33

Álgebra dos Conjuntos - UDESC - CCT§ão de Conjuntos Conjuntos nitos Álgebra dos Conjuntos Viviane Maria Beuter Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências

  • Upload
    buianh

  • View
    268

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Álgebra dos Conjuntos

Viviane Maria Beuter

Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC

Centro de Ciências Tecnológicas - CCT

Licenciatura em Matemática

2014

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Conjuntos

Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem de�nição(noção primitiva)::

Conjunto;

Elemento;

Pertinência entre elemento e conjuntos.

Conjuntos são noções primitivas, assim como pontos, retas e pla-nos são para a geometria euclidiana.

Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula:A,B,C , · · · ,X ,Y ,Z .

Denotamos um elemento de um conjunto, em geral, com letrasminúsculas: a, b, c , · · · , x , y , z .

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Pertinência

Para indicar que um elemento x faz parte de um conjunto Ausamos a notação

x ∈ A,

que se lê x pertence a A.

Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos

x /∈ A.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Descrição de um conjunto

Existem essencialmente duas formas de especi�car um conjunto.Uma opção, quando possível, consiste em listar seu elementos.Por exemplo:

conjunto das vogais: A = {a, e, i , o, u};conjunto dos números primos positivos:B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, · · · };conjunto dos nomes dos dias da semana:C={domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado};

conjunto dos números inteiros divisores de 100:D = {−100,−50, · · · ,−5,−4,−2,−1, 1, 2, 4, 5, · · · , 50, 100}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Descrição por uma propriedade

A segunda maneira consiste em enunciar a propriedades que ca-racterizam os elementos dos conjuntos da seguinte forma

A = {x | x que veri�cam a propriedade p(x)}.

Exemplos:

E = {x | x é vogal};F = {x | x é solução da equação x2 − 4 = 0};G = {x | x é inteiro e divisível por 5};H = {x | x é real e 1 < x ≤ 3}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Conjuntos Numéricos

conjunto dos números naturais:

N = {0, 1, 2, 3, 4, · · · };

conjunto dos números inteiros:

Z = {0,±1,±2,±3, · · · };

conjunto dos números racionas:

Q = { ab| a, b são números inteiros e b 6= 0};

conjuntos dos números irracionas:

I = {x | x é dízima não períodica};

conjunto dos números reais:

R = {x | x ∈ Q ou x ∈ I};

conjunto dos números complexos:

C = {a+ bi | a, b ∈ R}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Conjunto vazio e conjuntos unitários

Conjunto vazio: é aquele que não possui elemento algum.Notação: {} ou ∅.

Exemplos:

{x | x + 1 = x} = ∅;

{x | x é um número real e x2 < 0} = ∅;

{x | x 6= x} = ∅.

Conjuntos unitários: são aqueles que possuem um único ele-mento.Exemplos:

{x | 2x − 1 = 3} = {2};{x | x é um número natural e divisor de 1} = {1}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Conjunto Universo

Conjunto Universo: Quando vamos desenvolver um determi-nado assunto de Matemática, admitimos a existência de um con-junto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no talassunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.

Em geometria o Universo é o conjunto de todos os pontos.

O Universo dos números primos é o conjunto dos númerosinteiros.

No universo U, o conjunto A dos elementos x que veri�cam acondição p(x), indica-se pela notação:

A = {x ∈ U | p(x)}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Exemplos:

A = {x ∈ N | x divide 6} = {1, 2, 3, 6};B = {x ∈ Z | x divide 6} = {−6,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 6};C = {x ∈ Q | x2 − 2 = 0} = ∅;

D = {x ∈ R | x2 − 2 = 0} = {√2,−√2}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Diagrama de Venn

Representa-se um conjunto ou operações com conjuntos atravésde uma �gura geométrica. O conjunto é representado por umaletra maiúscula situada na região externa da �gura e os elementosdo conjunto por pontos internos a �gura.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B dizem-se iguais se, e somente se, todoelemento que pertence a um deles também pertence a outro.Notação: A = B ( A é igual a B)Em símbolos,

A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A↔ x ∈ B).

Observações:

A ordem em que os elementos são listados em um conjuntoé irrelevante: {

√5,√6,√7} = {

√7,√5,√6}.

A repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante:{a, b, c} = {a, b, b, c , c , c}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Igualdade de Conjuntos

Propriedades da igualdade de conjuntos

Re�exiva: A = A;

Simétrica: A = B −→ B = A;

Transitiva: (A = B) e (B = C ) −→ (A = C ).

Conjuntos diferentes: Dois conjuntos A e B são diferentes seexiste ao menos um elemento de A que não pertence a B ouexiste ao menos um elemento de B que não pertence a A.Notação: A 6= B ( A é diferente de B)Em símbolos,

A 6= B ⇔ ((∃x)(x ∈ A e x /∈ B) ou (∃y)(y ∈ B e y /∈ A)).

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Subcojuntos (Inclusão)

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se e somentese, todo elemento de A pertence também a B. Nesse caso dize-mos que A está contido em B ou B contém A.Notação: A ⊆ B (A está contido em B) ou B ⊇ A (Bcontém A).Em símbolos:

A ⊆ B ⇔ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ B).

Exemplo:

A = {x ∈ R |x2 − 5x + 6 ≤ 0} ⊆ B = {x ∈ R | x − 2 ≥ 0}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Subcojuntos

A negação de A ⊆ B indica-se por A * B e se lê: A não estácontido em B.Em símbolos:

A * B ⇔ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B).

Observação:

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, A ⊆ B eB ⊆ A, ou seja,

A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A).

É necessário distinguir a relação pertinência (∈) da relaçãocontinência (⊆). A primeira relaciona elemento comconjunto. A segunda relaciona (sub) conjunto comconjunto.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Propriedades da inclusão

Re�exiva: A ⊆ A;

Transitiva: (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C )→ (A ⊆ C );

Antissimétrica: (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)→ (A = B);

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A:(∀A)(∅ ⊆ A);

Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A estácontido em U : (∀A)(A ⊆ U).

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Conjuntos comparáveis:

Dois conjuntos A e B são ditos comparáveis se A ⊆ B ouB ⊆ A.

Exemplos:

Os conjuntos A = {x ∈ N | 3 ≤ 5x − 2 ≤ 20} eB = {x ∈ N | 3 ≤ x + 2 ≤ 20} são comparáveis, poisA ⊆ B.

Os conjuntos C = {x ∈ Z | x é primo} eD = {x ∈ Z | x é ímpar } não são comparáveis. De fato,2 ∈ C e 2 /∈ D e, portanto, C * D. Por outro lado,15 ∈ D e 15 /∈ C e, portanto, D * C .

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

União de conjuntos

Dados os conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjuntoformado pelos elementos que pertencem a A ou a B.Notação: A ∪ B ( A união B)Em símbolos:

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Exemplos:

Sejam A = {x ∈ R | −√2 < x <

√2} = (−

√2,√2) e

B = {x ∈ R | x2 = 2} = {−√2,√2}. Então

A ∪ B = {x ∈ R | −√2 ≤ x ≤

√2} = [−

√2,√2].

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Propriedades da União

Sejam A,B e C subconjuntos num universo U.

Idempotente: A ∪ A = A;

Elemento neutro: A ∪∅ = A;

Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A;

Associatividade: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C );

A ∪ U = U.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Propriedades da inclusão e da união

Sejam A,B e C subconjuntos num universo U.

A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B;

A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B;

A ⊆ C e B ⊆ C ⇔ A ∪ B ⊆ C ;

A ⊆ B ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ C .

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Interseção de conjuntos

Dados os conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B oconjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.Notação: A ∩ B (A interseção B)Em símbolos:

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Exemplo:

Sejam A = {x ∈ N | x é par} e B = {x ∈ Z | x é primo}.Então A ∩ B = {2}.

Conjuntos disjuntos: Dizemos que os conjuntos A e B sãodisjuntos quando A ∩ B = ∅.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Propriedades da Interseção

Sejam A,B e C subconjuntos num universo U.

Idempotente: A ∩ A = A;

Elemento neutro: A ∩ U = A;

Comutatividade: A ∩ B = B ∩ A;

Associatividade: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C );

A ∩∅ = ∅.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Propriedades da interseção e da união

Sejam A,B e C subconjuntos num universo U.

Leis de absorção:

A ∩ (A ∪ B) = A e A ∪ (A ∩ B) = A;

Distributividade da interseção em relação à união:

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C );

Distributividade da união em relação a interseção:

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );

Leis de Morgan:

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′ e (A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Complementar de um subconjunto

Seja A um subconjunto de E . Chama-se complementar de Aem relação a E o conjunto de todos os elementos de E que nãopertencem a A.

Notação: CAE (complementar de A em relação a E)

Em símbolos:CAE = {x | x ∈ E ∧ x /∈ A}.

Exemplos:

Sejam E = {1, 2, 3, 4, 5, 6},A = {1, 3, 5},B = {2, 4, 6} eC = {1, 6}. Então CA

E = B , CCE = {2, 3, 4, 5}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Propriedades do complementar

C∅E = E ;

CEE = ∅;

CCAE

E = A;

A ⊆ B → CAE ⊇ CB

E .

Observação: Num dado universo U, pode-se falar simplesmenteem complementar de um conjunto A, �cando subentendido quese trata do complementar em relação a U.

Notação: A′ ou Ac (A′ = CAU )

Para conjuntos quaisquer A e B num universo U, temos:

∅′ = U,

U ′ = ∅,

(A′)′ = A

A ⊆ B ↔ A′ ⊇ B ′.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Diferença de dois conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B oconjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

Notação: A− B ou A \ B ( A menos B)Em símbolos:

A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Observação: Esta operação pode ser escrita como A − B ={x | x ∈ A ∧ x ∈ B ′} e, assim

A− B = A ∩ B ′.

Exemplos:

Z∗ = Z− {0}, R∗ = R− {0}.{1, 2, 3, 4, 5} − {4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Propriedades da Diferença

Para conjuntos quaisquer A e B num universo U, temos:

A−∅ = A e ∅− A = ∅;

A− U = ∅ e U − A = A′;

A− A = ∅;

A− A′ = A;

(A− B)′ = A′ ∪ B;

A− B = B ′ − A′;

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Conjuntos �nitos

Um conjunto é dito �nito se contém exatamente m elementosdistintos, onde m denota algum número natural. Caso contrário,o conjunto é dito in�nito. Por exemplo, o conjunto vazio, , e oconjunto de letras do alfabeto são conjuntos �nitos, enquanto oconjunto dos números primos é in�nito.

Notação: n(A),#(A), |A| ou card(A) denotam o número de ele-mentos de um conjunto �nito.

Se A e B são conjuntos �nitos distintos, então A ∪ B é�nito e

n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

Se A e B são conjuntos �nitos, então A ∪ B e A ∩ B são�nitos e

n(A ∪ B) = n(A) + n(B)− n(A ∩ B).

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Conjunto das partes de um conjunto

Chama-se conjunto das partes de um conjunto A o conjuntocujos elementos são subconjuntos de A (ou partes de A).

Notação: P(A) (conjunto das partes de A).

Em símbolos:P(A) = {X | X ⊆ A}.

Desta forma,X ∈ P(A)⇔ X ⊆ A.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Partes de um conjunto

Exemplos:

P(∅) = {∅};P({1}) = {∅, {1}};P({a, b, c}) ={∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}};P({∅}) = {∅, {∅}}.

Observação: Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n ele-mentos.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Família de conjuntos

Um conjunto cujos elementos também são conjuntos diz-se umafamília de conjuntos ou uma coleção de conjuntos.

Exemplos:

F = {{a, b}, {b, c , d}, {e}};

E = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, · · · };

A = {{−1, 0, 1}, {1, 2, 3}, {0, 2}}.Uma circunferência é um conjunto de pontos e, assim, umconjunto de circunferências é uma família decircunferências.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Partições

Seja S um conjunto não vazio. Uma partição de S é um família{Ai} de subconjuntos não vazios de S tais que:⋃

i∈λ Ai = S ,

Ai = Aj ou Ai ∩ Aj = ∅.

Exemplos:

{{1, 3}, {2, 4, 6}, {5, 7, 8, 9} é uma partição do conjunto{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

{{1, 3}, {2, 4, 6}, {3, 5, 7, 8, 9} não é uma partição doconjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

Conjuntos contáveis

Dois conjuntos A e B são ditos equipotentes, e denotadopor A ∼ B, se, e somemente se, existir umacorrespondência de um-para-um entre os elementos de A eos elementos de B .

Qualquer conjunto equivalente ao conjunto dos númerosnaturais é chamado de enumerável.

Todo conjunto �nito ou enumerável é chamado decontável.

Exemplos:

O conjunto dos números inteiros é enumerável.

O conjunto dos números racionais é enumerável.

O conjunto dos números reais não é enumerável.

Álgebra dosConjuntos

VivianeMaria Beuter

Conjuntos

RelaçõesentreConjuntos

Operação deConjuntos

Conjuntos�nitos

BIBLIOGRAFIA

GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para aciência da computação. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria elementar dosconjuntos. 21 ed. São Paulo: Nobel, 1990.

LIPSCHUTZ, Seymour. Matemática Discreta. ColeçãoSchaum. 2.ed. Porto Alegre: Bookman, 2004.