Alailson João Ribeiro Formento Miguel ... - ccse.uepa.brccse.uepa.br/downloads/tcc/2013/formento_santos_2013.pdfdissertations from institutions varied, being counted only files available

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Curso de Licenciatura Plena em Matemática

Alailson João Ribeiro Formento Miguel Trócolis Lemos dos Santos

Uma investigação Bibliográfica acerca do Ensino de Trigonometria no Triângulo Retângulo

Belém 2014


Uma investigação Bibliográfica acerca do Ensino de Trigonometria no triângulo Retângulo

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador: Prof. Me. Carlos Alberto Miranda Pinheiro.

Belém 2014

Dados Internacionais de Catalogação na publicação

Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA

Formento, Alailson João Ribeiro

Uma investigação bibliográfica acerca do ensino de trigonometria no triângulo retângulo. /

Alailson João Ribeiro Formento, Miguel Trócolis Lemos dos Santos. Belém, 2014.

Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado

do Pará, Belém, 2014.

Orientação de: Carlos Alberto Miranda Pinheiro

1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Geometria. I. Santos, Miguel Trócolis Lemos dos. II.

Pinheiro, Carlos Alberto Miranda (Orientador). III. Título.

CDD: 21 ed. 510.7


Uma investigação Bibliográfica acerca do Ensino de Trigonometria no triângulo Retângulo

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador: Prof. Me. Carlos Alberto Miranda Pinheiro.

Data de aprovação:

Banca examinadora:

____________________________________, Orientador

Profº Carlos Alberto Miranda Pinheiro Me. em Universidade

___________________________________________

___________________________________________

RESUMO

FORMENTO, Alailson; TRÓCOLIS, Miguel. Uma investigação Bibliográfica acerca do Ensino de Trigonometria no triângulo Retângulo. 2012. 178 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.

Este trabalho apresenta o resultado de uma investigação bibliográfica, afim de ressaltar o desenvolvimento de cursos de trigonometria no triângulo retângulo, por meio de sínteses de teses e dissertações referentes ao tema. A investigação é dada em 13 bancos de teses e/ou dissertações de instituições variadas, sendo contabilizado apenas arquivos disponíveis para download em formato de pdf; após a coleta das teses e dissertações foi realizado uma síntese de cada um dos documentos com intuito principal de ressaltar os curso de trigonometria no triângulo retângulo aplicados. Como resultado têm-se 6 dissertações e nem uma tese, sendo apenas duas exclusivas para trigonometria no triângulo retângulo, tal que o restante são relativas ao trigonometria no triângulo retângulo e trigonometria no ciclo trigonométrico. Os trabalhos investigados são os seguintes: Lidegger, que explora um curso de trigonometria no triângulo retângulo através de uma didática iniciada em problemas simples, concretos e contextualizados; Nascimento que dá ênfase em seu curso para o desenvolvimento de uma tabela trigonométrica a partir de situações problemas; Silva que dá ênfase a um curso com ensino a partir de problemas que revelam construções geométricas e tratamento figural; Borges que manifestou seu curso através do uso do Software de geometria dinâmica Geogebra; Silva, que apresentou um curso utilizado materiais manipulativos e também o uso de Geogebra; e Klein, que apresenta um curso através dos campos conceituais, levando em conta os conhecimentos prévios e gradualmente adquirido pelo aluno ao decorrer do curso. Entendeu-se que as atividades sugeridas nos cursos em maioria ainda carecem de criatividade e tratamento estrutural, entretanto, este estudo tornou-se relevante pois, ainda sim tais, cursos nos dão uma referência de um trabalho mais construtivista, e apontam em seus resultados aspectos satisfatórios e relevantes. Palavras-chave: Educação Matemática, Trigonometria no triângulo retângulo; Revisão da literatura.

ABSTRACT

FORMENTO, Alailson; TRÓCOLIS, Miguel. A Bibliographical Research on teaching of Trigonometry in triangle. 2012. 178 p. monography (Full Licensure in mathematics)-Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014. This paper presents the result of a bibliographical research, in order to emphasize the development of trigonometry courses in triangle, through summaries of theses and dissertations pertaining to the topic. Research is given in 13 banks of theses and/or dissertations from institutions varied, being counted only files available for download in pdf format; After the collection of the theses and dissertations was carried out a summary of each of the documents in order to highlight the main course in trigonometry right triangle applied. As a result there are 6 dissertations and even a thesis, being only two unique to trigonometry in the triangle, such that the remainder are concerning trigonometry in right triangle trigonometry and trigonometric cycle. The work investigated are the following: Lidegger that explores a trigonometry course in triangle through a didactic started in simple, concrete and contextualized problems; Birth which gives emphasis on its course for the development of a trigonometric table from situations problems; Silva (2005) that gives emphasis to a course with teaching from problems that reveal geometric constructions and figural treatment; Borges who expressed its course through the use of the dynamic geometry Software Geogebra; Silva who presented a course used manipulative materials and also the use of Geogebra; and Klein (2009) which features a course through the conceptual fields, taking into account the previous knowledge and gradually acquired by the student during the course. You understand that the activities suggested in most courses still lack creativity and structural treatment, however, this study has become relevant since, yet such courses give us a reference of a constructivist work, and stick out in their results satisfactory and relevant aspects. Keywords: mathematics education, in Trigonometry right triangle; Review of the literature.

LISTA DE ILUSTRAÇÃO

Fotografia 1 - Maquete com escala não informada 37

Fotografia 2 - Dispositivo de tabela trigonométrica dinâmica 38

Fotografia 3 - Arquivo 1 do Geogebra da síntese 4 120

Fotografia 4 - Arquivo 1 do Geogebra da síntese 4 121

Gráfico 1 - Resultado de acertos por questão corrigida do pós-teste da

síntese 1

51

Gráfico 2 - Resultado de acertos por questões do pós-teste da síntese

1

52

Gráfico 3 - Resultado de acertos por aluno do pós-teste da síntese 1 52

Gráfico 4 - Ocorrência de cada tipo de erro do pós-teste da síntese 1 54

Gráfico 5 - Número de acertos por questões corrigidas no pós-teste da

síntese 2

93

Gráfico 6 - Número de acertos por questão no pós-teste da síntese 2 93

Gráfico 7 - Número de acertos por questão no pós-teste da síntese 2 94

Figura 1 - Esquema de um astrolábio 167

Figura 2 - Esquema de um teodolito formado com astrolábio e uma

alidade

168

LISTA DE QUASROS

Quadro 1 - Referente a atividade 1 da síntese 1 27


























Quadro 27 - Referente a aula 1 da síntese 1 39











Quadro 38 - Configuração do pós-teste da síntese 1 50



Quadro 41 - Referente a leitura complementar para atividade 2 da

síntese 2

63

Quadro 42 - Referente a continuação da atividade 2 da síntese 2 64









Quadro 51 - Referente a leitura complementar da atividade 4 da síntese

2

72


































Quadro 85 - Referente a atividade preparatória 1 da síntese 5 129

Quadro 86 - Referente a atividade preparatória 2 da síntese 5 131


Quadro 88 - Referente a atividade complementar 1 da síntese 5 132





Quadro 93 - Referente a atividade desafio da síntese 5 137

Quadro 94 - Referente a atividade projeto da síntese 5 139

Quadro 95 - Referente ao anexo da atividade 3 da síntese 5 136

Quadro 96 - Referente ao anexo da atividade preparatória 2 e atividade

desafio da síntese 5

147






Quadro 102 - Descrição do teste 1 da síntese 5 156

Quadro 103 - Descrição do teste 2 da síntese 5 158

Quadro 104 - Referente ao questionário inicial da síntese 6 164


Quadro 106 - Referente ao teste 1 da síntese 6 167




LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Resultados da coleta de teses e dissertações 20

Tabela 2 - Acertos e erros de alunos do GE dados em cada questão do

pós-teste da síntese 1

53

Tabela 3 - Acertos e erros de alunos do GR dados em cada questão do

pós-teste da síntese 1

54

Tabela 4 - Acertos e erros das questões por aluno no pós-teste da síntese

2

94

Tabela 5 - Erro ou dificuldade na apreensão discursiva na atividade 1 da

síntese 3

110

Tabela 6 - Erro ou dificuldade na apreensão sequencial na atividade 1 da

síntese 3

111

Tabela 7 - Erro ou dificuldade na apreensão perceptiva na atividade 1

síntese 3

112

Tabela 8 - Estratégias de resolução da atividade 1 da síntese 3 112

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO: PROBLEMATIZAÇÃO E OBJETIVOS 12 2 METODOLOGIA 15 2.1 DAS TESES E DISERTAÇÕES SELECIONADAS 15 2.2 DAS SÍNTESES DAS DISSERTAÇÕES E TESES 15 3 DOS RESULDADOS DA COLETA DE TESES E DISSERTAÇÕES 20

4 DOS RESUTADOS DAS SÍNTESE DAS TESES E DISSERTAÇÕES 22

4.1 SÍNTESE 1 22

4.1.1 INTRODUÇÃO 22 4.1.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 24 4.1.3 METODOLOGIA 25 4.1.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 50

4.2 SÍNTESE 2 58 4.2.1 INTRODUÇÃO 58 4.2.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 59 4.2.3 METODOLOGIA 61 4.2.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 93





5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 175 6 REFERÊNCIAS 177

12

1 INTRODUÇÃO: PLOBLEMATIZAÇÃO E OBJETIVOS

Tomando nossa pouca experiência como discente e docente no ensino de

matemática, somados a relatos informais de inúmeros professores que mantivemos

contato, em especial nossos mentores ao decorrer da nossa graduação em

Licenciatura em Matemática, podemos compreender superficialmente como encontra-

se o ensino de Matemática em nossa região.

O Ensino de Matemática vem mostrando-se cheio de vícios e dificuldades

em algumas instituições. Caracteriza-se como um ensino mecânico e monótono, de

tal forma que o aluno é um mero espectador, visto que muitas vezes resume-se em

decorar algoritmos e repeti-los em problemas similares. Entretanto, existem diversas

obras e tendências de ensino que já vem a algum tempo querendo modificar este

quadro. Logo, cabe aos futuros educadores a escolha de se acomodar ao sistema, ou

recuperar todo o poder da aprendizagem Matemática. De forma a concordar com as

mudanças que devem ser feitas apresenta-se esta citação de Sadovsky (2010):

“O ensino de matemática hoje – Enfoques, sentidos e desafios nos alerta para a

necessidade urgente de avaliar, questionar e repensar os métodos de ensino da

disciplina [...]”

De pleno acordo com mudanças metodológicas está também a formação

de Licenciatura que nos encontramos ao decorrer destes últimos anos, isto é

evidenciado principalmente pelo currículo do curso que apresenta inúmeras

metodologias que se diferenciam do método tradicional (conceito - exemplos -

exercício de fixação). Ao estudarmos estas tendências notamos a existência de um

consenso entre os muitos pensadores. Em destaque temos Piaget, que dedicou

inúmeras obras para tratar do estudo da interação entre conhecimento e sujeito,

buscando a análise de como se dá a construção desse conhecimento no sujeito, obras

como: “O nascimento da inteligência na criança” em 1936 e “A construção do Real”

em 1937. Com isso criou-se a corrente construtivista. Essa corrente aponta e investiga

à construção do conhecimento atribuída pela interação sujeito e realidade (meio).

Piaget não aplicou sua teoria diretamente ao ensino-aprendizagem, contudo serviu

como referência para vários outros autores que abordam tal processo, como Bruner.

Bruner (apud BOCK, 1999) defende, em sua teoria de aprendizagem, que

o aluno, deve construir o conhecimento através da situação imposta pelo educador,

13

sendo este agora um “mediador”. Ressaltamos na análise de Bruner citado por

Bock(1999):

“Bruner concebeu o processo de aprendizagem como ‘captar as relações entre os fatos’, adquirindo novas informações, transformando-as e transferindo-as para novas situações. Partindo daí, ele formulou uma teoria de ensino. (...) Bruner sugere que se utilize o método da descoberta como método básico do trabalho educacional. O aprendiz tem plenas condições de percorrer o caminho da descoberta científica, investigando, fazendo perguntas, experimentando e descobrindo”. (BOCK, 1999, p. 113)

Quando Bruner fala de descoberta seu discurso é similar ao método de

Sócrates: maiêutica¹. Sócrates não revelava diretamente a resposta da questão

principal, e sim questionava mais ainda seus discípulos, com questões chaves, que

os guiariam a resposta pretendida, assim constitui-se a maiêutica. A proposta de

Bruner tem a mesma finalidade: a elaboração de situações que invoquem no aluno as

questões chaves, ou pelo questionamento direto, para ele mesmo chegar à resposta

da questão principal, ou seja, em sua descoberta. Assim como Bruner a maioria dos

pensadores que estudamos ao decorrer do curso apresentam seus métodos com

essas mesmas perspectivas básicas. Esses métodos viriam desenvolver todo um lado

cognitivo do aluno indo contra o atua sistema de ensino de Matemática que sufoca a

criatividade do discente.

Segundo Augusto Cury (2008), muito dos processos cognitivos

relacionados ao processo de ensino e aprendizagem depende da situação emotiva do

indivíduo, ou seja, em determinadas situações, geralmente situações apreensiva e/ou

monótonas, o indivíduo tende a fechar suas “janelas de habilidades cognitivas”

dificultando a compreensão e memorização do conhecimento. Logo, entende-se que

uma situação que pretenda construir o conhecimento tem de ser o mais agradável

possível sendo dinâmica; motivadora e curiosa.

Este trabalho não pretende se aprofundar nos autores acima. Vemos esses

autores apenas como indicadores de um consenso que aponta para um ensino de

descobertas e motivação.

Em contra partida da exigência demonstrada para o desenvolvimento de

_____________

¹ Maiêutica significa dar à luz, este nome foi dado ao método por causar uma referência metafórica ao

mesmo.

14

novas metodologias, temos nosso entusiasmo quanto o ensino de trigonometria, que

apresenta possibilidade de tratamento quanto o uso de software e aplicações

intrigantes como na astronomia.

Esse entusiasmos fora aumentado ao vermos a pesquisa de Nascimento

(2005), que realizou um teste com 625 alunos da rede municipal de São Paulo, um

teste apresentando a única questão: “Explique por que seno de 30° é ½”. O resultado

da pesquisa fora assustador, para os quais 305 indivíduos deixaram em branco a

questão; 225 escreveram que não sabiam; 86 tiveram resposta do tipo “vi na

calculadora ou no livro” ou “o professor falou”, somente 35 alunos tentaram responder

e desses apenas um obteve êxito.

Tal experiência nos revela muitos fatos, como indícios que não é somente

em nossa região que há uma falta de significado na transmissão de conceitos

matemáticos. Mais o fato concreto é que tais alunos apresentam uma deficiência muito

grande em conceitos básicos da trigonometria. De forma análoga criamos a hipótese

de que muitos outros municípios apresentam a mesma situação, assim como o nosso.

A exigência de novas metodologias que atendem uma perspectiva

construtivista somadas as dificuldades em conceitos básicos da trigonometria e nossa

afinidade com este conteúdo Matemático nos motivou a criar nossa questão

norteadora:

Quais os principais resultados apresentados pelas pesquisas que investigaram

a trigonometria no triangulo retângulo?

Com esta questão que nos norteia, restringimos este trabalho a uma

pesquisa bibliográfica que objetiva investigar os principais resultados apresentados

pelas pesquisas que investigaram a trigonometria no triangulo retângulo a partir de

levantamento realizado com algumas dissertações e teses que pudemos, dentro de

nosso limite, alcançar.

Esse objetivo torna-se relevante por apresentar estratégias de ensino que

serviram como inspiração para alunos como nós, que estão findando o curso de

Matemática e desejam materiais de apoio e que incentivem a criatividade na

elaboração de novas abordagens metodológicas que propiciem uma melhora no

processo de ensino e aprendizagem da trigonometria, na Educação Básica.

15

2 METODOLOGIA

2.1 DAS TESES E DISERTAÇÕES SELECIONADAS

Foram selecionadas todas as teses e dissertações que estiverem

disponíveis nas bibliotecas virtuais das seguintes instituições:

i) Universidade de Franca (UNIFRAN);

ii) Universidade Cruzeiro do Sul (UNICSUL);

iii) Universidade Bandeirante de São Paulo (UNIBAN);

iv) Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC);

v) Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ);

vi) Universidade Estadual Paulista (UNESP);

vii) Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP);

viii) Universidade federal de Juiz de Fora (UFJF);

ix) Pontifícia Universidade Católica - Minas Gerais (PUC-MG);

x) Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES);

xi) Pontifícia Universidade Católica – Rio Grande do Sul (PUC-RS);

xii) Pontifícia Universidade Católica – São Paulo (PUC-SP);

xiii)Universidade Luterana do Brasil (ULBRA).

Tais instituições apresentam os respectivos sites, os quais serão

explorados afim de encontrar seus bancos de teses e dissertações (acesso realizado

no dia primeiro de Dezembro):

i) http://www.unifran.edu.br

ii) http://www.cruzeirodosul.edu.br

iii) http://www.uniban.br

iv) http://ufsc.br

v) http://www.ufrj.br

vi) http://www.unesp.br

vii) http://www.ufop.br

viii) http://www.ufjf.br

http://www.unifran.edu.br/

http://www.cruzeirodosul.edu.br/

http://www.uniban.br/

http://ufsc.br/

http://www.ufrj.br/

http://www.unesp.br/

http://www.ufop.br/

http://www.ufjf.br/

16

ix) http://www.pucminas.br

x) http://www.capes.gov.br

xi) http://www.pucrs.br

xii) http://www4.pucsp.br

xiii) http://www.ulbra.br/

Logo, não é difícil de deduzir que o critério de seleção das teses e

dissertações foi devido a facilidade de acesso virtual.

2.2 DAS SINTESES DAS DISSERTAÇÕES E TESES

Selecionadas as teses e dissertações foi realizada uma síntese de cada

uma delas, conforme descrito nos objetivos do trabalho. Lembrando que esta pesquisa

bibliográfica que apresentamos foca na elaboração dos cursos, logo, não

apresentaremos todos os resultados obtidos e nem exploraremos por completo o

referencial teórico utilizado.

Os trabalhos foram categorizados seguindo a seguinte ordem que servirá

como padrão de síntese:

A) INTRODUÇÃO:

Tema

Problematização

Questões norteadoras

Apesar deste tópico não ser colocado como citação, será escrito segundo as

próprias palavras do autor. Estabelecemos desde já este contrato com o leitor.

Objetivos

Apesar deste tópico não ser colocado como citação, será escrito segundo as

próprias palavras do autor. Estabelecemos desde já este contrato com o leitor.

http://www.pucminas.br/

http://www.capes.gov.br/

http://www.pucrs.br/

http://www4.pucsp.br/

http://www.ulbra.br/

17

B) FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Pensadores

Neste tópico será exposto, um por um, os autores ou ideias tomados como

referência na pesquisa em questão. Destaca-se, desde já, que tudo que

escrevermos neste tópico relacionado a um pensador abordado é segundo o

autor da pesquisa em questão, apesar de não ser descrito com as própria

palavras do autor.

Observações quanto ao referencial teórico

Neste tópico caberá, se necessário, algumas observações quanto ao uso dos

autores por parte dos que escrevem.

C) METODOLOGIA

Metodologia da pesquisa:

Este macro tópico oferece uma visão superficial do desenvolvimento da pesquisa

revelada através dos seguintes sub tópicos:

Amostra da pesquisa

Tempo do experimento

Experimento

Um breve resumo do experimento

Coleta de dados

Este tópico reserva-se para descrever como o autor apurou os dados, quais

ferramentas.

Metodologia das aulas

Este macro tópico trata-se de uma visão mais detalhada do experimento e é

dividido nos seguintes sub tópicos:

Padrão da metodologia das aulas

Padrão de Avaliação

18

Materiais relevantes

Aqui será colocado tanto Materiais por sua relevância tanto aqueles que sua

apresentação, podendo ser até mesmo visual, faz-se necessário

posteriormente para facilitar a síntese da aula. Contudo, no caso de pesquisas

mistas, ou seja, aquelas que falam de trigonometria no triângulo retângulo e no

ciclo trigonométrico, não será exposto quaisquer materiais que fogem do ensino

da trigonometria no triângulo retângulo, respeitando assim os nossos objetivos.

Aula por aula

Este tópico abordará aula por aula, sintetizando-as em tabelas que conterão os

seguintes aspectos da aula: Tempo estimado; Objetivo; Material didático;

metodologia; e se necessário Avaliação. Contudo, não apresentaremos aulas

que não se referem a trigonometria no triângulo Retângulo.

Objetivos das demais aulas

Segue neste tópico o objetivo das aulas não apresentadas no tópico anterior.

Assim o leitor saberá quais assuntos o devido pesquisador deixou para

englobar apenas quando fosse visto o ciclo trigonométrico

D) ANÁLISE DOS RESULDADOS

Devido à grande diferenciação no tratamento de dados, os tópicos nesta

etapa serão variados. Contudo, focaremos bastante nas dificuldades encontradas.

Não deixamos esquecer que esse trabalho é focado na trigonometria do triângulo

retângulo, logo aqui não terá espaço para resultados mais concretos na trigonometria

fora do triângulo retângulo. Cabe também dizer, que os resultados que apresentamos

são segundo a análise do autor, onde não se coloca reflexões próprias dos dados

obtidos.

E) CONSIDERAÇÕES FINAIS

Considerações quanto ao resultado

Neste tópico irá refletir-se sobre as questões e objetivos do trabalho

relacionando-os com os resultados, sempre com a visão do autor do trabalho

em questão.

19

Considerações futuras

Será exposta as expectativas futuras que os resultados e conclusões trouxeram

ao autor.

20

3 DOS RESULDADOS DA COLETA DE TESES E DISSERTAÇÕES

Apresentamos a seguir uma tabela que traz o resultado de nossa pesquisa

de acordo com os banco de dados investigados, cabe lembrar que esses resultados

são para arquivos virtuais, ou seja, existe a possibilidade de adquirir o arquivo para

leitura no computador.

Tabela 1 – Resultados da coleta de teses e dissertações

Nome da instituição

referente ao banco

de dados

Dissertações ou teses Encontradas

Trigonometria no

triângulo retângulo

ou triângulo

qualquer

Trigonometria no

ciclo

trigonométrico ou

funções

trigonométricas

Trigonometria no

triângulo retângulo

e no ciclo

trigonométrico

UNIFRAN 0 0 0

UNICSUL 0 0 0

UNIBAN 0 0 0

UFSC 0 1 0

UFRJ 0 0 0

UNESP 0 1 0

UFPO 0 1 0

UFJF 0 0 0

PUC-MG 0 0 1

PUC-RS 0 0 1

PUC-SP 2 2 2

A CAPES1 não foi mencionada por apresentar seu banco de teses e

dissertações em manutenção. Cabe também dizer que nem uma das pesquisas

encontradas são referentes a trigonometria em triângulos quaisquer, ou seja,

abordando lei do seno e cosseno.

Feita a pesquisa segue abaixo a lista das teses e dissertações exploradas

por esse trabalho:

1 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.

21

1- LINDEGGER, Luiz Roberto. Construindo os conceitos básicos da

trigonometria no triângulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação

de modelos. 197 pg. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – PUC-

SP. São Paulo, 2000.

2- NASCIMENTO, Alessandra. Uma sequência de ensino para a construção

de uma tabela trigonométrica. 195 pg. Dissertação (Mestrado Profissional em

Ensino de Matemática) – PUC-SP. São Paulo, 2005.

3- SILVA, Silvio. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO:

Construindo uma aprendizagem significativa. 176 pg. Dissertação (Mestrado

em Educação Matemática) – PUC-SP. São Paulo, 2005.

4- BORGES, Carlos Francisco. Transição das razões trigonométricas do

triângulo retângulo para o círculo trigonométrico: uma sequência de

ensino. 144 pg. Dissertação (Mestrado Profissional em ensino de Matemática)

– PUC-SP. São Paulo, 2009.

5- SILVA, Marlizete. Trigonometria, modelagem e tecnologias: um estudo

sobre uma sequência didática. 233 pg. Dissertação (Mestrado em Ensino de

Ciências e Matemática) – PUC-MG. Belo Horizonte, 2011.

6- KLEIN, Marjúnia. O ensino da trigonometria subsidiado pelas teorias da

aprendizagem significativa e dos campos conceituais. 99 pg. Dissertação

(Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – PUC-RS. Porto Alegre,

2009.

22

4 DOS RESUTADOS DAS SÍNTESE DAS TESES E DISSERTAÇÕES

Conforme previsto no capítulo 3, segue nas próximas páginas as síntese de

cada uma das dissertações, apresentadas no capítulo 4, conforme o padrão também

visto no capítulo 3.

4.1 SÍNTESE 1

Construindo os conceitos Básico da trigonometria no triângulo retângulo: Um

proposta a partir da manipulação de modelos.

4.1.1 INTRODUÇÃO

Tema: A investigação de um abordagem do ensino de trigonometria no triângulo

retângulo através do uso de modelos matemáticos (situações contextualizadas).

Problematização: Com base empírica o autor acredita que os alunos apresentam

dificuldades na aquisição dos conceitos básicos da trigonometria (seno, cosseno e

tangente). Logo, sem o conceituação apropriada os alunos não compreendem por

completo a notação, verificando erros no uso e interpretação da mesma. O autor

colocou alguns desses erros:

a) Compreender cosx como um produto: cos.x;

b) Considerar valores para senos e cosseno maiores ou menores que 1 e -1

respectivamente;

c) Considerar por exemplo sen(a+b) = sen a +sen b;

d) Não definir ao certo a distinção e os conceitos individuais de arcos e razões

trigonométricas possibilitando notações como tg x = 1 ⟹ tg x = 45°;

e) Problemas na notação apresentando simplificações errôneas como apenas tg

e não tg x, possibilitando notações como tg x = sen/cos x;

Conclui-se que os casos citados acima denunciam a falta de significado do conteúdo.

Além disso os alunos apresentam muita dificuldade com problemas contextualizados

o que demonstra ainda mais o vazio das contas realizadas por eles.

Questões Norteadoras: Como abordar o conteúdo de trigonometria no triângulo

retângulo (seno, co-seno e tangente) de forma a possibilitar que o aluno compreenda

seus conceitos?

23

Objetivos: investigar a abordagem de uma sequência didática baseada em situações

iniciadas em problemas simples, contextualizados e concretos. Tal que, ao resolver

os problemas o aluno irá gradualmente formulando seus conceitos por conta própria,

tendo o professor como mediador e “formalizador”.

4.1.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

4.1.2.1 PENSADORES:

Vygotsky (1987)

O primeiro aspecto retirado das obras Vygotsky (apud LINDEGGER, 2000)

vem para defender o trabalho em questão, pois Vygotsky ao discutir o processo de

aprendizagem coloca que a exposição direta de conceitos ao aluno para depois utilizá-

los é infrutífera. Para Vygotsky a forma adequada do ensino de conceitos é colocar o

aluno em uma situação que ele terá de refletir e tirar suas próprias conclusões, o que

proporcionará um desenvolvimento cognitivo muito mais abrangente. É obvio que o

papel do professor mediante esta situação é de mediador, um guia para os alunos, e

posteriormente este irá formalizar os conceitos transferindo-os da linguagem

desajeitada do aluno para uma linguagem mais apropriada.

Outra ideia de Vygotsky que fundamenta o trabalho e a Zona de

Desenvolvimento Proximal (ZDP). Segundo Vygotsky, o desenvolvimento intelectual

é dado por saltos qualitativos, onde existe uma certa distância entre uma fase

intelectual (a que o aluno se encontra no presente) e outra (a que o aluno tem potencial

de alcançar). Essa distância deve ser percorrida por estímulos intelectuais, de tal

forma que a melhor forma é quando o aluno é compelido a analisar e refletir afim de

construir suas conclusões em uma determinada situação, dado o professor como

auxiliador. Esse espaço entre uma etapa intelectual e outra é a própria ZDP.

Para complementar as ideias acima coloca-se a ideia de conceito

espontâneo: é o conceito adquiro intuitivamente sobre um objeto, logo não consegue

se expressar de forma completa; e conceito científico: é o conceito formalizado sobre

um objeto, é expressado de forma completa e consciente, logo podendo ser

expressado com palavras. A passagem do conceito espontâneo ao conceito científico

24

é o método mais natural de apropriação de um conhecimento, logo o caminho da

aprendizagem do intuitivo ao formal está justificado.

Vergnaud (1987)

Para Vergnaut (apud LINDEGGER, 2000) o foco da aprendizagem

encontra-se na resolução de situações problemas. Como Vygotsky, ele acredita na

construção do conceito pelo aluno, para tanto desenvolveu a teoria dos campos

conceituais. A formulação de um conceito seria dada pela soma dos seguintes fatores:

Um conjunto de situações que daria um contexto e significado ao futuro conceito,

sendo possível o aluno caminhar e descobrir nesta trilha com um mínimo de

autonomia; conjunto de Invariantes: é o conjunto de dados do problema somado as

relações, propriedades e conceito secundários dentro da situação, seja aqueles

necessários para o desenvolvimento (conhecimento prévio) seja aqueles descobertos

no caminho; e conjunto de representações simbólicas para se referir aos invariantes

e tratá-los. Os fatores acima formam a definição de campo conceitual: Um conjunto

de situações que precisa de um conjunto de conceitos e símbolos para sua

apropriação.

Vergnaut também acredita que o estudo epistemológico do conceito é muito

valioso. Pois, ao estudar as origens e formação histórica de um conceito é possível

extrair seu significado mais puro e diversos contextos para sua utilização. Logo este

estudo faz-se necessário ao professor afim de lidar lucidez e mais perícia na

elaboração de suas situações problemas.

Brousseau (1988)

Em Brousseau (apud LINDEGGER, 2000), é utilizado a teoria da situação

didática e situação a-didática, que não se difere em fundamentos das teorias citadas

acima. Uma situação didática é o conjunto de instrumentos, objetos, etapas e relações

entre os envolvidos, planejados para a obtenção de conhecimento, ou seja, é todo

controle pedagógico implícito ou explicito. Já a situação a-didática foca no controle

pedagógico implícito, de tal forma, que neste momento quem está trabalhando,

formulado e compartilhando é o aluno. Logo, a situação a-didática deve estar contida

na situação didática, afim que neste momento se busque uma abordagem

construtivista.

25

Dentro dos aspectos do parágrafo anterior, Brousseau propõe uma

situação didática dividida em quatro etapas: ação; formulação; validação;

institucionalização. A ação é a fase em que o aluno opera os materiais fornecidos,

afim de chegar em soluções para o problema também fornecido. A formulação é a

fase em que o aluno tenta repassar suas soluções ou entendimento da situação, de

forma escrita, simbólica ou oral, sem se preocupar com sua validade, eficácia, ou

formalização. A validação é a etapa em que o estudante tenta fundamentar e justificar

seus atos, é um processo onde deve-se confrontar as ideias. Institucionalização é a

última etapa onde, com uma grande participação do professor, são formalizadas as

ideias. Dado as quatro etapas, é necessário comentar que nem sempre estas vão ser

facilmente identificadas e separadas pois, duas etapas ou mais podem acontecer de

forma simultânea, porém a formalização sempre será bem nítida e de certa forma

separada.

4.1.2.2 OBSERVAÇÕES QUANTO AO REFERÊNCIAL TEÓRICO

Notamos que que o trabalho em questão, abordando Vygotsky e Vergnaud

busca uma um apoio e compreensão parcial do fundamento do método utilizado que

teria como essência o construtivismo, de tal forma que na prática isso quer dizer que

o docente deverá partir de uma situação, no caso do trabalho de problemas escritos

ou dialogados, e com uma série de estímulos, no caso discursões com outros alunos

e mediação do professor, construir um novo conceito, ou seja, estabelece neste ponto

uma nova ordem didática: do problema ao conceito. Contudo, é em Brosseau que

nota-se mais influência quanto a metodologia aplicada a cada aula, conforme será

visto na subsecção seguinte.

4.1.3 METODOLOGIA

4.1.3.1 METODOLOGIA DA PESQUISA

Amostra da pesquisa: A experiência é abordada em uma escola, autarquia

municipal, da cidade de Taubaté em São Paulo. Será trabalhada em duas turmas da

8ª série. A primeira turma, no período matutino e com 32 alunos, será chamada de

grupo de referência (GR). A segunda turma, no período vespertino e com 24 alunos,

26

será chamada de grupo experimental (GE). Entretanto, os dados dos resultados serão

apurados apenas com os alunos que participarem de toda a experiência, sem faltar

uma aula, seja no GR ou GE.

Tempo do experimento: Para cada grupo foram disponibilizados aulas, nos horários

normais de estudo, através de encontros de duas ou três hora-aulas (uma hora-aula

constitui 50 minutos) num total de 15 hora-aulas dadas em 7 encontros para o grupo

de referência e 18 hora-aulas dadas em 13 encontros para o grupo experimental.

Visão superficial do experimento:

Grupo Referencial: Neste grupo foi ministrado aulas ditas como tradicionais: uso de

pincel, quadro e livro didático com a metodologia que segue os passos: conceito,

exemplos e exercícios de fixação; o método teve como base o livro didático. Não

houve participação ou controle por parte do pesquisador.

Grupo experimental: As aulas foram dadas de acordo com o objetivo da pesquisa.

Serão mais de 25 Atividades aplicadas ao decorrer dos encontros.

Coleta de dados: Serão ministrados dois testes: pré-teste e pós-teste. Ministrados

aos dois grupos antes e depois das aulas referentes ao conteúdo.

4.1.3.2 METODOLOGIA DAS AULAS

4.1.3.2.1 PADRÃO METODOLÓGICO DAS AULAS

A maioria das atividades da pesquisa são fundamentadas em problemas.

Geralmente a resolução desses problemas é colocada através das seguintes etapas:

Discursão em grupo: Os problemas sempre serão colocados em um primeiro

momento a um grupo, exigindo assim o compartilhamento de ideias e estratégias.

Nesta etapa, entretanto, o educador terá um papel muito presente com as seguintes

tarefas:

- Ajudar de forma sutil quanto a interpretação e coleta de dados se necessário;

- Utilizar questões chaves para que os alunos consigam formular estratégias de

resolução;

- Ajudar os integrantes de um grupo a compartilhar suas ideias.

27

Compartilhamento com os demais grupos: Com a mediação do docente, cada

grupo, já com sua resposta, é compelido a compartilhá-la com a sala, argumentando

e justificando seus processos e resultados em seguida compara-los com os demais,

buscando sempre um consenso. O docente sempre que necessário poderá interferir

para corrigir discrepâncias, tirar dúvidas chaves e abrir comentários relevantes.

Formalização: Neste momento o educador irá colocar a resolução correta na lousa,

reforçando pontos de dúvidas e atribuindo uma linguagem mais formal.

Logo já sabemos que no tópico que descreverá aula por aula quando o

aluno for sujeito a uma atividade significa que passará pelas três etapas acima para

resolvê-la.

Ao termino dos três passos acima, dependendo do problema o professor

poderá incluir junto a formalização um novo conceito pertinente no momento, que

serão descritos no tópico aula por aula.

4.1.3.2.2 AVALIAÇÃO

O trabalho não revela detalhes quanto a avaliação em cada aula, porém

fica implícito que tal avaliação é dada de acordo com o envolvimento do aluno na

situação proposta, somado com a análise do material que retorna ao professor.

Entretanto, como já dito, é realizado ao fim do experimento um teste onde será

fundamentada a análise dos resultados.

4.1.3.2.3 MATERIAIS RELEVANTES

Ficha 1:

Quadro 1 – referente atividade 1 da síntese 1

Como você mediria a altura do ___________?

Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.

Ficha 2:

Quadro 2 – referente a atividade 2 da síntese 1

(continua)

Complete a tabela a seguir com dados obtido das medições dos modelos de

28


(continuação)

triângulo retângulos.

a

c

b

Grupo Medida dos lados a² b² c² b² + c² c/b

Triângulo a b c

1

2

3


Ficha 3:


Construir em papel quadriculado, utilizando régua e transferidos, um triângulo

retângulo com um ângulo agudo de 35ª e obter a razão c/b.

a c

35º

b


Ficha 4:


Determine a altura da árvore dado:

29

35° 1,7m 20m


Ficha 5:

Quadro 5 – referente a atividade 5 do da síntese 1

Completara a tabela a seguir com os valores das razões (cateto oposto de

“a”)/(cateto adjacente de “a”) chamada c/b.

a 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° 55° 60° 65° 70° 75° 80° 85°

c/b


Ficha 6:


Num certo instante, a sombra de uma vassoura mede 6,36m. A vassoura mede

1,12m. Qual é, neste instante, o ângulo ê de elevação do sol?

1,12m

ê 6,36m


30

Ficha 7:


Para medir a largura de um rio, sem atravessá-lo, um observador situado num ponto

A, distante 3m da margem, visa, perpendicularmente a sua margem, um ponto B na

margem oposta. De A, ele traça uma perpendicular à reta AB e marca sobre ela um

ponto C distante 30m de A. Em seguida, ele se desloca para C, visa os pontos A e

B e mede o ângulo ACB obtendo 40°. Qual é aproximadamente a largura do rio?

A 30m B

3m 40°

l

B


Ficha 8:


Qual a distância entre você (numa praia) e uma ilha ou navio?

Na figura, o ponto I representa uma ilha e o ponto F você deitado na praia. Com

trena e teodolito, um topografo pode calcular a distância entre você e a ilha.

Com o teodolito cocado em F, eles obtêm a

direção FA, formando 90° com FI. No ponto A,

cravam uma estaca na praia. A distância de F

até A é medida com a tren: 132m. Levando o

teodolito para o ponto A, medem o ângulo

formado pelas direções AF e AI: 85°. Com

esses dados, pode-se calcular a distância

entre você e o navio.

I

F

A 132m


31

Ficha 9:


Um telhado foi construído de tal modo que, para cada 1m na horizontal, sobe-se

0,4m na vertical. Pergunta-se:

a) Qual é o valor do tg î?

b) O ângulo de inclinação î é maior, menor ou igual a 20°? Maior, menor ou igual

a 25°?

c) Qual é, aproximadamente, o valor de î?

0,4m î 1m


Ficha 10:


Numa indústria, deseja-se construir uma rampa de comprimento c para vencer um

desnível de 2,3m. O ângulo de inclinação î da rampa deve ter, no máximo, 20°. Qual

deve ser o comprimento mínimo da rampa? (Atenção para este problema!)

c 2,3m

î


Ficha 11:


(continua)

Completar a tabela a seguir com os valores das razões indicadas, utilizando-se das

construções já efetuadas quando do trabalho com a ficha de atividade 5.

32


(continuação)

a c

Â

b

Â Tg Â c/a b/a

5° 0,09

10° 0,18

15° 0,27

20° 0,36

25° 0,47

30° 0,58

35° 0,70

40° 0,84

45° 1,00

50° 1,19

55° 1,43

60° 1,73

65° 2,14

70° 2,75

75° 3,73

80° 5,67

85° 11,43


Ficha 12:


Uma escada de 2,80m de comprimento está apoiada no alto de um muro, formando

com esse muro um ângulo de 60°. Qual é a altura do muro?


Ficha 13:


Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100m, seguindo uma

direção que forma um ângulo de 40° em relação a margem. Determinar a distância

pelo barco para atravessar o rio.


33

Ficha 14:


Uma pipa está presa a uma linha esticada que forma um ângulo de 45° em relação

ao solo. A linha tem 50m de comprimento. Determine em que altura se encontra a

pipa.


Ficha 15:


Do ponto mais auto de uma torre de retransmissão de TV, será esticado um cabo

de aço para sustentação da mesma. Sabendo-se que esse cabo será afixado a 15m

da base da torre e que faz um ângulo de 55° com o solo, determine o comprimento

do cabo.


Ficha 16:


Calcule as razões trigonométrica sen x, cos x e tg x, nos casos:

a) 20 12 x 16 b) 6 8 x


34

Ficha 17:


José Carlo mediu lados e ângulo do triângulo LUA. Depois, fez este cálculo:

cos 40° = 84/96 ≅ 0,87

Quando conferiu com a tabela percebeu que algo estava errado. Descubra o erro

que ele cometeu.

L 96mm 60° 61mm 40° 80° A U 84mm


Ficha 18:


Consulte a tabela trigonométrica e calcule o valor aproximado de x nos seguintes

casos:

a) d) 70° x 10cm 5,7cm 8cm x

b) e) 6cm X 3cm 65° 53mm x

c) x 25° 7cm


35

Ficha 19:


Determinar a área do triângulo: 3m 30° 6m


Ficha 20:


Sabendo que sen a=2/3, determine cos a e tg a.


Ficha 21:


Observe as figuras e determine:

a) SenB, cosB, senC e cos C B 13 B=? 5 C=? A 12 C

b) senH, cosH, senÎ, cosÎ H Î=? H=? 2 1 I √3 G

c) senE, cosE, senF, cosF D Ê=? F=? 6 8 F E 10


36

Ficha 22:


Considerando o triângulo: β a c α b Pede-se:

a) Em todo triângulo retângulo, qual é o valor de α+β? Por quê?

b) Quando que dois ângulos são chamados de complementares? Dê exemplos.

c) Determine sen α, cos α, sen β e cos β.

d) Observe os resultados acima e os da ficha de atividade 21, que conclusão

podemos tirar da relação entre ângulos complementares e razões

trigonométricas?

e) Escolha dois ângulos complementares e observe na tabela trigonométrica a

relação entre seno e cosseno desses ângulos?


Ficha 23:

Quadro 23: referente a atividade 23 da síntese 1

Determine cos Â, sabendo-se que sen C=0,3675. C A B


Ficha 24:


(continua)

Um professor “bolou” a seguinte questão “Dado sen α = 3/2, determine cos α e tg

α”. Não percebeu que havia cometido um engano (uma vez que professor não erra).

37


(continuação)

Durante a prova, um aluno percebeu e chamou a atenção do professor. Qual foi o

erro (digo, o engano) cometido pelo professor?


Ficha 25:


Classifique cada afirmação como verdadeiro ou falso:

a) Se um ângulo aumenta sua tangente também aumenta.

b) A tangente de 70° é o dobro da tangente de 35°.

c) A tangente de 60° é o triplo da tangente de 20°.

d) Se um ângulo dobra, sua tangente sempre dobra também.7

e) A tangente de um ângulo é diretamente proporcional ao ângulo


Ficha 26:


Classifique cada afirmação a seguir como verdadeiro ou falsa. a) Se um ângulo aumenta, seu cosseno aumenta. b) Se um ângulo aumenta, seu seno aumenta. c) Sen80°=2.sen40° d) Sen50°=cos40° e) Cos70°=cos30°+cos40°


Material concreto 1: Maquete (ver Fotografia 1).

Fotografia 1 – Maquete com escala não informada


38

Material Concreto 2: Dispositivo de tabela trigonométrica (ver Fotografia 2).

Fotografia 2 – Dispositivo de tabela trigonométrica dinâmica.


4.1.2.3.4 AULA POR AULA Segue nas próximas páginas, orientadas em modo paisagem, as tabelas referentes a cada aula.

39

Aula 1:

Quadro 27 – referente a aula 1 da síntese 1

(continua)

Tempo estimado Duas horas-aulas

Objetivos Rever os conceitos de semelhança de triângulos, triângulo Retângulo e Teorema de Pitágoras.

Materiais didáticos

Modelos de conjuntos de triângulos semelhantes em cartolina, fichas 1 e 2, material concreto 1:uma maquete

representando uma árvore uma bastão firmado ao solo (retirável) e suas respectivas sombras (também

retiráveis), em uma escala determinada, réguas com escalas, quadro e pincel.

Metodologia

1ª etapa

Os alunos serão divididos em 4 grupos, a cada grupo será entregue a ficha 1. No espaço à

preencher seria sugerido monumentos conhecidos pelos alunos, monumentos autos tendo, como

finalidade mostrar ao aluno a inacessibilidade de certas medidas. Logo, a ficha geraria uma

discursão em grupo e posteriormente com a sala toda.

2ª etapa Será realizado uma breve explanação por parte do professor sobre Tales (500 a.C.), e como ele

mediu a altura de uma pirâmide através da sombra.

3ª etapa

Será apresentado aos alunos a maquete. Em seguida será aberto uma discursão de como medir

a altura da árvore, depois de algumas ideias acrescentar-se-á o bastão e as sombras à maquete.

Conforme a discursão prossegue a situação será esquematizada na lousa, onde ao fim o

professor pretende formalizar de forma generalizada que a divisão entre dois lados de um

triângulo é igual a divisão dos dois lados correspondentes de um triângulo semelhante. E por

último a formalização será aplicada as medidas da maquete, que serão fornecidas pelos alunos

com auxílio de um régua com escalas, lembrando sempre a eles que a medida da árvore em

40


(continuação)

Metodologia

3ª etapa

teoria é inacessível. Após, será medido a altura da árvore, afim de confirmar os fatos. Em seguida

será explanado que Tales verificou que quando a medida da sombra do bastão é igual a altura

do bastão, a sombra da árvore equivale a sua altura.

4ª etapa

Será exposto aos aluno os modelos de triângulos, um aluno de cada grupo escolherá um triângulo

e terá de identificar seus semelhantes, em seguida expor a turma o porquê de sua escolha, logo

essa discursão se generalizará para toda turma. Ao fim da discursão será formalizado o conceito

de semelhança de triângulo.

5ª etapa

Ainda com os modelos de triângulo o professor mostrará um por um, questionando todos os

alunos se é ou não um triângulo retângulo. Após isso, outra discursão será colocada, fundada

nas perguntas: por que vocês consideram aqueles escolhidos como Triângulo Retângulo? Apôs

a discursão o professor irá formalizar o que é triângulo retângulo. Em seguida, relembrar junto

aos alunos os nomes dados aos seus lados.

6ª etapa

O professor questionará se os alunos conhecem o Teorema de Pitágoras, apôs as respostas esse

teorema será exposto no quadro. Em seguida será apresentado aos alunos a ficha 2, uma para

cada grupo, onde terão de escolher três triângulos retângulos dos modelos apresentados

anteriormente, tirar suas medidas com a régua e preencher a tabela da ficha. Apôs, os alunos

findarem a atividade, eles irão compartilhar suas respostas com o professor e este irá chamar a

atenção para a validação do teorema de Pitágoras e que para cada grupo de triângulos retângulos

semelhantes c/b é constante.

Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.

41

Aula 2:


Tempo estimado Uma hora-aula.

Objetivos

Perceber a constante entre a razão dos catetos (tangente) de triângulos retângulo com mesmos ângulos;

introduzir a ideia de cateto oposto e adjacente; aprender a trabalhar com régua, transferidor e papel

quadriculado.

Materiais didáticos Ficha 3, papel quadriculado, régua, transferidor, quadro e pincel.

Metodologia

1ª etapa

A sala será dividida em quatro grupos. Será dado a cada grupo uma ficha 3 acompanhada de

papel quadriculado, transferidor e régua. Esta primeira etapa será utilizada para explorar o

material fornecido, tirando dúvidas quanto ao uso.

2ª etapa

Já sabendo operar as ferramentas será requisitado que os alunos façam o que se pede na ficha.

Em seguida, os alunos terão de repetir a atividade com triângulos menores e maiores. Após os

alunos confirmarem a constante, o professor fará alguns questionamentos baseado nas três

perguntas que segue: e se o ângulo fosse 55° o resultado iria mudar? Para todo o caso em que

que o ângulo é 55° é o mesmo resultado também? Podemos generalizar esta situação? Por fim,

o professor fará a formalização do conceito na lousa através de um desenho generalizado,

dizendo que em todo triângulo retângulo com ângulo “x” teremos c/b constante, aproveitando o

desenho introduzirá o conceito de cateto oposto e adjacente.


42

Aula 3:



Objetivos Aplicar o conhecimento de “tangente”.

Materiais didáticos Ficha 4, quadro e piloto.

Metodologia

1ª etapa Neste momento teremos uma breve revisão da última aula.

2ª etapa

Os alunos serão divididos em quatro grupos. Os grupos receberão a ficha 4, e serão incumbido

de resolver o problema. Para finalizar o professor fará um breve discurso sobre medidas

inatingíveis e ferramentas para medir ângulos (teodolito e transferidor).


Aula 4:

Quadro 30 – referente a aula quatro da síntese 1

(continua)

Tempo estimado Duas horas-aula.

Objetivos Construir e conhecer uma tabela trigonométrica de tangente, utilizando-a em uma aplicação da mesma.

Materiais didáticos Fichas 5 e 6, régua, transferidor, papel quadriculado, quadro e pincel.

Metodologia 1ª etapa

Será dividida a turma em dez grupos, onde cada grupo receberá uma ficha 5, afim de preencher

a tabela. Sendo que os ângulos contidos na tabela serão divididos de tal forma que não falte nem

um, entretanto que possibilite a repetição de alguns e o mesmo número de ângulos pra cada

grupo (2). Ao final o professor irá completar uma mesma tabela na lousa com os resultados das

43

Quadro 30 – referente a aula quatro da síntese 1

(continuação)

Metodologia

1ª etapa equipes, e discutir a finalidade desta tabela. As fichas serão recolhidas e as construções

geométricas serão guardadas pelos alunos avisados de seu uso em uma próxima aula.

2ª etapa Os grupos receberão a ficha 6 e terão de resolver seu problema.

3ª etapa Será entregue aos grupos a ficha 7. O professor abrirá uma breve discursão sobre por que medir

a largura de um rio. Em seguida os alunos terão um tempo para resolver o problema.


Aula 5:


(continua)


Objetivos Definir o conceito de tangente e arco-tangente; aplicar tais conceitos em problemas; usar calculadora no

cálculo de tangente e arco-tangente.

Materiais didáticos Fichas 5 e 6, régua, transferidor, papel quadriculado, quadro e pincel.

Metodologia

1ª etapa Será realizado um apanhado sobre os problemas já vistos nas aulas anteriores, de tal forma que

ao discutir com os alunos o professor consiga leva-los a definição de tangente.

2ª etapa

Dividindo a turma em 4 grupos, será entregue a ficha 8, onde os alunos resolverão seu problema.

Aproveitando o problema o professor irá demonstrar como calcular tangente de um arco com a

calculadora.

44


(continuação)


Com posse da ficha 9, novamente as equipes terão de resolver um problema. Os alunos poderão

usar suas tabela trigonométrica (feita em aula anterior) e/ou calculadora. No processo de

resolução o docente realizará um discurso sobre aproximação e arredondamento e quando

formalizar, o pesquisador demonstrará como utilizar a função arctg na calculadora, obtendo um

resultado mais preciso.


Aula 6:


(continua)

Tempo estimado Duas horas-aulas.

Objetivos Verificar a existência de mais duas constantes em triângulos retângulos semelhantes (seno e cosseno);

Verificar as vantagens do uso das novas constantes em um problema.

Materiais didáticos Fichas 5, 10 e 11, régua, calculadora, construções gráficas de triângulos (construídos em aula anterior pelos

próprios alunos, quadro e pincel.


Dividir-se-á os alunos em quatro grupos. Será exposto pelo professor um breve comentário sobre

rampa, sua necessidade e a influência do ângulo de inclinação. Em seguida, cada grupo receberá

a ficha 10, serão sujeitos a resolver o problema, onde por hipótese sabe-se que muitos não irão

conseguir já outros utilizarão o conceito de tangente somado ao Teorema de Pitágoras. No

processo de compartilhamento e formalização o professor irá introduzir a dúvida: “Será que

45


(continuação)

Metodologia

1ª etapa somente a divisão dos catetos é uma constante?”

2ª etapa

Será entregue aos grupos a ficha 11 e devolvido a ficha 5 afim de auxiliar na atividade. Utilizando

as construções da Aula 4, os alunos com réguas iram novamente medir suas construções e

preencher a nova tabela. Logo os grupos compartilharam seus trabalhos, e o professor irá

completar sua tabela na lousa. Logo uma nova discursão será aberta a respeito de uma análise

da tabela, onde se concluirá a existência de mais duas razões constantes em triângulos

semelhantes, formalizada pelo pesquisador.

3ª etapa

A ficha 10 será retomada pelos grupos, querendo-se agora uma nova solução utilizando uma das

novas constantes descobertas. No compartilhamento e formalização o professor chamará

atenção ao processo de aproximação e o uso da calculadora.


Aula 7:


(continua)


Objetivos Formalizar o conceito de seno e cosseno assim como suas notações; Aplicar o conceito de seno e cosseno

em problemas.

Materiais didáticos Fichas 12, 13, 14 e 15; lousa e pincel.

46


(continuação)

Metodologia

1ª etapa

A turma será dividida em 4 equipes. Cada aluno receberá a ficha 12. Os alunos resolverão o

problema (Há duas soluções para o problema, uma utilizando “seno” e outra “cosseno”, o

professor em sua formalização irá colocar as duas).

2ª etapa

Ainda em equipe os alunos receberão a ficha 13 e serão incumbidos a resolver o problema (Há

duas soluções para o problema, uma utilizando “seno” e outra “cosseno”, o professor em sua

formalização irá colocar as duas).

3ª etapa O professor irá formalizar o conceito de seno e cosseno na lousa, até então tidos apenas como

constantes.

4ª etapa Será resolvido o problema da ficha 14. Entretanto, os alunos já podem usar a notação correta de

seno e cosseno. A discursão sobre aproximação e erro deve ser levada em conta mais uma vez.

5ª etapa Será resolvido o problema da ficha 15.


Aula 8:


(continua)


Objetivos Aplicar de forma descontextualizada as noções de seno, cosseno e tangente.

Materiais didáticos Ficha 16, quadro e pincel.

47


(continuação)

Metodologia

Os alunos serão divididos em 4 equipes, receberão a ficha 16 e serão incumbidos de resolver o problema.

Nota-se que o item “b” do problema apresenta duas resoluções válidas, uma utilizando o seno de x para

descobrir o valor do último lado do triângulo, e outra utilizado o Teorema de Pitágoras; as duas exploradas

pelo docente no processo de compartilhamento e formalização.


Aula 9:


Tempo estimado Duas horas- aulas

Objetivos

Refletir sobre a necessidade de triângulos retângulos no uso das razões trigonométricas e como obter tais

triângulos em uma situação com triângulo comum. Compreender a existência de situações em que o uso de

razões trigonométricas não é o processo mais eficaz.

Materiais didáticos Ficha 17, ficha 18, ficha 19, tabela trigonométrica (feita pelos alunos em aula anterior), quadro e pincel.

Metodologia

1ª etapa

A turma será dividia em 4 grupos, entregue a ficha 17, terão de resolver o problema. No processo

de compartilhamento e formalização, se não sugerido por um dos grupos, o professor poderá

requisitar o cálculo da altura do triângulo, dividindo o triângulo em dois triângulos retângulos, em

seguida calculando o verdadeiro cosseno de 40°.

2ª etapa Ainda em equipes, a turma irá resolver o problema da ficha 18. O professor deve dar atenção ao

item “e” onde o uso das razões trigonométricas não é indicado e sim o Teorema de Pitágoras.

3ª etapa Os grupos irão resolver o problema da ficha 19.


48

Aula 10:



Objetivos Investigar ângulos complementares e as características de suas razões trigonométricas.

Materiais didáticos Fichas 20, 21 e 22, tabela trigonométrica (feita pelos alunos em aula anterior), calculadora, quadro e pincel.

Metodologia

1ª etapa

Os alunos divididos em 4 grupos resolverão o problema da ficha 20. No processo de resolução o

docente irá estimular tanto a resolução através da tábua trigonométrica e/ou calculadora, quanto

a resolução através de uma construção geométrica.

2ª etapa Nos mesmos grupos será solicitado a resolução do problema da ficha 21.

3ª etapa

As equipes terão agora de resolver o problema da ficha 22. Ao final da resolução pretende-se

introduzir o conceito que o seno de um ângulo é igual o cosseno de seu complementar e vice-

versa, na formalização o pesquisador questionará o porquê.


Aula 11:


(continua)

Tempo estimado Duas aulas-horas

Objetivos Revisar o objetivo da aula anterior. Analisar a variação do seno, cosseno e tangente.

Materiais didáticos Fichas 23, 24, 25 e 26, material concreto 2, tabela trigonométrica, calculadora, quadro e pincel.

Metodologia 1ª etapa Os alunos, em equipes de quatro, resolverão o problema da ficha 23. Ao fim o professor irá

relembrar o conceito da aula anterior.

49


(continuação)

Metodologia

2ª etapa

Em suas equipes os alunos resolverão o problema da ficha 25. A resposta do problema vem

através da ausência do valor de seno na tabela, onde verificamos o seno de forma crescente; O

professor com auxílio da calculadora pode sugerir senos de arcos cada vez mais próximos de 90°

verificando que tenderá ao número 1. Através da construção de triângulo retângulo, também nota-

se essa impossibilidade pois teremos uma hipotenusa menor que o cateto o que tornaria o outro

cateto um valor negativo (usando o teorema de Pitágoras), algo a ser debatido também nos

processos de compartilhamento e formalização. E ao fim do problema, o professor concluirá a

ideia de que os valores de seno e cosseno serão sempre menores que 1 e maiores que 0.

3ª etapa

Os aluno, em seus grupo, resolverão o problema da ficha 25. Agora terão o auxílio do dispositivo

para medir razões trigonométricas confeccionado pelo professor e suas tabelas trigonométricas

para verificar a variação de tangente.

4ª etapa

Ainda com o auxílio do dispositivo e uso da tabela, os alunos resolverão o problema da ficha 26.

Ao fim, com o dispositivo o pesquisador mostrará o que acontece em um triângulo com hipotenusa

igual a 1.


50

4.1.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 4.1.4.1 ANÁLISE QUANTITATIVA Como já dito, o resultado foi apurado apenas com os alunos que

participaram de toda a experiência, o que totalizou 11 alunos no GE e 16 no GR.

Antes de iniciar, pela sua relevância, segue no quadro 38 a configuração

do pós-teste.

Quadro 38 – Configuração do pós-teste da síntese 1

(continua)

Nº d

a q

ue

stã

o

É c

on

textu

aliz

ada

?

Ap

resen

ta ilu

stra

çã

o?

Assunto

abordado Competência

01 Sim Sim Teorema de

Pitágoras

Aplicação direta do teorema de Pitágoras

tendo como incógnita a hipotenusa.

02 Não Sim Seno, Cosseno

e Tangente

Descobrir as razões trigonométricas de um

dos ângulos de um triângulo com os três lados

dados.

03 Não Sim Seno ou

Cosseno

Aplicação direta de seno ou cosseno para

descobrir o cateto adjacente de um ângulo.

04 Sim Sim Tangente Aplicação direta da tangente, tento um dos

catetos como incógnita

05 Não Não Seno, cosseno

e tangente

Sabendo-se uma das razões trigonométrica

descobrir as demais sem o uso da tabela.

06 Não Sim

Relação entre

seno e cosseno

de ângulos

complementares

Identificar que o cosseno de um ângulo é

igual ao seno de seu complemento.

07 Não Não

Variação das

razões

trigonométricas

Classificar uma razão trigonométrica como

maior, menor ou igual a uma mesma razão,

entretanto com outro arco.

51

Quadro 38 – Configuração do pós-teste da síntese 1

(continuação)

08 Não Não

Variação de

Seno e

Cosseno

Justificar porquê seno e cosseno de um

ângulo sempre são menores que 1.


Além das questões acima, existe a nona questão, que é uma pergunta um

tanto subjetiva: “O que você entendeu por Trigonometria?”. Essa pergunta será

analisada exclusivamente no tópico da análise qualitativa.

Resultados do pré-teste O pré-teste teve resultado de 0% e 2,27% de acertos em toda turma, no

GR e GE respectivamente. Isso só evidência o desconhecimento do assunto pelos

alunos de ambos os grupos. Sendo assim, este teste torna-se pouco relevante daqui

para frente e não será citado na análises que seguem.

Resultados do pós-teste

a) Resultado Geral:

Gráfico 1 – Resultado de acertos por questão corrigida do pós-teste da síntese 1

Fonte: extraído de LINDEGGER, 2000. Layout modificado.

GE GR

número de acertos/questõescorrigidas

69,32% 46,09%

69,32%

46,09%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

52

b) Resultado de acertos por questões:

Gráfico 2 – resulta de acertos por questões do pós-teste da síntese 1


c) Resultado de acertos por aluno

Gráfico 3 – resultado de acertos por aluno do pós-teste da síntese 1


GE GR

Questão 1 73% 44%

Questão 2 82% 81%

Questão 3 64% 75%

Questão 4 55% 56%

Questão 5 55% 31%

Questão 6 82% 25%

Questão 7 64% 19%

Questão 8 82% 38%

73%

44%

82% 81%

64%

75%

55% 56%55%

31%

82%

25%

64%

19%

82%

38%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

GE GR

Aluno Fraco (de 0 a 3 acertos) 18% 50%

Aluno Médio (de 4 a 6 acertos) 27% 25%

AlunoBom (de 7 a 8 acertos) 55% 25%

18%

50%

27%25%

55%

25%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

53

d) Resultado das questões por aluno

Legenda para as Tabelas: C – CERTO

E – ERRO

B – EM BRANCO OU NÃO SEI

E1 – Resolução ou resposta incompleta

E2 – Erro relativo as definições das razões trigonométricas (identificação dos catetos

e hipotenusa e relação com a razão trigonométrica apropriada, ou seja, as fórmulas)

E3 – Erro relativo as manipulações algébricas

E4 – Erro relativo quanto a decisão de qual razão trigonométrica utilizar

E5 – Erro relativo a competência quanto a aplicação do teorema de Pitágoras

E6 – Erro quanto o entendimento da variação das razões trigonométricas, pondo de

forma aleatória os sinais <, > e =

E7 - Erro quanto o entendimento da variação das razões trigonométricas, associada

diretamente ao ângulo independente da razão, ou seja, um maior ângulo terá razão

maior.

E8 – Erro quanto a limitação dos valores de seno e cosseno

Tabela 2 – acertos e erros de alunos do GE dados em cada questão do pós-teste da

síntese 1:

Sujeito Questão Rendimento

(%) 1 2 3 4 5 6 7 8

SE1 C C C C E1 C E6 B 65,5

SE2 C C C C E1 C C C 87,5

SE3 E5 C E4 E4 C C E6 C 50,0

SE4 E5 C E3 E2 B B E7 B 12,5

SE5 C C C E2 C C C C 87,5

SE6 C C C C C C C C 100


SE8 E5 E2 E2 E2 B B E6 C 12,5



SE11 C E2 E2 E2 E4 C C C 50 Fonte: extraído de LINDEGGER, 2000.

54

Tabela 3 – acertos e erros de alunos do GR dados em cada questão do pós-teste da síntese 1

Sujeito Questão Rendimento

(%) 1 2 3 4 5 6 7 8

SR1 C C C C C C C C 100

SR2 E5 C E2 E2 E2 E4 E7 C 25

SR3 E5 E4 C E2 E4 E4 E6 B 12,5

SR4 C C C C E3 B E7 E4 50

SR5 C C C C E5 E4 E7 C 65,5

SR6 E5 C E2 E2 E4 E4 E6 C 25

SR7 E5 C C C E4 E4 E6 B 37,5

SR8 E5 E4 C C E4 C E6 C 50

SR9 C C C C C C E7 E4 75

SR10 C C C C C B C C 87,5

SR11 E5 C C E2 E1 B C E1 37,5

SR12 B B E2 E2 B B E6 B 0

SR13 C C C C C C E7 E8 75

SR14 E5 C C E3 B E4 E7 E8 25

SR15 E5 C E2 E2 B E4 E7 E4 12,5

SR16 C C C C C E4 E7 B 62,5 Fonte: extraído de LINDEGGER, 2000.

Com os dados das tabelas acima podemos montar os seguinte gráfico:

Gráfico 4 – ocorrência de cada tipo de erro do pós-teste da síntese 1


GE GR

E1 7% 3%

E2 30% 16%

E3 4% 3%

E4 11% 25%

E5 11% 13%

E6 11% 7%

E7 4% 11%

E8 0 3%

B 22% 19%

7%3%

30%

16%

4% 3%

11%

25%

11%13%

11%7%

4%

11%

03%

22%19%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Ocorrência de cada tipo de erro

55

4.1.4.2 Análise Qualitativa Do resultado geral

Este primeiro resultado já mostra a eficácia da metodologia, com quase

25% a mais nos acertos, o GE mostra-se com um aproveitamento superior. O que já

obriga a uma investigação mais minuciosa para apurar os fatores. Logo, a introdução

de conceitos a partir de problemas já mostra-se aparentemente proveitosa.

Do resultado por questão

Pode-se dividir as questões do teste em três grupos: grupo 1 - questão de

avalição do conhecimento prévio (questão 1); grupo 2 - questões de aplicação direta

de fórmulas e algoritmos (questões 2, 3 e 4); grupo 3 - questões com exigência de um

conceito mais apurado (questões 5, 6, 7 e 8).

Com isso nota-se que O GE e GR se equiparão no grupo 2, tendo o GE até

mesmo um aproveitamento melhor em tais questões, entretanto o GE mostra-se com

um bom aproveitamento também. Tal fato é decorrido, devido à valorização de

algoritmos estimulado no GR, pois estas questões são comuns e provavelmente foram

repetidas muitas vezes nos exercícios de fixação. O que fortalece a afirmação é que

no grupo de questões 3 o GE se saiu muito superior, tendo o GR um aproveitamento

menor que 50% em todas as questões. Já no grupo 1 o GE saiu-se melhor também,

mostrando que em suas aulas o conhecimentos prévios exigidos tiveram valor e com

isso foram fixados.

Do resultado de acertos por aluno

Levando em consideração a média escolar de aprovação que é maior ou

igual 50%, observa-se que metade dos alunos do GR estariam reprovados

denunciando um evidente fracasso escolar. Enquanto que, apenas 18% dos alunos

do GE estariam reprovado (dois alunos) e 55% com o resultado de bom para

excelente, o que mostra o sucesso e relevância do método adotado.

56

Do resultado de questão por aluno

Analisando as questões, entende-se que um aluno com uma compreensão

completa dos conceitos principais ali envolvidos teria de acerta as seguintes questões:

2, 3 ou 4, 5, 6, 7 e 8. Dado esse critério o GE apresenta 5 alunos (45%) e o GR apenas

1 (6%). O que mostra que uma boa parte dos alunos do GE teve uma entendimento

quase que completo do assunto.

Estipula-se também outro critério, a questão 5 é vista como uma questão

desafiadora e que trabalha com a essência dos conceitos fundamentais, logo ela

também torna-se um parâmetro importante. No GE 55% dos alunos acertarão a

questão enquanto no GR foram 31%.

Nota-se que o maior tipo de erro obtido no GR foi o E4, entendendo-se o

ocorrido como evidência da falta de um conceito concreto. Já no GE temos como

maior ocorrência o E2, ou seja, para esses alunos faltou trabalhar com mais exercícios

de fixação.

Análise da pergunta subjetiva

Dez dos onze alunos do GE responderão a pergunta, onde nove deles

associaram trigonometria diretamente como um estudo dentro do triângulo retângulo,

e quatro, (contando com aquele que não citou triângulo retângulo em sua resposta)

associaram ao uso de razões entre lados de triângulos. Onde a resposta mais

genérica foi:

“Entendo que a trigonometria serve para os cálculos de triângulo retângulo” (Aluno

SE4)

E a resposta mais completa:

“É o estudo das razões entre os lados de triângulos retângulos semelhantes: seno,

cosseno e tangente” (Aluno SE2)

Nota-se que nem um aluno associou diretamente trigonometria como o

estudo de ângulos.

É destaque um aluno que associou sua resposta ao triângulo retângulo

mostrando a utilidade de medir distâncias inacessíveis.

Logo, conclui-se está bem claro para os alunos do GE que a trigonometria

foi fundamentada conceitualmente no triângulo retângulo.

57

No GR um aluno deixo em branco, três deram respostas não relacionas ou

sem sentido. Este grupo teve repostas muito variadas; três alunos relacionaram a

trigonometria como um estudo para encontrar medidas ou números desconhecidos, o

que mostra a força do fator algébrico dentro de sua aprendizagem; três relacionaram

ao estudo dos ângulos; três alunos citaram o triângulo retângulo; somente um citou

razões relacionadas a triângulo; um dos alunos respondeu que trigonometria é o

estudo dos triângulos; três alunos associaram de forma direta ao cálculo de seno,

cosseno e tangente; e assim por diante. Logo, compreende-se que por suas respostas

o GR mostrou-se tendencioso para processo algorítmico, onde o alunos viam

incógnitas, ângulos e triângulos.

Contudo baseado em Vigotsky, entende-se que o aluno sabe muito mais

do que ele pode expressar, fato que deve ser levado em conta, na interpretação do

resulta por parte do leitor.

4.1.5 CONSIDERAÇÕES

4.1.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO AOS RESULTADOS

A metodologia desenvolvida mostrou-se eficaz para o desenvolvimento de

um curso que coloca em ênfase o entendimento significativo dos conceitos

fundamentais da trigonometria, de forma que comparou-se os resultados com um

curso tradicional e obteve-se resultados superiores.

Acredita-se que um dos fatores mais importantes, para aumentar a

qualidade de ensino, encontra-se nas discursões em grupos que permitiu aos aluno

refletir, organizar e transmitir suas ideias para e com os demais. Outro ponto

contribuinte foi a abordagem do assunto em primeiro momento com uma linguagem

mais informal, para depois formalizá-la, esse processo de refinamento da linguagem

mostrou relevante. Começar o estudo pela função tangente também mostrou-se uma

boa estratégia, pois muitas situações significativas estão relacionadas com esta

função trigonométrica, conforme foram vistos nos problemas aplicados nas aulas.

Um aspecto interessante foi que com apenas 28 problemas aplicados ao

GE contra 78 aplicados ao GR (segundo registros do professor em questão) o primeiro

grupo se saiu-se com vantagem quanto ao desempenho. Logo a resolução de

58

problemas como ponto de partida torna-se mais significativo ao aluno de que como

exercício de fixação.

Compreende-se que a falta de rigor da linguagem na resolução, tanto

simbólica como natural, do pós-teste é fenômeno natural que irá ajustando-se com o

decorrer da vida estudantil do aluno.

4.1.5.2 CONSIDERAÇÕES FUTURAS

a) A introdução de tarefas para casa poderia tornar o trabalho mais contínuo e

sanar algumas dificuldades; logo caberia aqui uma investigação sobre este

recurso;

b) Fazer com que os alunos apropriem-se da linguagem formal foi uma tarefa que

não teve e espaço e análise, logo caberia aqui uma pesquisa de como acontece

essa apropriação e quais são os fatores influentes.

c) A análise do trabalho teve como base, praticamente somente o pós-teste,

entretanto, encontra-se disposto os dados referentes ao decorrer do curso, que

podem ser alvos de uma nova pesquisa.

d) A Resolução de Problemas, como ponto de partida, mostrou-se eficiente, logo

merece um estudo isolado sobre as colocações do professor e aluno nesse

processo.

4.2 SÍNTESE 2

Um sequência de ensino para a construção de uma tabela trigonométrica.

4.2.1 INTRODUÇÃO

Tema: A construção da tabela trigonométrica a partir de um embasamento histórico.

Problematização: O interesse do autor pelo o assunto em questão (trigonometria)

vem de uma pesquisa realizada pelo mesmo, que tem como amostra 652 alunos, de

escolas municipais, estaduais e particulares da cidade de São Paulo. Estes alunos

foram submetidos a uma única pergunta: Explique por que o cosseno de 30° é meio.

Apenas um aluno da amostra gera uma explicação satisfatória, em outro lado 530

59

alunos deixaram em branco ou responderão que não sabiam, 86 responderam coisas

como: “o professor falou”,” eu vi no livro” e etc; já o restante realmente tentou resolver,

entretanto sem muito sucesso. Essa pesquisa fez com que o autor refletisse se

realmente os conceitos básicos da trigonometria estão sendo desenvolvidos de forma

significativa no vida escolar, a pesquisa nos leva a acreditar que não.

Questões Norteadoras:

Questão principal: Como ensinar trigonometria no triângulo retângulo de maneira

significativa?

Questões secundárias: Quais fatores influenciam na aquisição de tal conhecimento?

Como distanciar a utilização da Trigonometria no Ensino Médio da mecanização?

Objetivos: Construir uma tabela trigonométrica, com base em levantamentos

históricos dos trabalhos de Ptolomeu e outros matemáticos da Grécia Antiga, para

investigar a apropriação do significado dos conceitos das razões trigonométricas:

seno, cosseno e tangente, no triângulo retângulo, por estudante do 1º ano do Ensino

Médio.


Vygotsky (1985)

Para Vygotsky (apud NASCIMENTO, 2005) o conhecimento é o produto

entre o indivíduo e o meio que é um ambiente histórico e social. Logo, dependendo

da situação, o conhecimento terá significado ou não. Recriando um ambiente histórico

e social, através de uma análise histórica da síntese do conhecimento, o docente

poderá resgatar o mesmo sentido que levou a criação do conhecimento em questão.

Entretanto, para esse processo torna-se mais eficaz o aluno precisará a partir das

necessidades impostas (o sentido da criação) criar o conhecimento adequado para

facilitar ou resolver a situação, ou seja, ele deve construir o saber, para entender a

fundo os processos envolvidos, e não apenas usar o conhecimento, no caso a tabela

trigonométrica.

Levando em conta este aspecto construtivista, coloca-se também a

importância de um trabalho não individual, em duplas ou grupos. Tais condições

favorecem quanto a reflexão e análise da veracidade dos argumentos, pois neste

momento o aluno terá de materializar suas ideias em palavras, argumentando e

colocando de forma que o outro entenda e aceite.

60

Ainda neste contexto, o diálogo professor e aluno se fortalece, entretanto

com uma relação diferente. O docente passa a ser um mediador, ou seja, passa a

questionar e estimular o aluno para ele construir suas hipótese, soluções e

argumentos. A linguagem é um dos estímulos mais importantes nessa interação,

porém não o único, o auxílio de materiais como astrolábio e teodolito, ou seja

ferramentas, podem promover situações estimuladoras.

Cabe aqui também colocar a teoria do conceito espontâneo, que é um

conceito mais intuitivo e particular, que será adquirido nas aulas através de

observações e experiências. Com os estímulos do professor este conceito ascendera

para um conceito científico, ou seja, mais formalizado e generalizado. Em contra

partida, depois de adquiro, o conceito científico poderá descender para casos mais

particulares. E é nesta ordem que se baseia a metodologia.

Vergnaud (1983)

Vergnaud (apud NASCIMENTO, 2005) teve grande influência de Vygotsky,

logo pensa da mesma forma construtivista. Ele diz que tudo está relacionado a

resolução de problemas. Logo aqui o principal caráter do problema não é mais a

aplicação e fixação do conhecimento e sim a construção de um novo.

Vergnaud acrescenta a teoria dos campos conceituais, onde um conceito

seria a soma de um conjunto de situações, invariantes (propriedades, objetos e

relações dentro da situação) e representações simbólicas (linguagem usada para

expressar a invariantes, ideia e procedimento). De tal forma que um problema ao ser

resolvido e entendido ao máximo implica em adquirir um grupo de conceitos ou campo

conceitual.

Um grupo de situações da sentido a um conceito, e um grupo de esquemas

da sentido a uma situação; esquema é a organização de comportamento para uma

dada situação. Chama-se “conceito-em-ação” os conhecimentos relativos a um

esquema. Cabe ao docente fazer com que um aluno adquira o máximo de esquemas,

de tal forma que estes esquemas funcionem como peças de quebra cabeças se

encaixando de forma diferentes ou com outros esquemas para conseguir raciocinar

em diversas situações. Logo neste caminho cabe ao professor também o papel de

medidor e provedor de tais situações. Conclui-se que este autor é utilizado no trabalho

com o objetivo de entender a situação construtivista.

61

Parzysz (2002)

Parzysz (apud NASCIMENTO, 2005) destaca quatro etapas no

desenvolvimento do pensamento Geométrico: O G0, onde os elementos geométricos

são visto por seus aspectos gerais, ou seja, é feita uma associação apenas visual da

figura; O G1, neste nível o indivíduo é capaz de identificar as propriedades de uma

figura entretanto sem poder explica-las; O G2, o indivíduo é capaz de explicar as

propriedades entretanto com base em premissas intuitivas; o G3, o indivíduo

consegue demonstrar a propriedade por completo e explicitar axiomas. Essas etapas

são relevantes, pois as atividades aqui planejadas darão a devida atenção ao

processo de desenvolvimento do pensamento Geométrico.

4.2.3 METODOLOGIA


Amostra da pesquisa: 14 alunos do 1º ano do ensino médio de uma escola da rede

pública Estadual na cidade de São Paulo. Os alunos tinham de 15 à 17 anos, de classe

média baixa. Um indivíduo desistiu ao decorrer do processo, e como as atividades são

predominantes em duplas, eliminou-se das análises finais o outro indivíduo que fazia

par com o primeiro. A partir de agora os alunos serão chamados por letra, sabendo

que os alunos terão duplas fixas até o fim do processo, chamar-se-á os alunos da

dupla 1 de indivíduo A e B e assim sucessivamente até a dupla 6 com os indivíduos

K e L.

Tempo do experimento: a experiência é dada em 8 encontros de 4 horas, totalizando

32 horas. Os encontros são realizados de forma contínua nos dias da semana,

iniciados no dia 30 de novembro.

Visão superficial do experimento: Será realizado um curso com o propósito de

atribuir significado para aluno em relação a seno, cosseno e tangente; com a

perspectiva de desapegar de um cálculo mecânico sem significado. E ao decorrer do

curso será construído a tabela trigonométrica, conforme os objetivos. O curso será

dado em 5 atividades, onde a atividade 5 terá um critério mais avaliativo.

Coleta de dados: Presença de um observador, que exclusivamente observará, que

anota os diálogos (quais os materiais utilizados, suas perguntas e dúvidas) das duplas

62

1 e 6 (escolhida de forma aleatória). Dois gravadores acompanhando as duplas 1 e 6,

e as fichas de atividade.

4.2.3.1 A METODOLOGIA DO EXPERIMENTO

4.2.3.1.1 PADRÃO DE METODOLOGIA DAS AULAS

As atividades são realizadas sempre em grupos, na maioria dos casos em

duplas. O pesquisador não relata de forma direta e específica a metodologia aplicada,

entretanto, através de seus relatos extraímos o seguinte padrão:

A metodologia é baseada na resolução de problemas, onde o docente deixa

livre sua resolução por parte dos alunos, contudo, o professor sempre fica interagindo

com os alunos dupla por dupla, ajudando a interpretar quando necessário,

questionando, apontando erros e hipóteses e etc., ou seja, fazendo um papel de

mediador na resolução. Sua participação pode ser mais acentuada e significativa

dependendo do problema e dificuldade do aluno em questão. Algumas vezes cabe ao

professor uma observação geral a todos.

Contudo, as aulas não serão apenas problemas, terão também leituras e

situações que serão dadas de forma simplesmente expositiva e dialogada, entretanto,

o educador sempre procura estabelecer um diálogo com os alunos através de

perguntas e explorando dúvidas, apesar dele ser o centro da conversa.


O método de avaliação do aluno em cada aula não foi relatado, entretanto,

pode-se concluir que é definido pelo preenchimento de suas fichas e o envolvimento

nas atividades.


63

Ficha 1:


Atividade 1: Comparando e investigando triângulos

Você receberá quatro triângulos. Observe e manipule para perceber

algumas regularidades (características presentes em todos). Escreva abaixo o que

descobrir.

Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.

Ficha 2:


Atividade 2: Semelhança de triângulos

2.1 Materiais necessários: régua, compasso, transferidor, esquadro, lápis e

borracha.

Sobreponha os quatro triângulos da atividade 1 do maior para o menor.

Nomearemos os quatro triângulos do maior para o menos de T1, T2, T3, T4.

Observe que nenhuma parte de T2 deve estar fora de T1, nenhuma parte de T3

deve estar fora de T2 e nenhuma parte de T4 deve estar fora de T3. Escolha um

dos ângulo do triângulo maior e ajuste todos os demais a este ângulo. Represente

a imagem obtida no papel.

Escolha outro ângulo e repita o procedimento.

Você pode obter ainda outra representação. Como ficará?


Ficha 3:

Quadro 41 – referente a leitura complementar para atividade 2 da síntese 2

(continua)

Leitura

Algumas situações não permitem calcular diretamente a distância entre dois

pontos ou a amplitude de um ângulo.

Imagine que seja necessário medir a altura do ponto mais elevado desta

escola. Ou mesmo medir a distância entre dois pontos, cada um em uma margem

do mesmo rio. Nestes dois casos você deverá pensar em outra maneira, pois a

régua não será possível.

64

Quadro 41 – referente a leitura complementar para atividade 2 da síntese 2

(continuação)

A

B

Os matemáticos da Antiguidade já se preocupavam com problemas deste

tipo, e ao procurar meios menos engenhosos para solucioná-los, descobriram

importantes relações entre as medidas dos ângulo e os lados de um triângulo. Estas

relações mais tarde ficaram conhecidas como Trigonometria. A Trigonometria é útil

para o estudo de qualquer polígono, pois qualquer um deles pode ser dividido em

triângulos.

Na atualidade encontram-se aplicações para a trigonometria nas

telecomunicações, na música, na determinação de distâncias entre estrelas, na

medicina, na física, na sociologia e em muitas outras áreas científicas. Como tal, o

seu estudo é indispensável para engenheiros, físicos, informáticos e praticamente

para todos os cientistas.


Ficha 4:

Quadro 42 – referente a continuação da atividade 2 da síntese 2

(continua)

2.2 Material necessário: régua, transferidor, esquadro, calculadora, lápis e borracha.

Construa um triângulo retângulo OGH de catetos OH e GH e ânguloHOG

qualquer. Considere três pontos B, D e F entre O e H e trace por B, D e F três

perpendiculares, encontrando a hipotenusa OG nos pontos A, C e E. Assim serão

determinados quatro triângulos sobrepostos.

Chamaremos T1, o triângulo AOB (de base OB; T2, o triângulo COD (de base

OD); T3, o triângulo EOF (de base OF); e T4,

o triângulo de GOH (de base OH). Essas notações são importantes para o próximo

procedimento.

Conforme as medições forem realizadas complete a tabela seguinte:

65


(continuação)

Lado do T1 Medida Lado do T2 Medida Lado do T3 Medida Lado do T4 Medida

AB CD EF GH

OB OD OF OH

OA OC OE OG

Razão Resultado Razão Resultado Razão Resultado Razão Resultado

AB/OA CD/OC EF/OE GH/OG

OB/OA OD/OC OF/OE OH/OG

AO/OB OC/OD OE/OF OG/OH

Você percebeu alguma similaridade com relação aos resultados obtidos

por meio das razões entre lados dos triângulos?

Vamos agora compartilhar os resultados que obtivemos. Cada aluno usou

ângulos diferentes na construção dos seus triângulos. Mas, será mesmo que seus

colegas puderam concluir o mesmo que você? Anote se sim ou se não e o porquê.


Ficha 5:

Quadro 43 – referente a continuação da atividade 2 da síntese

22.3

Dado um triângulo retângulo qualquer, o lado oposto ao ângulo reto é a

hipotenusa. Então escolhemos um dos outros dois ângulos. O lado oposto ao ângulo

escolhido será chamado cateto oposto e o lado vizinho (excluindo a hipotenusa)

será chamado de cateto adjacente.

Na ficha anterior, você percebeu que AB/AO=CD/OC=EF/OE=GH/OG (o

valor encontrado chamaremos de seno de α, é um valor associado ao ângulo agudo

α) e que OB/AO=OD/OC=OF/OE=OH/OG (o valor encontrado chamaremos de

cosseno de α, é um valor associado ao ângulo agudo α) e que

AB/OB=CD/OD=EF/OF=GH/OH (o valor encontrado chamaremos de tangente de

α, é um valor associado ao ângulo agudo α.

Em termos de cateto e hipotenusa, como podemos definir o seno, o cosseno e a

tangente de um ângulo de medida α?


66

Ficha 6:


2.4

Você dispõe dos mesmos materiais da atividade 2.2 Observe a figura abaixo

(o procedimento utilizado para a construção, foi o mesmo da atividade 2.2). Aqui

temos quatro triângulos sobrepostos a partir do ângulo de 47°. Determine a medida

dos três lados de cada triângulo, com o auxílio de uma régua quadrada.

G

E

C

A

47°

O B D F H

Chamaremos T1, o triângulo AOB; T2, o triângulo COD; T3, o triângulo EOF

e T4, o triângulo GOH. Conforme as medições forem realizadas, complete a tabela

seguinte:

Lado do

T1

Medida Lado do

T2

Medida Lado do

T3

Medida Lado do

T4

Medida

AB CD EF GH

OB OD OF OH

OA OC OE OG

Razão Resultado Razão Resultado Razão Resultado Razão Resultado

sen47° sen47° sen47° sen47°

cos47° cos47° cos47° cos47°

tg47° tg47° tg47° tg47°

Você percebeu alguma similaridade com relação aos resultados obtidos por

meio das razões entre os lados dos triângulos? Compare com os resultados obtidos

na atividade 2.2. O que podemos concluir?


67

Ficha 7:


(continua)

2.5

Nas atividades anteriores, exploramos triângulos com ângulos congruente e

lados proporcionais. Dizemos que triângulos que apresentam estas características

entre si são semelhantes. É por este motivo que por exemplo, o seno de 35° em

qualquer triângulo tem o mesmo valor. Isto permite construir uma tabela de senos,

o que evita fazer os mesmos cálculos todas as vezes que se fizer necessário obter

o seno de um determinado ângulo.

O conceito de homotetia nos ajudará na compreensão da semelhança de

triângulos:

Uma homeotetia de centro O e razão k é uma transformação do plano em si

mesmo que associa a cada ponto A, o ponto A’ tal que:

1. AO’=k.OA;

2. O, A e A’ são alinhados;

3. A’ pertence à semi-reta AO se k>0 e à semi-reta oposta a AO se k>0.

Com base no exposto, responda os exercícios abaixo:

a) Sobre uma reta AO, marque a partir de O, os pontos A’ e A’’, tais que

A’O=1/2AO e O é o ponto médio de AA’’.

b) Para k>1 temos uma ampliação. Construa um triângulo ABC e um ponto O

fora dele. Trace por O, semi-retas passando pelos vértices do triângulo.

Utilize uma razão k, tal que k>1. Construa o triângulo homotético A’B’C’.

c) Parra 0<k<1 temos uma redução. Experimente agora reduzir uma outra figura

geométrica de sua preferência pelo princípio acima.

d) Para k=1 temos uma identidade, ou seja, obtemos a mesma figura.

e) Para k<0 temos uma homotetia inversa. Agora será necessário utilizar retas

passando por O, pois a figura deverá aparecer do lado oposto. Mas se -1<k<0

teremos uma figura homotética reduzida inversa. Escolha um dos três casos

e faça sua representação gráfica.

f) Agora experimente construir dois triângulos homotéticos com k>1 em que o

centro da homotatia é um dos vértices dos triângulos.

68


(continuação)

O que há de parecido com os triângulos da atividade 2.4?

Verifique se os ângulos correspondentes dos dois triângulos são iguais. Veja

se os lados correspondentes dos dois triângulos são proporcionais e preservam

uma razão k. Registre suas conclusões:

Na homotetia, reduzimos, ampliamos ou mantemos a identidade da figura.

Em figuras poligonais homotética, os ângulos correspondentes são congruentes e

os lados correspondentes são proporcionais. No entanto, nossa construção

somente comprova que: AO/AO’=OB/OB’=1/k. Embora fazendo as medições vemos

que: OA/AO’=OB/OB’=BA/B’A’, será necessário obter uma comprovação deste fato.

Em sua última construção, trace por A, uma paralela ao segmento BB’,

marcando em B’A’, o ponto X.

Identifique a figura formada em BB’XA. Através da homotetia sabemos que:

OB/OB’=AO/AO’ (i). BB’A’A mostra que BA e B’X possuem a mesma medida (ii).

Conclua a demonstração.

Observe a figura da atividade 2.4 novamente. É possível dizer que aquela

construção determinou triângulos semelhantes? Utilize o que vimos a respeito de

homotetia para resolver.


Ficha 8:


(continua)

Atividade 3: Os instrumentos e a resolução de problemas.

3.1

Vamos agora construir um Teodolito rudimentar. Trata-se de um instrumento

muito utilizado na engenharia civil para medir ângulos.

Com o teodolito, é possível medir a altura de objetos perpendiculares ou

paralelos ao chão. Um poste por exemplo.

Material necessário: Um copo plástico (a) com tampa (b), xerox de um

transferidor alinhada e colada numa base quadrada de papelão (c), um pedaço de

arame fino com cerca de 15 cm de comprimento (d) e um pedaço com a mesma

69


(continuação)

medida de um tubo de alumínio de antena de TV (e).

Siga os passos a seguir:

1) A tampa do copo servirá de base para a rotação do teodolito e deverá ser

colada, de cabeça para baixo, de modo que seu centro coincida com o centro

do transferidor, o que dará mais precisão ao teodolito. Para encontrar o

centro da tampa, trace nela dois diâmetros. E faça um furo onde eles se

cruzarem. Tampas desse tipo geralmente trazem ranhuras na borda que

podem ajudar a encontrar o ponto certo. Use o arame fino como guia para

alinhar o centro da tampa com o centro do transferidor.

2) O arame fino será o ponteiro do teodolito que permitirá fazer a leitura em

graus no transferidor. Para instalá-lo, faça dois furos diametralmente opostos

na lateral do copo, próximo de sua boca (use o diâmetro marcado na tampa

como guia para fazer esses furos), e passe o arame pelos furos deixando-o

atravessado no copo.

3) O tubo de antena será a mira por onde você avistará os pontos a serem

medidos. Cole o tubo na base do copo, de forma que ele fique paralelo ao

ponteiro (arame fino). Para refinar essa mira, cole na extremidade do tubo

dois pedaços de linha formando uma cruz.

4) Finalize encaixando o copo na tampa. A versão caseira funciona como um

aparelho verdadeiro (conforme a figura). Com ele você mede, a partir da sua

posição, o ângulo formado entre dois outros pontos. Na horizontal ou vertical,

basta alinhar a indicação 0° do transferidor com um dos pontos e girar a mira

até avistar o outro ponto. O ponteiro indica de quantos graus é a variação.


70

Ficha 9:


3.2

Para poder navegar pelos oceanos, as embarcações precisam se localizar.

Os marinheiro da Antiguidade usavam um disco de metal chamado Astrolábio. Sua

invenção é atribuída ao matemático e astrônomo grego Hiparco, por volta do século

II a.C.

A desvantagem em relação ao Teodolito é que com o astrolábio somente é

possível medir ângulos verticais.

Materiais: transferidor de meia volta, tubo vazio de caneta esferográfica (ou

um canudo), 20cm de fio de linha, clipe e fita adesiva.

Procedimento:

1. Cole com fita adesiva o tubo da caneta (ou canudo) sobra a base do

transferidor;

2. No centro do transferidor, no grau zero, prenda verticalmente com fita

adesiva uma das extremidades do fio de linha e, na outra extremidade,

amarre o clipe.


71

Ficha 10:


3.3

Vamos voltar à questão da travessia do rio, mencionada na Atividade 2.2.

Mas, vamos explorá-la de forma mais no pátio da escola. Você vai precisar de uma

fita métrica ou de uma trena, do teodolito ou do astrolábio e dos seus materiais de

anotação.

B

A

O primeiro passo é desenhar no chão do pátio da escola duas margens

paralelas do suposto rio. Determine os pontos A e B, em margens opostas, como

na figura. Consiga um ponto C na mesma margem do ponto A, tal que o ângulo BCA

seja reto. Com o teodolito ou o astrolábio (decida qual desses instrumentos é mais

apropriado) meça o ângulo A. Com a fita métrica ou uma trena meça a distância AC.

Utilizando essas medidas, noções trigonométricas e semelhança de

triângulos, você poderá calcular a largura do rio. Quando concluir a atividade meça

a distância BC com a trena ou com a fita métrica e compare com o resultado anterior.

Relate essa experiência, descrevendo o procedimento, os dados obtidos, os

cálculos e resultado.


Ficha 11:


3.4

Vamos determinar a altura do prédio escolar, com os mesmos materiais da

atividade anterior. Perceba que sem os valores da tabela trigonométrica (obtidos por

meio de uma calculadora) os cálculos podem se tornar um pouco demorados.


72

Ficha 12:


3.5

É possível calcular o raio da terra usando a linha do horizonte, para isso

vamos considerar que um homem esteja sobre uma torre de altura h=703m. Com o

astrolábio, ele mede o ângulo α formado entre o solo, o ponto onde ele está é o

horizonte, encontrado α=89,15°. Como poderia calcular o raio da Terra?


Ficha 13:

Quadro 51 – referente a leitura complementar da atividade 4 da síntese 2

(continua)

Atividade 4 - A construção de uma tabela trigonométrica por Ptolomeu

Leitura:

Uma das questões que desafiam os matemáticos e astrônomos da

Antiguidade foi a determinação do tamanho do Sol e da Lua. Para chegar a estas

medidas, era necessário conhecer o tamanho da circunferência da Terra.

Veja um pouco dos feitos de quatro destes matemáticos:

Erastóstenes, (276-196 a.C.), natural de Cirene, mas viveu parte da juventude

em Atenas. – Foi nesta época que também se destacou outro matemático grego:

Arquimedes (287 – 212 a.C.), inventor da alavanca, da roldana, da catapulta, do

parafuso sem fim, das rodas dentadas, entre outros. – Erastóstenes foi um atleta

bastante popular, destacando-se em várias modalidades esportivas. Autor de vários

livro de Astronomia e Geometria, escreveu ainda poesias e textos de teatro. Fez

uma demonstração muito importante a partir da sombra projetada por uma coluna

em duas cidades que ele acreditava estar ao mesmo meridiano. Erastóstenes sabia

que no solstício de verão o Sol ficava completamente a pino Siena (pois esta cidade

está quase sobre o trópico de câncer) e uma vareta fincada verticalmente no solo

não fazia nenhuma sombra neste horário, fazendo com que o fundo de um poço

ficasse completamente iluminado. Aproveitando-se deste fato, Erastóstenes dirigiu-

se a cidade de Alexandria e, aproximadamente no mesmo horário em que o sol

ficava a pino em Siena, fincou verticalmente uma vareta ao chão. A seguir, mediu o

73


(continuação/continua)

ângulo formado pela ponta da vareta com a extremidade da sombra (encontrando

1/50 do círculo) e o segmento formado pela sombra. Veja o esquema abaixo:

Naquele tempo, uma unidade comum para medir distâncias grandes era o

estádio. O estádio era o comprimento da pista de corrida utilizada nos jogos

olímpicos da antiguidade (de 776 a 394 a.C.) e era equivalente 1/10 de milha, ou

seja, aproximadamente 161m. Erastóstenes sabia que a distância entre Alexandria

e Siena era de 5000 estádios.

Exercício: Com base nestas informações, calcule o raio da Terra. Compare

com os resultados obtidos na atividade 3.5. Compartilhe suas conclusões sobre o

método de Erastóstenes com seus colegas.

Aristarco de Samos, (320-250 a.C.), natural de Samos, na Grécia. Propôs o

modelo heliocêntrico do Universo, que afirma que a Terra e todos os planetas

giravam em torno do Sol, algo muito ousado para sua época. Calculou também as

distâncias Terra-Sol e Terra-Lua. Aristarco deduziu a partir do tamanho da sombra

da Terra sobre a Lua (durante o eclipse lunar), que o Sol tinha que ser muito maior

que a terra e que a terra é que deveria estar a uma distância muito grande. Pelo fato

do Sol estar muito longe ele longe ele ilumina a Lua praticamente com feixes de

retas paralelas.

74


(continuação)

Hiparco de Nicéia, (180-125 a.C.), mais um matemático grego.

Provavelmente foi fortemente influenciado pela Matemática babilônica. Construiu

uma tabela de cordas que equivale a tabela de senos. Calculou a distância Terra-

Lua por meio de contagem de tempo e observações de um eclipse lunar. Trabalhou

principalmente com semelhança de triângulos.

Cláudio Ptolomeu, (85-151 d.C.), natural de Alexandria. Escreveu o

Almagesto, que permaneceu por 14 séculos como a obra de astronomia mais

importante. No Almagesto encontramos uma tabela trigonométrica bem mais

completa que a de Hiparco, onde são fornecidas as medidas das cordas de

circunferência, para ângulos que variam de meio em meio grau, entre 0° e 180°.

Para determinar essas medidas, Ptolomeu utilizou a base sexagesimal, o

mesmo que fez Hiparco. Em todos os seus cálculos, ele usou uma circunferência

com raio de 60 unidades.


Ficha 14:


4.1

Vamos seguir os passos de Ptolomeu a fim de construir a tabela

trigonométrica, partindo do ângulo de 45°.

(Materiais: compasso, transferidor, régua)

Desenhe um quadrado inscrito numa circunferência. Trace suas diagonais.

Vamos trabalhar com um dos triângulos formados. Chamaremos a

hipotenusa de L4 (L4 significa lado de um polígono regular de 4 lados).

Determine L4.

Seja α um dos ângulos não retos. Como vimos anteriormente, o seno de um

ângulo α é a razão entre a medida do cateto oposto a este ângulo e a medida

da hipotenusa. Determine o seno α.

Calcule também o cos α e tg α.


75

Ficha 15:


4.2

Por meio de um hexágono regular determinaremos as razões trigonométricas

para um ângulo de 30° e 60°.

Desenhe um hexágono regular inscrito numa circunferência. Trace as

diagonais do hexágono que passa pelo centro da circunferência.

Na figura anterior, escolha um dos triângulos. Como podemos classifica-lo

quanto aos lados? Quanto mede cada ângulo?

Trace a altura do triângulo escolhido. Quanto mede cada novo ângulo?

Determine a altura do triângulo escolhido.

Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos: 30° e 60°.


Ficha 16:


(continua)

4.3

Vamos agora determinar o seno de um ângulo de 18°.

Desenhe o decágono regular inscrito numa circunferência. Trace as

diagonais que passam pelo centro da circunferência.

Tomemos um dos triângulos formados, será chamado OA1A10. O lado do

decágono será indicado por L10. Como podemos classificar A1A10 quanto

aos lados? Quanto medem os ângulos OA10A1 e OA1A10?

Traçamos a bissetriz do ângulo A1A10O, determinaremos o ponto C sobre

OA1. Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo A1CA10?

Quanto aos lados, como podemos classificar A1CA10? Sem medir determine

o comprimento do segmento CA1.

E o triângulo OA10C é isósceles ou equilátero? Quanto mede OC?

Como seria possível exprimir CA1 em função de L10 e do raio da

circunferência?

Compare os triângulos OA1A10 e A1CA10. São semelhantes? Qual seria a

causa imediata de sua conclusão?

76


(continuação)

Aproveite-se destas característica e escolha dois segmentos de cada

triângulo que sejam correspondente e encontre a medida de L10.

Trace a bissetriz do ângulo em o. Determine M (ponto médio de A1A10).

Assim estará determinando dois triângulos OA1M e OMA10. São triângulos

retângulos? Comprove.

Como fazer para calcular o seno do ângulo de 18°? Mostre.


Ficha 17:


(continua)

4.4

“A soma dos produtos das medidas dos lados opostos de um quadrilátero

inscritível é igual ao produto das medidas das diagonais”

AB.CD+BC.AD=AC.BD

Este Teorema ficou conhecido como o Teorema de Ptolomeu, que possibilitou

a obtenção das fórmulas trigonométricas.

Construa um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência e teste o

Teorema de Ptolomeu. Veja se realmente AB.CD+BC.AD=AC.BD. Compare com os

resultados de seus colegas.

Vamos provar que o teorema de Ptolomeu é válido para qualquer quadrilátero

ABCD inscrito numa circunferência. Acompanhe a demonstração.

Desenhe um quadrilátero ABCD, inscrito numa circunferência;

Construir o ponto E sobre a diagonal AC, tal que o ângulo ABE seja igual ao

ângulo DBC;

Veja que os triângulos BCE e BDA são semelhantes pois os ângulos CBD e

ABD são iguais por construção e além disso os ângulos BCA e BDA são

iguais pois subtendem o mesmo arco. Portanto, BC/CE=BD/AD e então

BC.AD=CE.BD*;

Note que os triângulos BAE e BDC também são semelhantes pois os ângulos

ABE e DBC são iguais por construção e observe que os ângulos BAC e BDC

77


(continuação)

são iguais pois subtendem o mesmo arco. Assim, AB/BD=AE/DC e então

AB.CD=AE.BD**;

Adicionando *e** membro a membro encontramos:

BC.AD+AB.CD=CE.BD+AE.BD

Note que AC=AE+CE e conclua a demonstração.


Ficha 18:


4.5

Vamos aplicar o Teorema de Ptolomeu num quadrilátero inscrito numa

semicircunferência para encontramos a fórmula do seno da subtração de arcos

conhecidos. As diagonais deste quadrilátero determinam a triângulos retângulos.

Exprima os lados AB, BC, e CD e as diagonais AC e BD em função do seno

ou do cosseno dos ângulos a e b. Observe que o lado AD=2r. Para tanto,

determine seno de a, de b, e de a-b, e o cosseno de a e de b.

Substitua as relações encontradas em: AB.CD+BC.AD=AC.BD, para transpor

a notação de Ptolomeu para a que utilizamos hoje. Você deverá encontrar

sen (a-b) = sen a . cos b – sen b . cos a.


78

Ficha 19:


4.6

De quais ângulos já conhecemos o seno? Por meio deles quais outros

podemos determinar? Mostre.


Ficha 20:


(continua)

4.7

Ptolomeu mostrou como dada a corda de um arco, podemos achar a corda

de seu arco metade. Sem esta demonstração, a tabela trigonométrica de Ptolomeu

teria ficado incompleta.

Vamos agora descobrir que fundamentos este matemático usou.

Desenhe um quadrilátero ABCD inscrito numa semicircunferência. AD é o

diâmetro e r é o raio. Traçar as diagonais. BD é a corda dada;

Seja C o ponto médio do arco BD. Traçar a perpendicular de C sobre AD

obtendo o ponto F;

Vamos mostra que FD é projeção de CD sobre AD e é igual a 1/2(AC-AB).

Marque AE=AB;

Note que BAC e EAC são congruentes pois os ângulos em A são iguais (C

bissecta o arco BD). Portanto CE=CB, mas BC=CD. Logo CE=CD. Conclui-

se que o triângulo EDC é isósceles;

Assim CF é a altura e mediana do triângulo EDC, de maneira que EF=FD;

Veja que FD=1/2(AD-AE)=1/2(AD-AB). Isto demonstra o resultado desejado;

Para mostrar que DC pode ser achado; aplicamos ao triângulo ACD um

teorema conhecido por Ptolomeu que diz: “Um lado do triângulo retângulo é

a média proporcional entre sua projeção sobre a hipotenusa e toda a

hipotenusa “. Este teorema nos leva a DC²=AD.FD;

Já é conhecido FD e como AD=2r, verifique que: DC²=r(2r-AB).

Numa circunferência inscreva um quadrilátero qualquer. Escolha um dos seus

ângulos e observe a corda do arco determinado por ele. Calcule a corda do seu arco

79


(continuação)

metade utilizando o que vimos acima. Depois meça com a régua o arco DC e

compare com o que obteve por meio da fórmula do arco metade. Compartilhe seus

resultados com seus colegas.

Vamos agora transpor a notação: DC²=r.(2r-AB) para a atual. Exprima DC em

função do seno de β/2 e AB em função do cosseno de β.

Substitua DC e AJB em DC²=r(2r-AB) para encontrar:𝑠𝑒𝑛 𝛽

2= √

1−cos 𝛽

2

, depois volte para a nossa tabela e complete o maior número de lacunas que puder.


Ficha 21:


4.8

Ptolomeu determinou o valor da corda de 1°. A partir desta corda, foi possível

determinar todas as outras que estavam faltando em uma tábua de 1° em 1°.

Seguimos o seu raciocínio para determinar o seno de 1°:

Mostre como podemos chegar no seno de 1,5° e no seno de 0,75°.


Ficha 22:


(continua)

4.9

Perceba que (sem 1,5°)/2=sen0,75°.

Dessa forma, é possível supor que sem 1°=sen1,5°.2/3.

Ptolomeu percebeu que o valor do sem 0,75° correspondia a metade do

sen1,5°, e observou que 0,75 é metade de 1,5. Então supôs que sem 1° era 2/3 do

valor do sem 1,5° já que 1 é o mesmo que 2/3 de 1,5.

Com um raciocínio análogo, Ptolomeu mostrou geometricamente como

encontrar o valor da corda de 1°, completando assim a sua Tábua de cordas, de ½°

em ½°. Mas, ele não ficou satisfeito com suposições. Então, prosseguiu em seus

estudos para não deixar dúvidas e garantir a exatidão de pelo menos duas casa

80



decimais. Para fazer isso demonstrou o Teorema que Arquimedes utilizou na sua

obra sobre os tamanhos e distâncias do Sol e da Lua. O teorema é o segunte:

Se nos forem dadas duas cordas diferentes, com a corda α maior do que a

corda β então: crd α/crd β< α/β.

Vamos considerar somente arcos menores que 180°.

Veja os dois arcos a e b são determinados pelas cordas AB e BC, onde

AB<BC. Desejamos demonstrar que BC/AC<arcoBC/arcoAB.

Em primeiro lugar, dividimos ao meio o ângulo em B, e prolongamos a

bissetriz BE (com E sobre AC) até que ela encontre o círculo em D. Temos então

AD=DC pois são subtendidos por ângulo iguais (traçamos a bissetriz do ângulo

ABC).

Traçamos por C uma paralela a BE. Prolongamos o segmento AB,

determinando na paralela, o ponto C’.

BE e CC’ são segmentos paralelos por construção, cortados pela transversal

BC. Aplicando o Teorema de Tales, obtemos:

81



𝐴𝐵

𝐴𝐶′=

𝐴𝐸

𝐴𝐶⇒

𝐴𝐵

𝐵𝐶 + 𝐵𝐶′=

𝐴𝐸

𝐴𝐸 + 𝐸𝐶⇒ 1 +

𝐴𝐵

𝐵𝐶′= 1 +

𝐴𝐸

𝐸𝐶⇒

𝐴𝐸

𝐸𝐶=

𝐴𝐵

𝐵𝐶(𝑖)

, que usaremos mais tarde.

O que necessitamos mostrar agora é que AE<EC, e isso segue-se de AB<EC.

De D baixamos a perpendicular DF sobre AC; F é o ponto médio de AC, pois

triângulo ACD é isósceles. Temos agora AD>ED>FD, de maneira que um círculo de

centro D e raio ED cortará AD entre A e D e G e DF (prolongado além de F) em H.

Vemos por tanto ao considerar os dois setores circulares rachurados, que:

Setor DEH>triângulo DEF e setor DEG<triângulo DEA.

𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚,𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐷𝐸𝐹

𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐷𝐸𝐴<

𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐷𝐸𝐻

𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐷𝐸𝐺 (𝑖𝑖)

Veja que os dois triângulos têm a altura DF comum, de maneira que a razão

de suas áreas é igual a razão de suas bases ((AE.FD/2)/(AF.FD/2)=AE/EF). O lado

esquerdo de (ii) pode ser substituído por EF/EA. Além disso, as áreas dos setores

de um círculo têm mesma razão que os ângulos centrais correspondentes

(𝜋𝑟2.𝛼

360°:

𝜋𝑟2.𝛽

360°=

𝛼

𝛽), de maneira que o lado direito de (ii) pode ser substituído por:

ângulo EDH/ângulo EDG.

Temos assim 𝐸𝐹

𝐸𝐴<

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐻

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐺.

Mas se adicionarmos 1 a cada membro da desigualdade segue que:

𝐸𝐹 + 𝐸𝐴

𝐸𝐴<

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐻 + â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐺

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐺 𝑜𝑢

𝐴𝐹

𝐸𝐴<

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐺𝐷𝐻

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐷𝐺

𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 2𝐴𝐹

𝐸𝐴<

2. â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐺𝐷𝐻

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐷𝐺 𝑜𝑢

𝐴𝐶

𝐸𝐴<

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐴𝐷𝐶


Subtraindo 1 de ambos os lados desta desigualdade obtemos:

𝐴𝐶 − 𝐸𝐴

𝐸𝐴<

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐴𝐷𝐶 − â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐺

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐺 𝑜𝑢

𝐸𝐶

𝐸𝐴<

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐶𝐷𝐸


Observe que um ângulo em um círculo é metade do arco que ele subentende.

82


(continuação)

Considere a+b=α. Vemos na figura que x+(180°-2ª)+(180°-2b)=360°.

Portanto: x=2(a+b)⇒ x=2.α⇒ α=x/2.

Usando (i) e o fato acima, podemos escrever 𝐵𝐶

𝐴𝐵=

𝑎𝑟𝑐𝑜𝐵𝐶

𝑎𝑟𝑐𝑜𝐵𝐴 e a prova está

completa.

Mas podemos escrever esta relação na forma: 𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝛼

𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝛽=

𝑎𝑟𝑐𝑜𝛼

𝑎𝑟𝑐𝑜𝛽, lembrando que

α>β.

Vamos então, transpor a linguagem usada por Ptolomeu para a atual através

de uma relação simples entre a corda que corresponde a um arco de α graus e o

seno do ângulo: crd α=2r.senα/2. Na figura considere a=α.

Basta multiplicar por 2 os dois lados da igualdade r.sen a/2=crd a/2 para

verificar que crd α=2r.sen α/2.

Utiliza crd α=2r.sen α/2 e mostre que crd α/crd β <α/β pode ser escrito em

função de seno de α e de β.

Ptolomeu aplicou este teorema a dois casos:

1. α=1,5°, β=1°

2. α=1°, β=0,75°

Vejamos o primeiro caso: α=1,5°, β=1°. Quanto vale o seno de 1°?

E para o segundo caso: α=1°, β=0,75°, quanto vale o seno de 1°?

É possível que o seno de 1° seja ao mesmo tempo maior e menor ao valor

encontrado? O que é possível concluir a partir desses resultados?


83

Ficha 23:


4.10

Para finalizar a construção da tabela, vamos utilizar uma importante relação

trigonométrica: sen²α+cos²α=1

O texto a seguir ajudará nesta demonstração.

“Quando a hipotenusa é igual a 1, o seno e o cosseno estão definidos

respectivamente como o lado oposto e o lado adjacente, do ângulo α”

Conclua a demonstração.


Ficha 24:


4.11

Chegamos agora a parte final, que é a construção propriamente dita de uma

tabela de senos, cossenos e tangentes de 0° a 90°. Utilize o que vimos até aqui

para completar a tabela abaixo.

ângulo seno cosseno tangente

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

8°

...

90°


84

Ficha 25:


Atividade 5: Situação de reinvestimento

1) Explique por que sem 30° é igual a ½.

2) Qual a medida do lado de um polígono regular de 20 lado, inscrito numa

circunferência de raio igual a 2? (dado: sen9°=0,1564).

3) Observe o triângulo abaixo:

5cm

4cm

a

3cm

Descreva um método (incluindo os cálculos e instrumentos necessários) para

que se possa determinar a medida do ângulo a, mas não use o transferidor.


5.2.3.1.4 AULA POR AULA Segue nas próximas páginas, orientadas em modo paisagem, as tabelas

referentes a cada aula.

85

Aula 1:


(continua)

Tempo estimado 4 horas

Objetivos Introduzir os conceitos de seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo; compreender a importância da

semelhança de triângulos nesse estudo.

Materiais didáticos Ficha 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; compasso, régua, esquadro, pincel e quadro branco.

Metodologia

1ª etapa

(20min) Introdução ao curso: visão geral e apresentações.

1ª Etapa

(20 min)

As duplas terão em mãos a ficha 1. Em um primeiro momento terão de resolvê-la sem o uso de

instrumentos, em um segundo momento será dado compasso, régua, calculadora e esquadro. Ao

término o professor dará sugestões sobre algumas propriedades do triângulo.

2ª etapa

(30 min) A ficha 2 será entregue as duplas, e será requisitado sua resolução.

3ª etapa A ficha 3 será entregue e realizar-se-á a leitura, e uma breve explanação sobre a importância da

trigonometria. (O tempo desta etapa, por ser pequeno, não foi contabilizado)

4ª etapa

(30 min)

Para exemplificar, o docente construirá um triângulo retângulo na lousa com auxílio de um

transferidor. Em seguida as duplas resolverão a ficha 4.

5ª etapa

(20 min)

As duplas farão o que se pede na ficha 5. Em seguida será realizada a institucionalização local

dos conceitos de seno, cosseno e tangente.

86


(continuação)

Metodologia

6ª etapa

(50 min)

A ficha 6 será resolvida pelas duplas. O professor auxiliará os aluno para compararem as tabelas

dessa ficha, com as da ficha 4, afim de que percebam que as razões trigonométricas dependem

do ângulo.

7ª etapa

(70 min)

Com posse da ficha 7, será explicado aos alunos o texto inicial da ficha referente a homotetia de

forma expositiva e dialogada. Em seguida, os alunos terão de fazer o que se pede induzindo-o a

compreender e provar que na atividade da ficha 6 e 4 temos triângulos semelhantes.

Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.

Aula 2:


(continua)


Objetivos

Construir e manusear um astrolábio e um teodolito; compreender a importância de tais ferramentas através

da aplicação em problemas contextualizados; identificar a necessidade de uma tabela na resolução de certos

problemas.


Tesoura, cola, papel cartão, copo com tampa, arame, cópia de um transferidor, fita adesiva transparente,

transferidor, canudo, etiquetas, fita métrica, gizes coloridos de tonalidade intensa, calculadora, quadro, pincel

e as fichas 8, 9, 10, 11 e 12.

87


(continuação)

Metodologia

1ª etapa

(90 min)

Os alunos serão disposto em quartetos. Estregado a ficha 8 e 9 aos alunos, eles farão o que se

pede, ou seja, construir o astrolábio e o teodolito. Afim de dominar o manuseio com o instrumento

pedir-se-á aos alunos que meçam ângulos dentro da sala e posteriormente no pátio da escola.

2ª Etapa

(40 min)

Os quartetos receberam a ficha 10, e irão para o pátio para realizar a atividade conforme relatado

na ficha.

3ª etapa

(50 min)

Ainda no pátio os alunos receberão a ficha 11 e farão o que se pede. Ao final do problema o

professor irá explicar a diferença dos resultados como erros de aproximação ou devido as

ferramentas serem caseiras sem muita precisão.

4ª etapa

(60 min)

Voltando à sala, os quartetos receberão a ficha 12 e farão o que se pede. Entretanto, em certo

ponto, quando os alunos estiverem tentando descobrir o seno de 85,15° desenhando um triângulo

retângulo semelhante, o docente interromperá, e colocará o discurso de como é incomodo ter que

desenhar este outro triângulo toda vez resolvendo os problemas análogos. Logo será sugerido a

importância da tabela. Assim os alunos poderão optar agora pelo uso da calculadora para

terminar o problema.


88

Aula 3:


(continua)


Objetivos Refletir e compreender sobre a função da trigonometria e importância da construção de uma tabela para

auxiliar o estudo; começar a construir uma tabela através de demonstrações generalizadas.

Materiais didáticos Quadro, pincel e fichas 13, 14 e 15.

Metodologia

1ª etapa

(120 min)

A aula iniciar-se-á com a leitura da ficha 13. Em seguida, o docente explica ideias de pensadores

famosos para calcular medidas astrônomas, também falar-se-á sobre eclipse e duração de um

eclipse. Logo os alunos começarão a participar da conversa e expor dúvidas, sanadas ao decorrer

do diálogo. No meio do diálogo, será pedido aos alunos para encontrarem o raio da terra segundo

o esquema de Eratóstenes disposto na ficha (exercício dentro da ficha de leitura).

2ª Etapa

(60 min)

Os alunos dispostos em duplas passarão a trabalhar com a ficha 14. O professor criará um diálogo

em cima da diferença entre desenhar um esquema: é a representação simbólica do real, podendo

até mesmo ser de forma generalizada, onde suas medidas não são o que se diz ser ou

proporcionais as reais, usa-se a “imaginação”; e construir uma figura: é fazer um desenho capaz

de informar suas características de forma real, ou seja, se eu digo que ali tem 4 cm, lá realmente

terá 4 cm, ou podendo a construção ser proporcional ao real através da utilização de escalas (ou

seja, o processo de construção é mais rígido que o de desenhar). A ficha 24 será entregue para

que os alunos anotem seus resultados de seno, cosseno e tangente na tabela a partir de agora,

(os resultados devem apresentar quatro dígitos depois da vírgula).

89


(continuação)


(60 min)

As duplas trabalharão com a ficha 15.


Aula 4:



Objetivos Continuar as demonstrações das razões trigonométricas afim de construir a tabela; Validar o Teorema de

Ptolomeu, na indicativa de que este servirá como ferramenta na construção da tabela.

Materiais didáticos Quadro, pincel, régua, transferidor, compasso e fichas 16 e 17.

Metodologia

1ª etapa

(120 min) Os alunos em duplas farão a atividade da ficha 16.

2ª Etapa

(120 min) Agora as duplas passarão a trabalhar na demonstração da ficha 17.


Aula 5:


(continua)


90


(continuação)

Objetivos Obter através do teorema de Ptolomeu duas formulas relevantes a construção da tabela trigonométrica (seno

da diferença e seno do arco metade); Através das novas fórmulas descobrir senos de novos arcos

Materiais didáticos Quadro, Pincel, régua, transferidor, compasso e fichas 18, 19 e 20.

Metodologia

1ª etapa

(90 min)

Será esboçado no quadro o princípio da construção da figura da ficha 18, afim de que os alunos

interpretem melhor a questão. Posteriormente os alunos em dupla terão de resolver a ficha 18.

2ª Etapa

(30 min) As duplas terão de fazer o que se pede na ficha 19.

3ª etapa

(120 min) Agora os alunos farão o que se pede na ficha 20.


Aula 6:


(continua)


Objetivos Definir o seno de 1°, afim de, através desse definir senos de todos os arcos da tabela que deseja-se montar.

Materiais didáticos Quadro, pincel e fichas 21 e 22.


(40 min) Os aluno serão dispostos em duplas e passarão a fazer o que se pede na ficha 21.

91


(continuação)

Metodologia 2ª Etapa

(200 min)

Com a ficha 22 os alunos acompanharão a demonstração do professor no quadro, de forma

expositiva e dialogada.


Aula 7:



Objetivos

Demonstrar a 1ª lei fundamental da trigonometria afim de extrair o cosseno de um arco sabendo seu seno,

ou vice-versa. Completar a tabela trigonométrica; realizar um retrospectiva geral do curso afim de conceber

uma visão ampla da importância do estudo e dos esforços realizados até aqui.

Materiais didáticos Quadro, Pincel e todas as fichas.

Metodologia

1ª etapa

(40 min) As duplas trabalharão na demonstração referente a ficha 23.

2ª Etapa

(90 min)

Agora os alunos já poderão preencher as lacunas na tabela da ficha 24. Nessa etapa o professor

demonstrará no quadro que a tangente de um arco é a razão entre o seu seno e seu cosseno,

podendo agora os alunos preencherem a parte referente a tangente na tabela.

3ª etapa

(110 min) O docente passa a comentar em ordem de aplicação todas as atividades feitas até agora.


92

Aula 8:



Objetivos Avaliar o aluno quanto ao conteúdo; Compreender a percepção e opinião do aluno diante do curso inteiro.

Materiais didáticos Ficha 25.

Metodologia

1ª etapa

(150 min)

Os alunos resolverão de forma individual a ficha 25. O docente não fornecerá qualquer tipo de

ajuda. Todos os instrumentos de medidas em desenhos estarão disponíveis ao aluno incluindo a

tabela. Haverá restrição quanto ao uso do transferidor na questão 3. Além da atividade os alunos

estarão sujeitos a questionamentos do professor sobre o porquê da estratégia utilizada e como

foi seu desenrolar.

1ª Etapa

(60 min) Será requisitado do aluno através de uma entrevistas solta uma avalição referente ao curso.

2ª etapa

(30 min) Será entregue os certificados e será feito os devidos agradecimentos.


93

4.2.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 4.2.4.1 ANÁLISE QUANTITATIVA O resultado quantitativo será baseado na resolução da ficha 25.

a) Resultado Geral:

Gráfico 5 – número de acertos por questões corrigidas no pós-teste da síntese 2


b) Resultado de acertos por questões:

Gráfico 6 – número de acertos por questão no pós-teste da síntese 2


Acerto dos alunos

número de acertos/questõescorrigidas

83,33%

83,33%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

Acertos na questão

Questão 1 100%

Questão 2 67%

Questão 3 83%

100%

67%

83%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

94

c) Resultado de acertos por aluno:

Gráfico 7 – número de acertos por aluno no pós-teste da síntese 2


d) Resultado de questões por aluno

Legenda para leitura da tabela 4:

C – CERTO

E – ERRO

Tabela 4 – Acertos e erros das questões por aluno no pós-teste da síntese 2

Sujeito Questão Rendimento (%)

1 2 3

A C C C 100

B C C C 100

C C C C 100

D C C E 66,66

E C C C 100

F C E C 66,66

G C C C 100

H C E C 66,66

I C C E 66,66

J C E C 66,66

L C C C 100

M C E C 66,66 Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.

GE

Aluno com 0 acertos 0%

Aluno com 1 acerto 0%



0% 0%

50% 50%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

95

B) Análise Qualitativa

Análise da ficha 25

A análise das tabelas e gráficos acima demonstra que os resultados

perante essas questões foram bastantes satisfatórios, segue uma análise de cada

questão:

Questão 01: Foram dados dois tipos de resposta para essa questão. A primeira, feita

por dois alunos, teve com estratégia desenhar um triângulo equilátero, imaginar um

valor aleatório ao seu lado, como 2, traçar a altura do triângulo obtendo dois triângulos

retângulos e a partir de um deles realizar o cálculo do seno. A outra reposta consiste

em construir um triângulo retângulo com um ângulo de 30° qualquer, com o auxílio

das ferramentas, medir seus lados com uma régua e realizar a conta que define o

seno. Considera-se a primeira resposta mais bem pensada por não usar auxílio de

materiais, utilizando apenas imaginação e o papel, se aproximando da resposta ideal

que é uma demonstração generalizada. Logo a maioria dos alunos não entendeu que

uma demonstração é ideal para se provar algo de forma não local, ou seja, de forma

generalizada, ou por insegurança não quiseram fazer, de qualquer forma isto torna-se

uma evidência de que os alunos ainda não estão aptos a usar demonstrações,

entretanto, os alunos demonstram saber de forma intuitiva o conceito.

Questão 02: Os alunos que acertaram fizeram exatamente o que se esperava, alguns

alunos desenharam a polígono de 20 lados completo, outros apenas um triângulo

isósceles, que foi a alternativa mais esperta. O aluno L errou a questão pois esqueceu

que a medida que obteve não foi a pedida desejada e sim o dobro, um caso simples

de esquecimento e falta de atenção, sobre os demais erros não há mais informações

por parte do autor, apenas sabe-se que houve bastantes erros algébricos na transição

de um lado para outro de números na equação, e que todas as respostas

apresentaram evidências de saberes trigonométricos relevantes. Esses resultados

indicam que a maioria dos aluno soube aplicar o conceito de seno com eficiência na

questão

96

Questão 03: cinco alunos resolveram a questão através do seno, 4 do cosseno e 1

pela tangente. Obtendo a razão trigonométrica desejada o aluno ou usou a

calculadora ou a tabela (alternativa predominante) para obter o arco correspondente.

Os alunos que erraram responderam que bastava usar o transferidor o que contradiz

o comando da questão. Um justificou seu erro dizendo que não reparou a exigência

do comando e outro apenas disse que não lembrava de nada, apenas do transferidor.

Logo conclui-se que os alunos em maioria estão aptos a resolver este tipo de

aplicação.

Principais resultados extraídos no decorrer das atividade através dos meios de

observação:

a) Os alunos mostraram-se débeis no que diz respeito a conhecimentos prévios

de geometria, evidenciando que este ensino foi rarefeito, anteriormente, para a

turma em questão, pois não sabiam, a maioria, das propriedades das figuras,

limitando-se ao nome e identificação intuitiva.

b) A princípio não mostraram habilidades com o manuseio dos instrumentos

fornecidos, necessitando apresentações quanto ao uso, mesmo assim o a

entrosaram-se de forma tímido, entretanto, com o passar do curso o uso tornou-

se automático. Isso evidência a falta de utilização desses materiais em aulas

comuns.

c) Os aluno apresentarão dificuldades quanto a aritmética e álgebra, como não

saber trabalhar com frações, não saber a ordem para efetuar as operações em

um expressão, erros de sinais em especial em equações.

d) Os alunos mostraram evidências de que estão acostumados com algoritmos

mecanizados, pois muitas vezes faziam procedimentos aleatórios sem

relevância para a situação, ou seja, eles arriscavam a sorte.

e) Uma das principais dificuldades iniciais foi a interpretação dos problemas a qual

o aluno não estava acostumado, entretanto, notou-se um avanço significativo

ao decorrer do curso no que diz respeito análise e reflexão.

f) O trabalho em equipe proporcionou muitos benefícios aos alunos, de tal

maneira que ajudou este a expressar suas ideias de forma mais sólidas, e

refletir em cima de suas justificativas afim de validá-las para o colega.

97

Análise da avaliação dos alunos referente ao curso

O pesquisador forneceu três depoimentos, que acredita-se configurar a

maioria, em resumo os alunos disseram que ficaram satisfeitos com curso,

aprenderam bastante, e gostaram muito das atividades que utilizavam ferramentas

em especial a que eles foram ao pátio.

4.2.5 CONSIDERAÇÕES

A) Considerações quanto aos resultados

Como ensinar trigonometria no triângulo retângulo de maneira significativa?

Como a metodologia mostrou-se de certa forma eficiente de acordo com a

análise do rendimento dos alunos na ficha 25, compreende-se que os principais

aspectos do curso que contribuíram para o sucesso foram:

a) O trabalho em duplas (grupos);

b) A linguagem acessível entre professor e aluno, desenrolando gradativamente

para termos mais formais;

c) Uso de ferramentas que possibilitem o aluno um estado ação e curiosidade,

destacamos em especial o teodolito e astrolábio;

d) Estabelecer a relação entre o conteúdo e outras ramos, em especial

astronomia, assim como investigar a criação do conhecimento, sua

necessidade e desenvolvimento afim de auxiliar na elaboração das aulas e

instigar a curiosidade dos alunos;

e) Metodologia baseada na construção do conceito através de uma situação

problema;

f) Elaborar as atividades de modo que a dificuldade torna-se gradual, refletindo

nos estágios de pensamento geométrico;

Entende-se, entretanto, que ainda há muito o que desenvolver para que

este curso torne-se perfeito.

98

Quais fatores influenciam na aquisição do conhecimento?

Destaca-se aqui que é necessário o educador está avaliando

continuamente o conhecimento do educando, resgatando-os e promovendo-os

sempre que possível.

Como distanciar a utilização da trigonometria no Ensino Médio da

mecanização?

O assunto deve ser apresentado de forma interessante ao aluno,

destacando seus significados e funções, além do mais, deve-se evitar a apresentação

dos conceitos de forma simplesmente expositiva, o educando deve ser instigado a

construir o raciocínio que o leve ao conceito.

B) CONSIDERAÇÕES FUTURAS

a) Devido à dificuldade dos alunos, sugere-se uma pesquisa com o núcleo na

álgebra e outra com o núcleo na geometria elementar;

b) Ainda com o mesmo argumento, sugere-se uma pesquisa para investigar por

que esses alunos apresentavam tal defasagem no ensino da álgebra e

geometria elementar;

c) Ainda com esses alunos caberia uma pesquisa sobre a consolidação do que

foi ensinado no curso e sua defasagem com o tempo;

d) É sugerido também a utilização de um software de geometria dinâmica para

complementar a metodologia.

4.3 SINTESE 3:

Trigonometria no triângulo retângulo: construindo uma aprendizagem significativa.

4.3.1 INTRODUÇÃO

Tema: Um curso de trigonometria a partir de situações problemas e tratamento figural.

Problematização: a preocupação com o ensino de trigonometria deriva da análise

de pesquisas correlatas e livros didáticos, onde após a análise conclui-se que as

99

abordagens de trigonometria no triângulo retângulo não parecem ser elaboradas de

forma que produza um significado concreto para o aluno.

Questão Norteadora: Uma sequência de ensino enfatizando as construções e

transformações geométricas articuladas ao tratamento figural proporciona uma

apreensão significativa para o aluno de 1º ano do Ensino Médio dos conceitos de

trigonometria no triângulo retângulo?

Objetivos: Investigar uma abordagem de ensino de trigonometria no triângulo

retângulo, introduzindo os conceitos fundamentais de seno, cosseno e tangente até a

introdução dos conceitos no ciclo trigonométrico por meio de situações problemas que

articulam construções geométricas e tratamento figural.


Douady (1991)

Segundo Douady (apud SILVA, 2005), qualquer conhecimento já obtido

torna-se em um problema uma possível ferramenta afim de aprender um novo objeto.

Esse processo de descoberta de um novo conhecimento dado por uma situação

problema, se resolverá com as ferramentas que são os conhecimentos antigos e os

dados fornecidos. Ao resolver um problema específico acontece uma

institucionalização local, ou seja, um raciocínio específico para aquela situação, tal

raciocínio deve sofrer o processo de institucionalização global, ou seja, uma

generalização do objeto (conhecimento). Em seguida deve sofrer o processo de

familiarização e reutilização para que o indivíduo adquira aptidão e destreza com este

novo objeto, e assim finalmente torna-lo uma nova ferramenta, reiniciando o ciclo. Este

processo será levado em conta para a elaboração das aulas e análise dos resultados.

Duval (1995)

Duval (apud SILVA, 2005) trabalha com o tratamento de figuras na

resolução de problemas, chamado de tratamento figural. O tratamento figural enxerga

na exploração de uma figura complexos processos benéficos para o desenvolvimento

do raciocínio geométrico. Saber como identificar as propriedades e explorar uma

figura são ferramentas consideradas fundamentais no processo de resolução de um

problema ligado à Geometria.

100

Os alunos serão orientados a usar o tratamento figural merelógico, óptico

e posicional, que consistem respectivamente em combinar a figura ou completa-la,

ampliar e reduzir a figura, rotacionar ou translacionar a figura.

Para análise dos resultados será levado em conta as apreensões figurais,

que são como habilidades no tratamento figural, classificadas em quatro tipos:

perspectiva: que permite identificar imediatamente uma forma; discursiva: que permite

interpretar elementos de uma figura; sequencial: que permite a construção ou

descrição da construção de uma figura; operatória: que permite a apreensão de uma

figura dada em suas diferentes modificações possíveis.

4.3.3 METODOLOGIA


Amostra da pesquisa: 13 alunos do 1º ano do Ensino Médio de uma escola particular

de Ensino Fundamental e Médio da cidade de São Paulo, 7 meninas e 6 meninos com

faixa etária entre 14 e 16 anos.

Tempo do experimento: Será dado em quatro encontros com duas hora aulas, sendo

uma hora aula equivalente a 50 minutos.

Visão superficial do experimento: Será aplicado um curso de trigonometria,

conforme os objetivos, através de 4 atividades, dispondo de uma em cada encontro.

Coleta de dados: Os resultados serão baseado no preenchimento das fichas de

atividades e na observação do pesquisador.



Todas as atividades serão realizadas em duplas e os alunos poderão

recorrer as estas ferramentas: compasso, transferidor e régua. O professor agirá como

um mediador, apenas sugerindo e questionando, além de tirar dúvidas, ou seja,

induzindo o aluno a tirar suas próprias conclusões. Quando uma questão apresentar

certa dificuldade em âmbito geral, o docente fará uma intervenção, onde será disposto

no quadro sugestões tanto dos alunos como do professor, tais sugestões darão

101

respaldo para uma discursão geral, que terminará até que se chegue em um

consenso. Ao término da atividade o docente realizará uma discursão coletiva, com

intuito de formalizar e institucionalizar os devidos conceitos.


É baseada na entrega das fichas de atividades e observação dos alunos

ao decorrer da atividade.


Ficha 1:


(continua)

Atividade 1: Relações trigonométricas no triângulo retângulo.

1- Construa triângulo usando régua, compasso e transferidor com as especificações

abaixo, seguindo a ordem entre ângulo e lados dada:

a) 6 cm, 90º, 6 cm

b) 90º, 5 cm, 10 cm

c) 90º, 45º, 10cm

d) 90º, 60], 10 cm

e) 90º, 30º, 10 cm

f) 8 cm, 90º, 45º

g) 8 cm, 90°, 30º

h) 8 cm, 90º, 60º

2- Quantos triângulos nas condições do exercício 1, são possíveis de serem

construídos com as informações de cada item? Justifique.

3- Justifique as medidas obtidas de cada lado e cada ângulo (não fornecidos) do

exercício 1.

4- existe alguma relação entre os lados e os ângulos de um triângulo? Justifique.

Fonte: extraído de SILVA, 2005.

102

Ficha 2:


(continua)

Atividade 2: Relações trigonométricas no triângulo retângulo com ângulos

notáveis e não notáveis.

Dois jogadores de futebol A e B estão alinhados no meio do campo, quando o

jogador A lança a bola em linha reta, formando um ângulo β com a linha do meio

campo. Pergunta-se:

1- Se o ângulo β for de 45º e B correr numa trajetória perpendicular à linha do meio

de campo, quando B percorrerá para apanhar a bola e quantos metros a bola

percorre até B conseguir apanhá-la, se a distância entre A e B for de:

a) 1 metro

b) 2 metros

c) 6 metros

2- Resolva a solução 1, com o ângulo β valendo:

a) 60º

b) 30º

3- Se o ângulo β for de 45º e B correr, em linha reta, a menor trajetória possível,

quanto B percorrerá para apanhar a bola e quantos metros a bola percorre até B

conseguir apanha-la, se a distância entre A e B for de:

a) 1 metro

b) 2 metros

c) 6 metros

4- resolva a solução 3, com o ângulo β valendo.

a) 60º

b) 30º

103


(continuação)

5- Considere a distância entre A e B de 1 metro. Faça o ângulo β variar de 0º a 90º,

de 5º e calcule, para cada um desses ângulos:

a) Qual é a distância mínima que B percorrerá para apanhar a bola.

b) Quantos metros a bola percorre até B conseguir apanhá-la, se B percorrer a

distância mínima.

c) Quantos metros a bola percorre até B conseguir apanhá-la, se B percorrer uma

trajetória perpendicular à linha do meio campo.

6- Com base na situação 5, é verdadeiro afirma que, se B percorre a distância

mínima, quanto maior o ângulo β.

a) Maior a distância mínima que B percorrerá para apanhar a bola?

b) Maior a distância mínima que B percorrerá até apanhá-la?

7- Esboce os gráficos, usando os valores obtidos nos itens a e b da situação 5.


Ficha 3:


(continua)

Atividade 3: Relações entre perímetros de polígonos regulares e o

comprimento da circunferência.

1- Para ter uma boa estimativa do comprimento de uma circunferência, os

matemáticos antigos calculavam o perímetro e a área de polígonos regulares

inscritos e circunscritos na circunferência. Calcule o perímetro dos seguintes.

a) Um hexágono (circunferência de raio 3)

b) Um octógono (circunferência de raio 4 cm)

c) Um hexágono (circunferência de raio r)

d) Um octógono (circunferência de raio r)

e) Um decágono (circunferência de raio r)

104


(continuação)

f) Um dodecágono (circunferência de raio r)

g) De 20 lados (circunferência de raio r)

h) De n lados (circunferência de raio r)

2- Com base no itens c a g e com base na expressão obtida no item h do exercício

anterior, preencha a seguinte tabela e responda:

N (nº de lados)

Perímetro do polígono inscrito

n.sen(180º/n) Perímetro do

polígono circunscrito

n.tg(180º/n)

6

8

10

12

20

100

1000

10000

a) O que ocorre com o valor de n.sen(180º/n) e n.tg(180ª/n)?

b) O que ocorre com o perímetro dos polígonos inscritos e circunscrito e o

comprimento da circunferência?

c) Qual é a expressão que define o comprimento de uma circunferência?

(Dados: sen100º=0,031411, tg100º=0,031426, sen1000º=0,0031416,

tg1000º=0,0031416, sen10000º=0,000314159, tg10000º=0,000314159)


Ficha 4:


(continua)

Atividade 4: Relações trigonométricas na circunferência trigonométrica.

1- Dois pontos A e B (por exemplo) de uma circunferência dividem-na em duas

partes chamadas arcos, que são indicados por AB (veja a figura abaixo).

105



Sabemos, da atividade anterior, que o comprimento da circunferência é 2πr.

Considerando que o raio da circunferência seja 10 m, calcule os arcos de

circunferência formados pelos seguintes ângulos centras.

a) 30º f) 180º

b) 45º g) 270º

c) 60º h) 360º

d) 90º i) 450º

e) 135º j) 720º

2 - Um ângulo central, em uma circunferência, pode ser medido pelo arco que ele

forma numa circunferência de raio unitário (r=1). Essa unidade de medida é

chamada de radianos e é representada pela abreviatura rad.

a) Calcule quantos radianos tem um arco cujo ângulo central é de 360º.

b) Calcule quantos radianos tem cada ângulo do exercício anterior.

3- Dados os seguintes ângulos em radianos, transforme-se para graus:

a) π rad b) 2π rad

c) π/2 rad d) π/3 rad

e) π/6 rad f) 15π rad

g) 45π rad

4- Circunferência trigonométrica é a circunferência de raio unitário. No caso da figura

abaixo, significa que OE mede 1 unidade. Com base nas informações apresentadas

e na figura abaixo, responda:

106


(continuação)

a) calcule as projeções horizontal e vertical do segmento OE (ou seja, OF e OD) e

calcule AB.

b) Mostre que sen²α+cos²α=1.

c) Calcule, nesta situação, o seno, o cosseno e a tangente de 30º, 45º e 60º.

d) Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 135º, 225º, 315º e 360º.

e) Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 150º, 210º, 330º e 360º.

f) Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 120º, 240º, 300º e 360º.

g) Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 90º, 180º, 270º e 360º.

h) Monte uma tabela para seno, cosseno e tangente e analise o sinal e o

crescimento em cada uma das tabelas no 1º,2º,3º e 4º quadrantes.

i) Faça um gráfico para seno, cosseno e tangente usando valores obtidos acima.

5- Transforme em radianos os ângulos do exercício 6º e em seguida esboce os

gráficos da função seno, cosseno e tangente usando esses valores.


4.3.3.2.4 AULA POR AULA

Segue nas próximas páginas, orientadas em modo paisagem, as tabelas


107

Aula 1:


Tempo utilizado 3 horas-aulas.

Objetivos Construir triângulos retângulos com ângulos notáveis a fim de perceber as relações existentes entre os

ângulos e os lados.

Materiais didáticos Régua, compasso, transferidor, quadro, pincel e a ficha 1.

Metodologia

Os alunos terão de fazer o que se pede na ficha 1. Para resolver a questão 3 da ficha, não será permitido

usar os materiais de medir (régua e transferidor). A questão 4 levará à discursão coletiva onde no final haverá

a institucionalização dos conceitos por parte do professor, tal que o principal conceito é que triângulos

retângulos semelhantes têm seus lados proporcionais.

Fonte: baseado no texto de SILVA, 2005.

Aula 2:


(continua)

Tempo estimado 2 horas-aulas.

Objetivos

Apresentar o seno, cosseno e tangente com uma constante de proporção para lados de triângulos

semelhantes; estabelecer que as razões trigonométricas estão diretamente relacionadas com os ângulos.

Estudar a variação das razões trigonométricas.

Materiais didáticos Compasso, transferidor, régua, quadro, pincel e ficha 2.

108


(continuação)

Metodologia

Os alunos resolverão a ficha 2. Na questão 5 da ficha o professor irá intervir e colocará os resultados em

forma de tabela afim de facilitar a resolução da questão 6 e 7. Na discursão coletiva será chamada a atenção

para a proporcionalidade entre lados de triângulos semelhantes. Será pedido a obtenção da constante de

proporção, em seguida, irá se formalizar as constantes referentes ao seno, cosseno e tangente. O docente

irá construir uma tabela relacionando as constantes descobertas com os ângulos. Com a tabela construída

será fácil chamar a atenção dos alunos para a variação das razões trigonométricas de acordo com o ângulo.

Outros fatos também são esperados com a análise da tabela, como perceber que seno de um ângulo é igual

ao cosseno de seu complemento e que quando o triângulo retângulo tem hipotenusa igual a 1 seus catetos

são os próprios valores de seno e cosseno.


Aula 3:


Tempo estimado 2 horas-aulas

Objetivos Apresentar aos alunos a fórmula do comprimento de uma circunferência.


Metodologia

Os alunos terão de fazer o que se pede na ficha 3. Na questão será discutido a elaboração de formulas

para facilitar o cálculo do perímetro. A discursão coletiva tenderá a fazer os alunos deduzirem o

comprimento de uma circunferência.


109

Aula 4:


Tempo estimado 2 horas-aulas

Objetivos Apresentar os conceitos de trigonometria no ciclo trigonométrico; analisar os gráficos das funções

trigonométricas.


Metodologia

Será aplicada a ficha 4. Ao decorrer da resolução da ficha, o professor irá integrando conceitos de

trigonometria no ciclo trigonométrico, conhecimentos como quadrante, sentido positivo, sinais do seno,

cosseno e tangente e etc. Na discursão coletiva o professor manterá o foco nos seguintes tópicos: variação

das funções trigonométricas em especial período e amplitude; funções de ângulos maiores que 360°;

intercepção entre as diferentes funções trigonométricas.


110

4.3.4 RESULTADOS

4.3.4.1 ATIVIDADE 1

4.3.4.2 ACONTECIMENTOS E AÇÕES NA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE

Houve dúvidas frequentes de alunos sobre como seguir a ordem de construção

dos triângulos na questão 1. Essas dúvidas foram esclarecidas quando o

professor explanou de forma coletiva um exemplo na lousa.

Houve dúvidas nas construções de ângulos retos e uso do transferidor. Os

alunos foram auxiliados de forma individual.

Alguns alunos perceberam que os itens d e e da questão 1 tratavam do mesmo

triângulo. O professor sugeriu que explicassem por que os triângulos são

congruentes.

Houve dificuldade em justificar a resposta da questão 2, sendo necessário a

intervenção do professor.

Houve dificuldade no item b, c e d da questão 3, sendo necessário novamente

a intervenção do professor.

4.3.4.3 ERROS E DIFICULDADES NA ATIVIDADE 1

Tabela 5 - erro ou dificuldade na apreensão discursiva na atividade 1 da síntese 3

(continua)

Erro ao segui a ordem pedida no

enunciado

Erro na interpretação do que está sendo

pedido

Questão Nº de alunos Questão Nº de alunos

1a 0 3a 1

1b 1 3b 1

1c 0 3c 1

1d 1 3d 1

1e 1 3e 1

1f 2 3f 1

111

Tabela 5 - erro ou dificuldade na apreensão discursiva na atividade 1 da síntese 3

(continuação)

1g 2 3g 1

1h 2 3h 1


Tabela 6 - erro ou dificuldade na apreensão sequencial na atividade 1 da síntese 3

Erro na interpretação da construção do

triângulo

Dificuldade na manipulação dos

instrumentos


1a 0 1a 1

1b 3 1b 1

1c 0 1c 1

1d 7 1d 1

1e 1 1e 1

1f 3 1f 0

1g 2 1g 0

1h 1 1h 0


Os erros de manipulação de material estão presentes somente no uso dá

régua onde um aluno utilizou-a começando de 1cm e não de 0. A maioria dos erros

de construção de triângulos foi a imprecisão dos ângulos dos triângulos e deu-se

devido à dificuldade em manter o compasso com uma mesma abertura ou manter sua

ponta fixa.

Tabela 7 - erro ou dificuldade na apreensão perceptiva na atividade 1 síntese 3

(continua)

Dificuldade na identificação da

estratégia de solução

Imaginar a autossuficiência da figura:

não há o que ser provado.


3a 2 4a 3

3b 2 4b 3

3c 2 4c 3

112

Tabela 7 - erro ou dificuldade na apreensão perceptiva na atividade 1 síntese 3

(continuação)

3d 2 4d 3

3e 2 4e 3

3f 3 4f 3

3g 2 4g 3

3h 3 4h 3


Cabe destacar que os alunos que tiveram dificuldade na identificação da

estratégia não fizeram a questão 4, imagina-se que por falta de tempo. Chama-se

também a atenção na quarta questão, que 4 alunos não a fizeram e dois concluíram

parcialmente.

Tabela 8 - estratégias de resolução da atividade 1 da síntese 3

Questão

Congruência

entre lados e

ângulos

Reflexão de

triângulos

Rotação de

triângulo

Erro ou

exercício

sem fazer

3a 7 - - 3

3b - 8 - 2

3c 7 - - 3

3d - 7 1 2

3e - 8 - 2

3f 7 - - 3

3g - 8 - 2

3h - 7 1 4


Depois de escolhida a estratégias os alunos, dependendo da questão,

também aplicaram o teorema de Pitágoras e usaram o fato da soma dos ângulos de

triângulo ser 180°. Apesar dos índices não tão ruins, isso só foi possível devido a

intervenção do professor.

113

Tabela 9 - erros e dificuldades na estratégia de solução da atividade 1 da síntese 3

Questão Erro na estratégia de

solução

Erro ou dificuldade na

aplicação da fórmula

3a 1 -

3b - -

3c - -

3d - 1

3e - -

3f -

3g - -

3h 1 -


O erro no item 3a foi dado devido a conjectura de que se eu dobro o ângulo,

também dobro o lado oposto, sendo assim o aluno não considerou os elementos

figurais, afim de medir e testar sua hipótese. O erro no item 3h foi devido um erro ao

usar o compasso o que tornou sua figura semelhante a do item b, e prejudicou sua

resposta. O erro no item 3d foi quanto a aplicação do teorema de Pitágoras.

4.3.4.2 ATIVIDADE 2

4.3.4.2.1 ACONTECIMENTOS E AÇÕES NA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE

Os alunos apresentarão dificuldades na interpretação da questão 3, no que

refere-se a distância mínima, necessário então a intervenção do professor para

explicar qual seria essa distância mínima;

Houve dificuldades na resolução da questão 5, necessário novamente a

intervenção do professor, que resultou no uso da semelhança de triângulos.

4.3.4.2.2 ERROS E DIFICULDADES NA ATIVIDADE 2

As dúvidas de interpretação foram retiradas de forma coletiva, logo sobraram

os erros de apreensão operatória (solução do problema). Os alunos resolveram a

114

questão 1 e 4 através do processo de transformação geométrica (utilizando os

conhecimentos adquiridos na atividade 1), o que foi de certa forma satisfatório. Na

questão 5, a estratégia foi o uso da semelhança de triângulos. Quatro alunos deixaram

de copiar a tabela esboçada pelo professor após a questão 5, imagina-se devido à

falta de tempo, o que prejudicou o desempenho nas questões 6 e 7. Também houve

dificuldade na transformação dos registros em tabelas para gráficos. Três alunos

erraram ao fazer a proporcionalidade entre os triângulos (questão 5) e três alunos não

terminaram a atividade.

4.3.4.3 ATIVIDADE 3


Os alunos encontraram dificuldades na apreensão discursiva: saber o que

significa circunscrito e inscrito. Havendo então a intervenção do docente.

Houve dificuldades em calcular o perímetro do octógono, pois necessitava de

uma estratégia diferente, logo, novamente houve a intervenção do professor.

4.3.4.3.2 ERROS E DIFICULDADES NA ATIVIDADE

Devido as dificuldades terem aumentado nesta atividade, o professor

adotou uma metodologia em que houve uma interação mais coletiva entre todos os

alunos. Mesmo assim, três alunos não fizeram a questão 2, imagina-se que devido à

dificuldade em generalizar uma fórmula para o perímetro.

4.3.4.4 ATIVIDADE 4


Houve intervenção do professor para explicar o que é projeção ortogonal.

Houve uma intervenção do professor, quanto a representação no ciclo

trigonométrico.

115

4.3.4.4.2 ERROS E DIFICULDADES NA ATIVIDADE

Apresentou-se vários erros ligados a projeção dos ângulos de 90°, 180°,

270° e 360°, devido não formarem nada similar a um triângulo. Dois alunos não

tiveram cuidado de desenhar os gráficos de forma mais convincente, por exemplo,

enquanto a altura de uma linha representa o valor ½ unidade de medida, quatro linhas

simbolizava o valor de 1 unidade de medida. Um aluno inverteu os gráficos de seno e

cosseno, por ter invertido as projeções horizontais e verticais.

4.3.4.5 DAS DISCURSÕES COLETIVAS

Devido as inúmeras dificuldades a participação do professor nas discursões

coletivas foram bem mais intensa do que o esperado. Entretanto, os alunos

mostraram-se envolvidos, e apresentaram indícios de que compreenderam o que

estava sendo exposto, chegando muitas vezes a opinar e sugerir.

4.4.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

4.4.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO AOS RESULTADOS

Partindo da teoria de Duval, encontramos uma percepção diferenciada

sobre o tratamento de um problema Geométrico, que mostrou-se uma ferramenta

capaz de potencializar o raciocínio do indivíduo. Os processos de translação, reflexão,

rotação e semelhança (ampliação e redução) fornecerão elementos interessantes

para arquitetar as situações didáticas. Entretanto, os alunos apresentaram

dificuldades ao trabalhar com tratamento figural de forma autônoma, afim de elaborar

estratégias que o permitissem resolver os problemas.

A falta da elaboração de um contexto para os problemas é considera fator

de desmotivação para o aluno em sua apreensão perceptiva sobre o problema e

operação, cria-se então a hipótese de que trabalhar com problemas interdisciplinares

e com experiências, criaria um ambiente mais suscetível ao sucesso do curso.

Também deixa-se em evidência o método de coleta de dados para extrair

os resultados. Este poderia ser mais eficaz se fosse dado um período de tempo para

que o aluno descreve-se suas estratégias através de uma ficha.

116

Entretanto, o tratamento figural e a concepção ferramenta-objeto, dados na

fundamentação teórica, foram capazes de estabelecer a evolução dos conceitos de

trigonometria no triângulo retângulo.

4.4.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO A PESQUISAS FUTURAS

a) Testar a eficácia de materiais concretos (como maquetes) atribuindo um

contexto experimental ao curso, materiais de construção de figuras (régua,

compasso, transferidor), e problemas interdisciplinares (em especial

Matemática-Física) e o uso de software; podendo ter até mesmo a perspectiva

de complementar o curso aqui trabalhado;

b) Deve-se investigar também que contexto contribui para uma melhor apreensão

sequencial e se, a partir dessa há uma transferência para a apreensão

perspectiva, discursiva e operatória.

4.4 SINTESE 4:

Transição das razões trigonométricas do triângulo retângulo para o círculo

trigonométrico: Uma sequência para o ensino.

4.4.1 INTRODUÇÃO

Tema: Um curso de trigonometria com o uso do Geogebra, e materiais manipulativos.

Problematização: Realizando uma revisão bibliográfica acerca do ensino de

trigonometria a pesquisadora destaca as seguintes dissertações através de uma breve

síntese: Lidegger (2000); Nascimento (2005); Martins (2003); Costa (1997); Oliveira

(2006); Gernman (2004). Apoiada pelas dissertações, é fácil notar várias dificuldades

no processo de ensino. Entretanto, metodologias, sobre tudo construtivistas, nestas

mesmas pesquisas mostram uma certa eficiência. Logo torna-se valido investigar

métodos construtivistas que favoreçam o ensino da trigonometria.

Questão Norteadora: Atividades com material manipulativo e com computador

podem favorecer a aprendizagem de alunos na transição das razões trigonométricas

do triângulo retângulo para o ciclo trigonométrico?

117

Objetivos: Verificar se as atividades manipulativas e o computador contribuem para

a aprendizagem da transição das razões trigonométricas do triângulo retângulo para

o círculo trigonométrico.

4.4.2 REFERENCIAL TEÓRICO

Brousseau

Segundo Almouloud (apud BORGES, 2009), apoiado na teoria de

Brosseau, o meio é o ponto de partida, ou seja o meio deve ser intencionalmente

criado e trabalhado pelo professor com o intuito de induzir o aluno a refletir diante das

dificuldades apresentadas, fazer estratégias para vencê-las e geralmente extrair um

novo conhecimento da situação. Logo, temos ai uma situação didática onde existe

relações explicitas e implícitas entre aluno e professor. Com isso, o aluno está sendo

induzido à resposta, refletindo e construindo, tal que o professor trabalha como um

mediador, questionando e sugerindo com intuito de ajudar de forma sutil, deixando o

mérito para o aluno.

Logo, Freitas (apud BORGES, 2009) aponta um esquema, baseado em

Brossueu, que facilita no processo de elaboração de situação didática, em outras

palavras a situação didática foi dividida em etapas, que são as seguintes:

Situação de ação: Como o próprio nome sugere é momento em que o aluno

está operando, analisando os dados e utilizando os instrumentos fornecidos na

busca de resultado.

Situação de formulação: é o momento de apresentação e desenvolvimento da

estratégia de solução, o aluno pode muitas vezes nesta fase trocar ideias e

dúvidas com os demais.

Situação de validação: é a etapa em que o aluno valida seu processo de

solução, justificando e comprovando seu método.

Situação de institucionalização: é processo de universalização do

conhecimento, aquele conhecimento local passa a se transformar em um

conceito geral. Na maioria dos métodos o professor é o sujeito que tem a

participação mais ativa neste processo, e assim será neste trabalho.

118

Note que as etapas acima estão intimamente ligadas e muitas vezes são

impossíveis de distinguir o fim de uma e o início de outra, pois podem até mesmo

acontecer simultaneamente, excerto pela institucionalização.

4.4.3 METODOLOGIA


Amostra da pesquisa: oito alunos do segundo ano do Ensino Médio do turno da noite

da Escola Estadual Professor Rogério Levorin na periferia da cidade de São Paulo.

Tempo do experimento: uma aula piloto mais 4 encontros de aulas duplas, sendo

uma hora-aula 50 minutos.

Visão superficial do experimento: Será realizado um curso de trigonometria

conforme os objetivos. Para iniciar o curso será realizado uma aula piloto com apenas

dois alunos fora do horário de aula habitual do aluno. Tal aula consistirá na

manipulação do software de geometria dinâmica (Geogebra) por parte dos alunos,

afim de investigar possíveis ajustes nas atividades. Após os ajustes, o curso iniciará,

em primeiro momento através de uma conversa com os participantes sobre os

objetivos e métodos da experiência, logo o curso iniciará realmente com 8 alunos e

12 atividades. Será aplicado no primeiro encontro quatro atividades referentes ao

triângulo retângulo, no segundo encontro mais quatro atividades onde já haverá o

estudo da trigonometria no ciclo trigonométrico, no terceiro mais duas e no último

encontro as duas últimas atividades.

Coleta de dados: Os resultados serão baseados na observação por meio do aplicador

das atividades, pela entrega das fichas de atividades resolvidas e por material de

áudio (não especificado como foi a coleta desse material).



O professor baseia sua metodologia de acordo com teoria de situações

didáticas criada por Brosseau. Ou seja, a cada problema apresentado ao aluno, o

pesquisador considera as fases de ação, formulação e validação; de tal forma que o

119

mesmo agi como mediador e arquitetos das situações impostas, tirando dúvidas

questionando e sugerindo afim que o aluno por ele mesmo tire suas conclusões.

Quando o educador vê uma dúvida de âmbito geral ele intervém tirando a dúvida em

forma de uma discursão coletiva. O educador nunca tira dúvidas no âmbito de

raciocínio, neste caso agi sempre como mediador, entretanto quando são dúvidas de

notação e conhecimentos prévios este intervém de forma mais direta. Depois de

problemas chaves (e não após todos os problemas) o educador realiza o processo de

institucionalização, onde generaliza os conceitos encontrados, e expõem a notação

correta e formal convencionada pela matemática.


A avaliação será dada de acordo com o preenchimento das fichas e a

observação do educador.


Ficha 1:


Atividade 1:

1. Abra o arquivo triânguloret.ggb.

a) Movimente o ponto B e observe a medida do ângulo α.

b) O que você observou?

c) O que aconteceu com as medidas dos lados do triângulo?

d) Movimente os pontos A e C, registre suas observações.

Fonte: extraído de BORGES, 2009.

120

Arquivo triângulo.ggb:

Fotografia 3 – Arquivo 1 do Geogebra da síntese 4


A figura foi construída de tal forma que ao mover os vértices A e B obtém-

se uma infinidade de triângulos retângulos semelhantes. E ao mover o vértice C os

ângulos variam junto com os lados.

Ficha 2:


Atividade 2:

1. Na parte inferior da tela há uma janela onde está escrito entrada. Aperte o botão

esquerdo do mouse dentro dela e digite c/d, depois dê “enter” e observe na janela

algébrica que aparece a letra f com o resultado da divisão da medida do lado c pela

medida do lado d.

a) Arraste o ponto B e observe o resultado da razão c/d representada pela letra f .

O que você observou?

b) A medida do ângulo α alterou?

c) Movimente o ponto A observe o resultado da razão c/d. O que você observou?

d) A medida do ângulo α alterou?

e) Movimente o ponto C observe o resultado da razão c/d. O que você observou?

f) A medida do ângulo α alterou?


121

Fotografia 4 – Arquivo 1 do Geogebra da síntese 4


Será utilizado o mesmo arquivo da atividade 1 porém com a janela algébrica

visível, conforme mostra a fotografia, assim como na atividade 3 e 4.

Ficha 3:


Atividade 3:

1. Na janela de entrada, digite a/d e depois de “enter” aparecerá na janela algébrica

a letra g que representa a razão da medida do lado a pela medida do lado d.

a) Arraste o ponto B e observe o resultado da razão a/d representada pela letra g.



c) Movimente o ponto A observe o resultado da razão a/d. O que você observou?


e) Movimente o ponto C observe o resultado da razão a/d. O que você observou?



122

Ficha 4:


Atividade 4:

1. Digite na janela de entrada c/a. Dê “enter”. Aparecerá na janela algébrica, a letra

h que representa a razão da medida lado c pela medida do lado a.

a) Arraste o ponto B e observe o resultado da razão c/a representada pela letra h.



c) Movimente o ponto A observe o resultado da razão c/a. O que você observou?


e) Movimente o ponto C observe o resultado da razão c/a. O que você observou?






123

Aula 1:


Tempo estimado 2 horas aulas

Objetivos Apresentar os nomes dos lados de um triângulo retângulo e as razões trigonométricas seno, cosseno e

tangente.

Materiais didáticos Computador (trabalho com o software Geogebra), lousa, pincel e fichas 1, 2, 3 e 4.

Metodologia

1ª etapa Será feito o que se pede na ficha 1.




5ª etapa

O professor irá institucionalizar os fatos, apresentará os nomes dos lados de triângulo retângulo,

nomeará as razões estudadas como seno, cosseno e tangente, e as colocará em função dos

lados, utilizando os nomes padrões.

Fonte: baseado no texto de BORGES, 2009.

124

4.4.3.2.4 OBJETIVOS DOS DEMAIS ENCONTROS

Aula 2: Introduzir o conceito de seno e cosseno no ciclo trigonométrico; estender os

conceitos de seno e cosseno para ângulos não agudos; estudar as transformações

trigonométricas de seno e cosseno para o primeiro quadrante;

Aula 3: Introduzir o conceito de tangente no ciclo trigonométrico; estudar a variações

e os sinais nas funções seno, cosseno e tangente;

Aula 4: Introduzir o conceito de radiano; estudar a conversão de radianos para graus;

Construir um dispositivo que funcione como um tipo de tabela dinâmica para os

valores de seno, cosseno e tangente (10° em 10°).

4.4.4 RESULTADOS

4.4.4.1 RESULTADOS DAS ATIVIDADES COM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Esta atividade apresentou um resultado quase perfeito, na medida do

possível. Os alunos interagiram bem em duplas, e devido a simplicidade do conteúdo

e tarefa, favorecida pelo uso do software, não houve problemas em chegar no objetivo

proposto.

4.4.4.2 RESULTADOS SUPERFICIAIS DAS ATIVIDADES FORA DO TRIÂNGULO

RETÂNGULO

Não há muito o que se falar quanto os resultados também nesta fase, pois

também apresentaram-se satisfatórios e previsto, entretanto devido ao aumento da

complexibilidade dos problemas as dificuldades (narradas no próximo tópico)

apresentaram-se com mais ênfase.

4.4.4.3 PRICIPAIS DIFICULDADE QUANTO A APLICAÇÃO DO CURSO

Os alunos não apresentavam muitos dos conhecimento prévios necessários,

como semelhança de triângulos, coordenadas cartesianas, retas

125

perpendiculares, entre outros; sendo assim necessário várias intervenções da

parte do educador.

Os alunos não apresentaram destreza quanto ao uso dos instrumentos:

compasso, régua e transferidor.

Falta de autoconfiança e autonomia, para refletir e analisar as atividades por si

mesmo, o que os levavam a consultar o professor com frequência, esta

dificuldade é explicada pela falta de costume com atividades deste tipo.

O número de computadores que não possibilitou um aluno por computador.


4.4.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO AOS RESULTADOS Os resultas revelaram-se muito satisfatórios. Como suposto nas hipóteses

e priori a utilização do software de geometria dinâmica foi um fator motivador aos

alunos. Os alunos chegaram aos objetivos propostos através do uso das situações

didáticas sem muitos percalços. Com isso entende-se que sim, que as atividades com

materiais manipulativos e o uso do software de geometria dinâmica favoreceu em

muito o curso em questão.


a) Dar continuação ao trabalho, tendo como perspectiva a transição do ciclo

trigonométrico para os gráficos das funções trigonométricas.

b) Realizar uma pesquisa similar entretanto contextualizando as atividades com

questões de astronomia.

4.5 SINTESE 5:

Trigonometria, Modelagem e tecnologias: um estudo sobre uma sequência

didática.

126

4.5.1 INTRODUÇÃO

Tema: Uso da modelagem e tecnologias visando a melhoria do ensino de

Trigonometria do triângulo retângulo e círculo trigonométrico.

Problematização: A partir de sua prática docente, a pesquisadora relata que o

processo de aprendizagem da trigonometria enfrenta dificuldades. E embasado em

Costa (1997) e Kedal e Stacey (1998), o pesquisador vê nas metodologias aplicadas

o grande fator de diferenciação. Tendo esta perspectiva a autora realizara um estudo,

apresentado como relato de experiência, que apresentou, como resultado, atividades

com modelos matemáticos como alternativa ampliadora do significado dos conceitos

trigonométricos.

Questões Norteadoras: Uma abordagem de ensino envolvendo modelagem e

diferentes tecnologias de comunicação e informação pode contribuir para a

aprendizagem da trigonometria no triângulo retângulo e no círculo trigonométrico?

Objetivos: Analisar as possibilidades de abordagem da trigonometria no Ensino

Médio, através da modelagem, com tecnologia, visando à mobilização do interesse

dos alunos para melhorar compreensão dos conceitos abordados e a aplicação dos

conceitos trigonométricos a situações com referência na realidade.

4.5.2 REFERENCIAL TEÓRICO

Engenharia didática

Segundo Coutinho (apud SILVA, 2011) A engenharia Didática é um tipo de

metodologia de pesquisa, presente em uma pesquisa experimental, diz respeito a

criação e desenvolvimento de um curso.

Segundo Carneiro (apud SILVA, 2011) na Engenharia didática em primeiro

momento é realizado o que é chamado de análises preliminares, um tipo de

diagnóstico dos indivíduos envolvidos, do conteúdo e do meio. Em seguida vem o

desenvolvimento das atividades e simultaneamente a análise da priori, que tenta criar

hipóteses sobre as respostas comportamentais decorridas da atividade afim de que

haja um planejamento e controle maior no desenvolvimento do curso. Depois, segue-

se a implementação da experiência, que é a aplicação do planejado sendo modificado

para modelar-se a realidade, ou seja, o curso sai da teoria e vai para a ação. Logo

127

resta apenas a análise da posteriori que nada mais é que os resultados. O presente

curso foi criado de acordo com essas etapas.

Modelagem Matemática

A sequência didática presente tem como abordagem a modelagem.

Segundo Spinillo, Magina (apud SILVA, 2011) a modelagem é o processo de dar

significado aos conceitos relacionando-os com objetos que já significam algo para o

aluno, ou seja, oferece um “referente”. Em outras palavras é o processo de

contextualização dos conceitos matemáticos.

Segundo Kaiser, Sriraman (apud SILVA, 2011) o contexto é o pondo

principal no ensino e aprendizagem de Matemática. O que quer dizer que deve existir

uma situação contextualizada, ao qual os alunos terão de resolver de forma autônoma,

tendo o professor como mediador. Segundo Kato et al (apud SILVA, 2011) a

aprendizagem de novos conceitos se consolida mais rápido quando parti de um

problema, seguido de generalização e formalização. Nesse processo de resolução o

aluno relaciona e opera conteúdos antigos e identifica a necessidade de um novo.

4.5.3 METODOLOGIA


Amostra da pesquisa: Duas turmas do 2º ano do Ensino Médio, do período da noite,

da Escola Estadual Frei Marcelino de Milão presente no município de Iapu do estado

de Minas Gerais. As turmas apresentam 70 alunos com faixa etária de 15 a 16 anos.

Passaremos a nos referir a partir de agora como turma A, com 36 alunos, e turma B,

com 34 alunos.

Tempo do experimento: O experimento será realizado 22 horas-aulas distribuída em

13 encontros.

Visão superficial do experimento: Será ministra um mesmo curso para as duas

turmas, tal curso de acordo com os objetivos propostos. O curso começará com duas

atividades preparatórias entregues aos alunos para resolverem em casa, onde o

assunto será conhecimentos prévios para o ensino de trigonometria no triângulo

retângulo. Após, ocorrerá 5 encontros com atividades referentes a trigonometria do

triângulo retângulo, cada encontro fornecerá uma atividade. O 6º e 7º encontro será

128

acerca da introdução de trigonometria no ciclo trigonométrico e propriedades da

circunferência. O oitavo encontro será um teste. Os encontros posteriores dizem

respeito ao ciclo trigonométrico, e terão aulas na sala de informática contando com 4

atividades com o uso de Geogebra. No entanto, devido problemas na estrutura escolar

as aulas com atividades no Geogebra serão aplicadas apenas para metade de cada

turma, tendo a outra metade que fazer tais atividades como tarefas para casa, ou seja

sem a orientação do professor. Entre esses últimos encontros haverá uma feira de

Matemática e um outro teste. Ao decorrer de todo o curso o professor sempre contará

com atividades para casa.

Coleta de dados: Os resultados serão baseados nas fichas de atividades

preenchidas pelos alunos, complementados por anotações oriundas de observações;

dois teste avaliativos; e na observação da feira Matemática realizada ao final do curso,

que por sua vez será complementa por cartazes.


4.5.3.2.1 METODOLOGIA PADRÃO

O pesquisador não deixa realmente claro sua metodologia, porém entende-

se sua metodologia é baseada na iniciação por um problema e que todo os problemas

resolvidos em sala são trabalhados de acordo com as seguintes etapas:

1ª etapa: Deixa-se o aluno trabalhar com o problema, tendo o professor como

mediador, questionando e sugerindo para assim os alunos conseguirem desenvolver

a questão. Contudo, dependendo da situação o professor pode intervir de forma mais

direta e coletiva.

2ª etapa: É realizado a socialização, onde os alunos confrontam seus resultados e

tentam justifica-los.

3ª etapa: é feita a formalização da resolução pelo professor, e quando necessária a

formalização de um novo conceito matemático. Muitas vezes esta etapa ocorre de

forma simultânea com a etapa anterior.

Logo quando for dito que o aluno irá resolver um problema, a partir de

agora, entende-se que ele passará por essas etapas.

129


Os critérios de avalição não são dados de forma minuciosa, entretanto

sabe-se que são baseados nas observações mediante a execução das atividades, na

entrega das fichas que propõem as atividades, nos dois testes que serão executados

e na observação da feira de Matemática (apresentação da atividade “projeto”).

4.5.3.3.2.3 MATERIAIS RELEVANTES

Ficha 1:

Quadro 85 – referente a atividade preparatória 1 da síntese 4

(continua)

ATIVIDADE A – Investigando propriedades de polígonos de três lados

1- Desenhe um polígono (uma figura geométrica) de três lados. Você poderia

dizer o nome desse polígono?

2- Escreva algumas propriedades que você observa nesta figura?

3- Num triângulo, dois ângulos medem, respectivamente, 25º e 108º. Qual é a

medida do terceiro ângulo? Como você chegou a este resultado?

4- Observe os triângulos abaixo e destaque as características que você observa

em cada um deles.

130


(continuação)

1- Dos triângulos que você caracterizou acima, há pares que possuem

caraterísticas semelhantes. Separe as duplas que apresentam:

Duplas de triângulos Que nome recebem?

Os três lados iguais

Dois lados iguais e um

diferente

Os três lados diferentes

5- Observando os triângulos abaixo, o que se pose dizer acerca dos ângulos

de cada um desse triângulos?

7- Dos triângulos que você caracterizou acima, há pares que possuem

características semelhantes. Separe as duplas que apresentam:

Duplas de triângulos Que nome recebem

Um ângulo maior que 90°

Três ângulos menores que 90°

Um ângulo de 90°


131

Ficha 2:


ATIVIDADE B- Explorando a planta baixa de uma casa.

Para resolver esta atividade, leia a folha e consulte a planta em anexo.

A planta baixa de uma casa é a representação gráfica, num plano, da casa

vista de cima, sem o telhado. Onde se evidencia apenas o chão e a distribuição dos

cômodos nesse espaço. Na planta que entregamos a vocês, temos um projeto de

casa popular disponibilizada pela prefeitura de Belo Horizonte, que apresenta, além

da planta baixa da casa, vista das fachadas de casa, planta do telhado e vista de

cortes verticais. Para resolver ás questões abaixo, observe no projeto a planta 1

quarto, que é planta baixa.

1- O que você poderia dizer sobre os cômodos dessa casa (que formas têm

quantos são, etc.)?

2- Utilizando uma régua para efetuar as medidas, complete o quadro abaixo.

CÔMODOS LARGURA (cm) COMPRIMENTO (cm) ÁREA (cm²)

Banheiro

Sala

Cozinha

Quarto

3- Considerando os dados até aqui coletados, é possível encontrar a área de

toda a casa? Como?

4- Para que toda a extensão da casa caiba em um folha, ela precisa ser

reduzida de forma proporcional, para não perder suas formas originais. Para

isso usamos a escala. Nessa planta a escala utilizada é de 1/50. O que essa

escala significa?

5- Uma vez que já conhecemos a escala utilizada nessa planta, complete o

quadro, agora informando as medidas reais de cada cômodo, em metros.

CÔMODOS LARGURA (m) COMPRIMENTO (m) ÁREA (m2)

Banheiro

Sala

Cozinha

Quarto

6- Qual é a área, em m2, da casa toda?


132

Ficha 3:


ATIVIDADE 1- Medida da Altura da Parede.

1- Como você faria para medir a altura da parede da sala dispondo apenas de um

esquadro, uma régua e um canudo de refrigerante, sem poder se aproximar da

parede para medi-la diretamente? (Anote todos os passos realizados para

resolver este problema e ao final faça um esboço da situação apresentada).

a) Atenção, indique primeiro o tipo de esquadro que você está utilizando:

( )45/90/45 ( )30/90/60 ( )60/90/30

b) Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a

atividade desenvolvida.


Ficha 4:

Quadro 88 – referente a atividade complementar 1 da síntese 4

(continua)

ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1- Semelhança de triângulos.

1- Sabendo que os pares de triângulos abaixo são semelhantes encontre os

valores desconhecidos:

a) b)

c) d) e)

133



2- As figuras abaixo representam dos triângulos sobrepostos, que possuem um

vértice em comum. Determine os valores desconhecidos de x, em cada caso:

AB=7 cm, BD=4,5 cm, DE=2 cm, AC=x FG=14 cm, GI=9 cm, GJ=20cm, GH=x

KM=9 cm, NO=6 cm, LN=13,5 cm, KL=x

3- No parque de uma cidadezinha havia um pinheiro e uma estaca de 1,10m,

fincada a seu lado. Numa tarde ensolarada, no mesmo instante em que a sombra

da estaca projetada no chão era de 85 cm, a sombra do pinheiro era de 3,72m.

a) Ilustre esta situação, fazendo um desenho.

b) É possível representar esta situação por meio de dois triângulos semelhantes

imaginários?

c) Você saberia determinar a altura do pinheiro?

4- Na figura, as retas r, s e t são paralelas e determinam dois triângulos

semelhantes:

134


(continuação)

Nessas circunstâncias, encontre o valor de x, base do triângulo maior.

5- O telhado de uma casa é sustentado por ema estrutura de madeira em

forma de triângulos semelhantes:

Considerando as distâncias AB= 1,40m, AC= 2,80m, AD= 4,20 e DE= 1,20m,

quanto devem medir as vigas verticais indicadas pelos segmentos BG e CF?


Ficha 5:


ATIVIDADE 2- Medindo o ângulo usando transferidor, simulando o uso

de teodolito.

1- Na atividade 1 descobrimos a altura da parede da sala, utilizando um

esquadro posicionado a certa distância da parede.

a) Dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante, conhecidos as

medidas da altura da parede e da distância do transferidor a mesma, como

você determinaria o ângulo de inclinação relacionado a estas medidas?

(Anote todos os passos realizados para resolver este problema, registre os

cálculos e ao final faça um desenho da situação investigada).

b) Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a

atividade desenvolvida.


135

Ficha 6:


(continua)

ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2- Formalização das razões trigonométricas.

Num triângulo podemos relacionar seus lados a seus ângulos. Estas relações

recebem o nome de razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Chamamos de seno de ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre o

cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.

Chamamos de cosseno de ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre

o cateto adjacente a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.

Chamamos de tangente de ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre

o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.

1- Conhecidas as definições de tais razões, responda:

Entre as atividades realizadas em sala, há alguma em que você poderia ter

utilizado alguma dessas razões trigonométricas? Comente.

2- Cada ângulo agudo de um triângulo retângulo apresenta um valor de seno,

cosseno e tangente. A tabela abaixo apresenta três ângulos agudos e suas

respectivas razões trigonométricas.

Ângulos Seno Cosseno Tangente

22º ≈0,375 ≈0,927 ≈0,404

40º ≈0,643 ≈ 0,766 ≈0,839

68º ≈0,927 ≈0,375 ≈2,475

a) Consultando o quadro complete a que se pede para os triângulos dados.

136


(continuação)

b) Destaque semelhanças entre os triângulos acima:

c) Registre outras observações sobre a tarefa 2?

3- No triângulo retângulo representado, são especificados os valores de seus

lados e de dois ângulos agudos α e β.

a) Determine os valores de:

b) Considere os resultados encontrados nas letras I, II, V e VI. O que observou?

Como se explica o que você observou?

c) Compare outros resultados da tarefa 3a e registre suas observações:

4- Para triângulos 1, 2 e 3, calcule os valores de sen2α+cos2α:

O que você observa? Isto é sempre verdade? Justifique.


137

Ficha 7:


ATIVIDADE 3- Problemas aplicados.

Escolha três problemas da lista, cuja solução envolva uma das razões

trigonométricas. Você resolverá, assim, um problema envolvendo a razão

trigonométrica seno, um problema envolvendo a razão trigonométrica cosseno e um

problema envolvendo a razão trigonométrica tangente.

I- a) Número do problema:

b) Razão trigonométrica utilizada:

c) Resolução:

II- a) Número do problema:


c) Resolução:

III- a) Número do problema:


c) Resolução:


Ficha 8:


ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3- Problemas aplicados.

Elabore um problema cuja solução envolva uma das razões trigonométricas.

Atenção! Você precisa saber resolver o problema, mas não precisa entregar a

solução do mesmo.


Ficha 9:

Quadro 93 – referente a atividade desafio da síntese 4

(continua)

Desafio da Planta do Telhado.

Para resolver esta atividade, leia a folha e consulte a planta em anexo.

O telhado é uma das partes importantes em uma casa. Há vários tipos de

telhados, cada um composto por partes específicas. Para nosso trabalho

consideremos algumas partes de um telhado de telhas de barro, apoiado sobre uma

estrutura de madeira.

138

Quadro 93 – referente a atividade desafio da síntese 4

(continuação)

Observe a figura que representa um telhado, especificando algumas destas

partes:

Na planta entregue a você há o corte AA, que mostra o telhado e suas partes, e a

planta de cobertura, que mostra o telhado visto de cima e sua inclinação de i=35%.

Estas partes obedecem á escala 1/50, escala utilizada na construção da planta.

1- Observando o Corte AA, complete a tabela abaixo, informando as medidas

da planta, as medidas reais e o método utilizado para obter estas

informações.

2- Que ralações você pode estabelecer entre a linha, o pendural e a empena

de um talhado?

3- Que associações você consegue estabelecer entre esta tarefa e as

atividades anteriores.

4- Para evitar goteiras, os telhados devem ser projetados com uma determinada

inclinação.

a) Consulte o corte AA da planta e determine o ângulo de inclinação do telhado

em relação á horizontal. Explique o método utilizado para encontrar esta

resposta.

b) É possível determinar alguma relação entre o tamanho do pendural, o

tamanho da linha e a inclinação do telhado? Explique.


139

Ficha 10:

Quadro 94 – referente a atividade projeto da síntese 4

Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade.

Que construções da sua cidade você acha interessante?

Cada grupo deverá fotografar a construção, desenhar um croqui (esboço de uma

planta) utilizando a escala 1: 50, informando as devidas medidas e destacando os

elementos geométricos e a trigonometria relacionada.

O trabalho deverá ser entregue em duas vias:

Primeira via: em folha A4 contendo a (cópia scaneada ou imagem impressa), o

croqui (esboço da planta), informando as devidas medidas e os cálculos feitos para

obtê-las, destacando os elementos geométricos e a trigonometria relacionada.

Segunda via: em folha AG, na forma de um pôster, informando o nome do trabalho,

os membros do grupos e a turma. Na folha AG será colada uma folha A4contendo

as mesmas informações da folha A4 da primeira via.

Atenção: Diagramar o pôster e a folha A4, colocando margem e cuidando para não

cometer erros ortográficos.

*A entrega das duas vias do trabalho será dia 15/03, data em que cada grupo

apresentará o seu pôster.


Ficha 11:

Quadro 95 – referente ao anexo da atividade 3 da síntese 4

(continua)

1- (IMENES, LELLIS,2009, p.165) Numa indústria, deseja-se construir uma

rampa de comprimento c para vencer um desnível de 2,3m. o ângulo de

inclinação da rampa deve ter 20º. Qual deve ser o comprimento c da rampa,

sabendo que o ângulo de i=20º, possui razões trigonométricas iguais a:

sen20º=0,34, cos20º= 0,94, tg20º=0,36.

140



2- (IMENES, LELLIS,2009, p.168) Para instalar um teleférico, os

engenheiros mediram o ângulo Â e o desnível entre os pontos A e B.

Sabendo que sen35º=0,57, cos35º=0,82, tg35º=0,70. Calcule a medida de

AB, segmento que representa a medida do cabo do teleférico a ser instalado.

3- (IMENES, LELLIS,2009, p.164 modificado). Um rapaz observa um poste de

uma determinada rua utilizando um transferidor e um canudo de refrigerante.

O ângulo de inclinação sob o qual o rapaz vê o ponto mais alto do poste em

relação á horizontal é de 15º. Considerando que este rapaz possui 1,5m de

altura e que está a 22,5m do poste, qual é a altura aproximada do poste?

(Dados: sen15º=0,26, cos15º=0,97, tg15º=0,27).

4- (IMENES, LELLIS,2009, p.277). Qual é a altura aproximada da torre? (Dados

sen35º=0,57, cos35º=0,82, tg35º=0,70)

.

5- (IMENES, LELLIS,2009, p.277). Qual é a altura aproximada do mastro da

bandeira? (Dados sen25º=0,42, cos25º=0,91, tg25º=0,47).

141



6- (GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 323). Uma escada apoiada

em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um

ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em m? (Dados sen60º=0,87,

cos60º=0,5, tg60º=1,73).

7- (FERREIRA, 2001, p. 9). Um barco atravessa um rio num trecho ode a largura

é 100m, seguindo uma direção que forma um ângulo de 30º com uma das

margens. Calcule a distância percorrida pelo barco para atravessar o rio.

(Dados sen30º=0,5, cos30º=0,87, tg30º=0,58).

8- (GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 324). Um avião levanta vôo

sob um ângulo constante de 20º. Após percorrer 2000m em linha reta, a altura

atingida pelo avião será de, aproximadamente: (Dados: sen20º0,34, cos20º=

0,94, tg20º=0,36)

a)728m b)1880m c)1000m d)1720m e)684m

9- (GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 324). Na situação do

mapa abaixo, deseja e construir uma estrada que ligue a cidade A á estrada

BC. Essa estrada medirá: (Dados sen30º=0,5, cos30º=0,87, tg30º=0,58).

a)15km b)20km c)25km d)30km e)40km

142



10- (GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 324). A fim de medir a

largura de um rio, num certo local, adotou-se o seguinte procedimento:

marcou-se um ponto B numa margem; 30m a direita marcou-se um ponto C,

de tal forma que AB seja perpendicular à BC, e do ponto C mediu-se o ângulo

BCA, encontrando-se 30º. Dessa forma concluiu-se que a

largura AB do rio é:(Dados: sen30º= 1

2, cos30º=

√3

2, tg30º=

√3

3).

a)3

10𝑚 b)

10√3

3𝑚 c)5√3𝑚 d)10√3 m e)50√3m

11- (IEZZI et al, 2002, p. 220). Observe a figura abaixo e determine a altura h do

edifício, sabendo que AB mede 25m e senθ=0,8; cosθ=0,6; tgθ=1,3.

a)h=22,5m b)h=15m c)h=18,5m d)h=20m

12- (RUBIO, FREITAS, 2005, p. 209). Uma escada de 2m de comprimento está

apoiada no topo de um muro, em terreno plano. Ela faz ângulo de 40º com o

solo. Obtenha a altura do muro e a distância do pé da escada a base do muro.

(Dados sen40º=0,64, cos40º=0,77, tg40º=0,84).

13- (IMENESE, LELLIS, 2009, p. 165, modificado). Para conhecer a largura de

um rio o esquema abaixo ilustrado foi montado. Sabendo que sen63º=0,89;

cos63º=0,45; tg63º=1,96; calcule a largura aproximada do rio?

143



14- (IMENES, LELLIS,2009, p.292). Em certo momento do dia, um poste de 5m

de altura projeta uma sombra de 1,8m. De acordo com a tabela, qual é,

aproximadamente, o ângulo de

inclinação do Sol nesse momento?

a)68º b)69º c)70º d)71º e)n.d.a.

15- (IMENES, LELLIS,2009, p.308). Na tarde em que Cicero foi pela primeira

vez ao cinema, encantou-se com a grande tela da sala de projeção. O garoto

ficou em pé a 15m da tela, com os olhos a 1,20m do piso horizontal, conforme

mostra a figura. Nessa posição, Cicero via o ponto mais baixo da tela na

altura AB de seus olhos e ponto mais alto sob um ângulo de 30º. Qual é,

aproximadamente, a altura AB da tela? (Dados: sen30º= 1

2, cos30º=

√3

2,

tg30º= √3

3,√3=1,7)

16- (FERREIRA, 2001, p. 10, modificado) Uma pessoa de 1,70m de altura

observa o topo de uma árvore sob um ângulo 40º. Conhecendo a distância

de 6m do observador até a árvore, determinar a altura da árvore. (Dados

sen40º=0,64, cos40º=0,77, tg40º=0,84).

17- (RUBIO, FREITAS, 2005, p. 210) Um avião levanta voo sob um ângulo

constante de 20º com a horizontal. Após percorrer 1 km e m linha reta, em

que altitude ele estará? (Dados: sen20º0,34, cos20º= 0,94, tg20º=0,36).

18- (RUBIO, FREITAS, 2005, p. 210). Um carro sobe uma ladeira de inclinação

constante, que faz ângulo de 15º em relação á horizontal. Quantos metros

ele terá percorrido sobre a rampa, quando a elevação vertical for de 20m?

(Dados: sen15º=0,26, cos15º=0,97, tg15º=0,27).

19- (DANTE, 2005, p. 198) Um caminhão sobre uma rampa inclinada de 10º em

relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30m de comprimento, a quantos

metros o caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa?

(Dados: sen10º=0,17; cos10º=0,98; tg10º=0,18).

144



20- (SMOLE, DINIZ, 2005, p. 281). Observe o desenho. O vento conserva o fio

esticado formando um ângulo de 60º com a horizontal. Quando se

desenrolam 70m de fio, a que altura fica a pipa? (As mãos do menino estão

a 1,80m do chão, aproximadamente). (Dados: sen60º=0,87; cos60º=0,5;

tg60º=1,73).

21- (GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 320) Um avião levanta voo

em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que

altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que

passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? (Dados:

sen15º=0,26, cos15º=0,97, tg15º=0,27).

22- 0(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 321) Uma torre vertical de

altura 12m é vista sob olhos de 30º por uma pessoa que se encontra a uma

distância x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa

base. Determinar a distância x. (Dados: sen30º=0,5; cos30º= 0,87, tg30º=

0,58).

145



23- (DANTE, 2005, p. 197) Do alto da torre de uma plataforma marítima de

petróleo, de 45m de altura, o ângulo de depressão em relação a proa de um

barco é de 60º. A que distância o barco está da plataforma? (Dados:

sen60º=0,87; cos60º=0,5; tg60º=1,73).

24- (DANTE, 2005, p. 198) Queremos saber a largura I de um rio sem atravessá-

lo. Para isso, adotamos o seguinte processo:

*marcamos dos pontos, A (uma estaca) e B (uma árvore), um em cada

margem;

*marcamos um ponto C, distante 8m de A, onde fixamos o aparelho de medir

ângulos (teodolito), de tal modo que o ângulo no ponto A seja reto;

*obtemos uma medida de 70º para o ângulo ACB.

Nessas condições, qual a largura I do rio? (Dados: sen70º=0,94;

cos70º=0,34; tg70º=2,75).

25- (IMENES, LELLIS,2009, p.277). Num certo instante, um muro de 1,82m de

altura projeta uma sombra de 6,80 de largura.

Qual é, nesse instante a medida aproximada do ângulo é de elevação do Sol?

146


(continuação)

26- (DANTE, 2005, p. 199) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada em

ilha, avista-se um ponto de praia sob um ângulo de depressão de 30º. Qual

é a distância da torre até esse ponto? (Desconsidere a largura da torre).

(Dados: sen30º=0,5; cos30º=0,87; tg30º=0,58).

27- (DANTE, 2005, p. 199) Um avião levanta voo em A e sobre fazendo um

ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual a

distância percorrida quando sobrevoar uma torre situada a 2 km do ponto de

partida? (Dados: sen15º=0,26, cos15º=0,97, tg15º=0,27).

28- (FERREIRA, 2001, p. 9) Um poste na vertical de 4m de altura projeta uma

sombra de 4√3m sobre o solo. Qual a inclinação dos raios luminosos que

originaram a sombra?


147

Ficha 12:

Quadro 96 – referente ao anexo da atividade preparatória 2 e atividade desafio da

síntese 4


148

4.5.3.3.2.4 AULA POR AULA



149

Aula 1:


Tempo estimado 1 hora-aula

Objetivos Rever conhecimentos prévios necessários ao curso; aplicar semelhança de triângulos na resolução de um

problema.

Materiais didáticos Lousa, pincel, esquadros, canudos, trenas e as fichas 1, 2, 3, 4 e 12.

Metodologia

1ª etapa

O professor começará formalizando na lousa os conceitos explorados nas fichas 1, 2 e 12, dadas

anteriormente (7 e 5 dias atrás respectivamente), que são conhecimentos prévios de triângulos,

retângulos e leitura de plantas com escala.

2ª Etapa

Os alunos, divididos em 7 grupos e acompanhados da ficha 3, disponibilizarão do material citado

na ficha e intenderão o problema para o caso particular da parede da sala de aula, tendo assim

que resolvê-lo. Ao final da aula será dado a ficha 4 para ser resolvida em casa.


Aula 2:



Objetivos Relacionar o ângulo ao assunto de semelhança de triângulos, através da atividade proposta, afim de fazer

uma transição para o conceito de seno, cosseno e tangente.

Materiais didáticos Transferidos, canudo, trena, lousa, pincel e fichas 3, 5 e 6.

Metodologia Os alunos, nas mesmas equipes da aula passada e com mesmos materiais acrescentado transferidor e ficha

5, resolverão o problema da nova ficha. Ao final da aula será entregue a ficha 6 para ser resolvida em casa.


150

Aula 3:



Objetivos

Apresentar a relação fundamental da trigonometria (ficha 6); apresentar a relação que diz que seno de um

ângulo é igual o cosseno de seu complemento e vice-versa (ficha 6). Apresentar os conceitos de seno,

cosseno e tangente.

Materiais didáticos Lousa, pincel e fichas 6, 9 e 12.

1ª etapa O educador retomará os problemas deixados para casa nas aulas passadas, socializado as

respostas e formalizando os devidos conceitos

Metodologia 2ª etapa O educador irá formalizar de forma expositiva e dialogada os conceito de seno, cosseno e

tangente. Ao final da aula será entregue as ficha 9 e 12 para ser resolvida em casa.


Aula 4:

Quadro 100– referente a aula 4 da síntese 5


Objetivos Relacionar os conceitos já aprendidos com atividades concretas.


Metodologia 1ª etapa Será discutido a atividade da ficha 9 (socialização e formalização).

2ª etapa Será apresentado e explicado a proposta de projeto (ficha 10)


151

Aula 5:



Objetivos Aplicar em problemas os conceitos de seno, cosseno e tangente.


Metodologia Os alunos, em duplas, farão o que se pede na ficha 7, com auxílio da ficha 11. Ao final da aula será

entregue a ficha 8 para ser feita em casa.


152

4.5.3.3.2.4 OBJETIVOS DOS DEMAIS ENCONTROS

Aula 6: Introduzir os conceitos de seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico;

Introduzir o conceito de radiano e conversões de unidade de unidade de arco.

Introduzir conceitos referentes a circunferência: comprimento de arco, diâmetro e

outros.

Aula 7: Fixar os conceitos de círculo trigonométrico e arco orientado. Explorar noções

de arcos côngruos e primeira determinação positiva e negativa.

Aula 8: Aplicação dos teste 1.

Aula 9 (aula na sala de informática): Estudar a variação das funções trigonométricas

no ciclo trigonométrico; estudar os eixos no ciclo trigonométrico; estudar a

identificação dos ângulos de acordo com suas devidas funções trigonométricas.

Aula 10 (aula na sala de informática): Estudar os gráficos da função seno, cosseno

e tangente.

Aula 11: Reestudar os gráficos das funções trigonométricas com papel quadriculado.

Aula 12: Aplicação dos teste 2.

Aula 13: Apresentação do projeto.

4.5.4 RESULTADOS

4.5.4.1 OBSERVAÇÕES DAS ATIVIDADES RELATIVAS AO TRIÂNGULO

RETÂNGULO

4.5.4.1.1 ATIVIDADE 1

Os alunos apresentaram dificuldades na resolução, imagina-se que devido

não estarem acostumados com atividades investigativas. Começaram tirando

medidas desnecessárias, como o perímetro da sala, somente depois de sugestões e

questionamentos do professor é que os alunos começaram a refletir sobre

semelhança de triângulos. A maior dificuldade estava em saber qual conteúdo utilizar

para resolver o problema, ou seja, do que se tratava a questão. Nem um aluno da

turma A, conseguiu acabar a atividade em sala, sendo assim incumbidos para

terminarem em casa, na turma B, 5 grupos concluíram a atividade em sala, 11 dos 14

grupos realizaram a tarefa toda (mesmo alguns sendo em casa), onde 10 grupos

153

conseguiram solucionar o problema da forma esperada. Entretanto, alguns grupos,

apesar de terem feito o problema com o raciocínio correto, obtiverão medidas que não

condizem com a realidade, provavelmente devido ao mal uso do esquadro. Esse fato

mostra que os alunos estão acostumados com problemas abstratos e que não

conseguem associar e refletir com a realidade, pois estavam olhando para parede, e

era obvio que não teria por exemplo 5 metros, que foi uma resposta encontrada.

Entretanto, os alunos conseguiram relacionar o ângulo do esquadro a distância

necessária para visualizar o topo da parede, o que foi uma observação satisfatória na

socialização dos resultados.


Sabe-se que a atividade 2 é um complemento da atividade 1, pois já com a

resposta correta da atividade 1, os alunos deveriam calcular o ângulo formado pelo

horizonte estabelecido pela mesa de posicionamento do esquadro e o segmento

formado pelo ponto de observação e o ponto mais alto da parede, ou seja, se desse

o mesmo ângulo do esquadro, os alunos iriam confirmar que a distância que estavam

fornecia o ponto de observação correto. Cinco grupos concluíram que tinham se

posicionado corretamente, enquanto outros cinco verificaram o erro de posição; e os

demais não conseguiram verificar seus erros. Ao perguntar a que assunto referia-se

aquele problema três grupos citaram figuras semelhantes, três grupos mencionaram

triângulo retângulo e teorema de Pitágoras e quatro grupos associaram a razões

trigonométricas. Estes quatro últimos grupos deram a “deixa” para a formalização das

razões trigonométricas.

4.5.4.1.3 ATIVIDADE PREPARATÓRIA B

Quanto ao reconhecimento das figuras na planta e cálculo de área os

alunos não apresentaram dificuldades. Entretanto, tiveram dificuldades em apresentar

o significado de escala e fazer a conversão adequada, 14 das 34 duplas apresentaram

erros quanto ao significado e 18 apresentaram erros na conversão. Observa-se que

os erros desta atividade foram corrigidos e discutidos na aula 1.

154

4.5.4.1.4 ATIVIDADE DESAFIO

Já nesta atividade o problema no uso de escala foi amenizado, 22 das 35

duplas realizaram a conversão de forma adequada. Para calcular o ângulo de

inclinação pedido, 10 duplas utilizaram as funções trigonométricas, o que chamou a

atenção por ainda não ter sido trabalhado com um problema desse tipo, enquanto

doze duplas usaram o transferidor.

4.5.4.1.5 ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1

Foi de interesse analisar apenas a terceira questão desta atividade, pois

essa tratava-se de um problema contextualizado e bem clássico. Das 35 duplas

apenas 7 não conseguiram resolver a tarefa, os erros em maioria derivaram da

interpretação, onde os alunos não conseguiam encontrar a ilustração correta, alguns

fizeram um tipo de associação com as imagens da questão 2 da atividade.


Para fins de análise será considerado apenas as questões 3 e 4

consideradas mais pertinentes. Na questão 3, 15 das 32 duplas que realizaram a

atividade, completaram corretamente o quadro e 7 completaram parcialmente. As

duplas que completaram parcialmente ou erraram tiveram erros variados, como não

saber identificar os lados corretos do triângulo, ou não saber operar uma divisão entre

frações (fato muito ocorrido). Isso impediu algumas duplas a chegarem a conclusão

pedidas na tarefa 3b e 3c. Entretanto, todas as duplas notaram as coincidências

devidas, Contudo não conseguiram associar a igualdade do seno e cosseno com

ângulos complementares. Fato que só ficou explícito na formalização do professor em

sala. A 4ª questão foi realizada com êxito por 17 duplas descobrindo as devidas

consciências que seriam formalizadas como relação fundamental da trigonometria.


Os alunos não apresentaram muitas dificuldades nesta atividade. Chama-

se a atenção para o fato de escolherem em maioria problemas que tinham ilustrações,

155

imagina-se, que por facilitar o processo de interpretação. Por aparecer em menor

quantidade os problemas que envolviam cosseno tiveram certa dificuldade em sua

identificação. Outros fatos curiosos:

O problema 8 foi escolhido por 12 de 33 duplas (seno);

O problema 22 foi escolhido por 19 de 33 duplas (tangente);

O problema 27 foi escolhido por 10 de 33 duplas (9 para cosseno e 1 para

tangente);

O problema 7 foi escolhido por 6 de 33 duplas (cosseno).


Dos 31 grupos que realizaram essa atividade, 29 grupos se referem à

razões trigonométricas, 1 grupo a lei do seno e cosseno, e o 1 à ralações métricas.

Os dois últimos não foram problemas aplicados o que levou a crer que foram

problemas simplesmente copiados de algum livro. Tivemos 15 relacionados à

tangente, 11 ao seno e 3 ao cosseno.

4.5.4.1.9 ATIVIDADE PROJETO

As construções escolhidas para as atividades foram: uma escada circular,

uma tesoura de terraço, a escada da igreja Matriz, uma das rampas da escola, telhado

de um chalé e telhado de uma sala de aula. Os trabalhos podem ser resumidos com

apresentações de esquemas desenhados e maquetes com escalas, apresentações

de medições diretas e cálculos para medir ângulos ou lados de uma figura.

4.5.4.1.10 ANÁLISE DOS TESTES

Foram aplicados dois testes, onde um deles apresentava 3 questões de

trigonometria no triângulo retângulo, questões a quais manteremos o foco de acordo

com a metodologia do trabalho de quem aqui escreve. Entretanto, com o intuito de

apresentar resultados superficiais do restante do curso, abordaremos com menos

ênfase o desempenho dos alunos nas demais questões.

156

Teste 1

Descrição do teste:

Cabe observar que o teste apresenta a seguinte pergunta final: “Qual

questão você gostou mais?”. Para as demais questões segue a descrição:

Quadro 102 – descrição do teste 1 da síntese 5

(continua)

Nº d

a q

ue

stã

o

É c

on

textu

aliz

ada

?

Ap

resen

ta ilu

stra

çã

o?

Assunto


01 Sim Sim

Seno

(Triângulo

Retângulo)

Aplicação direta do conceito de seno no

triângulo retângulo afim de descobrir um

cateto

02 Sim Sim

Seno

(Triângulo

Retângulo)

Aplicação direta do conceito de seno no


cateto.

03 Sim Sim

Tangente

(Triângulo

Retângulo)

Aplicação direta do conceito de tangente no


cateto

04 a Sim Não Comprimento

de arco

Descobrir o comprimento do um arco de uma

volta dado o diâmetro.

04 b Sim Não Comprimento

de arco

Descobrir o comprimento do um arco de sete

voltas dado a mesma situação da questão

anterior.

04 c Sim Não Comprimento

de arco

Descobrir o comprimento de um arco de 45°

dado a mesma situação da questão anterior.

05 Não Não Conversão

radiano - graus.

Provar a veracidade de uma conversão.

157


(continuação)

06 Não Não Conversão

radiano - graus.

Converte um ângulo em radiano para graus

07 Não Sim

Ângulos no

ciclo

trigonométrico

Expressar 4 ângulos em radiano no ciclo

trigonométrico.

08 Sim Sim

Ângulos no

ciclo

trigonométrico

Identificar em que quadrante está um ângulo.

09 a Não Não

Ângulos no

ciclo

trigonométrico

Calcular o número de voltas de um ângulo.

09 b Não Não

Ângulos no

ciclo

trigonométrico

Identificar em que quadrante está o mesmo

ângulo.

09 c Não Não

Ângulos no

ciclo

trigonométrico

Calcular a primeira determinação positiva do

mesmo ângulo


Resultados:

Gráfico 8 - acerto dos alunos por questão no teste 1 da síntese 5

Fonte: extraído de SILVA, 2011. Layout modificado.

Observação: o teste foi feito por 34 alunos

Q 01 Q 02 Q 03Q 04

aQ 04

bQ 04

cQ 05 Q 06 Q 07 Q 08

Q 09a

Q 09b

Q 09c

Acerto total 19 19 12 8 7 3 25 28 23 30 25 11 7

Acerto parcial 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19 19

12

8 7

3

2528

23

30

25

11

7

0 03

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00

5

10

15

20

25

30

35

158

Avaliação dos resultados quanto as questões de trigonometria no triângulo

retângulo:

Alguns dos alunos que erraram até utilizaram o conceito geométrico

adequado, entretanto se confundiam em fazer a substituição, utilizando valores

incorretos ou não conseguiam distinguir os catetos. Os alunos que acertaram

parcialmente a questão três, somente esqueceram de somar um simples valor ao

resultado encontrado para obter o resultado final.

Teste 2

Descrição do teste:

Cabe observar que o teste apresenta a seguinte pergunta final: “Qual

questão você gostou mais?”. Para as demais questões segue a descrição:


(continua)

Nº d

a q

ue

stã

o

É c

on

textu

aliz

ada

?

Ap

resen

ta ilu

stra

çã

o?

Assunto


01 Não Sim

Ângulos no

ciclo

trigonométrico e

variação das

funções

trigonométricas

Expressar 8 ângulos dados em graus no ciclo

trigonométrico. Definir se uma função

trigonométrica é maior ou menor que outra,

dado os ângulos sendo os mesmos 8.

02 Não Não Expressão

trigonométrica

Resolver uma subtração entre duas funções

trigonométricas estando os ângulos em função

de um x dado em radiano

159


(continua)

03 Não Não Expressão

trigonométrica

Resolver uma grande expressão

trigonométrica, envolvendo soma,

multiplicação e divisão.

04 Não Não

Estudo do sinal

das funções

trigonométricas

Descobrir o sinal de uma multiplicação entre

três funções trigonométricas sabendo os

ângulos

05 a Não Não

Ângulos no

ciclo

trigonométrico

Descobrir qual quadrante está um ângulo bem

maior que 360°

05 b Sim Não Cosseno Calcular o cosseno do mesmo ângulo.

06 Não Não Cosseno e

seno

Calcular cosseno e seno de ângulos maiores

que 90°.

07 Não Sim

Gráficos de

funções

trigonométrica

(seno ou

cosseno)

Determinar, sem justificar, de acordo com o

gráfico se:

a) A função é par;

b) Se em um determinado intervalo é

crescente e em outro decrescente;

c) Se é ímpar;

d) Se em um determinado intervalo é

crescente e em outro decrescente;

e) Se é a função y=senx

f) Se é a função y=cosx

08 Não Sim

Gráficos de

funções

trigonométrica

(seno ou

cosseno)

Determina de acordo com o gráfico a imagem,

domínio e período de uma função

trigonométrica e por fim definir sua

representação algébrica (está última etapa é

de múltipla escolha)


160

Resultados:

Gráfico 8 - acerto dos alunos por questão no teste 2 da síntese 5

Fonte: extraído de SILVA, 2011. Layout modificado.


4.5.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO OS RESULTADOS OBTIDOS

Conclui-se que as atividades que utilizam materiais manipulativos, recursos

computacionais e aquelas que fazem referência a realidade e meio em que o aluno

está inserido contribuem diretamente com a motivação dos alunos. Assim como,

destaca-se a ordem estabelecida pela metodologia colocando as situações problemas

antecedendo os conceitos contribuiu para um desenvolvimento do significado de

forma valiosa. A de se apontar em especial o uso de recursos computacionais que

facilitaram a visualização de propriedades e conceitos. A utilização de casos

particulares para formalizar e em seguida generalização e aplicação para os demais

problemas apresentou-se como uma estratégia que permite compreender os

processos de formalização de um conceito Matemático. Ou seja, validou-se o curso e

as hipóteses que havia sobre o mesmo.

Q01

Q02

Q03

Q04

Q05 a

Q05 b

Q06 a

Q06 b

Q06 c

Q07

Q08 I

Q08III

Q08III

Q08IV

Alunos que realizaram asatividades computacionaisauxiliados pela professora

2 8 4 0 14 13 12 4 3 13 7 11 5 3

Alunos que realizaram asatividades computacionais em casa

4 4 8 1 10 6 10 1 1 8 7 12 0 1

2

8

4

0

1413

12

43

13

7

11

5

34 4

8

1

10

6

10

1 1

87

12

01

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Título do Gráfico

161


É fato que o estudo da álgebra é dado com mais ênfase no currículo

escolar, enquanto a Geometria é deixada de lado. Contudo, diferente do esperado, os

alunos tiveram mais dificuldades em questões que requeriam conhecimentos

algébricos. Logo, deixa-se a investigação deste fato como um possível estudo futuro.

4.6 SÍTESE 6:

O ensino da trigonometria subsidiado pelas teorias da aprendizagem

significativa e dos campos conceituais.

4.6.1 INTRODUÇÃO:

Tema: Uma investigação dos conceitos prévios dos alunos baseada nas teorias dos

campos conceituais Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS) de Ausubel e a

Teoria dos Campos Conceituais (TCC) de Vergnaud.

Problematização: A pesquisa surgiu, segundo a autora, em função da inquietude em

as dificuldades de compreender e de conceituar dos alunos e da falta de interesse em

relação ao tema.

Questões norteadoras: Será que os conhecimentos anteriores dos discentes, o uso

de materiais relevantes e o trabalho em grupo facilitam o ensino e aprendizagem?

Objetivos: Propor uma metodologia de ensino que possa contribuir para uma

construção significativa dos conceitos envolvidos no campo conceitual da

trigonometria.


Ausubel

A teoria da aprendizagem significativa proposta por David P. Ausubel (apud

KLEIN, 2009) e continuada. Interpretada e complementada por outros autores tem

como ideia mais importante considerar aquilo que o aprendiz já sabe. Ao dizer isso,

Ausubel quer enfocar a estrutura cognitiva do indivíduo, ou seja, as ideias e o

conteúdo que ele tem a respeito de determinado assunto. De posse dessa informação

162

é possível fazer um mapeamento das ideias prévias do aluno com o objetivo de

ensiná-lo de acordo, identificando os conceitos organizadores básicos e utilizando

recursos que facilitem a aprendizagem de maneira significativa.

Vergnald

As teorias de Ausubel e de Vergnald (apud KLEIN, 2009) em muitos

aspectos se completam. Existe a premissa de que para Vergnald, o conhecimento

está organizado em campos conceituais.

A teoria dos campos conceituais é uma teoria psicológica cognitivista que

busca propiciar uma estrutura coerente e alguns princípios básicos ao estudo do

desenvolvimento, sobretudo, às que dependem da ciência e da técnica. Sua principal

finalidade é propor uma estrutura que permita compreender as filiações e rupturas

entre conhecimentos, em crianças e adolescentes. Entende-se por “conhecimentos”,

tanto as habilidades quanto as informações expressas.

4.6.3 METODOLOGIA


Amostra da pesquisa: a experiência teve com amostra uma turma de segunda série

do Ensino Médio, composta por 28 alunos, de uma escola da rede particular de Novo

Hamburgo. O grupo de alunos era composto por 16 meninas e 12 meninos, com

idades entre 16 e 17 anos, da segunda série do Ensino Médio.

Tempo do experimento: As atividades aconteceram no período de abril de 2008 até

setembro de 2008, sempre nos períodos destinados à disciplina de Matemática, que

eram quatro horas semanais e respeitaram o conteúdo programático da série. Houve

a aplicação de um questionário com o tempo de duração de uma hora-aula, que

corresponde a cinquenta minutos.

Visão superficial do experimento: Houve a confecção de um mapa conceitual do

campo conceitual da trigonometria que teve como objetivo organizar, de forma

hierárquica, a estrutura conceitual do objeto de análise. A próxima etapa foi construir

e aplicar um questionário, cujo objetivo era de realizar um levantamento das

concepções prévias que os alunos tinham a respeito de triângulo retângulo e de como

identificar seus catetos e hipotenusa. Houve também, as ditas situações 1 e 2 para o

163

melhor desenvolvimento do trabalho e dos discentes. Foram usados, também,

materiais concretos.

Coleta de dados: Foram usados registro oral e escrito dos conhecimentos prévios

dos alunos, o registro das observações feitas em sala de aula, o registro escrito de

várias situações problema, além das avaliações formais.


4.6.3.2.1 PADRÃO DA METODOLOGIA DAS AULAS

Aplicação de questionário: A professora aplica questionários, onde, ela verifica os

conceitos prévios para poder aproveitar esta estrutura construída para trabalhar

construindo cada vez mais e lapidando melhor este conhecimento através de

materiais concretos e trabalhos em grupos e outros tipos de trabalhos.

Formação e discussão em grupo: A formação em grupos é provocada, através das

atividades para socializar a discussão de como fazer melhor os trabalhos em materiais

concretos e determinados exercícios no caderno.

Formalização: Será esclarecida algumas dúvidas através de perguntas feitas pelos

alunos tanto do questionário inicial quanto na situação 1 e 2 e também, verificado

alguns erros das atividades escritas, será exposto no quadro.


Não ficou clara que seria feita a avaliação no desenvolvimento das

atividades, somente houve avaliação escolar, porém foi feita análise das respostas do

questionário e das chamadas situações.

Avaliação escolar aconteceu de uma forma tradicional, pois ficou enfatizado

de que não poderia haver, no decorrer da mesma, fatos que interferissem no

andamento regular da escola.

A avaliação, continha 10 questões envolvendo as razões trigonométricas.

Ocupou o tempo de duas horas-aula. O resultado foi categorizado e analisado pela

autora.

164

4.6.3.2.3 MATERIAIS RELEVANTES:

Ficha 1:

Quadro 104 – referente ao questionário inicial da síntese 6

Questionário inicial

1.O que você entende por triângulo retângulo? Existe alguma característica que o

diferencia dos demais triângulos?

_______________________________________________________________

2. Num triângulo retângulo, como você identifica os catetos e a hipotenusa?

Catetos:_________________________________________________________

Hipotenusa:______________________________________________________

3. Com o auxílio de um transferidor e de uma régua, faça o desenho de dois

triângulos retângulos, ambos com hipotenusa medindo 5,0 cm de comprimento: em

um deles, um dos ângulos internos deve ser 30º e, o outro, um dos ângulos internos

deve ser 45º.

4. Identifique, em cada desenho, do item 3:

- o cateto adjacente (CA) ao ângulo de 30º e o cateto oposto (CO) ao ângulo de 30º;

- o cateto adjacente (CA) ao ângulo de 45º e o cateto oposto ao ângulo de 45º (CO);

5.Utilizando a régua, meça (em cm) cada um dos catetos dos desenhos do item 3 e

anote as medidas encontradas na tabela abaixo: (utilize uma casa decimal)

6. Responda: O cateto pode ser maior do que a hipotenusa? ( ) Sim ( ) Não

Justifique:_______________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Fonte: extraído de KLEIN, 2009.

165

Ficha 2:


(continua)

Situação organizada com o objetivo de definir as razões trigonométricas no

triângulo retângulo.

1. Meça os ângulos internos do triângulo que você tem e anote as medidas abaixo:

Ângulos: __________ Catetos:________ Hipotenusa:________

__________ ________ ________

2. Procure o(s) colega(s) que tenha(m) os mesmos valores para ângulos internos

do triângulo retângulo que você tem e forme com ele(s) um grupo.

3. No grupo, discuta e responda as perguntas abaixo:

3.1.Compare os triângulos e escrevam abaixo, quais são as suas diferenças e quais

são as suas semelhanças (o que eles têm em comum).

Diferenças:______________________________________________________

Semelhanças:____________________________________________________

3.2. Faça um desenho (não necessariamente no tamanho real), que demonstre as

conclusões acima, referentes à comparação entre os triângulos.

4. O grupo deve escolher um dos ângulos agudos (para os três triângulos deve ser

o mesmo) e anota-lo abaixo. Em seguida, identificar e anotar as medidas do cateto

adjacente ao ângulo (CA) escolhido, do cateto oposto (CO) ao ângulo escolhido e

da hipotenusa.

Triângulo pequeno Triângulo Médio Triângulo Grande

Ângulo:______ Ângulo:_____ Ângulo:______

Cateto oposto(CO):_____ Cateto oposto(CO):____ Cateto oposto(CO)___

Cateto adjacente(CA):____Cateto adjacente(CA):___Cateto adjacen.(CA):____

Hipotenusa:________ Hipotenusa:________ Hipotenusa:______

5. Efetuar, para cada triângulo, as razões sugeridas:

Triângulo pequeno =

Triângulo médio =

166


(continuação)

Triângulo grande =

6. Observe e discuta com o seu grupo, procurando escrever abaixo a(s)

conclusão(ões) a(s) qual(is) vocês chegaram. Conclusão(ões):____________

_______________________________________________________________


Ficha 3:

Quadro 106 – referente ao teste 1 da síntese 6

(continua)

Primeira avaliação, envolvendo as razões trigonométricas, seno, cosseno e

tangente.

Responda as questões abaixo, justificando a tua resposta pelo cálculo

correspondente:

1) Vamos imaginar um projétil que foi lançado formando com o solo um ângulo de

45° e que não há ação da gravidade sobre o mesmo. Depois de percorrer 1500 m

em linha reta, a que altura estava do chão?

2) Um barco parte para fazer a travessia mais curta possível de um rio. No entanto,

a correnteza o arrastou para 48 m além do local previsto para a sua chegada. De

onde chegou avista-se o ponto de partida sob um ângulo de 60° com a margem em

que está. Qual é a largura do rio?

3) Um cabo de aço está amarrado no topo de um poste, Ele se encontra preso ao

chão a 6 m do pé do poste, formando um ângulo de 30°. Qual é o comprimento do

cabo de aço ? Qual é a altura do poste?

4) Um triângulo equilátero tem 12 m de altura. Determine a medida aproximada de

seus lados. (Lembre-se que um triângulo equilátero tem lados e ângulos iguais).

167

Quadro 106 – referente ao teste 1 da síntese 6

(continuação)

5) Uma escada de 6 m de comprimento está encostada em uma parede. A distância

entre o pé da escada e parede é de 3m. Determine o ângulo formado entre a escada

e a parede.

6) O mestre de uma obra estava descarregando areia de um caminhão. Sabendo

que a tábua que ele colocou, apoiada na caçamba do caminhão, tem 4m e que a

inclinação da rampa é de 30°, calcule a altura que a caçamba está do solo.

7) Uma antena de 18m de altura é presa ao chão por 4 cabos de aço. O ângulo

formado por cada um deles com a ponta da antena mede 45°. Quantos metros de

cabo de aço foram usados, aproximadamente, para prender essa antena?

8) Um avião que está a 6 500 m de altura inicia o procedimento de aterrissagem sob

um ângulo constante de 10°. Se o aeroporto está no nível do mar, qual a distância

entre o avião e o início da aterrissagem?

9) Se para prender um poste de 18 3 m de altura utilizarmos um cabo de aço

(esticado) com 36 m, qual será o ângulo de inclinação do cabo de aço em relação

ao solo?

10) Um poste vertical projeta uma sombra de 10 m sobre o solo. Se o poste tem 10

m de altura, determine a inclinação dos raios solares em relação ao solo.


Material concreto 1:

Figura 1: Esquema de um astrolábio


168

Material concreto 2:

Figura 2 – Esquema de um teodolito formado com astrolábio e uma alidade





169

Aula 1:


Tempo estimado Uma hora-aula

Objetivos Realizar um levantamento sobre os conhecimentos prévios dos alunos a respeito do triângulo retângulo e

como identificar seus catetos e hipotenusa, bem como da habilidade de representá-lo com ângulos e

comprimentos de lados específicos, usando transferidor e régua.

Materiais didáticos Questionário (ficha 1), régua e transferidor.

Metodologia Questionário para os alunos responderem de forma individual com uso da régua e transferidor.

Fonte: baseado no testo de KLEIN, 2009.

Aula 2:


(continua)

Tempo estimado Não informado pela autora

Objetivos Introduzir as definições de razões trigonométricas

Materiais didáticos Questionário (apêndice C), Triângulos retângulos feitos de material E.V.A., Transferidor e régua.


Trinta triângulos retângulos serão distribuídos aos alunos da turma de forma individual, logo após

a pesquisadora fará perguntas sobre quem tem triângulos retângulos de ângulos internos de dez

graus, vinte graus e assim por diante até que os alunos se reúnam formando seus grupos de

trabalho.

170


(continuação)

Metodologia

2ª etapa

Os grupos formados responderão ao questionário utilizando os triângulos semelhantes por meio

dos materiais concretos para medir ângulos e medir os lados, realizando aproximações sempre

que necessário.

3ª etapa

Discussão, com toda a turma, sobre as conclusões obtidas pelos grupos e definir as razões seno,

cosseno e tangente para um triângulo retângulo, bem como os ângulos chamados de ângulos

notáveis, além de os valores das razões trigonométricas para esses ângulos e cada aluno fazer

as devidas anotações, no seu caderno.


Aula 3:


(continua)

Tempo estimado Não informado pela autora

Objetivos

- Construção de astrolábio;

- Identificação das razões o trigonométricas conveniente para determinar a altura da cesta de basquete,

localizada na escola.


Uma caneta esferográfica “bic” sem o refil, para servir de ponto de mira; um transferidor de meia-volta ou

volta inteira; um peso, poderia ser a própria borracha, para dar prumo; um pedaço de cordão ou fio onde seria

amarrado o peso; fita métrica ou trena para realizar as medições.

171


(continuação)

Metodologia

1ª etapa

Os alunos serão divididos em grupos de 4 alunos, logo em seguida será passada a eles algumas

informações históricas sobre o instrumento que irão confeccionar, o astrolábio, logo após, eles o

construirão.

2ª etapa

Será dada informações sobre seu uso e, com as informações dada pela professora, os discentes

irão para o pátio da escola com o desfio de medir a altura da cesta de basquete, utilizando o

astrolábio, e a trena ou fita métrica.

3ª etapa

Entrega de um relatório para a pesquisadora contendo título (a ser discutido pelo grupo) e em

seguida, promover também exercícios de fixação do assunto sobre as razões trigonométricas no

livro-texto e por meio de questões de vestibular.


6

172

4.6.3.3.5 OBJETIVOS DOS DEMAIS ENCONTROS

Aula 4: Chamada de situação 3, cujo objetivo era estabelecer uma relação entre o

grau e o radiano.

Aula 5: Com nome de situação 4, foi planejada para que os alunos pudessem dar

significado ao raio unitário e à representação das funções trigonométricas no Círculo

Trigonométrico (CT).

Aula 6: Situação 5 cujo o principal objetivo era a tarefa de redução ao primeiro

quadrante, utilizando o CT construído na situação 4.

Aula 7: O objetivo era a visualização dos gráficos das funções seno, cosseno e

tangente nos eixos coordenados.

4.6.4 ANÁLISE DOS RESULDADOS

4.6.4.1 QUESTIONÁRIO INICIAL

A questão 1 apresentou 6 categorias no qual, os alunos acertaram somente

3. A questão de número dois, de quatro categorias, houve acerto de duas. A questão

de número 3, possui 4 categorias, porém acertaram somente uma. Conforme a autora,

em outras categorias os alunos tinham os conceitos exigido, porém, haviam

representado os triângulos de forma incorreta. A Questão de número 5, segundo

autora, apenas 25% dos alunos completaram o que foi pedido. E a questão 6,

aparentemente não foi feito categorias. A maioria errou.

Percebe-se que os alunos possuem vários conceitos sobre o triângulo

retângulo, porém não tem um conceito formal, percebendo essa falha a professora

esclareceu os conceitos de catetos e hipotenusa, o motivo de o triângulo ser retângulo

e de como usar o transferidor. Partindo dos conceitos formalizados para os alunos,

ela elaborou as próximas atividades.

4.6.4.2 SITUAÇÃO 1

Não houve categorização e nem comentários sobre as questões de número 1

e 2. A questão 3 que se subdividiu em 3.1 e 3.2, os 10 grupos acertaram a 3.1 e

somente nove acertam a 3.2 houve categorização. As questões de número quatro e

173

cinco não foram categorizadas, pois o de número seis faria retorno a ela. Essa questão

foi respondida por oito grupos e dois não fizeram o que foi pedido. Na situação de

número dois, toda a turma acertou o cálculo do trabalho. O uso de material concreto

foi amplamente proveitoso no trabalho sobre razões trigonométricas.

4.6.4.3 SITUAÇÃO 2

Com os conceitos já formalizados, outra vez, o uso do material concreto foi

útil para o trabalho. Eles usaram a razão tangente e procederam de forma correta na

montagem da razão e no cálculo. Pelo que se percebe é que o teodolito foi construído

de forma correta, pois foi dada uma série de informações de como manuseá-lo.

4.6.4.4 AVALIAÇÃO ESCOLAR

Somente a segunda questão teve resultado, menos que 50% de acerto. No

geral a média de alunos que acertaram as questões foi de 18,9 para uma turma de 27

alunos.

Apesar de os alunos passarem por 3 etapas anteriores sendo esclarecidos

sobre o triângulo retângulo, a minoria ainda tinha dificuldade em identificar os catetos

e hipotenusa trocando um pelo outro, fez erros de cálculo, alguns não souberam

representar os dados e conceituou equivocadamente as razões, porém no geral a

prova foi muito boa, havendo muitos acertos.


4.6.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO AO RESULTADO

O objetivo geral desta pesquisa era propor uma metodologia de ensino

baseada na TAS de Ausubel e na TCC de Vergnaud, que pudesse contribuir para a

construção significativa dos conceitos envolvidos no campo conceitual da

trigonometria. Os objetivos específicos auxiliaram na delimitação das etapas da

pesquisa.

174

Pelo envolvimento dos alunos e da pesquisadora, pode-se afirmar que uma

metodologia baseada na Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel (TAS) e na

Teoria dos Campos Conceituais (TCC) de Vergnaud provoca uma significativa

mudança no processo de ensino e aprendizagem. Contribui para uma educação

inovadora, mais humana, que desperta, no estudante, o interesse em participar da

aula, transforma a sala de aula num rico laboratório, provocando o seu crescimento

pessoal e cognitivo, considerando o aluno como um ser ativo, durante todo o processo.

4.6.5.2 CONSIDERAÇÕES FUTURAS

Usar a essa metodologia da pesquisadora baseada na Teoria da

Aprendizagem Significativa de Ausubel (TAS) e na Teoria dos Campos Conceituais

(TCC) de Vergnaud em sala de aula, pois pareceu bem simples e proveitosa, porém

readequando o tempo, pois aparentemente os alunos iria ter um proveito muito

melhor.

175

5 CONSIDERAÇÕES FINAL

Neste trabalho procuramos investigar teses e dissertações desenvolvidos

com intuito de explorar novas abordagens no campo do ensino da Trigonometria.

Através de sínteses de cada um dos estudos vimos referencias de cursos que

tratavam uma abordagem mais significativa aos olhos do pesquisador.

Observamos que conforme nossas expectativas, todas as pesquisas

encontradas, tratavam explicita ou implicitamente da investigação de um curso com

perspectiva construtivista. Ou seja, tal indício aponta uma corrente que está sendo

fortemente defendida. Contudo, vimos que são apresentadas poucas pesquisas

referentes ao assunto do trabalho, sendo que não fora encontrado nem uma tese e

fora apresentada 6 dissertações, número muito abaixo da expectativa inicial.

Notamos que todas as pesquisas usaram problemas como principal

proposta para investigação inicial do conceito, e todas elas apresentam este aspecto

como um fator potencializado do ensino de Matemática. A pesquisa de Lindegger

(2000) chega até mesmo a comparar a metodologia tradicional com a proposta, e

mostra em seus resultados evidências que indicam que seu curso estabeleceu um

padrão de aprendizagem mais elevado.

Contudo, entendemos que em todas as pesquisas houve uma falta de

padrão científico na coleta e tratamento de dados, por exemplo, no teste exibido por

Lindegger (2000), para a apuração dos resultados, não notamos que este avaliava de

forma proposital e bem dirigida competências específicas compreendidas ao decorrer

de seu curso, assim como outro exemplo, temos Silva (2011) que em um de seus

testes apresenta apenas 4 questões de trigonometria no triângulo retângulo, e as

quatro avaliam praticamente a mesma competência. Assim como, nos autores que

trabalharam apenas com observação das aulas onde notou-se, um certo desleixo

similar no tratamento dos dados.

Também notou-se a falta de orientação quanto a avalição continua do aluno

ao decorrer do curso, por exemplo, não houve em momento algum a apresentação de

fichas avaliativas preenchidas de acordo com as observações nas atividades para

estabelecer um padrão de tratamento de dados e avaliação do discente.

Entendemos também que as atividades apresentadas não são realmente

perfeitas, estando carente de mais criatividade e estruturação apropriada. Por

exemplo algumas atividades poderiam apresentar mais etapas, de modo a torná-las

176

mais dirigidas e simples, tendo assim um processo de indução mais suave, em

especial esta crítica cabe nas atividades que o professor teve de intervir de forma mais

significativa.

Com todas essas críticas, ainda assim, vemos na elaboração dos cursos

apresentados uma fonte de inspiração com poder de auxiliar o educador. Entretanto

compreendemos que ainda é preciso desenvolver muitas características para alcançar

uma perfeição.

Deixamos como objetivo para uma futura pesquisa uma análise e avaliação

fundamentada e bem dirigida das dissertações aqui apresentadas, e não somente a

exposição, como foi feito neste trabalho.

O suposto sucesso da pesquisa de Borges (2009), nos deixou intrigados e

maravilhados quanto ao uso do software de Geometria dinâmica. Logo, uma pesquisa

que trata da investigação do poder deste Software como ferramenta contribuinte para

o ensino de trigonometria no triângulo retângulo é bem-vinda.

Nem um pesquisador, apesar de todos usarem essa metodologia, deixo

claro o processo de indagação que induz o aluno a resposta do problema. Com isso

cabe aqui uma pesquisa com o foco no diálogo aluno e professor.

177

6 REFERÊNCIAS

BOCK, Ana Mercês. Psicologias: uma introdução ao estudo da Psicologia. São

Paulo: Saraiva, 1999.

BORGES, Carlos Francisco. Transição das razões trigonométricas do triângulo

retângulo para o círculo trigonométrico: uma sequência de ensino. 144 pg.

Dissertação (Mestrado Profissional em ensino de Matemática) – PUC-SP. São Paulo,

2009.

CURY, Augusto. O código da inteligência: a formação de mentes brilhantes e a

busca pela excelência emocional e profissional. Thomas Nelson Brasil/Ediouro: Rio

de Janeiro, 2008.

KLEIN, Marjúnia. O ensino da trigonometria subsidiado pelas teorias da

aprendizagem significativa e dos campos conceituais. 99 pg. Dissertação

(Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – PUC-RS. Porto Alegre, 2009.

LINDEGGER, Luiz Roberto. Construindo os conceitos básicos da trigonometria

no triângulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação de modelos. 197 pg.

Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – PUC-SP. São Paulo, 2000.

NASCIMENTO, Alessandra. Uma sequência de ensino para a construção de uma

tabela trigonométrica. 195 pg. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de

Matemática) – PUC-SP. São Paulo, 2005.

SADOVSKY, P. O ensino de Matemática de Hoje: Enfoques, sentidos e desafios.

São Paulo: Ática, 2010.

SILVA, Marlizete. Trigonometria, modelagem e tecnologias: um estudo sobre uma

sequência didática. 233 pg. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e

Matemática) – PUC-MG. Belo Horizonte, 2011.

178

SILVA, Silvio. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO: Construindo uma

aprendizagem significativa. 176 pg. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)

– PUC-SP. São Paulo, 2005.

Documents

Alailson João Ribeiro Formento Miguel ... - ccse.uepa.brccse.uepa.br/downloads/tcc/2013/formento_santos_2013.pdfdissertations from institutions varied, being counted only files available