Álgebra Linear e Geometria Analítica - w3.ualg.ptw3.ualg.pt/~mpires/aulaev.pdf · Álgebra Linear e Geometria Analítica 7ª aula. ESPAÇOS VECTORIAIS. O que é preciso para ter

Álgebra Linear ge

Geometria Analítica

7ª aula

ESPAÇOS VECTORIAISESPAÇOS VECTORIAIS

O que é preciso para ter um q p pespaço vectorial?p ç→ Um conjunto não vazio V→ Uma operação de adição definida

nesse conjuntonesse conjunto→ Um produto de um número real por p p

um elemento desse conjunto→ A “b ” i d d d t→ As “boas” propriedades destas

operaçõesoperações

O ã “b ” i d d ?O que são as “boas” propriedades?

→ Fechado para a soma∀u, v∈V, u + v ∈ V

→ Fechado para o produto por um p p pescalar

∀ ℝ ∀ V V∀α∈ ℝ, ∀u∈V, αu ∈ V

O que são as “boas” propriedades?q p pPropriedades da soma→ Comutativa:

∀ V∀u, v∈V, u + v = v + u→ Associativa:

∀u, v, w∈V, (u + v) + w = u + (v + w)→ Elemento Neutro:→ Elemento Neutro:

∀u∈V, u + 0 = u→ Simétricos:

∀u∈V u + (‐u) = 0∀u∈V, u + (‐u) = 0

O que são as “boas” propriedades?P i d d d d d tPropriedades da soma e do produto por um escalar:por um escalar:

→ Distributiva:→ Distributiva:∀u, v∈V, ∀α∈ℜ,α(u + v )= αu + αv

→ Di ib i→ Distributiva:∀u∈V, ∀α, β∈ℜ,(α + β) u = αu + βu, , β ,( β) β

→ “Associativa”∀ V ∀ β ℜ ( β) (β )∀u∈V, ∀α, β∈ℜ,(α β) u = α (βu)

→ Elemento neutro∀u∈V, 1u = u

ExemplosExemplos→ Vectores no plano com as operações soma e produto por um número real

ExemplosExemplos→ Conjunto das matrizes m×n com as operações soma e produto por um número realreal.→ Conjunto das matrizes linha com as

úoperações soma e produto por um número realreal→ Conjunto das matrizes coluna com as

õ d t úoperações soma e produto por um número real

ExemplosExemplos

( ){ }njxxxxn 1: LL =ℜ∈=ℜ ( ){ }njxxxx jn ,,1,:,,, 21 =ℜ∈=ℜ

( ) ( )( ) ( )nn yyyxxx =+ ,,,,,, 2121 LL

( )nn yxyxyx +++ ,,, 2211 L

( ) ( )nn xxxxxx αααα ,,,,,, 2121 LL =

Casos particulares importantes:Casos particulares importantes:

( ){ }ℜ∈=ℜ yxyx :2 ( ){ }ℜ∈=ℜ yxyx ,:,

( ) ( ) ( )wytxwtyx ++=+( ) ( ) ( )wytxwtyx ++=+ ,,,

( ) ( )yxyx ααα ,, =

Casos particulares importantes:Casos particulares importantes:

( ){ }ℜ∈=ℜ zyxzyx :3 ( ){ }ℜ∈=ℜ zyxzyx ,,:,,

( ) ( ) ( )vzwytxvwtzyx +++=+( ) ( ) ( )vzwytxvwtzyx +++=+ ,,,,,,

( ) ( )zyxzyx αααα ,,,, =

Propriedades dos espaços vectoriaisPropriedades dos espaços vectoriais→ O vector nulo é único → O simétrico de cada vector de V é único → Qualquer número real multiplicado→ Qualquer número real multiplicado pelo vector nulo dá o vector nulo→ l l l→ Zero multiplicado por qualquer vector dá o vector nulodá o vector nulo→ Se o produto de um número real por

t dá t l tãum vector dá o vector nulo então ou o número real é nulo ou o vector é nulo.

Combinações Lineares:Combinações Lineares:

k ℜ∈ααα L21 ,,,Vuuu k ∈L21 ,,,

uuuu kk

k

=+++ ααα L2211 kk2211

u diz se combinação linear deu diz‐se combinação linear deu1, u2, …, uk1, 2, , k

Exemplo:Exemplo:

( ) ( ) ( )( ) ( )532100501030012 ++( ) ( ) ( )( ) ( )5,3,21,0,050,1,030,0,12 −=−++

(2 3 ‐5) é combinação linear de(2,3, 5) é combinação linear de {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}com coeficientes 2, 3 e ‐5 respectivamente

Exemplo:Exemplo:(2,3,‐5) será combinação linear ( ,3, 5) se á co b ação eade {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?

Exemplo:Exemplo:(2,3,‐5) será combinação linear ( ,3, 5) se á co b ação eade {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,1)


⎪⎧ =++ 2γβα

⎪⎩

⎪⎨

+=+

53βα

⎪⎩ −=+ 5γα


⎪⎧ =++ 2γβα

⎥⎤

⎢⎡ 2111

⎪⎩

⎪⎨

+=+

53βα

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ 53

101011

⎪⎩ −=+ 5γα ⎥⎦⎢⎣ −5101

⎤⎡ 2111 ⎤⎡ 2111

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

32

011111

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

− 12

100111

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −5101 ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣ −− 7010

⎤⎡ 2111 ⎤⎡ 2111

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−− 72

010111

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

72

010111

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ − 1100 ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣ − 1100

⎤⎡ 2111 ⎤⎡ 3011

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

72

010111

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

73

010011

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ − 1100 ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣ − 1100

⎤⎡ − 4001 ⎧ −= 4α

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

74

010001

⎪

⎪⎨

⎧= 7

4βα

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ − 1100 ⎪

⎩ −= 1γ

⎧ −= 4α

⎪

⎪⎨

⎧= 7

4βα

⎪⎩ −= 1γ

(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,1)

(2 3 ‐5) = ‐4(1 1 1) + 7(1 1 0) ‐ (1 0 1)(2,3, 5) = 4(1,1,1) + 7(1,1,0) (1,0,1)



⎪⎧ =+ 2βα

⎪⎩

⎪⎨

+=+

533

ββα

⎪⎩ −=−+ 53γβα


⎪⎧ =+ 2βα

⎪⎩

⎪⎨

++=+

5323

ββα Sistema impossível

⎪⎩ −=++ 532 γβα

Exemplo:Exemplo:Então (2,3,‐5) não pode ser tão ( ,3, 5) ão pode secombinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}

Exemplo:Exemplo:Quais serão os vectores (x, y, z) Qua s se ão os ecto es ( , y, )que podem ser combinação linear de{(1 1 1) (1 1 2) (0 0 3)}?{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

Exemplo:Exemplo:(x, y, z) = ( , y, )α(1,1,1) + β(1,1,2) + γ(0,0,3)

Exemplo:Exemplo:(x, y, z) = ( , y, )α(1,1,1) + β(1,1,2) + γ(0,0,3)

⎧ β⎪⎧ =+ xβα

⎪

⎪⎨ =+ yβα⎪⎩ =++ zγβα 32⎩

⎧ =+ xβα⎪⎨

⎧ =+ xββα

⎪

⎪⎨ =+ yβα⎪⎩ =++ zγβα 32

⎤⎡ x011

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ x

011011

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

y321011

⎥⎦⎢⎣ z321

⎪⎧ =+ xβα

⎪⎩

⎪⎨

++=+

zyγβα

βα32

⎤⎡ ⎤⎡ 011

⎪⎩ =++ zγβα 32

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

yx

011011

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

− xyx

000011

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ z

y321011

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ − xz

xy310000

⎦⎣ ⎦⎣

⎥⎤

⎢⎡ x011

⎥⎤

⎢⎡ −− zx2301

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢ − xz310

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢ − xz310

⎥⎦⎢⎣ − xy000 ⎥⎦⎢⎣ − xy000

Quais serão os vectores (x, y, z) Qua s se ão os ecto es ( , y, )que podem ser combinação linear de{(1 1 1) (1 1 2) (0 0 3)}?{(1,1,1), (1,1,2), (0,0,3)}?

Resposta: vectores da formap(x, x, z)

Questão:Questão:(0, 0, 0) pode ser combinação (0, 0, 0) pode se co b açãolinear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

SIMSIM(0, 0, 0) = 0(1,1,1) + 0(1,1,2) + 0(0,0,3)

Propriedade:Propriedade:O vector nulo de qualquer O ecto u o de qua queespaço vectorial pode ser escrito como combinação linear d l j t dde qualquer conjunto de vectoresvectores.(O sistema homogéneo tem ( gsempre solução)

Questão:Questão:(0, 0, 0) pode ser combinação linear (0, 0, 0) pode se co b ação eade {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)} sem que os coeficientes sejam todos nulos?

SIM(0, 0, 0) = 3(1,1,1) ‐ 3(1,1,2) + 1(0,0,3)

Vectores linearmente independentesVectores linearmente independentes

Definição:

U j t d t d VUm conjunto de vectores de V

{v v v }{v1, v2, … , vk}

diz‐se linearmente independente sediz se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.


Um conjunto de vectores de V

{ }{v1, v2, … , vk}

é linearmente independente seé linearmente independente se

02211 ⇒=+++ kkvvv ααα L

021 ==== kααα L

Vectores linearmente dependentesVectores linearmente dependentes

Definição: Um conjunto de vectores de V

{v v v }{v1, v2, … , vk}

diz‐se linearmente dependente se não é pindependente, isto é, se é possível obter o vector nulo com uma combinaçãoo vector nulo com uma combinação linear que não tem os coeficientes todos nulos.

Vectores linearmente dependentesVectores linearmente dependentes

Um conjunto de vectores de V

{ }{v1, v2, … , vk}

diz se linearmente dependente sediz‐se linearmente dependente se

0:02211 ≠∃∧=+++ jkk jvvv αααα L 0:02211 ≠∃∧+++ jkk jvvv αααα


Para que o conjunto de vectores de V

{v v v }{v1, v2, … , vk}

seja linearmente independente é j pnecessário que o sistema

0j d i d i é

02211 =+++ kkvvv ααα L

seja determinado, isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.j

Um conjunto de vectores não pode ser independente se:

• Contiver o vector nulo;

• Tiver dois vectores iguais;g ;

• Tiver um vector múltiplo de outro;Tiver um vector múltiplo de outro;

• Se um dos vectores for combinaçãoSe um dos vectores for combinação

linear de outros.

EXEMPLO:EXEMPLO:

Será {(1,2,3,4), (2,‐1,3,5), (4,7,‐3,‐7), (1,‐8,‐3,‐2)}

linearmente independente?linearmente independente?

⎪⎪⎨

⎧ =+++ 042 dcbaa(1,2,3,4)+ b(2,‐1,3,5)+ c(4,7,‐3,‐7)+ d(1,‐8,‐3,‐2) ⎪⎪⎩

⎨

= (0,0,0,0)

EXEMPLO:EXEMPLO:

Será {(1,2,3,4), (2,‐1,3,5), (4,7,‐3,‐7), (1,‐8,‐3,‐2)}

linearmente independente?linearmente independente?

a(1,2,3,4)+ b(2,‐1,3,5)+ c(4,7,‐3,‐7)+ d(1,‐8,‐3,‐2) (0 0 0 0)= (0,0,0,0)

⎧ +++ 042 db

⎪⎪⎨

⎧=−+−=+++

0872042

dcbadcba

⎪⎪⎩

⎪⎨ =−−+

0275403333

dbdcba

⎪⎩ =−−+ 02754 dcba

⎪⎧ =+++ 042 dcba

⎥⎤

⎢⎡ 1421

⎪⎪⎨

=−+−03333

0872db

dcba⎥⎥⎥

⎢⎢⎢ −−

=33338712

A

⎪⎪⎩

⎨

=−−+=−−+

0275403333

dcbadcba ⎥

⎥

⎦⎢⎢

⎣ −−−−

27543333

⎩

car(A) = 3 sistema indeterminadocar(A) = 3 sistema indeterminado

j t d d tconjunto dependente

Subespaço VectorialSubespaço Vectorial

Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vectorial de p çV se e só se

FF∀FF

FvuFvu∀ℜ∀

∈+∈∀ ,,

j F é f h d

FuFu ∈∈∀ℜ∈∀ αα ,,ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.

Exemplo de subespaço vectorialExemplo de subespaço vectorial

( ){ }zxeyxzyxF ==ℜ∈= 2:,, 3( ){ }yy


( ){ }zxeyxzyxF ==ℜ∈= 2:,, 3( ){ }yy

⎧ 0F é o conjunto das soluções do sistema ⎩

⎨⎧

=−=−

020

zxyx

⎩ 02 zx


( ){ }zxeyxzyxF ==ℜ∈= 2:,, 3( ){ }yy

⎧ 0F é o conjunto das soluções do sistema ⎩

⎨⎧

=−=−

020

zxyx

⎩ 02 zx

⎤⎡ 011F é o núcleo da matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−102011

⎦⎣

Expansão linear e geradoresExpansão linear e geradores

Considere‐se W o conjunto de todas as combinações lineares de {v1 v2 vk}combinações lineares de {v1, v2, … , vk} vectores de um espaço vectorial V

1 W é b i l1. W é um subespaço vectorial

2 W é o menor subespaço vectorial de V2. W é o menor subespaço vectorial de V que contém {v1, v2, … , vk}

Expansão linear e geradoresp g

{ }ℜ∈+++= jkkvvvW αααα ,2211 L

W é a expansão linear de {v1, v2, … , vk}

{ }ℜ∈+++ jkkvvvW αααα ,2211

W é a expansão linear de {v1, v2, … , vk}ou subespaço vectorial gerado pelos vectores

{v v v }{v1, v2, … , vk} W = <v1, v2, … , vk>1, 2, , k

{v1, v2, … , vk} é um conjunto de geradores de W

ExemplosExemplos

( ) ( ) ( )3 ( ) ( ) ( )1,0,0,0,1,0,0,0,13 =ℜ

ExemplosExemplos

( ) ( ) ( )3 ( ) ( ) ( )1,0,0,0,1,0,0,0,13 =ℜ

( ) ( ) ( ) ( ){ }:1000010010000100 ℜ∈+ αααα( ) ( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ){ }0:,,,,:,,0,0

,:1,0,0,00,1,0,01,0,0,0,0,1,0,0

214

43212121

2121

==ℜ∈=ℜ∈

=ℜ∈+=

xxxxxxαααα

αααα

( ){ } ( ){ },,,,,,, 2143212121

Bases e dimensãoBases e dimensão

• A um conjunto de geradores de um espaço que seja linearmente independente chama‐se q j pbase desse espaço.

• Um espaço tem várias bases• Um espaço tem várias bases

• Todas as bases têm o mesmo número de elementos

• A esse número de elementos chama‐se• A esse número de elementos chama‐se dimensão do espaço

Bases e dimensãoBases e dimensão

l d• Se um espaço vectorial tem dimensão nnão pode haver conjuntos de vectores p jindependentes com mais do que nelementoselementos

• Se um espaço vectorial tem dimensão nnão pode haver conjuntos de vectores geradores do espaço com menos do que g p ç qn elementos

Exemplo:Exemplo:

( ){ }zxeyxzyxF ==ℜ∈= 2:,, 3{ }( ){ }ℜ∈= xxxxF :2( ){ }ℜ∈= xxxxF :2,,

( )2,1,1=F ( )

Exemplo:Exemplo:

( ){ }zxeyxzyxF ==ℜ∈= 2:,, 3{ }( ){ }ℜ∈= xxxxF :2( ){ }ℜ∈= xxxxF :2,,

( )2,1,1=F ( ) LouFou 10,5,5=

dimF = 1

Como saber se um vector pertence a um subespaço?

1. Encontra‐se uma base para o subespaço

2. Verifica‐se se o vector pode ser combinação

linear dos elementos da base.

Exemplo:Exemplo:

( ) ( )87654321F ( ) ( )8,7,6,5,4,3,2,1=F

Será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é um elemento de F?

Será que (3 2 7 12) é uma combinaçãoSerá que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?

(3 ‐2 ‐7 ‐12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)(3, 2, 7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

(3 2 7 12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)(3, ‐2, ‐7, ‐12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

(3 2 7 12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)(3, ‐2, ‐7, ‐12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

(3 2 7 12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)(3, ‐2, ‐7, ‐12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

⎪⎧ =+ 35ba

⎪⎪⎨

−=+ 262 ba

⎪⎨ −=+ 773 ba⎪⎪⎩ −=+ 1284 ba

(3 2 7 12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)(3, ‐2, ‐7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

⎪⎧ =+ 35ba

⎥⎤

⎢⎡ 351

⎪⎪⎨

−=+ 262 ba⎥⎥⎥

⎢⎢⎢ −

72

7362

⎪⎨ −=+ 773 ba ⎥

⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−127

8473

⎪⎪⎩ −=+ 1284 ba

⎦⎣

⎥⎤

⎢⎡ 351

⎥⎤

⎢⎡ 351

⎥⎤

⎢⎡ 351

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢ −

72

7362

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢ −−

168

8040

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

02

0010

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−127

8473

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−

−−

2416

12080

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ 00

0000

⎥⎤

⎢⎡ − 701

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

02

0010

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ 00

0000

⎥⎦⎢⎣

⎥⎤

⎢⎡ 351

⎥⎤

⎢⎡ 351

⎥⎤

⎢⎡ 351

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢ −

72

7362

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢ −−

168

8040

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

02

0010

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−127

8473

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−

−−

2416

12080

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ 00

0000

⎥⎤

⎢⎡ − 701

⎧ 7⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

02

0010

⎩⎨⎧ −=

27

ba

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ 00

0000 ⎩

⎨ = 2b⎥⎦⎢⎣

O mesmo exemplo outra abordagem:O mesmo exemplo, outra abordagem:

( ) ( )87654321F ( ) ( )8,7,6,5,4,3,2,1=F

Será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é uma combinação linear de (1 2 3 4) e (5 6 7 8)?combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?


( ) ( )87654321F ( ) ( )8,7,6,5,4,3,2,1=F

Será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é uma combinação linear de (1 2 3 4) e (5 6 7 8)?combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?Se tal se verificar a característica da matriz 3×4 que tem estes vectores nas suas linhas terá que ser 2terá que ser 2.


⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

87654321

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−− 128404321

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −−− 12723

8765⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −−− 241680

12840


⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

87654321

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−− 128404321

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −−− 12723

8765⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −−− 241680

12840

4321 ⎤⎡2)(12840

4321=⎥

⎥⎤

⎢⎢⎡

−−− Acar0000 ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?

( ) ( )87654321=F ( ) ( )8,7,6,5,4,3,2,1=F


⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

87654321

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ wzyx

8765

Agora determinar condições sobre x, y, z e w últi li h d t i dpara que a última linha da matriz em escada

seja nulaj


⎤⎡ 4321

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

87654321

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ wzyx

8765⎥⎦⎢⎣ wzyx

⎤⎡ 4321⎥⎤

⎢⎡

128404321

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ ++−−−

wyxzyx 3220012840⎥⎦⎢⎣ +−+− wyxzyx 32200


⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

87654321

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−− 128404321

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ wzyx

8765⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ +−+−

−−−wyxzyx 32200

12840

⎦⎣

⎧⎨⎧ =+− 02 zyx

⎨⎧ +−= yxz 2

⎩⎨ =+− 032 wyx ⎩

⎨ +−= yxw 32

Como a última linha ficou nula pode seComo a última linha ficou nula pode‐se concluir que é combinação linear das q çanteriores.((Só não se sabe quais são os coeficientes da combinação linear paracoeficientes da combinação linear, para o saber é preciso resolver o sistema como se fez antes)

Os coeficientes da combinação linear de t l ã bum vector em relação a uma base

chamam‐se coordenadas do vectorchamam se coordenadas do vector


( ) ( )8,7,6,5,4,3,2,1=F ( ) ( ),,,,,,,

(x y z w) = a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)(x, y, z, w) = a(1, 2, 3, 4) + b(5, 6, 7, 8)

⎧ += bax 5

⎪⎪⎨

⎧+=+=

baybax62

5

⎪⎪⎩

⎨

++=

bbaz

8473

⎪⎩ += baw 84

Encontrar condições para o sistema ser possível:

⎧ ⎤⎡

⎪⎪⎧

+=+=

baybax62

5

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

yx

6251

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ x

24051

⎪⎪

⎪⎨ +=

+=bazbay

7362

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

zy

7362

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−+−−

yxzxy2

20040

⎪⎩ += baw 84 ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ w84 ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣ −+ yxw 3200

⎧ =−+ 02yxz

⎩⎨⎧

=−+=−+

03202

yxwyxz

⎩ y

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