UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUALDE SANTA CATARINACENTRO DE CIENCIAS TECNOL OGICAS - CCTDEPARTAMENTO DE MATEMATICA - DMATAPOSTILA DEALGEBRA LINEAR IIJONES CORSO - CoordenadorGraciela Moro; Jo ao de Azevedo; Katiani da Conceic ao; Marnei LuisMandler; Patricia S anez Pacheco; Roberta Briesemeister; RafaelCarlos V elez BenitoJoinville - 2010.iiSum ario1 MATRIZES E SISTEMAS 11.1 Tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Matriz coluna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Matriz linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.5 Matriz diagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.6 Matriz identidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.7 Matriz transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.8 Matriz sim etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.9 Matriz anti-sim etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.10 Matriz triangular superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.11 Matriz triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Operac oes com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Adic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Multiplicac ao por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Multiplicac ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5 Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.6 Pot encia de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Matriz na forma escada reduzida por linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Operac oes elementares linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Posto de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 C alculo da inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1 C alculo da inversa por escalonamento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12iii1.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.1 C alculo do determinante por triangulac ao . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.2 C alculo do determinante por desenvolvimento de Laplace . . . . . . . 141.7 Primeira lista de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Sistema de equac oes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8.2 Sistemas e matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8.3 Soluc ao de um sistema por matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9 Segunda lista de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10 Ap endice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.10.1 C alculo da inversa por adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.10.2 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 ESPAC OS VETORIAIS 372.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 Intersecc ao de dois Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4 Combinac ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5 Depend encia e Independ encia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6 Subespacos Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.7 Soma de Subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.8 Basee Dimens ao de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.8.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.8.2 Dimens ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.8.3 Dimens ao da Soma de Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 652.8.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.9 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.10 A Inversa da Matriz de Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.11 Terceira lista de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 TRANSFORMACOES LINEARES 793.1 Propriedades das Transformac oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2 Transformac oes Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91iv3.2.1 Transformac ao linear associada a uma matriz . . . . . . . . . . . . . . 913.2.2 Matriz de uma transformac ao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3 Composic ao de transformac oes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.4 A Inversa de uma transformac ao linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.5 Quarta lista de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 OPERADORES LINEARES 1114.1 Transformac oes especiais no plano e no espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.1.1 Transformac oes no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.1.2 Transformac oes no Espaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.2 Propriedades dos operadores inversveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3 Operadores autoadjuntos e ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.4 Quinta lista de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295 Autovalores e Autovetores 1335.1 Autovalores e autovetores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.1.1 Polin omio Caracterstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2 Matrizes Semelhantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.3 Diagonalizac ao de Operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.3.1 Matriz Diagonalizadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4 Sexta lista de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496 PRODUTO INTERNO 1556.1 Normas, Dist ancias eAngulos em Espacos com Produto Interno . . . . . . . . 1596.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.2.1 Conjunto Ortogonal de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.2.2 Base ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.2.3 Base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.2.4 Coordenadas em relac ao a Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . 1636.2.5 Coordenadas em relac ao a Bases Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . 1646.3 Complementos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.4 Projec oes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.5 Encontrando Bases Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.5.1 Processo de Ortogonalizac ao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 166v6.6 Fatorac ao QR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.6.1 Aplicac ao da fatorac ao QR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.7 S etima lista de exerccios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717 APLICACOES 1777.1 Aplicac oes daAlgebra Linear na Engenharia Cartogr aca . . . . . . . . . . . . 1777.2 Aplicac oes de espacos vetoriais na computac ao gr aca . . . . . . . . . . . . . 1787.3 Aplicac oes de autovalores e autovetores na engenharia civil. . . . . . . . . . . 1837.3.1 O Problema de autovalor na avaliac ao de modelos estruturais de edicac oes183viCaptulo 1MATRIZES E SISTEMAS1.1 Tipos de matrizesDenic ao 1.1Chama-se matriz de ordem mn a uma tabela de m n elementos dispostos emm linhas e n colunas:A =__a11a12........ a1na21a22........ a2n......am1am2........ amn__Notac ao: Costumamos denotar as matrizes por letras latinas mai usculas:A, B, C, ......1.1.1 Matriz colunaE a matriz de ordem m1.A = [1]11, B =__1234__41, C =__123...9991000__100011.1.2 Matriz linhaE a matriz de ordem 1n.Exemplo 1A = [1]11, D =_ 1 2 3 4 5 6 7 10_182 1.1.Tiposdematrizes1.1.3 Matriz nulaE a matriz A =_ai jmnonde ai j= 0, para 1 i m e 1 j n.Exemplo 2M =__0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0__, N = [0]Observac ao 1Denotaremos freq uentemente a matriz nula por 0.1.1.4 Matriz quadradaE a matriz de ordem nn.A =__a11 a1n.........an1 ann__Os elementos da forma aii costituem a diagonal principalOs elementos ai j em que i + j = n+1 constituem a diagonal secund aria.Exemplo 3A = [0]11, B =__3 33 3__1.1.5 Matriz diagonalMatriz diagonal e a matriz quadrada A =_ai jonde ai j = 0 para i = j :A =__a110 0 00... 0......... ...0... ...00 0 0 ann__Notac ao: diag(A) ={a11, , ann}1.1.Tiposdematrizes 3Exemplo 4A = [0]11, B =__3 00 3__1.1.6 Matriz identidadeE a matriz diagonal I onde diag(I) ={1, , 1}.Notac ao: In representa a matriz identidade de ordem n.Exemplo 5I2 =__1 00 1__, I100 =__1 0 00 1 0 0......... ...0 0 ...00 0 0 1__1.1.7 Matriz transpostaDada uma matriz A =_ai jmn, podemos obter uma outra matriz AT=_bi jnm, cujas linhass ao as colunas de A, isto e, bi j = aji. AT e denominada a transposta de A.A =__a11a12........ a1na21a22........ a2n......am1am2........ amn__mnAT=__a11a21........ am1a12a22........ am2......a1na2n........ amn__nmExemplo 6A =__1 2 3 4 511 12 13 14 1521 22 23 24 2531 32 33 34 3541 42 43 44 45__AT=__1 11 21 31 412 12 22 32 423 13 23 33 434 14 24 34 445 15 25 35 45__4 1.1.TiposdematrizesExemplo 7D =_ 1 2 3 4 5 6_16DT=__123456__611.1.8 Matriz sim etricaUma matriz quadrada S =_ai j e sim etrica se ST= SExemplo 8S =__1 5 95 3 89 8 7__, N =__0 11 0__1.1.9 Matriz anti-sim etricaUma matriz quadrada A =_ai j e anti-sim etrica se AT=A.Exemplo 9A =__0 3 43 0 64 6 0__1.1.10 Matriz triangular superiorA matriz quadrada A =_ai jque tem os elementos ai j =0 para i > j e chamada matriz triagularsuperior.Exemplo 10A =__5 4 7 90 3 8 40 0 2 30 0 0 6__, B =__0 10 0__, I100001.2.Operacoescommatrizes 51.1.11 Matriz triangular inferiorAmatriz quadrada A=_ai jque temos elementos ai j =0 para i < j e chamada matriz triangularinferior.Exemplo 11B =__5 0 0 04 3 0 07 4 2 09 1 2 6__, C =__1 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2__1.2 Operac oes com matrizes1.2.1 Adic aoDados A =_ai jmn e B =_bi jmn denimos A+B por,A+B =_ai j +bi jmnPropriedades 1.11. A+B = B+A2. A+(B+C) = (A+B) +C3. A+0 =A1.2.2 Multiplicac ao por escalarSeja A =_ai jmn e k um n umero real denimos kA porkA =_kai jmnExemplo 122__2 101 3__=__ 4 202 6__Propriedades 1.26 1.2.Operacoescommatrizes1. k(A+B) = kA+kB2. (k1 +k2)A = k1A+k2A3. 0A = 04. k1(k2A) = (k1k2)A1.2.3 Multiplicac ao de MatrizesSejam A =_ai jmn e B =_bi jnp, denimos A B por AB =_ci jmp, ondeci j =nk=1aikbk j = ai1b1 j +..... +ainbnjObserve que o n umero de colunas de A deve ser igual ao n umero de linhas de B.Exemplo 13__2 14 25 3__32__1 10 4__22=__2 1+1 0 2 (1) +1 44 1+2 0 4 (1) +2 45 1+3 0 5 (1) +3 4__=__2 24 45 7__Propriedades 1.3 Multiplicac ao de matrizes1. AI = IA = A2. A(B+C) = AB+AC3. (A+B)C = AC+BC4. (AB)C = A(BC)5. (AB)T= BTAT6. 0A = A0 = 0Propriedades 1.4 Matriz transposta1. (A+B)T= AT+BT2. (A)T= AT, onde e um n umerto real1.2.Operacoescommatrizes 73. (AT)T= A4. (AB)T= BTAT1.2.4 Matriz inversaDada uma matriz quadrada A =_ai j, se existir uma matriz B que satisfaca AB = BA = I diz-seque B e a inversa de A e denota-se B por A1, ou seja, A1A = AA1= I.Exemplo 14A =__11 37 2__, A1=__2 37 11__.Dizemos que uma matriz A e inversvel (n ao singular) se existe a matriz inversa A1, casocontr ario dizemos que a matriz A e n ao inversvel (singular).Propriedades 1.51. A e n ao singular se o determinante de A e diferente de zero. A e singular se determinantede A e igual a zero.2. Se A admite inversa (det A = 0) esta e unica.3. Se A e n ao singular, sua inversa A1tamb em e, isto e, se det A = 0 ent ao det A1= 0. Amatriz inversa de A1 e A.4. A matriz identidade I e n ao singular (pois det I = 1) e I1= I.5. Se a matriz A e n ao singular, sua transposta ATtamb em e. A matriz inversa de AT e(A1)T, isto e , (AT)1= (A1)T, dai concluimos que se det A = 0 ent ao det AT= 0.6. Se as matrizes A e B s ao n ao singulares e de mesma ordem, o produto AB e uma matrizn ao singular. Vale a relac ao (AB)1= B1A1.Exemplo 15A =__2 32 2__=det__2 32 2__= 2 A e n ao singularExemplo 16B =__1 101 10__det__1 101 10__= 0 A e singular8 1.3.Matriznaformaescadareduzidaporlinhas1.2.5 Matriz ortogonalUma matriz M, quadrada, cuja inversa conicide com sua transposta e denominada matriz or-togonal. Portanto M e ortogonal se M1= MT, ou seja,MMT= MTM = IExemplo 17M =__12323212__,1.2.6 Pot encia de uma matrizDada uma matriz quadrada A a matriz Ap= A A ..... Ap vezes e chamada pot encia p de A.Exemplo 18A =__1 24 3__, A2=__9 816 17__, A3=__41 4284 83__1.3 Matriz na forma escada reduzida por linhasDenic ao 1.2Uma matriz mn e linha reduzida ` a forma escada, ou escalonada, se:a) O primeiro elemento n ao nulo de uma linha n ao nula e 1.b) Cada coluna que cont em o primeiro elemento n ao nulo de alguma linha tem todos osseus outros elementos iguais a zero.c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas n ao nulas (isto e, daquelas que possuempelo menos um elemento n ao nulo)d) Se as linhas 1, ..., p s ao as linhas n ao nulas, e se o primeiro elemento n ao nulo da linha ocorre na coluna k1, ent ao k1 < k2 < ..... < kn.Exemplo 19__1 0 0 00 1 1 00 0 1 0__n ao e forma escada. N ao vale b).Exemplo 20__0 2 11 0 31 0 0__n ao e forma escada. N ao vale a) e b).1.3.Matriznaformaescadareduzidaporlinhas 9Exemplo 21__0 1 3 0 10 0 0 0 00 0 0 1 2__n ao e forma escada. N ao vale c).Exemplo 22__0 1 3 0 10 0 0 1 30 0 0 0 0__ e forma escada.1.3.1 Operac oes elementares linhaS ao tr es as operac oes elementares sobre as linhas de uma matriz.1. Permuta da i esima ej esima linha (LiLj).__1 04 13 4__L2L3__1 03 44 1__2. Multiplicac ao da i esima linha por um escalar n ao nulo k (LikLi).__1 04 13 4__L23L2__1 012 33 4__3. Substituic ao da i esima linha pela i esima linha mais k vezes aj esima linha (LiLi +kLj)__1 04 13 4__L3L3 +2L1__1 04 11 4__.Observac ao 2Se A e B s ao matrizes mn, dizemos que B e linha equivalente a A, se B forobtida de A atrav es de umn umero nito de operac oes elementares sobre as linhas de A. Notac aoA B.Exemplo 23__1 04 13 4__ e linha equivalente a__1 00 10 0__pois,10 1.3.Matriznaformaescadareduzidaporlinhas__1 04 13 4__ L2L24L1__1 00 13 4__ L3L3 +3L1__1 00 10 4__L2L2__1 00 10 4__ L3L34L2__1 00 10 0__Teorema 1.1Toda matriz A de ordem mn e linha equivalente a uma unica matriz linha-reduzida ` a forma escada.Exemplo 24Dada a matrizA =__2 1 34 5 63 1 2__obtenha uma unica matriz B na forma escada linha equivalente a matriz A.__2 1 34 5 63 1 2__ L1 12L1__112324 5 63 1 2__ L2L24L1__112320 3 03 1 2__ L3L33L1__112320 3 00 12132__ L2 13L2__112320 1 00 12132__ L3L3 + 12L2__112320 1 00 0 132__ L3 213L3__112320 1 00 0 1__ L1L112L2__1 0320 1 00 0 1__ L1L132L3__1 0 00 1 00 0 1__Exemplo 25Dada as matrizes, obtenha uma matriz na forma escada equivalente a cada matriz1.4.Postodeumamatriz 11dada.a)__1 0 0 01 0 1 00 1 0 11 0 0 1__b)__1 0 1 00 1 0 10 1 0 10 1 1 1__1.4 Posto de uma matrizDada uma matriz Amn, seja Bmn a matriz linha reduzida ` a forma escada, linha equivalente ` amatriz A. O posto de A, denotado por p, e o n umero de linhas n ao nulas de B e a nulidade de A e np, onde n e o n umero de colunas de A e p e o posto de A.Exemplo 26Encontrar o posto e a nulidade da matriz: A =__1 2 1 01 0 3 51 2 1 1__A matriz A e linha equivalente a matriz B =__1 0 0 780 1 0 140 0 1118__ portanto o posto de A e 3(o n umero de linhas n ao nulas da matriz B) e a nulidade e np = 43 = 1 (n e o numero decolunas da matriz A e p e o posto de A)Exemplo 27Encontrar o posto e a nulidade da matriz: A =__1 01490 1140 0 00 0 0__Posto A = 2 e nulidade de A e 32 = 1.Exemplo 28Encontrar o posto e a nulidade da matriz:A =__2 1 100 1141 2 01 3 0__B =__2 1 100 1140 0 4380 0 0__Posto de A = 3 e nulidade de A e 0.12 1.6.Determinantes1.5 C alculo da inversa1.5.1 C alculo da inversa por escalonamento:Para se determinar a matriz inversa de uma matriz A, n ao singular, atrav es de operac oes ele-mentares entre as linhas da matriz fazemos o seguinte:a) Coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traco vertical tracejado.b)Transforma-sepormeiodeoperac oeselementaresamatrizAnamatrizI,aplicandosimultaneamente` a matriz Icolocada ao lado da matriz A as mesmas operac oes elementaresaplicadas ` a matriz A.Exemplo 29Calcular a inversa da matriz A =__2 14 3__por escalonamento.__2 1 1 04 3 0 1__ L1 12L1__1121204 3 0 1__ L2L24L1__1121200 1 2 1__ L1L112L2__1 032120 1 2 1__LogoA1=__32122 1__1.6 DeterminantesDenic ao 1.3Determinante de uma matriz A e um n umero real associado ` a matriz A.Notac ao: det A.Denotamos tamb em o determinante da matriz A,A =__a11a12 a1n1a1na21a22 a2n1a2n...............an11an12 ...an1nan1an2 an1nann__por1.6.Determinantes 13det A =a11a12 a1n1a1na21a22 a2n1a2n...............an11an12 ...an1nan1an2 an1nannPropriedades 1.61. det A = det AT;2. det(AB) = det Adet B;3. Se a matriz A possui uma linha ou coluna nula ent ao det A = 0;4. Se a matriz A tem duas linhas ou colunas iguais ent ao det A = 0;5. Se na matriz A uma linha (ou coluna) e m ultipla de outra linha (coluna) ent ao det A = 0;6. Trocando a posic ao de duas linhas (colunas) o derminante muda de sinal;7. Quando se multiplica uma linha (coluna) de uma matriz A por um n umero k = 0 o deter-minante ca multiplicado por esse mesmo n umero;8. O determinante de uma matriz A n ao se altera quando se faz a seguinte operac ao entrelinha: LiLi +kLj;9. O determinante de uma matriz triangular superior (ou inferior) e igual ao produto doelementos da diagonal principal;10. A partir de det(AB) = det Adet B temosdet(AA1) = det I det Adet A1= 1 det A =1det A11.6.1 C alculo do determinante por triangulac aoPara se calcular o determinante de uma matriz A usamos as operac oes elementares linha demodo a obter uma matriz triangular superior (ou inferior) observando as propriedades do deter-minante e fazendo as compensac oes necess arias.14 1.6.DeterminantesExemplo 30A =__2 1 12 0 13 1 0__det A =2 1 12 0 13 1 0L2L3(Quando permutamos as linhas o determinante troca de sinal)(1)det A =2 1 13 1 02 0 1L112L1 (Quando multiplicamos uma linha por um n umero o deter-minante ca multiplicado pelo mesmo n umero)12(1)det A =112123 1 02 0 1L2L2 +(3)L1L3L32L1(Esta operac ao n ao altera o determinante)12(1)det A =11212012320 1 2L3L32L2(Esta operac ao n ao altera o determinante)12(1)det A =11212012320 0 1(O determinante de uma matriz triangular superior e o produto doselementos da diagonal principal)12(1)det A = 12det A =11.6.2 C alculo do determinante por desenvolvimento de LaplaceRegra de Chi o:Se a matriz A e de ordem 22 ent ao: det__a11a12a21a22__= a11a22a21a12Exemplo 1.1det__5 12 3__= 5321 = 13Regra de Sarrus:Se A e e de ordem 331.6.Determinantes 15A =__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__a11a12a13a11 a21a22a23a21 a31a32a33a31a12a22a32det A = (a11a22a33) +(a12a23a31) +(a13a21a32) (a31a22a13) (a32a23a11) (a33a21a12)Desenvolvimento de Laplace:Para uma matriz de ordem nn usamos o desenvolvimento de Laplace qu e e dado pela f ormula.det Ann =nj=1ai j(1)i+jdet Ai jonde Ai j e a submatriz obtida a partir da matriz A eliminando-se a i esima linha e aj esimacoluna da matriz A. Se chamarmos i j = (1)i+jdet Ai j ent aodet Ann =nj=1ai ji jExemplo 31A =__1 2 3 44 2 0 01 2 3 02 5 3 1__Vamos calcular o determinante da matriz fazendo o desenvolvimento pela primeira linha(note que seria mais conveniente desenvolver pela segunda linha, pois ela possui dois elementosnulos).det A =1(1)1+12 0 02 3 05 3 1+2(1)1+24 0 01 3 02 3 1+3(1)1+34 2 01 2 02 5 1+(4)(1)1+44 2 01 2 32 5 316 1.7.Primeiralistadeexercciosdet A = (1)(1)(6) +2(1)(12) +(3)(1)(10) +(4)(1)(78)det A = 372.1.7 Primeira lista de exercciosExerccio 1.1Verique se as armac oes abaixo s aoVERDADEIRAS ou FALSAS. Se foremverdadeiras, demonstre. Se forem falsas, d e um contra-exemplo.1. Se uma matriz quadrada A for ortogonal ent ao det A =1.2. det(I +A) = 1+det A3. Se A e uma matriz sim etrica ent ao A+ATtamb em e sim etrica.4. Se A e B s ao inversveis ent ao A+B tamb em e.5. Se A e uma matriz quadrada sim etrica e B e uma matriz ortogonal ent ao a matriz A+B1nunca ser a sim etrica.6. Se A e uma matriz anti-sim etrica de ordem 3, ent ao det A = 07. Se A e n ao-inversvel e AB = 0 ent ao B = 08. Se A e anti-sim etrica inversvel, ent ao A1 e anti-sim etrica.9. Se A, B e C s ao matrizes nn inversveis, ent ao (ABC)1=C1B1A1.10. Se A=___________2 3 1 0 21 1 0 5 21 2 1 4 30 0 1 3 22 3 1 0 1___________e D=___________1 0 1 1 41 3 1 2 11 1 1 1 11 4 1 2 12 1 2 1 2___________satisfazemarelac aoA1BA = D ent ao det B = 24.Exerccio 1.2Seja A =__2 x22x 1 0__ Determine o valor de x para que A seja uma matrizsim etrica.Exerccio 1.3Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matrizsim etrica com uma matriz anti-sim etrica, ou seja, A = S +N onde S e uma matriz sim etrica eN e uma matriz anti-sim etrica. Sugest ao: Determine S e N em func ao da matriz A.1.7.Primeiralistadeexerccios 17Exerccio 1.4Suponha que A =0 e AB =AC onde A, B,C s ao matrizes tais que a multiplicac aoesteja denida. Pergunta-se:1. B =C?2. Se existir uma matriz Y, tal que YA = I, onde I e a matriz identidade, ent ao B =C?Exerccio 1.5Mostre que a matrizM =__cos sin 0sin cos 00 0 1__ e uma matriz ortogonal.Exerccio 1.6Sejam P e Q matrizes ortogonais de mesma ordem.1. PQ e uma matriz ortogonal? Justique sua resposta.2. Quais os valores que det Q pode ter?Exerccio 1.7DadaumamatrizAdeordemmnmostrequeamatrizAAT eumamatrizsim etrica de ordem mm. A matriz ATA e sim etrica? Qual sua ordem?Exerccio 1.8Umconstrutor temcontratos para construir 3 estilos de casa: moderno,mediterr aneo e colonial. A quantidade empregada em cada tipo de casa e dada pela matrizFerro Madeira Vidro Tinta Ti joloModernoMediterr aneoColonial__57620182516128795172113__1. Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterr aneo e colonial, respecti-vamente, quantas unidades de cada material ser ao empregadas?2. Suponha agora que os precos por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejamrespectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual o preco unit ario de cada tipo de casa?18 1.7.Primeiralistadeexerccios3. Qual o custo total do material empregado?Exerccio 1.9Calcule o determinante de A onde1. A =__3 1 5 00 2 0 12 0 1 31 1 2 0__,2. A =__3 0 0 0 019 18 0 0 06 5 0 0423 0 08 3 5 6 1__3. A =___________9 1 9 9 99 0 9 9 24 0 0 5 09 0 3 9 06 0 0 7 0___________Exerccio 1.10Mostre que det__1 1 1a b ca2b2c2__= (ab)(bc)(c a)Exerccio 1.11Encontre A1, onde1. A =__4 1 2 23 1 0 02 3 1 00 7 1 1__,2. A =__1 0 x1 1 x22 2 x2__1.8.Sistemadeequacoeslineares 19Exerccio 1.12Encontre os valores d k para os quais a matrizA =__k 3 0 30 k +2 05 0 k +5__e n ao inversvel.Exerccio 1.13Existe alguma matriz inversvelX tal que X2= 0? Justique sua resposta.Exerccio 1.14Encontre todos os valores de para os quais a matriz AI4 tem inversa, emqueA =__2 0 0 02 0 0 01 2 1 03 2 1 2__Exerccio 1.15Para a matriz A = (ai j)de ordem 2 denida por ai j= i + j,calcular f (t) =det(AtI2) e resolver a equac ao do segundo grauf (t) = 0.Exerccio 1.16Para a matriz denida por:M =__a bc d__calcularf (t) = det(MtI2) e resolver a equac ao do segundo grauf (t) = 0.1.8 Sistema de equac oes lineares1.8.1 Introduc aoUma equac ao linear e uma equac ao da formaa1x1 +a2x2 +a3x3 +...... +anxn = bna qual a1, a2, a3, ...., ans ao os respectivos coecientes das vari aveis, x1, x2, x3, ...., xne b e otermo independente. Os n umeros a1, a2, a3, ...., ane o termo independente b geralmente s aon umeros conhecidos e as vari a veis x1, x2, x3, ...., xns ao as inc ognitas.20 1.8.SistemadeequacoeslinearesOs valores das vari aveis que transformam uma equac ao linear em uma identidade, isto e,que satisfazem a equac ao, constituem sua soluc ao. Esses valores s ao denominados razes dasequac oes lineares.A um conjunto de equac oes lineares se d a o nome de sistema de equac oes lineares e tem aseguinte representac ao:___a11x1 +a12x2 +a13x3 +...... +a1nxn= b1a21x1 +a22x2 +a23x3 +...... +a2nxn= b2..................am1x1 +am2x2 +am3x3 +...... +amnxn= bmOs valores das vari aveis que transformam simultaneamente as equac oes de um sistema deequac oes lineares em uma identidade, isto e, que satisfazem a equac ao constituem sua soluc ao.Diz-se que dois sistemas de equac oes lineares s ao equivalentes quando admitem a mesmasoluc ao.Exemplo 32Os sistemas___2x +3y = 11x +y =3e___10x 2y = 383x +5y =7s ao equivalentes pois possuem as mesmas soluc oes, x = 4 e y = 1Quanto as soluc oes, tr es casos podem ocorrer:1. O sistema possui uma unica soluc ao. Neste caso, dizemos que o sistema e compatvel edeterminado2. O sistema possui innitas soluc oes. Neste caso, dizemos que o sistema e compatvel eindeterminado.3. O sistema n ao possui nenhuma soluc ao. Neste caso, dizemos que o sistema e incom-patvel.1.8.Sistemadeequacoeslineares 211.8.2 Sistemas e matrizes.Dado um sistema linear na forma,___a11x1 +a12x2 +a13x3 +...... +a1nxn= b1a21x1 +a22x2 +a23x3 +...... +a2nxn= b2..................am1x1 +am2x2 +am3x3 +...... +amnxn= bm(1.1)podemos representa-lo matricialmente utilizando as notac oes da teoria de matrizes da seguintemaneira:SeA =__a11a12 a1na21a22 a2n..................am1am2 amn__X=__x1x2...xn__B =__b1b2...bm__podemos escrever o sistema (1.1) na forma matricial:AX= Bonde A e a matriz dos coecientes, B a matrizcoluna dos termos independentes e X e a matrizcoluna das inc ognitas.Ao sistema (1.1) associamos a seguinte matriz:__a11a12 a1n| b1a21a22 a2n| b2...... ... |...am1am2 amn| bm__que chamamos matriz ampliada do sistema.22 1.8.SistemadeequacoeslinearesTeorema 1.2Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes s ao equivalentes.Dada a matriz ampliada do sistema de equac oes lineares consideramos a matriz linha re-duzida a forma escada obtida a partir da matriz ampliada do sistemaTeorema 1.31. Um sistema de m equac oes e n inc ognitas admite soluc ao se, e somente se, o posto damatriz ampliada e igual ao posto da matriz dos coecientes.2. Se as duas matrizes tem o mesmo postop ep = n (n umero de colunas da matriz doscoecientes, ou n umeros de vari aveis) a soluc ao e unica.3. Se as duas matrizes tem o mesmo posto e p = n podemos escolher n p inc ognitas e asoutras inc ognitas ser ao dadas em func ao destas. O n umero n p e chamado grau deliberdade do sistema.Observac ao 3Dado um sistema de m equac oes e n inc ognitas seja Aa a matriz ampliada dosistema e seja Ae a matriz linha equivalente a matriz Aa onde a matriz dos coecientes est aona forma escada. Seja pa o posto da matriz ampliada e pc o posto da matriz dos coecientesobtidos a partir da matriz Ae.Se pa= pc ent ao o sistema e incompatvel ( n ao possui soluc ao)Sepa = pc ent ao o sistema e compatvel (possui soluc ao). Sejap = pa = pc, sep = nent ao o sistema e compatvel e determinado (possui uma unica soluc ao). Sep < n osistema e compatvel e indeterminado (possui innitas soluc oes). Sempre que um sistemapossuir innitas soluc oes deveremos atribuir valores a algumas vari aveis e determinar ovalor das outras vari aveis em func ao destas. O n umero de vari aveis as quais deveremosatribuir valor e o grau de liberdade do sistema, dado pelo n umero np.Exemplo 1.2Classicar e resolver o sistema:___2x1 +x2 +3x3= 84x1 +2x2 +2x3= 42x1 +5x2 +3x3= 12(1.2)1.8.Sistemadeequacoeslineares 23Matriz AmpliadaAa =__2 1 3 | 84 2 2 | 42 5 3 | 12__Matriz linha equivalente a matriz ampliada, onde a parte da matriz dos coecientes est a naforma escadaAe =__1 0 0 | 20 1 0 | 50 0 1 | 3__De Ae obtemos:pc = 3, pa = 3 e n = 3.p = pc = pa = 3 sistema compatvelp = n sistema compatvel e determinado (possui uma unica soluc ao)A matriz Ac e a matriz ampliada do seguinte sistema:___x1 = 2x2 =5x3 = 3Como sistemas equivalentes tem a mesma soluc ao, a soluc ao do sistema (1.2) ex1 = 2, x2 =5, x3 = 3Exemplo 1.3Classicar e resolver o sistema:___4y +2x +6z = 64z 2y +3x = 38x +3z +2y = 3Reescrevendo o sistema, obt em-se___2x +4y +6z = 63x 2y 4z = 38x +2y +3z = 3(1.3)24 1.8.SistemadeequacoeslinearesAa =__2 4 6 | 63 2 4 | 381 2 3 | 3__Ae =__1 0 14| 4140 1138|2980 0 0 | 0__Neste caso temos:n = 3pa = 2pc = 2 p = 2p < n sistema compatvel e indeterminado (innitas soluc oes)grau de liberdade = np = 1O sistema (1.3) e equivalente ao sistema___x 14z = 412y +138 z =298Para encontrar uma soluc ao (note que existem innitas soluc oes) devemos atribuir valor auma das vari aveis (pois o grau de liberdade e 1) e determinar as outras. Note que ca maisf acil se atribuirmos valor a vari avel z : Por exemplo fazendo z = 0, temos que:x = 414ey =298( Poderamos atribuir outro valor qualquer a z, e para cada valor de z teremos os valorescorrespondentes de x e y, da temos innitas soluc oes)Exemplo 1.4Classicar e resolver o sistema:___6x 4y 2z = 3x +y +z = 13x 2y z = 1Aa =__6 4 2 | 31 1 1 | 13 2 1 | 1__1.8.Sistemadeequacoeslineares 25Ae =__1 015|7100 145|3100 0 0 | 12__Neste caso:n = 3pc = 2pa = 3 pa= pcsistema incompatvel (n ao possui soluc ao)1.8.3 Soluc ao de um sistema por matriz inversaUsando a notac ao matricial para sistemas lineares temos queCX = B (supondo que existe C1)C1CX = C1B (observe que estamos multiplicando C1pela esquerda)IX = C1BX = C1BLogo para se determinar a soluc ao basta multiplicar a matriz inversa dos coecientes pelamatriz dos termos independentes (pela esquerda, j a que a multiplicac ao de matrizes n ao e comu-tativa). Se a matriz C n ao tem inversa ent ao ou o sistema n ao possui soluc ao ou possui innitassoluc oes.Exemplo 33___2x +3y z = 1x 3y +z = 1x +2y z = 1C =__2 3 11 3 11 2 1__B =__111__X=__xyz__C1=__1 1 00 1 11 1 3__CX= B X=C1B26 1.9.Segundalistadeexerccios__xyz__=__1 1 00 1 11 1 3____111__=__223__O pr oximo teorema apresenta resultados importantes sobre sistemas lineares e matrizes in-versveis.Teorema 1.4Se A uma matriz nn, ent ao as seguintes armac oes s ao equi-valentes:1. A e inversvel.2. AX= 0 s o tem a soluc ao trivial.3. A e equivalentes por linha ` a matriz In.4. AX= B tem exatamente uma soluc ao para cada matriz Bn1.Proof. Exerccio. 1.9 Segunda lista de exercciosExerccio 1.17Resolva o sistema de equac oes, escrevendo a matriz ampliada do sistema iniciale escrevendo o sistema nal do qual se obter a a soluc ao do sistema original:___2x y +3z = 114x 3y +2z = 0x +y +z = 63x +y +z = 4Exerccio 1.18Considere ositema linear___x +y +3z = 2x +2y +4z = 3x +3y +az = b.Para que valores dea eb osistema1. tem uma innidade de soluc oes?2. tem unica soluc ao?3. e impossvel?1.9.Segundalistadeexerccios 27Exerccio 1.19Seja__a 0 b... 2a a 4... 40 a 2... b__amatrizampliadadeumsistemalinear. Paraquaisvalores de a e b o sistema tem1. unica soluc ao,2. nenhuma soluc ao,3. uma soluc ao com duas vari aveis livres?Exerccio 1.20Encontre a relac ao entre a, b e c para que o sistema linear___x +2y 3z = a2x +3y +3z = b5x +9y 6z = cseja possvel para quaisquer valores de a, b e c.Exerccio 1.21Reduza as matrizes ` a forma escada atrav es de operac oes linhas:1.__1 2 3 12 1 2 33 1 2 3__2.__0 2 21 1 33 4 22 3 1__Exerccio 1.22Determine k para que o sistema admita soluc ao___4x +3y = 25x 4y = 02x y = kExerccio 1.23Encontre todas as soluc oes do sistema___x1 +3x2 +2x3 +3x47x5= 142x1 +6x2 +x32x4 +5x5= 2x1 +3x2x3 +2x5= 1Exerccio 1.24Apresentetodos os possveis resultados nadiscuss aodeumsisteman ao-homog eneo de 6 equac oes lineares com 4 inc ognitas.28 1.9.SegundalistadeexercciosExerccio 1.25Se A e uma matriz 35, quais s ao os possveis valores da nulidade de A? E seA for 42?Exerccio 1.26Explique por que a nulidade de uma matriz nunca e negativa.Exerccio 1.27Umsistema homog eneo com3 equac oes e 4 inc ognitas sempre temuma soluc aon ao-trivial.Exerccio 1.28Chamamos de sistema homog eneo de n equac oes e m inc ognitas aquele sistemacujos termos independentes s ao todos nulos.1. Um sistema homog eneo admite pelo menos uma soluc ao. Qual e ela?2. Encontre os valores de k R, tais que o sistema homog eneo___2x 5y +2z = 0x +y +z = 02x +kz = 0tenha uma soluc ao distinta da soluc ao trivial.Exerccio 1.29Se det A = 0, ent ao o sistema homog eneo AX= 0 tem innitas soluc oes? Justi-que sua resposta.Exerccio 1.30Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma:AX = BA1AX = A1BX = A1BIsto e util quando desejamos resolver v arios sistemas lineares que possuem a mesma matrizdos coecientes.Usando a teoria acima resolva os sistema AX= B onde A =__1 2 22 5 43 7 5__ea) B =__123__, b) B =__13100__, c) B =__100010100__, d) B =__111311511__1.9.Segundalistadeexerccios 29Exerccio 1.31Resolva o sistema matricial D1X= Aonde D = diag(1, 2, 3, 4, 5, 6)A =__1 0 0 0 1 10 1 2 2 2 20 0 1 1 1 10 0 0 1 1 10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1__Exerccio 1.32Classique o sistema e exiba uma soluc ao, caso ela exista:___2x +4y +6z = 63x 2y 4z = 38x +2y +3z = 3Exerccio 1.33Uma editora publica um best-seller potencial com tr es encadernac oes difer-entes: capa mole, capa dura e encardenac ao de luxo. Cada exemplar necessita de um certotempo para costura e cola conforme mostra a tabela abaixo:Costura ColaCapa mole 1 min 2 minCapa Dura 2 min 4 minLuxo 3 min 5 minSe o local onde s ao feitas as costuras ca disponvel 6 horaspor dia e o local onde se cola,11 horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia, de modo que os locaisde trabalho sejam plenamente utilizados?Exerccio 1.34Num grande acampamento militar h a 150 blindados dos tipos BM3, BM4 eBM5, isto e, equipados com 3, 4 e 5 canh oes do tipo MX9 respectivamente. O total de canh oesdisponveis e igual a 530. A soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos 2 / 3 dos BM3.Se para o incio de uma manobra militar, cada canh ao carrega 12 proj eteis, quantos proj eteisser ao necess arios para o grupo dos BM4 no incio da operac ao?Exerccio 1.35a) Em cada parte, use a informac ao da tabela para determinar se o sistemaAX= B e possvel. Se for, determine o n umero de vari aveis livres da soluc ao geral. Justiquesua resposta.30 1.10.Apendice(a) (b) (c) (d)Tamanho de A 33 95 44 33Posto de A 2 4 0 3Posto de [A|B] 3 4 0 3b) Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homog eneo AX = 0, e possvel. Indique a quantidade de soluc oes para cada caso.1.10 Ap endice1.10.1 C alculo da inversa por adjuntaDadaumamatriz, lembramosqueocofatordi jdoelementoai jdamatrizA eoelemento(1)i+jdet Ai j, onde Ai j e a submatriz de A obtida extraindo-se a i esima linha e aj esimacoluna. Com estes cofatores forma-se uma nova matriz A, denomindada matriz dos cofatoresdenotada por A. PortantoA =_di jonde di j = (1)i+jdet Ai jExemplo 34A =__2 1 03 1 41 6 5__a11 = 2 d11 = (1)1+1det__1 46 5__= 1(19) =19a12 = 1 d12 = (1)1+2det__ 3 41 5__=1(19) = 19a13 = 0 d13 = (1)1+3det__ 3 11 6__= 1(19) =19a21 =3 d21 = (1)2+1det__1 06 5__=1(5) =5a22 = 1 d22 = (1)2+2det__2 01 5__= 1(10) = 101.10.Apendice 31a23 = 4 d23 = (1)2+3det__2 11 6__=1(11) =11a31 = 1 d31 = (1)3+1det__1 01 4__= 1(4) = 4a32 = 6 d32 = (1)3+2det__2 03 4__=1(8) =8a33 = 5 d33 = (1)3+3det__2 13 1__= 1(5) = 5A =__19 19 195 10 114 8 5__Denic ao 1.4Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de matriz adjunta de A ` a transpostada matriz dos cofatores de A e denotaremos ad j A. Portanto ad jA = AT.Teorema 1.5Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se det A = 0. Neste casoA1=1det A(ad jA)1.10.2 Regra de CramerUm outro m etodo de resoluc ao de sistemas lineares de ordem nn e a Regra de Cramer ondeas soluc oes do sistema linear s ao calculadas usando o determinante. Justamente por usar odeterminanteestem etodotorna-seinvi avelcomputacionalmente, mas ebastantepr aticoemcertas quest oes te oricas.___a11x1 +a12x2 +a13x3 +...... +a1nxn= b1a21x1 +a22x2 +a23x3 +...... +a2nxn= b2..................an1x1 +an2x2 +an3x3 +...... +annxn= bn32 1.10.ApendiceNa forma matricial este sistema e escrito da seguinte maneira:__a11a12 a1na21a22 a2n..................an1an2 ann____x1x2...xn__=__b1b2...bn__Supondo que detC = 0 e portanto que C tenha inversa C1obtemosCX = BC1CX = C1B (observe que estamos multiplicando C1pela esquerda)IX = C1BX = C1Busando a relac aoC1=1detC(ad jC)temosX=1detC(ad jC)B__x1x2...xn__=1detCad j__________a11a12 a1na21a22 a2n..................an1an2 ann____________b1b2...bn____x1x2...xn__=1detC__________Da11Da12 Da1nDa21Da22 Da2n..................Dan1Dan2 Dann____________b1b2...bn____x1x2...xn__=1detC__b1D11+ b2Da12+ + bnDa1nb1Da21+ b2Da22+ + bnDa2n..................b1Dan1b2Dan2 bnDann__1.10.Apendice 33x1 =1detC (b1D11 +b2Da12 + +bnDa1n)x1 =1detC det__b1a12 a1nb2a22 a2n..................bnan2 ann__x1 =det__b1a12 a1nb2a22 a2n..................bnan2 ann__det__a11a12 a1na21a22 a2n..................an1an2 ann__Analogamentexi =det__a11 b1 a1na21 b2 a2n... ... ...an1 bn ann__det__a11a12 a1na21a22 a2n..................an1an2 ann__i = 2, 3, ....., nPodemos escrever esta relac ao na formaxi = DiDondeDi = det__a11 b1 a1na21 b2 a2n... ... ...an1 bn ann__34 1.10.ApendiceeD = det__a11a12 a1na21a22 a2n..................an1an2 ann__Usando a Regra de Cramer podemos classicar um sistema nn:Se D = 0 ent ao o sistema possui uma unica soluc ao (compatvel e determinado)Se D = 0 e algum dos Di= 0 ent ao o sistema e incompatvelSe D = 0 e todos os Di = 0, para i = 1, ..., n ent ao o sistema possui innitas soluc oes. Noteque n ao podemos determinar o grau de liberdade pela Regra de Cramer.Exemplo 35Resolver o sistema___x +y = 210x +10y = 20D = det__1 110 10__= 0,D1 = det__2 120 10__= 0, D2 = det__1 210 20__= 0.Logo o sistema possui innitas soluc oes.Exemplo 36Resolver o sistema___2x +y z = 020x +20y 20z = 1x +y z = 0D = det__2 1 120 20 201 1 1__= 0, D1 = det__0 1 11 20 200 1 1__= 0,1.10.Apendice 35D2 = det__2 1 120 0 201 1 1__=1, D3 = det__2 1 020 20 11 1 0__=1.Como D2 =1 e D3 =1 o sistema e incompatvel.Exemplo 37Resolva o sistema___x +y z = 0x y z = 1x +y +z = 1D = det__1 1 11 1 11 1 1__=4,logo o sistema tem uma unica soluc aoD1 = det__0 1 11 1 11 1 1__=4, D2 = det__1 0 11 1 11 1 1__= 2,D3 = det__1 1 01 1 11 1 1__=2,assim, a soluc ao ex =D1D= 44= 1y =D2D=24= 12z =DD3= 24= 12Exerccio 1.36UsandoaRegradeCramerfacaaclassicac aodeumsistemahomog eneoAX= 036 1.10.ApendiceCaptulo 2ESPAC OS VETORIAIS2.1 Introduc aoAlgebra linear e uma parte daAlgebra que, por sua vez, e um ramo da Matem atica na qual s aoestudados matrizes, espacos vetoriais e transformac oes lineares. Todos esses itens servem paraum estudo detalhado de sistemas lineares de equac oes.Tanto a algebra Linear como a Geometria Analtica aplicam-se a v arias areas, em especial` as Engenharias. Citamos, a seguir, alguma delas.E claro que neste curso n ao conseguiremosaborda-las todas. Contudo, nosso objetivo no momento e que o estudante tome contato com oque representa o estado da arte neste contexto. Jogos de Estrat egia: no jogo de roleta o jogador d a seu lance com uma aposta e o cassinoresponde com o giro da roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino e determinado a partirdestesdoismovimentos. Essess aoosingredientesb asicosdeumavariedadedejogosquecont em elementos tanto de estrat egia quanto de acaso. Os m etodos matriciais podem ser usadospara desenvolver estrat egias otimizadas para os jogadores.Administrac ao de Florestas: o administrador de uma plantac ao de arvores de Natal querplantar e cortar as arvores de uma maneira tal que a congurac ao da oresta permaneca inal-terada de um ano para outro. O administrador tamb em procura maximizar os rendimentos, quedependem de n umero e do tamanho das arvores cortadas. T ecnicas matriciais podem quanticareste problema e auxiliar o administrador a escolher uma programac ao sustent avel de corte.Computac ao gr aca: uma das aplicac oes mais uteis da computac ao gr aca e a do simu-lador de v oo. As matrizes fornecem uma maneira conveniente de lidar com a enorme quanti-38 2.1.Introducaodade de dados necess arios para construir e animar os objetos tridimensionais usados por simu-ladores de v oo para representar um cen ario em movimento. Outras aplicac oes mais simples emcomputac ao gr aca s ao: vetores e matrizes s ao utilizados em espacos de cores(RGB, HSV,etc), em coordenadas e transformac oes geom etricas em duas e tr es dimens oes, em combinac oesconvexaselinearesdepontos(curvasesuperfciesspline), emrepresentac aocompactadesess oes c onicas, etc.; coordenadas homog eneas e geometria projetiva utilizando comumentepara representar consistentemente transformac oes ans e processos de projec ao( paralela, per-spectiva, modelos de c amera virtual): n umeros complexos em rotac ao no plano e tamb emem processamento de imagens, incluindo transformadas de co-seno, Fourier, etc.;quat ernios rotac ao espaciais e implementac ao de cinem atica inversa( resolver problemas de posiciona-mento de juntas articuladas).RedesEl etricas: circuitosel etricosquecontenhamsomenteresist enciasegeradoresdeenergia podem se analisados usando sistemas lineares derivados das leias b asicas da teoria decircuitos.Distribuic ao de Temperatura de Equilbrio: uma tarefa b asica da ci encia e da engenharias,que pode se reduzida a resolver um sistema de equac oes lineares atrav es de t ecnicas matriciaisinterativas, e determinar a distribuic ao de temperatura de objetos tais como a do aco saindo dafornalha.Cadeias de Markov:os registros meteorol ogicos de uma localidade especca podem serusados para estimar a probabilidade de que v a chover em um certo dia a partir da informac aode que choveu ou n ao no dia anterior. A teoria das cadeias de Markov pode utilizar tais dadospara prever, com muita anteced encia, a probabilidade de um dia chuvoso na localidade.Gen etica: osmandat ariosdoEgitorecorriamacasamentosentreirm aosparamanterapureza da linhagem real. Este costume propagou e acentuou certos tracos gen eticos atrav esde muitas gerac oes. A teoria das matrizes fornece um referencial matem atico para examinar oproblema geral da propagac ao de tracos gen eticos.Crescimento Populacional por Faixa Et aria:a congurac ao populacional futura pode serprojetada aplicando algebra matricial` as taxas, especicas por faixas et arias, de nascimento emortalidade da populac ao. A evoluc ao a longo prazo da populac ao depende das caractersticasmatem aticas de uma matriz de projec ao que cont em os par ametros demogr acos da populac ao.Colheita de Populac oes Animais: a colheita sustentada de uma criac ao de animais requer2.1.Introducao 39o conhecimento da demograa da populac ao animal. Para maximizar o lucro de uma colheitaperi odica, podem ser comparadas diversas estrat egias de colheita sustentada utilizando t ecnicasmatriciais que descrevem a din amica do crescimento populacional.Criptograa: durante a Segunda Guerra Mundial, os decodicadores norte americanos ebrit anicos tiveram exito em quebrar o c odigo militar inimigo usando t ecnicas matem aticas em aquinas sosticadas (por exemplo, a Enigma). Hoje me dia, o principal impulso para o desen-volvimento de c odigos seguros e dado pelas comunicac oes condencias entre computadores eem telecomunicac oes.Construc aodeCurvaseSuperfciesp oPontosEspeccos: emseutrabalhoPrincipiaMathematica ( os princpios matem aticos da Filosoa Natural) I. Newton Abordou o problemada construc ao de uma elipse por cinco pontos dados.Isto ilustraria como encontrar a orbita deum cometa ou de um planeta atrav es da an alise de cinco observac oes.Ao inv es de utilizarmoso procedimento geom etrico de Newton, podemos utilizar os determinantes para resolver o pro-blema analiticamente.Programac ao Linear Geom etrica:um problema usual tratado na area de programac ao li-near e o da determinac ao de proporc oes dos ingredientes em uma mistura com o objetivo deminimizar seu custo quando as proporc oes variam dentro de certos limites. Um tempo enormedo uso de computadores na administrac ao e na ind ustria e dedicado a problemas de programac aolinear.O problema na Alocac ao de Tarefas: um problema importante na ind ustria e o do desloca-mento de pessoal e de recursos de uma maneira eciente quanto ao custo. Por exemplo, umaconstrutora pode querer escolher rotas para movimentar equipamento pesado de seus dep ositospara os locais de construc ao de maneira a minimizar a dist ancia total percorrida.ModelosEcon omicosdeLeontief : numsistemaecon omicosimplicado, umaminadecarv ao, uma ferrovia e uma usina de energia necessitam cada uma de uma parte da produc aodas outras para sua manutenc ao e para suprir outros consumidores de seu produto. Os Modelosde produc ao de Leontief podem ser usados para determinar o nvel de produc ao necess ario ` astr es ind ustrias para manter o sistema econ omico.Interpolac ao Spline C ubica:as fontes tipogr acas PostScript e TrueType usadas em telasde monitores e por impressoras s ao denidas por curvas polinomiais por partes denominadassplines. Os par ametros que os determinam est ao armazenados na mem oria do computador, um40 2.1.Introducaoconjunto de par ametros para cada um dos caracteres de uma particular fonte.Teoria de Grafos: a classicac ao social num grupo de animais e uma relac ao que pode serdescrita e analisada com a teoria de grafos, Esta teoria tamb em tem aplicac oes a problemas t aodistintos como a determinac ao de rotas de companhias a ereas e a an alise de padr oes de votac ao.Tomograa Computadorizada: um dos principais avancos no diagn ostico m edico e o de-senvolvimento de m etodos n ao invasivos para obter imagens de sec oes transversais do corpo hu-mano, como a tomograa computadorizada e a resson ancia magn etica. Os m etodos daAlgebraLinear podem ser usados para reconstruir imagens a partir do escaneamento por raios X datomograa computadorizada.Conjuntos Fractais:conjuntos que podem ser repartidos em vers oes congruentes propor-cionalmente reduzidas do conjunto original s ao denominadas fractais. Os fractais s ao atual-mente aplicados ` a compactac ao de dados computacionais. Os m etodos deAlgebra Linear po-dem ser usados para construir e classicar fractaisTeoria do Caos: os pixels que constituem ema imagem matricial podem ser embaralhadosrepetidamente de uma mesma maneira, na tentativa de torna-los aleat orios. Contudo, padr oesindesejados podem continuar aparecendo no processo. A aplicac ao matricial que descreve oprocesso de embaralhar ilustra tanto a ordem quanto a desordem que caracterizam estes proces-sos ca oticos.Um Modelo de Mnimos Quadrados para a Audic ao Humana: o ouvido interno cont emuma estrutura com milhares de receptores sensoriais ciliares. Estes receptores, movidos pelasvibrac oesdotmpano, respondemafreq u enciasdiferentesdeacordocomsualocalizac aoeproduzem impulsos el etricos que viajam at e o c erebro atrav es do nervo auditivo. Desta maneira,o ouvido interno age como um processador de sinais que decomp oe uma onda sonora complexaem um espectro de freq u encias distintas.Deformac oes e Morsmos:voc e j a deve ter visto em programas de televis ao ou clips mu-sicais imagens mostrando rapidamente o envelhecimento de uma mulher ao longo do tempo,ou a transformac ao de um rosto de mulher no de uma pantera, a previs ao de como seria hoje orosto de uma crianca desaparecida h a 15 anos atr as, etc. Estes processos s ao feitos a partir dealgumas poucas fotos. A id eia de continuidade, de evoluc ao do processo, e feita atrav es do com-putador.Este processo de deformac ao e chamado de morsmo, que se caracteriza por misturasde fotograas reais com fotograas modicadas pelo computador. Tais t ecnicas de manipulac ao2.1.Introducao 41de imagens t em encontrado aplicac oes na ind ustria m edica, cientica e de entretenimento.Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento, o primeiro onibus espacialdosEUA(lancadoem1981)foiumavit oriadaengenhariadecontroledesistemas, envol-vendo muitas areas da engenharia - aeron autica, qumica , el etrica, hidr aulica e mec anica. Ossistemas de controle de onibus espacial s ao absolutamente crticos para v oo. Ele requer um con-stante monitoramento por computador durante o v oo atmosf erico. O sistema de v oo envia umasequ encia de comandos para a superfcie de controle aerodin amico. Matematicamente , os sinaisde entrada e sada de um sistema de Engenharia s ao func oes.E importante para as aplicac oesque essas func oes possam ser somadas e multiplicadas por escalares. Essas duas operac oes emfunc oes tem propriedades alg ebricas que s ao completamente an alogas` as operac oes de somade vetor e multiplicac ao de vetor por escalar no Rn. Por esse motivo, o conjunto de todas asentradas possveis (func oes) e chamado de um espaco vetorial. A fundamentac ao matem aticapara a engenharia de sistemas repousa sobre espacos vetoriais de func oes, portanto precisamosestender a teoria de vetores do Rnde modo a incluir tais func oes.Antes de apresentarmos a sua denic ao, analisaremos em paralelo dois objetos: o conjuntoformado pelas func oesf: R R, denotado por F(R) e o conjunto das matrizes quadradas deordem n com coecientes reais que denotaremos por Mn(R).A soma de duas func oesfe g de F(R) e denida como:( f +g)(x) = f (x) +g(x).Note tamb em que se R podemos multiplicar o escalar pela func aof , da seguinteforma:( f )(x) = ( f (x))resultando num elemento de F(R).Com relac ao a Mn (R) podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n,A+B = (ai j +bi j)nxnque e um elemento de Mn (R).42 2.1.IntroducaoCom relac ao ` a multiplicac ao do escalar pela matriz A RA = (ai j)nxno qual tamb em Mn(R).O que estes dois exemplos acima, com a adic ao de seus elementos e multiplicac ao de seuselementos por escalares, t em em comum?Verica-se facilmente a partir das propriedades dos n umeros reais que, com relac ao a quais-quer func oesf , g e h em F(R) e para , R, s ao v alidos os seguintes resultados:1. f +g = g+ f2. f +(g+h) = ( f +g) +h3. Se g representa a func ao nula ent ao f +g = f4. f +(f ) = 05. ( +) f = f + f6. ( f ) = () f7. ( f +g) = f +g8. 1f = fAgora, com relac ao a quaisquer matrizes A, B, e C em Mn e para todo , R, tamb em s aov alidos os seguintes resultados:1. A+B = B+A2. A+(B+C) = (A+B) +C3. Se 0 representa a matriz nula ent aoA+0 = A4. A+(A) = 05. ( +)A = A+A6. (A) = ()A2.1.Introducao 437. (A+B) = A+B8. 1A = AObservamos que o conjunto das func oes bem como o das matrizes, quando munidos de somae multiplicac ao por escalar, apresentam propriedades alg ebricas comuns. Existem muitos outrosexemplos de conjuntos que apresentam as mesmas propriedades acima. Para n ao estudarmosseparadamente cada conjunto, estudaremos um conjunto gen erico e n ao vazio, V, sobre o qualsupomos estar denidas as operac oes de adic ao e multiplicac ao por escalar.Denic ao 2.1Um espaco vetorial V e um conjunto,cujos elementos s ao chamados vetores,no qual est ao denidas duas operac oes: a adic ao, que a cada par de vetores, u e v Vfazcorresponder umnovo vetor denotado por u+v V, chamado a soma de u e v, e a multiplicac aopor um n umero real, que a cada Re a cada vetor v V faz corresponder um vetor denotadopor v, chamado produto de por v. Estas operac oes devem satisfazer, para quaisquer , R e u, ve w Vas seguintes propriedades:Propriedades 2.11. Comutatividade: u+v = v +u2. Associatividade: (u+v) +w = u+(v +w)3. Vetor nulo: existe um vetor nulo 0 Vtal que v +0 = v para todo v V4. Inverso aditivo: Para cada v V existe v V tal que v +v = 05. Distributividade: ( +)v = v +v6. ()v = (v)7. (u+v) = u+v8. Multiplicac ao por 1: 1.u = uExemplo 38Paratodon umeronatural n, osmboloRnrepresentaoespacovetorial eu-clidianon-dimensional. OselementosdeRns aoaslistasordenadas(chamadasn-uplas)u = (x1,x2,x3,.......,xn), v = (y1, y2,y3, ......yn) de n umeros reais. Por denic ao a igualdade ve-torial u = v signica as n igualdades num ericasx1 = y1,x2 = y2, .....xn = yn.44 2.1.IntroducaoEm Rndenimos as operac oes:u+v = (x1 +y1, x2 +y2,....xn +yn)eu = (x1,x2, .....xn)Verica-se sem diculdades, que estas denic oes fazem do Rnum E. V. (verique).Exemplo 39O conjunto dos polin omios em x, de grau menor ou igual a n e denido por :Pn =_p(x) = ao +a1x +..... +an1xn1+anxnao, a1, ...., an1, an R_com as operac oes de adic ao de polin omios e multiplicac ao de um polin omio por um escalar eum espaco vetorial. Note que cada elemento de Pn e uma func ao p : R RExemplo 40O conjunto das matrizes denido porM(m, n) =__ai jmn ai j R, i = 1, .., m ej = 1, .., n_com a soma usual de matrizes e multiplicac ao usual de um escalar por uma matriz e um espacovetorial.No caso particular das matrizes quadradas de ordem n denotaremos M(n, n) por Mn.Exemplo 41Seja o conjunto R2={(x, y) x, y R} com as operac oes assim denidas:(x1, y1) +(x2, y2) = (x1 +x2, y1 +y2)(x, y) = (x, y)O conjunto R2com estas operac oes n ao e um espaco vetorial.Vamos mostrar que falha a propriedade 5) do E.V.( +)u = ( +)(x1, y1) = (( +)x1, y1) = (x1 +x1, y1)u+u = (x1, y1) +(x1, y1) = (x1, y1) +(x1, y1) = (x1 +x1, 2y1) ( +)u = u+u2.2.Subespacos 45Exemplo 42Verique se V= M2 com as operac oes:(i) Soma:__a1b1c1d1__+__a2b2c2d2__=__a1 +a2b1 +b2c1 +c2d1 +d2__(ii) Multiplicac ao por escalar: __a1b1c1d1__=__ a1b1c1d1__ e um espaco vetorial.Comoaadic ao eausual, ent aotodasaspropriedadesdaadic aoser aosatisfeitas. Sealguma propriedade falhar, ser a na multiplicac ao por escalar, pois esta n ao e a usual.Sejam A =__a bc d__e B =__m no p__.Vamos mostrar que falha a propriedade: ( +)A = A+A(i) ( +)A = ( +)__a bc d__=__a b+bc +c d__(ii) A+A = __a bc d__+__a bc d__=__ a bc d__+__ a bc d__=__2a b+bc +c 2d__Por (i) e (ii) conclumos que (+)A=A+A. Logo V =M2 com as operac oes denidasacima n ao e um espaco vetorial.2.2 SubespacosDenic ao 2.2Seja Vum espaco vetorial. Dizemos que W V e um subespaco vetorial de Vse forem satisfeitas as seguintes condic oes:1. se u, v W ent ao u+v W2. se u W ent ao u W para todo R.Podemos fazer tr es observac oes:As condic oes da denic ao garantem que ao operarmos em W(soma e multiplicac ao porescalar) n ao obteremos um vetor fora de W. Isto e suciente para armar que W e elepr oprio um E.V.46 2.2.SubespacosQualquer subespaco W de Vprecisa conter o vetor nulo.Todo espaco vetorial admite pelo menos dois subespacos: o conjunto formado pelo vetornulo e o pr oprio E.V.Exemplo 43Seja V=R5e W={0, x2,x3, x4, x5}, W e um subespaco vetorial?Veriquemos as condic oes de subespaco: seja u=(0, x2,x3, x4, x5) W e v=(0, y2,y3, y4, y5) W1. u+v = (0, x2 +y2,x3 +y3, x4 +y4, x5 +y5) W2. u = (0, x2,x3, x4, x5) = (0, x2,x3, x4, x5) Wlogo W e um subespaco vetorial.Exemplo 44Seja S ={(x, y, z) R3x +y +z = 0}, S e um subespaco de R3?Dados u = (x1, y1, z1) S e v = (x2, y2, z2) S1. u+v = (x1, y1, z1) +(x2, y2, z2) = (x1 +x2, y1 +y2, z1 +z2)Como u = (x1, y1, z1) S x1 +y1 +z1 = 0. Analogamente x2 +y2 +z2 = 0, e podemosconcluir que (x1 +x2) +(y1 +y2) +(z1 +z2) = 0 u+v S2. u =(x1, y1, z1) = (x1, y1, z1) para todo x1+y1+z1 =(x1+y1+z1) =0 = 0 e dai u SPortanto, S e um subespaco vetorial de R3.Exemplo 45V =Mn e W e o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W e subespacode V, pois a soma das matrizes triangulares superiores ainda e uma matriz triangular superior,assim como o produto de uma matriz triangular por um escalar (Verique).Exemplo 46Uma situac ao importante em que aparece um subespaco e obtida ao resolvermosum sistema linear homog eneo. Considere o sistema homog eneo AX= O, onde A e uma matrizmn e X e umamatriz colunan 1.Se X1e X2s ao duas soluc oes dosistemaAX= Oent ao tem-se AX1 = O e AX2 = O. Mas A(X1 +X2) = AX1+ AX2 = O+O = O, logo X1 +X2 euma soluc ao do sistema AX = O. Tamb em, A(kX1) = kAX1 = O, portanto kX1 e uma soluc ao dosistema AX= O.Como o conjuntos das matrizes Xn1 e uma espaco vetorial temos que o subconjunto detodas as matrizes de ordem n1 que s ao soluc oes do sistema AX =O e uma subespaco vetorialdo espaco vetorial formado por todas as matrizes de ordem n12.2.Subespacos 47Exemplo 47Seja V= R2e W= {(x, x2) R2x R}. Se escolhermos u = (1, 1) e v =(2, 4) W, temos: u+v = (3, 5)/ W, portanto W n ao e subespaco vetorial de R2.Exemplo 48Seja V= R2e W= {(x, y) R2y = 2x}, W e subespaco vetorial de R2, poistemos:1. Parau = (x1, 2x1) e v = (x2, 2x2) Wtem-se u+v = (x1 +x2, 2(x1 +x2)) W, pois asegunda componente de u+v e igual ao dobro da primeira.2. u = (x1, 2x1) = (x1, 2(x1)) W, poisasegundacomponentede u eigualaodobro da primeira.Exemplo 49Considereoespacovetorial M2eamatriz B=__0 11 0__ M2.SejaW={A M2AB = BA}. Verique se W e um espaco vetorial de M2.1aSoluc ao: Sejam A1, A2 petencente a M2.(A1 +A2)B = A1B+A2B = BA1 +BA2 = B(A1 +A2) (A1 +A2) M2(kA1)B = k(A1B) = k(BA1) = B(kA1) (kA1) M2Logo W e um subespaco vetorial de W.2aSoluc ao:Tomando A =__a bc d__ W, sabe-se que a matriz A deve satisfazer a relac aoAB = BA.Portanto__a bc d____0 11 0__=__0 11 0____a bc d____b ad c__=__c da b__b = ca = d a = da = dc = b b =cLogo A =__a bb a__W=_____a bb a__ M2a, b R___Sejam u =__a bb a__e v =__x yy x__48 2.3.InterseccaodedoisSubespacosVetoriaisu+v =__a bb a__+__x yy x__=__a+x b+yby a+x__=__a+x b+y(b+y) a+x__Wku = k__a bb a__=__ka kbkb ka__WComo u+v W e ku W W e um subespaco vetorial de M2Exemplo 50Verique se W=_p(x) P3 : p(2) + p(1) = 0_ e um sub-espaco vetorial deV= P3.Sejam p(x), q(x) W p(2) + p(1) = 0 e q(2) +q(1) = 0Assim (p+q)(x) = p(x) +q(x) e tal que(p+q)(2) +(p+q)(1) = p(2) +q(2) + p(1) +q(1)= p(2) + p(1) +q(2) +q(1)= 0+0 = 0e ent ao (p+q)(x) W.Da mesma forma, (p)(x) = p(x) e tal que(p)(2) +(p)(1) = p(2) +p(1) = _p(2) + p(1)_= .0 = 0e ent ao (p)(x) W.Portanto W e subespaco vetorial de P3.2.3 Intersecc ao de dois Subespacos VetoriaisDenic ao 2.3Dados W1 e W2 subespacos de umespaco vetorial V, a intersecc aoW1W2 ainda e um subespaco de V.Exemplo 51V=R3. Seja W1 ={(x, y, z) R3/y =0} e W2 ={(x, y, z) R3/x =0}. W1W2 e a reta de intersecc ao dos planos W1 e W2, ou seja W1W2 ={(x, y, z) R3/x = 0 e y = 0}Exemplo 52V=R3. Seja W1 ={(x, y, z) R3/x+y+z = 0} e W2 ={(x, y, z) R3/x+yz = 0}.2.3.InterseccaodedoisSubespacosVetoriais 49Para encontrarmos a intersecc ao dos dois subespacos devemos resolver o sistema___x +y +z = 0x +y z = 0A soluc ao desse sistema e z = 0, y = x. Portanto W1W2= {(x, y, z) R3: z = 0 ey =x}Exemplo 53V= P3. Seja W1 ={p P3: p(1) = 0} e W2 ={p P3: p(1) = 0}Como p P3 ent ao p = a+bx+cx2+dx3, com a, b, c, d R. Se p W1 ent ao p(1) = 0 b +2c +3d = 0. Sep W2 ent aop(1) = 0 2c +6d = 0. Para quep pertenca a W1W2devemos resolver o sistema___b+2c +3d = 02c +6d = 0assim, c =3d e b = 3d.Portanto W1W2 ={p P3: p = a+3dx 3dx2+dx3}Exemplo 54V= M(n, n),W1 = {matrizes triangulares superiores}; W2 = {matrizes triangu-lares inferiores}. Ent ao W1W2 ={matrizes diagonais}.Exemplo 55SejaV= M2 =__a bc d__eW1 =_____a b0 0__, a, b R___W2 =_____a 0c 0__, a, c R___W=W1W2 e um subespaco de V, poisW=_____a 00 0__, a R___Exemplo 56Sejam W1 e W2 dados por: W1 = {(x, y) R2: x +y = 0} e W2 = {(x, y) R2:x y = 0} ser a que W1W2 e um subespaco vetorial de V?50 2.4.CombinacaoLinearN ao. Basta considerar V=R2,u = (1, 1) W2v = (1, 1) W1mas u +v = (1, 1) +(1, 1) = (2, 0)/ W1W2 (represente gracamente esta soma de ve-tores)2.4 Combinac ao LinearDenic ao 2.4Seja Vum espaco vetorial real, v1, v2, ......, vnVe a1, a2,.........an R. Ent ao, ovetorv = a1v1 +a2v2 +..... +anvn e um elemento de Vao que chamamos de combinac ao linear de v1, v2, ......, vn.Exemplo 57Em R2o vetor v = (10, 16) e uma combinac ao linear dos vetores v1= (1, 2) ev2 = (3, 4) pois v = 4v1 +2v2.Exemplo 58Verique se o vetor v = (3, 2, 1) pode ser escrito como uma combinac ao lineardos vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (1, 1, 1).Devemos vericar se existem n umeros a, b, c tais que v = av1 +bv2 +cv3, ou seja,(3, 2, 1) = a(1, 1, 1) +b(1, 1, 1) +c(1, 1, 1).devemos ent ao resolver o sistema__1 1 11 1 11 1 1____abc__=__321__Mas esse sistema tem uma unica soluc ao a =32, b =12 e c = 1. Portantov pode realmente serescrito como combinac ao de v1, v2 e v3, da forma v =32v1 + 12v2 +v3.Exemplo 59No espaco vetorial P2 o polin omiop = 7x2+11x 26 e combinac ao linear dospolin omios: q1 = 5x23x +2 e q2 =2x2+5x 8, de fato p = 3q1 +4q2 (conra).Exemplo 60Verique que em P2 o polin omio p(x) = 1+x2 e uma combinac ao dos polin omiosq(x) = 1, r(x) = 1+x e s(x) = 1+x +x2.2.4.CombinacaoLinear 51Precisamos encontrar n umeros reais, a1, a2 e a3 tais que:p(x) = a1q(x) +a2r(x) +a3s(x)Ou seja, precisamos encontrar a1, a2 e a3 satisfazendo:1+x2= a1 +a2(1+x) +a3(1+x +x2)1.1+0x +1.x2= (a1 +a2 +a3) +(a2 +a3)x +a3x3que e equivalente ao sistema:___a1 +a2 +a3 = 1a2 +a3 = 0a3 = 1a1 = 1; a2 =1 e a3 = 1.Exemplo 61Consideremos , no R3, os seguintes vetores: v1= (1, 3, 2) e v2= (2, 4, 1).Escreva o vetor v = (4, 18, 7) como combinac ao linear dos vetores v1 e v2.Temos:v = a1v1 +a2v2(4, 18, 7) = a1(1, 3, 2) +a2(2, 4, 1) = (1a1, 3a1, 2a1) +(2a2, 4a2, 1a2) == (a1 +2a2, 3a1 +4a2,2a1a2) que e equivalente ao sistema:___a1 +2a2 =43a1 +4a2 =182a1a2 = 7a1 = 2, a2 =3.Portanto, v = 2v13v2. Agora mostre que o vetor v = (4, 3, 6) n ao e combinac ao linear dosvetores v1 = (1, 3, 2) e v2 = (2, 4, 1).52 2.5.DependenciaeIndependenciaLinear2.5 Depend encia e Independ encia LinearDenic ao 2.5SejaV umespacovetorial e v1, v2, ......, vn V. Dizemos que oconjunto{v1, v2, ......, vn} e linearmente independente (LI), se a equac ao:a1v1 +a2v2 +.... +anvn = 0implica quea1 = a2 = ... = an = 0.No caso, em que exista algum ai= 0 dizemos que {v1, v2, ......, vn} e linearmente dependente(LD).Para determinarmos se um conjunto e L.I. ou L.D. devemos fazer a combinac ao linear doconjunto de vetores e igualar esta combinac ao linear ao vetor nulo do espaco. Portanto e muitoimportante ter conhecimento do vetor nulo do espaco em que estamos trabalhando.Exemplo 62Considere o espaco vetorial R3e os conjunto de vetores: = {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} = {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (3, 5, 7)}Os conjuntos e acima s aoL.I ou L.D?Fazendo a combinac ao linear de a(1, 2, 3) +b(1, 1, 1) +c(1, 0, 0) = (0, 0, 0)temos o sistema homog eneo:___a+b+c = 02a+b = 03a+b = 0cuja unica soluc ao e a = b = c = 0. Portanto o conjunto e L.IFazendo a combinac ao linear de a(1, 2, 3) +b(1, 1, 1) +c(3, 5, 7) = (0, 0, 0)2.5.DependenciaeIndependenciaLinear 53temos o sistema homog eneo:___a+b+3c = 02a+b+5c = 03a+b+7c = 0que possui innitas soluc oes ( grau de liberdade 1). Portanto al em da soluc ao nula ( que todosistema homog eneo tem) este sistema possui outras soluc oes diferentes da soluc ao nula, logo oconjunto e L.D.Teorema 2.1O conjunto {v1, v2, ......, vn} e LD se, e somente se, um dos vetores do conjuntofor uma combinac ao linear dos outros.Exemplo 63a) Seja V=R3. Sejam v1, v2V. O conjunto {v1, v2} e LD se, e somente se, v1 ev2estiverem na mesma reta que passa pela origem (um vetor e m ultiplo do outro), v1 = v2.b) EmV=R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) s ao LI, pois:a1e1 +a2e2 = 0 =a1(1, 0) +a2(0, 1) = (0, 0) =(a1,a2) = (0, 0)logo a1 = 0 e a2 = 0 portanto, e1e e2 s ao LI.Exemplo 64No espaco Vetorial M2 o conjunto:A =_____ 1 23 1__,__2 33 0__,__3 43 1_____ e LD ?Examinemos a equac ao: a1v1 +a2v2 +a3v3 = 0a1__ 1 23 1__+a2__2 33 0__+a3__3 43 1__=__0 00 0__cuja soluc ao e a1 =a3 e a2 =2a3. .Como existem soluc oes ai= 0, o conjunto e LD.Propriedades 2.2Seja V um espaco vetorial1. Se A ={v} Ve v =0 , ent ao A e LI.2. Se um conjunto A Vcont em o vetor nulo, ent ao A e LD3. Se um conjunto A V e LI, qualquer parte A1 de A tamb em e LI.54 2.6.SubespacosGerados2.6 Subespacos GeradosDenic ao 2.6Seja V um espaco vetorial. Consideramos um subconjunto A={v1, v2, . . . , vn} V, A = .O conjunto Wde todos os vetores de Vque s ao combinac oes lineares dos vetores deA e um subespaco de V. Simbolicamente, o subespaco W e:W={v V v = a1v1 +a2v2 +. . . +anvn}OsubespacoWdiz-se geradopelos vetores v1, v2, . . . , vn, ougeradopeloconjuntoA, erepresenta-se por:W= [v1, v2, . . . , vn] ouW= G(A)Os vetores v1, v2, . . . , vn s ao chamados geradores do subespaco W, enquanto A e o conjuntogerador de W.Para o caso particular de A =, dene-se [] ={0 }A G(A), ou seja, { v1, v2, . . . , vn} [v1, v2, . . . , vn]Todo conjunto A Vgera um subespaco vetorial de V, podendo ocorrer G(A) =V.Nessecaso, A e um conjunto gerador de V.Exemplo 65Os vetores i = (1, 0) e j= (0, 1) geram o espaco vetorial R2, pois, qualquer(x, y) R2 e combinac ao linear de i e j :(x, y) = xi +y j = x(1, 0) +y(0, 1) = (x, 0) +(0, y) = (x, y)Ent ao: [i, j] =R2.Exemplo 66Seja V=R3. Determinar o subespaco gerado pelo vetor v1 = (1, 2, 3).Temos:[v1] ={(x, y, z) R3/(x, y, z) = a(1, 2, 3), a R}Da igualdade: (x, y, z) = a(1, 2, 3) vem: x = a; y = 2a; z = 3a donde: y = 2x e z = 3x, logo,[v1] ={(x, y, z) R3/y = 2x e z = 3x} ou [v1] ={(x, 2x, 3x); x R}.Exemplo 67Encontre o subespaco vetorial de P3 gerado por U={1, t, t2, 1+t3}2.6.SubespacosGerados 55Note que t3= (t3+1)1. Assim, dado p(t) =ao +a1t +a2t2+a3t3P3 podemos escreverp(t) = (a0a3) +a1t +a2t2+a3(t3+1) UOu seja, qualquer vetor (polin omio) de P3pode ser escrito como uma combinac ao linear dosvetores do conjunto U. Logo P3 = [U].Exemplo 68Encontre o subespaco vetorial gerado de M2 gerado porG =_____1 10 1__,__2 13 4_____Temos que A =__x yz t__ [G] se e somente se existirem a e b R tais queA =__x yz t__= a__1 10 1__+b__2 13 4__Da, tem-se o sistema:___a+2b = xa+b = y3b = za+4b =tque e possvel se: z = x +y e t =5x+2y3Logo [G] =_____x yx +y5x+2y3__: x, y R___.Exemplo 69Encontre um conjunto de geradores para W={X M(4, 1) AX= 0} ondeA =________1 1 1 02 0 1 13 1 0 10 2 3 1________56 2.7.SomadeSubespacosSejaX=________abcd________W ________1 1 1 02 0 1 13 1 0 10 2 3 1________________abcd________=________0000________,________1 1 1 00 2 3 10 0 0 00 0 0 0________________abcd________=________0000________________1 1 1 00 1 3/2 1/20 0 0 00 0 0 0________________abcd________=________0000___________a = c2 d2b =3c2+ d2,isto e,X=________c2 d23c2+ d2cd________= c________123210________+d________121201________portanto, W=__________123210________,________121201__________.2.7 Soma de SubespacosDenic ao 2.7SejamW1 e W2 dois subespacos vetoriais de V. Ent ao o conjuntoW1 +W2 ={v Vv = w1 +w2, w1W1 e w2W2} e um subespaco de V.Exemplo 70W1 =_____a b0 0_____e W2 =_____0 0c d_____,onde a, b, c, d R. Ent ao W1 +W2 =2.7.SomadeSubespacos 57_____a bc d_____= M2.Exemplo 71Sejam os subespacos vetoriaisW1 ={(a, b, 0); a, b R} eW2 ={(0, 0, c), c R}do espaco vetorial R3. A soma W1 +W2 ={(a, b, c); a, b, c R} e subespaco vetorial, que nessecaso e o pr oprio R3.Proposic ao 2.1Quando W1W2 = {0 }, ent ao W1 +W2 e chamado soma direta de W1 comW2, e denotado por W1W2.Observac ao 4Usandoosgeradorespodemosobterumacaracterizac aodasomadedoissubespacos: Sejam We Usubespacosde V, se W= [u1, . . . , un] e U= [w1, . . . , wm] ent aoW +U= [u1, . . . , un, w1, . . . , wm]Exemplo 72Verique que R3 e a soma direta deW1 ={(x, y, z) R3; x +y +z = 0}eW2 ={(x, y, z) R3; x = y = 0}Note que W2 e de fato um subespaco vetorial de R3(Verique)Dado v W1, v = (x, y, x y) eu W2, u = (0, 0, z)u+v = (x, y, x y +z) =R3vamos mostrar que W1W2 =_0_. Seja (x, y, z) W1W2 temos:___x y +z = 0x = 0y = 0(x, y, z) = (0, 0, 0)58 2.8.Base eDimensaodeumEspacoVetorialExemplo 73Encontre os geradores do subespaco U +W ondeU =_(x, y, z) R3x +y +z = 0_, eW =_(x, y, z) R3x +y = 0 e x z = 0_Se u U u = (x, y, x y) = x(1, 0, 1) +y(0, 1, 1) logo U= [(1, 0, 1), (0, 1, 1)]Se v W v = (x, x, x) = x(1, 1, 1) logo W= [(1, 1, 1)]Usando a teoria acima explicada temos queU +W= [(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)]2.8 Basee Dimens ao de um Espaco Vetorial2.8.1 BaseUm conjunto ={v1, v2, . . . , vn} V e uma base do espaco vetorial se:1. e LI2. gera VExemplo 74={(1, 1), (1, 0)} e base de R2. De fato:1. e LI pois a(1, 1) +b(1, 0) = (0, 0) =a = b = 02. gera R2, pois para todo (x, y) R2, tem-se :(x, y) = y(1, 1) +(y x)(1, 0)Realmente, a igualdade (x, y) = a(1, 1) +b(1, 0) =a = y e b = y x.Exemplo 75O conjunto {(0, 1), (0, 2)} n ao e base de R2pois e um conjunto LD. Se(0, 0) = a(0, 1) +b(0, 2)temos a = 2b. Assim para cada valor de b conseguimos um valor para a, ou seja, temosinnitas soluc oes.2.8.Base eDimensaodeumEspacoVetorial 59Exemplo 76Seja V =R3ent ao ={(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e uma base do R3(verique!).Exemplo 77O conjunto ={1, x, x2, . . . , xn} e uma base do espaco vetorial Pn. De fato:ao +a1x +a2x2+. . . +anxn= 0ao +a1x +a2x2+. . . +anxn= 0+0x +0x2+. . . +0xn=a0 = a1 = . . . = an = 0portanto, e LI. gera o espaco vetorial Pn, pois qualquer polin omio p Pn pode ser escrito assim:p = ao +a1x +a2x2+. . . +anxnque e uma combinac ao linear de 1, x, x2, . . . , xn.Logo, e uma base de Pn.Essa e a base can onica de Pn e tem n+1 vetores.Exemplo 78Encontre uma base para U +W ondeU =_(x, y, z) R3x +y +z = 0_ eW =_(x, y, z) R3x +y = 0 e x z = 0_Seja U= [(1, 0, 1), (0, 1, 1)] e W= [(1, 1, 1)] ( J a vimos este exemplo.)U +W= [(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)].J a temos um conjunto que gera a soma, se este conjunto for L.I. ent aele ser a uma base.a(1, 0, 1) +b(0, 1, 1) +c(1, 1, 1) = (0, 0, 0)__1 0 10 1 11 1 1____abc__=__000__A =__1 0 10 1 11 1 1__A1=__0 1 11 2 11 1 1__60 2.8.Base eDimensaodeumEspacoVetorial__abc__=__0 1 11 2 11 1 1____000__=__000__logo o conjunto e L.I e portanto. ={(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} e uma base de U +W.Exemplo 79Encontre uma base para U +W ondeU =_(x, y, z) R3x y +z = 0 e x y = 0_ eW =_(x, y, z) R3x +y z = 0 e x z = 0_Se v = (x, y, z) U ___x y +z = 0x y = 0v = (x, x, 0) = x(1, 1, 0), portanto U = [(1, 1, 0)] .Seu = (x, y, z) W ___x +y z = 0x z = 0u = (x, 0, x) = x(1, 0, 1),portanto W= [(1, 0, 1)]Assim U +W= [(1, 1, 0, ), (1, 0, 1)] . Como o conjunto = {(1, 1, 0, ), (1, 0, 1)} e L.I ent aoele e uma base para U +W.Exemplo 80Dados:U={A M2(R); A = At}e W=____1 10 1____ em M2encontre uma base para U,W,U W,W +UPara U : A =__a bc d__c = b portanto, A U se existirem a1, a2, a3 R tais queA = a1__1 00 0__+a2__0 11 0__+a3__0 00 1__pode-se vericar facilmente que as matrizes_____1 00 0__,__0 11 0__,__0 00 1_____s ao L.I e portanto, como geram U, formam uma base de U.2.8.Base eDimensaodeumEspacoVetorial 61Para W: Como a matriz__1 10 1__gera W, ela serve para base de W.Para U W : A U W A = Ate existe R tal queA =__ 0 __,isto e, se e somente se existir R tal que__ 0 __=__ 0 __que e satisfeita quando = 0, ou seja, A = 0. Desse modo U W={0}.Uma base para U W e = . Veja a observac ao a seguir para elucidar esse fato.Observac ao 5: Seja Vumespacovetoriale 0 Vovetornulode V.Comooconjunto=_0_ e LD (mostre isto) temos que este conjunto n ao pode ser uma base do conjuntoN=_0_. Este e um caso patol ogico e para que n ao seja contrariada a denic ao de basetomamos = (conjunto vazio) como sendo base para o espaco N =_0_.Para U +W : Como U W={0} temos U +W e soma direta e, portanto, uma base e:_____1 00 0__,__0 11 0__,__0 00 1__,__1 10 1_____Proposic ao 2.2Todo conjunto LI de um espaco vetorial V e base do subespaco por ele gerado.Exemplo 81O conjunto ={(1, 2, 1), (1, 3, 0)} R3 e LI e gera o subespacoW={(x, y, z) R3/3x y z = 0}.Ent ao, e base de W, pois e LI e gera W.Teorema 2.2Sejam v1, v2, . . . , vn, vetores n ao nulos que geram um espaco vetorial V. Ent ao,dentre estes vetores podemos extrair uma base de V.62 2.8.Base eDimensaodeumEspacoVetorialProposic ao 2.3Seja um E.VVgerado por um conjunto nito de vetores v1, v2, . . . , vn. Ent aoqualquer conjunto com mais de n vetores e necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjuntoLI tem no m aximo n vetores).Exemplo 82SejamU e W subespacos de V= M2 tal queU=_____a bc d__ M2 : b+c = 0___eW=____0 11 0__,__1 00 1__,__1 10 1____.a. Determine uma base para U WInicialmente, encontremos o subespaco gerado W :Seja A W A =__a bc d__= __0 11 0__+__1 00 1__+__1 10 1__A matriz ampliada desse sistema e:________0 1 1 a1 0 1 b1 0 0 c0 1 1 d________, eliminac ao Gaussiana:________1 0 1 b0 1 1 a0 0 1 b+c0 0 0 d a________O sistema s o e possvel se d a = 0, da observamos que o subespaco gerado W e dado porW=_____a bc d__ M2 : a = d___E portanto obtemos U W=_____a cc a__; a, c R___. Uma base para W e =_____1 00 1__,__0 11 0_____. Note que as matrizes geram U We s ao LI, pois n ao s ao m ultiplasuma da outra.b. Encontre uma base para U +W.Obtemos os geradores de U +Wunindo os geradores de U e W. Vamos obter os geradoresde U :Seja A U A =__a bb d__= a__1 00 0__+b__0 11 0__+d__0 00 1__U=____1 00 0__,__0 11 0__,__0 00 1____2.8.Base eDimensaodeumEspacoVetorial 63U +W=____1 00 0__,__0 11 0__,__0 00 1__,__0 11 0__,__1 00 1__,__1 10 1____Uma base para U +Wdeve ter no m aximo 4 matrizes, ent ao j a sabemos que este conjunto e LD e que temos que eliminar no mnimo 2 matrizes para este conjunto se tornar LI. Vejamosquantas e quais matrizes ser ao eliminadas:a__1 00 0__+b__0 11 0__+c__0 00 1__+d__0 11 0__+e__1 00 1__+f__1 10 1__=__0 00 0__________1 0 0 0 1 10 1 0 1 0 10 1 0 1 0 00 0 1 0 1 1________, eliminac ao Gaussiana:________1 0 0 0 1 10 1 0 1 0 10 0 1 0 1 10 0 0 0 0 1______________________abcdef______________=________0000___________ae f = 0bd f = 0c e + f = 0f = 0___a = c = eb = df = 0Veja que n ao podemos excluir a ultima matriz e que existe uma relac ao entre a 1a, 3ae 5a,ent ao devemos excluir uma dentre estas tr es;e ainda a 2aest a relacionada com a 4a, ent aotemos que excluir uma das duas. Excluindo a 1ae a 2atem-se que=_____0 00 1__,__0 11 0__,__1 00 1__,__1 10 1_____ e uma base para U +W.2.8.2 Dimens aoSeja Vum Espaco Vetorial.Se Vpossui uma base com n vetores, ent ao V tem dimens ao n e denota-se dimV= n.Se V n ao possui uma base, ou seja, a base e = ent ao dimV= 0.Se Vpossui uma base com innitos vetores, ent ao dimV e innita e anota-se dimV= .Exemplo 83dimR2= 2 pois toda base de R2tem 2 vetoresExemplo 84dimM(2, 2) = 4Exemplo 85dimM(m, n) = m.n64 2.8.Base eDimensaodeumEspacoVetorialExemplo 86dimPn = n+1Proposic ao 2.4Seja Vum E. V. tal que dimV= nSe W e um subespaco de Vent ao dimW n. No caso de dimW= n , tem-se W=V. Parapermitir uma interpretac ao geom etrica, consideremos o espaco tridimensional R3(dimR3= 3).A dimens ao de qualquer subespaco Wdo R3s o poder a ser 0, 1, 2 ou 3. Portanto, temos osseguintes casos:1. dimW= 0, ent ao W={0} e a origem;2. dimW= 1, ent ao W e uma reta que passa pela origem;3. dimW= 2, ent ao W e um plano que passa pela origem;4. dimW= 3 ent ao W=R3.Proposic ao 2.5Seja Vum E. V de dimens ao n. Ent ao, qualquer subconjunto de Vcom maisde n vetores e Linearmente Dependente (LD).Proposic ao 2.6Sabemos que o conjunto e base de um espaco vetorial se for LI e gera V.No entanto, se soubermos que dimV= n , para obtermos uma base de V basta que apenas umadas condic oes de base esteja satisfeita.Exemplo 87O conjunto ={(2, 1), (1, 3)} e uma base do R2. De fato, como dimR2= 2 eos dois vetores dados s ao LI (pois nenhum vetor e m ultiplo escalar do outro), eles formam umabase do R2.Exemplo 88SejaW=_p(x) P3 : p(2) + p(1) = 0_um subespaco vetorial de P3. Encon-tre uma base e a dimens ao de W.Vamos ent ao encontrar uma base, comecemos pelos geradores de W.Se p(x) =ax3+ bx2+ cx+ dW temos que p(2)+p(1) =0.Ent ao como___p(1) = 3a+2b+cp(2) = 12a+2bobt em-se de p(2) + p(1) = 0 que c =15a4b.Portanto p(x) W e da forma p(x) = a(x315x) +b(x24x) +d.Logo W=_x315x, x24x, 1. Como esse conjunto e LI (f acil de vericar), temos queuma base de W e ={x315x, x24x, 1}e dimW= 3.2.8.Base eDimensaodeumEspacoVetorial 652.8.3 Dimens ao da Soma de Subespacos VetoriaisProposic ao 2.7Seja Vumespacovetorialdedimens aonita. Se Ue Ws aosubespacosvetoriais de Vent aodim(U +W) = dimU +dimW dim(U W).No exemplo (80) de base, para encontrar a base de U +Wpodemos usar esta proposic ao:dim(U +W) =dimU +dimWdim(UW) =3+10 =4 =dimM2 , portanto, U +W=M2e uma base pode ser dada por:_____1 00 0__,__0 10 0__,__0 01 0__,__1 10 1_____2.8.4 CoordenadasSejaVum espaco vetorial gerado e uma base de V formada pelos vetores u1, u2, . . . , un.v Vsendo v = x1u1 +x2u2 +. . . +xnunOs coecientes x1, x2, . . . , xn s ao chamados componentes ou coordenadas de v em relac aoa base e se representa por:[v]=________x1x2:xn________Exemplo 89NoR2consideremos as bases= {(1, 0), (0, 1)}, = {(2, 0), (1, 3)}e={(1, 3), (2, 4)}. Dado o vetor v = (8, 6) tem-se:(8, 6) = 8(1, 0) +6(0, 1)(8, 6) = 3(2, 0) +2(1, 3)(8, 6) = 2(1, 3) +3(2, 4)temos: [v]=__86__, [v]=__32__e [v]=__23__.Exemplo 90Mostre que os vetores(1, 1, 1), (0, 1, 1) e(0, 0, 1) formam uma base de R3. En-contre as coordenadas de (1, 2, 0) R3com relac ao ` a base formada pelos vetores acima.66 2.9.MudancadeBaseJ a sabemos que dimR3= 3.Ent ao vericamos se os vetores acima s ao LI. Os vetores s aoLI se a1v1 +a2v2 +a3v3 = 0 a1 = a2 = a3 = 0. Isto e equivalente ao sistema:___a1 = 0a1 +a2 = 0a1 +a2 +a3 = 0cuja soluc ao e a1 = a2 = a3 = 0 , portanto, os vetores v1, v2 e v3 s ao LI.(1, 2, 0) = a(1, 1, 1) +b(0, 1, 1) +c(0, 0, 1) = (a, a+b, a+b+c)que e equivalente ao sistema:___a = 1a+b = 2a+b+c = 0a = 1, b = 1ec =2.Desse modo, as coordenadas de (1, 2, 0) em relac ao ` a base e dado por [v]=_____112_____2.9 Mudanca de BaseMuitos problemas aplicados podem ser simplicados mudando-se de um sistema de coorde-nadas para outro. Mudar sistemas de coordenadas em um espaco vetorial e, essencialmente, amesma coisa que mudar de base. Por exemplo, num problema em que um corpo se move noplano xy, cuja trajet oria e uma elipse de equac ao x2+xy +y23 = 0 (ver gura), a descric aodo moviemnto torna-se muito simplicada se ao inv es de trabalharmos com os eixos x e y uti-lizarmos um referencial que se ap oia nos eixos principais da elipse. Neste novo referencial, aequac ao da trajet oria ser a mais simples: 3u2+2v2= 6.Figura 2.1: Mudanca de Base - (2.9)Nesta sec ao, vamos discutir o problema de mudar de um sistema de coordenadas para outro.Denic ao 2.8Sejam = {u1,...,un} e = {w1,.....,wn} duas bases ordenadas de um mesmo2.9.MudancadeBase 67espaco vetorial V. Dado um vetor v V, podemos escrev e-lo como:v = x1u1 +.... +xnun(2.1)v = y1w1 +.... +ynwnComo podemos relacionar as coordenadas de v em relac ao ` a base .[v]=__x1x2:xn__com as coordenadas do mesmo vetor v em relac ao ` a base [v]; =__y1y2:yn__.J a que {u1, . . . , un} e base de V, podemos escrever os vetores wi como combinac ao linear dosuj, isto e:___w1 = a11u1 +a21u2 +.... +an1unw2 = a12u1 +a22u2 +.... +an2un:wn = a1nu1 +a2nu2 +.... +annun(2.2)Substituindo em (2.1) temos:v= y1w1 + ... + ynwn= y1(a11u1 + a21u2 + .... + an1un) + ... + yn(a1nu1 + a2nu2 + .... +annun) = (a11y1 +... +a1nyn)u1 +..... +(an1y1 +... +annyn)un68 2.9.MudancadeBaseMas v =x1u1+.... +xnun, e como as coordenadas emrelac ao a uma base s ao unicas, temos:x1= a11y1 +a12y2 +... +a1nynx2= a21y1 +a22y2 +... +a2nyn: : :xn= an1y1 +an2y2 +... +annynEm forma matricial__x1:xn__=__a11: a1n: : :an1an2ann____y1:yn__Logo ,se usarmos a notac ao[I]=__a11: a1n: : :an1an2ann__temos a relac ao[v]= [I][v]A matriz [I] e chamada matriz mudanca de base para a base .Compare [I]com (2.2) e observe que esta matriz e obtida, colocando as coordenadas emrelac aoa dewinai- esimacoluna. Notequeumavezobtida[I]podemosencontrarascoordenadas de qualquer vetor v em relac ao ` a base , multiplicando a matriz pelas coordenadasde v na base (supostamente conhecida).Exemplo 91Sejam = {(2, 1), (3, 4)} e = {(1, 0), (0, 1)} bases de R2. Procuremos ini-cialmente [I]w1 = (1, 0) = a11(2, 1) +a21(3, 4) = (2a11 +3a21, a11 +4a21)Isto implica que a11 =411 e a21 =111w2 = (0, 1) = a12(2, 1) +a22(3, 4)Resolvendo, a12 = 311e a22 =211Portanto, [I]=__411311111211__2.9.MudancadeBase 69Podemos usar esta matriz para encontrar por exemplo, [v]para v = (5, 8)[(5, 8)]= [I][(5, 8)]=__411311111211____58__=__41__Isto e, (5, 8) = 4(2, 1) 1(3, 4)Exemplo 92Considere as bases em R3={(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 2)} e ={(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.Encontre[I].Seja:(1, 0, 0) = a11(1, 0, 1) +a21(1, 1, 1) +a31(1, 1, 2)(0, 1, 0) = a12(1, 0, 1) +a22(1, 1, 1) +a32(1, 1, 2) (0, 0, 1) = a13(1, 0, 1) +a23(1, 1, 1) +a33(1, 1, 2)(a11 +a21 +a31,a21 +a31, a11 +a21 +2a31) = (1, 0, 0)(a12 +a22 +a32,a22+a32, a12 +a22 +2a32) = (0, 1, 0)(a13 +a23 +a33,a23+a33, a13 +a23 +2a33) = (0, 0, 1)Note que cada linha acima representa um sistema de tr es equac oes com tr es inc ognitase que a matriz associada a cada um destes sistemas e a mesma e o que muda s ao os nomesdas vari aveis e o segundo membro. Utilizando como vari aveis x, y e z, basta resolvermos oseguinte sistema:_____1 1 10 1 11 1 2__________xyz_____=_____abc_____ondea, b, c R. O sistema acima e equivalente a_____1 1 10 1 10 0 1__________xyz_____=_____abc a_____70 2.10.AInversadaMatrizdeMudancadeBasecuja soluc ao e dada por x = ab, y = a+bc e z = c aTomando (a, b, c) = (1, 0, 0),obtemos (a11, a21, a31) = (1, 1, 1)Tomando (a, b, c) = (0, 1, 0),obtemos (a12, a22, a32) = (1, 1, 0)Tomando (a, b, c) = (0, 0, 1),obtemos (a13, a23, a33) = (0, 1, 1). Desta forma obtemos:[I]=_____1 1 01 1 11 0 1_____2.10 A Inversa da Matriz de Mudanca de BaseSe em (2.1 )comecarmos escrevendo os ui em func ao dos wj, chegaremos ` a relac ao:[v]= [I] [v]Um fato importante e que as matrizes [I]e [I] s ao inversveis e_[I]_1= [I]Exemplo 93No exemplo (91 ) anterior podemos obter [I]a partir de [I]Note que [I] e f acil de ser calculada , pois e a base can onica(2, 1) = 2(1, 0) 1(0, 1)(3, 4) = 3(1, 0) +4(0, 1) [I] =__2 31 4__Ent ao[I]=____2 31 4____1=__411311111211__Exemplo 94Seja V= P3 e =_2, x, x2+1, x3x_e =_3, x +1, x2, 3x3_bases de P3.a. Encontre [I].Escrevendo os elementos da base como combinac ao dos elementos da base .2 = a.3+b(x +1) +cx2+d(3x3)x = e.3+f(x +1) +gx2+h(3x3)2.11.Terceiralistadeexerccios 71x2+1 = i.3+j(x +1) +lx2+m(3x3)x3x = n.3+o(x +1) +px2+q(3x3)Rearranjando os termos ` a direita de cada igualdade, temos:2 = (3a+b) +bx +cx2+3dx3x = (3e +f) +fx +gx2+3hx3x2+1 = (3i +j) +jx +lx2+3mx3x3x = (3n+o) +ox +px2+3qx3Da, comparando ambos os lados das igualdades, obt em-se[I]=________231313130 1 0 10 0 1 00 0 0 13________b. Encontre [p] sabendo que [p]=________1214________.Devemos usar a relac ao [p]= [I][p]onde [I]=_[I]_1=________32121200 1 0 30 0 1 00 0 0 3________[p]=________32121200 1 0 30 0 1 00 0 0 3________________1214________=________310112________2.11 Terceira lista de exercciosExerccio 2.1Verique se R2com as operac oes denidas por:i. (x, y) +(s, t) = (s, y +t), onde u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2ii. (x, y) = (x, y), onde R e u = (x, y) R2. e um espaco vetorial.72 2.11.TerceiralistadeexercciosExerccio 2.2Moste que R2com as operac oes denidas por:i. (x, y) +(s, t) = (x +s, y +t), onde u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2ii. (x, y) = (x, y), onde R e u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2. e um espaco vetorial.Exerccio 2.3Verique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W e um subespaco doespaco vetorial V.a) V=R3e W={(x, y, z) R3: 2x +3y z = 0}b) V=R3e W={(x1, x2, x3) R3: x1 +x2 = 1}c) V= Pn e W={p Pn : p(0) = p(1)}d) V= M(2, 2) e S ={X M2det(X) = 0} (S e o conjunto das matrizes singulares)e) V= M(n, n) e F= {X MnAX= XA} (F e o conjunto das matrizes que comutamcom a matriz A)f) V= P3 e W e o conjunto dos polin omios de grau 3 que passam pelo ponto P(0, 0).g) V= P1 e W=_p(x) P1 :10p(x)dx = 0_h) V=R3e W=___(x, y, z) R3: det__x y z1 2 10 1 1__= 0___i) V= M22 e W=_A M22 : A2= A_Exerccio 2.4Verique se o conjunto W= {(1, 2, 3), (1, 3, 1), (0, 3, 1), (1, 4, 5)} R3 e L.I ouL.D.Exerccio 2.5Dado o conjunto W ={(1, 1, 3), (1, 2, 1), (0, 1, 3), (1, 4, 5)} R3, extrair um sub-conjunto de vetores L.I.Exerccio 2.6a) Se o conjunto = {v1, v2, ..., vn} e um conjunto Linearmente Independenteent ao o o conjunto =_v1,0 , v2, ..., vn_ e LI ou LD? Justique sua resposta.b) Considere o subespaco N =_0_. Qual e a base e a dimens ao de N.Exerccio 2.7a) Verique se o conjunto S = {A M(3, 3); A e uma matriz anti-sim etrica} eum subespaco vetorial de M(3, 3).b) Considere o subconjunto de M2, dado porW=_____a bc d__ M2b = a e d =a___.Verique se o subconjunto W e um espaco vetorial.2.11.Terceiralistadeexerccios 73Exerccio 2.8ConsidereosubespacodeR4geradopelosvetoresv1=(1, 1, 0, 0), v2=(0, 0, 1, 1), v3 = (2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).a) O vetor (2, 3, 2, 2) [v1, v2, v3, v4]? Justique.b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual e a dimens ao deste espaco?c) [v1, v2, v3, v4] =R4? Por qu e?Exerccio 2.9Considere o espaco vetorial P3 e o conjunto W={p(x) P3; p(1) = 0}.a) Verique se W e um subespaco vetorial de P3.b) Obtenha os geradores de W.Exerccio 2.10a) Encontre as coordenadas do vetorp = 1 +t +t2+t3emrelac ao base =_2, 1+t, t +t2, t2+t3_de P3.b) O conjunto =_2, t2, t +t2_ e LI ou LD? Justique sua resposta.Exerccio 2.11Qual o subespaco gerado pelas matrizes__1 11 0__,__0 01 1__e__0 20 1__?Exerccio 2.12D e um exemplo de um subespaco vetorial de P3 com dimens ao 2.Exerccio 2.13Mostre com um exemplo que a uni ao de dois subespacos vetoriais de um mesmoespaco vetorial n ao precisa ser um subespaco vetorial desse espaco.Exerccio 2.14Responda se os subconjuntos abaixo s ao subespacos de M(2, 2).a) V=_____a bc d__ com a, b, c, d Re b = c e a =b___b) V=_____a bc d__ com a, b, c, d Re b = d___Em caso armativo, determine:i) uma base para W1W2ii) W1 +W2 e soma direta?iii) W1 +W2 = M(2, 2)?Exerccio 2.15Considere os subespacos de R5, W1 ={(x, y, z, t, w)x +z +w = 0, x +w = 0},W2 ={(x, y, z, t, w)y +z +t = 0} e W3 ={(x, y, z, t, w)2x +t +2w = 0}.a) Determine uma base para o subespaco W1W2W3.b) Determine uma base e a dimens ao de W1 +W3.c) W1 +W2 e soma direta? Justique.d) W1 +W2 =R5?74 2.11.TerceiralistadeexercciosExerccio 2.16Considere os seguintes subespacos de P3:U=_p P3 : p(1) = 0_e W=_p P3 : p(1) = 0_Determine dim(U +W) e dim(U W).Exerccio 2.17Considere o subespaco Wde P3que e gerado pelos polin omiosp1(x) = 1 +2x +x2, p2(x) =1+2x2+3x3e p3(x) =1+4x +8x2+9x3e o subespaco de P3, U={p P3 : p(0) = 0}a) Determine uma base e a dimens ao de W.b) Determine uma base para U W.c) Determine uma base para U +W.Exerccio 2.18Sejam U= [(1, 0, 0), (1, 1, 1)] e V= [(0, 1, 0), (0, 0, 1)] subespacos gerados doR3. Determine:a) uma base e a dimens ao de U W.b) U +W=R3?Exerccio 2.19Considere o seguinte subespaco de M(2, 2)S =_____a bc d__ M(2, 2) : a+b = c +d = 0___a) Determine uma base e indique a dimens ao de S.b) Construa uma base de M(2, 2) que contenha a base de S obtida no tem a).Exerccio 2.20Determine a dimens ao e encontre uma base do espaco-soluc ao do sistema___x 3y +z = 02x 6y +2z = 03x 9y +3z = 0Exerccio 2.21Sejam Ue Wsubespacos de R4de dimens ao 2 e 3, respectivamente. Mostreque a dimens ao de U W e pelo menos 1. O que ocorre se a dimens ao de U Wfor 2 ? Podeser 3? Justique sua resposta.Exerccio 2.22O conjunto A ={(1, 0, 2), (a2, a, 0), (1, 0, a)} e uma base para um subespaco doR3de dimens ao 2, se e somente se, a = 2.2.11.Terceiralistadeexerccios 75Exerccio 2.23Seja S ={X M31 : AX =0} o espaco soluc ao do sistema___x +y +az = 0x +ay +z = 0ax +y +z = 0.Determine os valores de a para os quais S seja: a pr opria origem; uma reta que passa pelaorigem; e, um plano que passa pela origem.Exerccio 2.24Sejam = {(1, 0), (0, 1)}, 1= {(1, 1), (1, 1)}, 2= {3, 1), (3, 1)} e3 ={(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de R2.a) Encontre a matriz mudanca de base:i. [I]1ii. [I]1iii. [I]2iv. [I]3b) Quais s ao as coordenadas do vetor v = (3, 2) em relac ao ` a basei. ii. 1iii. 2iv. 3c) As coordenadas de um vetor u em relac ao ` a base 1 s ao dadas por [u]1 =__40__. Quaisas coordenadas do vetor u em relac ao ` a base: i. ii. 2iii. 3Exerccio 2.25SejamP4=_p = a0 +a1x +a2x2+a3x3+a4x4a0, a1, a2, a3, a4 R_, =_1, x, x2, x3, x4_e =_2, 2x, 4x2, 8x3, 16x4_.a) Determine [I].b) Se [p]=__12345__, determinar [p].c) Determine o polin omio p cujas coordenadas s ao dadas no item b) acima.Exerccio 2.26Considere o seguinte subespaco de M2 : W=_____a bc d__d = 0___. Sejam =_____1 11 0__,__1 11 0__,__1 111 0_____ =_____1 01 0__,__1 10 0__,__1 00 0_____a) Detemine [I].76 2.11.Terceiralistadeexercciosb) Se [v]=__e0__, determine [v].Exerccio 2.27Sejam e bases de R3. Determine a base sabendo que ={(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e a matriz mudanca de base de para e[I]=__1 0 00 2 11 1 1__Exerccio 2.28Seja =_____1 10 0__,__0 11 0__,__2 12 0_____uma base para um subespaco deM22 e [I]=__1 0 11 1 12 1 2__onde e tamb em uma base para um subespaco de M22a) Determine a base .b) Se [v]=__121__, determine [v].Exerccio 2.29Seja Eum espaco vetorial qualquer e = {u1, u2, u3} uma base de E. Con-sidere ainda os vetores v1 = u1 +u2, v2 = 2u1 +u2u3 e v3 =u2.a) Determine a matriz S de mudanca da base ={v1, v2, v3} para a base ={u1, u2, u3}.b) Calcule as coordenadas do vetor w = v1 +v2v3 na base {u1, u2, u3}.Exerccio 2.30Sejam e bases de um espaco vetorial V.a) Mostre que det_[I] [I]_= 1.b) Determine [I].Exerccio 2.31Verique se as armac oes abaixo s ao VERDADEIRAS ou FALSAS. Se foremverdadeiras, demonstre. Se forem falsas, d e um contra-exemplo.a) A intersec ao de dois subespacos vetoriais nunca e vazia.b) A matriz__1 20 3__pertence ao subespaco W=____1 11 0__,__0 01 1__,__0 20 1____.b) Se os vetoresu ,v ews ao LI ent ao os vetoresu v ,v weu ws ao LIs.2.11.Terceiralistadeexerccios 77c) W= [(1, 2, 0), (2, 4, 0)] e um plano no R3que passa pela origem.d) Se ={v 1,v 2,v 3} e uma base de um espaco vetorial V, ent ao o conjunto A ={v 1+v 3,v 1 +v 2,v 1 +v 2 +v 3} e lineramente independente.e) O subespaco W={p P3 : p(