AJUSTE DE CURVAS 6.1 Introdução 6.2 Método dos quadrados mínimos 6.2.1 Caso discreto 6.2.2 Caso contínuo 6.3 Caso não-linear

AJUSTE DE CURVAS

6.1 Introdução

6.2 Método dos quadrados mínimos

6.2.1 Caso discreto

6.2.2 Caso contínuo

6.3 Caso não-linear

AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO

No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela. A interpolação polinomial.

Nem sempre a interpolação é aconselhável.

1. Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento. Extrapolação.

2. Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros não pelos pontos.

AJUSTE DE CURVAS6.1- INTRODUÇÃO

Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de erros são vistos abaixo:

xexf )(

x

)(xf

x

xf

Curva ajustada

Curva extrapolada

Barra de erros

AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO

Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança.

Dado os pontos

num intervalo [a,b], devemos escolher funções

, e constantes

tais que a função

se aproxime de

)(,,......,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx

)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n

)(,.......,)(,)( 21 xxx n

)()()()( 2211 xgxgxgx nn ).(xf


Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar aparecem linearmente.

Note que as funções

podem ser funções não-lineares, por exemplo:

PROBLEMA 1

Como escolher as funções ?

)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n

)(,.......,)(,)( 21 xxx n

.......,1)(,)( 221 xxgexg x

)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n


Podemos escolher as funções

observando os pontos tabelados ou a partir de conhecimentos teóricos do experimento.

)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n

AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO

Seja dada na tabela:

Devemos construir o diagrama de dispersão

x -1.0 -0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0

f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05

Diagrama de dispersão – caso discreto

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

x

f(x) Série1

AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO

Escolhemos a partir da forma dos pontos no diagrama de dispersão.

Procuramos a função que se aproxime ao máximo de que tenha a forma

(parábola passando pela origem)

PROBLEMA 2: Qual o valor de que gera melhor ajuste da parábola?

21 )( xxg

211 )()( xxgx

)(xf

AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO

Dada uma função contínua em [a,b] e escolhidas as funções

todas contínuas em [a,b], devemos determi-nar as constantes de modo que a função

se aproxime ao máximo de .

)(....)()()( 2211 xgxgxgx nn

)(xf)(,......,)(,)( 21 xgxgxg n

n ,.....,, 21

)(xf

AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO

Tanto no caso discreto quanto no caso contínuo o que significa ficar mais próxima?

Idéia: A função é tal que o módulo da área sob a curva seja mínimo!!!

x )(xfx

6.2 Método dos Mínimos Quadrados

Objetivo: encontrar os coeficientes j tais que a função

se aproxime ao máximo de f(x)

MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Consiste em escolher os j’s de modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.

)()()()()( 2211 xgxxgxgx nn

6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto

Desvio em :Se a soma dos quadrados dos desvios

é mínima, cada desvio

será pequeno. Assim, j’s devem ser tais que minimizem a função

)()( kkk xxf d

m

kkk

m

kk xxf

1

2

1

2 ))()((d

)()( kkk xxf d

m

kkkn xxf

1

221 )]()([),,( F

kx


Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os números críticos, ou seja, j’s tais que

onde

nj

nj

2,1,0),,( 21

F

m

kknnkkk

n

xgxgxgxf1

22211

21

)]()()()([

),,(

F


Calculando as derivadas, temos

Igualando a zero,

m

kkjknnkkk

j

xgxgxgxgxf

n

12211

),,(

)]()][()()()([2

21

F

njxgxgxgxgxfm

kkjknnkkk ,,2,1,0)]()][()()()([

12211


Ou seja, temos um sistema linear a resolver

0)]()][()()()([

0)]()][()()()([

0)]()][()()()([

12211

122211

112211

m

kknknnkkk

m

kkknnkkk

m

kkknnkkk

xgxgxgxgxf

xgxgxgxgxf

xgxgxgxgxf


Reescrevendo o sistema,

m

kknk

m

knknkn

m

kknk

m

kkk

m

knkkn

m

kkk

m

kkk

m

knkkn

m

kkk

xgxfxgxgxgxg

xgxfxgxgxgxg

xgxfxgxgxgxg

11111

12

12

1121

11

11

1111

)()()]()([)]()([

)()()]()([)]()([

)()()]()([)]()([

Sistema linear de n equações com n incógnitas

6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Retas

Exemplo 1: Encontre a reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3). Calculemos para

)3.83.72.51.2()8752()8752(

)3321()8752()1111(

22222

1

21

. )(e1)( 21 xxgxg

4

1

4

12

4

11

4

1

4

12

4

11

).(.1.

1).(1.1.1

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

xxfxxx

xfx


Logo,

57

9

14222

224

2

1

14/5

7/2

57

9

422

22142

84

1

57

9

14222

2241

2

1

xx14

5

7

2)(


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 2 4 6 8 10

Série1

6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Parábolas

Exemplo 2: Encontre a parábola através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos da tabela

Vimos pelo diagrama de dispersão que uma parábola pela origem seria uma boa escolha, logo seja,

x -1.0 0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0

f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05

221

21 )()( xxxxxg


Logo temos apenas uma equação dada por

Calculando as somas, segue que:2

11 0642.2)(0642.28756.58464.2 xx

11

1

211

1

41

11

11

11

1

211

11

11

11

1111

)()()(

)()()(

)()()]()([

kkk

kk

kkk

kk

kkk

kkk

xfxx

xgxfxg

xgxfxgxg


Comentário 1: Note que a parábola pela origem, alinhada com o eixo dos y, que melhor ajusta os pontos fornecidos, através Método dos Mínimos Quadrados, é dada por

Comentário 2: Uma parábola da forma

permite um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a ser resolvido é 3X3 com várias somas e produtos intermediários, o que aumenta o tempo de processa-mento.

20642.2)( xx

2321)( xxx

6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo

Para a notação não ficar carregada, consideremos apenas duas funções de ajuste

Sejam contínua em [a,b] e também contínuas em [a,b] escolhidas com algum critério.

Desejamos encontrar mais próxima de . Neste caso quais são ?

Do critério de mínimos quadrados:

ser mínimo!!!!!!!!

)(xf )(e)( 21 xgxg

)()()( 2211 xgxgx )(xf 21 e

dxxxfb

a

2)()(


Calculando

),(

)()()(2)(

)()(2)()(2)(

)()()()()(2)(

)()()(2)(

)()(

21

22

222121

21

21

22112

222112211

2

22

2

F

dxxgdxxgxgdxxg

dxxgxfdxxgxfdxxf

dxxgxgxgxgxfxf

dxxxxfxf

dxxxf

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a


Analogamente ao caso discreto, minimizando

),( 21 F

0)()(2)(2)()(2

0),(2 Para

0)()(2)(2)()(2

0),(1 Para

2,1para0),(

12122

22

212

22112

11

211

21

dxxgxgdxxgdxxgxf

Fi

dxxgxgdxxgdxxgxf

Fi

iF

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

i


Segue o sistema linear

Comentário: Se forem duas funções LI, então o sistema tem solução única para .

dxxgxfdxxgxgdxxg

dxxgxfdxxgxgdxxg

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

)()()()()(

)()()()()(

212122

2

122112

1

)(e)( 21 xgxg

21 e

6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo - Reta

Exemplo: Encontre a reta através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a função no intervalo [0,1]. Seja , logo

Calculando os termos do sistema linear 2X2

. )(e1)( 21 xxgxg

34)( xxf

xxgxgx 212211 )()()(

2

1

2

1

2221

1211

b

b

aa

aa


Calculando os termos do sistema linear

5/44)()(

14)()(

3/1)(

2/1)()(

11)(

422

311

21

0

2222

1

021

1

01221

1

0

21

1

011

dxxdxxgxfb

dxxdxxgxfb

dxxdxxga

dxxdxxgxgaa

dxdxxga

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a


Obtemos o sistema linear

Logo, a reta que melhor ajusta no intervalo [0,1] e dada pelo método dos mínimos quadrados por

5

18

5

4

5

4

3

1

2

1

12

11

21

21

21

34)( xxf

xx5

18

5

4)(


> plot([4*x^3, -4/5+x*18/5], x=0..1, color=[red,blue], style=[line,line]);

34)( xxf

)(x

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AJUSTE DE CURVAS 6.1 Introdução 6.2 Método dos quadrados mínimos 6.2.1 Caso discreto 6.2.2 Caso contínuo 6.3 Caso não-linear