Algebra Abstrata

ESTRUTURAS ALGBRICAS II

Por

Kalasas Vasconcelos de Araujo

UFS - 2009.2

Sumrio

Aula 1: Polinmios 9

1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 A estrutura algbrica dos polinmios e o significado

da expresso anxn + . . . a1x+ a0 . . . . . . . . . . 12

1.4 Termos e Monmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 25

Aula 2: Algoritmo da diviso em k[x] 27

2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 O Algoritmo da diviso em k[x] . . . . . . . . . . . 28

2.3 O teorema do resto e do fator . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


Aula 3: Teoria da divisibilidade Em k[x] 37

3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Glossrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Ideais em k[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 MDC em k[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 MDC 6 DIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6 Irredutveis e Fatorao nica em k[x] . . . . . . . . 47

3.7 Irredutibilidade versus razes de funes polinomiais 49

3.8 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


Aula 4: Irredutibilidade em Q[x] 55

4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Teste da raiz racional . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 O contedo de um polinmio . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 Irredutibilidade em Q[x] irredutibilidade em Z[x] . 604.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


Aula 5: Critrios de irredutibilidade

Em Z[x] 65

5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Critrio de Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Critrio Zp[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 Critrio f(x+ c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.5 O polinmio ciclotmico p(x), p primo . . . . . . . 71

5.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


Aula 6: Anis quocientes k[x]/I 77

6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.3 O anel quociente k[x]/I . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.4 A estrutura de k[x]/(p(x)) quando p(x) irredutvel . 83

6.5 Adjuno de razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


Aula 7: Extenses de Corpos 91

7.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.2 Glossrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4 Fatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.5 Exerccios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


Aula 8: Extenso de um

Isomorfismo 113

8.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.2 m,F (x) = m,F (x) F () = F () . . . . . . . . 1158.3 Extenso de isomorfismos para extenses simples . 116

8.4 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


Aula 9: Extenses algbricas 123

9.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.2 Finita algbrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.3 Finitamente gerada algbrica ? . . . . . . . . . . 1259.4 Finita finitamente gerada e algbrica . . . . . . . 1269.5 Transitividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.6 O corpo dos elementos algbricos . . . . . . . . . . 127

9.7 Algbrica 6 Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.8 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


Aula 10: Corpo de razes 133

10.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

10.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

10.3 Existncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10.4 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10.5 Corpo de razes finita e normal . . . . . . . . . . 139

10.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144


Aula 11: Separabilidade 145

11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

11.2 Critrio da derivada para separabilidade de polinmios 147

11.3 O teorema do elemento primitivo . . . . . . . . . . . 147

11.4 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151


Aula 12: Noes elementares da

Teoria de Galois 153

12.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

12.2 O grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

12.3 Fatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

12.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

12.5 A correspondncia de Galois . . . . . . . . . . . . . 161

12.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166


Aula 13: O teorema fundamental

da teoria de Galois 169

13.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

13.2 O Lema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

13.3 Sobrejetividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

13.4 Injetividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

13.5 O Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 173

13.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178


Aula 14: Exemplos 181

14.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

14.2 Exemplo 1: GalQ(x3 2) . . . . . . . . . . . . . . . 18214.3 Exemplo 2: GalQ(x4 2) . . . . . . . . . . . . . . . 18514.4 Exemplo 3: GalQ(x8 2) . . . . . . . . . . . . . . . 18714.5 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192


Aula 15: Solubilidade por Radicais 195

15.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

15.2 Grupos Solveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

15.2.1 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

15.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

15.2.3 Fatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

15.3 Extenses Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

15.3.1 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

15.3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

15.3.3 Fatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

15.4 O Critrio de Solubilidade de Galois . . . . . . . . . 199

15.5 Uma quntica no solvel por radicais . . . . . . . . 200

15.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203


AULA

1PolinmiosMETA:

Apresentar polinmios em uma indeterminada sobre um anel.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:

Definir polinmios em uma indeterminada sobre um anel.

Compatibilizar a estrutura do anel A com a de A[x].

Efetuar as operaes de soma e produto de polinmios.

Reconhecer o grau de um polinmio.

Reconhecer coeficientes, termos, termo lder, coeficiente lder, monmio

lder e o termo constante de um polinmio.

PR-REQUISITOS

Definio de anel, domnio de integridade e corpo.

Polinmios

1.1 Introduo

Prezado aluno, bem vindo ao curso estruturas algbricas II. Esta

nossa primeira aula e comearei fazendo-lhe a seguinte pergunta:

voc sabe a diferena entre as seguintes expresses?

a) f(X) = X2 +X + 1, X R.

b) X R tal que X2 +X + 1 = 0.

c) X2 +X + 1.

At o momento, voc deveria saber tratarem-se, respectivamente,

de uma funo polinomial, uma equao polinomial e um polinmio.

Para diferenciarmos um objeto de um outro se faz necessrio saber-

mos a definio precisa de cada um deles. Neste caso, o que uma

funo? O que uma equao algbrica? O que um polinmio?

luz da teoria dos conjuntos, a diferena entre funo e equao

torna-se evidente. Os nomes varivel e incgnita servem justa-

mente para diferenciarmos o papel de x quando o mesmo representa

o elemento genrico do domnio de uma funo ou uma soluo

genrica de uma equao. J o x figurando-se em um polinmio

passa a ser chamado de indeterminada.

Nesta aula, definiremos polinmios via um certo tipo de sequncias.

Esta definio evita o uso de indeterminada e ressalta a importn-

cia da estrutura do anel dos coeficientes na estrutura de anel dos

polinmios.

16

Estruturas Algbricas II AULA

11.2 PolinmiosA definio de polinmio que trazes consigo certamente como

uma expresso formal do tipo

anxn + + a1x1 + a0

em que a0, a1, . . . , an so nmeros reais e i Z um inteiro positivopara todo i, 0 i n.Mas, voc sabe o que uma expresso formal? Qual o signifi-

cado do termo axn? Isto um produto ou meramente uma agluti-

nao de letras? Os coeficientes ais devem necessariamente ser

reais ou complexos? O que mudaria no conjunto dos polinmios se

considerssemos seus coeficientes em Q, em Z ou at mesmo em

Zn? At que ponto a estrutura algbrica dos coeficientes interfere

na estrutura algbrica do conjunto de polinmios? E o x, o que

realmente ele representa?

A definio a seguir tanto evita qualquer tipo de obstruo psi-

colgica quanto resolve a crise existencial dos polinmios e do x

enquanto indeterminada.

Definio 1.1. Seja A um anel. Um polinmio com coeficientes

no anel A uma sequncia infinita de elementos em A escrita na

forma

(a0, a1, a2, . . .)

na qual todos os ais so nulos exceto para uma quantidade finita

de ndices. Os elementos a0, a1, a2, . . . so chamados coeficientes

do polinmio.

Usaremos o smbolo PA para denotar o conjunto de todos ospolinmios definidos sobre um anel A. Dois polinmios

P = (a0, a1, a2, . . .) e Q = (b0, b1, b2, . . .) em PA so iguais se soiguais como sequncias, isto , ai = bi para cada ndice i.

17

Polinmios

A sequncia nula (0, 0, 0, . . .) um polinmio chamado polinmio

nulo e denotado por 0. Se P = (a0, a1, a2, . . .) PA no nuloento existe n 0 tal que an 6= 0 e ai = 0 para todo i > n. Talinteiro n chamado grau de P e denotado por deg P . Em smbolos,

deg P := max{i : ai 6= 0}, (P 6= 0).

OBS 1.1. O grau do polinmio nulo no est definido. No entanto,

a conveno deg (0, 0, 0, . . .) = no pe abaixo nenhuma daspropriedades requeridas para o grau de polinmios. Definiremos

deg 0 = para estendermos a noo de grau todos polinmios.O uso deste smbolo requer certa maturidade matemtica mas,

para nossos propsitos, basta termos em mente que +k = qualquer que seja k Z.

1.3 A estrutura algbrica dos polinmios e o

significado da expresso anxn+ . . . a1x+a0

Seja A um anel. Por definio de anel, esto definidas em A duas

operaes: a adio (a, b) 7 a + b e a multiplicao (a, b) 7 a.bem que (a, b) AA. Usaremos tais operaes em A para induziruma adio e uma multiplicao no conjunto dos polinmios PA.

Teorema 1.1. As operaes

Adio:

(a0, a1, a2, . . .) + (b0, b1, b2, . . .) = (c0, c1, c2, . . .)

onde ck = ak + bk para todo ndice k.

Multiplicao:

(a0, a1, a2, . . .).(b0, b1, b2, . . .) = (c0, c1, c2, . . .)

onde ck = a0bk + a1bk1 + ak1b1 + akb0 para todo ndice k.

18


1esto bem definidas em PA.Prova: Devemos mostrar que PA fechado com respeito a taisoperaes. Sejam P e Q dois polinmios em PA. Se P ou Q opolinmio nulo ento P + Q P ou Q e PQ = 0. Suponhamos

ento P e Q ambos no nulos de graus n e m, respectivamente.

Se k > max{n,m} ento ak + bk = 0, por definio de grau. Comrelao ao produto, se k > n + m ento ck =

i=ki=0 aibki nulo.

De fato, se i > n ento ai = 0 donde aibki = 0. Se i n entoi n. Deste modo, k > n + m implica k i > n + m i n + m n = m donde aibki = 0 pois bki = 0. Assim, ck = 0para todo k > n+m. O propsito de definir tais operaes em PA determinar umaestrutura de anel compatvel com a estrutura do anel A de modo

que A possa ser visto como subanel de PA.

Teorema 1.2. A estrutua de anel em A induz uma estrutura de

anel em (PA,+, ). Alm disso, se A comutativo e/ou com iden-tidade ento assim PA.

Prova: Com relao adio devemos mostrar que PA um grupoabeliano. Mais precisamente,

G1 Elemento neutro: O polinmio nulo 0 = (0, 0, 0, . . .) tal

que O+ P = P + = P qualquer que seja P PA. Logo, 0 o elemento neutro.

G2 Inverso aditivo: Se P = (a0, a1, a2, . . .) PA ento P =(a0,a1,a2, . . .) PA tal que P + (P ) = 0. Logo,todo polinmio admite inverso aditivo.

G3 Associatividade: Sejam P1 = (a0, a1, a2, . . .),

P2 = (b0, b1, b2, . . .) e P3 = (c0, c1, c2, . . .) polinmios em PA.

19

Polinmios

Desde que

(ai + bi) + ci = ai + (bi + ci)

em A segue que (P1 + P2) + P3 = P1 + (P2 + P3).

G4 Comutatividade: Analogamente, a comutatividade em PAdecorre diretamente da comutatividade em A.

Com relao multiplicao:

M1 Associatividade: Sejam A = (a0, a1, a2, . . .),

B = (b0, b1, b2, . . .) e C = (c0, c1, c2, . . .) polinmios em PA.Por definio, a n-sima coordenada do produto (A.B).C

ni=0

(A.B)i.cni =ni=0

ij=0

ajbij

cni=

ni=0

ij=0

ajbijcni

=

u+v+w=n

aubvcw (u, v, w 0) ()

Por outro lado, a n-sima coordenada do produto A.(B.C)

nr=0

ar(B.C) =nr=0

[nrs=0

csbnrs

]

=nr=0

nrss=0

arbscnrs

=

u+v+w=n

aubvcw (u, v, w 0) ()

Deste modo, [(A.B).C]n = [A.(B.C)]n para todo ndice n.

Isto mostra a associatividade.

20


1 Distributividade : Sejam A,B,C PA como anterior-mente. Ento,

[A.(B + C)]n =ni=0

ai.(B + C)ni

=ni=0

ai.(bni + cni)

=ni=0

ai.bni + aicni

=ni=0

ai.bni +ni=0

ai.cni

= A.B +A.C

Logo, A.(B + C) = A.B + A.C. Do mesmo modo, (A +

B).C = A.C +B.C.

Isto mostra que (PA,+, ) um anel. Se A tem identidade 1A,ento (1A, 0, 0, 0, . . .) PA a identidade de PA (verifique!) e seA comutativo ento

[A.B]n =ni=0

ai.bni =ni=0

bniai =ni=0

bjanj .

Donde A.B = B.A. Isto conclui a demonstrao.

O prximo passo tornarmos A um subanel de PA. Lembramosque um subanel de um anel B um subconjunto A B tal que A um anel com as operaes definidas em B. Se, alm disso, B

anel com identidade ento exigido, adicionalmente, que 1A B.Um anel B dito uma extenso de um anel A se A subanel de

B. Costuma-se denotar isto simplesmente por A B.Queremos tornar PA uma extenso de A de modo que se a, b Ae Pa, Pb so os polinmios associados aos elementos a e b, respec-

tivamente, ento Pa+b = Pa + Pb e Pab = Pa.Pb. Lembra-se de

21

Polinmios

homomorfismos de anis? Desejamos definir um homomorfismo de

A em PA. Uma funo : A Pa tal que (a+ b) = (a) + (b)e (a.b) = (a).(b). Alm disso, se A um anel comutativo com

identidade devemos ter satisfeita a condio (1A) = 1PA . Quere-

mos tambm que Im PA seja uma cpia de A. Isto se realizaexigindo-se que o homomorfismo seja injetivo. Deste modo, A

ser isomorfo ao anel Im PA e ento poderemos fazer a iden-tificao a = (a) = Pa. Em lgebra, tal procedimento cannico

quando se quer tornar um anel A subanel de outro anel B e no

se tem A B. Tudo isto resume-se por meio de um teorema.

Teorema 1.3. Seja PA o anel dos polinmios sobre um anel A. SeA PA o conjunto de todos os polinmios da forma (a, 0, 0, 0 . . .),a A, ento A um subanel de PA isomorfo A.

Prova: Defina a aplicao : A A, a 7 (a) = Pa =(a, 0, 0, 0, . . .). Voc mesmo, prezado aluno, pode verificar que

bijetiva (Faa isto!). Alm disso,

(a+b) = (a+b, 0, 0, 0, . . .) = (a, 0, 0, 0, . . .)+(b, 0, 0, 0, . . .) = (a)+(b)

e

(a.b) = (a.b, 0, 0, 0, . . .) = (a, 0, 0, 0, . . .).(b, 0, 0, 0, . . .) = (a).(b).

Finalmente, (1A) = (1A, 0, 0, 0, . . .) = 1PA . Assim, um iso-

morfismo de anis e caso A tenha identidade, um isomorfismo

de anis com identidade.

At o momento, estabelecemos os fatos bsicos sobre polinmios.

Agora, precisamos achar um jeito de exibir um polinmio em sua

forma usual. Denotaremos por x ao polinmio (0, 1, 0, 0, 0, . . .).

De acordo com o teorema acima, podemos fazer a identificao

22


1a := (a, 0, 0, 0, . . .) para cada a A e obtermos a incluso de anisA PA. Deste modo, ao escrevermos a estaremos pensando nopolinmio (a, 0, 0, 0, . . .). Com isto em mente vamos analisar as

potncias xn de x e os produtos axn.

Por definio de potncia:

x0 = 1PA = (1A, 0, 0, 0, . . .)

x1 = x = (0, 1, 0, 0, 0, . . .)

x2 = x x = (0, 0, 1, 0, 0, 0, . . .)

e xn = xn1 x. Supondo xn1 = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) com 1 naentrada de ndice n 1 (hiptese indutiva!) obtemos

xn = xn1 x = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .)

com 1 na posio de ndice n. Logo, por induo segue que

Xn = (a0, a1, a2, . . . , an, . . .)

em que an = 1 e ai = 0 para todo i 6= n. Temos ainda

axn = (a, 0, 0, 0, . . .) (a0, a1, a2, . . .)= (aa0, aa1, aa2, . . . , aan . . .)

= (0, 0, 0 . . . , 0, a, 0, . . .)

pois an = 1 e ai = 0 para todo i 6= n. Assim, dado um polinmio(a0, a1, a2, . . .) de grau n em PA podemos escrever

(a0, a1, a2, . . .) = (a0, 0, 0, . . .) + (0, a1, 0, . . .) +

+ + (0, . . . , 0, an, 0, . . .)= a0 + a1x+ a2x2 + + anxn

23

Polinmios

Pela definio de igualdade de polinmios temos ainda que se b0 +

b1x+b2x2+ +bmxm uma outra forma de expressar o polinmio(a0, a1, a2, . . .) ento m = n e ai = bi para todo ndice i. Logo,

todo polinmio (a0, a1, a2, . . .) PA com grau n se escreve, demaneira nica, na forma

a0 + a1x+ a2x2 + + anxn.

OBS 1.2. Nesta forma de expresso para polinmios usamos a

notao A[x] em vez de PA. A notao A[x] muito mais sug-estiva. Por exemplo, se A = R ento podemos ver A[x] como

um espao vetorial sobre R (voc saberia exibir uma base e dizer

qual a sua dimenso?). Outra vantagem que na notao A[x], as

operaes com polinmios recaem naquelas vistas no ensino m-

dio e fundamental. Nesta notao, costuma-se denotar polinmios

pelas letras do alfabeto latino acrescidas de x entre parntese, isto

, a0 + a1x+ a2x2 + + anxn = p(x), por exemplo.OBS 1.3. Um elemento chamado de indeterminada sobre um

anel A se as expresses

a0 + a1 + a22 + + ann

esto definidas para todo inteiro no negativo n e a aplicao

: A[x] A[]

definida por

a0 + a1x+ a2x2 + + anxn 7 a0 + a1 + a22 + + ann

define um isomorfismo de anis.

1.4 Termos e Monmios

Seja A um anel com identidade. Um polinmio da forma axn

chamado termo. Um termo com coefiente 1 denominado monmio

24


1ou monomial. Dado um polinmio de grau nf(x) = a0 + a1x+ + anxn

define-se:

Notao

Coeficientes: a0, a1, . . . an

Termos: a0, a1x, . . . anxn

Termo lder: anxn LT (f)

Monmio lder: xn LM (f)

Coeficiente lder: an LC (f)

Termo constante: a0

OBS 1.4. Um polinmio dito mnico se possui termo lder mono-

mial.

OBS 1.5. Em alguns textos, o adjetivo lder trocado por

dominante e as definies acima ficam: termo dominante, coefi-

ciente dominante e monmio dominante. Neste texto, usaremos

lder em conformidade com uma notao mais universal.

1.5 Concluso

Na aula de hoje, elaboramos uma definio de polinmios que evita

qualquer tipo de expresses vagas e torna clara a noo de indeter-

minada. Vimos duas representaes de um polinmio: por meio de

sequncias e por meio de uma indeterminada x. A segunda mais

apelativa e prefervel perante a primeira. Por exemplo, a estrutura

de espao vetorial de R[x] sobre R com base infinita 1, x, x2, . . .,

torna-se muito mais evidente usando indeterminada.

25

Polinmios

RESUMO

Seja A um anel qualquer (no necessariamente comutativo com

identidade).

Definies bsicas

Polinmio sobre A := sequncia infinita (a0, a1, a2, . . .) com

ai A na qual todos os elementos asi so nulos exceto paraum nmero finito de termos. Os elementos ais so chamados

coeficientes do polinmio (a0, a1, a2, . . .).

PA := conjunto dos polinmios com coeficientes em A.

(0, 0, 0, . . .) PA chamado polinmio nulo.

Grau de Polinmios

degP =

, se P = 0n = max{n : an 6= 0}, seP 6= 0Operaes em A[x]:

Adio:

(. . . , ai, . . .) + (. . . , bi, . . .) = (. . . , ai + bi, . . .)

Multiplicao:

(. . . , ai, . . .) (. . . , bi, . . .) = (. . . , ci, . . .)

onde ci =

j+k=i ajbk.

Estrutura algbrica: (PA,+, ) um anel.

Quadro comparativo entre a estrutura do anel A e a

estrutura do anel A[x]

26


1A A[x]

Comutativo Sim

Com identidade Sim

Domnio Sim

Corpo No

A Aplicao

: A A[x]a 7 (a, 0, 0, 0 . . .)

define um isomorfismo de A no subconjunto

A = {(a, 0, 0, 0, . . .) : a A} PA.

Os elementos de A so chamados polinmios constantes ou

de grau zero. (O termo constante refere-se ao fato da funo

associada aos polinmios em A serem constantes.

O significado da expresso a0 + a1x+ . . .+ anxn:

Fazendo as identificaes:

a := (a, 0, 0, 0, . . .)

x := (0, 1, 0, 0, 0, . . .)

Pode-se mostrar que

xn = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .)

com deg xn = n. E

axn = (0, 0, . . . , 0, a, 0, . . .)

tambm de grau n. Nestas condies, todo polinmio

(a0, a1, a2, . . .) PA

27

Polinmios

de grau n pode ser escrito de maneira nica na forma:

a0 + a1x+ . . . anxn.

Notao: A[x] := {p(x) = a0 + a1x+ . . . anxn : ai A}.

A composio de um polinmio

Dado

a0 + a1x+ . . . anxn PA

defini-se

Notao

Coeficientes: a0, a1, . . . an

Termos: a0, a1x, . . . anxn

Termo lder: anxn LT (f)

Monmio lder: xn LM (f)

Coeficiente lder: an LC (f)

Termo constante: a0

PRXIMA AULA

Na prxima aula, restringiremos nosso estudo de polinmios para

polinmios definidos sobre um corpo. O fato do anel de coeficientes

ser um corpo permite definir um algoritmo de diviso no anel de

polinmios. Tal algoritmo o pilar da aritmtica dos anis de

polinmios definidos sobre corpos.

28


1.ATIVIDADES

ATIV. 1.1. Nos itens abaixo so dados polinmios representados

por sequncia e pelo uso de indeterminada. Faa a transposio de

uma representao para a outra. Em cada caso, determine o grau

e o termo lder usando as notaes dadas no texto.

a) (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, . . .).

b) (0, 2, 0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 0, 0, . . .)

c) 9x8 3x5 + x3 x+ 4.

d) (3x 7)(x3 x+ 1).

ATIV. 1.2. Efetue a operao indicada e simplifique sua resposta.

Em cada caso, determine o grau e o termo lder usando as notaes

usadas no texto.

a) (x+ 2)3 em Z3[x].

b) (x+ 1)5 em Z5[x].

c) (ax+ b)p em Zp[x], p primo.

d) (x2 3x+ 2)(2x3 4x+ 1) em Z7[x]

Sugesto: Nos itens de (a), (b) e (c) use a expanso do binmio

de Newton. Note que (a+b)p = ap+bp em Zp. No item (d) aplique

a propriedade distributiva.

29

Polinmios

ATIV. 1.3. Quais dos seguintes subconjuntos de A[x] so subanis

de A[x]?

a) Polinmios com termo constante nulo.

b) B = {a0 + a1x+ + anxn : ai = 0, para i mpar }.

c) B = {a0 + a1x+ + anxn : ai = 0 sempre que i for par }

ATIV. 1.4. Mostre que se A um domnio de integridade ento

A[x] um dominio de integridade. Se k um corpo ento k[x]

tambm um corpo?

Sugesto: Para a primeira parte, suponha A[x] no domnio e

mostre que A necessariamente no domnio. Para a segunda,

mostre que x no admite inverso multiplicativo em A[x], isto , a

igualdade g(x).x = 1 para g(x) A[x] conduz uma contradio.

ATIV. 1.5. Considere a aplicao : A A[x] definida por(a) = (0, a, 0, 0, 0 . . .). Tal aplicao um homomorfismo de

anis?

Sugesto: Repare se a igualdade (a.b) = (a).(b) ou no

satisfeita.

ATIV. 1.6. Mostre que o grau de polinmios satisfaz s seguintes

propriedades:

i) deg p(x) + q(x) max { deg f(x), deg q(x)}

ii) deg p(x)q(x) = deg p(x) + deg q(x), se A domnio.

iii) D um exemplo com desigualdade estrita no item (i) e

caracterize quando ocorre tal desigualdade.

30


1.LEITURA COMPLEMENTAR

GONALVES, Adilson, Introduo lgebra, IMPA, Projeto Eu-

clides, 5.ed., Rio de Janeiro, 2008.

HUNGERFORD, Thomas W., Abstract algebra: an introduction,

Saunders College Publishing, 1990.

KAPLANSKY, I., Introduo teoria de Galois, Notas de Matemtica

no 13, IMPA, 1966.

31

AULA

2Algoritmo da diviso em k[x]META:

Introduzir um algoritmo de diviso para anis de polinmios definidos

sobre corpos.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:

Aplicar o algoritmo da diviso para determinar o quociente e o

resto na diviso entre polinmios.

Conceituar funo polinomial e zeros de uma funo polinomial.

Estabelecer a diferena entre polinmios e funes polinomiais.

Enunciar e provar o teorema do resto e do fator.

PR-REQUISITOS

A estrutura de anel para polinmios. Embora no seja necessrio,

os conhecimentos do ensino mdio sobre diviso de polinmios,

funes polinomiais, teorema do resto e do fator e uma reviso so-

bre o algoritmo da diviso para os inteiros ajudariam num melhor

rendimento desta aula.

Algoritmo da diviso em k[x]

2.1 Introduo

Nesta aula, partiremos do seu conhecimento do ensino mdio e fun-

damental sobre diviso de polinmios e formalizaremos tal mtodo

em forma de um algoritmo. A unicidade do quociente e do resto e

o fato do resto ser nulo ou possuir grau estritamente menor que o

grau do divisor so as propriedades fundamentais deste algoritmo.

A ltima propriedade de extrema importncia terica e ter pro-

fundas consequncias no estudo de polinmios. A primeira delas

o teorema do fator e do resto j conhecido por voc do ensino

mdio. As outras veremos na aula seguinte. Convm lembrar que

LT(g) denota o termo lder do polinmio g.

OBS 2.1. Ao longo deste curso, a menos que seja dito o contrrio,

usaremos a letra k para denotar um corpo.

2.2 O Algoritmo da diviso em k[x]

Sejam f(x) = 3x5 + 2x4 + 2x3 + 4x2 + x 2 e g(x) = 2x3 + 1dois polinmios em Q[x]. Para dividir f por g, obtemos o primeiro

termo do quociente3x5

2x3=

32x2. Este o resultado da diviso dos

termos dominantes de f e g. A diferena

f(x) 32x2g(x) = r1(x) = 2x4 + 2x3 +

52x2 + x 2

nos fornece o primeiro resto parcial. Repetindo este procedimento

para r1(x) no lugar de f(x) obtemos o segundo resto parcial

r2(x) = r1(x) xg(x) = 2x3 + 52x2 2.

Note que deg f(x) > deg r1(x) > deg r2(x). Podemos aplicar este

procedimento enquanto o grau do resto for menor do que o grau de

g(x). Ao fazer isto, obtemos uma sequncia de restos r1, r2, r3, . . .

na qual

34


2deg r1 > deg r1 > deg r2 > deg r3 > . . .Se deg f > deg g ento, aps no mximo k = degf degg +1passos, devemos ter deg rk < deg g. Assim, f(x) = g(x).q(x) +

r(x) com r(x) = rk(x) satisfazendo as condies r(x) = 0 ou

0 deg r(x) < deg g(x). Se deg f(x) < deg g(x) podemos fazerr(x) = f(x) e obter, ainda, f(x) = g(x).0 + r(x) com r(x) = 0 ou

0 deg r(x) < deg g(x). Em forma de algoritmo o que temos oseguinte:

Input: g, f (g 6= 0)Output: q, r.

q := 0; r = f

Enquanto r 6= 0 e LT(g) dividir LT(r) faa

q := q+ LT(r)/ LT(g)

r := r [LT(r)/LT(g)] g

O grau do dividendo r, em cada passo, estritamente menor que o

grau do dividendo do passo anterior. Assim, o algoritmo termina

no mximo em deg f deg g +1 passos. Isto mostra a existnciade q e r tais que

f = qg + r

com r = 0 ou 0 deg r deg g. Podemos, ainda, mostrar queo quociente q(x) e o resto r(x), assim obtidos, so nicos. De

fato, suponham q1, q2 dois quocientes e r1, r2 dois restos para uma

mesma diviso de f por g com os restos satisfazendo as condies

acima. Ento,

q1g + r1 = f = q2g + r2

donde (q1 q2)g = r2 r1. Se q1 6= q2, ento, q1 q2 6= 0. Assim,

deg r2 r1 = deg (q1 q2)g = deg (q1 q2) + deg g deg g

35


e isto uma contradio, pois, ambos r1 e r2 tm graus menor do

que o grau de g. Logo, q1 = q2 e, portanto,

r1 r2 = (q1 q2)g = 0g = 0

donde r1 = r2. O resultado que acabamos de provar chamado

algoritmo da diviso. Segue o enunciado em forma de teorema.

Teorema 2.1. (Algoritmo da diviso) Seja k um corpo e f(x), r(x) k[x] com g(x) 6= 0. Ento, existem nicos polinmios q(x), r(x) k[x] tais que

f(x) = q(x)g(x) + r(x)

com r(x) = 0 ou 0 deg r(x) < deg g(x).

Prezado aluno, caso voc no tenha se convencido da existncia de

q e r em forma de algoritmo, segue a prova convencional.

Prova: (Existncia) Se f(x) = 0 ou deg f < deg g(x) faa r(x) =

f(x) e q(x) = 0. Suponha deg f(x) deg g(x). Neste caso, proced-eremos por induo em deg f(x). O polinmio h(x) = f(x)LT(f)LT(g)gtem grau menor que o polinmio f (seus termos dominantes so

iguais). Por hiptese indutiva, existem q(x), r(x) k[x] tais que

h(x) = f(x) LT(f)LT(g)

g = q(x)g(x) + r(x)

com r(x) = 0 ou 0 deg r(x) < deg g(x). Assim,

f(x) =(q(x) +

LT(f)LT(g)

)g + r(x).

Ento, q(x) = q(x) + LT(f)LT(g) e r(x) = r(x) satisfazem as pro-

priedades requeridas.

Exemplo 2.1. Vamos determinar o quociente e o resto da diviso

36


2de f(x) = 3x4 2x3 + 6x2 x+ 2 por g(x) = x2 + x+ 1 em Q[x].3x4 2x3 + 6x2 x+ 2 | x2 + x+ 13x2 3x3 3x2 3x2 5x+ 85x3 + 3x2 x+ 25x3 + 5x2 + 5x

8x2 + 4x+ 2

8x2 8x 84x 6

Resposta: Quociente: 3x2 5x+ 8; Resto: 4x 6.

2.3 O teorema do resto e do fator

Seja A B uma extenso de anis. Uma funo f : A B dita polinomial se existem a0, a1, . . . , an A tais que

f(a) = a0 + a1a+ anan

para todo a A. Um elemento a A tal que f(a) = 0 chamadozero da funo f . Seja

p(x) = a0 + a1x+ anxn A[x]

o polinmio associado funo polinomial f . A relao entre

polinmios e funes polinomiais sultil e merece algum comen-

trio. Para todo polinmio

q(x) = b0 + b1x+ bmxm A[x]

est associado uma funo polinomial f A A definida por f(a) =q(a) onde q(a) denota a operao b0 +b1a+ bmam em A. Assim,q(a) = b0 + b1a + bmam equivale a substituir a no lugar de xem q(x) (tal operao no est definida no anel de polinmios).

37


Um elemento a A tal que q(a) = 0 chamado raiz do polinmioq(x). A sultileza aqui que funes polinomiais e polinmios so

objetos distintos. A correspondncia

{polinmios em A[x]} {Funes polinomiais}

embora seja sempre sobrejetiva no em geral injetiva. o que

mostra o exemplo abaixo.

Exemplo 2.2. Em Z2[x] o polinmio f(x) = x2 + 1 no nulo,

mas a funo polinomial f : Z2 Z2 a funo nula.Exemplo 2.3. Os polinmios p(x) = x4+x+1, q(x) = x3+x2+1 Z3[x] definem as funes polinomiais f : Z3 Z3, f(r) = r4+r+1e g : Z3 Z3, g(t) = t3 + t2 + 1. Tem-se f(0) = 1 = g(0),f(1) = 0 = g(1) e f(2) = 1 = g(2). Assim, f(r) = g(r) para todo

r Z3. Logo, f e g definem a mesma funo em Z3 embora, comopolinmios, sejam distintos.

Teorema 2.2. (Teorema do resto) O resto da diviso de um polinmio

f(x) k[x] por x a f(a).

Prova: Existem nicos q(x), r(x) k[x] tais que

f(x) = q(x)(x a) + r(x)

com r(x) = 0 ou 0 deg r(x) < deg (x a) = 1. Ento, r(x) = 0ou deg r(x) = 0. Assim, r(x) necessariamente uma constante

c k. Da igualdade acima segue a igualdade

f(a) = q(a)(a a) + c = c = r(x).

Teorema 2.3. (Teorema do fator) Seja f(x) k[x]. Um elementoa k uma raiz de f(x) se e somente se x a divide f(x).

Prova: Seja r(x) o resto da diviso de f(x) por x a. Peloteorema do resto, tem-se r(x) = f(a). Assim, a raiz de f(x) f(a) = r(x) = 0 x a divide f(x).

38


22.4 ConclusoNesta aula, implementamos um algoritmo de diviso em k[x]

semelhante quele dos nmeros inteiros. Como consequncia ime-

diata, obtivemos a relao fundamental entre os zeros de uma

funo polinomial e os fatores lineares da forma xa do polinmioque a define; a saber: o teorema do resto e do fator. A respeito do

que diz estes resultados, podemos extrair duas importantes con-

cluses. Primeira, um polinmio admite sempre um nmero finito

de razes tendo seu grau como cota superior. Segunda, a existn-

cia de razes para um polinmio relativa ao anel de coeficientes

em que se considera o polinmio. Por exemplo, x2 + 1 no possui

razes reais, mas admite duas razes em C.

RESUMO


Input: g, f (g 6= 0)Output: q, r.

q := 0; r = f

Enquanto r 6= 0 e LT(g) dividir LT(r) faa

q := q+ LT(r)/ LT(g)

r := r [LT(r)/LT(g)] g

Em forma de teorema:

Seja k um corpo e f(x), r(x) k[x] com g(x) 6= 0. Ento, existemnicos polinmios q(x), r(x) k[x] tais que

f(x) = q(x)g(x) + r(x)

39


com r(x) = 0 ou 0 deg r(x) < deg g(x).

Funes polinomiais versus polinmios

Os polinmios p(x) = x4 + x + 1, q(x) = x3 + x2 + 1 Z3[x] sodistintos mas esto associados mesma funo polinomial.

Anlise lgebra Geometria

Funes polinomiais Polinmios Grfico

Zero Raiz Interseo com o eixo das abscissas

Teorema do resto

Resto(p(x), x a) = p(a).

Teorema do fator

a k raiz de p(x) k[x] x a divide p(x).

PRXIMA AULA

Na prxima aula estudaremos a aritmtica do anel de polinmios

k[x]. Por meio do algoritmo da diviso, mostraremos que k[x]

um domnio de ideais principais (DIP), isto , todo ideal de k[x]

principal. Isto acarretar na existncia de MDC em k[x] e no fato

de k[x] ser um domnio fatorial (DFU).

ATIVIDADES

ATIV. 2.1. Enuncie o algoritmo da diviso em k[x].

ATIV. 2.2. Aplique o algoritmo da diviso para determinar polinmios

q(x) e r(x) tais que f(x) = q(x)g(x) + r(x) com r(x) = 0 ou

0 deg r(x) deg g(x).

40


2a) f(x) = x3 + x 1, g(x) = x2 + 1 em R[x].b) f(x) = x5 1, g(x) = x 1 em R[x].

c) f(x) = x5 x3 + 3x 5, g(x) = x2 + 7 em Q[x].

d) f(x) = x5 x3 + 3x 5, g(x) = x 2 em Q[x].

e) f(x) = x5 x3 + 3x 5, g(x) = x+ 2 em Z5[x].

f) f(x) = x5 x3 + 3x 5, g(x) = x3 + x 1 em Z3[x].

ATIV. 2.3. Sejam f(x), g(x) Z[x] e g(x) = b0+b1x+ +bmxmonde bm = 1. Mostre que existem q(x), r(x) Z[x] tais que f(x) =q(x)g(x) + r(x) onde r(x) = 0 ou 0 deg (r(x) deg g(x).ATIV. 2.4. Enuncie e demonstre os teoremas do resto e do fator.

ATIV. 2.5. Seja : Z[x] Zn[x] a funo definida do seguintemodo:

(a0 + a1x+ + anxn) = a0 + a1x+ + anxn.

Mostre que um homomorfismo sobrejetivo de anis.

LEITURA COMPLEMENTAR





41

AULA

3Teoria da divisibilidadeEm k[x]META:

Obter a propriedade de fatorao nica para anis de polinmios

definidos sobre corpos.

OBJETIVOS:

Ao final da aula o aluno dever ser capaz de:

Estabelecer os principais conceitos da teoria de divisibilidade para

anis de polinmios: unidades, divisores, divisor de zero, asso-

ciados, irredutveis, primos, mximo divisor comum e elementos

relativamente primos.

Descrever a estrutura dos ideais em k[x].

Usar os fatos de k[x] ser DIP e DFU na soluo de problemas na

teoria de polinmios.

Aplicar o algoritmo de Euclides no clculo de MDC de polinmios.

Expressar o MDC(f(x), g(x)) como combinao linear de f(x) e

g(x).

Relacionar o MDC(f(x), g(x)) e o gerador do ideal gerado por f(x)

e g(x).

PR-REQUISITOS

Algoritmo da diviso em k[x]. Uma reviso da teoria da divisibil-

idade em Z ajudaria na compreenso desta aula.

Teoria da divisibilidade Em k[x]

3.1 Introduo

Prezado aluno, voc deve estar familiarizado com a aritmtica dos

inteiros. A aritmtica de k[x], k corpo, notavelmente semelhante

de Z. Ambos admitem um algoritmo de diviso, mximo divisor

comum e fatorao nica em primos.

O "set up" da aritmtica de um anel A reside na noo de divi-

sibilidade: dados a, b A dizemos que b divide a se existe c Atal que a = bc. Desta noo, define-se: unidades, divisores de

zero, elementos associados, elementos irredutveis, elementos pri-

mos, mnimo mltiplo comum e mximo divisor comum. Por isso,

num nvel mais elementar a aritmtica , por vezes, chamada teoria

de divisibilidade. Por outro lado, qualquer noo fundamentada

na definio de divisibilidade pode ser interpretada via a noo de

ideais principais. Para se ter uma idia, um elemento a dito asso-

ciado a b def a|b e b|a (a) = (b) onde (x) = {ax | a A} denotao ideal principal gerado por x. Assim, em DIPs, aritmtica, teoria

de divisibilidade e estudo dos ideais principais so equivalentes e

o uso de um dos termos depende apenas do ponto de vista. O

primeiro reflete o da teoria dos nmeros enquanto que o ltimo

o da lgebra abstrata. Esta aula trata justamente da teoria de

divisibilidade do anel de polinmios em uma indeterminada sobre

um corpo k. A idia central fazer um paralelo com a teoria j

conhecida dos inteiros.

Na seo 3.2 so apresentadas as definies necessrias para a

leitura do captulo corrente. Sem t-las em mente fica impossvel

compreender as idias contidas neste captulo. aconselhvel que

num primeiro contato com lgebra, a cada palavra que remonte

uma definio, o aluno pare a leitura e relembre mentalmente a

definio a fim de certifica-se que sua leitura esteja sendo ativa e

44


3no meramente como a de um romance.Na seo 3.3 descreveremos a estrutura dos ideais em k[x]. Mostra-

remos que todo ideal em k[x] principal, isto , k[x] DIP. Fi-

nalmente, na seo 3.4 mostraremos a existncia de MDC em k[x]

atravs do algoritmo de Euclides tambm conhecido como algo-

ritmo das divises sucessivas. Tal algoritmo ainda nos permite

escrever o MDC como uma combinao dos fatores.

3.2 Glossrio

1. Divisibilidade: um elemento b A divide um elementoa A em A se existe c A tal que a = bc. Neste caso, diz-setambm que a mltiplo de b, b divisor de a ou b um

fator de a.

2. Unidade: divisor da identidade; elemento a A tal queab = 1A para algum binA; elemento a A para o qual aequao ax = 1A admite soluo em A. Em um anel no

trivial (1A 6= 0A) toda unidade no nula. Pode-se mostrarque o elmento b A tal que ab = 1A nico. Este elemento chamado inverso de a e denotado por a1. Denotaremos por

U(A) ao conjunto das unidades em A. (Exemplo: U(Zn) =

{x : mdc(x, n) = 1})

3. Inversvel: o mesmo que unidade.

4. Divisor de zero: elemento a A tal que existe elementono nulo b A tal que ab = 0; elemento a para o qual aequao ax = 0 admite soluo no trivial (6= 0); elementoa A tal que o endomorfismo A A, x 7 ax admite ncleono trivial (equivalentemente, no injetivo).

45


5. Nilpotente: elemento a A para o qual existe inteiro po-sitivo n tal que an = 0. O menor inteiro positivo n tal que

an = 0 chamado ndice de nilpotncia.

6. Elementos associados: elementos a, b A tais que a|b eb|a. Em domnios, isto equivalente a dizer que a = ub paraalguma unidade u A.

7. Divisor trivial: unidades e associados um elemento.

8. Divisor prprio: divisor no trivial de um elemento.

Exemplo: U(Z12) = {1, 5, 7, 11}. Logo, 2 um divisor trivialde 10 pois um de seus associados. Por outro lado, 3 divi-

sor prprio de 6 pois 3|6 com 3 no unidade e nem associadode 6.

9. Elemento irredutvel: elemento no unidade a A cujosdivisores so seus associados ou unidades.

10. Elemento redutvel: elemento no unidade que no irre-

dutvel. Em outras palavras, elemento que possui divisores

prprios.

11. Elemento primo: elemento no unidade p A para o qualvale a seguinte propriedade: p|ab p|a ou p|b.

12. Mximo divisor comum (MDC): o mximo divisor co-

mum de a1, . . . , ar A (no todos nulos) um elementod A tal que

i) d|ai para todo i, 1 i r.ii) Se c A divide cada ai ento c|d.

13. Elementos relativamente primos: Elementos cujo MDC

1.

46


314. Domnio de fatorao nica (DFU): domnio A no qualtodo elemento no nulo e no unidade a A satisfaz asseguintes condies:

i) a = p1, pr, pi A irredutvel para todo i, 1 i r.

ii) Se a = q1 qs uma outra fatorao com cada qi irre-dutvel ento r = s e, a menos de uma reordenao nos

ndices, pi associado qi para cada i, 1 i r.

15. Domnio de ideais principais (DIP): domnio no qual

todo ideal principal.

16. Domnio Euclidiano: domnio A no qual est definido uma

funo : A Z0 satisfazendo as seguintes propriedades:

i) Se a, b A so no nulos ento a (ab).

ii) Se a, b A e b 6= 0 ento existem q, r A tais quea = bq + r com r = 0 ou 0 (r) (b). Exemplo: afuno mdulo juntamente com o algoritmo da diviso

em Z define em Z uma estrutura de domnio euclidiano.

A notao A indica o conjunto dos elementos no nulos

de A e Z0 o conjunto dos inteiros no negativos.

3.3 Ideais em k[x]

Um ideal de um anel A um subconjunto I A tal que (I,+) subgrupo aditivo de (A,+) e ax I sempre que a A e x I.Um ideal I A dito principal se I = (a) para algum a A onde(a) = {ax : x A}.

Teorema 3.1. k[x] DIP.

47


Prova: Seja I k[x] um ideal. Se I = (0) o ideal nulo nadatemos a provar. Suponhamos I no nulo. Considere o conjunto

S = { deg f : f I}

Desde que I 6= 0, existe f I, f 6= 0. Ento, S Z0 novazio. Pelo Princpio da Boa Ordem existe f(x) I tal que degf mnimo dentre os graus de todos os polinmios em I. Vamos

mostrar que I = (f(x)). A incluso (f(x)) I segue da definiode ideal visto que f(x) I. Seja g(x) I. Pelo algoritmo dadiviso, existem q(x), r(x) k[x] tais que

g(x) = q(x)f(x) + r(x)

com r(x) = 0 ou 0 deg r(x) < deg f(X). Ora, se r(x) 6= 0ento r(x) = g(x) q(x)f(x) I (pois g(x), q(x)f(x) I) comdeg r(x) < deg f(x). Isto contradiz a minimalidade de deg f(x).

Logo, r(x) = 0 e g(x) = q(x)f(x) (f(x)). Assim, I (f(x))donde I = (f(x)).

3.4 MDC em k[x]

A existncia de MDC em k[x] uma consequncia direta do fato

de k[x] ser DIP.

Teorema 3.2. (Existncia de MDC) Sejam f(x), g(x) k[x]. En-to, MDC(f(x), g(x)) existe e nico a menos de um produto por

uma constante no nula em k.

Prova: Considere (f(x), g(x)) k[x] o ideal gerado por f(x) eg(x). Desde que k[x] DIP, existe d(x) k[x] tal que (d(x)) =(f(x), g(x)). Vamos mostrar que d(x) = MDC(f(x), g(x)). Primeira-

mente, d(x)|f(x) e d(x)|g(x) pois, f(x), g(x) (f(x), g(x)) =

48


3(d(x)). Suponha h(x) k[x] tal que h(x)|f(x) e h(x)|g(x). En-to, f(x) = h(x)q1(x) e g(x) = h(x)q2(x). Desde que d(x) (f(x), g(x)) existem r(x), s(x) k[x] tais que d(x) = r(x)f(x) +s(x)g(x). Logo,

d(x) = r(x)f(x) + s(x)g(x)

= r(x)h(x)q1(x) + s(x)h(x)q2(x)

= h(x) [r(x)q1(x) + s(x)q2(x)]

donde h(x)|d(x). Resta mostrar a unicidade a menos de uma mul-tiplicao por uma constante no nula. Suponham d1(x), d2(x) sob

as condies de serem um mximo divisor comum de f(x) e g(x).

Por definio de MDC segue que d1(x)|d2(x) e d2(x)|d1(x). Logo,d1(x) d2(x) donde d1(x) = ud2(x) com u U(k[x]) = k \ 0.

OBS 3.1. O teorema acima nos mostra que o MDC de dois polinmios

f, g k[x] um gerador do ideal (f, g). Embora este resultadotenha relevncia terica ele no nos ensina como obter o MDC de

f(x) e g(x). A rigor, deveramos determinar o polinmio de menor

grau escrito como combinao linear de f(x) e g(x). Na prtica,

isto torna-se impraticvel. Felizmente, existe um algoritmo cls-

sico, conhecido como Algoritmo Euclidiano, para computar o MDC

de dois polinmios. Este algoritmo fundamentado no resultado

a seguir.

Lema 3.1. Sejam f(x), g(x) k[x]. Se f(x) = q(x)g(x) + r(x)com q(x), r(x) k[x] ento MDC(f(x), g(x)) = MDC(g(x), r(x)).

Prova: Usaremos noes de ideais e a verificao das incluses

ficaro como exerccios. A relao f(x) = q(x)g(x) + r(x) fornece-

nos as incluses de ideais (f) (g, r) e (r) (f, g). Logo,

49


(f, g) (g, r) (f, g). Assim, (MDC(f, g)) = (f, g) = (g, r)= (MDC(g, r)) donde MDC(f, g) = MDC(g, r). Eis o Algoritmo Euclidiano para computar MDC(f, g):

Input: f, g

Output: h

h := f

s := g

Enquanto s 6= 0 faa

r := resto (h, s)

h := s

s := r

Caso o leitor no tenha visualizado, este algoritmo aquele visto

no ensino fundamental e chamado mtodo das divises sucessivas.

De fato, dados f, g k[x], g 6= 0, o algoritmo nos fornece:

Passo Resultado

0 h0 = f , s0 = g e f = q0g + r0, r0 = resto(f, g).

1 h1 = s0 = g, s1 = r0 e g = q1r0 + r1, r1 = resto(g, r0).

2 h2 = r0, s2 = r1 e r0 = q2r1 + r2, r2 = resto(r0, r1).

3 h3 = r1, s3 = r2 e r1 = q3r2 + r3, r3 = resto(r1, r2)....

Pela propriedade do resto, tem-se uma sequncia estritamente de-

crescente de inteiros no negativos

deg r0 > deg r1 > deg r2 > . . ..

Usando o princpio da boa ordem pode-se mostrar (verifique!) que

em algum passo, necessariamente, deveremos ter um resto nulo,

digamos no passo n+ 1. Deste modo,

50


3Passo Resultadon hn = rn2, sn = rn1 e rn2 = qnrn1 + rn.

n+ 1 hn+1 = rn1, sn+1 = rn e rn1 = qn+1rn + 0.

onde rn+1 = resto(rn1, rn) = 0. Pelo Lema 3.1, MDC(f, g) =

MDC(g, r0) = MDC(r0, r1) = . . .= MDC(rn1, rn) = MDC(rn, 0)

= rn.

OBS 3.2. Outra propriedade tambm importante de tal algoritmo

que nos permite expressar o MDC(f, g) como uma combinao

linear entre f e g. De fato, basta retroceder aos passos do algoritmo

para determinar r, s k[x] tais que MDC(f, g) = rf+sg. Vejamosum exemplo para ilustrar tais idias.

Exemplo 3.1. Vamos calcular o MDC entre f(x) = x4x3x2+1e g(x) = x31 e express-lo como uma combinao linear de f(x)e g(x). Seguindo os passos do algoritmo obtm-se:

x4 x3 x2 + 1 = (x 1)(x3 1) x2 + x (3.1)x3 1 = (x 1)(x2 + x) + x 1 (3.2)x2 + x = x(x 1) (3.3)

Assim, MDC (f(x), g(x)) = x 1. Vamos agora expressar o MDCobtido como combinao linear de f(x) e g(x). Isolando x 1 naequao 3.2 tem-se:

x 1 = x3 1 (x 1)(x2 + x) (3.4)

Por outro lado, isolando x2 +x na equao 3.1 e substituindo naequao 3.4 obtm-se:

51


x 1 = x3 1 (x 1)(x2 + x)= x3 1 (x 1) [x4 x3 x2 + 1 (x 1)(x3 1)]= [1 + (x 1)(x 1)] (x3 1)

(x 1)(x4 x3 x2 + 1)= (x2 + 2)(x3 1) + (x+ 1)(x4 x3 x2 + 1)

3.5 MDC 6 DIPEm geral, todo DIP admite MDC. Neste exemplo, mostraremos

que a recproca no verdadeira por exibir um anel com MDC

que no DIP. Considere Z[x] e 2, x Z[x]. Vamos mostrar queo ideal (2, x) no principal. Suponha, por absurdo, que existe

p(x) Z[x] tal que (2, x) = (p(x)). Ento, existiriam r(x), s(x) Z[x] tais que

p(x) = r(x).2 + s(x).x

Por outro lado 2 (2, x) = (p(x)) donde 2 = p(x)q1(x). Assim, 0= deg 2 = deg p(x) + deg q1(x) donde deg p(x) = 0. Logo, p(x) =

c Z um polinmio constante. Analogamente, x = p(x)q2(x)para algum q2(x) Z[x]. Assim, 1 = LC x = c.LC q2(x) (onde LCdenota o coeficiente lder). Concluso: c U(Z) = {1} (ondeU(A) denota o conjunto das unidades de A). Podemos considerar

c = 1 (Por qu?). Assim,

1 = p(x) = r(x).2 + s(x).x

Isto um absurdo (voc sabe por qu?). Logo, tal p(x) no existe.

OBS 3.3. O domnio Z[x] no um DIP. Mas, pode-se mostrar se

A DFU ento A[x] DFU (a prova disto est alm das pretenses

52


3deste texto!). Como Z DFU ento Z[x] DFU. Logo, admiteMDC. Seja d(x) = MDC (2, x) (voc saberia mostrar que d(x) =

1?). Por definio de MDC, (2, x) (d(x)) = (1) = Z[x] masd(x) = 1 6 (2, x), pois (2, x) no principal. Assim, MDC (2, x)no pode ser escrito como combinao linear de 2 e x.

3.6 Irredutveis e Fatorao nica em k[x]

Seja A um anel. Lembramos que um elemento a A dito irre-dutvel se no admite divisores prprios. Em outras palavras, se

b|a ento ou b unidade ou b a. No caso de domnios, a bse e somente se a = ub com u uma unidade. Em nosso caso, k[x]

domnio. Ento, dizer que p(x) associado a q(x) equivalente

a dizer que p(x) = cq(x) para algum c k, isto , p(x) e q(x)diferem por uma constante. Comecemos por investigar os elemen-

tos irredutveis de k[x]. Mostraremos que polinmios irredutveis

so elementos primos em k[x] - esta uma condio bsica para

um anel ser DFU. Precisaremos do seguinte fato elementar visto

em Estruturas Algbricas I: em um domnio euclidiano A (ou em

que vale o algoritmo euclidiano) se a|bc e MDC (a, b) = 1 entoa|c (voc sabe provar isto?).

Lema 3.2. Irredutveis em k[x] so elementos primos.

Prova: Seja p(x) k[x] irredutvel. Pela definio de elementoprimo, devemos mostrar que se p(x)|f(x)g(x) ento p(x)|f(x) oup(x)|g(x). Suponha p(x)|f(x)g(x) com p(x) 6 |f(x). Por definiode irredutvel, o fato de p(x) no dividir f(x) implica que p(x) e

f(x) so relativamente primos. Assim, p(x)|f(x)g(x) com MDC(p(x), f(x)) = 1. Ento, p(x)|g(x) como queramos demonstrar.

53


OBS 3.4. Pelo lema acima, se p(x) irredutvel e p(x) divide o

produto q1(x) qr(x) ento p(x) divide um dos fatores qi(x) paraalgum i, 1 i r (pode-se provar isto usando-se recursivamenteo lema ou por induo no nmero de fatores). Deste modo, sempre

que tivermos p1(x), . . . , pr(x) e q1(x), . . . , qs(x) irredutveis com

p1(x) pr(x) = q1(x) qs(x)

poderemos supor p1|q1 a menos de uma permutao nos ndices.

Teorema 3.3. (Fatorao nica em k[x]) Seja k um corpo. Todo

polinmio no constante f(x) k[x] um produto de polinmiosirredutveis em k[x]. Esta fatorao nica a menos de uma

constante no nula, isto , se

f(x) = p1(x) pr(x) e f(x) = q1(x) qs(x)

so duas fatoraes em irredutveis de f(x) ento r = s e, a menos

de uma permutao nos ndices, pi = uiqi com ui k, ui 6= 0, paratodo i, 1 i r.

Prova: (Existncia) Seja f(x) k[x] um polinmio noconstante. Usaremos induo em deg f(x) = n 1. Se degf(x) = 1 ento f(x) irredutvel (todo polinmio de grau 1 irre-

dutvel). Suponhamos o teorema verdadeiro para todo polinmio

de grau < n. Se f(x) irredutvel ento nada temos a provar pois

f(x) = 1.f(x) que um produto de irredutveis com somente um

fator (permissvel em nosso contexto). Se f(X) redutvel ento,

por definio, f(x) = g(x)h(x) com deg g(x) < n e deg h(x) < n.

Por hiptese indutiva, g(x) = u1p1 pr e h(x) = u2pr+1 pkcom u1, u2 k. Pondo u = u1u2 temos f(x) = up1 pk comoqueramos.

(Unicidade) Sejam f(x) = u1p1 pr e f(x) = u2q1 qs duas

54


3fatoraes de f em irredutveis. Se r 6= s podemos supor, semperda de generalidade, r < s. Ento, a menos de uma permutao

nos ndices, p1 q1, p2 q2, . . . , pr qr. Assim, p1 pr =cq1 qrqr+1 qs donde qr+1 qs = u k donde qr+1, . . . , qs sounidades. Isto contradiz a irredutibilidade de qr+1, . . . , qs. Logo,

r = s e pi qi para todo i, 1 i r.

3.7 Irredutibilidade versus razes de funes poli-

nomiais

As noes de irredutibilidade e zeros de funes polinomiais so

antagnicas. Para que um polinmio (de grau > 1) seja irredutvel

sobre um corpo k no suficiente mas necessrio que ele no

admita razes em k (teorema do fator). Em linguagem simblica:

irredutibilidade sobre k no existncia de razes em k.

A recproca no verdadeira. Considere dois polinmios quadrti-

cos f(x), g(x) R[x] sem razes em R. Ento, h(x) = f(x)g(x)no admite razes reais e, no entanto, redutvel.

A no equivalncia da implicao acima no a desfavorece teori-

camente. Sua contrapositiva de grande utilidade terica e nos

fornece um critrio de redutibilidade para polinmios de grau 2. importante tambm ressaltar que para polinmios de grau 2 e 3

a implicao acima torna-se uma equivalncia. Todas estas obser-

vaes so decorrentes dos teoremas do resto e do fator.

3.8 Concluso

Estruturalmente, a teoria da divisibilidade em k[x], k corpo,

idndica de Z. Ambos so domnios euclidianos. Apenas a funo

55


norma difere. Em Z dada pela funo mdulo a 7 |a| e em k[x],pela funo grau f(x) 7 deg f(x). Consequentemente, tanto ateoria de ideais quanto a existncia e o clculo do MDC tambm

so idnticos. Em geral, todo domnio euclidiano um DIP e

admite MDC.

RESUMO

Ideais em k[x]

I k[x] ideal I = (f(x)) para algum f(x) k[x]

O elemento f(x) que gera o ideal I um polinmio de menor grau

em I.

MDC em k[x]

k[x] DIP Existe MDC em k[x]

De fato, todo gerador de um ideal no nulo (f(x), g(x)) (existe

pois k[x] DIP) um MDC de f(x) e g(x). A recproca tambm

verdadeira para domnios euclidianos. Deste modo, em domnios

euclidianos, embora o MDC no seja nico, quaisquer dois so as-

sociados. Assim, em k[x], existe um nico MDC mnico. Alguns

textos definem o MDC em k[x] como este representante mnico

nesta classe de equivalncia e garante, j na definio, a unicidade

do MDC.

56


3Algoritmo EuclidianoInput: f, g

Output: h

h := f

s := g

Enquanto s 6= 0 faa

r := resto (h, s)

h := s

s := r

Quadro comparativo entre a teoria de divisibilidade de Z,

k[x] e Z[x] .

Z k[x] Z[x]

Comutativo Sim Sim

Com identidade Sim Sim

Domnio Sim Sim

Euclidiano Sim No

DIP Sim No

DFU Sim Sim

MDC Sim SimMDC pode ser escrito como combinao linear Sim No

OBS 3.5. Em geral, tem-se as seguintes incluses (todas prprias):

Domnios euclidianos DIP DFU.

Irredutibilidade versus razes de funes polinomiais

irredutibilidade sobre k no existncia de razes em k.

57


A recproca no verdadeira: x2 + 1 no possui razes reais donde

(x2 + 1)2 tambm no possui razes reais, mas redutvel. Con-

tudo, vale a recproca para polinmios de grau 2 e 3.

Fatorao nica em k[x]

k corpo k[x] DFU

PRXIMA AULA

Focalizaremos o estudo de irredutibilidade no anel de polinmios

definidos sobre o corpo dos racionais. Mostraremos que a irre-

dutibilidade em Z[x] suficiente para a irredutibilidade em Q[x].

ATIVIDADES

ATIV. 3.1. Classifique e caracterize os elementos em k[x] quanto

a cada definio dada no glossrio.

ATIV. 3.2. Mostre que a noo de elementos associados define

uma relao de equivalncia em k[x]. Verifique que para cada classe

de equivalncia existe um nico representante mnico.

ATIV. 3.3. Determine todos os polinmios irredutveis de grau 2

e 3 em Z2[x].

ATIV. 3.4. Calcule MDC (f(x), g(x)) em Q[x] para os pares de

polinmios nos itens abaixo. Expresse o MDC como combinao

linear entre os pares de polinmios dados.

a) f(x) = x3 6x2 + x+ 4; g(x) = x5 6x+ 1.

58


3b) f(x) = x2 + 1; g(x) = x6 + x3 + x+ 1.ATIV. 3.5. Mostre que o MDC nico a menos de um fator

constante no nulo. Em outras palavras, mostre que d1(x), d2(x)

so MDC de f(x) e g(x) se e somente se d1(x) d2(x). Destemodo, existe um nico MDC mnico.

ATIV. 3.6. Verifique que a igualdade 1 = r(x)2 + s(x)x um

absurdo quaisquer que sejam r(x), s(x) k[x]ATIV. 3.7. Mostre que se p(x)|f(x)g(x) e MDC (p(x), f(x)) = 1ento p(x)|g(x).ATIV. 3.8. Mostre que se p(x) irredutvel e p(x) 6 |f(x) entop(x) e f(x) so relativamente primos. Conclua que irredutveis em

k[x] so primos.

ATIV. 3.9. Demonstre a implicao: irredutibilidade sobre k no existncia de razes em k. Mostre a recproca para polinmios

de grau 2 e 3.

ATIV. 3.10. Mostre que todo polinmio de grau 1 irredutvel

sobre k[x].






59

AULA

4Irredutibilidade em Q[x]META:

Fundamentar a busca de critrios de irredutibilidade em Z[x] para

mostrar irredutibilidade em Q[x].

OBJETIVOS:


Definir polinmios primitivos em Z[x].

Enunciar o lema de Gauss.

Mostrar que um polinmio primitivo irredutvel em Z[x] se e

somente se irredutvel em Q[x].

PR-REQUISITOS

As definies de raiz de polinmio, mximo divisor comum e ele-

mento irredutvel.

Irredutibilidade em Q[x]

4.1 Introduo

Nesta aula, restringiremos nosso estudo de polinmios ao conjunto

Q[x]. Focalizaremos sobre os elementos irredutveis. Pela relao

entre redutibilidade e existncia de razes, comearemos por ca-

racterizar as razes racionais de um polinmio em Q[x]. Este

o teste da raiz racional. Na seo 4.2, abordaremos o conceito de

contedo de um polinmio com coeficientes inteiros e provaremos o

resultado fundamental a cerca deste; a saber: o teorema de Gauss.

Na seo que segue, provaremos o lema de Gauss, nosso principal

resultado desta aula. Finalmente, fecharemos a aula colhendo o

fruto de tanto esforo. Concluiremos que irredutibilidade em Q[x]

pode ser obtida por meio de irredutibilidade em Z[x].

4.2 Teste da raiz racional

Seja f(x) = a0 + a1x + + anxn Z[x] um polinmio de graun 1. Seja r

sQ uma raiz no nula de f(x). Podemos assumir

r

snos menores termos, isto , MDC (r, s) = 1. Por definio de raiz,

f(r

s) = a0 + a1

r

s+ rna

n

sn= 0.

Multiplicando ambos os termos da igualdade acima por sn obtm-

se:

f(r

s) = a0sn + a1rsn1 + an1rn1s+ anrn = 0.

Assim,

a0sn = a1rsn1 + an1rn1s+ anrn

= r(a1s

n1 + an1rn2sanrn1)

e

62


4anan = a0sn + a1rsn1 + an1rn1s

= s(a1s

n2 + an1rn2)

As duas ltimas equaes acarretam r|a0sn e s|anrn. Mas, MDC(r, s) = 1 implica MDC (rn, s) = MDC (r, sn) = 1. Logo, r|a0 es|an. Podemos resumir este resultado na forma de um teorema.

Teorema 4.1. (Teste da raiz racional) Seja f(x) = a0 + a1x +

+ anxn um polinmio com coeficientes inteiros. Se um nmeroracional no nulo

r

scom MDC (r, s) = 1 raiz de f(x), ento r|a0

e s|an.

Exemplo 4.1. As possveis razes em Q de f(x) = 2x4 + x3 21x214x+12 so da forma r

scom r {1,2,3,4,6,12}

e s {1,2}. Assim,r

s {1,2,3,4,6,12,1

2,3

2}

Pode-se verificar que 3 e 12so as nicas razes racionais de f(x).

Usando o teorema do fator obtm-se:

f(x) = (x+ 3)(x 12

)(2x2 4x 8).

Exemplo 4.2. As nicas razes racionais possveis do polinmio

f(x) = x3 +4x2 +x1 so 1. Mas, f(1) = 5 e f(1) = 1. Logo,f(x) no possui razes em Q. Como deg f(x) = 3 segue que f(x)

irredutvel sobre Q.

4.3 O contedo de um polinmio

O contudo de um polinmio no nulo f(x) = a0+a1x+ anxn Z[x] o MDC de seus coeficientes. Um polinmio dito primitivo

63


se possui contedo igual a 1.

Notao: cont(f(x)) = MDC (a0, a1 . . . , an).

O set up no estudo do contedo de polinmios reside no seguinte

fato: se um primo p Z divide todos os coeficientes de um produtof(x)g(x) de polinmios em Z[x] ento p divide todos os coeficientes

de f(x) ou p divide todos os coeficientes de g(x).

Teorema 4.2. (Gauss) Seja p Z primo e f(x) = a0 + a1x + + anxn e g(x) = b0 + b1x + bmxm dois polinmios em Z[x]no nulos. Seja h(x) = f(x)g(x) = c0 + c1x + cn+mxn+m. Sep|ci (0 i n+m) ento p|ai (0 i n) ou p|bi (0 i m).

Prova: (Reduo ao absurdo) Suponha que existam i0, j0 tais

que p 6 |ai0 e p 6 |bj0 . Sejam ar e bs os primeiros coeficientes de f(x)e g(x) (a contar de c0 e b0), respectivamente, no divisveis por p.

Pela escolha de r e s, p|ai 0 i < r e p|bj 0 j < s. Ento,

cr+s = a0br+s + ar1bs+1 + arbs + ar+1bs1 + ar+sb0

tal que p|cr+s por hiptese e p|a0, . . . , ar1, b0, . . . , bs1 pela es-colha de r e s. Logo, p|arbs. Como p primo (hiptese) devemoster p|ar ou p|bs, absurdo.

OBS 4.1. Se cf(x) = g(x)h(x), f(x), g(x), h(x) Z[x], entof(x) = g(x)h(x) com g(x), h(x) Z[x], deg g(x) = deg g(x) edeg h(x) = deg h(x) . Aplique a lei do cancelamento em domnios

juntamente com o teorema anterior para todos os fatores primos

de c.

64


44.4 Lema de GaussDados f(x) = x4 4x3 + 6x 2 e g(x) = 5x3 + 6x 3 temoscont(f) = 1 e cont(g) = 1. Assim, ambos f e g so primitivos.

Por outro lado,

f(x).g(x) = 5x7 20x6 + 6x5 + 3x4 + 2x3 + 36x2 30x+ 6

e cont(fg) = 1. Este resultado no mera coincidncia e sim uma

regra. Se considerarmos dois polinmios primitivos, o produto ser

sempre primitivo. Em outras palavras, a noo de primitivo

preservada pelo produto. Este resultado conhecido como lema

de Gauss.

OBS 4.2. Se a um inteiro positivo e f(x) Z[x] entocont(af) = a.cont(f). Em particular, se d = cont(f) ento

1df

primitivo.

Teorema 4.3. (Lema de Gauss) O produto de polinmios

primitivos um polinmio primitivo. Mais geralmente, o contedo

do produto o produto dos contedos.

Prova: Sejam f(x), g(x) Z[x] primitivos e d = cont(fg).Queremos provar que d = 1. Suponha d 6= 1. Existe ao menosum primo p tal que p|d. Por definio de MDC, p divide todos oscoeficientes de fg. Pelo teorema 4.2, p divide todos os coeficientes

de f ou p divide todos os coefientes de g. Logo, p | cont(f) oup | cont(g), isto , p|1, uma contradio. Assim, d = 1. Parafinalizar, sejam f(x), g(x) Z polinmios quaisquer e d1,d2 seusrespectivos contedos. Ento,

1d1f e

1d2g so primitivos donde

65


(1d1f

)(1d2g

)=

1d1d2

fg tambm primitivo. Assim,

cont(fg) = cont[d1d2

(1

d1d2fg

)]= d1d2.cont

(1

d1d2fg

)= d1d2.1 = d1d2 = cont(f)cont(g).

4.5 Irredutibilidade em Q[x] irredutibilidadeem Z[x]

A equivalncia acima precisa de algumas ressalvas. Primeiro, a

noo de irredutibilidade relativa e no absoluta. Por exemplo,

2 um polinmio irredutvel em Z[x], mas unidade em Q[x] e

2x4 redutvel em Z[x], mas irredutvel em Q[x]. Segundo, umpolinmio com coeficientes em Q[x] no pode ser considerado um

polinmio em Z[x]. Deste modo, para a equivalncia acima fazer

sentido devemos considerar polinmios primitivos.

Seja f(x) Z[x] primitivo. Obviamente, irredutibilidade em Q[x]implica irredutibilidade em Z[x] (raciocine por contrapositiva!).

Suponha f(x) redutvel em Q[x], isto , f(x) = g(x)h(x) com

g(x), h(x) Q[x] e deg g(x), deg h(x) < deg f(x). Existem inteirosa e b tais que ag(x), bh(x) Z[x]. Ento, abf(x) = (ag(x)) (bh(x)) uma fatorao de abf(x) em Z[x]. Denotando c = ab e g(x) =

ag(x) e h(x) = bh(x) temos cf(x) = g(x)h(x). Segue da obser-

vao 4.1 que f(x) = g(x)h(x) com deg g(x) = deg g(x) < degf(x) e deg h(x) = deg h(x) < deg f(x). Assim, f(x) redutvel em

Q[x] implica f(x) redutvel em Z[x]. Temos provado o seguinte:

Teorema 4.4. Um polinmio primitivo em Z[x] irredutvel em

Z[x] se e somente se irredutvel em Q[x].

66


4OBS 4.3. Dado f(x) Q[x], existe um inteiro c tal que cf(x) Z[x]. Temos f(x) redutvel em Q[x] se e somente se cf(x) irre-

dutvel em Q[x]. Assim, com respeito redutibilidade em Q[x]

podemos sempre supor o polinmio em Z[x]. Ademais, como re-

dutibilidade invariante pela noo de associados e sobre corpos

sempre existe associado mnico (nico) podemos tambm supor

f(x) primitivo. Pelo teorema anterior, f(x) irredutvel em Z[x]

implica f(x) irredutvel em Q[x]. Deste modo, se quisermos provar

que um polinmio f(x) em Q[x] irredutvel (em Q[x]) suficiente

provar a irredutibilidade em Z[x] de um polinmio primitivo em

Z[x] associado f(x) em Q[x]. neste fato que reside a importn-

cia de se elaborar critrios de irredutibilidade em Z[x].

4.6 Concluso

Por meio do conceito de contedo de um polinmio com coeficientes

inteiros, concluimos que o estudo dos irredutveis em Q[x] est

includo no estudo dos irredutveis em Z[x]. Da a necessidade de

se obter critrios de irredutibilidade em Z[x].

RESUMO

Teste da raiz racional

Se um nmero racional ab , MDC(a, b) = 1, raiz de a0 +

a1x+ + anxn Z[x] ento a|a0 e b|an.

O contedo de um polinmio

1. Definio: cont (a0 +a1x+ +anxn) = MDC (a0, . . . , an).

2. Polinmio primitivo: polinmio de contedo 1.

67


3. Teorema: (Gauss) Se um primo p divide todos os coefi-

cientes de um produto de polinmios ento p divide todos os

coeficientes de um dos fatores.

Lema de Gauss

cont(f(x)g(x)) = cont(f(x))cont(g(x)).

Irredutibilidade em Q[x] versus Irredutibilidade em Z[x]

Para polinmios primitivos vale a equivalncia

Irredutibilidade em Z[x] Irredutibilidade em Q[x].

Consequncia:

Seja f(x) Q[x] e f(x) seu associado mnico em Z[x].Ento, f(x) irredutvel em Z[x] implica f(x) irredutvel

em Q[x].

PRXIMA AULA

Seguindo a motivao dos resultados obtidos nesta aula, buscare-

mos critrios de irredutibilidade em Z[x].

ATIVIDADES

ATIV. 4.1. Use o teste da raiz racional para escrever cada polinmio

como um produto de polinmios irredutveis em Q[x].

a) 3x5 + 2x4 7x3 + 2x2.

68


4b) 2x4 5x3 + 3x2 + 4x 6.ATIV. 4.2. Mostre que p irracional para cada p primo.ATIV. 4.3. Mostre que todo polinmio no nulo f(x) Q[x]pode ser escrito de maneira nica na forma f(x) = cf(x) com

c Q e f(x) Z(x) primitivo. Conclua que todo polinmio emQ[x] possui um nico associado mnico em Z[x].

ATIV. 4.4. Seja f(x) Z(x) primitivo. Mostre que se f(x) redutvel em Q(x) ento f(x) redutvel em Z(x).






69

AULA

5Critrios de irredutibilidadeEm Z[x]META:

Determinar critrios de irredutibilidade em Z[x] para mostrar ir-

redutibilidade em Q[x].

OBJETIVOS:


Aplicar os critrios de irredutibilidade para determinar se um dado

polinmio com coeficientes inteiros irredutvel em Q[x].

PR-REQUISITOS

A definio de isomorfismo de anis e a noo de polinmio irre-

dutvel.

Critrios de irredutibilidadeEm Z[x]

5.1 Introduo

Considere f(x) = x4 5x2 + 1 Q[x]. Vamos testar a redutibi-lidade de f(x) em Q[x]? Pela aula anterior, suficiente testarmos

a redutibilidade de f(x) em Z[x]. As possveis combinaes dos

graus para fatoraes de f(x) so da forma 1.1.1.1, 1.1.2, 1.3 e 2.2.

As trs primeiras implicam (pelo teorema do fator) na existncia

de pelo menos uma raiz racional. Pelo teste da raiz racional, as

nicas possveis razes de f(x) em Q[x] so 1,1. Mas, f(1) =f(1) = 3 6= 0. Logo, f(x) no possui razes em Q e, portanto,no possui fatores de grau 1. Deste modo, a nica maneira de

fatorao para f(x) seria na forma

f(x) = (a2x2 + a1x+ a0)(b2x2 + b1x+ b0), a0, a1, b0, b1 Z

No entanto, f(x) mnico e isto acarreta a2 = b2 = 1 (voc

consegue enxergar isto?). Assim temos:

f(x) = (x2 + a1x+ a0)(x2 + b1x+ b0).

Efetuando este produto obtemos:

x4+(a1+b1)x3+(a0+a1b1+b0)x2+(a1b0+a0b1)x+a0b0 = x45x2+1

Da igualdade de polinmios, obtemos o seguinte sistema em Z:

a1 + b1 = 0 a0 + a1b1 + b0 = 5 a1b0 + a0b1 = 0 a0b0 = 1

Mas, a0b0 = 1 em Z acarreta a0 = b0 = 1 ou a0 = b0 = 1 ea1 + b1 = 0 acarreta a1 = b1. Ento, da equao

a0 + a1b1 + b0 = 5

podemos concluir que

a21 1 1 = 5 ou a21 + 1 + 1 = 5

72


5donde a21 = 7 ou a21 = 3. Como no existem inteiros cujo quadra-dos so 3 ou 7 segue a impossibilidade de fatorar f(x) em Z[x].

Assim, f(x) irredutvel em Z[x], logo tambm em Q[x].

Observe, prezado aluno, que a tarefa de caracterizar irredutibili-

dade pela definio impraticvel. Por exemplo, voc saberia dis-

cutir a irredutibilidade do polinmio x17+6x1315x4+3x29x+12em Q[x]? Imagine quantas combinaes possveis existem para se

fatorar tal polinmio. Felizmente, existem critrios muito eficazes

para nos auxiliar nesta tarefa. o que nos ensina os critrios de

irredutibilidade a seguir.

5.2 Critrio de Eisenstein

Seja f(x) = a0 + a1x + . . . anxn Z[x] no constante. Suponhaque existe um primo p Z tal que p|a0, . . . , p|an1, p - an e p2 - a0.Vamos mostrar, nestas condies, que f(x) irredutvel em Q[x].

Seguiremos o raciocnio por reduo ao absurdo. Suponhamos f(x)

redutvel em Q[x] e um primo p nas condies acima. Pela aula

anterior, f(x) admitiria uma fatorao em Z[x], digamos

f(x) = (b0 + b1x+ + brxr)(c0 + c1x+ + csxs)

com bi, cj Z, 1 r < n e 1 s < n. Temos a seguinte sequnciade implicaes:

1. p|a0, a0 = b0c0 e p primo p|b0 ou p|c0. Podemos suporp|b0.

2. p - an, an = brcs p - br e p - cs.

3. p2 - a0, a0 = c0b0 e p|b0 p - c0.

73


4. p|b0 e p - br existe um menor inteiro k, 1 k r, tal quep - pk.

O inteiro k, determinado no item 4, tem a seguinte propriedade:

p|bi, 0 i < k, e p - bk

com 1 k r < n. Desde que

ak = b0ck + b1ck1 + + bk1c1 + bkc0

temos

bkc0 = ak b0ck b1ck1 + bk1c1 (5.5)

Mas, p|ak (k < n) e p|bi, para i < k. Ento p divide cada parcelado membro direito da equao 5.5 e, portanto, p|bkc0. Isto implicap|bk e p|c0, um absurdo. Este resultado conhecido como critriode Eisenstein. Segue o enunciado em forma de teorema.

Teorema 5.1. (Critrio de Eisenstein) Seja f(x) = a0 + a1x +

+anxn Z[x] no constante. Se existe um primo p Z tal quep|a0,. . .,p|an1, p - an e p2 - a0, ento, f(x) irredutvel em Q[x].

Exemplo 5.1. O polinmio x17 +6x1315x4 +3x29x+12 dadona introduo irredutvel em Q[x] pelo critrio de Eisenstein para

p = 3. Os polinmios da forma xnp so irredutveis pelo critriode Eisenstein para p primo.

5.3 Critrio Zp[x]

Embora o critrio de Eisenstein seja bastante eficiente, existem

muitos polinmios para os quais o critrio no se aplica. Por

exemplo, f(x) = x5 + 8x4 + 3x2 + 4x+ 7. Neste caso, precisamos

74


5desenvolver um novo mtodo. Para todo inteiro n est definido ohomomorfismo de anis de polinmios

n : Z[x] Zn[x]

em que para cada polinmio f(x) = a0 + a1x + arxr associao polinmio n(f(x)) = a0 + a1x + + arxr onde ai denota aclasse de equivalncia de ai no anel quociente Zn. Usaremos este

homomorfismo para p primo. Assim, o anel quociente Zp um

corpo e podemos ento aplicar toda a teoria desenvolvida at aqui

para anis polinomiais sobre corpos.

Seja f(x) = a0 + a1x + anxn Z[x] de grau n. Considereum primo p tal que p - an. Ento, p(f(x)) um polinmio em

Zp[x] de grau n visto que an 6= 0 pois p - an. Vamos mostrarque se p(f(x)) irredutvel em Zp[x] ento f(x) irredutvel em

Z[x]. Usaremos a contrapositiva. Se f(x) redutvel em Z[x] ento

f(x) = g(x)h(x) com g(x), h(x) polinmios no constantes em Z[x]

de graus menores do que n, digamos r e s, respectivamente. Se

br e cs so os coeficientes lderes de g(x) e h(x), respectivamente,

ento an = brcs. Como p - an, ento, p - br e p - cs. Assim, bre cs so no nulos em Zp. Ento, deg p(g(x)) = deg g(x) e deg

p(h(x)) = deg h(x). Como p(f(x)) = p(g(x))p(h(x)) segue

que p(f(x)) redutvel em Zp[x]. Temos demonstrado o seguinte

resultado:

Teorema 5.2. Seja f(x) Z[x] um polinmio no constante eseja p um primo que no divida o coeficiente lder de f(x). Se

p(f(x)) irredutvel em Zp[x] ento f(x) irredutvel em Q[x].

Exemplo 5.2. Vamos mostrar que f(x) = x5 +8x4 +3x2 +4x+7

irredutvel em Q[x]. Para p = 2 temos 2(f(x)) = x5 + x2 + 1.

75


p(f(x)) no admite fatores lineares em Z2[x], pois no possui

razes em Z2 (verifique isto). Os nicos polinmios de grau dois

em Z2[x] so x2, x2 + x, x2 + 1 e x2 + x + 1 e nenhum destes

divide p(f(x)) (use o algoritmo da diviso para verificar isto!).

Assim, f(x) tambm no admite fatores quadrticos em Z2[x].

Finalmente, p(f(x)) tambm no admite fatores de grau 3 e 4

pois se tivesse o outro fator seria de grau 2 ou 1, que impossvel.

Logo, p(f(x)) irredutvel em Z2[x]. Pelo teorema 5.2 f(x)

irredutvel em Q[x].

5.4 Critrio f(x+ c)

Seja f(x) k[x] e c k. A aplicao : k[x] k[x], (f(x)) =f(x+ c), define um isomorfismo. Assim, f(x) irredutvel em k[x]

se e somente se (f(x)) = f(x + c) irredutvel em k[x]. Em

forma de teorema:

Teorema 5.3. Seja f(x) k[x], k corpo, e c k. Se f(x + c) irredutvel em k[x] se e somente se f(x) irredutvel em k[x].

Tal critrio aparentemente no traz nehuma luz caracterizao da

irredutibilidade de um polinmio. Mas, ele aplicado em conjunto

com outros critrios pode ser bastante til. Por exemplo, considere

f(x) = x4+4x+1 Q[x]. Temos f(x+1) = (x+1)4+4(x+1)+1 =x4 + 4x3 + 6x2 + 8x+ 6 irredutvel pelo critrio de Eisenstein para

p = 2. Logo, x4 + 4x + 1 irredutvel em Q[x]. Prezado aluno,

voc pode fazer o teste de irredutibilidade tentando fatorar tal

polinmio como foi feito na introduo esta aula e verificar qual

dos dois mtodos o mais trabalhoso. Outro exemplo segue na

seo a seguir.

76


55.5 O polinmio ciclotmico p(x), p primoEmmatemtica, a palavra ciclotomia remonta ao problema histri-

co de dividir o crculo em um dado nmero de partes iguais ou,

equivalentemente, de construir polgonos regulares com rgua e

compasso. conhecido que um polgono regular de n lados

construtvel (isto significa com rgua e compasso) se e somente se

(n) uma potncia de 2. Lembramos que (n) denota a funo

phi de Euler em n Z0 e corresponde quantidade de inteirospositivos < n relativamente primo com n. Na teoria de grupos,

(n) a ordem do grupo multiplicativo das unidades de Zn. Pode-

se mostrar que (n) uma potncia de 2 se e somente se n =

2rp1 pk com pi = 22qi + 1 primo para todo i = 1, . . . , r. Osprimos da forma 22qi + 1 so chamados primos de Fermat (1601-

1665). Fermat conjecturou que todos os nmeros da forma 22q + 1

so primos. De fato, 22q + 1 primo para q < 5, mas Euler (1707-

1783) mostrou em 1732 que 225+1 = 6416.700.417. Na literaturacorrente consta que at o momento no se conhece nenhum primo

de Fermat para q acima de 4.

A relao da ciclotomia com nossa aula consiste no fato que dividir

o crculo em n arcos iguais equivalente construo com rgua

e compasso da n-sima raiz complexa da unidade. Um nmero

complexo = a + bi dito construtvel se o ponto do plano com-

plexo (a, b) construtvel com rgua e compasso. Sabe-se que um

complexo construtvel somente se o corpo Q[] possui como

dimenso vetorial sobre Q uma potncia de 2. A dimenso veto-

rial de Q[] sobre Q chamada grau pelo fato de coincidir com o

grau do polinmio mnico irredutvel sobre Q tendo como raiz.

Denota-se por [Q[] : Q] o grau de Q[] sobre Q. Se = exp2piin

uma n-sima raiz complexa da unidade ento [Q[] : Q] = (n).

77


A prova deste resultado no trivial e precisa antes de mais nada

determinar o polinmio mnimo de . Tal polinmio chamado o

n-simo polinmio ciclotmico e denotado por n(x).

Se = exp2piin uma n-sima raiz da unidade ento n = exp2pii =

1 donde raiz do polinmio xn1 = (x1)(xn1+xn2+ x+1). Se 6= 1 ento raiz do polinmio xn1 + xn2 + x+ 1.Quando n = p primo, q(x) = xp1 +xp2 + x+ 1 irredutvelsobre Q e portanto o p-simo polinmio ciclotmico p(x). De

fato,xp 1x 1 = q(x). Assim,

q(x+ 1) =(x+ 1)p 1x+ 1 1

=

xp +

pp 1

xp1 + + p

1

x+ 1 1x

=

xp +

pp 1

xp1 + + p

1

xx

= xp1 +

pp 1

xp2 + + p

1

Como p divide

pr

para todo r, 0 < r < p, segue pelo critriode Eisenstein que q(x) = xp1 + xp2 + x+ 1 irredutvel.

5.6 Concluso

Embora no exista um mtodo geral para determinar irredutibili-

dade emQ[x], conseguimos, por meio dos critrios elaborados nesta

aula, caracterizar a irredutibilidade de certos tipos de polinmios.

O principal critrio o de Eisenstein. Eles so de extrema utili-

78


5dade tanto na teoria dos corpos quanto na teoria de Galois.RESUMO

Critrio de Eisenstein

Seja f(x) = a0 +a1x+ +anxn Z[x] no constante.Se existe um primo p Z tal que p|a0,. . .,p|an1, p - ane p2 - a0 ento f(x) irredutvel em Q[x].

Critrio Zp[x]

Seja f(x) Z[x] um polinmio no constante e seja pum primo que no divida o coeficiente lder de f(x). Se

p(f(x)) irredutvel em Zp[x] ento f(x) irredutvel

em Q[x].

Critrio f(x+ c)

Seja f(x) k[x], k corpo, e c k. Se f(x + c) irredutvel em k[x] ento f(x) irredtvel em k[x].

O polinmio ciclotmico p(x), p primo

p(x) = xp1 + xp2 + + x+ 1.

PRXIMA AULA

Na prxima aula iniciaremos a segunda fase do curso. Ser uma

aula de transio entre o estudo de polinmios e a teoria de corpos.

Estudaremos os anis quocientes obtidos por meio de ideais em

79


k[x]. muito importante que voc ganhe maturidade na estrutura

de tais anis, pois ser a teoria que dar suporte toda teoria dos

corpos vista neste curso.

ATIVIDADES

ATIV. 5.1. Mostre que os seguintes polinmios f(x) Z[x] soirredutveis sobre Q[x].

a) f(x) = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x+ 2.

b) f(x) = x7 31.

c) f(x) = x6 + 15.

d) f(x) = x3 + 6x2 + 5x+ 25.

e) f(x) = x4 + 8x3 + x2 + 2x+ 5.

f) f(x) = x4 + 10x3 + 20x2 + 30x+ 22.

ATIV. 5.2. Determine quais dos seguintes polinmios so irre-

dutveis sobre Q.a) x3 x+ 1 b) x3 + 2x+ 10c) x3 2x2 + x+ 15 d) x4 + 2e) x4 2 f) x4 x+ 1ATIV. 5.3. Determine quais dos seguintes polinmios sobre os

seguintes corpos K so irredutveis:

a) x7 + 22x3 + 11x2 44x+ 33 , K = Qb) x3 7x2 + 3x+ 3 , K = Qc) x4 5 , K = Z17d) x3 5 , K = Z11

80


5.LEITURA COMPLEMENTAR

CLARK, Allan, Elements of abstract algebra. Dover, 1984





81

AULA

6Anis quocientes k[x]/IMETA:

Determinar as possveis estruturas definidas sobre o conjunto das

classes residuais do quociente entre o anel de polinmios e seus

ideais.

OBJETIVOS:


Reconhecer as estruturas de anel e espao vetorial do conjunto

quociente k[x]/I.

Caracterizar uma base de k[x](f(x)) como um espao vetorial so-

bre o corpo k.

Reconhecer a classe x em k[x]/(f(x)) como uma raiz do polinmio

f(x).

Usar o processo de adjuno de razes para determinar corpos de

razes de alguns polinmios.

PR-REQUISITOS

As seguintes noes de lgebra linear: espao vetorial, dependncia

e independnica linear, base e dimenso.

Anis quocientes k[x]/I

6.1 Introduo

Seja A um anel e I A um ideal. A relao de congrunciamdulo o ideal I (a b a b I) define uma relao deequivalncia em A. A classe de equivalncia de um elemento a

o conjunto a = {a + b : b I} = a + I. O importante nadefinio de congruncia que usa apenas a estrutura aditiva de

A. Sendo (A,+) um grupo abeliano, (I,+) um subgrupo normal

de A. Assim, o quociente A/I grupo aditivo com a operao

a + b = a+ b. A operao a.b = a.b define uma multiplicao

em A/I. O anel (A/I,+, .) chamado anel quociente ou anel de

classes residuais mdulo I. Se A comutativo com identidade 1A

ento A/I comutativo com identidade 1A. So fundamentais os

seguintes resultados:

1. A/I domnio se e somente se I ideal primo.

2. A/I corpo se e somente se I ideal maximal.

3. Em um domnio de ideais principais (DIP), ideais primos so

mximos.

6.2 Exemplos

Exemplo 6.1. Em Z[x],

x2 + x+ 1 x+ 3 mod x+ 2

pois x2 +x+ 1 (x+ 3) = x24 = (x2)(x+ 2) I, I = (x+ 2).Exemplo 6.2. Vamos mostrar que Z2[x]/(x2 + x + 1) um anel

com exatamente 4 elementos. Seja f(x) Z2[x]/(x2 + x + 1).Ento f(x) Z2[x] e pelo algoritmo da diviso existem nicosq(x), r(x) Z2[x] tais que f(x) = q(x)(x2 +x1)+r(x) onde r(x) =

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60 ou 0 deg r(x) < 2. Assim, r(x) = ax+ b para a, b Z2. Destemodo, para toda classe f(x) existe um representante de grau 1

ax + b Z2[x] tal que f(x) = ax+ b. Vamos mostrar que esterepresentante nico. De fato, ax+ b = cx+ d implica ax + b (cx+ d) = (a c)x+ b d = q(x)(x2 + x+ 1). Se ax+ b 6= cx+ dento segue da ltima igualdade que 1 deg ((a c)x + b d)= deg q(x)(x2 + x + 1) 2, contradio. Logo, ax + b = cx + d.Assim, Z2[x]/(x2 + x+ 1) = {ax+ b : a, b Z2}. Pela unicidadeda representao de uma classe por polinmios de grau 1 podemos

omitir as barras e simplesmente escrever Z2[x]/(x2 + x + 1) =

{ax + b : a, b Z2} que um anel com 4 elementos: 0, 1, xe 1 + x. Note que x(x + 1) = x2 + x = x + 1 + x = 1, pois

x2 x + 1 em Z2[x]/(x2 + x + 1). Assim, toda classe no nulapossui inverso multiplicativo e, portanto, Z2[x]/(x2 + x+ 1) um

corpo. Prezado aluno, se voc no percebeu, x2+x+1 irredutvel

em Z2[x] logo gera um ideal primo. Sendo Z2 corpo, Z2[x] DIP

e, portanto, primos so maximais. Logo, (x2 + x + 1) maximal

donde Z2[x]/(x2 + x+ 1) corpo.

6.3 O anel quociente k[x]/I

Seja I k[x] um ideal no nulo. Sendo k[x] um DIP ento I =(f(X)) para algum f(x) = xn + an1xn1 + a1x+ a0 (por qumnico?). Se I tr

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Algebra Abstrata