Algebra Linear e geometria analítica

Algebra Linear e Geometrica Analtica EC

Licenciatura em Bioqumica e Licenciatura em Qumica

Suzana Mendes Goncalves

22 de setembro de 2014

licenciaturas em bioqumica e qumica (UM) algebra linear e geometria analtica 22 set2014 1 / 27

apresentacao

identificacao

Codigo: 7049

Nome: Algebra Linear e Geometria Analtica EC

Area Cientfica: Matematica

Departamento: Departamento de Matematica e Aplicacoes

Docente: Suzana Mendes Goncalves

Creditos ECTS: 6.0

Duracao/Perodo de Funcionamento: 1o semestre

Escolaridade: 2h T + 2h TP por semana.


apresentacao

docente

email: [email protected]

telefone: 253 604 091

gabinete: EC.3.23

horario de atendimento: terca-feira, das 14h30 a`s 16h30


apresentacao

programa resumido

1. Algebra vetorial no plano e no espaco.

2. Matrizes.

3. Sistemas de equacoes lineares.

4. Espacos vetoriais Rn.

5. Transformacoes lineares no espaco.

6. Determinantes.

7. Valores e vetores proprios.


apresentacaoobjetivos

Espera-se que os alunos- compreendam conceitos fundamentais e os metodos de algebra linear;- conhecam algumas aplicacoes no mundo real e saibam aplicar metodos de algebralinear para resolver problemas;- desenvolvam a capacidade de elaborar argumentos logicos e de comunicar de formaclara e objetiva;- desenvolvam a capacidade de realizar trabalho de forma autonoma.

resultados de aprendizagem

1. Resolver problemas envolvendo retas, planos e esferas em R3.2. Operar com matrizes e calcular o determinante de uma matriz quadrada e a

inversa de uma matriz invertvel.

3. Classificar e resolver sistemas de equacoes lineares.

4. Determinar uma base e a dimensao de um subespaco vetorial de Rn.5. Identificar e representar matricialmente transformacoes lineares.

6. Calcular os valores proprios e os vetores proprios de uma matriz quadrada.


apresentacao

bibliografia

[1.] K. F. Riley, M. P. Hobson e S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics andEngineering, Cambridge University Press

[2.] S. Lang, Introduction to Linear Algebra, Springer-Verlag

[3.] Santana, A. P. e Queiro J., Introducao a` Algebra Linear, Gradiva [


apresentacao

avaliacao periodica: Os alunos serao avaliados com base em 2 testes escritosobrigatorios. A cada um dos testes e atribuda uma classificacao de 0 a 20 valores. Anota dos testes (NT ) e a media aritmetica dos 2 testes.

Se NT e nao inferior a 9.5, a classificacao final e o seu valor arredondado a`s unidades.Caso contrario, considera-se que o aluno nao obteve sucesso na avaliacao periodica.

avaliacao por exame: Qualquer aluno que nao tenha obtido sucesso na avaliacaoperiodica e admitido ao Exame de Recurso, que se realiza nas condicoes estipuladas peloRegulamento Academico.


apresentacao

regime de faltas: Sera feito o controlo de presencas nas aulas apenas para efeitosestatsticos.

pontualidade: Os alunos apenas poderao entrar na sala de aula ate 5 minutos do incioda mesma.

material necessario: Os alunos deverao ter consigo material de escrita e copia em papeldas folhas de exerccios disponveis na plataforma de e-learning.obs.: O uso de computadores pessoais por parte dos alunos, no ambiente de sala deaula, e estritamente proibido.

e-learning: Todos os documentos da U.C. serao colocados na pagina da U.C. da

plataforma blackboard.


algebra vetorial

Vetores no espaco Rn, com n N

n = 1 Quando n = 1, Rn = R1 = R. O conjunto R que pode ser representado por umareta orientada:

| |aO

-

Um real a e identificado com o ponto P de abcissa a ou com o vetorOP definido pela

origem da reta e pelo ponto P.


n = 2 Quando n = 2, temos o conjunto Rn = R2, que pode ser representado por umplano definido por duas retas orientadas (a`s quais chamamos eixos cartesianos):

Um par (x1, y1) e identificado com o ponto P de abcissa x1 e ordenada y1 ou com o

vetorOP definido pela origem dos eixos e pelo ponto P.


n = 3 Quando n = 3, temos o conjunto Rn = R3, que pode ser representado peloespaco real definido por tres eixos:

Um triplo (x1, y1, z1) e identificado com o ponto P de abcissa x1, ordenada y1 e cota z1

ou com o vetorOP definido pela origem dos eixos e pelo ponto P.


vetores

Embora se perca a interpretacao geometrica, e facil generalizar estas definicoes adimensoes maiores e definir o espaco Rn, para qualquer n N.

Definicao 1.1. Para um inteiro positivo n, o conjuntoRn = {(x1, x2, ..., xn) : x1, x2, ..., xn R} diz-se o espaco euclidiano de dimensao n.Um elemento x = (x1, x2, ..., xn) Rn diz-se um ponto ou um vetor de Rn.

Exemplo 1.2. (1, 2) e um vetor do espaco R2 e (1, 0, 0, 3, 7) e um vetor do espaco R5.


operacoes com vetores

As definicoes de soma de vetores e de produto de um numero real por um vetordecorrem naturalmente das definicoes analogas no plano e no espaco.

Definicao 1.3. Dados dois vetores x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) Rn, define-seuma adicao x + y e uma multiplicacao por um escalar x (onde R) por

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn), x = (x1, x2, ..., xn).

Exemplo 1.4. (1, 3,2, 5, 4) + (2, 0, 4, 1,6) = (3, 3, 2, 6,2);4(1, 0, 2, 6) = (4, 0, 8, 24).

Observacao 1.5. O elemento zero da adicao e o vetor nulo 0 = (0, 0, ..., 0) e o simetricode x = (x1, x2, ..., xn) e x = (x1,x2, ...,xn).


propriedades da adicao e da multiplicacao por um escalar

Teorema 1.6. Seja n N. Para todos os vetores x , y , z Rn e todos os escalares, R, temos:

1 x + y = y + x

2 x + (y + z) = (x + y) + z

3 x + 0 = x

4 x + (x) = 05 ()x = (x)

6 (x + y) = x + y

7 ( + )x = x + x

8 1x = x


produto interno euclidiano

Definicao 1.7. O produto interno euclidiano (ou produto escalar usual) de dois vetoresx = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) Rn representa-se por x y ou x , y e e o realdefinido por

x y = x1y1 + x2y2 + + xnyn.

Exemplo 1.8. Em R5,

(1, 2, 0,1,3) (2,1, 8,1, 0) = 1 2 + 2 (1) + 0 8+(1) (1) + (3) 0= 2 2 + 0 + 1 + 0= 1.


propriedades do produto interno euclidiano

O produto interno euclidiano satisfaz as seguintes condicoes.

Proposicao 1.9. Dados x , y , z Rn e R,1 x y = y x ;2 x (y + z) = (x y) + (x z);3 (x) y = (x y) = x (y);4 x x 0, e x x = 0 se e so se x = 0.

Teorema 1.10. Teorema de Cauchy-Schwarz. Dados x , y Rn,|x y | x xy y .


norma euclidiana

Definicao 1.11. A norma euclidiana de um vetor x Rn e definida por

x =x21 + x

22 + + x2n =

x x .

Observacao 1.12. A norma de um vetor e um escalar nao negativo. Se n = 1, x = |x | e, se n = 2, entao x =x21 + x22 e dada pelo Teorema de Pitagoras.Exemplo 1.13. Em R2, (3, 4) = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5.


propriedades da norma euclidiana

A norma euclidiana satisfaz as seguintes condicoes.

Proposicao 1.14. Dados x , y Rn e R1 x 0, e x = 0 se e so se x = 0;2 x = || x ;3 x + y x + y .

Observacao 1.15. A condicao (3) e conhecida como desigualdade triangular.

Observacao 1.16. A desigualdade do Teorema de Cauchy-Schwarz pode ser escritacomo

|x y | x y .


angulo de dois vetores

A nocao de angulo entre dois vetores pode ser generalizada a vectores de Rn, usando adesigualdade de Cauchy-Schwarz.

Atraves desta desigualdade, tem-se, para x e y nao nulos

|x y | x y

|x y | x y 1

1 x y x y 1.

Como e sabido, se e um angulo cuja medida varia entre 0 e pi, entao cos percorretodos os valores entre 1 e 1. Este facto e as desigualdades acima permitem a seguintedefinicao.


angulo de dois vetores

Definicao 1.17. Sejam x e y dois vetores de Rn. O angulo formado pelos dois vetorese o angulo tal que 0 pi e

cos =x y

x y .

Exemplo 1.18. Em R5, consideremos os vetores (1, 1, 1, 0, 1) e (1,1,1,6, 0) erepresentemos por o angulo por eles formado. Entao,

cos =(1, 1, 1, 0, 1) (1,1,1,6, 0)

(1, 1, 1, 0, 1) (1,1,1,6, 0) =34

9

= 12

.

O angulo [0, pi] cujo cosseno e 12

e o angulo = 2pi3

. Assim, o angulo formado

pelos vetores (1, 1, 1, 0, 1) e (1,1,1,6, 0) e 2pi3

.


ortogonalidade

Definicao 1.19. Dois vetores dizem-se ortogonais se o angulo formado por eles for umangulo reto.

Observacao 1.20. Dois vetores sao ortogonais se e so se o angulo por eles formado forpi2

, ou seja, se e so se o produto interno euclidiano entre eles for nulo.

Exemplo 1.21. Em R3, consideremos os vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) ee3 = (0, 0, 1). Temos que

e1 e2 = 1 0 + 0 1 + 0 0 = 0e1 e3 = 1 0 + 0 0 + 0 1 = 0e2 e3 = 0 0 + 1 0 + 0 1 = 0

Assim, os vetores e1, e2 e e3 sao ortogonais dois a dois.


conjuntos ortonormais

Definicao 1.22. Um conjunto de vetores de Rn diz-se ortogonal se os vetores doconjunto forem ortogonais dois a dois. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se anorma de cada vetor do conjunto e 1.

Exemplo 1.23. Consideremos de novo os vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) ee3 = (0, 0, 1) de R3. Facilmente se verifica que

e1 = e2 = e3 = 1.Como ja vimos no Exemplo 1.21, o conjunto {e1, e2, e3} e ortogonal. Logo, {e1, e2, e3} eortonormado. Ao conjunto {e1, e2, e3} chamamos base canonica de R3.

Observacao 1.24. Se nenhum dos vetores de um conjunto ortogonal e o vetor nulo,podemos obter um conjunto ortonormado efetuando o produto de cada vetor peloinverso da sua norma, uma vez que, dado x Rn \ {0},

1 x x = |1

x | x =1

x x = 1.


distancia euclidiana

Definicao 1.25. A distancia euclidiana entre dois pontos x , y Rn e definida pelanorma do vector x y , ou seja,

d(x , y) = x y =

(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + (xn yn)2.

A distancia euclidiana satisfaz as seguintes propriedades.

Proposicao 1.26. Dados x , y , z Rn,1 d(x , y) 0, e d(x , y) = 0 se e so se x = y ;2 d(x , y) = d(y , x);

3 d(x , z) d(x , y) + d(y , z).

Observacao 1.27. A condicao (3) da-nos a ja vista desigualdade triangular.


produto externo

O produto externo e o produto misto de vetores apenas se calculam em espacos a tresdimensoes.

Definicao 1.28. Sejam x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) dois vetores de R3. O produtoexterno de x e y e o vetor

x y = (x2y3 x3y2,x1y3 + x3y1, x1y2 x2y1).

Exemplo 1.29. Sejam x = (1, 2, 3) e y = (4, 5, 6). Entao,

x y = (2 6 3 5,1 6 + 3 4, 1 5 2 4) = (3, 6,3).Verifica-se que (3, 6,3) (1, 2, 3) = 0 e (3, 6,3) (4, 5, 6) = 0, ou seja, o vetorx y e ortogonal ao vetor x e ao vetor y .


propriedades do produto externo

O produto externo satisfaz as seguintes propriedades.

Proposicao 1.30. Sejam x , y , z R3 e R.1 Se existe R tal que x = y ou y = x , entao x y = (0, 0, 0).2 Em particular, x x = (0, 0, 0) e x (0, 0, 0) = (0, 0, 0) x = (0, 0, 0).3 (x y) x = 0 (x y e ortogonal a x).4 (x y) y = 0 (x y e ortogonal a y).5 x y = x y sin , onde e o angulo formado por x e y .6 x y = (y x).7 (x + y) z = (x z) + (y z).8 x (y + z) = (x y) + (x z).9 (x y) = (x) y = x (y).


aplicacoes do produto externo

Aplicacoes do produto externo 1.31.

1 Dois vetores x e y nao nulos sao paralelos se e so se x y e o vetor nulo.2 A area do paralelogramo definido por dois vetores u e v e dada por u v .


produto misto

Definicao 1.32. Sejam x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) e z = (z1, z2, z3) tres vetores deR3. O produto misto de x , y e z e

[x , y , z] = x (y z)

O produto misto satisfaz as seguintes propriedades.

Proposicao 1.32. Sejam x , y , z R3.1 x (y z) = 0 se e so se um dos vetores x , y ou z e combinacao dos outros (por

exemplo, se x = (1, 2, 3), y = (1, 0, 1) e z = (1, 4, 5), entao x (y z) = 0 umavez que z = (1, 4, 5) = 2(1, 2, 3) (1, 0, 1) = 2x y).

2 x (y z) = (x y) z (no produto misto, as operacoes podem ser trocadas,mantendo a ordem dos vetores).

O volume do paralelippedo definido por tres vetores x , y e z e dada por |[x , y , z]|.


apresentao

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