 2 e amarela da caixa 3?

P(B, V, A) = 258

2016.

5040.

105 = ou 32%

PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR Se A e B são dois eventos complementares (contrários) do mesmo espaço amostral U, temos:

P(A) + P(B) = 1 ou B

P(B) = 1 – P(A)

Exemplos 1) Qual a probabilidade de sair um número diferente de 2 no lançamento de um dado?

==

2número osair nãoB2número osair A

a) P(A) = 61

b) P(B) = 1 - 61

=65

2) No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de: a) sair um múltiplo de 3; b) não sair um múltiplo de 3.

A

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42

==

3número osair nãoB3número osair A

a) P(A) = 31

62 = b) P(B) = 1 -

31

=32

3) São lançados dois dados. Calcule a probabilidade de a) se obter uma soma de 7 pontos; b) não se obter uma soma de 7 pontos.

a) P(A) =61

366 =

c) P(B) = 1 - 65

61 =

EXERCÍCIOS 01. (OSECSP) Foram preparadas 90 empadinhas de camarão, sendo que, a pedido, 60 delas deveriam ser bem mais apimentadas. Por pressa e confusão de última hora, foram todas colocadas ao acaso, numa mesma travessa para serem servidas. A probabilidades de alguém retirar uma empadinha mais apimentada é a) 1/3 b) 1/2 c) 1/60 d) 2/3 e) 1/90 Resp.: d 02. (OSECSP)-A probabilidade de uma bola branca aparecer, ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/12 e) nra Resp.: a 03. (FUVEST) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 Resp.: c 04. (CESGRANRIO) A probabilidade de um inteiro n, 1 ≤≤≤≤ n ≤≤≤≤ 999, ser um múltiplo de 9 é a) 1/ 909 b) 1/10 c) 2/9 d) 1/3 e) 1/9 Resp.: e

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05. (UFRGS) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meia estão misturados. Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é a) 1/10 b) 1/9 c) 1/5 d) 2/5 e) 1/2 Resp.: b

06. (FAMECA) Dois prêmios devem ser sorteados entre 25 alunos de escolas superiores, entre os quais 5 cursam Medicina. Qual é a probabilidade de 2 dos futuros médicos serem contemplados? a) 1/5 b) 2/25 c) 1/30 d) 2/5 e) 9/25 Resp.: c 07. (UNIRIO) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um gol cobrado um pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25% Resp.: b 08. (FAC. OBJETIVO-SP) Um dado honesto tem seis faces numeradas de 1 a 6. Joga-se este dado duas vezes consecutivas. A probabilidade de obter um número par no primeiro lançamento e um número maior ou igual a 5 no segundo lançamento é a)1/4 b)1/12 c)1/8 d)2/5 e)1/6 Resp.: e 09. (FCC) Uma rifa, em que apenas um número será sorteado, contém todos os números de 1 a 100. Os funcionários de um cartório compraram todos os números múltiplos de 8 ou 10. A probabilidade de que um desses funcionários seja premiado no sorteio da rifa é de a) 12% b) 18% c) 20% d) 22% e) 30%

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Solução n(U) = 100; Evento A: ser múltiplo de 8; Evento B: ser múltiplo de 10; A = { 8, 16, 24, ..., 96} ⇒ n(A) = 96/8 = 12 múltiplos de 8; B = {10, 20, 30, ..., 100} ⇒ n(B) = 100/10 = 10 múltiplos de 10; n(A∩ B) = ?

Para obter n(A e B), ou seja, n(A∩B), temos que determinar os múltiplos comuns (múltiplos de 8 e de 10) entre 1 e 100. Para isso, calculamos mmc(8,10) = 40 e temos 2 múltiplos comuns entre 1 e 100: 40 e 80. Daí:

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) = 10012 +

10010 -

1002 =

10020 , ou seja, 20%.

Resposta: c

10. Lançando-se um dado três vezes, a probabilidade de se obter o número 3 nas duas últimas jogadas, mas não na primeira, é a) 1/216 b) 3/216 c) 5/216 d) 7/216 e) 9/216 Resp.: c 11. (UFRGS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres é de: a) 25% b) 30% c) 33% d) 50% e) 60% Resp.: e 12. (UFRGS) – Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja 5 é: a) 1/15 b) 2/21 c) 1/12 d) 1/11 e) 1/9 Resp.: e 13. (UFRGS) – Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é: a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/8 Resp.: c

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14. (UFRGS) – Uma parteira prevê, com 50% de chance de acerto, o sexo da cada criança que vai nascer. Num conjunto de três crianças, a probabilidade de acertar pelo menos duas previsões é de a) 12,5% b) 25% c) 37,5% d) 50% e) 66,6% Resp.: d 15. (PUCSP) O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possíveis. Alguém, querendo jogar nessa loteria, pode escolher de 5 até 10 dezenas. Se alguém que escolhe 5 dezenas tem probabilidade x de ganhar, então quem escolhe 7 dezenas tem que probabilidade de ganhar?

a) 7x b) 14x c) 21x d) 28x e) 35x Resp.: c 16. (ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3 b) 1/5 c) 9/20 d) 4/5 e) 3/5 Resp.: a 17. (UFRGS) As máquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de parafusos defeituosos produzidos, respectivamente, pelas máquinas A e B é de 15% e de 5%. Foram misturados , numa caixa, 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A é de a) 10% b) 15% c) 30% d) 50% e) 75% Resp.: e 18. (ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas , Ana e Beatriz , estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a a) 5/7 b) 1/7 c) 2/3 d) 1/3 e) 4/7 Resp.; d 19. (ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200

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Resp.: d 20. (UFRGS) No jogo da Mega Sena são sorteados seis números distintos dentre os que aparecem na figura

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Considere P a probabilidade de que nenhum número sorteado em um concurso seja sorteado no concurso seguinte. Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximação para P é: a) 90% b) 80% c) 70% d) 60% e) 50% Resp.: e

CESPE (Banco do Brasil)

Quantidade de númerosescolhidos no volante

Tipos de aposta Valor (emR$)

6 A6 1,00 7 A7 7,00 8 A8 28,00 9 A9 84,00 10 A10 210,00 11 A11 462,00 12 A12 924,00 13 A13 1.719,00 14 A14 3.003,00 15 A15 5.005,00

Internet: <http://www.caixa.com.br.Acesso em jul./2003(com adaptações) Acerca do texto e das informações nele contidas, julgue os itens subseqüentes.

Em uma loteria, com sorteio duas vezes por semana, são pagos milhões de reais para quem acerta os seis números distintos sorteados. Também há premiação para aqueles que acertarem cinco ou quatro dos números sorteados. Para concorrer, basta marcar entre seis e quinze números dos sessenta existentes no volante e pagar o valor correspondente ao tipo de aposta, de acordo com a tabela abaixo. Para o sorteio de cada um dos seis números, são utilizados dois globos, um correspondente ao algarismo das dezenas e o outro, ao algarismo das unidades. No globo das dezenas, são sorteadas bolas numeradas de zero a cinco e, no das unidades, de zero a nove. Quando o zero é sorteado nos dois globos, considera-se, para efeito de premiação, que o número sorteado foi o 60. Além disso, após o sorteio de cada número, as bolas sorteadas retornam aos seus respectivos globos.

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21. Para efeito de premiação, os números passíveis de serem sorteados são todos os inteiros positivos compreendidos no intervalo [1, 60]. 22. Para o primeiro número que é sorteado, a probabilidade de que seu algarismo das dezenas seja igual a 3 é igual à probabilidade de que seu algarismo das unidades seja igual a 5.

23. Em determinado concurso, a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja o 58 é superior a 0,02. 24. Fazendo-se uma aposta do tipo A6, a probabilidade de se errar todos os seis números

sorteados é igual a 660495051525354 xxxxx

.

25. Considerando que a população da região Nordeste, em 2003, seja de 50 milhões de habitantes, é correto concluir que, na loteria descrita, a probabilidade de se acertar os seis números com apenas 1 aposta do tipo A6 é menor que a de ser contemplado em um sorteio do qual participem, com igual chance, todos os habitantes da região Nordeste. Solução 21. Representando por D o algarismo das dezenas e por U o algarismo das unidades, teremos D = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 e U = 0, 1, 2, 3, ..., 8 ou 9. Podem ser sorteados 6.10 = 60 pares : {00, 01, 02, 03, ..., 58, 59} ou {01, 02, ..., 58, 59 ,60} , substituindo 00 por 60 como diz no enunciado. Este conjunto é igual ao intervalo fechado formado por todos os inteiros de 1 a 60, e o item está Certo.

22. A probabilidade do algarismo das dezenas ser igual a 3 é P(3) = 61 ;

A probabilidade do algarismo das unidades ser igual a 5 é P(5) = 101 .

Assim, vemos que P(3) ≠ P(5) e o item está Errado.

23. P(58) = 601 .

Observe que 0,02 = 501

1002 = (Para não fazer cálculos desnecessários).

Agora é fácil ver que 601 <

501 , ou seja, P(58) < 0,02 e o item está Errado.

24. Evento E:” errar todos os seis números sorteados”.

P(E) = =6,60

6,54

CC

=6

6

/6,60

/6,54

P

P

AA

=6,60

6,54

AA

55.56.57.58.59.6049.50.51.52.53.54 .

Vemos que o item está Errado.

25. Evento A: “acertar os seis números com apenas uma aposta do tipo A6”; Evento S: “ser contemplado em um sorteio do qual participem, com igual chance, todos os habitantes da região Nordeste”.

P(A) = 6,60

6,6

CC

=6

6

/6,60

/6,6

P

P

AA

=55.56.57.58.59.60

1 =860.063.50

1 .

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P(S) = 000.000.50

1 .

Como P(A) < P(S), o item está Certo. 26. (CESGRANRIO) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é a) 25/216 b) 5/216 c) 75/216 d) 91/216 e) 150/216 Resp.: d 27. (ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a : a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,15 e) 0,65 Resp.: e 28. (ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo, uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624 b) 0,064 c) 0,216 d) 0,568 e) 0,784 Resp.: e 29. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5 Resp.: b 30. (ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a : a) 4/25 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 4/5 Resp.: c

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31. (ESAF) Em uma sala de aula, estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24 Resp.: d 32. (CESPE) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.

Total de vítimas fatais Estado em que ocorreu o acidente Sexo masculino Sexo femininoMaranhão 225 81 Paraíba 153 42 Paraná 532 142 Santa Catarina 188 42

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 1) A probabilidade que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,2.

2) A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%.

3) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5.

4) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,27.

5) A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. Solução: Vamos adotar na resolução de todos os itens, a simbologia seguinte: n(U)= nº de elementos do conjunto Universo (espaço amostral); n(E)= nº de elementos do Evento E. 1) n(U) = 1. 405 n(E) = 221 + 81 = 306

P(E) = 405.1

306)()(

=UnEn ≅ 0,22 > 0,2 e o item está Certo.

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2) n(U) = 1.405 n(E) = 81 + 42 + 142 + 42 = 307

P(E) = 405.1

307)()(

=UnEn ≅ 0,22, ou seja, 22% < 23% e o item está Errado.

3) n(U) = 225 + 153 + 532 + 188 = 1. 098

n(E) = 532

P(E) = 098.1

532)()(

=UnEn ≅ 0,48 < 0,5 e o item está Errado.

4) n(U) = 225 + 81 + 153 +42 + 188 + 42 = 731 n(E) = 225

P(E) = 731225

)()(

=UnEn ≅ 0,31 > 0,27 e o item está Certo.

5) n(U) = 1.405 Evento A: “ a vítima é do sexo feminino” .

n(A) = 81+42+142+42=307. Evento B:“o acidente ocorreu em um dos estados da região Sul do Brasil” . n(B) = 532+142+188+42 = 904. Evento (A ∩ B): “a vítima é do sexo feminino e o acidente ocorreu em um dos estados da região Sul do Brasil”. n(A ∩ B)= 142+42 = 184.

P(A) = 1405307

P(B) = 1405904

P(A e B ) = 1405184

Como P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B), teremos:

P(A ou B) = 1405307 +

1405904 -

1405184 = =−+

1405184904307

14051027 ≅ 0,73, ou seja, 73%.

73% > 70% e o item está Errado. 33. (CESPE) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus, espadas, copas e ouros. Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes. 1) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13.

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2) Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52. 3) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a 11/26. Solução: 1) n(U) = 52 (Universo) n(E) = 12 (Evento).

P(E) = 12 / 52 = 3 / 13 e o item está Certo. 2) n(U) = 52 n(E) = 51 ( só tem 1 ás de ouros no baralho).

P(E) = 51 / 52 e o item está Errado. 3) n(U) = 52

Evento A: “a carta contém uma figura” ⇒ n(A) = 12 ;

Evento B: “a carta é de paus” ⇒ n(B) = 13 ; Evento (A ∩ B): “a carta contém uma figura e é de paus” ⇒⇒ n(A ∩ B) = 3.

P(A ou B ) = P(A) + P(B) – P(A e B), ou seja:

P(A ou B) = 2611

5222

523

5213

5212 ==−+ e o item está Certo.

34. (ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez? a) 35% b) 17% c) 7% d) 42% e) 58% Resp.: a 35. (ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50% Resp.: b