Alberto Raposo – PUC-Rio INF 1366 – Computação Gráfica Interativa Transformações Alberto B. Raposo [email protected] abraposo/INF1366

Alberto Raposo – PUC-Rio

INF 1366 – Computação Gráfica Interativa

Transformações

Alberto B. Raposo

[email protected]

http://www.tecgraf.puc-rio.br/~abraposo/INF1366

http://www-nt.inf.puc-rio.br/cgilua/cgilua.exe/index.html

http://www-nt.inf.puc-rio.br/cgilua/cgilua.exe/index.html

http://www.puc-rio.br/


Sistemas de Coordenadas

• Objetos em Computação Gráfica possuem descrições numéricas (modelos) que caracterizam suas formas e dimensões.

• Esses números se referem a um sistema de coordenadas, normalmente o sistema Cartesiano de coordenadas: x, y e z.

• Em alguns casos, precisamos de mais de um sistema de coordenadas:– Um sistema local para descrever partes individuais de uma

máquina, por exemplo, que pode ser montada especificando-se a relação de cada sistema local das várias peças.

John Dingliana, 2004


Transformações• Em alguns casos, objetos exibem simetrias, de modo

que apenas parte deles precisa ser descrita, pois o resto pode ser construído por reflexão, rotação e/ou translação do pedaço original.

• Um projetista pode querer visualizar um objeto sob vários pontos de vista, rotacionando-o ou movendo uma câmera virtual.

• Em animação, um ou mais objetos podem precisar se mover em relação ao outro, de modo que seus sistemas de coordenadas locais devam ser transladados e rotacionados ao longo da animação.



etc...

Exemplo 1

• Partes do objeto definidas em sistemas de coordenadas locais:

• Objeto “montado” por meio de transformação das partes constituintes:



5 etapas de uma animação de um cubo girando

Exemplo 2

• A cada quadro da animação, o objeto é transformado (rotação, nesse caso).

• O objeto também poderia ser transformado pela mudança de tamanho (escalamento), sua forma (deformação), ou sua localização (translação).

• Outros efeitos de animação são obtidos sem alterar o objeto em si, mas a forma como ele é visualizado (transformação window to viewport) a cada quadro (por exemplo, um zoom).



Transformações• Há 2 formas de se enxergar uma transformação

– Uma Transformação de Objeto altera as coordenadas de cada ponto de acordo com alguma regra, mantendo o sistema de coordenadas inalterado.

– Uma Transformação de Coordenadas produz um sistema de coordenadas diferente, e então representa todos os pontos originais nesse novo sistema.

• Cada maneira tem suas vantagem, e são intimamente relacionadas.



1,1

.4, 2

TRANSFORMAÇÃO DE OBJETO

(1,1)

(1,1)

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS



Classes de Transformações

• Euclidianas / Corpos Rígidos

• de Similaridade

• Lineares

• Afins

• Projetivas


Transformações Euclidianas

• Preservam distâncias

• Preservam ângulos

Translação

Rotação

Corpos Rígidos / Euclidianas

Identidade

Identidade

Translação

Rotação

MIT EECS 6.837, Durand and Cutler


Transformações de Similaridade

• Preservam ângulos

TranslaçãoRotação

Euclidianas

Similaridades

EscalamentoIsotrópico

Identidade


EscalamentoIsotrópico


Transformações Lineares


EuclidianasLinear

Similaridades

EscalaentoIsotrópico

IdentidadeEscalamento

Shear

Reflexão

Escalamento Reflexão Shear



Transformações Lineares

• L(p + q) = L(p) + L(q)

• L(ap) = a L(p)



Transformações Afins

• Preservam linhas paralelas Afins


EuclidianasLinear

Similaridades



Shear

Reflexão


TransformaçõesProjetivas

• preservam linhas Projetivas

Perspectiva

Afins


EuclidianasLinear

Similaridades



Shear

Reflexão


Perpectiva

Perspectiva é um dos fatoresque dá “aparência 3D” às cenas


Transformações 2D

EscalamentoRotação

Translação

EscalamentoTranslação

x

y

Coordenadas do mundo

Coordenadas de modelagem

D. Brogan, Univ. of Virginia


Transformações 2D

x

y


Localizaçãoinicial em(0, 0) comeixos x e yalinhados



Transformações 2D

x

y


Scale .3, .3Rotate -90

Translate 5, 3



Transformações 2D

x

y



Translate 5, 3



Transformações 2D

x

y



Translate 5, 3



VRML: Nó Transform


Exemplo em VRML

The Annotated VRML Reference


Exemplo em VRML


X3D – Nó Transform


Exemplo em X3D


A ordem das transformações faz diferença!


Escalamento• Escalar uma coordenada significa multiplicar cada

um de seus componentes por um valor escalar• Escalamento isotrópico significa que esse valor

escalar é o mesmo para todos os componentes

2



• Escalamento não-isotrópico: valores escalares diferentes por componente:

• Como representar o escalamento na forma de matrizes?

Escalamento

X 2,Y 0.5



Escalamento

• Operação de escalamento:

• Na forma matricial:

by

ax

y

x

'

'

y

x

b

a

y

x

0

0

'

'

Matriz de escalamento



Rotação 2D

cos ( ) cos cos sin sin ( ) ( ) ( ) ( )

sin ( ) sin cos cos sin ( ) ( ) ( ) ( )P

Q

R PX

PY

[1][2]

[3][4]

[1] )( )( )( )( sinsincoscos RRxQ

Substituindo de [3] e [4]…

)( )( sincos yPxPxQ

Similarmente, a partir de [2]…

)( )( sincos xPyPyQ

)Rcos( QX )Rsin( Qy

)(cosR PX )(sinR Py



Rotação 2D

(x, y)

(x’, y’)

x’ = x cos() - y sin()y’ = x sin() + y cos()



Rotação 2D• Na forma matricial:

• Embora sin() e cos() sejam funções não-lineares de ,– x’ é combinação linear de x e y– y’ é combinação linear de x e y

y

x

y

x

cossin

sincos

'

'



Translação 2D

y

x

y

x

tytx

tt

yx

yx

''

y

xx

y

y

x

t

tt

M. Gattass, PUC-Rio


Transformações 2D Básicas• Translação:

– x’ = x + tx

– y’ = y + ty

• Escalamento:– x’ = x * sx – y’ = y * sy

• Rotação:– x’ = x*cos - y*sin – y’ = x*sin + y*cos

Podem ser combinadascom álgebra simples



Transformações 2D Básicas

• Translação:– x’ = x + tx

– y’ = y + ty






– y’ = y + ty



x’ = x*sx

y’ = y*sy

(x,y)

(x’,y’)




x’ = (x*sx) *cos - (y*sy) * siny’ = (x*sx) * sin + (y*sy) * cos

(x’,y’)


– y’ = y + ty







– y’ = y + ty



x’ = ((x*sx)*cos - (y*sy)*sin) + tx

y’ = ((x*sx)*sin + (y*sy)*cos) + ty

(x’,y’)




Representação Matricial

• Representar transformação 2D por uma matriz

• Multiplicar matriz por vetor-coluna aplicar transformação a um ponto

yx

dcba

yx''

dcba

dycxy

byaxx

'

'



Representação Matricial

• Transformações são combinadas por multiplicação de matrizes

yx

lkji

hgfe

dcba

yx

''

Matrizes são uma forma conveniente e eficiente de representar uma seqüência de transformações



Produto de Matrizes

q

kkjikij bac

1

qmqq

m

m

nqnn

q

q

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

21

22221

11211

ABC

100

010

001

Ineutro:M. Gattass, PUC-Rio


Matrizes 2x2

• Que transformações planares podem ser representadas com uma matriz 2x2?

Identidade 2D?

yyxx

''

yx

yx

1001

''

Escalemento 2D em torno de (0,0)?

ysy

xsx

y

x

*'

*'

y

x

s

s

y

x

y

x

0

0

'

'



Matrizes 2x2



Rotação 2D em torno de (0,0)?

yxyyxx

*cos*sin'*sin*cos'

y

x

y

x

cossin

sincos

'

'


Matrizes 2x2



Espelhamento 2D em torno de Y?

yyxx

''

yx

yx

1001

''

Espelhamento 2D em torno de (0,0)?

yyxx

''

yx

yx

1001

''


Matrizes 2x2



Translação 2D?

y

x

tyy

txx

'

'NÃO!


Coordenadas Homogêneas

• Como representar uma translação como matriz 3x3?

y

x

tyy

txx

'

'



•Coordenadas homogêneas– representam

coordenadas em 2 dimensões com vetor 3

1

homogêneas coord. yx

yx

• Coordenadas Homogêneas parecem pouco intuitivas, mas elas simplificam muito as operações gráficas




• Como representar uma translação como matriz 3x3?

y

x

tyy

txx

'

'

Resp: Usando a terceiracoluna da matriz

1001001

y

x

tt

Translação



Translação

•Exemplo

111001001

1''

y

x

y

x

tytx

yx

tt

yx

tx = 2ty = 1

•Coordenadas Homogêneas




• Coloca uma 3a coordenada para cada ponto 3D– (x, y, w) representa um ponto em (x/w, y/w)

– (x, y, 0) representa um ponto no infinito

– (0, 0, 0) não é permitido

Sistema conveniente para representar muitas transformações úteis em CG

1 2

1

2(2,1,1) or (4,2,2) or (6,3,3)

x

y




• Representação em matrizes 3x3

1100

0cossin

0sincos

1

'

'

y

x

y

x

1100

10

01

1

'

'

y

x

t

t

y

x

y

x

1100

01

01

1

'

'

y

x

sh

sh

y

x

y

x

Translação

RotaçãoCisalhamento (Shear)

1100

00

00

1

'

'

y

x

s

s

y

x

y

x

Escalamento


Cisalhamento (Shear)

yxshy

yshxx

y

x

*'

*'

x

y

x

y

11000100tan1

1

tan

1

''

yx

yyx

yx

M. Gattass, PUC-Rio


Concatenação de Transformações

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

yT1

R1

E

R2

T2

P’= T2 R2 E R1 T1 PP’= T2 R2 E R1 T1 PM. Gattass, PUC-Rio


Composição de Matrizes

• Transformações podem ser combinadas pela multiplicação de matrizes

w

y

x

sy

sx

ty

tx

w

y

x

100

00

00

100

0cossin

0sincos

100

10

01

'

'

'

p’ = T(tx,ty) R() S(sx,sy) p




• Atenção: ordem das transformações faz diferença– Multiplicação de matrizes não é comutativa

p’ = T * R * S * p

“Global” “Local”


Ordem das Transformações

x

y

y

xp

R x

y

2

22 y

xp

T

x

y

1

11 y

xp

R x

y

y

x1p

x

y

2

22 y

xp

T

(a)

(b)M. Gattass, PUC-Rio



• Ex: rotacionar segmento em 45 graus em torno da extremidade a

a a

Resultado esperado




• Erro: aplicar a rotação de 45o, R(45), afeta as duas extremidades– Pode-se tentar fazer a rotação e depois retornar o ponto

a à sua posição original, mas quanto ele precisaria ser transladado?

Errado!R(45)

aa

CorretoT(-3) R(45) T(3)

a


Como trazer o ponto a devolta à posição original??

?



• Correto: isolar ponto a dos efeitosda rotação

1. Transladar a linha para colocar a na origem: T (-3)

2. Rotacionar linha em 45o: R(45)

3. Transladar a de volta: T(3)

a

a

a

a




1''

1

100010301

1000)45cos()45sin(0)45sin()45cos(

100010301

y

x

y

x

aa

aa

T(3) R(45) T(-3)

A multiplicação começa da última para a primeira transformação



•Depois de ordenar as matrizes corretamente:– Multiplicá-las– Guardar resultado em uma só matriz– Usar essa matriz para realizar a transformação

composta em cada um dos pontos que definem o objeto transformado (vértices, por exemplo)

Todos os vértices podem ser transformados com uma simples multiplicação de vetor por matriz.


Exercício 2D

• Considere o triângulo com os seguintes vértices em coordenadashomogêneas– Rotacione o triângulo

de 90o (sentido anti-horário) em relação aoponto P = (6,5)

y

x

C

BA

P


Etapas da Solução

1. Definir matriz para transladar o triângulo de modo que o centro de rotação se mova para a origem do sistema de coordenadas

2. Definir matriz para rotacionar o triângulo3. Definir matriz para transladar o triângulo

de volta4. Gerar matriz combinada da transformação5. Transformar os vértices do triângulo


Etapas da Solução

1. Definir matriz para transladar o triângulo de modo que o centro de rotação se mova para a origem do sistema de coordenadas

– Centro de rotação: P = (6,5)– Translação de -6 unidades em x e -5 unidades

em y


Etapas da Solução

2. Definir matriz para rotacionar o triângulo• O ângulo de rotação é medido no sentido anti-

horário: R(+90o)• cos(90o) = 0 e sin(90o) = 1


Etapas da Solução

3. Definir matriz para transladar o triângulo de volta

• Translação de 6 unidades em x e 5 unidades em y


Etapas da Solução

4. Gerar matriz combinada da transformação

=


Etapas da Solução

5. Transformar os vértices do triângulo

y

x

C

BA

P

B’

= A’

C’


Transformações em 3D

• Mesma idéia que em 2D:– Coordenadas homogêneas: (x,y,z,w) – Matrizes de trasnformação 4x4

wzyx

ponmlkjihgfedcba

wzyx

''''



wzyx

wzyx

1000010000100001

'''

w

z

y

x

t

t

t

w

z

y

x

z

y

x

1000

100

010

001

'

'

'

w

z

y

x

s

s

s

w

z

y

x

z

y

x

1000

000

000

000

'

'

'


TranslaçãoD. Brogan, Univ. of Virginia



wzyx

wzyx

1000010000100001

'''

Espelhamento em torno doplano YZ

wzyx

wzyx

1000010000100001

'''

Espelhamento em torno doplano XZ

wzyx

wzyx

1000010000100001

'''

Espelhamento em torno doplano XY



wzyx

wzyx

1000010000cossin00sincos

'''

Rotação em torno de Z:

w

z

y

x

w

z

y

x

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

'

'

'

wzyx

wzyx

10000cossin00sincos00001

'''

Rotação em torno de Y:

Rotação em torno de X:


Rotações Reversas

• Como desfazer uma rotaçãoR()?– Aplicar o inverso da rotação: R(-)

•Construindo R(-) :– cos(-) = cos()

– sin (-) = - sin ()

• Assim: R(-) = RT()

10000cos0sin00100sin0cos

10000cos0sin00100sin0cos

T


Exercício 3D

• Encontre as respectivas matrizes de transformação para os seguintes casos

a) Translação que leva o ponto p1 = (a1, b1, c1) para o ponto p2 = (a2, b2, c2)

b) Escalamento que leva o ponto p1 = (a1, b1, c1) para o ponto p2 = (a2, b2, c2)

c) Rotação em torno do eixo z que leva o ponto p1 = (a1, b1, c1) para o ponto p2 = (a2, b2, c2)

• Qual o ângulo dessa rotação?


Solução

a) Translação que leva o ponto p1 = (a1, b1, c1) para o ponto p2 = (a2, b2, c2)

Matriz de translação


Solução

b) Escalamento que leva o ponto p1 = (a1, b1, c1) para o ponto p2 = (a2, b2, c2)

Matriz de escalamento


Solução


Para rotação em torno de z:

(2) – (1):


Solução


Matriz de rotação

Substituindo em (1) ou (2):


Solução


• Qual o ângulo dessa rotação?


Ângulos de Euler

Fundamentos da Comp. GráficaJonas Gomes, Luiz Velho


Ângulos de Euler

1000

0

0

0

yxzxzyxzxzyx

yxzxzyxzxzyx

yzyzy

cccssscsscsc

csccssssccss

ssccc

xx

y

z

y

x

y

z

z

x

y

z

M. Gattass, PUC-Rio

Notação: cx = cos(x); sx = sin(x) e assim por diante


ox 90o

z 90

ox 90 o

z 90


Demo: Ângulos de Euler

http://prt.fernuni-hagen.de/lehre/KURSE/PRT001/course_main/node10.html


Bibliografia Adicional

• Peter Shirley, Fundamentals of Computer Graphics, A K Peters, Ltd., Natick, MA, USA, 2002.

• Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., e Huhes, J. F., Phlips, L. R., Introduction to Computer Graphics, Addison-Wesley, 1995.

• Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., e Huhes, J. F., Computer Graphics: Principles and Practices, (Systems Programming), 2nd edition in C, Addison-Wesley, 1995.

• Brutzman, D. e Daly, L., Extensible 3D Graphics for Web Authors, Morgan Kaufmann, 2007.

• The Annotated VRML 97 Reference: http://accad.osu.edu/~pgerstma/class/vnv/resources/info/AnnotatedVrmlRef/Book.html

Documents

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