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As matrizes foram utilizadas pela primeira vez pelo matemático e advogado inglês James Sylvester que definiu Matriz como “arranjo oblongo de termos”.
Seu colega também inglês Arthur Cayley instituiu algumas operações básicas entre as matrizes, em “Memoir on the Theory of Matrices”, em 1858.
A multiplicação matricial deveu-se ao matemático alemão Gotthold Eisenstein, considerado por Gauss, um matemático do mesmo nível que Newton e Arquimedes.
São tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente em linhas e colunas.
Dentre suas aplicações podemos citar: armazenamento e manipulação de informações tabuladas e as ferramentas para transmissão de imagens e sons digitalizados pela internet.
*i, j,m,nN
São tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente em m linhas e n colunas.
ij mxnA (a )
As matrizes são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino e representadas por parênteses ou colchetes ou duplas barras laterais.
n – número de colunas da matriz
m – número de linhas da matriz
i – número da linha da matriz, onde 0 i m.
j – número da coluna da matriz, onde 1 j n.
linha n
linha 3
linha 2
linha 1
ij m x nA (a )
n – número de colunas da matriz
m – número de linhas da matrizj – número da coluna da matriz, onde 0 < j < n.
11 12 13 1m
21 22 23 2m
31 32 33 3mij m x n
n1 n2 n3 nm
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... aA (a )
... ... ... ... ...
a a a ... a
i – número da linha da matriz, onde 0 < i < m.
coluna 1 coluna 2
coluna 3 coluna m
EXEMPLO 01EXEMPLO 01
Dada a matriz A = (aij)3x2 através de sua lei de formação, escreva essa matriz.
ij
i j , se i ja
i j , se i > j
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
11 12
ij 3 x 2 21 22
31 32
a a 2 3
A (a ) a a 1 4
a a 2 1
EXEMPLO 02EXEMPLO 02
Uma indústria automobilística produz três modelos de veículos empregando diferentes peças para a montagem do motor. Na matriz abaixo, cada elemento aij representa a quantidade de peças do tipo j utilizada na fabricação de um veículo modelo i.
a) Quantas peças do tipo 1 serão utilizadas para fabricar um veículo do modelo 2?
b) Quantas peças de cada tipo são necessárias para fabricar oito veículos modelo 1, três veículos modelo 2 e dois veículos modelo 3?
15 10 12
A 10 11 13
14 12 11
Matriz Linha – É toda matriz com apenas 1 linha, ou seja, é toda matriz do tipo 1 x n.
3 2 0 1 4 0 3 2 matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4
Matriz Coluna – É toda matriz com apenas 1 coluna, ou seja, é toda matriz do tipo n x 1.
4
0
7
3
5
6
2
1
3
matriz 2 x 1 matriz 3 x 1 matriz 4 x 1
Matriz Nula – É toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
matriz 2 x 3 matriz 4 x 2 matriz 3 x 3
Matriz Quadrada de ordem n – É toda matriz do tipo n x n, isto é, que possui igual número de linhas e colunas.
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3nij m x n
n1 n2 n3 nn
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... aA (a )
... ... ... ... ...
a a a ... a
Diagonal PrincipalDiagonal Principal
( i = j )( i + j = n + 1 )
2 1
4 3
3 2 0
5 1 3
6 0 2
6 2 1 5
0 3 2 3
5 1 2 4
2 3 4 0
3 2 5
0 1 3
0 0 2
Matriz Triangular – É toda matriz quadrada composta apenas de zeros nos elementos acima ou abaixo da diagonal principal.
3 0 0
4 1 0
2 5 6
Triangular Superior Triangular Inferior
Matriz Diagonal – É toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.
2 0
0 3
4 0 0
0 2 0
0 0 5
5 0 0
0 2 0
0 0 0
0 0
0 0
Matriz Identidade ( ou Unitária ) – É toda matriz diagonal, com ordem igual ou superior a 2, em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
2
1 0I
0 1
3
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
4
1 0 0 0
0 1 0 0I
0 0 1 0
0 0 0 1
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq , essas matrizes serão iguais quando as matrizes forem da mesma ordem e todos os elementos correspondentes de uma e outra forem iguais.
5 1 3 5 1 3
0 4 2 0 4 1
2 3 1 2 3 1
4 2 4 2
1 3 1 3
ambas são 2 x 2
ambas são 3 x 3
são iguais
não são iguais
EXEMPLO 03EXEMPLO 03
Determine x, y, z e t, para que se tenha:2x y 25 4
10 3z 10 9
4x t 20 t
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Falta agora fazer a igualdade entre os termos correspondentes.
2x 5
x 25 x 25 5x 5
y 4 ; 10 10 ; 3z 9 z 3
; 4x 20 x 5
; t t 2t 0 t 0
Soma de Matrizes – É uma operação de soma dos elementos correspondentes de duas matrizes de mesma ordem, gerando uma nova matriz de mesma ordem.
EXEMPLO 04EXEMPLO 04
Calcule a soma de matrizes abaixo.
6 3 2 4
10 4 1 0
5 1 10 1
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Então a soma é
8 1
9 4
15 0
I ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
II ) A + B = B + A
III) A + 0 = 0 + A
IV) A + (A) = A + A = 0
Enfermeira, estou com febre !
Multiplicação de Escalar por Matriz – É uma operação similar a uma soma de matrizes, onde todas essas matrizes são iguais. Portanto, basta multiplicar o escalar por cada elemento da matriz.
EXEMPLO 05EXEMPLO 05
Calcule o resultado da multiplicação de escalar por matriz indicada abaixo.
2 1 35.
6 4 2
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
2 1 3 10 5 155.
6 4 2 30 20 10
I ) ( . ).A = .(.A)
II ) ( + ).A = .A + .A
III) ( ).A = .A .A
IV) .( A + B ) = .A + .B
V) 1 A = A
Oposta de Matriz – É obtida multiplicando o escalar 1 pela matriz dada.
EXEMPLO 06EXEMPLO 06
Calcule o resultado da multiplicação de escalar por matriz indicada abaixo.
3 1
4 2( 1).
5 0
2 3
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
3 1 3 1
4 2 4 2( 1).
5 0 5 0
2 3 2 3
Subtração de Matrizes – É uma operação de soma de uma matriz com a oposta da segunda.
EXEMPLO 07EXEMPLO 07
Calcule o resultado da diferença de matrizes indicada abaixo.
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
6 3 2 4
10 4 1 0
5 1 10 1
6 3 2 4 4 7
10 4 1 0 11 4
5 1 10 1 5 2
Produto de Matrizes – Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)p x q , chama-se produto das matrizes A e B, a matriz C = (cij)m x q , onde só é possível efetuar essa operação se n = p.
Só é possível efetuar o produto de duas matrizes, se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.
A ordem da matriz produto é obtida pelo número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
I ) ( A.B ).C = A.( B.C )
II ) ( A + B ).C = A.C + B.C
III) C.( A + B ) = C.A + C.B
IV) ( .A ).B = A .(.B ) = (A.B) onde IR
V) A.B B.A , em geral. Se A.B = B.A, então A e B comutam.
VI) Se A.B = 0, não é necessário que A = 0 ou B = 0, porém se A.B = 0, qualquer que seja B, então A = 0. Da mesma forma se A.B = 0, qualquer que seja A, então B = 0.
EXEMPLO 08EXEMPLO 08
Calcule o resultado da diferença de matrizes indicada abaixo.
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
1 11 2 3
2 2 .4 5 1
3 4
1 11 2 3
2 2 .4 5 1
3 4
3 x 2 2 x 3
=
Matriz Produto é 3 x
3
Matriz Produto é da forma:
1
1
1
4
3
1
1
1
2
2
1
4
3
4
1
4
1
1
2
5
2
2
2
5
3
4
2
5
2
2
3
1
3
4
3
1
3 7 2
10 6 8
19 14 13
Produto
possível
nA A.A.A....A
2A A.A3A A.A.A
0nA I
1A A
EXEMPLO 09EXEMPLO 09
Dada a matriz A abaixo, calcule A0 , A2 e A3.
SOLUÇÃOSOLUÇÃO4 2A
1 3
0
2
1 0A I
0 1
24 2 4 2 14 13
A A.A .1 3 1 3 7 7
3 214 13 4 2 43 11
A A .A .7 7 1 3 35 7
EXEMPLO 10EXEMPLO 10
Dada a matriz A abaixo, calcule A1 + A2 + A3 + ... + A200.
SOLUÇÃOSOLUÇÃO1 0A
1 0
2
1 0 1 0 1 0 A A.A .
1 0 1 0 1 0
3 21 0 1 0 1 0
A A .A .1 0 1 0 1 0
2001 0 1 0 1 0
A .1 0 1 0 1 0
A matriz A é IDEMPOTENTE.
1 2 2001 0 200 0
A A ... A 200.1 0 200 0
EXEMPLO 11EXEMPLO 11
Uma indústria fabrica certa máquina em dois modelos diferentes, A e B. O modelo A utiliza 4 condensadores, 3 interruptores e 7 válvulas; o modelo B utiliza 3 condensadores, 2 interruptores e 9 válvulas. Em novembro, foram encomendadas 3 máquinas do modelo A e 2 do modelo B; e em dezembro, 2 máquinas do modelo A e 1 do modelo B.
Qual o número de condensadores, interruptores e válvulas em cada um dos meses para fabricar essas encomendas?
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
Sugestão: monte primeiramente uma tabela peças x modelos e posteriormente monte uma tabela modelo x meses.
Transposição de Matrizes – Dada uma matriz A = (aij)m x n sua transposta é a matriz At = (aji)n x m. Na prática é a operação de troca de posição dos elementos da linha i para a coluna i.
EXEMPLO 12EXEMPLO 12
Obtenha a transposta da matriz abaixo.
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
6 3 2 1A
2 4 0 4
t
6 2
3 4A
2 0
1 4
Matrizes Simétrica – É uma matriz em que A = At, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.
Matrizes Anti-Simétrica – É uma matriz em que A = At, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são simétricos. Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.
a b ca b
; b d eb d
c e f
0 a b0 a
; a 0 ca 0
b c 0
I ) ( A + B )t = At + Bt
II ) ( .A )t = .At
III) (At)t = A
IV) (A)t = At
V) (A.B)t = Bt.At
Cuidado com a Propriedade V, que ela induz
ao erro !
Determinante de uma Matriz – Considerando apenas as matrizes quadradas M de elementos reais, o determinante dessa matriz quadrada, representada por det M, será o número obtido pela operação de seus elementos da seguinte forma:
11 11 11 11M a det M=det a a a
Se a matriz quadrada é de ordem n = 1, temos:
Se a matriz quadrada é de ordem n = 2, temos:
11 12 11 12
21 22 21 22
a a a aM det M=det
a a a a
11 12
21 22
a a
a a
+
11 22 12 21a .a a .a
Se a matriz quadrada é de ordem n = 3, temos:
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a a a a
M a a a det M=det a a a
a a a a a a
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+++
11 22 33 12 23 31 13 21 32a .a .a a .a .a a .a .a
13 22 31 11 23 32 12 21 33a .a .a a .a .a a .a .a
Pierre Frédéric Sarrus (1789-1861)
Se a matriz quadrada é de ordem n natural, onde n 4, aplicaremos o Teorema de Laplace, que também é válido para determinantes de ordens 1, 2 e 3.
Pierre Simon Laplace (1749-1827)
Físico, Astrônomo e
Matemático
Para tanto, basta escolhermos uma linha ou coluna do determinante e calcular os somatórios dos produtos dos elementos da fila escolhida pelos respectivos co-fatores.
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
n1 n2 n3 nn
a a ... a ... a
a a ... a ... aM
... ... ... ... ... ...
a a ... a ... a
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
n1 n2 nj nn
a a ... a ... a
a a ... a ... aM
... ... ... ... ... ...
a a ... a ... a
Vamos escolher uma coluna genérica j, teremos:
j
nj njn 1
det M a .A
onde :
n jnj njA ( 1) .D
Determinante de ordem uma unidade abaixo, obtido eliminando-se a linha e a coluna onde se encontra anj.
i
in inn 1
det M a .A
Se escolhermos uma linha genérica i, teremos:
11 12 1n
21 22 2n
i1 i1 in
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... a
... ... ... ...M
a a ... a
... ... ... ...
a a ... a
onde :i n
in inA ( 1) .D Determinante de ordem uma unidade abaixo, obtido eliminando-se a linha e a coluna onde se encontra anj.
EXEMPLO 13EXEMPLO 13
Calcule o valor dos determinantes das matrizes abaixo.
3 2a)A
1 4
2 1 3
b)B 1 4 2
5 3 1
2 4 2 4
0 1 1 0c)C
1 0 2 3
3 0 1 0
1 2 3 4 2
0 1 0 0 0
d)D 0 4 0 2 1
0 5 5 1 4
0 1 0 1 2
Inversão de Matrizes – Se A é uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = In.
Dada uma matriz inversível M, chama-se inversa de A, a matriz M1 , que é única, tal que M. M1 = M1 .M = In.
Quando uma matriz M não é inversível, ela é dita matriz singular.
I ) (A1)1 = A
II ) A matriz unidade é a sua própria inversa.
III) (.A)1 = (1/). A1
IV) ( .A ).B = A .(.B ) = (A.B) onde IR
V) A.B B.A , em geral. Se A.B = B.A, então A e B comutam.
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, temos:
Lembrando que M. M1 = In.
Por meio de determinantes, temos:
t1 1M . M'
det M
M1 é a matriz M invertida.
det M é o determinante da matriz M a inverter.
(M’)t é a matriz de cofatores transposta de M.
Por meio de operações elementares.
EXEMPLO 12EXEMPLO 12
Obtenha a matriz inversa das matrizes abaixo, pelos 3 processos.
3 6b)B
2 4
1 0 2
c)C 2 1 3
3 1 0
1 4 7
d)D 2 5 8
3 6 9
1 2a)A
3 4
SOLUÇÃO ISOLUÇÃO I
12A.A I 1
2
1 2.A I
3 4
2 x 2 2 x 22 x 2
1x z
Ay w
1 2 x z 1 0.
3 4 y w 0 1
x 2y z 2w 1 0
3x 4y 3z 4w 0 1
AGORA É SÓ
RESOLVER OS
SISTEMAS
1 2 x z 1 0.
3 4 y w 0 1
x 2y z 2w 1 0
3x 4y 3z 4w 0 1
x 2y 1 z 2w 0
3x 4y 0 3z 4w 1
1 2 1
3 4 0
1 2 0
3 4 1
2 3 2 1
y = 3/2
x = 2
w = 1/2
z = 1
1x z 2 1
Ay w 3/ 2 1/ 2
SOLUÇÃO IISOLUÇÃO II
1 2A
3 4
1 2;det A 1.4 2.3 2
3 4
t1 1M . M'
det M t1 1
A . A'det A
1 111A ( 1) . 4 4 1 2
12A ( 1) . 3 3 2 1
21A ( 1) . 2 2 2 222A ( 1) . 1 1
t4 3 4 2
A' (A')2 1 3 1
14 2 2 11
A .2 3 1 3 / 2 1/ 2
SOLUÇÃO IIISOLUÇÃO III
1 2A
3 4
1 2 1 0
3 4 0 1
1 0 2 1
3 4 0 1
L1 = 2.L1 L2
L2 = L2 + 3.L11 0 2 1
0 4 6 2
L1 = L1
L4 = L4 : 4
1 0 2 1
0 1 3 / 2 1/ 2
PERCEBERAM QUE OS RESULTADOS
BATERAM ?
Está caindo uma chuva de
Matrizes e Determinantes!
